كيفية ضرب الكسور البسيطة. قواعد لضرب الكسور في عدد

عمليه الضرب الكسور العاديةدعونا نلقي نظرة على العديد من الخيارات الممكنة.

ضرب كسر في كسر

هذه أبسط حالة تحتاج فيها إلى استخدام ما يلي قواعد الضرب الكسر.

ل اضرب الكسر في الكسر، ضروري:

• اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني واكتب حاصل ضربه في بسط الكسر الجديد ؛
• اضرب مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني واكتب حاصل ضربه في مقام الكسر الجديد ؛

تحقق من إمكانية اختزال الكسور قبل ضرب البسط والمقام. سيساعد تقليل الكسور في العمليات الحسابية بشكل كبير على العمليات الحسابية.



ضرب كسر في عدد طبيعي

إلى كسر اضرب في عدد طبيعيعليك أن تضرب بسط الكسر في هذا العدد ، وتترك مقام الكسر كما هو.

إذا كانت نتيجة الضرب كسرًا غير فعلي ، فلا تنس تحويله إلى عدد كسري ، أي حدد الجزء بالكامل.



ضرب الأعداد الكسرية

لضرب الأعداد الكسرية ، يجب أولاً تحويلها إلى كسور غير فعلية ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسور العادية.



طريقة أخرى لضرب الكسر في عدد طبيعي

في بعض الأحيان يكون من الأنسب في الحسابات استخدام طريقة مختلفة لضرب الكسر العادي برقم.

لضرب كسر في عدد طبيعي ، عليك قسمة مقام الكسر على هذا الرقم ، وترك البسط كما هو.



كما يتضح من المثال ، من الأنسب استخدام هذا الإصدار من القاعدة إذا كان مقام الكسر قابلاً للقسمة بدون الباقي برقم طبيعي.

الأفعال مع الكسور

جمع الكسور من نفس القواسم

جمع الكسور نوعان:

• جمع الكسور من نفس القواسم
• جمع الكسور ذات القواسم المختلفة

لنبدأ بإضافة كسور لها نفس المقامات. كل شيء بسيط هنا. لإضافة كسور لها نفس المقامات ، عليك أن تجمع البسط وتترك المقام دون تغيير. على سبيل المثال ، لنجمع الكسور و. نجمع البسط ونترك المقام كما هو:



يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا أضفت بيتزا إلى البيتزا ، تحصل على بيتزا:

مثال 2اجمع الكسور و.

اجمع البسط مجددًا واترك المقام كما هو:



الجواب هو كسر غير فعلي. إذا جاءت نهاية المهمة ، فمن المعتاد التخلص من الكسور غير الصحيحة. للتخلص من الكسر غير الصحيح ، تحتاج إلى تحديد الجزء بأكمله فيه. في حالتنا ، يتم تخصيص الجزء الصحيح بسهولة - اثنان مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا:



يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى قسمين. إذا أضفت المزيد من البيتزا إلى البيتزا ، فستحصل على بيتزا واحدة كاملة:

مثال 3. اجمع الكسور و.



يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا أضفت المزيد من البيتزا إلى البيتزا ، ستحصل على البيتزا:

مثال 4أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل المثال السابق. يجب إضافة البسط وترك المقام دون تغيير:

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا أضفت بيتزا إلى بيتزا وأضفت المزيد من البيتزا ، ستحصل على بيتزا واحدة كاملة والمزيد من البيتزا.

كما ترى ، فإن جمع الكسور بنفس القواسم ليس بالأمر الصعب. يكفي فهم القواعد التالية:

1. لإضافة كسور من نفس المقام ، تحتاج إلى إضافة البسط ، وترك المقام كما هو ؛
2. إذا تبين أن الإجابة كانت كسرًا غير لائق ، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بالكامل فيه.

جمع الكسور ذات القواسم المختلفة

الآن سوف نتعلم كيفية جمع كسور ذات مقامات مختلفة. عند جمع الكسور ، يجب أن تكون مقامات تلك الكسور متطابقة. لكنهم ليسوا دائما نفس الشيء.

على سبيل المثال ، يمكن أيضًا إضافة الكسور لأنها تحتوي على نفس القواسم.

لكن لا يمكن إضافة الكسور على الفور ، لأن هذه الكسور لها قواسم مختلفة. في مثل هذه الحالات ، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

توجد عدة طرق لتقليل الكسور إلى نفس المقام. اليوم سننظر في واحدة منها فقط ، لأن باقي الطرق قد تبدو معقدة بالنسبة للمبتدئين.

جوهر هذه الطريقة هو أنه يتم البحث أولاً عن المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للمقامرين لكلا الكسرين. ثم يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول للحصول على الأول مضاعف إضافي. يفعلون الشيء نفسه مع الكسر الثاني - يتم تقسيم NOC على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على العامل الإضافي الثاني.

ثم يتم ضرب البسط والمقام في الكسور في عواملها الإضافية. نتيجة لهذه الإجراءات ، تتحول الكسور التي لها قواسم مختلفة إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية جمع هذه الكسور.

مثال 1. اجمع الكسور و

هذه الكسور لها قواسم مختلفة ، لذا عليك تقريبها إلى نفس المقام (المشترك).

أولًا ، نجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. والمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 6

المضاعف المشترك الأصغر (2 و 3) = 6

الآن نعود إلى الكسور و. أولًا ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ونحصل على العامل الإضافي الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 6 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. قسّم 6 على 3 ، نحصل على 2.

الرقم الناتج 2 هو العامل الإضافي الأول. نكتبه حتى الكسر الأول. للقيام بذلك ، نقوم بعمل خط مائل صغير فوق الكسر ونكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:

نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ونحصل على العامل الإضافي الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 6 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. قسّم 6 على 2 ، نحصل على 3.

الرقم الناتج 3 هو العامل الإضافي الثاني. نكتبه في الكسر الثاني. مرة أخرى ، نصنع خطًا مائلًا صغيرًا فوق الكسر الثاني ونكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:

الآن نحن جاهزون للإضافة. يبقى ضرب البسط والمقام في الكسور بعواملها الإضافية:



انظر عن كثب إلى ما وصلنا إليه. توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية جمع هذه الكسور. لنكمل هذا المثال حتى النهاية:



وهكذا ينتهي المثال. لإضافته اتضح.

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا أضفت بيتزا إلى بيتزا ، فستحصل على بيتزا كاملة وسدس بيتزا أخرى:

يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك) باستخدام صورة. بإحضار الكسور والمقام المشترك ، نحصل على الكسور و. سيتم تمثيل هذين الكسرين بنفس شرائح البيتزا. سيكون الاختلاف الوحيد هو أنه سيتم تقسيمها هذه المرة إلى حصص متساوية (يتم تقليلها إلى نفس المقام).



