المشكلة B7 - تحويل التعبيرات اللوغاريتمية والأسية

ولهذا السبب أقترح على جميع طلابي التخلي عن الصيغة المدرسية القياسية واستخدامها للحل المعادلات اللوغاريتميةالنهج الثاني، كما قد تكون خمنت من الاسم، يسمى الشكل الكنسي.

فكرة الشكل القانوني بسيطة. دعونا نلقي نظرة على مهمتنا مرة أخرى: على اليسار لدينا سجل a، في حين أن الحرف a يعني الرقم بالضبط، ولا يحتوي بأي حال من الأحوال على الدالة المتغير x. ولذلك فإن هذه الرسالة تخضع لجميع القيود التي تفرض على أساس اللوغاريتم. يسمى:

1 ≠ أ > 0

من ناحية أخرى، من نفس المعادلة، نرى أن اللوغاريتم يجب أن يكون مساوياً للرقم ب، ولا توجد قيود على هذا الحرف، لأنه يمكن أن يأخذ أي قيمة - سواء كانت إيجابية أو سلبية. كل هذا يتوقف على القيم التي تأخذها الدالة f(x).

وهنا نتذكر قاعدتنا الرائعة التي تنص على أنه يمكن تمثيل أي رقم b على شكل لوغاريتم في الأساس a من a إلى قوة b:

ب = سجل أ ب

كيف تتذكر هذه الصيغة؟ نعم، بسيط جدا. لنكتب البناء التالي:

ب = ب 1 = ب سجل أ

بالطبع، في هذه الحالة، تنشأ جميع القيود التي كتبناها في البداية. والآن دعونا نستخدم الخاصية الأساسية للوغاريتم، وندخل العامل b كقوة a. نحن نحصل:

ب = ب 1 = ب سجل أ = سجل أ أ ب

ونتيجة لذلك، سيتم إعادة كتابة المعادلة الأصلية في الشكل التالي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب → و (س) = أ ب

هذا كل شئ. لم تعد الوظيفة الجديدة تحتوي على لوغاريتم ويتم حلها باستخدام التقنيات الجبرية القياسية.

بالطبع، سوف يعترض شخص ما الآن: لماذا كان من الضروري التوصل إلى نوع من الصيغة الكنسية على الإطلاق، لماذا نقوم بخطوتين إضافيتين غير ضروريتين، إذا كان من الممكن الانتقال على الفور من البناء الأصلي إلى الصيغة النهائية؟ نعم، فقط لأن معظم الطلاب لا يفهمون من أين تأتي هذه الصيغة، ونتيجة لذلك، يرتكبون أخطاء بانتظام عند تطبيقها.

لكن مثل هذا التسلسل من الإجراءات، الذي يتكون من ثلاث خطوات، يسمح لك بحل المعادلة اللوغاريتمية الأصلية، حتى لو كنت لا تفهم من أين تأتي هذه الصيغة النهائية. بالمناسبة، هذا الإدخال يسمى الصيغة الأساسية:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

تكمن ملاءمة الشكل القانوني أيضًا في حقيقة أنه يمكن استخدامه لحل فئة واسعة جدًا من المعادلات اللوغاريتمية، وليس فقط أبسط المعادلات التي نفكر فيها اليوم.

أمثلة الحل

الآن دعونا نلقي نظرة على أمثلة حقيقية. لذلك دعونا نقرر:

سجل 0.5 (3س - 1) = -3

دعنا نعيد كتابتها هكذا:

سجل 0.5 (3س − 1) = سجل 0.5 0.5 −3

العديد من الطلاب في عجلة من أمرهم ويحاولون رفع الرقم 0.5 على الفور إلى القوة التي أتت إلينا من المشكلة الأصلية. وبالفعل، عندما تكون مدربًا جيدًا على حل مثل هذه المشكلات، يمكنك تنفيذ هذه الخطوة على الفور.

ومع ذلك، إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة هذا الموضوع، فمن الأفضل عدم التسرع في أي مكان حتى لا ترتكب أخطاء هجومية. لذلك لدينا الشكل القانوني. لدينا:

3س - 1 = 0.5 -3

لم تعد هذه معادلة لوغاريتمية، بل معادلة خطية بالنسبة للمتغير x. لحلها، دعونا نتعامل أولًا مع الرقم 0.5 أس −3. لاحظ أن 0.5 هو 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

قم بتحويل جميع الكسور العشرية إلى كسور عند حل معادلة لوغاريتمية.

نعيد الكتابة ونحصل على:

3س - 1 = 8
3س=9
س = 3

كل ما حصلنا على الجواب. تم حل المهمة الأولى.

المهمة الثانية

لننتقل إلى المهمة الثانية:

كما ترون، هذه المعادلة لم تعد أبسط. فقط لأن الفرق على اليسار، وليس لوغاريتم واحد في قاعدة واحدة.

لذلك، تحتاج إلى التخلص بطريقة أو بأخرى من هذا الاختلاف. في هذه الحالة، كل شيء بسيط جدا. دعونا نلقي نظرة فاحصة على القواعد: على اليسار يوجد الرقم الموجود تحت الجذر:

توصية عامة: في جميع المعادلات اللوغاريتمية، حاول التخلص من الجذور، أي من المدخلات ذات الجذور والانتقال إلى دوال القوة، وذلك ببساطة لأن أسس هذه القوى يمكن إخراجها بسهولة من علامة اللوغاريتم، وفي النهاية، مثل هذا يعمل التدوين على تبسيط العمليات الحسابية وتسريعها بشكل كبير. لنكتبها هكذا:

الآن نتذكر خاصية اللوغاريتم الرائعة: من الوسيطة، وكذلك من القاعدة، يمكنك الحصول على درجات. وفي حالة القواعد يحدث ما يلي:

سجل أ ك ب = 1/ك سجل ب

بمعنى آخر، يتم تقديم الرقم الذي كان في درجة القاعدة للأمام وفي نفس الوقت يتم قلبه، أي أنه يصبح مقلوبًا للرقم. في حالتنا كانت هناك درجة القاعدة بمؤشر 1/2. لذلك يمكننا إخراجها على أنها 2/1. نحن نحصل:

5 2 سجل 5 x − سجل 5 x = 18
10 سجل 5 س - سجل 5 س = 18

يرجى ملاحظة: لا ينبغي بأي حال من الأحوال التخلص من اللوغاريتمات في هذه الخطوة. فكر مرة أخرى في الرياضيات للصف 4-5 وترتيب العمليات: يتم إجراء الضرب أولاً، وبعد ذلك فقط يتم إجراء الجمع والطرح. في هذه الحالة نطرح أحد العناصر نفسها من 10 عناصر:

9 سجل 5 × = 18
سجل 5 × = 2

الآن تبدو المعادلة كما ينبغي. هذا هو البناء الأبسط، ونحله باستخدام الصيغة الأساسية:

سجل 5 س = سجل 5 5 2
س = 5 2
س = 25

هذا كل شئ. تم حل المشكلة الثانية.

