Универсална дефиниция на лимита на функция според Хайн и Коши. Ограничение на функцията

Ограниченията създават много проблеми на всички студенти по математика. За да разрешите ограничение, понякога трябва да използвате много трикове и да изберете от различни методи за решение точно този, който е подходящ за конкретен пример.

В тази статия няма да ви помогнем да разберете границите на вашите възможности или да разберете границите на контрола, но ще се опитаме да отговорим на въпроса: как да разберете границите във висшата математика? Разбирането идва с опит, така че в същото време ще дадем няколко подробни примера за решаване на граници с обяснения.

Понятието граница в математиката

Първият въпрос е: каква е тази граница и границата на какво? Можем да говорим за граници на числови последователности и функции. Интересуваме се от понятието граница на функция, тъй като това е, с което студентите най-често се сблъскват. Но първо - най-много обща дефиницияограничение:

Да кажем, че има някаква променлива стойност. Ако тази стойност в процеса на промяна неограничено се приближава определен брой а , Това а – границата на тази стойност.

За функция, дефинирана в определен интервал f(x)=y такова число се нарича граница А , към които функцията клони, когато X , клонящи към определена точка А . Точка А принадлежи на интервала, на който е дефинирана функцията.

Звучи тромаво, но е написано много просто:

Лим- от английски лимит- лимит.

Има и геометрично обяснение за определяне на границата, но тук няма да се задълбочаваме в теорията, тъй като се интересуваме повече от практическата, а не от теоретичната страна на въпроса. Когато казваме това X клони към някаква стойност, това означава, че променливата не приема стойността на число, а се приближава безкрайно близо до нея.

Да дадем конкретен пример. Задачата е да се намери границата.

За да решим този пример, заместваме стойността х=3 във функция. Получаваме:

Между другото, ако се интересувате, прочетете отделна статия по тази тема.

В примерите X може да клони към всяка стойност. Може да бъде произволно число или безкрайност. Ето един пример кога X клони към безкрайност:

Интуитивно е ясно какво е какво по-голям бройв знаменателя, толкова по-малка стойност ще приеме функцията. И така, с неограничен растеж X значение 1/x ще намалява и ще се доближава до нула.

Както можете да видите, за да разрешите границата, просто трябва да замените стойността, към която да се стремите, във функцията X . Това обаче е най-простият случай. Често намирането на границата не е толкова очевидно. В границите има неясноти от вида 0/0 или безкрайност/безкрайност . Какво да правим в такива случаи? Прибягвайте до трикове!

Вътрешна несигурност

Неопределеност на формата безкрайност/безкрайност

Нека има ограничение:

Ако се опитаме да заместим безкрайност във функцията, ще получим безкрайност както в числителя, така и в знаменателя. Като цяло си струва да се каже, че има известен елемент на изкуство в разрешаването на такива несигурности: трябва да забележите как можете да трансформирате функцията по такъв начин, че несигурността да изчезне. В нашия случай разделяме числителя и знаменателя на X в старшата степен. какво ще стане

От вече обсъдения по-горе пример знаем, че членовете, съдържащи x в знаменателя, ще клонят към нула. Тогава решението на лимита е:

За разрешаване на несигурностите на типа безкрайност/безкрайностразделете числителя и знаменателя на Xв най-висока степен.

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от

Друг вид несигурност: 0/0

Както винаги, заместване на стойности във функцията х=-1 дава 0 в числителя и знаменателя. Погледнете малко по-внимателно и ще забележите това в нашия числител квадратно уравнение. Нека намерим корените и напишем:

Нека намалим и получим:

Така че, ако сте изправени пред несигурност на типа 0/0 – множете числителя и знаменателя.

За да ви улесним при решаването на примери, представяме таблица с ограниченията на някои функции:

Правилото на L'Hopital в рамките

Друг мощен начин за премахване на двата вида несигурност. Каква е същността на метода?

Ако има несигурност в границата, вземете производната на числителя и знаменателя, докато несигурността изчезне.

Правилото на L'Hopital изглежда така:

Важен момент : границата, в която трябва да съществуват производните на числителя и знаменателя вместо числителя и знаменателя.

А сега - реален пример:

Има типична несигурност 0/0 . Нека вземем производните на числителя и знаменателя:

Ето, несигурността се решава бързо и елегантно.

Надяваме се, че ще можете да приложите полезно тази информация на практика и да намерите отговор на въпроса „как да решаваме граници във висшата математика“. Ако трябва да изчислите границата на последователност или границата на функция в точка и няма абсолютно никакво време за тази работа, свържете се с професионална студентска служба за бързо и подробно решение.

Математиката е науката, която изгражда света. И ученият, и обикновеният човек - никой не може без него. Първо малките деца се учат да броят, след това да събират, изваждат, умножават и делят гимназияОбозначаването на буквите влиза в игра и в по-старата игра не можете без тях.

Но днес ще говорим за това, на какво се основава цялата известна математика. За общност от числа, наречена „граници на последователност“.

Какво представляват последователностите и къде е тяхната граница?

Значението на думата „последователност” не е трудно за тълкуване. Това е подреждане на неща, където някой или нещо е разположено в определен ред или опашка. Например опашката за билети в зоологическата градина е последователност. И може да бъде само един! Ако, например, погледнете опашката в магазина, това е една последователност. И ако един човек от тази опашка изведнъж си тръгне, тогава това е друга опашка, друг ред.

Думата „лимит“ също се тълкува лесно - това е краят на нещо. В математиката обаче границите на последователностите са тези стойности на числовата линия, към които клони последователност от числа. Защо се стреми и не свършва? Просто е, числовата линия няма край и повечето последователности, като лъчите, имат само начало и изглеждат така:

x 1, x 2, x 3,...x n...

Следователно дефиницията на последователност е функция на естествения аргумент. повече с прости думие поредица от членове на определено множество.

Как се изгражда числовата последователност?

