Обозначаване на математически символи. Математически знаци

Както знаете, математиката обича точността и краткостта - не без причина една формула може в устна форма да заеме абзац, а понякога дори цяла страница текст. По този начин графичните елементи, използвани по целия свят в науката, са предназначени да увеличат скоростта на писане и компактността на представянето на данните. В допълнение, стандартизираните графични изображения могат да бъдат разпознати от носител на всеки език с основни познания в съответната област.

Историята на математическите знаци и символи датира от много векове - някои от тях са изобретени случайно и са предназначени да обозначават други явления; други станаха продукт на дейността на учени, които целенасочено формират изкуствен език и се ръководят изключително от практически съображения.

Плюс и минус

Историята на произхода на символите, обозначаващи най-простите аритметични операции, не е известна със сигурност. Съществува обаче една доста правдоподобна хипотеза за произхода на знака плюс, който изглежда като кръстосани хоризонтални и вертикални линии. В съответствие с него символът за добавяне произхожда от латинския съюз et, който се превежда на руски като „и“. Постепенно, за да се ускори процеса на писане, думата беше съкратена до вертикално ориентиран кръст, наподобяващ буквата t. Най-ранният надежден пример за такова свиване датира от 14 век.

Общоприетият знак минус се появи, очевидно, по-късно. През 14-ти и дори 15-ти век в научната литература са използвани редица символи за означаване на операцията на изваждане и едва през 16-ти век „плюс“ и „минус“ в съвременната им форма започват да се появяват заедно в математическите трудове.

Умножение и деление

Колкото и да е странно, математическите знаци и символи за тези две аритметични операции днес не са напълно стандартизирани. Популярен символ за умножение е диагоналният кръст, предложен от математика Oughtred през 17 век, който може да се види например на калкулатори. В часовете по математика в училище същата операция обикновено се представя като точка - този метод е предложен от Лайбниц през същия век. Друг метод за представяне е звездичката, която най-често се използва при компютърно представяне на различни изчисления. Беше предложено да се използва през същия 17 век от Йохан Ран.

За операцията за разделяне са осигурени знак за наклонена черта (предложен от Oughtred) и хоризонтална линия с точки отгоре и отдолу (символът е въведен от Johann Rahn). Първата опция за обозначение е по-популярна, но втората също е доста често срещана.

Математическите знаци и символи и техните значения понякога се променят с времето. Но и трите метода за графично представяне на умножението, както и двата метода за деление са в една или друга степен валидни и актуални днес.

Равенство, идентичност, еквивалентност

Както при много други математически знаци и символи, обозначаването на равенството първоначално е било словесно. Доста дълго време общоприетото наименование беше съкращението ae от латинското aequalis („равен“). Въпреки това през 16-ти век уелски математик на име Робърт Рекорд предлага две хоризонтални линии, разположени една под друга, като символ. Както ученият твърди, че е невъзможно да се мисли за нещо по-равномерно един на друг от два успоредни сегмента.

Въпреки факта, че подобен знак е използван за обозначаване на успоредността на линиите, новият символ за равенство постепенно става широко разпространен. Между другото, такива знаци като „повече“ и „по-малко“, изобразяващи кърлежи, обърнати в различни посоки, се появяват едва през 17-18 век. Днес те изглеждат интуитивни за всеки ученик.

Малко по-сложни знаци за еквивалентност (две вълнообразни линии) и идентичност (три хоризонтални успоредни линии) влизат в употреба едва през втората половина на 19 век.

Знак на неизвестното - "Х"

Историята на появата на математическите знаци и символи също съдържа много интересни случаи на преосмисляне на графиките с развитието на науката. Знакът за неизвестното, наричан днес „X“, произхожда от Близкия изток в зората на миналото хилядолетие.

Още през 10-ти век в арабския свят, известен в този исторически период със своите учени, понятието неизвестно се обозначава с дума, буквално преведена като „нещо” и започваща със звука „Ш”. За да се спестят материали и време, думата в трактатите започна да се съкращава до първата буква.

Много десетилетия по-късно писмените произведения на арабските учени се озоваха в градовете на Иберийския полуостров, на територията на съвременна Испания. Научните трактати започнаха да се превеждат на националния език, но възникна трудност - фонемата „Ш“ липсва на испански. Заетите арабски думи, започващи с него, са написани по специално правило и са предшествани от буквата X. Научният език от онова време е латински, в който съответният знак се нарича "X".

Така знакът, който на пръв поглед е само произволно избран символ, има дълбока история и първоначално е съкращение на арабската дума за „нещо“.

Обозначаване на други неизвестни

За разлика от „X“, Y и Z, познати ни от училище, както и a, b, c, имат много по-прозаична история на произход.

През 17 век Декарт публикува книга, наречена Геометрия. В тази книга авторът предложи стандартизиране на символи в уравнения: в съответствие с неговата идея последните три букви от латинската азбука (започващи от „X“) започнаха да обозначават неизвестни стойности, а първите три - известни стойности.

Тригонометрични условия

Историята на такава дума като "синус" е наистина необичайна.

Съответните тригонометрични функции първоначално са били кръстени в Индия. Думата, съответстваща на понятието синус, буквално означава „низ“. По време на разцвета на арабската наука индийските трактати са преведени и понятието, което няма аналог в арабския език, е транскрибирано. По стечение на обстоятелствата това, което излезе в писмото, приличаше на думата от реалния живот „кух“, чиято семантика нямаше нищо общо с оригиналния термин. В резултат на това, когато арабските текстове са преведени на латински през 12 век, се появява думата "синус", което означава "кух" и се утвърждава като нова математическа концепция.

Но математическите знаци и символи за тангенс и котангенс все още не са стандартизирани - в някои страни обикновено се изписват като tg, а в други - като tan.

Някои други признаци

Както може да се види от примерите, описани по-горе, появата на математическите знаци и символи до голяма степен се е случила през 16-17 век. Същият период видя появата на познатите днес форми на записване на такива понятия като процент, квадратен корен и степен.

Процентът, т.е. една стотна, отдавна е обозначен като cto (съкратено от латински cento). Смята се, че знакът, който е общоприет днес, се е появил в резултат на печатна грешка преди около четиристотин години. Полученото изображение се възприема като добър начинсъкращения и тя пусна корени.

Основният знак първоначално беше стилизирана буква R (съкращение от латинска дума radix - „корен“). Горната лента, под която днес е написан изразът, служи като скоби и е отделен символ, отделен от корена. Скобите са изобретени по-късно - те са широко разпространени благодарение на работата на Лайбниц (1646-1716). Благодарение на неговата работа в науката е въведен интегралният символ, който прилича на удължена буква S - съкращение от думата "сума".

И накрая, знакът за операцията на степенуване е изобретен от Декарт и модифициран от Нютон през втората половина на 17 век.

По-късни обозначения

Като се има предвид, че познатите графични изображения на „плюс“ и „минус“ бяха въведени в обращение само преди няколко века, не изглежда изненадващо, че математическите знаци и символи, обозначаващи сложни явления, започнаха да се използват едва през миналия век.

Така факториелът, който изглежда като удивителен знак след число или променлива, се появява едва в началото на 19 век. Горе-долу по същото време се появява главната буква „P“ за обозначаване на работа и символът за ограничение.

Донякъде е странно, че знаците за Пи и алгебрична сумасе появяват едва през 18 век - по-късно от, например, интегралния символ, въпреки че интуитивно изглежда, че те са по-често срещани. Графичното представяне на съотношението на обиколката към диаметъра идва от първата буква на гръцките думи, означаващи "обиколка" и "периметър". А знакът „сигма“ за алгебрична сума е предложен от Ойлер през последната четвърт на 18 век.

Имена на символи на различни езици

Както знаете, езикът на науката в Европа в продължение на много векове е латинският. Физически, медицински и много други термини често се заемат под формата на транскрипции, много по-рядко - под формата на паус. По този начин много математически знаци и символи на английски се наричат ​​почти същите като на руски, френски или немски. Колкото по-сложна е същността на явлението, толкова по-голяма е вероятността различни езицище носи същото име.

Компютърно записване на математически символи

Най-простите математически знаци и символи в Word се обозначават с обичайната комбинация от клавиши Shift+число от 0 до 9 в руското или английското оформление. За някои често използвани знаци са запазени отделни клавиши: плюс, минус, равно, наклонена черта.

Ако искате да използвате графични изображения на интеграл, алгебрична сума или продукт, Пи и т.н., трябва да отворите раздела „Вмъкване“ в Word и да намерите един от двата бутона: „Формула“ или „Символ“. В първия случай ще се отвори конструктор, който ви позволява да изградите цяла формула в едно поле, а във втория ще се отвори таблица със символи, където можете да намерите всякакви математически символи.

Как да запомните математически символи

За разлика от химията и физиката, където броят на символите за запомняне може да надхвърли сто единици, математиката оперира с относително малък брой символи. Ние научаваме най-простите от тях в ранна детска възраст, като се учим да събираме и изваждаме, и само в университета в определени специалности се запознаваме с няколко сложни математически знации символи. Картинките за деца помагат за няколко седмици да постигнат незабавно разпознаване на графичното изображение на необходимата операция; може да е необходимо много повече време за овладяване на уменията за извършване на тези операции и разбиране на тяхната същност.