المثال الثالث

لننتقل إلى المهمة الثالثة:

إل جي (س + 3) = 3 + 2 إل جي 5

تذكر الصيغة التالية:

سجل ب = سجل 10 ب

إذا كنت مرتبكًا لسبب ما عند الكتابة lg b ، فعند إجراء جميع الحسابات، يمكنك ببساطة كتابة log 10 b . يمكنك التعامل مع اللوغاريتمات العشرية بنفس الطريقة المتبعة مع اللوغاريتمات العشرية الأخرى: قم بإزالة القوى، وإضافة، وتمثيل أي رقم كـ lg 10.

هذه هي الخصائص التي سنستخدمها الآن لحل المشكلة، لأنها ليست أبسط ما كتبناه في بداية درسنا.

في البداية، لاحظ أنه يمكن إدراج العامل 2 قبل lg 5 ويصبح قوة للأساس 5. بالإضافة إلى ذلك، يمكن أيضًا تمثيل الحد الحر 3 على هيئة لوغاريتم - وهذا من السهل جدًا ملاحظته من خلال تدويننا.

احكم بنفسك: يمكن تمثيل أي رقم على أنه سجل للأساس 10:

3 = سجل 10 10 3 = سجل 10 3

لنعد كتابة المشكلة الأصلية مع مراعاة التغييرات المستلمة:

أل جي (س - 3) = إل جي 1000 + إل جي 25
إل جي (س - 3) = إل جي 1000 25
إل جي (س - 3) = إل جي 25000

أمامنا مرة أخرى الشكل القانوني، وقد حصلنا عليه متجاوزين مرحلة التحولات، أي أن أبسط معادلة لوغاريتمية لم تظهر معنا في أي مكان.

هذا ما كنت أتحدث عنه في بداية الدرس. يسمح النموذج القانوني بحل فئة أوسع من المشكلات مقارنة بالصيغة المدرسية القياسية التي يقدمها معظم معلمي المدارس.

هذا كل شيء، نتخلص من علامة اللوغاريتم العشري، ونحصل على بناء خطي بسيط:

س + 3 = 25000
س = 24997

الجميع! تم حل المشكلة.

ملاحظة حول النطاق

وهنا أود أن أبدي ملاحظة هامة حول مجال التعريف. بالتأكيد الآن هناك طلاب ومعلمون سيقولون: "عندما نحل تعبيرات باللوغاريتمات، من الضروري أن نتذكر أن الوسيطة f (x) يجب أن تكون أكبر من الصفر!" وفي هذا الصدد، يطرح سؤال منطقي: لماذا لم نطلب في أي من المشاكل المدروسة تلبية هذا التفاوت؟

لا تقلق. لن تظهر أي جذور إضافية في هذه الحالات. وهذه خدعة رائعة أخرى تسمح لك بتسريع الحل. اعلم فقط أنه إذا كان المتغير x موجودًا في المشكلة في مكان واحد فقط (بتعبير أدق، في الوسيطة الوحيدة للوغاريثم الواحد فقط)، ولم يحدث المتغير x في أي مكان آخر في حالتنا، فاكتب المجال لا حاجةلأنه سيتم تشغيله تلقائيا.

احكم بنفسك: في المعادلة الأولى، حصلنا على 3س - 1، أي أن الوسيطة يجب أن تساوي 8. وهذا يعني تلقائيًا أن 3س - 1 سيكون أكبر من الصفر.

وبنفس النجاح يمكننا أن نكتب أنه في الحالة الثانية يجب أن تكون x مساوية لـ 5 2، أي أنها بالتأكيد أكبر من الصفر. وفي الحالة الثالثة، حيث x + 3 = 25000، أي مرة أخرى، من الواضح أنها أكبر من الصفر. بمعنى آخر، يكون النطاق تلقائيًا، ولكن فقط إذا حدثت x في وسيطة لوغاريتم واحد فقط.

هذا كل ما تحتاج إلى معرفته لحل المشاكل البسيطة. ستسمح لك هذه القاعدة وحدها، إلى جانب قواعد التحويل، بحل فئة واسعة جدًا من المشكلات.

ولكن دعونا نكون صادقين: من أجل فهم هذه التقنية أخيرا، من أجل معرفة كيفية تطبيق الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية، لا يكفي مجرد مشاهدة درس فيديو واحد. لذلك، قم الآن بتنزيل خيارات الحل المستقل المرفقة بهذا الفيديو التعليمي وابدأ في حل واحد على الأقل من هذين العملين المستقلين.

وسوف يستغرق منك بضع دقائق فقط. لكن تأثير هذا التدريب سيكون أعلى بكثير مقارنة بما إذا كنت قد شاهدت هذا الفيديو التعليمي للتو.

آمل أن يساعدك هذا الدرس على فهم المعادلات اللوغاريتمية. قم بتطبيق النموذج الأساسي، وتبسيط التعبيرات باستخدام قواعد العمل مع اللوغاريتمات - ولن تخاف من أي مهام. وهذا كل ما لدي لهذا اليوم.

