تقدم هندسي لانهائي. التدرجات الحسابية والهندسية

تأمل الآن في مسألة تلخيص التقدم الهندسي اللانهائي. دعونا نسمي المجموع الجزئي لتقدم لانهائي معين مجموع شروطه الأولى. قم بالإشارة إلى المجموع الجزئي بالرمز

لكل تقدم لا حصر له

يمكن للمرء أن يؤلف سلسلة (لانهائية أيضًا) لمجموعها الجزئية

دع التسلسل مع زيادة غير محدودة له حدود

في هذه الحالة ، يُطلق على الرقم S ، أي حد المبالغ الجزئية للتقدم ، مجموع التقدم اللانهائي. سوف نثبت أن التدرج الهندسي المتناقص اللانهائي له دائمًا مجموع ، ونشتق صيغة لهذا المجموع (يمكننا أيضًا أن نظهر أنه بالنسبة للتقدم اللانهائي ليس له مجموع ، أو غير موجود).

نكتب التعبير عن المجموع الجزئي كمجموع أعضاء التقدم وفقًا للصيغة (91.1) وننظر في حد المجموع الجزئي عند

من نظرية البند 89 ، من المعروف أنه للتقدم المتناقص ؛ لذلك ، بتطبيق نظرية حد الفرق ، نجد

(تُستخدم القاعدة هنا أيضًا: يتم إخراج العامل الثابت من علامة الحد). تم إثبات الوجود ، وفي نفس الوقت يتم الحصول على صيغة مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي:

يمكن أيضًا كتابة المساواة (92.1) كـ

هنا قد يبدو من التناقض أن يتم تخصيص قيمة محدودة محددة جيدًا لمجموع مجموعة لا نهائية من المصطلحات.

يمكن إعطاء توضيح واضح لشرح هذا الموقف. اعتبر مربعًا ضلعًا يساوي واحدًا (الشكل 72). قسّم هذا المربع بخط أفقي إلى جزأين متساويين و الجزء العلويضعيه على القاع بحيث يتكون مستطيل من الجانبين 2 و. بعد ذلك ، نقسم النصف الأيمن من هذا المستطيل مرة أخرى إلى نصفين بخط أفقي ونربط الجزء العلوي بالجزء السفلي (كما هو موضح في الشكل 72). استمرارًا لهذه العملية ، نقوم باستمرار بتحويل المربع الأصلي بمساحة تساوي 1 إلى أشكال متساوية الحجم (تتخذ شكل سلم بخطوات رقيق).

مع استمرار لانهائي لهذه العملية ، تتحلل مساحة المربع بالكامل إلى عدد لا نهائي من المصطلحات - مناطق المستطيلات ذات القواعد التي تساوي 1 والارتفاعات. وتشكل مناطق المستطيلات تقدمًا متناقصًا لانهائيًا ، مجموعها

أي ، كما هو متوقع ، تساوي مساحة المربع.

مثال. ابحث عن مجموع التسلسلات اللانهائية التالية:

الحل أ) نلاحظ أن هذا التقدم لذلك نجد بالصيغة (92.2)

ب) هذا يعني أنه بنفس الصيغة (92.2) لدينا

ج) نجد أن هذا التقدم لذلك ، هذا التقدم ليس له مجموع.

في القسم 5 ، أظهرنا تطبيق الصيغة لمجموع شروط التقدم المتناقص بشكل لا نهائي إلى انعكاس دورية كسر عشريإلى كسر عادي.

تمارين

1. مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود هو 3/5 ، ومجموع حدوده الأربعة الأولى هو 13/27. أوجد الحد الأول والمقام في التقدم.

2. أوجد أربعة أعداد تشكل تعاقبًا هندسيًا متناوبًا ، يكون فيه الحد الثاني أقل من الأول بمقدار 35 ، والثالث أكبر من الرابع بمقدار 560.

3. عرض ماذا لو تسلسل

يشكل تقدمًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي ، ثم التسلسل

لأي شكل من أشكال التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي. هل هذا التأكيد يحمل ل

اشتق معادلة حاصل ضرب شروط التقدم الهندسي.

لنفكر في سلسلة.

7 28 112 448 1792...

من الواضح تمامًا أن قيمة أي عنصر من عناصره أكبر أربع مرات من القيمة السابقة. وسائل، هذا الصفهو تقدم.

التقدم الهندسي هو سلسلة لا نهائية من الأرقام الميزة الأساسيةوهو أن الرقم التالي يتم الحصول عليه من الرقم السابق بضربه في البعض عدد معين. يتم التعبير عن هذا بالصيغة التالية.

a z +1 = a z q ، حيث z هو رقم العنصر المحدد.

وفقًا لذلك ، z ∈ N.

الفترة التي يتم فيها دراسة التقدم الهندسي في المدرسة هي الصف التاسع. ستساعدك الأمثلة على فهم المفهوم:

0.25 0.125 0.0625...

بناءً على هذه الصيغة ، يمكن العثور على مقام التقدم على النحو التالي:

لا يمكن أن تساوي q ولا b z صفرًا. أيضًا ، يجب ألا يساوي كل عنصر من عناصر التقدم صفرًا.

وفقًا لذلك ، لمعرفة الرقم التالي في المتسلسلة ، عليك ضرب الرقم الأخير في q.

لتحديد هذا التقدم ، يجب عليك تحديد العنصر الأول والمقام. بعد ذلك ، من الممكن العثور على أي من المصطلحات اللاحقة ومجموعها.

