كيف يتم العثور على d في التقدم الحسابي؟ صيغة الحد n من التقدم الحسابي

مجموع التقدم الحسابي.

مجموع التقدم الحسابي هو شيء بسيط. سواء في المعنى أو في الصيغة. ولكن هناك كل أنواع المهام حول هذا الموضوع. من الأساسية إلى الصلبة تماما.

أولا، دعونا نفهم معنى وصيغة المبلغ. ومن ثم سنقرر. من أجل متعتك الخاصة.) معنى المبلغ بسيط مثل مو. للعثور على مجموع التقدم الحسابي، تحتاج فقط إلى إضافة جميع حدوده بعناية. إذا كانت هذه المصطلحات قليلة، فيمكنك الإضافة بدون أي صيغ. ولكن إذا كان هناك الكثير، أو الكثير... فالإضافة مزعجة.) في هذه الحالة، تأتي الصيغة للإنقاذ.

صيغة المبلغ بسيطة:

دعونا نتعرف على نوع الحروف المضمنة في الصيغة. وهذا سوف يوضح الأمور كثيرا.

س ن - مجموع التقدم الحسابي. نتيجة الإضافة الجميعالأعضاء، مع أولاًبواسطة آخر.انه مهم. يضيفون بالضبط الجميعالأعضاء على التوالي، دون تخطي أو تخطي. وعلى وجه التحديد، بدءا من أولاً.في مسائل مثل إيجاد مجموع الحدين الثالث والثامن، أو مجموع الحدين الخامس إلى العشرين، فإن التطبيق المباشر للصيغة سيكون مخيبًا للآمال.)

أ 1 - أولاًعضو في التقدم . كل شيء واضح هنا، الأمر بسيط أولاًرقم الصف.

ن- آخرعضو في التقدم . العدد الأخير من السلسلة. اسم ليس مألوفًا جدًا، لكن عند تطبيقه على المبلغ فهو مناسب جدًا. ثم سوف ترى بنفسك.

ن - رقم العضو الأخير. من المهم أن نفهم أن هذا الرقم موجود في الصيغة يتزامن مع عدد المصطلحات المضافة.

دعونا نحدد المفهوم آخرعضو ن. سؤال صعب: أي عضو سيكون الأخيرإذا أعطيت بلا نهاية المتوالية العددية?)

للإجابة بثقة، عليك أن تفهم المعنى الأساسي للتقدم الحسابي و... اقرأ المهمة بعناية!)

في مهمة إيجاد مجموع التقدم الحسابي، يظهر الحد الأخير دائمًا (بشكل مباشر أو غير مباشر)، والتي ينبغي أن تكون محدودة.خلاف ذلك، مبلغ نهائي محدد ببساطة غير موجود.بالنسبة للحل، لا يهم ما إذا كان التقدم معطى: محدود أو لانهائي. لا يهم كيف يتم تقديمها: سلسلة من الأرقام، أو صيغة للحد n.

الشيء الأكثر أهمية هو أن نفهم أن الصيغة تعمل من الحد الأول للتقدم إلى الحد ذو الرقم ن.في الواقع، يبدو الاسم الكامل للصيغة كما يلي: مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي.عدد هؤلاء الأعضاء الأوائل ، أي. ن، يتم تحديده فقط من خلال المهمة. في إحدى المهام، غالبًا ما يتم تشفير كل هذه المعلومات القيمة، نعم... ولكن لا يهم، في الأمثلة أدناه نكشف عن هذه الأسرار.)

أمثلة على المهام على مجموع التقدم الحسابي.

أولاً، معلومات مفيدة:

تكمن الصعوبة الرئيسية في المهام التي تتضمن مجموع التقدم الحسابي في التحديد الصحيح لعناصر الصيغة.

يقوم مؤلفو المهام بتشفير هذه العناصر ذاتها بخيال لا حدود له.) الشيء الرئيسي هنا هو عدم الخوف. فهم جوهر العناصر، يكفي فك رموزها ببساطة. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة بالتفصيل. لنبدأ بمهمة تعتمد على GIA حقيقي.

1. يتم إعطاء التقدم الحسابي بالشرط: a n = 2n-3.5. أوجد مجموع حدوده العشرة الأولى.

أحسنت. سهل.) لتحديد المبلغ باستخدام الصيغة، ما الذي نحتاج إلى معرفته؟ العضو الأول أ 1، الموسم الماضي ننعم رقم العضو الأخير ن.

أين يمكنني الحصول على رقم العضو الأخير؟ ن؟ نعم، هناك، بشرط! تقول: أوجد المبلغ أول 10 أعضاء.حسنًا، ما هو الرقم الذي سيكون معه؟ آخر،العضو العاشر؟) لن تصدق، رقمه هو العاشر!) لذلك بدلاً من نسوف نعوض في الصيغة 10، وبدلا من ذلك ن- عشرة. وأكرر أن عدد العضو الأخير يتطابق مع عدد الأعضاء.

يبقى أن نحدد أ 1و 10. يمكن حساب ذلك بسهولة باستخدام صيغة الحد n، الواردة في بيان المشكلة. لا أعرف كيف تفعل هذا؟ احضروا الدرس السابق فبدونه لا سبيل.

أ 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

10=2·10 - 3.5 =16.5

س ن = س 10.

لقد اكتشفنا معنى جميع عناصر الصيغة لمجموع التقدم الحسابي. كل ما تبقى هو استبدالهم والعد:

هذا كل شيء. الجواب: 75.

مهمة أخرى تعتمد على GIA. أكثر تعقيدًا بعض الشيء:

2. بالنظر إلى المتوالية الحسابية (a n) التي يكون الفرق فيها 3.7؛ 1 =2.3. أوجد مجموع حدوده الخمسة عشر الأولى.

نكتب على الفور صيغة المجموع:

تتيح لنا هذه الصيغة إيجاد قيمة أي حد من خلال رقمه. نحن نبحث عن بديل بسيط:

أ 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

يبقى استبدال جميع العناصر في صيغة مجموع التقدم الحسابي وحساب الإجابة:

الجواب: 423.

بالمناسبة، إذا كان في صيغة المبلغ بدلا من ننحن ببساطة نعوض بصيغة الحد n ونحصل على:

دعونا نقدم مماثلة ونحصل على صيغة جديدة لمجموع حدود التقدم الحسابي:

كما ترون، فإنه ليس مطلوبا هنا الفصل الدراسي التاسع ن. في بعض المشاكل، تساعد هذه الصيغة كثيرًا، نعم... يمكنك تذكر هذه الصيغة. أو يمكنك ببساطة عرضه في الوقت المناسب، كما هو الحال هنا. بعد كل شيء، عليك دائمًا أن تتذكر صيغة المجموع وصيغة الحد النوني.)

الآن المهمة في شكل تشفير قصير):

3. أوجد مجموع كل الإيجابيات أرقام مزدوجة، مضاعفات الثلاثة.

رائع! لا عضوك الأول ولا الأخير ولا التقدم على الإطلاق... كيف تعيش!؟

سيتعين عليك التفكير برأسك وسحب جميع عناصر مجموع التقدم الحسابي من الحالة. نحن نعرف ما هي الأعداد المكونة من رقمين. وهي تتكون من رقمين.) ما هو الرقم المكون من رقمين أولاً؟ 10، على الأرجح.) أ آخر شيءرقم مزدوج؟ 99 بالطبع! والأرقام الثلاثة ستتبعه..

