Задача B7 - Преобразуване на логаритмични и експоненциални изрази. Основни свойства на логаритмите

При преобразуване на изрази с логаритми изброените равенства се използват както отдясно наляво, така и отляво надясно.

Струва си да се отбележи, че не е необходимо да запаметявате последствията от свойствата: когато извършвате трансформации, можете да се справите с основните свойства на логаритмите и други факти (например факта, че за b≥0), от които следват съответните последствия. " Страничен ефект„Този ​​подход се проявява само в това, че решението ще бъде малко по-дълго. Например, за да се направи без последствието, което се изразява с формулата и започвайки само от основните свойства на логаритмите, ще трябва да извършите верига от трансформации от следния вид: .

Същото може да се каже и за последното свойство от горния списък, на което отговаря формулата , тъй като следва и от основните свойства на логаритмите. Основното нещо, което трябва да разберете, е, че винаги е възможно степента на положително число с логаритъм в степента да размени основата на степента и числото под знака на логаритъма. За да бъдем честни, отбелязваме, че примерите, предполагащи изпълнението на трансформации от този вид, са рядкост на практика. По-долу в текста ще дадем няколко примера.

Преобразуване на числови изрази с логаритми

Спомнихме си свойствата на логаритмите, сега е време да научим как да ги прилагаме на практика за трансформиране на изрази. Естествено е да започнете с преобразуване на числови изрази, а не на изрази с променливи, тъй като те са по-удобни и по-лесни за научаване на основите. Това е, което ще направим и ще започнем с много прости примери, за да научите как да изберете желаното свойство на логаритъма, но ние постепенно ще усложняваме примерите, до момента, в който за получаване на крайния резултат ще е необходимо да приложите няколко свойства подред.

Избор на желаното свойство на логаритмите

Има много свойства на логаритмите и е ясно, че трябва да можете да изберете подходящия от тях, който в дадена конкретен случайще доведе до желания резултат. Обикновено това не е трудно да се направи чрез сравняване на вида на преобразувания логаритъм или израз с типовете лява и дясна част на формули, изразяващи свойствата на логаритмите. Ако лявата или дясната страна на една от формулите съвпада с даден логаритъм или израз, тогава най-вероятно това свойство трябва да се използва по време на трансформацията. Следните примеритова е ясно демонстрирано.

Нека започнем с примери за преобразуване на изрази с помощта на дефиницията на логаритъм, която съответства на формулата a log a b =b, a>0, a≠1, b>0.

Пример.

Изчислете, ако е възможно: a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) , г) 2 log 2 (−7) , д) .

Решение.

В примера под буква а) ясно се вижда структурата a log a b, където a=5, b=4. Тези числа отговарят на условията a>0, a≠1, b>0, така че можете спокойно да използвате равенството a log a b =b. Имаме 5 log 5 4=4 .

b) Тук a=10, b=1+2·π, условията a>0, a≠1, b>0 са изпълнени. В този случай се изпълнява равенството 10 log(1+2·π) =1+2·π.

в) И в този пример имаме работа със степен от формата a log a b, където и b=ln15. И така .

Въпреки че принадлежи към същия тип a log a b (тук a=2, b=−7), изразът под буквата g) не може да бъде преобразуван с помощта на формулата a log a b =b. Причината е, че е безсмислено, тъй като съдържа отрицателно число под знака на логаритъма. Освен това числото b=−7 не отговаря на условието b>0, което прави невъзможно прибягването до формулата a log a b =b, тъй като тя изисква изпълнението на условията a>0, a≠1, b> 0. Така че не можем да говорим за изчисляване на стойността на 2 log 2 (−7) . В този случай писането на 2 log 2 (−7) =−7 би било грешка.

По същия начин в примера под буква д) е невъзможно да се даде решение на формата , тъй като оригиналният израз няма смисъл.

отговор:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , г), д) изразите нямат смисъл.

Трансформацията често е полезна, при която положително число е представено като степен на някакво положително и неединствено число с логаритъм в степента. Базира се на същата дефиниция на логаритъма a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, но формулата се прилага отдясно наляво, тоест във формата b=a log a b . Например 3=e ln3 или 5=5 log 5 5 .

Нека да преминем към използването на свойствата на логаритмите за трансформиране на изрази.

Пример.

Намерете стойността на израза: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Решение.

В примерите под букви а), б) и в) са дадени изразите log −2 1, log 1 1, log 0 1, които нямат смисъл, тъй като основата на логаритъма не трябва да съдържа отрицателно число, нула или едно, защото сме дефинирали логаритъм само за основа, която е положителна и различна от единица. Следователно в примери а) - в) не може да става дума за намиране на смисъла на израза.

Във всички останали задачи, очевидно, основите на логаритмите съдържат съответно положителни и неединични числа 7, e, 10, 3,75 и 5·π 7, а под знаците на логаритмите навсякъде има единици. И знаем свойството на логаритъма от единица: log a 1=0 за всяко a>0, a≠1. По този начин стойностите на изразите b) – e) са равни на нула.

отговор:

a), b), c) изразите нямат смисъл, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0 .

Пример.

Изчислете: а) , б) lne , в) lg10 , г) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), д) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Решение.

Ясно е, че трябва да използваме свойството на логаритъма на основата, което съответства на формулата log a a=1 за a>0, a≠1. Наистина в задачите под всички букви числото под знака на логаритъма съвпада с основата му. Затова бих искал веднага да кажа, че стойността на всеки от дадените изрази е 1. Не бива обаче да бързате със заключенията: в задачите под букви а) - г) стойностите на изразите наистина са равни на единица, а в задачи д) и е) оригиналните изрази нямат смисъл, така че не може да се каже, че стойностите на тези изрази са равни на 1.

отговор:

а) , б) lne=1 , в) lg10=1 , г) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, д), е) изразите нямат смисъл.

Пример.

Намерете стойността: а) log 3 3 11, б) , в), г) log −10 (−10) 6 .

