تكامل الوظائف المنطقية وطريقة المعاملات غير المحددة. أمثلة على تكامل التوابع الكسرية (الكسور)

نقدم هنا حلولاً مفصلة لثلاثة أمثلة لتكامل الكسور المنطقية التالية:
, , .

مثال 1

حساب التكامل:
.

حل

هنا ، توجد دالة كسرية تحت علامة التكامل ، لأن التكامل و جزء من كثيرات الحدود. درجة المقام كثير الحدود ( 3 ) أقل من درجة كثير حدود البسط ( 4 ). لذلك ، تحتاج أولاً إلى تحديد الجزء الكامل من الكسر.

1. لنأخذ الجزء الصحيح من الكسر. قسّم x 4 في x 3-6 × 2 + 11 × - 6:

من هنا
.

2. دعونا نحلل المقام. للقيام بذلك ، تحتاج إلى حل المعادلة التكعيبية:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
عوّض x = 1 :
.

1 . قسّم على x - 1 :

من هنا
.
نحن نقرر معادلة من الدرجة الثانية.
.
جذور المعادلة: ،.
ثم
.

3. دعونا نحلل الكسر إلى كسور بسيطة.

.

لذلك وجدنا:
.
دعونا نتكامل.

إجابة

مثال 2

حساب التكامل:
.

حل

هنا في بسط الكسر كثير الحدود من الدرجة صفر ( 1 = x0). المقام هو كثير حدود من الدرجة الثالثة. بسبب ال 0 < 3 ، فسيكون الكسر صحيحًا. دعونا نقسمها إلى كسور بسيطة.

1. دعونا نحلل المقام. للقيام بذلك ، تحتاج إلى حل معادلة الدرجة الثالثة:
.
افترض أن لها جذرًا صحيحًا واحدًا على الأقل. ثم يكون القاسم على الرقم 3 (عضو بدون x). أي أن الجذر الكامل يمكن أن يكون أحد الأرقام:
1, 3, -1, -3 .
عوّض x = 1 :
.

إذن ، وجدنا جذرًا واحدًا لـ x = 1 . قسّم x 3 + 2 × - 3في x- 1 :

لذا،
.

نحل المعادلة التربيعية:
x 2 + س + 3 = 0.
أوجد المميز: D = 1 2-4 3 = -11. لأن د< 0 ، إذن فالمعادلة ليس لها جذور حقيقية. وهكذا حصلنا على تحلل المقام إلى عوامل:
.

2.
.
(س - 1) (س 2 + س + 3):
(2.1) .
عوّض x = 1 . ثم x- 1 = 0 ,
.

استبدل في (2.1) س = 0 :
1 = 3 أ - ج;
.

تعادل في (2.1) المعاملات في x 2 :
;
0 = أ + ب;
.

.

3. دعونا نتكامل.
(2.2) .
لحساب التكامل الثاني ، نختار مشتق المقام في البسط ونختزل المقام إلى مجموع المربعات.

;
;
.

أحسب أنا 2 .


.
منذ المعادلة س 2 + س + 3 = 0ليس له جذور حقيقية ، ثم س 2 + س + 3> 0. لذلك ، يمكن حذف علامة الوحدة النمطية.

نحن نسلم إلى (2.2) :
.

إجابة

مثال 3

حساب التكامل:
.

حل

هنا ، تحت علامة التكامل يوجد جزء من كثيرات الحدود. لذلك ، فإن دالة التكامل هي دالة كسرية. درجة كثير الحدود في البسط هي 3 . درجة كثير حدود مقام الكسر هي 4 . بسبب ال 3 < 4 ، فسيكون الكسر صحيحًا. لذلك ، يمكن أن تتحلل إلى كسور بسيطة. لكن لهذا تحتاج إلى تحليل المقام إلى عوامل.

1. دعونا نحلل المقام. للقيام بذلك ، تحتاج إلى حل معادلة الدرجة الرابعة:
.
افترض أن لها جذرًا صحيحًا واحدًا على الأقل. ثم يكون القاسم على الرقم 2 (عضو بدون x). أي أن الجذر الكامل يمكن أن يكون أحد الأرقام:
1, 2, -1, -2 .
عوّض x = -1 :
.

إذن ، وجدنا جذرًا واحدًا لـ x = -1 . قسّم على x - (-1) = س + 1:


لذا،
.

