كيفية حل المعادلات ذات اللوغاريتمات الطبيعية. المعادلات اللوغاريتمية

اليوم سوف نتعلم كيفية حل أبسط المعادلات اللوغاريتمية، حيث لا يلزم إجراء تحويلات أولية واختيار الجذر. ولكن إذا تعلمت حل هذه المعادلات، فسيكون الأمر أسهل بكثير.

أبسط معادلة لوغاريتمية هي معادلة على شكل سجل a f (x) = b، حيث a، b أرقام (a > 0، a ≠ 1)، f (x) هي دالة معينة.

السمة المميزة لجميع المعادلات اللوغاريتمية هي وجود المتغير x تحت علامة اللوغاريتم. إذا كانت هذه هي المعادلة المعطاة في البداية في المشكلة، فإنها تسمى الأبسط. يتم اختزال أي معادلات لوغاريتمية أخرى إلى أبسطها عن طريق تحويلات خاصة (انظر "الخصائص الأساسية للوغاريتمات"). ومع ذلك، يجب أن تؤخذ العديد من التفاصيل الدقيقة في الاعتبار: قد تنشأ جذور إضافية، لذلك سيتم النظر في المعادلات اللوغاريتمية المعقدة بشكل منفصل.

كيفية حل مثل هذه المعادلات؟ يكفي استبدال الرقم الموجود على يمين علامة المساواة بلوغاريتم في نفس الأساس الموجود على اليسار. ثم يمكنك التخلص من علامة اللوغاريتم. نحن نحصل:

سجل أ و (س) = ب ⇒ سجل أ و (س) = سجل أ أ ب ⇒ و (س) = أ ب

لقد حصلنا على المعادلة المعتادة. جذورها هي جذور المعادلة الأصلية.

اخراج الدرجات

في كثير من الأحيان، يتم حل المعادلات اللوغاريتمية، التي تبدو ظاهريًا معقدة وخطيرة، في سطرين فقط دون استخدام صيغ معقدة. سننظر اليوم في مثل هذه المشكلات، حيث كل ما هو مطلوب منك هو تقليل الصيغة بعناية إلى النموذج القانوني وعدم الخلط عند البحث عن مجال تعريف اللوغاريتمات.

اليوم، كما خمنت على الأرجح من العنوان، سنحل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام صيغ للانتقال إلى النموذج القانوني. "الحيلة" الرئيسية لدرس الفيديو هذا هي العمل بالدرجات، أو بالأحرى، استنتاج الدرجة من الأساس والحجة. دعونا ننظر إلى القاعدة:

وبالمثل، يمكنك استخلاص الدرجة من القاعدة:

كما نرى، عند إزالة الدرجة من وسيطة اللوغاريتم، يكون لدينا ببساطة مضاعف إضافيفي المقدمة، ثم عند إزالة الدرجة من القاعدة - ليس مجرد مضاعف، ولكن مضاعف مقلوب. هذا يحتاج إلى أن نتذكر.

وأخيرا، الشيء الأكثر إثارة للاهتمام. ويمكن دمج هذه الصيغ فنحصل على:

وبطبيعة الحال، عند إجراء هذه التحولات، هناك بعض المزالق المرتبطة بالتوسيع المحتمل لنطاق التعريف أو، على العكس من ذلك، تضييق نطاق التعريف. أحكم لنفسك:

سجل 3 × 2 = 2 ∙ سجل 3 ×

إذا كان x في الحالة الأولى يمكن أن يكون أي رقم غير 0، أي المتطلب x ≠ 0، ففي الحالة الثانية نكون راضين عن x فقط، والتي ليست فقط غير متساوية، ولكنها أكبر تمامًا من 0، لأن مجال تعريف اللوغاريتم هو أن الحجة تكون أكبر من 0. لذلك، سأذكرك بصيغة رائعة من دورة الجبر للصف الثامن إلى التاسع:

أي أننا يجب أن نكتب صيغتنا على النحو التالي:

سجل 3 × 2 = 2 ∙ سجل 3 |س |

عندها لن يحدث أي تضييق لنطاق التعريف.

ومع ذلك، في الفيديو التعليمي اليوم لن تكون هناك مربعات. إذا نظرت إلى مهامنا، فلن ترى سوى الجذور. لذلك، لن نطبق هذه القاعدة، ولكن لا يزال عليك أن تضعها في الاعتبار حتى تتمكن في اللحظة المناسبة، عندما ترى وظيفة من الدرجة الثانيةفي وسيطة أو قاعدة اللوغاريتم، سوف تتذكر هذه القاعدة وتنفذ جميع التحويلات بشكل صحيح.

إذن المعادلة الأولى هي:

لحل هذه المشكلة، أقترح أن ننظر بعناية في كل من المصطلحات الموجودة في الصيغة.

دعونا نعيد كتابة الحد الأول كقوة ذات أس عقلاني:

نحن ننظر إلى الحد الثاني: سجل 3 (1 - س). ليست هناك حاجة لفعل أي شيء هنا، كل شيء قد تحول هنا بالفعل.

أخيرًا، 0، 5. كما قلت في الدروس السابقة، عند حل المعادلات والصيغ اللوغاريتمية، أوصي بشدة بالانتقال من الكسور العشرية إلى الكسور العادية. هيا بنا نقوم بذلك:

0,5 = 5/10 = 1/2

دعونا نعيد كتابة صيغتنا الأصلية مع الأخذ بعين الاعتبار المصطلحات الناتجة:

سجل 3 (1 − س ) = 1

الآن دعنا ننتقل إلى النموذج القانوني:

سجل 3 (1 − x ) = سجل 3 3

نتخلص من علامة اللوغاريتم عن طريق مساواة الوسيطات:

1 - س = 3

-س = 2

س = −2

هذا كل شيء، لقد حللنا المعادلة. ومع ذلك، دعونا نواصل اللعب بأمان ونبحث عن مجال التعريف. للقيام بذلك، دعونا نعود إلى الصيغة الأصلية ونرى:

1 - س > 0

−س > −1

س< 1

جذرنا x = −2 يفي بهذا المطلب، لذلك x = −2 هو حل للمعادلة الأصلية. الآن حصلنا على تبرير صارم وواضح. هذا كل شيء، تم حل المشكلة.

لننتقل إلى المهمة الثانية:

دعونا ننظر إلى كل مصطلح على حدة.

لنكتب أول واحد:

لقد حولنا الفصل الأول. نحن نعمل مع الفصل الثاني:

وأخيراً الحد الأخير الذي على يمين علامة التساوي:

نستبدل التعبيرات الناتجة بدلاً من المصطلحات في الصيغة الناتجة:

سجل 3 × = 1

دعنا ننتقل إلى النموذج القانوني:

سجل 3 س = سجل 3 3

نتخلص من علامة اللوغاريتم، ومساواة الحجج، ونحصل على:

س = 3

مرة أخرى، لكي نكون على الجانب الآمن، دعونا نعود إلى المعادلة الأصلية ونلقي نظرة. في الصيغة الأصلية، المتغير x موجود فقط في الوسيطة، لذلك،

س> 0

في اللوغاريتم الثاني، x يقع تحت الجذر، ولكن مرة أخرى في الوسيطة، يجب أن يكون الجذر أكبر من 0، أي أن التعبير الجذري يجب أن يكون أكبر من 0. نحن ننظر إلى جذرنا x = 3. من الواضح أنه يفي بهذا المطلب. وبالتالي فإن x = 3 هو حل للمعادلة اللوغاريتمية الأصلية. هذا كل شيء، تم حل المشكلة.

هناك نقطتان رئيسيتان في الفيديو التعليمي اليوم:

1) لا تخف من تحويل اللوغاريتمات، وعلى وجه الخصوص، لا تخف من إزالة القوى من علامة اللوغاريتم، مع تذكر صيغتنا الأساسية: عند إزالة القوة من الوسيطة، يتم إخراجها ببساطة دون تغييرات كمضاعف، وعند إزالة قوة من القاعدة، يتم عكس هذه القوة.