Решение.

Очевидно под знаците на логаритмите има някои степени на основата. Въз основа на това разбираме, че тук ще ни трябва свойството на степента на основата: log a a p =p, където a>0, a≠1 и p е всяко реално число. Като вземем това предвид, имаме следните резултати: а) log 3 3 11 =11, б) , V) . Може ли да се напише подобно равенство за примера под буква d) от вида log −10 (−10) 6 =6? Не, не можете, защото изразът log −10 (−10) 6 няма смисъл.

отговор:

а) log 3 3 11 =11, б) , V) , г) изразът няма смисъл.

Пример.

Представете израза като сбор или разлика от логаритми, като използвате една и съща основа: а) , b) , c) log((−5)·(−12)) .

Решение.

а) Под знака на логаритъма стои произведение и знаем свойството на логаритъма на произведението log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , y>0. В нашия случай числото в основата на логаритъма и числата в произведението са положителни, т.е. те отговарят на условията на избраното свойство, следователно можем безопасно да го приложим: .

б) Тук използваме свойството на частния логаритъм, където a>0, a≠1, x>0, y>0. В нашия случай основата на логаритъма е положително число e, числителят и знаменателят π са положителни, което означава, че отговарят на условията на свойството, така че имаме право да използваме избраната формула: .

c) Първо, отбележете, че изразът log((−5)·(−12)) има смисъл. Но в същото време за него нямаме право да приложим формулата за логаритъм на произведението log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y >0, тъй като числата са −5 и −12 – отрицателни и не отговарят на условията x>0, y>0. Тоест не можете да извършите такава трансформация: log((−5)·(−12))=log(−5)+log(−12). И така, какво трябва да направим? В такива случаи оригиналният израз се нуждае от предварителна трансформация, за да се избегнат отрицателни числа. Ще говорим подробно за подобни случаи на трансформиране на изрази с отрицателни числа под знака на логаритъм в една от статиите, но засега ще дадем решение на този пример, което е ясно предварително и без обяснение: log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

отговор:

а) , б) , в) log((−5)·(−12))=log5+lg12.

Пример.

Опростете израза: а) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5, б) .

Решение.

Тук ще ни помогнат всички същите свойства на логаритъма на произведението и логаритъма на частното, които използвахме в предишните примери, само сега ще ги приложим отдясно наляво. Тоест, трансформираме сумата от логаритми в логаритъм от произведението и разликата от логаритми в логаритъм от частното. Имаме
а) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
б) .

отговор:

а) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, б) .

Пример.

Отървете се от степента под знака на логаритъма: а) log 0,7 5 11, б) , в) log 3 (−5) 6 .

Решение.

Лесно се вижда, че имаме работа с изрази от формата log a b p . Съответното свойство на логаритъма има формата log a b p =p·log a b, където a>0, a≠1, b>0, p - всяко реално число. Тоест, ако условията a>0, a≠1, b>0 са изпълнени, от логаритъма на степенния log a b p можем да преминем към произведението p·log a b. Нека извършим тази трансформация с дадените изрази.

а) В този случай a=0,7, b=5 и p=11. Значи log 0,7 5 11 =11 · log 0,7 5.

б) Тук са изпълнени условията a>0, a≠1, b>0. Ето защо

в) Изразът log 3 (−5) 6 има същата структура log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Но за b условието b>0 не е изпълнено, което прави невъзможно използването на формулата log a b p =p·log a b . И какво, не можете да се справите със задачата? Възможно е, но е необходима предварителна трансформация на израза, която ще разгледаме подробно по-долу в параграфа под заглавието. Решението ще бъде така: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

отговор:

а) log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 ,
б)
в) log 3 (−5) 6 =6·log 3 5.

Доста често, когато се извършват трансформации, формулата за логаритъм на степен трябва да се приложи отдясно наляво във формата p·log a b=log a b p (същите условия трябва да бъдат изпълнени за a, b и p). Например, 3·ln5=ln5 3 и log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

Пример.

а) Изчислете стойността на log 2 5, ако е известно, че log2≈0,3010 и log5≈0,6990. б) Изразете дробта като логаритъм при основа 3.

Решение.

а) Формулата за преход към нова логаритъмна база ни позволява да представим този логаритъм като съотношение на десетични логаритми, чиито стойности са ни известни: . Остава само да извършим изчисленията, които имаме .

б) Тук е достатъчно да използвате формулата за преместване към нова база и да я приложите отдясно наляво, тоест във формата . получаваме .

отговор:

а) log 2 5≈2,3223, б) .

На този етап разгледахме доста подробно преобразуването на най-простите изрази, използвайки основните свойства на логаритмите и дефиницията на логаритъм. В тези примери трябваше да приложим едно свойство и нищо повече. Сега с чиста съвест можете да преминете към примери, чиято трансформация изисква използването на няколко свойства на логаритми и други допълнителни трансформации. Ще се занимаем с тях в следващия параграф. Но преди това нека разгледаме накратко примери за прилагане на следствия от основните свойства на логаритмите.

Пример.

а) Отървете се от корена под знака на логаритъма. б) Преобразувайте дробта в логаритъм с основа 5. в) Освободете се от степени под знака на логаритъма и в неговата основа. г) Изчислете стойността на израза . д) Заменете израза със степен с основа 3.

Решение.

а) Ако си припомним следствието от свойството логаритъм на степента , тогава можете веднага да дадете отговора: .

б) Тук използваме формулата от дясно на ляво имаме .

в) В този случай формулата води до резултата . получаваме .

г) И тук е достатъчно да приложим следствието, на което отговаря формулата . И така .

д) Свойство на логаритъма ни позволява да постигнем желания резултат: .

отговор:

а) . б) . V) . G) . г) .

