حل المعادلات ذات الجذر التربيعي لوغاريتم. المعادلات اللوغاريتمية. من البسيط إلى المعقد

نحن جميعا على دراية بالمعادلات. مدرسة إبتدائية. وحتى هناك تعلمنا حل أبسط الأمثلة، ويجب الاعتراف بأنها تجد تطبيقها حتى في الرياضيات العليا. كل شيء بسيط مع المعادلات، بما في ذلك المعادلات المربعة. إذا كان لديك مشاكل مع هذا الموضوع، نوصي بشدة بإعادة المحاولة.

اللوغاريتمات التي ربما مررت بها بالفعل أيضًا. ومع ذلك، فإننا نعتبر أنه من المهم أن نقول ما هو عليه بالنسبة لأولئك الذين لا يعرفون بعد. اللوغاريتم يساوي القوة التي يجب رفع القاعدة إليها للحصول على الرقم الموجود على يمين علامة اللوغاريتم. دعونا نعطي مثالا، على أساسه، سوف يصبح كل شيء واضحا لك.

إذا قمت برفع 3 إلى القوة الرابعة، فستحصل على 81. الآن استبدل الأرقام بالقياس، وسوف تفهم أخيرًا كيفية حل اللوغاريتمات. الآن يبقى فقط الجمع بين المفهومين المدروسين. في البداية، يبدو الوضع صعبا للغاية، ولكن مع الفحص الدقيق، يقع الوزن في مكانه. نحن على يقين من أنه بعد هذه المقالة القصيرة لن تواجه أي مشاكل في هذا الجزء من الامتحان.

اليوم، هناك طرق عديدة لحل هذه الهياكل. سنتحدث عن الأبسط والأكثر فعالية والأكثر قابلية للتطبيق في حالة مهام الاستخدام. حل المعادلات اللوغاريتمية يجب أن يبدأ من البداية. مثال بسيط. أبسط المعادلات اللوغاريتمية تتكون من دالة ومتغير واحد فيها.

من المهم ملاحظة أن x موجود داخل الوسيطة. يجب أن يكون A وb أرقامًا. في هذه الحالة، يمكنك ببساطة التعبير عن الدالة من خلال رقم في القوة. تبدو هكذا.

وبالطبع فإن حل معادلة لوغاريتمية بهذه الطريقة سيقودك إلى الإجابة الصحيحة. لكن مشكلة الغالبية العظمى من الطلاب في هذه الحالة هي أنهم لا يفهمون ماذا ومن أين يأتي. ونتيجة لذلك، عليك أن تتحمل الأخطاء ولا تحصل على النقاط المطلوبة. سيكون الخطأ الأكثر هجومًا هو خلط الحروف في بعض الأماكن. لحل المعادلة بهذه الطريقة، تحتاج إلى حفظ هذه الصيغة المدرسية القياسية، لأنه من الصعب فهمها.

لتسهيل الأمر، يمكنك اللجوء إلى طريقة أخرى - النموذج الكنسي. الفكرة بسيطة للغاية. انتبه إلى المهمة مرة أخرى. تذكر أن الحرف a هو رقم، وليس دالة أو متغيرًا. A لا يساوي واحدًا وهو أكبر من الصفر. لا توجد قيود على ب. الآن، من بين جميع الصيغ، نتذكر واحدة. يمكن التعبير عن B على النحو التالي.

ويترتب على ذلك أنه يمكن تمثيل جميع المعادلات الأصلية ذات اللوغاريتمات على النحو التالي:

الآن يمكننا تجاهل اللوغاريتمات. اتضح تصميم بسيط، وهو ما رأيناه من قبل.

راحة هذه الصيغة هي أنه يمكن استخدامها في مجموعة متنوعة من الحالات، وليس فقط لأبسط التصاميم.

لا تقلق بشأن OOF!

سوف يلاحظ العديد من علماء الرياضيات ذوي الخبرة أننا لم ننتبه إلى مجال التعريف. تتلخص القاعدة في حقيقة أن F(x) أكبر بالضرورة من 0. لا، لم نغفل هذه النقطة. الآن نحن نتحدث عن ميزة جدية أخرى للشكل القانوني.

لن تكون هناك جذور إضافية هنا. إذا كان المتغير سيحدث في مكان واحد فقط، فلن يكون النطاق ضروريًا. يتم تشغيله تلقائيا. للتحقق من هذا الحكم، فكر في حل بعض الأمثلة البسيطة.

كيفية حل المعادلات اللوغاريتمية ذات الأساسات المختلفة

هذه معادلات لوغاريتمية معقدة بالفعل، ويجب أن يكون النهج المتبع في حلها خاصًا. نادرًا ما يكون من الممكن هنا أن نقتصر على الشكل القانوني سيئ السمعة. دعونا نبدأ لدينا قصة مفصلة. لدينا البناء التالي.

لاحظ الكسر. أنه يحتوي على اللوغاريتم. إذا رأيت هذا في المهمة، فمن المستحق أن تتذكر خدعة واحدة مثيرة للاهتمام.

ماذا يعني ذلك؟ يمكن التعبير عن كل لوغاريتم كحاصل لوغاريتمين بقاعدة مناسبة. وهذه الصيغة لها حالة خاصة تنطبق على هذا المثال (نعني إذا كان c=b).

وهذا هو بالضبط ما نراه في مثالنا. هكذا.

في الواقع، لقد قلبوا الكسر وحصلوا على تعبير أكثر ملاءمة. تذكر هذه الخوارزمية!

والآن نحتاج إلى ألا تحتوي المعادلة اللوغاريتمية على أسس مختلفة. دعونا نمثل القاعدة ككسر.

في الرياضيات، هناك قاعدة، والتي بناءً عليها يمكنك إخراج الدرجة من القاعدة. اتضح البناء التالي.

يبدو الآن ما الذي يمنعنا من تحويل تعبيرنا إلى شكل قانوني وحله بشكل أساسي؟ ليس بسيط جدا. يجب ألا يكون هناك كسور قبل اللوغاريتم. دعونا نصلح هذا الوضع! يُسمح بإخراج الكسر كدرجة.

على التوالى.

إذا كانت الأساسات هي نفسها، فيمكننا إزالة اللوغاريتمات ومساواة التعبيرات نفسها. لذلك سيصبح الوضع أسهل عدة مرات مما كان عليه. ستكون هناك معادلة أولية عرف كل منا كيفية حلها في الصف الثامن أو حتى السابع. يمكنك إجراء الحسابات بنفسك.

لقد حصلنا على الجذر الحقيقي الوحيد لهذه المعادلة اللوغاريتمية. أمثلة على حل معادلة لوغاريتمية بسيطة للغاية، أليس كذلك؟ الآن سوف تكون قادرا على التعامل بشكل مستقل مع أكثر من غيرها المهام الصعبةللتحضير وتقديم الامتحان.

