أمثلة على تكامل الوظائف المنطقية (الكسور). تكامل التوابع الكسرية - دالة كسرية أبسط

نقدم هنا حلولاً مفصلة لثلاثة أمثلة للتكامل على النحو التالي الكسور المنطقية:
, , .

مثال 1

حساب التكامل:
.

حل

هنا ، توجد دالة كسرية تحت علامة التكامل ، لأن التكامل و جزء من كثيرات الحدود. درجة المقام كثير الحدود ( 3 ) أقل من درجة كثير حدود البسط ( 4 ). لذلك ، تحتاج أولاً إلى تحديد الجزء الكامل من الكسر.

1. لنأخذ الجزء الصحيح من الكسر. قسّم x 4 في x 3-6 × 2 + 11 × - 6:

من هنا
.

2. دعنا نحلل المقام. للقيام بذلك ، تحتاج إلى حل المعادلة التكعيبية:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
عوّض x = 1 :
.

1 . قسّم على x - 1 :

من هنا
.
نحن نقرر معادلة من الدرجة الثانية.
.
جذور المعادلة: ،.
ثم
.

3. دعونا نحلل الكسر إلى كسور بسيطة.

.

لذلك وجدنا:
.
دعونا نتكامل.

إجابة

مثال 2

حساب التكامل:
.

حل

هنا في بسط الكسر كثير الحدود من الدرجة صفر ( 1 = x0). المقام هو كثير حدود من الدرجة الثالثة. بسبب ال 0 < 3 ، فسيكون الكسر صحيحًا. دعونا نقسمها إلى كسور بسيطة.

1. دعونا نحلل المقام. للقيام بذلك ، تحتاج إلى حل معادلة الدرجة الثالثة:
.
افترض أن لها جذرًا صحيحًا واحدًا على الأقل. ثم يكون القاسم على الرقم 3 (عضو بدون x). أي أن الجذر الكامل يمكن أن يكون أحد الأرقام:
1, 3, -1, -3 .
عوّض x = 1 :
.

إذن ، وجدنا جذرًا واحدًا لـ x = 1 . قسّم x 3 + 2 × - 3في x- 1 :

لذا،
.

نحل المعادلة التربيعية:
x 2 + س + 3 = 0.
أوجد المميز: D = 1 2-4 3 = -11. لأن د< 0 ، إذن فالمعادلة ليس لها جذور حقيقية. وهكذا حصلنا على تحلل المقام إلى عوامل:
.

2.
.
(س - 1) (س 2 + س + 3):
(2.1) .
عوّض x = 1 . ثم x- 1 = 0 ,
.

استبدل في (2.1) س = 0 :
1 = 3 أ - ج;
.

تعادل في (2.1) المعاملات في x 2 :
;
0 = أ + ب;
.

.

3. دعونا نتكامل.
(2.2) .
لحساب التكامل الثاني ، نختار مشتق المقام في البسط ونختزل المقام إلى مجموع المربعات.

;
;
.

أحسب أنا 2 .


.
منذ المعادلة س 2 + س + 3 = 0ليس له جذور حقيقية ، ثم س 2 + س + 3> 0. لذلك ، يمكن حذف علامة الوحدة النمطية.

نحن نسلم إلى (2.2) :
.

إجابة

مثال 3

حساب التكامل:
.

حل

هنا ، تحت علامة التكامل يوجد جزء من كثيرات الحدود. لذلك ، فإن دالة التكامل هي دالة كسرية. درجة كثير الحدود في البسط هي 3 . درجة كثير حدود مقام الكسر هي 4 . بسبب ال 3 < 4 ، فسيكون الكسر صحيحًا. لذلك ، يمكن أن تتحلل إلى كسور بسيطة. لكن لهذا تحتاج إلى تحليل المقام إلى عوامل.

1. دعونا نحلل المقام. للقيام بذلك ، تحتاج إلى حل معادلة الدرجة الرابعة:
.
افترض أن لها جذرًا صحيحًا واحدًا على الأقل. ثم يكون القاسم على الرقم 2 (عضو بدون x). أي أن الجذر الكامل يمكن أن يكون أحد الأرقام:
1, 2, -1, -2 .
عوّض x = -1 :
.

إذن ، وجدنا جذرًا واحدًا لـ x = -1 . قسّم على x - (-1) = س + 1:


لذا،
.

نحتاج الآن إلى حل معادلة الدرجة الثالثة:
.
إذا افترضنا أن هذه المعادلة لها جذر صحيح ، فهي إذن مقسوم على الرقم 2 (عضو بدون x). أي أن الجذر الكامل يمكن أن يكون أحد الأرقام:
1, 2, -1, -2 .
عوّض x = -1 :
.

إذن ، وجدنا جذرًا آخر لـ x = -1 . سيكون من الممكن ، كما في الحالة السابقة ، تقسيم كثير الحدود على ، لكننا سنجمع المصطلحات:
.

منذ المعادلة س 2 + 2 = 0 ليس له جذور حقيقية ، ثم نحصل على عامل المقام:
.

2. دعونا نحلل الكسر إلى كسور بسيطة. نبحث عن تحلل في الشكل:
.
نتخلص من مقام الكسر ، ونضرب في (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
عوّض x = -1 . ثم x + 1 = 0 ,
.

يميز (3.1) :

;

.
عوّض x = -1 وتأخذ في الاعتبار أن x + 1 = 0 :
;
; .

استبدل في (3.1) س = 0 :
0 = 2 أ + 2 ب + د;
.

تعادل في (3.1) المعاملات في x 3 :
;
1 = ب + ج;
.

