كيف يكون د في التقدم الحسابي. صيغة العضو التاسع للتقدم الحسابي

مجموع التقدم الحسابي.

مجموع التقدم الحسابي شيء بسيط. سواء في المعنى أو في الصيغة. لكن هناك كل أنواع المهام في هذا الموضوع. من الابتدائي إلى صلب جدا.

أولاً ، دعنا نتعامل مع معنى وصيغة المجموع. وبعد ذلك سنقرر. من أجل سعادتك الخاصة.) معنى المبلغ بسيط مثل الخفض. للعثور على مجموع التقدم الحسابي ، ما عليك سوى إضافة جميع أعضائه بعناية. إذا كانت هذه المصطلحات قليلة ، يمكنك إضافتها بدون أي معادلات. ولكن إذا كان هناك الكثير أو الكثير ... الإضافة مزعجة.) في هذه الحالة ، يتم حفظ الصيغة.

صيغة المجموع بسيطة:

دعنا نتعرف على نوع الأحرف المضمنة في الصيغة. هذا سوف يوضح الكثير.

S n هو مجموع التقدم الحسابي. نتيجة الجمع الجميعأعضاء مع أولاًبواسطة آخر.انه مهم. أضف ما يصل بالضبط الجميعأعضاء على التوالي ، دون ثغرات ويقفز. وبالضبط ، بدءًا من أولاً.في مسائل مثل إيجاد مجموع المصطلحين الثالث والثامن ، أو مجموع المصطلحات من خمسة إلى عشرين ، سيكون التطبيق المباشر للصيغة محبطًا.)

أ 1 - أولاًعضو في التقدم. كل شيء واضح هنا ، إنه بسيط أولاًرقم الصف.

أ- آخرعضو في التقدم. الرقم الأخير من الصف. ليس اسمًا مألوفًا جدًا ، ولكن عند تطبيقه على المبلغ ، يكون مناسبًا جدًا. ثم سترى بنفسك.

ن هو رقم العضو الأخير. من المهم أن نفهم أن هذا الرقم في الصيغة يتطابق مع عدد المصطلحات المضافة.

دعنا نحدد المفهوم آخرعضو أ. ملء السؤال: أي نوع من الأعضاء سوف آخر،إذا أعطيت بلا نهاية المتوالية العددية?)

للحصول على إجابة موثوقة ، تحتاج إلى فهم المعنى الأساسي للتقدم الحسابي و ... قراءة المهمة بعناية!)

في مهمة إيجاد مجموع التقدم الحسابي ، يظهر المصطلح الأخير دائمًا (بشكل مباشر أو غير مباشر) ، والتي يجب أن تكون محدودة.خلاف ذلك ، كمية محددة ومحددة فقط غير موجود.بالنسبة للحل ، لا يهم نوع التقدم المعطى: محدود أو لانهائي. لا يهم كيف تُعطى: بسلسلة من الأرقام ، أو بصيغة العضو التاسع.

الشيء الأكثر أهمية هو فهم أن الصيغة تعمل من أول مصطلح للتقدم إلى المصطلح مع الرقم ن.في الواقع ، يبدو الاسم الكامل للصيغة كما يلي: مجموع أول n من المصطلحات للتقدم الحسابي.عدد هؤلاء الأعضاء الأوائل ، أي ن، يتم تحديده من خلال المهمة فقط. في المهمة ، غالبًا ما يتم تشفير كل هذه المعلومات القيمة ، نعم ... لكن لا شيء ، في الأمثلة أدناه سنكشف هذه الأسرار.)

أمثلة على المهام لمجموع التقدم الحسابي.

أولاً، معلومات مفيدة:

تتمثل الصعوبة الرئيسية في مهام مجموع التقدم الحسابي في التحديد الصحيح لعناصر الصيغة.

يقوم مؤلفو التخصيصات بتشفير هذه العناصر بالذات بخيال لا حدود له). الشيء الرئيسي هنا هو عدم الخوف. لفهم جوهر العناصر ، يكفي مجرد فك رموزها. دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة بالتفصيل. لنبدأ بمهمة تستند إلى GIA حقيقي.

1. يُعطى التقدم الحسابي بالشرط: أ ن = 2 ن -3.5. أوجد مجموع أول 10 حدود.

أحسنت. سهل.) لتحديد المبلغ وفقًا للصيغة ، ما الذي نحتاج إلى معرفته؟ أول عضو أ 1، الموسم الماضي أ، نعم رقم الفصل الأخير ن.

من أين تحصل على رقم العضو الأخير ن؟ نعم ، في نفس المكان ، في الحالة! تقول تجد المجموع أول 10 أعضاء.حسنًا ، ما هو الرقم الذي سيكون آخر،العضو العاشر؟) لن تصدقوا ، رقمه هو العاشر!) لذلك ، بدلا من أسنقوم بالتعويض في الصيغة أ 10، ولكن بدلا من ذلك ن- عشرة. مرة أخرى ، يكون عدد العضو الأخير هو نفسه عدد الأعضاء.

يبقى أن يتحدد أ 1و أ 10. يتم حساب ذلك بسهولة من خلال صيغة المصطلح n ، والذي يتم تقديمه في بيان المشكلة. لا أعرف كيف نفعل ذلك؟ قم بزيارة الدرس السابق ، بدون هذا - لا شيء.

أ 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

أ 10= 2 10 - 3.5 = 16.5

S n = ق 10.

اكتشفنا معنى جميع عناصر الصيغة لمجموع التقدم الحسابي. يبقى أن نستبدلهم ، ونحصي:

هذا كل ما في الامر. الجواب: 75.

مهمة أخرى على أساس الجماعة الإسلامية المسلحة. أكثر تعقيدًا:

2. بالنظر إلى التقدم الحسابي (أ ن) ، يكون الفرق بينهما 3.7 ؛ أ 1 \ u003d 2.3. أوجد مجموع أول 15 حدًا.

نكتب على الفور صيغة الجمع:

تسمح لنا هذه الصيغة بالعثور على قيمة أي عضو برقمه. نبحث عن بديل بسيط:

أ 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

يبقى استبدال جميع العناصر في الصيغة بمجموع التقدم الحسابي وحساب الإجابة:

الجواب: 423.

بالمناسبة ، إذا كان في صيغة الجمع بدلاً من أفقط استبدل صيغة الحد التاسع ، نحصل على:

نعطي معادلات مماثلة ، نحصل على صيغة جديدة لمجموع أعضاء التقدم الحسابي:

كما ترى ، ليست هناك حاجة المصطلح التاسع أ. في بعض المهام ، تساعد هذه الصيغة كثيرًا ، نعم ... يمكنك تذكر هذه الصيغة. ويمكنك ببساطة سحبها في الوقت المناسب ، كما هو الحال هنا. بعد كل شيء ، يجب تذكر صيغة المجموع وصيغة الحد التاسع بكل طريقة.)

الآن المهمة في شكل تشفير قصير):

3. أوجد مجموع كل موجب أرقام من رقمين، مضاعفات الثلاثة.

كيف! لا يوجد عضو أول ، لا أخير ، لا تقدم إطلاقا ... كيف تعيش !؟

سيكون عليك أن تفكر برأسك وتخرج من الشرط جميع عناصر مجموع التقدم الحسابي. ما هي الأعداد المكونة من رقمين - نعلم. إنها تتكون من رقمين.) ما العدد المكون من رقمين أولاً؟ 10 ، يفترض.) آخر شيءرقم مكون من رقمين؟ 99 بالطبع! ستتبعه الثلاثة أرقام ...