По този начин процесът на запаметяване на знаци става автоматично и не изисква много усилия.

В заключение

Стойността на математическите знаци и символи се крие във факта, че те лесно се разбират от хора, които говорят различни езици и са носители на различни култури. Поради тази причина е изключително полезно да разбирате и да можете да възпроизвеждате графични изображения различни явленияи операции.

Високото ниво на стандартизация на тези знаци определя използването им в най-много различни полета: в областта на финансите, информационните технологии, инженерството и др. За всеки, който иска да прави бизнес, свързан с числа и изчисления, познаването на математическите знаци и символи и тяхното значение става жизненоважна необходимост.

Абстрактната алгебра използва символи навсякъде, за да опрости и съкрати текста, както и стандартна нотация за някои групи. По-долу е даден списък на най-често срещаните алгебрични означения, съответните команди в ... Wikipedia

Математическите обозначения са символи, използвани за компактно записване на математически уравнения и формули. В допълнение към цифрите и буквите на различни азбуки (латинска, включително в готически стил, гръцка и иврит), ... ... Wikipedia

Статията съдържа списък с често използвани съкращения на математически функции, оператори и други математически термини. Съдържание 1 Съкращения 1.1 Латиница 1.2 Гръцка азбука ... Wikipedia

Unicode или Unicode е стандарт за кодиране на знаци, който ви позволява да представяте знаците на почти всички писмени езици. Стандарт, предложен през 1991 г организация с нестопанска цел„Консорциум Уникод“ (англ. Unicode Consortium, ... ... Wikipedia

Списък на специфични символи, използвани в математиката, можете да видите в статията Таблица на математическите символи Математическата нотация („езикът на математиката“) е сложна графична система от нотация, използвана за представяне на абстрактни ... ... Wikipedia

Този термин има други значения, вижте Плюс минус (значения). ± ∓ Знакът плюс минус (±) е математически символ, който се поставя пред някакъв израз и означава, че стойността на този израз може да бъде или положителна, или ... Wikipedia

Необходимо е да се провери качеството на превода и да се приведе статията в съответствие със стилистичните правила на Уикипедия. Можете да помогнете... Уикипедия

Или математическите символи са знаци, които символизират определени математически операции с техните аргументи. Най-често срещаните включват: Плюс: + Минус: , − Знак за умножение: ×, ∙ Знак за деление: :, ∕, ÷ Повишаване на знака до... ... Wikipedia

Знаците за операции или математическите символи са знаци, които символизират определени математически операции с техните аргументи. Най-често срещаните са: Плюс: + Минус: , − Знак за умножение: ×, ∙ Знак за деление: :, ∕, ÷ Знак за построяване... ... Wikipedia

Математически знаци

Безкрайност.Дж. Уолис (1655).

Среща се за първи път в трактата на английския математик Джон Валис „За коничните сечения“.

Основата на естествените логаритми. Л. Ойлер (1736).

Математическа константа, трансцендентно число. Този номер понякога се нарича неоперенив чест на шотландския учен Напиер, автор на труда „Описание на удивителната таблица на логаритмите“ (1614 г.). Константата за първи път се появява негласно в приложение към английския превод на гореспоменатата работа на Напиер, публикувана през 1618 г. Самата константа е изчислена за първи път от швейцарския математик Якоб Бернули при решаването на проблема за граничната стойност на лихвения доход.

2,71828182845904523…

Първата известна употреба на тази константа, където тя се обозначава с буквата b, намерени в писмата на Лайбниц до Хюйгенс, 1690–1691. Писмо дОйлер започва да го използва през 1727 г., а първата публикация с това писмо е неговата работа „Механиката или науката за движението, обяснена аналитично“ през 1736 г. съответно добикновено се нарича Число на Ойлер. Защо е избрано писмото? д, точно неизвестен. Може би това се дължи на факта, че думата започва с него експоненциален(„индикативен“, „експоненциален“). Друго предположение е, че буквите а, b, cИ dвече са използвани доста широко за други цели и дбеше първото "безплатно" писмо.

Съотношението на обиколката към диаметъра. У. Джоунс (1706), Л. Ойлер (1736).

Математическа константа, ирационално число. Числото "пи", старото име е числото на Лудолф. Като всяко ирационално число, π се представя като безкрайна непериодична десетична дроб:

π=3,141592653589793…

За първи път обозначението на това число с гръцката буква π е използвано от британския математик Уилям Джоунс в книгата „Ново въведение в математиката“ и става общоприето след работата на Леонхард Ойлер. Това наименование идва от начална букваГръцките думи περιφερεια - кръг, периферия и περιμετρος - периметър. Йохан Хайнрих Ламберт доказва ирационалността на π през 1761 г., а Адриен Мари Лежандр доказва ирационалността на π 2 през 1774 г. Лежандр и Ойлер допускат, че π може да бъде трансцендентално, т.е. не може да удовлетвори никакво алгебрично уравнение с цели коефициенти, което в крайна сметка беше доказано през 1882 г. от Фердинанд фон Линдеман.

Въображаема единица. Л. Ойлер (1777, в печат – 1794).

Известно е, че уравнението х 2 =1има два корена: 1 И –1 . Въображаемата единица е един от двата корена на уравнението x 2 =–1, означено латиница аз, друг корен: – аз. Това обозначение е предложено от Леонхард Ойлер, който е взел първата буква от латинската дума за тази цел имагинариус(въображаем). Той също така разшири всички стандартни функции към сложната област, т.е. набор от числа, представими като a+ib, Къде аИ b– реални числа. Терминът "комплексно число" е въведен в широка употреба от немския математик Карл Гаус през 1831 г., въпреки че преди това терминът е бил използван в същия смисъл от френския математик Лазар Карно през 1803 г.

Единични вектори. У. Хамилтън (1853).

Единичните вектори често се свързват с координатните оси на координатна система (по-специално осите на декартова координатна система). Единичен вектор, насочен по оста X, означено аз, единичен вектор, насочен по оста Y, означено й, и единичният вектор, насочен по оста З, означено к. Вектори аз, й, ксе наричат ​​единични вектори, те имат единични модули. Терминът „ort“ е въведен от английския математик и инженер Оливър Хевисайд (1892 г.), а нотацията аз, й, к- ирландският математик Уилям Хамилтън.

Цяла част от числото, анти. К.Гаус (1808).

Цялата част от числото [x] на числото x е най-голямото цяло число, което не превишава x. И така, =5, [–3,6]=–4. Функцията [x] се нарича още „предшественик на x“. Символът за функцията на цялата част е въведен от Карл Гаус през 1808 г. Някои математици предпочитат да използват вместо това нотацията E(x), предложена през 1798 г. от Legendre.

Ъгъл на успоредност. Н.И. Лобачевски (1835).

На равнината на Лобачевски - ъгълът между правата линия b, минаваща през точката ЗАуспоредна на правата а, несъдържащ точка ЗА, и перпендикулярно от ЗАна а. α е дължината на този перпендикуляр. Докато точката се отдалечава ЗАот правата линия аъгълът на успоредност намалява от 90° до 0°. Лобачевски даде формула за ъгъла на успоредност П(α)=2arctg e –α/q ,Къде р- някаква константа, свързана с кривината на пространството на Лобачевски.

Неизвестни или променливи количества. Р. Декарт (1637).

В математиката променливата е величина, характеризираща се с набор от стойности, които може да приеме. Това може да означава както реално физическо количество, временно разглеждано изолирано от неговия физически контекст, така и някакво абстрактно количество, което няма аналози в реалния свят. Концепцията за променлива възниква през 17 век. първоначално под влияние на изискванията на естествознанието, което извежда на преден план изучаването на движението, процесите, а не само състоянията. Тази концепция изискваше нови форми за своето изразяване. Такива нови форми бяха буквената алгебра и аналитичната геометрия на Рене Декарт. За първи път правоъгълната координатна система и обозначението x, y са въведени от Рене Декарт в неговия труд „Беседа за метода“ през 1637 г. Пиер Ферма също допринася за развитието на координатния метод, но неговите трудове са публикувани за първи път след смъртта му. Декарт и Ферма са използвали координатния метод само на равнината. Координатният метод за триизмерно пространство е използван за първи път от Леонхард Ойлер още през 18 век.

вектор. О. Коши (1853).

От самото начало векторът се разбира като обект, който има величина, посока и (незадължително) точка на приложение. Началото на векторното смятане се появява заедно с геометричния модел на комплексните числа на Гаус (1831). Хамилтън публикува разработени операции с вектори като част от неговото кватернионно смятане (векторът е образуван от въображаемите компоненти на кватерниона). Хамилтън предложи термина вектор(от латинската дума вектор, носител) и описва някои операции на векторен анализ. Максуел използва този формализъм в своите трудове върху електромагнетизма, като по този начин привлича вниманието на учените към новото смятане. Скоро излиза „Елементите на векторния анализ“ на Гибс (1880-те), а след това Хевисайд (1903) дава векторен анализ модерен вид. Самият векторен знак е въведен в употреба от френския математик Августин Луи Коши през 1853 г.