لذلك وجدنا التحلل إلى كسور بسيطة:
.

3. دعونا نتكامل.


.

في وقت سابق ، ناقشنا الطرق العامة للتكامل. في هذا والأقسام التالية ، سنتحدث عن تكامل فئات معينة من الوظائف بمساعدة التقنيات المدروسة.

تكامل أبسط التوابع الكسرية

ضع في اعتبارك جزءًا لا يتجزأ من النموذج textstyle (int R (x)، dx)، حيث y = R (x) دالة كسرية. يمكن تمثيل أي تعبير منطقي R (x) كـ \ فارك (ف (س)) (س (س))، حيث P (x) و Q (x) متعددو الحدود. إذا كان هذا الكسر غير صحيح ، أي إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام أو تساويها ، فيمكن تمثيلها كمجموع كثير الحدود (الجزء الصحيح) وكسر مناسب. لذلك ، يكفي النظر في تكامل الكسور المناسبة.

دعنا نظهر أن تكامل هذه الكسور يقلل من التكامل كسور بسيطة، أي تعبيرات النموذج:

\ mathsf (1)) ~ \ frac (A) (x-a) ؛ \ quad \ mathsf (2)) ~ \ frac (A) ((x-a) ^ n) ؛ \ quad \ mathsf (3)) ~ \ frac ( Ax + B) (x ^ 2 + px + q) ؛ \ quad \ mathsf (4)) ~ \ frac (Ax + B) ((x ^ 2 + px + q) ^ n).

أين أ ، \ ، ب ، \ ، أ ، \ ، ص ، \ ، ف - أرقام حقيقية، والمربع ثلاثي الحدود x ^ 2 + px + q ليس له جذور حقيقية. تسمى التعبيرات ذات الشكل 1) و 2) كسور من النوع الأول ، وتسمى التعبيرات ذات الشكل 3) و 4) كسور من النوع الثاني.

يتم حساب تكاملات الكسور من النوع الأول مباشرة

\ start (محاذاة) \ mathsf (1)) & ~ \ int \ frac (A) (x-a) \ ، dx = A \ ln | x-a | + C ؛ \\ \ mathsf (2)) & ~ \ int \ frac (أ) ((x-a) ^ n) \ ، dx = A \ int (x-a) ^ (- n) \ ، dx = A \ ، \ frac ((x-a) ^ (- n + 1)) (- n + 1 ) + C ~ (ن = 2،3،4 ، \ نقاط). نهاية (محاذاة)

ضع في اعتبارك حساب التكاملات من كسور من النوع الثاني: \ mathsf (3)) ~ \ int \ frac (Ax + B) (x ^ 2 + px + q) \ ، dx \ ،.

أولاً ، دعنا نلاحظ ذلك

\ int \ frac (dt) (t ^ 2 + a ^ 2) = \ frac (1) (a) \ operatorname (arctg) \ frac (t) (a) + C ، \ qquad \ int \ frac (t \ ، dt) (t ^ 2 + a ^ 2) = \ frac (1) (2) \ ln (t ^ 2 + a ^ 2) + C.

لتقليل حساب التكامل 3) إلى هذين التكاملين ، نقوم بتحويل ثلاثي الحدود المربع x ^ 2 + px + q باستخراج مربع كامل منه:

x ^ 2 + px + q = (\ left (x + \ frac (p) (2) \ right) \^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

بما أنه من خلال الافتراض ، فإن هذا ثلاثي الحدود ليس له جذور حقيقية ، إذن ف- \ فارك (ص ^ 2) (4)> 0ويمكننا أن نضع ف- \ فارك (ص ^ 2) (4) = أ ^ 2. الاستبدال x + \ frac (p) (2) = t ، ~ dx = dtيحول التكامل 3) إلى مجموعة خطية من التكاملات المذكورة أعلاه:

\ start (محاذاة) \ int \ frac (Ax + B) (x ^ 2 + px + q) \ ، dx & = \ int \ frac (A \! \ left (t- \ frac (p) (2) \ right ) + B) (t ^ 2 + a ^ 2) \، dt = A \ int \ frac (t \، dt) (t ^ 2 + a ^ 2) + \ left (B- \ frac (Ap) (2 ) \ right) \! \ int \ frac (dt) (t ^ 2 + a ^ 2) = \\ & = \ frac (A) (2) \ ln (t ^ 2 + a ^ 2) + \ frac ( 1) (a) \! \ left (B- \ frac (Ap) (2) \ right) \! \ \ operatorname (arctg) \ frac (t) (a) + C. نهاية (محاذاة)

في الإجابة النهائية ، ما عليك سوى استبدال (t) بـ x + \ frac (p) (2) و (a) بـ \ الجذر التربيعي (q- \ فارك (ص ^ 2) (4)). بما أن t ^ 2 + a ^ 2 = x ^ 2 + px + q ، إذن

\ int \ frac (Ax + B) (x ^ 2 + px + q) \ ، dx = \ frac (A) (2) \ ln (x ^ 2 + px + q) + \ frac (B- \ dfrac ( Ap) (2)) (\ sqrt (q- \ dfrac (p ^ 2) (4))) \ operatorname (arctg) \ frac (x + \ dfrac (p) (2)) (\ sqrt (q- \ dfrac (ص ^ 2) (4))) + ج.

ضع في اعتبارك الحالة \ mathsf (4)) ~ \ int \ frac (Ax + B) ((x ^ 2 + px + q) ^ n) \ ، dx.

