اللوغاريتمات: الأمثلة والحلول. اللوغاريتم الطبيعي، الدالة ln x

نواصل دراسة اللوغاريتمات. في هذا المقال سنتحدث عنه حساب اللوغاريتمات، وتسمى هذه العملية اللوغاريتم. أولاً سوف نفهم حساب اللوغاريتمات حسب التعريف. بعد ذلك، دعونا نلقي نظرة على كيفية العثور على قيم اللوغاريتمات باستخدام خصائصها. بعد ذلك سنركز على حساب اللوغاريتمات من خلال القيم المحددة في البداية للوغاريتمات الأخرى. وأخيرًا، دعونا نتعلم كيفية استخدام جداول اللوغاريتمات. يتم تزويد النظرية بأكملها بأمثلة مع حلول مفصلة.

التنقل في الصفحة.

حساب اللوغاريتمات حسب التعريف

في أبسط الحالات، من الممكن تنفيذ الأمر بسرعة وسهولة إيجاد اللوغاريتم حسب التعريف. دعونا نلقي نظرة فاحصة على كيفية حدوث هذه العملية.

جوهرها هو تمثيل الرقم ب في النموذج ج، والذي، من خلال تعريف اللوغاريتم، الرقم ج هو قيمة اللوغاريتم. وهذا يعني، حسب التعريف، أن سلسلة المساواة التالية تتوافق مع إيجاد اللوغاريتم: log a b=log a a c =c.

لذا، فإن حساب اللوغاريتم حسب التعريف يتلخص في العثور على رقم c بحيث يكون a c = b، والرقم c نفسه هو القيمة المطلوبة للوغاريتم.

مع الأخذ في الاعتبار المعلومات الواردة في الفقرات السابقة، عندما يتم إعطاء الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم بواسطة قوة معينة لقاعدة اللوغاريتم، يمكنك الإشارة على الفور إلى ما يساويه اللوغاريتم - فهو يساوي الأس. دعونا نعرض الحلول بالأمثلة.

مثال.

ابحث عن السجل 2 2 −3 واحسب أيضًا اللوغاريتم الطبيعي للرقم e 5,3.

حل.

يتيح لنا تعريف اللوغاريتم أن نقول على الفور أن السجل 2 2 −3 =−3. في الواقع، الرقم الموجود تحت علامة اللوغاريتم يساوي الأساس 2 أس −3.

وبالمثل نجد اللوغاريتم الثاني: lne 5.3 =5.3.

إجابة:

سجل 2 2 −3 =−3 و lne 5,3 =5,3.

إذا لم يتم تحديد الرقم b تحت علامة اللوغاريتم كقوة لقاعدة اللوغاريتم، فأنت بحاجة إلى النظر بعناية لمعرفة ما إذا كان من الممكن التوصل إلى تمثيل للرقم b في النموذج a c . غالبًا ما يكون هذا التمثيل واضحًا تمامًا، خاصة عندما يكون الرقم الموجود تحت علامة اللوغاريتم مساويًا للأساس أس 1، أو 2، أو 3، ...

مثال.

احسب اللوغاريتمات log 5 25 و .

حل.

من السهل أن ترى أن 25=5 2، وهذا يسمح لك بحساب اللوغاريتم الأول: log 5 25=log 5 5 2 =2.

دعنا ننتقل إلى حساب اللوغاريتم الثاني. يمكن تمثيل الرقم كقوة 7: (انظر إذا لزم الأمر). لذلك، .

لنعد كتابة اللوغاريتم الثالث بالشكل التالي. الآن يمكنك أن ترى ذلك ، ومنه نستنتج ذلك . لذلك، من خلال تعريف اللوغاريتم .

باختصار يمكن كتابة الحل كالتالي: .

إجابة:

سجل 5 25=2 , و .

عندما يكون هناك عدد طبيعي كبير بما فيه الكفاية تحت علامة اللوغاريتم، فلن يضر تحليله إلى عوامل أولية. غالبًا ما يساعد على تمثيل هذا الرقم كقوة لقاعدة اللوغاريتم، وبالتالي حساب هذا اللوغاريتم حسب التعريف.

مثال.

أوجد قيمة اللوغاريتم.

حل.

تسمح لك بعض خصائص اللوغاريتمات بتحديد قيمة اللوغاريتمات على الفور. تتضمن هذه الخصائص خاصية لوغاريتم واحد وخاصية لوغاريتم رقم يساوي الأساس: log 1 1=log a a 0 =0 وlog a=log a 1 =1. أي أنه عندما يكون هناك رقم 1 أو رقم يساوي أساس اللوغاريتم تحت علامة اللوغاريتم، فإن اللوغاريتمات في هذه الحالات تساوي 0 و1 على التوالي.

مثال.

ما هي اللوغاريتمات وlog10 يساوي؟

حل.

منذ ذلك الحين يتبع من تعريف اللوغاريتم .

في المثال الثاني، يتطابق الرقم 10 تحت علامة اللوغاريتم مع قاعدته، وبالتالي فإن اللوغاريتم العشري للعشرة يساوي واحدًا، أي lg10=lg10 1 =1.

إجابة:

و إل جي10=1 .

لاحظ أن حساب اللوغاريتمات حسب التعريف (الذي ناقشناه في الفقرة السابقة) يعني استخدام سجل المساواة a a p =p، وهو أحد خصائص اللوغاريتمات.

من الناحية العملية، عندما يتم تمثيل رقم تحت علامة اللوغاريتم وقاعدة اللوغاريتم بسهولة كقوة لرقم معين، فمن الملائم جدًا استخدام الصيغة وهو ما يتوافق مع إحدى خصائص اللوغاريتمات. دعونا نلقي نظرة على مثال لإيجاد لوغاريتم يوضح استخدام هذه الصيغة.

مثال.

احسب اللوغاريتم.

حل.

إجابة:

.

تُستخدم أيضًا خصائص اللوغاريتمات غير المذكورة أعلاه في العمليات الحسابية، لكننا سنتحدث عن ذلك في الفقرات التالية.

إيجاد اللوغاريتمات من خلال اللوغاريتمات المعروفة الأخرى

تستمر المعلومات الواردة في هذه الفقرة في موضوع استخدام خصائص اللوغاريتمات عند حسابها. لكن الاختلاف الرئيسي هنا هو أن خصائص اللوغاريتمات تُستخدم للتعبير عن اللوغاريتم الأصلي بدلالة لوغاريتم آخر تكون قيمته معروفة. دعونا نعطي مثالا للتوضيح. لنفترض أننا نعرف ذلك log 2 3≈1.584963، ثم يمكننا إيجاد، على سبيل المثال، log 2 6 عن طريق إجراء تحويل بسيط باستخدام خصائص اللوغاريتم: سجل 2 6=سجل 2 (2 3)=سجل 2 2+سجل 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

في المثال أعلاه، كان يكفينا استخدام خاصية لوغاريتم المنتج. ومع ذلك، في كثير من الأحيان يكون من الضروري استخدام ترسانة أوسع من خصائص اللوغاريتمات لحساب اللوغاريتم الأصلي من خلال تلك المحددة.

مثال.

احسب لوغاريتم 27 للأساس 60 إذا كنت تعلم أن log 60 2=a وlog 60 5=b.

حل.

لذلك نحن بحاجة إلى العثور على سجل 60 27 . من السهل أن نرى أن 27 = 3 3 ، واللوغاريتم الأصلي، بسبب خاصية لوغاريتم الأس، يمكن إعادة كتابته بالشكل 3·log 60 3 .

الآن دعونا نرى كيفية التعبير عن السجل 60 3 بدلالة اللوغاريتمات المعروفة. خاصية لوغاريتم الرقم الذي يساوي الأساس تسمح لنا بكتابة سجل المساواة 60 60=1. ومن ناحية أخرى، سجل 60 60=log60(2 2 3 5)= سجل 60 2 2 +سجل 60 3+سجل 60 5= 2·سجل 60 2+سجل 60 3+سجل 60 5 . هكذا، 2 سجل 60 2+سجل 60 3+سجل 60 5=1. لذلك، سجل 60 3=1−2·سجل 60 2−سجل 60 5=1−2·أ−ب.

أخيرًا، نحسب اللوغاريتم الأصلي: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

إجابة:

سجل 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

بشكل منفصل، تجدر الإشارة إلى معنى صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتم النموذج الجديدة . يتيح لك الانتقال من اللوغاريتمات ذات الأساس إلى اللوغاريتمات ذات الأساس المحدد والتي تكون قيمها معروفة أو من الممكن العثور عليها. عادة، من اللوغاريتم الأصلي، باستخدام صيغة الانتقال، ينتقلون إلى اللوغاريتمات في إحدى القواعد 2 أو e أو 10، حيث توجد لهذه القواعد جداول لوغاريتمية تسمح بحساب قيمها بدرجة معينة من دقة. وفي الفقرة التالية سوف نبين كيف يتم ذلك.

