اللوغاريتمات: الأمثلة والحلول. اللوغاريتم الطبيعي، دالة ln x

نواصل دراسة اللوغاريتمات. في هذا المقال سنتحدث عنه حساب اللوغاريتمات، وتسمى هذه العملية اللوغاريتم. أولا، سوف نتعامل مع حساب اللوغاريتمات حسب التعريف. بعد ذلك، فكر في كيفية العثور على قيم اللوغاريتمات باستخدام خصائصها. بعد ذلك، سنتناول حساب اللوغاريتمات من خلال القيم المعطاة في البداية للوغاريتمات الأخرى. وأخيرًا، دعونا نتعلم كيفية استخدام جداول اللوغاريتمات. يتم تزويد النظرية بأكملها بأمثلة مع حلول مفصلة.

التنقل في الصفحة.

حساب اللوغاريتمات حسب التعريف

في أبسط الحالات، من الممكن التنفيذ بسرعة وسهولة إيجاد اللوغاريتم حسب التعريف. دعونا نلقي نظرة فاحصة على كيفية حدوث هذه العملية.

جوهرها هو تمثيل الرقم ب في النموذج أ ج، حيث، من خلال تعريف اللوغاريتم، الرقم ج هو قيمة اللوغاريتم. وهذا يعني، بحكم التعريف، أن العثور على اللوغاريتم يتوافق مع سلسلة المساواة التالية: log a b=log a a c =c .

لذا، فإن حساب اللوغاريتم، بحكم التعريف، يتلخص في العثور على مثل هذا الرقم c الذي a c \u003d b، والرقم c نفسه هو القيمة المطلوبة للوغاريتم.

بالنظر إلى المعلومات الواردة في الفقرات السابقة، عندما يتم إعطاء الرقم الموجود تحت علامة اللوغاريتم بدرجة معينة من قاعدة اللوغاريتم، فيمكنك الإشارة على الفور إلى ما يساوي اللوغاريتم - فهو يساوي الأس. دعونا نعرض الأمثلة.

مثال.

أوجد log 2 2 −3 و احسب أيضًا اللوغاريتم الطبيعي ل e 5.3 .

حل.

يتيح لنا تعريف اللوغاريتم أن نقول على الفور أن السجل 2 2 −3 = −3 . في الواقع، الرقم الموجود تحت إشارة اللوغاريتم يساوي الأساس 2 مرفوعًا للقوة −3.

وبالمثل نجد اللوغاريتم الثاني: lne 5.3 =5.3.

إجابة:

سجل 2 2 −3 = −3 و lne 5.3 =5.3 .

إذا لم يتم إعطاء الرقم b الموجود تحت علامة اللوغاريتم كقوة لقاعدة اللوغاريتم، فأنت بحاجة إلى التفكير بعناية فيما إذا كان من الممكن التوصل إلى تمثيل للرقم b في النموذج a c . غالبًا ما يكون هذا التمثيل واضحًا تمامًا، خاصة عندما يكون الرقم الموجود تحت علامة اللوغاريتم مساويًا للأساس أس 1، أو 2، أو 3، ...

مثال.

احسب اللوغاريتمات log 5 25 و .

حل.

من السهل أن ترى أن 25=5 2 ، وهذا يسمح لك بحساب اللوغاريتم الأول: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

ننتقل إلى حساب اللوغاريتم الثاني. يمكن تمثيل الرقم كقوة للرقم 7: (انظر إذا لزم الأمر). لذلك، .

لنعد كتابة اللوغاريتم الثالث بالشكل التالي. الآن يمكنك أن ترى ذلك ، حيث نستنتج ذلك . لذلك، من خلال تعريف اللوغاريتم .

باختصار يمكن كتابة الحل على النحو التالي:

إجابة:

سجل 5 25=2 , و .

عندما يكون هناك عدد طبيعي كبير بما فيه الكفاية تحت علامة اللوغاريتم، فلن يضر تحليله إلى عوامل أولية. غالبًا ما يكون من المفيد تمثيل هذا الرقم كقوة لقاعدة اللوغاريتم، وبالتالي حساب هذا اللوغاريتم حسب التعريف.

مثال.

أوجد قيمة اللوغاريتم.

حل.

تسمح لك بعض خصائص اللوغاريتمات بتحديد قيمة اللوغاريتمات على الفور. تتضمن هذه الخصائص خاصية لوغاريتم واحد وخاصية لوغاريتم رقم يساوي الأساس: log 1 1=log a a 0 =0 و log a a=log a 1 =1 . أي أنه عندما يكون الرقم 1 أو الرقم a تحت علامة اللوغاريتم، يساوي أساس اللوغاريتم، فإن اللوغاريتمات في هذه الحالات تكون 0 و1 على التوالي.

مثال.

ما هي اللوغاريتمات وlg10؟

حل.

منذ ذلك الحين، فإنه يتبع من تعريف اللوغاريتم .

في المثال الثاني، الرقم 10 تحت إشارة اللوغاريتم يتطابق مع قاعدته، وبالتالي فإن اللوغاريتم العشري للعشرة يساوي واحدًا، أي lg10=lg10 1 =1 .

إجابة:

و إل جي10=1 .

لاحظ أن حساب اللوغاريتمات حسب التعريف (الذي ناقشناه في الفقرة السابقة) يعني استخدام سجل المساواة a a p =p ، وهو أحد خصائص اللوغاريتمات.

من الناحية العملية، عندما يتم تمثيل الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم وقاعدة اللوغاريتم بسهولة كقوة لرقم ما، فمن الملائم جدًا استخدام الصيغة وهو ما يتوافق مع إحدى خصائص اللوغاريتمات. فكر في مثال لإيجاد اللوغاريتم، موضحًا استخدام هذه الصيغة.

مثال.

احسب لوغاريتم .

حل.

إجابة:

.

يتم أيضًا استخدام خصائص اللوغاريتمات غير المذكورة أعلاه في الحساب، لكننا سنتحدث عن ذلك في الفقرات التالية.

إيجاد اللوغاريتمات بدلالة اللوغاريتمات الأخرى المعروفة

تستمر المعلومات الواردة في هذه الفقرة في موضوع استخدام خصائص اللوغاريتمات في حسابها. لكن الاختلاف الرئيسي هنا هو أن خصائص اللوغاريتمات تُستخدم للتعبير عن اللوغاريتم الأصلي بدلالة لوغاريتم آخر تكون قيمته معروفة. لنأخذ مثالا للتوضيح. لنفترض أننا نعرف ذلك log 2 3≈1.584963 ، ثم يمكننا إيجاد، على سبيل المثال، log 2 6 عن طريق إجراء تحويل بسيط باستخدام خصائص اللوغاريتم: سجل 2 6=سجل 2 (2 3)=سجل 2 2+سجل 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

في المثال أعلاه، كان يكفينا استخدام خاصية لوغاريتم المنتج. ومع ذلك، في كثير من الأحيان يتعين عليك استخدام ترسانة أوسع من خصائص اللوغاريتمات لحساب اللوغاريتم الأصلي من حيث تلك المعطاة.

مثال.

احسب لوغاريتم 27 للأساس 60 إذا كان معروفا أن log 60 2=a و log 60 5=b .

حل.

لذلك نحن بحاجة إلى العثور على سجل 60 27 . من السهل أن نرى أن 27=3 3 ، واللوغاريتم الأصلي، بسبب خاصية لوغاريتم الدرجة، يمكن إعادة كتابته بالشكل 3·log 60 3 .

الآن دعونا نرى كيف يمكن التعبير عن log 60 3 بدلالة اللوغاريتمات المعروفة. خاصية لوغاريتم الرقم الذي يساوي الأساس تسمح لك بكتابة سجل المساواة 60 60=1 . ومن ناحية أخرى، سجل 60 60=log60(2 2 3 5)= سجل 60 2 2 +سجل 60 3+سجل 60 5= 2 سجل 60 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5 . هكذا، 2 سجل 60 2+سجل 60 3+سجل 60 5=1. لذلك، سجل 60 3=1−2 سجل 60 2−سجل 60 5=1−2 أ−ب.

أخيرًا، نحسب اللوغاريتم الأصلي: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 أ−ب)=3−6 أ−3 ب.

إجابة:

سجل 60 27=3 (1−2 أ−ب)=3−6 أ−3 ب.

بشكل منفصل، تجدر الإشارة إلى معنى صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتم النموذج الجديدة . يتيح لك الانتقال من اللوغاريتمات ذات الأساس إلى اللوغاريتمات ذات الأساس المحدد والتي تكون قيمها معروفة أو من الممكن العثور عليها. عادةً ما ينتقلون من اللوغاريتم الأصلي وفقًا لصيغة الانتقال إلى اللوغاريتمات في إحدى القواعد 2 أو e أو 10، نظرًا لوجود جداول لوغاريتمات لهذه القواعد تسمح بحسابها بدرجة معينة من الدقة. وفي القسم التالي، سوف نبين كيف يتم ذلك.