ما هي النتيجة؟

في حالة أي معادلات لوغاريتمية، نبدأ من واحدة جدًا قاعدة مهمة. من الضروري التصرف بطريقة تصل بالتعبير إلى الحد الأقصى مرأى من الجميع. في هذه الحالة، سيكون لديك المزيد من الفرص ليس فقط لحل المشكلة بشكل صحيح، ولكن أيضا للقيام بذلك بطريقة أبسط وأكثر منطقية. هذه هي الطريقة التي يعمل بها علماء الرياضيات دائمًا.

لا ننصحك بشدة بالبحث عن الطرق الصعبة، خاصة في هذه الحالة. تذكر القليل قواعد بسيطة، والذي سيسمح لك بتحويل أي تعبير. على سبيل المثال، قم بإحضار لوغاريتمين أو ثلاثة إلى نفس القاعدة، أو خذ قوة من القاعدة واربح عليها.

ومن الجدير بالذكر أيضًا أنه عند حل المعادلات اللوغاريتمية تحتاج إلى التدريب المستمر. تدريجيا سوف تنتقل إلى المزيد والمزيد الهياكل المعقدةوهذا سيقودك إلى حل موثوق لجميع أنواع المشكلات في الامتحان. الاستعداد للامتحانات الخاصة بك في وقت مبكر، ونتمنى لك حظا سعيدا!

سنتعلم اليوم كيفية حل أبسط المعادلات اللوغاريتمية، والتي لا تتطلب تحويلات أولية واختيار الجذور. ولكن إذا تعلمت كيفية حل هذه المعادلات، فسيكون الأمر أسهل بكثير.

أبسط معادلة لوغاريتمية هي معادلة النموذج سجل a f (x) \u003d b، حيث a، b أرقام (a\u003e 0، a ≠ 1)، f (x) هي بعض الوظائف.

السمة المميزة لجميع المعادلات اللوغاريتمية هي وجود المتغير x تحت علامة اللوغاريتم. إذا تم تقديم مثل هذه المعادلة في البداية في المشكلة، فإنها تسمى أبسطها. يتم اختزال أي معادلات لوغاريتمية أخرى إلى أبسطها عن طريق تحويلات خاصة (انظر "الخصائص الأساسية للوغاريتمات"). ومع ذلك، يجب أن تؤخذ العديد من التفاصيل الدقيقة في الاعتبار: قد تظهر جذور إضافية، لذلك سيتم النظر في المعادلات اللوغاريتمية المعقدة بشكل منفصل.

كيفية حل مثل هذه المعادلات؟ يكفي استبدال الرقم الموجود على يمين علامة المساواة بلوغاريتم في نفس الأساس الموجود على اليسار. ثم يمكنك التخلص من علامة اللوغاريتم. نحن نحصل:

تسجيل a f (x) \u003d b ⇒ تسجيل a f (x) \u003d تسجيل a a b ⇒ f (x) \u003d a b

لقد حصلنا على المعادلة المعتادة. جذورها هي جذور المعادلة الأصلية.

نطق الدرجات

في كثير من الأحيان، يتم حل المعادلات اللوغاريتمية، التي تبدو ظاهريًا معقدة وخطيرة، في سطرين فقط دون استخدام صيغ معقدة. سننظر اليوم في مثل هذه المشكلات حيث كل ما هو مطلوب منك هو تقليل الصيغة بعناية إلى النموذج القانوني وعدم الخلط عند البحث عن مجال تعريف اللوغاريتمات.

اليوم، كما خمنت على الأرجح من العنوان، سنحل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام صيغ الانتقال إلى النموذج القانوني. ستكون "الحيلة" الرئيسية لدرس الفيديو هذا هي العمل بالدرجات، أو بالأحرى، أخذ الدرجة من القاعدة والحجة. دعونا ننظر إلى القاعدة:

وبالمثل، يمكنك إخراج الدرجة من القاعدة:

كما ترون، عند إخراج الدرجة من وسيطة اللوغاريتم، لدينا ببساطة مضاعف إضافيفي المقدمة، ثم عند إخراج الدرجة من القاعدة - ليس مجرد عامل، بل عامل مقلوب. يجب أن نتذكر هذا.

وأخيرا، الأكثر إثارة للاهتمام. ويمكن دمج هذه الصيغ فنحصل على:

وبطبيعة الحال، عند إجراء هذه التحولات، هناك بعض المزالق المرتبطة بالتوسع المحتمل في مجال التعريف أو، على العكس من ذلك، تضييق مجال التعريف. أحكم لنفسك:

سجل 3 × 2 = 2 ∙ سجل 3 ×

إذا كان x في الحالة الأولى يمكن أن يكون أي رقم غير 0، أي الشرط x ≠ 0، ففي الحالة الثانية، سنكون راضين فقط عن x، وهي ليست فقط غير متساوية، ولكنها أكبر من 0 تمامًا. لأن مجال اللوغاريتم هو أن تكون الحجة أكبر من 0. لذلك سأذكركم بصيغة رائعة من مقرر الجبر في الصفوف 8-9:

أي أننا يجب أن نكتب صيغتنا على النحو التالي:

سجل 3 × 2 = 2 ∙ سجل 3 |س |

ثم لن يحدث أي تضييق في مجال التعريف.

ومع ذلك، في الفيديو التعليمي اليوم لن تكون هناك مربعات. إذا نظرت إلى مهامنا، فسوف ترى الجذور فقط. ولذلك، فإننا لن نطبق هذه القاعدة، ولكن لا يزال يتعين علينا أن نضعها في الاعتبار حتى في الوقت المناسب عندما ترى وظيفة من الدرجة الثانيةفي وسيطة أو قاعدة اللوغاريتم، سوف تتذكر هذه القاعدة وتجري جميع التحويلات بشكل صحيح.

إذن المعادلة الأولى هي:

لحل هذه المشكلة، أقترح أن ننظر بعناية في كل من المصطلحات الموجودة في الصيغة.

دعونا نعيد كتابة الحد الأول كقوة ذات أس عقلاني:

ننظر إلى الحد الثاني: log 3 (1 − x ). لا تحتاج إلى القيام بأي شيء هنا، كل شيء يتم تحويله بالفعل.

أخيرًا، 0، 5. كما قلت في الدروس السابقة، عند حل المعادلات والصيغ اللوغاريتمية، أوصي بشدة بالانتقال من الكسور العشرية إلى الكسور العادية. هيا بنا نقوم بذلك:

0,5 = 5/10 = 1/2

دعنا نعيد كتابة صيغتنا الأصلية مع مراعاة الشروط التي تم الحصول عليها:

سجل 3 (1 − س ) = 1

الآن دعنا ننتقل إلى النموذج القانوني:

سجل 3 (1 − x ) = سجل 3 3

تخلص من علامة اللوغاريتم عن طريق مساواة الوسيطات:

1 - س = 3

-س = 2

س = −2

هذا كل شيء، لقد حللنا المعادلة. ومع ذلك، دعونا نواصل اللعب بأمان ونبحث عن مجال التعريف. للقيام بذلك، دعونا نعود إلى الصيغة الأصلية ونرى:

1 - س > 0

-س> -1

س< 1

جذرنا x = −2 يحقق هذا الشرط، لذا فإن x = −2 هو حل للمعادلة الأصلية. الآن لدينا مبرر واضح صارم. كل شيء، تم حل المهمة.