Прост пример за числова последователност може да изглежда така: 1, 2, 3, 4, …n…

В повечето случаи за практически цели поредиците се изграждат от числа и всеки следващ член на поредицата, нека го обозначим с X, има собствено име. Например:

x 1 е първият член на редицата;

x 2 е вторият член на редицата;

x 3 е третият член;

x n е n-тият член.

При практическите методи последователността се дава с обща формула, в която има определена променлива. Например:

X n =3n, тогава самата поредица от числа ще изглежда така:

Струва си да запомните, че когато записвате последователности като цяло, можете да използвате всякакви латински букви, а не само X. Например: y, z, k и т.н.

Аритметична прогресия като част от последователности

Преди да потърсите границите на последователностите, препоръчително е да се потопите по-дълбоко в самата концепция за такава числова серия, с която всеки се е сблъсквал, когато е бил в средното училище. Аритметичната прогресия е поредица от числа, в които разликата между съседни членове е постоянна.

Проблем: „Нека a 1 = 15 и стъпката на прогресията на числовата серия d = 4. Конструирайте първите 4 термина от тази поредица"

Решение: a 1 = 15 (по условие) е първият член на прогресията (числова серия).

и 2 = 15+4=19 е вторият член на прогресията.

и 3 =19+4=23 е третият член.

и 4 =23+4=27 е четвъртият член.

С помощта на този метод обаче е трудно да се достигнат големи стойности, например до 125. . Специално за такива случаи е изведена удобна за практика формула: a n =a 1 +d(n-1). В този случай 125 =15+4(125-1)=511.

Видове последователности

Повечето от последователностите са безкрайни, струва си да ги запомните до края на живота си. Има две интересно изглеждащчислова серия. Първият се дава по формулата a n =(-1) n. Математиците често наричат ​​тази последователност светкавица. защо Нека проверим числовата му серия.

1, 1, -1, 1, -1, 1 и т.н. С пример като този става ясно, че числата в последователностите могат лесно да се повтарят.

Факторна последователност. Лесно е да се досетите - формулата, определяща последователността, съдържа факториел. Например: a n = (n+1)!

Тогава последователността ще изглежда така:

a 2 = 1x2x3 = 6;

и 3 = 1x2x3x4 = 24 и т.н.

Дадена последователност аритметична прогресия, се нарича безкрайно намаляваща, ако неравенството -1 се спазва за всичките му членове

и 3 = - 1/8 и т.н.

Има дори последователност, състояща се от едно и също число. И така, n = 6 се състои от безкраен брой шестици.

Определяне на границата на последователността

Границите на последователността отдавна съществуват в математиката. Разбира се, те заслужават собствен компетентен дизайн. И така, време е да научите дефиницията на границите на последователността. Първо, нека разгледаме подробно ограничението за линейна функция:

1. Всички граници са съкратени като lim.
2. Означението на границата се състои от съкращението lim, всяка променлива, клоняща към определено число, нула или безкрайност, както и самата функция.

Лесно е да се разбере, че дефиницията на границата на редицата може да се формулира по следния начин: това е определено число, към което всички членове на редицата се приближават безкрайно. Прост пример: a x = 4x+1. Тогава самата последователност ще изглежда така.

5, 9, 13, 17, 21…x…

По този начин тази последователност ще нараства безкрайно, което означава, че нейната граница е равна на безкрайност като x→∞ и трябва да се запише така:

Ако вземем подобна последователност, но x клони към 1, получаваме:

И поредицата от числа ще бъде следната: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 и т.н. Всеки път, когато трябва да замените числото по-близо до единица (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). От тази серия става ясно, че границата на функцията е пет.

От тази част си струва да запомните каква е границата на числова последователност, определението и метода за решаване на прости проблеми.

Общо обозначение за границата на последователностите

След като разгледахте границата на числова последователност, нейната дефиниция и примери, можете да продължите към по-сложна тема. Абсолютно всички граници на последователностите могат да бъдат формулирани с една формула, която обикновено се анализира през първия семестър.

И така, какво означава този набор от букви, модули и знаци за неравенство?

∀ е универсален квантификатор, заместващ изразите „за всички“, „за всичко“ и т.н.

∃ е екзистенциален квантор, в този случай означава, че има някаква стойност N, принадлежаща на множеството от естествени числа.

Дълга вертикална пръчка след N означава, че даденото множество N е „такова, че“. На практика може да означава „такъв, който“, „такъв, който“ и т.н.

За да затвърдите материала, прочетете формулата на глас.

Несигурност и сигурност на границата

Методът за намиране на границата на последователностите, който беше обсъден по-горе, въпреки че е лесен за използване, не е толкова рационален на практика. Опитайте се да намерите ограничението за тази функция:

Ако заместим различни стойности на „x“ (увеличаващи се всеки път: 10, 100, 1000 и т.н.), тогава получаваме ∞ в числителя, но също така ∞ в знаменателя. Това води до доста странна фракция:

Но наистина ли е така? Изчисляването на границата на числова последователност в този случай изглежда доста лесно. Би било възможно да оставите всичко както е, защото отговорът е готов и е получен при разумни условия, но има друг начин специално за такива случаи.

Първо, нека намерим най-високата степен в числителя на дробта - това е 1, тъй като x може да бъде представено като x 1.

Сега нека намерим най-високата степен в знаменателя. Също така 1.

Нека разделим и числителя, и знаменателя на променливата на най-висока степен. В този случай разделете дроба на x 1.

След това ще намерим към каква стойност клони всеки член, съдържащ променлива. В този случай се разглеждат дроби. Когато x→∞, стойността на всяка дроб клони към нула. Когато изпращате работата си в писмен вид, трябва да направите следните бележки под линия:

Това води до следния израз:

Разбира се, дробите, съдържащи x, не са станали нули! Но тяхната стойност е толкова малка, че е напълно допустимо да не се взема предвид при изчисленията. Всъщност х никога няма да бъде равно на 0 в този случай, защото не можете да делите на нула.

Какво е квартал?

Да предположим, че професорът има на разположение сложна последователност, дадена, очевидно, от също толкова сложна формула. Професорът е намерил отговора, но верен ли е? В крайна сметка всички хора правят грешки.