2) النقطة الثانية تتعلق بالشكل القانوني نفسه. لقد قمنا بالانتقال إلى الشكل القانوني في نهاية تحويل صيغة المعادلة اللوغاريتمية. دعني أذكرك بالصيغة التالية:

أ = سجل ب ب أ

وبالطبع أقصد بتعبير "أي رقم ب" تلك الأرقام التي تلبي المتطلبات المفروضة على قاعدة اللوغاريتم، أي.

1 ≠ ب > 0

لمثل هذا ب، وبما أننا نعرف الأساس بالفعل، فسيتم استيفاء هذا المطلب تلقائيًا. ولكن لمثل هذا ب - أي الذي يلبي هذا المطلب - يمكن إجراء هذا الانتقال، وسنحصل على شكل قانوني يمكننا من خلاله التخلص من علامة اللوغاريتم.

توسيع مجال التعريف والجذور الإضافية

في عملية تحويل المعادلات اللوغاريتمية، قد يحدث توسع ضمني في مجال التعريف. في كثير من الأحيان لا يلاحظ الطلاب ذلك، مما يؤدي إلى ارتكاب أخطاء وإجابات غير صحيحة.

لنبدأ بأبسط التصاميم. أبسط معادلة لوغاريتمية هي كما يلي:

سجل و (س) = ب

لاحظ أن x موجود في وسيطة واحدة فقط لوغاريتم واحد. كيف نحل مثل هذه المعادلات؟ نحن نستخدم النموذج الكنسي. للقيام بذلك، تخيل الرقم ب = سجل أ أ ب، وسيتم إعادة كتابة معادلتنا على النحو التالي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

هذا الإدخال يسمى النموذج القانوني. ولهذا يجب عليك تقليل أي معادلة لوغاريتمية ستواجهها ليس فقط في درس اليوم، ولكن أيضًا في أي عمل مستقل واختباري.

إن كيفية الوصول إلى الشكل القانوني والتقنيات التي يجب استخدامها هي مسألة ممارسة. الشيء الرئيسي الذي يجب فهمه هو أنه بمجرد تلقي مثل هذا السجل، يمكنك اعتبار أن المشكلة قد تم حلها. لأن الخطوة التالية هي الكتابة:

و (خ) = أ ب

بمعنى آخر، نتخلص من علامة اللوغاريتم ونساوي الحجج ببساطة.

لماذا كل هذا الكلام؟ والحقيقة هي أن النموذج الكنسي لا ينطبق فقط على أبسط المشاكل، ولكن أيضا على أي مشاكل أخرى. على وجه الخصوص، تلك التي سنقررها اليوم. دعونا نلقي نظرة.

المهمة الأولى:

ما هي المشكلة في هذه المعادلة؟ الحقيقة هي أن الدالة موجودة في لوغاريتمين في وقت واحد. يمكن اختصار المشكلة إلى أبسطها عن طريق طرح لوغاريتم واحد من الآخر. ولكن تنشأ مشاكل في منطقة التعريف: قد تظهر جذور إضافية. لذلك دعونا نحرك أحد اللوغاريتمات إلى اليمين:

هذا الإدخال يشبه إلى حد كبير النموذج الأساسي. ولكن هناك فارق بسيط آخر: في الشكل القانوني، يجب أن تكون الحجج هي نفسها. وعلى اليسار لدينا اللوغاريتم في الأساس 3، وعلى اليمين في الأساس 1/3. وهو يعلم أن هذه القواعد تحتاج إلى رفعها إلى نفس العدد. على سبيل المثال، دعونا نتذكر ما هي القوى السلبية:

وبعد ذلك سنستخدم الأس "−1" خارج السجل كمضاعف:

يرجى ملاحظة: الدرجة التي كانت عند القاعدة تنقلب وتتحول إلى كسر. لقد حصلنا على تدوين قانوني تقريبًا من خلال التخلص من القواعد المختلفة، ولكن في المقابل حصلنا على العامل "-1" على اليمين. دعونا نحلل هذا العامل في الوسيطة بتحويله إلى قوة:

بالطبع، بعد أن تلقينا النموذج الكنسي، فإننا نعبر بجرأة علامة اللوغاريتم ونساوي الحجج. في الوقت نفسه، اسمحوا لي أن أذكرك أنه عند رفعه إلى القوة "−1"، يتم قلب الكسر ببساطة - يتم الحصول على نسبة.

دعونا نستخدم خاصية التناسب الأساسية ونضربها بالعرض:

(س − 4) (2س − 1) = (س − 5) (3س − 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

س 2 − 10س + 16 = 0

ما أمامنا هو معادلة من الدرجة الثانيةلذلك قمنا بحلها باستخدام صيغ فييتا:

(س − 8)(س − 2) = 0

س 1 = 8؛ × 2 = 2

هذا كل شئ. هل تعتقد أن المعادلة قد تم حلها؟ لا! لمثل هذا الحل سوف نحصل على 0 نقطة، لأن المعادلة الأصلية تحتوي على لوغاريتمين مع المتغير x. ولذلك، فمن الضروري أن تأخذ في الاعتبار مجال التعريف.

وهذا هو المكان الذي تبدأ فيه المتعة. معظم الطلاب في حيرة من أمرهم: ما هو مجال تعريف اللوغاريتم؟ بالطبع، جميع الوسيطات (لدينا اثنتين) يجب أن تكون أكبر من الصفر:

(س − 4)/(3س − 4) > 0

(س − 5)/(2س − 1) > 0

يجب حل كل من هذه المتباينات، ووضع علامة عليها على خط مستقيم، وتقاطعها، وعندها فقط معرفة الجذور التي تقع عند التقاطع.

سأكون صادقًا: هذه التقنية لها الحق في الوجود، وهي موثوقة، وستحصل على الإجابة الصحيحة، ولكن هناك الكثير من الخطوات غير الضرورية فيها. لذلك دعونا نراجع الحل مرة أخرى ونرى: أين نحتاج بالضبط إلى تطبيق النطاق؟ بمعنى آخر، عليك أن تفهم بوضوح متى تظهر الجذور الإضافية بالضبط.

1. في البداية كان لدينا لوغاريتمين. ثم قمنا بنقل إحداها إلى اليمين، لكن ذلك لم يؤثر على منطقة التعريف.
2. ثم نقوم بإزالة القوة من القاعدة، ولكن لا يزال هناك لوغاريتمين، وفي كل منهما يوجد متغير x.
3. أخيرًا، نقوم بشطب علامات اللوغاريتم ونحصل على المعادلة المنطقية الكسرية الكلاسيكية.

وفي الخطوة الأخيرة يتم توسيع نطاق التعريف! وبمجرد انتقالنا إلى معادلة كسرية عقلانية، والتخلص من العلامات اللوغاريتمية، تغيرت متطلبات المتغير x بشكل كبير!

وبالتالي، لا يمكن اعتبار مجال التعريف في بداية الحل، ولكن فقط في الخطوة المذكورة - قبل مساواة الحجج مباشرة.

وهنا تكمن فرصة التحسين. من ناحية، مطلوب منا أن تكون كلتا الوسيطتين أكبر من الصفر. ومن ناحية أخرى، فإننا نساوي هذه الحجج أيضًا. لذلك، إذا كان واحد منهم على الأقل إيجابيا، فإن الثاني سيكون إيجابيا أيضا!

لذا فقد تبين أن اشتراط تحقيق متباينتين في وقت واحد هو أمر مبالغ فيه. يكفي النظر في واحد فقط من هذه الكسور. أيها؟ الذي هو أبسط. على سبيل المثال، دعونا ننظر إلى الكسر الأيمن:

(س − 5)/(2س − 1) > 0

هذه متباينة كسرية نموذجية، ونحلها باستخدام طريقة الفاصل:

كيفية وضع العلامات؟ لنأخذ رقمًا من الواضح أنه أكبر من جميع جذورنا. على سبيل المثال، 1 مليار ونعوض بكسرها. نحصل على رقم موجب، أي. على يمين الجذر x = 5 ستكون هناك علامة زائد.