النظر في النطاق

الآن دعونا نتحدث عن مجال الدالة اللوغاريتمية، وكذلك كيفية تأثير ذلك على حل المعادلات اللوغاريتمية. النظر في بناء النموذج

سجل و(س) = ب

يسمى هذا التعبير بالأبسط - فهو يحتوي على وظيفة واحدة فقط، والأرقام a و b مجرد أرقام، وليست بأي حال من الأحوال دالة تعتمد على المتغير x. يتم حلها بكل بساطة. تحتاج فقط إلى استخدام الصيغة:

ب = سجل أ ب

هذه الصيغة هي إحدى الخصائص الرئيسية للوغاريتم، وعند التعويض في التعبير الأصلي، نحصل على ما يلي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

و(خ) = أ ب

هذه بالفعل صيغة مألوفة من الكتب المدرسية. من المحتمل أن يكون لدى العديد من الطلاب سؤال: نظرًا لأن الدالة f ( x ) في التعبير الأصلي موجودة تحت علامة السجل، فقد تم فرض القيود التالية عليها:

و(خ) > 0

هذا التقييد صالح لأن لوغاريتم الأرقام السالبة غير موجود. لذلك، ربما بسبب هذا القيد، يجب عليك إدخال التحقق من الإجابات؟ ربما يحتاجون إلى استبداله في المصدر؟

لا، في أبسط المعادلات اللوغاريتمية، لا يلزم إجراء فحص إضافي. وهذا هو السبب. ألق نظرة على الصيغة النهائية لدينا:

و(خ) = أ ب

الحقيقة هي أن الرقم a أكبر من 0 على أي حال - وهذا المطلب يفرضه اللوغاريتم أيضًا. الرقم أ هو الأساس في هذه الحالة، لا يتم فرض أي قيود على الرقم ب. لكن هذا لا يهم، لأنه بغض النظر عن الدرجة التي نرفع بها عددًا موجبًا، فإننا سنحصل على عدد موجب عند المخرجات. وبالتالي، يتم استيفاء الشرط f (x) > 0 تلقائيًا.

ما يستحق التحقق حقًا هو نطاق الوظيفة الموجودة أسفل علامة السجل. يمكن أن تكون هناك تصميمات معقدة للغاية، وفي عملية حلها، يجب عليك بالتأكيد متابعتها. دعونا نلقي نظرة.

المهمة الأولى:

الخطوة الأولى: تحويل الكسر الموجود على اليمين. نحن نحصل:

نتخلص من علامة اللوغاريتم ونحصل على المعادلة غير المنطقية المعتادة:

من الجذور التي تم الحصول عليها، فقط الأول يناسبنا، لأن الجذر الثاني أقل من الصفر. الإجابة الوحيدة ستكون الرقم 9. خلاص تم حل المشكلة. ليست هناك حاجة إلى عمليات تحقق إضافية من أن التعبير تحت علامة اللوغاريتم أكبر من 0، لأنه ليس أكبر من 0 فقط، ولكن وفقًا لشرط المعادلة فهو يساوي 2. لذلك، يتم تطبيق المطلب "أكبر من الصفر" تلقائيًا استيفاء.

لننتقل إلى المهمة الثانية:

كل شيء هو نفسه هنا. نعيد كتابة البناء ونستبدل الثلاثي:

نتخلص من علامات اللوغاريتم ونحصل على معادلة غير منطقية:

نقوم بتربيع الجزأين مع مراعاة القيود فنحصل على:

4 - 6س - س 2 = (س - 4) 2

4 - 6س - س 2 = س 2 + 8س + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

س2 + 7س + 6 = 0

نحل المعادلة الناتجة من خلال المميز:

د \u003d 49 - 24 \u003d 25

س 1 = −1

س 2 \u003d -6

لكن x = −6 لا يناسبنا، لأننا إذا عوضنا بهذا الرقم في متباينتنا، نحصل على:

−6 + 4 = −2 < 0

في حالتنا، يجب أن يكون أكبر من 0، أو في الحالات القصوى، يساوي. لكن x = −1 يناسبنا:

−1 + 4 = 3 > 0

الجواب الوحيد في حالتنا هو x = −1. هذا كل الحل. دعنا نعود إلى بداية حساباتنا.

الاستنتاج الرئيسي من هذا الدرس هو أنه ليس من الضروري التحقق من حدود الدالة في أبسط المعادلات اللوغاريتمية. لأنه في عملية حل جميع القيود يتم تنفيذها تلقائيا.

ومع ذلك، هذا لا يعني بأي حال من الأحوال أنه يمكنك نسيان التحقق تمامًا. في عملية العمل على معادلة لوغاريتمية، قد تتحول إلى غير عقلانية، والتي سيكون لها حدودها ومتطلباتها الخاصة بالجانب الأيمن، والتي رأيناها اليوم في مثالين مختلفين.

لا تتردد في حل مثل هذه المشاكل وكن حذرًا بشكل خاص إذا كان هناك جذر في الحجة.

المعادلات اللوغاريتمية ذات الأساسات المختلفة

نواصل دراسة المعادلات اللوغاريتمية ونحلل حيلتين أكثر إثارة للاهتمام والتي من المألوف حل الهياكل الأكثر تعقيدًا بها. لكن دعونا نتذكر أولاً كيف يتم حل أبسط المهام:

سجل و(س) = ب

في هذا التدوين، a و b مجرد أرقام، وفي الدالة f (x) يجب أن يكون المتغير x موجودًا، وهناك فقط، أي x يجب أن يكون فقط في الوسيطة. سنقوم بتحويل هذه المعادلات اللوغاريتمية باستخدام الصورة الأساسية. ولهذا نلاحظ ذلك

ب = سجل أ ب

وa b مجرد حجة. دعونا نعيد كتابة هذا التعبير على النحو التالي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

هذا هو بالضبط ما نحاول تحقيقه، بحيث يوجد على اليسار واليمين لوغاريتم للأساس أ. في هذه الحالة، يمكننا، مجازيًا، شطب علامات السجل، ومن وجهة نظر الرياضيات، يمكننا القول أننا ببساطة نساوي الحجج:

و(خ) = أ ب

ونتيجة لذلك، نحصل على تعبير جديد يمكن حله بشكل أسهل بكثير. دعونا نطبق هذه القاعدة على مهامنا اليوم.

إذن التصميم الأول:

أولًا، ألاحظ أن هناك كسرًا على اليمين، مقامه هو اللوغاريتم. عندما ترى تعبيرًا مثل هذا، فمن المفيد أن تتذكر خاصية اللوغاريتمات الرائعة:

وهذا يعني ترجمته إلى اللغة الروسية أنه يمكن تمثيل أي لوغاريتم كحاصل لوغاريتمين مع أي أساس c. بالطبع 0< с ≠ 1.

إذن: هذه الصيغة لها حالة خاصة رائعة عندما يكون المتغير c مساويًا للمتغير ب. في هذه الحالة نحصل على بناء النموذج:

وهذا هو البناء الذي نلاحظه من الإشارة الموجودة على اليمين في المعادلة. لنستبدل هذا البناء بـ log a b، نحصل على:

بمعنى آخر، بالمقارنة مع المهمة الأصلية، قمنا بتبديل الوسيطة وأساس اللوغاريتم. وبدلًا من ذلك، كان علينا أن نقلب الكسر.