يُظهر الرسم الأول كسرًا (أربع قطع من ستة) والصورة الثانية تُظهر كسرًا (ثلاث قطع من ستة). بتجميع هذه القطع معًا نحصل على (سبع قطع من ستة). هذا الكسر غير صحيح ، لذلك قمنا بتمييز الجزء الصحيح فيه. وكانت النتيجة (بيتزا واحدة كاملة وبيتزا سادسة أخرى).

لاحظ أننا رسمنا مثال معينمفصل جدا. في المؤسسات التعليميةليس من المعتاد أن تكتب بهذه الطريقة التفصيلية. يجب أن تكون قادرًا على العثور بسرعة على المضاعف المشترك الأصغر لكل من المقامات والعوامل الإضافية لهما ، بالإضافة إلى مضاعفة العوامل الإضافية الموجودة في البسط والمقام بسرعة. أثناء وجودنا في المدرسة ، يجب أن نكتب هذا المثال على النحو التالي:



ولكن هناك أيضًا الوجه الآخر للعملة. إذا لم يتم تدوين الملاحظات التفصيلية في المراحل الأولى من دراسة الرياضيات ، فعندئذ أسئلة من هذا النوع "من أين يأتي هذا العدد؟" ، "لماذا تتحول الكسور فجأة إلى كسور مختلفة تمامًا؟ «.

لتسهيل إضافة الكسور ذات القواسم المختلفة ، يمكنك استخدام التعليمات التالية خطوة بخطوة:

3. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور ؛
4. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على مضاعف إضافي لكل كسر ؛
5. اضرب البسط والمقام في الكسور في عواملها الإضافية ؛
6. أضف الكسور التي لها نفس القواسم ؛
7. إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير لائق ، فحدد الجزء بالكامل ؛

مثال 2أوجد قيمة التعبير .

دعنا نستخدم الرسم البياني أعلاه.

الخطوة 1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور

نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. مقامات الكسور هي الأرقام 2 و 3 و 4. تحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام:

الخطوة 2. قسّم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على مضاعف إضافي لكل كسر

اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 2. نقسم 12 على 2 ، نحصل على 6. حصلنا على العامل الإضافي الأول 6. نكتبه على الكسر الأول:

الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. نقسم 12 على 3 ، نحصل على 4. حصلنا على العامل الإضافي الثاني 4. نكتبه على الكسر الثاني:

الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 4. اقسم 12 على 4 ، نحصل على 3. حصلنا على العامل الإضافي الثالث 3. نكتبه على الكسر الثالث:

الخطوة 3. اضرب البسط والمقام في العوامل الإضافية

نضرب البسط والمقام في العوامل الإضافية:

الخطوة 4. أضف الكسور التي لها نفس المقامات

توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها قواسم مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم (المشتركة). يبقى إضافة هذه الكسور. أضف:



لم يتم احتواء الإضافة في سطر واحد ، لذلك نقلنا المقدار المتبقي إلى السطر التالي. هذا مسموح به في الرياضيات. عندما لا يتلاءم التعبير مع سطر واحد ، يتم نقله إلى السطر التالي ، ومن الضروري وضع علامة مساوية (=) في نهاية السطر الأول وفي بداية السطر الجديد. تشير علامة التساوي في السطر الثاني إلى أن هذا استمرار للتعبير الذي كان في السطر الأول.

الخطوة 5. إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير فعلي ، فحدد جزء العدد الصحيح

إجابتنا هي كسر غير فعلي. يجب أن نفرد كل جزء منه. نبرز:



حصلت على إجابة

طرح كسور لها نفس القواسم

هناك نوعان من طرح الكسور:

8. طرح كسور لها نفس القواسم
9. طرح الكسور ذات القواسم المختلفة

أولًا ، لنتعلم كيفية طرح الكسور ذات المقامات نفسها. كل شيء بسيط هنا. لطرح آخر من كسر واحد ، عليك طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول ، وترك المقام كما هو.

على سبيل المثال ، لنجد قيمة التعبير. لحل هذا المثال ، من الضروري طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول وترك المقام كما هو. هيا بنا نقوم بذلك:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، ستحصل على البيتزا:

مثال 2أوجد قيمة التعبير.

مرة أخرى ، من بسط الكسر الأول ، اطرح بسط الكسر الثاني ، واترك المقام كما هو:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، ستحصل على البيتزا:

مثال 3أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل المثال السابق. من بسط الكسر الأول ، عليك طرح بسط الكسور المتبقية:

الجواب هو كسر غير فعلي. إذا كان المثال كاملاً ، فمن المعتاد التخلص من الكسر غير الصحيح. دعنا نتخلص من الكسر الخاطئ في الإجابة. للقيام بذلك ، حدد الجزء بالكامل:

كما ترى ، لا يوجد شيء معقد في طرح الكسور التي لها نفس المقامات. يكفي فهم القواعد التالية:

لطرح آخر من كسر واحد ، عليك طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول وترك المقام كما هو ؛

إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير لائق ، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بالكامل.

طرح الكسور ذات القواسم المختلفة

على سبيل المثال ، يمكن طرح كسر من كسر ، لأن هذه الكسور لها نفس المقامات. لكن لا يمكن طرح الكسر من الكسر ، لأن هذه الكسور لها مقامات مختلفة. في مثل هذه الحالات ، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

تم إيجاد المقام المشترك وفقًا لنفس المبدأ الذي استخدمناه عند جمع الكسور ذات المقامات المختلفة. أولًا ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. ثم يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ويتم الحصول على العامل الإضافي الأول ، والذي يتم كتابته على الكسر الأول. وبالمثل ، يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على عامل إضافي آخر ، يتم كتابته على الكسر الثاني.

ثم يتم ضرب الكسور في عواملها الإضافية. نتيجة لهذه العمليات ، تتحول الكسور ذات المقامات المختلفة إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور.

مثال 1أوجد قيمة التعبير:

أولًا ، نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامتي الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 12

المضاعف المشترك الأصغر (3 و 4) = 12

الآن نعود إلى الكسور و

لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. للقيام بذلك ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. نقسم 12 على 3 ، نحصل على 4. نكتب الأربعة على الكسر الأول:

نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. اقسم 12 على 4 ، نحصل على 3. نكتب الثلاثي على الكسر الثاني:

الآن نحن جاهزون للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور. لنكمل هذا المثال حتى النهاية:

حصلت على إجابة

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، تحصل عليها.

هذه هي النسخة التفصيلية للحل. كوننا في المدرسة ، سيتعين علينا حل هذا المثال بطريقة أقصر. سيبدو هذا الحل كما يلي:

يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى قاسم مشترك باستخدام صورة. بوصل هذين الكسور إلى مقام مشترك ، نحصل على الكسور و. سيتم تمثيل هذه الكسور بنفس شرائح البيتزا ، ولكن هذه المرة سيتم تقسيمها إلى نفس الكسور (يتم اختزالها إلى نفس المقام):

يُظهر الرسم الأول كسرًا (ثماني قطع من اثني عشر) ، والصورة الثانية تُظهر كسرًا (ثلاث قطع من اثني عشر). بقطع ثلاث قطع من ثماني قطع ، نحصل على خمس قطع من اثني عشر. يصف الكسر هذه الأجزاء الخمس.