ثم تتناوب العلامات، لأنه لا توجد جذور للتعدد في أي مكان. نحن مهتمون بالفترات التي تكون فيها الدالة موجبة. وبالتالي، x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

الآن دعونا نتذكر الإجابات: x = 8 و x = 2. بالمعنى الدقيق للكلمة، هذه ليست إجابات بعد، ولكنها فقط مرشحة للإجابة. أي واحد ينتمي إلى المجموعة المحددة؟ بالطبع x = 8. لكن x = 2 لا تناسبنا من حيث مجال تعريفها.

في المجمل، ستكون إجابة المعادلة اللوغاريتمية الأولى هي x = 8. الآن لدينا حل كفء وقوي، مع الأخذ في الاعتبار مجال التعريف.

لننتقل إلى المعادلة الثانية:

سجل 5 (س − 9) = سجل 0.5 4 − سجل 5 (س − 5) + 3

اسمحوا لي أن أذكرك أنه إذا كان هناك كسر عشري في المعادلة، فعليك التخلص منه. بمعنى آخر، دعونا نعيد كتابة 0.5 في صورة كسر عادي. نلاحظ على الفور أن اللوغاريتم الذي يحتوي على هذا الأساس يمكن حسابه بسهولة:

هذه لحظة مهمة جدا! عندما يكون لدينا درجات في كل من القاعدة والوسيطة، يمكننا استخلاص مؤشرات هذه الدرجات باستخدام الصيغة:

دعنا نعود إلى المعادلة اللوغاريتمية الأصلية ونعيد كتابتها:

سجل 5 (س − 9) = 1 - سجل 5 (س − 5)

لقد حصلنا على تصميم قريب جدًا من الشكل الأساسي. ومع ذلك، نحن في حيرة من أمرنا بشأن المصطلحات وعلامة الطرح الموجودة على يمين علامة المساواة. دعونا نمثل واحد باعتباره لوغاريتم للأساس 5:

سجل 5 (س − 9) = سجل 5 5 1 − سجل 5 (س − 5)

اطرح اللوغاريتمات الموجودة على اليمين (في هذه الحالة يتم تقسيم حججها):

سجل 5 (س − 9) = سجل 5 5/(س − 5)

رائع. لذلك حصلنا على الشكل القانوني! نقوم بشطب علامات السجل ومساواة الحجج:

(س − 9)/1 = 5/(س − 5)

هذه نسبة يمكن حلها بسهولة عن طريق الضرب بالعرض:

(س − 9)(x − 5) = 5 1

س 2 − 9س − 5س + 45 = 5

س 2 − 14س + 40 = 0

من الواضح أن لدينا معادلة تربيعية مخفضة. يمكن حلها بسهولة باستخدام صيغ فييتا:

(س − 10)(س − 4) = 0

× 1 = 10

× 2 = 4

لقد حصلنا على جذرين. لكن هذه ليست إجابات نهائية، بل مجرد إجابات مرشحة، لأن المعادلة اللوغاريتمية تتطلب أيضًا التحقق من مجال التعريف.

أذكرك: ليست هناك حاجة للبحث متى كلمن الحجج ستكون أكبر من الصفر. يكفي أن نشترط أن تكون الوسيطة الواحدة — إما x − 9 أو 5/(x − 5) — أكبر من الصفر. النظر في الحجة الأولى:

س − 9 > 0

س > 9

ومن الواضح أن x = 10 فقط هو الذي يفي بهذا الشرط، وهذه هي الإجابة النهائية. تم حل المشكلة برمتها.

مرة أخرى، الأفكار الرئيسية لدرس اليوم:

1. بمجرد ظهور المتغير x في عدة لوغاريتمات، تتوقف المعادلة عن أن تكون أولية، وسيتعين حساب مجال تعريفها. بخلاف ذلك، يمكنك بسهولة كتابة جذور إضافية في الإجابة.
2. يمكن تبسيط العمل مع المجال نفسه بشكل كبير إذا لم نكتب عدم المساواة على الفور، ولكن بالضبط في الوقت الحالي عندما نتخلص من علامات السجل. بعد كل شيء، عندما تتساوى الحجج مع بعضها البعض، يكفي أن نشترط أن تكون واحدة منها فقط أكبر من الصفر.

بالطبع، نحن أنفسنا نختار الحجة التي سنستخدمها لتكوين المتباينة، لذا فمن المنطقي أن نختار أبسطها. على سبيل المثال، في المعادلة الثانية اخترنا الوسيطة (x − 9)، وهي دالة خطية، بدلاً من الوسيطة الثانية الكسرية. أوافق على أن حل المتراجحة x − 9 > 0 أسهل بكثير من 5/(x − 5) > 0. على الرغم من أن النتيجة واحدة.

تعمل هذه الملاحظة على تبسيط البحث عن ODZ إلى حد كبير، ولكن كن حذرًا: يمكنك استخدام متباينة واحدة بدلاً من متباينتين فقط إذا كانت الوسيطات دقيقة متساوون مع بعضهم البعض!

وبطبيعة الحال، سوف يتساءل شخص ما الآن: ما الذي يحدث بشكل مختلف؟ نعم احيانا. على سبيل المثال، في الخطوة نفسها، عندما نضرب وسيطتين تحتويان على متغير، يكون هناك خطر ظهور جذور غير ضرورية.

احكم بنفسك: أولاً يشترط أن تكون كل وسيطة أكبر من الصفر، ولكن بعد الضرب يكفي أن يكون حاصل ضربها أكبر من الصفر. ونتيجة لذلك، يتم تفويت الحالة التي يكون فيها كل من هذه الكسور سالبة.

لذلك، إذا كنت قد بدأت للتو في فهم المعادلات اللوغاريتمية المعقدة، فلا تضاعف تحت أي ظرف من الظروف اللوغاريتمات التي تحتوي على المتغير x - وهذا سيؤدي في كثير من الأحيان إلى ظهور جذور غير ضرورية. من الأفضل اتخاذ خطوة إضافية، ونقل مصطلح واحد إلى الجانب الآخر وإنشاء نموذج أساسي.

حسنًا، ما يجب فعله إذا لم تتمكن من القيام به دون ضرب هذه اللوغاريتمات، سنناقشه في درس الفيديو التالي. :)

مرة أخرى عن القوى في المعادلة

سنتناول اليوم موضوعًا زلقًا نوعًا ما يتعلق بالمعادلات اللوغاريتمية، أو بشكل أدق، إزالة القوى من حجج وأسس اللوغاريتمات.

أود أن أقول حتى سنتحدثحول إزالة القوى الزوجية، لأنه مع القوى الزوجية تنشأ معظم الصعوبات عند حل المعادلات اللوغاريتمية الحقيقية.

لنبدأ بالشكل القانوني. لنفترض أن لدينا معادلة بالصيغة log a f (x) = b. في هذه الحالة، نعيد كتابة الرقم b باستخدام الصيغة b = log a a b . اتضح ما يلي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

ثم نقوم بمساواة الحجج:

و (خ) = أ ب

تسمى الصيغة قبل الأخيرة بالشكل القانوني. ولهذا يحاولون اختزال أي معادلة لوغاريتمية، مهما بدت معقدة ومخيفة للوهلة الأولى.

لذلك دعونا نحاول ذلك. لنبدأ بالمهمة الأولى:

ملاحظة أولية: كما قلت، كل شيء الكسور العشريةفي المعادلة اللوغاريتمية من الأفضل تحويلها إلى معادلة عادية:

0,5 = 5/10 = 1/2

دعونا نعيد كتابة المعادلة مع أخذ هذه الحقيقة في الاعتبار. لاحظ أن كلا من 1/1000 و100 هما من قوى العدد عشرة، ثم دعونا نحذف القوى أينما كانت: من الحجج وحتى من قاعدة اللوغاريتمات:

وهنا لدى العديد من الطلاب سؤال: "من أين أتت الوحدة الموجودة على اليمين؟" في الواقع، لماذا لا نكتب ببساطة (x − 1)؟ بالطبع سنكتب الآن (x − 1)، لكن مع مراعاة مجال التعريف يمنحنا الحق في مثل هذا التدوين. ففي النهاية، هناك لوغاريتم آخر يحتوي بالفعل على (x − 1)، ويجب أن يكون هذا التعبير أكبر من الصفر.