جداول اللوغاريتمات واستخدامها

لحساب تقريبي لقيم اللوغاريتمات يمكن استخدامها جداول اللوغاريتم. الجدول الأكثر استخدامًا للوغاريتمات ذات الأساس 2 هو الجدول اللوغاريتمات الطبيعيةوجدول اللوغاريتمات العشرية. عند العمل في نظام الأرقام العشرية، من المناسب استخدام جدول اللوغاريتمات للأساس العشري. بمساعدتها، سوف نتعلم كيفية العثور على قيم اللوغاريتمات.

يتيح الجدول المعروض، بدقة واحد على عشرة آلاف، إيجاد قيم اللوغاريتمات العشرية للأعداد من 1.000 إلى 9.999 (بثلاث منازل عشرية). سيتم تحليل مبدأ إيجاد قيمة اللوغاريتم باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية مثال محدد- أكثر وضوحا. دعونا نجد lg1,256 .

في العمود الأيسر من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد أول رقمين من الرقم 1.256، أي نجد 1.2 (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأزرق من أجل الوضوح). تم العثور على الرقم الثالث من الرقم 1.256 (رقم 5) في السطر الأول أو الأخير على يسار الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأحمر). الرقم الرابع من الرقم الأصلي 1.256 (الرقم 6) موجود في السطر الأول أو الأخير على يمين الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأخضر). الآن نجد الأرقام في خلايا جدول اللوغاريتمات عند تقاطع الصف المحدد والأعمدة المحددة (يتم تمييز هذه الأرقام البرتقالي). مجموع الأرقام المميزة يعطي القيمة المطلوبة للوغاريتم العشري حتى المنزلة العشرية الرابعة، أي: سجل1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

هل من الممكن باستخدام الجدول أعلاه إيجاد قيم اللوغاريتمات العشرية للأعداد التي تحتوي على أكثر من ثلاثة أرقام بعد العلامة العشرية، وتتجاوز أيضاً الحدود من 1 إلى 9.999؟ نعم يمكنك ذلك. دعونا نظهر كيف يتم ذلك مع مثال.

دعونا نحسب lg102.76332 . أولا عليك أن تكتب رقم في النموذج القياسي : 102.76332=1.0276332 10 2 . بعد ذلك، ينبغي تقريب العشري إلى المنزلة العشرية الثالثة، لدينا 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2، في حين أن اللوغاريتم العشري الأصلي يساوي تقريبًا لوغاريتم الرقم الناتج، أي أننا نأخذ lg102.76332≈lg1.028·10 2 . الآن قم بتطبيق خصائص اللوغاريتم: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. وأخيرا نجد قيمة اللوغاريتم lg1.028 وفقا لجدول اللوغاريتمات العشرية lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. ونتيجة لذلك، تبدو عملية حساب اللوغاريتم برمتها كما يلي: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

في الختام، تجدر الإشارة إلى أنه باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية، يمكنك حساب القيمة التقريبية لأي لوغاريتم. للقيام بذلك، يكفي استخدام صيغة الانتقال للانتقال إلى اللوغاريتمات العشرية، والعثور على قيمها في الجدول، وإجراء العمليات الحسابية المتبقية.

على سبيل المثال، دعونا نحسب السجل 2 3 . وفقًا لصيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم، لدينا . من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد lg3≈0.4771 و lg2≈0.3010. هكذا، .

فهرس.

• Kolmogorov A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. وغيرها الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 في مؤسسات التعليم العام.
• جوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج. الرياضيات (دليل للمتقدمين إلى المدارس الفنية).

يتم استخدام المعادلات المدرجة عند تحويل التعبيرات باللوغاريتمات من اليمين إلى اليسار ومن اليسار إلى اليمين.

تجدر الإشارة إلى أنه ليس من الضروري حفظ عواقب الخصائص: عند إجراء التحويلات، يمكنك التعامل مع الخصائص الأساسية للوغاريتمات والحقائق الأخرى (على سبيل المثال، تلك الخاصة بـ b≥0)، والتي منها تتبع العواقب. " تأثير جانبييتجلى هذا النهج فقط في حقيقة أن الحل سيكون أطول قليلاً. على سبيل المثال، من أجل الاستغناء عن النتيجة التي يتم التعبير عنها بالصيغة ، وبدءًا فقط من الخصائص الأساسية للوغاريتمات، سيتعين عليك إجراء سلسلة من التحولات بالشكل التالي: .

ويمكن قول الشيء نفسه عن الخاصية الأخيرة من القائمة أعلاه، والتي تتوافق مع الصيغة لأنه يتبع أيضًا الخصائص الأساسية للوغاريتمات. الشيء الرئيسي الذي يجب فهمه هو أنه من الممكن دائمًا لدرجة الرقم الموجب مع اللوغاريتم في الأس تبديل أساس الدرجة والرقم تحت علامة اللوغاريتم. ومن باب الإنصاف، نلاحظ أن الأمثلة التي تنطوي على تنفيذ تحولات من هذا النوع نادرة في الممارسة العملية. وسنقدم بعض الأمثلة أدناه.

تحويل التعبيرات الرقمية مع اللوغاريتمات

لقد تذكرنا خصائص اللوغاريتمات، والآن حان الوقت لتعلم كيفية تطبيقها لتحويل التعبيرات. من الطبيعي أن نبدأ بتحويل التعبيرات الرقمية، وليس التعبيرات ذات المتغيرات، لأنه أكثر ملاءمة وأسهل لتعلم الأساسيات الخاصة بها. لذلك سوف نفعل، وسوف نبدأ مع جدا أمثلة بسيطةلمعرفة كيفية اختيار خاصية اللوغاريتم المطلوبة، لكننا سنعقد الأمثلة تدريجيًا، حتى اللحظة التي يلزم فيها تطبيق عدة خصائص متتالية للحصول على النتيجة النهائية.

اختيار خاصية اللوغاريتمات المطلوبة

لا يوجد عدد قليل جدًا من خصائص اللوغاريتمات، ومن الواضح أنك بحاجة إلى أن تكون قادرًا على اختيار الخاصية المناسبة منها، والتي في وقت معين حالة محددةسوف يؤدي إلى النتيجة المرجوة. عادة لا يكون من الصعب القيام بذلك من خلال مقارنة شكل اللوغاريتم أو التعبير الذي يتم تحويله مع أنواع الأجزاء اليسرى واليمنى من الصيغ التي تعبر عن خصائص اللوغاريتمات. إذا كان الجانب الأيسر أو الأيمن من إحدى الصيغ يطابق اللوغاريتم أو التعبير المحدد، فمن المرجح أن هذه الخاصية هي التي يجب استخدامها أثناء التحويل. الأمثلة التاليةوقد ظهر هذا بوضوح.

لنبدأ بأمثلة لتحويل التعبيرات باستخدام تعريف اللوغاريتم الذي يتوافق مع الصيغة a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 .

مثال.

احسب، إن أمكن: أ) 5 log 5 4 , ب) 10 log(1+2 π) , c) , د) 2 سجل 2 (−7) , ه) .

حل.

في المثال، الحرف a) يُظهر بوضوح البنية a log a b ، حيث a=5 , b=4 . تلبي هذه الأرقام الشروط a>0 , a≠1 , b>0 , لذلك يمكنك استخدام المساواة بأمان a log a b =b . لدينا 5 سجل 5 4=4 .

ب) هنا a=10 , b=1+2 π , الشروط a>0 , a≠1 , b>0 تم استيفاءها. في هذه الحالة، تحدث المساواة 10 lg(1+2 π) =1+2 π.

ج) وفي هذا المثال نتعامل مع درجة من الشكل a log a b , Where and b=ln15 . لذا .

على الرغم من انتمائه إلى نفس النموذج a log a b (هنا a=2 , b=−7 )، فإن التعبير الموجود أسفل الحرف d) لا يمكن تحويله بواسطة الصيغة a log a b =b . والسبب هو أنه غير منطقي لأنه يحتوي على رقم سالب تحت علامة اللوغاريتم. علاوة على ذلك، فإن الرقم b=−7 لا يحقق الشرط b>0 ، مما يجعل من المستحيل اللجوء إلى الصيغة a log a b =b ، لأنها تتطلب الشروط a>0 , a≠1 , b>0 . لذا، لا يمكننا التحدث عن حساب القيمة 2 log 2 (−7) . في هذه الحالة، كتابة 2 log 2 (−7) = −7 سيكون خطأ.

وبالمثل، في المثال تحت الحرف e) من المستحيل إعطاء حل للنموذج لأن التعبير الأصلي لا معنى له.

إجابة:

أ) 5 سجل 5 4 =4 , ب) 10 سجل(1+2 π) =1+2 π , ج) ، د)، هـ) العبارات ليس لها معنى.

غالبًا ما يكون من المفيد تحويل رقم موجب كقوة لعدد موجب غير واحد مع لوغاريتم في الأس. يعتمد على نفس تعريف اللوغاريتم a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 ، ولكن يتم تطبيق الصيغة من اليمين إلى اليسار، أي في النموذج b=a log a b . على سبيل المثال، 3=e ln3 أو 5=5 log 5 5 .

