وظائف القوة مع الأس الطبيعي لرسومها البيانية. وظيفة الطاقة

في مجال دالة الطاقة y = x p ، فإن الصيغ التالية تحمل:
; ;
;
; ;
; ;
; .

خصائص وظائف القوة والرسوم البيانية الخاصة بهم

دالة القدرة مع الأس يساوي الصفر ، p = 0

إذا كان أُس دالة الطاقة y = x p يساوي صفرًا ، p = 0 ، فإن دالة القدرة تُعرَّف لكل x ≠ 0 وهي ثابتة ، تساوي واحدًا:
y \ u003d x p \ u003d x 0 \ u003d 1، x ≠ 0.

دالة الطاقة مع الأس الفردي الطبيعي ، p = n = 1 ، 3 ، 5 ، ...

ضع في اعتبارك دالة القوة y = x p = x n مع الأس الفردي الطبيعي n = 1، 3، 5، .... يمكن أيضًا كتابة هذا المؤشر على النحو التالي: n = 2k + 1 ، حيث k = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ... هو عدد صحيح غير سالب. فيما يلي الخصائص والرسوم البيانية لهذه الوظائف.

رسم بياني لدالة قوة y = x n بأسس فردي طبيعي لقيم مختلفة للأس n = 1، 3، 5، ....

اِختِصاص: -∞ < x < ∞
قيم متعددة: -∞ < y < ∞
التكافؤ:فردي ، ص (-س) = - ص (س)
روتيني:يزيد بشكل رتيب
النهايات:رقم
محدب:
في -∞< x < 0 выпукла вверх
عند 0< x < ∞ выпукла вниз
نقاط التوقف:س = 0 ، ص = 0
س = 0 ، ص = 0
حدود:
;
القيم الخاصة:
عند x = -1 ،
ص (-1) = (-1) ن ≡ (-1) 2 ك + 1 = -1
من أجل x = 0 ، y (0) = 0 n = 0
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 n = 1
وظيفة عكسية:
بالنسبة إلى n = 1 ، فإن الدالة معكوسة على نفسها: x = y
بالنسبة إلى n ≠ 1 ، فإن الدالة العكسية هي جذر الدرجة n:

دالة الطاقة مع الأس الطبيعي ، p = n = 2 ، 4 ، 6 ، ...

انظر إلى دالة القوة y = x p = x n مع الأس الزوجي الطبيعي n = 2، 4، 6، .... يمكن أيضًا كتابة هذا المؤشر على النحو التالي: n = 2k ، حيث k = 1 ، 2 ، 3 ، ... هو رقم طبيعي. فيما يلي خصائص ورسوم بيانية لهذه الوظائف.

رسم بياني لدالة قوة y = x n بأسس زوجي طبيعي لقيم مختلفة للأس n = 2، 4، 6، ....

اِختِصاص: -∞ < x < ∞
قيم متعددة: 0 ≤ ذ< ∞
التكافؤ:حتى ، y (-x) = y (x)
روتيني:
لـ x ≤ 0 ينخفض ​​بشكل رتيب
لـ x ≥ 0 يزيد بشكل رتيب
النهايات:الحد الأدنى ، س = 0 ، ص = 0
محدب:محدب لأسفل
نقاط التوقف:رقم
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0 ، ص = 0
حدود:
;
القيم الخاصة:
بالنسبة إلى x = -1 ، ص (-1) = (-1) ن ≡ (-1) 2 ك = 1
من أجل x = 0 ، y (0) = 0 n = 0
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 n = 1
وظيفة عكسية:
لـ n = 2 ، الجذر التربيعي:
بالنسبة إلى n ≠ 2 ، جذر الدرجة n:

دالة الطاقة ذات الأس السالب الصحيح ، p = n = -1 ، -2 ، -3 ، ...

ضع في اعتبارك دالة القوة y = x p = x n مع الأس الصحيح السالب n = -1 ، -2 ، -3 ، .... إذا وضعنا n = -k ، حيث k = 1 ، 2 ، 3 ، ... هو رقم طبيعي ، فيمكن تمثيله على النحو التالي:

رسم بياني لدالة قوة y = x n مع أس صحيح سالب لقيم مختلفة للأس n = -1 ، -2 ، -3 ، ....

الأس الفردي ، n = -1 ، -3 ، -5 ، ...

فيما يلي خصائص الدالة y = x n ذات الأس السالب الفردي n = -1 ، -3 ، -5 ، ....

اِختِصاص:س ≠ 0
قيم متعددة:ذ ≠ 0
التكافؤ:فردي ، ص (-س) = - ص (س)
روتيني:ينخفض ​​بشكل رتيب
النهايات:رقم
محدب:
في x< 0 : выпукла вверх
بالنسبة إلى x> 0: محدب لأسفل
نقاط التوقف:رقم
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:رقم
إشارة:
في x< 0, y < 0
لـ x> 0 ، y> 0
حدود:
; ; ;
القيم الخاصة:
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 n = 1
وظيفة عكسية:
لـ n = -1 ،
ل n< -2 ,

حتى الأس ، n = -2 ، -4 ، -6 ، ...