Последователно прилагане на няколко свойства

Реалните задачи за преобразуване на изрази, използващи свойствата на логаритмите, обикновено са по-сложни от тези, които разгледахме в предишния параграф. При тях, като правило, резултатът не се получава на една стъпка, а решението вече се състои в последователно прилагане на едно свойство след друго, заедно с допълнителни идентични трансформации, като отваряне на скоби, привеждане на подобни членове, намаляване на дроби и т.н. . Така че нека се доближим до такива примери. В това няма нищо сложно, основното е да действате внимателно и последователно, като спазвате реда на действията.

Пример.

Изчислете стойността на израз (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Решение.

Разликата между логаритмите в скоби, според свойството на частния логаритъм, може да бъде заменена с логаритъм log 3 (15:5) и след това да се изчисли неговата стойност log 3 (15:5)=log 3 3=1. И стойността на израза 7 log 7 5 по дефиниция на логаритъм е равна на 5. Замествайки тези резултати в оригиналния израз, получаваме (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Ето решение без обяснение:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=log 3 3·5=1·5=5 .

отговор:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Пример.

Каква е стойността на числовия израз log 3 log 2 2 3 −1?

Решение.

Първо трансформираме логаритъма под знака за логаритъм, използвайки формулата за логаритъм на степен: log 2 2 3 =3. Така, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 и след това log 3 3=1. Така че log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

отговор:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Пример.

Опростете израза.

Решение.

Формулата за преминаване към нова основа на логаритъм позволява съотношението на логаритмите към една основа да бъде представено като log 3 5. В този случай оригиналният израз ще приеме формата . По дефиниция на логаритъма 3 log 3 5 =5, т.е , а стойността на получения израз, по силата на същата дефиниция на логаритъма, е равна на две.

Ето кратка версия на решението, което обикновено се дава: .

отговор:

.

За да преминете плавно към информацията в следващия параграф, нека да разгледаме изразите 5 2+log 5 3 и log0.01. Тяхната структура не отговаря на нито едно от свойствата на логаритмите. И така, какво се случва, те не могат да бъдат преобразувани с помощта на свойствата на логаритмите? Възможно е, ако извършите предварителни трансформации, които подготвят тези изрази за прилагане на свойствата на логаритмите. И така 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, и log0.01=log10 −2 =−2. След това ще разгледаме подробно как се извършва подготовката на такава експресия.

Подготовка на изрази за използване на свойствата на логаритмите

Логаритмите в израза, който се преобразува, много често се различават в структурата на нотацията от лявата и дясната част на формулите, които съответстват на свойствата на логаритмите. Но не по-рядко преобразуването на тези изрази включва използването на свойствата на логаритмите: тяхното използване изисква само предварителна подготовка. И тази подготовка се състои в извършване на определени идентични трансформации, които привеждат логаритмите във форма, удобна за прилагане на свойствата.

Честно казано, отбелязваме, че почти всяка трансформация на изрази може да действа като предварителни трансформации, от баналното редуциране на подобни термини до приложението тригонометрични формули. Това е разбираемо, тъй като преобразуваните изрази могат да съдържат всякакви математически обекти: скоби, модули, дроби, корени, степени и т.н. Следователно, човек трябва да е готов да извърши всяка необходима трансформация, за да може по-нататък да се възползва от свойствата на логаритмите.

Нека кажем веднага, че на този етап не си поставяме задачата да класифицираме и анализираме всички възможни предварителни трансформации, които биха ни позволили впоследствие да приложим свойствата на логаритмите или дефиницията на логаритъм. Тук ще се спрем само на четири от тях, които са най-характерни и най-често срещани в практиката.

И сега за всеки от тях по-подробно, след което, в рамките на нашата тема, всичко, което остава, е да разберем трансформацията на изрази с променливи под знаците на логаритмите.

Идентификация на степените под знака на логаритъма и в основата му

Нека започнем веднага с пример. Нека имаме логаритъм. Очевидно в тази форма неговата структура не е благоприятна за използване на свойствата на логаритмите. Възможно ли е по някакъв начин да се трансформира този израз, за ​​да се опрости и дори по-добре да се изчисли стойността му? За да отговорим на този въпрос, нека разгледаме по-подробно числата 81 и 1/9 в контекста на нашия пример. Тук е лесно да се забележи, че тези числа могат да бъдат представени като степен на 3, наистина, 81 = 3 4 и 1/9 = 3 −2. В този случай оригиналният логаритъм се представя във формата и става възможно прилагането на формулата . така че .

Анализът на анализирания пример поражда следната мисъл: ако е възможно, можете да опитате да изолирате степента под знака на логаритъма и в неговата основа, за да приложите свойството на логаритъма на степента или неговите последствия. Остава само да разберем как да разграничим тези степени. Нека да дадем някои препоръки по този въпрос.

Понякога е съвсем очевидно, че числото под знака на логаритъма и/или в основата му представлява някаква цяло число, както в примера, обсъден по-горе. Почти непрекъснато се налага да боравим със степени на две, които са добре познати: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. Същото може да се каже и за степените на три: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... Като цяло няма да навреди, ако имате пред очите си таблица на градусите естествени числа в рамките на дузина. Също така не е трудно да се работи с цели степени на десет, сто, хиляда и т.н.

Пример.

Изчислете стойността или опростете израза: a) log 6 216, b) , c) log 0,000001 0,001.

Решение.

а) Очевидно 216=6 3, така че log 6 216=log 6 6 3 =3.

б) Таблицата на степените на естествените числа ви позволява да представите числата 343 и 1/243 съответно като степени 7 3 и 3 −4. Следователно е възможно следното преобразуване на даден логаритъм:

в) Тъй като 0,000001=10 −6 и 0,001=10 −3, тогава log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

отговор:

а) log 6 216=3, б) , c) log 0,000001 0,001=1/2.

В по-сложни случаи, за да изолирате степените на числата, трябва да прибягвате до.

Пример.

Преобразувайте израза в повече прост изглед log 3 648 log 2 3 .

Решение.