لننتقل إلى المهمة الثانية:

دعونا نتعامل مع كل مصطلح على حدة.

نكتب الأول:

لقد قمنا بتعديل الفصل الأول. نحن نعمل مع الفصل الثاني:

وأخيراً الحد الأخير الذي على يمين علامة التساوي:

نستبدل التعبيرات الناتجة بالمصطلحات الموجودة في الصيغة الناتجة:

سجل 3 × = 1

ننتقل إلى النموذج الكنسي:

سجل 3 س = سجل 3 3

نتخلص من إشارة اللوغاريتم بمساواة الحجج ونحصل على:

س = 3

مرة أخرى، في حالة حدوث ذلك، دعونا نحافظ على سلامتنا ونعود إلى المعادلة الأصلية ونرى. في الصيغة الأصلية، المتغير x موجود فقط في الوسيطة، لذلك،

س> 0

في اللوغاريتم الثاني، x يقع تحت الجذر، ولكن مرة أخرى في الوسيطة، يجب أن يكون الجذر أكبر من 0، أي أن تعبير الجذر يجب أن يكون أكبر من 0. نحن ننظر إلى جذرنا x = 3. من الواضح، يفي بهذا المطلب. لذلك، x = 3 هو الحل للمعادلة اللوغاريتمية الأصلية. كل شيء، تم حل المهمة.

هناك نقطتان رئيسيتان في الفيديو التعليمي اليوم:

1) لا تخف من تحويل اللوغاريتمات، وعلى وجه الخصوص، لا تخف من أخذ درجات من علامة اللوغاريتم، مع تذكر صيغتنا الأساسية: عند إخراج الدرجة من الوسيطة، يتم إخراجها ببساطة بدون يتغير كعامل، وعند إخراج الدرجة من القاعدة، يتم عكس هذه الدرجة.

2) النقطة الثانية تتعلق بالشكل القانوني الذاتي. لقد أجرينا الانتقال إلى الشكل القانوني في نهاية تحويل صيغة المعادلة اللوغاريتمية. تذكر الصيغة التالية:

أ = سجل ب ب أ

بالطبع أقصد بتعبير "أي رقم ب" تلك الأرقام التي تلبي المتطلبات المفروضة على قاعدة اللوغاريتم، أي.

1 ≠ ب > 0

بالنسبة لمثل هذا b، وبما أننا نعرف القاعدة بالفعل، فسيتم استيفاء هذا المطلب تلقائيًا. ولكن لمثل هذا ب - أي الذي يلبي هذا المطلب - يمكن إجراء هذا الانتقال، ونحصل على شكل قانوني يمكننا من خلاله التخلص من علامة اللوغاريتم.

امتداد مجال التعريف والجذور الإضافية

في عملية تحويل المعادلات اللوغاريتمية، قد يحدث امتداد ضمني لمجال التعريف. في كثير من الأحيان، لا يلاحظ الطلاب ذلك، مما يؤدي إلى أخطاء وإجابات غير صحيحة.

لنبدأ بأبسط التصاميم. أبسط معادلة لوغاريتمية هي كما يلي:

سجل و(س) = ب

لاحظ أن x موجود في وسيطة واحدة فقط لوغاريتم واحد. كيف نحل مثل هذه المعادلات؟ نحن نستخدم النموذج الكنسي. للقيام بذلك، نمثل الرقم ب \u003d سجل أ أ ب، وسيتم إعادة كتابة معادلتنا بالشكل التالي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

يسمى هذا التدوين بالشكل القانوني. إنه ينبغي تقليل أي معادلة لوغاريتمية ستقابلها ليس فقط في درس اليوم، ولكن أيضًا في أي عمل مستقل ومراقبة.

كيفية الوصول إلى الشكل القانوني، ما هي التقنيات التي يجب استخدامها - هذه بالفعل مسألة ممارسة. الشيء الرئيسي الذي يجب فهمه: بمجرد تلقي مثل هذا السجل، يمكننا أن نفترض أن المشكلة قد تم حلها. لأن الخطوة التالية هي الكتابة:

و(خ) = أ ب

بعبارة أخرى، نتخلص من إشارة اللوغاريتم ونساوي السعة ببساطة.

لماذا كل هذا الكلام؟ والحقيقة هي أن النموذج الكنسي لا ينطبق فقط على أبسط المشاكل، ولكن أيضا على أي مشكلة أخرى. على وجه الخصوص، لأولئك الذين سنخاطبهم اليوم. دعونا نلقي نظرة.

المهمة الأولى:

ما هي المشكلة في هذه المعادلة؟ حقيقة أن الدالة موجودة في لوغاريتمين في وقت واحد. يمكن اختصار المشكلة إلى أبسطها ببساطة عن طريق طرح لوغاريتم واحد من الآخر. ولكن هناك مشاكل في مجال التعريف: قد تظهر جذور إضافية. لذلك دعونا نحرك أحد اللوغاريتمات إلى اليمين:

هنا مثل هذا السجل يشبه إلى حد كبير الشكل القانوني. ولكن هناك فارق بسيط آخر: في الشكل القانوني، يجب أن تكون الحجج هي نفسها. ولدينا لوغاريتم الأساس 3 على اليسار، ولوغاريتم الأساس 1/3 على اليمين. كما تعلمون، تحتاج إلى جلب هذه القواعد إلى نفس الرقم. على سبيل المثال، دعونا نتذكر ما هي الأسس السالبة:

وبعد ذلك سوف نستخدم الأس "-1" خارج السجل كمضاعف:

يرجى ملاحظة: الدرجة التي كانت عند القاعدة تنقلب وتتحول إلى كسر. لقد حصلنا على تدوين قانوني تقريبًا من خلال التخلص من القواعد المختلفة، ولكن بدلاً من ذلك حصلنا على العامل "-1" على اليمين. دعونا نضع هذا العامل في الحجة عن طريق تحويله إلى قوة:

بالطبع، بعد أن تلقينا النموذج الكنسي، فإننا نعبر بجرأة علامة اللوغاريتم ونساوي الحجج. في الوقت نفسه، اسمحوا لي أن أذكرك أنه عندما يتم رفعه إلى قوة "−1"، فإن الكسر ينقلب ببساطة - يتم الحصول على نسبة.