أصناف

اعتمادًا على q و a 1 ، ينقسم هذا التقدم إلى عدة أنواع:

• إذا كان كل من a 1 و q أكثر من واحد، إذن مثل هذا التسلسل هو تقدم هندسي يتزايد مع كل عنصر تالٍ. ويرد مثال على ذلك أدناه.

مثال: أ 1 = 3 ، ف = 2 - كلا المعلمتين أكبر من واحد.

ثم يمكن كتابة التسلسل العددي على النحو التالي:

3 6 12 24 48 ...

• إذا كان | q | أقل من واحد ، أي أن الضرب بواسطته يعادل القسمة ، فإن التقدم في ظروف مماثلة هو تقدم هندسي متناقص. ويرد مثال على ذلك أدناه.

مثال: a 1 = 6 ، q = 1/3 - a 1 أكبر من واحد ، q أصغر.

ثم يمكن كتابة التسلسل العددي على النحو التالي:

6 2 2/3 ... - أي عنصر المزيد من العناصر، أتبعها 3 مرات.

• متغير تسجيل. إذا كان q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

مثال: أ 1 = -3 ، ف = -2 - كلا المعلمتين أقل من صفر.

ثم يمكن كتابة التسلسل على النحو التالي:

3, 6, -12, 24,...

الصيغ

من أجل الاستخدام المريح للتعاقب الهندسي ، هناك العديد من الصيغ:

• صيغة العضو z-th. يسمح لك بحساب العنصر تحت رقم معين دون حساب الأرقام السابقة.

مثال:ف = 3, أ 1 = 4. مطلوب لحساب العنصر الرابع من التقدم.

حل:أ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• مجموع العناصر الأولى التي رقمها ض. يسمح لك بحساب مجموع كل عناصر التسلسل حتىأ ضشامل.

منذ (1-ف) في المقام ثم (1 - ف)≠ 0 ، وبالتالي فإن q لا تساوي 1.

ملاحظة: إذا كانت q = 1 ، فسيكون التقدم سلسلة من رقم متكرر بلا حدود.

مجموع التقدم الهندسي ، أمثلة:أ 1 = 2, ف= -2. احسب S 5.

حل:س 5 = 22 - الحساب بالصيغة.

• المبلغ إذا |ف| < 1 и если z стремится к бесконечности.

مثال:أ 1 = 2 , ف= 0.5. أوجد المبلغ.

حل:س = 2 · = 4

س = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

بعض الخصائص:

• خاصية مميزة. إذا كان الشرط التالي أداؤها لأيض، فإن سلسلة الأرقام المعطاة هي تسلسل هندسي:

أ ض 2 = أ ض -1 · أض + 1

• أيضًا ، يمكن العثور على مربع أي رقم من التقدم الهندسي عن طريق إضافة مربعات أي رقمين آخرين في سلسلة معينة ، إذا كانت متساوية البعد عن هذا العنصر.

أ ض 2 = أ ض - ر 2 + أ ض + ر 2 ، أينرهي المسافة بين هذه الأرقام.

• عناصرتختلف في فمرة واحدة.
• تشكل لوغاريتمات عناصر التقدم أيضًا تقدمًا ، ولكن بالفعل حسابيًا ، أي أن كل منها أكبر من سابقتها برقم معين.

أمثلة لبعض المشاكل الكلاسيكية

لفهم ماهية التقدم الهندسي بشكل أفضل ، يمكن أن تساعد الأمثلة مع حل للصف 9.

• شروط:أ 1 = 3, أ 3 = 48. بحثف.

الحل: كل عنصر تالٍ أكبر من العنصر السابق فيف مرة واحدة.من الضروري التعبير عن بعض العناصر من خلال البعض الآخر باستخدام المقام.

لذلك،أ 3 = ف 2 · أ 1

عند الاستبدالف= 4

• شروط:أ 2 = 6, أ 3 = 12. احسب S 6.

حل:للقيام بذلك ، يكفي إيجاد العنصر الأول q واستبداله في الصيغة.

أ 3 = ف· أ 2 ، لذلك،ف= 2

أ 2 = ف أ 1 ،لهذا أ 1 = 3

ق 6 = 189

• · أ 1 = 10, ف= -2. ابحث عن العنصر الرابع من التقدم.

الحل: للقيام بذلك يكفي التعبير عن العنصر الرابع بالعنصر الأول ومن خلال المقام.

أ 4 = ف 3· أ 1 = -80

مثال تطبيقى:

• قام عميل البنك بإيداع مبلغ 10000 روبل ، بموجب شروطه ، سيضيف العميل كل عام 6 ٪ منه إلى المبلغ الأساسي. كم من المال سيكون في الحساب بعد 4 سنوات؟

الحل: المبلغ الأولي 10 آلاف روبل. لذلك ، بعد عام من الاستثمار ، سيكون للحساب مبلغ يساوي 10000 + 10000 · 0.06 = 10000 1.06

وفقًا لذلك ، سيتم التعبير عن المبلغ في الحساب بعد عام آخر على النحو التالي:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

أي كل عام يزيد المبلغ بمقدار 1.06 مرة. هذا يعني أنه من أجل العثور على مبلغ الأموال في الحساب بعد 4 سنوات ، يكفي إيجاد العنصر الرابع من التقدم ، والذي يُعطى بواسطة العنصر الأول الذي يساوي 10 آلاف ، والمقام يساوي 1.06.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

أمثلة على المهام لحساب المجموع:

في مشاكل مختلفة ، يتم استخدام التقدم الهندسي. يمكن إعطاء مثال لإيجاد المجموع على النحو التالي:

أ 1 = 4, ف= 2 احسبS5.