الجداول اللوغاريتمية واستخداماتها

يمكن استخدام الحساب التقريبي لقيم اللوغاريتم جداول اللوغاريتم. جدول اللوغاريتم ذو الأساس 2 الأكثر استخدامًا هو الجدول اللوغاريتمات الطبيعيةوجدول اللوغاريتمات العشرية. عند العمل في نظام الأرقام العشرية، من المناسب استخدام جدول اللوغاريتمات على أساس العشرة. بمساعدتها سوف نتعلم كيفية العثور على قيم اللوغاريتمات.

يتيح لك الجدول المعروض العثور على قيم اللوغاريتمات العشرية للأرقام من 1000 إلى 9999 (مع ثلاث منازل عشرية) بدقة تصل إلى جزء من عشرة آلاف. سنقوم بتحليل مبدأ إيجاد قيمة اللوغاريتم باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية مثال محدد- الأمر أوضح بهذه الطريقة. لنجد log1.256.

في العمود الأيسر من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد أول رقمين من الرقم 1.256، أي نجد 1.2 (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأزرق من أجل الوضوح). تم العثور على الرقم الثالث من الرقم 1.256 (الرقم 5) في السطر الأول أو الأخير على يسار الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأحمر). الرقم الرابع من الرقم الأصلي 1.256 (الرقم 6) موجود في السطر الأول أو الأخير على يمين الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة بخط أخضر). الآن نجد الأرقام في خلايا جدول اللوغاريتمات عند تقاطع الصف المحدد والأعمدة المحددة (يتم تمييز هذه الأرقام البرتقالي). مجموع الأرقام المحددة يعطي القيمة المطلوبة للوغاريتم العشري بدقة حتى المنزلة العشرية الرابعة، أي، سجل1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

هل من الممكن باستخدام الجدول أعلاه إيجاد قيم اللوغاريتمات العشرية للأعداد التي تحتوي على أكثر من ثلاثة أرقام بعد العلامة العشرية، وكذلك تلك التي تتجاوز النطاق من 1 إلى 9.999؟ نعم يمكنك ذلك. دعونا نظهر كيف يتم ذلك مع مثال.

دعونا نحسب lg102.76332. أولا تحتاج إلى الكتابة رقم في النموذج القياسي : 102.76332=1.0276332·10 2. بعد ذلك، ينبغي تقريب الجزء العشري إلى المنزلة العشرية الثالثة، لدينا 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2، في حين أن اللوغاريتم العشري الأصلي يساوي تقريبًا لوغاريتم الرقم الناتج، أي أننا نأخذ log102.76332≈lg1.028·10 2. الآن نطبق خصائص اللوغاريتم: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. وأخيرا نجد قيمة اللوغاريتم lg1.028 من جدول اللوغاريتمات العشرية lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. ونتيجة لذلك، تبدو عملية حساب اللوغاريتم برمتها كما يلي: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

في الختام، تجدر الإشارة إلى أنه باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية، يمكنك حساب القيمة التقريبية لأي لوغاريتم. للقيام بذلك، يكفي استخدام صيغة الانتقال للانتقال إلى اللوغاريتمات العشرية، والعثور على قيمها في الجدول، وإجراء العمليات الحسابية المتبقية.

على سبيل المثال، دعونا نحسب السجل 2 3 . وفقا لصيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم، لدينا . من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد log3≈0.4771 و log2≈0.3010. هكذا، .

فهرس.

• Kolmogorov A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. وغيرها الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10 - 11 بمؤسسات التعليم العام.
• جوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج. الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية).

عند تحويل التعبيرات باستخدام اللوغاريتمات، يتم استخدام المعادلات المدرجة من اليمين إلى اليسار ومن اليسار إلى اليمين.

تجدر الإشارة إلى أنه ليس من الضروري حفظ عواقب الخصائص: عند إجراء التحويلات، يمكنك التعامل مع الخصائص الأساسية للوغاريتمات والحقائق الأخرى (على سبيل المثال، حقيقة أن b≥0)، والتي منها تتبع العواقب المقابلة. " تأثير جانبي"هذا النهج لا يتجلى إلا في حقيقة أن الحل سيكون أطول قليلا. على سبيل المثال، من أجل الاستغناء عن النتيجة التي يتم التعبير عنها بالصيغة ، وبدءًا فقط من الخصائص الأساسية للوغاريتمات، سيتعين عليك إجراء سلسلة من التحولات بالشكل التالي: .

ويمكن قول الشيء نفسه عن الخاصية الأخيرة من القائمة أعلاه، والتي يتم الرد عليها من خلال الصيغة لأنه يتبع أيضًا الخصائص الأساسية للوغاريتمات. الشيء الرئيسي الذي يجب فهمه هو أنه من الممكن دائمًا لأس الرقم الموجب الذي له لوغاريتم في الأس أن يتم تبديل أساس القوة والرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم. ولكي نكون منصفين، فإننا نلاحظ أن الأمثلة التي تنطوي على تنفيذ تحولات من هذا النوع نادرة في الممارسة العملية. وسنقدم بعض الأمثلة أدناه في النص.

تحويل التعبيرات الرقمية مع اللوغاريتمات

لقد تذكرنا خصائص اللوغاريتمات، والآن حان الوقت لتعلم كيفية تطبيقها عمليًا لتحويل التعبيرات. من الطبيعي البدء بتحويل التعبيرات الرقمية بدلاً من التعبيرات ذات المتغيرات، لأنها أكثر ملاءمة وأسهل لتعلم الأساسيات. وهذا ما سنفعله، وسنبدأ بـ للغاية أمثلة بسيطة، لمعرفة كيفية اختيار خاصية اللوغاريتم المرغوبة، لكننا سنعقد الأمثلة تدريجيًا، حتى النقطة التي يكون فيها الحصول على النتيجة النهائية ضروريًا لتطبيق عدة خصائص متتالية.

اختيار خاصية اللوغاريتمات المطلوبة

هناك العديد من خصائص اللوغاريتمات، ومن الواضح أنك بحاجة إلى أن تكون قادرًا على اختيار الخاصية المناسبة منها، والتي في حالة معينة حالة محددةسوف يؤدي إلى النتيجة المرجوة. عادة لا يكون من الصعب القيام بذلك من خلال مقارنة نوع اللوغاريتم أو التعبير المحول مع أنواع الأجزاء اليمنى واليسرى من الصيغ التي تعبر عن خصائص اللوغاريتمات. إذا كان الجانب الأيسر أو الأيمن من إحدى الصيغ يتزامن مع لوغاريتم أو تعبير معين، فمن المرجح أن هذه الخاصية هي التي يجب استخدامها أثناء التحويل. الأمثلة التاليةوقد ظهر هذا بوضوح.

لنبدأ بأمثلة لتحويل التعبيرات باستخدام تعريف اللوغاريتم، والذي يتوافق مع الصيغة a log a b =b, a>0, a≠1, b>0.

مثال.

احسب، إن أمكن: أ) 5 سجل 5 4، ب) 10 سجل(1+2·π)، ج) , د) 2 سجل 2 (−7) , ه) .

حل.

في المثال تحت الحرف أ) البنية سجل أ ب مرئية بوضوح، حيث أ=5، ب=4. تلبي هذه الأرقام الشروط a>0، a≠1، b>0، لذا يمكنك استخدام المساواة بأمان سجل a b =b. لدينا 5 سجل 5 4=4 .

ب) هنا a=10, b=1+2·π، تم استيفاء الشروط a>0, a≠1, b>0. في هذه الحالة، المساواة 10 log(1+2·π) =1+2·π تحدث.

ج) وفي هذا المثال نتعامل مع درجة من الشكل a log a b، حيث وb=ln15. لذا .

على الرغم من انتمائه إلى نفس النوع a log a b (هنا a=2, b=−7)، لا يمكن تحويل التعبير الموجود أسفل الحرف g باستخدام الصيغة a log a b =b. والسبب هو أنه لا معنى له لأنه يحتوي على رقم سالب تحت علامة اللوغاريتم. علاوة على ذلك، فإن الرقم b=−7 لا يحقق الشرط b>0، مما يجعل من المستحيل اللجوء إلى الصيغة a log a b =b، لأنها تتطلب استيفاء الشروط a>0, a≠1, b> 0. لذا، لا يمكننا التحدث عن حساب قيمة 2 log 2 (−7) . في هذه الحالة، كتابة 2 log 2 (−7) =−7 سيكون خطأ.

وبالمثل، في المثال تحت الحرف e) من المستحيل إعطاء حل للنموذج لأن التعبير الأصلي لا معنى له.

إجابة:

أ) 5 سجل 5 4 =4، ب) 10 سجل(1+2·π) =1+2·ط, ج) ، د)، هـ) العبارات ليس لها معنى.

غالبًا ما يكون التحويل المفيد هو تمثيل رقم موجب كقوة لبعض الأعداد الموجبة غير الوحدة مع اللوغاريتم في الأس. يعتمد على نفس تعريف اللوغاريتم a log a b =b, a>0, a≠1, b>0، ولكن يتم تطبيق الصيغة من اليمين إلى اليسار، أي في النموذج b=a log a b . على سبيل المثال، 3=e ln3 أو 5=5 log 5 5 .