لكن عندما نزيل المربع من قاعدة اللوغاريتم، يجب أن نترك الوحدة تمامًا عند القاعدة. اسمحوا لي أن أشرح لماذا.

والحقيقة هي أنه من وجهة نظر رياضية، فإن الحصول على درجة هو بمثابة أخذ الجذر. على وجه الخصوص، عندما نقوم بتربيع التعبير (x − 1) 2، فإننا نأخذ الجذر الثاني. لكن الجذر التربيعي ليس أكثر من مجرد معامل. بالضبط وحدةلأنه حتى لو كان التعبير x - 1 سالبًا، فعند التربيع، سيظل "الطرح" محترقًا. المزيد من استخراج الجذر سيعطينا رقمًا موجبًا - دون أي سلبيات.

بشكل عام، لتجنب ارتكاب الأخطاء الهجومية، تذكر مرة واحدة وإلى الأبد:

جذر القوة الزوجية لأي دالة مرفوعة إلى نفس القوة لا يساوي الدالة نفسها، بل يساوي معاملها:

لنعد إلى معادلتنا اللوغاريتمية. في معرض حديثه عن الوحدة، قلت أنه يمكننا إزالتها دون ألم. هذا صحيح. الآن سأشرح السبب. بالمعنى الدقيق للكلمة، كان علينا أن ننظر في خيارين:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = س - 1
2. س - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

وسيتعين معالجة كل خيار من هذه الخيارات. لكن هناك مشكلة واحدة: الصيغة الأصلية تحتوي بالفعل على الدالة (x − 1) بدون أي معامل. وباتباع مجال تعريف اللوغاريتمات، لدينا الحق في كتابة ذلك x − 1 > 0 على الفور.

يجب تلبية هذا المطلب بغض النظر عن أي وحدات أو تحويلات أخرى نقوم بها في عملية الحل. لذلك، لا معنى للنظر في الخيار الثاني - فلن ينشأ أبدا. حتى لو حصلنا على بعض الأرقام عند حل هذا الفرع من المتباينة، فلن يتم تضمينها في الإجابة النهائية.

نحن الآن على بعد خطوة واحدة من الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية. لنمثل الوحدة على النحو التالي:

1 = السجل س − 1 (س − 1) 1

بالإضافة إلى ذلك، نقوم بإدخال العامل −4، الموجود على اليمين، في الوسيطة:

سجل x − 1 10 −4 = سجل x − 1 (x − 1)

أمامنا الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية. نتخلص من علامة اللوغاريتم:

10 −4 = س − 1

ولكن بما أن الأساس كان دالة (وليس عددًا أوليًا)، فإننا نطلب بالإضافة إلى ذلك أن تكون هذه الدالة أكبر من الصفر ولا تساوي واحدًا. النظام الناتج سيكون:

بما أن المتطلب x − 1 > 0 قد تم استيفاؤه تلقائيًا (في النهاية x − 1 = 10 −4)، يمكن حذف إحدى المتباينات من نظامنا. يمكن أيضًا شطب الشرط الثاني، لأن x − 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

س = 1 + 0.0001 = 1.0001

هذا هو الجذر الوحيد الذي يلبي تلقائيًا جميع متطلبات مجال تعريف اللوغاريتم (ومع ذلك، تم إلغاء جميع المتطلبات كما هو واضح في ظروف مشكلتنا).

إذن المعادلة الثانية:

3 سجل 3 × س = 2 سجل 9 × × 2

كيف تختلف هذه المعادلة جوهريا عن المعادلة السابقة؟ فقط لأن أسس اللوغاريتمات - 3x و 9x - ليست قوى طبيعية لبعضها البعض. ولذلك، فإن الانتقال الذي استخدمناه في الحل السابق غير ممكن.

دعونا على الأقل نتخلص من الدرجات العلمية. وفي حالتنا الدرجة الوحيدة هي في الحجة الثانية:

3 سجل 3 x x = 2 ∙ 2 سجل 9 x |x |

ومع ذلك، يمكن إزالة علامة المعامل، لأن المتغير x موجود أيضًا في القاعدة، أي. س > 0 ⇒ |س| = س. دعونا نعيد كتابة المعادلة اللوغاريتمية:

3 سجل 3 × س = 4 سجل 9 × ×

لقد حصلنا على اللوغاريتمات التي تكون فيها الحجج هي نفسها، ولكن أسباب مختلفة. ما العمل التالي؟ هناك العديد من الخيارات هنا، لكننا سننظر في اثنين منها فقط، وهما الأكثر منطقية، والأهم من ذلك، أنها تقنيات سريعة ومفهومة لمعظم الطلاب.

لقد نظرنا بالفعل في الخيار الأول: في أي موقف غير واضح، قم بتحويل اللوغاريتمات ذات الأساس المتغير إلى قاعدة ثابتة. على سبيل المثال، إلى الشيطان. صيغة الانتقال بسيطة:

بالطبع، دور المتغير c يجب أن يكون رقمًا عاديًا: 1 ​​≠ c > 0. دع في حالتنا c = 2. الآن أمامنا معادلة عقلانية كسرية عادية. نقوم بجمع كل العناصر الموجودة على اليسار:

من الواضح أنه من الأفضل إزالة العامل log 2 x، لأنه موجود في الكسرين الأول والثاني.

سجل 2 × = 0؛

3 سجل 2 9س = 4 سجل 2 3س

نقوم بتقسيم كل سجل إلى فترتين:

سجل 2 9x = سجل 2 9 + سجل 2 x = 2 سجل 2 3 + سجل 2 x;

سجل 2 3س = سجل 2 3 + سجل 2 س

دعونا نعيد كتابة طرفي المساواة مع الأخذ بعين الاعتبار هذه الحقائق:

3 (2 سجل 2 3 + سجل 2 x ) = 4 (سجل 2 3 + سجل 2 x )

6 سجل 2 3 + 3 سجل 2 س = 4 سجل 2 3 + 4 سجل 2 س

2 سجل 2 3 = سجل 2 س

الآن كل ما تبقى هو إدخال اثنين تحت علامة اللوغاريتم (سوف يتحول إلى قوة: 3 2 = 9):

سجل 2 9 = سجل 2 س

أمامنا الشكل القانوني الكلاسيكي، نتخلص من علامة اللوغاريتم ونحصل على:

وكما هو متوقع، تبين أن هذا الجذر أكبر من الصفر. يبقى للتحقق من مجال التعريف. دعونا ننظر إلى الأسباب:

لكن الجذر x = 9 يلبي هذه المتطلبات. ولذلك، فهو القرار النهائي.

الاستنتاج من هذا القراربسيط: لا تخف من التخطيطات الطويلة! لقد اخترنا في البداية قاعدة جديدة بشكل عشوائي - وهذا أدى إلى تعقيد العملية بشكل كبير.

ولكن بعد ذلك يطرح السؤال: ما هو الأساس؟ أفضل؟ سأتحدث عن هذا في الطريقة الثانية.

لنعد إلى معادلتنا الأصلية:

3 سجل 3x x = 2 سجل 9x x 2

3 سجل 3x x = 2 ∙ 2 سجل 9x |x |

س > 0 ⇒ |س| = س

3 سجل 3 × س = 4 سجل 9 × ×

الآن دعونا نفكر قليلاً: ما هو الرقم أو الوظيفة التي ستكون الأساس الأمثل؟ من الواضح أن الخيار الأفضلسيكون هناك c = x - ما هو موجود بالفعل في الوسائط. في هذه الحالة، الصيغة log a b = log c b /log c a سوف تأخذ الشكل:

وبعبارة أخرى، يتم عكس التعبير ببساطة. في هذه الحالة، تتغير الحجة والأساس.