كما في الحالة السابقة ، قمنا بتعيين x + \ frac (p) (2) = t. نحن نحصل:

\ int \ frac (Ax + B) ((x ^ 2 + px + q) ^ n) \، dx = A \ int \ frac (t \، dt) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) + \ يسار (B- \ frac (Ap) (2) \ right) \! \ int \ frac (dt) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) \ ،.

يتم حساب المصطلح الأول على النحو التالي:

A \ int \ frac (t \، dt) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) = \ frac (A) (2) \ int (t ^ 2 + a ^ 2) ^ (- n) \ ، د (t ^ 2 + a ^ 2) = \ frac (A) (2) \ frac ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ (- n + 1)) (- n + 1) = \ frac ( أ) (2 (1-n) (t ^ 2 + a ^ 2) ^ (n-1)) \ ،.

يتم حساب التكامل الثاني باستخدام الصيغة المتكررة.

مثال 1إحصاء - عد \ int \ frac (3x + 2) (x ^ 2 + 2x + 3) \ ، dx.

حل.لدينا: س ^ 2 + 2 س + 3 = (س + 1) ^ 2 + 2. دع x + 1 = t. ثم dx = dt و 3 س + 2 = 3 (ر -1) + 2 = 3 ت -1وبالتالي

\ start (محاذاة) \ int \ frac (3x + 2) (x ^ 2 + 2x + 3) \، dx & = \ int \ frac (3t-1) (t ^ 2 + 2) \، dt = \ frac ( 3) (2) \ int \ frac (2t \، dt) (t ^ 2 + 2) - \ int \ frac (dt) (t ^ 2 + (\ sqrt (2)) ^ 2) = \\ & = \ frac (3) (2) \ ln (t ^ 2 + 2) - \ frac (1) (\ sqrt (2)) \ operatorname (arctg) \ frac (t) (\ sqrt (2)) + C = \\ & = \ frac (3) (2) \ ln (x ^ 2 + 2x + 3) - \ frac (1) (\ sqrt (2)) \ operatorname (arctg) \ frac (x + 1) (\ الجذر التربيعي (2)) + ج. نهاية (محاذاة)

مثال 2إحصاء - عد \ int \ frac (x + 2) ((x ^ 2 + 6x + 10) ^ 2) \ ، dx.

حل.لدينا: س ^ 2 + 6 س + 10 = (س + 3) ^ 2 + 1. دعنا نقدم متغيرًا جديدًا عن طريق ضبط x + 3 = t. ثم dt = dx و x + 2 = t-1. استبدال المتغير تحت علامة التكامل ، نحصل على:

\ start (محاذاة) \ int \ frac (x + 2) ((x ^ 2 + 6x + 10) ^ 2) \ ، dx & = \ int \ frac (t-1) ((t ^ 2 + 1) ^ 2 ) \، dt = \ frac (1) (2) \ int \ frac (2t \، dt) ((t ^ 2 + 1) ^ 2) - \ int \ frac (dt) ((t ^ 2 + 1) ^ 2) = \\ & = - \ frac (1) (2 (t ^ 2 + 1)) - \ int \ frac (dt) ((t ^ 2 + 1) ^ 2) \ ،. نهاية (محاذاة))

هيا نضع I_2 = \ int \ frac (dt) ((t ^ 2 + 1) ^ 2). لدينا:

I_2 = \ frac (1) (2) I_1 + \ frac (1) (2) \ frac (t) (t ^ 2 + 1)، لكن I_1 = \ int \ frac (dt) (t ^ 2 + 1) = \ operatorname (arctg) tهكذا، I_2 = \ frac (1) (2) \ operatorname (arctg) t + \ frac (t) (2 (t ^ 2 + 1)).

أخيرًا نحصل على:

\ تبدأ (محاذاة) \ int \ frac (x + 2) ((x ^ 2 + 6x + 10) ^ 2) \ ، dx & = - \ frac (1) (2 (t ^ 2 + 1)) - \ frac (1) (2) \ operatorname (arctg) t- \ frac (t) (2 (t ^ 2 + 1)) = \\ & = - \ frac (1) (2 (x ^ 2 + 6x + 10) ) - \ frac (1) (2) \ operatorname (arctg) (x + 3) - \ frac (x + 3) (2 (x ^ 2 + 6x + 10)) + C = \\ & = \ frac ( -x-4) (2 (x ^ 2 + 6x + 10)) - \ frac (1) (2) \ operatorname (arctg) (x + 3) + C \ end (محاذاة)

تكامل الكسور الصحيحة

ضع في اعتبارك كسرًا مناسبًا R (x) = \ frac (P (x)) (Q (x))، حيث Q (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة n. بدون فقدان التعميم ، يمكننا أن نفترض أن المعامل الرئيسي في Q (x) يساوي 1. في سياق الجبر ، ثبت أن مثل هذه كثيرة الحدود ذات المعاملات الحقيقية يمكن تحليلها في عوامل من الدرجة الأولى والثانية مع معاملات حقيقية :

Q (x) = (x-x_1) ^ (\ alpha) \ ldots (x-x_k) ^ (\ beta) (x ^ 2 + p \، x + q) ^ (\ gamma) \ ldots (x ^ 2 + r \، x + s) ^ (\ دلتا).