دعنا ننتقل إلى استخدام خصائص اللوغاريتمات لتحويل التعبيرات.

مثال.

أوجد قيمة التعبير: أ) سجل −2 1، ب) سجل 1 1، ج) سجل 0 1، د) سجل 7 1، ه) ln1، و) سجل 1، ز) سجل 3.75 1، ح) سجل 5 ط 7 1 .

حل.

في الأمثلة تحت الحروف أ)، ب) و ج) يتم إعطاء التعبيرات سجل −2 1، سجل 1 1، سجل 0 1، والتي لا معنى لها، لأن قاعدة اللوغاريتم لا ينبغي أن تحتوي على رقم سالب، صفر أو واحد، لأننا عرفنا اللوغاريتم فقط للأساس الموجب والمختلف عن الوحدة. لذلك، في الأمثلة أ) - ج) لا يمكن أن يكون هناك شك في العثور على معنى التعبير.

في جميع المهام الأخرى، من الواضح أن قواعد اللوغاريتمات تحتوي على أرقام موجبة وغير موحدة 7، e، 10، 3.75 و5·π 7، على التوالي، وتحت علامات اللوغاريتمات توجد وحدات في كل مكان. ونحن نعرف خاصية لوغاريتم الوحدة: log a 1=0 لأي a>0, a≠1. وبالتالي فإن قيم التعبيرات ب) – ه) تساوي الصفر.

إجابة:

أ)، ب)، ج) التعبيرات غير منطقية، د) سجل 7 1=0، ه) ln1=0، و) سجل1=0، ز) سجل 3.75 1=0، ح) سجل 5 ه 7 1= 0 .

مثال.

احسب: أ) ، ب) lne ، ج) lg10 ، د) سجل 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

حل.

من الواضح أنه يتعين علينا استخدام خاصية لوغاريتم القاعدة، والتي تتوافق مع صيغة السجل a a=1 لـ a>0، a≠1. في الواقع، في المهام تحت جميع الحروف، يتزامن الرقم الموجود تحت علامة اللوغاريتم مع قاعدته. وبالتالي، أود أن أقول على الفور أن قيمة كل من التعبيرات المعطاة هي 1. ومع ذلك، لا ينبغي التسرع في الاستنتاجات: في المهام تحت الحروف أ) - د) قيم التعبيرات تساوي حقًا واحدًا، وفي المهام ه) و و) التعبيرات الأصلية لا معنى لها، لذلك لا يمكن القول أن قيم هذه التعبيرات تساوي 1.

إجابة:

أ) ، ب) lne=1 ، ج) lg10=1 ، د) سجل 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1، ه)، و) العبارات لا معنى لها.

مثال.

أوجد القيمة: أ) سجل 3 3 11، ب) , ج) , د) سجل −10 (−10) 6 .

حل.

من الواضح أنه تحت علامات اللوغاريتمات هناك بعض القوى الأساسية. وبناءً على ذلك، نفهم أننا سنحتاج هنا إلى خاصية درجة القاعدة: log a a p =p، حيث a>0 وa≠1 وp هي أي عدد حقيقي. وبأخذ ذلك في الاعتبار، نحصل على النتائج التالية: أ) سجل 3 3 11 =11، ب) ، الخامس) . هل من الممكن كتابة مساواة مماثلة للمثال تحت الحرف d) من سجل النموذج −10 (−10) 6 =6؟ لا، لا يمكنك ذلك، لأن التعبير log −10 (−10) 6 غير منطقي.

إجابة:

أ) سجل 3 3 11 =11، ب) ، الخامس) د) التعبير ليس له معنى.

مثال.

قم بتقديم التعبير كمجموع أو اختلاف في اللوغاريتمات باستخدام نفس الأساس: أ) , ب) , ج) سجل((−5)·(−12)) .

حل.

أ) تحت علامة اللوغاريتم يوجد منتج، ونحن نعرف خاصية لوغاريتم المنتج log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 ، ص>0. في حالتنا، يكون الرقم الموجود في قاعدة اللوغاريتم والأرقام الموجودة في المنتج موجبة، أي أنها تستوفي شروط الخاصية المحددة، وبالتالي يمكننا تطبيقها بأمان: .

ب) هنا نستخدم خاصية لوغاريتم حاصل القسمة، حيث a>0، a≠1، x>0، y>0. في حالتنا، أساس اللوغاريتم هو رقم موجب e، والبسط والمقام π موجبان، مما يعني أنهما يستوفيان شروط الخاصية، لذلك يحق لنا استخدام الصيغة المختارة: .

ج) أولاً، لاحظ أن التعبير log((−5)·(−12)) منطقي. لكن في الوقت نفسه، ليس لدينا الحق في تطبيق صيغة لوغاريتم حاصل الضرب a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y >0، نظرًا لأن الأرقام هي −5 و −12 – سالبة ولا تستوفي الشروط x>0، y>0. أي أنه لا يمكنك إجراء مثل هذا التحول: سجل((−5)·(−12))=سجل(−5)+سجل(−12). اذا ماذا يجب ان نفعل؟ في مثل هذه الحالات، يحتاج التعبير الأصلي إلى تحويل أولي لتجنب الأرقام السالبة. سنتحدث بالتفصيل عن حالات مشابهة لتحويل التعبيرات ذات الأعداد السالبة تحت علامة اللوغاريتم في أحد المقالات، لكن في الوقت الحالي سنقدم حل لهذا المثال وهو واضح مقدما وبدون شرح: log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

إجابة:

أ) ، ب) ، ج) سجل((−5)·(−12))=log5+lg12.

مثال.

بسّط التعبير: أ) سجل 3 0.25+سجل 3 16+سجل 3 0.5, ب) .

حل.

هنا سوف تساعدنا جميع خصائص لوغاريتم المنتج ولوغاريتم الحاصل الذي استخدمناه في الأمثلة السابقة، الآن فقط سنطبقها من اليمين إلى اليسار. أي أننا نحول مجموع اللوغاريتمات إلى لوغاريتم حاصل الضرب، وفرق اللوغاريتمات إلى لوغاريتم حاصل القسمة. لدينا
أ) سجل 3 0.25 + سجل 3 16 + سجل 3 0.5 = سجل 3 (0.25 16 0.5) = سجل 3 2.
ب) .

إجابة:

أ) سجل 3 0.25+سجل 3 16+سجل 3 0.5=سجل 3 2، ب) .

مثال.

تخلص من الدرجة تحت علامة اللوغاريتم: أ) سجل 0.7 5 11، ب) , ج) سجل 3 (−5) 6 .

حل.

من السهل أن نرى أننا نتعامل مع تعبيرات النموذج log a b p . الخاصية المقابلة للوغاريتم لها الشكل log a b p =p·log a b، حيث a>0, a≠1, b>0, p هو أي رقم حقيقي. أي أنه إذا تم استيفاء الشروط a>0، a≠1، b>0، من لوغاريتم سجل الطاقة a b p يمكننا المتابعة إلى المنتج p·log a b. دعونا ننفذ هذا التحويل باستخدام التعبيرات المحددة.

أ) في هذه الحالة أ=0,7، ب=5، ع=11. إذن سجل 0.7 5 11 = 11 · سجل 0.7 5.

ب) هنا، يتم استيفاء الشروط a>0، a≠1، b>0. لهذا

ج) التعبير log 3 (−5) 6 له نفس البنية log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . لكن بالنسبة لـ b فإن الشرط b>0 غير مستوفي، مما يجعل من المستحيل استخدام الصيغة log a b p =p·log a b . فماذا في ذلك، لا يمكنك التعامل مع المهمة؟ من الممكن، ولكن مطلوب تحويل أولي للتعبير، وهو ما سنناقشه بالتفصيل أدناه في الفقرة الموجودة تحت العنوان. الحل سيكون كالتالي: سجل 3 (−5) 6 = سجل 3 5 6 =6 سجل 3 5.

إجابة:

أ) سجل 0.7 5 11 =11 سجل 0.7 5 ,
ب)
ج) سجل 3 (−5) 6 =6·سجل 3 5.

في كثير من الأحيان، عند إجراء التحويلات، يجب تطبيق صيغة لوغاريتم القوة من اليمين إلى اليسار في النموذج p·log a b=log a b p (يجب استيفاء نفس الشروط لـ a وb وp). على سبيل المثال، 3·ln5=ln5 3 وlog2·log 2 3=log 2 3 lg2.

مثال.

أ) احسب قيمة السجل 2 5 إذا كان من المعروف أن log2≈0.3010 و log5≈0.6990. ب) عبر عن الكسر في صورة لوغاريتم للأساس 3.

حل.

أ) تسمح لنا صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدة بتقديم هذا اللوغاريتم كنسبة من اللوغاريتمات العشرية التي نعرف قيمها: . كل ما تبقى هو إجراء الحسابات، لدينا .