مضاعفات الثلاثة ... حسنًا ... هذه هي الأعداد التي تقبل القسمة على ثلاثة بالتساوي ، هنا! عشرة لا يقبل القسمة على ثلاثة ، و 11 لا يقبل القسمة ... 12 ... يقبل القسمة! لذا ، هناك شيء ما آخذ في الظهور. يمكنك بالفعل كتابة سلسلة حسب حالة المشكلة:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

هل ستكون هذه السلسلة تقدمًا حسابيًا؟ بالتأكيد! يختلف كل مصطلح عن السابق بدقة بمقدار ثلاثة. إذا تمت إضافة 2 أو 4 إلى المصطلح ، على سبيل المثال ، النتيجة ، أي لن يتم تقسيم الرقم الجديد على 3. يمكنك على الفور تحديد الفرق في التقدم الحسابي إلى الكومة: د = 3.مفيد!)

لذلك ، يمكننا كتابة بعض معلمات التقدم بأمان:

ماذا سيكون الرقم ناخر عضو؟ أي شخص يعتقد أن الرقم 99 هو خطأ قاتل ... الأرقام - دائمًا ما تكون متتالية ، ويقفز أعضاؤنا فوق المراكز الثلاثة الأولى. لا تتطابق.

هناك حلان هنا. طريقة واحدة هي للعمل الدؤوب الفائق. يمكنك رسم التقدم ، سلسلة الأرقام الكاملة ، وحساب عدد المصطلحات بإصبعك.) الطريقة الثانية هي للمدروس. عليك أن تتذكر صيغة الحد التاسع. إذا تم تطبيق الصيغة على مشكلتنا ، فسنحصل على أن 99 هو العضو الثلاثين في التقدم. أولئك. ن = 30.

ننظر إلى صيغة مجموع التقدم الحسابي:

نحن ننظر ونفرح.] سحبنا كل ما هو ضروري لحساب المبلغ من حالة المشكلة:

أ 1= 12.

أ 30= 99.

S n = ق 30.

ما تبقى هو الحساب الأولي. استبدل الأرقام الموجودة في الصيغة واحسب:

الجواب: 1665

نوع آخر من الألغاز المشهورة:

4. يتم إعطاء تقدم حسابي:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

أوجد مجموع الحدود من العشرين إلى الرابعة والثلاثين.

ننظر إلى صيغة المجموع و ... نحن مستاءون.) الصيغة ، دعني أذكرك ، تحسب المجموع من الأولعضو. وفي المشكلة تحتاج إلى حساب المجموع منذ العشرين ...الصيغة لن تعمل.

يمكنك ، بالطبع ، رسم التقدم بأكمله على التوالي ، ووضع الأعضاء من 20 إلى 34. لكن ... بطريقة ما اتضح أنه غبي ولفترة طويلة ، أليس كذلك؟)

هناك حل أكثر أناقة. دعنا نقسم المتسلسلة إلى جزأين. الجزء الأول سوف من الفصل الأول إلى التاسع عشر.جزء ثان - عشرين إلى أربعة وثلاثين.من الواضح أننا إذا قمنا بحساب مجموع شروط الجزء الأول ق 1-19دعنا نضيفه إلى مجموع أعضاء الجزء الثاني ق 20-34، نحصل على مجموع التقدم من الحد الأول إلى الرابع والثلاثين ق 1-34. مثله:

ق 1-19 + ق 20-34 = ق 1-34

هذا يدل على أن للعثور على المجموع ق 20-34يمكن أن يتم عن طريق الطرح البسيط

ق 20-34 = ق 1-34 - ق 1-19

يتم النظر في كلا المبلغين على الجانب الأيمن من الأولعضو ، أي صيغة المجموع القياسية تنطبق عليهم تمامًا. هل نبدأ؟

نستخرج معلمات التقدم من شرط المهمة:

د = 1.5.

أ 1= -21,5.

لحساب مجموع أول 19 حدًا وأول 34 حدًا ، سنحتاج إلى الحد التاسع عشر والرابع والثلاثين. نحسبها وفقًا لصيغة الحد التاسع ، كما في المشكلة 2:

أ 19= -21.5 + (19-1) 1.5 = 5.5

أ 34= -21.5 + (34-1) 1.5 = 28

لم يتبقى شيء. اطرح مجموع 19 مصطلحًا من مجموع 34 مصطلحًا:

ق 20-34 = ق 1-34 - ق 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

الجواب: 262.5

ملاحظة مهمة واحدة! هناك ميزة مفيدة للغاية في حل هذه المشكلة. بدلا من الحساب المباشر ماذا تحتاج (س 20-34) ،حسبنا ما يبدو أنه ليس مطلوبًا - S 1-19.ثم قرروا ق 20-34، تجاهل غير الضروري من النتيجة الكاملة. غالبًا ما تنقذ مثل هذه "الخدعة بالأذنين" في الألغاز الشريرة).

في هذا الدرس ، قمنا بفحص المشكلات التي يكفيها فهم معنى مجموع التقدم الحسابي. حسنًا ، أنت بحاجة إلى معرفة بعض الصيغ.)

نصيحة عملية:

عند حل أي مشكلة لمجموع التقدم الحسابي ، أوصي بكتابة الصيغتين الرئيسيتين على الفور من هذا الموضوع.

صيغة المصطلح التاسع:

ستخبرك هذه الصيغ على الفور بما تبحث عنه ، وفي أي اتجاه تفكر من أجل حل المشكلة. يساعد.

والآن مهام الحل المستقل.

5. أوجد مجموع كل الأعداد المكونة من رقمين والتي لا تقبل القسمة على ثلاثة.

رائع؟) التلميح مخفي في الملاحظة إلى المشكلة 4. حسنًا ، ستساعد المشكلة 3.

6. يُعطى التقدم الحسابي بالشرط: أ 1 = -5.5 ؛ أ ن + 1 = أ ن +0.5. أوجد مجموع أول 24 حدًا.

غير عادي؟) هذه صيغة متكررة. يمكنك أن تقرأ عنها في الدرس السابق. لا تتجاهل الرابط ، فغالبًا ما توجد مثل هذه الألغاز في GIA.

7. ادخر Vasya المال للعطلة. بقدر 4550 روبل! وقررت أن أمنح الشخص المحبوب (نفسي) بضعة أيام من السعادة). عش بشكل جميل دون حرمان نفسك من أي شيء. أنفق 500 روبل في اليوم الأول ، وأنفق 50 روبل في كل يوم لاحق أكثر من اليوم السابق! حتى ينفد المال. كم يوما من السعادة امتلكها فاسيا؟

هل هو صعب؟) ستساعد الصيغة الإضافية من المهمة 2.

الإجابات (في حالة فوضى): 7 ، 3240 ، 6.

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

عند دراسة الجبر في مدرسة التعليم العام(الصف 9) واحد من مواضيع مهمةهي دراسة المتواليات العددية ، والتي تشمل التعاقب - الهندسي والحسابي. في هذه المقالة ، سننظر في التقدم الحسابي والأمثلة مع الحلول.

ما هو التقدم الحسابي؟

لفهم هذا ، من الضروري إعطاء تعريف للتقدم قيد النظر ، وكذلك إعطاء الصيغ الأساسية التي سيتم استخدامها بشكل أكبر في حل المشكلات.

من المعروف أنه في بعض التدرجات الجبرية ، فإن الحد الأول يساوي 6 ، والحد السابع يساوي 18. من الضروري إيجاد الفرق وإعادة هذا التسلسل إلى الحد السابع.

دعنا نستخدم الصيغة لتحديد المصطلح غير المعروف: a n = (n - 1) * d + a 1. نستبدل البيانات المعروفة من الشرط فيها ، أي الأرقام أ 1 و 7 ، لدينا: 18 \ u003d 6 + 6 * د. من هذا التعبير ، يمكنك بسهولة حساب الفرق: d = (18-6) / 6 = 2. وبالتالي ، تمت الإجابة على الجزء الأول من المشكلة.