مضاعفات الثلاثة... حسنًا... هذه أرقام تقبل القسمة على ثلاثة، هنا! العشرة لا تقبل القسمة على ثلاثة، 11 لا تقبل القسمة... 12... لا تقبل القسمة! لذلك، هناك شيء آخذ في الظهور. يمكنك بالفعل كتابة سلسلة وفقًا لشروط المشكلة:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

هل ستكون هذه المتسلسلة متوالية حسابية؟ بالتأكيد! ويختلف كل مصطلح عن الذي قبله بثلاثة فقط. إذا أضفت 2 أو 4 إلى حد ما، على سبيل المثال، النتيجة، أي. الرقم الجديد لم يعد قابلاً للقسمة على 3. يمكنك على الفور تحديد الفرق في التقدم الحسابي: د = 3.وسوف تأتي في متناول اليدين!)

لذا، يمكننا تدوين بعض معلمات التقدم بأمان:

ماذا سيكون الرقم؟ نآخر عضو؟ أي شخص يعتقد أن 99 مخطئ للغاية... الأرقام دائمًا تكون متتالية، لكن أعضاؤنا يقفزون فوق الثلاثة. أنها لا تتطابق.

هناك حلان هنا. إحدى الطرق هي للمجتهدين للغاية. يمكنك تدوين التقدم وسلسلة الأرقام بأكملها وحساب عدد الأعضاء بإصبعك.) الطريقة الثانية للمفكرين. عليك أن تتذكر صيغة الحد n. إذا طبقنا الصيغة على مشكلتنا، نجد أن 99 هو الحد الثلاثون للتقدم. أولئك. ن = 30.

دعونا نلقي نظرة على صيغة مجموع التقدم الحسابي:

نحن ننظر ونبتهج.) لقد أخرجنا من بيان المشكلة كل ما هو ضروري لحساب المبلغ:

أ 1= 12.

30= 99.

س ن = س 30.

كل ما تبقى هو الحساب الأولي. نستبدل الأرقام في الصيغة ونحسب:

الجواب: 1665

نوع آخر من الألغاز الشائعة:

4. بالنظر إلى التقدم الحسابي:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

أوجد مجموع الحدود من عشرين إلى أربعة وثلاثين.

ننظر إلى صيغة المبلغ و... نشعر بالانزعاج.) دعني أذكرك، الصيغة تحسب المبلغ من الأولعضو. وفي المشكلة تحتاج إلى حساب المبلغ منذ العشرين..الصيغة لن تعمل.

يمكنك، بالطبع، كتابة التقدم بأكمله في سلسلة، وإضافة مصطلحات من 20 إلى 34. لكن... إنه أمر غبي إلى حد ما ويستغرق وقتًا طويلاً، أليس كذلك؟)

هناك حل أكثر أناقة. دعونا نقسم سلسلتنا إلى قسمين. الجزء الأول سيكون من الفصل الأول إلى التاسع عشر.جزء ثان - من العشرين إلى الرابعة والثلاثين.ومن الواضح أنه إذا حسبنا مجموع مصطلحات الجزء الأول ق1-19لنضفها مع مجموع حدود الجزء الثاني ق 20-34فنحصل على مجموع التقدم من الفصل الأول إلى الرابع والثلاثين ق1-34. مثله:

ق1-19 + ق 20-34 = ق1-34

من هذا يمكننا أن نرى أن العثور على المبلغ ق 20-34يمكن أن يتم عن طريق الطرح البسيط

ق 20-34 = ق1-34 - ق1-19

ويعتبر كلا المبلغين على الجانب الأيمن من الأولعضو، أي. صيغة المبلغ القياسية تنطبق عليهم تمامًا. هيا بنا نبدأ؟

نستخرج معلمات التقدم من بيان المشكلة:

د = 1.5.

أ 1= -21,5.

لحساب مجموع أول 19 وأول 34 حدًا، سنحتاج إلى الحدين 19 و34. نحسبها باستخدام صيغة الحد النوني، كما في المسألة الثانية:

19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

لم يتبق هناك شيء. من مجموع 34 حدًا اطرح مجموع 19 حدًا:

ق 20-34 = ق 1-34 - ق 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

الجواب: 262.5

ملاحظة هامة! هناك خدعة مفيدة جدًا في حل هذه المشكلة. بدلا من الحساب المباشر ما تحتاجه (س20-34)،لقد عدنا شيء يبدو أنه ليس هناك حاجة إليه - س 1-19.وبعد ذلك قرروا ق 20-34، والتخلص من ما هو غير ضروري من النتيجة الكاملة. هذا النوع من "الخدعة بأذنيك" غالبًا ما ينقذك من المشاكل الشريرة.)

نظرنا في هذا الدرس إلى المسائل التي يكفي أن نفهم فيها معنى مجموع التقدم الحسابي. حسنًا، أنت بحاجة إلى معرفة بعض الصيغ.)

نصيحة عملية:

عند حل أي مشكلة تتضمن مجموع التقدم الحسابي، أوصي فورًا بكتابة الصيغتين الرئيسيتين من هذا الموضوع.

صيغة الحد التاسع :

ستخبرك هذه الصيغ على الفور بما يجب البحث عنه وفي أي اتجاه يجب التفكير فيه لحل المشكلة. يساعد.

والآن مهام الحل المستقل.

5. أوجد مجموع الأعداد المكونة من رقمين والتي لا تقبل القسمة على ثلاثة.

رائع؟) التلميح مخفي في ملاحظة المشكلة رقم 4. حسنًا، المشكلة رقم 3 ستساعدك.

6. يُعطى التقدم الحسابي بالشرط: a 1 = -5.5؛ ن+1 = ن +0.5. أوجد مجموع حدوده الـ 24 الأولى.

غير عادي؟) هذه صيغة متكررة. يمكنك أن تقرأ عنها في الدرس السابق. لا تتجاهل الرابط، فمثل هذه المشكلات غالبًا ما توجد في أكاديمية الدولة للعلوم.

7. قام فاسيا بتوفير المال لقضاء العطلة. بقدر 4550 روبل! وقررت أن أمنح الشخص المفضل لدي (نفسي) بضعة أيام من السعادة). عش بشكل جميل دون حرمان نفسك من أي شيء. أنفق 500 روبل في اليوم الأول، وفي كل يوم لاحق أنفق 50 روبل أكثر من اليوم السابق! حتى نفاد المال. كم عدد أيام السعادة التي عاشها فاسيا؟

هل هذا صعب؟) الصيغة الإضافية من المشكلة 2 سوف تساعد.

الأجوبة (في حالة الفوضى): 7، 3240، 6.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

عند دراسة الجبر في .مدرسة ثانوية(الصف التاسع) واحد من مواضيع مهمةهي دراسة التسلسلات الرقمية، والتي تشمل التقدم - الهندسي والحسابي. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على التقدم الحسابي والأمثلة مع الحلول.

ما هو التقدم الحسابي؟

لفهم ذلك، من الضروري تحديد التقدم المعني، بالإضافة إلى توفير الصيغ الأساسية التي سيتم استخدامها لاحقًا في حل المشكلات.

من المعروف أنه في بعض المتتابعات الجبرية، يكون الحد الأول يساوي 6، والحد السابع يساوي 18. ومن الضروري إيجاد الفرق واستعادة هذا التسلسل إلى الحد السابع.