هذه الصيغة مفيدة جدًا وتستخدم كثيرًا في حل المعادلات اللوغاريتمية المعقدة. ومع ذلك، هناك مأزق خطير للغاية عند استخدام هذه الصيغة. إذا قمنا باستبدال المتغير x بدلاً من الأساس، فسيتم فرض قيود عليه لم يتم ملاحظتها من قبل:

لم يكن هناك مثل هذا القيد في المعادلة الأصلية. لذلك، يجب أن نتحقق بشكل منفصل من الحالة عندما تكون x = 1. نعوض بهذه القيمة في المعادلة:

3 سجل 3 1 = 4 سجل 9 1

نحصل على المساواة العددية الصحيحة. وبالتالي فإن x = 1 هو جذر. لقد وجدنا نفس الجذر تمامًا في الطريقة السابقة في بداية الحل.

لكن الآن بعد أن نظرنا في هذه الحالة بشكل منفصل، فإننا نفترض بأمان أن x ≠ 1. ثم ستتم إعادة كتابة المعادلة اللوغاريتمية بالشكل التالي:

3 سجل × 9x = 4 سجل × 3x

نقوم بتوسيع كلا اللوغاريتمات باستخدام نفس الصيغة كما في السابق. لاحظ أن السجل x x = 1:

3 (سجل x 9 + سجل x x ) = 4 (سجل x 3 + سجل x x )

3 لوغاريتم × 9 + 3 = 4 لوغاريتم × 3 + 4

3 سجل × 3 2 − 4 سجل × 3 = 4 − 3

2 سجل × 3 = 1

لذلك وصلنا إلى الشكل القانوني:

سجل × 9 = سجل × × 1

س = 9

لقد حصلنا على الجذر الثاني. إنه يفي بالمتطلبات x ≠ 1. لذلك، x = 9 مع x = 1 هي الإجابة النهائية.

كما ترون، انخفض حجم العمليات الحسابية قليلاً. لكن عند حل معادلة لوغاريتمية حقيقية، سيكون عدد الخطوات أقل بكثير أيضًا لأنه ليس مطلوبًا منك وصف كل خطوة بمثل هذه التفاصيل.

القاعدة الأساسية لدرس اليوم هي ما يلي: إذا كانت المشكلة تحتوي على درجة زوجية، والتي يتم استخراج جذر نفس الدرجة منها، فسيكون الناتج عبارة عن معامل. ومع ذلك، يمكن إزالة هذه الوحدة إذا انتبهت إلى مجال تعريف اللوغاريتمات.

لكن كن حذرًا: بعد هذا الدرس، يعتقد معظم الطلاب أنهم يفهمون كل شيء. ولكن عند حل المشكلات الحقيقية، لا يمكنهم إعادة إنتاج السلسلة المنطقية بأكملها. ونتيجة لذلك، تكتسب المعادلة جذورًا غير ضرورية، ويتبين أن الإجابة غير صحيحة.

الجبر الصف الحادي عشر

الموضوع: "طرق حل المعادلات اللوغاريتمية"

أهداف الدرس:

التعليمية: بناء المعرفة حول بطرق مختلفةحل المعادلات اللوغاريتمية، والقدرة على تطبيقها في كل حالة محددة واختيار أي طريقة للحل؛

النامية: تنمية مهارات الملاحظة والمقارنة وتطبيق المعرفة في موقف جديد وتحديد الأنماط والتعميم؛ تطوير مهارات السيطرة المتبادلة وضبط النفس؛

التعليمية: تعزيز الموقف المسؤول تجاه العمل التعليمي، والإدراك اليقظ للمواد في الدرس، وتدوين الملاحظات بعناية.

نوع الدرس :درس حول إدخال مواد جديدة.

"إن اختراع اللوغاريتمات، مع تقليل عمل عالم الفلك، أدى إلى إطالة عمره."
عالم الرياضيات والفلكي الفرنسي ب.س. لابلاس

خلال الفصول الدراسية

1. تحديد هدف الدرس

درس تعريف اللوغاريتم وخصائص اللوغاريتمات و وظيفة لوغاريتميةسيسمح لنا بحل المعادلات اللوغاريتمية. يتم حل جميع المعادلات اللوغاريتمية، مهما كانت معقدة، باستخدام خوارزميات موحدة. سننظر إلى هذه الخوارزميات في درس اليوم. لا يوجد الكثير منهم. إذا أتقنتهم، فإن أي معادلة مع اللوغاريتمات ستكون ممكنة لكل واحد منكم.

اكتب موضوع الدرس في دفترك: "طرق حل المعادلات اللوغاريتمية". وأدعو الجميع للتعاون.

ثانيا. تحديث المعرفة المرجعية

دعونا نستعد لدراسة موضوع الدرس. عليك حل كل مهمة وكتابة الإجابة، وليس عليك كتابة الشرط. العمل في ازواج.

1) ما هي قيم x التي تكون فيها الوظيفة منطقية:

أ)

ب)

الخامس)

د)

(يتم التحقق من الإجابات لكل شريحة ويتم فرز الأخطاء)

2) هل الرسوم البيانية للوظائف متطابقة؟

أ) ص = س و

ب)و

3) أعد كتابة التساويات في صورة مساواة لوغاريتمية:

4) اكتب الأعداد على شكل لوغاريتمات ذات الأساس 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) احسب :

6) حاول استعادة أو استكمال العناصر المفقودة في هذه المساواة.

ثالثا. مقدمة للمواد الجديدة

يتم عرض العبارة التالية على الشاشة:

"المعادلة هي المفتاح الذهبي الذي يفتح كل السمسمات الرياضية."
عالم الرياضيات البولندي الحديث س. كوال

حاول صياغة تعريف المعادلة اللوغاريتمية. (معادلة تحتوي على مجهول تحت علامة اللوغاريتم ).

دعونا نفكرأبسط معادلة لوغاريتمية: سجل أ س = ب (حيث أ>0، أ ≠ 1). نظرًا لأن الدالة اللوغاريتمية تزيد (أو تنقص) في مجموعة الأرقام الموجبة وتأخذ جميع القيم الحقيقية، فإنه من خلال نظرية الجذر يتبع ذلك لأي b هذه المعادلة لها حل واحد فقط، وحل موجب.

تذكر تعريف اللوغاريتم. (لوغاريتم الرقم x للقاعدة a هو مؤشر للقوة التي يجب رفع القاعدة a إليها للحصول على الرقم x ). من تعريف اللوغاريتم يتبع ذلك مباشرةأ الخامس هو مثل هذا الحل.

أكتب العنوان:طرق حل المعادلات اللوغاريتمية

1. حسب تعريف اللوغاريتم .

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل أبسط المعادلات من النموذج.

دعونا نفكررقم 514(أ) ): حل المعادلة

وكيف تقترح حلها؟ (حسب تعريف اللوغاريتم )

حل . ، وبالتالي 2س – 4 = 4؛ س = 4.

الجواب: 4.

في هذه المهمة 2x – 4 > 0، منذ ذلك الحين> 0، لذلك لا يمكن أن تظهر أي جذور غريبة، ولا حاجة للتحقق . ليست هناك حاجة لكتابة الشرط 2x – 4 > 0 في هذه المهمة.

2. التنشيط (الانتقال من لوغاريتم تعبير معين إلى هذا التعبير نفسه).

دعونا نفكررقم 519(ز): سجل 5 ( س 2 +8)- سجل 5 ( س+1)=3 سجل 5 2

ما الميزة التي لاحظتها؟(الأساسات واحدة ولوغاريتمات التعبيرين متساوية) . ماذا يمكن ان يفعل؟(تقوية).

يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن أي حل موجود بين جميع x التي تكون التعبيرات اللوغاريتمية لها موجبة.

حل: أودز:

X 2 +8>0 عدم المساواة غير الضرورية

سجل 5 ( س 2 +8) = سجل 5 2 3 + سجل 5 ( س+1)

سجل 5 ( س 2 +8)= سجل 5 (8 س+8)

دعونا تعزيز المعادلة الأصلية

س 2 +8= 8 س+8

نحصل على المعادلةس 2 +8= 8 س+8

دعونا حلها:س 2 -8 س=0

س = 0، س = 8

الجواب: 0؛ 8

على العمومالانتقال إلى نظام معادل :

المعادلة

(يحتوي النظام على شرط زائد عن الحاجة - لا يلزم أخذ إحدى المتباينات في الاعتبار).