دعونا نستخدم الخاصية الرئيسية للنسبة ونضربها بالعرض:

(س - 4) (2س - 1) = (س - 5) (3س - 4)

2س 2 - س - 8س + 4 = 3س 2 - 4س - 15س + 20

2x2 - 9x + 4 = 3x2 - 19x + 20

س2 - 10س + 16 = 0

أمامنا هو معادلة من الدرجة الثانيةلذا فإننا نحلها باستخدام صيغ فييتا:

(س − 8)(س − 2) = 0

س 1 = 8؛ ×2 = 2

هذا كل شئ. هل تعتقد أن المعادلة قد تم حلها؟ لا! لمثل هذا الحل، سنحصل على 0 نقطة، لأنه في المعادلة الأصلية يوجد لوغاريتمان مع المتغير x في وقت واحد. ولذلك، فمن الضروري أن تأخذ في الاعتبار مجال التعريف.

وهذا هو المكان الذي تبدأ فيه المتعة. معظم الطلاب في حيرة من أمرهم: ما هو مجال اللوغاريتم؟ بالطبع، جميع الوسيطات (لدينا اثنتين) يجب أن تكون أكبر من الصفر:

(س − 4)/(3س − 4) > 0

(س − 5)/(2س − 1) > 0

يجب حل كل من هذه المتباينات، ووضع علامة عليها على خط مستقيم، وتقاطعها - وعندها فقط معرفة الجذور التي تكمن عند التقاطع.

سأكون صادقًا: هذه التقنية لها الحق في الوجود، وهي موثوقة، وستحصل على الإجابة الصحيحة، ولكن هناك الكثير من الخطوات الإضافية فيها. لذلك دعونا نراجع الحل مرة أخرى ونرى: أين تريد تطبيق النطاق بالضبط؟ بمعنى آخر، عليك أن تفهم بوضوح متى تظهر الجذور الإضافية.

1. في البداية، كان لدينا لوغاريتمين. ثم قمنا بنقل إحداها إلى اليمين، لكن ذلك لم يؤثر على منطقة التعريف.
2. ثم نقوم بإزالة القوة من القاعدة، ولكن لا يزال هناك لوغاريتمين، وكل منهما يحتوي على المتغير x .
3. أخيرًا، نقوم بشطب علامات السجل ونحصل على المعادلة الكسرية الكلاسيكية.

وفي الخطوة الأخيرة يتم توسيع مجال التعريف! بمجرد التحول إلى معادلة عقلانية كسرية، والتخلص من علامات السجل، تغيرت متطلبات المتغير x بشكل كبير!

لذلك، يمكن اعتبار مجال التعريف ليس في بداية الحل، ولكن فقط في الخطوة المذكورة - قبل أن نساوي بين الحجج مباشرة.

وهنا تكمن فرصة التحسين. من ناحية، مطلوب منا أن تكون كلتا الوسيطتين أكبر من الصفر. ومن ناحية أخرى، فإننا نساوي هذه الحجج أيضًا. لذلك، إذا كان واحد منهم على الأقل إيجابيا، فإن الثاني سيكون إيجابيا أيضا!

لذا يتبين أن اشتراط تحقيق متباينتين في وقت واحد هو أمر مبالغ فيه. يكفي النظر في واحد فقط من هذه الكسور. أيها؟ الذي هو أسهل. على سبيل المثال، دعونا ننظر إلى الكسر الصحيح:

(س − 5)/(2س − 1) > 0

هذه متباينة كسرية نموذجية، ونحلها باستخدام طريقة الفاصل:

كيفية وضع العلامات؟ خذ عددًا من الواضح أنه أكبر من جميع جذورنا. على سبيل المثال، 1 مليار ونعوض بكسرها. نحصل على رقم موجب، أي. على يمين الجذر x = 5 ستكون هناك علامة زائد.

ثم تتناوب العلامات، لأنه لا توجد جذور للتعدد في أي مكان. نحن مهتمون بالفترات التي تكون فيها الدالة موجبة. وبالتالي x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

الآن دعونا نتذكر الإجابات: x = 8 و x = 2. بالمعنى الدقيق للكلمة، هذه ليست إجابات بعد، ولكنها مجرد مرشحات للإجابة. أي واحد ينتمي إلى المجموعة المحددة؟ بالطبع x = 8. لكن x = 2 لا تناسبنا من حيث مجال التعريف.

في المجمل، ستكون إجابة المعادلة اللوغاريتمية الأولى هي x = 8. والآن أصبح لدينا حل معقول ومعقول، مع الأخذ في الاعتبار مجال التعريف.

لننتقل إلى المعادلة الثانية:

سجل 5 (س - 9) = سجل 0.5 4 - سجل 5 (س - 5) + 3

أذكرك أنه إذا كان هناك كسر عشري في المعادلة، فعليك التخلص منه. بمعنى آخر، دعونا نعيد كتابة 0.5 في صورة كسر منتظم. نلاحظ على الفور أنه من السهل النظر في اللوغاريتم الذي يحتوي على هذه القاعدة:

هذه لحظة مهمة جدا! عندما يكون لدينا درجات في كل من القاعدة والوسيطة، يمكننا إخراج مؤشرات هذه الدرجات باستخدام الصيغة:

نعود إلى المعادلة اللوغاريتمية الأصلية ونعيد كتابتها:

سجل 5 (س - 9) = 1 - سجل 5 (س - 5)

لقد حصلنا على بناء قريب جدًا من الشكل القانوني. ومع ذلك، نحن في حيرة من أمرنا بشأن المصطلحات وعلامة الطرح الموجودة على يمين علامة التساوي. لنمثل الوحدة في صورة لوغاريتم للأساس 5:

سجل 5 (س - 9) = سجل 5 5 1 - سجل 5 (س - 5)

اطرح اللوغاريتمات الموجودة على اليمين (بينما يتم تقسيم حججها):

سجل 5 (س − 9) = سجل 5 5/(س − 5)

رائع. لذلك حصلنا على الشكل القانوني! نقوم بشطب علامات السجل ومساواة الحجج:

(س − 9)/1 = 5/(س − 5)

هذه نسبة يمكن حلها بسهولة عن طريق الضرب التبادلي:

(س − 9)(x − 5) = 5 1

س 2 - 9س - 5س + 45 = 5

س2 - 14س + 40 = 0

من الواضح أن لدينا معادلة تربيعية معينة. يمكن حلها بسهولة باستخدام صيغ فييتا:

(س − 10)(س − 4) = 0

× 1 = 10

× 2 = 4

لدينا جذرين. لكن هذه ليست إجابات نهائية، بل مجرد إجابات مرشحة، لأن المعادلة اللوغاريتمية تتطلب أيضًا التحقق من المجال.

أذكرك: لا تنظر متى كلمن الحجج ستكون أكبر من الصفر. ويكفي أن نشترط أن تكون الوسيطة الواحدة، إما x − 9 أو 5/(x − 5) أكبر من الصفر. النظر في الحجة الأولى:

س − 9 > 0

س > 9

ومن الواضح أن x = 10 فقط هو الذي يفي بهذا الشرط، وهذه هي الإجابة النهائية. تم حل جميع المشاكل.