دعونا نستخدم الصيغة لتحديد الحد المجهول: a n = (n - 1) * d + a 1 . لنستبدل بها البيانات المعروفة من الشرط، أي الرقمين a 1 و a 7، لدينا: 18 = 6 + 6 * d. من هذا التعبير يمكنك بسهولة حساب الفرق: d = (18 - 6) /6 = 2. وبذلك نكون قد أجبنا على الجزء الأول من المشكلة.

لاستعادة التسلسل إلى الحد السابع، يجب عليك استخدام التعريف التقدم الجبريأي أ 2 = أ 1 + د، أ 3 = أ 2 + د وهكذا. ونتيجة لذلك، فإننا نستعيد التسلسل بأكمله: أ 1 = 6، أ 2 = 6 + 2 = 8، أ 3 = 8 + 2 = 10، أ 4 = 10 + 2 = 12، أ 5 = 12 + 2 = 14 ، أ 6 = 14 + 2 = 16، أ 7 = 18.

المثال رقم 3: رسم التقدم

دعونا تعقيد الأمر أكثر حالة أقوىمهام. الآن نحن بحاجة للإجابة على سؤال كيفية العثور على التقدم الحسابي. يمكنك الاستشهاد المثال التالي: يتم إعطاء رقمين، على سبيل المثال - 4 و 5. من الضروري إنشاء تقدم جبري بحيث يتم وضع ثلاثة حدود أخرى بينهما.

قبل البدء في حل هذه المشكلة، عليك أن تفهم المكان الذي ستحتله الأرقام المحددة في التقدم المستقبلي. وبما أنه سيكون هناك ثلاثة حدود أخرى بينهما، فإن 1 = -4 و5 = 5. وبعد تحديد ذلك، ننتقل إلى المشكلة، التي تشبه المشكلة السابقة. مرة أخرى، بالنسبة للحد النوني، نستخدم الصيغة، ونحصل على: a 5 = a 1 + 4 * d. من: د = (أ 5 - أ 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. ما حصلنا عليه هنا ليس قيمة صحيحة للفرق، لكنه كذلك رقم منطقي، وبالتالي تظل صيغ التقدم الجبري كما هي.

الآن دعونا نضيف الفرق الذي تم العثور عليه إلى 1 ونستعيد الحدود المفقودة للتقدم. نحصل على: أ 1 = - 4، أ 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75، أ 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5، أ 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75، أ 5 = 2.75 + 2.25 = 5، وهو ما تزامن مع ظروف المشكلة

مثال رقم 4: الفصل الأول من التقدم

دعنا نستمر في إعطاء أمثلة على التقدم الحسابي مع الحلول. في جميع المسائل السابقة كان الرقم الأول من المتتابعة الجبرية معروفا. الآن دعونا نفكر في مشكلة من نوع مختلف: دعنا نعطي رقمين، حيث 15 = 50 و43 = 37. من الضروري العثور على الرقم الذي يبدأ به هذا التسلسل.

تفترض الصيغ المستخدمة حتى الآن معرفة 1 وd. في بيان المشكلة، لا يوجد شيء معروف عن هذه الأرقام. ومع ذلك، سنكتب تعبيرات لكل حد تتوفر عنه معلومات: a 15 = a 1 + 14 * d وa 43 = a 1 + 42 * d. لقد حصلنا على معادلتين يوجد فيهما كميتين مجهولتين (أ 1 ود). وهذا يعني أن المشكلة تقتصر على حل نظام من المعادلات الخطية.

أسهل طريقة لحل هذا النظام هي التعبير عن الرقم 1 في كل معادلة ثم مقارنة التعبيرات الناتجة. المعادلة الأولى: أ 1 = أ 15 - 14 * د = 50 - 14 * د؛ المعادلة الثانية: أ 1 = أ 43 - 42 * د = 37 - 42 * د. بمساواة هذه التعبيرات، نحصل على: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d، ومن هنا الفرق d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (يتم إعطاء 3 منازل عشرية فقط).

بمعرفة d، يمكنك استخدام أي من التعبيرين أعلاه للحصول على 1. على سبيل المثال، أولاً: أ 1 = 50 - 14 * د = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

إذا كانت لديك شكوك حول النتيجة التي تم الحصول عليها، يمكنك التحقق منها، على سبيل المثال، تحديد المدة 43 للتقدم، المحدد في الشرط. نحصل على: أ 43 = أ 1 + 42 * د = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. يرجع الخطأ البسيط إلى حقيقة أنه تم استخدام التقريب إلى الألف في الحسابات.

مثال رقم 5: المبلغ

الآن دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة مع حلول لمجموع التقدم الحسابي.

دعونا نعطي تقدمًا رقميًا بالشكل التالي: 1، 2، 3، 4، ...،. كيف تحسب مجموع 100 من هذه الأرقام؟

بفضل التطوير تكنولوجيا الكمبيوتريمكنك حل هذه المشكلة، أي إضافة جميع الأرقام بالتسلسل، والتي آلة حاسبةسيتم القيام به بمجرد أن يضغط الشخص على مفتاح Enter. ومع ذلك، يمكن حل المشكلة عقليًا إذا انتبهت إلى أن سلسلة الأرقام المعروضة هي تقدم جبري، وفرقها يساوي 1. وبتطبيق صيغة المجموع نحصل على: S n = n * (a 1 + أ ن) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أن هذه المشكلة تسمى "غاوسية" لأنها في أوائل الثامن عشرفي القرن العشرين، تمكن الألماني الشهير، بينما كان عمره 10 سنوات فقط، من حلها في رأسه في بضع ثوانٍ. لم يكن الصبي يعرف صيغة مجموع المتوالية الجبرية، لكنه لاحظ أنه إذا قمت بجمع الأرقام في نهايات المتتابعة في أزواج، فإنك تحصل دائمًا على نفس النتيجة، وهي 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ...، وبما أن هذه المجاميع ستكون بالضبط 50 (100 / 2)، للحصول على الإجابة الصحيحة يكفي ضرب 50 في 101.

مثال رقم 6: مجموع الحدود من n إلى m

مثال نموذجي آخر لمجموع التقدم الحسابي هو ما يلي: بالنظر إلى سلسلة من الأرقام: 3، 7، 11، 15، ...، عليك أن تجد ما يساوي مجموع حدودها من 8 إلى 14 .

يتم حل المشكلة بطريقتين. الأول يتضمن إيجاد الحدود المجهولة من 8 إلى 14، ثم جمعها بالتسلسل. نظرًا لوجود عدد قليل من المصطلحات، فإن هذه الطريقة لا تتطلب عمالة كثيفة. ومع ذلك، يقترح حل هذه المشكلة باستخدام طريقة ثانية، وهي أكثر عالمية.

تتمثل الفكرة في الحصول على صيغة لمجموع التقدم الجبري بين الحدين m وn، حيث n > m أعداد صحيحة. وفي كلتا الحالتين نكتب تعبيرين للمجموع:

1. س م = م * (أ م + أ 1) / 2.
2. س ن = ن * (أ ن + أ 1) / 2.

بما أن n > m، فمن الواضح أن المجموع الثاني يشمل الأول. الاستنتاج الأخير يعني أننا إذا أخذنا الفرق بين هذه المجاميع وأضفنا إليها الحد a m (في حالة أخذ الفرق يطرح من المجموع S n)، فسنحصل على الإجابة اللازمة للمسألة. لدينا: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * ن/2 + ا م * (1- م/2). من الضروري استبدال الصيغ لـ n وm في هذا التعبير. ثم نحصل على: S mn = أ 1 * (ن - م) / 2 + ن * (أ 1 + (ن - 1) * د) / 2 + (أ 1 + (م - 1) * د) * (1) - م / 2) = أ 1 * (ن - م + 1) + د * ن * (ن - 1) / 2 + د *(3 * م - م 2 - 2) / 2.