Огюст Коши веднъж измисли отличен начин да докаже границите на последователностите. Неговият метод се наричаше квартална манипулация.

Да предположим, че има определена точка a, нейната околност в двете посоки на числовата ос е равна на ε („епсилон“). Тъй като последната променлива е разстоянието, нейната стойност винаги е положителна.

Сега нека дефинираме някаква редица x n и приемем, че десетият член на редицата (x 10) е в близост до a. Как можем да напишем този факт на математически език?

Да кажем, че x 10 е вдясно от точка a, тогава разстоянието x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Сега е време да обясним на практика формулата, обсъдена по-горе. Справедливо е определено число да се нарече крайна точка на редица, ако за която и да е от нейните граници е изпълнено неравенството ε>0 и цялата околност има собствено естествено число N, така че всички членове на редицата с по-високи числа ще бъде вътре в последователността |x n - a|< ε.

С такова знание е лесно да се решат границите на последователността, да се докаже или опровергае готовият отговор.

Теореми

Теоремите за границите на последователностите са важен компонент на теорията, без който практиката е невъзможна. Има само четири основни теореми, запомнянето на които може да направи решението или доказателството много по-лесно:

1. Уникалност на границата на последователност. Всяка последователност може да има само едно ограничение или никакво. Същият пример с опашка, която може да има само един край.
2. Ако поредица от числа има ограничение, тогава последователността от тези числа е ограничена.
3. Границата на сумата (разликата, произведението) на последователностите е равна на сумата (разликата, произведението) на техните граници.
4. Границата на частното при разделянето на две последователности е равна на частното на границите тогава и само ако знаменателят не е равен на нула.

Доказателство за последователности

Понякога трябва да решите обратна задача, за да докажете дадена граница на числова редица. Нека разгледаме един пример.

Докажете, че границата на редицата, дадена от формулата, е нула.

Съгласно правилото, обсъдено по-горе, за всяка последователност неравенството |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Нека изразим n чрез „епсилон“, за да покажем съществуването на определено число и да докажем наличието на граница на редицата.

На този етап е важно да запомните, че „epsilon“ и „en“ са положителни числа и не са равни на нула. Сега е възможно да продължите по-нататъшни трансформации, като използвате знанията за неравенствата, придобити в гимназията.

Как се оказва, че n > -3 + 1/ε. Тъй като си струва да запомните, че говорим за естествени числа, резултатът може да бъде закръглен, като го поставите в квадратни скоби. По този начин беше доказано, че за всяка стойност на околността „епсилон“ на точката a = 0 е намерена такава стойност, че първоначалното неравенство е изпълнено. От тук можем спокойно да кажем, че числото a е границата на дадена редица. Q.E.D.

Този удобен метод може да се използва за доказване на границата на числова редица, независимо колко сложна може да е на пръв поглед. Основното нещо е да не се паникьосвате, когато видите задачата.

Или може би той не е там?

Съществуването на граница на последователност на практика не е необходимо. Лесно можете да попаднете на серии от числа, които наистина нямат край. Например същата „мигаща светлина“ x n = (-1) n. очевидно е, че последователност, състояща се само от две цифри, повтарящи се циклично, не може да има граница.

Същата история се повтаря с последователности, състоящи се от едно число, дробни, имащи несигурност от всякакъв ред по време на изчисленията (0/0, ∞/∞, ∞/0 и т.н.). Трябва обаче да се помни, че възникват и неправилни изчисления. Понякога двойната проверка на вашето собствено решение ще ви помогне да намерите ограничението на последователността.

Монотонна последователност

Няколко примера за последователности и методи за решаването им бяха обсъдени по-горе, а сега нека се опитаме да вземем по-конкретен случай и да го наречем „монотонна последователност“.

Определение: всяка последователност може с право да се нарече монотонно нарастваща, ако за нея е изпълнено строгото неравенство x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Наред с тези две условия съществуват и подобни нестроги неравенства. Съответно, x n ≤ x n +1 (ненамаляваща редица) и x n ≥ x n +1 (ненарастваща редица).

Но е по-лесно да разберете това с примери.

Последователността, дадена с формулата x n = 2+n, образува следната редица от числа: 4, 5, 6 и т.н. Това е монотонно нарастваща редица.

И ако вземем x n =1/n, получаваме редицата: 1/3, ¼, 1/5 и т.н. Това е монотонно намаляваща редица.

Предел на сходяща се и ограничена редица

Ограничена последователност е последователност, която има граница. Конвергентната последователност е поредица от числа, която има безкрайно малка граница.

По този начин границата на ограничена последователност е всяко реално или комплексно число. Не забравяйте, че може да има само едно ограничение.

Границата на конвергентна последователност е безкрайно малко (реално или комплексно) количество. Ако начертаете диаграма на последователност, тогава в определен момент тя ще изглежда като конвергенция, склонна да се превърне в определена стойност. Оттук и името - конвергентна последователност.

Граница на монотонна последователност

Може да има или да няма ограничение за такава последователност. Първо, полезно е да разберете кога съществува; тук можете да започнете, когато доказвате липсата на ограничение.

Сред монотонните последователности се разграничават конвергентни и дивергентни. Конвергентна е последователност, която се образува от множеството x и има реална или комплексна граница в това множество. Дивергентна е последователност, която няма ограничение в своето множество (нито реална, нито комплексна).

Освен това последователността се сближава, ако в геометрично представяне нейните горни и долни граници се сближават.

Границата на конвергентна последователност може да бъде нула в много случаи, тъй като всяка безкрайно малка последователност има известна граница (нула).

Каквато и конвергентна последователност да вземете, всички те са ограничени, но не всички ограничени последователности се събират.

Сумата, разликата, произведението на две конвергентни редица също е конвергентна редица. Коефициентът обаче може да бъде и сходен, ако е дефиниран!

Различни действия с ограничения

Ограниченията на последователностите са толкова важни (в повечето случаи), колкото цифрите и числата: 1, 2, 15, 24, 362 и т.н. Оказва се, че някои операции могат да се извършват с ограничения.