الحل: جميع البيانات اللازمة للحساب معروفة ، ما عليك سوى استبدالها في الصيغة.

س 5 = 124

• أ 2 = 6, أ 3 = 18. احسب مجموع العناصر الستة الأولى.

حل:

جيوم. التقدم ، كل عنصر تالي q مرة أكبر من العنصر السابق ، أي لحساب المجموع ، تحتاج إلى معرفة العنصرأ 1 والمقامف.

أ 2 · ف = أ 3

ف = 3

وبالمثل ، نحن بحاجة إلى إيجادأ 1 ، معرفةأ 2 وف.

أ 1 · ف = أ 2

أ 1 =2

س 6 = 728.

إذا كان كل عدد طبيعي ن تطابق رقم حقيقي أ ، ثم يقولون ذلك معطى تسلسل رقمي :

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ , . . . .

لذا ، فإن المتتالية العددية هي دالة للحجة الطبيعية.

رقم أ 1 مُسَمًّى أول عضو في التسلسل ، رقم أ 2 — العضو الثاني في التسلسل ، رقم أ 3 — ثالث وما إلى ذلك وهلم جرا. رقم أ مُسَمًّى العضو التاسع في التسلسل والعدد الطبيعي ن — رقمه .

من عضوين متجاورين أ و أ +1 تسلسل الأعضاء أ +1 مُسَمًّى تالي (تجاه أ )، أ أ — سابق (تجاه أ +1 ).

لتحديد تسلسل ، يجب عليك تحديد طريقة تسمح لك بالعثور على عضو تسلسل بأي رقم.

غالبًا ما يتم إعطاء التسلسل بـ صيغ المصطلح التاسع ، أي صيغة تسمح لك بتحديد عضو التسلسل برقمه.

على سبيل المثال،

يمكن إعطاء تسلسل الأرقام الفردية الموجبة بواسطة الصيغة

أ= 2ن- 1,

وتسلسل التناوب 1 و -1 - معادلة

بن = (-1)ن +1 . ◄

يمكن تحديد التسلسل الصيغة المتكررة, أي صيغة تعبر عن أي عضو في التسلسل ، بدءًا من بعض ، مرورًا بالعضو السابق (واحد أو أكثر).

على سبيل المثال،

لو أ 1 = 1 ، أ أ +1 = أ + 5

أ 1 = 1,

أ 2 = أ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

أ 3 = أ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

أ 4 = أ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

أ 5 = أ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

لو أ 1= 1, أ 2 = 1, أ +2 = أ + أ +1 , ثم يتم تعيين الأعضاء السبعة الأولى من التسلسل العددي على النحو التالي:

أ 1 = 1,

أ 2 = 1,

أ 3 = أ 1 + أ 2 = 1 + 1 = 2,

أ 4 = أ 2 + أ 3 = 1 + 2 = 3,

أ 5 = أ 3 + أ 4 = 2 + 3 = 5,

أ 6 = أ 4 + أ 5 = 3 + 5 = 8,

أ 7 = أ 5 + أ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

يمكن أن تكون التسلسلات أخير و بلا نهاية .

التسلسل يسمى ذروة إذا كان لديها عدد محدود من الأعضاء. التسلسل يسمى بلا نهاية إذا كان لديه عدد لا نهائي من الأعضاء.

على سبيل المثال،

تسلسل الأعداد الطبيعية المكونة من رقمين:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

أخير.

تسلسل الرقم الأولي:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بلا نهاية. ◄

التسلسل يسمى في ازدياد ، إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أكبر من السابق.

التسلسل يسمى يتضاءل ، إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أقل من السابق.

على سبيل المثال،

2, 4, 6, 8, . . . , 2ن, . . . هو تسلسل تصاعدي

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ن, . . . هو تسلسل تنازلي. ◄

يتم استدعاء التسلسل الذي لا تنقص عناصره مع زيادة العدد ، أو على العكس من ذلك لا يزيد تسلسل رتيب .

التسلسلات الأحادية ، على وجه الخصوص ، هي زيادة في التسلسل وتناقص التسلسلات.

المتوالية العددية

المتوالية العددية يسمى التسلسل ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العنصر السابق ، الذي يضاف إليه نفس الرقم.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ, . . .

هو تقدم حسابي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

أ +1 = أ + د,

أين د - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن الفرق بين الأعضاء التاليين والسابقين من معين المتوالية العدديةدائما ثابت:

أ 2 - أ 1 = أ 3 - أ 2 = . . . = أ +1 - أ = د.

رقم د مُسَمًّى الفرق في التقدم الحسابي.

لضبط التقدم الحسابي ، يكفي تحديد المصطلح الأول والاختلاف.

على سبيل المثال،

لو أ 1 = 3, د = 4 ، ثم تم العثور على المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

أ 1 =3,

أ 2 = أ 1 + د = 3 + 4 = 7,

أ 3 = أ 2 + د= 7 + 4 = 11,

أ 4 = أ 3 + د= 11 + 4 = 15,

أ 5 = أ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

للتقدم الحسابي مع الفصل الأول أ 1 والاختلاف د ها ن

أ = أ 1 + (ن- 1)د.