مرة أخرى، الأفكار الرئيسية لدرس اليوم:

1. بمجرد ظهور المتغير x في عدة لوغاريتمات، تتوقف المعادلة عن أن تكون أولية، ومن الضروري حساب مجال التعريف لها. بخلاف ذلك، يمكنك بسهولة كتابة جذور إضافية ردًا على ذلك.
2. يمكن تبسيط العمل مع مجال التعريف نفسه إلى حد كبير إذا لم تتم كتابة عدم المساواة على الفور، ولكن بالضبط في اللحظة التي نتخلص فيها من علامات السجل. بعد كل شيء، عندما تتساوى الحجج مع بعضها البعض، يكفي أن نشترط أن تكون واحدة منها فقط أكبر من الصفر.

بالطبع، نحن أنفسنا نختار من أي حجة سنجري عدم المساواة، لذلك فمن المنطقي أن نختار الحجة الأبسط. على سبيل المثال، في المعادلة الثانية، اخترنا الوسيطة (x − 9) كدالة خطية، بدلاً من الوسيطة الثانية الكسرية. أوافق على أن حل المتراجحة x − 9 > 0 أسهل بكثير من 5/(x − 5) > 0. على الرغم من أن النتيجة واحدة.

تعمل هذه الملاحظة على تبسيط عملية البحث عن ODZ إلى حد كبير، ولكن كن حذرًا: يمكنك استخدام متباينة واحدة بدلاً من متباينتين فقط عندما تكون الوسيطات دقيقة متساوية مع بعضها البعض!

وبطبيعة الحال، سوف يتساءل شخص ما الآن: ما الذي يحدث بشكل مختلف؟ نعم احيانا. على سبيل المثال، في الخطوة نفسها، عندما نضرب وسيطتين تحتويان على متغير، يكون هناك خطر من وجود جذور إضافية.

احكم بنفسك: في البداية يشترط أن يكون كل من الوسيطتين أكبر من الصفر، ولكن بعد الضرب يكفي أن يكون حاصل ضربهما أكبر من الصفر. ونتيجة لذلك، يتم تفويت الحالة التي يكون فيها كل من هذه الكسور سالبة.

لذلك، إذا كنت قد بدأت للتو في التعامل مع المعادلات اللوغاريتمية المعقدة، فلا تقم بأي حال من الأحوال بضرب اللوغاريتمات التي تحتوي على المتغير x - ففي كثير من الأحيان سيؤدي ذلك إلى جذور إضافية. من الأفضل اتخاذ خطوة إضافية، ونقل حد واحد إلى الجانب الآخر، وتكوين النموذج الأساسي.

حسنًا، ماذا تفعل إذا لم تتمكن من فعل ذلك دون ضرب هذه اللوغاريتمات، سنناقشه في الفيديو التعليمي التالي. :)

مرة أخرى عن القوى في المعادلة

سنحلل اليوم موضوعًا زلقًا نوعًا ما فيما يتعلق بالمعادلات اللوغاريتمية، أو بالأحرى، إزالة القوى من حجج وأسس اللوغاريتمات.

أود أن أقول حتى نحن سوف نتكلمحول إخراج القوى الزوجية، لأنه مع القوى الزوجية تنشأ معظم الصعوبات عند حل المعادلات اللوغاريتمية الحقيقية.

لنبدأ بالشكل القانوني. لنفترض أن لدينا معادلة مثل log a f (x) = b. في هذه الحالة، نعيد كتابة الرقم b حسب الصيغة b = log a a b . اتضح ما يلي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

ثم نقوم بمساواة الحجج:

و(خ) = أ ب

تسمى الصيغة قبل الأخيرة بالشكل القانوني. بالنسبة لها يحاولون اختزال أي معادلة لوغاريتمية، مهما بدت معقدة وفظيعة للوهلة الأولى.

هنا، دعونا نحاول. لنبدأ بالمهمة الأولى:

ملاحظة أولية: كما قلت، كل شيء الكسور العشريةفي المعادلة اللوغاريتمية من الأفضل ترجمتها إلى معادلة عادية:

0,5 = 5/10 = 1/2

دعونا نعيد كتابة المعادلة مع وضع هذه الحقيقة في الاعتبار. لاحظ أن كلا من 1/1000 و100 هما من قوى العدد 10، ثم نخرج القوى من حيثما كانت: من الوسائط وحتى من قاعدة اللوغاريتمات:

وهنا يطرح السؤال لكثير من الطلاب: "من أين أتت الوحدة على اليمين؟" في الواقع، لماذا لا نكتب فقط (x - 1)؟ بالطبع سنكتب الآن (x − 1)، لكن الحق في مثل هذا السجل يمنحنا حساب مجال التعريف. ففي نهاية المطاف، يحتوي اللوغاريتم الآخر بالفعل على (x − 1)، ويجب أن يكون هذا التعبير أكبر من الصفر.

لكن عندما نخرج المربع من قاعدة اللوغاريتم، يجب أن نترك الوحدة عند القاعدة. سأشرح لماذا.

والحقيقة هي أنه من وجهة نظر الرياضيات، فإن الحصول على درجة علمية هو بمثابة تجذير. على وجه الخصوص، عندما يتم تربيع التعبير (x − 1) 2، فإننا نستخرج أساسًا جذر الدرجة الثانية. لكن الجذر التربيعي ليس أكثر من مجرد معامل. بالضبط وحدةلأنه حتى لو كان التعبير x - 1 سالبًا، عند تربيع "ناقص" سيظل يحترق. المزيد من استخراج الجذر سيعطينا رقمًا موجبًا - بالفعل بدون أي سلبيات.

بشكل عام، لتجنب الأخطاء الهجومية، تذكر مرة واحدة وإلى الأبد:

جذر الدرجة الزوجية من أي دالة مرفوعة إلى نفس القوة لا يساوي الدالة نفسها، بل يساوي معاملها:

نعود إلى المعادلة اللوغاريتمية. في معرض حديثه عن الوحدة، جادلت بأنه يمكننا إزالتها دون ألم. هذا صحيح. الآن سأشرح السبب. بالمعنى الدقيق للكلمة، كان علينا أن ننظر في خيارين:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = س - 1
2. س - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

وسيتعين معالجة كل خيار من هذه الخيارات. لكن هناك مشكلة واحدة: الصيغة الأصلية تحتوي بالفعل على الدالة (x − 1) بدون أي معامل. وباتباع مجال تعريف اللوغاريتمات، يمكننا على الفور كتابة x − 1 > 0.

يجب تلبية هذا المطلب بغض النظر عن أي وحدات أو تحويلات أخرى نقوم بها في عملية الحل. لذلك، من غير المجدي النظر في الخيار الثاني - فلن ينشأ أبدا. حتى لو حصلنا، عند حل هذا الفرع من المتراجحة، على بعض الأرقام، فلن يتم تضمينها في الإجابة النهائية.