Първо, като числата и числата, границите на всяка последователност могат да се добавят и изваждат. Въз основа на третата теорема за границите на редицата е в сила следното равенство: границата на сбора от редицата е равна на сумата от техните граници.

Второ, въз основа на четвъртата теорема за границите на последователностите е вярно следното равенство: границата на произведението на n-тия брой последователности е равна на произведението на техните граници. Същото важи и за делението: границата на частното на две последователности е равна на частното на техните граници, при условие че границата не е нула. В крайна сметка, ако границата на последователностите е равна на нула, тогава ще се получи деление на нула, което е невъзможно.

Свойства на последователни величини

Изглежда, че границата на числовата последователност вече е обсъдена в някои подробности, но фрази като „безкрайно малки“ и „безкрайно големи“ числа се споменават повече от веднъж. Очевидно, ако има последователност 1/x, където x→∞, тогава такава дроб е безкрайно малка и ако същата последователност, но границата клони към нула (x→0), тогава дробта става безкрайно голяма стойност. И такива количества имат свои собствени характеристики. Свойствата на границата на последователност, имаща малки или големи стойности, са както следва:

1. Сборът от произволен брой от произволен брой малки количества също ще бъде малко количество.
2. Сборът от произволен брой големи количества ще бъде безкрайно голямо количество.
3. Продуктът на произволно малки количества е безкрайно малък.
4. Произведението на произволен брой големи числа е безкрайно голямо.
5. Ако оригиналната последователност клони към безкрайно голямо число, тогава нейната обратна ще бъде безкрайно малка и ще клони към нула.

Всъщност изчисляването на границата на последователност не е толкова трудна задача, ако знаете прост алгоритъм. Но границите на последователността са тема, която изисква максимално внимание и постоянство. Разбира се, достатъчно е просто да схванете същността на решението на подобни изрази. Започвайки с малко, можете да постигнете големи висоти с течение на времето.

Тук ще разгледаме дефиницията на крайната граница на последователност. Случаят на последователност, сходна към безкрайност, е разгледан на страницата „Определение на безкрайно голяма последователност“.

Определение .
(xn), ако за всяко положително число ε > 0 има такова нещо естествено число N ε в зависимост от ε, така че за всички естествени n > N ε неравенството
| x n - a|< ε .
Границата на последователността се обозначава, както следва:
.
Или при .

Нека трансформираме неравенството:
;
;
.

Отворен интервал (a - ε, a + ε) се нарича ε - околност на точка а.

Извиква се последователност, която има граница конвергентна последователност. Също така се казва, че последователността се сближавакъм а. Извиква се последователност, която няма ограничение.

разнопосочни

От дефиницията следва, че ако една последователност има граница a, без значение каква ε-околност на точка a изберем, извън нея може да има само краен брой елементи на последователността или изобщо да няма (празното множество) . И всяка ε-околност съдържа безкраен брой елементи. Всъщност, след като сме дали определено число ε, по този начин имаме числото .

Така че всички елементи на редицата с числа , по дефиниция, се намират в ε - околността на точка a .
(1) .

Първите елементи могат да бъдат разположени навсякъде. Тоест извън ε-околността не може да има повече от елементи - тоест краен брой.

Също така отбелязваме, че разликата не трябва монотонно да клони към нула, тоест да намалява през цялото време. Тя може да клони към нула немонотонно: може или да нараства, или да намалява, като има локални максимуми. Въпреки това, тези максимуми, когато n нараства, трябва да клонят към нула (евентуално също не монотонно).

Използвайки логическите символи на съществуване и универсалност, определението за граница може да бъде написано, както следва: Определяне, че a не е границаСега разгледайте обратното твърдение, че числото a не е границата на редицата. Номер ане е границата на последователността
.

, ако има такова, че за всяко естествено число n съществува такова естествено m
(2) .

> n числото a не е границата на редицата, означава това
можете да изберете такава ε - околност на точка a, извън която ще има безкраен брой елементи от последователността.

Нека разгледаме един пример. Нека е дадена редица с общ елемент
(3)
Всяка околност на точка съдържа безкраен брой елементи. Тази точка обаче не е границата на последователността, тъй като всяка околност на точката също съдържа безкраен брой елементи. Да вземем ε – околност на точка с ε = 1 . (-1, +1) Това ще бъде интервалът > 2 .

Всички елементи с изключение на първия с четно n принадлежат на този интервал. Но всички елементи с нечетно n са извън този интервал, тъй като те удовлетворяват неравенството x n
.

.

Тъй като броят на нечетните елементи е безкраен, ще има безкраен брой елементи извън избрания квартал. Следователно точката не е границата на последователността.

Сега ще покажем това, като стриктно се придържаме към твърдение (2). Точката не е граница на редицата (3), тъй като съществува такава, че за всяко естествено n има нечетно, за което неравенството е в сила

Може също да се покаже, че всяка точка a не може да бъде граница на тази последователност. Винаги можем да изберем ε - околност на точка a, която не съдържа нито точка 0, нито точка 2. И тогава извън избраната околност ще има безкраен брой елементи от редицата.
Еквивалентно определениеМожем да дадем еквивалентна дефиниция на границата на последователност, ако разширим понятието ε - околност. Ще получим еквивалентна дефиниция, ако вместо ε-околност съдържа произволна околност на точката a. 1 Определяне на околността на точка 2 Околностите на точка а

се извиква всеки отворен интервал, съдържащ тази точка. Математически околността се определя по следния начин: , където ε

и ε
- произволни положителни числа.Тогава дефиницията на границата ще бъде както следва.

Еквивалентна дефиниция на границата на последователността

- произволни положителни числа.Числото a се нарича граница на редицата
.

, ако за произволна негова околност съществува естествено число N такова, че всички елементи на редицата с числа принадлежат на тази околност.

Нека докажем, че двете дефиниции на границата на редица, представени по-горе, са еквивалентни.