على سبيل المثال،

أوجد الحد الثلاثين من التقدم الحسابي

1, 4, 7, 10, . . .

أ 1 =1, د = 3,

أ 30 = أ 1 + (30 - 1)د = 1 + 29· 3 = 88. ◄

أ ن -1 = أ 1 + (ن- 2)د،

أ= أ 1 + (ن- 1)د،

أ +1 = أ 1 + اختصار الثاني,

ثم من الواضح

أ=	أ ن -1 + أ ن + 1
	2

كل عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين.

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية في بعض التدرجات الحسابية إذا وفقط إذا كان أحدها مساويًا للمتوسط ​​الحسابي للاثنين الآخرين.

على سبيل المثال،

أ = 2ن- 7 ، هو تقدم حسابي.

دعنا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:

أ = 2ن- 7,

أ ن -1 = 2(ن- 1) - 7 = 2ن- 9,

أ ن + 1 = 2(ن + 1) - 7 = 2ن- 5.

لذلك،

أ ن + 1 + أ ن -1	=	2ن- 5 + 2ن- 9	= 2ن- 7 = أ,
2		2

◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على العضو -th في التقدم الحسابي ليس فقط من خلال أ 1 ، ولكن أيضًا أي سابقة أ ك

أ = أ ك + (ن- ك)د.

على سبيل المثال،

ل أ 5 يمكن أن تكون مكتوبة

أ 5 = أ 1 + 4د,

أ 5 = أ 2 + 3د,

أ 5 = أ 3 + 2د,

أ 5 = أ 4 + د. ◄

أ = أ ن ك + دينار كويتي,

أ = أ ن + ك - دينار كويتي,

ثم من الواضح

أ=	أ ن ك + أ ن + ك
	2

أي عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثانية ، يساوي نصف مجموع أعضاء هذا التقدم الحسابي على مسافات متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم حسابي ، فإن المساواة صحيحة:

أ م + أ ن = أ ك + ل,

م + ن = ك + ل.

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي

1) أ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (أ 9 + أ 11 )/2;

2) 28 = أ 10 = أ 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ؛

3) أ 10= 28 = (19 + 37)/2 = (أ 7 + أ 13)/2;

4) أ 2 + أ 12 = أ 5 + أ 9, لأن

أ 2 + أ 12= 4 + 34 = 38,

أ 5 + أ 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= أ 1 + أ 2 + أ 3 +. . .+ أ,

أولاً ن أعضاء التقدم الحسابي يساوي حاصل ضرب نصف مجموع الحدود القصوى بعدد المصطلحات:

من هذا ، على وجه الخصوص ، يترتب على ذلك إذا كان من الضروري جمع الشروط

أ ك, أ ك +1 , . . . , أ,

ثم تحتفظ الصيغة السابقة بهيكلها:

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

س 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = س 10 - س 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

إذا تم إعطاء تقدم حسابي ، ثم الكميات أ 1 , أ, د, نوس ن مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم ثلاث من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هاتين الصيغتين مجتمعتين في نظام من معادلتين مع مجهولين.

التقدم الحسابي هو تسلسل رتيب. حيث:

• لو د > 0 ثم يتزايد.
• لو د < 0 ثم يتناقص.
• لو د = 0 ، ثم سيكون التسلسل ثابتًا.

المتوالية الهندسية

المتوالية الهندسية يسمى التسلسل ، كل حد ، بدءًا من الثاني ، يساوي الحد السابق ، مضروبًا في نفس الرقم.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , ب ن, . . .

هو تسلسل هندسي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

ب ن +1 = ب ن · ف,

أين ف ≠ 0 - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن نسبة الحد التالي من هذا التقدم الهندسي إلى الحد السابق هي رقم ثابت:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = ب ن +1 / ب ن = ف.

رقم ف مُسَمًّى مقام التقدم الهندسي.

لضبط التقدم الهندسي ، يكفي تحديد المصطلح الأول والمقام.

على سبيل المثال،

لو ب 1 = 1, ف = -3 ، ثم تم العثور على المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · ف = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · ف= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · ف= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · ف= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 والمقام ف ها ن يمكن العثور على المصطلح الثالث بالصيغة:

ب ن = ب 1 · ف ن -1 .

على سبيل المثال،

أوجد الحد السابع للتقدم الهندسي 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, ف = 2,

ب 7 = ب 1 · ف 6 = 6 1 2 = 64. ◄

مليار - 1 = ب 1 · ف ن -2 ,

ب ن = ب 1 · ف ن -1 ,

ب ن +1 = ب 1 · ف ن,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن -1 · ب ن +1 ,

كل عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الهندسي (النسبي) للأعضاء السابقين واللاحقين.

نظرًا لأن العكس صحيح أيضًا ، فإن التأكيد التالي ينطبق:

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية لبعض التقدم الهندسي إذا وفقط إذا كان مربع أحدهما مساويًا لمنتج الرقمين الآخرين ، أي أن أحد الأرقام هو المتوسط ​​الهندسي للاثنين الآخرين.

على سبيل المثال،

دعونا نثبت أن التسلسل المعطى بالصيغة ب ن= -3 2 ن ، هو تقدم هندسي. دعنا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:

ب ن= -3 2 ن,

ب ن -1 = -3 2 ن -1 ,

ب ن +1 = -3 2 ن +1 .