مثال 2أوجد قيمة التعبير

هذه الكسور لها مقامات مختلفة ، لذا عليك أولًا تقريبها إلى نفس المقام (المشترك).

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام هذه الكسور.

مقامات الكسور هي الأعداد 10 و 3 و 5. المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 30

المضاعف المشترك الأصغر (10، 3، 5) = 30

الآن نجد عوامل إضافية لكل كسر. للقيام بذلك ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر.

لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 10. نقسم 30 على 10 ، نحصل على العامل الإضافي الأول 3. نكتبه على الكسر الأول:

نوجد الآن عاملًا إضافيًا للكسر الثاني. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. نقسم 30 على 3 ، نحصل على العامل الإضافي الثاني 10. نكتبه على الكسر الثاني:

نوجد الآن عاملًا إضافيًا للكسر الثالث. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 5. نقسم 30 على 5 ، نحصل على العامل الإضافي الثالث 6. نكتبه على الكسر الثالث:

الآن كل شيء جاهز للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها قواسم مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم (المشتركة). ونحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور. لننهي هذا المثال.

لن يتناسب استمرار المثال مع سطر واحد ، لذلك ننقل المتابعة إلى السطر التالي. لا تنسَ علامة المساواة (=) في السطر الجديد:

تبين أن الإجابة هي جزء صحيح ، ويبدو أن كل شيء يناسبنا ، لكنه مرهق وقبيح للغاية. يجب أن نجعلها أبسط وأكثر إرضاء من الناحية الجمالية. ماذا يمكن ان يفعل؟ يمكنك تقليل هذا الكسر. تذكر أن اختزال الكسر هو قسمة البسط والمقام على الأكبر القاسم المشتركالبسط والمقام.

لتقليل الكسر بشكل صحيح ، تحتاج إلى قسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر (GCD) للرقمين 20 و 30.

لا تخلط بين GCD و NOC. الخطأ الأكثر شيوعًا الذي يرتكبه العديد من المبتدئين. GCD هو القاسم المشترك الأكبر. نجدها لتقليل الكسر.

و LCM هو المضاعف المشترك الأصغر. نجده من أجل تقريب الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

الآن سنجد القاسم المشترك الأكبر (gcd) للعددين 20 و 30.

إذن ، نجد GCD للأرقام 20 و 30:

GCD (20 و 30) = 10

نعود الآن إلى مثالنا ونقسم بسط الكسر ومقامه على 10:

حصلت على إجابة لطيفة

ضرب الكسر في رقم

لضرب كسر في رقم ، تحتاج إلى ضرب بسط الكسر المعطى في هذا الرقم ، وترك المقام كما هو.

مثال 1. اضرب الكسر بالرقم 1.

اضرب بسط الكسر بالرقم 1

يمكن فهم الإدخال على أنه يستغرق نصف مرة. على سبيل المثال ، إذا تناولت البيتزا مرة واحدة ، فستحصل على البيتزا

من قوانين الضرب ، نعلم أنه إذا تم تبادل المضاعف والمضاعف ، فلن يتغير المنتج. إذا تمت كتابة التعبير كـ ، فسيظل المنتج مساويًا لـ. مرة أخرى ، تعمل قاعدة ضرب عدد صحيح وكسر:

يمكن فهم هذا الإدخال على أنه يأخذ نصف الوحدة. على سبيل المثال ، إذا كان هناك بيتزا واحدة كاملة وأخذنا نصفها ، فسنحصل على بيتزا:

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر في 4

يمكن فهم التعبير على أنه أخذ ربعين أربع مرات. على سبيل المثال ، إذا تناولت البيتزا 4 مرات ، فستحصل على اثنين من البيتزا الكاملة.

وإذا قمنا بتبديل المضاعف والمضاعف في أماكن ، فسنحصل على المقدار. سيكون أيضًا مساويًا لـ 2. يمكن فهم هذا التعبير على أنه أخذ اثنين من البيتزا من أربع بيتزا كاملة:

ضرب الكسور

لضرب الكسور ، عليك ضرب البسط والمقام. إذا كانت الإجابة كسرًا غير فعلي ، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بالكامل فيه.

مثال 1أوجد قيمة التعبير.

حصلت على إجابة. من المستحسن تقليل هذا الكسر. يمكن تصغير الكسر بمقدار 2. ثم يأخذ الحل النهائي الشكل التالي:

يمكن فهم التعبير على أنه أخذ بيتزا من نصف بيتزا. لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:

كيف تأخذ الثلثين من هذا النصف؟ تحتاج أولاً إلى تقسيم هذا النصف إلى ثلاثة أجزاء متساوية:

وخذ قطعتين من هذه القطع الثلاث:

سنحصل على بيتزا. تذكر كيف تبدو البيتزا مقسمة إلى ثلاثة أجزاء:

شريحة واحدة من هذه البيتزا والشريحتين اللتين أخذناهما سيكون لها نفس الأبعاد:

بعبارة أخرى ، نحن نتحدث عن نفس حجم البيتزا. لذلك ، فإن قيمة التعبير هي

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني ، واضرب مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:

الجواب هو كسر غير فعلي. لنأخذ جزءًا كاملاً منه:

مثال 3أوجد قيمة التعبير

تبين أن الإجابة هي كسر صحيح ، لكنها ستكون جيدة إذا تم تقليلها. لتقليل هذا الكسر ، يجب تقسيمه على gcd للبسط والمقام. إذن ، لنجد GCD للرقمين 105 و 450:

GCD لـ (105 و 150) هي 15

الآن نقسم بسط ومقام إجابتنا على GCD:

تمثيل عدد صحيح في صورة كسر

يمكن تمثيل أي عدد صحيح في صورة كسر. على سبيل المثال ، يمكن تمثيل الرقم 5 كـ. من هنا لن يغير الخمسة معناها ، لأن التعبير يعني "العدد خمسة مقسومًا على واحد" ، وهذا كما تعلمون يساوي خمسة:

أرقام عكسية

الآن سوف نتعرف على موضوع مثير للاهتمامفي الرياضيات. يطلق عليه "الأرقام العكسية".

تعريف. عكس الرقم أ هو الرقم الذي عند ضربه أ يعطي وحدة.

لنعوض بهذا التعريف بدلاً من المتغير أرقم 5 وحاول قراءة التعريف:

عكس الرقم 5 هو الرقم الذي عند ضربه 5 يعطي وحدة.