نحن الآن على بعد خطوة واحدة من الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية. لنمثل الوحدة على النحو التالي:

1 = السجل س − 1 (س − 1) 1

بالإضافة إلى ذلك، نقوم بإدخال العامل −4، الموجود على اليمين، في الوسيطة:

سجل x − 1 10 −4 = سجل x − 1 (x − 1)

أمامنا الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية. تخلص من علامة اللوغاريتم:

10 −4 = س − 1

ولكن بما أن الأساس كان دالة (وليس رقمًا أوليًا)، فإننا نطلب بالإضافة إلى ذلك أن تكون هذه الدالة أكبر من الصفر ولا تساوي واحدًا. الحصول على النظام:

بما أن الشرط x − 1 > 0 قد تم استيفاؤه تلقائيًا (لأن x − 1 = 10 −4)، فيمكن حذف إحدى المتباينات من نظامنا. يمكن أيضًا شطب الشرط الثاني لأن x − 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

س = 1 + 0.0001 = 1.0001

هذا هو الجذر الوحيد الذي يلبي تلقائيًا جميع متطلبات مجال تعريف اللوغاريتم (ومع ذلك، تم حذف جميع المتطلبات لأنها استوفيت عن قصد في ظروف مشكلتنا).

إذن المعادلة الثانية هي:

3 سجل 3 × س = 2 سجل 9 × × 2

كيف تختلف هذه المعادلة جوهريا عن المعادلة السابقة؟ بالفعل على الأقل من خلال حقيقة أن قواعد اللوغاريتمات - 3x و 9x - ليست قوى طبيعية لبعضها البعض. ولذلك، فإن الانتقال الذي استخدمناه في الحل السابق غير ممكن.

دعونا على الأقل نتخلص من الدرجات. في حالتنا، القوة الوحيدة هي في الحجة الثانية:

3 سجل 3 x x = 2 ∙ 2 سجل 9 x |x |

ومع ذلك، يمكن إزالة علامة المعامل، لأن المتغير x موجود أيضًا في القاعدة، أي. س > 0 ⇒ |س| = س. دعونا نعيد كتابة المعادلة اللوغاريتمية:

3 سجل 3 × س = 4 سجل 9 × ×

لقد حصلنا على اللوغاريتمات التي تكون فيها الحجج هي نفسها، ولكن أسباب مختلفة. كيفية المضي قدما؟ هناك العديد من الخيارات هنا، لكننا سننظر في اثنين منها فقط، وهما الأكثر منطقية، والأهم من ذلك، أنها حيل سريعة ومفهومة لمعظم الطلاب.

لقد نظرنا بالفعل في الخيار الأول: في أي موقف غير مفهوم، قم بترجمة اللوغاريتمات ذات القاعدة المتغيرة إلى قاعدة ثابتة معينة. على سبيل المثال، إلى الشيطان. صيغة التحويل بسيطة:

بالطبع، يجب أن يعمل الرقم الطبيعي كمتغير c: 1 ≠ c > 0. لنفترض أن c = 2. الآن لدينا معادلة كسرية عادية. نقوم بجمع كل العناصر الموجودة على اليسار:

من الواضح أنه من الأفضل إخراج العامل log 2 x، لأنه موجود في الكسرين الأول والثاني.

سجل 2 × = 0؛

3 سجل 2 9س = 4 سجل 2 3س

نقوم بتقسيم كل سجل إلى فترتين:

سجل 2 9x = سجل 2 9 + سجل 2 x = 2 سجل 2 3 + سجل 2 x;

سجل 2 3س = سجل 2 3 + سجل 2 س

دعونا نعيد كتابة طرفي المساواة مع الأخذ بعين الاعتبار هذه الحقائق:

3 (2 سجل 2 3 + سجل 2 x ) = 4 (سجل 2 3 + سجل 2 x )

6 سجل 2 3 + 3 سجل 2 س = 4 سجل 2 3 + 4 سجل 2 س

2 سجل 2 3 = سجل 2 س

الآن يبقى إضافة شيطان تحت علامة اللوغاريتم (سوف يتحول إلى قوة: 3 2 \u003d 9):

سجل 2 9 = سجل 2 س

أمامنا الشكل القانوني الكلاسيكي، نتخلص من علامة اللوغاريتم ونحصل على:

وكما هو متوقع، تبين أن هذا الجذر أكبر من الصفر. يبقى للتحقق من مجال التعريف. دعونا ننظر إلى القواعد:

لكن الجذر x = 9 يلبي هذه المتطلبات. ولذلك، فهو القرار النهائي.

الاستنتاج من هذا القراربسيطة: لا تخف من الحسابات الطويلة! لقد اخترنا في البداية قاعدة جديدة بشكل عشوائي - وهذا أدى إلى تعقيد العملية بشكل كبير.

ولكن بعد ذلك يطرح السؤال: ما هو الأساس؟ أفضل؟ سأتحدث عن هذا بالطريقة الثانية.

لنعد إلى معادلتنا الأصلية:

3 سجل 3x x = 2 سجل 9x x 2

3 سجل 3x x = 2 ∙ 2 سجل 9x |x |

س > 0 ⇒ |س| = س

3 سجل 3 × س = 4 سجل 9 × ×

الآن دعونا نفكر قليلاً: ما هو الرقم أو الوظيفة التي ستكون القاعدة المثالية؟ من الواضح أن الخيار الأفضلسيكون c = x - ما هو موجود بالفعل في الوسائط. في هذه الحالة، الصيغة log a b = log c b / log c a سوف تأخذ الشكل:

وبعبارة أخرى، يتم عكس التعبير ببساطة. في هذه الحالة، يتم عكس الحجة والأساس.

هذه الصيغة مفيدة جدًا وغالبًا ما تستخدم في حل المعادلات اللوغاريتمية المعقدة. ومع ذلك، عند استخدام هذه الصيغة، هناك مأزق خطير للغاية. إذا قمنا باستبدال المتغير x بدلاً من الأساس، فسيتم فرض قيود عليه لم يتم ملاحظتها مسبقًا:

لم يكن هناك مثل هذا القيد في المعادلة الأصلية. لذلك، يجب أن نتحقق بشكل منفصل من الحالة عندما تكون x = 1. نعوض بهذه القيمة في المعادلة:

3 سجل 3 1 = 4 سجل 9 1

نحصل على المساواة العددية الصحيحة. وبالتالي فإن x = 1 هو جذر. لقد وجدنا نفس الجذر تمامًا في الطريقة السابقة في بداية الحل.