Нека да разгледаме какво е факторизирането на 648:

Тоест 648=2 3 ·3 4. по този начин log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Сега трансформираме логаритъма на произведението в сумата от логаритми, след което прилагаме свойствата на логаритъма на степента:
log 3 (2 3 3 4)log 2 3=(log 3 2 3 +log 3 3 4)log 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

По силата на следствие от свойството на логаритъм на степента, което съответства на формулата , произведението log32·log23 е произведение на , и, както е известно, е равно на едно. Като вземем това предвид, получаваме 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

отговор:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Много често изрази под знака на логаритъма и в основата му представляват произведения или съотношения на корените и/или степени на някои числа, например, , . Такива изрази могат да бъдат изразени като правомощия. За да направите това, се прави преход от корени към правомощия и се използват и . Тези трансформации позволяват да се изолират степените под знака на логаритъма и в неговата основа и след това да се приложат свойствата на логаритмите.

Пример.

Изчислете: а) , б) .

Решение.

а) Изразът в основата на логаритъма е произведение на степени с еднакви основи по съответното свойство на степените, които имаме; 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Сега нека трансформираме дроба под знака на логаритъма: ще преминем от корена към степента, след което ще използваме свойството на съотношението на мощностите с еднакви основи: .

Остава да замените получените резултати в оригиналния израз, използвайте формулата и завършете трансформацията:

б) Тъй като 729 = 3 6 и 1/9 = 3 −2, оригиналният израз може да бъде пренаписан като .

След това прилагаме свойството корен на степен, преминаваме от корен към степен и използваме свойството съотношение на степени, за да преобразуваме основата на логаритъма в степен: .

Като вземем предвид последния резултат, имаме .

отговор:

а) , б) .

Ясно е, че в общия случай, за да се получат степени под знака на логаритъма и в неговата основа, може да са необходими различни трансформации на различни изрази. Нека дадем няколко примера.

Пример.

Какво е значението на израза: а) , б) .

Решение.

Освен това отбелязваме, че даденият израз има формата log A B p , където A=2, B=x+1 и p=4. Преобразувахме числови изрази от този тип според свойството на логаритъма на степента log a b p =p·log a b , следователно с даден израз искам да направя същото и да премина от log 2 (x+1) 4 към 4·log 2 (x+1) . Сега нека изчислим стойността на оригиналния израз и израза, получен след трансформацията, например, когато x=−2. Имаме log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 и 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- безсмислен израз. Това повдига логичния въпрос: „Какво направихме грешно?“

И причината е следната: извършихме трансформацията log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , въз основа на формулата log a b p =p·log a b , но тази формулаимаме право да кандидатстваме само ако са изпълнени условията: a>0, a≠1, b>0, p - всяко реално число. Тоест трансформацията, която направихме, се осъществява, ако x+1>0, което е същото като x>−1 (за A и p условията са изпълнени). В нашия случай обаче ODZ на променлива x за оригиналния израз се състои не само от интервала x>−1, но и от интервала x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Необходимостта да се вземе предвид DL

Нека продължим да анализираме трансформацията на израза, който сме избрали log 2 (x+1) 4 , а сега нека видим какво се случва с ODZ при преминаване към израза 4 · log 2 (x+1) . В предишния параграф открихме ODZ на оригиналния израз - това е множеството (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Сега нека намерим района приемливи стойностипроменлива x за израза 4·log 2 (x+1) . Определя се от условието x+1>0, което съответства на множеството (−1, +∞). Очевидно е, че при преминаване от log 2 (x+1) 4 към 4·log 2 (x+1), обхватът на допустимите стойности се стеснява. И се съгласихме да избягваме трансформации, които водят до стесняване на DL, тъй като това може да доведе до различни негативни последици.

Тук си струва да се отбележи за себе си, че е полезно да се контролира OA на всяка стъпка от трансформацията и да се предотврати неговото стесняване. И ако изведнъж на някакъв етап от трансформацията е имало стесняване на DL, тогава си струва да разгледаме много внимателно дали тази трансформация е допустима и дали сме имали право да я извършим.

За да бъдем честни, нека кажем, че на практика обикновено трябва да работим с изрази, в които променливата стойност на променливите е такава, че когато извършваме трансформации, можем да използваме свойствата на логаритмите без ограничения във вече известната ни форма, както от ляво на дясно и от дясно на ляво. Бързо свиквате с това и започвате да извършвате трансформации механично, без да мислите дали е възможно да ги извършите. И в такива моменти, за късмет, се изплъзват по-сложни примери, в които небрежното прилагане на свойствата на логаритмите води до грешки. Така че трябва винаги да сте нащрек и да се уверите, че няма стесняване на ODZ.

Няма да навреди отделно да се подчертаят основните трансформации, базирани на свойствата на логаритмите, които трябва да се извършват много внимателно, което може да доведе до стесняване на OD и в резултат на това до грешки:

Някои трансформации на изрази, базирани на свойствата на логаритмите, могат да доведат и до обратното - разширяване на ODZ. Например преходът от 4·log 2 (x+1) към log 2 (x+1) 4 разширява ODZ от набора (−1, +∞) до (−∞, −1)∪(−1, +∞). Такива трансформации стават, ако останем в рамките на ODZ за оригиналния израз. Така току-що споменатата трансформация 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 се извършва в ODZ на променливата x за оригиналния израз 4·log 2 (x+1), т.е. x+1> 0, което е същото като (−1, +∞).

Сега, след като обсъдихме нюансите, на които трябва да обърнете внимание, когато трансформирате изрази с променливи, използвайки свойствата на логаритмите, остава да разберем как правилно да извършваме тези трансформации.

X+2>0. Работи ли в нашия случай? За да отговорим на този въпрос, нека да разгледаме ODZ на променливата x. Определя се от системата от неравенства , което е еквивалентно на условието x+2>0 (ако е необходимо, вижте статията решаване на системи от неравенства). Така можем безопасно да приложим свойството на логаритъм на степента.

