Определяне на координатите на центъра на тежестта на равнинни фигури. Определяне на центъра на тежестта на равнинни фигури

Определянето на центъра на тежестта на произволно тяло чрез последователно добавяне на сили, действащи върху отделните му части, е трудна задача; става по-лесно само за тела с относително проста форма.

Нека тялото се състои само от две маси и свързани с прът (фиг. 125). Ако масата на пръта е малка в сравнение с масите и , тогава тя може да бъде пренебрегната. Върху всяка от масите действат гравитационни сили, равни съответно на и; и двете са насочени вертикално надолу, т.е. успоредни една на друга. Както знаем, резултантната на две успоредни сили се прилага в точка, която се определя от условието

ориз. 125. Определяне на центъра на тежестта на тяло, състоящо се от два товара

Следователно центърът на тежестта разделя разстоянието между два товара в съотношение, обратно на съотношението на техните маси. Ако това тяло е окачено в точка , то ще остане в равновесие.

Тъй като две еднакви маси имат общ център на тежестта в точка, разделяща разстоянието между тези маси наполовина, веднага става ясно, че например центърът на тежестта на хомогенен прът лежи в средата на пръта (фиг. 126). ).

Тъй като всеки диаметър на хомогенен кръгъл диск го разделя на две напълно еднакви симетрични части (фиг. 127), центърът на тежестта трябва да лежи върху всеки диаметър на диска, т.е. в точката на пресичане на диаметрите - в геометричния центъра на диска. Разсъждавайки по подобен начин, можем да открием, че центърът на тежестта на хомогенна топка е в нейния геометричен център, центърът на тежестта на равномерен правоъгълен паралелепипед е в пресечната точка на неговите диагонали и т.н. Центърът на тежестта на обръч или пръстен лежи в центъра му. Последният пример показва, че центърът на тежестта на тялото може да лежи извън тялото.

ориз. 126. Центърът на тежестта на еднороден прът е в средата му

ориз. 127. Центърът на хомогенен диск лежи в неговия геометричен център

Ако тялото има неправилна форма или ако е разнородно (например има кухини), тогава изчисляването на позицията на центъра на тежестта често е трудно и е по-удобно да се намери тази позиция чрез експеримент. Нека, например, искате да намерите центъра на тежестта на парче шперплат. Нека го закачим на конец (фиг. 128). Очевидно в равновесно положение центърът на тежестта на тялото трябва да лежи върху удължението на нишката, в противен случай силата на тежестта ще има момент спрямо точката на окачване, който ще започне да върти тялото. Следователно, като начертаем права линия върху нашето парче шперплат, представляваща продължението на нишката, можем да кажем, че центърът на тежестта лежи на тази права линия.

Наистина, като окачим тялото в различни точки и начертаем вертикални линии, ще се уверим, че всички те се пресичат в една точка. Тази точка е центърът на тежестта на тялото (тъй като трябва да лежи едновременно на всички такива линии). По подобен начин можете да определите позицията на центъра на тежестта не само на плоска фигура, но и на по-сложно тяло. Позицията на центъра на тежестта на самолета се определя чрез търкаляне на колелата му върху платформата за претегляне. Резултатът от силите на тежестта, упражнени върху всяко колело, ще бъде насочен вертикално и линията, по която действа, може да се намери с помощта на закона за събиране на успоредни сили.

ориз. 128. Точката на пресичане на вертикални линии, начертани през точките на окачване, е центърът на тежестта на тялото

При промяна на масата на отделните части на тялото или при промяна на формата на тялото се променя положението на центъра на тежестта. По този начин центърът на тежестта на самолета се премества, когато горивото се изразходва от резервоарите, при товарене на багаж и т.н. За визуален експеримент, илюстриращ движението на центъра на тежестта при промяна на формата на тялото, е удобно да вземете две еднакви пръти, свързани с панта (фиг. 129). В случай, че прътите са продължение един на друг, центърът на тежестта лежи върху оста на прътите. Ако прътите са огънати на панта, тогава центърът на тежестта е извън прътите, върху ъглополовящата на ъгъла, който образуват. Ако поставите допълнително натоварване върху една от щангите, центърът на тежестта ще се премести към това натоварване.