Нека числото a е границата на редицата според първата дефиниция. Това означава, че има функция, така че за всяко положително число ε са изпълнени следните неравенства:
(4) при .

Нека покажем, че числото a е границата на редицата по второто определение. Тоест трябва да покажем, че има такава функция, че за всякакви положителни числа ε 1 и ε 2 са изпълнени следните неравенства:
(5) при .

Нека имаме две положителни числа: ε 1 и ε 2 .
.
И нека ε е най-малкото от тях: .

Тогава ; ; 1 и ε 2 .
.

Нека използваме това в (5): 1 и ε 2 са изпълнени следните неравенства:
(5) при .

Но неравенствата са изпълнени за .
.
Тогава неравенствата (5) са изпълнени и за .
Тоест намерихме функция, за която неравенствата (5) са изпълнени за всякакви положителни числа ε

Първата част е доказана.

Сега нека числото a е границата на редицата според втората дефиниция. Това означава, че има функция, такава че за всякакви положителни числа ε

Нека покажем, че числото a е границата на редицата по първото определение. За да направите това, трябва да поставите.

Тогава, когато са валидни следните неравенства:

(1) .
Това съответства на първото определение с .
.

.
Еквивалентността на определенията е доказана.
.

.
Примери
при .
Тук ще разгледаме няколко примера, в които трябва да докажем, че дадено число a е границата на редица. В този случай трябва да зададете произволно положително число ε и да дефинирате функция N от ε, така че неравенството .
.

Пример 1

Докажи това.
.

В нашия случай;
(1) .
Нека използваме свойствата на неравенствата. Тогава ако и , тогава
.

Тогава
.
Еквивалентността на определенията е доказана.
.

Това означава, че числото е границата на дадената последователност:
.
Примери
при .
.

Пример 2

.

Използвайки дефиницията на границата на редица, докажете това
Нека запишем дефиницията на границата на последователност:
.
В нашия случай; = 1, 2, 3, ... Въведете положителни числа и:
.

В нашия случай;
(1) .
Тоест, за всяко положително, можем да вземем всяко естествено число, по-голямо или равно на:
.
Пример 3
.

Това означава, че числото е границата на дадената последователност:
.
Въвеждаме обозначението , .
при .
Нека трансформираме разликата:
.

За естествени n

имаме:
.

В нашия случай;
(1) .
Нека използваме свойствата на неравенствата. Тогава ако и , тогава
.

Тогава
.
Пример 3
.

Това означава, че числото е границата на дадената последователност:
.
Примери
при .
Нека трансформираме разликата:
.

Въведете положителни числа и:
Тогава ако и , тогава
В същото време

Това означава, че числото е границата на последователността: Пример 4Използвайки дефиницията на границата на редица, докажете това Използвана литература:, както и да се научат да решават подходящи проблеми от теоретичен характер. Статията е предназначена предимно за студенти от първа година по природни науки и инженерни специалности, които са започнали да изучават теорията на математическия анализ и са срещнали трудности при разбирането на този раздел от висшата математика. Освен това материалът е доста достъпен за ученици от гимназията.

През годините на съществуване на сайта получих дузина писма с приблизително следното съдържание: „Не разбирам добре от математически анализ, какво да правя?“, „Изобщо не разбирам от математика, аз съм мисля да напусна обучението си” и т.н. И наистина, матанът е този, който често разрежда студентската група след първата сесия. Защо е така? Защото темата е невъобразимо сложна? Съвсем не! Теорията на математическия анализ не е толкова трудна, колкото е особена. И трябва да я приемете и обичате такава, каквато е =)

Да започнем с най-трудния случай. Първото и най-важно нещо е, че не е нужно да се отказвате от обучението си. Разберете правилно, винаги можете да се откажете;-) Разбира се, ако след година или две се почувствате зле от избраната от вас специалност, тогава да, трябва да помислите за това (и не се ядосвай!)за промяна на дейността. Но засега си струва да продължим. И моля, забравете фразата „Нищо не разбирам“ - не се случва ИЗОБЩО нищо да не разбирате.

Какво да направите, ако теорията е лоша? Това, между другото, се отнася не само за математическия анализ. Ако теорията е лоша, тогава първо трябва СЕРИОЗНО да се съсредоточите върху практиката. В този случай се решават две стратегически задачи наведнъж:

– Първо, значителна част от теоретичните знания се появиха чрез практиката. И затова много хора разбират теорията чрез... – точно така! Не, не, не мислиш за това =)

– И, второ, практическите умения най-вероятно ще ви „издърпат“ през изпита, дори ако... но да не се вълнуваме толкова! Всичко е реално и всичко може да се „вдигне“ за сравнително кратко време. Математическият анализ е моята любима част от висшата математика и затова просто нямаше как да не ви помогна:

В началото на 1-ви семестър обикновено се покриват границите на последователността и функционалните граници. Не разбирате какво представляват те и не знаете как да ги разрешите? Започнете със статията Функционални ограничения, в който самото понятие се разглежда „на пръсти“ и се анализират най-простите примери. След това отработете други уроци по темата, включително урок за в рамките на последователности, по който всъщност вече съм формулирал строга дефиниция.

Какви символи освен знаците за неравенство и модула знаете?

– дълга вертикална пръчка гласи така: „такава“, „такава“, „такава“ или „такава“, в нашия случай, очевидно, говорим за число - следователно „такова“;

– за всички “en” по-големи от ;

– знакът за модул означава разстояние, т.е. този запис ни казва, че разстоянието между стойностите е по-малко от епсилон.

Е, смъртоносно трудно ли е? =)

След като усвоите практиката, очаквам с нетърпение да ви видя в следващия параграф:

И всъщност, нека помислим малко - как да формулираме строга дефиниция на последователността? ...Първото нещо, за което се сещам на света практически урок: „границата на една последователност е числото, до което членовете на последователността се приближават безкрайно.“

Добре, нека го запишем подпоследователност :

Не е трудно да се разбере това подпоследователност се приближават безкрайно близо до числото –1 и четни членове – на „един“.