لاستعادة تسلسل يصل إلى 7 مصطلحات ، يجب على المرء استخدام التعريف تقدم جبري، أي 2 = أ 1 + د ، أ 3 = أ 2 + د وهكذا. نتيجة لذلك ، نستعيد التسلسل بأكمله: أ 1 = 6 ، أ 2 = 6 + 2 = 8 ، أ 3 = 8 + 2 = 10 ، أ 4 = 10 + 2 = 12 ، أ 5 = 12 + 2 = 14 ، أ 6 = 14 + 2 = 16 و 7 = 18.

المثال رقم 3: إحراز تقدم

دعونا نجعل الأمر أكثر صعوبة حالة أقوىمهام. أنت الآن بحاجة للإجابة على سؤال حول كيفية إيجاد التقدم الحسابي. يستطيع أن يقود المثال التالي: يتم إعطاء رقمين ، على سبيل المثال ، - 4 و 5. من الضروري إجراء تقدم جبري بحيث يتم وضع ثلاثة مصطلحات أخرى بينهما.

قبل البدء في حل هذه المشكلة ، من الضروري فهم المكان الذي ستشغله الأرقام المعينة في التقدم المستقبلي. نظرًا لأنه سيكون هناك ثلاثة مصطلحات أخرى بينهما ، ثم 1 \ u003d -4 و 5 \ u003d 5. بعد إثبات ذلك ، ننتقل إلى مهمة مشابهة لتلك السابقة. مرة أخرى ، بالنسبة للمصطلح n ، نستخدم الصيغة ، نحصل على: a 5 \ u003d a 1 + 4 * d. من: د \ u003d (أ 5 - أ 1) / 4 \ u003d (5 - (-4)) / 4 \ u003d 2.25. هنا لم نحصل على قيمة عددية للفرق ، لكنها كذلك رقم منطقي، لذلك تظل معادلات التقدم الجبري كما هي.

الآن دعنا نضيف الفرق الموجود إلى 1 ونستعيد الأعضاء المفقودين من التقدم. نحصل على: أ 1 = - 4 ، أ 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75 ، أ 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5 ، أ 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75 ، أ 5 = 2.75 + 2.25 = 5 ، التي تزامنت مع حالة المشكلة.

مثال رقم 4: العضو الأول في التقدم

نستمر في إعطاء أمثلة على التقدم الحسابي مع الحل. في جميع المشاكل السابقة ، كان الرقم الأول للتقدم الجبري معروفًا. فكر الآن في مشكلة من نوع مختلف: دعنا نعطي رقمين ، حيث 15 = 50 و 43 = 37. من الضروري معرفة أي رقم يبدأ هذا التسلسل.

الصيغ التي تم استخدامها حتى الآن تفترض معرفة 1 و د. لا شيء معروف عن هذه الأرقام في حالة المشكلة. ومع ذلك ، دعنا نكتب التعبيرات الخاصة بكل حد لدينا معلومات عنه: أ 15 = أ 1 + 14 * د و 43 = أ 1 + 42 * د. حصلنا على معادلتين فيهما كميتين غير معروفين (أ 1 ود). هذا يعني أن المشكلة تختزل في حل نظام المعادلات الخطية.

من الأسهل حل النظام المحدد إذا عبرت عن 1 في كل معادلة ، ثم قارنت التعبيرات الناتجة. المعادلة الأولى: أ 1 = أ 15-14 * د = 50-14 * د ؛ المعادلة الثانية: أ 1 \ u003d أ 43-42 * د \ u003d 37-42 * د. معادلة هذه التعبيرات ، نحصل على: 50 - 14 * د \ u003d 37-42 * د ، ومن هنا الفرق د \ u003d (37-50) / (42-14) \ u003d - 0.464 (معطاة فقط 3 منازل عشرية).

بمعرفة د ، يمكنك استخدام أي من التعبيرين أعلاه لـ 1. على سبيل المثال ، أولاً: أ 1 \ u003d 50-14 * د \ u003d 50-14 * (- 0.464) \ u003d 56.496.

إذا كانت هناك شكوك حول النتيجة ، فيمكنك التحقق منها ، على سبيل المثال ، تحديد العضو 43 من التقدم المحدد في الشرط. نحصل على: a 43 \ u003d a 1 + 42 * d \ u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \ u003d 37.008. يرجع الخطأ الصغير إلى حقيقة أنه تم استخدام التقريب إلى جزء من الألف في الحسابات.

المثال الخامس: المجموع

الآن دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة ذات الحلول لمجموع التقدم الحسابي.

دع التقدم العددي للشكل التالي يعطى: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ... ،. كيف تحسب مجموع 100 من هذه الأرقام؟

بفضل التطور تكنولوجيا الكمبيوتريمكنك حل هذه المشكلة ، أي جمع كل الأرقام بالتسلسل ، والتي آلة حاسبةبمجرد أن يضغط الشخص على مفتاح Enter. ومع ذلك ، يمكن حل المشكلة عقليًا إذا انتبهت إلى أن سلسلة الأرقام المقدمة هي تقدم جبري ، وفرقها هو 1. بتطبيق صيغة الجمع ، نحصل على: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

من الغريب أن نلاحظ أن هذه المشكلة تسمى "Gaussian" لأن في الثامن عشر في وقت مبكرمن القرن الماضي ، تمكن الألماني الشهير ، الذي كان لا يزال في العاشرة من عمره فقط ، من حلها في ذهنه في بضع ثوان. لم يكن الصبي يعرف صيغة مجموع التقدم الجبري ، لكنه لاحظ أنه إذا أضفت أزواجًا من الأرقام الموجودة عند أطراف المتسلسلة ، فستحصل دائمًا على نفس النتيجة ، أي 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ، وبما أن هذه المبالغ ستكون بالضبط 50 (100/2) ، إذن للحصول على الإجابة الصحيحة ، يكفي ضرب 50 في 101.

مثال رقم 6: مجموع المصطلحات من n إلى m

مثال آخر نموذجي لمجموع التقدم الحسابي هو ما يلي: بالنظر إلى سلسلة من الأرقام: 3 ، 7 ، 11 ، 15 ، ... ، تحتاج إلى إيجاد مجموع شروطه من 8 إلى 14.

تم حل المشكلة بطريقتين. يتضمن أولهما إيجاد حدود غير معروفة من 8 إلى 14 ، ثم تلخيصها بالتتابع. نظرًا لوجود عدد قليل من المصطلحات ، فإن هذه الطريقة ليست مرهقة بدرجة كافية. ومع ذلك ، يُقترح حل هذه المشكلة بالطريقة الثانية ، وهي أكثر عالمية.

الفكرة هي الحصول على صيغة لمجموع التقدم الجبري بين المصطلحين m و n ، حيث n> m هي أعداد صحيحة. في كلتا الحالتين ، نكتب تعبيرين للمجمع:

1. S م \ u003d م * (أ م + أ 1) / 2.
2. S n \ u003d n * (a n + a 1) / 2.

بما أن n> m ، فمن الواضح أن مجموع 2 يشتمل على أول واحد. الاستنتاج الأخير يعني أننا إذا أخذنا الفرق بين هذه المبالغ ، وأضفنا المصطلح a m إليه (في حالة أخذ الفرق ، يتم طرحه من مجموع S n) ، فإننا نحصل على الإجابة اللازمة للمسألة. لدينا: S mn \ u003d S n - S m + a m \ u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \ u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). من الضروري استبدال الصيغتين a n و a m في هذا التعبير. ثم نحصل على: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - م / 2) = أ 1 * (ن - م + 1) + د * ن * (ن - 1) / 2 + د * (3 * م - م 2-2) / 2.