فيما يلي خصائص الدالة y = x n التي لها أس سالب زوجي n = -2 ، -4 ، -6 ، ....

اِختِصاص:س ≠ 0
قيم متعددة:ص> 0
التكافؤ:حتى ، y (-x) = y (x)
روتيني:
في x< 0 : монотонно возрастает
بالنسبة إلى x> 0: تناقص رتيب
النهايات:رقم
محدب:محدب لأسفل
نقاط التوقف:رقم
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:رقم
إشارة:ص> 0
حدود:
; ; ;
القيم الخاصة:
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 n = 1
وظيفة عكسية:
لـ n = -2 ،
ل n< -2 ,

دالة القدرة مع الأس المنطقي (الكسري)

ضع في اعتبارك دالة قوة y = x p مع أس عقلاني (كسري) ، حيث n عدد صحيح ، m> 1 عدد طبيعي. علاوة على ذلك ، لا تملك n ، m القواسم المشتركة.

مقام المؤشر الكسري فردي

اجعل مقام الأس الكسري فرديًا: م = 3 ، 5 ، 7 ، .... في هذه الحالة ، يتم تعريف دالة القدرة x p لكل من الموجب و القيم السالبةحجة س. ضع في اعتبارك خصائص وظائف القوة هذه عندما يكون الأس p ضمن حدود معينة.

ص سلبي ، ص< 0

اجعل الأس المنطقي (مع المقام الفردي m = 3 ، 5 ، 7 ، ...) أقل من صفر:.

الرسوم البيانية للدوال الأسية ذات الأس السالب الكسري لقيم مختلفة للأس ، حيث م = 3 ، 5 ، 7 ، ... أمر فردي.

البسط الفردي ، n = -1 ، -3 ، -5 ، ...

فيما يلي خصائص دالة القوة y = x p مع أس سالب عقلاني ، حيث n = -1 ، -3 ، -5 ، ... عدد صحيح سالب فردي ، m = 3 ، 5 ، 7 ... عدد طبيعي فردي.

اِختِصاص:س ≠ 0
قيم متعددة:ذ ≠ 0
التكافؤ:فردي ، ص (-س) = - ص (س)
روتيني:ينخفض ​​بشكل رتيب
النهايات:رقم
محدب:
في x< 0 : выпукла вверх
بالنسبة إلى x> 0: محدب لأسفل
نقاط التوقف:رقم
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:رقم
إشارة:
في x< 0, y < 0
لـ x> 0 ، y> 0
حدود:
; ; ;
القيم الخاصة:
بالنسبة إلى x = -1 ، y (-1) = (-1) n = -1
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 n = 1
وظيفة عكسية:

حتى البسط ، n = -2 ، -4 ، -6 ، ...

خصائص دالة القوة y = x p ذات الأس السالب الكسري ، حيث n = -2 ، -4 ، -6 ، ... عدد صحيح سالب ، م = 3 ، 5 ، 7 ... عدد طبيعي فردي .

اِختِصاص:س ≠ 0
قيم متعددة:ص> 0
التكافؤ:حتى ، y (-x) = y (x)
روتيني:
في x< 0 : монотонно возрастает
بالنسبة إلى x> 0: تناقص رتيب
النهايات:رقم
محدب:محدب لأسفل
نقاط التوقف:رقم
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:رقم
إشارة:ص> 0
حدود:
; ; ;
القيم الخاصة:
بالنسبة إلى x = -1 ، y (-1) = (-1) n = 1
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 n = 1
وظيفة عكسية:

القيمة p موجبة ، أقل من واحد ، 0< p < 1

رسم بياني لدالة أس ذات أس كسري (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

البسط الفردي ، ن = 1 ، 3 ، 5 ، ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

اِختِصاص: -∞ < x < +∞
قيم متعددة: -∞ < y < +∞
التكافؤ:فردي ، ص (-س) = - ص (س)
روتيني:يزيد بشكل رتيب
النهايات:رقم
محدب:
في x< 0 : выпукла вниз
بالنسبة إلى x> 0: محدب لأعلى
نقاط التوقف:س = 0 ، ص = 0
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0 ، ص = 0
إشارة:
في x< 0, y < 0
لـ x> 0 ، y> 0
حدود:
;
القيم الخاصة:
من أجل x = -1 ، ص (-1) = -1
من أجل x = 0 ، y (0) = 0
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1
وظيفة عكسية:

حتى البسط ، ن = 2 ، 4 ، 6 ، ...

