Малък факултет по математика. Непозиционни бройни системи

Единична (унарна) бройна система Списък на бройните системи

Обозначение:

• дава представяне на набор от числа (цели и/или реални);
• дава на всяко число уникално представяне (или поне стандартно представяне);
• отразява алгебричната и аритметична структура на числата.

Бройните системи се делят на позиционен, непозиционниИ смесен.

Позиционни бройни системи

В позиционните бройни системи един и същ цифров знак (цифра) в записа на число има различно значение в зависимост от мястото (цифрата), където се намира. Изобретяването на позиционното номериране, базирано на значението на мястото на цифрите, се приписва на шумерите и вавилонците; Такова номериране е разработено от индусите и има безценни последици в историята на човешката цивилизация. Такива системи включват съвременната десетична бройна система, чиято поява е свързана с броенето на пръсти. Появява се в средновековна Европа чрез италиански търговци, които на свой ред го заемат от мюсюлманите.

Позиционната бройна система обикновено се отнася до -богатата бройна система, която се определя от извикано цяло число базабройни системи. Цяло число без знак в числовата система -ary се представя като крайна линейна комбинация от степени на число:

, където се наричат ​​цели числа в числа, удовлетворяващо неравенството.

Всяка степен в такава нотация се нарича рангово тегло. Старшинството на цифрите и съответните им цифри се определя от стойността на индикатора (цифров номер). Обикновено при ненулеви числа левите нули се пропускат.

Ако няма несъответствия (например, когато всички числа са представени под формата на уникални писмени знаци), числото се записва като последователност от неговите буквено-цифрови цифри, изброени в низходящ ред на предшестване на цифрите отляво надясно:

Например число сто и трипредставен в десетичната бройна система като:

Най-използваните в момента позиционни системи са:

В позиционните системи, колкото по-голяма е основата на системата, толкова по-малък брой цифри (т.е. писмени цифри) са необходими при записване на число.

Смесени бройни системи

Смесена бройна системае обобщение на -богата бройна система и също често се отнася за позиционни системиОтчитане. Основата на смесената бройна система е нарастваща последователност от числа, като всяко число в нея е представено като линейна комбинация:

, където коефициентите се наричат ​​както преди в числа, се прилагат някои ограничения.

Записването на число в смесена бройна система е изброяването на неговите цифри в низходящ ред на индекса, като се започне от първата ненулева.

В зависимост от типа като функция, смесените бройни системи могат да бъдат степенни, експоненциални и т.н. Когато за някои смесената бройна система съвпада с експоненциално богатата бройна система.

Повечето известен примерСмесената бройна система е представянето на времето под формата на брой дни, часове, минути и секунди. В този случай стойността на „дни, часове, минути, секунди“ съответства на стойността на секундите.

Факториална бройна система

IN факториална бройна системабазите са последователност от факториели и всяко естествено число е представено като:

, Където .

Факториалната бройна система се използва, когато декодиране на пермутации чрез списъци от инверсии: имайки номера на пермутацията, можете да го възпроизведете по следния начин: число, което е с единица по-малко от числото (номерирането започва от нула), се записва във факторната бройна система, а коефициентът на числото i! ще обозначи броя на инверсиите за елемент i+1 в набора, в който са направени пермутациите (броят на елементите, по-малки от i+1, но разположени вдясно от него в желаната пермутация)

Пример: разгледайте набор от пермутации от 5 елемента, има общо 5! = 120 (от пермутация номер 0 - (1,2,3,4,5) до пермутация номер 119 - (5,4,3,2,1)), нека намерим 101-вата пермутация: 100 = 4!* 4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; нека ti е коефициентът за числото i!, тогава t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, тогава: броят на елементите по-малък от 5, но разположени вдясно е 4; броят на елементите по-малко от 4, но разположени вдясно е 0; броят на елементите по-малък от 3, но разположени вдясно е 2; броят на елементите, по-малки от 2, но разположени вдясно, е 0 (последният елемент в пермутацията се „поставя“ на единственото останало място) - така 101-вата пермутация ще изглежда така: (5,3,1,2 ,4) Проверка този методможе да се направи чрез директно преброяване на инверсиите за всеки елемент от пермутацията.

Бройна система на Фибоначивъз основа на числата на Фибоначи. Всяко естествено число е представено във формата:

, където са числата на Фибоначи, а коефициентите са с краен брой единици и няма две единици подред.