دعنا ننتقل إلى استخدام خصائص اللوغاريتمات لتحويل التعبيرات.

مثال.

أوجد قيمة التعبير: أ) سجل −2 1، ب) سجل 1 1، ج) سجل 0 1، د) سجل 7 1، ه) ln1، و) lg1، ز) سجل 3.75 1، ح) سجل 5 ط 7 1 .

حل.

في الأمثلة تحت الحروف أ)، ب) و ج)، يتم إعطاء التعبيرات log −2 1 , log 1 1 , log 0 1، والتي لا معنى لها، لأن قاعدة اللوغاريتم لا ينبغي أن تحتوي على رقم سالب أو صفر أو واحد، لأننا حددنا اللوغاريتم فقط لقاعدة موجبة وغير وحدة. لذلك، في الأمثلة أ) - ج) لا يمكن أن يكون هناك شك في العثور على قيمة التعبير.

في جميع المهام الأخرى، من الواضح أنه في قواعد اللوغاريتمات هناك أرقام موجبة وغير وحدة 7، e، 10، 3.75 و 5 π 7، على التوالي، والوحدات موجودة في كل مكان تحت علامات اللوغاريتمات. ونحن نعرف خاصية لوغاريتم الوحدة: log a 1=0 لأي a>0 , a≠1 . وبالتالي فإن قيم التعبيرات ب) - و) تساوي الصفر.

إجابة:

أ)، ب)، ج) التعبيرات غير منطقية، د) سجل 7 1=0، ه) ln1=0، و) سجل1=0، ز) سجل 3.75 1=0، ح) سجل 5 ه 7 1 =0 .

مثال.

احسب: أ) ، ب) lne ، ج) lg10 ، د) سجل 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

حل.

من الواضح أنه يتعين علينا استخدام خاصية لوغاريتم القاعدة، والتي تتوافق مع صيغة السجل a a=1 لـ a>0 , a≠1 . في الواقع، في المهام تحت جميع الحروف، يتزامن الرقم الموجود تحت علامة اللوغاريتم مع قاعدته. وبالتالي، أريد أن أقول على الفور أن قيمة كل من التعبيرات المعطاة هي 1 . ومع ذلك، لا تتسرع في الاستنتاجات: في المهام تحت الحروف أ) - د) قيم التعبيرات تساوي حقًا واحدًا، وفي المهام ه) و و) التعبيرات الأصلية لا معنى لها، لذلك لا يمكن يقال أن قيم هذه التعبيرات تساوي 1.

إجابة:

أ) ، ب) lne=1 ، ج) lg10=1 ، د) سجل 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1، ه)، و) العبارات لا معنى لها.

مثال.

أوجد القيمة: أ) سجل 3 3 11 , ب) , ج) , د) سجل −10 (−10) 6 .

حل.

من الواضح أنه توجد تحت علامات اللوغاريتمات بعض درجات القاعدة. وبناءً على ذلك، نفهم أن خاصية درجة القاعدة مفيدة لنا هنا: log a a p =p، حيث a>0 وa≠1 وp أي عدد حقيقي. وبالنظر إلى هذا، لدينا النتائج التالية: أ) سجل 3 3 11 =11 , ب) ، الخامس) . هل من الممكن كتابة مساواة مماثلة للمثال تحت الحرف d) من سجل النموذج −10 (−10) 6 =6؟ لا، لا يمكنك ذلك، لأن log −10 (−10) 6 غير منطقي.

إجابة:

أ) سجل 3 3 11 =11، ب) ، الخامس) د) التعبير ليس له معنى.

مثال.

عبر عن التعبير كمجموع أو اختلاف اللوغاريتمات في نفس الأساس: أ) , ب) , ج) سجل((−5) (−12)) .

حل.

أ) حاصل الضرب تحت علامة اللوغاريتم، ونحن نعرف خاصية لوغاريتم حاصل الضرب a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y> 0 . في حالتنا، يكون الرقم الموجود في قاعدة اللوغاريتم والأرقام الموجودة في المنتج موجبة، أي أنها تستوفي شروط الخاصية المحددة، وبالتالي يمكننا تطبيقها بأمان: .

ب) هنا نستخدم خاصية لوغاريتم الحاصل حيث a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 . في حالتنا، أساس اللوغاريتم هو رقم موجب e، والبسط والمقام π موجبان، مما يعني أنهما يستوفيان شروط الخاصية، لذلك يحق لنا استخدام الصيغة المختارة: .

ج) أولاً، لاحظ أن التعبير lg((−5) (−12)) منطقي. لكن في الوقت نفسه، ليس لدينا الحق في تطبيق صيغة لوغاريتم المنتج log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 , بما أن الأعداد −5 و −12 سالبة ولا تحقق الشروط x>0 , y>0 . أي أنه من المستحيل إجراء مثل هذا التحول: سجل((−5)(−12))=سجل(−5)+سجل(−12). ولكن ماذا تفعل؟ في مثل هذه الحالات، يجب تحويل التعبير الأصلي مسبقًا لتجنب الأرقام السالبة. سنتحدث بالتفصيل عن حالات مشابهة لتحويل التعبيرات ذات الأعداد السالبة تحت إشارة اللوغاريتم في أحدها، لكن الآن سنقدم حل لهذا المثال وهو واضح مقدما وبدون شرح: lg((−5)(−12))=lg(5 12)=lg5+lg12.

إجابة:

أ) ، ب) , ج) lg((−5) (−12))=lg5+lg12 .

مثال.

بسّط التعبير: أ) سجل 3 0.25 + سجل 3 16 + سجل 3 0.5، ب) .

حل.

هنا، كل نفس خصائص لوغاريتم المنتج ولوغاريتم الحاصل الذي استخدمناه في الأمثلة السابقة ستساعدنا، الآن فقط سنطبقها من اليمين إلى اليسار. أي أننا نحول مجموع اللوغاريتمات إلى لوغاريتم حاصل الضرب، وفرق اللوغاريتمات إلى لوغاريتم حاصل القسمة. لدينا
أ) سجل 3 0.25 + سجل 3 16 + سجل 3 0.5 = سجل 3 (0.25 16 0.5) = سجل 3 2.
ب) .

إجابة:

أ) سجل 3 0.25+سجل 3 16+سجل 3 0.5=سجل 3 2، ب) .

مثال.

تخلص من الدرجة تحت علامة اللوغاريتم: أ) سجل 0.7 5 11، ب) , ج) سجل 3 (−5) 6 .

حل.

من السهل أن نرى أننا نتعامل مع تعبيرات مثل log a b p . الخاصية المقابلة للوغاريتم هي log a b p =p log a b ، حيث a>0 , a≠1 , b>0 , p هو أي رقم حقيقي. أي أنه في ظل الشروط a>0 , a≠1 , b>0 من لوغاريتم الدرجة a b p يمكننا الانتقال إلى المنتج p·log a b . دعونا ننفذ هذا التحويل باستخدام التعبيرات المحددة.

أ) في هذه الحالة a=0.7 و b=5 و p=11 . إذن log 0.7 5 11 =11 log 0.7 5 .

ب) هنا يتم استيفاء الشروط a>0 , a≠1 , b>0. لهذا

ج) التعبير log 3 (−5) 6 له نفس البنية log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . لكن بالنسبة لـ b، فإن الشرط b>0 غير مستوفي، مما يجعل من المستحيل تطبيق الصيغة log a b p =p log a b . فلماذا لا تستطيع إنجاز المهمة؟ من الممكن، ولكن مطلوب تحويل أولي للتعبير، وهو ما سنناقشه بالتفصيل أدناه في الفقرة تحت العنوان. الحل سيكون كالتالي: سجل 3 (−5) 6 = سجل 3 5 6 =6 سجل 3 5.

إجابة:

أ) سجل 0.7 5 11 =11 سجل 0.7 5 ,
ب)
ج) سجل 3 (−5) 6 =6 سجل 3 5 .

في كثير من الأحيان، يجب تطبيق صيغة لوغاريتم الدرجة عند إجراء التحويلات من اليمين إلى اليسار في النموذج p log a b \u003d log a b p (وهذا يتطلب نفس الشروط لـ a وb وp). على سبيل المثال، 3 ln5=ln5 3 و lg2 log 2 3=log 2 3 lg2 .

مثال.

أ) احسب قيمة السجل 2 5 إذا كان من المعروف أن lg2≈0.3010 و lg5≈0.6990. ب) اكتب الكسر على هيئة لوغاريتم للأساس ٣.

حل.

أ) تسمح لنا صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم بتمثيل هذا اللوغاريتم كنسبة من اللوغاريتمات العشرية التي نعرف قيمها: . يبقى فقط لإجراء الحسابات، لدينا .

ب) هنا يكفي استخدام صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة، وتطبيقها من اليمين إلى اليسار، أي بالشكل . نحن نحصل .

إجابة:

أ) سجل 2 5≈2.3223، ب) .