هل من الممكن إيجاد رقم يعطي واحدًا عند ضربه في 5؟ اتضح أنك تستطيع. دعنا نمثل خمسة في صورة كسر:

ثم اضرب هذا الكسر في نفسه ، فقط بدل البسط والمقام. بعبارة أخرى ، اضرب الكسر في نفسه ، مقلوبًا فقط:

ماذا ستكون نتيجة هذا؟ إذا واصلنا حل هذا المثال ، فسنحصل على واحد:

هذا يعني أن معكوس الرقم 5 هو الرقم ، لأنه عندما يتم ضرب 5 في واحد ، يتم الحصول على واحد.

يمكن أيضًا العثور على المقلوب لأي عدد صحيح آخر.

• مقلوب 3 كسر
• مقلوب 4 كسر

يمكنك أيضًا إيجاد مقلوب أي كسر آخر. للقيام بذلك ، يكفي قلبه.

) والمقام بالمقام (نحصل على مقام حاصل الضرب).

صيغة ضرب الكسر:

على سبيل المثال:

قبل الشروع في ضرب البسط والمقام ، من الضروري التحقق من إمكانية تقليل الكسر. إذا تمكنت من تقليل الكسر ، فسيكون من السهل عليك الاستمرار في إجراء الحسابات.

قسمة كسر عادي على كسر.

قسمة الكسور التي تتضمن عددًا طبيعيًا.

إنه ليس مخيفًا كما يبدو. كما في حالة الجمع ، نحول عددًا صحيحًا إلى كسر بوحدة في المقام. على سبيل المثال:

ضرب الكسور المختلطة.

قواعد ضرب الكسور (مختلطة):

• تحويل الكسور المختلطة إلى غير صحيحة ؛
• اضرب البسط والمقام في الكسور ؛
• نقوم بتقليل الكسر.
• إذا وردت جزء غير لائق، ثم نحول الكسر غير الفعلي إلى كسر مختلط.

ملحوظة!لمضاعفه جزء مختلطإلى كسر مختلط آخر ، عليك أولًا تحويلها إلى شكل كسور غير فعلية ، ثم الضرب وفقًا لقاعدة الضرب للكسور العادية.

الطريقة الثانية لضرب الكسر في عدد طبيعي.

من الأنسب استخدام الطريقة الثانية لضرب الكسر العادي في رقم.

ملحوظة!لضرب كسر في رقم طبيعي ، من الضروري قسمة مقام الكسر على هذا الرقم ، وترك البسط دون تغيير.

من المثال أعلاه ، من الواضح أن هذا الخيار يكون أكثر ملاءمة للاستخدام عندما يتم قسمة مقام الكسر بدون الباقي على رقم طبيعي.

كسور متعددة المستويات.

في المدرسة الثانوية ، غالبًا ما توجد كسور من ثلاثة طوابق (أو أكثر). مثال:

لإحضار هذا الكسر إلى شكله المعتاد ، يتم استخدام القسمة على نقطتين:

ملحوظة!عند قسمة الكسور ، فإن ترتيب القسمة مهم جدًا. كن حذرًا ، من السهل الخلط هنا.

ملحوظة، على سبيل المثال:

عند قسمة واحد على أي كسر ، ستكون النتيجة هي نفس الكسر ، مقلوبًا فقط:

نصائح عملية لضرب الكسور وتقسيمها:

1. أهم شيء في التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والانتباه. قم بإجراء جميع العمليات الحسابية بحذر ودقة وتركيز ووضوح. من الأفضل أن تكتب بضعة سطور إضافية في المسودة بدلاً من الخلط بين الحسابات في رأسك.

2. في المهام مع أنواع مختلفةالكسور - انتقل إلى شكل الكسور العادية.

3. نقوم بتقليل جميع الكسور حتى يصبح من غير الممكن تصغيرها.

4. نقوم بإدخال التعبيرات الكسرية متعددة المستويات إلى التعبيرات العادية ، باستخدام القسمة على نقطتين.

5. نقسم الوحدة إلى كسر في أذهاننا ، وذلك ببساطة عن طريق قلب الكسر.

في القرن الخامس قبل الميلاد ، صاغ الفيلسوف اليوناني القديم زينو من إيليا أبورياس الشهير ، وأشهرها أبوريا "أخيل والسلحفاة". إليك كيف يبدو الأمر:

لنفترض أن أخيل يركض أسرع بعشر مرات من السلحفاة وخلفه ألف خطوة. خلال الوقت الذي يقطع فيه أخيل هذه المسافة ، تزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. عندما يركض أخيل مائة خطوة ، ستزحف السلحفاة عشر درجات أخرى ، وهكذا. ستستمر العملية إلى أجل غير مسمى ، ولن يلحق أخيل بالسلحفاة أبدًا.

أصبح هذا التفكير صدمة منطقية لجميع الأجيال اللاحقة. أرسطو ، ديوجين ، كانط ، هيجل ، جيلبرت ... كلهم ​​، بطريقة أو بأخرى ، يعتبرون زينو أبورياس. كانت الصدمة قوية لدرجة " ... تستمر المناقشات في الوقت الحالي ، ولم يتمكن المجتمع العلمي بعد من التوصل إلى رأي مشترك حول جوهر التناقضات ... تم تضمين التحليل الرياضي ، ونظرية المجموعات ، والنهج الفيزيائية والفلسفية الجديدة في دراسة القضية ؛ لم يصبح أي منهم حلاً مقبولًا عالميًا للمشكلة ..."[Wikipedia،" Zeno's Aporias "]. الجميع يفهم أنه يتم خداعهم ، لكن لا أحد يفهم ماهية الخداع.

من وجهة نظر الرياضيات ، أظهر زينو في أبوريا بوضوح الانتقال من القيمة إلى. يتضمن هذا الانتقال تطبيقًا بدلاً من الثوابت. بقدر ما أفهم ، فإن الجهاز الرياضي لتطبيق وحدات القياس المتغيرة إما لم يتم تطويره بعد ، أو لم يتم تطبيقه على أبوريا زينو. إن تطبيق منطقنا المعتاد يقودنا إلى الفخ. نحن ، بجمود التفكير ، نطبق وحدات زمنية ثابتة على المعاملة بالمثل. من وجهة نظر جسدية ، يبدو هذا وكأنه تباطؤ في الوقت المناسب حتى يتوقف تمامًا في اللحظة التي يلحق فيها أخيل بالسلحفاة. إذا توقف الوقت ، لم يعد بإمكان أخيل تجاوز السلحفاة.

إذا قمنا بتحويل المنطق الذي اعتدنا عليه ، فإن كل شيء يقع في مكانه. يعمل أخيل بسرعة ثابتة. كل جزء لاحق من مساره أقصر بعشر مرات من المقطع السابق. وعليه فإن الوقت الذي يقضيه في التغلب عليه أقل بعشر مرات من الوقت السابق. إذا طبقنا مفهوم "اللانهاية" في هذه الحالة ، فسيكون من الصحيح أن نقول "سيتفوق أخيل على السلحفاة بسرعة لانهائية."