Непозиционни бройни системи

В непозиционните бройни системи стойността, която цифрата обозначава, не зависи от нейната позиция в числото. В този случай системата може да наложи ограничения върху позицията на числата, например, така че те да бъдат подредени в низходящ ред.

Биномиална бройна система

Представяне с помощта на биномни коефициенти

, Където .

Система за остатъчни класове (RSS)

Представянето на числото в системата за остатък се основава на концепцията за остатъка и китайската теорема за остатъка. RNS се определя от набор от относително прости модулис продукта по такъв начин, че всяко цяло число от сегмента е свързано с набор от остатъци, където

…

В същото време китайската теорема за остатъка гарантира уникалността на представянето на числа от интервала.

В RNS аритметичните операции (събиране, изваждане, умножение, деление) се извършват покомпонентно, ако е известно, че резултатът е цяло число и също се намира в .

Недостатъците на RNS са възможността за представяне само на ограничен брой числа, както и липсата ефективни алгоритмиза сравняване на числата, представени в RNS. Сравнението обикновено се извършва чрез превод на аргументи от RNS към смесена числова система.

Бройна система на Стърн–Броко- начин за записване на положителни рационални числа, базиран на дървото на Стърн–Броко.

Бройни системи на различни народи

Единична бройна система

Очевидно хронологично първата бройна система на всеки народ, усвоил броенето. Естествено числоизобразява се чрез повтаряне на един и същ знак (тире или точка). Например, за да изобразите числото 26, трябва да нарисувате 26 линии (или да направите 26 резки върху кост, камък и т.н.). Впоследствие, за по-лесно възприемане големи числа, тези знаци са групирани в групи от три или пет. Тогава равни по обем групи от знаци започват да се заменят с някакъв нов знак - така възникват прототипи на бъдещи числа.

Древноегипетска бройна система

Вавилонска бройна система

Азбучни бройни системи

Азбучните бройни системи са били използвани от древните арменци, грузинци, гърци (йонийска бройна система), араби (абджадия), евреи (виж гематрия) и други народи от Близкия изток. В славянските богослужебни книги гръцката азбучна система е преведена на кирилица.

Еврейска бройна система

Гръцка бройна система

Римска бройна система

Каноничният пример за почти непозиционна бройна система е римската, която използва латински букви като числа:
Аз означава 1,
V - 5,
X - 10,
L - 50,
C - 100,
D - 500,
М - 1000

Например II = 1 + 1 = 2
тук символът I означава 1, независимо от мястото му в числото.

Всъщност римската система не е напълно непозиционна, тъй като по-малката цифра, която идва преди по-голямата, се изважда от нея, например:

IV = 4, докато:
VI = 6

Бройна система на маите

Вижте също

Бележки

Връзки

• Гашков С. Б.Бройни системи и техните приложения. - М.: МЦНМО, 2004. - (Библиотека „Математическо образование“).
• Фомин С.В.Бройни системи. - М.: Наука, 1987. - 48 с. - (Популярни лекции по математика).
• Яглом И.Бройни системи // Квантов. - 1970. - № 6. - С. 2-10.
• Числа и бройни системи. Онлайн енциклопедия по света.
• Стахов А.Ролята на бройните системи в историята на компютрите.
• Микушин А.В. Бройни системи. Лекционен курс "Цифрови устройства и микропроцесори"
• Butler J. T., Sasao T. Излишни системи с многозначни числа Статията обсъжда системи с числа, които използват числа, по-големи от едно и позволяват излишък в представянето на числа

Фондация Уикимедия.

2010 г.

Единична бройна система Необходимостта от писане на числа започва да възниква сред хората в древни времена, след като са се научили да броят. Доказателство за това са археологическите находки в лагерите, които датират от периода на палеолита ($10$-$11$ хиляди години пр.н.е.). Първоначално броят на предметите се изобразяваше с помощта на определени знаци: чертички, резки, кръгове, отбелязани върху камъни, дърво или глина, както и възли върху въжета.

Снимка 1.

Учените наричат ​​тази система за отбелязване на числа единица (унарна), тъй като числото в него се образува от повторението на един знак, който символизира единица.

Недостатъци на системата:

при писане голямо числонеобходимо за използване голям бройпръчици;

Лесно може да се допуснат грешки при нанасяне на стикове.