نحتاج الآن إلى حل معادلة الدرجة الثالثة:
.
إذا افترضنا أن هذه المعادلة لها جذر صحيح ، فهي إذن مقسوم على الرقم 2 (عضو بدون x). أي أن الجذر الكامل يمكن أن يكون أحد الأرقام:
1, 2, -1, -2 .
عوّض x = -1 :
.

إذن ، وجدنا جذرًا آخر لـ x = -1 . سيكون من الممكن ، كما في الحالة السابقة ، تقسيم كثير الحدود على ، لكننا سنجمع المصطلحات:
.

منذ المعادلة س 2 + 2 = 0 ليس له جذور حقيقية ، ثم نحصل على عامل المقام:
.

2. دعونا نحلل الكسر إلى كسور بسيطة. نبحث عن تحلل في الشكل:
.
نتخلص من مقام الكسر ، ونضرب في (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
عوّض x = -1 . ثم x + 1 = 0 ,
.

يميز (3.1) :

;

.
عوّض x = -1 وتأخذ في الاعتبار أن x + 1 = 0 :
;
; .

استبدل في (3.1) س = 0 :
0 = 2 أ + 2 ب + د;
.

تعادل في (3.1) المعاملات في x 3 :
;
1 = ب + ج;
.

لذلك وجدنا التحلل إلى كسور بسيطة:
.

3. دعونا نتكامل.


.

الموضوع: تكامل الكسور النسبية.

انتباه! عند دراسة إحدى الطرق الرئيسية للتكامل - تكامل الكسور المنطقية - من الضروري مراعاة كثيرات الحدود في المجال المعقد للحصول على براهين صارمة. لذلك ، من الضروري الدراسة مقدما بعض خصائص الأعداد المركبة والعمليات عليها.

تكامل أبسط الكسور النسبية.

لو ص(ض) و س(ض) هي كثيرات الحدود في المجال المركب ، إذن هي كسر كسري. تسمى صحيحإذا كانت الدرجة ص(ض) درجة أقل س(ض) ، و خطأإذا كانت الدرجة ص لا تقل درجة س.

لا جزء الصحيحيمكن تمثيلها على النحو التالي: ,

الفوسفور (ض) = Q (z) S (z) + R (z) ،

أ ص(ض) – كثير الحدود الذي تكون درجته أقل من الدرجة س(ض).

وبالتالي ، يتم تقليل تكامل الكسور المنطقية إلى تكامل كثيرات الحدود ، أي وظائف القدرة ، والكسور المناسبة ، لأنها جزء مناسب.

التعريف 5. الكسور الأبسط (أو الأولية) هي كسور من الأنواع التالية:

1) , 2) , 3) , 4) .

دعنا نتعرف على كيفية دمجها.

3) (تم استكشافه سابقًا).

النظرية 5. يمكن تمثيل أي كسر صحيح كمجموع الكسور البسيطة (بدون دليل).

النتيجة الطبيعية 1. إذا كان كسرًا منطقيًا مناسبًا ، وإذا كانت هناك جذور حقيقية بسيطة من بين جذور كثير الحدود ، فعند توسيع الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة ، لن يكون هناك سوى كسور بسيطة من النوع الأول:

مثال 1

النتيجة الطبيعية 2. إذا كان كسرًا منطقيًا مناسبًا ، وإذا كان من بين جذور كثير الحدود جذور حقيقية متعددة فقط ، فعند توسيع الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة ، سيكون هناك كسور بسيطة فقط من النوعين الأول والثاني :

مثال 2

النتيجة الطبيعية 3. إذا كان كسرًا منطقيًا مناسبًا ، وإذا كان هناك فقط جذور مترافقة معقدة من بين جذور كثير الحدود ، فعند توسيع الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة سيكون هناك فقط كسور بسيطة من النوع الثالث:

مثال 3

نتيجة طبيعية 4. إذا كان كسرًا منطقيًا مناسبًا ، وإذا كان هناك عدة جذور مترافقة معقدة من بين جذور كثير الحدود ، فعند توسيع الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة ، سيكون هناك كسور بسيطة فقط من الثالث والرابع الأنواع:

لتحديد المعاملات غير المعروفة في التوسعات أعلاه ، تابع ما يلي. يتم ضرب الجزأين الأيمن والأيسر من التوسيع الذي يحتوي على معاملات غير معروفة من خلال المساواة بين عديدي الحدود. يتم الحصول على معادلات المعاملات المرغوبة منه ، باستخدام ما يلي:

1. المساواة صالحة لأية قيم X (طريقة القيم الجزئية). في هذه الحالة ، يتم الحصول على أي عدد من المعادلات ، أي متر منها يسمح لنا بإيجاد معاملات غير معروفة.