ب) هنا يكفي استخدام صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة، وتطبيقها من اليمين إلى اليسار، أي بالشكل . نحن نحصل .

إجابة:

أ) سجل 2 5≈2.3223، ب) .

في هذه المرحلة، قمنا بدراسة شاملة لتحويل أبسط التعبيرات باستخدام الخصائص الأساسية للوغاريتمات وتعريف اللوغاريتم. في هذه الأمثلة، كان علينا تطبيق خاصية واحدة فقط. الآن، بضمير مرتاح، يمكنك الانتقال إلى الأمثلة التي يتطلب تحويلها استخدام العديد من خصائص اللوغاريتمات والتحويلات الإضافية الأخرى. وسوف نتعامل معهم في الفقرة التالية. لكن قبل ذلك، دعونا نلقي نظرة سريعة على أمثلة لتطبيق العواقب من الخصائص الأساسية للوغاريتمات.

مثال.

أ) تخلص من الجذر الموجود تحت علامة اللوغاريتم. ب) تحويل الكسر إلى لوغاريتم ذو الأساس 5. ج) حرر نفسك من القوى الموجودة تحت علامة اللوغاريتم وفي قاعدتها. د) احسب قيمة التعبير . هـ) استبدل التعبير بقوة ذات الأساس 3.

حل.

أ) إذا استذكرنا النتيجة الطبيعية من خاصية لوغاريتم الدرجة ، ثم يمكنك إعطاء الإجابة على الفور: .

ب) هنا نستخدم الصيغة من اليمين إلى اليسار، لدينا .

ج) في هذه الحالة، تؤدي الصيغة إلى النتيجة . نحن نحصل .

د) وهنا يكفي تطبيق النتيجة الطبيعية التي تتوافق معها الصيغة . لذا .

ه) خاصية اللوغاريتم يتيح لنا تحقيق النتيجة المرجوة: .

إجابة:

أ) . ب) . الخامس) . ز) . د) .

تطبيق متتالي لعدة خصائص

عادةً ما تكون المهام الحقيقية لتحويل التعبيرات باستخدام خصائص اللوغاريتمات أكثر تعقيدًا من تلك التي تناولناها في الفقرة السابقة. فيها، كقاعدة عامة، لا يتم الحصول على النتيجة في خطوة واحدة، ولكن الحل يتكون بالفعل من التطبيق المتسلسل لخاصية تلو الأخرى، إلى جانب تحويلات متطابقة إضافية، مثل فتح الأقواس، وإحضار مصطلحات مماثلة، وتقليل الكسور، وما إلى ذلك . لذلك دعونا نقترب من هذه الأمثلة. لا يوجد شيء معقد في هذا الأمر، والشيء الرئيسي هو التصرف بعناية وثبات، ومراقبة ترتيب الإجراءات.

مثال.

احسب قيمة التعبير (سجل 3 15− سجل 3 5) 7 سجل 7 5.

حل.

يمكن استبدال الفرق بين اللوغاريتمات الموجودة بين قوسين، وفقًا لخاصية لوغاريتم الحاصل، باللوغاريتم log 3 (15:5)، ثم حساب قيمته log 3 (15:5)=log 3 3=1. وقيمة التعبير 7 سجل 7 5 حسب تعريف اللوغاريتم تساوي 5. استبدال هذه النتائج في التعبير الأصلي، نحصل على (سجل 3 15− سجل 3 5) 7 سجل 7 5 =1 5=5.

إليك الحل بدون شرح:
(سجل 3 15− سجل 3 5) 7 سجل 7 5 = سجل 3 (15:5) 5=
=سجل 3 3·5=1·5=5 .

إجابة:

(سجل 3 15− سجل 3 5) 7 سجل 7 5 =5.

مثال.

ما قيمة التعبير العددي log 3 log 2 2 3 −1؟

حل.

نقوم أولًا بتحويل اللوغاريتم تحت علامة اللوغاريتم باستخدام صيغة لوغاريتم القوة: log 2 2 3 =3. وبالتالي، سجل 3 سجل 2 2 3 = سجل 3 3 ثم سجل 3 3 = 1. إذن log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

إجابة:

سجل 3 سجل 2 2 3 −1=0 .

مثال.

تبسيط التعبير.

حل.

تسمح صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدة بتمثيل نسبة اللوغاريتمات إلى قاعدة واحدة على أنها log 3 5. في هذه الحالة، التعبير الأصلي سوف يأخذ الشكل . حسب تعريف اللوغاريتم 3 سجل 3 5 =5، أي ، وقيمة التعبير الناتج، بحكم نفس تعريف اللوغاريتم، تساوي اثنين.

فيما يلي نسخة قصيرة من الحل الذي يتم تقديمه عادةً: .

إجابة:

.

للانتقال بسلاسة إلى المعلومات الواردة في الفقرة التالية، دعونا نلقي نظرة على التعبيرات 5 2+log 5 3 وlog0.01. هيكلها لا يتناسب مع أي من خصائص اللوغاريتمات. فماذا يحدث، لا يمكن تحويلها باستخدام خصائص اللوغاريتمات؟ من الممكن إذا قمت بإجراء تحويلات أولية تحضير هذه التعبيرات لتطبيق خصائص اللوغاريتمات. لذا 5 2+سجل 5 3 =5 2 5 سجل 5 3 =25 3=75, وlog0.01=log10 −2 =−2. بعد ذلك، سننظر بالتفصيل في كيفية تنفيذ إعداد هذا التعبير.

إعداد التعبيرات لاستخدام خصائص اللوغاريتمات

غالبًا ما تختلف اللوغاريتمات في التعبير الذي يتم تحويله في بنية التدوين عن الأجزاء اليسرى واليمنى من الصيغ المقابلة لخصائص اللوغاريتمات. ولكن في كثير من الأحيان، يتضمن تحويل هذه التعبيرات استخدام خصائص اللوغاريتمات: فاستخدامها يتطلب إعدادًا أوليًا فقط. ويتكون هذا الإعداد من إجراء بعض التحويلات المتماثلة التي تجعل اللوغاريتمات في شكل مناسب لتطبيق الخصائص.

لكي نكون منصفين، نلاحظ أن أي تحويل للتعبيرات تقريبًا يمكن أن يكون بمثابة تحويلات أولية، بدءًا من الاختزال المبتذل للمصطلحات المشابهة وحتى التطبيق الصيغ المثلثية. وهذا أمر مفهوم، حيث أن التعبيرات التي يتم تحويلها يمكن أن تحتوي على أي كائنات رياضية: الأقواس، والوحدات، والكسور، والجذور، والقوى، وما إلى ذلك. وبالتالي، يجب على المرء أن يكون مستعدًا لإجراء أي تحويل ضروري حتى يتمكن من الاستفادة من خصائص اللوغاريتمات.

دعنا نقول على الفور أننا في هذه المرحلة لا نكلف أنفسنا بمهمة تصنيف وتحليل جميع التحولات الأولية التي يمكن تصورها والتي من شأنها أن تسمح لنا لاحقًا بتطبيق خصائص اللوغاريتمات أو تعريف اللوغاريتم. سنركز هنا على أربعة منها فقط، وهي الأكثر شيوعًا والأكثر شيوعًا في الممارسة العملية.

والآن عن كل واحد منهم بالتفصيل، وبعد ذلك، في إطار موضوعنا، يبقى فقط فهم تحويل التعبيرات مع المتغيرات تحت علامات اللوغاريتمات.

تحديد القوى تحت علامة اللوغاريتم وعند قاعدتها

لنبدأ على الفور بمثال. دعونا نحصل على اللوغاريتم. من الواضح أن هيكلها في هذا الشكل لا يفضي إلى استخدام خصائص اللوغاريتمات. هل من الممكن تحويل هذا التعبير بطريقة أو بأخرى لتبسيطه، أو حتى أفضل لحساب قيمته؟ للإجابة على هذا السؤال، دعونا نلقي نظرة فاحصة على الرقمين 81 و 1/9 في سياق مثالنا. من السهل هنا ملاحظة أنه يمكن تمثيل هذه الأرقام كقوة 3، في الواقع، 81 = 3 4 و 1/9 = 3 −2. في هذه الحالة، يتم تقديم اللوغاريتم الأصلي في النموذج ويصبح من الممكن تطبيق الصيغة . لذا، .

يؤدي تحليل المثال الذي تم تحليله إلى ظهور الفكرة التالية: إذا أمكن، يمكنك محاولة عزل الدرجة تحت علامة اللوغاريتم وفي قاعدتها من أجل تطبيق خاصية لوغاريتم الدرجة أو عواقبها. يبقى فقط معرفة كيفية التمييز بين هذه الدرجات. دعونا نقدم بعض التوصيات حول هذه المسألة.