ориз. 129. а) Центърът на тежестта на пръти, свързани с шарнир, разположен на една права линия, лежи върху оста на прътите, б) Центърът на тежестта на огъната система от пръти е извън прътите

81.1. Къде е центърът на тежестта на две еднакви тънки пръчици с дължина 12 cm и закрепени под формата на буквата Т?

81.2. Докажете, че центърът на тежестта на хомогенна триъгълна плоча се намира в пресечната точка на медианите.

ориз. 130. За упражнение 81.3

81.3. Хомогенна дъска с маса 60 kg лежи върху две опори, както е показано на фиг. 130. Определете силите, действащи върху опорите.

Инструкции

Трябва да се има предвид, че позицията на центъра на масата зависи пряко от това как масата му е разпределена в целия обем на тялото. Центърът на масата може дори да не е в самото тяло; пример за такъв обект е хомогенен пръстен, чийто център на масата се намира в неговия геометричен център. Тоест - . При изчисленията центърът на масата може да се разглежда като математическата точка, в която е концентрирана цялата маса на тялото.

Тук R.c.m. – радиус-вектор на центъра на масата, mi – масата на i-тата точка, ri – радиус-вектор на i-тата точка на системата. На практика в много случаи е лесно да се намери центърът на масата, ако обектът има определена строга геометрична форма. Например, за хомогенен прът той се намира точно в средата. За успоредника е в пресечната точка на диагоналите, за триъгълника е точка, а за правилния многоъгълник центърът на масата е в центъра на ротационната симетрия.

За по-сложни тела изчислителната задача става по-сложна; в този случай е необходимо обектът да се раздели на хомогенни обеми. За всеки от тях има отделни масови центрове, след което намерените стойности се заместват в съответните формули и се намира крайната стойност.

На практика необходимостта от определяне на центъра на масата (центъра на тежестта) обикновено се свързва с проектирането. Например, когато се проектира кораб, е важно да се осигури неговата стабилност. Ако центърът на тежестта е много високо, може да се преобърне. Как да изчислим необходимия параметър за такъв сложен обект като кораб? За да направите това, се намират центровете на тежестта на отделните му елементи и възли, след което намерените стойности се сумират, като се вземе предвид тяхното местоположение. Когато проектират, те обикновено се опитват да поставят центъра на тежестта възможно най-ниско, така че най-тежките единици са разположени в самото дъно.

източници:

• Център на масата
• Решаване на задачи по физика

Центърът на масата е най-важният геометричен и технически спецификациитела. Без изчисляване на неговите координати е невъзможно да си представим проектиране в машиностроенето, решаване на строителни и архитектурни проблеми. Точното определяне на координатите на центъра на масата се извършва с помощта на интегрално смятане.

Инструкции

Винаги трябва да започвате от, като постепенно преминавате към повече трудни ситуации. Изхождайте от факта, че центърът на масата на непрекъсната плоска фигура D, чието ρ е постоянно и равномерно разпределено в нейните граници, подлежи на определяне. Аргументът x се променя от a на b, y от c на d. Разделете фигурата с мрежа от вертикални (x=x(i-1), x=xi (i=1,2,…,n)) и хоризонтални линии (y=y(j-1), y=xj ( j=1, 2,…,m)) на елементарни правоъгълници с основи ∆хi=xi-x(i-1) и височини ∆yj=yj-y(j-1) (виж фиг. 1). В този случай средата на елементарния сегмент ∆хi се намира като ξi=(1/2), а височината ∆yj като ηj=(1/2). Тъй като плътността е разпределена равномерно, центърът на масата на елементарен правоъгълник ще съвпадне с неговия геометричен център. Тоест Xci=ξi, Yci=ηj.