في هذه المرحلة، درسنا بدقة تحويل أبسط التعبيرات باستخدام الخصائص الأساسية للوغاريتمات وتعريف اللوغاريتم. في هذه الأمثلة، كان علينا استخدام خاصية واحدة فقط. الآن، بضمير مرتاح، يمكنك الانتقال إلى الأمثلة التي يتطلب تحويلها استخدام العديد من خصائص اللوغاريتمات والتحويلات الإضافية الأخرى. وسوف نتعامل معهم في الفقرة التالية. ولكن قبل ذلك، دعونا نتناول بإيجاز أمثلة على تطبيق العواقب من الخصائص الأساسية للوغاريتمات.

مثال.

أ) تخلص من الجذر تحت إشارة اللوغاريتم. ب) تحويل الكسر إلى لوغاريتم ذو أساس 5. ج) التخلص من القوى الموجودة تحت إشارة اللوغاريتم وعند قاعدتها. د) احسب قيمة التعبير . هـ) استبدل التعبير بقوة ذات الأساس 3.

حل.

أ) إذا استذكرنا النتيجة الطبيعية من خاصية لوغاريتم الدرجة ، فيمكنك الإجابة على الفور: .

ب) هنا نستخدم الصيغة من اليمين إلى اليسار، لدينا .

ج) في هذه الحالة، تؤدي الصيغة إلى النتيجة . نحن نحصل .

د) ويكفي هنا تطبيق النتيجة الطبيعية التي تتوافق معها الصيغة . لذا .

ه) خاصية اللوغاريتم يتيح لنا تحقيق النتيجة المرجوة: .

إجابة:

أ) . ب) . الخامس) . ز) . ه) .

تطبيق خصائص متعددة باستمرار

عادةً ما تكون المهام الحقيقية لتحويل التعبيرات باستخدام خصائص اللوغاريتمات أكثر تعقيدًا من تلك التي تناولناها في الفقرة السابقة. فيها، كقاعدة عامة، لا يتم الحصول على النتيجة في خطوة واحدة، ولكن الحل يتكون بالفعل من التطبيق المتسلسل لخاصية تلو الأخرى، جنبًا إلى جنب مع تحويلات متطابقة إضافية، مثل فتح الأقواس، وتقليل الحدود المتشابهة، وتقليل الكسور، وما إلى ذلك. . لذلك دعونا نقترب من هذه الأمثلة. لا يوجد شيء معقد في هذا الأمر، والشيء الرئيسي هو التصرف بعناية وثبات، ومراقبة الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات.

مثال.

احسب قيمة التعبير (سجل 3 15− سجل 3 5) 7 سجل 7 5.

حل.

يمكن استبدال فرق اللوغاريتمات بين قوسين بخاصية لوغاريتم الحاصل باللوغاريتم log 3 (15:5) ، ثم حساب قيمته log 3 (15:5)=log 3 3=1 . وقيمة التعبير 7 log 7 5 حسب تعريف اللوغاريتم هي 5 . استبدال هذه النتائج في التعبير الأصلي، نحصل على (سجل 3 15− سجل 3 5) 7 سجل 7 5 =1 5=5.

إليك الحل بدون شرح:
(سجل 3 15− سجل 3 5) 7 سجل 7 5 = سجل 3 (15:5) 5=
= سجل 3 3 5=1 5=5 .

إجابة:

(سجل 3 15− سجل 3 5) 7 سجل 7 5 =5.

مثال.

ما قيمة التعبير العددي log 3 log 2 2 3 −1 ؟

حل.

لنقم أولاً بتحويل اللوغاريتم الموجود تحت إشارة اللوغاريتم وفقًا لصيغة لوغاريتم الدرجة: log 2 2 3 =3. إذن log 3 log 2 2 3 =log 3 3 ثم log 3 3=1 . إذن log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

إجابة:

سجل 3 سجل 2 2 3 −1=0 .

مثال.

تبسيط التعبير.

حل.

تسمح صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم بتمثيل نسبة اللوغاريتمات إلى قاعدة واحدة على أنها log 3 5 . في هذه الحالة، التعبير الأصلي سوف يأخذ الشكل . حسب تعريف اللوغاريتم 3 log 3 5 =5 , أي ، وقيمة التعبير الناتج، بحكم نفس تعريف اللوغاريتم، تساوي اثنين.

فيما يلي نسخة قصيرة من الحل، والتي يتم تقديمها عادةً: .

إجابة:

.

للانتقال السلس إلى معلومات الفقرة التالية، دعونا نلقي نظرة على التعبيرات 5 2+log 5 3 و lg0.01 . هيكلها لا يتناسب مع أي من خصائص اللوغاريتمات. فماذا يحدث إذا لم يكن من الممكن تحويلها باستخدام خصائص اللوغاريتمات؟ من الممكن إذا قمت بإجراء تحويلات أولية تحضير هذه التعبيرات لتطبيق خصائص اللوغاريتمات. لذا 5 2+سجل 5 3 =5 2 5 سجل 5 3 =25 3=75, و lg0,01=lg10 −2 = −2 . علاوة على ذلك، سوف نفهم بالتفصيل كيفية تنفيذ هذا الإعداد للتعبيرات.

إعداد العبارات لتطبيق خصائص اللوغاريتمات

غالبًا ما تختلف اللوغاريتمات في التعبير المحول في بنية التدوين عن الأجزاء اليسرى واليمنى من الصيغ التي تتوافق مع خصائص اللوغاريتمات. ولكن في كثير من الأحيان، يتضمن تحويل هذه التعبيرات استخدام خصائص اللوغاريتمات: فاستخدامها يتطلب إعدادًا أوليًا فقط. ويتكون هذا الإعداد من إجراء بعض التحويلات المتماثلة التي تجعل اللوغاريتمات في شكل مناسب لتطبيق الخصائص.

من باب الإنصاف، نلاحظ أن أي تحويل للتعبيرات تقريبًا يمكن أن يكون بمثابة تحويلات أولية، بدءًا من الاختزال المبتذل للمصطلحات المشابهة وحتى التطبيق الصيغ المثلثية. وهذا أمر مفهوم، حيث أن التعبيرات المحولة يمكن أن تحتوي على أي كائنات رياضية: الأقواس، والوحدات، والكسور، والجذور، والدرجات، وما إلى ذلك. وبالتالي، يجب على المرء أن يكون مستعدًا لإجراء أي تحويل مطلوب من أجل الاستفادة بشكل أكبر من خصائص اللوغاريتمات.

لنفترض على الفور أننا في هذه الفقرة لا نحدد لأنفسنا مهمة تصنيف وتحليل جميع التحويلات الأولية التي يمكن تصورها والتي تسمح لنا بتطبيق خصائص اللوغاريتمات أو تعريف اللوغاريتم في المستقبل. سنركز هنا على أربعة منها فقط، وهي الأكثر تميزًا والأكثر شيوعًا في الممارسة العملية.

والآن بالتفصيل عن كل واحد منهم، وبعد ذلك، في إطار موضوعنا، يبقى فقط التعامل مع تحويل التعبيرات مع المتغيرات تحت علامات اللوغاريتمات.

اختيار القوى تحت علامة اللوغاريتم وفي قاعدتها

لنبدأ على الفور بمثال. دعونا نحصل على اللوغاريتم. من الواضح، في هذا النموذج، أن بنيتها لا تساعد على استخدام خصائص اللوغاريتمات. هل من الممكن تحويل هذا التعبير بطريقة أو بأخرى لتبسيطه، أو حتى حساب قيمته بشكل أفضل؟ للإجابة على هذا السؤال، دعونا نلقي نظرة فاحصة على الرقمين 81 و 1/9 في سياق مثالنا. من السهل أن نرى هنا أنه يمكن تمثيل هذه الأرقام كقوة 3 , في الواقع 81=3 4 و 1/9=3 −2 . في هذه الحالة، يتم تقديم اللوغاريتم الأصلي في النموذج ويصبح من الممكن تطبيق الصيغة . لذا، .

يؤدي تحليل المثال الذي تم تحليله إلى ظهور الفكرة التالية: إذا أمكن، يمكنك محاولة تحديد الدرجة تحت علامة اللوغاريتم وعند قاعدتها من أجل تطبيق خاصية لوغاريتم الدرجة أو نتيجتها. يبقى فقط معرفة كيفية تحديد هذه الدرجات. وسنقدم بعض التوصيات بشأن هذه المسألة.

في بعض الأحيان يكون من الواضح تمامًا أن الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم و/أو في قاعدته يمثل بعض القوة الصحيحة، كما في المثال الذي تمت مناقشته أعلاه. يتعين عليك دائمًا التعامل مع قوى العدد اثنين المألوفة جيدًا: 4=2 2 , 8=2 3 , 16=2 4 , 32=2 5 , 64=2 6 , 128=2 7 , 256=2 8 , 512= 2 9 , 1024=2 10 . ويمكن قول الشيء نفسه عن درجات الثلاثي: 9=3 2 , 27=3 3 , 81=3 4 , 243=3 5 , ... بشكل عام لا يضر إذا كان هناك جدول قوى الأعداد الطبيعيةفي غضون عشرة. كما أنه ليس من الصعب العمل مع القوى الصحيحة من عشرة، مائة، ألف، وما إلى ذلك.