الصيغة الناتجة مرهقة إلى حد ما، ومع ذلك، فإن المبلغ S mn يعتمد فقط على n وm وa 1 وd. في حالتنا، أ 1 = 3، د = 4، ن = 14، م = 8. وباستبدال هذه الأرقام نحصل على: S mn = 301.

كما يتبين من الحلول المذكورة أعلاه، تعتمد جميع المشاكل على معرفة تعبير الحد النوني وصيغة مجموع مجموعة الحدود الأولى. قبل البدء في حل أي من هذه المشكلات، يوصى بقراءة الشرط بعناية، وفهم ما تحتاج إلى العثور عليه بوضوح، وبعد ذلك فقط متابعة الحل.

نصيحة أخرى هي السعي لتحقيق البساطة، أي إذا كان بإمكانك الإجابة على سؤال دون استخدام حسابات رياضية معقدة، فأنت بحاجة إلى القيام بذلك، لأنه في هذه الحالة يكون احتمال ارتكاب الخطأ أقل. على سبيل المثال، في مثال المتتابعة الحسابية مع الحل رقم 6، يمكن التوقف عند الصيغة S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m، و استراحة المهمة الشائعةفي مهام فرعية منفصلة (في هذه الحالة، ابحث أولاً عن المصطلحين a n وa m).

إذا كانت لديك شكوك حول النتيجة التي تم الحصول عليها، فمن المستحسن التحقق منها، كما حدث في بعض الأمثلة المذكورة. اكتشفنا كيفية العثور على التقدم الحسابي. إذا عرفت ذلك، فالأمر ليس بهذه الصعوبة.

ملاحظات هامة!
1. إذا رأيت gobbledygook بدلاً من الصيغ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. كيفية القيام بذلك في متصفحك مكتوبة هنا:
2. قبل أن تبدأ بقراءة المقال، انتبه لمتصفحنا للأكثر مورد مفيدل

تسلسل رقمي

لذلك، دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:
يمكنك كتابة أي أرقام، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده (في حالتنا، هناك). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها، يمكننا دائمًا أن نقول أي واحد هو الأول، وأي واحد هو الثاني، وهكذا حتى الأخير، أي أنه يمكننا ترقيمها. وهذا مثال على التسلسل الرقمي:

تسلسل رقمي
على سبيل المثال، بالنسبة لتسلسلنا:

الرقم المخصص خاص برقم واحد فقط في التسلسل. بمعنى آخر، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في المتتابعة. الرقم الثاني (مثل الرقم رقم) هو نفسه دائمًا.
الرقم ذو الرقم يسمى الحد العاشر من التسلسل.

عادة ما نسمي التسلسل بأكمله بحرف ما (على سبيل المثال،)، وكل عضو في هذا التسلسل هو نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو: .

في حالتنا هذه:

لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا يكون فيه الفرق بين الأرقام المتجاورة متساويًا ومتساويًا.
على سبيل المثال:

إلخ.
يسمى هذا التسلسل الرقمي بالتقدم الحسابي.
تم تقديم مصطلح "التقدم" من قبل المؤلف الروماني بوثيوس في القرن السادس وكان يُفهم بالمعنى الأوسع على أنه تسلسل عددي لا نهائي. تم نقل اسم "الحساب" من نظرية النسب المستمرة التي درسها اليونانيون القدماء.

هذا تسلسل رقمي، كل عضو فيه يساوي الرقم السابق مضافًا إلى نفس الرقم. يُسمى هذا الرقم بفارق التقدم الحسابي ويتم تحديده.

حاول تحديد التسلسلات الرقمية التي تعتبر تقدمًا حسابيًا وأيها ليست كذلك:

أ)
ب)
ج)
د)

فهمتها؟ دعونا نقارن إجاباتنا:
يكونالتقدم الحسابي - ب، ج.
ليسالتقدم الحسابي - أ، د.

دعنا نعود إلى التقدم المعطى () ونحاول إيجاد قيمة الحد العاشر الخاص به. موجود اثنينطريقة للعثور عليه.

1. الطريقة

يمكننا إضافة رقم التقدم إلى القيمة السابقة حتى نصل إلى الحد الرابع من التقدم. من الجيد أنه ليس لدينا الكثير لتلخيصه - ثلاث قيم فقط:

لذا فإن الحد العاشر للتقدم الحسابي الموصوف يساوي.

2. الطريقة

ماذا لو أردنا إيجاد قيمة الحد العاشر للتقدم؟ سيستغرق الجمع منا أكثر من ساعة، وليس حقيقة أننا لن نرتكب أخطاء عند جمع الأرقام.
بالطبع، توصل علماء الرياضيات إلى طريقة ليس من الضروري فيها إضافة فرق التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة. ألق نظرة فاحصة على الصورة المرسومة... بالتأكيد قد لاحظت بالفعل نمطًا معينًا، وهو:

على سبيل المثال، دعونا نرى مما تتكون قيمة الحد العاشر من هذه التقدم الحسابي:


بعبارة أخرى:

حاول العثور على قيمة عضو في تقدم حسابي معين بنفسك بهذه الطريقة.

هل قمت بالحساب؟ قارن ملاحظاتك بالإجابة:

يرجى ملاحظة أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة، عندما قمنا بإضافة شروط التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة بشكل تسلسلي.
دعونا نحاول "تجريد الشخصية" هذه الصيغة- لنحضرها إلى الشكل العامونحصل على:

معادلة التقدم الحسابي.

يمكن أن تكون التقدمات الحسابية متزايدة أو متناقصة.

في ازدياد- التقدم الذي تكون فيه كل قيمة لاحقة للمصطلحات أكبر من القيمة السابقة.
على سبيل المثال:

تنازلي- التتابعات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للمصطلحات أقل من القيمة السابقة.
على سبيل المثال:

يتم استخدام الصيغة المشتقة في حساب الحدود في كل من الحدود المتزايدة والمتناقصة للتقدم الحسابي.
دعونا نتحقق من هذا في الممارسة العملية.
لقد حصلنا على تقدم حسابي يتكون من الأرقام التالية: دعونا نتحقق من الرقم الذي سيكون عليه هذا التقدم الحسابي إذا استخدمنا صيغتنا لحسابه:

منذ ذلك الحين:

وهكذا، نحن مقتنعون بأن الصيغة تعمل في كل من التقدم الحسابي المتناقص والمتزايد.
حاول العثور على الحدين العاشر والخامس لهذا التقدم الحسابي بنفسك.

دعونا نقارن النتائج:

خاصية التقدم الحسابي

دعونا نعقد المشكلة - سنستمد خاصية التقدم الحسابي.
لنفترض أن لدينا الشرط التالي:
- التقدم الحسابي، العثور على القيمة.
من السهل أن تقول وتبدأ في العد وفقًا للصيغة التي تعرفها بالفعل:

دعونا آه إذن:

صح تماما. اتضح أننا نجده أولاً ثم نضيفه إلى الرقم الأول ونحصل على ما نبحث عنه. إذا تم تمثيل التقدم بقيم صغيرة، فلا يوجد شيء معقد في الأمر، ولكن ماذا لو تم إعطاؤنا أرقامًا في الشرط؟ موافق، هناك احتمال ارتكاب خطأ في الحسابات.
فكر الآن فيما إذا كان من الممكن حل هذه المشكلة في خطوة واحدة باستخدام أي صيغة؟ بالطبع نعم، وهذا ما سنحاول إبرازه الآن.