لذلك،

ب ن 2 = (-3 2 ن) 2 = (-3 2 ن -1 ) (-3 2 ن +1 ) = ب ن -1 · ب ن +1 ,

مما يثبت التأكيد المطلوب. ◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على مصطلح التقدم الهندسي ليس فقط من خلال ب 1 ، ولكن أيضًا أي مصطلح سابق ب ك ، حيث يكفي استخدام الصيغة

ب ن = ب ك · ف ن - ك.

على سبيل المثال،

ل ب 5 يمكن أن تكون مكتوبة

ب 5 = ب 1 · ف 4 ,

ب 5 = ب 2 · ف 3,

ب 5 = ب 3 · q2,

ب 5 = ب 4 · ف. ◄

ب ن = ب ك · ف ن - ك,

ب ن = ب ن - ك · ف ك,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن - ك· ب ن + ك

مربع أي عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي حاصل ضرب أعضاء هذا التقدم على مسافة متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم هندسي ، فإن المساواة صحيحة:

بي ام· ب ن= ب ك· ب ل,

م+ ن= ك+ ل.

على سبيل المثال،

أضعافا مضاعفة

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · ف 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , لأن

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + ب ن

أولاً ن أعضاء متتالية هندسية ذات قاسم ف ≠ 0 محسوبة بالصيغة:

وعندما ف = 1 - حسب الصيغة

S n= n.b. 1

لاحظ أنه إذا احتجنا إلى جمع الشروط

ب ك, ب ك +1 , . . . , ب ن,

ثم يتم استخدام الصيغة:

S n- ك -1 = ب ك + ب ك +1 + . . . + ب ن = ب ك ·	1 - ف ن - ك +1	.
	1 - ف

على سبيل المثال،

أضعافا مضاعفة 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

س 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = س 10 - س 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

إذا تم إعطاء تسلسل هندسي ، ثم الكميات ب 1 , ب ن, ف, نو S n مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم أي من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هاتين الصيغتين مجتمعتين في نظام من معادلتين مع مجهولين.

للتقدم الهندسي مع المصطلح الأول ب 1 والمقام ف ما يلي يحدث خصائص الرتابة :

• يتزايد التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و ف> 1;

ب 1 < 0 و 0 < ف< 1;

• يتناقص التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و 0 < ف< 1;

ب 1 < 0 و ف> 1.

لو ف< 0 ، ثم يكون التقدم الهندسي متناوبًا مع الإشارة: فحدوده الفردية لها نفس علامة الحد الأول ، والشروط ذات الأرقام الزوجية لها علامة معاكسة. من الواضح أن التقدم الهندسي المتناوب ليس رتيبًا.

منتج أول ن يمكن حساب شروط التقدم الهندسي بالصيغة:

ص ن= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · ب ن = (ب 1 · ب ن) ن / 2 .

على سبيل المثال،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

تقليل التقدم الهندسي بلا حدود

تقليل التقدم الهندسي بلا حدود يسمى التقدم الهندسي اللانهائي الذي يكون معامل قاسمه أقل من 1 ، إنه

|ف| < 1 .

لاحظ أن التدرج الهندسي المتناقص بشكل غير محدود قد لا يكون تسلسلاً تنازليًا. هذا يناسب القضية

1 < ف< 0 .

مع هذا المقام ، فإن التسلسل هو إشارة بالتناوب. على سبيل المثال،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي اسم الرقم الذي حصل عليه مجموع الأول ن من حيث التقدم مع زيادة غير محدودة في العدد ن . هذا الرقم دائمًا محدود ويتم التعبير عنه بالصيغة

س= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . =	ب 1	.
	1 - ف

على سبيل المثال،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

العلاقة بين التدرجات الحسابية والهندسية

يرتبط التعاقب الحسابي والهندسي ارتباطًا وثيقًا. لنفكر في مثالين فقط.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . د ، الذي - التي

ب أ 1 , ب أ 2 , ب أ 3 , . . . ب د .

على سبيل المثال،

1, 3, 5, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم ف ، الذي - التي

سجل ب 1, سجل أ ب 2, تسجيل ب 3, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف تسجيل أف .

على سبيل المثال،

2, 12, 72, . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم 6 و

إل جي 2, إل جي 12, إل جي 72, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف إل جي 6 . ◄

التدرجات الحسابية والهندسية

المعلومات النظرية

المعلومات النظرية

	المتوالية العددية	المتوالية الهندسية
تعريف	المتوالية العددية أيسمى التسلسل ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العضو السابق ، مضافًا بنفس الرقم د (د- فرق التقدم)	المتوالية الهندسية ب نيتم استدعاء سلسلة من الأرقام غير الصفرية ، كل مصطلح ، بدءًا من الثاني ، يساوي المصطلح السابق مضروبًا في نفس الرقم ف (ف- قاسم التقدم)
الصيغة المتكررة	لأي طبيعي ن أ ن + 1 = أ ن + د	لأي طبيعي ن ب ن + 1 = ب ن ∙ ف ، ب ن ≠ 0
صيغة مصطلح nth	أ ن = أ 1 + د (ن - 1)	ب ن \ u003d ب 1 ∙ ف ن - 1 ، ب ن ≠ 0
خاصية مميزة
مجموع أول n حد

أمثلة على المهام مع التعليقات

التمرين 1

في التقدم الحسابي ( أ) أ 1 = -6, أ 2

وفقًا لصيغة المصطلح التاسع:

أ 22 = أ 1+ د (22-1) = أ 1+ 21 د

حسب الشرط:

أ 1= -6 ، إذن أ 22= -6 + 21 د.