كيف نتجنب هذا الفخ المنطقي؟ ابقَ في وحدات زمنية ثابتة ولا تتحول إلى قيم متبادلة. في لغة Zeno ، يبدو الأمر كما يلي:

في الوقت الذي يستغرقه أخيل لتشغيل ألف خطوة ، تزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. خلال الفترة الزمنية التالية ، التي تساوي الأولى ، سيجري أخيل ألف خطوة أخرى ، وستزحف السلحفاة مائة خطوة. الآن Achilles متقدم بثمانمائة خطوة على السلحفاة.

يصف هذا النهج الواقع بشكل مناسب دون أي مفارقات منطقية. لكنها ليست كذلك الحل الكاملمشاكل. إن بيان أينشتاين حول عدم القدرة على التغلب على سرعة الضوء يشبه إلى حد بعيد أبوريا زينو "أخيل والسلحفاة". لا يزال يتعين علينا دراسة هذه المشكلة وإعادة التفكير فيها وحلها. ويجب البحث عن الحل ليس بأعداد كبيرة لانهائية ، ولكن بوحدات قياس.

تحكي أبوريا مثيرة أخرى لزينو عن سهم طائر:

السهم الطائر ثابت ، لأنه في حالة راحة في كل لحظة ، ولأنه في حالة راحة في كل لحظة ، فهو دائمًا في حالة راحة.

في هذا الانحراف ، يتم التغلب على المفارقة المنطقية بكل بساطة - يكفي توضيح أنه في كل لحظة من الزمن ، يقع السهم الطائر في نقاط مختلفة في الفضاء ، وهي في الواقع حركة. هناك نقطة أخرى يجب ملاحظتها هنا. من صورة واحدة لسيارة على الطريق ، من المستحيل تحديد حقيقة حركتها أو المسافة إليها. لتحديد حقيقة حركة السيارة ، هناك حاجة إلى صورتين ، مأخوذة من نفس النقطة لحظات مختلفةالوقت ، لكنهم لا يستطيعون تحديد المسافة. لتحديد المسافة إلى السيارة ، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نقاط مختلفة في الفضاء في نفس الوقت ، لكن لا يمكنك تحديد حقيقة الحركة منها (بطبيعة الحال ، ما زلت بحاجة إلى بيانات إضافية لإجراء الحسابات ، وسيساعدك علم المثلثات). ما أريد أن أشير إليه على وجه الخصوص هو أن نقطتين في الوقت ونقطتين في الفضاء هما شيئان مختلفان لا ينبغي الخلط بينهما لأنهما يوفران فرصًا مختلفة للاستكشاف.

الأربعاء 4 يوليو 2018

جيد جدًا ، تم وصف الاختلافات بين مجموعة و multiset في ويكيبيديا. نحن ننظر.

كما ترى ، "لا يمكن أن تحتوي المجموعة على عنصرين متطابقين" ، ولكن إذا كانت هناك عناصر متطابقة في المجموعة ، فإن هذه المجموعة تسمى "multiset". الكائنات المعقولة لن تفهم أبدًا منطق العبثية هذا. هذا هو مستوى الببغاوات الناطقة والقرود المدربة ، حيث يغيب العقل عن كلمة "تمامًا". يعمل علماء الرياضيات كمدربين عاديين ، يكرزون لنا بأفكارهم السخيفة.

ذات مرة ، كان المهندسون الذين بنوا الجسر في قارب تحت الجسر أثناء اختبارات الجسر. إذا انهار الجسر ، مات المهندس المتوسط ​​تحت أنقاض خليقته. إذا كان الجسر يستطيع تحمل الحمل ، فقد بنى المهندس الموهوب جسورًا أخرى.

بغض النظر عن كيفية إخفاء علماء الرياضيات وراء عبارة "مانعني ، أنا في المنزل" ، أو بالأحرى "الرياضيات تدرس المفاهيم المجردة" ، هناك حبل سري واحد يربطهم ارتباطًا وثيقًا بالواقع. هذا الحبل السري هو المال. دعونا نطبق نظرية المجموعات الرياضية على علماء الرياضيات أنفسهم.

لقد درسنا الرياضيات جيدًا ونحن الآن نجلس في مكتب النقدية ندفع الرواتب. هنا يأتي إلينا عالم رياضيات من أجل ماله. نحسب المبلغ بالكامل ونضعه على طاولتنا في أكوام مختلفة ، حيث نضع سندات من نفس الفئة. ثم نأخذ فاتورة واحدة من كل كومة ونعطي عالم الرياضيات "مجموعة راتبه الرياضي". نوضح الرياضيات أنه سيتلقى بقية الفواتير فقط عندما يثبت أن المجموعة التي لا تحتوي على عناصر متطابقة لا تساوي المجموعة التي تحتوي على عناصر متطابقة. هنا يبدا المرح.

بادئ ذي بدء ، سينجح منطق النواب: "يمكنك تطبيقه على الآخرين ، لكن ليس عليّ!" علاوة على ذلك ، ستبدأ التأكيدات بوجود أرقام مختلفة للأوراق النقدية على الأوراق النقدية من نفس الفئة ، مما يعني أنه لا يمكن اعتبارها عناصر متطابقة. حسنًا ، نحسب الراتب بالعملات المعدنية - لا توجد أرقام على العملات المعدنية. هنا سيبدأ عالم الرياضيات في استدعاء الفيزياء بشكل متشنج: يوجد على عملات معدنية مختلفة كمية مختلفةطين، هيكل بلوريوترتيب الذرات في كل عملة فريد ...

والآن لدي أكثر اسأل الفائدة: أين هي الحدود التي بعدها تتحول عناصر مجموعة متعددة إلى عناصر من مجموعة والعكس صحيح؟ مثل هذا الخط غير موجود - كل شيء يقرره الشامان ، والعلم هنا ليس قريبًا.

انظر هنا. نختار ملاعب كرة القدم بنفس مساحة الملعب. مساحة الحقول هي نفسها ، مما يعني أن لدينا مجموعة متعددة. لكن إذا أخذنا في الاعتبار أسماء نفس الملاعب ، فسنحصل على الكثير ، لأن الأسماء مختلفة. كما ترى ، فإن نفس مجموعة العناصر هي مجموعة ومجموعة متعددة في نفس الوقت. كيف الحق؟ وهنا يخرج عالم الرياضيات الشامان شولر الآس الرابح من جعبته ويبدأ في إخبارنا عن مجموعة أو مجموعة متعددة. على أي حال ، سيقنعنا أنه على حق.

لفهم كيف يعمل الشامان الحديثون مع نظرية المجموعات ، وربطها بالواقع ، يكفي الإجابة على سؤال واحد: كيف تختلف عناصر مجموعة واحدة عن عناصر مجموعة أخرى؟ سأريكم ، بدون أي "لا يمكن تصوره على أنه ليس كل واحد" أو "لا يمكن تصوره ككل واحد".