يتم تقديم خصائص دالة القوة y = x p ذات الأس الكسري ، والتي تقع ضمن 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

اِختِصاص: -∞ < x < +∞
قيم متعددة: 0 ≤ ذ< +∞
التكافؤ:حتى ، y (-x) = y (x)
روتيني:
في x< 0 : монотонно убывает
بالنسبة إلى x> 0: زيادة رتيبة
النهايات:الحد الأدنى عند x = 0 ، y = 0
محدب:محدب لأعلى عند x ≠ 0
نقاط التوقف:رقم
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0 ، ص = 0
إشارة:لـ x ≠ 0 ، y> 0
حدود:
;
القيم الخاصة:
بالنسبة إلى x = -1 ، y (-1) = 1
من أجل x = 0 ، y (0) = 0
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1
وظيفة عكسية:

الأس p أكبر من واحد ، p> 1

رسم بياني لدالة قوة ذات أس كسري (p> 1) لقيم مختلفة للأس ، حيث m = 3 ، 5 ، 7 ، ... أمر فردي.

البسط الفردي ، ن = 5 ، 7 ، 9 ، ...

خواص دالة قوة y = x p ذات أس نسبي أكبر من واحد:. حيث n = 5 ، 7 ، 9 ، ... هو عدد طبيعي فردي ، م = 3 ، 5 ، 7 ... هو عدد طبيعي فردي.

اِختِصاص: -∞ < x < ∞
قيم متعددة: -∞ < y < ∞
التكافؤ:فردي ، ص (-س) = - ص (س)
روتيني:يزيد بشكل رتيب
النهايات:رقم
محدب:
في -∞< x < 0 выпукла вверх
عند 0< x < ∞ выпукла вниз
نقاط التوقف:س = 0 ، ص = 0
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0 ، ص = 0
حدود:
;
القيم الخاصة:
من أجل x = -1 ، ص (-1) = -1
من أجل x = 0 ، y (0) = 0
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1
وظيفة عكسية:

حتى البسط ، ن = 4 ، 6 ، 8 ، ...

خواص دالة قوة y = x p ذات أس نسبي أكبر من واحد:. حيث n = 4 ، 6 ، 8 ، ... هو عدد طبيعي زوجي ، م = 3 ، 5 ، 7 ... هو عدد طبيعي فردي.

اِختِصاص: -∞ < x < ∞
قيم متعددة: 0 ≤ ذ< ∞
التكافؤ:حتى ، y (-x) = y (x)
روتيني:
في x< 0 монотонно убывает
لـ x> 0 يزيد بشكل رتيب
النهايات:الحد الأدنى عند x = 0 ، y = 0
محدب:محدب لأسفل
نقاط التوقف:رقم
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0 ، ص = 0
حدود:
;
القيم الخاصة:
بالنسبة إلى x = -1 ، y (-1) = 1
من أجل x = 0 ، y (0) = 0
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1
وظيفة عكسية:

مقام المؤشر الكسري زوجي

اجعل مقام الأس الكسري زوجيًا: م = 2 ، 4 ، 6 ، .... في هذه الحالة ، لم يتم تعريف دالة القوة x p للقيم السالبة للوسيطة. تتطابق خصائصه مع خصائص دالة القوة مع الأس غير المنطقي (انظر القسم التالي).

دالة القوة مع الأس غير المنطقي

افترض أن دالة القوة y = x p مع الأس غير المنطقي p. تختلف خصائص هذه الوظائف عن تلك المذكورة أعلاه من حيث أنها غير معرّفة للقيم السالبة للوسيطة x. بالنسبة للقيم الإيجابية للوسيطة ، تعتمد الخصائص فقط على قيمة الأس p ولا تعتمد على ما إذا كان p عددًا صحيحًا أم عقلانيًا أم غير منطقي.

y = x p لقيم مختلفة للأس p.

وظيفة الطاقة مع ص سالب< 0

اِختِصاص: x> 0
قيم متعددة:ص> 0
روتيني:ينخفض ​​بشكل رتيب
محدب:محدب لأسفل
نقاط التوقف:رقم
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:رقم
حدود: ;
قيمة خاصة:بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 p = 1

وظيفة الطاقة مع الأس الإيجابي p> 0

المؤشر أقل من صفر< p < 1

اِختِصاص:س ≥ 0
قيم متعددة:ذ ≥ 0
روتيني:يزيد بشكل رتيب
محدب:محدب
نقاط التوقف:رقم
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0 ، ص = 0
حدود:
القيم الخاصة:بالنسبة إلى x = 0 ، y (0) = 0 p = 0.
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 p = 1

المؤشر أكبر من p> 1

اِختِصاص:س ≥ 0
قيم متعددة:ذ ≥ 0
روتيني:يزيد بشكل رتيب
محدب:محدب لأسفل
نقاط التوقف:رقم
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0 ، ص = 0
حدود:
القيم الخاصة:بالنسبة إلى x = 0 ، y (0) = 0 p = 0.
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 p = 1

مراجع:
في. برونشتاين ، ك. Semendyaev ، كتيب الرياضيات للمهندسين وطلاب مؤسسات التعليم العالي ، لان ، 2009.