Имаме
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

Можете да действате по различен начин, за щастие ODZ ви позволява да направите това, например така:

отговор:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Но какво да правим, когато условията, съпътстващи свойствата на логаритмите, не са изпълнени на ODZ? Ще разберем това с примери.

Нека трябва да опростим израза log(x+2) 4 − log(x+2) 2 . Преобразуването на този израз, за ​​разлика от израза от предишния пример, не позволява свободно използване на свойството логаритъм на степента. защо ODZ на променлива x в този случай е обединението на два интервала x>−2 и x<−2 . При x>−2 можем лесно да приложим свойството на логаритъм на степен и да действаме както в примера по-горе: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 · log(x+2)−2 · log(x+2)=2 · log(x+2). Но ODZ съдържа още един интервал x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2и по-нататък поради свойствата на степента k lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2. Полученият израз може да се трансформира, като се използва свойството логаритъм на степен, тъй като |x+2|>0 за всяка стойност на променливата. Имаме log|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Сега можете да се освободите от модула, тъй като той си е свършил работата. Тъй като извършваме трансформацията при x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Нека да разгледаме още един пример, така че работата с модули да стане позната. Нека разберем от израза отидете до сбора и разликата от логаритми на линейни биноми x−1, x−2 и x−3. Първо намираме ODZ:

В интервала (3, +∞) стойностите на изразите x−1, x−2 и x−3 са положителни, така че лесно можем да приложим свойствата на логаритъма на сумата и разликата:

И на интервала (1, 2) стойностите на израза x−1 са положителни, а стойностите на изразите x−2 и x−3 са отрицателни. Следователно, на разглеждания интервал представяме x−2 и x−3, използвайки модула като −|x−2|

и −|x−3|

Имаме

съответно. В същото време

Сега можем да приложим свойствата на логаритъма на произведението и частното, тъй като върху разглеждания интервал (1, 2) стойностите на изразите x−1 , |x−2|

• и |x−3|
• - положителен.
• Получените резултати могат да се комбинират:

Като цяло подобно разсъждение позволява, въз основа на формулите за логаритъм на продукта, съотношението и степента, да се получат три практически полезни резултата, които са доста удобни за използване:

Пример.

Логаритъмът от произведението на два произволни израза X и Y от формата log a (X·Y) може да бъде заменен със сумата от логаритмите log a |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 . .

Решение.

Конкретният логаритъм log a (X:Y) може да бъде заменен с разликата на логаритмите log a |X|−log a |Y| , a>0, a≠1, X и Y са произволни изрази.

От логаритъм на някакъв израз B до четна степен p във формата log a B p можем да отидем до израза p·log a |B| , където a>0, a≠1, p е четно число и B е произволен израз.

Подобни резултати са дадени например в инструкциите за решаване на експоненциални и логаритмични уравнения в колекцията от задачи по математика за постъпващите в университети, под редакцията на М. И. Сканави.

Опростете израза

Би било добре да се прилагат свойствата на логаритъма на степента, сбора и разликата. Но можем ли да направим това тук? За да отговорим на този въпрос трябва да познаваме ДЗ.

Нека го дефинираме:

Съвсем очевидно е, че изразите x+4, x−2 и (x+4) 13 в диапазона на допустимите стойности на променливата x могат да приемат както положителни, така и отрицателни стойности. Следователно ще трябва да работим чрез модули.

Свойствата на модула ви позволяват да го пренапишете като , така че Освен това нищо не ви пречи да използвате свойството на логаритъм от степен и след това да приведете подобни условия:Друга последователност от трансформации води до същия резултат:

За да се справите успешно с тях с минимално време, освен основните логаритмични тъждества, трябва да знаете и правилно да използвате още някои формули.

Това е: a log a b = b, където a, b > 0, a ≠ 1 (Следва директно от дефиницията на логаритъма).

log a b = log c b / log c a или log a b = 1/log b a
където a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
където a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
където a, b, c > 0 и a, b, c ≠ 1

За да покажем валидността на четвъртото равенство, нека вземем логаритъма на лявата и дясната страна при основа а. Получаваме log a (a log с b) = log a (b log с a) или log with b = log with a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); дневник с b = дневник с b.

Доказахме равенството на логаритмите, което означава, че изразите под логаритмите също са равни. Формула 4 е доказана.

Пример 1.

Изчислете 81 log 27 5 log 5 4 .

Решение.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Следователно,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Тогава 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Можете сами да изпълните следната задача.

Изчислете (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.

Като намек, 0,2 = 1/5 = 5 -1; log 0,2 5 = -1.

Отговор: 5.

Пример 2.

Изчислете (√11) дневник √3 9- дневник 121 81 .

Решение.

Нека променим изразите: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (използвана е формула 3).

Тогава (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Пример 3.

Изчислете log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Решение.

Заменяме логаритмите, съдържащи се в примера, с логаритми с основа 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

След това log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

След като отворим скобите и приведем подобни членове, получаваме числото 3. (Когато опростяваме израза, можем да означим log 2 3 с n и да опростим израза

(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Отговор: 3.

Можете сами да изпълните следната задача:

Изчислете (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Тук е необходимо да се направи преход към логаритми с основа 3 и разлагане на големи числа на прости множители.

Отговор: 1/2

Пример 4.

Дадени са три числа A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Подредете ги във възходящ ред.

Решение.

Нека трансформираме числата A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.

Нека ги сравним

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 и log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Или -2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

отговор. Следователно редът на поставяне на числата е: C; А; IN.

Пример 5.

Колко цели числа има в интервала (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Решение.

Нека определим между кои степени на числото 3 се намира числото 1/16. Получаваме 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Тъй като функцията y = log 3 x нараства, тогава log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Нека сравним дневник 6 (4/3) и 1/5. И за това сравняваме числата 4/3 и 6 1/5. Нека повдигнем и двете числа на 5-та степен. Получаваме (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

дневник 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Следователно интервалът (log 3 1 / 16; log 6 48) включва интервала [-2; 4] и върху него са поставени целите числа -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Отговор: 7 цели числа.

