كيفية حساب التوقع الرياضي. صيغة التوقع

التوقع الرياضي لمتغير عشوائي X هو متوسط ​​القيمة.

1. م (ج) = ج

2. م (CX) = سم (X)، أين ج= const

3. M (X ± Y) = M (X) ± M (Y)

4. إذا كانت المتغيرات عشوائية Xو صمستقل ، إذن م (س ص) = م (س) م (ص)

تشتت

يسمى تباين المتغير العشوائي X

D (X) = S (x - M (X)) 2 ص = م (X 2 ) - م 2 (X).

التشتت هو مقياس لانحراف قيم متغير عشوائي عن قيمته المتوسطة.

1. د (ج) = 0

2. د (س + ج) = د (س)

3. د (CX) = ج 2 د (X)، أين ج= const

4. للمتغيرات العشوائية المستقلة

د (س ± ص) = د (س) + د (ص)

5. D (X ± Y) = D (X) + D (Y) ± 2Cov (x ، y)

الجذر التربيعيمن تباين المتغير العشوائي X يسمى الانحراف المعياري .

@ المهمة 3: دع المتغير العشوائي X يأخذ قيمتين فقط (0 أو 1) مع الاحتمالات ف ، ص، أين ع + س = 1. يجد القيمة المتوقعةوالتشتت.

حل:

م (س) = 1 ص + 0 ف = ع ؛ د (X) = (1 - ع) 2 ف + (0 - ع) 2 ف = pq.

@ المهمة 4: التوقع الرياضي والتباين لمتغير عشوائي Xتساوي 8. أوجد التوقع الرياضي وتباين المتغيرات العشوائية: أ) X-4؛ ب) 3X-4.

الحل: M (X - 4) = M (X) - 4 = 8-4 = 4 ؛ د (س - 4) = د (س) = 8 ؛ م (3 س - 4) = 3 م (س) - 4 = 20 ؛ د (3 س - 4) = 9 د (س) = 72.

@ المهمة 5: تتوزع مجموعة الأسر على النحو التالي حسب عدد الأبناء:

س ط	× 1	x2
بي	0,1	ص 2	0,4	0,35

يُعرِّف × 1, x2و ص 2إذا كان معروفا أن م (س) = 2 ؛ D (X) = 0.9.

الحل: الاحتمال p 2 يساوي p 2 = 1 - 0.1 - 0.4 - 0.35 = 0.15. تم العثور على س غير معروف من المعادلات: M (X) = x 1 0.1 + x 2 0.15 + 2 0.4 + 3 0.35 = 2 ؛ د (س) = 0.1 + 0.15 + 4 0.4 + 9 0.35 - 4 = 0.9. × 1 = 0 ؛ س 2 = 1.

عامة السكان والعينة. تقديرات المعلمات

الملاحظة الانتقائية

الملاحظة الإحصائيةيمكنك تنظيم مستمر وغير مستمر. تتضمن الملاحظة المستمرة فحص جميع وحدات السكان المدروسين (عامة السكان). سكان هي مجموعة من المادية أو الكيانات القانونيةالتي يدرسها الباحث حسب مهمته. هذا غالبًا لا يكون مجديًا اقتصاديًا ، وأحيانًا مستحيل. في هذا الصدد ، تتم دراسة جزء فقط من عامة السكان - إطار أخذ العينات .

يمكن توسيع النتائج التي تم الحصول عليها من عينة السكان لتشمل عموم السكان إذا تم اتباع المبادئ التالية:

1. يجب تحديد مجتمع العينة بشكل عشوائي.

2. يجب أن يكون عدد وحدات المعاينة كافياً.

3. يجب توفيرها التمثيل ( التمثيلية) للعينة. العينة التمثيلية هي نموذج أصغر ولكن دقيق للمجتمع المقصود تمثيله.