حيث x_1، \ ldots، x_k هي جذور حقيقية لكثير الحدود Q (x) و ثلاثي الحدود ليس لها جذور حقيقية. يمكن إثبات أن R (x) يتم تمثيلها كمجموع الكسور البسيطة بالشكل 1) -4):

\ start (محاذاة) R (x) = & \ frac (P (x)) (Q (x)) = \ frac (A_1) ((x-x_1) ^ (\ alpha)) + \ frac (A_2) ( (x-x_1) ^ (\ alpha-1)) + \ ldots + \ frac (A _ (\ alpha)) (x-x_1) \ ، + \\ & + \ ، \ ldots + \ frac (B_1) ((x- x_k) ^ (\ beta)) + \ frac (B_2) ((x-x_k) ^ (\ beta-1)) + \ ldots + \ frac (B _ (\ beta)) (x-x_k) + \ frac (M_1x + N_1) ((x ^ 2 + p \، x + q) ^ (\ gamma)) \، + \\ & + \، \ ldots + \ frac (M _ (\ gamma) + N _ (\ gamma)) (x ^ 2+ p \، x + s) + \ frac (E_1x + F_1) ((x ^ 2 + rx + s) ^ (\ delta)) + \ ldots + \ frac (E _ (\ delta) x + F _ (\ delta )) (x ^ 2 + rx + s) \، \ end (محاذاة)

حيث تتناقص أسس المقامات بالتتابع من \ alpha إلى 1 ، ... ، من \ beta إلى 1 ، من \ gamma إلى 1 ، ... ، من \ delta إلى 1 ، و A_1، \ ldots، F _ (\ delta)- معاملات غير محددة. من أجل العثور على هذه المعاملات ، من الضروري التخلص من المقامات ، وبعد الحصول على المساواة بين اثنين من كثيرات الحدود ، استخدم طريقة المعاملات غير المحددة.

طريقة أخرى لتحديد المعاملات A_1، \ ldots، A _ (\ alpha)، \ ldots، F _ (\ delta)يعتمد على استبدال قيم المتغير x. استبدال أي رقم بدلاً من x في المساواة التي تم الحصول عليها من المساواة (1) بعد القواسم ، نصل إلى معادلة خطية فيما يتعلق بالمعاملات المرغوبة. عن طريق الاستبدال المبلغ المطلوبهذه القيم الجزئية للمتغير ، نحصل على نظام معادلات لإيجاد المعاملات. من الأنسب اختيار جذور المقام (الحقيقية والمعقدة) كقيم خاصة للمتغير. في هذه الحالة ، تختفي جميع المصطلحات الموجودة على الجانب الأيمن من المساواة (بمعنى المساواة بين متعددي الحدود) ، مما يجعل من السهل العثور على المعاملات المتبقية. عند استبدال القيم المعقدة ، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن رقمين مركبين متساويين إذا وفقط إذا كان الجزأين الحقيقي والخيالي متساويين ، على التوالي. لذلك ، من كل مساواة تحتوي على أرقام معقدة ، يتم الحصول على معادلتين.

بعد إيجاد المعاملات غير المحددة ، يبقى حساب تكاملات الكسور البسيطة التي تم الحصول عليها. منذ ذلك الحين عند دمج أبسط الكسور ، كما رأينا ، يتم الحصول على الدوال المنطقية فقط ، والظلمات المستقيمة واللوغاريتمات ، إذن يتم التعبير عن تكامل أي دالة كسرية بدلالة دالة كسرية ، و Arctangents و لوغاريتمات.

مثال 3احسب تكامل كسر كسري سليم \ int \ frac (6x + 1) (x ^ 2 + 2x-3) \ ، dx.

حل.نحن نحلل مقام التكامل إلى عوامل:

س ^ 2 + 2 س -3 = (س -1) (س + 3).

نكتب التكامل ونمثله كمجموع من الكسور البسيطة:

\ فارك (6 س + 1) (س ^ 2 + 2 س -3) = \ فارك (أ) (س -1) + \ فارك (ب) (ب + 3) \ ،.

بعد أن حررنا أنفسنا من القواسم في هذه المساواة ، حصلنا على:

6x + 1 = A \ cdot (x + 3) + B \ cdot (x-1) \ ،.

لإيجاد المعاملات ، نستخدم طريقة استبدال القيم الجزئية. لإيجاد المعامل أ نضع س = 1. ثم من المساواة (2) نحصل على 7 = 4A ، حيث A = 7/4. لإيجاد المعامل B ، حددنا x = -3. ثم من المساواة (2) نحصل على -17 = -4B ، حيث B = 17/4.

لذا، \ frac (6x + 1) (x ^ 2 + 2x-3) = \ frac (7) (4) \ cdot \ frac (1) (x-1) + \ frac (17) (4) \ cdot \ frac (1) (x + 3). وسائل،

\ int \ frac (6x + 1) (x ^ 2 + 2x-3) \، dx = \ frac (7) (4) \ int \ frac (dx) (x-1) + \ frac (17) (4) ) \ int \ frac (dx) (x + 3) = \ frac (7) (4) \ ln | x-1 | + \ frac (17) (4) \ ln | x + 3 | + C.

مثال 4إحصاء - عد \ int \ frac (x ^ 4 + 2x ^ 2 + 8x + 5) ((x ^ 2 + 2) (x-1) ^ 2 (x + 2)) \ ، dx.

حل.نكتب التكامل ونمثله كمجموع من الكسور البسيطة. المقام يحتوي على العامل x ^ 2 + 2 ، والذي ليس له جذور حقيقية ، فهو يقابل كسر من النوع الثاني: \ فارك (فأس + ب) (س ^ 2 + 2)العامل (x-1) ^ 2 يتوافق مع مجموع كسرين من النوع الأول: \ frac (C) ((x-1) ^ 2) + \ frac (D) (x-1)؛ أخيرًا ، العامل x + 2 يقابل كسرًا واحدًا من النوع الأول \ frac (E) (x + 2). وبالتالي ، سوف نمثل التكامل و كمجموع لأربعة كسور:

\ فارك (س ^ 4 + 2 س ^ 2 + 8 س + 5) ((س ^ 2 + 2) (س -1) ^ 2 (س + 2)) = \ فارك (فأس + ب) (س ^ 2 + 2 ) + \ frac (C) ((x-1) ^ 2) + \ frac (D) (x-1) + \ frac (E) (x + 2) \ ،.