Изчислете масата M на плоска фигура (ако е неизвестна) като произведение на площта. Заменете елементарната площ с ds=∆хi∆yj=dxdy. Представете си ∆mij като dM=ρdS=ρdxdy и получете неговата маса, като използвате формулата, показана на фигурата. 2а. За малки нараствания считайте, че ∆mij е концентриран в материална точка с координати Xci=ξi, Yci=ηj. От задачите е известно, че всяка координата на центъра на масата на система от материални точки е равна на дроб, чийто числител е сумата от статичните моменти на масата mν спрямо съответната ос и е равна на сумата от тези маси. Статичният момент на маса mν спрямо оста 0x е равен на уν*mν, а спрямо 0у xν*mν.

Приложете това към разглежданата ситуация и получете приблизителни стойности на статичните моменти Јх и Jу във формата Ју≈(∑ξνρ∆xν∆yν), Јх≈(∑ηνρ∆xν∆yν) (сумирането е извършено върху ν от 1 до N). Сумите, включени в последните изрази, са неразделни. Преминете към границите от тях при ∆хν→0 ∆yν→0 и запишете крайните (виж фиг. 2b). Намерете координатите на центъра на масата, като разделите съответния статистически момент на общата маса на фигурата М.

Методологията за получаване на координатите на центъра на масата на пространствена фигура G се различава само по това, че възникват тройни интеграли и статичните моменти се разглеждат спрямо координатни равнини. Не трябва да забравяме, че плътността не е непременно постоянна, т.е. ρ(x,y,z)≠const. Следователно крайната и най-обща форма е (виж фиг. 3).

източници:

• Пискунов Н.С. Диференциално и интегрално смятане. Т.2., М.: 1976, 576 с., ил.

закон универсална гравитация, открита от Нютон през 1666 г. и публикувана през 1687 г., гласи, че всички тела с маса се привличат едно към друго. Математическата формулировка позволява не само да се установи самият факт на взаимното привличане на телата, но и да се измери силата му.

Инструкции

Още преди Нютон мнозина предполагаха съществуването на универсална гравитация. От самото начало им беше очевидно, че привличането между всеки две тела трябва да зависи от тяхната маса и да отслабва с разстоянието. Йоханес Кеплер, пръв описал елиптичните орбити слънчева система, вярвали, че Слънцето привлича със сила, обратно пропорционална на разстоянието.

И накрая, законът за всемирното привличане се формулира по следния начин: всеки две тела с маса се привличат взаимно и силата на тяхното привличане е равна

F = G* ((m1*m2)/R^2),

където m1 и m2 са масите на телата, R е разстоянието, G е гравитационната константа.

Ако тялото, участващо в гравитацията, има приблизително сферична форма, тогава разстоянието R трябва да се измерва не от повърхността му, а от центъра на масата. Материална точкасъс същата маса, разположен точно в центъра, ще генерира точно същата сила на привличане.

По-специално, това означава, че например при изчисляване на силата, с която Земята привлича някой, стоящ върху нея, разстоянието R не е равно на нула, а на радиуса. Всъщност тя е равна на разстоянието между центъра на Земята и центъра на тежестта на човек, но тази разлика може да бъде пренебрегната без загуба на точност.

Гравитационното привличане винаги е взаимно: не само Земята привлича човек, но на свой ред привлича Земята. Поради огромната разлика между масата хора на планетата, това не се забелязва. По същия начин при изчисляване на траектории космически корабОбикновено се пренебрегва, че устройството привлича планети и комети.

Въпреки това, ако масите на взаимодействащи обекти са сравними, тогава тяхното взаимно привличане става забележимо за всички участници. Например от гледна точка на физиката не е съвсем правилно да се каже, че Луната се върти около Земята. В действителност Луната и Земята се въртят общ центъртегл. Тъй като нашата планета е много по-голяма от естествената си, този център се намира вътре в нея, но все пак не съвпада с центъра на самата Земя.

Видео по темата

източници:

• Страхотна физиказа любопитните - законът за всемирното притегляне

Математиката и физиката са може би най-невероятните науки, достъпни за човека. Като описват света чрез добре дефинирани и изчислими закони, учените могат „на върха на писалката си“ да получат стойности, които на пръв поглед изглеждат невъзможни за измерване.