في بعض الأحيان يكون من الواضح تمامًا أن الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم و/أو في قاعدته يمثل بعض القوة الصحيحة، كما في المثال الذي تمت مناقشته أعلاه. يتعين علينا دائمًا التعامل مع قوى العدد اثنين، وهي مألوفة جيدًا: 4=2 2، 8=2 3، 16=2 4، 32=2 5، 64=2 6، 128=2 7، 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. ويمكن قول الشيء نفسه عن قوى الثلاثة: 9 = 3 2، 27 = 3 3، 81 = 3 4، 243 = 3 5، ... بشكل عام، لن يضر إذا كان لديك أمام عينيك جدول قوى الأعداد الطبيعيةفي غضون اثنتي عشرة. كما أنه ليس من الصعب العمل مع الصلاحيات الصحيحة لعشرة، ومائة، وألف، وما إلى ذلك.

مثال.

احسب القيمة أو قم بتبسيط التعبير: أ) سجل 6 216، ب) ، ج) سجل 0.000001 0.001.

حل.

أ) من الواضح أن 216=6 3، لذا فإن log 6 216=log 6 6 3 =3.

ب) يتيح لك جدول قوى الأعداد الطبيعية تمثيل الأرقام 343 و1/243 كقوى 7 ​​3 و3 −4 على التوالي. ولذلك، فإن التحويل التالي للوغاريتم معين ممكن:

ج) بما أن 0.000001=10 −6 و 0.001=10 −3، إذن سجل 0.000001 0.001=سجل 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

إجابة:

أ) سجل 6216=3، ب) ، ج) سجل 0.000001 0.001=1/2.

في الحالات الأكثر تعقيدًا، لعزل قوى الأرقام، عليك اللجوء إليها.

مثال.

تحويل التعبير إلى المزيد عرض بسيطسجل 3 648 سجل 2 3 .

حل.

دعونا نلقي نظرة على ما هو تحليل 648:

أي 648=2 3 ·3 4. هكذا، سجل 3 648 سجل 2 3 = سجل 3 (2 3 3 4) سجل 2 3.

نقوم الآن بتحويل لوغاريتم الضرب إلى مجموع اللوغاريتمات، وبعد ذلك نطبق خصائص لوغاريتم الأس:
سجل 3 (2 3 3 4) سجل 2 3=(سجل 3 2 3 + سجل 3 3 4)سجل 2 3=
=(3·سجل 3 2+4)·سجل 2 3 .

بحكم نتيجة طبيعية من خاصية لوغاريتم القوة التي تتوافق مع الصيغة ، المنتج log32·log23 هو حاصل ضرب ، وكما هو معروف فهو يساوي واحدًا. مع أخذ هذا في الاعتبار، نحصل على 3 سجل 3 2 سجل 2 3+4 سجل 2 3=3 1+4 سجل 2 3=3+4 سجل 2 3.

إجابة:

سجل 3 648 سجل 2 3=3+4 سجل 2 3.

في كثير من الأحيان، تمثل التعبيرات الموجودة تحت علامة اللوغاريتم وفي قاعدتها منتجات أو نسب الجذور و/أو قوى بعض الأرقام، على سبيل المثال، . يمكن التعبير عن مثل هذه التعبيرات على أنها صلاحيات. للقيام بذلك، يتم الانتقال من الجذور إلى القوى، ويتم استخدامها. تتيح هذه التحولات عزل القوى الموجودة تحت علامة اللوغاريتم وفي قاعدتها، ومن ثم تطبيق خصائص اللوغاريتمات.

مثال.

احسب: أ) ، ب) .

حل.

أ) التعبير في قاعدة اللوغاريتم هو نتاج القوى التي لها نفس الأساس؛ من خلال خاصية القوى المقابلة لدينا 5 2 ·5 −0.5 ·5 −1 =5 2−0.5−1 =5 0.5.

الآن لنحول الكسر تحت علامة اللوغاريتم: سننتقل من الجذر إلى الأس، وبعد ذلك سنستخدم خاصية نسبة الأس التي لها نفس الأساس: .

يبقى استبدال النتائج التي تم الحصول عليها في التعبير الأصلي، استخدم الصيغة والانتهاء من التحول:

ب) بما أن 729 = 3 6 و 1/9 = 3 −2، فيمكن إعادة كتابة التعبير الأصلي بالشكل .

بعد ذلك، نطبق خاصية جذر القوة، وننتقل من الجذر إلى القوة، ونستخدم خاصية نسبة القوى لتحويل أساس اللوغاريتم إلى قوة: .

مع الأخذ في الاعتبار النتيجة الأخيرة، لدينا .

إجابة:

أ) ، ب) .

من الواضح أنه في الحالة العامة، للحصول على صلاحيات تحت علامة اللوغاريتم وفي قاعدتها، قد تكون هناك حاجة إلى تحويلات مختلفة للتعبيرات المختلفة. دعونا نعطي بضعة أمثلة.

مثال.

ما معنى العبارة: أ) ، ب) .

حل.

نلاحظ أيضًا أن التعبير المعطى له سجل النموذج A B p ، حيث A=2 وB=x+1 وp=4. قمنا بتحويل التعبيرات الرقمية من هذا النوع وفقًا لخاصية لوغاريتم سجل الطاقة a b p =p·log a b ، لذلك، مع تعبير معين أريد أن أفعل الشيء نفسه، والانتقال من log 2 (x+1) 4 إلى 4·سجل 2 (س+1) . الآن دعونا نحسب قيمة التعبير الأصلي والتعبير الذي تم الحصول عليه بعد التحويل، على سبيل المثال، عندما x=−2. لدينا log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 و 4 سجل 2 (−2+1)=4 سجل 2 (−1)- تعبير لا معنى له. وهذا يثير سؤالاً منطقياً: "ما الخطأ الذي ارتكبناه؟"

والسبب هو هذا: قمنا بإجراء سجل التحويل 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) استنادًا إلى الصيغة log a b p =p·log a b ، لكن هذه الصيغةيحق لنا التقديم فقط في حالة استيفاء الشروط: a>0، a≠1، b>0، p - أي رقم حقيقي. أي أن التحويل الذي قمنا به يحدث إذا كان x+1>0، وهو نفس x>−1 (بالنسبة لـ A وp، تم استيفاء الشروط). ومع ذلك، في حالتنا، فإن ODZ للمتغير x للتعبير الأصلي لا يتكون فقط من الفاصل الزمني x>−1، ولكن أيضًا من الفاصل الزمني x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

ضرورة أن تأخذ بعين الاعتبار DL

دعونا نستمر في تحليل تحويل التعبير الذي اخترناه log 2 (x+1) 4 ، والآن دعونا نرى ما يحدث لـ ODZ عند الانتقال إلى التعبير 4 · log 2 (x+1) . في الفقرة السابقة، وجدنا ODZ للتعبير الأصلي - هذه هي المجموعة (−∞, −1)∪(−1, +∞) . الآن لنجد مدى القيم المقبولة للمتغير x للتعبير 4·log 2 (x+1) . يتم تحديده بواسطة الشرط x+1>0، الذي يتوافق مع المجموعة (−1, +∞). من الواضح أنه عند الانتقال من log 2 (x+1) 4 إلى 4·log 2 (x+1)، يضيق نطاق القيم المسموح بها. واتفقنا على تجنب التحولات التي تؤدي إلى تضييق نطاق DL، لأن ذلك قد يؤدي إلى عواقب سلبية مختلفة.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه من المفيد التحكم في الزراعة العضوية في كل خطوة من خطوات التحويل ومنع تضييقها. وإذا حدث فجأة في مرحلة ما من التحول تضييق DL، فمن المفيد أن ننظر بعناية فائقة فيما إذا كان هذا التحول مسموحًا به وما إذا كان لدينا الحق في تنفيذه.

لكي نكون منصفين، لنفترض أنه من الناحية العملية يتعين علينا عادةً العمل مع التعبيرات التي تكون فيها القيمة المتغيرة للمتغيرات بحيث يمكننا، عند إجراء التحويلات، استخدام خصائص اللوغاريتمات دون قيود في النموذج المعروف لنا بالفعل، سواء من اليسار إلى اليمين ومن اليمين إلى اليسار. تعتاد على ذلك بسرعة، وتبدأ في تنفيذ التحولات ميكانيكيًا، دون التفكير فيما إذا كان من الممكن تنفيذها. وفي مثل هذه اللحظات، كما لو كان الحظ، تتسلل أمثلة أكثر تعقيدًا يؤدي فيها التطبيق الإهمالي لخصائص اللوغاريتمات إلى حدوث أخطاء. لذلك عليك أن تكون دائمًا على اطلاع وتتأكد من عدم وجود تضييق في ODZ.

لن يضر تسليط الضوء بشكل منفصل على التحولات الرئيسية بناء على خصائص اللوغاريتمات، والتي يجب تنفيذها بعناية فائقة، والتي يمكن أن تؤدي إلى تضييق OD، ونتيجة لذلك - إلى الأخطاء:

يمكن أن تؤدي بعض تحويلات التعبيرات بناءً على خصائص اللوغاريتمات أيضًا إلى العكس - توسيع ODZ. على سبيل المثال، يؤدي الانتقال من 4·log 2 (x+1) إلى log 2 (x+1) 4 إلى توسيع ODZ من المجموعة (−1, +∞) إلى (−∞, −1)∪(−1, +∞) . تحدث مثل هذه التحولات إذا بقينا ضمن إطار ODZ للتعبير الأصلي. لذا فإن التحويل المذكور للتو 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 يحدث على ODZ للمتغير x للتعبير الأصلي 4·log 2 (x+1)، أي من أجل x+1> 0، وهو نفس (−1, +∞).