دعونا نتخلص من القواسم في هذه المساواة. نحن نحصل:

\ تبدأ (محاذاة) x ^ 4 + 2x ^ 2 + 8x + 5 & = (Ax + B) (x-1) ^ 2 (x + 2) + C (x ^ 2 + 2) (x + 2) \، + \\ & \ phantom (=) + D (x ^ 2 + 2) (x-1) (x + 2) + E (x ^ 2 + 2) (x-1) ^ 2. \ end (محاذاة)

مقام التكامل له جذران حقيقيان: x = 1 و x = -2. عند استبدال x = 1 بالمساواة (4) ، نحصل على 16 = 9C ، ومنه نجد C = 16/9. عند استبدال x = -2 ، نحصل على 13 = 54E ونحدد E = 13/54 وفقًا لذلك. استبدال القيمة x = i \، \ sqrt (2) (جذر كثير الحدود x ^ 2 + 2) يسمح لنا بالمرور إلى المساواة

4-4 + 8 \، i \، \ sqrt (2) + 5 = (A \، i \، \ sqrt (2) + B) \ cdot (i \، \ sqrt (2) -1) ^ 2 \ cdot (i \، \ sqrt (2) +2).

يتحول إلى:

(10A + 2B) + (2A-5B) \ sqrt (2) \، i = 5 + 8 \ sqrt (2) \، i، من أين 10A + 2B = 5 ، و (2A-5B) \ sqrt (2) = 8 \ sqrt (2).

حل نظام من معادلتين بمتغيرين \ start (الحالات) 10A + 2B = 5 ، \\ 2A-5B = 8 ، \ النهاية (الحالات)نجد: أ = \ فارك (41) (54) ، ~ ب = - \ فارك (35) (27).

يبقى تحديد قيمة المعامل د. للقيام بذلك ، في المساواة (4) نفتح الأقواس ، ونعطي مصطلحات مماثلة ، ثم نقارن المعاملات عند x ^ 4. نحن نحصل:

أ + د + ه = 1 ، أي د = 0.

دعونا نستبدل القيم الموجودة للمعاملات في المساواة (3):

\ frac (x ^ 4 + 2x ^ 2 + 8x + 5) ((x ^ 2 + 2) (x-1) ^ 2 (x + 2)) = \ frac (\ drac (41) (54) \، x- \ dfrac (35) (27)) (x ^ 2 + 2) + \ frac (16) (9) \ frac (1) ((x-1) ^ 2) + \ frac (13) (54) \ فارك (1) (س + 2) \،

ثم ننتقل إلى التكامل:

\ start (محاذاة) \ int \ frac (x ^ 4 + 2x ^ 2 + 8x + 5) ((x ^ 2 + 2) (x-1) ^ 2 (x + 2)) \ ، dx & = \ frac ( 41) (54) \ int \ frac (x \، dx) (x ^ 2 + 2) - \ frac (35) (27) \ int \ frac (dx) (x ^ 2 + 2) + \ frac (16 ) (9) \ int \ frac (dx) ((x-1) ^ 2) + \ frac (13) (54) \ int \ frac (dx) (x + 2) = \\ & = \ frac (41) ) (108) \ ln (x ^ 2 + 2) - \ frac (35) (27 \ sqrt (2)) \ operatorname (arctg) \ frac (x) (\ sqrt (2)) - \ frac (16) (9 (x-1)) + \ frac (13) (54) \ ln | x + 2 | + C. \ end (محاذاة)

تكامل الكسور غير الصحيحة

فليكن من الضروري دمج الوظيفة y = \ frac (f (x)) (g (x))، حيث f (x) و g (x) كثيرات الحدود ، ودرجة كثير الحدود f (x) أكبر من أو تساوي درجة كثير الحدود g (x). في هذه الحالة ، أولاً وقبل كل شيء ، من الضروري تحديد الجزء الصحيح من الكسر غير الصحيح \ frac (f (x)) (g (x))، أي تمثيلها في النموذج

\ frac (f (x)) (g (x)) = s (x) + \ frac (r (x)) (g (x)) \،

حيث s (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة تساوي الفرق بين درجات كثيرات الحدود f (x) و g (x) ، و \ frac (r (x)) (g (x))هو كسر صحيح.

إذن لدينا \ int \ frac (f (x)) (g (x)) \ ، dx = \ int s (x) \ ، dx + \ int \ frac (r (x)) (g (x)) \ ، dx \ ، ..

مثال 5احسب تكامل كسر غير فعلي \ int \ frac (x ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 16x-11) ((x-1) (x + 2) (x-3)) \ ، dx.

حل.لدينا:

\ تبدأ (محاذاة) g (x) & = (x-1) (x + 2) (x-3) = x ^ 3-2x ^ 2-5x + 6 ، \\ f (x) & = x ^ 4 -4x ^ 3 + x ^ 2 + 16x-11. نهاية (محاذاة)

لاستخراج الجزء الصحيح ، نقسم f (x) على g (x): \ frac (f (x)) (g (x)) = x-2 + \ frac (2x ^ 2 + 1) (x ^ 3-2x ^ 2-5x + 6) \ ،.