Инструкции

Един от основните закони на физиката е законът за всемирното привличане. Казва, че всички тела се привличат със сила, равна на F=G*m1*m2/r^2. В този случай G е определена константа (ще бъде посочена директно по време на изчислението), m1 и m2 са масите на телата, а r е разстоянието между тях.

масаЗемите могат да бъдат изчислени въз основа на експеримент. С помощта на махало и хронометър можете да изчислите ускорението на гравитацията g (стъпката ще бъде пропусната поради незначителност), равно на 10 m/s^2. Съгласно втория закон на Нютон, F може да бъде представено като m*a. Следователно за тяло, привлечено от Земята: m2*a2=G*m1*m2/r^2, където m2 е масата на тялото, m1 е масата на Земята, a2=g. След трансформации (намаляване на m2 в двете части, преместване на m1 наляво и a2 надясно), уравнението ще приеме следната форма: m1=(ar)^2/G. Заместването на стойностите дава m1=6*10^27

Изчисляването на масата на Луната се основава на правилото: от телата до центъра на масата на системата е обратно пропорционална на масите на телата. Известно е, че Земята и Луната се въртят около определена точка (CP), като разстоянието от центровете до тази точка е 1/81,3. Следователно Ml=M3/81,3=7,35*10^25.

По-нататъшните изчисления се основават на 3-тия закон на Кеплер, според който (T1/T2)^2*(M1+Mc)/(M2+Mc)=(L1/L2)^3, където T е периодът на въртене на небесния тяло наоколо слънце, L – разстояние до последния, M1, M2 и Mc – маси на две небесни телаи съответно. След като съставихте уравнения за две системи (+луна - / земя - луна), можете да видите, че една част от уравнението е обща, което означава, че втората може да бъде приравнена.

Формулата за изчисление в най общ изгледе Lз^3/(Tз^2*(Mc+Мз)=Lл^3/(Tл^2*(Mз+Мл). Масите на небесните тела са изчислени теоретично, периодите на революция са намерени практически, за да се изчисли L, смятане или практически методи След опростяване и заместване на необходимите стойности, уравнението ще приеме формата: Mc/Mz+Ml=329,390.

Кинетичната енергия е енергията на механична система, която зависи от скоростта на движение на всяка нейна точка. С други думи, кинетична енергияпредставлява разликата между общата енергия и енергията на покой на разглежданата система, тази част от общата енергия на системата, която се дължи на движението. Кинетичната енергия се разделя на енергияпрогресивен и въртеливо движение. Единицата SI за кинетична енергия е джаул.

Инструкции

При постъпателното движение всички точки на системата (тялото) имат еднакви скорости на движение, които са равни на скоростта на движение на центъра на масата на тялото. В този случай кинетичната система Tpost е равна на:
Tpost = ? (mk Vс2)/2,
където mk е масата на тялото, Vс е центърът на масата. Така, когато тялото е в транслация, кинетичната енергия е равна на произведението на масата на тялото и квадрата на скоростта на центъра на масата, разделено. с две. В този случай кинетичната стойност не зависи от движението.

Въз основа на общите формули, получени по-горе, е възможно да се посочат специфични методи за определяне на координатите на центровете на тежестта на телата.

1. Ако едно хомогенно тяло има равнина, ос или център на симетрия, тогава неговият център на тежестта лежи съответно или в равнината на симетрия, или върху оста на симетрия, или в центъра на симетрия.

Да приемем например, че едно хомогенно тяло има равнина на симетрия. След това от тази равнина тя се разделя на две части, чиито тегла са равни една на друга, а центровете на тежестта са на равни разстояния от равнината на симетрия. Следователно центърът на тежестта на тялото, като точка, през която минава резултантната на две равни и успоредни сили, всъщност ще лежи в равнината на симетрия. Подобен резултат се получава в случаите, когато тялото има ос или център на симетрия.