أنواع العينات

في الممارسة العملية ، تطبيق الأنواع التاليةالعينات:

أ) عشوائي مناسب ، ب) ميكانيكي ، ج) نموذجي ، د) تسلسلي ، هـ) مجتمعة.

أخذ العينات العشوائية الذاتية

في عينة عشوائية مناسبة يتم اختيار وحدات أخذ العينات بشكل عشوائي ، على سبيل المثال ، عن طريق سحب القرعة أو مولد الأرقام العشوائية.

العينات متكررة وغير متكررة. في عملية إعادة التشكيل ، يتم إرجاع الوحدة المأخوذة من العينة وتحتفظ بفرصة متساوية لأخذ العينات مرة أخرى. مع أخذ العينات غير المتكرر ، لا تشارك الوحدة السكانية التي تم تضمينها في العينة في العينة في المستقبل.

الأخطاء المتأصلة في ملاحظة العينة ، والتي تنشأ بسبب حقيقة أن العينة لا تتكاثر بشكل كامل مع عامة السكان ، تسمى الأخطاء المعيارية . وهي تمثل الفرق بين جذر متوسط ​​التربيع بين قيم المؤشرات التي تم الحصول عليها من العينة والقيم المقابلة لمؤشرات عامة السكان.

صيغ الحساب خطأ تقليديمع إعادة الانتقاء العشوائي ما يلي: ومع الاختيار العشوائي غير المتكرر ما يلي: ، حيث S 2 هو تباين عينة السكان ، n / N -حصة العينة ، ن ، ن- عدد الوحدات في العينة وعموم السكان. في ن = نالخطأ المعياري م = 0.

أخذ العينات الميكانيكية

في أخذ العينات الميكانيكية يتم تقسيم السكان بشكل عام إلى فترات متساوية ويتم اختيار وحدة واحدة بشكل عشوائي من كل فترة.

على سبيل المثال ، مع معدل أخذ العينات 2٪ ، يتم تحديد كل 50 وحدة من قائمة السكان.

يتم تعريف الخطأ المعياري لأخذ العينات الميكانيكية على أنه خطأ أخذ العينات العشوائية الذاتية غير المتكررة.

عينة نموذجية

في عينة نموذجية ينقسم عامة السكان إلى مجموعات نموذجية متجانسة ، ثم يتم اختيار الوحدات عشوائيًا من كل مجموعة.

يتم استخدام عينة نموذجية في حالة عامة السكان غير المتجانسين. تعطي العينة النموذجية نتائج أكثر دقة لأنها تضمن التمثيل.

على سبيل المثال ، ينقسم المعلمون ، بصفتهم عموم السكان ، إلى مجموعات وفقًا للخصائص التالية: الجنس ، والخبرة ، والمؤهلات ، والتعليم ، والمدارس الحضرية والريفية ، إلخ.

يتم تعريف الأخطاء المعيارية النموذجية لأخذ العينات على أنها أخطاء ذاتية عشوائية في أخذ العينات ، مع الاختلاف الوحيد هو ذلك S2يتم استبداله بمتوسط ​​الفروق داخل المجموعة.

أخذ العينات التسلسلي

في أخذ العينات التسلسلي ينقسم عامة السكان إلى مجموعات منفصلة (سلسلة) ، ثم تخضع المجموعات المختارة عشوائيًا للمراقبة المستمرة.

يتم تعريف الأخطاء المعيارية لأخذ العينات التسلسلية على أنها أخطاء أخذ عينات عشوائية ذاتية ، مع الاختلاف الوحيد في ذلك S2يتم استبداله بمتوسط ​​الفروق بين المجموعات.

أخذ العينات مجتمعة

أخذ العينات مجتمعةعبارة عن مزيج من نوعين أو أكثر من أنواع العينات.

تقدير النقطة

الهدف الأسمىمراقبة أخذ العينات هي إيجاد خصائص عامة السكان. نظرًا لأنه لا يمكن القيام بذلك بشكل مباشر ، يتم توسيع خصائص عينة السكان لتشمل عموم السكان.