وسائل، \ int \ frac (x ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 16x-11) ((x-1) (x + 2) (x-3)) \ ، dx = \ int (x-2) dx + \ int \ frac (2x ^ 2 + 1) ((x-1) (x + 2) (x-3)) \ ، dx

لدينا: \ int (x-2) dx = \ frac (x ^ 2) (2) -2x + C.

لحساب التكامل \ int \ frac (2x ^ 2 + 1) ((x-1) (x + 2) (x-3)) \ ، dxمطبق ، على النحو الوارد أعلاه ، طريقة المعاملات غير المحددة. بعد الحسابات التي نتركها للقارئ ، نحصل عليها.

2., 5.
,

3.
, 6.
.

في التكاملات 1-3 مثل ش يقبل . بعد ذلك ن-تطبيق الصيغة (19) مطويًا ، نصل إلى أحد تكاملات الجدول

,
,
.

في التكاملات 4-6 ، عند الاشتقاق ، يتم تبسيط العامل التجاوزي
,
أو
، والتي يجب أن تؤخذ على أنها ش.

احسب التكاملات التالية.

مثال 7

المثال 8

اختزال التكاملات في نفسه

إذا كان ملف Integrand
يشبه:

,
,
وما إلى ذلك وهلم جرا،

ثم بعد التكامل المزدوج بالأجزاء نحصل على تعبير يحتوي على التكامل الأصلي :

,

أين
بعض الشيء ثابت.

حل المعادلة الناتجة بالنسبة ل ، نحصل على صيغة لحساب التكامل الأصلي:

.

تسمى حالة تطبيق طريقة التكامل بالأجزاء " جلب التكامل في حد ذاته».

المثال 9احسب التكامل
.

على الجانب الأيمن هو التكامل الأصلي . عند تحريكه إلى الجانب الأيسر ، نحصل على:

.

المثال 10احسب التكامل
.

4.5 تكامل أبسط الكسور المنطقية الصحيحة

تعريف.أبسط الكسور المناسبة أنا , ثانيًا و ثالثا أنواع تسمى الكسور التالية:

أنا. ;

ثانيًا.
; (
هو عدد صحيح موجب) ؛

ثالثا.
؛ (جذور المقام معقدة ، أي:
.

ضع في اعتبارك تكاملات الكسور البسيطة.

أنا.
; (20)

ثانيًا. ; (21)

ثالثا.
;

نقوم بتحويل بسط الكسر بطريقة تفرد المصطلح في البسط
يساوي مشتق المقام.

ضع في اعتبارك أول التكاملين اللذين تم الحصول عليهما وقم بإجراء تغيير فيه:

في التكامل الثاني ، نكمل المقام بمربع كامل:

أخيرًا ، تكامل كسر من النوع الثالث يساوي:

=
+
. (22)

وهكذا ، يتم التعبير عن تكامل أبسط الكسور من النوع الأول من حيث اللوغاريتمات ، النوع الثاني - من حيث الوظائف المنطقية ، النوع الثالث - من حيث اللوغاريتمات والمشتقات.

4.6 تكامل التوابع الكسرية الكسرية

إحدى فئات الوظائف التي لها تكامل معبر عنها من حيث الوظائف الأولية هي فئة الوظائف المنطقية الجبرية ، أي الدوال الناتجة عن عدد محدود من العمليات الجبرية على وسيطة.

كل دالة عقلانية
يمكن تمثيلها كنسبة من كثيرات الحدود
و
:

. (23)

سنفترض أن كثيرات الحدود ليس لها جذور مشتركة.

يسمى جزء من النموذج (23) صحيح، إذا كانت درجة البسط أقل من درجة المقام ، أي ، م< ن. خلاف ذلك - خطأ.

إذا كان الكسر غير صحيح ، فعند قسمة البسط على المقام (وفقًا لقاعدة قسمة كثيرات الحدود) ، فإننا نمثل الكسر على أنه مجموع كثير الحدود وكسر مناسب:

, (24)

أين
- متعدد الحدود، هو كسر صحيح ، ودرجة كثير الحدود
- لا توجد درجة أعلى ( ن-1).

مثال.

نظرًا لأن تكامل كثير الحدود يتم تقليله إلى مجموع تكاملات الجدول وظيفة الطاقة، ثم تكمن الصعوبة الرئيسية في تكامل الكسور النسبية في دمج الكسور المنطقية المناسبة.

يثبت الجبر أن كل كسر صحيح يتحلل في مجموع ما ورد أعلاه الكائنات الاوليهالكسور التي يتم تحديد شكلها من خلال جذور المقام
.

دعونا ننظر في ثلاث حالات خاصة. هنا وأدناه ، سنفترض أن المعامل بأعلى درجة من المقام
يساوي واحد = 1 ، هذا هوتخفيض كثير الحدود .

حالة 1جذور المقام ، أي الجذور
المعادلات
= 0 حقيقية ومميزة. ثم نمثل المقام كمنتج لعوامل خطية:

ويتحلل الكسر المناسب إلى أبسط كسور من النوع الأول:

, (26)

أين
- بعض أعداد ثابتة، والتي تم العثور عليها بطريقة المعاملات غير المحددة.

لهذا تحتاج:

1. اختصر الجانب الأيمن من التوسيع (26) إلى قاسم مشترك.

2. قم بمساواة المعاملات بنفس قوى كثيرات الحدود المتطابقة في بسط الجزأين الأيمن والأيسر. نحصل على نظام المعادلات الخطية لتحديد
.

3. حل النظام الناتج وإيجاد المعاملات غير المؤكدة
.

ثم تكامل الدالة الكسرية المنطقية (26) سيكون مساويًا لمجموع تكاملات أبسط كسور من النوع I ، محسوبة بالصيغة (20).

