ما هو الكسر المناسب؟ الكسور الصحيحة وغير الصحيحة: القواعد. الكسور الصحيحة وغير الصحيحة

جزء الصحيح

أرباع

1. الانتظام. أو بهناك قاعدة تسمح للشخص بالتعرف بشكل فريد على علاقة واحدة فقط من العلاقات الثلاث بينها: "< », « >"أو" = ". تسمى هذه القاعدة قاعدة الطلبويتم صياغته على النحو التالي: رقمان غير سالبين ويرتبطان بنفس العلاقة مثل عددين صحيحين و ; رقمين غير موجبين أو بترتبط بنفس العلاقة بين رقمين غير سالبين و ؛ إذا فجأة أغير سلبية، ولكن ب- سلبي إذن أ > ب. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   إضافة الكسور

2. عملية الإضافة.لأي أرقام نسبية أو بهناك ما يسمى قاعدة الجمع ج. علاوة على ذلك، الرقم نفسه جمُسَمًّى كميةأعداد أو بويشار إليه بـ ، وتسمى عملية العثور على هذا الرقم خلاصة. قاعدة الجمع لها الشكل التالي: .
3. عملية الضرب.لأي أرقام عقلانية أو بهناك ما يسمى قاعدة الضرب، الذي يعين لهم عددا عقلانيا ج. علاوة على ذلك، الرقم نفسه جمُسَمًّى عملأعداد أو بويشار إليه بـ ، وتسمى أيضًا عملية العثور على هذا الرقم عمليه الضرب. تبدو قاعدة الضرب كما يلي: .
4. انتقالية العلاقة النظامية.لأي ثلاثية من الأعداد النسبية أ , بو جلو أأقل بو بأقل ج، الذي - التي أأقل ج، و إذا أيساوي بو بيساوي ج، الذي - التي أيساوي ج. 6435">إبدالية الجمع. تغيير أماكن المصطلحات العقلانية لا يغير المجموع.
5. ترابط الإضافة.الترتيب الذي يتم به إضافة ثلاثة أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.
6. وجود الصفر.هناك رقم منطقي 0 يحافظ على كل الأرقام المنطقية الأخرى عند إضافتها.
7. وجود أرقام متضادة.أي رقم نسبي له رقم نسبي معاكس، والذي عند إضافته يعطي 0.
8. إبدالية الضرب.تغيير أماكن العوامل العقلانية لا يغير المنتج.
9. رابطة الضرب.الترتيب الذي يتم به ضرب ثلاثة أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.
10. توافر الوحدة.هناك رقم نسبي 1 يحافظ على كل الأعداد النسبية الأخرى عند ضربها.
11. وجود أرقام متبادلة.أي رقم نسبي له رقم نسبي معكوس، والذي عند ضربه يعطي 1.
12. توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع.يتم تنسيق عملية الضرب مع عملية الجمع من خلال قانون التوزيع:
13. ربط علاقة الأمر بعملية الإضافة.يمكن إضافة نفس العدد النسبي إلى الجانبين الأيسر والأيمن للمتباينة المنطقية. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. بديهية أرخميدس.مهما كان العدد العقلاني أ، يمكنك أن تأخذ العديد من الوحدات التي يتجاوز مجموعها أ. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

خصائص إضافية

لا يتم تمييز جميع الخصائص الأخرى المتأصلة في الأعداد النسبية على أنها خصائص أساسية، لأنها، بشكل عام، لم تعد تعتمد بشكل مباشر على خصائص الأعداد الصحيحة، ولكن يمكن إثباتها بناءً على الخصائص الأساسية المعطاة أو مباشرة عن طريق تعريف بعض الأشياء الرياضية . هناك الكثير من هذه الخصائص الإضافية. ومن المنطقي أن نذكر هنا القليل منها فقط.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

إمكانية عد المجموعة

ترقيم الأعداد النسبية

لتقدير عدد الأعداد النسبية، تحتاج إلى العثور على أصل مجموعتها. من السهل إثبات أن مجموعة الأعداد النسبية قابلة للعد. للقيام بذلك، يكفي إعطاء خوارزمية تعداد الأعداد العقلانية، أي إنشاء تناقض بين مجموعات الأعداد العقلانية والطبيعية.

أبسط هذه الخوارزميات تبدو هكذا. يتم تجميع جدول لا نهاية له من الكسور العادية على كل منها أنا-السطر في كل منهما يالعمود العاشر الذي يقع فيه الكسر. وللتأكد من ذلك، من المفترض أن يتم ترقيم صفوف وأعمدة هذا الجدول بدءاً من واحد. يتم الإشارة إلى خلايا الجدول بـ أين أنا- رقم صف الجدول الذي توجد فيه الخلية و ي- رقم العمود.

يتم اجتياز الجدول الناتج باستخدام "الثعبان" وفقًا للخوارزمية الرسمية التالية.

يتم البحث عن هذه القواعد من أعلى إلى أسفل ويتم تحديد الموضع التالي بناءً على المطابقة الأولى.

في عملية مثل هذا الاجتياز، يرتبط كل رقم نسبي جديد برقم طبيعي آخر. وهذا يعني أن الكسر 1/1 مخصص للرقم 1، والكسر 2/1 للرقم 2، وما إلى ذلك. وتجدر الإشارة إلى أنه يتم ترقيم الكسور غير القابلة للاختزال فقط. العلامة الرسمية لعدم قابلية الاختزال هي أن القاسم المشترك الأكبر لبسط ومقام الكسر يساوي واحدًا.