По-късно, за да улеснят броенето, хората започнаха да комбинират тези знаци.

Пример 1

Примери за използване на системата за брой единици могат да бъдат намерени в нашия живот. Например, малките деца се опитват да покажат на колко години са на пръстите си или пръчиците за броене се използват за обучение на броене в първи клас.

Единична системане е съвсем удобно, тъй като записите изглеждат много дълги и писането им е доста досадно, така че с течение на времето започнаха да се появяват по-практични системи с числа.

Ето няколко примера.

Древноегипетска десетична непозиционна бройна система

Тази бройна система се появява около 3000 г. пр.н.е. в резултат на това, че жителите Древен Египетизлязоха със собствена цифрова система, в която при обозначаване на ключови числа $1$, $10$, $100$ и т.н. използвани йероглифи, което беше удобно при писане върху глинени плочки, които замениха хартията. Други числа бяха съставени от тях чрез събиране. Първо беше записано числото от най-високия ред, а след това от по-ниския. Египтяните умножавали и делили, като последователно удвоявали числата. Всяка цифра може да се повтори до $9$ пъти. Примери за номера на тази система са дадени по-долу.

Фигура 2.

Римска бройна система

Тази система по същество не се различава много от предишната и е оцеляла до днес. Тя се основава на следните признаци:

$I$ (един пръст) за числото $1$;

$V$ (отворена длан) за числото $5$;

$X$ (две сгънати длани) за $10$;

за обозначаване на числата $100$, $500$ и $1000$, първите букви на съответните латински думи (Сentum- сто, Демимил- половин хиляда, Миле- хиляди).

При съставянето на числата римляните са използвали следните правила:

Числото е равно на сумата от стойностите на няколко еднакви „цифри“, разположени в един ред, образувайки група от първи тип.

Числото е равно на разликата в стойностите на две „цифри“, ако по-малката е вляво от по-голямата. В този случай стойността на по-малката се изважда от по-голямата стойност. Заедно те образуват група от втори тип. В този случай лявата „цифра“ може да бъде по-малка от дясната с максимум $1$ ред: само $X(10$) може да бъде пред $L(50)$ и $C(100$), сред „най-ниските“ само $X(10$) може да стои пред $D(500$ ) и $M(1000$) – само $C(100$), преди $V(5) – I( 1)$.

Числото е равно на сумата от стойностите на групата и „цифрите“, които не са включени в групите $1$ или $2$.

Фигура 3.

Римските цифри се използват от древни времена: те показват дати, номера на томове, раздели и глави. Мислех, че това е обикновено арабски цифримогат лесно да бъдат фалшифицирани.

Азбучни бройни системи

Тези бройни системи са по-напреднали. Те включват гръцки, славянски, финикийски, еврейски и други. В тези системи числата от $1$ до $9$, както и броят на десетките (от $10$ до $90$), стотиците (от $100$ до $900$) бяха обозначени с букви от азбуката.

В древногръцката азбучна бройна система числата $1, 2, ..., 9$ са били представени от първите девет букви от гръцката азбука и т.н. Следните $9$ букви са използвани за обозначаване на числата $10, 20, ..., 90$, а последните $9$ букви са използвани за обозначаване на числата $100, 200, ..., 900$.

Сред славянските народи числените стойности на буквите са установени в съответствие с реда славянска азбука, който първоначално използва глаголицата, а след това кирилицата.

Фигура 4.

Бележка 1

Използвана е и азбучната система древна рус. До края на $17 век $27$ кирилските букви се използват като цифри.

Непозиционните бройни системи имат редица съществени недостатъци:

Има постоянна нужда от въвеждане на нови символи за запис на големи числа.

Невъзможно е да се представят дробни и отрицателни числа.

Трудно е да се извършват аритметични операции, защото липсват алгоритми за извършването им.

Основни понятия за бройни системи

Числовата система е набор от правила и техники за писане на числа с помощта на набор от цифрови знаци. Броят на цифрите, необходими за записване на число в една система, се нарича основа на бройната система. Основата на системата се изписва от дясната страна на числото в индекса: ; ; и т.н.

Има два вида бройни системи:

позиционен, когато стойността на всяка цифра от число се определя от нейната позиция в записа на числото;

непозиционен, когато стойността на цифра в число не зависи от нейното място в записа на числото.