مثال.

احسب القيمة أو قم بتبسيط التعبير: أ) سجل 6 216 , ب) , ج) سجل 0.000001 0.001 .

حل.

أ) من الواضح أن 216=6 3 ، لذا log 6 216=log 6 6 3 =3 .

ب) يتيح لنا جدول قوى الأعداد الطبيعية تمثيل الرقمين 343 و1/243 كقوى 7 ​​3 و3 −4 على التوالي. ولذلك، فإن التحويل التالي للوغاريتم المحدد ممكن:

ج) بما أن 0.000001=10 −6 و 0.001=10 −3، إذن سجل 0.000001 0.001=سجل 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

إجابة:

أ) سجل 6216=3، ب) ، ج) سجل 0.000001 0.001=1/2 .

في الحالات الأكثر تعقيدًا، لتسليط الضوء على قوى الأرقام، عليك اللجوء إليها.

مثال.

تحويل التعبير إلى المزيد مرأى من الجميعسجل 3 648 سجل 2 3 .

حل.

دعونا نرى ما هو تحليل الرقم 648 إلى عوامل أولية:

أي أن 648=2 3 3 4 . هكذا، سجل 3 648 سجل 2 3 = سجل 3 (2 3 3 4) سجل 2 3.

نقوم الآن بتحويل لوغاريتم المنتج إلى مجموع اللوغاريتمات، وبعد ذلك نطبق خصائص لوغاريتم الدرجة:
سجل 3 (2 3 3 4) سجل 2 3=(سجل 3 2 3 + سجل 3 3 4) سجل 2 3=
=(3 سجل 3 2+4) سجل 2 3 .

بحكم النتيجة الطبيعية لخاصية لوغاريتم الدرجة التي تتوافق مع الصيغة ، المنتج log32 log23 هو المنتج ومن المعروف أنه يساوي واحدًا. وبالنظر إلى هذا، نحصل على 3 سجل 3 2 سجل 2 3+4 سجل 2 3=3 1+4 سجل 2 3=3+4 سجل 2 3.

إجابة:

سجل 3 648 سجل 2 3=3+4 سجل 2 3.

في كثير من الأحيان، تكون التعبيرات الموجودة تحت علامة اللوغاريتم وفي قاعدتها عبارة عن منتجات أو نسب للجذور و/أو قوى بعض الأرقام، على سبيل المثال، . يمكن تمثيل تعبيرات مماثلة كدرجة. للقيام بذلك، يتم تنفيذ الانتقال من الجذور إلى الدرجات، ويتم تطبيقها. تتيح لك هذه التحويلات تحديد الدرجات تحت علامة اللوغاريتم وفي قاعدته، ثم تطبيق خصائص اللوغاريتمات.

مثال.

احسب: أ) ، ب).

حل.

أ) التعبير الموجود في أساس اللوغاريتم هو حاصل ضرب القوى ذات الأساس نفسه، من خلال الخاصية المقابلة للقوى التي لدينا 5 2 5 −0.5 5 −1 =5 2−0.5−1 =5 0.5.

الآن دعونا نحول الكسر تحت علامة اللوغاريتم: دعنا ننتقل من الجذر إلى الدرجة، وبعد ذلك سنستخدم خاصية نسبة الدرجات مع نفس القواعد: .

يبقى استبدال النتائج التي تم الحصول عليها في التعبير الأصلي باستخدام الصيغة والانتهاء من التحول:

ب) بما أن 729=3 6 و 1/9=3 −2 , يمكن إعادة كتابة التعبير الأصلي بالشكل .

بعد ذلك، قم بتطبيق خاصية جذر الأس، وانتقل من الجذر إلى الأس، واستخدم خاصية النسبة للقوى لتحويل أساس اللوغاريتم إلى قوة: .

مع الأخذ في الاعتبار النتيجة الأخيرة، لدينا .

إجابة:

أ) ، ب).

من الواضح أنه في الحالة العامة، للحصول على صلاحيات تحت علامة اللوغاريتم وفي قاعدتها، قد تكون هناك حاجة إلى تحويلات مختلفة للتعبيرات المختلفة. دعونا نعطي بضعة أمثلة.

مثال.

ما قيمة التعبير: أ) ، ب) .

حل.

علاوة على ذلك، نلاحظ أن التعبير المحدد له سجل النموذج A B p ، حيث A=2 و B=x+1 و p=4 . لقد قمنا بتحويل التعبيرات الرقمية من هذا النوع وفقًا لخاصية لوغاريتم الدرجة log a b p \u003d p log a b، لذلك، مع تعبير معين، أريد أن أفعل الشيء نفسه، وانتقل من log 2 (x + 1) 4 إلى 4 سجل 2 (س + 1) . والآن دعونا نحسب قيمة التعبير الأصلي والتعبير الذي تم الحصول عليه بعد التحويل، على سبيل المثال، مع x=−2 . لدينا log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 و 4 سجل 2 (−2+1)=4 سجل 2 (−1)- تعبير لا معنى له. وهذا يثير سؤالاً مشروعاً: "ما الخطأ الذي ارتكبناه"؟

والسبب هو كما يلي: قمنا بإجراء سجل التحويل 2 (x+1) 4 =4 log 2 (x+1) بناءً على الصيغة log a b p =p log a b ، ولكن هذه الصيغةلدينا الحق في التقديم فقط وفقًا للشروط a>0 , a≠1 , b>0 , p - أي رقم حقيقي. أي أن التحويل الذي قمنا به يحدث إذا كان x+1>0 ، وهو نفس x>−1 (بالنسبة لـ A و p، تم استيفاء الشروط). ومع ذلك، في حالتنا، ODZ للمتغير x للتعبير الأصلي لا يتكون فقط من الفاصل الزمني x> −1 ، ولكن أيضًا من الفاصل الزمني x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

ضرورة أن تأخذ بعين الاعتبار ODZ

دعونا نستمر في تحليل تحويل التعبير log 2 (x+1) 4 الذي اخترناه، والآن دعونا نرى ما يحدث لـ ODZ عند المرور إلى التعبير 4 log 2 (x+1) . في الفقرة السابقة، وجدنا ODZ للتعبير الأصلي - هذه هي المجموعة (−∞, −1)∪(−1, +∞) . الآن لنجد مساحة القيم المقبولة للمتغير x للتعبير 4 log 2 (x+1) . يتم تحديده بواسطة الشرط x+1>0 الذي يتوافق مع المجموعة (−1, +∞) . من الواضح أنه عند الانتقال من log 2 (x+1) 4 إلى 4·log 2 (x+1)، يضيق نطاق القيم المسموح بها. واتفقنا على تجنب الإصلاحات التي تؤدي إلى تضييق منطقة ODZ، لأن هذا يمكن أن يؤدي إلى عواقب سلبية مختلفة.

هنا تجدر الإشارة إلى أنه من المفيد التحكم في ODZ في كل خطوة من خطوات التحويل وعدم السماح لها بالتضييق. وإذا حدث فجأة في مرحلة ما من التحول تضييق منطقة ODZ، فمن المفيد أن ننظر بعناية شديدة فيما إذا كان هذا التحول مسموحًا به وما إذا كان لدينا الحق في تنفيذه.

من باب الإنصاف، نقول إنه في الممارسة العملية يتعين علينا عادةً العمل مع التعبيرات التي تكون فيها ODZ للمتغيرات بحيث تسمح لنا باستخدام خصائص اللوغاريتمات دون قيود بالشكل المعروف لنا بالفعل، سواء من اليسار إلى اليمين أو من من اليمين إلى اليسار، عند إجراء التحولات. تعتاد على ذلك سريعًا، وتبدأ في تنفيذ التحولات ميكانيكيًا، دون التفكير فيما إذا كان من الممكن تنفيذها. وفي مثل هذه اللحظات، كما لو كان الحظ، تتسلل أمثلة أكثر تعقيدًا، حيث يؤدي التطبيق غير الدقيق لخصائص اللوغاريتمات إلى حدوث أخطاء. لذلك عليك أن تكون دائمًا في حالة تأهب، وتأكد من عدم وجود تضييق في ODZ.

لا يضر تسليط الضوء بشكل منفصل على التحولات الرئيسية بناء على خصائص اللوغاريتمات، والتي يجب تنفيذها بعناية فائقة، والتي يمكن أن تؤدي إلى تضييق DPV، ونتيجة لذلك، إلى الأخطاء:

يمكن أن تؤدي بعض تحويلات التعبيرات وفقًا لخصائص اللوغاريتمات أيضًا إلى العكس - توسيع ODZ. على سبيل المثال، الانتقال من 4 log 2 (x+1) إلى log 2 (x+1) 4 يوسع ODZ من المجموعة (−1, +∞) إلى (−∞, −1)∪(−1, +∞ ) . تحدث مثل هذه التحولات إذا بقيت داخل ODZ للتعبير الأصلي. لذا فإن التحويل المذكور للتو 4 log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 يحدث على متغير ODZ x للتعبير الأصلي 4 log 2 (x+1) ، أي عندما x+1> 0 ، وهو نفس (−1, +∞) .