Или може би има две граници? Но защо тогава нито една последователност не може да има десет или двадесет от тях? Можете да стигнете далеч по този начин. В тази връзка е логично да се предположи, че ако една последователност има граница, тогава тя е уникална.

Забележка : последователността няма ограничение, но две подпоследователности могат да бъдат разграничени от нея (виж по-горе), всяка от които има собствена граница.

Така горното определение се оказва несъстоятелно. Да, работи за случаи като (което не използвах съвсем правилно в опростени обяснения на практически примери), но сега трябва да намерим стриктна дефиниция.

Опит втори: „границата на една последователност е числото, до което се доближават ВСИЧКИ членове на последователността, освен може би техните окончателенколичества." Това е по-близо до истината, но все още не е съвсем точно. Така например последователността половината от членовете изобщо не се доближават до нула - те просто са равни на нея =) Между другото, "мигащата светлина" обикновено приема две фиксирани стойности.

Формулировката не е трудна за изясняване, но тогава възниква друг въпрос: как да напишем определението в математически символи? Научният свят се бореше с този проблем дълго време, докато ситуацията не беше разрешена прочут маестро, което по същество формализира класическия математически анализ в цялата му строгост. Коши предложи операция обкръжение , което значително напредна в теорията.

Помислете за някаква точка и нейната произволен-околност:

Стойността на "епсилон" винаги е положителна и освен това, ние имаме право сами да си го изберем. Да приемем, че в този квартал има много членове (не непременно всички)някаква последователност. Как да запиша факта, че например десетият срок е в съседство? Нека е от дясната му страна. Тогава разстоянието между точките и трябва да бъде по-малко от "епсилон": . Ако обаче „х десета“ се намира вляво от точка „а“, тогава разликата ще бъде отрицателна и следователно знакът трябва да се добави към нея модул: .

Определение: числото се нарича граница на последователност, ако за всякаквиоколностите му (предварително избран)има естествено число ТАКОВА, че ВСИЧКИчленовете на последователността с по-високи числа ще бъдат вътре в квартала:

Или накратко: ако

С други думи, без значение колко малка е стойността на "епсилон", която приемаме, рано или късно "безкрайната опашка" на последователността НАПЪЛНО ще бъде в този квартал.

Например „безкрайната опашка“ на последователността ще навлезе НАПЪЛНО във произволно малък квартал на точката. Така че тази стойност е границата на последователността по дефиниция. Нека ви напомня, че се извиква редица, чиято граница е нула безкрайно малък.

Трябва да се отбележи, че за последователност вече не е възможно да се каже „безкрайна опашка“ ще влезе“- членовете с нечетни числа всъщност са равни на нула и „не отиват никъде” =) Ето защо в определението е използван глаголът „ще се появи”. И, разбира се, членовете на последователност като тази също „отиват никъде“. Между другото, проверете дали броят е неговият лимит.

Сега ще покажем, че последователността няма ограничение. Помислете, например, за околност на точката. Абсолютно ясно е, че няма такова число, след което ВСИЧКИ термини да се окажат в даден квартал - нечетните термини винаги ще "изскочат" до "минус едно". По подобна причина в точката няма ограничение.

Нека консолидираме материала с практика:

Пример 1

Докажете, че границата на редицата е нула. Посочете числото, след което всички членове на последователността са гарантирани, че са във всяка произволно малка околност на точката.

Забележка : За много последователности изискваното естествено число зависи от стойността - оттук и записът .

Решение: помислете произволен има линомер – така че ВСИЧКИ членове с по-високи номера ще бъдат в този квартал:

За да покажем съществуването на търсеното число, ние го изразяваме чрез .

Тъй като за всяка стойност на "en", знакът за модул може да бъде премахнат:

Използваме „училищни“ действия с неравенства, които повторих в клас Линейни неравенстваИзползвайки дефиницията на границата на редица, докажете това Функционален домейн. В този случай важно обстоятелство е, че "epsilon" и "en" са положителни:

Тъй като говорим за естествени числа отляво, а дясната страна обикновено е дробна, тя трябва да бъде закръглена:

Забележка : понякога се добавя единица отдясно, за да бъде по-сигурно, но в действителност това е излишно. Относително казано, ако отслабим резултата чрез закръгляне надолу, тогава най-близкото подходящо число („три“) все още ще отговаря на първоначалното неравенство.

Сега разглеждаме неравенството и си спомняме какво смятахме първоначално произволен-махала, т.е. "epsilon" може да бъде равно на всекиположително число.

Заключение: за всяка произволно малка околност на точка, стойността беше намерена . По този начин числото е границата на последователност по дефиниция. Q.E.D.

Между другото, от получения резултат ясно се вижда естествен модел: колкото по-малък е кварталът, толкова по-голямо е числото, след което ВСИЧКИ членове на последователността ще бъдат в този квартал. Но колкото и малък да е "епсилонът", винаги ще има "безкрайна опашка" вътре, а отвън - дори и да е голяма, обаче окончателенброй членове.

Как са ви впечатленията? =) Съгласен съм, че е малко странно. Но строго!Моля, прочетете отново и обмислете всичко отново.

Нека да разгледаме подобен пример и да се запознаем с други технически техники:

Пример 2

Решение: по дефиниция на последователност е необходимо да се докаже това (кажи го на глас!!!).

Нека помислим произволен-околност на точката и проверката, съществува лиестествено число – такова, че за всички по-големи числа е в сила следното неравенство:

За да покажете съществуването на такъв, трябва да изразите „en“ чрез „epsilon“. Ние опростяваме израза под знака на модула:

Модулът унищожава знака минус:

Знаменателят е положителен за всяко „en“, следователно пръчките могат да бъдат премахнати:

Разбъркване:

Сега трябва да извлечем корен квадратен, но уловката е, че за някои „епсилон“ дясната страна ще бъде отрицателна. За да избегнете тази неприятност да укрепимнеравенство по модул:

Защо може да се направи това? Ако, относително казано, се окаже, че , тогава условието също ще бъде изпълнено. Модулът може просто увеличетежелан номер, и това ще ни пасне! Грубо казано, ако стотният е подходящ, значи и двестният е подходящ! Според дефиницията трябва да покажете самият факт на съществуването на номера(поне някои), след което всички членове на последователността ще бъдат в -съседството. Между другото, затова не се страхуваме от окончателното закръгляване на дясната страна нагоре.