لنشير إلى الحد المطلوب للمتتابعة الحسابية، فصيغة إيجاده معروفة لدينا، وهي نفس الصيغة التي استنتجناها في البداية:
، ثم:

• المصطلح السابق للتقدم هو:
• المصطلح التالي للتقدم هو:

دعونا نلخص المصطلحات السابقة واللاحقة للتقدم:

اتضح أن مجموع الحدود السابقة واللاحقة للتقدم هو القيمة المزدوجة لمصطلح التقدم الموجود بينهما. وبعبارة أخرى، للعثور على قيمة مصطلح التقدم مع القيم السابقة والمتعاقبة المعروفة، تحتاج إلى إضافتها والقسمة عليها.

هذا صحيح، لقد حصلنا على نفس الرقم. دعونا تأمين المواد. احسب قيمة التقدم بنفسك، فالأمر ليس بالأمر الصعب على الإطلاق.

أحسنت! أنت تعرف كل شيء تقريبًا عن التقدم! يبقى أن نكتشف صيغة واحدة فقط، والتي، وفقًا للأسطورة، تم استخلاصها بسهولة من قبل أحد أعظم علماء الرياضيات في كل العصور، "ملك علماء الرياضيات" - كارل غاوس...

عندما كان كارل جاوس يبلغ من العمر 9 سنوات، سأل المعلم، المنشغل بفحص عمل الطلاب في الفصول الأخرى، المشكلة التالية في الفصل: "احسب مجموع كل الأعداد الطبيعيةمن إلى (وفقا لمصادر أخرى تصل إلى) شاملا. تخيل مفاجأة المعلم عندما أعطى أحد طلابه (كان هذا كارل غاوس) بعد دقيقة واحدة الإجابة الصحيحة على المهمة، في حين أن معظم زملاء الفصل المتهورين، بعد حسابات طويلة، حصلوا على نتيجة خاطئة...

لاحظ الشاب كارل غاوس نمطًا معينًا يمكنك ملاحظته بسهولة أيضًا.
لنفترض أن لدينا تقدمًا حسابيًا يتكون من حدود -th: نحتاج إلى إيجاد مجموع هذه الحدود للتقدم الحسابي. بالطبع، يمكننا جمع كل القيم يدويًا، لكن ماذا لو كانت المهمة تتطلب إيجاد مجموع حدودها، كما كان غاوس يبحث عنها؟

دعونا تصور التقدم المعطى لنا. ألق نظرة فاحصة على الأرقام المميزة وحاول إجراء عمليات رياضية مختلفة باستخدامها.


هل جربته؟ ماذا لاحظت؟ يمين! مجموعهما متساويان

أخبرني الآن، كم عدد هذه الأزواج الموجودة إجمالاً في التقدم الممنوح لنا؟ بالطبع، بالضبط نصف جميع الأرقام، وهذا هو.
بناءً على حقيقة أن مجموع حدين من المتتابعة الحسابية متساويان، والأزواج المتشابهة متساوية، نحصل على أن المجموع الإجمالي يساوي:
.
وبالتالي، فإن صيغة مجموع الحدود الأولى لأي تقدم حسابي ستكون:

في بعض المسائل لا نعرف الحد الرابع، ولكننا نعرف الفرق في التقدم. حاول استبدال صيغة الحد الـ في صيغة المجموع.
على ماذا حصلت؟

أحسنت! الآن دعنا نعود إلى المشكلة التي تم طرحها على كارل غاوس: احسب بنفسك ما يساوي مجموع الأرقام التي تبدأ من الرقم ومجموع الأرقام التي تبدأ من الرقم.

كم لم تحصل عليه؟
وجد غاوس أن مجموع الحدود متساوي، ومجموع الحدود. هل هذا ما قررته؟

في الواقع، تم إثبات صيغة مجموع شروط التقدم الحسابي من قبل العالم اليوناني القديم ديوفانتوس في القرن الثالث، وطوال هذا الوقت، استفاد الأشخاص الأذكياء من خصائص التقدم الحسابي بشكل كامل.
على سبيل المثال، تخيل مصر القديمةوأكبر مشروع بناء في ذلك الوقت - بناء الهرم... والصورة تظهر أحد جوانبه.

تقول أين التقدم هنا؟ انظر بعناية وابحث عن نمط في عدد الكتل الرملية في كل صف من جدار الهرم.


لماذا لا يكون التقدم الحسابي؟ احسب عدد الكتل اللازمة لبناء جدار واحد إذا تم وضع الطوب في القاعدة. أتمنى ألا تقوم بالعد أثناء تحريك إصبعك عبر الشاشة، هل تتذكر الصيغة الأخيرة وكل ما قلناه عن التقدم الحسابي؟

في هذه الحالة، يبدو التقدم كما يلي: .
فرق التقدم الحسابي.
عدد حدود التقدم الحسابي.
لنستبدل بياناتنا في الصيغ الأخيرة (احسب عدد الكتل بطريقتين).

طريقة 1.

الطريقة 2.

والآن يمكنك الحساب على الشاشة: مقارنة القيم التي تم الحصول عليها مع عدد الكتل الموجودة في هرمنا. فهمتها؟ أحسنت، لقد أتقنت مجموع الحدود النونية للتقدم الحسابي.
بالطبع، لا يمكنك بناء هرم من الكتل الموجودة في القاعدة، ولكن من؟ حاول حساب عدد الطوب الرملي اللازم لبناء جدار بهذه الحالة.
هل تستطيع فعلها؟
الإجابة الصحيحة هي الكتل:

تمرين

مهام:

1. ماشا تستعد لفصل الصيف. كل يوم تقوم بزيادة عدد القرفصاء. كم مرة ستمارس ماشا تمرين القرفصاء في الأسبوع إذا كانت تمارس القرفصاء في الجلسة التدريبية الأولى؟
2. ما هو مجموع جميع الأعداد الفردية الموجودة في.
3. عند تخزين السجلات، يقوم القائمون على قطع الأشجار بتكديسها بطريقة تجعل كل منها الطبقة العليايحتوي على سجل واحد أقل من السابق. كم عدد جذوع الأشجار الموجودة في البناء الواحد، إذا كان أساس البناء عبارة عن جذوع الأشجار؟

الإجابات:

1. دعونا نحدد معلمات التقدم الحسابي. في هذه الحالة
   (الأسابيع = الأيام).

   إجابة:في غضون أسبوعين، يجب على ماشا أن تفعل القرفصاء مرة واحدة في اليوم.

2. أول رقم فردي، الرقم الأخير.
   فرق التقدم الحسابي.
   عدد الأعداد الفردية هو النصف، ومع ذلك، دعونا نتحقق من هذه الحقيقة باستخدام صيغة إيجاد الحد العاشر للتقدم الحسابي:

   الأرقام تحتوي على أرقام فردية.
   دعنا نستبدل البيانات المتاحة في الصيغة:

   إجابة:مجموع جميع الأعداد الفردية الموجودة فيه متساوي.

3. دعونا نتذكر مشكلة الأهرامات. في حالتنا، أ، نظرًا لأن كل طبقة عليا يتم تقليلها بسجل واحد، فهناك في المجمل مجموعة من الطبقات، أي.
   دعنا نستبدل البيانات في الصيغة:

   إجابة:هناك سجلات في البناء.