ونذكر أنه يمكن إخراج أي درجة من القاعدة وفقا للقاعدة التالية:

بمعنى آخر، يتم إخراج المعامل k، وهو درجة القاعدة، ككسر مقلوب. لنأخذها ككسر مقلوب:

لا يمكن ترك العامل الكسري في المقدمة، لأنه في هذه الحالة لن نتمكن من تمثيل هذا الإدخال كشكل قانوني (بعد كل شيء، في الشكل الكنسي، لا يوجد عامل إضافي أمام اللوغاريتم الثاني). لذلك، دعونا نضع الكسر 1/4 في الوسيطة كقوة:

الآن نساوي بين الحجج التي أسسها متماثلة (ولدينا بالفعل نفس الأساسات)، ونكتب:

س + 5 = 1

س = −4

هذا كل شئ. لقد حصلنا على إجابة المعادلة اللوغاريتمية الأولى. انتبه: في المشكلة الأصلية، يظهر المتغير x في سجل واحد فقط، وهو موجود في الوسيط الخاص به. لذلك، ليست هناك حاجة للتحقق من المجال، ورقمنا x = −4 هو الجواب بالفعل.

والآن ننتقل إلى التعبير الثاني:

سجل 56 = سجل 2 سجل 2 7 − 3 سجل (س + 4)

هنا، بالإضافة إلى اللوغاريتمات المعتادة، سيتعين علينا العمل مع lg f (x). كيفية حل مثل هذه المعادلة؟ قد يبدو للطالب غير المستعد أن هذا نوع من القصدير، ولكن في الواقع يتم حل كل شيء بشكل أساسي.

انظر عن كثب إلى المصطلح lg 2 log 2 7. ماذا يمكننا أن نقول عنه؟ القواعد والوسائط الخاصة بـ log وlg هي نفسها، وهذا من شأنه أن يعطي بعض الأدلة. دعونا نتذكر مرة أخرى كيف يتم إخراج الدرجات من تحت علامة اللوغاريتم:

سجل أ ب ن = نسجل أ ب

بمعنى آخر، ما كانت قوة الرقم b في الوسيطة يصبح عاملاً أمام السجل نفسه. دعونا نطبق هذه الصيغة على التعبير lg 2 log 2 7. لا تخف من lg 2 - هذا هو التعبير الأكثر شيوعًا. يمكنك إعادة كتابتها على النحو التالي:

بالنسبة له، جميع القواعد التي تنطبق على أي لوغاريتم آخر صالحة. على وجه الخصوص، يمكن إدخال العامل الأمامي في قوة الحجة. دعنا نكتب:

في كثير من الأحيان، يشير الطلاب إلى الفراغ ولا يرون هذا الإجراء، لأنه ليس من الجيد إدخال سجل واحد تحت علامة آخر. في الواقع، لا يوجد شيء إجرامي في هذا. علاوة على ذلك، حصلنا على صيغة يسهل حسابها إذا كنت تتذكر قاعدة مهمة:

يمكن اعتبار هذه الصيغة كتعريف وكأحد خصائصها. على أية حال، إذا قمت بتحويل معادلة لوغاريتمية، فيجب أن تعرف هذه الصيغة بنفس طريقة تمثيل أي رقم في شكل سجل.

نعود إلى مهمتنا. نعيد كتابتها مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن الحد الأول على يمين علامة التساوي سيكون ببساطة مساويًا لـ lg 7. لدينا:

إل جي 56 = إل جي 7 - 3 إل جي (س + 4)

لنحرك lg 7 إلى اليسار، فنحصل على:

ال جي 56 - ال جي 7 = -3 ال جي (س + 4)

نطرح التعبيرات الموجودة على اليسار لأنها لها نفس الأساس:

إل جي (56/7) = -3إل جي (س + 4)

الآن دعونا نلقي نظرة فاحصة على المعادلة التي لدينا. إنه الشكل القانوني عمليا، ولكن هناك عامل −3 على اليمين. دعنا نضعها في وسيطة lg الصحيحة:

إل جي 8 = إل جي (س + 4) −3

أمامنا الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية، لذلك نقوم بشطب علامات lg ومساواة الحجج:

(س + 4) -3 = 8

س + 4 = 0.5

هذا كل شئ! لقد حللنا المعادلة اللوغاريتمية الثانية. في هذه الحالة، لا يلزم إجراء فحوصات إضافية، لأنه في المشكلة الأصلية كانت x موجودة في وسيطة واحدة فقط.

اسمحوا لي أن ألخص النقاط الرئيسية في هذا الدرس.

الصيغة الرئيسية التي تتم دراستها في جميع الدروس المخصصة لحل المعادلات اللوغاريتمية في هذه الصفحة هي الصيغة القانونية. ولا تنزعج من حقيقة أن معظم الكتب المدرسية تعلمك كيفية حل هذه الأنواع من المشكلات بشكل مختلف. تعمل هذه الأداة بكفاءة عالية وتتيح لك حل فئة أكبر بكثير من المشكلات مقارنة بأبسط المشكلات التي درسناها في بداية درسنا.

بالإضافة إلى ذلك، لحل المعادلات اللوغاريتمية، سيكون من المفيد معرفة الخصائص الأساسية. يسمى:

1. معادلة الانتقال إلى قاعدة واحدة وحالة خاصة عندما نقوم بقلب السجل (كان هذا مفيدًا جدًا لنا في المهمة الأولى)؛
2. صيغة جلب وإخراج الصلاحيات من تحت إشارة اللوغاريتم. هنا يتعثر العديد من الطلاب ولا يرون أن الطاقة التي تم إخراجها وإحضارها يمكن أن تحتوي في حد ذاتها على log f (x). لا حرج في ذلك. يمكننا إدخال سجل واحد حسب إشارة الآخر وفي نفس الوقت تبسيط حل المشكلة بشكل كبير، وهو ما نلاحظه في الحالة الثانية.

في الختام، أود أن أضيف أنه ليس من الضروري التحقق من النطاق في كل حالة من هذه الحالات، لأنه في كل مكان يكون المتغير x موجودًا في علامة سجل واحدة فقط، وفي نفس الوقت موجود في حجته. ونتيجة لذلك، يتم استيفاء كافة متطلبات المجال تلقائيًا.