Събиране, изваждане. Дж. Уидман (1489).

Знаците плюс и минус очевидно са били изобретени в немската математическа школа на „косистите“ (тоест алгебристите). Те се използват в учебника на Ян (Йоханес) Видман „Бърза и приятна сметка за всички търговци“, публикуван през 1489 г. Преди добавянето се означаваше с буквата стр(от латински плюс„още“) или латинска дума et(съюзът "и"), а изваждане - буквата м(от латински минус"по-малко, по-малко") За Видман символът плюс замества не само добавянето, но и връзката „и“. Произходът на тези символи е неясен, но най-вероятно те са били използвани преди това в търговията като индикатори за печалба и загуба. И двата символа скоро станаха често срещани в Европа - с изключение на Италия, която продължи да използва старите обозначения за около век.

Умножение. В. Аутред (1631), Г. Лайбниц (1698).

Знакът за умножение под формата на наклонен кръст е въведен през 1631 г. от англичанина Уилям Оутред. Преди него най-често се използва буквата М, въпреки че бяха предложени и други обозначения: символ на правоъгълник (френски математик Еригон, 1634 г.), звездичка (швейцарски математик Йохан Ран, 1659 г.). По-късно Готфрид Вилхелм Лайбниц заменя кръста с точка (края на 17 век), за да не го бърка с буквата х; преди него подобна символика се среща сред немския астроном и математик Региомонтанус (15 век) и английския учен Томас Хериот (1560–1621).

дивизия. И.Ран (1659), Г.Лайбниц (1684).

Уилям Оутред използва наклонена черта / като знак за деление. Готфрид Лайбниц започва да обозначава делението с двоеточие. Преди тях писмото също е било често използвано г. Като се започне от Фибоначи, се използва и хоризонталната линия на дробта, която е използвана от Херон, Диофант и в арабски произведения. В Англия и САЩ символът ÷ (obelus), предложен от Йохан Ран (вероятно с участието на Джон Пел) през 1659 г., стана широко разпространен. Опит на Американския национален комитет по математически стандарти ( Национален комитет по математически изисквания) за премахване на obelus от практиката (1923 г.) беше неуспешно.

Процент. М. де ла Порт (1685).

За единица се приема стотната част от цялото. Самата дума „процент“ идва от латинското „pro centum“, което означава „на сто“. През 1685 г. в Париж е публикувана книгата „Наръчник по търговска аритметика“ от Матийо дьо ла Порт. На едно място се говори за проценти, които тогава бяха обозначени като "cto" (съкращение от cento). Обаче наборчикът е сбъркал това "cto" с дроб и е отпечатал "%". И така, поради печатна грешка, този знак влезе в употреба.

Степени. Р. Декарт (1637), И. Нютон (1676).

Съвременната нотация за експонента е въведена от Рене Декарт в неговата „ Геометрия"(1637), обаче, само за естествени степени с показатели, по-големи от 2. По-късно Исак Нютон разшири тази форма на запис до отрицателни и дробни показатели (1676), тълкуването на които вече беше предложено по това време: фламандският математик и инженерът Саймън Стевин, английският математик Джон Уолис и френският математик Албер Жирар.

корени. К. Рудолф (1525), Р. Декарт (1637), А. Жирар (1629).

Аритметичен корен п-та степен на реално число А≥0, – неотрицателно число п-та степен на което е равно на А. Аритметичният корен от 2-ра степен се нарича квадратен корен и може да се запише без посочване на степента: √. Аритметичен корен от 3-та степен се нарича кубичен корен. Определени средновековни математици (например Кардано). корен квадратенсимвол R x (от лат Радикс, корен). Съвременната нотация е използвана за първи път от немския математик Кристоф Рудолф от школата на Косистите през 1525 г. Този символ идва от стилизираната първа буква на същата дума корен. Първоначално нямаше линия над радикалния израз; по-късно е въведен от Декарт (1637) за различна цел (вместо скоби) и тази характеристика скоро се слива със знака за корен. През 16 век кубичният корен се обозначава по следния начин: R x .u.cu (от лат. Radix universalis cubica). Албер Жирар (1629) започва да използва познатата нотация за корен от произволна степен. Този формат е създаден благодарение на Исак Нютон и Готфрид Лайбниц.

Логаритъм, десетичен логаритъм, натурален логаритъм. И. Кеплер (1624), Б. Кавалиери (1632), А. Принсхайм (1893).

Терминът "логаритъм" принадлежи на шотландския математик Джон Напиер ( „Описание на удивителната таблица на логаритмите“, 1614); възниква от комбинация от гръцките думи λογος (дума, връзка) и αριθμος (число). Логаритъмът на J. Napier е спомагателно число за измерване на отношението на две числа. Съвременната дефиниция на логаритъм е дадена за първи път от английския математик Уилям Гардинър (1742 г.). По дефиниция, логаритъм от число bвъз основа на а (a ≠ 1, a > 0) – показател м, до което трябва да се повиши числото а(наречена основа на логаритъм), за да получите b. Определен регистрирайте a b.така че m =дневник a b,Ако a m = b.

Първите таблици с десетични логаритми са публикувани през 1617 г. от професора по математика в Оксфорд Хенри Бригс. Следователно в чужбина десетичните логаритми често се наричат ​​логаритми на Бригс. Терминът „естествен логаритъм“ е въведен от Пиетро Менголи (1659) и Николас Меркатор (1668), въпреки че лондонският учител по математика Джон Спидел съставя таблица с естествени логаритми през 1619 г.

До края на 19 век не е имало общоприета нотация за логаритъма, осн. апосочен вляво и над символа дневник, след това над него. В крайна сметка математиците стигнаха до извода, че най удобно мястоза основата - под чертата, след символа дневник. Знакът за логаритъм - резултат от съкращението на думата "логаритъм" - се намира в различни видовепочти едновременно с появата на първите логаритмични таблици, например Дневник– от И. Кеплер (1624) и Г. Бригс (1631), дневник– от Б. Кавалиери (1632). Наименование вътреЗа натурален логаритъмвъведен от немския математик Алфред Прингсхайм (1893 г.).

Синус, косинус, тангенс, котангенс. В. Аутред (средата на 17 век), И. Бернули (18 век), Л. Ойлер (1748, 1753).

Съкращенията за синус и косинус са въведени от Уилям Оутред в средата на 17 век. Съкращения за тангенс и котангенс: tg, ctgвъведени от Йохан Бернули през 18 век, те стават широко разпространени в Германия и Русия. В други страни се използват имената на тези функции тен, кошарапредложен от Албер Жирар още по-рано, в началото на 17 век. Леонхард Ойлер (1748, 1753) доведе теорията на тригонометричните функции до нейната съвременна форма и ние го дължим на него за консолидирането на реалния символизъм. Терминът „тригонометрични функции“ е въведен от немския математик и физик Георг Симон Клюгел през 1770 г.

Индийските математици първоначално са нарекли линията синус "арха-джива"(„половин струна“, тоест половин акорд), след това думата "арха"беше изхвърлен и синусовата линия започна да се нарича просто "джива". Арабските преводачи не са превели думата "джива"арабска дума "ватар", обозначаваща тетива и хорда, и транскрибирана с арабски букви и започва да нарича синус линия "джиба". Тъй като на арабски кратките гласни не се отбелязват, а дългото „i“ в думата "джиба"обозначаван по същия начин като полугласната „th“, арабите започнали да произнасят името на синусовата линия "подигравка", което буквално означава „кух“, „синус“. Когато превеждаха арабски произведения на латински, европейските преводачи превеждаха думата "подигравка"латинска дума синусите, със същото значение. Терминът "тангента" (от лат. допирателни– докосване) е въведено от датския математик Томас Финке в книгата му „Геометрията на кръга“ (1583).

Арксинус. К. Шерфер (1772), Ж. Лагранж (1772).

Обратните тригонометрични функции са математически функции, които са обратни на тригонометричните функции. Името на обратната тригонометрична функция се образува от името на съответната тригонометрична функция чрез добавяне на префикса „дъга“ (от лат. дъга– дъга). Обратните тригонометрични функции обикновено включват шест функции: арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg), арккотангенс (arcctg), арксеканс (arcsec) и арккосеканс (arccosec). Специални символи за обратни тригонометрични функции са използвани за първи път от Даниел Бернули (1729, 1736). Начин на означаване на обратни тригонометрични функции с помощта на префикс дъга(от лат. аркус, дъга) се появява с австрийския математик Карл Шерфер и е консолидиран благодарение на френския математик, астроном и механик Жозеф Луи Лагранж. Имаше предвид, че например обикновеният синус позволява да се намери хорда, която го свързва по дъга от окръжност, а обратната функция решава обратния проблем. английски и немски математически училищаДо края на 19 век са предложени други обозначения: sin –1 и 1/sin, но те не са широко използвани.