دعونا نلخص ذلك

1. - تسلسل رقمي يكون فيه الفرق بين الأرقام المتجاورة متساويًا ومتساويًا. يمكن أن تكون متزايدة أو متناقصة.
2. إيجاد الصيغةيُكتب الحد العاشر من المتتابعة الحسابية بالصيغة - حيث يوجد عدد الأرقام في المتتابعة الحسابية.
3. خاصية أعضاء التقدم الحسابي- - أين هو عدد الأرقام في التقدم.
4. مجموع شروط التقدم الحسابييمكن العثور عليها بطريقتين:
   
   ، أين هو عدد القيم.

المتوالية العددية. مستوى متوسط

تسلسل رقمي

دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:

يمكنك كتابة أي أرقام، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده. لكن يمكننا دائمًا أن نقول أي واحد هو الأول، وأي واحد هو الثاني، وما إلى ذلك، أي أنه يمكننا ترقيمها. وهذا مثال على تسلسل رقمي.

تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.

بمعنى آخر، يمكن ربط كل رقم بعدد طبيعي معين، وعدد فريد. ولن نخصص هذا الرقم لأي رقم آخر من هذه المجموعة.

الرقم ذو الرقم يسمى العضو العاشر في التسلسل.

عادة ما نسمي التسلسل بأكمله بحرف ما (على سبيل المثال،)، وكل عضو في هذا التسلسل هو نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو: .

من الملائم جدًا أن يتم تحديد الحد الرابع من التسلسل بواسطة صيغة ما. على سبيل المثال، الصيغة

يحدد التسلسل:

والصيغة هي التسلسل التالي:

على سبيل المثال، التقدم الحسابي هو متتابعة (الحد الأول هنا يساوي، والفرق هو). أو (، الفرق).

صيغة الحد النوني

نحن نطلق على صيغة متكررة، حيث من أجل معرفة الحد العاشر، تحتاج إلى معرفة الحد السابق أو عدة حدود سابقة:

للعثور، على سبيل المثال، على الحد العاشر للتقدم باستخدام هذه الصيغة، سيتعين علينا حساب التسعة السابقة. على سبيل المثال، السماح لها. ثم:

حسنًا، هل أصبح من الواضح الآن ما هي الصيغة؟

في كل سطر نضيف إليه مضروبًا في عدد ما. أيها؟ بسيط جدًا: هذا هو رقم العضو الحالي مطروحًا منه:

أكثر ملاءمة الآن، أليس كذلك؟ نحن نفحص:

تقرر لنفسك:

في المتوالية الحسابية، أوجد صيغة الحد النوني وأوجد الحد المائة.

حل:

الحد الأول متساوي. ماهو الفرق؟ إليك ما يلي:

(ولهذا سمي فرقا لأنه يساوي اختلاف فترات المتوالية المتعاقبة).

لذلك، الصيغة:

فإن الحد المائة يساوي:

ما هو مجموع جميع الأعداد الطبيعية من إلى؟

وفقًا للأسطورة، قام عالم الرياضيات العظيم كارل غاوس، وهو صبي يبلغ من العمر 9 سنوات، بحساب هذا المبلغ في بضع دقائق. ولاحظ أن مجموع الرقمين الأول والأخير متساوي، ومجموع الثاني وما قبل الأخير هو نفسه، ومجموع الثالث والثالث من النهاية هو نفسه، وهكذا. كم عدد هذه الأزواج في المجموع؟ هذا صحيح، بالضبط نصف عدد جميع الأرقام، أي. لذا،

الصيغة العامة لمجموع الحدود الأولى لأي تقدم حسابي ستكون:

مثال:
أوجد مجموع جميع المضاعفات المكونة من رقمين.

حل:

أول رقم من هذا القبيل هو هذا. يتم الحصول على كل رقم لاحق عن طريق إضافة الرقم السابق. وهكذا فإن الأعداد التي تهمنا تشكل متوالية حسابية مع الحد الأول والفرق.

صيغة الحد العاشر لهذا التقدم:

كم عدد المصطلحات الموجودة في التقدم إذا كان يجب أن تتكون جميعها من رقمين؟

سهل جدا: .

سيكون الفصل الأخير من التقدم متساويًا. ثم المبلغ:

إجابة: .

الآن قرر بنفسك:

1. في كل يوم يركض الرياضي أمتارًا أكثر من اليوم السابق. ما إجمالي عدد الكيلومترات التي سيجريها في الأسبوع إذا ركض كيلومترًا م في اليوم الأول؟
2. يقطع الدراج كيلومترات أكثر كل يوم مقارنة باليوم السابق. في اليوم الأول سافر كيلومترا. كم عدد الأيام التي يحتاجها للسفر لقطع كيلومتر واحد؟ ما عدد الكيلومترات التي سيقطعها في اليوم الأخير من رحلته؟
3. ينخفض ​​سعر الثلاجة في المتجر بنفس المقدار كل عام. حدد مقدار انخفاض سعر الثلاجة كل عام إذا تم طرحها للبيع مقابل روبل، وبعد ست سنوات تم بيعها مقابل روبل.

الإجابات:

1. الشيء الأكثر أهمية هنا هو التعرف على التقدم الحسابي وتحديد معالمه. في هذه الحالة (الأسابيع = الأيام). تحتاج إلى تحديد مجموع الشروط الأولى لهذا التقدم:
   .
   إجابة:
2. هنا يتم تقديمه: يجب العثور عليه.
   من الواضح أنك تحتاج إلى استخدام نفس صيغة المجموع كما في المشكلة السابقة:
   .
   استبدال القيم:

   من الواضح أن الجذر غير مناسب، لذا فإن الإجابة هي.
   لنحسب المسار الذي تم قطعه خلال اليوم الأخير باستخدام صيغة الحد العاشر:
   (كم).
   إجابة:

3. منح: . يجد: .
   لا يمكن أن يكون الأمر أبسط:
   (فرك).
   إجابة:

المتوالية العددية. باختصار عن الأشياء الرئيسية

هذا تسلسل رقمي يكون فيه الفرق بين الأرقام المتجاورة متساويًا ومتساويًا.

يمكن أن يكون التقدم الحسابي متزايدًا () ومتناقصًا ().

على سبيل المثال:

صيغة لإيجاد الحد النوني للتقدم الحسابي

يتم كتابته بواسطة الصيغة، حيث يوجد عدد الأرقام المتتالية.

خاصية أعضاء التقدم الحسابي

يتيح لك العثور بسهولة على مصطلح التقدم إذا كانت المصطلحات المجاورة له معروفة - أين يوجد عدد الأرقام في التقدم.

مجموع شروط التقدم الحسابي

هناك طريقتان لمعرفة المبلغ:

أين هو عدد القيم.

أين هو عدد القيم.

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

للنجاح اجتياز امتحان الدولة الموحدة، للقبول في الكلية بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الناس الذين تلقوا على تعليم جيد، يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يحصلوا عليها. هذه إحصائيات.

ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول تحليل تفصيلي وتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - شراء كتاب مدرسي - 499 روبية

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.

ختاماً...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

أو الحساب هو نوع من التسلسل العددي المرتب الذي يتم دراسة خصائصه دورة المدرسةالجبر. تتناول هذه المقالة بالتفصيل مسألة كيفية العثور على مجموع التقدم الحسابي.

أي نوع من التقدم هذا؟

قبل الانتقال إلى السؤال (كيفية العثور على مجموع التقدم الحسابي)، فإن الأمر يستحق فهم ما نتحدث عنه.