الآن بعد أن ناقشنا الفروق الدقيقة التي تحتاج إلى الانتباه إليها عند تحويل التعبيرات ذات المتغيرات باستخدام خصائص اللوغاريتمات، يبقى معرفة كيفية تنفيذ هذه التحويلات بشكل صحيح.

س+2>0 . هل ينجح في حالتنا؟ للإجابة على هذا السؤال، دعونا نلقي نظرة على ODZ للمتغير x. يتم تحديده من خلال نظام عدم المساواة ، وهو ما يعادل الشرط x+2>0 (إذا لزم الأمر، راجع المقالة حل أنظمة عدم المساواة). وبالتالي، يمكننا تطبيق خاصية لوغاريتم القوة بأمان.

لدينا
3 سجل(x+2) 7 −log(x+2)−5 سجل(x+2) 4 =
=3·7·سجل(x+2)−سجل(x+2)−5·4·سجل(x+2)=
=21 سجل(x+2)−سجل(x+2)−20 سجل(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

يمكنك التصرف بشكل مختلف، حيث أن ODZ يسمح لك بالقيام بذلك، على سبيل المثال مثل هذا:

إجابة:

3 سجل(x+2) 7 −log(x+2)−5 سجل(x+2) 4 =0.

ولكن ماذا تفعل عندما لا يتم استيفاء الشروط المصاحبة لخصائص اللوغاريتمات في ODZ؟ وسوف نفهم هذا مع الأمثلة.

لنطلب منا تبسيط التعبير log(x+2) 4 − log(x+2) 2 . تحويل هذا التعبير، على عكس التعبير من المثال السابق، لا يسمح بالاستخدام الحر لخاصية لوغاريتم القوة. لماذا؟ ODZ للمتغير x في هذه الحالة هو اتحاد فترتين x>−2 وx<−2 . При x>−2 يمكننا بسهولة تطبيق خاصية لوغاريتم القوة والتصرف كما في المثال أعلاه: سجل(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 سجل(x+2)−2 سجل(x+2)=2 سجل(x+2). لكن ODZ يحتوي على فاصل زمني آخر x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к سجل(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2وكذلك بسبب خصائص الدرجة k lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2. يمكن تحويل التعبير الناتج باستخدام خاصية لوغاريتم القوة، منذ |x+2|>0 لأي قيمة للمتغير. لدينا السجل|س+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. الآن يمكنك تحرير نفسك من الوحدة، لأنها قامت بعملها. بما أننا ننفذ التحويل عند x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

دعونا نلقي نظرة على مثال آخر حتى يصبح العمل مع الوحدات مألوفًا. دعونا نتصور من التعبير انتقل إلى مجموع وفرق لوغاريتمات ذات الحدين الخطية x−1 وx−2 وx−3. أولاً نجد ODZ:

في الفاصل الزمني (3، +∞) تكون قيم التعبيرات x−1 وx−2 وx−3 موجبة، لذا يمكننا بسهولة تطبيق خصائص لوغاريتم المجموع والفرق:

وعلى الفاصل الزمني (1، 2) تكون قيم التعبير x−1 موجبة، وقيم التعبيرات x−2 و x−3 سالبة. لذلك، في الفاصل الزمني المدروس، نمثل x−2 وx−3 باستخدام المعامل كـ −|x−2| و -|x−3| على التوالى. حيث

الآن يمكننا تطبيق خصائص لوغاريتم المنتج والحاصل، لأنه في الفترة المدروسة (1، 2) قيم التعبيرات x−1 , |x−2| و |س−3| - إيجابي.

لدينا

يمكن دمج النتائج التي تم الحصول عليها:

بشكل عام، يسمح هذا المنطق، بناءً على صيغ لوغاريتم المنتج والنسبة والدرجة، بالحصول على ثلاث نتائج مفيدة عمليًا، وهي ملائمة تمامًا للاستخدام:

• يمكن استبدال لوغاريتم منتج تعبيرين عشوائيين X وY من النموذج log a (X·Y) بمجموع اللوغاريتمات log a |X|+log a |Y| , أ>0 , أ≠1 .
• يمكن استبدال لوغاريتم نموذج معين سجل a (X:Y) باختلاف اللوغاريتمات سجل a |X|−log a |Y| و a>0 و a≠1 و X و Y هي تعبيرات عشوائية.
• من لوغاريتم بعض التعبيرات B إلى قوة زوجية p للنموذج log a B p يمكننا الانتقال إلى التعبير p·log a |B| ، حيث a>0، a≠1، p هو رقم زوجي وB هو تعبير عشوائي.

تم تقديم نتائج مماثلة، على سبيل المثال، في تعليمات حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية في مجموعة المسائل في الرياضيات لأولئك الذين يدخلون الجامعات، والذي حرره M. I. Skanavi.

مثال.

تبسيط التعبير .

حل.

سيكون من الجيد تطبيق خصائص لوغاريتم القوة والمجموع والفرق. ولكن هل يمكننا أن نفعل هذا هنا؟ للإجابة على هذا السؤال علينا أن نعرف DZ.

دعونا نحددها:

من الواضح تمامًا أن التعبيرات x+4 وx−2 و(x+4) 13 في نطاق القيم المسموح بها للمتغير x يمكن أن تأخذ قيمًا موجبة وسالبة. لذلك، سيتعين علينا التصرف من خلال الوحدات.

تسمح لك خصائص الوحدة بإعادة كتابتها بالشكل التالي

كما أنه لا شيء يمنعك من استخدام خاصية لوغاريتم القوة ثم جلب مصطلحات مماثلة:

سلسلة أخرى من التحولات تؤدي إلى نفس النتيجة:

وبما أن التعبير x−2 في ODZ يمكن أن يأخذ قيمًا موجبة وسالبة، فعند أخذ الأس الزوجي 14

دعنا نبدء ب خصائص لوغاريتم واحد. وصياغتها هي كما يلي: لوغاريتم الوحدة يساوي صفراً، أي سجل 1=0لأي > 0، أ≠1. الإثبات ليس صعبًا: نظرًا لأن 0 =1 لأي ​​a يفي بالشروط المذكورة أعلاه a>0 وa≠1، فإن سجل المساواة a 1=0 الذي سيتم إثباته يتبع مباشرة تعريف اللوغاريتم.

دعونا نعطي أمثلة لتطبيق الخاصية المدروسة: log 3 1=0, log1=0 و .

دعنا ننتقل إلى الخاصية التالية: لوغاريتم رقم يساوي الأساس يساوي واحدًا، إنه، سجل أ = 1لـ >0، أ≠1. في الواقع، نظرًا لأن 1 =a لأي a، فمن خلال تعريف سجل اللوغاريتم a a=1.

من أمثلة استخدام خاصية اللوغاريتمات هذه سجل المساواة 5 5=1، سجل 5.6 5.6 وlne=1.

على سبيل المثال، سجل 2 2 7 =7، سجل 10 -4 = -4 و .

لوغاريتم منتج رقمين موجبين x و y يساوي منتج لوغاريتمات هذه الأرقام: سجل أ (س ص) = سجل س + سجل ص, أ>0 , أ≠1 . دعونا نثبت خاصية لوغاريتم المنتج. بسبب خصائص الدرجة سجل a x+log a y =a سجل a x ·a سجل a y، وبما أنه من خلال الهوية اللوغاريتمية الرئيسية سجل a x =x وlog a y =y، ثم سجل a x ·a log a y =x·y. وهكذا، سجل a x+log a y =x·y، ومنه، حسب تعريف اللوغاريتم، يتبع ذلك المساواة التي تم إثباتها.

لنعرض أمثلة على استخدام خاصية لوغاريتم المنتج: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 و .

يمكن تعميم خاصية لوغاريتم المنتج على منتج عدد محدود n من الأعداد الموجبة x 1 , x 2 , …, x n كـ سجل أ (x 1 ·x 2 ·…·x n)= سجل أ × 1 +سجل أ × 2 +…+سجل أ × ن . ويمكن إثبات هذه المساواة دون مشاكل.

على سبيل المثال، يمكن استبدال اللوغاريتم الطبيعي للمنتج بمجموع ثلاثة لوغاريتمات طبيعية للأرقام 4 وe و.

لوغاريتم حاصل ضرب رقمين موجبين x و y يساوي الفرق بين لوغاريتمات هذه الأرقام. تتوافق خاصية لوغاريتم حاصل القسمة مع صيغة النموذج، حيث a>0 وa≠1 وx وy هي بعض الأرقام الموجبة. تم إثبات صحة هذه الصيغة وكذلك صيغة لوغاريتم حاصل الضرب: منذ ، ثم حسب تعريف اللوغاريتم.