От свойствата на симетрията следва, че центърът на тежестта на хомогенен кръгъл пръстен, кръгла или правоъгълна плоча, правоъгълен паралелепипед, топка и други хомогенни тела с център на симетрия се намира в геометричния център (център на симетрия) на тези тела.

2. Преграждане. Ако тялото може да бъде разделено на краен брой такива части, за всяка от които е известно положението на центъра на тежестта, тогава координатите на центъра на тежестта на цялото тяло могат да бъдат директно изчислени с помощта на формули (59) - (62). В този случай броят на членовете във всяка от сумите ще бъде равен на броя на частите, на които е разделено тялото.

Задача 45. Определете координатите на центъра на тежестта на хомогенната плоча, показана на фиг. 106. Всички размери са дадени в сантиметри.

Решение. Начертаваме осите x, y и разделяме плочата на три правоъгълника (линиите на рязане са показани на фиг. 106). Изчисляваме координатите на центровете на тежестта на всеки от правоъгълниците и тяхната площ (виж таблицата).

Площ на цялата плоча

Замествайки изчислените стойности във формули (61), получаваме:

Намереното положение на центъра на тежестта C е показано на чертежа; точка C беше извън плочата.

3. Добавяне. Този метод е специален случай на метода на разделяне. Прилага се за тела с изрези, ако са известни центровете на тежестта на тялото без изреза и на изреза

Задача 46. Определете положението на центъра на тежестта на кръгла плоча с радиус R с радиус на изреза (фиг. 107). Разстояние

Решение. Центърът на тежестта на плочата лежи върху линията, тъй като тази линия е оста на симетрия. Начертаваме координатни оси. За да намерим координатата, добавяме площта на плочата към пълен кръг (част 1) и след това изваждаме площта на изрязания кръг от получената площ (част 2). В този случай площта на част 2, като изваждаща се площ, трябва да се вземе със знак минус. Тогава

Замествайки намерените стойности във формули (61), получаваме:

Намереният център на тежестта C, както се вижда, лежи вляво от точката

4. Интеграция. Ако тялото не може да бъде разделено на няколко крайни части, чиито позиции на центровете на тежестта са известни, тогава тялото първо се разделя на произволни малки обеми, за които формулите (60) приемат формата

където са координатите на определена точка, лежаща вътре в обема, тогава в равенства (63) те отиват до границата, насочвайки всичко към нула, т.е. свивайки тези обеми в точки. Тогава сумите в равенствата се превръщат в интеграли, разширени до целия обем на тялото, а формулите (63) дават границата:

По същия начин, за координатите на центровете на тежестта на площи и линии, ние получаваме в границата от формули (61) и (62):

Пример за прилагането на тези формули за определяне на координатите на центъра на тежестта е разгледан в следващия параграф.

5. Експериментален метод. Центровете на тежестта на нехомогенни тела със сложна конфигурация (самолет, парен локомотив и др.) могат да бъдат определени експериментално. Един от възможните експериментални методи (метод на окачване) е тялото да бъде окачено на нишка или кабел в различни точки. Посоката на нишката, на която е окачено тялото, всеки път ще дава посоката на гравитацията. Пресечната точка на тези посоки определя центъра на тежестта на тялото. На другите възможен начинЕксперименталното определяне на центъра на тежестта е методът на претегляне. Идеята на този метод е ясна от примера по-долу.

– изчисляване на центъра на тежестта на плоска ограничена фигура. Много читатели интуитивно разбират какво е центърът на тежестта, но въпреки това препоръчвам да повторите материала от един от уроците аналитична геометрия, където излязох задача за центъра на тежестта на триъгълники в достъпна формадешифрира физическото значение на този термин.

В независими и тестови задачиза решение, като правило, се предлага най-простият случай - плосък ограничен хомогененфигура, тоест фигура с постоянна физическа плътност - стъкло, дърво, калай, чугунени играчки, трудно детство и др. Освен това по подразбиране ще говорим само за такива цифри =)

Първото правило и най-прост пример : ако плоска фигура има център на симетрия, тогава това е центърът на тежестта на тази фигура. Например центърът на кръгла хомогенна чиния. Това е логично и разбираемо в ежедневието - масата на такава фигура е „справедливо разпределена във всички посоки“ спрямо центъра. Не искам да го обръщам.