الآن بعد أن ناقشنا الفروق الدقيقة التي تحتاج إلى الانتباه إليها عند تحويل التعبيرات ذات المتغيرات باستخدام خصائص اللوغاريتمات، يبقى معرفة كيفية إجراء هذه التحويلات بشكل صحيح.

س+2>0 . هل ينجح في حالتنا؟ للإجابة على هذا السؤال، دعونا نلقي نظرة على DPV للمتغير x. يتم تحديده من خلال نظام عدم المساواة ، وهو ما يعادل الشرط x+2>0 (إذا لزم الأمر، راجع المقالة حل أنظمة عدم المساواة). وبالتالي، يمكننا تطبيق خاصية لوغاريتم الدرجة بأمان.

لدينا
3 سجل(x+2) 7 −log(x+2)−5 سجل(x+2) 4 =
=3 7 سجل(x+2)−سجل(x+2)−5 4 سجل(x+2)=
=21 سجل(x+2)−سجل(x+2)−20 سجل(x+2)=
=(21−1−20)lg(x+2)=0 .

يمكنك التصرف بشكل مختلف، حيث أن ODZ يسمح لك بالقيام بذلك، على سبيل المثال مثل هذا:

إجابة:

3 سجل(x+2) 7 −log(x+2)−5 سجل(x+2) 4 =0.

وماذا تفعل عندما لا يتم استيفاء الشروط المرتبطة بخصائص اللوغاريتمات في ODZ؟ سنتعامل مع هذا بالأمثلة.

لنطلب منا تبسيط التعبير lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 . تحويل هذا التعبير، على عكس التعبير من المثال السابق، لا يسمح بالاستخدام الحر لخاصية لوغاريتم الدرجة. لماذا؟ ODZ للمتغير x في هذه الحالة هو اتحاد فترتين x>−2 وx<−2 . При x>−2 يمكننا تطبيق خاصية لوغاريتم الدرجة بأمان والمضي قدمًا كما في المثال أعلاه: سجل(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 سجل(x+2)−2 سجل(x+2)=2 سجل(x+2). لكن ODZ يحتوي على فاصل زمني آخر x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к سجل(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2علاوة على ذلك، نظرًا لخصائص الطاقة الخاصة بـ lg|x+2| 4−lg|x+2| 2. يمكن تحويل التعبير الناتج وفقًا لخاصية لوغاريتم الدرجة، منذ |x+2|>0 لأي قيم للمتغير. لدينا السجل|س+2| 4−lg|x+2| 2 =4 سجل|x+2|−2 سجل|x+2|=2 سجل|x+2|. الآن يمكنك التخلص من الوحدة، لأنها قامت بعملها. بما أننا نتحول عند x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

دعونا نفكر في مثال آخر لجعل العمل مع الوحدات مألوفًا. دعونا نتصور من التعبير تمرير إلى مجموع وفرق لوغاريتمات ذات الحدين الخطية x−1 , x−2 و x−3 . أولاً نجد ODZ:

في الفاصل الزمني (3, +∞) تكون قيم التعبيرات x−1 و x−2 و x−3 موجبة، حتى نتمكن من تطبيق خصائص لوغاريتم المجموع والفرق بأمان:

وعلى الفاصل الزمني (1، 2)، تكون قيم التعبير x−1 موجبة، وقيم التعبيرات x−2 و x−3 سالبة. لذلك، في الفترة قيد النظر، نمثل x−2 وx−3 باستخدام المعامل كـ −|x−2| و -|x−3| على التوالى. حيث

الآن يمكننا تطبيق خصائص لوغاريتم المنتج والحاصل، لأنه في الفترة المدروسة (1، 2) قيم التعبيرات x−1 , |x−2| و |س−3| - إيجابي.

لدينا

يمكن الجمع بين النتائج التي تم الحصول عليها:

بشكل عام، يسمح هذا المنطق، بناءً على صيغ لوغاريتم المنتج والنسبة والدرجة، بالحصول على ثلاث نتائج مفيدة عمليًا ومريحة جدًا للاستخدام:

• يمكن استبدال لوغاريتم منتج تعبيرين عشوائيين X وY من النموذج log a (X·Y) بمجموع اللوغاريتمات log a |X|+log a |Y| , أ>0 , أ≠1 .
• يمكن استبدال سجل اللوغاريتم الخاص a (X:Y) باختلاف اللوغاريتمات a |X|−log a |Y| , a>0 , a≠1 , X و Y هي تعبيرات عشوائية.
• من لوغاريتم بعض التعبيرات B إلى القوة الزوجية p للنموذج log a B p، يمكن للمرء المرور إلى التعبير p log a |B| ، حيث a>0 ، a≠1 ، p هو رقم زوجي و B هو تعبير عشوائي.

تم تقديم نتائج مماثلة، على سبيل المثال، في تعليمات حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية في مجموعة المسائل في الرياضيات للمتقدمين للجامعات، والتي حرره M. I. Skanavi.

مثال.

تبسيط التعبير .

حل.

سيكون من الجيد تطبيق خصائص لوغاريتم الدرجة والمجموع والفرق. ولكن هل يمكننا أن نفعل ذلك هنا؟ للإجابة على هذا السؤال، علينا أن نعرف ODZ.

دعونا نحددها:

من الواضح تمامًا أن التعبيرات x+4 و x−2 و (x+4) 13 في نطاق القيم المحتملة للمتغير x يمكن أن تأخذ قيمًا موجبة وسالبة. لذلك، سيتعين علينا العمل من خلال الوحدات.

تسمح لك خصائص الوحدة النمطية بإعادة الكتابة كـ so

وأيضاً لا شيء يمنعك من استخدام خاصية لوغاريتم الدرجة ثم إحضار مصطلحات متشابهة:

سلسلة أخرى من التحولات تؤدي إلى نفس النتيجة:

وبما أن التعبير x−2 يمكن أن يأخذ قيمًا موجبة وسالبة على ODZ، عند أخذ الأس الزوجي 14

دعنا نبدء ب خصائص لوغاريتم الوحدة. وصياغتها هي كما يلي: لوغاريتم الوحدة يساوي صفراً، أي سجل 1=0لأي a>0 , a≠1 . الدليل واضح ومباشر: بما أن 0 =1 لأي ​​a يفي بالشروط المذكورة أعلاه a>0 و a≠1 ، فإن سجل المساواة المثبت a 1=0 يتبع مباشرة تعريف اللوغاريتم.

دعونا نعطي أمثلة لتطبيق الخاصية المعنية: log 3 1=0 و lg1=0 و .

دعنا ننتقل إلى الخاصية التالية: لوغاريتم رقم يساوي الأساس يساوي واحدًا، إنه، سجل أ = 1لـ a>0 , a≠1 . في الواقع، نظرًا لأن a 1 =a لأي a ، فمن خلال تعريف سجل اللوغاريتم a a=1 .

من أمثلة استخدام خاصية اللوغاريتمات هذه log 5 5=1 و log 5.6 5.6 و lne=1 .

على سبيل المثال، log 2 2 7 =7 و log10 -4 =-4 و .

لوغاريتم منتج رقمين موجبين x و y يساوي منتج لوغاريتمات هذه الأرقام: سجل أ (س ص) = سجل س + سجل ص, أ>0 , أ≠1 . دعونا نثبت خاصية لوغاريتم المنتج. بسبب خصائص الدرجة سجل a x+log a y =a سجل a x a سجل a y، وبما أنه من خلال الهوية اللوغاريتمية الرئيسية سجل a x =x و سجل a y =y ، ثم سجل a x a سجل a y =x y . وبالتالي، سجل a x+log a y =x y ، ومن هنا فإن المساواة المطلوبة تتبع تعريف اللوغاريتم.

دعونا نعرض أمثلة على استخدام خاصية لوغاريتم المنتج: سجل 5 (2 3)=سجل 5 2+سجل 5 3 و .

يمكن تعميم خاصية لوغاريتم المنتج على منتج عدد محدود n من الأرقام الموجبة x 1 , x 2 , …, x n كـ سجل أ (× 1 × 2 ... × ن)= سجل أ × 1 + سجل أ × 2 +…+ سجل أ × ن . ويمكن إثبات هذه المساواة بسهولة.

على سبيل المثال، يمكن استبدال اللوغاريتم الطبيعي لمنتج ما بمجموع ثلاثة لوغاريتمات طبيعية للأرقام 4 و e و .

لوغاريتم حاصل ضرب رقمين موجبين x و y يساوي الفرق بين لوغاريتمات هذه الأرقام. تتوافق خاصية لوغاريتم حاصل القسمة مع صيغة النموذج، حيث a>0 و a≠1 و x و y هي بعض الأرقام الموجبة. يتم إثبات صحة هذه الصيغة مثل صيغة لوغاريتم المنتج: منذ ثم بتعريف اللوغاريتم .

فيما يلي مثال على استخدام خاصية اللوغاريتم: .