باتباع هذه الخوارزمية، يمكننا تعداد جميع الأعداد النسبية الموجبة. هذا يعني أن مجموعة الأعداد النسبية الموجبة قابلة للعد. من السهل إنشاء تنازع بين مجموعات الأعداد النسبية الإيجابية والسلبية عن طريق تخصيص نقيض لكل رقم نسبي. الذي - التي. مجموعة الأرقام العقلانية السالبة قابلة للعد أيضًا. اتحادهم قابل للعد أيضًا من خلال خاصية المجموعات المعدودة. مجموعة الأعداد العقلانية قابلة للعد أيضًا كاتحاد مجموعة قابلة للعد مع مجموعة محدودة.

قد يسبب البيان حول قابلية عد مجموعة الأعداد العقلانية بعض الارتباك، لأنه للوهلة الأولى يبدو أنها أكثر شمولاً من مجموعة الأعداد الطبيعية. في الواقع، الأمر ليس كذلك، فهناك أعداد طبيعية كافية لتعداد جميع الأعداد العقلانية.

عدم وجود أرقام عقلانية

لا يمكن التعبير عن الوتر لمثل هذا المثلث بأي رقم نسبي

الأعداد النسبية للنموذج 1 / نككل نيمكن قياس كميات صغيرة بشكل تعسفي. تخلق هذه الحقيقة انطباعًا مضللًا بأن الأرقام العقلانية يمكن استخدامها لقياس أي مسافات هندسية. ومن السهل إظهار أن هذا غير صحيح.

نعلم من نظرية فيثاغورس أن الوتر في المثلث القائم الزاوية يتم التعبير عنه بالجذر التربيعي لمجموع مربعي ساقيه. الذي - التي. طول الوتر من متساوي الساقين مثلث قائمبرجل وحدة يساوي، أي رقم مربعه 2.

إذا افترضنا أن الرقم يمكن تمثيله ببعض الأرقام المنطقية، فهناك مثل هذا العدد الصحيح موهذا العدد الطبيعي ن، ذلك، والكسر غير قابل للاختزال، أي أرقام مو ن- بسيطة متبادلة.

اذا ثم ، أي. م 2 = 2ن 2. وبالتالي فإن العدد م 2 زوجي، لكن حاصل ضرب عددين فرديين هو فردي، مما يعني أن الرقم نفسه مأيضا حتى. إذن هناك عدد طبيعي ك، بحيث يكون العدد ميمكن تمثيلها في النموذج م = 2ك. مربع العدد مبهذا المعنى م 2 = 4ك 2، ولكن من ناحية أخرى م 2 = 2ن 2 يعني 4 ك 2 = 2ن 2، أو ن 2 = 2ك 2. كما هو موضح سابقا بالنسبة للرقم م، وهذا يعني أن العدد ن- حتى كما م. لكنهما ليسا أوليين نسبيًا، حيث أنهما منصفان. والتناقض الناتج يثبت أنه ليس عددا عقلانيا.

كلمة "كسور" تصيب الكثير من الناس بالقشعريرة. لأنني أتذكر المدرسة والمهام التي تم حلها في الرياضيات. وكان هذا واجبا كان لا بد من الوفاء به. ولكن ماذا لو تعاملنا مع المهام التي تحتوي على الصحيح و الكسور غير المناسبة، كيفية اللغز؟ بعد كل شيء، العديد من البالغين يقررون الرقمية و الكلمات المتقاطعة اليابانية. لقد اكتشفنا القواعد، وهذا كل شيء. إنه نفس الشيء هنا. على المرء فقط أن يتعمق في النظرية - وكل شيء سوف يقع في مكانه. وستتحول الأمثلة إلى وسيلة لتدريب دماغك.

ما هي أنواع الكسور الموجودة؟

لنبدأ بما هو عليه. الكسر هو عدد يحتوي على جزء من الواحد. ويمكن كتابتها في شكلين. الأول يسمى عادي. أي الذي يحتوي على خط أفقي أو مائل. وهو يعادل علامة القسمة.

في هذا الترميز، يسمى الرقم الموجود فوق السطر البسط، والرقم الموجود أسفله يسمى المقام.

من بين الكسور العادية، يتم التمييز بين الكسور الصحيحة وغير الصحيحة. بالنسبة للأول، القيمة المطلقة للبسط تكون دائمًا أقل من المقام. يُطلق على الأشخاص الخطأ ذلك لأنهم يمتلكون كل شيء على العكس من ذلك. قيمة الكسر الصحيح تكون دائمًا أقل من واحد. بينما الرقم الخاطئ دائما أكبر من هذا الرقم.

هناك أيضًا أعداد كسرية، أي تلك التي تحتوي على عدد صحيح وجزء كسري.

النوع الثاني من التدوين هو الكسر العشري. هناك محادثة منفصلة عنها.

كيف تختلف الكسور غير الصحيحة عن الأعداد الكسرية؟

في جوهر الأمر، لا شيء. هذه مجرد تسجيلات مختلفة لنفس الرقم. تصبح الكسور غير الحقيقية أرقامًا مختلطة بسهولة بعد خطوات بسيطة. والعكس صحيح.