الأحد 18 مارس 2018

مجموع أرقام العدد هو رقصة الشامان مع الدف ، والتي لا علاقة لها بالرياضيات. نعم ، في دروس الرياضيات نتعلم أن نجد مجموع أرقام العدد ونستخدمها ، لكنهم شامان لذلك ، لتعليم أحفادهم مهاراتهم وحكمتهم ، وإلا فإن الشامان سوف يموتون ببساطة.

هل تريد إثبات؟ افتح ويكيبيديا وحاول العثور على صفحة "مجموع أرقام الرقم". هي غير موجودة. لا توجد معادلة في الرياضيات يمكنك من خلالها إيجاد مجموع أرقام أي رقم. بعد كل شيء ، الأرقام الرموز الرسومية، بمساعدة التي نكتب بها الأرقام وفي لغة الرياضيات تبدو المهمة كما يلي: "ابحث عن مجموع الرموز الرسومية التي تمثل أي رقم." لا يستطيع علماء الرياضيات حل هذه المشكلة ، لكن الشامان يمكنهم حلها بشكل أساسي.

دعنا نفهم ماذا نفعل وكيف نفعل لإيجاد مجموع أرقام عدد معين. وبالتالي ، لنفترض أن لدينا الرقم 12345. ما الذي يجب فعله لإيجاد مجموع أرقام هذا العدد؟ دعنا نفكر في جميع الخطوات بالترتيب.

1. اكتب الرقم على قطعة من الورق. ماذا فعلنا؟ لقد قمنا بتحويل الرقم إلى رمز بياني رقمي. هذه ليست عملية رياضية.

2. قمنا بتقطيع صورة واحدة تم استلامها إلى عدة صور تحتوي على أرقام منفصلة. قص الصورة ليس عملية حسابية.

3. تحويل الأحرف الرسومية الفردية إلى أرقام. هذه ليست عملية رياضية.

4. اجمع الأرقام الناتجة. الآن هذه رياضيات.

مجموع أرقام الرقم 12345 هو 15. هذه هي "دورات القص والخياطة" من الشامان التي يستخدمها علماء الرياضيات. ولكن هذا ليس كل شيء.

من وجهة نظر الرياضيات ، لا يهم في أي نظام رقمي نكتب الرقم. لذلك ، في أنظمة مختلفةحساب ، سيكون مجموع أرقام نفس الرقم مختلفًا. في الرياضيات ، يُشار إلى نظام الأرقام على أنه رمز منخفض على يمين الرقم. مع عدد كبير 12345 لا أريد أن أخدع رأسي ، ضع في اعتبارك الرقم 26 من المقالة حول. لنكتب هذا الرقم في أنظمة الأعداد الثنائية والثمانية والعشرية والسداسية العشرية. لن نفكر في كل خطوة تحت المجهر ، لقد فعلنا ذلك بالفعل. دعونا نلقي نظرة على النتيجة.

كما ترى ، في أنظمة الأرقام المختلفة ، يختلف مجموع أرقام نفس الرقم. هذه النتيجة لا علاقة لها بالرياضيات. يبدو الأمر كما لو أن حساب مساحة المستطيل بالأمتار والسنتيمتر سيعطيك نتائج مختلفة تمامًا.

يبدو الصفر في جميع أنظمة الأرقام متماثلًا ولا يحتوي على مجموع أرقام. هذه حجة أخرى لصالح حقيقة أن. سؤال لعلماء الرياضيات: كيف يُشار في الرياضيات إلى ما ليس رقمًا؟ ماذا بالنسبة لعلماء الرياضيات ، لا يوجد شيء سوى الأرقام؟ بالنسبة إلى الشامان ، يمكنني السماح بذلك ، لكن بالنسبة للعلماء ، لا. الواقع ليس مجرد أرقام.

يجب اعتبار النتيجة التي تم الحصول عليها كدليل على أن أنظمة الأرقام هي وحدات قياس الأرقام. بعد كل شيء ، لا يمكننا مقارنة الأرقام بوحدات قياس مختلفة. إذا كانت نفس الإجراءات بوحدات قياس مختلفة بنفس الكمية تؤدي إلى نتائج مختلفة بعد مقارنتها ، فهذا لا علاقة له بالرياضيات.

ما هي الرياضيات الحقيقية؟ يحدث هذا عندما لا تعتمد نتيجة إجراء رياضي على قيمة الرقم ، ووحدة القياس المستخدمة ، وعلى من يقوم بهذا الإجراء.

وقع على الباب يفتح الباب ويقول:

أوه! أليس هذا هو مرحاض النساء؟
- شابة! هذا مختبر لدراسة قداسة النفوس غير المحدودة عند الصعود إلى السماء! نيمبوس في الأعلى والسهم لأعلى. أي مرحاض آخر؟

أنثى ... هالة في الأعلى وسهم لأسفل ذكر.

إذا كان لديك مثل هذا العمل الفني التصميمي يومض أمام عينيك عدة مرات في اليوم ،

إذن فليس من المستغرب أن تجد فجأة أيقونة غريبة في سيارتك:

أنا شخصياً أبذل جهداً على نفسي لأرى أربع درجات تحت الصفر في شخص يتغوط (صورة واحدة) (تكوين عدة صور: علامة ناقص ، رقم أربعة ، تعيين درجات). وأنا لا أعتبر هذه الفتاة حمقاء لا تعرف الفيزياء. لديها فقط صورة نمطية قوسية لإدراك الصور الرسومية. ويعلمنا علماء الرياضيات هذا طوال الوقت. هنا مثال.

1A ليست "أربع درجات تحت الصفر" أو "واحدة أ". هذا هو "رجل يتغوط" أو الرقم "ستة وعشرون" في نظام الأرقام الست عشري. هؤلاء الأشخاص الذين يعملون باستمرار في نظام الأرقام هذا يدركون تلقائيًا الرقم والحرف كرمز رسومي واحد.

ضرب وقسمة الكسور.

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

هذه العملية أجمل بكثير من الجمع والطرح! لأنه أسهل. أذكرك: لضرب الكسر في كسر ، تحتاج إلى ضرب البسط (سيكون هذا بسط النتيجة) والمقام (سيكون هذا هو المقام). إنه:

على سبيل المثال:

كل شيء بسيط للغاية. ورجاء لا تبحث عن قاسم مشترك! لا تحتاجه هنا ...