أي تسلسل أرقام حقيقية، والتي يتم الحصول عليها عن طريق إضافة (طرح) بعض القيمة من كل رقم سابق، تسمى التقدم الجبري (الحسابي). وهذا التعريف، عند ترجمته إلى اللغة الرياضية، يأخذ الشكل التالي:

هنا i هو الرقم التسلسلي لعنصر الصف a i. وبالتالي، بمعرفة رقم بداية واحد فقط، يمكنك بسهولة استعادة السلسلة بأكملها. تسمى المعلمة d في الصيغة فرق التقدم.

يمكن أن نبين بسهولة أن المساواة التالية تنطبق على سلسلة الأرقام قيد النظر:

أ ن = أ 1 + د * (ن - 1).

أي أنه للعثور على قيمة العنصر n بالترتيب، يجب عليك إضافة الفرق d إلى العنصر الأول a 1 n-1 مرة.

ما هو مجموع التقدم الحسابي: الصيغة

قبل إعطاء صيغة المبلغ المحدد، يجدر النظر في حالة خاصة بسيطة. بالنظر إلى تطور الأعداد الطبيعية من 1 إلى 10، عليك إيجاد مجموعها. نظرًا لوجود عدد قليل من المصطلحات في التقدم (10)، فمن الممكن حل المشكلة بشكل مباشر، أي جمع جميع العناصر بالترتيب.

ق 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

شيء واحد يستحق النظر شيء مثير للاهتمام: بما أن كل حد يختلف عن الذي يليه بنفس القيمة d = 1، فإن الجمع الزوجي للأول مع العاشر والثاني مع التاسع وهكذا يعطي نفس النتيجة. حقًا:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

كما ترون، لا يوجد سوى 5 من هذه المبالغ، أي أقل مرتين بالضبط من عدد عناصر السلسلة. ثم ضرب عدد المجاميع (5) في نتيجة كل مجموع (11) تصل إلى النتيجة التي تم الحصول عليها في المثال الأول.

إذا قمنا بتعميم هذه الحجج، يمكننا كتابة التعبير التالي:

س ن = ن * (أ 1 + أ ن) / 2.

يوضح هذا التعبير أنه ليس من الضروري على الإطلاق جمع كل العناصر الموجودة في صف واحد، بل يكفي معرفة قيمة أول a 1 وآخر n، وكذلك الرقم الإجماليشروط ن.

ويعتقد أن غاوس فكر لأول مرة في هذه المساواة عندما كان يبحث عن حل لمشكلة قدمها معلم مدرسته: جمع أول 100 عدد صحيح.

مجموع العناصر من m إلى n: الصيغة

تجيب الصيغة الواردة في الفقرة السابقة على سؤال حول كيفية العثور على مجموع التقدم الحسابي (العناصر الأولى)، ولكن في كثير من الأحيان في المسائل يكون من الضروري جمع سلسلة من الأرقام في منتصف التقدم. كيف افعلها؟

أسهل طريقة للإجابة على هذا السؤال هي من خلال النظر في المثال التالي: يجب أن يكون من الضروري العثور على مجموع الحدود من m-th إلى n-th. لحل المشكلة، يجب عليك تقديم المقطع المحدد من m إلى n من التقدم في شكل سلسلة أرقام جديدة. في مثل هذا التمثيل مسيكون المصطلح a m هو الأول، وسيتم ترقيم n-(m-1). في هذه الحالة، بتطبيق الصيغة القياسية للمجموع، سيتم الحصول على التعبير التالي:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

مثال على استخدام الصيغ

معرفة كيفية العثور على مجموع التقدم الحسابي، يجدر النظر في مثال بسيط لاستخدام الصيغ المذكورة أعلاه.

وفيما يلي تسلسل رقمي، يجب أن تجد مجموع حدوده، بدءاً من الرقم 5 وانتهاءً بالرقم 12:

تشير الأرقام المعطاة إلى أن الفرق d يساوي 3. باستخدام التعبير الخاص بالعنصر n، يمكنك العثور على قيم الحدين الخامس والثاني عشر من التقدم. اتضح:

أ 5 = أ 1 + د * 4 = -4 + 3 * 4 = 8؛

أ 12 = أ 1 + د * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

بمعرفة قيم الأرقام الموجودة في نهايات المتوالية الجبرية قيد النظر، وكذلك معرفة الأرقام الموجودة في السلسلة التي تشغلها، يمكنك استخدام صيغة المجموع الذي تم الحصول عليه في الفقرة السابقة. سوف يتحول:

ق 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

تجدر الإشارة إلى أنه يمكن الحصول على هذه القيمة بشكل مختلف: قم أولاً بالعثور على مجموع العناصر الـ 12 الأولى باستخدام الصيغة القياسية، ثم احسب مجموع العناصر الأربعة الأولى باستخدام نفس الصيغة، ثم اطرح العنصر الثاني من المجموع الأول.

يتعامل بعض الناس مع كلمة "التقدم" بحذر، باعتبارها مصطلحًا معقدًا جدًا من فروع الرياضيات العليا. وفي الوقت نفسه، فإن أبسط تقدم حسابي هو عمل عداد سيارات الأجرة (حيث لا يزال موجودا). وفهم الجوهر (وفي الرياضيات لا يوجد شيء أكثر أهمية من "فهم الجوهر") للتسلسل الحسابي ليس بالأمر الصعب، بعد تحليل بعض المفاهيم الأولية.

تسلسل الأرقام الرياضية

عادة ما يسمى التسلسل الرقمي بسلسلة من الأرقام، كل منها له رقم خاص به.

1 هو العضو الأول في التسلسل؛

و2 هو الحد الثاني من المتتابعة؛

و7 هو العضو السابع في التسلسل؛

و n هو العضو n في التسلسل؛

ومع ذلك، ليست أي مجموعة عشوائية من الأرقام والأعداد تهمنا. وسوف نركز اهتمامنا على المتتابعة العددية التي ترتبط فيها قيمة الحد النوني بعدده الترتيبي بعلاقة يمكن صياغتها رياضيا بشكل واضح. بمعنى آخر: القيمة العددية للرقم n هي إحدى وظائف n.

a هي قيمة عضو في التسلسل العددي؛

n هو رقمه التسلسلي؛

f(n) هي دالة، حيث الرقم الترتيبي في التسلسل الرقمي n هو الوسيطة.

تعريف

عادةً ما يُطلق على التقدم الحسابي اسم التسلسل العددي الذي يكون فيه كل حد لاحق أكبر (أقل) من الحد السابق بنفس الرقم. صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية هي كما يلي:

أ ن - قيمة العضو الحالي في التقدم الحسابي؛

ن+1 - صيغة الرقم التالي؛

د - الفرق (عدد معين).

من السهل تحديد أنه إذا كان الفرق موجبًا (d>0)، فإن كل عضو لاحق في السلسلة قيد النظر سيكون أكبر من العضو السابق، وسوف يتزايد هذا التقدم الحسابي.

في الرسم البياني أدناه، من السهل معرفة سبب تسمية التسلسل الرقمي بـ "تزايد".