Пример 6.

Изчислете 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Решение.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Тогава 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.

Отговор: -1.

Пример 7.

Известно е, че log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Намерете log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).

Решение.

Числа (√3 + 1) и (√3 – 1); (√6 – 2) и (√6 + 2) са спрегнати.

Нека извършим следната трансформация на изрази

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

Тогава log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.

Отговор: 2 – А.

Пример 8.

Опростете и намерете приблизителната стойност на израза (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Решение.

Намаляваме всички логаритми до обща основа 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (Приблизителната стойност на lg 2 може да се намери с помощта на таблица, логарифмична линейка или калкулатор).

Отговор: 0,3010.

Пример 9.

Изчислете log a 2 b 3 √(a 11 b -3), ако log √ a b 3 = 1. (В този пример a 2 b 3 е основата на логаритъма).

Решение.

Ако log √ a b 3 = 1, тогава 3/(0,5 log a b = 1. И log a b = 1/6.

Тогава log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Като се има предвид, че този log a b = 1/ 6 получаваме (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1.

Отговор: 2.1.

Можете сами да изпълните следната задача:

Изчислете log √3 6 √2.1, ако log 0.7 27 = a.

Отговор: (3 + a) / (3a).

Пример 10.

Изчислете 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.

Решение.

6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2 log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 ​​​​log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (формула 4))

Получаваме 9 + 6 = 15.

Отговор: 15.

Все още имате въпроси? Не сте сигурни как да намерите стойността на логаритмичен израз?
За да получите помощ от учител -.
Първият урок е безплатен!

blog.site, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към първоизточника.

Логаритмите, като всички числа, могат да се добавят, изваждат и трансформират по всякакъв начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Определено трябва да знаете тези правила - без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - можете да научите всичко за един ден. Така че да започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с еднакви основи: log а хи дневник а г. След това те могат да се събират и изваждат и:

1. дневник а х+ дневник а г= дневник а (х · г);
2. дневник а х− дневник а г= дневник а (х : г).

И така, сумата от логаритми е равна на логаритъма от произведението, а разликата е равна на логаритъма от частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е идентични основания. Ако причините са други, тези правила не работят!

Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичен израз, дори когато отделните му части не са взети предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:

Log 6 4 + log 6 9.

Тъй като логаритмите имат еднакви основи, използваме формулата за сумиране:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log 2 48 − log 2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log 3 135 − log 3 5.

Отново основите са същите, така че имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от „лоши“ логаритми, които не се изчисляват отделно. Но след трансформациите се получават напълно нормални числа. Много от тях са изградени върху този факт тестове. Да, изрази, подобни на тестове, се предлагат напълно сериозно (понякога почти без промени) на Единния държавен изпит.

Извличане на показателя от логаритъма

Сега нека усложним малко задачата. Ами ако основата или аргументът на логаритъм е степен? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Лесно се вижда, че последното правило следва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: а > 0, а ≠ 1, х> 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно, т.е. Можете да въведете числата преди знака за логаритъм в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log 7 49 6 .

Нека се отървем от степента в аргумента, използвайки първата формула:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете значението на израза:

[Надпис към снимката]

Забележете, че знаменателят съдържа логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ние имаме:

[Надпис към снимката]

Мисля, че последният пример изисква известно пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Представихме основата и аргумента на логаритъма, който стои там под формата на степени и извадихме показателите - получихме "триетажна" дроб.

Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят съдържат едно и също число: log 2 7. Тъй като log 2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката четворката може да се прехвърли в числителя, което и беше направено. Резултатът беше отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако причините са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

Формулите за преход към нова основа идват на помощ. Нека ги формулираме под формата на теорема:

Нека логаритъмът е даден а х. След това за произволен номер cтакова, че c> 0 и c≠ 1 равенството е вярно:

[Надпис към снимката]

По-специално, ако поставим c = х, получаваме:

[Надпис към снимката]

От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма се появява в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

Има обаче проблеми, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека да разгледаме няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log 5 16 log 2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма съдържат точни степени. Нека извадим индикаторите: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Сега нека "обърнем" втория логаритъм:

[Надпис към снимката]

Тъй като произведението не се променя при пренареждане на множителите, ние спокойно умножихме четири и две и след това се заехме с логаритми.

Задача. Намерете стойността на израза: log 9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека запишем това и да се отървем от индикаторите:

[Надпис към снимката]

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

[Надпис към снимката]

Основно логаритмично тъждество

Често в процеса на решаване е необходимо да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай ще ни помогнат следните формули:

В първия случай броят пстава индикатор за степента на позиция в спора. Номер пможе да бъде абсолютно всичко, защото това е просто логаритъм.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Това се нарича: основна логаритмична идентичност.

Всъщност какво ще се случи, ако броят bповдигнете до такава степен, че числото bна тази степен дава числото а? Точно така: получавате същото число а. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора се забиват в него.

Подобно на формулите за преминаване към нова база, основното логаритмично тъждество понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете значението на израза:

[Надпис към снимката]

Обърнете внимание, че log 25 64 = log 5 8 - просто взехме квадрат от основата и аргумента на логаритъма. Като вземем предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:

[Надпис към снимката]

Ако някой не знае, това беше истинска задача от Единния държавен изпит :)

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две тъждества, които трудно могат да бъдат наречени свойства - по-скоро те са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се появяват в проблеми и, изненадващо, създават проблеми дори за „напреднали“ ученици.

1. дневник а а= 1 е логаритмична единица. Запомнете веднъж завинаги: логаритъм по произволна основа аот същата тази основа е равно на едно.
2. дневник а 1 = 0 е логаритмична нула. База аможе да бъде всичко, но ако аргументът съдържа единица, логаритъма е равен на нула! защото а 0 = 1 е пряко следствие от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.