تم إثبات الإمكانية الأساسية لتحديد الوسط الحسابي لعامة السكان من بيانات العينة المتوسطة نظرية تشيبيشيف. مع تكبير غير محدود نيميل احتمال أن يكون الفرق بين متوسط ​​العينة والمتوسط ​​العام صغيرًا بشكل تعسفي إلى 1.

وهذا يعني أن خاصية عامة السكان بدقة. يسمى هذا التقييم نقطة .

تقدير الفاصل

أساس التقدير الفاصل هو نظرية الحد المركزي.

تقدير الفاصليسمح لك بالإجابة على السؤال: في أي فترة زمنية وبأي احتمالية تكون القيمة غير المعروفة والمطلوبة لمعلمة عامة السكان؟

يشار إليه عادة بمستوى الثقة ص = 1 – أ ، والتي ستكون في الفترة – د< < + D, где D = ر كرم> 0 خطأ هامشي عينات ، أ - مستوى الأهمية (احتمال أن تكون المتباينة خاطئة) ، ر كر- القيمة الحرجة التي تعتمد على القيم نو أ. مع عينة صغيرة ن< 30 ر كرتُعطى باستخدام القيمة الحرجة لتوزيع t للطالب لاختبار ثنائي الطرف مع ن- درجة واحدة من الحرية بمستوى دلالة أ ( ر كر(ن- 1 ، أ) من الجدول "القيم الحرجة لتوزيع الطالب t" ، الملحق 2). لـ n> 30 ، ر كرهو مقدار التوزيع الطبيعي ( ر كرتم العثور على من جدول قيم دالة لابلاس F (t) = (1 – أ) / 2 كحجة). عند p = 0.954 ، القيمة الحرجة ر كر= 2 عند p = 0.997 قيمة حرجة ر كر= 3. هذا يعني أن الخطأ الهامشي عادة ما يكون 2-3 مرات أكبر من الخطأ القياسي.

وبالتالي ، فإن جوهر طريقة أخذ العينات يكمن في حقيقة أنه ، بناءً على البيانات الإحصائية لجزء صغير معين من عامة السكان ، من الممكن العثور على فترة زمنية يكون فيها احتمال الثقة صتم العثور على الخاصية المطلوبة لعامة السكان ( متوسط ​​عدد السكانالعمال ، متوسط ​​الدرجة ، متوسط ​​العائد ، الانحراف المعياري ، إلخ).

@ مهمة 1.لتحديد سرعة التسويات مع دائني مؤسسات الشركة ، تم إجراء عينة عشوائية من 100 مستند دفع في أحد البنوك التجارية ، والتي بموجبها متوسط ​​المدىتبين أن تحويل الأموال واستلامها يساوي 22 يومًا (= 22) مع انحراف معياري لمدة 6 أيام (S = 6). مع الاحتمال ص= 0.954 تحديد الخطأ الهامشي لمتوسط ​​العينة وفاصل الثقة مدة متوسطةمستوطنات شركات هذه الشركة.

الحل: الخطأ الهامشي لمتوسط ​​العينة(1)مساوي لد = 2· 0.6 = 1.2 ، ويتم تعريف فاصل الثقة على أنه (22 - 1.2 ؛ 22 + 1.2) ، أي (20.8 ؛ 23.2).

§6.5 الارتباط والانحدار

التوقع الرياضي (القيمة المتوسطة) لمتغير عشوائي X ، المعطى على مساحة احتمالية منفصلة ، هو الرقم m = M [X] = ∑x i p i ، إذا كانت السلسلة تتقارب تمامًا.

مهمة الخدمة. بمساعدة الخدمة وضع على شبكة الإنترنت يتم حساب التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري(انظر المثال). بالإضافة إلى ذلك ، يتم رسم رسم بياني لوظيفة التوزيع F (X).