كل هذا يتوقف على الوضع المحدد. في بعض الأحيان يكون من الملائم أكثر استخدام جزء غير صحيح في المهام. وأحيانا يكون من الضروري تحويله إلى عدد كسري ومن ثم سيتم حل المثال بسهولة بالغة. لذلك، ما يجب استخدامه: الكسور غير الحقيقية، الأعداد الكسرية، يعتمد على مهارات الملاحظة لدى الشخص الذي يحل المشكلة.

تتم أيضًا مقارنة العدد المختلط بمجموع الجزء الصحيح والجزء الكسري. علاوة على ذلك، فإن العدد الثاني يكون دائمًا أقل من واحد.

كيفية تمثيل رقم مختلط ككسر غير صحيح؟

إذا كنت بحاجة إلى تنفيذ أي إجراء باستخدام عدة أرقام مكتوبة أنواع مختلفة، فأنت بحاجة إلى جعلها متماثلة. إحدى الطرق هي تمثيل الأرقام على أنها كسور غير حقيقية.

لهذا الغرض، سوف تحتاج إلى تنفيذ الخوارزمية التالية:

• اضرب المقام بالجزء كله؛
• إضافة قيمة البسط إلى النتيجة؛
• اكتب الإجابة فوق السطر؛
• اترك القاسم كما هو.

فيما يلي أمثلة لكيفية كتابة الكسور غير الحقيقية من الأعداد الكسرية:

• 17 ¼ = (17 × 4 + 1) : 4 = 69/4؛
• 39 ½ = (39 × 2 + 1) : 2 = 79/2.

كيف تكتب كسرًا غير حقيقي كرقم مختلط؟

التقنية التالية هي عكس التقنية التي تمت مناقشتها أعلاه. أي عندما يتم استبدال جميع الأعداد الكسرية بكسور غير حقيقية. ستكون خوارزمية الإجراءات كما يلي:

• اقسم البسط على المقام للحصول على الباقي؛
• اكتب الناتج بدلاً من الجزء المختلط بأكمله؛
• وينبغي وضع الباقي فوق الخط؛
• المقسوم عليه سيكون المقام.

أمثلة على هذا التحول:

76/14؛ 76:14 = 5 والباقي 6؛ الجواب سيكون 5 كامل و 6/14؛ يجب تقليل الجزء الكسري في هذا المثال بمقدار 2، مما يؤدي إلى 3/7؛ الجواب النهائي هو 5 نقاط 3/7.

108/54؛ بعد القسمة، يتم الحصول على حاصل القسمة 2 بدون باقي؛ وهذا يعني أنه لا يمكن تمثيل جميع الكسور غير الحقيقية كعدد مختلط؛ الجواب سيكون عددا صحيحا - 2.

كيفية تحويل العدد الصحيح إلى كسر غير حقيقي؟

هناك حالات عندما يكون مثل هذا الإجراء ضروريا. للحصول على كسور غير حقيقية ذات مقام معروف، ستحتاج إلى تنفيذ الخوارزمية التالية:

• ضرب عدد صحيح بالمقام المطلوب؛
• اكتب هذه القيمة فوق السطر؛
• ضع المقام تحته.

أبسط خيار هو عندما يكون المقام يساوي واحدًا. ثم لا تحتاج إلى مضاعفة أي شيء. يكفي أن تكتب ببساطة العدد الصحيح الموضح في المثال، وتضع واحدًا تحت السطر.

مثال: اجعل 5 كسرًا غير حقيقي مقامه 3. ضرب 5 في 3 يعطي 15. سيكون هذا الرقم هو المقام. إجابة المهمة هي كسر: 15/3.

طريقتان لحل المسائل ذات الأعداد المختلفة

يتطلب المثال حساب المجموع والفرق، بالإضافة إلى حاصل ضرب وحاصل رقمين: عددان صحيحان 3/5 و14/11.

في النهج الأولسيتم تمثيل العدد المختلط ككسر غير حقيقي.

بعد تنفيذ الخطوات الموضحة أعلاه، ستحصل على القيمة التالية: 13/5.

من أجل معرفة المبلغ، تحتاج إلى تقليل الكسور إلى نفس القاسم. 13/5 بعد الضرب في 11 يصبح 143/55. و14/11 بعد الضرب في 5 سيبدو كما يلي: 70/55. لحساب المجموع، ما عليك سوى إضافة البسطين: 143 و70، ثم كتابة الإجابة بمقام واحد. 213/55 - هذا الكسر غير الحقيقي هو جواب المسألة.

عند إيجاد الفرق يتم طرح نفس الأرقام: 143 - 70 = 73. ستكون الإجابة كسرًا: 73/55.

عند ضرب 13/5 و14/11، لا تحتاج إلى اختزالهما إلى قاسم مشترك. يكفي ضرب البسط والمقامات في أزواج. الجواب: 182/55.

الشيء نفسه ينطبق على القسمة. ل القرار الصائبتحتاج إلى استبدال القسمة بالضرب وعكس المقسوم عليه: 13/5: 14/11 = 13/5 × 11/14 = 143/70.

في النهج الثانييصبح الكسر غير الصحيح عددًا مختلطًا.

بعد تنفيذ إجراءات الخوارزمية، سيتحول 14/11 إلى رقم مختلط بجزء صحيح من 1 وجزء كسري من 3/11.