الصيغة الناتجة مرهقة إلى حد ما ، ومع ذلك ، فإن مجموع S mn يعتمد فقط على n و m و a 1 و d. في حالتنا ، a 1 = 3 ، d = 4 ، n = 14 ، m = 8. بالتعويض عن هذه الأرقام ، نحصل على: S mn = 301.

كما يتضح من الحلول المذكورة أعلاه ، تستند جميع المشكلات إلى معرفة التعبير عن المصطلح n ومعادلة مجموع مجموعة المصطلحات الأولى. قبل البدء في حل أي من هذه المشكلات ، يوصى بقراءة الحالة بعناية ، وفهم ما تريد البحث عنه بوضوح ، وبعد ذلك فقط المضي قدمًا في الحل.

نصيحة أخرى هي أن تسعى جاهدًا إلى البساطة ، أي إذا كان بإمكانك الإجابة على السؤال دون استخدام حسابات رياضية معقدة ، فأنت بحاجة إلى القيام بذلك بالضبط ، لأنه في هذه الحالة يكون احتمال ارتكاب خطأ أقل. على سبيل المثال ، في مثال التقدم الحسابي مع الحل رقم 6 ، يمكن للمرء أن يتوقف عند الصيغة S mn \ u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m ، وانقسام المهمة الشائعةإلى مشكلات فرعية منفصلة (في هذه الحالة ، ابحث أولاً عن المصطلحين a n و a m).

إذا كانت هناك شكوك حول النتيجة التي تم الحصول عليها ، فمن المستحسن التحقق منها ، كما حدث في بعض الأمثلة المقدمة. كيف تجد التقدم الحسابي ، اكتشف. بمجرد معرفة ذلك ، لن يكون الأمر بهذه الصعوبة.

ملاحظات هامة!
1. إذا رأيت abracadabra بدلاً من الصيغ ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. كيفية القيام بذلك في متصفحك مكتوب هنا:
2. قبل أن تبدأ في قراءة المقال ، انتبه إلى الملاح الخاص بنا أكثر من غيره مورد مفيدل

تسلسل رقمي

لذلك دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:
يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك ما تريد (في حالتنا ، هم). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها ، يمكننا دائمًا تحديد أي منهم هو الأول ، وهو الثاني ، وهكذا إلى الأخير ، أي يمكننا ترقيمها. هذا مثال على تسلسل رقمي:

تسلسل رقمي
على سبيل المثال ، بالنسبة لتسلسلنا:

الرقم المخصص محدد لرقم تسلسل واحد فقط. بمعنى آخر ، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في التسلسل. الرقم الثاني (مثل الرقم -th) هو نفسه دائمًا.
الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.

عادة ما نطلق على التسلسل الكامل بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو:.

في حالتنا هذه:

لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا يكون فيه الفرق بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا.
على سبيل المثال:

إلخ.
يسمى هذا التسلسل العددي بالتقدم الحسابي.
تم تقديم مصطلح "التقدم" من قبل المؤلف الروماني بوثيوس في وقت مبكر من القرن السادس وتم فهمه بمعنى أوسع على أنه تسلسل رقمي لا نهاية له. تم نقل اسم "الحساب" من نظرية النسب المستمرة التي انخرط فيها الإغريق القدماء.

هذا تسلسل رقمي ، كل عضو فيه يساوي التسلسل السابق ، مضافًا بنفس الرقم. يسمى هذا الرقم باختلاف التقدم الحسابي ويشار إليه.

حاول تحديد التسلسلات الرقمية التي تعتبر تقدمًا حسابيًا وأيها ليست:

أ)
ب)
ج)
د)

فهمتها؟ قارن إجاباتنا:
يكونالتقدم الحسابي - ب ، ج.
ليسالتقدم الحسابي - أ ، د.

دعنا نعود إلى التقدم المعطى () ونحاول إيجاد قيمة العضو العاشر. موجود اثنينطريقة للعثور عليه.

1. الطريقة

يمكننا أن نضيف إلى القيمة السابقة لرقم التقدم حتى نصل إلى الحد العاشر من التقدم. من الجيد أنه ليس لدينا الكثير لتلخيصه - ثلاث قيم فقط:

إذن ، العضو -th في التقدم الحسابي الموصوف يساوي.

2. الطريقة

ماذا لو احتجنا لإيجاد قيمة الحد ال عشر للتقدم؟ كان الجمع سيستغرق منا أكثر من ساعة ، وليس حقيقة أننا لم نكن نرتكب أخطاء عند جمع الأرقام.
بالطبع ، توصل علماء الرياضيات إلى طريقة لا تحتاج فيها إلى إضافة فرق التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة. انظر عن كثب إلى الصورة المرسومة ... بالتأكيد لاحظت بالفعل نمطًا معينًا ، وهو:

على سبيل المثال ، دعنا نرى ما الذي يُكوِّن قيمة العضو رقم -th في هذا التقدم الحسابي:


بعبارة أخرى:

حاول أن تجد بهذه الطريقة بشكل مستقل قيمة عضو في هذا التقدم الحسابي.

محسوب؟ قارن إدخالاتك بالإجابة:

انتبه إلى أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة ، عندما أضفنا على التوالي أعضاء التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة.
دعنا نحاول "نزع الطابع الشخصي" هذه الصيغة- احضرها الى الشكل العامواحصل على:

معادلة التقدم الحسابي.

التدرجات الحسابية تتزايد أو تتناقص.

في ازدياد- التدرجات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للمصطلحات أكبر من القيمة السابقة.
على سبيل المثال:

تنازلي- التدرجات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للمصطلحات أقل من القيمة السابقة.
على سبيل المثال:

تُستخدم الصيغة المشتقة في حساب المصطلحات في كل من المصطلحات المتزايدة والمتناقصة للتقدم الحسابي.
دعنا نتحقق من ذلك في الممارسة.
يتم منحنا تقدمًا حسابيًا يتكون من الأرقام التالية:

منذ ذلك الحين:

وبالتالي ، كنا مقتنعين بأن الصيغة تعمل في تقليل التقدم الحسابي وزيادة حجمه.
حاول أن تجد العضوين -th و -th في هذا التقدم الحسابي بنفسك.

لنقارن النتائج:

خاصية التقدم الحسابي

دعونا نعقد المهمة - نشتق خاصية التقدم الحسابي.
لنفترض أننا حصلنا على الشرط التالي:
- التقدم الحسابي ، أوجد القيمة.
إنه سهل ، كما تقول ، وابدأ في العد وفقًا للصيغة التي تعرفها بالفعل:

دعونا إذن:

صح تماما. اتضح أننا وجدنا أولًا ، ثم نضيفه إلى الرقم الأول ونحصل على ما نبحث عنه. إذا تم تمثيل التقدم بقيم صغيرة ، فلا يوجد شيء معقد بشأنه ، ولكن ماذا لو تم إعطاؤنا أرقامًا في الحالة؟ موافق ، هناك احتمال لارتكاب أخطاء في الحسابات.
فكر الآن ، هل من الممكن حل هذه المشكلة في خطوة واحدة باستخدام أي صيغة؟ بالطبع ، نعم ، وسنحاول إخراجها الآن.

دعنا نشير إلى المصطلح المطلوب للتقدم الحسابي حيث أننا نعرف صيغة إيجاده - هذه هي نفس الصيغة التي اشتقناها في البداية:
، ثم:

• العضو السابق في التقدم هو:
• الفصل التالي من التقدم هو:

دعنا نلخص الأعضاء السابقين والتاليين في التقدم:

اتضح أن مجموع الأعضاء السابقين واللاحقين للتقدم هو ضعف قيمة عضو التقدم الموجود بينهما. بمعنى آخر ، من أجل العثور على قيمة عضو التقدم مع القيم المعروفة السابقة والمتتالية ، من الضروري إضافتهم والقسمة على.