Пример за непозиционна бройна система е римската: числата IX, IV, XV и т.н. Пример за позиционна бройна система е десетичната система, използвана всеки ден.

Всяко цяло число в позиционната система може да бъде записано в полиномиална форма:

където S е основата на бройната система;

Цифри на число, записано в дадена бройна система;

n е броят на цифрите на числото.

Пример. Номер ще бъдат записани в полиномна форма, както следва:

Видове бройни системи

Римската бройна система е непозиционна система. Той използва букви от латинската азбука за писане на числа. В този случай буквата I винаги означава едно, буквата V означава пет, X означава десет, L означава петдесет, C означава сто, D означава петстотин, M означава хиляда и т.н. Например числото 264 се записва като CCLXIV. При записване на числа в римската бройна система стойността на числото е алгебрична сумачисла, включени в него. В този случай цифрите в записа на номера по правило са в низходящ ред на техните стойности и не се допуска записването на повече от три еднакви цифри една до друга. Когато цифра с по-голяма стойност е последвана от цифра с по-малка стойност, нейният принос към стойността на числото като цяло е отрицателен. Типични примери, илюстриращи Общи правилазаписите на числата в римската бройна система са дадени в таблицата.

Таблица 2. Записване на числа в римската цифрова система

		III
	VII	VIII
	XIII	XVIII	XIX	XXII
XXXIV	XXXIX			XCIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	МММММ	MMMCMXCIX

Недостатъкът на римската система е липсата на формални правила за записване на числа и съответно аритметични действия с многоцифрени числа. Поради своето неудобство и голяма сложност, римската бройна система в момента се използва там, където е наистина удобна: в литературата (номериране на глави), в дизайна на документи (серия от паспорти, ценни книжа и др.), за декоративни цели на часовников циферблат и в редица други случаи.

Десетичната бройна система в момента е най-известната и използвана. Изобретяването на десетичната бройна система е едно от основните постижения на човешката мисъл. Без него съвременната технология трудно би могла да съществува, още по-малко да възникне. Причината, поради която десетичната бройна система стана общоприета, изобщо не е математическа. Хората са свикнали да смятат в десетичната бройна система, защото имат 10 пръста на ръцете си.

Древното изображение на десетичните цифри (фиг. 1) не е случайно: всяка цифра представлява число по броя на ъглите в нея. Например 0 - без ъгли, 1 - един ъгъл, 2 - два ъгъла и т.н. Писането на десетични числа претърпя значителни промени. Формата, която използваме, е установена през 16 век.

Десетичната система се появява за първи път в Индия около 6 век нова ера. Индийското номериране използва девет цифрови знака и нула за обозначаване на празна позиция. В ранните индийски ръкописи, достигнали до нас, се записват числа обратен ред- повечето значителна фигурабеше поставен отдясно. Но скоро стана правило такова число да се поставя от лявата страна. Особено значение беше придадено на символа нула, който беше въведен за системата за позиционно означение. Индийското номериране, включително нула, е оцеляло и до днес. В Европа индуистките методи за десетична аритметика стават широко разпространени в началото на 13 век. благодарение на работата на италианския математик Леонардо от Пиза (Фибоначи). Европейците взеха назаем индийска системанотация сред арабите, наричайки го арабски. Това историческо погрешно наименование продължава и до днес.

Десетичната система използва десет цифри — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 — както и символите „+“ и „–“, за да обозначат знака на числото и запетая или точка за разделяне на целите числа и десетичната част.

IN компютрисе използва двоична бройна система, нейната основа е числото 2. За записване на числа в тази система се използват само две цифри - 0 и 1. Противно на популярното погрешно схващане, двоичната бройна система не е изобретена от инженери по компютърен дизайн, а от математици и философи много преди появата на компютрите, още през 17-19 век. Първото публикувано обсъждане на двоичната бройна система е от испанския свещеник Хуан Карамуел Лобковиц (1670 г.). Общото внимание към тази система беше привлечено от статия на немския математик Готфрид Вилхелм Лайбниц, публикувана през 1703 г. В нея се обясняваха двоичните операции събиране, изваждане, умножение и деление. Лайбниц не препоръчва използването на тази система за практически изчисления, но подчертава значението й за теоретични изследвания. С течение на времето двоичната бройна система става добре известна и се развива.