سؤال للفصل : أي من هذه الحلول الثلاثة أعجبك أكثر؟ (مناقشة الأساليب).

لديك الحق في اتخاذ القرار بأي شكل من الأشكال.

3. إدخال متغير جديد .

دعونا نفكررقم 520 (ز) . .

ماذا لاحظت؟ (هذه معادلة تربيعية فيما يتعلق بـ log3x) اقتراحاتك؟ (أدخل متغير جديد)

حل . أودز: س > 0.

يترك، فإن المعادلة سوف تأخذ الشكل:. المميز D > 0. الجذور حسب نظرية فييتا:.

دعنا نعود إلى الاستبدال:أو.

وبحل أبسط المعادلات اللوغاريتمية نحصل على:

; .

إجابة : 27;

4. لوغاريتم طرفي المعادلة.

حل المعادلة:.

حل : ODZ: x>0، لنأخذ لوغاريتم طرفي المعادلة في الأساس 10:

. دعونا نطبق خاصية لوغاريتم القوة:

(إل جي إكس + 3) إل جي إكس =

(سجلx + 3) سجلx = 4

افترض أن logx = y، ثم (y + 3)y = 4

، (D > 0) الجذور وفقًا لنظرية فييتا: y1 = -4 و y2 = 1.

فلنعد إلى الاستبدال، فنحصل على: lgx = -4،; سجلx = 1،. . وهي كالاتي: إذا كانت إحدى الوظائف ص = و(س) يزيد، والآخر ص = ز(س) يتناقص على الفترة X، ثم المعادلة و(س)= ز(خ) له جذر واحد على الأكثر في الفترة X .

إذا كان هناك جذر، فيمكن تخمينه. .

إجابة : 2

« الاستخدام الصحيحيمكن تعلم الأساليب
فقط من خلال تطبيقها على أمثلة مختلفة.
مؤرخ الرياضيات الدنماركي جي جي زيتن

أنا الخامس. العمل في المنزل

ص 39 نظر في المثال 3 حل رقم 514(ب) رقم 529(ب) رقم 520(ب) رقم 523(ب)

خامسا: تلخيص الدرس

ما هي طرق حل المعادلات اللوغاريتمية التي نظرنا إليها في الفصل؟

وفي الدروس القادمة سوف ننظر في المزيد معادلات معقدة. لحلها ستكون الطرق المدروسة مفيدة.

الشريحة الأخيرة المعروضة:

"ما هو أكثر من أي شيء في العالم؟
فضاء.
ما هو الشيء الأكثر حكمة؟
وقت.
ما هو الجزء الأفضل؟
حقق ما تريد."
طاليس

وأتمنى للجميع أن يحققوا ما يريدون. شكرا لكم لتعاونكم والتفاهم.

حل المعادلات اللوغاريتمية. الجزء 1.

المعادلة اللوغاريتميةهي معادلة يكون فيها المجهول موجودًا تحت علامة اللوغاريتم (على وجه الخصوص، في قاعدة اللوغاريتم).

الابسط معادلة لوغاريتميةلديه النموذج:

حل أي معادلة لوغاريتميةيتضمن الانتقال من اللوغاريتمات إلى التعبيرات تحت علامة اللوغاريتمات. ومع ذلك، فإن هذا الإجراء يوسع النطاق القيم المقبولةالمعادلة ويمكن أن تؤدي إلى ظهور جذور دخيلة. لتجنب ظهور الجذور الأجنبية، يمكنك القيام بإحدى الطرق الثلاث:

1. إجراء انتقال مماثلمن المعادلة الأصلية إلى نظام بما في ذلك

اعتمادا على عدم المساواة أو أبسط.

إذا كانت المعادلة تحتوي على مجهول في قاعدة اللوغاريتم:

ثم ننتقل إلى النظام:

2. ابحث بشكل منفصل عن نطاق القيم المقبولة للمعادلة، ثم قم بحل المعادلة وتحقق مما إذا كانت الحلول الموجودة تحقق المعادلة.

3. حل المعادلة، وبعد ذلك يفحص:استبدل الحلول الموجودة في المعادلة الأصلية وتحقق مما إذا كنا نحصل على المساواة الصحيحة.

إن المعادلة اللوغاريتمية لأي مستوى من التعقيد يتم دائمًا اختزالها في النهاية إلى أبسط معادلة لوغاريتمية.

يمكن تقسيم جميع المعادلات اللوغاريتمية إلى أربعة أنواع:

1 . المعادلات التي تحتوي على لوغاريتمات للقوة الأولى فقط. بمساعدة التحولات والاستخدام، يتم إحضارها إلى النموذج

مثال. دعونا نحل المعادلة:

دعونا نساوي التعبيرات تحت علامة اللوغاريتم:

دعونا نتحقق مما إذا كان جذر المعادلة يرضي:

نعم يرضي.

الجواب: س=5

2 . المعادلات التي تحتوي على لوغاريتمات لقوى غير 1 (خاصة في مقام الكسر). يمكن حل مثل هذه المعادلات باستخدام إدخال تغيير المتغير.

مثال.دعونا نحل المعادلة:

لنجد معادلة ODZ:

تحتوي المعادلة على لوغاريتمات تربيعية، لذا يمكن حلها باستخدام تغيير المتغير.

مهم! قبل تقديم بديل، تحتاج إلى "تفكيك" اللوغاريتمات التي تشكل جزءًا من المعادلة إلى "طوب"، باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

عند "تفكيك" اللوغاريتمات، من المهم استخدام خصائص اللوغاريتمات بعناية فائقة:

بالإضافة إلى ذلك، هناك نقطة أخرى دقيقة هنا، ومن أجل تجنب الخطأ الشائع، سوف نستخدم المساواة المتوسطة: سنكتب درجة اللوغاريتم في هذا النموذج:

على نفس المنوال،

دعونا نعوض بالتعبيرات الناتجة في المعادلة الأصلية. نحن نحصل:

الآن نرى أن المجهول موجود في المعادلة كجزء من . دعونا نقدم البديل: . وبما أنه يمكن أن يأخذ أي قيمة حقيقية، فإننا لا نفرض أي قيود على المتغير.

كما تعلم، عند ضرب التعبيرات بالقوى، فإن أسسها دائمًا ما تكون مجمعة (a b *a c = a b+c). اشتق هذا القانون الرياضي من قبل أرخميدس، وفي وقت لاحق، في القرن الثامن، قام عالم الرياضيات فيراسين بإنشاء جدول من الأسس الصحيحة. لقد كانوا هم الذين خدموا في اكتشاف المزيد من اللوغاريتمات. يمكن العثور على أمثلة لاستخدام هذه الوظيفة في كل مكان تقريبًا حيث تحتاج إلى تبسيط الضرب المرهق عن طريق الجمع البسيط. إذا أمضيت 10 دقائق في قراءة هذا المقال، فسنشرح لك ما هي اللوغاريتمات وكيفية التعامل معها. بلغة بسيطة وسهلة المنال.

التعريف في الرياضيات

اللوغاريتم هو تعبير بالشكل التالي: log a b=c، أي لوغاريتم أي رقم غير سالب (أي أي موجب) "b" إلى قاعدته "a" يعتبر أس "c" " والتي يجب رفع الأساس "أ" إليها للحصول على القيمة "ب" في النهاية. دعونا نحلل اللوغاريتم باستخدام الأمثلة، لنفترض أن هناك سجل تعبير 2 8. كيف تجد الإجابة؟ الأمر بسيط للغاية، تحتاج إلى العثور على قوة بحيث تحصل على 8 من 2 إلى القوة المطلوبة. وبعد إجراء بعض الحسابات في رأسك، نحصل على الرقم 3! وهذا صحيح، لأن 2 أس 3 يعطي الإجابة 8.