فيما يلي مثال على استخدام خاصية اللوغاريتم: .

دعنا ننتقل إلى خاصية لوغاريتم القوة. لوغاريتم الدرجة يساوي حاصل ضرب الأس ولوغاريتم معامل قاعدة هذه الدرجة. دعونا نكتب خاصية لوغاريتم القوة كصيغة: سجل أ ب ع =p·سجل أ |ب|، حيث a>0 وa≠1 وb وp هي أرقام بحيث تكون الدرجة b p منطقية وb p >0.

أولا نثبت هذه الخاصية لإيجابية ب. تسمح لنا الهوية اللوغاريتمية الأساسية بتمثيل الرقم b في صورة a log a b ، ثم b p =(a log a b) p ، والتعبير الناتج، بسبب خاصية القوة، يساوي a p·log a b . لذلك نصل إلى المساواة b p =a p·log a b، والتي منها، من خلال تعريف اللوغاريتم، نستنتج أن log a b p =p·log a b.

يبقى إثبات هذه الخاصية لسلبية b. نلاحظ هنا أن التعبير log a b p للسالب b منطقي فقط بالنسبة للأسس الزوجية p (نظرًا لأن قيمة الدرجة b p يجب أن تكون أكبر من الصفر، وإلا فلن يكون اللوغاريتم منطقيًا)، وفي هذه الحالة b p =|b| ص. ثم ب ع =|ب| p =(سجل a |b|) p =a p·log a |b|، من حيث سجل a b p =p·log a |b| .

على سبيل المثال، و ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

يتبع من الخاصية السابقة خاصية اللوغاريتم من الجذر: لوغاريتم الجذر n يساوي حاصل ضرب الكسر 1/n في لوغاريتم التعبير الجذري، أي ، حيث a>0، a≠1، n – عدد طبيعي، أكبر من واحد، ب>0 .

والبرهان مبني على المساواة (انظر) التي تصح لأي موجب ب، وخاصية لوغاريتم القوة: .

فيما يلي مثال لاستخدام هذه الخاصية: .

الآن دعونا نثبت صيغة للانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدةعطوف . للقيام بذلك، يكفي إثبات صحة سجل المساواة c b=log a b·log c a. تسمح لنا الهوية اللوغاريتمية الأساسية بتمثيل الرقم b كسجل a b ، ثم log c b=log c a log a b . يبقى استخدام خاصية لوغاريتم الدرجة: سجل ج سجل أ ب = سجل أ ب سجل ج أ. وهذا يثبت سجل المساواة c b=log a b ·log c a، وهو ما يعني أن صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم قد تم إثباتها أيضًا.

دعونا نعرض بعض الأمثلة لاستخدام خاصية اللوغاريتمات هذه: و .

تتيح لك صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة الانتقال إلى العمل باستخدام اللوغاريتمات التي لها قاعدة "ملائمة". على سبيل المثال، يمكن استخدامه للانتقال إلى اللوغاريتمات الطبيعية أو العشرية بحيث يمكنك حساب قيمة اللوغاريتم من جدول اللوغاريتمات. تسمح صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدة أيضًا، في بعض الحالات، بإيجاد قيمة لوغاريتم معين عندما تكون قيم بعض اللوغاريتمات ذات أسس أخرى معروفة.

غالبًا ما يتم استخدام حالة خاصة من صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدة لـ c=b للنموذج . يوضح هذا أن السجل a b و السجل b a - . على سبيل المثال، .

يتم استخدام الصيغة أيضًا في كثير من الأحيان ، وهو مناسب للعثور على قيم اللوغاريتمات. ولتأكيد كلامنا، سنبين كيف يمكن استخدامه لحساب قيمة لوغاريتم النموذج. لدينا . لإثبات الصيغة يكفي استخدام صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم a: .

يبقى إثبات خصائص مقارنة اللوغاريتمات.

دعونا نثبت أنه لأي أرقام موجبة ب 1 و ب 2، ب 1 log a b 2 و لـ a>1 – سجل عدم المساواة a b 1

أخيرًا، يبقى إثبات آخر خصائص اللوغاريتمات المذكورة. دعونا نقتصر على إثبات الجزء الأول منه، أي أننا سنثبت أنه إذا كان 1 > 1 و 2 > 1 و 1 1 صحيح سجل أ 1 ب>سجل أ 2 ب . تم إثبات العبارات المتبقية لخاصية اللوغاريتمات هذه وفقًا لمبدأ مماثل.

دعونا نستخدم الطريقة المعاكسة. لنفترض أنه بالنسبة لـ 1>1، و2>1، و1 1 صحيح سجل a 1 b≥log a 2 b . واستنادا إلى خصائص اللوغاريتمات، يمكن إعادة كتابة هذه المتباينات على النحو التالي: و على التوالي، ومنهم يتبع ذلك سجل ب أ 1 ≥ سجل ب أ 2 و سجل ب أ 1 ≥ سجل ب أ 2، على التوالي. بعد ذلك، وفقًا لخصائص القوى ذات الأساس نفسه، يجب أن تكون المعادلتان b log b a 1 ≥b log b a 2 و b log b a 1 ≥b log b a 2، أي a 1 ≥a 2 . لذلك وصلنا إلى تناقض الشرط أ 1

فهرس.

• Kolmogorov A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. وغيرها الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10 - 11 بمؤسسات التعليم العام.
• جوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج. الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية).

يتبع من تعريفه. وهكذا لوغاريتم الرقم بمرتكز على أيتم تعريفه على أنه الأس الذي يجب رفع الرقم إليه أللحصول على الرقم ب(اللوغاريتم موجود فقط للأرقام الموجبة).

ويترتب على هذه الصيغة أن الحساب س = سجل ب، يعادل حل المعادلة أ س = ب.على سبيل المثال، سجل 2 8 = 3لأن 8 = 2 3 . صياغة اللوغاريتم تجعل من الممكن تبرير ذلك إذا ب=أ ج، ثم لوغاريتم الرقم بمرتكز على أيساوي مع. ومن الواضح أيضًا أن موضوع اللوغاريتمات يرتبط ارتباطًا وثيقًا بموضوع قوى العدد.

مع اللوغاريتمات، كما هو الحال مع أي أرقام، يمكنك القيام بذلك عمليات الجمع والطرحوالتحول بكل الطرق الممكنة. ولكن نظرًا لحقيقة أن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا، فإن قواعدها الخاصة تنطبق هنا، والتي تسمى الخصائص الرئيسية.

جمع وطرح اللوغاريتمات.

لنأخذ لوغاريتمين لهما نفس الأساس: سجل xو سجل ذ. ومن الممكن بعد ذلك إجراء عمليات الجمع والطرح:

سجل x+ سجل y= سجل a (x·y);

سجل س - سجل ص = سجل أ (س: ص).

سجل أ(س 1 . س 2 . س 3 ... س ك) = سجل x 1 + سجل x 2 + سجل x 3 + ... + سجل × ك.

من نظرية حاصل اللوغاريتميمكن الحصول على خاصية أخرى للوغاريتم. ومن المعروف أن السجل أ 1=0، لذلك

سجل أ 1 /ب=log أ 1 - السجل أ ب= - سجل أ ب.

وهذا يعني أن هناك مساواة:

سجل أ 1 / ب = - سجل أ ب.

لوغاريتمات رقمين متبادلينلنفس السبب سوف تختلف عن بعضها البعض فقط من خلال الإشارة. لذا:

سجل 3 9= - سجل 3 1 / 9 ; سجل 5 1/125 = - سجل 5 125.

المهام التي الحل هو تحويل التعبيرات اللوغاريتمية، شائعة جدًا في امتحان الدولة الموحدة.

من أجل التعامل معها بنجاح في أقل وقت ممكن، بالإضافة إلى الهويات اللوغاريتمية الأساسية، تحتاج إلى معرفة بعض الصيغ الإضافية واستخدامها بشكل صحيح.

هذا هو: سجل أ ب = ب، حيث أ، ب > 0، أ ≠ 1 (يتبع مباشرة من تعريف اللوغاريتم).

سجل أ ب = سجل ج ب / سجل ج أ أو سجل أ ب = 1/سجل ب أ
حيث أ، ب، ج > 0؛ أ، ج ≠ 1.

سجل أ م ب ن = (م/ن) سجل |أ| |ب|
حيث أ، ب > 0، أ ≠ 1، م، ن Є R، ن ≠ 0.

سجل ج ب = ب سجل ج أ
حيث أ، ب، ج > 0 و أ، ب، ج ≠ 1

ولإظهار صحة المساواة الرابعة، لنأخذ لوغاريتم الطرفين الأيسر والأيمن للأساس أ. نحصل على سجل أ (سجل مع ب) = سجل أ (سجل ب مع أ) أو سجل مع ب = سجل مع · سجل أ ب؛ سجل ج ب = سجل ج أ · (سجل ج ب / سجل ج أ)؛ سجل مع ب = سجل مع ب.