2. تتطابق المعاملات عند نفس قوى X (طريقة المعاملات غير المحددة). في هذه الحالة ، يتم الحصول على نظام m - المعادلات مع m - المجهول ، والتي من خلالها يتم العثور على معاملات غير معروفة.

3. الطريقة المركبة.

مثال 5. فك كسر كسر لأبسطها.

حل:

أوجد المعاملين أ وب.

طريقة واحدة - طريقة القيمة الخاصة:

الطريقة الثانية - طريقة المعاملات غير المؤكدة:

إجابة:

تكامل الكسور المنطقية.

نظرية 6. يوجد التكامل غير المحدود لأي كسر نسبي على أي فترة لا يساوي فيها قاسمه صفرًا ويتم التعبير عنه من حيث الوظائف الأولية ، أي الكسور المنطقية، اللوغاريتمات و Arctangents.

دليل.

نمثل كسرًا منطقيًا بالشكل: . علاوة على ذلك ، فإن المصطلح الأخير هو كسر مناسب ، ومن خلال النظرية 5 يمكن تمثيله كمجموعة خطية من الكسور البسيطة. وبالتالي ، فإن دمج كسر منطقي يقلل من تكامل كثير الحدود س(x) وأبسط الكسور ، التي تحتوي مشتقاتها العكسية ، كما هو موضح ، على الشكل المشار إليه في النظرية.

تعليق. تتمثل الصعوبة الرئيسية في هذه الحالة في تحلل المقام إلى عوامل ، أي البحث عن جميع جذوره.

مثال 1. أوجد التكامل

"عالم الرياضيات ، مثل الفنان أو الشاعر ، يخلق أنماطًا. وإذا كانت أنماطه أكثر ثباتًا ، فهذا فقط لأنها تتكون من أفكار ... يجب أن تكون أنماط عالم الرياضيات ، تمامًا مثل أنماط الفنان أو الشاعر ، جميلة ؛ يجب أن تتطابق الأفكار ، تمامًا مثل الألوان أو الكلمات. الجمال هو المطلب الأول: لا مكان في العالم للرياضيات القبيحة».

GH هاردي

في الفصل الأول لوحظ أن هناك مشتقات عكسية تمامًا وظائف بسيطة، والتي لم يعد من الممكن التعبير عنها من حيث الوظائف الأولية. في هذا الصدد ، تكتسب هذه الفئات من الوظائف أهمية عملية كبيرة ، والتي يمكن القول بالتأكيد أن المشتقات العكسية لها هي وظائف أولية. هذه الفئة من الوظائف تشمل وظائف عقلانية، وهي نسبة اثنين من كثيرات الحدود الجبرية. تؤدي العديد من المشكلات إلى تكامل الكسور المنطقية. لذلك ، من المهم جدًا أن تكون قادرًا على دمج هذه الوظائف.

2.1.1. التوابع المنطقية الكسرية

كسر منطقي(أو دالة منطقية كسرية) هي نسبة اثنين من كثيرات الحدود الجبرية:

أين و هي كثيرات الحدود.

أذكر ذلك متعدد الحدود (متعدد الحدود, دالة منطقية كاملة) نالدرجة التسمى وظيفة النموذج

أين – أرقام حقيقية. على سبيل المثال،

هي كثيرة الحدود من الدرجة الأولى ؛

هي كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة ، إلخ.

يسمى الكسر المنطقي (2.1.1) صحيح، إذا كانت الدرجة أقل من الدرجة ، أي. ن<م، وإلا يسمى الكسر خطأ.

يمكن تمثيل أي كسر غير فعلي كمجموع كثير الحدود (جزء صحيح) وكسر مناسب (جزء كسري).يمكن اختيار عدد صحيح وأجزاء كسرية لكسر غير لائق وفقًا لقاعدة قسمة كثيرات الحدود على "زاوية".

مثال 2.1.1.حدد العدد الصحيح والجزء الكسري من الكسور المنطقية غير الصحيحة التالية:

أ) ، ب) .

حل . أ) باستخدام "ركن" خوارزمية القسمة نحصل عليها

وهكذا نحصل

.