مشاكل مع قاعدة متغيرة

اليوم سننظر في المعادلات اللوغاريتمية، والتي تبدو للعديد من الطلاب غير قياسية، إن لم تكن غير قابلة للحل تمامًا. نحن نتحدث عن التعبيرات التي لا تعتمد على الأرقام، ولكن على المتغيرات وحتى الوظائف. سوف نقوم بحل مثل هذه الإنشاءات باستخدام تقنيتنا القياسية، أي من خلال الشكل القانوني.

في البداية، دعونا نتذكر كيف يتم حل أبسط المسائل، والتي تعتمد على الأعداد العادية. لذلك، يسمى أبسط البناء

سجل و(س) = ب

لحل مثل هذه المشاكل يمكننا استخدام الصيغة التالية:

ب = سجل أ ب

نعيد كتابة التعبير الأصلي ونحصل على:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

ثم نساوي بين الحجج، أي نكتب:

و(خ) = أ ب

وهكذا نتخلص من علامة السجل ونحل المشكلة المعتادة. في هذه الحالة، الجذور التي تم الحصول عليها في الحل ستكون جذور المعادلة اللوغاريتمية الأصلية. بالإضافة إلى ذلك، يُطلق على السجل، عندما يكون كل من اليسار واليمين على نفس اللوغاريتم ونفس الأساس، الشكل القانوني. إنه لمثل هذه التدوين أننا سنحاول تقليل إنشاءات اليوم. إذا هيا بنا.

المهمة الأولى:

السجل x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

استبدل 1 ب السجل x − 2 (x − 2) 1 . الدرجة التي نلاحظها في الحجة هي في الواقع الرقم b الذي كان على يمين علامة المساواة. لذلك دعونا نعيد كتابة تعبيرنا. نحن نحصل:

سجل x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = سجل x - 2 (x - 2)

ماذا نرى؟ أمامنا الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية، حتى نتمكن من مساواة الحجج بأمان. نحن نحصل:

2x2 - 13x + 18 = س - 2

لكن الحل لا ينتهي عند هذا الحد، لأن هذه المعادلة لا تعادل المعادلة الأصلية. بعد كل شيء، يتكون البناء الناتج من وظائف محددة على خط الأعداد بأكمله، ولم يتم تعريف اللوغاريتمات الأصلية في كل مكان وليس دائمًا.

ولذلك، يجب علينا أن نكتب مجال التعريف بشكل منفصل. دعونا لا نكون أكثر حكمة ونكتب أولاً جميع المتطلبات:

أولاً، يجب أن تكون وسيطة كل من اللوغاريتمات أكبر من 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

س − 2 > 0

ثانيًا، يجب ألا يكون الأساس أكبر من 0 فحسب، بل يجب أيضًا أن يكون مختلفًا عن 1:

س − 2 ≠ 1

ونتيجة لذلك نحصل على النظام:

لكن لا تنزعج: عند معالجة المعادلات اللوغاريتمية، يمكن تبسيط هذا النظام إلى حد كبير.

احكم بنفسك: من ناحية، مطلوب منا أن تكون الدالة التربيعية أكبر من الصفر، ومن ناحية أخرى، فإن هذه الدالة التربيعية تعادل بعض التعبيرات الخطية، وهو مطلوب أيضًا أن تكون أكبر من الصفر.

في هذه الحالة، إذا طلبنا أن x − 2 > 0، فإن الشرط 2x 2 − 13x + 18 > 0 سيتم استيفاءه تلقائيًا. لذلك، يمكننا بأمان شطب المتراجحة التي تحتوي على وظيفة من الدرجة الثانية. وبالتالي، سيتم تقليل عدد التعبيرات الموجودة في نظامنا إلى ثلاثة.

بالطبع، من الأفضل أن نقوم بالشطب عدم المساواة الخطية، أي شطب x − 2 > 0 واشترط أن 2x 2 − 13x + 18 > 0. لكن يجب أن توافق على أن حل أبسط المتباينة الخطية أسرع وأسهل بكثير من هذا النظام الذي نحصل فيه على نفس الجذور.

بشكل عام، حاول تحسين الحسابات كلما أمكن ذلك. وفي حالة المعادلات اللوغاريتمية، شطب المتباينات الأكثر صعوبة.

دعونا نعيد كتابة نظامنا:

يوجد هنا نظام مكون من ثلاثة تعبيرات، اثنان منها، في الواقع، اكتشفناهما بالفعل. دعونا نكتب بشكل منفصل معادلة من الدرجة الثانيةوحلها:

2x2 - 14x + 20 = 0

س2 - 7س + 10 = 0

أمامنا ثلاثية حدود مربعة مخفضة، وبالتالي يمكننا استخدام صيغ فييتا. نحن نحصل:

(س − 5)(س − 2) = 0

× 1 = 5

×2 = 2

الآن، وبالعودة إلى نظامنا، نجد أن x = 2 لا تناسبنا، لأننا مطالبون بأن يكون x أكبر من 2.

لكن x \u003d 5 يناسبنا جيدًا: الرقم 5 أكبر من 2، وفي نفس الوقت 5 لا يساوي 3. لذلك، الحل الوحيدلهذا النظام سيكون x = 5.

كل شيء، تم حل المهمة، بما في ذلك مراعاة ODZ. دعنا ننتقل إلى المعادلة الثانية. نحن هنا في انتظار حسابات أكثر إثارة للاهتمام وذات مغزى:

الخطوة الأولى: كما فعلنا في المرة الأخيرة، قمنا بإحضار كل هذه الأعمال إلى شكل أساسي. وللقيام بذلك يمكننا كتابة الرقم 9 على النحو التالي:

لا يمكن لمس القاعدة مع الجذر، ولكن من الأفضل تحويل الوسيطة. دعنا ننتقل من الجذر إلى القوة باستخدام الأس العقلاني. دعنا نكتب:

اسمحوا لي ألا أعيد كتابة معادلتنا اللوغاريتمية الكبيرة بأكملها، ولكن فقط سأقوم بمساواة الحجج على الفور:

س 3 + 10س 2 + 31س + 30 = س 3 + 9س 2 + 27س + 27

× 2 + 4س + 3 = 0

أمامنا ثلاثية الحدود المربعة المخفضة مرة أخرى، سنستخدم صيغ فييتا ونكتب:

(س + 3)(س + 1) = 0

× 1 = -3

× 2 = -1

إذن، حصلنا على الجذور، لكن لم يضمن لنا أحد أنها ستناسب المعادلة اللوغاريتمية الأصلية. بعد كل شيء، تفرض علامات السجل قيودًا إضافية (هنا سيتعين علينا كتابة النظام، ولكن نظرًا لثقل البناء بأكمله، قررت حساب مجال التعريف بشكل منفصل).