Изборът на двоичната система за използване в изчислителната техника се обяснява с факта, че електронни елементи- тригерите, които съставят компютърните чипове, могат да бъдат само в две работни състояния.

Използвайки системата за двоично кодиране, можете да записвате всякакви данни и знания. Това е лесно за разбиране, ако си припомним принципа на кодиране и предаване на информация с помощта на Морзов код. Телеграфният оператор, използвайки само два символа от тази азбука - точки и тирета, може да предаде почти всеки текст.

Двоичната система е удобна за компютър, но неудобна за човек: числата са дълги и трудни за писане и запомняне. Разбира се, можете да преобразувате числото в десетичната система и да го запишете в тази форма, а след това, когато трябва да го преобразувате обратно, но всички тези преводи са трудоемки. Затова се използват бройни системи, свързани с двоичните - осмична и шестнадесетична. За записване на числа в тези системи са необходими съответно 8 и 16 цифри. В шестнадесетичната система първите 10 цифри са общи, а след това се използват главни латински букви. Шестнадесетично A съответства на десетичното число 10, шестнадесетично B съответства на десетично число 11 и т.н. Използването на тези системи се обяснява с факта, че преходът към писане на число в която и да е от тези системи от неговата двоична нотация е много прост. По-долу е дадена таблица на съответствието между числата, написани в различни системи.

Таблица 3. Съответствие на числата, записани в различни системимъртво разчитане

десетична	Двоичен	осмичен	Шестнадесетичен
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		д http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

Правила за преобразуване на числата от една бройна система в друга

Преобразуването на числа от една бройна система в друга е важна частмашинна аритметика. Нека разгледаме основните правила на превода.

1. За да преобразувате двоично число в десетично, е необходимо да го напишете под формата на полином, състоящ се от произведенията на цифрите на числото и съответната степен на 2, и да го изчислите по правилата на десетична аритметика:

При превод е удобно да използвате таблицата на степените на две:

Таблица 4. Степени на число 2

n (степен)
											1024

Пример. Преобразувайте числото в десетичната бройна система.

2. За да преобразувате осмично число в десетично, е необходимо да го напишете под формата на полином, състоящ се от продуктите на цифрите на числото и съответната степен на числото 8, и да го изчислите според правилата на десетичната аритметика:

При превод е удобно да използвате таблицата на степените на осем:

Таблица 5. Степени на числото 8

n (степен)

Веднага след като хората започнаха да броят, те започнаха да имат нужда да записват числа. Археолозите са открили доказателства в местата на първобитни хора, че първоначално почти всяко количество е било изписано просто с еднакъв брой икони: пръчици, точки, тирета. Такава система се нарича единична (унарна). Всяко число в тази система се записва чрез повтаряне на един знак, който символизира единица.

Въпреки древността на тази система, тя все още се използва до ден днешен; ръкав.

Унарната система не е най-удобният начин за писане на числа, записът заема много място и монотонността на записа води до грешки, така че с времето започнаха да се появяват по-удобни бройни системи.

Древноегипетска десетична бройна система

Древните египтяни са имали много удобна бройна система, имала е знаци, указващи ключови числа: 1, 10, 100 и т.н. Останалите числа са били записвани чрез събиране. Обозначенията на някои числа са представени на фигура 1.

Системата не се използва в момента.

Римска бройна система

Тази система е останала непроменена и до днес. Появи се преди повече от две и половина хиляди години в Древен Рим. Основава се на знаците I (пръст) за числото 1, V (пет) за числото 5, X (две ръце) за числото 10. И първите букви бяха използвани за обозначаване на 100, 500 и 1000 латински имена(centum - сто, demille - половин хиляда, mille - хиляда). За да запишат числата, римляните са използвали не само суми, както египтяните, но и разлики. За целта е приложено просто правило: всеки по-малък знак след по-големия се добавя към неговата стойност, а всеки, стоящ пред по-големия знак, се изважда от стойността му. Така IX означава 9, а XI означава 11.

Римските цифри се използват и до днес и се използват за назоваване на раздели, подраздели на книги, векове, а също така често се изписват върху часовници.