مثال.احسب التكامل
.

حل.دعنا نحلل المقام باستخدام نظرية فييتا:

بعد ذلك ، يتوسع التكامل إلى مجموع الكسور البسيطة:

.

X:

دعونا نكتب نظامًا من ثلاث معادلات لإيجاد
Xعلى الجانبين الأيمن والأيسر:

.

دعونا نشير إلى طريقة أبسط لإيجاد معاملات غير محددة تسمى طريقة القيمة الجزئية.

على افتراض المساواة (27)
نحن نحصل
، أين
. بافتراض
نحن نحصل
. أخيرا ، على افتراض
نحن نحصل
.

.

الحالة 2جذر المقام
حقيقية ، ولكن من بينها عدة جذور (متساوية). ثم نمثل المقام كمنتج لعوامل خطية متضمنة في المنتج إلى الحد الذي يكون فيه تعدد الجذر المقابل هو:

أين
.

جزء الصحيح سيتم توسيع مجموع كسور النوعين الأول والثاني. دعنا ، على سبيل المثال ، - جذر مقام التعددية ك، والباقي ( ن- ك) من الجذور مختلفة.

ثم سيبدو التحلل كما يلي:

وبالمثل ، إذا كانت هناك جذور متعددة أخرى. بالنسبة للجذور غير المتعددة ، يتضمن التوسع (28) أبسط الكسور من النوع الأول.

مثال.احسب التكامل
.

حل.دعنا نمثل كسرًا كمجموع كسور بسيطة من النوع الأول والثاني مع معاملات غير محددة:

.

نأتي بالطرف الأيمن إلى قاسم مشترك ونساوي كثير الحدود في البسط في الجانبين الأيمن والأيسر:

على الجانب الأيمن ، نعطي المتشابهين بنفس الدرجات X:

دعونا نكتب نظام المعادلات الأربع لإيجاد
و . للقيام بذلك ، نساوي المعاملات عند نفس الأسس Xعلى الجانب الأيسر والأيمن

.

الحالة 3بين جذور المقام
لها جذور معقدة لمرة واحدة. أي أن توسيع المقام يشمل عوامل من الدرجة الثانية
، والتي لا يمكن أن تتحلل إلى عوامل خطية حقيقية ، ولا تتكرر.

بعد ذلك ، في توسيع الكسر ، كل عامل من هذا القبيل سوف يتوافق مع أبسط كسر من النوع الثالث. تتوافق العوامل الخطية مع أبسط الكسور من النوعين الأول والثاني.

مثال.احسب التكامل
.

حل.
.

.

.

تكامل الدوال الكسرية دالة كسرية أبسط كسور منطقية تحلل كسر كسور في أبسط كسور تكامل أبسط الكسور قاعدة عامةتكامل الكسور المنطقية

متعدد الحدود من الدرجة n. دالة كسرية كسرية دالة كسرية هي دالة مساوية لنسبة اثنين من كثيرات الحدود: يسمى الكسر الكسري مناسب إذا كانت درجة البسط أقل من درجة المقام ، أي< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

دالة كسرية منطقية جزء غير لائقل الشكل الصحيح 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

أبسط الكسور المنطقية الصحيحة في النموذج: تسمى أبسط الكسور المنطقية من الأنواع. الفأس أ) ؛ 2 (Nkk ax A k) 04 (2 2 qp qpxx NMx) ؛ 2 ؛ 04 (2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V ،

نظرية تحلل الكسر المنطقي إلى كسور بسيطة: أي كسر منطقي مناسب ، مقامه محسوب إلى عوامل: يمكن تمثيله ، علاوة على ذلك ، بطريقة فريدة كمجموع الكسور البسيطة: s k qxpxxxxxx. Q) () () (22 2 11 2 21) () (x. Q x. P 1 xx A k k xx B) () (2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11) (qxpx Nx. M ss qxpx Nx. M) (

تحليل الكسر المنطقي إلى كسور بسيطة دعنا نوضح صياغة النظرية باستخدام الأمثلة التالية: لإيجاد المعاملات غير المحددة أ ، ب ، ج ، د ... ، يتم استخدام طريقتين: طريقة مقارنة المعاملات وطريقة القيم الجزئية للمتغير. لنلقِ نظرة على الطريقة الأولى بمثال. 3 2) 3) (2 (4 xx x 2 x A 3 3 2 21) 3 () 3 (3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11) 1 (1 xx Nx. M) 1 (3 22 3 × × 2 21 × أ 22 2) 1) (4 (987 × × × 4 ×

يمثل تحليل الكسر الكسري إلى كسور بسيطة الكسر كمجموع من الكسور البسيطة: نقوم باختزال الكسور البسيطة إلى مقام مشترك مساواة البسط للكسرين الناتج والأصلي معادلة المعامِلات بنفس قوى x) 52) (1 (332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx) 52) (1 () 1) (() 52 (2 2 xxx x. CBxxx. A 33252222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

تكامل أبسط الكسور لنجد تكاملات أبسط الكسور المنطقية: لنفكر في تكامل كسور من النوع الثالث باستخدام مثال. dx ax A k dx qpxx NMx 2 axd A) (Cax. Aln) (axdax. A k C k ax. A k

تكامل الكسور البسيطة dx xx x 102 13 2 dx xx x 9) 12 (13 2 dx x x 9) 1 (13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1) 1 (3 2 dt t t 9 23 2 9322 t dtt 9 9 2 3 2 2 td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2110 ln