Днес ще говорим за логаритмични формулии ще дадем ориентировъчно примери за решение.

Самите те предполагат модели на решение според основните свойства на логаритмите. Преди да приложим логаритмични формули за решаване, нека ви напомним всички свойства:

Сега, въз основа на тези формули (свойства), ще покажем примери за решаване на логаритми.

Примери за решаване на логаритми по формули.

Логаритъмположително число b при основа a (означено с log a b) е показател, до който a трябва да се повдигне, за да се получи b, с b > 0, a > 0 и 1.

Според дефиницията log a b = x, което е еквивалентно на a x = b, следователно log a a x = x.

Логаритми, примери:

log 2 8 = 3, защото 2 3 = 8

log 7 49 = 2, защото 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, защото 5 -1 = 1/5

Десетичен логаритъм- това е обикновен логаритъм, чиято основа е 10. Означава се като lg.

log 10 100 = 2, защото 10 2 = 100

Натурален логаритъм- също обикновен логаритъм, логаритъм, но с основа e (e = 2,71828... - ирационално число). Означава се като ln.

Препоръчително е да запомните формулите или свойствата на логаритмите, защото те ще ни трябват по-късно при решаване на логаритми, логаритмични уравнения и неравенства. Нека да разгледаме всяка формула отново с примери.

• Основно логаритмично тъждество
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Логаритъмът на произведението е равен на сбора от логаритмите
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Логаритъмът на частното е равен на разликата на логаритмите
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Свойства на степента на логаритмично число и основата на логаритъма

  Показател на логаритмичното число log a b m = mlog a b

  Показател на основата на логаритъма log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  ако m = n, получаваме log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Преход към нова основа
  log a b = log c b/log c a,

  ако c = b, получаваме log b b = 1

  тогава log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Както можете да видите, формулите за логаритми не са толкова сложни, колкото изглеждат. Сега, след като разгледахме примери за решаване на логаритми, можем да преминем към логаритмични уравнения. Ще разгледаме по-подробно примери за решаване на логаритмични уравнения в статията: "". Не го пропускайте!

Ако все още имате въпроси относно решението, напишете ги в коментарите към статията.

Забележка: решихме да получим различен клас образование и да учим в чужбина като опция.

Както знаете, когато се умножават изрази със степени, техните показатели винаги се събират (a b *a c = a b+c). Този математически закон е изведен от Архимед, а по-късно, през 8-ми век, математикът Вирасен създава таблица с цели показатели. Именно те послужиха за по-нататъшното откриване на логаритми. Примери за използване на тази функция могат да бъдат намерени почти навсякъде, където е необходимо да се опрости тромавото умножение чрез просто събиране. Ако прекарате 10 минути в четене на тази статия, ще ви обясним какво представляват логаритмите и как да работите с тях. На прост и достъпен език.

Дефиниция в математиката

Логаритъмът е израз на следната форма: log a b=c, т.е. логаритъмът на всяко неотрицателно число (т.е. всяко положително) „b“ спрямо основата му „a“ се счита за степен „c“ ”, до което е необходимо да се повдигне основата „a”, за да се получи в крайна сметка стойността „b”. Нека анализираме логаритъма с примери, да кажем, че има израз log 2 8. Как да намерим отговора? Много е просто, трябва да намерите такава степен, че от 2 до необходимата степен да получите 8. След като направим някои изчисления наум, получаваме числото 3! И това е вярно, защото 2 на степен 3 дава отговора като 8.

Видове логаритми

За много ученици и студенти тази тема изглежда сложна и неразбираема, но всъщност логаритмите не са толкова страшни, основното е да разберете общото им значение и да запомните техните свойства и някои правила. Има три отделни вида логаритмични изрази:

1. Натурален логаритъм ln a, където основата е числото на Ойлер (e = 2,7).
2. Десетично a, където основата е 10.
3. Логаритъм на произволно число b при основа a>1.

Всяка от тях се решава по стандартен начин, включващ опростяване, редукция и последваща редукция до един логаритъм с помощта на логаритмични теореми. За да получите правилните стойности на логаритмите, трябва да запомните техните свойства и последователността от действия, когато ги решавате.

Правила и някои ограничения

В математиката има няколко правила-ограничения, които се приемат като аксиома, тоест не подлежат на обсъждане и са истината. Например, невъзможно е да се разделят числа на нула и също така е невъзможно да се извлече четен корен от отрицателни числа. Логаритмите също имат свои собствени правила, следвайки които лесно можете да се научите да работите дори с дълги и обемни логаритмични изрази:

• Основата „а“ винаги трябва да е по-голяма от нула и да не е равна на 1, в противен случай изразът ще загуби значението си, тъй като „1“ и „0“ във всяка степен винаги са равни на техните стойности;
• ако a > 0, тогава a b > 0, се оказва, че „c” също трябва да е по-голямо от нула.

Как се решават логаритми?

Например, дадена е задачата да намерите отговора на уравнението 10 x = 100. Това е много лесно, трябва да изберете степен, като увеличите числото десет, до което получаваме 100. Това, разбира се, е 10 2 = 100.

Сега нека представим този израз в логаритмична форма. Получаваме log 10 100 = 2. При решаването на логаритми всички действия практически се събират, за да се намери степента, на която е необходимо да се въведе основата на логаритъма, за да се получи дадено число.

За да определите точно стойността на неизвестна степен, трябва да се научите как да работите с таблица с градуси. Изглежда така:

Както можете да видите, някои показатели могат да бъдат познати интуитивно, ако имате технически ум и познаване на таблицата за умножение. Въпреки това, за по-големи стойности ще ви е необходима таблица за мощност. Може да се използва дори от тези, които не разбират нищо от сложни математически теми. Лявата колона съдържа числа (основа a), горният ред от числа е стойността на степен c, на която е повдигнато числото a. В пресечната точка клетките съдържат числовите стойности, които са отговорът (a c =b). Да вземем, например, първата клетка с числото 10 и да я поставим на квадрат, получаваме стойността 100, която е посочена в пресечната точка на нашите две клетки. Всичко е толкова просто и лесно, че и най-истинският хуманист ще разбере!