Азбучни бройни системи

Такива системи включват: гръцки, славянски, финландски и др. Тук числата от 1 до 9, от 10 до 90 и от 100 до 900 бяха обозначени с букви от азбуката. IN Древна Гърциячислата са обозначени с първите девет букви от гръцката азбука. Числата от 10 до 90 са следващите девет. И от 100 до 900 - с последните девет букви от римската азбука. Сред славяните числовите стойности съответстват на буквите по ред. Отначало за това е използвана глаголицата, а след това кирилицата. В Русия това номериране се запазва до края на 17 век. Тогава Петър I донесе арабска номерация от чужбина, която използваме и до днес.

В курсовете по компютърни науки, независимо от училището или университета, специално място се отделя на такава концепция като числови системи. По правило за него се отделят няколко урока или практически упражнения. Основната цел е не само да се усвоят основните понятия по темата, да се изучат видовете бройни системи, но и да се запознаят с двоичната, осмичната и шестнадесетичната аритметика.

Какво означава?

Нека започнем с дефиниране на основната концепция. Както се отбелязва в учебника "Информатика", числовата система е запис на числа, който използва специална азбука или определен набор от числа.

В зависимост от това дали стойността на цифрата се променя в зависимост от позицията й в числото, има две: позиционна и непозиционна бройни системи.

В позиционните системи значението на цифрата се променя с нейната позиция в числото. Така че, ако вземем числото 234, тогава числото 4 в него означава единици, но ако вземем предвид числото 243, то вече ще означава десетки, а не единици.

В непозиционните системи значението на цифрата е статично, независимо от нейната позиция в числото. Повечето ярък пример- стик система, където всяка единица е обозначена с тире. Няма значение къде ще поставите пръчката, стойността на числото ще се промени само с единица.

Непозиционни системи

Непозиционните бройни системи включват:

1. Единна система, която се счита за една от първите. Използваше пръчици вместо числа. Колкото повече бяха, толкова по-голяма беше стойността на числото. Можете да намерите пример за числа, написани по този начин във филми, където говорим за хора, изгубени в морето, затворници, които отбелязват всеки ден с помощта на резки върху камък или дърво.
2. римски, в който вместо цифри са използвани латински букви. Използвайки ги, можете да напишете произволно число. Освен това стойността му се определя чрез сумата и разликата на цифрите, съставляващи числото. Ако имаше по-малко число отляво на цифрата, тогава лявата цифра беше извадена от дясната и ако цифрата отдясно беше по-малка или равна на цифрата отляво, тогава техните стойности бяха сумирани. Например числото 11 беше написано като XI, а 9 - IX.
3. Азбучен, в който числата са обозначени с помощта на азбуката на определен език. Един от тях се разглежда славянска система, в който редица букви имат не само фонетично, но и числово значение.
4. в който са използвани само две нотации за писане - клинове и стрелки.
5. Египет също използва специални символи за представяне на числата. При писане на число всеки символ може да се използва не повече от девет пъти.

Позиционни системи

В компютърните науки се обръща голямо внимание на позиционните бройни системи. Те включват следното:

• двоичен;
• осмичен;
• десетичен;
• шестнадесетичен;
• шестдесетичен, използван при отчитане на времето (например има 60 секунди в минута, 60 минути в час).

Всеки от тях има своя азбука за писане, правила за превод и извършване на аритметични действия.

Десетична система

Тази система ни е най-позната. Той използва числата от 0 до 9 за писане на числа. Наричат ​​ги още арабски. В зависимост от позицията на цифрата в числото, тя може да представлява различни цифри - единици, десетици, стотици, хиляди или милиони. Използваме го навсякъде, знаем основните правила, по които се извършват аритметични операции с числа.

Двоична система

Една от основните бройни системи в компютърните науки е двоичната. Неговата простота позволява на компютъра да извършва тромави изчисления няколко пъти по-бързо, отколкото в десетичната система.

За записване на числа се използват само две цифри - 0 и 1. Освен това, в зависимост от позицията на 0 или 1 в числото, неговата стойност ще се променя.

Първоначално те получаваха всичко с помощта на компютри необходимата информация. В този случай едно означава наличието на сигнал, предаван с помощта на напрежение, а нула означава неговото отсъствие.

Осмична система

Друга добре позната компютърна номерационна система, която използва числа от 0 до 7. Използва се главно в онези области на знанието, които са свързани с цифрови устройства. Но в напоследъктя се използва много по-рядко, тъй като е заменена от шестнадесетичната бройна система.