عند حساب المبلغ، تحتاج إلى إضافة الأجزاء الكاملة والكسرية بشكل منفصل. 2 + 1 = 3، 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. الجواب النهائي هو 3 نقاط 48/55. في النهج الأول كان الكسر 213/55. يمكنك التحقق من صحته عن طريق تحويله إلى رقم مختلط. بعد قسمة 213 على 55، يكون الناتج 3 والباقي 48. ومن السهل أن نرى أن الإجابة صحيحة.

عند الطرح، يتم استبدال علامة "+" بعلامة "-". 2 - 1 = 1، 33/55 - 15/55 = 18/55. للتحقق من ذلك، يجب تحويل الإجابة من الطريقة السابقة إلى رقم كسري: 73 مقسومًا على 55 والحاصل هو 1 والباقي هو 18.

للعثور على المنتج والحاصل، فمن غير المناسب استخدام أرقام مختلطة. يوصى دائمًا بالانتقال إلى الكسور غير الحقيقية هنا.

جزءفي الرياضيات، رقم يتكون من جزء أو أكثر (كسور) من الوحدة. الكسور هي جزء من مجال الأعداد العقلانية. بناءً على طريقة كتابتها، تنقسم الكسور إلى شكلين: عادياكتب و عدد عشري .

بسط الكسر- رقم يوضح عدد الأسهم المستحوذ عليها (موجود في أعلى الكسر - فوق السطر). مقام الكسر- رقم يوضح عدد الأسهم التي تم تقسيم الوحدة إليها (موجود أسفل السطر - في الأسفل). وتنقسم بدورها إلى: صحيحو غير صحيح, مختلطو مركبترتبط ارتباطًا وثيقًا بوحدات القياس. 1 متر يحتوي على 100 سم، مما يعني أن 1 متر مقسم إلى 100 جزء متساوي. وبالتالي، 1 سم = 1/100 م (السنتيمتر الواحد يساوي جزء من مائة من المتر).

أو 3/5 (ثلاثة أخماس)، هنا 3 هو البسط، 5 هو المقام. إذا كان البسط أصغر من المقام، فإن الكسر أصغر من واحد ويسمى صحيح:

إذا كان البسط يساوي المقام، فإن الكسر يساوي واحدًا. إذا كان البسط أكبر من المقام فالكسر أكثر من واحد. في كلتا الحالتين الأخيرتين يتم استدعاء الكسر خطأ:

لعزل أكبر عدد صحيح موجود في كسر غير فعلي، عليك قسمة البسط على المقام. إذا تم إجراء القسمة بدون باقي، فإن الكسر غير الحقيقي المأخوذ يساوي حاصل القسمة:

إذا تم إجراء القسمة مع الباقي، فإن حاصل القسمة (غير الكامل) يعطي العدد الصحيح المطلوب، ويصبح الباقي بسط الجزء الكسري؛ يبقى مقام الجزء الكسري كما هو.

يسمى الرقم الذي يحتوي على عدد صحيح وجزء كسري مختلط. جزء رقم مختلطربما جزء غير لائق. بعد ذلك يمكنك تحديد أكبر عدد صحيح من الجزء الكسري وتمثيل العدد الكسري بطريقة تجعل الجزء الكسري كسرًا حقيقيًا (أو يختفي تمامًا).

إننا نصادف الكسور في الحياة قبل وقت طويل من بدء دراستها في المدرسة. إذا قطعنا تفاحة كاملة إلى نصفين، نحصل على نصف الفاكهة. لنقطعها مرة أخرى - ستكون ¼. هذه كسور. وبدا كل شيء بسيطًا. لشخص بالغ. بالنسبة للطفل (وتبدأ دراسة هذا الموضوع في النهاية مدرسة ابتدائية) لا تزال المفاهيم الرياضية المجردة غير مفهومة بشكل مخيف، ويجب على المعلم أن يشرح بوضوح ما هو الكسر الصحيح والكسر غير الصحيح، العادي والعشري، وما هي العمليات التي يمكن تنفيذها بها، والأهم من ذلك، ما هو مطلوب لكل هذا.

ما هي الكسور؟

التعرف على موضوع جديدفي المدرسة يبدأ بالكسور العادية. يمكن التعرف عليهم بسهولة من خلال الخط الأفقي الذي يفصل بين الرقمين - أعلى وأسفل. الجزء العلوي يسمى البسط، والجزء السفلي هو المقام. هناك أيضًا خيار صغير لكتابة الكسور العادية الصحيحة وغير الصحيحة - من خلال شرطة مائلة، على سبيل المثال: ½، 4/9، 384/183. يُستخدم هذا الخيار عندما يكون ارتفاع الخط محدودًا ولا يمكن استخدام نموذج إدخال "مكون من طابقين". لماذا؟ نعم، لأنه أكثر ملاءمة. سنرى هذا بعد قليل.

بالإضافة إلى الكسور العادية، هناك أيضًا كسور عشرية. من السهل جدًا التمييز بينهما: إذا تم استخدام خط أفقي أو شرطة مائلة في إحدى الحالات، يتم استخدام فاصلة في الحالة الأخرى لفصل تسلسل الأرقام. دعونا نلقي نظرة على مثال: 2.9؛ 163.34؛ 1.953. لقد استخدمنا عمدا الفاصلة المنقوطة كفاصل لتحديد الأرقام. سيكون نص أولها هكذا: "اثنان نقطة تسعة".