تكامل الكسور البسيطة تكامل من هذا النوع عن طريق التعويض: يتم اختزاله إلى مجموع تكاملين: يتم حساب التكامل الأول بإدخال t تحت علامة التفاضل. يتم حساب التكامل الثاني باستخدام الصيغة العودية: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222)) (1 (222321 kkkk atk t k k aat dt

تكامل الكسور البسيطة أ = 1 ؛ ك = 3323) 1 (طن طن طن طن طن طن متري 1 21) 1) (12 (2222322 1 21222 طن طن طن طن وزن طن سنوي) 1 (22 1 2 طن طن طن تاركت 2223) 1 (13 (2232332 طن طن طن طن طن طن تاركت 222) 1 (4) 1 (

قاعدة عامة لتكامل الكسور النسبية إذا كان الكسر غير فعلي ، فقم بتمثيله كمجموع كثير الحدود وكسر مناسب. بعد أن حلل مقام الكسر المنطقي المناسب إلى عوامل ، قم بتمثيله كمجموع من الكسور البسيطة ذات المعاملات غير المحددة.ابحث عن المعاملات غير المحددة عن طريق مقارنة المعاملات أو بطريقة القيم الجزئية للمتغير. ادمج كثير الحدود ومجموع الكسور البسيطة الناتج.

مثال لنجلب الكسر إلى الصورة الصحيحة. dx xxx 23 35 2442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2234242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2xx

مثال تحليل مقام كسر مناسب يمثل الكسر كمجموع الكسور البسيطة إيجاد معاملات غير مؤكدة باستخدام طريقة القيم الجزئية للمتغير xxx xx 23 2 2 48 2 2) 1 (48 xx xx 2) 1 (1 x C x B x A 2 2) 1 () 1 (xx Cxx. Bxx. A 48) 1 () 1 (22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2) 1 (3 1124 ×××

مثال dx xx 2 2) 1 (3 1 124 52 2 2) 1 (3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

يتم إعطاء عمل تحكم على تكامل الوظائف ، بما في ذلك الكسور المنطقية ، لطلاب الدورتين الأولى والثانية. ستكون أمثلة التكاملات بشكل أساسي ذات أهمية لعلماء الرياضيات والاقتصاديين والإحصائيين. تم إعطاء هذه الأمثلة على مراقبة العملفي LNU أنا فرانك. شروط الأمثلة التالية"اعثر على التكامل" أو "احسب التكامل" ، لذلك ، لتوفير المساحة والوقت ، لم يتم كتابتهما.

مثال 15. توصلنا إلى تكامل التوابع الكسرية الكسرية. تحتل مكانة خاصة بين التكاملات ، لأنها تتطلب الكثير من الوقت لحساب ومساعدة المعلمين على اختبار معرفتك ليس فقط في التكامل. لتبسيط الدالة تحت التكامل ، نجمع ونطرح تعبيرًا في البسط يسمح لنا بتقسيم الدالة تحت التكامل إلى قسمين بسيطين

نتيجة لذلك ، نجد تكاملًا واحدًا بسرعة كبيرة ، وفي الثانية نحتاج إلى فك الكسر في مجموع الكسور الأولية

عند الاختزال إلى قاسم مشترك ، نحصل على هذه الأرقام

بعد ذلك ، افتح الأقواس والمجموعة

نحن نساوي القيمة عند نفس درجات "x" على اليمين واليسار. نتيجة لذلك ، وصلنا إلى نظام من ثلاثة المعادلات الخطية(SLAE) مع ثلاثة مجاهيل.

كيفية حل أنظمة المعادلات موصوفة في مقالات أخرى على الموقع. في الإصدار النهائي ، ستتلقى حلول SLAE التالية
أ = 4 ؛ ب = -9 / 2 ؛ ج = -7 / 2.
نعوض بالثوابت في فك الكسور إلى أبسطها ونجري التكامل


تم حل هذا المثال.

مثال 16. مرة أخرى ، تحتاج إلى إيجاد تكامل الدالة الكسرية الكسرية. بادئ ذي بدء ، نحلل المعادلة التكعيبية الموجودة في مقام الكسر إلى عوامل بسيطة

بعد ذلك ، نقوم بتحليل الكسر إلى أبسط

خلط الجانب الأيمنإلى المقام المشترك وافتح الأقواس في البسط.


نحن نساوي المعاملات عند نفس قوى المتغير. مرة أخرى نأتي إلى SLAE بثلاثة مجاهيل

بديل القيم أ ، ب ، جفي التوسع وحساب التكامل

يعطي أول حدين اللوغاريتم ، ومن السهل أيضًا إيجاد آخر حد.

مثال 17. في مقام الدالة الكسرية الكسرية ، لدينا الفرق بين المكعبات. وفقًا لصيغ الضرب المختصر ، فإننا نحللها إلى عاملين رئيسيين

بعد ذلك ، نكتب الدالة الكسرية الناتجة عن المجموع كسور بسيطةوإحضارهم تحت القاسم المشترك

في البسط نحصل على التعبير التالي.

نشكل منه نظامًا من المعادلات الخطية لحساب 3 مجاهيل

أ = 1/3 ؛ ب = -1 / 3 ؛ ج = 1/3.
نعوض بـ A و B و C في الصيغة ونجري التكامل. نتيجة لذلك ، وصلنا إلى الإجابة التالية


هنا ، تم تحويل بسط التكامل الثاني إلى لوغاريتم ، بينما يعطي الباقي تحت التكامل ظل القوس.
هناك الكثير من الأمثلة المتشابهة حول تكامل الكسور المنطقية على الإنترنت. أمثلة مماثلةيمكنك أن تجد من المواد أدناه.