أولاً، تذكر أن الوسائط يجب أن تكون أكبر من 0، وهي:

هذه هي المتطلبات التي يفرضها مجال التعريف.

نلاحظ على الفور أنه بما أننا نساوي التعبيرين الأولين للنظام مع بعضهما البعض، فيمكننا شطب أي منهما. دعونا نحذف الأول لأنه يبدو أكثر خطورة من الثاني.

بالإضافة إلى ذلك، لاحظ أن حلول المتباينتين الثانية والثالثة ستكون نفس المجموعات (مكعب عدد ما أكبر من الصفر، إذا كان هذا الرقم نفسه أكبر من الصفر؛ وبالمثل مع جذر الدرجة الثالثة - هذه المتباينات متشابهان تمامًا، لذلك يمكننا شطب أحدهما).

لكن مع المتباينة الثالثة، لن ينجح هذا. دعونا نتخلص من علامة الجذر على اليسار، والتي نرفع كلا الجزأين إلى مكعب. نحن نحصل:

لذلك نحصل على المتطلبات التالية:

−2 ≠ س > −3

أي من جذورنا: x 1 = -3 أو x 2 = -1 يلبي هذه المتطلبات؟ من الواضح أن x = −1 فقط، لأن x = −3 لا تحقق المتباينة الأولى (لأن متباينتنا صارمة). في المجمل، بالعودة إلى مشكلتنا، نحصل على جذر واحد: x = −1. هذا كل شيء، تم حل المشكلة.

مرة أخرى، النقاط الرئيسية لهذه المهمة:

1. لا تتردد في تطبيق وحل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام النموذج المتعارف عليه. الطلاب الذين يقومون بمثل هذا السجل، ولا ينتقلون مباشرة من المشكلة الأصلية إلى بناء مثل log a f ( x ) = b ، يرتكبون أخطاء أقل بكثير من أولئك الذين هم في عجلة من أمرهم إلى مكان ما، ويتخطون الخطوات المتوسطة للحسابات؛
2. بمجرد ظهور قاعدة متغيرة في اللوغاريتم، تتوقف المشكلة عن أن تكون الأبسط. لذلك، عند حلها، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار مجال التعريف: يجب أن تكون الحجج أكبر من الصفر، ويجب ألا تكون القواعد أكبر من 0 فحسب، بل يجب أيضًا ألا تساوي 1.

يمكنك فرض المتطلبات الأخيرة على الإجابات النهائية بطرق مختلفة. على سبيل المثال، من الممكن حل نظام كامل يحتوي على جميع متطلبات المجال. من ناحية أخرى، يمكنك أولا حل المشكلة نفسها، ثم تذكر مجال التعريف، والعمل بشكل منفصل في شكل نظام وتطبيقه على الجذور التي تم الحصول عليها.

إن الطريقة التي تختارها عند حل معادلة لوغاريتمية معينة أمر متروك لك. وفي كل الأحوال فإن الجواب سيكون هو نفسه.

كما تعلم، عند ضرب التعبيرات بالقوى، دائمًا ما يكون مجموع أسسها (a b * a c = a b + c). تم استخلاص هذا القانون الرياضي من قبل أرخميدس، وفي وقت لاحق، في القرن الثامن، أنشأ عالم الرياضيات فيراسين جدولًا لمؤشرات الأعداد الصحيحة. لقد كانوا هم الذين خدموا في اكتشاف المزيد من اللوغاريتمات. يمكن العثور على أمثلة لاستخدام هذه الوظيفة في كل مكان تقريبًا حيث يكون مطلوبًا تبسيط الضرب المرهق إلى عملية جمع بسيطة. إذا أمضيت 10 دقائق في قراءة هذا المقال، فسنشرح لك ما هي اللوغاريتمات وكيفية التعامل معها. لغة بسيطة ويمكن الوصول إليها.

التعريف في الرياضيات

اللوغاريتم عبارة عن تعبير بالشكل التالي: log a b=c، أي لوغاريتم أي رقم غير سالب (أي أي موجب) "b" بحسب قاعدته "a" يعتبر أس "c" "، والذي من الضروري رفع القاعدة "أ" إليه حتى تحصل في النهاية على القيمة "ب". دعونا نحلل اللوغاريتم باستخدام الأمثلة، لنفترض أن هناك سجل تعبير 2 8. كيف تجد الإجابة؟ الأمر بسيط للغاية، تحتاج إلى العثور على هذه الدرجة التي تحصل من 2 إلى الدرجة المطلوبة على 8. بعد إجراء بعض الحسابات في عقلك، نحصل على الرقم 3! وهذا صحيح، لأن 2 أس 3 يعطي الرقم 8 في الجواب.

أصناف من اللوغاريتمات

بالنسبة للعديد من التلاميذ والطلاب، يبدو هذا الموضوع معقدا وغير مفهوم، ولكن في الواقع، اللوغاريتمات ليست مخيفة للغاية، والشيء الرئيسي هو فهم معناها العام وتذكر خصائصها وبعض القواعد. هناك ثلاثة أنواع متميزة من التعبيرات اللوغاريتمية:

1. اللوغاريتم الطبيعي ln a، حيث الأساس هو رقم أويلر (e = 2.7).
2. العشري أ، حيث الأساس هو 10.
3. لوغاريتم أي رقم b للأساس a>1.

يتم حل كل منها بطريقة قياسية، بما في ذلك التبسيط والاختزال والاختزال اللاحق إلى لوغاريتم واحد باستخدام النظريات اللوغاريتمية. للحصول على القيم الصحيحة للوغاريتمات، ينبغي للمرء أن يتذكر خصائصها وترتيب الإجراءات في قراراتها.