وفي الحالات التي يكون فيها الفرق سلبيا (د<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

قيمة العضو المحددة

في بعض الأحيان يكون من الضروري تحديد قيمة أي حد تعسفي n للتقدم الحسابي. ويمكن القيام بذلك عن طريق حساب قيم جميع أعضاء المتوالية الحسابية بشكل تسلسلي، بدءاً من الأول إلى المطلوب. ومع ذلك، فإن هذا المسار ليس مقبولًا دائمًا، على سبيل المثال، إذا كان من الضروري العثور على قيمة الحد خمسة آلاف أو ثمانية ملايين. سوف تستغرق الحسابات التقليدية الكثير من الوقت. ومع ذلك، يمكن دراسة تقدم حسابي محدد باستخدام صيغ معينة. هناك أيضًا صيغة للحد النوني: يمكن تحديد قيمة أي حد من المتوالية الحسابية على أنها مجموع الحد الأول من المتتابعة مع فرق المتتابعة مضروبًا في عدد الحد المطلوب مختزلًا بمقدار واحد.

الصيغة عالمية لزيادة وخفض التقدم.

مثال لحساب قيمة مصطلح معين

دعونا نحل المشكلة التالية لإيجاد قيمة الحد النوني للتقدم الحسابي.

الحالة: يوجد تقدم حسابي مع المعلمات:

الحد الأول من التسلسل هو 3؛

الفرق في سلسلة الأرقام هو 1.2.

المهمة: تحتاج إلى إيجاد قيمة 214 مصطلحًا

الحل: لتحديد قيمة حد معين، نستخدم الصيغة:

أ(ن) = أ1 + د(ن-1)

باستبدال البيانات من بيان المشكلة في التعبير، لدينا:

أ(214) = أ1 + د(ن-1)

أ(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

الإجابة: الحد 214 من المتتابعة يساوي 258.6.

مزايا طريقة الحساب هذه واضحة - الحل بأكمله لا يستغرق أكثر من سطرين.

مجموع عدد معين من المصطلحات

في كثير من الأحيان، في سلسلة حسابية معينة، من الضروري تحديد مجموع قيم بعض قطاعاتها. للقيام بذلك، ليست هناك حاجة أيضًا لحساب قيم كل مصطلح ثم جمعها. تنطبق هذه الطريقة إذا كان عدد المصطلحات التي يجب العثور على مجموعها صغيرًا. وفي حالات أخرى، يكون من الملائم أكثر استخدام الصيغة التالية.

مجموع حدود المتتابعة الحسابية من 1 إلى n يساوي مجموع الحدين الأول والنوني مضروبًا في عدد الحد n مقسومًا على اثنين. إذا تم استبدال قيمة الحد n في الصيغة بالتعبير من الفقرة السابقة من المقالة، نحصل على:

مثال للحساب

على سبيل المثال، دعونا نحل مشكلة بالشروط التالية:

الحد الأول من المتتابعة هو صفر؛

الفرق هو 0.5.

تتطلب المشكلة تحديد مجموع حدود المتسلسلة من 56 إلى 101.

حل. دعنا نستخدم الصيغة لتحديد مقدار التقدم:

ق(ن) = (2∙أ1 + د∙(ن-1))∙ن/2

أولاً، نحدد مجموع قيم 101 حدًا للتقدم عن طريق استبدال الشروط المعطاة لمشكلتنا في الصيغة:

ق 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

من الواضح أنه من أجل معرفة مجموع شروط التقدم من 56 إلى 101، من الضروري طرح S 55 من S 101.

ق 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

وبالتالي فإن مجموع التقدم الحسابي لهذا المثال هو:

ق 101 - ق 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

مثال على التطبيق العملي للتقدم الحسابي

في نهاية المقال، نعود إلى مثال التسلسل الحسابي الوارد في الفقرة الأولى - عداد التاكسي (عداد سيارة الأجرة). دعونا نفكر في هذا المثال.

تبلغ تكلفة ركوب سيارة الأجرة (التي تشمل مسافة 3 كيلومترات) 50 روبل. يتم دفع كل كيلومتر لاحق بمعدل 22 روبل / كم. مسافة السفر 30 كم. احسب تكلفة الرحلة.

1. دعونا نتخلص من أول 3 كيلومترات، والتي يتم تضمين سعرها في تكلفة الهبوط.

30 - 3 = 27 كم.

2. الحساب الإضافي ليس أكثر من تحليل سلسلة أرقام حسابية.

رقم العضو - عدد الكيلومترات المقطوعة (مطروحًا منها الثلاثة الأولى).

قيمة العضو هو المبلغ.

الحد الأول في هذه المشكلة سيكون مساوياً لـ 1 = 50 روبل.

فرق التقدم د = 22 ص.

الرقم الذي يهمنا هو قيمة الحد (27+1) من المتتابعة الحسابية - قراءة العداد في نهاية الكيلومتر السابع والعشرين هي 27.999... = 28 كم.

أ 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

تعتمد حسابات بيانات التقويم لفترة طويلة بشكل تعسفي على صيغ تصف تسلسلات رقمية معينة. في علم الفلك، يعتمد طول المدار هندسيًا على مسافة الجسم السماوي إلى النجم. بالإضافة إلى ذلك، يتم استخدام سلاسل الأرقام المختلفة بنجاح في الإحصاء والمجالات التطبيقية الأخرى في الرياضيات.

نوع آخر من التسلسل الرقمي هو هندسي

يتميز التقدم الهندسي بمعدلات تغيير أكبر مقارنة بالتقدم الحسابي. وليس من قبيل المصادفة أنه في السياسة وعلم الاجتماع والطب، من أجل إظهار السرعة العالية لانتشار ظاهرة معينة، على سبيل المثال، مرض أثناء الوباء، يقولون إن العملية تتطور في تقدم هندسي.

يختلف الحد N من سلسلة الأرقام الهندسية عن الحد السابق من حيث أنه مضروب في بعض الأرقام الثابتة - المقام، على سبيل المثال، الحد الأول هو 1، والمقام يساوي 2، ثم:

ن=1: 1 ∙ 2 = 2

ن=2: 2 ∙ 2 = 4

ن=3: 4 ∙ 2 = 8

ن=4: 8 ∙ 2 = 16

ن=5: 16 ∙ 2 = 32،

ب ن - قيمة الحد الحالي للتقدم الهندسي؛

ب ن+1 - صيغة الحد التالي من التقدم الهندسي؛

q هو مقام التقدم الهندسي (رقم ثابت).

إذا كان الرسم البياني للتقدم الحسابي عبارة عن خط مستقيم، فإن التقدم الهندسي يرسم صورة مختلفة قليلاً:

كما هو الحال في الحساب، فإن التقدم الهندسي له صيغة لقيمة حد عشوائي. أي حد نوني من التقدم الهندسي يساوي حاصل ضرب الحد الأول ومقام التقدم إلى قوة n مخصومًا بواحد:

مثال. لدينا تقدم هندسي حيث الحد الأول يساوي 3 ومقام التقدم يساوي 1.5. دعونا نجد الحد الخامس من التقدم

ب 5 = ب 1 ∙ ف (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

يتم أيضًا حساب مجموع عدد معين من المصطلحات باستخدام صيغة خاصة. مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسي يساوي الفرق بين منتج الحد n للتقدم ومقامه والحد الأول للتقدم، مقسومًا على المقام مخفضًا بواحد:

إذا تم استبدال b n باستخدام الصيغة التي تمت مناقشتها أعلاه، فإن قيمة مجموع حدود n الأولى من سلسلة الأرقام قيد النظر سوف تأخذ الشكل:

مثال. يبدأ التقدم الهندسي بالحد الأول الذي يساوي 1. والمقام مضبوط على 3. فلنوجد مجموع الحدود الثمانية الأولى.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3280