دعنا ننتقل إلى خاصية لوغاريتم الدرجة. لوغاريتم الدرجة يساوي حاصل ضرب الأس ولوغاريتم معامل قاعدة هذه الدرجة. نكتب خاصية لوغاريتم الدرجة في شكل صيغة: سجل أ ب p =p سجل أ |ب|، حيث a>0 و a≠1 و b و p هي أرقام بحيث تكون درجة b p منطقية و b p >0 .

نثبت أولاً هذه الخاصية من أجل إيجابية b . تسمح لنا الهوية اللوغاريتمية الأساسية بتمثيل الرقم b كسجل a b ، ثم b p =(a log a b) p ، والتعبير الناتج، بسبب خاصية القوة، يساوي a p log a b . لذلك نأتي إلى المساواة b p =a p log a b ، والتي منها، من خلال تعريف اللوغاريتم، نستنتج أن log a b p =p log a b .

يبقى إثبات هذه الخاصية لسلبية b . نلاحظ هنا أن التعبير log a b p للسالب b منطقي فقط بالنسبة للأسس الزوجية p (نظرًا لأن قيمة الدرجة b p يجب أن تكون أكبر من الصفر، وإلا فلن يكون اللوغاريتم منطقيًا)، وفي هذه الحالة b p =|b| ص. ثم ب ع =|ب| p =(سجل a |b|) p =a p سجل a |b|، ومن هنا سجل a b p =p سجل a |b| .

على سبيل المثال، و ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

يتبع من الخاصية السابقة خاصية اللوغاريتم من الجذر: لوغاريتم جذر الدرجة n يساوي حاصل ضرب الكسر 1/n ولوغاريتم التعبير الجذري، أي، ، حيث a>0 ، a≠1 ، n عدد طبيعي، أكبر من واحد، ب>0 .

والبرهان مبني على المساواة (انظر) التي تصح لأي موجب b، وخاصية لوغاريتم الدرجة: .

فيما يلي مثال لاستخدام هذه الخاصية: .

الآن دعونا نثبت صيغة التحويل إلى الأساس الجديد للوغاريتمعطوف . وللقيام بذلك، يكفي إثبات صحة سجل المساواة c b=log a b log c a . تسمح لنا الهوية اللوغاريتمية الأساسية بتمثيل الرقم b كسجل a b ، ثم log c b=log c a log a b . يبقى استخدام خاصية لوغاريتم الدرجة: سجل ج سجل أ ب = سجل أ ب سجل ج أ. وبالتالي، تم إثبات سجل المساواة c b=log a b log c a، مما يعني أنه تم أيضًا إثبات صيغة الانتقال إلى أساس جديد للوغاريتم.

دعونا نعرض بعض الأمثلة لتطبيق خاصية اللوغاريتمات هذه: و .

تتيح لك صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة الانتقال إلى العمل باستخدام اللوغاريتمات التي لها قاعدة "ملائمة". على سبيل المثال، يمكن استخدامه للتبديل إلى اللوغاريتمات الطبيعية أو العشرية بحيث يمكنك حساب قيمة اللوغاريتم من جدول اللوغاريتمات. تسمح صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدة أيضًا في بعض الحالات بالعثور على قيمة لوغاريتم معين عندما تكون قيم بعض اللوغاريتمات ذات أسس أخرى معروفة.

غالبًا ما تستخدم حالة خاصة من صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدة لـ c=b للنموذج . يوضح هذا أن السجل a b و السجل b a - . على سبيل المثال، .

كثيرا ما تستخدم أيضا الصيغة ، وهو مفيد للعثور على قيم اللوغاريتم. ولتأكيد كلامنا سنبين كيفية حساب قيمة لوغاريتم النموذج به. لدينا . لإثبات الصيغة يكفي استخدام صيغة الانتقال إلى الأساس الجديد للوغاريتم a: .

يبقى إثبات خصائص المقارنة للوغاريتمات.

دعونا نثبت أنه لأي أرقام موجبة ب 1 و ب 2 , ب 1 log a b 2 ، وبالنسبة لـ a>1، سجل عدم المساواة a b 1

أخيرًا، يبقى إثبات آخر خصائص اللوغاريتمات المذكورة. ونقتصر على إثبات الجزء الأول منه، أي أننا نثبت أنه إذا كان a 1 >1 و a 2 >1 و a 1 1 صحيح سجل أ 1 ب>سجل أ 2 ب . تم إثبات العبارات المتبقية لخاصية اللوغاريتمات هذه بمبدأ مماثل.

دعونا نستخدم الطريقة المعاكسة. لنفترض أنه بالنسبة لـ 1 >1 و 2 >1 و 1 1 سجل أ 1 ب ≥ سجل أ 2 ب صحيح. ومن خلال خصائص اللوغاريتمات، يمكن إعادة كتابة هذه المتباينات على النحو التالي: و على التوالي، ومنهم يتبع ذلك سجل ب أ 1 ≥ سجل ب أ 2 و سجل ب أ 1 ≥ سجل ب أ 2، على التوالي. بعد ذلك، من خلال خصائص القوى ذات الأساس نفسه، يجب استيفاء التساويات b log b a 1 ≥b log b a 2 و b log b a 1 ≥b log b a 2، أي a 1 ≥a 2 . وبهذا نكون قد وصلنا إلى تناقض الشرط أ1

فهرس.

• Kolmogorov A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. وغيرها الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 في مؤسسات التعليم العام.
• جوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج. الرياضيات (دليل للمتقدمين إلى المدارس الفنية).

مشتق من تعريفه . وهكذا لوغاريتم الرقم ببسبب أيتم تعريفه على أنه الأس الذي يجب رفع الرقم إليه أللحصول على الرقم ب(اللوغاريتم موجود فقط للأرقام الموجبة).

ويترتب على هذه الصيغة أن الحساب س = سجل ب، يعادل حل المعادلة الفأس=ب.على سبيل المثال، سجل 2 8 = 3لأن 8 = 2 3 . صياغة اللوغاريتم تجعل من الممكن تبرير ذلك إذا ب=أ ج، ثم لوغاريتم الرقم ببسبب أيساوي مع. ومن الواضح أيضًا أن موضوع اللوغاريتم يرتبط ارتباطًا وثيقًا بموضوع قوة الرقم.

باستخدام اللوغاريتمات، كما هو الحال مع أي أرقام، يمكنك القيام بذلك عمليات الجمع والطرحوالتحول بكل الطرق الممكنة. ولكن في ضوء حقيقة أن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا، فإن قواعدها الخاصة تنطبق هنا، والتي تسمى الخصائص الأساسية.

جمع وطرح اللوغاريتمات.

خذ لوغاريتمين لهما نفس الأساس: سجل xو سجل ذ. ثم الحذف ومن الممكن إجراء عمليات الجمع والطرح:

سجل x+ سجل y= سجل a (x y);

سجل س - سجل ص = سجل أ (س: ص).

سجل أ(س 1 . س 2 . س 3 ... س ك) = سجل x 1 + سجل x 2 + سجل x 3 + ... + سجل × ك.

من نظريات اللوغاريتمويمكن الحصول على خاصية أخرى للوغاريتم. ومن المعروف أن السجل أ 1=0، وبالتالي،

سجل أ 1 /ب= سجل أ 1 - السجل أ ب= -سجل أ ب.

إذن هناك مساواة:

سجل أ 1 / ب = - سجل أ ب.

لوغاريتمات رقمين متبادلينعلى نفس الأساس سوف تختلف عن بعضها البعض فقط في التوقيع. لذا:

سجل 3 9= - سجل 3 1 / 9 ; سجل 5 1/125 = - سجل 5 125.

المهام، والحل الذي هو تحويل التعبيرات اللوغاريتمية، غالبًا ما يتم العثور عليها في الامتحان.

من أجل التعامل معها بنجاح بأقل قدر من الوقت، بالإضافة إلى الهويات اللوغاريتمية الأساسية، من الضروري معرفة بعض الصيغ الإضافية واستخدامها بشكل صحيح.

هذا هو: سجل أ ب = ب، حيث أ، ب > 0، أ ≠ 1 (يتبع مباشرة من تعريف اللوغاريتم).

سجل أ ب = سجل ج ب / سجل ج أ أو سجل أ ب = 1/سجل ب أ
حيث أ، ب، ج > 0؛ أ، ج ≠ 1.

سجل أ م ب ن = (م/ن) سجل |أ| |ب|
حيث أ، ب > 0، أ ≠ 1، م، ن Є R، ن ≠ 0.

سجل ج ب = ب سجل ج أ
حيث أ، ب، ج > 0 و أ، ب، ج ≠ 1

ولإظهار صحة المساواة الرابعة، نأخذ لوغاريتم الطرفين الأيمن والأيسر في الأساس أ. نحصل على السجل أ (سجل ج ب) = سجل أ (ب سجل ج أ) أو سجل ج ب = سجل ج أ سجل أ ب؛ سجل ج ب = سجل ج أ (سجل ج ب / سجل ج أ)؛ سجل مع ب = سجل مع ب.