من الضروري إيجاد اختلاف التعاقب:

د = أ 2 - أ 1 = -8 – (-6) = -2

أ 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

إجابة : أ 22 = -48.

المهمة 2

أوجد الحد الخامس للتقدم الهندسي: -3؛ 6 ؛ ....

الطريقة الأولى (باستخدام صيغة n-term)

وفقًا لصيغة العضو n من التقدم الهندسي:

ب 5 \ u003d ب 1 ∙ س 5-1 = ب 1 ∙ ف 4.

لأن ب 1 = -3,

الطريقة الثانية (باستخدام الصيغة العودية)

بما أن مقام التقدم هو -2 (q = -2) ، إذن:

ب 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ب 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ب 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

إجابة : ب 5 = -48.

المهمة 3

في التقدم الحسابي ( أ ن) أ 74 = 34; أ 76= 156. أوجد الفصل الخامس والسبعين من هذا التقدم.

للتقدم الحسابي ، يكون للخاصية المميزة الشكل .

لذلك:

.

استبدل البيانات الموجودة في الصيغة:

الجواب: 95.

المهمة 4

في التقدم الحسابي ( أ ن) أ ن= 3n - 4. أوجد مجموع أول سبعة عشر حدًا.

لإيجاد مجموع أول n من المصطلحات للتقدم الحسابي ، يتم استخدام صيغتين:

.

أي منهم أكثر ملاءمة للتطبيق في هذه الحالة؟

حسب الشرط ، تُعرف صيغة العضو التاسع في التقدم الأصلي ( أ) أ= 3n - 4. يمكن العثور عليها على الفور و أ 1، و أ 16دون أن يجد د. لذلك ، نستخدم الصيغة الأولى.

الجواب: 368.

المهمة 5

في التقدم الحسابي أ) أ 1 = -6; أ 2= -8. أوجد الحد الثاني والعشرين من التقدم.

وفقًا لصيغة المصطلح التاسع:

أ 22 = أ 1 + د (22 – 1) = أ 1+ 21 د.

حسب الشرط ، إذا أ 1= -6 ، إذن أ 22= -6 + 21 د. من الضروري إيجاد اختلاف التعاقب:

د = أ 2 - أ 1 = -8 – (-6) = -2

أ 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

إجابة : أ 22 = -48.

المهمة 6

يتم تسجيل عدة مصطلحات متتالية للتقدم الهندسي:

أوجد مصطلح التقدم ، المشار إليه بالحرف x.

عند الحل ، نستخدم صيغة الحد النوني ب n \ u003d ب 1 ∙ q n - 1للتعاقب الهندسي. أول عضو في التقدم. للعثور على مقام التقدم q ، عليك أن تأخذ أيًا من شروط التقدم هذه وتقسيمها على السابقة. في مثالنا ، يمكنك أخذها وتقسيمها على. نحصل على q \ u003d 3. بدلاً من n ، نعوض بـ 3 في الصيغة ، لأنه من الضروري إيجاد الحد الثالث من التقدم الهندسي المحدد.

بالتعويض عن القيم الموجودة في الصيغة ، نحصل على:

.

إجابة : .

المهمة 7

من التدرجات الحسابية التي تقدمها معادلة المصطلح التاسع ، اختر المتعاقب الذي تم استيفاء الشرط من أجله أ 27 > 9:

نظرًا لأنه يجب استيفاء الشرط المحدد للمدة 27 من التقدم ، فإننا نستبدل 27 بدلاً من n في كل من التدرجات الأربعة. في التقدم الرابع نحصل على:

.

الجواب: 4.

المهمة 8

في التقدم الحسابي أ 1= 3 ، د = -1.5. حدد أعلى قيمةن ، والتي من أجلها عدم المساواة أ > -6.

درس وعرض تقديمي حول موضوع: "التسلسل الرقمي. التقدم الهندسي"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين ، لا تنسوا ترك تعليقاتكم وملاحظاتكم واقتراحاتكم! يتم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية وأجهزة المحاكاة في المتجر الإلكتروني "Integral" للصف التاسع
القوى والجذور وظائف ورسوم بيانية

يا رفاق ، اليوم سنتعرف على نوع آخر من التقدم.
موضوع درس اليوم هو التقدم الهندسي.

المتوالية الهندسية

تعريف. يُطلق على التسلسل العددي الذي يكون فيه كل حد ، بدءًا من الثاني ، مساويًا لمنتج السابق وبعض الأرقام الثابتة ، التسلسل الهندسي.
دعونا نحدد تسلسلنا بشكل متكرر: $ b_ (1) = b $ ، $ b_ (n) = b_ (n-1) * q $ ،
حيث b و q أرقام معينة معينة. الرقم q يسمى مقام التقدم.

مثال. 1،2،4،8،16 ... التقدم الهندسي ، حيث يكون العضو الأول مساوياً لواحد ، و $ q = 2 دولار.

مثال. 8،8،8،8 ... تسلسل هندسي يكون أول حد له ثمانية ،
و $ q = 1 دولار.

مثال. 3 ، -3 ، 3 ، -3 ، 3 ... تسلسل هندسي ، مصطلحه الأول هو ثلاثة ،
و $ q = -1 دولار.