لقد أثبتنا تساوي اللوغاريتمات، مما يعني أن التعبيرات الموجودة تحت اللوغاريتمات متساوية أيضًا. لقد تم إثبات الفورمولا 4.

مثال 1.

احسب 81 سجل 27 5 سجل 5 4 .

حل.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

سجل 27 5 = 1/3 سجل 3 5، سجل 5 4 = سجل 3 4 / سجل 3 5. لذلك،

سجل 27 5 سجل 5 4 = 1/3 سجل 3 5 (سجل 3 4 / سجل 3 5) = 1/3 سجل 3 4.

ثم 81 سجل 27 5 سجل 5 4 = (3 4) 1/3 سجل 3 4 = (3 سجل 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

يمكنك إكمال المهمة التالية بنفسك.

احسب (8 سجل 2 3 + 3 1 / سجل 2 3) - سجل 0.2 5.

كتلميح، 0.2 = 1/5 = 5 -1؛ سجل 0.2 5 = -1.

الجواب: 5.

مثال 2.

احسب (√11) سجل √3 9- سجل 121 81 .

حل.

دعونا نغير التعبيرات: 9 = 3 2، √3 = 3 1/2، سجل √3 9 = 4،

121 = 11 2، 81 = 3 4، سجل 121 81 = 2 سجل 11 3 (تم استخدام الصيغة 3).

ثم (√11) سجل √3 9- سجل 121 81 = (11 1/2) 4-2 سجل 11 3 = (11) 2- سجل 11 3 = 11 2 / (11) سجل 11 3 = 11 2 / ( 11 سجل 11 3) = 121/3.

مثال 3.

احسب السجل 2 24 / السجل 96 2 - السجل 2 192 / السجل 12 2.

حل.

نستبدل اللوغاريتمات الموجودة في المثال باللوغاريتمات ذات الأساس 2.

سجل 96 2 = 1/سجل 2 96 = 1/سجل 2 (2 5 3) = 1/(سجل 2 2 5 + سجل 2 3) = 1/(5 + سجل 2 3);

سجل 2 192 = سجل 2 (2 6 3) = (سجل 2 2 6 + سجل 2 3) = (6 + سجل 2 3);

سجل 2 24 = سجل 2 (2 3 3) = (سجل 2 2 3 + سجل 2 3) = (3 + سجل 2 3);

سجل 12 2 = 1/سجل 2 12 = 1/سجل 2 (2 2 3) = 1/(سجل 2 2 2 + سجل 2 3) = 1/(2 + سجل 2 3).

ثم سجل 2 24 / سجل 96 2 – سجل 2 192 / سجل 12 2 = (3 + سجل 2 3) / (1/(5 + سجل 2 3)) – ((6 + سجل 2 3) / (1/( 2 + سجل 2 3)) =

= (3 + سجل 2 3) · (5 + سجل 2 3) – (6 + سجل 2 3)(2 + سجل 2 3).

وبعد فتح الأقواس وإحضار مصطلحات متشابهة نحصل على الرقم 3. (عند تبسيط التعبير يمكننا الإشارة إلى log 2 3 بواسطة n وتبسيط التعبير

(3 + ن) · (5 + ن) – (6 + ن)(2 + ن)).

الجواب: 3.

يمكنك إكمال المهمة التالية بنفسك:

احسب (سجل 3 4 + سجل 4 3 + 2) سجل 3 16 سجل 2 144 3.

من الضروري هنا الانتقال إلى اللوغاريتمات ذات الأساس 3 وتحليل الأعداد الكبيرة إلى عوامل أولية.

الجواب:1/2

مثال 4.

بالنظر إلى ثلاثة أرقام أ = 1/(سجل 3 0.5)، ب = 1/(سجل 0.5 3)، ج = سجل 0.5 12 – سجل 0.5 3. رتبهم بترتيب تصاعدي.

حل.

دعونا نحول الأرقام A = 1/(log 3 0.5) = log 0.5 3; C = سجل 0.5 12 – سجل 0.5 3 = سجل 0.5 12/3 = سجل 0.5 4 = -2.

دعونا مقارنتها

سجل 0.5 3 > سجل 0.5 4 = -2 و سجل 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

أو 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

إجابة. ولذلك فإن ترتيب وضع الأرقام هو: C؛ أ؛ في.

مثال 5.

كم عدد الأعداد الصحيحة الموجودة في الفاصل الزمني (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

حل.

دعونا نحدد بين أي قوى للرقم 3 يقع الرقم 1/16. نحصل على 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

بما أن الدالة y = log 3 x آخذة في التزايد، فإن log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

سجل 6 48 = سجل 6 (36 4 / 3) = سجل 6 36 + سجل 6 (4 / 3) = 2 + سجل 6 (4 / 3). لنقارن السجل 6 (4/3) و1/5. ولهذا نقارن بين الرقمين 4/3 و 6 1/5. دعونا نرفع كلا الرقمين إلى القوة الخامسة. نحصل على (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

سجل 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

لذلك، فإن الفاصل الزمني (log 3 1 / 16 ; log 6 48) يتضمن الفاصل الزمني [-2; 4] وتوضع عليه الأعداد الصحيحة -2؛ -1؛ 0; 1؛ 2؛ 3؛ 4.

الجواب: 7 أعداد صحيحة.

مثال 6.

احسب 3 lgg 2/ lg 3 - lg20.

حل.

3 ال جي 2/ ال جي 3 = (3 1/ ال جي 3) ال جي 2 = (3 لو جي 3 10) ال جي 2 = 10 ال جي 2 = lg2.

ثم 3 lg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0.1 = -1.

الجواب: -1.

مثال 7.

من المعروف أن log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. أوجد log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).

حل.

الأرقام (√3 + 1) و (√3 – 1)؛ (√6 – 2) و (√6 + 2) مترافقان.

دعونا ننفذ التحويل التالي للتعبيرات

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

ثم سجل 2 (√3 – 1) + سجل 2 (√6 + 2) = سجل 2 (2/(√3 + 1)) + سجل 2 (2/(√6 – 2)) =

سجل 2 2 – سجل 2 (√3 + 1) + سجل 2 2 – سجل 2 (√6 – 2) = 1 – سجل 2 (√3 + 1) + 1 – سجل 2 (√6 – 2) =

2 – سجل 2 (√3 + 1) – سجل 2 (√6 – 2) = 2 – أ.

الجواب: 2- أ.

مثال 8.

بسّط وأوجد القيمة التقريبية للتعبير (سجل 3 2 سجل 4 3 سجل 5 4 سجل 6 5 ... سجل 10 9.

حل.

دعونا نختصر جميع اللوغاريتمات إلى الأساس المشترك 10.

(سجل 3 2 سجل 4 3 سجل 5 4 سجل 6 5 ... سجل 10 9 = (ل 2 / ل 3) (ل 3 / ل 4) (ل 4 / ل 5) (ل 5 / ل 6) · ... · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0.3010 (يمكن العثور على القيمة التقريبية لـ lg 2 باستخدام الجدول أو مسطرة الشريحة أو الآلة الحاسبة).

الجواب: 0.3010.

مثال 9.

احسب السجل a 2 b 3 √(a 11 b -3) إذا كان السجل √ a b 3 = 1. (في هذا المثال، a 2 b 3 هو أساس اللوغاريتم).

حل.

إذا كان log √ a b 3 = 1، فإن 3/(0.5 log a b = 1. وlog a b = 1/6.

ثم سجل أ 2 ب 3√(أ 11 ب -3) = 1/2 سجل أ 2 ب 3 (أ 11 ب -3) = سجل أ (أ 11 ب -3) / (2 سجل أ (أ 2 ب 3) ) = (log a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) باعتبار أن ذلك السجل a b = 1/ 6 نحصل على (11 - 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10.5/5 = 2.1.

الجواب: 2.1.

يمكنك إكمال المهمة التالية بنفسك:

احسب السجل √3 6 √2.1 إذا كان السجل 0.7 27 = أ.

الجواب: (3 + أ) / (3 أ).

مثال 10.

احسب 6.5 4/ سجل 3 169 · 3 1/ سجل 4 13 + سجل 125.

حل.

6.5 4/ سجل 3 169 · 3 1/ سجل 4 13 + سجل 125 = (13/2) 4/2 سجل 3 13 · 3 2/ سجل 2 13 + 2 سجل 5 5 3 = (13/2) 2 سجل 13 3 3 2 سجل 13 2 + 6 = (13 سجل 13 3 / 2 سجل 13 3) 2 (3 سجل 13 2) 2 + 6 = (3/2 سجل 13 3) 2 (3 سجل 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 سجل 13 3) 2) · (2 ​​سجل 13 3) 2 + 6.

(2 سجل 13 3 = 3 سجل 13 2 (الصيغة 4))

نحصل على 9 + 6 = 15.

الجواب: 15.

لا تزال لديك أسئلة؟ لست متأكدًا من كيفية العثور على قيمة التعبير اللوغاريتمي؟
للحصول على مساعدة من المعلم -.
الدرس الأول مجاني!

blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.