Хиперболичен синус, хиперболичен косинус. В. Рикати (1757).

Историците откриват първата поява на хиперболични функции в трудовете на английския математик Абрахам де Моавър (1707, 1722). Съвременна дефиниция и подробно изследване на тях е извършено от италианеца Винченцо Рикати през 1757 г. в неговия труд „Opusculorum“, той също предлага техните обозначения: ш,гл. Рикати започна от разглеждането на единичната хипербола. Независимо откриване и по-нататъшно изследване на свойствата на хиперболичните функции е извършено от немския математик, физик и философ Йохан Ламберт (1768), който установява широк паралелизъм на формулите на обикновената и хиперболичната тригонометрия. Н.И. Впоследствие Лобачевски използва този паралелизъм в опит да докаже последователността на неевклидовата геометрия, в която обикновената тригонометрия е заменена с хиперболична.

Точно както тригонометричните синус и косинус са координатите на точка от координатната окръжност, хиперболичният синус и косинус са координатите на точка от хипербола. Хиперболичните функции се изразяват чрез експоненциал и са тясно свързани с тригонометричните функции: sh(x)=0,5(ex –e –x) , ch(x)=0,5(e x +e –x). По аналогия с тригонометричните функции, хиперболичният тангенс и котангенс се дефинират съответно като съотношения на хиперболичен синус и косинус, косинус и синус.

Диференциал. Г. Лайбниц (1675, публикуван 1684).

Основната, линейна част от нарастването на функцията. Ако функцията y=f(x)една променлива x има at x=x 0производна и увеличение Δy=f(x 0 +?x)–f(x 0)функции f(x)могат да бъдат представени във формата Δy=f"(x 0)Δx+R(Δx) , къде е терминът Рбезкрайно малко в сравнение с Δx. Първи член dy=f"(x 0)Δxв това разширение и се нарича диференциал на функцията f(x)в точката х 0. В произведенията на Готфрид Лайбниц, Якоб и Йохан Бернули думата "различие"се използва в смисъл на „увеличение“, той е обозначен от И. Бернули чрез Δ. Г. Лайбниц (1675, публикуван 1684) използва нотацията за „безкрайно малката разлика“ d– първата буква на думата "диференциал", образувано от него от "различие".

Неопределен интеграл. Г. Лайбниц (1675, публикуван 1686).

Думата „интеграл“ е използвана за първи път в печат от Якоб Бернули (1690 г.). Може би терминът произлиза от лат цяло число- цяло. Според друго предположение основата е латинската дума интегро- връщане към предишното състояние, възстановяване. Знакът ∫ се използва за представяне на интеграл в математиката и е стилизирано представяне на първата буква от латинската дума сума -сума. За първи път е използван от немския математик и основател на диференциалното и интегралното смятане Готфрид Лайбниц в края на 17 век. Друг от основателите на диференциалното и интегралното смятане, Исак Нютон, не предложи алтернативна символика за интеграла в своите трудове, въпреки че се опита различни опции: вертикална лента над функция или квадратен символ, който предхожда или граничи с функция. Неопределен интеграл за функция y=f(x)е множеството от всички първоизводни на дадена функция.

Определен интеграл. Ж. Фурие (1819–1822).

Определен интеграл на функция f(x)с долна граница аи горна граница bможе да се определи като разлика F(b) – F(a) = a ∫ b f(x)dx, Къде F(x)– някаква първоизводна на функция f(x). Определен интеграл a ∫ b f(x)dxчислено равна на площфигура, ограничена от оста x с прави линии х=аИ x=bи графиката на функцията f(x). Дизайнът на определен интеграл във формата, с която сме запознати, е предложен от френския математик и физик Жан Батист Жозеф Фурие в началото на 19 век.

Производна. Г. Лайбниц (1675), Ж. Лагранж (1770, 1779).

Производната е основната концепция на диференциалното смятане, характеризираща скоростта на промяна на функция f(x)когато аргументът се промени х. Дефинира се като границата на съотношението на увеличението на функция към увеличението на нейния аргумент, тъй като увеличението на аргумента клони към нула, ако такова ограничение съществува. Функция, която има крайна производна в дадена точка, се нарича диференцируема в тази точка. Процесът на изчисляване на производната се нарича диференциране. Обратният процес е интеграция. В класическото диференциално смятане производната най-често се дефинира чрез понятията на теорията на границите, но исторически теорията на границите се появява по-късно от диференциалното смятане.

Терминът „дериват“ е въведен от Джоузеф Луис Лагранж през 1797 г., обозначаването на производно с помощта на черта е същото (1770, 1779) и dy/dx– Готфрид Лайбниц през 1675 г. Начинът за обозначаване на времевата производна с точка над буква идва от Нютон (1691). Руският термин „производна на функция“ е използван за първи път от руския математик Василий Иванович Висковатов (1779–1812).

Частична производна. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).

За функции на много променливи се дефинират частни производни - производни по един от аргументите, изчислени при допускането, че останалите аргументи са постоянни. Наименования ∂f/∂x,∂z/∂yвъведен от френския математик Адриен Мари Лежандр през 1786 г.; fх',z x '– Жозеф Луис Лагранж (1797, 1801); ∂ 2 z/∂x 2,∂ 2 z/∂x∂y– частни производни от втори ред – немски математик Карл Густав Якоб Якоби (1837).

Разлика, увеличение. И. Бернули (края на 17 век – първата половина на 18 век), Л. Ойлер (1755).

Означаването на увеличението с буквата Δ е използвано за първи път от швейцарския математик Йохан Бернули. Символът делта влезе в широка употреба след работата на Леонхард Ойлер през 1755 г.

Сума. Л. Ойлер (1755).

Сумата е резултат от събиране на количества (числа, функции, вектори, матрици и др.). За означаване на сумата от n числа a 1, a 2, …, a n се използва гръцката буква „сигма“ Σ: a 1 + a 2 + … + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i. Знакът Σ за сума е въведен от Леонхард Ойлер през 1755 г.

работа. К.Гаус (1812).

Продуктът е резултат от умножение. За означаване на произведението на n числа a 1, a 2, …, a n се използва гръцката буква “pi” Π: a 1 · a 2 · … · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i. Например 1 · 3 · 5 · … · 97 · 99 = ? 50 1 (2i–1). Знакът Π за продукт е въведен от немския математик Карл Гаус през 1812 г. В руската математическа литература терминът „продукт“ се среща за първи път от Леонтий Филипович Магнитски през 1703 г.

Факториал. К. Крамп (1808).

Факториелът на число n (означен като n!, произнася се „en factorial“) е произведението на всички естествени числа до n включително: n! = 1·2·3·…·n. Например 5! = 1·2·3·4·5 = 120. По дефиниция се приема 0! = 1. Факториалът е дефиниран само за неотрицателни цели числа. Факториелът на n е равен на броя на пермутациите на n елемента. Например 3! = 6, наистина,

– всичките шест и само шест варианта за пермутации на три елемента.

Терминът „факториал“ е въведен от френския математик и политик Луи Франсоа Антоан Арбогаст (1800 г.), обозначението n! – френски математик Кристиан Крамп (1808).

Модул, абсолютна стойност. К. Вайерщрас (1841).

Абсолютната стойност на реално число x е неотрицателно число, дефинирано по следния начин: |x| = x за x ≥ 0 и |x| = –x за x ≤ 0. Например |7| = 7, |– 0,23| = –(–0,23) = 0,23. Модул на комплексно число z = a + ib – реално число, равно на √(a 2 + b 2).

Смята се, че терминът „модул“ е предложен от английския математик и философ, ученик на Нютон, Роджър Коутс. Готфрид Лайбниц също използва тази функция, която той нарече „модул“ и означи: mol x. Общо обозначение абсолютна стойноствъведен през 1841 г. от немския математик Карл Вайерщрас. За комплексни числа тази концепция е въведена от френските математици Огюстен Коши и Жан Робер Арган в началото на 19 век. През 1903 г. австрийският учен Конрад Лоренц използва същата символика за дължината на вектор.

норма. Е. Шмид (1908).

Нормата е функционал, дефиниран върху векторно пространство и обобщаващ концепцията за дължина на вектор или модул на число. Знакът "норма" (от латинската дума "norma" - "правило", "образец") е въведен от немския математик Ерхард Шмид през 1908 г.

Лимит. S. Lhuillier (1786), W. Hamilton (1853), много математици (до началото на ХХ век)

Границата е едно от основните понятия на математическия анализ, което означава, че определена стойност на променливата в процеса на нейното разглеждано изменение неограничено се доближава до определена постоянна стойност. Концепцията за граница е използвана интуитивно през втората половина на 17-ти век от Исак Нютон, както и от математици от 18-ти век като Леонхард Ойлер и Джоузеф Луис Лагранж. Първите строги дефиниции на границата на последователността са дадени от Бернард Болцано през 1816 г. и Огюстин Коши през 1821 г. Символът lim (първите 3 букви от латинската дума limes - граница) се появява през 1787 г. от швейцарския математик Симон Антоан Жан Луйе, но използването му все още не прилича на съвременните. Изразът lim в по-позната форма е използван за първи път от ирландския математик Уилям Хамилтън през 1853 г. Вайерщрас въвежда обозначение, близко до съвременното, но вместо познатата стрелка използва знак за равенство. Стрелката се появява в началото на 20 век сред няколко математици наведнъж - например английският математик Годфрид Харди през 1908 г.