لكن الآن، عندما نظرنا بشكل منفصل في هذه الحالة بالذات، فإننا نعتقد بجرأة أن x ≠ 1. ثم ستتم إعادة كتابة المعادلة اللوغاريتمية بالشكل التالي:

3 سجل × 9x = 4 سجل × 3x

نقوم بتوسيع كلا اللوغاريتمين وفقًا لنفس الصيغة كما في السابق. لاحظ أن السجل x x = 1:

3 (سجل x 9 + سجل x x ) = 4 (سجل x 3 + سجل x x )

3 لوغاريتم × 9 + 3 = 4 لوغاريتم × 3 + 4

3 سجل × 3 2 − 4 سجل × 3 = 4 − 3

2 سجل × 3 = 1

نأتي هنا إلى الشكل القانوني:

سجل × 9 = سجل × × 1

س = 9

لقد حصلنا على الجذر الثاني. إنه يفي بالمتطلبات x ≠ 1. لذلك، x = 9 مع x = 1 هي الإجابة النهائية.

كما ترون، انخفض حجم العمليات الحسابية قليلاً. ولكن عند حل معادلة لوغاريتمية حقيقية، سيكون عدد الخطوات أقل بكثير أيضًا لأنه ليس مطلوبًا منك وصف كل خطوة بمثل هذه التفاصيل.

القاعدة الأساسية لدرس اليوم هي كما يلي: إذا كانت هناك درجة زوجية في المشكلة، والتي يتم استخراج جذر نفس الدرجة منها، فسنحصل على وحدة عند الإخراج. ومع ذلك، يمكن إزالة هذه الوحدة إذا انتبهت إلى مجال تعريف اللوغاريتمات.

لكن كن حذرًا: يعتقد معظم الطلاب بعد هذا الدرس أنهم يفهمون كل شيء. ولكن عند حل المشكلات الحقيقية، لا يمكنهم إعادة إنتاج السلسلة المنطقية بأكملها. ونتيجة لذلك، تكتسب المعادلة جذورًا إضافية، وتكون الإجابة خاطئة.

التحضير للاختبار النهائي في الرياضيات يشمل قسم مهم- اللوغاريتمات. المهام من هذا الموضوع موجودة بالضرورة في الامتحان. تظهر تجربة السنوات الماضية أن المعادلات اللوغاريتمية تسببت في صعوبات للعديد من أطفال المدارس. لذلك، يجب على الطلاب ذوي مستويات التدريب المختلفة فهم كيفية العثور على الإجابة الصحيحة والتعامل معها بسرعة.

اجتياز اختبار الشهادة بنجاح بمساعدة البوابة التعليمية "شكولكوفو"!

عند التحضير لامتحان الدولة الموحد، يحتاج خريجو المدارس الثانوية إلى مصدر موثوق يوفر المعلومات الأكثر اكتمالا ودقة للتوصل إلى حل ناجح. مهام الاختبار. ومع ذلك، فإن الكتاب المدرسي ليس في متناول اليد دائمًا، وغالبًا ما يستغرق البحث عن القواعد والصيغ اللازمة على الإنترنت وقتًا.

تتيح لك البوابة التعليمية "Shkolkovo" الاستعداد للامتحان في أي مكان وفي أي وقت. يقدم موقعنا الطريقة الأكثر ملاءمة لتكرار وإتقان كمية كبيرة من المعلومات حول اللوغاريتمات، وكذلك حول مجهول واحد أو أكثر. ابدأ بالمعادلات السهلة. إذا تعاملت معهم دون صعوبة، انتقل إلى أكثر صعوبة. إذا كانت لديك مشكلة في حل متباينة معينة، يمكنك إضافتها إلى المفضلة حتى تتمكن من العودة إليها لاحقًا.

يجد الصيغ اللازمةلإكمال المهمة، يمكنك تكرار حالات وطرق خاصة لحساب جذر معادلة لوغاريتمية قياسية من خلال النظر في قسم "المرجع النظري". قام مدرسو "شكولكوفو" بجمع وتنظيم وتقديم جميع المواد اللازمة للتسليم الناجح في أبسط أشكالها وأكثرها مفهومة.

من أجل التعامل بسهولة مع المهام بأي تعقيد، يمكنك على بوابتنا التعرف على حل بعض المعادلات اللوغاريتمية النموذجية. للقيام بذلك، انتقل إلى قسم "الكتالوجات". لقد قدمنا عدد كبير منأمثلة، بما في ذلك معادلات المستوى الشخصي لامتحان الدولة الموحد في الرياضيات.

يمكن للطلاب من المدارس في جميع أنحاء روسيا استخدام بوابتنا. للبدء، ما عليك سوى التسجيل في النظام والبدء في حل المعادلات. لتوحيد النتائج ننصحك بالعودة إلى موقع شكولكوفو يومياً.

المعادلات اللوغاريتمية. نواصل النظر في المهام من الجزء ب من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات. لقد نظرنا بالفعل في حلول بعض المعادلات في المقالات ""، "". في هذه المقالة، سننظر في المعادلات اللوغاريتمية. يجب أن أقول على الفور أنه لن تكون هناك تحويلات معقدة عند حل مثل هذه المعادلات في الاستخدام. إنها بسيطة.

يكفي معرفة وفهم الهوية اللوغاريتمية الأساسية، لمعرفة خصائص اللوغاريتم. انتبه إلى حقيقة أنه بعد القرار، من الضروري إجراء فحص - استبدل القيمة الناتجة في المعادلة الأصلية واحسب، نتيجة لذلك، يجب الحصول على المساواة الصحيحة.

تعريف:

لوغاريتم الرقم أ للأساس ب هو الأس،الذي يجب رفع b إليه للحصول على a.

على سبيل المثال:

سجل 3 9 = 2 حيث أن 3 2 = 9

خصائص اللوغاريتمات:

حالات خاصة من اللوغاريتمات:

نحن نحل المشاكل. في المثال الأول، سوف نقوم بإجراء فحص. قم بالفحص التالي بنفسك.

أوجد جذر المعادلة: log 3 (4–x) = 4

بما أن السجل b a = x b x = a، إذن

3 4 \u003d 4 - س

س = 4 - 81

س = -77

فحص:

سجل 3 (4–(–77)) = 4

سجل 3 81 = 4

3 4 = 81 صحيح.

الجواب: - 77

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة: log 2 (4 - x) = 7

أوجد جذر معادلة السجل 5(4 + س) = 2

نحن نستخدم الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

بما أن السجل a b = x b x = a، إذن

5 2 = 4 + س

س = 5 2 - 4

س=21

فحص:

سجل 5 (4 + 21) = 2

سجل 5 25 = 2

5 2 = 25 صحيح.

الجواب: 21

أوجد جذر المعادلة سجل 3 (14 - س) = سجل 3 5.

تحدث الخاصية التالية، معناها كما يلي: إذا كان لدينا على الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة لوغاريتمات لها نفس الأساس، فيمكننا مساواة التعبيرات تحت علامات اللوغاريتمات.

14 - س = 5

س = 9

قم بإجراء فحص.