هذا صحيح ، لدينا نفس الرقم. دعونا نصلح المادة. احسب قيمة التقدم بنفسك ، لأنها ليست صعبة على الإطلاق.

أحسنت! أنت تعرف كل شيء تقريبًا عن التقدم! يبقى أن نكتشف صيغة واحدة فقط ، والتي ، وفقًا للأسطورة ، واحدة من أعظم علماء الرياضيات في كل العصور ، "ملك علماء الرياضيات" - كارل غاوس ، استنتجها لنفسه بسهولة ...

عندما كان كارل غاوس في التاسعة من عمره ، كان المعلم مشغولاً بفحص عمل الطلاب في الفصول الأخرى ، وسأل المهمة التالية في الدرس: "احسب مجموع الكل الأعداد الطبيعيةمن إلى (وفقًا لمصادر أخرى حتى) شاملًا. ما كانت مفاجأة المعلم عندما أعطى أحد طلابه (كان كارل جاوس) بعد دقيقة الإجابة الصحيحة على المهمة ، بينما تلقى معظم زملائه في الصف المتهور بعد حسابات طويلة النتيجة الخاطئة ...

لاحظ Young Carl Gauss نمطًا يمكنك ملاحظته بسهولة.
لنفترض أن لدينا تقدمًا حسابيًا يتكون من -ti أعضاء: نحتاج إلى إيجاد مجموع الأعضاء المعينين للتقدم الحسابي. بالطبع ، يمكننا جمع كل القيم يدويًا ، ولكن ماذا لو احتجنا إلى إيجاد مجموع شروطها في المهمة ، كما كان يبحث عنها غاوس؟

دعونا نصور التقدم المعطى لنا. انظر عن كثب إلى الأرقام المميزة وحاول إجراء عمليات حسابية مختلفة معهم.


حاول؟ ماذا لاحظت؟ يمين! مبالغهم متساوية

أجب الآن ، كم عدد هذه الأزواج في التقدم المعطى لنا؟ بالطبع ، بالضبط نصف كل الأرقام ، هذا هو.
استنادًا إلى حقيقة أن مجموع حدين من التقدم الحسابي متساوٍ ، وأزواج متساوية متشابهة ، نحصل على أن المجموع الكلي يساوي:
.
وبالتالي ، فإن صيغة مجموع المصطلحات الأولى لأي تقدم حسابي ستكون:

في بعض المشاكل ، لا نعرف المصطلح ال ، لكننا نعرف فرق التقدم. حاول الاستعاضة في صيغة الجمع ، صيغة العضو ال.
على ماذا حصلت؟

أحسنت! الآن دعنا نعود إلى المسألة التي أعطيت لكارل غاوس: احسب بنفسك مجموع الأرقام التي تبدأ من -th ، ومجموع الأرقام التي تبدأ من -th.

كم لم تحصل عليه؟
اتضح جاوس أن مجموع المصطلحات متساوٍ ومجموع المصطلحات. هل هذه هي الطريقة التي قررت بها؟

في الواقع ، تم إثبات صيغة مجموع أعضاء التقدم الحسابي من قبل العالم اليوناني القديم ديوفانتوس في القرن الثالث ، وطوال هذا الوقت ، استخدم الأشخاص البارعون خصائص التقدم الحسابي مع القوة والرئيسية.
على سبيل المثال ، تخيل مصر القديمةوأكبر موقع بناء في ذلك الوقت - بناء هرم .. الشكل يظهر جانب واحد منه.

أين التقدم هنا تقول؟ انظر بعناية وابحث عن نمط في عدد الكتل الرملية في كل صف من جدار الهرم.


لماذا لا تقدم حسابي؟ احسب عدد الكتل اللازمة لبناء جدار واحد إذا تم وضع قوالب الطوب في القاعدة. أتمنى ألا تحسب من خلال تحريك إصبعك على الشاشة ، هل تتذكر الصيغة الأخيرة وكل ما قلناه عن التقدم الحسابي؟

في هذه الحالة ، يبدو التقدم كما يلي:
فرق التقدم الحسابي.
عدد أعضاء التقدم الحسابي.
دعنا نستبدل بياناتنا في الصيغ الأخيرة (نحسب عدد الكتل بطريقتين).

طريقة 1.

الطريقة الثانية.

والآن يمكنك أيضًا إجراء الحساب على الشاشة: قارن القيم التي تم الحصول عليها بعدد الكتل الموجودة في هرمنا. هل وافقت؟ أحسنت صنعًا ، لقد أتقنت مجموع شروط التقدم الحسابي.
طبعا لايمكنك بناء هرم من الكتل في القاعدة لكن من؟ حاول حساب عدد الطوب الرملي المطلوب لبناء جدار بهذه الحالة.
هل تستطيع فعلها؟
الجواب الصحيح هو الكتل:

تمرين

مهام:

1. ماشا تتأقلم مع الصيف. كل يوم تزيد من عدد القرفصاء. كم مرة ستجلس ماشا القرفصاء في أسابيع إذا مارست القرفصاء في التمرين الأول.
2. ما هو مجموع كل الأعداد الفردية الواردة في.
3. عند تخزين السجلات ، يقوم الحطّاب بتكديسها بطريقة تجعل كل منها الطبقة العليايحتوي على سجل واحد أقل من السابق. كم عدد السجلات الموجودة في البناء الواحد ، إذا كانت قاعدة البناء عبارة عن سجلات.

الإجابات:

1. دعونا نحدد معلمات التقدم الحسابي. في هذه الحالة
   (أسابيع = أيام).

   إجابة:في غضون أسبوعين ، يجب أن تجلس ماشا مرة واحدة في اليوم.

2. أول رقم فردي وآخر رقم.
   فرق التقدم الحسابي.
   عدد الأعداد الفردية في - النصف ، ومع ذلك ، تحقق من هذه الحقيقة باستخدام الصيغة لإيجاد العنصر -th في التقدم الحسابي:

   الأرقام تحتوي على أرقام فردية.
   نستبدل البيانات المتاحة في الصيغة:

   إجابة:مجموع كل الأعداد الفردية الواردة في يساوي.

3. أذكر مشكلة الأهرامات. بالنسبة لحالتنا ، أ ، نظرًا لأنه يتم تقليل كل طبقة عليا بواسطة سجل واحد ، فلا يوجد سوى مجموعة من الطبقات ، أي.
   استبدل البيانات الموجودة في الصيغة:

   إجابة:هناك سجلات في البناء.

تلخيص لما سبق

1. - تسلسل رقمي يكون فيه الاختلاف بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا. إنه يتزايد ويتناقص.
2. إيجاد الصيغةتتم كتابة العضو العاشر في التقدم الحسابي بواسطة الصيغة - ، حيث يوجد عدد الأرقام في التقدم.
3. خاصية أعضاء التقدم الحسابي- - أين - عدد الأرقام في التقدم.
4. مجموع أعضاء التقدم الحسابييمكن العثور عليها بطريقتين:
   
   ، أين هو عدد القيم.

المتوالية العددية. مستوى متوسط

تسلسل رقمي

دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:

يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده. لكن يمكنك دائمًا معرفة أيهما هو الأول ، وهو الثاني ، وهكذا ، أي يمكننا ترقيمهما. هذا مثال على تسلسل رقمي.

تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام ، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.

بمعنى آخر ، يمكن ربط كل رقم برقم طبيعي معين ، واحد فقط. ولن نخصص هذا الرقم لأي رقم آخر من هذه المجموعة.

الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.

عادة ما نطلق على التسلسل الكامل بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو:.