أنواع اللوغاريتمات

بالنسبة للعديد من التلاميذ والطلاب، يبدو هذا الموضوع معقدا وغير مفهوم، ولكن في الواقع اللوغاريتمات ليست مخيفة للغاية، والشيء الرئيسي هو فهم معناها العام وتذكر خصائصها وبعض القواعد. هناك ثلاثة أنواع منفصلة من التعبيرات اللوغاريتمية:

1. اللوغاريتم الطبيعي ln a، حيث الأساس هو رقم أويلر (e = 2.7).
2. العشري أ، حيث الأساس هو 10.
3. لوغاريتم أي رقم ب للأساس أ> 1.

يتم حل كل منها بطريقة قياسية، بما في ذلك التبسيط والاختزال والاختزال اللاحق إلى لوغاريتم واحد باستخدام النظريات اللوغاريتمية. للحصول على القيم الصحيحة للوغاريتمات، يجب أن تتذكر خصائصها وتسلسل الإجراءات عند حلها.

القواعد وبعض القيود

في الرياضيات، هناك العديد من القيود والقواعد التي يتم قبولها كبديهية، أي أنها لا تخضع للمناقشة وهي الحقيقة. على سبيل المثال، من المستحيل قسمة الأعداد على صفر، ومن المستحيل أيضًا استخراج الجذر الزوجي للأعداد السالبة. تحتوي اللوغاريتمات أيضًا على قواعدها الخاصة، والتي يمكنك من خلالها تعلم كيفية العمل بسهولة حتى مع التعبيرات اللوغاريتمية الطويلة والواسعة:

• يجب أن يكون الأساس "أ" دائمًا أكبر من الصفر، ولا يساوي 1، وإلا فسيفقد التعبير معناه، لأن "1" و"0" بأي درجة متساويان دائمًا لقيمتهما؛
• إذا كانت a > 0، ثم b >0، يتبين أن "c" يجب أن تكون أيضًا أكبر من الصفر.

كيفية حل اللوغاريتمات؟

على سبيل المثال، تم تكليفك بمهمة العثور على إجابة المعادلة 10 × = 100. هذا سهل للغاية، تحتاج إلى اختيار قوة عن طريق رفع الرقم عشرة الذي نحصل عليه 100. وهذا بالطبع هو 10 2 = 100.

الآن دعونا نمثل هذا التعبير في صورة لوغاريتمية. نحصل على سجل 10 100 = 2. عند حل اللوغاريتمات، تتلاقى جميع الإجراءات عمليا للعثور على القوة التي من الضروري إدخال قاعدة اللوغاريتم من أجل الحصول على رقم معين.

لتحديد قيمة درجة غير معروفة بدقة، عليك أن تتعلم كيفية العمل مع جدول الدرجات. تبدو هكذا:

كما ترون، يمكن تخمين بعض الأسس بشكل حدسي إذا كان لديك عقل تقني ومعرفة بجدول الضرب. ومع ذلك، لقيم أكبر سوف تحتاج إلى جدول الطاقة. يمكن استخدامه حتى من قبل أولئك الذين لا يعرفون شيئًا على الإطلاق عن الموضوعات الرياضية المعقدة. يحتوي العمود الأيسر على أرقام (الأساس أ)، والصف العلوي من الأرقام هو قيمة القوة ج التي يرتفع إليها الرقم أ. عند التقاطع تحتوي الخلايا على القيم الرقمية التي هي الجواب (أ ج = ب). لنأخذ، على سبيل المثال، الخلية الأولى ذات الرقم 10 ونقوم بتربيعها، ونحصل على القيمة 100، والتي تتم الإشارة إليها عند تقاطع الخليتين لدينا. كل شيء بسيط وسهل لدرجة أن حتى أكثر الإنسانيين صدقًا سوف يفهمونه!

المعادلات والمتباينات

اتضح أنه في ظل ظروف معينة يكون الأس هو اللوغاريتم. لذلك، يمكن كتابة أي تعبيرات عددية رياضية على هيئة مساواة لوغاريتمية. على سبيل المثال، 3 4 = 81 يمكن كتابتها على أنها اللوغاريتم ذو الأساس 3 للرقم 81 يساوي أربعة (log 3 81 = 4). القواعد هي نفسها بالنسبة للقوى السالبة: 2 -5 = 1/32 نكتبها على شكل لوغاريتم، ونحصل على log 2 (1/32) = -5. أحد أروع أقسام الرياضيات هو موضوع "اللوغاريتمات". سننظر في أمثلة وحلول المعادلات أدناه مباشرة بعد دراسة خصائصها. الآن دعونا نلقي نظرة على الشكل الذي تبدو عليه المتباينات وكيفية تمييزها عن المعادلات.

يتم إعطاء التعبير التالي: log 2 (x-1) > 3 - وهي متباينة لوغاريتمية، لأن القيمة غير المعروفة "x" تقع تحت العلامة اللوغاريتمية. وأيضًا في التعبير تتم مقارنة كميتين: لوغاريتم الرقم المطلوب للأساس اثنين أكبر من الرقم ثلاثة.

الفرق الأكثر أهمية بين المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات هو أن المعادلات ذات اللوغاريتمات (على سبيل المثال، اللوغاريتم 2 x = √9) تتضمن قيمة عددية واحدة أو أكثر محددة في الإجابة، بينما عند حل المتراجحة، يكون كل من نطاق المقبول يتم تحديد القيم والنقاط بكسر هذه الوظيفة. ونتيجة لذلك، فإن الإجابة ليست مجموعة بسيطة من الأرقام الفردية، كما هو الحال في الإجابة على المعادلة، ولكن سلسلة مستمرة أو مجموعة من الأرقام.

النظريات الأساسية حول اللوغاريتمات

عند حل المهام البدائية لإيجاد قيم اللوغاريتم، قد لا تكون خصائصه معروفة. ومع ذلك، عندما يتعلق الأمر بالمعادلات اللوغاريتمية أو عدم المساواة، أولا وقبل كل شيء، من الضروري أن نفهم بوضوح ونطبق في الممارسة العملية جميع الخصائص الأساسية للوغاريتمات. سننظر في أمثلة المعادلات لاحقًا، فلننظر أولاً إلى كل خاصية بمزيد من التفصيل.

1. تبدو الهوية الرئيسية كما يلي: a logaB =B. وينطبق هذا فقط عندما تكون a أكبر من 0، ولا تساوي واحدًا، وتكون B أكبر من الصفر.
2. يمكن تمثيل لوغاريتم المنتج بالصيغة التالية: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. في هذه الحالة، الشرط الإلزامي هو: d, s 1 and s 2 > 0; أ≠1. يمكنك تقديم دليل على هذه الصيغة اللوغاريتمية، مع الأمثلة والحل. دعونا سجل a s 1 = f 1 ونسجل a s 2 = f 2، ثم a f1 = s 1، a f2 = s 2. نحصل على أن s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (خصائص درجات )، ومن ثم حسب التعريف: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2، وهو ما يحتاج إلى إثبات.
3. يبدو لوغاريتم الحاصل كما يلي: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. تأخذ النظرية في شكل صيغة الشكل التالي: log a q b n = n/q log a b.

تسمى هذه الصيغة "خاصية درجة اللوغاريتم". إنها تشبه خصائص الدرجات العادية، وهذا ليس مفاجئا، لأن كل الرياضيات مبنية على مسلمات طبيعية. دعونا ننظر إلى الدليل.

دعونا سجل أ ب = ر، اتضح أن ر = ب. إذا رفعنا كلا الجزأين للأس m: a tn = b n ;

ولكن بما أن a tn = (a q) nt/q = b n، لذلك سجل a q b n = (n*t)/t، ثم سجل a q b n = n/q سجل a b. لقد تم إثبات النظرية.

أمثلة على المشاكل وعدم المساواة

أكثر أنواع المسائل شيوعًا في اللوغاريتمات هي أمثلة المعادلات والمتباينات. وهي موجودة في جميع كتب المسائل تقريبًا، وهي أيضًا جزء مطلوب من اختبارات الرياضيات. للقبول في الجامعة أو النجاح امتحانات القبولفي الرياضيات عليك أن تعرف كيفية حل مثل هذه المشاكل بشكل صحيح.