الجواب: 9

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة سجل 5 (5 - س) = سجل 5 3.

أوجد جذر المعادلة: سجل 4 (س + 3) = سجل 4 (4س - 15).

إذا كان سجل ج أ = سجل ج ب، ثم أ = ب

س + 3 = 4س - 15

3س = 18

س=6

قم بإجراء فحص.

الجواب: 6

أوجد جذر سجل المعادلة 1/8 (13 - x) = - 2.

(1/8) -2 = 13 - س

8 2 \u003d 13 - س

س = 13 - 64

س = -51

قم بإجراء فحص.

إضافة صغيرة - هنا يتم استخدام الخاصية

درجة().

الجواب: - 51

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة: لوغاريتم 1/7 (7 - س) = - 2

أوجد جذر المعادلة سجل 2 (4 - س) = 2 سجل 2 5.

دعونا نحول الجانب الأيمن. استخدم العقار:

سجل أ ب م = م∙ سجل أ ب

سجل 2 (4 - س) = سجل 2 5 2

إذا كان سجل ج أ = سجل ج ب، ثم أ = ب

4 - س = 5 2

4 - س = 25

س = -21

قم بإجراء فحص.

الجواب: - 21

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

حل سجل المعادلة 5 (x 2 + 4x) = سجل 5 (x 2 + 11)

إذا كان سجل ج أ = سجل ج ب، ثم أ = ب

س2 + 4س = س2 + 11

4س = 11

س = 2.75

قم بإجراء فحص.

الجواب: 2.75

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة سجل 5 (س 2 + س) = سجل 5 (س 2 + 10).

حل سجل المعادلة 2 (2 - س) = سجل 2 (2 - 3س) +1.

مطلوب مع الجانب الأيمنمعادلات للحصول على تعبير عن النموذج:

السجل 2 (......)

تمثيل 1 كقاعدة لوغاريتم 2:

1 = السجل 2 2

سجل ج (أب) = سجل ج أ + سجل ج ب

سجل 2 (2 - س) = سجل 2 (2 - 3س) + سجل 2 2

نحن نحصل:

سجل 2 (2 - س) = سجل 2 2 (2 - 3س)

إذا كان سجل ج أ = سجل ج ب، ثم أ = ب، ثم

2 - س = 4 - 6س

5س = 2

س=0.4

قم بإجراء فحص.

الجواب: 0.4

تقرر لنفسك: بعد ذلك، عليك حل معادلة من الدرجة الثانية. بالمناسبة،

الجذور هي 6 و -4.

جذر "-"4" ليس حلاً، لأن قاعدة اللوغاريتم يجب أن تكون أكبر من الصفر، ومع "– 4" يساوي " – 5 ". الحل هو جذر 6قم بإجراء فحص.

الجواب: 6.

ر تناول الطعام بنفسك:

حل سجل المعادلة x –5 49 = 2. إذا كانت المعادلة لها أكثر من جذر واحد، أجب عن الجذر الأصغر.

كما ترون، لا توجد تحويلات معقدة مع المعادلات اللوغاريتميةلا. يكفي معرفة خصائص اللوغاريتم والقدرة على تطبيقها. في مهام الاستخدام المتعلقة بالتحويل التعبيرات اللوغاريتمية، يتم إجراء تحولات أكثر جدية ويتطلب الأمر مهارات أعمق في الحل. سننظر في مثل هذه الأمثلة، لا تفوتها!أتمنى لك النجاح!!!

مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ.

ملاحظة: سأكون ممتنًا إذا تحدثت عن الموقع في الشبكات الاجتماعية.

أمثلة:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

كيفية حل المعادلات اللوغاريتمية:

عند حل معادلة لوغاريتمية، ينبغي للمرء أن يسعى لتحويلها إلى النموذج \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\)، ثم الانتقال إلى \(f(x) )=ز(س) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

مثال:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

حل: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(س-2=8\) \(س=10\) فحص:\(10>2\) - مناسب لـ ODZ إجابة:\(س=10\)

أودز: \(س-2>0\) \(س>2\)

مهم جدا!لا يمكن إجراء هذا الانتقال إلا إذا:

لقد كتبت للمعادلة الأصلية، وفي النهاية تحقق مما إذا كانت تلك التي تم العثور عليها مدرجة في DPV. إذا لم يتم ذلك، فقد تظهر جذور إضافية، وهو ما يعني القرار الخاطئ.

الرقم (أو التعبير) هو نفسه على اليسار واليمين؛

اللوغاريتمات الموجودة على اليسار واليمين "نقية"، أي أنه لا ينبغي أن يكون هناك أي عمليات ضرب أو قسمة، وما إلى ذلك. - فقط اللوغاريتمات الوحيدة على جانبي علامة التساوي.

على سبيل المثال:

لاحظ أنه يمكن حل المعادلتين 3 و4 بسهولة عن طريق تطبيق خصائص اللوغاريتمات المطلوبة.

مثال . حل المعادلة \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

حل :

		لنكتب ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		على اليسار أمام اللوغاريتم يوجد المعامل، وعلى اليمين هو مجموع اللوغاريتمات. هذا يزعجنا. لننقل الاثنين إلى الأس \(x\) بواسطة الخاصية: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). نحن نمثل مجموع اللوغاريتمات كوغاريتم واحد بواسطة الخاصية: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		أحضرنا المعادلة إلى النموذج \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) وكتبنا ODZ، مما يعني أنه يمكننا الانتقال إلى النموذج \(f (س)=ز(س)\ ).
		حدث . نحن نحلها ونحصل على الجذور.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		نتحقق مما إذا كانت الجذور مناسبة لـ ODZ. للقيام بذلك، في \(x>0\) بدلاً من \(x\) نستبدل \(5\) و\(-5\). يمكن إجراء هذه العملية عن طريق الفم.
\(5>0\), \(-5>0\)		المتباينة الأولى صحيحة، والثانية ليست كذلك. إذن \(5\) هو جذر المعادلة، لكن \(-5\) ليس كذلك. نكتب الجواب.

إجابة : \(5\)

مثال : حل المعادلة \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

حل :

		لنكتب ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		معادلة نموذجية تم حلها بـ . استبدل \(\log_2⁡x\) بـ \(t\).
\(ر=\log_2⁡x\)
		تلقى المعتاد. يبحث عن جذوره.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		إجراء استبدال عكسي
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		نحول الأجزاء الصحيحة، ونمثلها باللوغاريتمات: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) و \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		الآن معادلاتنا هي \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) ويمكننا الانتقال إلى \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		نتحقق من مراسلات جذور ODZ. للقيام بذلك، بدلًا من \(x\) نعوض \(4\) و \(2\) في المتراجحة \(x>0\).
\(4>0\) \(2>0\)		كلا عدم المساواة صحيح. إذن كلا من \(4\) و\(2\) هما جذور المعادلة.

إجابة : \(4\); \(2\).