إنه مناسب جدًا إذا كان من الممكن إعطاء العضو -th في التسلسل بواسطة صيغة ما. على سبيل المثال ، الصيغة

يحدد التسلسل:

والصيغة هي التسلسل التالي:

على سبيل المثال ، التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة (المصطلح الأول هنا متساوٍ والفرق). أو (فرق).

صيغة مصطلح nth

نسمي المتكرر صيغة تحتاج فيها إلى معرفة المصطلح السابق أو السابق:

لإيجاد ، على سبيل المثال ، المصطلح العاشر للتقدم باستخدام مثل هذه الصيغة ، علينا حساب التسعة السابقة. على سبيل المثال ، دعونا. ثم:

حسنًا ، من الواضح الآن ما هي الصيغة؟

في كل سطر ، نضيف إلى ، مضروبًا في عدد ما. لماذا؟ بسيط جدًا: هذا هو رقم العضو الحالي مطروحًا منه:

أكثر راحة الآن ، أليس كذلك؟ نحن نفحص:

تقرر لنفسك:

في التقدم الحسابي ، أوجد صيغة الحد النوني وأوجد الحد المائة.

حل:

العضو الأول متساوٍ. وما الفرق؟ وإليك ما يلي:

(بعد كل شيء ، يطلق عليه الفرق لأنه يساوي اختلاف الأعضاء المتعاقبين في التقدم).

إذن الصيغة هي:

ثم المصطلح المائة هو:

ما هو مجموع كل الأعداد الطبيعية من إلى؟

وفقًا للأسطورة ، قام عالم الرياضيات العظيم كارل جاوس ، وهو صبي يبلغ من العمر 9 سنوات ، بحساب هذا المبلغ في بضع دقائق. لقد لاحظ أن مجموع العددين الأول والأخير متساويان ، ومجموع الثاني وما قبل الأخير هو نفسه ، ومجموع الثالث والثالث من النهاية هو نفسه ، وهكذا. كم عدد هذه الأزواج الموجودة؟ هذا صحيح ، بالضبط نصف عدد كل الأرقام ، أي. لذا،

ستكون الصيغة العامة لمجموع المصطلحات الأولى لأي تقدم حسابي:

مثال:
أوجد مجموع كل المضاعفات المكونة من رقمين.

حل:

الرقم الأول من هذا القبيل هو هذا. يتم الحصول على كل تالية عن طريق إضافة رقم إلى الرقم السابق. وهكذا ، فإن الأرقام التي تهمنا تشكل تقدمًا حسابيًا مع المصطلح الأول والفرق.

صيغة المصطلح العاشر لهذا التقدم هي:

كم عدد المصطلحات في التقدم إذا كان يجب أن تكون جميعها من رقمين؟

سهل جدا: .

سيكون المصطلح الأخير من التقدم متساويًا. ثم المجموع:

إجابة: .

قرر الآن بنفسك:

1. في كل يوم ، يركض الرياضي 1 متر أكثر من اليوم السابق. كم كيلومترًا سيجري في أسابيع إذا ركض كيلومترًا في اليوم الأول؟
2. يركب راكب الدراجة أميالًا كل يوم أكثر من سابقه. في اليوم الأول سافر كيلومترًا. كم يوما يجب عليه القيادة لقطع كيلومتر واحد؟ كم كيلومترًا سيقطعه في اليوم الأخير من الرحلة؟
3. يتم تخفيض سعر الثلاجة في المتجر بنفس المبلغ كل عام. حدد مقدار انخفاض سعر الثلاجة كل عام إذا تم بيعها مقابل روبل بعد ست سنوات ، معروضة للبيع مقابل روبل.

الإجابات:

1. أهم شيء هنا هو التعرف على التقدم الحسابي وتحديد معاملاته. في هذه الحالة (أسابيع = أيام). تحتاج إلى تحديد مجموع الشروط الأولى لهذا التقدم:
   .
   إجابة:
2. هنا يعطى: ، من الضروري أن تجد.
   من الواضح أنك تحتاج إلى استخدام نفس صيغة الجمع كما في المسألة السابقة:
   .
   استبدل القيم:

   من الواضح أن الجذر غير مناسب ، لذا فإن الإجابة.
   لنحسب المسافة المقطوعة خلال اليوم الأخير باستخدام صيغة المصطلح -th:
   (كم).
   إجابة:

3. منح: . يجد: .
   لا يصبح الأمر أسهل:
   (فرك).
   إجابة:

المتوالية العددية. باختصار حول الرئيسي

هذا تسلسل رقمي يكون فيه الفرق بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا.

يتزايد التقدم الحسابي () ويتناقص ().

على سبيل المثال:

صيغة إيجاد العضو رقم n للتقدم الحسابي

مكتوب كصيغة ، حيث عدد الأرقام في التقدم.

خاصية أعضاء التقدم الحسابي

يسهل العثور على عضو في التقدم إذا كان الأعضاء المجاورون معروفين - أين عدد الأرقام في التقدم.

مجموع أعضاء التقدم الحسابي

هناك طريقتان لإيجاد المجموع:

أين عدد القيم.

أين عدد القيم.

حسنًا ، لقد انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور ، فأنت رائع جدًا.

لأن 5٪ فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بمفردهم. وإذا كنت قد قرأت حتى النهاية ، فأنت في الـ 5٪!

الآن أهم شيء.

لقد اكتشفت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر ، إنه ... إنه رائع فقط! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من أقرانك.

المشكلة أن هذا قد لا يكون كافيا ...

لماذا؟

للنجاح اجتياز الامتحان، للقبول في المعهد على الميزانية ، والأهم من ذلك ، مدى الحياة.

لن أقنعك بأي شيء ، سأقول شيئًا واحدًا ...

الناس الذين تلقوا على تعليم جيد، يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يحصلوا عليها. هذه إحصائيات.

لكن هذا ليس هو الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن المزيد من الفرص تفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف ...

لكن فكر بنفسك ...

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أن تكون أفضل من الآخرين في الامتحان وأن تكون في النهاية ... أكثر سعادة؟

املأ يدك وحل المشكلات الواردة في هذا الموضوع.

في الامتحان ، لن يطلب منك النظرية.

سوف تحتاج حل المشاكل في الوقت المحدد.

وإذا لم تحلها (الكثير!) ، فإنك بالتأكيد سترتكب خطأ غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن ترتكبها في الوقت المناسب.

إنه مثل الرياضة - تحتاج إلى التكرار عدة مرات للفوز بالتأكيد.

ابحث عن مجموعة في أي مكان تريده بالضرورة مع الحلول تحليل تفصيلي وتقرر ، تقرر ، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (ليست ضرورية) ونحن بالتأكيد نوصي بها.

من أجل الحصول على يد المساعدة في مهامنا ، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع المقالات البالغ عددها 99 في البرنامج التعليمي - شراء كتاب مدرسي - 499 روبل

نعم ، لدينا 99 مقالًا من هذا القبيل في الكتاب المدرسي ويمكن الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها يمكن فتحها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع بالكامل.

ختاماً...

إذا كنت لا تحب مهامنا ، فابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عن النظرية.

"فهمت" و "أعرف كيف أحل" مهارات مختلفة تمامًا. أنت بحاجة لكليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

أو الحساب هو نوع من التسلسل العددي المرتب ، يتم دراسة خصائصه دورة مدرسيةالجبر. تناقش هذه المقالة بالتفصيل مسألة كيفية إيجاد مجموع التقدم الحسابي.

ما هذا التقدم؟

قبل الشروع في النظر في السؤال (كيفية إيجاد مجموع التقدم الحسابي) ، يجدر بنا فهم ما سيتم مناقشته.