مفاهيم جديدة

دعنا نعود إلى الكسور العادية. يأتون في نوعين.

وتعريف الكسر الصحيح هو كما يلي: هو الكسر الذي بسطه أقل من مقامه. لماذا هو مهم؟ سنرى الآن!

لديك عدة تفاحات، مقطعة إلى النصف. المجموع - 5 أجزاء. كيف يمكنك أن تقول: هل لديك تفاحتان ونصف أو خمس تفاحات ونصف؟ وبطبيعة الحال، يبدو الخيار الأول أكثر طبيعية، وسوف نستخدمه عند التحدث مع الأصدقاء. لكن إذا أردنا حساب عدد الفاكهة التي سيحصل عليها كل شخص، فإذا كان هناك خمسة أشخاص في الشركة، فسنكتب الرقم 5/2 ونقسمه على 5 - من وجهة نظر رياضية، سيكون هذا أكثر وضوحًا .

لذلك، لتسمية الكسور الصحيحة وغير الصحيحة، فإن القاعدة هي: إذا كان من الممكن تمييز جزء كامل في كسر (14/5، 2/1، 173/16، 3/3)، فهو غير منتظم. فإن لم يمكن ذلك، كما في ½، 13/16، 9/10، فهو صحيح.

الخاصية الرئيسية للكسر

إذا تم ضرب أو قسمة بسط ومقام كسر على نفس الرقم في نفس الوقت، فإن قيمته لا تتغير. تخيل: لقد قطعوا الكعكة إلى 4 أجزاء متساوية وأعطوك واحدة. لقد قطعوا نفس الكعكة إلى ثماني قطع وأعطوك قطعتين. هل هو مهم حقا؟ بعد كل شيء، ¼ و 2/8 هما نفس الشيء!

تخفيض

غالبًا ما يسعى مؤلفو المشكلات والأمثلة في كتب الرياضيات المدرسية إلى إرباك الطلاب من خلال تقديم كسور مرهقة في الكتابة ولكن يمكن اختصارها بالفعل. فيما يلي مثال على الكسر الصحيح: 167/334، والذي يبدو أنه يبدو "مخيفًا" للغاية. لكن يمكننا في الواقع كتابته بالصورة ½. الرقم 334 قابل للقسمة على 167 بدون باقي - وبعد إجراء هذه العملية نحصل على 2.

أرقام مختلطة

يمكن تمثيل الكسر غير الصحيح كرقم مختلط. وذلك عندما يتم تقديم الجزء بأكمله وكتابته على مستوى الخط الأفقي. في الواقع، التعبير يأخذ شكل مجموع: 11/2 = 5 + ½؛ 13/6 = 2 + 1/6 وهكذا.

لإخراج الجزء بأكمله، عليك قسمة البسط على المقام. اكتب باقي القسمة في الأعلى وفوق السطر والجزء بأكمله قبل التعبير. وهكذا نحصل على جزأين هيكليين: الوحدات الكاملة + الكسر المناسب.

يمكنك أيضًا تنفيذ العملية العكسية - للقيام بذلك، تحتاج إلى ضرب الجزء الصحيح بالمقام وإضافة القيمة الناتجة إلى البسط. لا شيء معقد.

الضرب والقسمة

ومن الغريب أن ضرب الكسور أسهل من الجمع. كل ما هو مطلوب هو تمديد الخط الأفقي: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

مع القسمة، كل شيء بسيط أيضًا: تحتاج إلى ضرب الكسور بالعرض: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

إضافة الكسور

ماذا تفعل إذا كنت بحاجة إلى إجراء عملية جمع أو أن أرقام المقام مختلفة؟ لن يكون من الممكن فعل الشيء نفسه كما هو الحال مع الضرب - هنا يجب أن تفهم تعريف الكسر المناسب وجوهره. من الضروري إحضار المصطلحات إلى قاسم مشترك، أي أن الجزء السفلي من كلا الكسرين يجب أن يكون له نفس الأرقام.

للقيام بذلك، يجب عليك استخدام الخاصية الأساسية للكسر: ضرب كلا الجزأين بنفس الرقم. على سبيل المثال، 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

كيفية اختيار القاسم الذي سيتم تقليل الشروط إليه؟ يجب أن يكون هذا هو الحد الأدنى للرقم الذي يمثل مضاعفًا لكلا الرقمين في مقامات الكسور: بالنسبة إلى 1/3 و1/9 سيكون 9؛ لـ ½ و1/7 - 14، لأنه لا توجد قيمة أصغر تقبل القسمة على 2 و7 بدون باقي.

الاستخدام

ما هي الكسور غير الحقيقية المستخدمة ل؟ بعد كل شيء، هو أكثر ملاءمة لتحديد الجزء بأكمله على الفور، والحصول على رقم مختلط - والقيام بذلك! اتضح أنه إذا كنت بحاجة إلى ضرب أو قسمة كسورين، فمن المربح استخدام الكسور غير المنتظمة.

لنأخذ المثال التالي: (2 + 3/17) / (37 / 68).