Извличане на корена:

И закръглете резултата:

Заключение: защото стойността „епсилон“ е избрана произволно, след което за всяка произволно малка околност на точката стойността е намерена , така че за всички по-големи числа неравенството е в сила . по този начин по дефиниция. Q.E.D.

съветвам особеноразбирането на укрепването и отслабването на неравенствата е типична и много често срещана техника в математическия анализ. Единственото нещо е да се гарантира, че това или онова действие е правилно. Така например неравенството при никакви обстоятелства не е възможно разхлабвам, изваждане, да речем, едно:

Отново, условно: ако номерът пасва точно, тогава предишният може вече да не пасва.

Следващ примерЗа независимо решение:

Пример 3

Използвайки определението за редица, докажете това

Кратко решение и отговор в края на урока.

Ако последователността безкрайно голям, тогава се формулира дефиницията на границата по подобен начин: точка се нарича граница на последователност, ако за всяка, толкова големи, колкото искатечисло има такова число, че за всички по-големи числа неравенството ще бъде изпълнено. Номерът се нарича околността на точката "плюс безкрайност":

С други думи, каквото и да е голяма стойностБез значение какво, „безкрайната опашка“ на последователността определено ще отиде в околността на точката, оставяйки само краен брой членове отляво.

Стандартен пример:

И стенограма: ако

За случая запишете сами определението. Правилната версия е в края на урока.

След като сте се сдобили с практически примерии сте измислили дефиницията на границата на последователност, можете да се обърнете към литературата по математически анализ и/или вашия бележник за лекции. Препоръчвам да изтеглите том 1 на Bohan (по-просто - за задочни студенти)и Фихтенхолц (по-подробно и подробно). Сред другите автори препоръчвам Пискунов, чийто курс е насочен към техническите университети.

Опитайте се да изучавате съвестно теоремите, които се отнасят до границата на редицата, техните доказателства, следствия. Първоначално теорията може да изглежда „мъчна“, но това е нормално - просто трябва да свикнете с нея. И мнозина дори ще го опитат!

Строга дефиниция на границата на функция

Да започнем със същото - как да формулираме тази концепция? Словесната дефиниция на границата на функция е формулирана много по-просто: „число е границата на функция, ако с „x“ клони към (и ляво и дясно), стойностите на съответните функции са склонни към » (виж чертежа). Всичко изглежда нормално, но думите са си думи, смисълът си е смисъл, иконата си е икона, но строга математическа нотацияне е достатъчно. И във втория параграф ще се запознаем с два подхода за решаване на този проблем.

Нека функцията е дефинирана на определен интервал, с възможното изключение на точката. IN учебна литератураобщоприето е, че функцията е там недефиниран:

Този избор подчертава същност на лимита на функция: "x" безкрайно близоподходи, а съответните стойности на функцията са безкрайно близодо . С други думи, понятието граница не предполага „точен подход“ към точките, а именно безкрайно близко приближение, няма значение дали функцията е дефинирана в точката или не.

Първата дефиниция на границата на функция, не е изненадващо, е формулирана с помощта на две последователности. Първо, понятията са свързани и, второ, границите на функциите обикновено се изучават след границите на последователностите.

Обмислете последователността точки (не е на чертежа), принадлежащ на интервала и различен от, което се сближавадо . Тогава съответните стойности на функцията също образуват числова последователност, членовете на която са разположени на ординатната ос.

Предел на функция според Хайне за всякаквипоследователности от точки (принадлежащ на и различен от), която се свежда до точката, съответната последователност от стойности на функцията се сближава с .

Едуард Хайне е немски математик. ...И няма защо да мислите такова нещо, има само един гей в Европа - Гей-Люсак =)

Създадена е втората дефиниция на лимита... да, да, прав си. Но първо, нека разберем неговия дизайн. Да разгледаме произволна околност на точката ("черен" квартал). Въз основа на предходния параграф записът означава това някаква стойностфункция се намира в квартала „epsilon“.

Сега намираме -съседството, което съответства на дадената -съседство (мислено нарисувайте черни пунктирани линии отляво надясно и след това отгоре надолу). Обърнете внимание, че стойността е избрана по дължината на по-малкия сегмент, в случая - по дължината на по-късия ляв сегмент. Нещо повече, "малиновата" околност на точка може дори да бъде намалена, тъй като в следната дефиниция важен е самият факт на съществуванетози квартал. И по подобен начин нотацията означава, че някаква стойност е в „делта“ околността.

Граница на функцията на Коши: число се нарича граница на функция в точка ако за всякакви предварително избраниквартал (колкото искате), съществува-околност на точката, ТАКАВА, че: САМО КАТО стойности (принадлежащ на)включени в тази област: (червени стрелки)– ТАКА ВЕДНАГА съответните стойности на функцията са гарантирани, че ще влязат в -neighborhood: (сини стрелки).

Трябва да ви предупредя, че за по-голяма яснота импровизирах малко, така че не прекалявайте с употребата =)

Кратък запис: , ако

Каква е същността на определението? Образно казано, чрез безкрайно намаляване на -съседството, ние "придружаваме" стойностите на функцията до техния предел, като не им оставяме алтернатива за приближаване някъде другаде. Доста необичайно, но отново строго! За да разберете напълно идеята, прочетете отново текста.

! внимание: ако трябва само да формулирате Определението на Хайнеили просто Определение на Кошимоля, не забравяйте за значителнопредварителни коментари: „Разгледайте функция, която е дефинирана на определен интервал, с възможно изключение на точка“. Това го казах веднъж в самото начало и не го повтарях всеки път.