لقسمة كسر على كسر ، عليك أن تقلب ثانية(هذا مهم!) الكسر واضربهم ، أي:

على سبيل المثال:

إذا تم تسجيل الضرب أو القسمة بأعداد صحيحة وكسور ، فلا بأس بذلك. كما هو الحال مع الجمع ، نصنع كسرًا من عدد صحيح بوحدة في المقام - ونذهب! على سبيل المثال:

في المدرسة الثانوية ، غالبًا ما يتعين عليك التعامل مع كسور من ثلاثة طوابق (أو حتى أربعة طوابق!). على سبيل المثال:

كيفية إحضار هذا الكسر إلى مظهر لائق؟ نعم ، سهل جدا! استخدم القسمة على نقطتين:

لكن لا تنس أمر التقسيم! على عكس الضرب ، هذا مهم جدًا هنا! بالطبع ، لن نخلط بين 4: 2 أو 2: 4. لكن في جزء من ثلاثة طوابق ، من السهل ارتكاب خطأ. يرجى ملاحظة ، على سبيل المثال:

في الحالة الأولى (التعبير على اليسار):

في الثاني (التعبير على اليمين):

تشعر الفرق؟ 4 و 1/9!

ما هو ترتيب القسمة؟ أو أقواس ، أو (كما هو الحال هنا) طول الشرطات الأفقية. طور عين. وفي حالة عدم وجود أقواس أو شرطات ، مثل:

ثم قسمة وضرب بالترتيب ، من اليسار إلى اليمين!

وخدعة أخرى بسيطة ومهمة للغاية. في الإجراءات مع الدرجات ، سيكون في متناول يديك! دعنا نقسم الوحدة على أي كسر ، على سبيل المثال ، على 13/15:

انقلبت الطلقة! وهذا يحدث دائمًا. عند قسمة 1 على أي كسر ، تكون النتيجة هي نفس الكسر ، مقلوب فقط.

هذه هي كل الإجراءات مع الكسور. الأمر بسيط للغاية ، لكنه يعطي أخطاء أكثر من كافية. ملحوظة نصيحة عمليةوستكون (الأخطاء) أقل!

نصائح عملية:

1. أهم شيء عند التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والانتباه! هذه ليست كلمات شائعة وليست أمنيات طيبة! هذه حاجة ماسة! قم بإجراء جميع العمليات الحسابية في الامتحان كمهمة كاملة ، مع التركيز والوضوح. من الأفضل كتابة سطرين إضافيين في المسودة بدلاً من العبث عند الحساب في رأسك.

2. في الأمثلة ذات الأنواع المختلفة من الكسور - انتقل إلى الكسور العادية.

3. نقوم بتقليل جميع الكسور إلى نقطة التوقف.

4. نقوم بتقليل التعبيرات الكسرية متعددة المستويات إلى التعبيرات العادية باستخدام القسمة على نقطتين (نتبع ترتيب القسمة!).

5. نقسم الوحدة إلى كسر في أذهاننا ، وذلك ببساطة عن طريق قلب الكسر.

فيما يلي المهام التي تحتاج إلى إكمالها. يتم إعطاء الإجابات بعد كل المهام. استخدم مواد هذا الموضوع والنصائح العملية. قدر عدد الأمثلة التي يمكنك حلها بشكل صحيح. المرة الأولى! بدون آلة حاسبة! واستخلاص الاستنتاجات الصحيحة ...

تذكر الإجابة الصحيحة تم الحصول عليها من المرة الثانية (خاصة الثالثة) - لا تحسب!هذه هي الحياة القاسية.

لذا، حل في وضع الامتحان ! بالمناسبة ، هذا هو التحضير للامتحان. نحل مثالًا ، نتحقق ، نحل ما يلي. قررنا كل شيء - تحققنا مرة أخرى من الأول إلى الأخير. لكن فقط ثمانظر إلى الإجابات.

احسب:

قررتم؟

أبحث عن إجابات تطابق إجابتك. لقد كتبتها على وجه التحديد في فوضى ، بعيدًا عن الإغراء ، إذا جاز التعبير ... ها هي الإجابات ، مكتوبة بفاصلة منقوطة.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

والآن نستخلص النتائج. إذا نجح كل شيء - سعيد من أجلك! الحسابات الابتدائية مع الكسور ليست مشكلتك! يمكنك القيام بأشياء أكثر جدية. ان لم...

إذن لديك واحدة من مشكلتين. أو كلاهما في وقت واحد.) نقص المعرفة و (أو) عدم الانتباه. لكن هذا قابل للحل مشاكل.

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

لضرب الكسر بشكل صحيح في كسر أو كسر في رقم ، عليك أن تعرف قواعد بسيطة. سنقوم الآن بتحليل هذه القواعد بالتفصيل.

ضرب كسر في كسر.

لضرب كسر في كسر ، تحتاج إلى حساب حاصل ضرب البسطين وحاصل ضرب مقامات هذه الكسور.

\ (\ bf \ frac (a) (b) \ times \ frac (c) (d) = \ frac (a \ times c) (b \ times d) \\\)

فكر في مثال:
نضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني ، ونضرب أيضًا مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني.

\ (\ frac (6) (7) \ times \ frac (2) (3) = \ frac (6 \ times 2) (7 \ times 3) = \ frac (12) (21) = \ frac (4 \) مرات 3) (7 مرات 3) = \ فارك (4) (7) \)

تم تقليل الكسر \ (\ frac (12) (21) = \ frac (4 \ times 3) (7 \ times 3) = \ frac (4) (7) \\\) بمقدار 3.

ضرب الكسر في رقم.

لنبدأ بالقاعدة يمكن تمثيل أي رقم ككسر \ (\ bf n = \ frac (n) (1) \).

لنستخدم هذه القاعدة في الضرب.

\ (5 \ مرات \ فارك (4) (7) = \ فارك (5) (1) \ مرات \ فارك (4) (7) = \ فارك (5 \ مرات 4) (1 \ مرات 7) = \ فارك (20) (7) = 2 \ فارك (6) (7) \)

كسر غير لائق \ (\ frac (20) (7) = \ frac (14 + 6) (7) = \ frac (14) (7) + \ frac (6) (7) = 2 + \ frac (6) ( 7) = 2 \ frac (6) (7) \\\) تم تحويلها إلى كسر مختلط.

بعبارة أخرى، عند ضرب رقم في كسر ، اضرب الرقم في البسط واترك المقام دون تغيير.مثال:

\ (\ frac (2) (5) \ times 3 = \ frac (2 \ times 3) (5) = \ frac (6) (5) = 1 \ frac (1) (5) \\\\\) \ (\ bf \ frac (أ) (ب) \ مرات ج = \ فارك (أ \ مرات ج) (ب) \)

ضرب الكسور المختلطة.

لضرب الكسور المختلطة ، يجب أولاً تمثيل كل كسر مختلط ككسر غير فعلي ، ثم استخدام قاعدة الضرب. البسط مضروب في البسط ، والمقام مضروب في المقام.

مثال:
\ (2 \ frac (1) (4) \ times 3 \ frac (5) (6) = \ frac (9) (4) \ times \ frac (23) (6) = \ frac (9 \ times 23) (4 \ مرات 6) = \ فارك (3 \ مرات \ لون (أحمر) (3) \ مرات 23) (4 \ مرات 2 \ مرات \ لون (أحمر) (3)) = \ فارك (69) (8) = 8 \ فارك (5) (8) \)

ضرب الكسور المقلوبة والأرقام.