تذكر الخصائص والرسوم البيانية لوظائف القدرة ذات الأس الصحيح السالب.

حتى ن ،:

مثال على الوظيفة:

تمر جميع الرسوم البيانية لهذه الوظائف من خلال نقطتين ثابتتين: (1 ؛ 1) ، (-1 ؛ 1). ميزة وظائف هذا النوع هي التكافؤ ، الرسوم البيانية متناظرة فيما يتعلق بمحور المرجع ص.

أرز. 1. رسم بياني للدالة

من أجل n الفردية ،:

مثال على الوظيفة:

تمر جميع الرسوم البيانية لهذه الوظائف من خلال نقطتين ثابتتين: (1 ؛ 1) ، (-1 ؛ -1). سمة من سمات هذا النوع هي الغرابة ، والرسوم البيانية متناظرة فيما يتعلق بالأصل.

أرز. 2. وظيفة الرسم البياني

دعونا نتذكر التعريف الرئيسي.

تسمى درجة الرقم غير السالب أ ذو الأس الموجب المنطقي بالرقم.

تسمى درجة العدد الموجب أ الذي له أس سالب عقلاني عددًا.

بالنسبة للمساواة التالية:

فمثلا: ؛ - لا يوجد التعبير من خلال تعريف الدرجة ذات الأس المنطقي السالب ؛ موجود ، لأن الأس عدد صحيح ،

دعونا ننتقل إلى النظر في وظائف القوة ذات الأس السالب العقلاني.

فمثلا:

لرسم هذه الوظيفة ، يمكنك عمل جدول. سنفعل خلاف ذلك: أولاً ، سنبني الرسم البياني للمقام وندرسه - نعرفه (الشكل 3).

أرز. 3. رسم بياني للدالة

يمر الرسم البياني لدالة المقام عبر نقطة ثابتة (1 ؛ 1). عند إنشاء رسم بياني للوظيفة الأصلية ، تبقى هذه النقطة ، عندما يميل الجذر أيضًا إلى الصفر ، تميل الوظيفة إلى اللانهاية. وعلى العكس من ذلك ، حيث تميل x إلى اللانهاية ، تميل الدالة إلى الصفر (الشكل 4).

أرز. 4. وظيفة الرسم البياني

ضع في اعتبارك وظيفة أخرى من عائلة الوظائف قيد الدراسة.

من المهم أن بحكم التعريف

ضع في اعتبارك الرسم البياني للوظيفة في المقام: نحن نعرف الرسم البياني لهذه الوظيفة ، فهو يزداد في مجال التعريف الخاص به ويمر عبر النقطة (1 ؛ 1) (الشكل 5).

أرز. 5. وظيفة الرسم البياني

عند إنشاء رسم بياني للوظيفة الأصلية ، تبقى النقطة (1 ؛ 1) ، عندما يميل الجذر أيضًا إلى الصفر ، تميل الوظيفة إلى اللانهاية. وعلى العكس من ذلك ، حيث تميل x إلى اللانهاية ، تميل الدالة إلى الصفر (الشكل 6).

أرز. 6. وظيفة الرسم البياني

تساعد الأمثلة المدروسة في فهم كيفية عمل الرسم البياني وما هي خصائص الوظيفة قيد الدراسة - وظيفة ذات أس عقلاني سالب.

تمر الرسوم البيانية لوظائف هذه العائلة من خلال النقطة (1 ؛ 1) ، تتناقص الوظيفة على نطاق التعريف بأكمله.

نطاق الوظيفة:

لا يتم تقييد الوظيفة من أعلى ، ولكن يتم تقييدها من الأسفل. الوظيفة ليس لها قيمة قصوى ولا قيمة دنيا.

الدالة متصلة ، تأخذ كل القيم الموجبة من صفر إلى زائد ما لا نهاية.

وظيفة محدبة لأسفل (الشكل 15.7)

يتم أخذ النقطتين A و B على المنحنى ، ويتم رسم جزء من خلالهما ، ويكون المنحنى بأكمله أسفل المقطع ، هذا الشرطيحمل نقطتين تعسفيتين على المنحنى ، ومن ثم تكون الوظيفة محدبة للأسفل. أرز. 7.

أرز. 7. تحدب وظيفة

من المهم أن نفهم أن وظائف هذه العائلة يحدها من تحت الصفر ، لكن ليس لها أصغر قيمة.

مثال 1 - أوجد الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة في الفترة الزمنية)