Въпреки това, в суровата реалност, те едва ли ще ви хвърлят сладко елипсовидно шоколадово блокче, така че ще трябва да се въоръжите с някои сериозни кухненски инструменти:

Координатите на центъра на тежестта на плоска хомогенна ограничена фигура се изчисляват по следните формули:

, или:

, където е площта на региона (фигура); или много накратко:

, Къде

Условно ще наричаме интеграла „X“ интеграл, а интеграла „Y“ интеграл.

Помощна бележка : за апартамент ограничен разнороднифигури, чиято плътност се определя от функцията, формулите са по-сложни:
, Къде – маса на фигурата;в случай на равномерна плътност, те се опростяват до горните формули.

Всъщност всички новости свършват с формулите, останалото е ваше умение решаване на двойни интегралиМежду другото, сега е чудесна възможност да практикувате и да подобрите техниката си. И както знаете, няма ограничение за съвършенството =)

Нека добавим една ободряваща порция параболи:

Пример 1

Намерете координатите на центъра на тежестта на хомогенна плоска фигура, ограничена с линии.

Решение: правите тук са елементарни: определят оста x, а уравнението – парабола, която може лесно и бързо да се конструира с геометрични трансформации на графики:

– парабола, изместени 2 единици наляво и 1 единица надолу.

Ще завърша цялата рисунка наведнъж с готовата точка на центъра на тежестта на фигурата:

Правило две: ако фигурата има ос на симетрия, тогава центърът на тежестта на тази фигура задължително лежи на тази ос.

В нашия случай фигурата е симетрична по отношение на директен, тоест всъщност вече знаем координатата “x” на точката “em”.

Също така имайте предвид, че вертикално центърът на тежестта е изместен по-близо до оста x, тъй като там фигурата е по-масивна.

Да, може би не всички са разбрали напълно какво е центърът на тежестта: моля, повдигнете показалеци мислено поставете защрихованата „подметка“ върху нея с точка. Теоретично фигурата не трябва да пада.

Намираме координатите на центъра на тежестта на фигурата с помощта на формулите , Къде .

Редът на преминаване на областта (фигура) е очевиден тук:

внимание!Ние решаваме най-много по благоприятен начинбайпас веднъж- и го използвайте за всичкиинтеграли!

1) Първо изчислете площта на фигурата. Поради относителната простота на интеграла, решението може да бъде написано компактно, основното е да не се бъркате в изчисленията:

Разглеждаме чертежа и оценяваме площта по клетки. Оказа се, че става въпрос за случая.

2) X-координатата на центъра на тежестта вече е намерена чрез „графичния метод“, така че можете да се обърнете към симетрията и да преминете към следващата точка. Все още обаче не препоръчвам да правите това - има голяма вероятност решението да бъде отхвърлено с формулировката „използвайте формулата“.

Моля, имайте предвид, че тук можете да се справите само с умствени изчисления - понякога изобщо не е необходимо да намалявате дробите до общ знаменателили измъчвайте калкулатора.

Така:
, което е необходимо да се получи.

3) Намерете ординатата на центъра на тежестта. Нека изчислим интеграла на „играта“:

Но тук би било трудно без калкулатор. За всеки случай ще коментирам, че в резултат на умножаване на полиноми, получаваме 9 члена и някои от тях са подобни. Дадох устно подобни условия (както обикновено се прави в подобни случаи)и веднага записах общата сума.

В резултат на това:
, което е много, много подобно на истината.

включено финален етапмаркирайте точка на чертежа. Според условието нямаше изискване да рисуваме каквото и да било, но в повечето задачи сме принудени, волю-неволю, да рисуваме фигура. Но има абсолютен плюс - визуален и тих ефективна проверкарезултат.

отговор:

Следващите два примера са за независимо решение.