لقد أثبتنا تساوي اللوغاريتمات، وهو ما يعني أن التعبيرات الموجودة تحت اللوغاريتمات متساوية أيضًا. تم إثبات الصيغة 4.

مثال 1

احسب 81 سجل 27 5 سجل 5 4 .

حل.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

سجل 27 5 = 1/3 سجل 3 5، سجل 5 4 = سجل 3 4 / سجل 3 5. لذلك،

سجل 27 5 سجل 5 4 = 1/3 سجل 3 5 (سجل 3 4 / سجل 3 5) = 1/3 سجل 3 4.

ثم 81 سجل 27 5 سجل 5 4 = (3 4) 1/3 سجل 3 4 = (3 سجل 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

يمكنك إكمال المهمة التالية بنفسك.

احسب (8 سجل 2 3 + 3 1 / سجل 2 3) - سجل 0.2 5.

كتلميح، 0.2 = 1/5 = 5 -1؛ سجل 0.2 5 = -1.

الجواب: 5.

مثال 2

احسب (√11) سجل √3 9 سجل 121 81 .

حل.

لنستبدل التعبيرات التالية: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 11 2 , 81 = 3 4 , سجل 121 81 = 2 سجل 11 3 (تم استخدام الصيغة 3).

ثم (√11) سجل √3 9- سجل 121 81 = (11 1/2) 4-2 سجل 11 3 = (11) 2- سجل 11 3 = 11 2 / (11) سجل 11 3 = 11 2 / ( 11 سجل 11 3) = 121/3.

مثال 3

احسب السجل 2 24 / السجل 96 2 - السجل 2 192 / السجل 12 2.

حل.

سوف نستبدل اللوغاريتمات الموجودة في المثال باللوغاريتمات ذات الأساس 2.

سجل 96 2 = 1/سجل 2 96 = 1/سجل 2 (2 5 3) = 1/(سجل 2 2 5 + سجل 2 3) = 1/(5 + سجل 2 3);

سجل 2 192 = سجل 2 (2 6 3) = (سجل 2 2 6 + سجل 2 3) = (6 + سجل 2 3);

سجل 2 24 = سجل 2 (2 3 3) = (سجل 2 2 3 + سجل 2 3) = (3 + سجل 2 3);

سجل 12 2 = 1/سجل 2 12 = 1/سجل 2 (2 2 3) = 1/(سجل 2 2 2 + سجل 2 3) = 1/(2 + سجل 2 3).

ثم سجل 2 24 / سجل 96 2 – سجل 2 192 / سجل 12 2 = (3 + سجل 2 3) / (1/(5 + سجل 2 3)) – ((6 + سجل 2 3) / (1/( 2 + سجل 2 3)) =

= (3 + سجل 2 3) (5 + سجل 2 3) – (6 + سجل 2 3)(2 + سجل 2 3).

بعد فتح الأقواس وتقليل المصطلحات المتشابهة، نحصل على الرقم 3. (عند تبسيط التعبير، يمكن الإشارة إلى log 2 3 بواسطة n وتبسيط التعبير

(3 + ن) (5 + ن) – (6 + ن)(2 + ن)).

الجواب: 3.

يمكنك القيام بما يلي بنفسك:

احسب (سجل 3 4 + سجل 4 3 + 2) سجل 3 16 سجل 2 144 3.

من الضروري هنا الانتقال إلى اللوغاريتمات في الأساس 3 والتحلل إلى عوامل أولية لأعداد كبيرة.

الجواب: 1/2

مثال 4

يتم إعطاء ثلاثة أرقام A \u003d 1 / (سجل 3 0.5)، B \u003d 1 / (سجل 0.5 3)، C \u003d سجل 0.5 12 - سجل 0.5 3. رتبهم بترتيب تصاعدي.

حل.

دعونا نحول الأرقام A \u003d 1 / (سجل 3 0.5) \u003d سجل 0.5 3؛ C \u003d سجل 0.5 12 - سجل 0.5 3 \u003d سجل 0.5 12/3 \u003d سجل 0.5 4 \u003d -2.

دعونا مقارنتها

سجل 0.5 3 > سجل 0.5 4 = -2 و سجل 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

أو 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

إجابة. ولذلك ترتيب وضع الأرقام: C؛ أ؛ في.

مثال 5

كم عدد الأعداد الصحيحة الموجودة في الفاصل الزمني (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

حل.

دعونا نحدد بين قوى الرقم 3 هو الرقم 1/16. نحصل على 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

بما أن الدالة y \u003d log 3 x آخذة في الازدياد، فإن log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

سجل 6 48 = سجل 6 (36 4 / 3) = سجل 6 36 + سجل 6 (4 / 3) = 2 + سجل 6 (4 / 3). قارن السجل 6 (4 / 3) و 1 / 5 . ولهذا نقارن بين الرقمين 4/3 و 6 1/5. ارفع كلا الرقمين إلى القوة الخامسة. نحصل على (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

سجل 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

لذلك، فإن الفاصل الزمني (log 3 1 / 16 ; log 6 48) يتضمن الفاصل الزمني [-2; 4] ويتم وضع الأعداد الصحيحة -2 عليه؛ -1؛ 0; 1؛ 2؛ 3؛ 4.

الجواب: 7 أعداد صحيحة.

مثال 6

احسب 3 lgg 2/ lg 3 - lg20.

حل.

3 ال جي 2/ ال جي 3 = (3 1/ ال جي 3) ال جي 2 = (3 لو جي 3 10) ال جي 2 = 10 ال جي 2 = ال جي 2.

ثم 3 lg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0.1 = -1.

الجواب: -1.

مثال 7

من المعروف أن log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. أوجد log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2).

حل.

الأرقام (√3 + 1) و (√3 - 1)؛ (√6 - 2) و (√6 + 2) مترافقان.

دعونا ننفذ التحويل التالي للتعبيرات

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2).

ثم سجل 2 (√3 – 1) + سجل 2 (√6 + 2) = سجل 2 (2/(√3 + 1)) + سجل 2 (2/(√6 – 2)) =

سجل 2 2 – سجل 2 (√3 + 1) + سجل 2 2 – سجل 2 (√6 – 2) = 1 – سجل 2 (√3 + 1) + 1 – سجل 2 (√6 – 2) =

2 - سجل 2 (√3 + 1) - سجل 2 (√6 - 2) = 2 - أ.

الجواب: 2- أ.

مثال 8.

بسّط وأوجد القيمة التقريبية للتعبير (سجل 3 2 سجل 4 3 سجل 5 4 سجل 6 5 ... سجل 10 9.

حل.

نقوم بتبسيط جميع اللوغاريتمات إلى أساس مشترك قدره 10.

(سجل 3 2 سجل 4 3 سجل 5 4 سجل 6 5 … سجل 10 9 = (سجل 2 / سجل 3) (سجل 3 / سجل 4) (سجل 4 / سجل 5) (سجل 5 / إل جي 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0.3010 (يمكن العثور على القيمة التقريبية لـ lg 2 باستخدام جدول أو قاعدة شريحة أو آلة حاسبة).

الجواب: 0.3010.

مثال 9.

احسب السجل a 2 b 3 √(a 11 b -3) إذا كان السجل √ a b 3 = 1. (في هذا المثال، a 2 b 3 هو أساس اللوغاريتم).

حل.

إذا كان log √ a b 3 = 1، فإن 3/(0.5 log a b = 1. وlog a b = 1/6.

ثم سجل أ 2 ب 3√(أ 11 ب -3) = 1/2 سجل أ 2 ب 3 (أ 11 ب -3) = سجل أ (أ 11 ب -3) / (2 سجل أ (أ 2 ب 3) ) = (log a 11 + log a b -3) / (2(log a 2 + log a b 3)) = (11 - 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) ذلك السجل وb = 1/6 نحصل على (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10.5/5 = 2.1.

الجواب: 2.1.

يمكنك القيام بما يلي بنفسك:

احسب السجل √3 6 √2.1 إذا كان السجل 0.7 27 = أ.

الجواب: (3 + أ) / (3 أ).

مثال 10

احسب 6.5 4/ سجل 3 169 3 1/ سجل 4 13 + سجل 125.

حل.

6.5 4/ سجل 3 169 3 1/ سجل 4 13 + سجل 125 = (13/2) 4/2 سجل 3 13 3 2/ سجل 2 13 + 2 سجل 5 5 3 = (13/2) 2 سجل 13 3 3 2 سجل 13 2 + 6 = (13 سجل 13 3 / 2 سجل 13 3) 2 (3 سجل 13 2) 2 + 6 = (3/2 سجل 13 3) 2 (3 سجل 13 2) 2 + 6 = (3 2) /(2 سجل 13 3) 2) (2 سجل 13 3) 2 + 6.

(2 سجل 13 3 = 3 سجل 13 2 (الصيغة 4))

نحصل على 9 + 6 = 15.

الجواب: 15.

هل لديك اسئلة؟ لست متأكدًا من كيفية العثور على قيمة التعبير اللوغاريتمي؟
للحصول على مساعدة من المعلم -.
الدرس الأول مجاني!

blog.site، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة، يلزم وجود رابط للمصدر.