Уравнения и неравенства

Оказва се, че при определени условия показателят е логаритъм. Следователно всички математически числови изрази могат да бъдат записани като логаритмично равенство. Например, 3 4 =81 може да бъде записано като логаритъм с основа 3 от 81, равен на четири (log 3 81 = 4). За отрицателните степени правилата са същите: 2 -5 = 1/32, записваме го като логаритъм, получаваме log 2 (1/32) = -5. Един от най-завладяващите раздели на математиката е темата "логаритми". Ще разгледаме примери и решения на уравнения по-долу, веднага след изучаването на техните свойства. Сега нека да разгледаме как изглеждат неравенствата и как да ги различим от уравненията.

Даден е следният израз: log 2 (x-1) > 3 - това е логаритмично неравенство, тъй като неизвестната стойност “x” е под логаритмичния знак. И също така в израза се сравняват две количества: логаритъма на желаното число при основа две е по-голям от числото три.

Най-важната разлика между логаритмичните уравнения и неравенствата е, че уравненията с логаритми (например логаритъм 2 x = √9) предполагат една или повече конкретни числени стойности в отговора, докато при решаване на неравенство, както обхватът на допустимите стойностите​​и точките се определят чрез нарушаване на тази функция. Вследствие на това отговорът не е прост набор от отделни числа, както в отговора на уравнение, а непрекъсната серия или набор от числа.

Основни теореми за логаритмите

При решаване на примитивни задачи за намиране на стойностите на логаритъма, неговите свойства може да не са известни. Въпреки това, когато става въпрос за логаритмични уравнения или неравенства, на първо място е необходимо ясно да се разберат и приложат на практика всички основни свойства на логаритмите. По-късно ще разгледаме примери за уравнения; нека първо разгледаме всяко свойство по-подробно.

1. Основната идентичност изглежда така: a logaB =B. Прилага се само когато a е по-голямо от 0, не е равно на единица, и B е по-голямо от нула.
2. Логаритъмът на продукта може да бъде представен в следната формула: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. В този случай задължителното условие е: d, s 1 и s 2 > 0; a≠1. Можете да дадете доказателство за тази логаритмична формула с примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2, тогава a f1 = s 1, a f2 = s 2. Получаваме, че s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства на градуса ), и след това по дефиниция: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, което трябваше да бъде доказано.
3. Логаритъмът на частното изглежда така: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Теоремата под формата на формула приема следния вид: log a q b n = n/q log a b.

Тази формула се нарича „свойство на степента на логаритъм“. Тя прилича на свойствата на обикновените степени и не е изненадващо, защото цялата математика се основава на естествени постулати. Нека да разгледаме доказателството.

Нека log a b = t, оказва се, че a t = b. Ако повдигнем двете части на степен m: a tn = b n ;

но тъй като a tn = (a q) nt/q = b n, следователно log a q b n = (n*t)/t, тогава log a q b n = n/q log a b. Теоремата е доказана.

Примери за задачи и неравенства

Най-често срещаните видове задачи за логаритми са примери за уравнения и неравенства. Има ги в почти всички задачници, а също така са задължителна част от изпитите по математика. За прием в университет или преминаване приемни изпитив математиката трябва да знаете как да решавате правилно такива задачи.

За съжаление, няма единен план или схема за решаване и определяне на неизвестната стойност на логаритъма, но определени правила могат да бъдат приложени към всяко математическо неравенство или логаритмично уравнение. На първо място, трябва да разберете дали изразът може да бъде опростен или да доведе до общ вид. Опростете дългите логаритмични изразивъзможно, ако използвате правилно свойствата им. Нека бързо да ги опознаем.

Когато решаваме логаритмични уравнения, трябва да определим какъв тип логаритъм имаме: примерен израз може да съдържа натурален логаритъм или десетичен.

Ето примери ln100, ln1026. Тяхното решение се свежда до факта, че те трябва да определят степента, на която основата 10 ще бъде равна съответно на 100 и 1026. За решения естествени логаритмитрябва да приложите логаритмични идентичности или техните свойства. Нека разгледаме решението с примери логаритмични задачиразлични видове.

Как да използваме логаритмични формули: с примери и решения

И така, нека да разгледаме примери за използване на основните теореми за логаритмите.

1. Свойството логаритъм на произведение може да се използва в задачи, където е необходимо разширяване голяма стойностчисла b на по-прости множители. Например log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Отговорът е 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - както виждате, използвайки четвъртото свойство на степента на логаритъм, успяхме да решим един на пръв поглед сложен и неразрешим израз. Просто трябва да факторизирате основата и след това да извадите стойностите на степента от знака на логаритъма.

Задачи от Единния държавен изпит

Логаритмите често се срещат в приемните изпити, особено много логаритмични задачи в Единния държавен изпит (държавен изпит за всички завършили училище). Обикновено тези задачи присъстват не само в част А (най-лесната тестова част от изпита), но и в част В (най-сложните и обемни задачи). Изпитът изисква точни и завършени познания по темата “Натурални логаритми”.

Примерите и решенията на проблемите са взети от официални Опции за единен държавен изпит. Да видим как се решават такива задачи.

Даден е log 2 (2x-1) = 4. Решение:
нека пренапишем израза, като го опростим малко log 2 (2x-1) = 2 2, по дефиницията на логаритъма получаваме, че 2x-1 = 2 4, следователно 2x = 17; х = 8,5.

• Най-добре е да намалите всички логаритми до една и съща основа, така че решението да не е тромаво и объркващо.
• Всички изрази под знака за логаритъм са посочени като положителни, следователно, когато показателят на израз, който е под знака за логаритъм и като негова основа е изваден като множител, изразът, който остава под логаритъма, трябва да бъде положителен.