أي تسلسل أرقام حقيقية، الذي يتم الحصول عليه عن طريق إضافة (طرح) بعض القيمة من كل رقم سابق ، يسمى التقدم الجبري (الحسابي). هذا التعريف ، المترجم إلى لغة الرياضيات ، يأخذ الشكل:

أنا هنا هو الرقم الترتيبي لعنصر السلسلة a i. وبالتالي ، بمعرفة رقم أولي واحد فقط ، يمكنك بسهولة استعادة السلسلة بأكملها. يُطلق على المعلمة d في الصيغة اسم فرق التقدم.

يمكن بسهولة إثبات أن المساواة التالية تنطبق على سلسلة الأرقام قيد الدراسة:

أ n \ u003d أ 1 + د * (ن - 1).

أي لإيجاد قيمة العنصر n بالترتيب ، أضف الفرق d إلى العنصر الأول a 1 n-1 مرة.

ما هو مجموع التقدم الحسابي: الصيغة

قبل إعطاء صيغة المبلغ المحدد ، يجدر النظر في حالة خاصة بسيطة. بالنظر إلى تقدم الأعداد الطبيعية من 1 إلى 10 ، فأنت بحاجة إلى إيجاد مجموعها. نظرًا لوجود عدد قليل من المصطلحات في التقدم (10) ، فمن الممكن حل المشكلة بشكل مباشر ، أي جمع كل العناصر بالترتيب.

S 10 \ u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \ u003d 55.

يجدر النظر في واحد شيء مثير للاهتمام: نظرًا لأن كل مصطلح يختلف عن التالي بنفس القيمة d \ u003d 1 ، فإن الجمع الزوجي للأول مع العاشر ، والثاني مع التاسع ، وما إلى ذلك سيعطي نفس النتيجة. حقًا:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

كما ترى ، لا يوجد سوى 5 من هذه المبالغ ، أي أقل مرتين بالضبط من عدد العناصر في السلسلة. ثم بضرب عدد المجاميع (5) في نتيجة كل مجموع (11) ، ستصل إلى النتيجة التي حصلت عليها في المثال الأول.

إذا قمنا بتعميم هذه الحجج ، فيمكننا كتابة التعبير التالي:

S n \ u003d n * (a 1 + a n) / 2.

يوضح هذا التعبير أنه ليس من الضروري على الإطلاق جمع جميع العناصر في صف واحد ، يكفي معرفة قيمة الأول a 1 والأخير a n ، وأيضًا الرقم الإجماليشروط

يُعتقد أن غاوس فكر أولاً في هذه المساواة عندما كان يبحث عن حل للمشكلة التي حددها مدرس مدرسته: لتلخيص أول 100 عدد صحيح.

مجموع العناصر من م إلى ن: الصيغة

تجيب الصيغة الواردة في الفقرة السابقة على سؤال حول كيفية العثور على مجموع التقدم الحسابي (للعناصر الأولى) ، ولكن غالبًا في المهام من الضروري جمع سلسلة من الأرقام في منتصف التقدم. كيف افعلها؟

أسهل طريقة للإجابة على هذا السؤال هي النظر في المثال التالي: فليكن من الضروري إيجاد مجموع المصطلحات من mth إلى n. لحل المشكلة ، يجب تمثيل مقطع معين من m إلى n من التقدم كسلسلة أرقام جديدة. في مثل التمثيل م السيكون المصطلح a m هو الأول ، وسيتم ترقيم n n- (m-1). في هذه الحالة ، بتطبيق الصيغة القياسية للمبلغ ، سيتم الحصول على التعبير التالي:

S م n \ u003d (n - م + 1) * (أ م + أ ن) / 2.

مثال على استخدام الصيغ

معرفة كيفية العثور على مجموع التقدم الحسابي ، يجدر النظر في مثال بسيط لاستخدام الصيغ أعلاه.

يوجد أدناه تسلسل رقمي ، يجب أن تجد مجموع أعضائه ، بدءًا من الخامس وينتهي بالرقم الثاني عشر:

تشير الأرقام المعطاة إلى أن الفرق d يساوي 3. باستخدام التعبير الخاص بالعنصر n ، يمكنك العثور على قيم العضوين الخامس والثاني عشر من التقدم. اتضح:

أ 5 \ u003d أ 1 + د * 4 \ u003d -4 + 3 * 4 \ u003d 8 ؛

أ 12 \ u003d أ 1 + د * 11 \ u003d -4 + 3 * 11 \ u003d 29.

من خلال معرفة قيم الأرقام الموجودة في نهايات التقدم الجبري قيد الدراسة ، وكذلك معرفة الأرقام في السلسلة التي تشغلها ، يمكنك استخدام صيغة المجموع التي تم الحصول عليها في الفقرة السابقة. يحصل:

S 5 12 \ u003d (12-5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

تجدر الإشارة إلى أنه يمكن الحصول على هذه القيمة بشكل مختلف: أولاً ، ابحث عن مجموع أول 12 عنصرًا باستخدام الصيغة القياسية ، ثم احسب مجموع العناصر الأربعة الأولى باستخدام نفس الصيغة ، ثم اطرح الثاني من المجموع الأول .

يتعامل شخص ما مع كلمة "التقدم" بحذر ، كمصطلح معقد جدًا من أقسام الرياضيات العليا. وفي الوقت نفسه ، فإن أبسط تقدم حسابي هو عمل عداد سيارات الأجرة (حيث لا يزالون). ولفهم جوهر (وفي الرياضيات لا يوجد شيء أكثر أهمية من "فهم الجوهر") للتسلسل الحسابي ليس بالأمر الصعب ، بعد تحليل بعض المفاهيم الأولية.

تسلسل رقمي رياضي

من المعتاد استدعاء التسلسل العددي لسلسلة من الأرقام ، لكل منها رقمه الخاص.

و 1 هو العضو الأول في التسلسل ؛

و 2 هو العضو الثاني في التسلسل ؛

و 7 هو العضو السابع في التسلسل.

و n هو العضو التاسع في التسلسل ؛

ومع ذلك ، لا تهمنا أي مجموعة من الأرقام والأرقام التعسفية. سنركز اهتمامنا على التسلسل العددي الذي ترتبط فيه قيمة العضو رقم n برقمه الترتيبي من خلال تبعية يمكن صياغتها بشكل واضح رياضيًا. بمعنى آخر: القيمة العددية للرقم n هي بعض وظائف n.

أ - قيمة عضو في التسلسل العددي ؛

n هو رقمه التسلسلي ؛

f (n) هي دالة حيث يكون الترتيب الترتيبي في التسلسل الرقمي n هو الوسيطة.

تعريف

عادة ما يسمى التقدم الحسابي بالتسلسل العددي الذي يكون فيه كل مصطلح لاحق أكبر (أقل) من السابق بنفس الرقم. صيغة العضو التاسع في المتوالية الحسابية هي كما يلي:

أ ن - قيمة العضو الحالي للتقدم الحسابي ؛

أ ن + 1 - صيغة الرقم التالي ؛

د - فرق (رقم معين).

من السهل تحديد أنه إذا كان الفرق موجبًا (d> 0) ، فسيكون كل عضو لاحق في السلسلة قيد الدراسة أكبر من السابق ، وسيزداد هذا التقدم الحسابي.

في الرسم البياني أدناه ، من السهل معرفة سبب تسمية التسلسل الرقمي بـ "زيادة".