ب) هنا نستخدم أيضًا خوارزمية القسمة "الزاوية":

نتيجة لذلك ، نحصل عليه

.

دعونا نلخص. يمكن بشكل عام تمثيل التكامل غير المحدد لكسر كسري كمجموع تكاملات كثير الحدود وكسر منطقي مناسب. العثور على المشتقات العكسية لكثيرات الحدود ليس بالأمر الصعب. لذلك ، في المستقبل ، سننظر بشكل أساسي في الكسور المنطقية المنتظمة.

2.1.2. أبسط الكسور المنطقية وتكاملها

هناك أربعة أنواع من الكسور المنطقية الصحيحة ، والتي يتم تصنيفها على أنها أبسط الكسور المنطقية (الابتدائية):

أين هو عدد صحيح ، أي. ثلاثي الحدود مربع ليس له جذور حقيقية.

لا يمثل تكامل أبسط الكسور من النوع الأول والثاني صعوبات كبيرة:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

لنفكر الآن في تكامل أبسط الكسور من النوع الثالث ، ولن نأخذ في الاعتبار كسورًا من النوع الرابع.

نبدأ بتكاملات النموذج

.

يتم حساب هذا التكامل عادةً بأخذ المربع الكامل في المقام. والنتيجة هي جدول لا يتجزأ من النموذج التالي

أو .

مثال 2.1.2.البحث عن التكاملات:

أ) ، ب) .

حل . أ) نختار مربعًا كاملاً من ثلاثي الحدود المربع:

من هنا نجد

ب) اختيار المربع الكامل من ثلاثي الحدود المربع ، نحصل على:

هكذا،

.

للعثور على التكامل

يمكننا استخراج مشتق المقام في البسط وفك التكامل في مجموع تكاملين: أولهما بالتعويض يأتي إلى النموذج

,

والثاني - لما سبق.

مثال 2.1.3.البحث عن التكاملات:

.

حل . لاحظ أن . نختار مشتق المقام في البسط:

يتم حساب التكامل الأول باستخدام التعويض :

في التكامل الثاني ، نختار المربع الكامل في المقام

أخيرًا ، وصلنا

2.1.3. توسيع كسر منطقي مناسب
مجموع الكسور البسيطة

أي كسر منطقي مناسب يمكن تمثيلها بشكل فريد كمجموع الكسور البسيطة. للقيام بذلك ، يجب أن يتحلل المقام إلى عوامل. من المعروف من الجبر العالي أن كل كثير الحدود مع معاملات حقيقية

واحدة من أهم فئات الوظائف التي يتم التعبير عن تكاملاتها من حيث الوظائف الأولية هي فئة الوظائف المنطقية.

تعريف 1. وظيفة من الشكل حيث
- كثيرات الحدود الدرجةنوميسمى عقلاني. دالة عقلانية كاملة ، أي متعدد الحدود ، يتكامل مباشرة. يمكن إيجاد تكامل دالة كسرية عقلانية بالتوسيع إلى حدود ، والتي يتم تحويلها بطريقة قياسية إلى تكاملات الجدول الرئيسي.

التعريف 2. كسر
يسمى الصحيح إذا كانت درجة البسطنأقل من المقامم. يسمى الكسر الذي بسطه أكبر من أو يساوي المقام بكسر غير فعلي.

يمكن تمثيل أي كسر غير فعلي كمجموع كثير الحدود وكسر مناسب. يتم ذلك عن طريق قسمة كثير الحدود على كثير الحدود على "عمود" ، على غرار قسمة الأرقام.

مثال.

تخيل كسر
كمجموع كثير الحدود وكسر مناسب:

س - 1

3

3

3

الفصل الدراسي الأول
في حاصل القسمة نتيجة قسمة المصطلح الرئيسي
، قابلة للقسمة على المصطلح الرئيسي Xمقسم. ثم نضاعف
للمقسوم عليه x-1وطرح النتيجة من المقسوم ؛ تم العثور على الشروط المتبقية من حاصل القسمة غير المكتمل بالمثل.

بعد قسمة كثيرات الحدود ، نحصل على:

يسمى هذا الإجراء اختيار الجزء بأكمله.

التعريف 3. أبسط الكسور هي كسور منطقية مناسبة من الأنواع التالية:

أنا.

ثانيًا.
(ك = 2 ، 3 ، ...).

ثالثا.
أين هو المربع ثلاثي الحدود

رابعا.
حيث K = 2 ، 3 ، ... ؛ ثلاثي الحدود مربع
ليس له جذور حقيقية.