يبدو أنه لا يوجد شيء يمكن قطعه على الإطلاق. لكن ماذا لو كتبنا نتيجة الجمع بين القوسين الأولين في صورة كسر غير فعلي؟ انظر : (٣٧/١٧) / (٣٧/٦٨)

الآن كل شيء يقع في مكانه! لنكتب المثال بحيث يصبح كل شيء واضحًا: (37*68) / (17*37).

دعونا نلغي 37 من البسط والمقام، ثم نقسم أخيرًا البسط والأسفل على 17. هل تتذكر القاعدة الأساسية للكسور الصحيحة وغير الصحيحة؟ يمكننا ضربهم وقسمتهم على أي رقم طالما أننا نفعل ذلك للبسط والمقام في نفس الوقت.

وبذلك نحصل على الإجابة: 4. المثال يبدو معقدًا، لكن الإجابة تحتوي على رقم واحد فقط. يحدث هذا كثيرًا في الرياضيات. الشيء الرئيسي هو عدم الخوف واتباع قواعد بسيطة.

الأخطاء الشائعة

عند التنفيذ يمكن للطالب بسهولة أن يرتكب أحد الأخطاء الشائعة. عادة ما تحدث بسبب عدم الانتباه، وأحيانا بسبب حقيقة أن المواد المدروسة لم يتم تخزينها بشكل صحيح في الرأس.

غالبًا ما يجعلك مجموع الأرقام في البسط ترغب في تقليل مكوناته الفردية. لنفترض في المثال: (13 + 2) / 13، مكتوبة بدون قوسين (بخط أفقي)، العديد من الطلاب، بسبب قلة الخبرة، يشطبون 13 أعلاه وتحت. ولكن لا ينبغي أن يتم ذلك تحت أي ظرف من الظروف، لأن هذا خطأ فادح! إذا كانت هناك علامة الضرب بدلاً من الجمع، فسنحصل على الرقم 2. ولكن عند إجراء عملية الجمع، لا يُسمح بأي عمليات باستخدام أحد المصطلحات، فقط مع المجموع بأكمله.

غالبًا ما يرتكب الرجال أخطاء عند تقسيم الكسور. لنأخذ كسرين صحيحين غير قابلين للاختزال ونقسمهما على بعضهما البعض: (5/6) / (25/33). ويمكن للطالب خلطها وكتابة التعبير الناتج بالشكل (5*25) / (6*33). لكن هذا سيحدث مع الضرب، لكن في حالتنا سيكون كل شيء مختلفًا بعض الشيء: (5*33) / (6*25). نقلل ما هو ممكن، وسيكون الجواب 11/10. نكتب الكسر غير الصحيح الناتج على شكل كسر عشري - 1.1.

اقواس

تذكر أنه في أي تعبير رياضي يتم تحديد ترتيب العمليات من خلال أسبقية علامات العملية ووجود الأقواس. مع تساوي جميع الأشياء الأخرى، يتم حساب ترتيب الإجراءات من اليسار إلى اليمين. وهذا ينطبق أيضًا على الكسور - حيث يتم حساب التعبير الموجود في البسط أو المقام بدقة وفقًا لهذه القاعدة.

ففي النهاية، هذا هو نتيجة قسمة رقم على آخر. إذا لم يتم تقسيمها بالتساوي، يصبح كسرًا - هذا كل شيء.

كيفية كتابة الكسر على الكمبيوتر

نظرًا لأن الأدوات القياسية لا تسمح دائمًا بإنشاء جزء يتكون من "مستويين"، يلجأ الطلاب أحيانًا إلى حيل مختلفة. على سبيل المثال، يقومون بنسخ البسط والمقامات في محرر الرسومات Paint ولصقها معًا، ورسم خط أفقي بينهما. بالطبع، هناك خيار أبسط، والذي، بالمناسبة، يوفر الكثير ميزات إضافيةوالتي ستكون مفيدة لك في المستقبل.

افتح مايكروسوفت وورد. إحدى اللوحات الموجودة أعلى الشاشة تسمى "إدراج" - انقر عليها. على اليمين، على الجانب الذي توجد به أيقونات إغلاق النافذة وتصغيرها، يوجد زر "الصيغة". هذا هو بالضبط ما نحتاج إليه!

إذا كنت تستخدم هذه الوظيفة، فستظهر منطقة مستطيلة على الشاشة حيث يمكنك استخدام أي منها علامات رياضية، مفقود على لوحة المفاتيح، وكذلك كتابة الكسور بالشكل الكلاسيكي. أي قسمة البسط والمقام بخط أفقي. قد تتفاجأ أيضًا من سهولة كتابة هذا الكسر الصحيح.

تعلم الرياضيات

إذا كنت في الصفوف 5-6، فستكون معرفة الرياضيات (بما في ذلك القدرة على العمل مع الكسور!) مطلوبة في كثير من الأحيان. المواد المدرسية. في أي مشكلة تقريبًا في الفيزياء، عند قياس كتلة المواد في الكيمياء والهندسة وعلم المثلثات، لا يمكنك الاستغناء عن الكسور. ستتعلم قريبًا حساب كل ما يدور في ذهنك، حتى دون كتابة التعبيرات على الورق، بل المزيد والمزيد أمثلة معقدة. لذا، تعلم ما هو الكسر الصحيح وكيفية التعامل معه، ومواكبة المنهج الدراسي الخاص بك، وقم بأداء واجباتك المنزلية في الوقت المحدد، وسوف تنجح.