لسوء الحظ، لا توجد خطة أو مخطط واحد لحل وتحديد القيمة المجهولة للوغاريتم، ولكن يمكن تطبيق قواعد معينة على كل متباينة رياضية أو معادلة لوغاريتمية. بادئ ذي بدء، يجب عليك معرفة ما إذا كان يمكن تبسيط التعبير أو يؤدي إليه المظهر العام. تبسيط تلك الطويلة التعبيرات اللوغاريتميةممكن إذا كنت تستخدم خصائصها بشكل صحيح. دعونا نتعرف عليهم بسرعة.

عند حل المعادلات اللوغاريتمية، يجب علينا تحديد نوع اللوغاريتم الذي لدينا: قد يحتوي تعبير المثال على لوغاريتم طبيعي أو عشري.

وفيما يلي أمثلة ln100، ln1026. يتلخص الحل الذي توصلوا إليه في حقيقة أنهم بحاجة إلى تحديد القدرة التي يساوي فيها الأساس 10 100 و1026 على التوالي. لحل اللوغاريتمات الطبيعية، تحتاج إلى تطبيق الهويات اللوغاريتمية أو خصائصها. دعونا نلقي نظرة على الحل مع الأمثلة مشاكل لوغاريتميةأنواع مختلفة.

كيفية استخدام صيغ اللوغاريتم: مع الأمثلة والحلول

لذلك، دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام النظريات الأساسية حول اللوغاريتمات.

1. يمكن استخدام خاصية لوغاريتم المنتج في المهام التي يكون من الضروري توسيعها أهمية عظيمةالأعداد ب إلى عوامل أبسط على سبيل المثال، سجل 2 4 + سجل 2 128 = سجل 2 (4*128) = سجل 2 512. الإجابة هي 9.
2. سجل 4 8 = سجل 2 2 2 3 = 3/2 سجل 2 2 = 1.5 - كما ترون، باستخدام الخاصية الرابعة لقوة اللوغاريتم، تمكنا من حل تعبير يبدو معقدًا وغير قابل للحل. كل ما عليك فعله هو تحليل الأساس ثم إخراج القيم الأسية من علامة اللوغاريتم.

واجبات من امتحان الدولة الموحدة

غالبا ما توجد اللوغاريتمات في امتحانات القبول، وخاصة العديد من المسائل اللوغاريتمية في امتحان الدولة الموحدة (امتحان الدولة لجميع خريجي المدارس). عادةً ما تكون هذه المهام موجودة ليس فقط في الجزء أ (أسهل جزء اختبار من الامتحان)، ولكن أيضًا في الجزء ج (المهام الأكثر تعقيدًا وحجمًا). يتطلب الامتحان معرفة دقيقة وكاملة بموضوع "اللوغاريتمات الطبيعية".

الأمثلة والحلول للمشاكل مأخوذة من المسؤول خيارات امتحان الدولة الموحدة. دعونا نرى كيف يتم حل هذه المهام.

بالنظر إلى السجل 2 (2x-1) = 4. الحل:
دعونا نعيد كتابة التعبير، ونبسطه قليلًا log 2 (2x-1) = 2 2، ومن خلال تعريف اللوغاريتم نحصل على 2x-1 = 2 4، وبالتالي 2x = 17؛ س = 8.5.

• من الأفضل اختزال جميع اللوغاريتمات إلى نفس الأساس حتى لا يكون الحل مرهقًا ومربكًا.
• تتم الإشارة إلى جميع التعبيرات الموجودة تحت علامة اللوغاريتم على أنها إيجابية، لذلك، عندما يتم إخراج أس التعبير الموجود تحت علامة اللوغاريتم وقاعدته كمضاعف، يجب أن يكون التعبير المتبقي تحت اللوغاريتم موجبًا.

في هذا الدرس سوف نراجع الحقائق النظرية الأساسية حول اللوغاريتمات ونفكر في حل أبسط المعادلات اللوغاريتمية.

لنتذكر التعريف المركزي - تعريف اللوغاريتم. الأمر يتعلق بالقرار المعادلة الأسية. هذه المعادلة لها جذر واحد، ويسمى لوغاريتم b للأساس a:

تعريف:

لوغاريتم b للأساس a هو الأس الذي يجب رفع الأساس a إليه للحصول على b.

دعونا نذكركم الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

التعبير (التعبير 1) هو جذر المعادلة (التعبير 2). استبدل القيمة x من التعبير 1 بدلاً من x في التعبير 2 واحصل على الهوية اللوغاريتمية الرئيسية:

لذلك نرى أن كل قيمة مرتبطة بقيمة. نشير إلى b بواسطة x()، وc بواسطة y، وبالتالي نحصل على دالة لوغاريتمية:

على سبيل المثال:

دعونا نتذكر الخصائص الأساسية للدالة اللوغاريتمية.

دعونا ننتبه مرة أخرى هنا، لأنه تحت اللوغاريتم يمكن أن يكون هناك تعبير إيجابي تمامًا، كأساس للوغاريتم.

أرز. 1. رسم بياني لدالة لوغاريتمية ذات أسس مختلفة

يظهر الرسم البياني للوظيفة باللون الأسود. أرز. 1. إذا زادت الوسيطة من صفر إلى ما لا نهاية، فإن الدالة تزداد من ناقص إلى زائد ما لا نهاية.

يظهر الرسم البياني للوظيفة باللون الأحمر. أرز. 1.

خصائص هذه الوظيفة:

اِختِصاص: ؛

مدى من القيم: ؛

الوظيفة رتيبة في جميع أنحاء مجال التعريف الخاص بها. عندما تزيد بشكل رتيب (بشكل صارم)، فإن القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع قيمة أكبر للدالة. عندما تنخفض بشكل رتيب (بشكل صارم)، تتوافق القيمة الأكبر للوسيطة مع قيمة أصغر للدالة.

خصائص الدالة اللوغاريتمية هي المفتاح لحل مجموعة متنوعة من المعادلات اللوغاريتمية.

لنفكر في أبسط معادلة لوغاريتمية، كقاعدة عامة، يتم تقليل جميع المعادلات اللوغاريتمية الأخرى إلى هذا النموذج.

بما أن أسس اللوغاريتمات واللوغاريتمات نفسها متساوية، فإن الدوال الموجودة تحت اللوغاريتم متساوية أيضًا، لكن يجب ألا نفوت مجال التعريف. يمكن أن يظهر رقم موجب فقط تحت اللوغاريتم، لدينا:

لقد اكتشفنا أن الدالتين f وg متساويتان، لذا يكفي اختيار أي متباينة واحدة لتتوافق مع ODZ.

وبذلك يصبح لدينا نظام مختلط فيه معادلة ومتباينة:

كقاعدة عامة، ليس من الضروري حل المتراجحة، بل يكفي حل المعادلة واستبدال الجذور الموجودة في المتراجحة، وبالتالي إجراء التحقق.

دعونا نصوغ طريقة لحل أبسط المعادلات اللوغاريتمية:

مساواة أسس اللوغاريتمات.

مساواة الدوال اللوغاريتمية؛

إجراء فحص.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة محددة.

مثال 1 - حل المعادلة:

أسس اللوغاريتمات متساوية في البداية، ولدينا الحق في مساواة التعبيرات اللوغاريتمية الفرعية، ولا تنسَ ODZ، فنحن نختار اللوغاريتم الأول لتكوين عدم المساواة:

مثال 2 - حل المعادلة:

وتختلف هذه المعادلة عن السابقة في أن أساسات اللوغاريتمات أقل من واحد، لكن هذا لا يؤثر على الحل بأي شكل من الأشكال:

لنجد الجذر ونعوض به في المتباينة:

لقد حصلنا على متباينة غير صحيحة، مما يعني أن الجذر الذي تم العثور عليه لا يفي بـ ODZ.

مثال 3 - حل المعادلة:

أسس اللوغاريتمات متساوية في البداية، ولدينا الحق في مساواة التعبيرات اللوغاريتمية الفرعية، ولا تنسَ ODZ، فنحن نختار اللوغاريتم الثاني لتكوين عدم المساواة:

لنجد الجذر ونعوض به في المتباينة:

من الواضح أن الجذر الأول فقط هو الذي يفي بـ ODZ.