Дзета функция, дзета функция на Риман. Б. Риман (1857).

Аналитична функция на комплексна променлива s = σ + it, за σ > 1, определена абсолютно и равномерно от конвергентен ред на Дирихле:

ζ(s) = 1 –s + 2 –s + 3 –s + … .

За σ > 1 е валидно представянето под формата на произведението на Ойлер:

ζ(s) = Π p (1–p –s) –s,

където произведението се взема върху всички прости p. Zeta функция играе голяма роляв теорията на числата. Като функция на реална променлива дзета функцията е въведена през 1737 г. (публикувана през 1744 г.) от Л. Ойлер, който посочва нейното разширяване в продукт. След това тази функция беше разгледана от немския математик Л. Дирихле и особено успешно от руския математик и механик П.Л. Чебишев при изучаване на закона за разпределение на простите числа. Но най-дълбоките свойства на дзета функцията са открити по-късно, след работата на немския математик Георг Фридрих Бернхард Риман (1859), където дзета функцията се разглежда като функция на комплексна променлива; Той също така въвежда името „дзета функция“ и обозначението ζ(s) през 1857 г.

Гама функция, функция на Ойлер Γ. А. Лежандр (1814).

Гама функция – математическа функция, което разширява концепцията за факториел до полето на комплексните числа. Обикновено се означава с Γ(z). G-функцията е въведена за първи път от Леонхард Ойлер през 1729 г.; определя се по формулата:

Γ(z) = lim n→∞ n!·n z /z(z+1)…(z+n).

Голям брой интеграли, безкрайни произведения и суми от редове се изразяват чрез G-функцията. Широко използван в аналитичната теория на числата. Името "Гама функция" и нотацията Γ(z) са предложени от френския математик Адриен Мари Лежандр през 1814 г.

Бета функция, B функция, Ойлер B функция. Ж. Бине (1839).

Функция на две променливи p и q, дефинирана за p>0, q>0 от равенството:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p–1 (1–x) q–1 dx.

Бета функцията може да се изрази чрез Γ-функцията: B(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q). Точно както гама функцията за цели числа е обобщение на факториел, бета функцията е в известен смисъл обобщение на биномни коефициенти.

Бета функцията описва много свойства елементарни частици, участващи в силното взаимодействие. Тази особеност е забелязана от италианския теоретичен физик Габриеле Венециано през 1968 г. Това бележи началото на струнната теория.

Наименованието „бета функция“ и обозначението B(p, q) са въведени през 1839 г. от френския математик, механик и астроном Жак Филип Мари Бине.

Оператор на Лаплас, Лаплас. Р. Мърфи (1833).

Линеен диференциален оператор Δ, който присвоява функции φ(x 1, x 2, …, x n) на n променливи x 1, x 2, …, x n:

Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + … + ∂ 2 φ/∂х n 2.

По-специално, за функция φ(x) на една променлива, операторът на Лаплас съвпада с оператора на 2-ра производна: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Уравнението Δφ = 0 обикновено се нарича уравнение на Лаплас; Оттук идват наименованията „оператор на Лаплас“ или „лапласиан“. Означението Δ е въведено от английския физик и математик Робърт Мърфи през 1833 г.

Оператор на Хамилтон, оператор на набла, Хамилтониан. О. Хевисайд (1892).

Векторен диференциален оператор на формата

∇ = ∂/∂x аз+ ∂/∂y · й+ ∂/∂z · к,

Къде аз, й, И к– координатни единични вектори. Основните операции на векторния анализ, както и операторът на Лаплас, се изразяват по естествен начин чрез оператора Nabla.

През 1853 г. ирландският математик Уилям Роуън Хамилтън въвежда този оператор и изковава символа ∇ за него като обърната гръцка буква Δ (делта). При Хамилтън върхът на символа сочи наляво; по-късно, в трудовете на шотландския математик и физик Питър Гътри Тейт, символът придобива съвременната си форма. Хамилтън нарича този символ "атлед" (думата "делта", прочетена назад). По-късно английски учени, включително Оливър Хевисайд, започват да наричат ​​този символ "набла", по името на буквата ∇ във финикийската азбука, където се среща. Произходът на буквата се свързва с музикален инструмент като арфата, ναβλα (nabla) на старогръцки означава „арфа“. Операторът се наричаше оператор на Хамилтън или оператор на набла.

функция. И. Бернули (1718), Л. Ойлер (1734).

Математическа концепция, която отразява връзката между елементите на множествата. Можем да кажем, че функцията е „закон“, „правило“, според което всеки елемент от едно множество (наречен домейн на дефиниция) е свързан с някакъв елемент от друг набор (наречен домейн на стойности). Математическата концепция за функция изразява интуитивната идея за това как едно количество напълно определя стойността на друго количество. Често терминът "функция" се отнася до числова функция; тоест функция, която поставя някои числа в съответствие с други. Дълго време математиците определят аргументи без скоби, например така - φх. Тази нотация е използвана за първи път от швейцарския математик Йохан Бернули през 1718 г. Скобите се използват само в случай на множество аргументи или ако аргументът е сложен израз. Ехо от онези времена са записите, които се използват и днес sin x, log xи т.н. Но постепенно се превърна в използването на скоби, f(x). общо правило. И основната заслуга за това е на Леонхард Ойлер.

Равенство. Р. Запис (1557).

Знакът за равенство е предложен от уелския лекар и математик Робърт Рекорд през 1557 г.; контурът на символа беше много по-дълъг от сегашния, тъй като имитираше изображението на два успоредни сегмента. Авторът обясни, че няма нищо по-равно в света от две успоредни отсечки с еднаква дължина. Преди това в древната и средновековната математика равенството се е обозначавало устно (напр. est egale). През 17 век Рене Декарт започва да използва æ (от лат. aequalis), и той използва съвременния знак за равенство, за да посочи, че коефициентът може да бъде отрицателен. Франсоа Виете използва знака за равенство, за да обозначи изваждане. Символът Record не стана широко разпространен веднага. Разпространението на символа Record беше възпрепятствано от факта, че от древни времена същият символ се използваше за обозначаване на паралелизма на прави линии; В крайна сметка беше решено символът за паралелизъм да бъде вертикален. В континентална Европа знакът "=" е въведен от Готфрид Лайбниц едва в началото на 17-18 век, тоест повече от 100 години след смъртта на Робърт Рекорд, който пръв го използва за тази цел.

Приблизително равно, приблизително равно. А.Гюнтер (1882).

Знакът „≈“ е въведен в употреба като символ за „приблизително равна“ връзка от немския математик и физик Адам Вилхелм Зигмунд Гюнтер през 1882 г.

Повече, по-малко. Т. Хариот (1631).

Тези два знака са въведени в употреба от английския астроном, математик, етнограф и преводач Томас Хариот през 1631 г., преди това са били използвани думите „повече“ и „по-малко“.

Съпоставимост. К.Гаус (1801).

Сравнението е връзка между две цели числа n и m, което означава, че разликата n–m на тези числа е разделена на дадено цяло число a, наречено модул за сравнение; пише се: n≡m(mod a) и се чете „числата n и m са сравними по mod a“. Например, 3≡11(mod 4), тъй като 3–11 се дели на 4; числата 3 и 11 са сравними по модул 4. Конгруенциите имат много свойства, подобни на тези на равенствата. По този начин член, намиращ се в една част от сравнението, може да се пренесе с противоположен знак в друга част, а сравнения с един и същ модул могат да се събират, изваждат, умножават, двете части на сравнението могат да се умножават по едно и също число и т.н. Например,

3≡9+2(mod 4) и 3–2≡9(mod 4)

- същевременно верни сравнения. И от двойка правилни сравнения 3≡11(mod 4) и 1≡5(mod 4) следва следното:

3+1≡11+5(mod 4)

3–1≡11–5 (mod 4)

3·1≡11·5(mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3·23≡11·23(mod 4)

Теорията на числата обсъжда методи за решаване различни сравнения, т.е. методи за намиране на цели числа, които удовлетворяват сравнения от един или друг тип. Модулните сравнения са използвани за първи път от немския математик Карл Гаус в неговата книга от 1801 г. „Аритметични изследвания“. Той също така предложи символика за сравнения, която беше установена в математиката.

Идентичност. Б. Риман (1857).

Тъждеството е равенството на два аналитични израза, валидно за всеки приемливи стойностибукви, включени в него. Равенството a+b = b+a е валидно за всички числени стойности на a и b и следователно е идентичност. За записване на идентичности в някои случаи от 1857 г. се използва знакът „≡“ (чете се „идентично равен“), чийто автор в тази употреба е немският математик Георг Фридрих Бернхард Риман. Можем да запишем a+b ≡ b+a.