التقدم الهندسي له خصائص الرتابة.
إذا كان $ b_ (1)> 0 $ ، $ q> 1 $ ،
ثم يتزايد التسلسل.
إذا كان $ b_ (1)> 0 $ ، 0 $ يُشار إلى التسلسل عادةً على النحو التالي: $ b_ (1) ، b_ (2) ، b_ (3) ، ... ، b_ (n) ، ... $.

تمامًا كما هو الحال في التقدم الحسابي ، إذا كان عدد العناصر في التقدم الهندسي محدودًا ، فإن التقدم يسمى التقدم الهندسي المحدود.

$ b_ (1) ، b_ (2) ، b_ (3) ، ... ، b_ (n-2) ، b_ (n-1) ، b_ (n) $.
لاحظ أنه إذا كان التسلسل عبارة عن تقدم هندسي ، فإن تسلسل تربيع الحدود هو أيضًا تقدم هندسي. التسلسل الثاني له الحد الأول $ b_ (1) ^ 2 $ والمقام $ q ^ 2 $.

صيغة العضو التاسع للتقدم الهندسي

يمكن أيضًا تحديد التقدم الهندسي في شكل تحليلي. دعونا نرى كيفية القيام بذلك:
$ b_ (1) = b_ (1) $.
$ b_ (2) = b_ (1) * q $.
$ b_ (3) = b_ (2) * q = b_ (1) * q * q = b_ (1) * q ^ 2 $.
$ b_ (4) = b_ (3) * q = b_ (1) * q ^ 3 $.
$ b_ (5) = b_ (4) * q = b_ (1) * q ^ 4 $.
يمكننا بسهولة رؤية النمط: $ b_ (n) = b_ (1) * q ^ (n-1) $.
تسمى صيغتنا "صيغة العضو رقم n للتقدم الهندسي".

دعنا نعود إلى الأمثلة لدينا.

مثال. 1،2،4،8،16 ... تسلسل هندسي يساوي حده الأول واحدًا ،
و $ q = 2 دولار.
$ b_ (n) = 1 * 2 ^ (n) = 2 ^ (n-1) $.

مثال. 16،8،4،2،1،1 / 2 ... تسلسل هندسي ، مصطلحه الأول هو ستة عشر و $ q = \ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) = 16 * (\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.

مثال. 8،8،8،8 ... تقدم هندسي حيث الحد الأول هو ثمانية و $ q = 1 $.
$ b_ (n) = 8 * 1 ^ (n-1) = 8 دولارات.

مثال. 3 ، -3 ، 3 ، -3 ، 3 ... تقدم هندسي ، حده الأول هو ثلاثة و $ q = -1 $.
$ b_ (n) = 3 * (- 1) ^ (n-1) $.

مثال. بالنظر إلى التقدم الهندسي $ b_ (1) ، b_ (2) ، ... ، b_ (n) ، ... $.
أ) من المعروف أن $ b_ (1) = 6 ، q = 3 $. ابحث عن $ b_ (5) $.
ب) من المعروف أن $ b_ (1) = 6، q = 2، b_ (n) = 768 $. تجد n.
ج) من المعروف أن $ q = -2، b_ (6) = 96 $. ابحث عن $ b_ (1) $.
د) من المعروف أن $ b_ (1) = - 2، b_ (12) = 4096 $. ابحث عن q.

حل.
أ) $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 = 6 * 3 ^ 4 = 486 دولار.
ب) $ b_n = b_1 * q ^ (n-1) = 6 * 2 ^ (n-1) = 768 دولار.
$ 2 ^ (n-1) = \ frac (768) (6) = 128 $ منذ $ 2 ^ 7 = 128 => n-1 = 7 ؛ ن = 8 دولارات.
ج) $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 = b_ (1) * (- 2) ^ 5 = -32 * b_ (1) = 96 => b_ (1) = - 3 $.
د) $ b_ (12) = b_ (1) * q ^ (11) = - 2 * q ^ (11) = 4096 => q ^ (11) = - 2048 => q = -2 دولار.

مثال. الفرق بين العضوين السابع والخامس للتقدم الهندسي هو 192 ، ومجموع العضوين الخامس والسادس من التقدم هو 192. أوجد العضو العاشر في هذا التقدم.

حل.
نعلم أن: $ b_ (7) -b_ (5) = 192 $ و $ b_ (5) + b_ (6) = 192 $.
نعلم أيضًا: $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 $ ؛ $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 $ ؛ $ b_ (7) = b_ (1) * q ^ 6 $.
ثم:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 = 192 دولار.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 = 192 دولار.
حصلنا على نظام المعادلات:
$ \ start (الحالات) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = 192 \\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) = 192 \ end (الحالات) $.
معادلة ، تحصل معادلاتنا على:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 = q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 = 0 دولار.
حصلنا على حلين q: $ q_ (1) = 2، q_ (2) = - 1 $.
استبدل تباعا في المعادلة الثانية:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 = 192 => b_ (1) = 4 دولارات.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 = 192 => $ لا توجد حلول.
لقد حصلنا على ذلك: $ b_ (1) = 4 ، q = 2 $.
لنجد المصطلح العاشر: $ b_ (10) = b_ (1) * q ^ 9 = 4 * 2 ^ 9 = 2048 $.

مجموع التقدم الهندسي المحدود

افترض أن لدينا تقدمًا هندسيًا محدودًا. دعنا ، بالإضافة إلى التقدم الحسابي ، نحسب مجموع أعضائه.