القواعد وبعض القيود

في الرياضيات، هناك العديد من قيود القواعد المقبولة كبديهية، أي أنها غير قابلة للمناقشة وهي صحيحة. على سبيل المثال، من المستحيل قسمة الأعداد على صفر، ومن المستحيل أيضًا استخراج جذر الدرجة الزوجية من الأعداد السالبة. تحتوي اللوغاريتمات أيضًا على قواعدها الخاصة، والتي يمكنك من خلالها بسهولة تعلم كيفية العمل حتى مع التعبيرات اللوغاريتمية الطويلة والواسعة:

• يجب أن يكون الأساس "أ" دائمًا أكبر من الصفر، وفي نفس الوقت لا يساوي 1، وإلا فسيفقد التعبير معناه، لأن "1" و"0" بأي درجة متساويان دائمًا لقيمتهما؛
• إذا كان a > 0، ثم b > 0، فيتبين أن "c" يجب أن يكون أكبر من الصفر.

كيفية حل اللوغاريتمات؟

على سبيل المثال، تم تكليف المهمة بالعثور على إجابة المعادلة 10 × \u003d 100. الأمر سهل للغاية، تحتاج إلى اختيار مثل هذه القوة، ورفع الرقم عشرة الذي نحصل عليه 100. وهذا بالطبع هو 10 2 \u003d 100.

الآن دعونا نمثل هذا التعبير على أنه تعبير لوغاريتمي. نحصل على سجل 10 100 = 2. عند حل اللوغاريتمات، تتقارب جميع الإجراءات عمليًا لإيجاد الدرجة التي يجب إدخال قاعدة اللوغاريتم بها للحصول على رقم معين.

لتحديد قيمة درجة غير معروفة بدقة، يجب أن تتعلم كيفية العمل مع جدول الدرجات. تبدو هكذا:

كما ترون، يمكن تخمين بعض الأسس بشكل حدسي إذا كان لديك عقلية فنية ومعرفة بجدول الضرب. ومع ذلك، فإن القيم الأكبر سوف تتطلب جدول الطاقة. يمكن استخدامه حتى من قبل أولئك الذين لا يفهمون أي شيء على الإطلاق في المواضيع الرياضية المعقدة. يحتوي العمود الأيسر على أرقام (الأساس أ)، والصف العلوي من الأرقام هو قيمة القوة ج، التي يرتفع إليها الرقم أ. عند التقاطع في الخلايا يتم تحديد قيم الأرقام وهي الجواب (أ ج = ب). لنأخذ، على سبيل المثال، الخلية الأولى ذات الرقم 10 ونقوم بتربيعها، ونحصل على القيمة 100، والتي تتم الإشارة إليها عند تقاطع الخليتين لدينا. كل شيء بسيط وسهل للغاية لدرجة أن حتى أكثر المدافعين عن الإنسانية واقعية سيفهمونه!

المعادلات والمتباينات

اتضح أنه في ظل ظروف معينة، يكون الأس هو اللوغاريتم. لذلك، يمكن كتابة أي تعبيرات عددية رياضية كمعادلة لوغاريتمية. على سبيل المثال، 3 4 = 81 يمكن كتابتها على هيئة لوغاريتم 81 للأساس 3، وهو أربعة (سجل 3 81 = 4). بالنسبة للقوى السالبة، القواعد هي نفسها: 2 -5 = 1/32 نكتب على شكل لوغاريتم، ونحصل على log 2 (1/32) = -5. أحد أروع أقسام الرياضيات هو موضوع "اللوغاريتمات". سننظر في أمثلة وحلول المعادلات أدناه قليلاً، مباشرة بعد دراسة خصائصها. الآن دعونا نلقي نظرة على الشكل الذي تبدو عليه المتباينات وكيفية تمييزها عن المعادلات.

يتم إعطاء تعبير بالشكل التالي: log 2 (x-1) > 3 - وهي متباينة لوغاريتمية، لأن القيمة غير المعروفة "x" تقع تحت علامة اللوغاريتم. وأيضًا في التعبير تتم مقارنة كميتين: لوغاريتم الرقم المطلوب في الأساس الثاني أكبر من الرقم ثلاثة.

الفرق الأكثر أهمية بين المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات هو أن المعادلات ذات اللوغاريتمات (على سبيل المثال لوغاريتم 2x = √9) تتضمن قيمة عددية واحدة أو أكثر محددة في الإجابة، بينما عند حل المتباينات يتم تعريفها على أنها مساحة القيم المسموح بهاونقاط انقطاع هذه الوظيفة. ونتيجة لذلك، فإن الإجابة ليست مجموعة بسيطة من الأرقام الفردية، كما في إجابة المعادلة، ولكنها سلسلة متصلة أو مجموعة من الأرقام.

النظريات الأساسية حول اللوغاريتمات

عند حل المهام البدائية لإيجاد قيم اللوغاريتم، قد لا تكون خصائصه معروفة. ومع ذلك، عندما يتعلق الأمر بالمعادلات اللوغاريتمية أو عدم المساواة، أولا وقبل كل شيء، من الضروري أن نفهم بوضوح ونطبق في الممارسة العملية جميع الخصائص الأساسية للوغاريتمات. سنتعرف على أمثلة المعادلات لاحقًا، فلنقم أولاً بتحليل كل خاصية بمزيد من التفصيل.

1. تبدو الهوية الأساسية كما يلي: a logaB =B. ينطبق فقط إذا كان a أكبر من 0، ولا يساوي واحدًا، وكان B أكبر من الصفر.
2. يمكن تمثيل لوغاريتم المنتج بالصيغة التالية: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. في هذه الحالة، الشرط الأساسي هو: d, s 1 and s 2 > 0; أ≠1. يمكنك تقديم دليل على صيغة اللوغاريتمات هذه مع الأمثلة والحل. دعنا نسجل a s 1 = f 1 ونسجل a s 2 = f 2، ثم a f1 = s 1 ، a f2 = s 2. نحصل على s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (خصائص درجات )، ومزيد من التعريف: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2، والذي كان من المقرر إثباته.
3. يبدو لوغاريتم الحاصل كما يلي: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. تأخذ النظرية في شكل صيغة الشكل التالي: log a q b n = n/q log a b.

تسمى هذه الصيغة "خاصية درجة اللوغاريتم". إنها تشبه خصائص الدرجات العادية، وهذا ليس مفاجئا، لأن كل الرياضيات تعتمد على مسلمات منتظمة. دعونا ننظر إلى الدليل.

دع السجل a b \u003d t، اتضح أن t \u003d b. إذا قمت برفع كلا الجزأين إلى القوة m: a tn = b n ;

ولكن بما أن a tn = (a q) nt/q = b n ، ومن ثم سجل a q b n = (n*t)/t، ثم سجل a q b n = n/q سجل a b. لقد تم إثبات النظرية.