أثناء دراسة ملكة جميع العلوم - الرياضيات، في مرحلة ما، يأتي الجميع عبر الكسور. ورغم أن هذا المفهوم (مثل أنواع الكسور نفسها أو العمليات الحسابية معها) ليس معقدًا على الإطلاق، إلا أنه يجب التعامل معه بعناية، لأنه في الحياه الحقيقيهسيكون مفيدًا جدًا خارج المدرسة. لذلك، دعونا نقوم بتحديث معرفتنا حول الكسور: ما هي، وما هي أنواعها، وكيفية إجراء العمليات الحسابية المختلفة بها.

كسر صاحبة الجلالة : ما هو

في الرياضيات، الكسور هي أرقام، يتكون كل منها من جزء واحد أو أكثر من الوحدة. وتسمى هذه الكسور أيضًا عادية أو بسيطة. كقاعدة عامة، يتم كتابتها على شكل رقمين مفصولين بخط أفقي أو خط مائل، ويسمى الخط "الكسري". على سبيل المثال: ½، ¾.

الجزء العلوي أو الأول من هذه الأرقام هو البسط (يوضح عدد الأجزاء المأخوذة من الرقم)، والجزء السفلي أو الثاني هو المقام (يوضح عدد الأجزاء التي تنقسم إليها الوحدة).

يعمل شريط الكسر في الواقع كعلامة قسمة. على سبيل المثال، 7:9=7/9

تقليديا الكسور المشتركةأقل من واحد. في حين أن الكسور العشرية يمكن أن تكون أكبر منها.

ما هي الكسور ل؟ نعم، لكل شيء، لأنه في العالم الحقيقي، ليست كل الأرقام أعدادًا صحيحة. على سبيل المثال، اشترت تلميذتان في الكافتيريا قطعة شوكولاتة لذيذة معًا. عندما كانوا على وشك مشاركة الحلوى، التقوا بصديقة وقرروا علاجها أيضًا. ومع ذلك، من الضروري الآن تقسيم لوح الشوكولاتة بشكل صحيح، مع الأخذ في الاعتبار أنه يتكون من 12 مربعًا.

في البداية، أرادت الفتيات تقسيم كل شيء بالتساوي، وبعد ذلك ستحصل كل واحدة على أربع قطع. لكن بعد التفكير في الأمر، قررا أن يكافئا صديقهما بربع الشوكولاتة وليس ثلثها. وبما أن التلميذات لم يدرسن الكسور بشكل جيد، فإنهن لم يأخذن في الاعتبار أنه في مثل هذه الحالة سينتهي بهن الأمر بـ 9 قطع، والتي من الصعب جدًا تقسيمها إلى قسمين. يوضح هذا المثال البسيط إلى حد ما مدى أهمية أن تكون قادرًا على العثور على جزء من الرقم بشكل صحيح. ولكن في الحياة هناك العديد من هذه الحالات.

أنواع الكسور: العادية والعشرية

تنقسم جميع الكسور الرياضية إلى فئتين كبيرتين: عادية وعشرية. تم وصف ميزات الأول منها في الفقرة السابقة، لذا الآن يستحق الاهتمام بالثانية.

العشري هو تدوين موضعي لكسر من رقم، يتم كتابته كتابةً مفصولاً بفاصلة، بدون شرطة أو شرطة مائلة. على سبيل المثال: 0.75، 0.5.

في الواقع، الكسر العشري مطابق للكسر العادي، ومع ذلك، يكون مقامه دائمًا واحدًا متبوعا بأصفار - ومن هنا اسمه.

الرقم الذي يسبق الفاصلة هو جزء صحيح، وكل ما بعده هو كسر. أنا أحبه جزء بسيطيمكن تحويلها إلى عشري. وبالتالي، يمكن كتابة الكسور العشرية المشار إليها في المثال السابق كالمعتاد: ¾ و ½.

تجدر الإشارة إلى أن الكسور العشرية والعادية يمكن أن تكون موجبة أو سالبة. إذا كانت مسبوقة بعلامة "-"، فإن هذا الكسر يكون سالبًا، إذا كان "+" كسرًا موجبًا.

الأنواع الفرعية من الكسور العادية

هناك هذه الأنواع من الكسور البسيطة.

الأنواع الفرعية من الكسور العشرية

على عكس الكسر البسيط، ينقسم الكسر العشري إلى نوعين فقط.

• نهائي - حصل على هذا الاسم لأنه بعد العلامة العشرية يحتوي على عدد محدود (محدود) من الأرقام: 19.25.
• الكسر اللانهائي هو رقم يحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام بعد العلامة العشرية. على سبيل المثال، عند قسمة 10 على 3، ستكون النتيجة كسرًا لا نهائيًا 3.333...

إضافة الكسور

يعد إجراء عمليات حسابية مختلفة باستخدام الكسور أصعب قليلاً من إجراء العمليات الحسابية باستخدام الأرقام العادية. ومع ذلك، إذا فهمت القواعد الأساسية، فلن يكون من الصعب حل أي مثال معهم.

على سبيل المثال: 2/3+3/4. المضاعف المشترك الأصغر لهم هو 12، لذلك من الضروري أن يكون هذا الرقم في كل مقام. للقيام بذلك، نضرب البسط والمقام للكسر الأول في 4، اتضح 8/12، ونفعل الشيء نفسه مع المصطلح الثاني، ولكن نضرب فقط في 3 - 9/12. الآن يمكنك بسهولة حل المثال: 8/12+9/12= 17/12. الكسر الناتج وحدة غير صحيحة لأن البسط أكبر من المقام. يمكن ويجب تحويلها إلى خليط صحيح بقسمة 17:12 = 1 و5/12.