Двоична десетична система

Представянето на големи числа в двоична система е доста сложен процес за хората. За да го опрости, той е разработен обикновено се използва в електронни часовници и калкулатори. В тази система не цялото число се преобразува от десетичната система в двоична, но всяка цифра се преобразува в съответния набор от нули и единици в двоичната система. Преобразуването от двоичен в десетичен се извършва по подобен начин. Всяка цифра, представена като четирицифрен набор от нули и единици, се преобразува в цифра от десетичната бройна система. По принцип няма нищо сложно.

За работа с числа в този случай ще бъде полезна таблица с числови системи, която ще посочи съответствието между числата и техния двоичен код.

Шестнадесетична система

Напоследък шестнадесетичната бройна система става все по-популярна в програмирането и компютърните науки. Той използва не само числа от 0 до 9, но и серия латински букви- А Б В Г Д Е.

В същото време всяка от буквите има собствено значение, така че A=10, B=11, C=12 и т.н. Всяко число е представено като набор от четири знака: 001F.

Преобразуване на числа: от десетични към двоични

Преводът в числови системи се извършва по определени правила. Най-често срещаното преобразуване е от двоична в десетична система и обратно.

За да преобразувате число от десетичната система в двоичната система, е необходимо последователно да го разделите на основата на бройната система, тоест числото две. В този случай трябва да се запише остатъкът от всяко деление. Това ще се случи, докато остатъкът от делението стане по-малък или равен на едно. Най-добре е изчисленията да се извършват в колона. След това получените остатъци от деление се записват на реда в обратен ред.

Например, нека преобразуваме числото 9 в двоично:

Разделяме 9, тъй като числото не се дели на цяло, тогава вземаме числото 8, остатъкът ще бъде 9 - 1 = 1.

След като разделим 8 на 2, получаваме 4. Разделяме го отново, тъй като числото се дели на цяло число - получаваме остатък 4 - 4 = 0.

Извършваме същата операция с 2. Остатъкът е 0.

В резултат на разделянето получаваме 1.

Независимо от крайната бройна система, преобразуването на числата от десетична във всяка друга ще се извърши съгласно принципа на разделяне на числото на основата на позиционната система.

Преобразуване на числа: от двоични към десетични

Доста лесно е да преобразувате числа в десетична бройна система от двоична. За да направите това, достатъчно е да знаете правилата за повишаване на числата до степени. В този случай на степен две.

Алгоритъмът за превод е следният: всяка цифра от кода на двоично число трябва да се умножи по две, като първите две ще бъдат на степен m-1, втората - m-2 и така нататък, където m е брой цифри в кода. След това добавете резултатите от събирането, за да получите цяло число.

За ученици този алгоритъм може да се обясни по-просто:

Като начало вземаме и записваме всяка цифра, умножена по две, след което поставяме степента на две от края, започвайки от нула. След това сумираме полученото число.

Като пример ще анализираме полученото по-рано число 1001, като го преобразуваме в десетичната система и в същото време ще проверим правилността на нашите изчисления.

Ще изглежда така:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Когато изучавате тази тема, е удобно да използвате таблица със степен на две. Това значително ще намали времето, необходимо за извършване на изчисления.

Други опции за превод

В някои случаи преводът може да се извърши между двоични и осмични бройни системи, двоични и шестнадесетични. В този случай можете да използвате специални таблици или да стартирате приложение за калкулатор на вашия компютър, като изберете опцията „Програмист“ в раздела Изглед.

Аритметични операции

Независимо от формата, в която е представено числото, то може да се използва за извършване на изчисления, които са ни познати. Това може да бъде деление и умножение, изваждане и събиране в бройната система, която сте избрали. Разбира се, всеки от тях има свои собствени правила.

Така че за двоичната система са разработени собствени таблици за всяка от операциите. Същите таблици се използват и в други позиционни системи.

Няма нужда да ги запаметявате - просто ги разпечатайте и ги дръжте под ръка. Можете също да използвате калкулатор на вашия компютър.

Един от най-важните темив информатиката - бройна система. Познаването на тази тема, разбирането на алгоритмите за преобразуване на числа от една система в друга е ключът към факта, че ще можете да разберете повече трудни теми, като алгоритмизация и програмиране, и ще можете сами да напишете първата си програма.