Перпендикулярност. П. Еригон (1634).

Перпендикулярност – относителна позициядве прави, равнини или права и равнина, в които посочените фигури образуват прав ъгъл. Знакът ⊥ за означаване на перпендикулярност е въведен през 1634 г. от френския математик и астроном Пиер Еригон. Концепцията за перпендикулярност има редица обобщения, но всички те, като правило, са придружени от знака ⊥.

Паралелизъм. W. Outred (посмъртно издание 1677).

Паралелизмът е връзката между някои геометрични форми; например прав. Дефинирани по различен начин в зависимост от различните геометрии; например в геометрията на Евклид и в геометрията на Лобачевски. Знакът за паралелизъм е известен от древни времена, използван е от Херон и Пап от Александрия. Първоначално символът беше подобен на сегашния знак за равенство (само по-разширен), но с появата на последния, за да се избегне объркване, символът беше обърнат вертикално ||. В този вид се появява за първи път в посмъртното издание на трудовете на английския математик Уилям Оутред през 1677 г.

Пресечна точка, съюз. Дж. Пеано (1888).

Пресечната точка на множества е множество, което съдържа тези и само тези елементи, които едновременно принадлежат на всички дадени множества. Обединение на множества е множество, което съдържа всички елементи на оригиналните множества. Пресичане и обединение също се наричат ​​операции върху множества, които присвояват нови множества на определени според правилата, посочени по-горе. Означава се съответно с ∩ и ∪. Например ако

A=(♠ ♣ ) и B=(♣ ♦),

Съдържа, съдържа. Е. Шрьодер (1890).

Ако A и B са две множества и в A няма елементи, които да не принадлежат на B, тогава те казват, че A се съдържа в B. Те пишат A⊂B или B⊃A (B съдържа A). например,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦}

{♠ ♣ ♦}⊃{ ♦}⊃{♦}

Символите „съдържа“ и „съдържа“ се появяват през 1890 г. от немския математик и логик Ернст Шрьодер.

Принадлежност. Дж. Пеано (1895).

Ако a е елемент от множеството A, тогава напишете a∈A и прочетете „a принадлежи на A“. Ако a не е елемент от множеството A, напишете a∉A и прочетете „a не принадлежи на A“. Първоначално отношенията „съдържа се“ и „принадлежи“ („е елемент“) не бяха разграничени, но с течение на времето тези понятия изискваха диференциация. Символът ∈ е използван за първи път от италианския математик Джузепе Пеано през 1895 г. Символът ∈ идва от първата буква на гръцката дума εστι - да бъда.

Квантор на универсалността, квантификатор на съществуването. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).

Кванторът е общо име за логически операции, които показват областта на истинност на предикат (математическо твърдение). Философите отдавна обръщат внимание на логическите операции, които ограничават областта на истинност на предикат, но не са ги идентифицирали като отделен клас операции. Въпреки че кванторно-логическите конструкции се използват широко както в научната, така и в ежедневната реч, тяхната формализация се случва едва през 1879 г., в книгата на немския логик, математик и философ Фридрих Лудвиг Готлоб Фреге „Изчислението на понятията“. Нотацията на Фреге изглеждаше като тромава графична конструкция и не беше приета. Впоследствие бяха предложени много по-успешни символи, но обозначенията, които станаха общоприети, бяха ∃ за екзистенциалния квантор (да се чете „съществува“, „има“), предложен от американския философ, логик и математик Чарлз Пърс през 1885 г., и ∀ за универсалния квантор (да се чете „всеки“, „всеки“, „всеки“), образуван от немския математик и логик Герхард Карл Ерих Генцен през 1935 г. по аналогия със символа на квантора на съществуването (обърнати първи букви от английските думи Existence (съществуване) и Any (всеки)). Например запис

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x–x 0 |<δ) (|f(x)–A|<ε)

се чете по следния начин: „за всяко ε>0 има δ>0 такова, че за всички x, които не са равни на x 0 и отговарят на неравенството |x–x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)–A|<ε».

Празен комплект. Н. Бурбаки (1939).

Набор, който не съдържа нито един елемент. Знакът на празното множество е въведен в книгите на Никола Бурбаки през 1939 г. Бурбаки е колективен псевдоним на група френски математици, създадена през 1935 г. Един от членовете на групата Бурбаки е Андре Вейл, авторът на символа Ø.

Q.E.D. Д. Кнут (1978).

В математиката доказателството се разбира като последователност от разсъждения, изградени върху определени правила, показващи, че определено твърдение е вярно. От епохата на Ренесанса краят на доказателството се обозначава от математиците със съкращението "Q.E.D.", от латинския израз "Quod Erat Demonstrandum" - "Какво се изискваше да бъде доказано." Когато създава компютърната система за оформление ΤΕΧ през 1978 г., американският професор по компютърни науки Доналд Едуин Кнут използва символ: запълнен квадрат, така нареченият „символ Халмош“, кръстен на родения в Унгария американски математик Пол Ричард Халмош. Днес завършването на доказателството обикновено се обозначава със символа Халмос. Като алтернатива се използват други знаци: празен квадрат, правоъгълен триъгълник, // (две наклонени черти), както и руската абревиатура "ч.т.д."

от две), 3 > 2 (три е повече от две) и т.н.

Развитието на математическата символика е тясно свързано с общото развитие на концепциите и методите на математиката. Първо Математически знациимаше знаци за изобразяване на числа - числа, появата на които, очевидно, предхожда писането. Най-древните системи за номериране – вавилонската и египетската – се появяват още през 3 1/2 хилядолетие пр.н.е. д.

Първо Математически знациза произволни количества се появява много по-късно (започвайки от 5-4 век пр.н.е.) в Гърция. Величините (площи, обеми, ъгли) бяха изобразени под формата на отсечки, а произведението на две произволни хомогенни величини беше изобразено под формата на правоъгълник, изграден върху съответните отсечки. В "Принципи" Евклид (3 в. пр.н.е.) количествата се означават с две букви - началната и крайната буква на съответния сегмент, а понякога и само с една. U Архимед (3 век пр. н. е.) последният метод става често срещан. Такова обозначение съдържаше възможности за развитие на буквеното смятане. Въпреки това, в класическата древна математика, буквеното смятане не е създадено.

Началото на буквеното представяне и смятането се появява в късната елинистическа епоха в резултат на освобождаването на алгебрата от геометричната форма. Диофант (вероятно 3-ти век) записано неизвестно ( X) и неговата степен със следните знаци:

[ - от гръцкия термин dunamiV (dynamis - сила), обозначаващ квадрата на неизвестното, - от гръцки cuboV (k_ybos) - куб]. Вдясно от неизвестното или неговите правомощия Диофант пише коефициенти, например 3 x 5 е изобразено

(където = 3). При добавянето Диофант приписва членовете един на друг и използва специален знак за изваждане; Диофант обозначава равенството с буквата i [от гръцки isoV (isos) - равен]. Например уравнението

(х 3 + 8х) - (5х 2 + 1) =X

Диофант би го написал така:

(Тук

означава, че единицата няма множител под формата на степен на неизвестното).

Няколко века по-късно индианците въвеждат различни Математически знациза няколко неизвестни (съкращения за имената на цветовете, обозначаващи неизвестни), квадрат, квадратен корен, субтрахенд. И така, уравнението

3X 2 + 10х - 8 = х 2 + 1

На запис Брахмагупта (7 век) ще изглежда така:

Ya va 3 ya 10 ru 8

Ya va 1 ya 0 ru 1

(ya - от yawat - tawat - неизвестно, va - от varga - квадратно число, ru - от rupa - монета рупия - свободен термин, точка над числото означава изваденото число).

Създаването на съвременната алгебрична символика датира от 14-17 век; това се определя от успехите на практическата аритметика и изучаването на уравненията. В различни страни те се появяват спонтанно Математически знациза някои действия и за мощности с неизвестна величина. Минават много десетилетия и дори векове, преди да се разработи един или друг удобен символ. И така, в края на 15 и. Н. Шуке и Л. Пачоли използвани знаци за събиране и изваждане

(от латински плюс и минус), немските математици въведоха съвременните + (вероятно съкращение от латински et) и -. Още през 17 век. можете да преброите около дузина Математически знациза действието умножение.

Имаше и различни Математически знацинеизвестен и неговите степени. През 16 – началото на 17в. повече от десет нотации се състезаваха само за квадрата на неизвестното, напр. се(от преброяване - латински термин, който служи като превод на гръцкото dunamiV, Q(от квадрат), , A (2), , Aii, аа, а 2и т.н. По този начин уравнението

х 3 + 5 х = 12

италианският математик Г. Кардано (1545) ще има формата:

от немския математик M. Stiefel (1544):

от италианския математик Р. Бомбели (1572):

Френският математик Ф. Виета (1591):

от английския математик Т. Хариот (1631):

През 16 и началото на 17в. използват се знаци за равенство и скоби: квадрат (R. Бомбели , 1550), кръгъл (N. Тарталя, 1556), фигурен (F. Виет, 1593). През 16 век съвременната форма приема нотацията на дроби.