أ) قم بتوسيع المقام
في أبسط العوامل الحقيقية (وفقًا للنظرية الأساسية في الجبر ، يمكن أن يحتوي هذا التحلل على حدين خطي للشكل
وثلاثية الحدود المربعة
، ليس لها جذور) ؛

ب) اكتب مخططًا لتوسيع كسر معين إلى مجموع كسور بسيطة. علاوة على ذلك ، كل عامل من عوامل الشكل
يتوافق كشروط النوعين الأول والثاني:

لكل عامل من عوامل النموذج
يتوافق مع شروط e من النوعين الثالث والرابع:

مثال.

اكتب مخطط تحلل الكسر
في مجموع أبسط.

ج) إجراء إضافة الكسور البسيطة التي تم الحصول عليها. اكتب مساواة البسط في الكسور المستلمة والأولية ؛

د) أوجد معاملات التمدد المقابل:
(ستتم مناقشة طرق الحل أدناه) ؛

هـ) استبدل القيم الموجودة للمعاملات في مخطط التحلل.

يتم تقليل تكامل أي جزء منطقي مناسب بعد التحلل إلى مصطلحات بسيطة لإيجاد تكاملات أحد الأنواع:

(كو ه =2, 3, …).

حساب متكامل يقلل إلى الصيغة III:

أساسي - إلى الصيغة II:

أساسي يمكن العثور عليها من خلال القاعدة المحددة في نظرية تكامل الوظائف التي تحتوي على ثلاثي الحدود المربع ؛ - من خلال التحولات الموضحة أدناه في المثال 4.

مثال 1

أ) تحليل المقام:

ب) اكتب مخططًا لتوسيع التكاملاند إلى شروط:

ج) إجراء إضافة الكسور البسيطة:

نكتب المساواة في البسط من الكسور:

د) هناك طريقتان لإيجاد معاملات غير معروفة أ ، ب ، ج.

تتساوى كثيرات الحدود إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما متساوية عند نفس الأسس X، حتى تتمكن من عمل نظام المعادلات المقابل. هذا هو أحد الحلول.

المعاملات في

الأعضاء الأحرار (المعامل عند ):4 أ = 8.

حل النظام ، حصلنا عليه أ = 2, ب = 1, ج = - 10.

طريقة أخرى - سيتم مناقشة القيم الخاصة في المثال التالي ؛

هـ) استبدل القيم الموجودة في مخطط التوسع:

بالتعويض عن المجموع الناتج تحت علامة التكامل ، ودمج كل مصطلح على حدة ، نجد:

مثال 2

الهوية هي المساواة التي تصلح لأية قيم للمجهول المتضمنة فيها. بناء على هذا طريقة القيمة الخاصة.يمكن إرفاقها Xأي قيم. من الأنسب للحسابات أن تأخذ تلك القيم التي تتلاشى أي شروط على الجانب الأيمن من المساواة.

يترك س = 0. ثم 1 = أ 0 (0 + 2) + ب 0 (0-1) + درجة مئوية (0-1)(0+2).

وبالمثل ، عندما س = - 2لدينا 1 = - 2 ب * (- 3)، في س = 1لدينا 1 = 3 أ.

لذلك،

مثال 3

د) أولاً نستخدم طريقة القيم الجزئية.

يترك س = 0، ثم 1 = أ 1 ، أ = 1.

في س = - 1لدينا - 1 + 4 + 2 + 1 = - ب (1 + 1 + 1)أو 6 = - 3 فولت, ب = - 2.

لإيجاد المعاملين C و D ، عليك تكوين معادلتين أخريين. للقيام بذلك ، يمكنك أن تأخذ أي قيم أخرى X، على سبيل المثال س = 1و س = 2. يمكنك استخدام الطريقة الأولى ، أي يساوي المعاملات في أي قوى متطابقة X، على سبيل المثال متى و . يحصل

1 = أ + ب + ج و 4 = ج +د- في.

معرفة أ = 1, ب = -2، يجد ج = 2, د = 0 .

وبالتالي ، عند حساب المعاملات ، يمكن الجمع بين كلتا الطريقتين.