الكسر \ (\ bf \ frac (a) (b) \) هو معكوس الكسر \ (\ bf \ frac (b) (a) \) ، بشرط أ ≠ 0 ، ب ≠ 0.
تسمى الكسور \ (\ bf \ frac (a) (b) \) و \ (\ bf \ frac (b) (a) \) بالمعاملة بالمثل. حاصل ضرب الكسور المقلوبة هو 1.
\ (\ bf \ frac (أ) (ب) \ مرات \ فارك (ب) (أ) = 1 \)

مثال:
\ (\ frac (5) (9) \ مرات \ frac (9) (5) = \ frac (45) (45) = 1 \)

أسئلة ذات صلة:
كيف تضرب الكسر في كسر؟
الجواب: حاصل ضرب الكسور العادية هو ضرب البسط في البسط ، والمقام في المقام. للحصول على ناتج الكسور المختلطة ، تحتاج إلى تحويلها إلى كسر غير فعلي وضربها وفقًا للقواعد.

كيف نضرب الكسور ذات القواسم المختلفة؟
الجواب: لا يهم إذا كانت مقامات الكسور متشابهة أو مختلفة ، فالضرب يحدث وفقًا لقاعدة إيجاد حاصل ضرب البسط في المقام.

كيفية ضرب الكسور المختلطة؟
الإجابة: أولاً وقبل كل شيء ، تحتاج إلى تحويل الكسر المختلط إلى كسر غير فعلي ثم إيجاد حاصل الضرب وفقًا لقواعد الضرب.

كيف تضرب رقمًا في كسر؟
الجواب: نضرب الرقم في البسط ونترك المقام كما هو.

مثال 1:
احسب المنتج: a) \ (\ frac (8) (9) \ times \ frac (7) (11) \) b) \ (\ frac (2) (15) \ times \ frac (10) (13) \)

حل:
أ) \ (\ frac (8) (9) \ times \ frac (7) (11) = \ frac (8 \ times 7) (9 \ times 11) = \ frac (56) (99) \\\\ \)
ب) \ (\ فارك (2) (15) \ مرات \ فارك (10) (13) = \ فارك (2 \ مرات 10) (15 \ مرات 13) = \ فارك (2 \ مرات 2 \ مرات \ لون ( أحمر) (5)) (3 مرات لون (أحمر) (5) مرات 13) = فارك (4) (39))

المثال الثاني:
احسب حاصل ضرب عدد وكسر: أ) \ (3 \ مرات \ فارك (17) (23) \) ب) \ (\ فارك (2) (3) \ مرات 11 \)

حل:
أ) \ (3 \ مرات \ فارك (17) (23) = \ فارك (3) (1) \ مرات \ فارك (17) (23) = \ فارك (3 \ مرات 17) (1 \ مرات 23) = \ frac (51) (23) = 2 \ frac (5) (23) \\\\\)
ب) \ (\ frac (2) (3) \ times 11 = \ frac (2) (3) \ times \ frac (11) (1) = \ frac (2 \ times 11) (3 \ times 1) = \ فارك (22) (3) = 7 \ فارك (1) (3) \)

المثال الثالث:
اكتب مقلوب \ (\ frac (1) (3) \)؟
الجواب: \ (\ frac (3) (1) = 3 \)

المثال الرابع:
احسب حاصل ضرب كسرين مقلوبين: أ) \ (\ frac (104) (215) \ times \ frac (215) (104) \)

حل:
أ) \ (\ فارك (104) (215) \ مرات \ فارك (215) (104) = 1 \)

المثال الخامس:
يمكن أن تكون الكسور المعكوسة المتبادلة:
أ) كلا الكسور المناسبة ؛
ب) الكسور غير الصحيحة في نفس الوقت ؛
ج) في نفس الوقت الأعداد الطبيعية?

حل:
أ) دعنا نستخدم مثالاً للإجابة على السؤال الأول. الكسر \ (\ frac (2) (3) \) مناسب ، ومقلوبه سيكون مساويًا لـ \ (\ frac (3) (2) \) - كسر غير لائق. الجواب: لا.

ب) في جميع تعداد الكسور تقريبًا ، لم يتم استيفاء هذا الشرط ، ولكن هناك بعض الأرقام التي تفي بشرط كونها كسرًا غير لائق في نفس الوقت. على سبيل المثال ، الكسر غير الصحيح هو \ (\ frac (3) (3) \) ، ومقلوبه هو \ (\ frac (3) (3) \). نحصل على كسرين غير فعليين. الجواب: ليس دائمًا في ظل ظروف معينة ، عندما يكون البسط والمقام متساويين.

ج) الأعداد الطبيعية هي الأرقام التي نستخدمها عند العد ، على سبيل المثال ، 1 ، 2 ، 3 ، .... إذا أخذنا الرقم \ (3 = \ frac (3) (1) \) ، فسيكون مقلوبه \ (\ frac (1) (3) \). الكسر \ (\ frac (1) (3) \) ليس عددًا طبيعيًا. إذا مررنا بجميع الأرقام ، يكون المقلوب دائمًا كسرًا ، باستثناء 1. إذا أخذنا الرقم 1 ، فسيكون مقلوبه \ (\ frac (1) (1) = \ frac (1) (1) = 1 \). الرقم 1 هو رقم طبيعي. الإجابة: يمكن أن تكون أعدادًا طبيعية في وقت واحد فقط في حالة واحدة ، إذا كان هذا الرقم هو 1.

المثال السادس:
نفذ حاصل ضرب الكسور المختلطة: أ) \ (4 \ مرات 2 \ فارك (4) (5) \) ب) \ (1 \ فارك (1) (4) \ مرات 3 \ فارك (2) (7) \ )

حل:
أ) \ (4 \ مرات 2 \ فارك (4) (5) = \ فارك (4) (1) \ مرات \ فارك (14) (5) = \ فارك (56) (5) = 11 \ فارك (1 ) (5) \\\\ \)
ب) \ (1 \ frac (1) (4) \ times 3 \ frac (2) (7) = \ frac (5) (4) \ times \ frac (23) (7) = \ frac (115) ( 28) = 4 \ فارك (3) (7) \)

المثال السابع:
يمكن اثنين بشكل متبادل المعاملة بالمثلتكون أرقام مختلطة في نفس الوقت؟

لنلقي نظرة على مثال. لنأخذ كسرًا مختلطًا \ (1 \ frac (1) (2) \) ، ونجد مقلوبًا ، لذلك نترجمه إلى كسر غير لائق \ (1 \ frac (1) (2) = \ frac (3) ( 2) \). سيكون مقلوبه مساويًا لـ \ (\ frac (2) (3) \). الكسر \ (\ frac (2) (3) \) هو كسر صحيح. الجواب: لا يمكن أن يكون كسرين معكوسين عددًا كسريًا في نفس الوقت.