Значителна стъпка напред в развитието на математическата символика е въвеждането от Виет (1591 г.) Математически знациза произволни постоянни величини под формата на главни съгласни букви от латинската азбука B, D, което му дава възможност за първи път да напише алгебрични уравнения с произволни коефициенти и да оперира с тях. Виет изобразява неизвестни с гласни с главни букви А, Е,... Например записът на Виет

В нашите символи това изглежда така:

х 3 + 3bx = d.

Виет е създателят на алгебрични формули. Р. Декарт (1637) дава модерен вид на знаците на алгебрата, обозначавайки неизвестните с последните букви на лат. азбука x, y, z,и произволни стойности на данните - с начални букви a, b, c.Сегашният рекорд на степента принадлежи на него. Нотациите на Декарт имаха голямо предимство пред всички предишни. Поради това те скоро получиха всеобщо признание.

По-нататъшно развитие Математически знацие тясно свързано със създаването на безкрайно малкия анализ, за ​​развитието на символиката на който основата вече е до голяма степен подготвена в алгебрата.

Дати на произход на някои математически символи

знак	значение	Кой влезе	При влизане
Знаци на отделни обекти
¥	безкрайност	Дж. Уолис	1655
д	база от естествени логаритми	Л. Ойлер	1736
стр	съотношението на обиколката към диаметъра	У. Джоунс Л. Ойлер	1706
аз	корен квадратен от -1	Л. Ойлер	1777 г. (отпечатан 1794 г.)
аз j к	единични вектори, единични вектори	У. Хамилтън	1853
P(a)	ъгъл на успоредност	Н.И. Лобачевски	1835
Признаци на променливи обекти
x,y,z	неизвестни или променливи количества	Р. Декарт	1637
r	вектор	О. Коши	1853
Индивидуални оперативни знаци
+	допълнение	немски математици	Късен 15 век
–	изваждане
´	умножение	W. Outred	1631
×	умножение	Г. Лайбниц	1698
:	разделение	Г. Лайбниц	1684
a 2 , a 3 ,…, a n	степени	Р. Декарт	1637
		I. Нютон	1676
	корени	К. Рудолф	1525
		А. Жирар	1629
Дневник	логаритъм	I. Кеплер	1624
дневник		Б. Кавалиери	1632
грях	синусите	Л. Ойлер	1748
cos	косинус
tg	допирателна	Л. Ойлер	1753
arc.sin	арксинус	Ж. Лагранж	1772
Ш	хиперболичен синус	В. Рикати	1757
гл	хиперболичен косинус
dx, ddx, …	диференциал	Г. Лайбниц	1675 (отпечатано 1684)
d 2 x, d 3 x,...
	интегрална	Г. Лайбниц	1675 (отпечатано 1686)
	производна	Г. Лайбниц	1675
¦¢x	производна	Ж. Лагранж	1770, 1779
да
¦¢(x)
Dx	разлика	Л. Ойлер	1755
	частична производна	А. Лежандр	1786
	определен интеграл	Ж. Фурие	1819-22
	сума	Л. Ойлер	1755
П	работа	К. Гаус	1812
!	факториел	К. Крамп	1808
|x|	модул	К. Вайерщрас	1841
лим	лимит	У. Хамилтън, много математици	1853, началото на 20 век
лим
п = ¥
лим
п ® ¥
х	дзета функция	Б. Риман	1857
Ж	гама функция	А. Лежандр	1808
IN	бета функция	Ж. Бине	1839
г	делта (оператор на Лаплас)	Р. Мърфи	1833
Ñ	набла (оператор на Хамилтън)	У. Хамилтън	1853
Признаци на променливи операции
jx	функция	И. Бернули	1718
f(x)		Л. Ойлер	1734
Признаци на индивидуални взаимоотношения
=	равенство	Р. Запис	1557
>	повече	Т. Гариот	1631
<	по-малко
º	съпоставимост	К. Гаус	1801
	паралелизъм	W. Outred	1677
^	перпендикулярност	П. Еригон	1634

И. Нютон в неговия метод на флуксии и флуенти (1666 и следващите години) той въвежда знаци за последователни флуксии (производни) на количество (във формата

и за безкрайно малко увеличение о. Малко по-рано Дж. Уолис (1655) предлага знака за безкрайност ¥.

Създателят на съвременната символика на диференциалното и интегралното смятане е Г. Лайбниц. По-специално, той притежава използваните в момента Математически знацидиференциали

dx,d 2 x,d 3 х

и интегрална

Огромна заслуга за създаването на символиката на съвременната математика принадлежи на Л. Ойлер. Той въвежда (1734) в обща употреба първия знак на операция с променлива, а именно знака на функцията f(х) (от латински functio). След работата на Ойлер, знаците за много индивидуални функции, като тригонометрични функции, стават стандартни. Ойлер е автор на обозначението на константите д(основа на естествените логаритми, 1736), p [вероятно от гръцки perijerreia (periphereia) - кръг, периферия, 1736], имагинерна единица

(от френски imaginaire - въображаем, 1777 г., публикуван 1794 г.).

През 19 век нараства ролята на символиката. По това време се появяват знаците на абсолютната стойност |x|. (ДО. Вайерщрас, 1841), вектор (O. Коши, 1853), определител

(А. Кейли, 1841) и т.н. Много теории, възникнали през 19 век, например тензорното смятане, не биха могли да бъдат разработени без подходяща символика.

Заедно с посочения процес на стандартизация Математически знацив съвременната литература често може да се намери Математически знаци, използвани от отделни автори само в рамките на това изследване.

От гледна точка на математическата логика, сред Математически знациМогат да се очертаят следните основни групи: А) признаци на обекти, Б) признаци на операции, В) признаци на отношения. Например знаците 1, 2, 3, 4 представляват числа, т.е. обекти, изучавани от аритметика. Знакът за добавяне + сам по себе си не представлява никакъв обект; то получава предметно съдържание, когато е посочено кои числа се събират: обозначението 1 + 3 представлява числото 4. Знакът > (по-голямо от) е знак за връзката между числата. Знакът за отношение получава напълно определено съдържание, когато се посочи между кои обекти се разглежда отношението. Към изброените три основни групи Математически знацив съседство с четвъртия: D) спомагателни знаци, които установяват реда на комбиниране на основните знаци. Достатъчна представа за такива знаци се дава от скоби, указващи реда на действията.

Признаци на всеки три групи A), B) и C) са два вида: 1) индивидуални признаци на добре дефинирани обекти, операции и отношения, 2) общи признаци„непроменливи“ или „неизвестни“ обекти, операции и връзки.

Примери за признаци от първи вид могат да служат (вижте също таблицата):

А 1) Означения на естествени числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; трансцендентални числа ди р; имагинерна единица аз

B 1) Знаци на аритметични операции +, -, ·, ´,:; извличане на корени, диференциация

признаци на сбора (обединението) È и произведението (пресечната точка) Ç на множества; това включва и знаците на отделните функции sin, tg, log и др.

1) Знаци за равенство и неравенство =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.

Знаците от втория вид изобразяват произволни обекти, операции и отношения от определен клас или обекти, операции и отношения, които са подчинени на някакви предварително договорени условия. Например при писане на самоличността ( а + b)(а - b) = а 2 -б 2 букви АИ bпредставляват произволни числа; при изследване на функционалната зависимост при = X 2 букви XИ y -произволни числа, свързани с дадена връзка; при решаване на уравнението

Xобозначава всяко число, което удовлетворява дадено уравнение (в резултат на решаването на това уравнение научаваме, че само две възможни стойности +1 и -1 отговарят на това условие).

От логическа гледна точка е легитимно да наричаме такива общи признаци признаци на променливи, както е обичайно в математическата логика, без да се страхуваме от факта, че „домейнът на промяна“ на променливата може да се окаже, че се състои от една единствена обект или дори „празен“ (например в случай на уравнения, без решение). Допълнителни примери за този тип знаци могат да бъдат:

А 2) Означаване на точки, прави, равнини и по-сложни геометрични фигури с букви в геометрията.

B 2) Наименования е, , j за нотация на функции и операторно смятане, когато е с една буква Лпредставляват, например, произволен оператор от формата:

Обозначенията за „променливи отношения“ са по-рядко срещани; те се използват само в математическата логика (вж. Алгебра на логиката ) и в относително абстрактни, предимно аксиоматични, математически изследвания.

Лит.: Cajori., История на математическите нотации, v. 1-2, Chi., 1928-29.

Статия за думата " Математически знаци“ във Великата съветска енциклопедия е прочетена 39 764 пъти

Математическа нотация(„език на математиката“) е сложна графична нотационна система, използвана за представяне на абстрактни математически идеи и преценки в четима от хората форма. Той съставлява (в своята сложност и разнообразие) значителна част от неречевите знакови системи, използвани от човечеството. Тази статия описва общоприетата международна нотационна система, въпреки че различни култури от миналото са имали свои собствени, а някои от тях дори имат ограничена употреба до днес.