لنفترض تقدمًا هندسيًا محدودًا: $ b_ (1)، b_ (2)، ...، b_ (n-1)، b_ (n) $.
دعنا نقدم الترميز لمجموع شروطه: $ S_ (n) = b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
في الحالة التي يكون فيها $ q = 1 $. جميع أعضاء التقدم الهندسي متساوون مع العضو الأول ، ومن ثم فمن الواضح أن $ S_ (n) = n * b_ (1) $.
ضع في اعتبارك الآن الحالة $ q ≠ 1 $.
اضرب المبلغ أعلاه في q.
$ S_ (n) * q = (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q = b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q = b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
ملحوظة:
$ S_ (n) = b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-S_ (n) = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) = b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) = b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) = \ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

لقد حصلنا على صيغة مجموع التقدم الهندسي المحدود.

مثال.
أوجد مجموع أول سبعة حدود للتقدم الهندسي الذي حده الأول 4 ومقامه 3.

حل.
$ S_ (7) = \ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) = 2 * (3 ^ (7) -1) = 4372 دولار.

مثال.
أوجد العضو الخامس في التقدم الهندسي المعروف: $ b_ (1) = - 3 $؛ $ b_ (n) = - 3072 $ ؛ $ S_ (ن) = - 4095 دولار.

حل.
$ b_ (n) = (- 3) * q ^ (n-1) = - 3072 دولار.
$ q ^ (n-1) = 1024 دولارًا.
$ q ^ (n) = 1024q دولار.

$ S_ (n) = \ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) = - 4095 دولار.
-4095 دولارًا أمريكيًا (q-1) = - 3 * (q ^ (n) -1) دولار أمريكي.
-4095 دولار (q-1) = - 3 * (1024q-1) دولار.
1365 ك -1365 دولارًا = 1024 ك -1 دولار.
341Q = 1364 دولارًا أمريكيًا.
q دولار = 4 دولارات.
$ b_5 = b_1 * q ^ 4 = -3 * 4 ^ 4 = -3 * 256 = -768 دولار.

خاصية مميزة للتقدم الهندسي

يا رفاق ، بالنظر إلى التقدم الهندسي. لنفكر في أعضائها الثلاثة المتتاليين: $ b_ (n-1) ، b_ (n) ، b_ (n + 1) $.
نحن نعرف ذلك:
$ \ frac (b_ (n)) (q) = b_ (n-1) $.
$ b_ (n) * q = b_ (n + 1) $.
ثم:
$ \ frac (b_ (n)) (q) * b_ (n) * q = b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
$ b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
إذا كان التقدم محدودًا ، فإن هذه المساواة تنطبق على جميع المصطلحات باستثناء الأول والأخير.
إذا لم يكن معروفًا مسبقًا أي نوع من التسلسل يحتوي على التسلسل ، ولكن من المعروف أن: $ b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
ثم يمكننا القول بأمان أن هذا تقدم هندسي.

التسلسل الرقمي هو تقدم هندسي فقط عندما يكون مربع كل من مصطلحاته مساويًا لمنتج الحدين المجاورين للتقدم. لا تنس أنه بالنسبة للتقدم المحدود ، لا يتم استيفاء هذا الشرط للمدة الأولى والأخيرة.

لنلقِ نظرة على هذه الهوية: $ \ sqrt (b_ (n) ^ (2)) = \ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $.
$ | b_ (n) | = \ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $.
$ \ sqrt (a * b) $ يسمى المتوسط ​​الهندسي لـ a و b.

يساوي مقياس أي عضو في التقدم الهندسي المتوسط ​​الهندسي للعضوين المجاورين له.

مثال.
أوجد x مثل هذا $ x + 2 ؛ 2x + 2 ؛ 3x + 3 $ كانت عبارة عن ثلاثة أعضاء متتالية للتقدم الهندسي.

حل.
دعنا نستخدم الخاصية المميزة:
$ (2x + 2) ^ 2 = (x + 2) (3x + 3) $.
4 س ^ 2 + 8 س + 4 = 3 س ^ 2 + 3 س + 6 س + 6 دولار.
$ x ^ 2-x-2 = 0 دولار.
$ x_ (1) = 2 $ و $ x_ (2) = - 1 $.
عوض بالتسلسل في التعبير الأصلي ، حلولنا:
مع $ x = 2 $ ، حصلنا على التسلسل: 4 ؛ 6 ؛ 9 هو تقدم هندسي مع $ q = 1.5 $.
مع $ x = -1 $ ، حصلنا على التسلسل: 1 ؛ 0 ؛ 0.
الإجابة: $ x = 2. $

مهام الحل المستقل

1. ابحث عن العضو الثامن الأول في التقدم الهندسي 16 ؛ -8 ؛ 4 ؛ -2 ...
2. أوجد العضو العاشر للتقدم الهندسي 11،22،44….
3. من المعروف أن $ b_ (1) = 5 ، q = 3 $. ابحث عن $ b_ (7) $.
4. من المعروف أن $ b_ (1) = 8، q = -2، b_ (n) = 512 $. تجد n.
5. أوجد مجموع أول 11 عضوًا للتقدم الهندسي 3 ؛ 12 ؛ 48….
6. أوجد x بحيث يكون $ 3x + 4؛ 2x + 4 ؛ x + 5 $ هي ثلاثة أعضاء متتالية للتقدم الهندسي.