عند إضافة الكسور المختلطة، يتم تنفيذ العمليات أولا مع الأعداد الصحيحة، ثم مع الكسور.

إذا كان المثال يحتوي على كسر عشري وكسر عادي، فمن الضروري تبسيط كليهما، ثم جلبهما إلى نفس المقام وإضافتهما. على سبيل المثال 3.1+1/2. يمكن كتابة الرقم 3.1 بالشكل جزء مختلط 3 و1/10 أو غير صحيح - 31/10. القاسم المشتركبالنسبة للحدود سيكون هناك 10، لذلك تحتاج إلى ضرب البسط والمقام 1/2 في 5، وستحصل على 5/10. ومن ثم يمكنك حساب كل شيء بسهولة: 31/10+5/10=35/10. النتيجة التي تم الحصول عليها هي كسر غير صحيح قابل للاختزال، ونعيده إلى الشكل الطبيعي، ونخفضه بمقدار 5: 7/2 = 3 و1/2، أو العلامة العشرية - 3.5.

عند إضافة كسرين عشريين، من المهم أن يكون هناك نفس عدد الأرقام بعد العلامة العشرية. إذا لم يكن هذا هو الحال، تحتاج فقط إلى إضافة المبلغ المطلوبصفر، لأنه في عدد عشرييمكن القيام بذلك دون ألم. على سبيل المثال، 3.5+3.005. لحل هذه المشكلة، عليك إضافة صفرين إلى الرقم الأول ثم إضافة واحد تلو الآخر: 3.500+3.005=3.505.

طرح الكسور

عند طرح الكسور، يجب عليك أن تفعل نفس الشيء عند الإضافة: اختصر إلى قاسم مشترك، واطرح بسطًا من آخر، وإذا لزم الأمر، قم بتحويل النتيجة إلى كسر مختلط.

على سبيل المثال: 16/20-5/10. سيكون المقام المشترك 20. تحتاج إلى إحضار الكسر الثاني إلى هذا المقام عن طريق ضرب جزأيه في 2، وستحصل على 10/20. الآن يمكنك حل المثال: 16/20-10/20= 6/20. ومع ذلك، تنطبق هذه النتيجة على الكسور القابلة للاختزال، لذا يجدر قسمة الطرفين على 2 وتكون النتيجة 3/10.

ضرب الكسور

تعتبر عمليات قسمة وضرب الكسور أسهل بكثير من عمليات الجمع والطرح. والحقيقة هي أنه عند أداء هذه المهام، ليست هناك حاجة للبحث عن قاسم مشترك.

لضرب الكسور، كل ما عليك فعله هو ضرب البسطين واحدًا تلو الآخر، ثم ضرب المقامين. قلل النتيجة الناتجة إذا كان الكسر كمية قابلة للاختزال.

على سبيل المثال: 4/9x5/8. بعد الضرب المتبادل تكون النتيجة 4x5/9x8=20/72. يمكن تقليل هذا الكسر بمقدار 4، وبالتالي فإن الإجابة النهائية في المثال هي 5/18.

كيفية تقسيم الكسور

إن قسمة الكسور هي أيضًا عملية بسيطة، ولكنها في الواقع تتطلب ضربها. لقسمة كسر على آخر، عليك قلب الكسر الثاني وضربه في الأول.

على سبيل المثال، تقسيم الكسور 5/19 و 5/7. لحل المثال، عليك تبديل مقام وبسط الكسر الثاني والضرب: 5/19x7/5=35/95. يمكن تخفيض النتيجة بمقدار 5 - اتضح 7/19.

إذا كنت بحاجة إلى قسمة كسر على رقم أولي، فإن التقنية مختلفة قليلاً. في البداية، يجب عليك كتابة هذا الرقم ككسر غير فعلي، ثم قسمته بنفس الطريقة. على سبيل المثال، يجب كتابة 2/13:5 بالشكل 2/13: 5/1. أنت الآن بحاجة إلى قلب 5/1 وضرب الكسور الناتجة: 2/13x1/5= 2/65.

في بعض الأحيان يتعين عليك تقسيم الكسور المختلطة. تحتاج إلى التعامل معها كما تفعل مع الأعداد الصحيحة: تحويلها إلى كسور غير حقيقية، وعكس المقسوم عليه، وضرب كل شيء. على سبيل المثال، 8 ½: 3. حول كل شيء إلى كسور غير حقيقية: 17/2: 3/1. ويتبع ذلك قلب 3/1 والضرب: 17/2x1/3= 17/6. الآن يجب عليك تحويل الكسر غير الصحيح إلى الكسر الصحيح - 2 كامل و5/6.

لذلك، بعد أن فهمت ما هي الكسور وكيف يمكنك إجراء عمليات حسابية مختلفة معهم، عليك أن تحاول ألا تنسى ذلك. بعد كل شيء، يميل الناس دائمًا إلى تقسيم شيء ما إلى أجزاء بدلاً من إضافته، لذلك عليك أن تكون قادرًا على القيام بذلك بشكل صحيح.