Имайте предвид, че математическата нотация, като правило, се използва във връзка с писмената форма на някакъв естествен език.

В допълнение към фундаменталната и приложната математика, математическите означения се използват широко във физиката, както и (в ограничена степен) в инженерството, компютърните науки, икономиката и наистина във всички области на човешката дейност, където се използват математически модели. Разликите между правилния математически и приложен стил на нотация ще бъдат обсъдени в целия текст.

Енциклопедичен YouTube

1 / 5

✪ Влезте / по математика

✪ Математика 3 клас. Таблица на цифрите на многоцифрените числа

✪ Комплекти по математика

✪ Математика 19. Математическо забавление - Шишкина школа

субтитри

здравей Това видео не е за математика, а по-скоро за етимология и семиотика. Но съм сигурен, че ще ви хареса. да тръгваме! Знаете ли, че търсенето на решения на кубични уравнения в общ вид е отнело на математиците няколко века? Това е отчасти защо? Тъй като нямаше ясни символи за ясни мисли, може би е дошло нашето време. Има толкова много символи, че можете да се объркате. Но ти и аз не можем да бъдем заблудени, нека го разберем. Това е главната обърната буква A. Това всъщност е английска буква, посочена първа в думите "all" и "any". На руски този символ, в зависимост от контекста, може да се чете така: за всеки, всеки, всеки, всичко и т.н. Такъв йероглиф ще наричаме универсален квантор. И ето още един квантор, но вече съществуване. Английската буква e се отразява в Paint отляво надясно, като по този начин намеква за отвъдморския глагол „съществува“, по нашия начин ще четем: има, има, има и по други подобни начини. Удивителен знак към такъв екзистенциален квантор ще добави уникалност. Да, знам, че вече не си малък, но все пак моите аплодисменти за тези, които изпълниха това упражнение. Е, добре, това е достатъчно, нека си спомним числовите групи. При броенето се използват естествени числа: 1, 2, 3, 4 и т.н.<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]

Обща информация

Системата се е развила, подобно на естествените езици, исторически (вижте историята на математическата нотация) и е организирана като писмеността на естествените езици, заимствайки от там също много символи (главно от латинската и гръцката азбука). Символите, както и при обикновеното писане, се изобразяват с контрастни линии на еднороден фон (черно на бяла хартия, светло на тъмна дъска, контрастно на монитор и т.н.), като значението им се определя предимно от тяхната форма и взаимно разположение. Цветът не се взема под внимание и обикновено не се използва, но когато се използват букви, техните характеристики като стил и дори шрифт, които не влияят на значението при обикновено писане, могат да играят значима роля в математическата нотация.

Структура

Обикновените математически означения (по-специално, т.нар математически формули) обикновено се записват в ред отляво надясно, но не е задължително да образуват последователен низ от знаци. Индивидуални блокове от знаци могат да се появят в горната или долната половина на ред, дори когато знаците не припокриват вертикали. Освен това някои части са разположени изцяло над или под линията. От граматична гледна точка почти всяка „формула“ може да се счита за йерархично организирана дървовидна структура.

Стандартизация

Математическата нотация представлява система в смисъл на взаимовръзка на нейните компоненти, но като цяло, непредставляват формална система (в разбирането на самата математика). Във всеки сложен случай те дори не могат да бъдат анализирани програмно. Като всеки естествен език, „езикът на математиката“ е пълен с противоречиви нотации, омографи, различни (сред говорещите) интерпретации на това, което се счита за правилно и т.н. Няма дори никаква видима азбука от математически символи и по-специално защото въпросът дали да се разглеждат две обозначения като различни символи или различно изписване на един и същи символ не винаги е ясно разрешен.

Някои математически нотации (предимно свързани с измерване) са стандартизирани в ISO 31-11, но цялостната стандартизация на нотациите по-скоро липсва.

Елементи на математическата нотация

Числа

Ако е необходимо да се използва бройна система с основа, по-малка от десет, основата се записва в долен индекс: 20003 8. Системите с числа с бази, по-големи от десет, не се използват в общоприетите математически нотации (въпреки че, разбира се, те се изучават от самата наука), тъй като за тях няма достатъчно числа. Във връзка с развитието на компютърните науки шестнадесетичната бройна система стана актуална, в която числата от 10 до 15 се обозначават с първите шест латински букви от A до F. За да се обозначат такива числа, в компютъра се използват няколко различни подхода науката, но те не са пренесени в математиката.

Горен и долен индекс

Скоби, свързани символи и разделители

Използват се скоби "()":

Квадратните скоби "" често се използват при групиране на значения, когато трябва да се използват много двойки скоби. В този случай те са поставени от външната страна и (с внимателна типография) имат по-голяма височина от скобите от вътрешната страна.

Квадратът "" и скобите "()" се използват съответно за обозначаване на затворени и отворени пространства.

Къдравите скоби "()" обикновено се използват за , въпреки че за тях важи същото предупреждение като за квадратните скоби. Левите "(" и десните ")" скоби могат да се използват отделно; е описано предназначението им.

Знаци в ъглови скоби " ⟨ ⟩ (\displaystyle \langle \;\rangle )При чиста типография те трябва да имат тъпи ъгли и по този начин да се различават от подобни, които имат прав или остър ъгъл. На практика не трябва да се надяваме на това (особено когато пишете формули ръчно) и трябва да ги разграничавате чрез интуиция.

Двойки симетрични (спрямо вертикалната ос) символи, включително тези, различни от изброените, често се използват за подчертаване на част от формулата. Описано е предназначението на сдвоените скоби.

Индекси

В зависимост от местоположението се разграничават горни и долни индекси. Горният индекс може (но не означава непременно) степенуване за други употреби.

Променливи

В науките има набори от количества и всяко от тях може да приеме или набор от стойности и да се нарече променливастойност (вариант), или само една стойност и да се нарича константа. В математиката количествата често се абстрахират от физическото значение и тогава променливата величина се превръща в абстрактно(или числова) променлива, обозначена с някакъв символ, който не е зает от специалните обозначения, споменати по-горе.

Променлива Xсе счита за дадено, ако наборът от стойности, които приема, е посочен (х). Удобно е да се разглежда постоянна величина като променлива, чийто съответен набор (х)се състои от един елемент.

Функции и оператори

В математиката няма съществена разлика между оператор(единичен), дисплейИ функция.

Разбира се обаче, че ако за да напишете стойността на преобразуване от дадени аргументи, е необходимо да посочите , тогава символът на това преобразуване обозначава функция; в други случаи те по-скоро говорят за оператор. Символите за някои функции на един аргумент се използват със или без скоби. Много елементарни функции, например sin ⁡ x (\displaystyle \sin x)или sin ⁡ (x) (\displaystyle \sin(x)), но винаги се извикват елементарни функции функции.

Оператори и релации (унарни и двоични)

Функции

Една функция може да бъде спомената в два смисъла: като израз на нейната стойност при зададени аргументи (писмено f (x), f (x, y) (\displaystyle f(x),\ f(x,y))и т.н.) или като самата функция. В последния случай се вмъква само символът на функцията, без скоби (въпреки че често се пишат случайно).

Има много означения за общи функции, използвани в математическата работа без допълнително обяснение. В противен случай функцията трябва да бъде описана по някакъв начин, а във фундаменталната математика тя не се различава фундаментално от и също се означава с произволна буква. Най-популярната буква за означаване на променливи функции е f, g и повечето гръцки букви също често се използват.

Предварително определени (запазени) обозначения

Но еднобуквените обозначения могат, ако желаете, да получат различно значение. Например, буквата i често се използва като индексна нотация в контексти, където не се използват комплексни числа, и буквата може да се използва като променлива в някои комбинаторики. Също така, символи на теорията на множествата (като " ⊂ (\displaystyle \subset )"И" ⊃ (\displaystyle \supset )") и пропозиционални изчисления (като " ∧ (\displaystyle \wedge)"И" ∨ (\displaystyle \vee)") може да се използва в друг смисъл, обикновено съответно като релации на ред и бинарни операции.

Индексиране

Индексирането се представя графично (обикновено от дъното, понякога от върха) и в известен смисъл е начин за разширяване на информационното съдържание на променлива. Въпреки това, той се използва в три малко различни (макар и припокриващи се) смисъла.

Действителните числа

Възможно е да имате няколко различни променливи, като ги обозначите с една и съща буква, подобно на използването на . Например: x 1 , x 2 , x 3 … (\displaystyle x_(1),\x_(2),\x_(3)\ldots ). Обикновено те са свързани с някаква общност, но като цяло това не е необходимо.

Освен това не само числата, но и всякакви символи могат да се използват като „индекси“. Въпреки това, когато друга променлива и израз са написани като индекс, този запис се интерпретира като „променлива с число, определено от стойността на индексния израз“.

В тензорния анализ

В линейната алгебра се записват тензорен анализ, диференциална геометрия с индекси (под формата на променливи).