التكامل الأخير نجد بشكل منفصل حسب القاعدة المحددة في طريقة قيادة متغير جديد. نختار المربع الكامل في المقام:

دعنا نقول
ثم
نحن نحصل:

=

الاستعاضة عن المساواة السابقة ، نجد

مثال 4

يجد

ب)

ه)

التكامل ، لدينا:

نقوم بتحويل أول جزء لا يتجزأ من الصيغة III:

نقوم بتحويل التكامل الثاني إلى الصيغة II:

في التكامل الثالث ، نستبدل المتغير:

(عند إجراء التحويلات ، استخدمنا صيغة حساب المثلثات

البحث عن التكاملات:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

أسئلة للفحص الذاتي.

أي من الكسور المنطقية المعطاة صحيحة:

2. هل مخطط فك الكسر في مجموع الكسور البسيطة مكتوب بشكل صحيح؟

يتم إعطاء عمل تحكم على تكامل الوظائف ، بما في ذلك الكسور المنطقية ، لطلاب الدورتين الأولى والثانية. ستكون أمثلة التكاملات بشكل أساسي ذات أهمية لعلماء الرياضيات والاقتصاديين والإحصائيين. تم طرح هذه الأمثلة في أعمال التحكم في LNU. أنا فرانك. شروط الأمثلة التالية هي "اعثر على التكامل" أو "احسب التكامل" ، لذلك ، لتوفير مساحة ووقتك ، لم يتم كتابتها.

مثال 15. توصلنا إلى تكامل التوابع الكسرية الكسرية. تحتل مكانة خاصة بين التكاملات ، لأنها تتطلب الكثير من الوقت لحساب ومساعدة المعلمين على اختبار معرفتك ليس فقط في التكامل. لتبسيط الدالة تحت التكامل ، نجمع ونطرح تعبيرًا في البسط يسمح لنا بتقسيم الدالة تحت التكامل إلى قسمين بسيطين

نتيجة لذلك ، نجد تكاملًا واحدًا بسرعة كبيرة ، وفي الثانية نحتاج إلى فك الكسر في مجموع الكسور الأولية

عند الاختزال إلى قاسم مشترك ، نحصل على هذه الأرقام

بعد ذلك ، افتح الأقواس والمجموعة

نحن نساوي القيمة عند نفس درجات "x" على اليمين واليسار. نتيجة لذلك ، وصلنا إلى نظام من ثلاث معادلات خطية (SLAE) مع ثلاثة مجاهيل.

كيفية حل أنظمة المعادلات موصوفة في مقالات أخرى على الموقع. في الإصدار النهائي ، ستتلقى حلول SLAE التالية
أ = 4 ؛ ب = -9 / 2 ؛ ج = -7 / 2.
نعوض بالثوابت في فك الكسور إلى أبسطها ونجري التكامل


تم حل هذا المثال.

مثال 16. مرة أخرى ، تحتاج إلى إيجاد تكامل الدالة الكسرية الكسرية. بادئ ذي بدء ، نحلل المعادلة التكعيبية الموجودة في مقام الكسر إلى عوامل بسيطة

بعد ذلك ، نقوم بتحليل الكسر إلى أبسط

نختزل الطرف الأيمن إلى مقام مشترك ونفتح الأقواس في البسط.


نحن نساوي المعاملات عند نفس قوى المتغير. مرة أخرى نأتي إلى SLAE بثلاثة مجاهيل

نعوض بالقيم A و B و C في المفكوك ونحسب التكامل

يعطي أول حدين اللوغاريتم ، ومن السهل أيضًا إيجاد آخر حد.

مثال 17. في مقام الدالة الكسرية الكسرية ، لدينا الفرق بين المكعبات. وفقًا لصيغ الضرب المختصر ، فإننا نحللها إلى عاملين رئيسيين

بعد ذلك ، نرسم الدالة الكسرية الناتجة لمجموع الكسور البسيطة ونختزلها إلى قاسم مشترك

في البسط نحصل على التعبير التالي.

نشكل منه نظامًا من المعادلات الخطية لحساب 3 مجاهيل

أ = 1/3 ؛ ب = -1 / 3 ؛ ج = 1/3.
نعوض بـ A و B و C في الصيغة ونجري التكامل. نتيجة لذلك ، وصلنا إلى الإجابة التالية


هنا ، تم تحويل بسط التكامل الثاني إلى لوغاريتم ، بينما يعطي الباقي تحت التكامل ظل القوس.
هناك الكثير من الأمثلة المتشابهة حول تكامل الكسور المنطقية على الإنترنت. يمكن العثور على أمثلة مماثلة في المواد أدناه.