أمثلة على المشاكل وعدم المساواة

أكثر أنواع مسائل اللوغاريتم شيوعًا هي أمثلة المعادلات والمتباينات. تم العثور عليها في جميع كتب المشكلات تقريبًا، كما أنها مدرجة أيضًا في الجزء الإلزامي من اختبارات الرياضيات. للقبول في الجامعة أو النجاح امتحانات القبولفي الرياضيات، عليك أن تعرف كيفية حل مثل هذه المشاكل بشكل صحيح.

لسوء الحظ، لا توجد خطة أو مخطط واحد لحل وتحديد القيمة المجهولة للوغاريتم، ومع ذلك، يمكن تطبيق قواعد معينة على كل متباينة رياضية أو معادلة لوغاريتمية. أولًا، عليك معرفة ما إذا كان من الممكن تبسيط التعبير أم اختصاره إليه منظر عام. تبسيط طويل التعبيرات اللوغاريتميةيمكنك ذلك إذا كنت تستخدم خصائصها بشكل صحيح. دعونا نتعرف عليهم قريبا.

عند حل المعادلات اللوغاريتمية، من الضروري تحديد نوع اللوغاريتم الذي أمامنا: مثال للتعبير قد يحتوي على لوغاريتم طبيعي أو عشري.

وفيما يلي أمثلة ln100، ln1026. يتلخص حلهم في حقيقة أنك تحتاج إلى تحديد الدرجة التي سيكون بها الأساس 10 مساويًا لـ 100 و1026 على التوالي. للحصول على حلول اللوغاريتمات الطبيعية، يجب على المرء تطبيق الهويات اللوغاريتمية أو خصائصها. دعونا نلقي نظرة على الحل مع الأمثلة. مشاكل لوغاريتميةنوع مختلف.

كيفية استخدام صيغ اللوغاريتم: مع الأمثلة والحلول

لذلك، دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام النظريات الرئيسية في اللوغاريتمات.

1. يمكن استخدام خاصية لوغاريتم المنتج في المهام التي يكون من الضروري توسيعها أهمية عظيمةالأعداد ب إلى عوامل أبسط على سبيل المثال، سجل 2 4 + سجل 2 128 = سجل 2 (4*128) = سجل 2 512. الإجابة هي 9.
2. سجل 4 8 = سجل 2 2 2 3 = 3/2 سجل 2 2 = 1.5 - كما ترون، باستخدام الخاصية الرابعة لدرجة اللوغاريتم، تمكنا من حل تعبير معقد وغير قابل للحل للوهلة الأولى. من الضروري فقط تحليل الأساس ثم إخراج القيم الأسية من إشارة اللوغاريتم.

مهام من الامتحان

غالبا ما توجد اللوغاريتمات في امتحانات القبول، وخاصة الكثير من المشاكل اللوغاريتمية في امتحان الدولة الموحدة (امتحان الدولة لجميع خريجي المدارس). عادة ما تكون هذه المهام موجودة ليس فقط في الجزء أ (أسهل جزء اختبار من الامتحان)، ولكن أيضًا في الجزء ج (المهام الأكثر صعوبة وحجمًا). يتضمن الامتحان معرفة دقيقة وكاملة بموضوع "اللوغاريتمات الطبيعية".

الأمثلة وحلول المشكلات مأخوذة من المسؤول خيارات الاستخدام. دعونا نرى كيف يتم حل هذه المهام.

بالنظر إلى السجل 2 (2x-1) = 4. الحل:
دعونا نعيد كتابة التعبير، ونبسطه إلى سجل بت 2 (2x-1) = 2 2 ، وبتعريف اللوغاريتم نحصل على 2x-1 = 2 4 ، وبالتالي 2x = 17؛ س = 8.5.

• من الأفضل اختزال جميع اللوغاريتمات إلى نفس الأساس حتى لا يكون الحل مرهقًا ومربكًا.
• تتم الإشارة إلى جميع التعبيرات الموجودة تحت علامة اللوغاريتم على أنها إيجابية، لذلك عند إخراج أس أس التعبير الموجود تحت علامة اللوغاريتم وكأساس له، يجب أن يكون التعبير المتبقي تحت اللوغاريتم موجبًا.

مشتق من تعريفه . وهكذا لوغاريتم الرقم ببسبب أيتم تعريفه على أنه الأس الذي يجب رفع الرقم إليه أللحصول على الرقم ب(اللوغاريتم موجود فقط للأرقام الموجبة).

ويترتب على هذه الصيغة أن الحساب س = سجل ب، يعادل حل المعادلة الفأس=ب.على سبيل المثال، سجل 2 8 = 3لأن 8 = 2 3 . صياغة اللوغاريتم تجعل من الممكن تبرير ذلك إذا ب=أ ج، ثم لوغاريتم الرقم ببسبب أيساوي مع. ومن الواضح أيضًا أن موضوع اللوغاريتم يرتبط ارتباطًا وثيقًا بموضوع قوة الرقم.

باستخدام اللوغاريتمات، كما هو الحال مع أي أرقام، يمكنك القيام بذلك عمليات الجمع والطرحوالتحول بكل الطرق الممكنة. ولكن في ضوء حقيقة أن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا، فإن قواعدها الخاصة تنطبق هنا، والتي تسمى الخصائص الأساسية.

جمع وطرح اللوغاريتمات.

خذ لوغاريتمين لهما نفس الأساس: سجل xو سجل ذ. ثم الحذف ومن الممكن إجراء عمليات الجمع والطرح:

سجل x+ سجل y= سجل a (x y);

سجل س - سجل ص = سجل أ (س: ص).

سجل أ(س 1 . س 2 . س 3 ... س ك) = سجل x 1 + سجل x 2 + سجل x 3 + ... + سجل × ك.

من نظريات اللوغاريتمويمكن الحصول على خاصية أخرى للوغاريتم. ومن المعروف أن السجل أ 1=0، وبالتالي،

سجل أ 1 /ب= سجل أ 1 - السجل أ ب= -سجل أ ب.

إذن هناك مساواة:

سجل أ 1 / ب = - سجل أ ب.

لوغاريتمات رقمين متبادلينعلى نفس الأساس سوف تختلف عن بعضها البعض فقط في التوقيع. لذا:

سجل 3 9= - سجل 3 1 / 9 ; سجل 5 1/125 = - سجل 5 125.