في الحالات التي يكون فيها الاختلاف سلبيا (د<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

قيمة العضو المحدد

في بعض الأحيان يكون من الضروري تحديد قيمة بعض المصطلحات التعسفية أ ن للتقدم الحسابي. يمكنك القيام بذلك عن طريق حساب قيم جميع أعضاء التقدم الحسابي على التوالي ، من الأول إلى المطلوب. ومع ذلك ، فهذه الطريقة ليست مقبولة دائمًا إذا كان من الضروري ، على سبيل المثال ، إيجاد قيمة المصطلح خمسة آلاف أو ثمانية ملايين. سيستغرق الحساب التقليدي وقتًا طويلاً. ومع ذلك ، يمكن التحقيق في تقدم حسابي معين باستخدام صيغ معينة. هناك أيضًا صيغة للمصطلح التاسع: يمكن تحديد قيمة أي عضو في التقدم الحسابي كمجموع للعضو الأول في التقدم مع اختلاف التقدم ، مضروبًا في عدد العضو المطلوب ، ناقص واحد .

الصيغة عالمية لزيادة وتناقص التقدم.

مثال لحساب قيمة عضو معين

لنحل المشكلة التالية لإيجاد قيمة العضو رقم n للتقدم الحسابي.

الشرط: هناك تقدم حسابي مع المعلمات:

أول عضو في التسلسل هو 3 ؛

الفرق في سلسلة الأعداد هو 1.2.

المهمة: من الضروري إيجاد قيمة 214 حدًا

الحل: لتحديد قيمة عضو معين ، نستخدم الصيغة:

أ (ن) = أ 1 + د (ن -1)

استبدال البيانات من بيان المشكلة في التعبير ، لدينا:

أ (214) = أ 1 + د (ن -1)

أ (214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

الجواب: العضو 214 في التسلسل يساوي 258.6.

مزايا طريقة الحساب هذه واضحة - لا يستغرق الحل بأكمله أكثر من سطرين.

مجموع عدد معين من الأعضاء

في كثير من الأحيان ، في سلسلة حسابية معينة ، يلزم تحديد مجموع قيم بعض مقاطعها. كما أنه لا يحتاج إلى حساب قيم كل مصطلح ثم تلخيصها. هذه الطريقة قابلة للتطبيق إذا كان عدد المصطلحات التي يجب العثور على مجموعها صغيرًا. في حالات أخرى ، يكون استخدام الصيغة التالية أكثر ملاءمة.

مجموع أعضاء التقدم الحسابي من 1 إلى n يساوي مجموع العضوين الأول والثاني ، مضروبًا في رقم العضو n ومقسومًا على اثنين. إذا تم استبدال قيمة العضو رقم n في الصيغة بالتعبير من الفقرة السابقة من المقالة ، نحصل على:

مثال على الحساب

على سبيل المثال ، لنحل مشكلة بالشروط التالية:

الحد الأول من التسلسل هو صفر ؛

الفرق هو 0.5.

في المشكلة ، يلزم تحديد مجموع شروط السلسلة من 56 إلى 101.

حل. دعنا نستخدم الصيغة لتحديد مجموع التقدم:

ق (ن) = (2 ∙ a1 + د ∙ (ن -1)) ∙ ن / 2

أولاً ، نحدد مجموع قيم 101 عضو في التقدم عن طريق استبدال الشروط المعطاة لمشكلتنا في الصيغة:

ق 101 = (2 0 + 0.5 (101-1)) 101/2 = 2525

من الواضح ، من أجل معرفة مجموع شروط التقدم من 56 إلى 101 ، من الضروري طرح S 55 من S 101.

ق 55 = (2 0 + 0.5 (55-1)) 55/2 = 742.5

إذن ، مجموع التقدم الحسابي لهذا المثال هو:

ق 101 - ق 55 \ u003d 2525 - 742.5 \ u003d 1،782.5

مثال على التطبيق العملي للتقدم الحسابي

في نهاية المقال ، دعنا نعود إلى مثال التسلسل الحسابي الوارد في الفقرة الأولى - مقياس التاكسي (عداد سيارة الأجرة). لنفكر في مثل هذا المثال.

ركوب سيارة أجرة (التي تشمل 3 كم) يكلف 50 روبل. يتم دفع كل كيلومتر لاحق بمعدل 22 روبل / كم. مسافة السفر 30 كم. احسب تكلفة الرحلة.

1. دعنا نتجاهل أول 3 كيلومترات ، سعرها مشمول في تكلفة الهبوط.

30-3 = 27 كم.

2. الحساب الإضافي ليس أكثر من تحليل سلسلة أرقام حسابية.

رقم العضو هو عدد الكيلومترات المقطوعة (مطروحًا منه الثلاثة الأولى).

قيمة العضو هي المجموع.

سيساوي المصطلح الأول في هذه المشكلة 1 = 50 روبل.

فرق التقدم د = 22 ص.

العدد الذي يهمنا - قيمة العضو (27 + 1) من التقدم الحسابي - قراءة العداد في نهاية الكيلومتر 27 - 27.999 ... = 28 كم.

أ 28 = 50 + 22 ∙ (28-1) = 644

تعتمد حسابات بيانات التقويم لفترة طويلة بشكل تعسفي على الصيغ التي تصف تسلسلات رقمية معينة. في علم الفلك ، يعتمد طول المدار هندسيًا على مسافة الجسم السماوي إلى النجم. بالإضافة إلى ذلك ، يتم استخدام السلاسل العددية المختلفة بنجاح في الإحصاء وفروع الرياضيات التطبيقية الأخرى.

نوع آخر من التسلسل الرقمي هو هندسي

يتميز التقدم الهندسي بمعدل تغير كبير مقارنة بالمعدل الحسابي. ليس من قبيل المصادفة أنه في السياسة وعلم الاجتماع والطب ، في كثير من الأحيان ، من أجل إظهار السرعة العالية لانتشار ظاهرة معينة ، على سبيل المثال ، مرض أثناء الوباء ، يقولون إن العملية تتطور بشكل كبير.

يختلف العضو N من سلسلة الأرقام الهندسية عن العنصر السابق من حيث أنه مضروب في عدد ثابت - المقام ، على سبيل المثال ، العضو الأول هو 1 ، والمقام هو 2 ، على التوالي ، ثم:

ن = 1: 1 ∙ 2 = 2

ن = 2: 2 ∙ 2 = 4

ن = 3: 4 ∙ 2 = 8

ن = 4: 8 ∙ 2 = 16

ن = 5:16 ∙ 2 = 32 ،

ب ن - قيمة العضو الحالي للتقدم الهندسي ؛

ب ن + 1 - صيغة العضو التالي في التقدم الهندسي ؛

q هو مقام التقدم الهندسي (رقم ثابت).

إذا كان الرسم البياني للتقدم الحسابي عبارة عن خط مستقيم ، فإن الشكل الهندسي يرسم صورة مختلفة قليلاً:

كما في حالة الحساب ، فإن للتقدم الهندسي صيغة لقيمة العضو التعسفي. أي حد من رقم n للتقدم الهندسي يساوي حاصل ضرب المصطلح الأول ومقام التقدم إلى قوة n مخفضًا بواحد:

مثال. لدينا تقدم هندسي مع الحد الأول يساوي 3 ومقام التقدم يساوي 1.5. أوجد الحد الخامس من التقدم

ب 5 \ u003d ب 1 ∙ س (5-1) \ u003d 3 ∙ 1.5 4 \ u003d 15.1875

يتم أيضًا حساب مجموع عدد معين من الأعضاء باستخدام صيغة خاصة. يساوي مجموع أول n من أعضاء التقدم الهندسي الفرق بين ناتج العضو التاسع في التقدم ومقامه والعضو الأول في التقدم ، مقسومًا على المقام مخفضًا بواحد:

إذا تم استبدال b n باستخدام الصيغة التي تمت مناقشتها أعلاه ، فستأخذ قيمة مجموع n أول أعضاء من سلسلة الأرقام المدروسة الشكل:

مثال. يبدأ التقدم الهندسي بالمصطلح الأول الذي يساوي 1. والمقام يساوي 3. لنجد مجموع الحدود الثمانية الأولى.

ق 8 = 1 (3 8 -1) / (3-1) = 3280