Според съответната теорема на математическия анализ дефинициите на Хайне и Коши са еквивалентни, но втората опция е най-известната (разбира се!), което също се нарича "езиково ограничение":

Пример 4

Използвайки определението за граница, докажете това

Решение: функцията е дефинирана на цялата числова ос с изключение на точката. Използвайки определението, доказваме съществуването на граница в дадена точка.

Забележка : стойността на квартала "делта" зависи от "епсилон", оттук и обозначението

Нека помислим произволен-околност. Задачата е да използвате тази стойност, за да проверите дали съществува ли- околност, ТАКАВА, което от неравенството следва неравенството .

Приемайки, че , трансформираме последното неравенство:
(разшири квадратния трином)

(х)в точка х 0 :
,
Ако
1) има такава пунктирана околност на точката x 0
2) за всяка последователност (xn), сближаваща се с x 0 :
, чиито елементи принадлежат на квартала,
подпоследователност (f(xn))се свежда до:
.

Тук x 0 и a може да бъде или крайни числа, или точки в безкрайност. Кварталът може да бъде както двустранен, така и едностранен.

.

Второ определение на лимита на функция (според Коши)

Числото a се нарича граница на функцията f (х)в точка х 0 :
,
Ако
1) има такава пунктирана околност на точката x 0 , на който е дефинирана функцията;
2) за всяко положително число ε > 0 има такова число δ ε > 0 , в зависимост от ε, че за всички x, принадлежащи на пунктираната δ ε - околност на точката x 0 :
,
стойности на функцията f (х)принадлежат на ε-околността на точка a:
.

Точки x 0 и a може да бъде или крайни числа, или точки в безкрайност. Кварталът също може да бъде както двупосочен, така и еднопосочен.

Нека напишем това определение, използвайки логическите символи на съществуване и универсалност:
.

Тази дефиниция използва квартали с еднакво отдалечени краища. Може да се даде еквивалентна дефиниция, като се използват произволни околности на точки.

Дефиниране с използване на произволни съседства
Числото a се нарича граница на функцията f (х)в точка х 0 :
,
Ако
1) има такава пунктирана околност на точката x 0 , на който е дефинирана функцията;
2) за всеки квартал U (а)на точка a има такава пунктирана околност на точка x 0 че за всички x, принадлежащи на пунктираната околност на точката x 0 :
,
стойности на функцията f (х)принадлежат към квартал У (а)точки а:
.

Използвайки логическите символи на съществуването и универсалността, това определение може да се напише по следния начин:
.

Едностранни и двустранни граници

Горните определения са универсални в смисъл, че могат да се използват за всеки тип квартал. Ако използваме като ляво пробита околност на крайната точка, получаваме дефиницията на лява граница.

Ако използваме околността на точка в безкрайност като околност, получаваме дефиницията на границата в безкрайността.

За да се определи границата на Хайне, това се свежда до факта, че се налага допълнително ограничение върху произволна последователност, сходна към : нейните елементи трябва да принадлежат към съответната пунктирана околност на точката .
За да се определи границата на Коши, във всеки случай е необходимо да се преобразуват изразите и в неравенства, като се използват съответните определения на околността на точка.

Вижте "Околност на точка".

Определянето на тази точка a не е граница на функция (х)Често става необходимо да се използва условието, че точка a не е границата на функцията при . 0 Нека конструираме отрицания към горните определения. В тях приемаме, че функцията f 0 е дефинирана върху някаква пунктирана околност на точката x

..
Точки а и х могат да бъдат или крайни числа, или безкрайно отдалечени. Всичко посочено по-долу се отнася както за двустранни, така и за едностранни ограничения.Според Хайне (х)в точка х 0 : ,
Номер а (xn)не е 0 :
,
граница на функцията f
ако такава последователност съществува (f(xn)), сближаваща се с x
.
.

чиито елементи принадлежат към квартала,.
Точки а и х могат да бъдат или крайни числа, или безкрайно отдалечени. Всичко посочено по-долу се отнася както за двустранни, така и за едностранни ограничения.Според Хайне (х)в точка х 0 :
,
каква е последователността > 0 не се свежда до: > 0 Според Коши 0 :
,
ако има такова положително число ε (х), така че за всяко положително число δ
.
.

, съществува x ​​което принадлежи на пунктираната δ-околност на точката x

че стойността на функцията f f(x) = sin(1/x)няма ограничение при x → 0.

Например функция е дефинирана на , но няма ограничение. За да го докажем, нека вземем последователността. 0 Стига се до точка
: . 0 Защото тогава.
Да вземем последователността.

Също така се сближава до точката

: .
Но от тогава.

Тогава границата не може да бъде равна на никое число a.

Наистина, за , има последователност, с която .

Следователно всяко различно от нула число не е ограничение. Но това също не е ограничение, тъй като има последователност, с която .

Еквивалентност на определенията на границата на Хайне и Коши
(1) ,
Теорема
(2) .

Дефинициите на Хайне и Коши за границата на функция са еквивалентни.

Доказателство
.

В доказателството приемаме, че функцията е дефинирана в някаква пунктирана околност на точка (крайна или в безкрайност). Точка а също може да бъде крайна или безкрайна.
.
Доказателството на Хайне ⇒ на Коши

Нека функцията има граница a в точка според първото определение (по Хайне). Тоест за всяка последователност, принадлежаща към околност на точка и имаща граница

границата на последователността е:

Нека покажем, че функцията има граница на Коши в точка. Тоест за всеки има нещо, което е за всеки.
(3) Да приемем обратното. Нека условията (1) и (2) са изпълнени, но функцията няма граница на Коши. Тоест, има нещо, което съществува за всеки, така че

Да вземем , където n е естествено число. Тогава съществува , и
Така построихме редица, сходна към , но границата на редицата не е равна на a .

Това противоречи на условията на теоремата.
при .
Първата част е доказана.
при .
Доказателството на Коши ⇒ на Хайне
.

Нека функцията има граница a в точка съгласно второто определение (по Коши). Тоест, за всеки има това

Въведете положителни числа и:
Тогава ако и , тогава