Пример 2

Намерете координатите на центъра на тежестта на хомогенна плоска фигура, ограничена с линии

Между другото, ако си представите как е разположена параболата и видите точките, в които тя пресича оста, тогава тук всъщност можете да направите без чертеж.

И по-сложно:

Пример 3

Намерете центъра на тежестта на хомогенна плоска фигура, ограничена с линии

Ако имате затруднения при конструирането на графики, изучете (повторете) урок за параболитеи/или Пример № 11 от статията Двойни интеграли за манекени.

Примерни решения в края на урока.

Освен това дузина-две подобни примериможете да намерите в съответния архив на страницата Готови решения по висша математика.

Е, не мога да не зарадвам феновете на висшата математика, които често ме карат да анализирам трудни задачи:

Пример 4

Намерете центъра на тежестта на хомогенна плоска фигура, ограничена с линии. Начертайте фигурата и нейния център на тежестта върху чертежа.

Решение: условието на тази задача вече категорично изисква завършване на чертежа. Но изискването не е толкова формално! – дори човек със средно ниво на обучение може да си представи тази цифра в ума си:

Права линия разрязва кръг на 2 части и допълнителна клауза (см. линейни неравенства) показва, че говорим за малко защриховано парче.

Фигурата е симетрична спрямо права линия (изобразена с пунктирана линия), така че центърът на тежестта трябва да лежи на тази линия. И, очевидно, неговите координати са равни по модул. Отлична насока, която практически елиминира възможността за грешен отговор!

Сега лошата новина =) На хоризонта се очертава неприятен интеграл от корена, който разгледахме подробно в пример № 4 от урока Ефективни методи за решаване на интеграли. И кой знае какво още ще бъде нарисувано там. Изглежда, че поради присъствието кръгизгодно, но не всичко е толкова просто. Уравнението на правата се трансформира във формата и интегралите също няма да се окажат захар (въпреки че феновете тригонометрични интегралище оценят). В това отношение е по-внимателно да се съсредоточите върху декартовите координати.

Редът на преминаване на фигурата:

1) Изчислете площта на фигурата:

По-рационално е да вземем първия интеграл включвайки диференциалния знак:

И във втория интеграл правим стандартната замяна:

Нека изчислим новите граници на интеграция:

2) Да намерим.

Тук във втория интеграл той отново беше използван метод за поставяне на функция под диференциалния знак. Практикувайте и приемете тези оптимални (според мен)техники за решаване на стандартни интеграли.

След трудни и отнемащи време изчисления, отново насочваме вниманието си към чертежа (запомнете това точки още не знаем! ) и получаваме дълбоко морално удовлетворение от намерената стойност.

3) Въз основа на анализа, извършен по-рано, остава да се уверим, че .

Страхотно:

Нека начертаем една точка на чертежа. В съответствие с формулировката на условието го записваме като окончателно отговор:

Подобна задача, която можете да решите сами:

Пример 5

Намерете центъра на тежестта на хомогенна плоска фигура, ограничена с линии. Изпълнете чертежа.

Този проблем представлява интерес, защото съдържа фигура с доста малък размер и ако направите грешка някъде, тогава има голяма вероятност изобщо да „не влезете“ в областта. Което със сигурност е добре от гледна точка на контрола върху решенията.

Приблизителна пробарегистрация в края на урока.

Понякога има смисъл преход към полярни координати в двойни интеграли. Зависи от фигурата. Търсих и търсих себе си добър пример, но не го намерих, така че ще демонстрирам решението, като използвам първия демонстрационен проблем от горния урок:


Позволете ми да ви напомня, че в този пример отидохме полярни координати, установи реда на преминаване на района и изчисли площта му

Нека намерим центъра на тежестта на тази фигура. Схемата е същата: . Стойността се гледа директно от чертежа, а координатата "x" трябва да се измести малко по-близо до ординатната ос, тъй като там се намира по-масивната част на полукръга.

В интегралите използваме стандартни формули за преход:

Вероятно, най-вероятно те не са сбъркали.