خصائص التوقع الرياضي لمتغير عشوائي

1. التوقع الرياضي للقيمة الثابتة يساوي نفسه: M [C] = C ، C ثابت ؛
2. M = C M [X]
3. التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع توقعاتهم الرياضية: M = M [X] + M [Y]
4. التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي ناتج توقعاتهم الرياضية: M = M [X] M [Y] إذا كانت X و Y مستقلتان.

خصائص التشتت

1. تشتت قيمة ثابتة تساوي الصفر: D (c) = 0.
2. يمكن إخراج العامل الثابت من تحت علامة التشتت بتربيعه: D (k * X) = k 2 D (X).
3. إذا كانت المتغيرات العشوائية X و Y مستقلة ، فإن تباين المجموع يساوي مجموع الفروق: D (X + Y) = D (X) + D (Y).
4. إذا كانت المتغيرات العشوائية X و Y تابعة: D (X + Y) = DX + DY + 2 (X-M [X]) (Y-M [Y])
5. بالنسبة للتباين ، تكون الصيغة الحسابية صالحة:
   D (X) = M (X 2) - (M (X)) 2

مثال. تُعرف التوقعات والتباينات الرياضية لمتغيرين عشوائيين مستقلين X و Y: M (x) = 8 ، M (Y) = 7 ، D (X) = 9 ، D (Y) = 6. أوجد التوقع الرياضي والتباين للمتغير العشوائي Z = 9X-8Y + 7.
حل. بناءً على خصائص التوقع الرياضي: M (Z) = M (9X-8Y + 7) = 9 * M (X) - 8 * M (Y) + M (7) = 9 * 8 - 8 * 7 + 7 = 23.
بناءً على خصائص التشتت: D (Z) = D (9X-8Y + 7) = D (9X) - D (8Y) + D (7) = 9 ^ 2D (X) - 8 ^ 2D (Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345

خوارزمية لحساب التوقع الرياضي

خصائص المتغيرات العشوائية المنفصلة: يمكن إعادة ترقيم جميع قيمها الأعداد الطبيعية؛ عيّن لكل قيمة احتمالًا غير صفري.

1. اضرب الأزواج واحدًا تلو الآخر: x i في p i.
2. نضيف حاصل ضرب كل زوج x i p i.
   على سبيل المثال ، بالنسبة لـ n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصلتدريجيًا ، يزداد فجأة عند النقاط التي تكون احتمالاتها إيجابية.

مثال 1.

س ط	1	3	4	7	9
بي	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

تم العثور على التوقع الرياضي من خلال الصيغة م = ∑x أنا ص ط.
التوقع الرياضي M [X].
م [س] = 1 * 0.1 + 3 * 0.2 + 4 * 0.1 + 7 * 0.3 + 9 * 0.3 = 5.9
تم العثور على التشتت بالصيغة d = ∑x 2 i p i - M [x] 2.
تشتت D [X].
D [X] = 1 2 * 0.1 + 3 2 * 0.2 + 4 2 * 0.1 + 7 2 * 0.3 + 9 2 * 0.3 - 5.9 2 = 7.69
الانحراف المعياري σ (x).
σ = الجذر التربيعي (D [X]) = الجذر التربيعي (7.69) = 2.78

المثال رقم 2. المتغير العشوائي المنفصل له سلسلة التوزيع التالية:

X	-10	-5	0	5	10
ص	أ	0,32	2أ	0,41	0,03

أوجد القيمة أ والتوقع الرياضي والانحراف المعياري لهذا المتغير العشوائي.

حل. تم العثور على القيمة a من العلاقة: Σp i = 1
Σp i = أ + 0.32 + 2 أ + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 أ = 1
0.76 + 3 أ = 1 أو 0.24 = 3 أ ، ومن أين أ = 0.08

المثال رقم 3. حدد قانون التوزيع لمتغير عشوائي منفصل إذا كان تباينه معروفًا ، و x 1 × 1 = 6 ؛ x2 = 9 ؛ x3 = x ؛ س 4 = 15
ص 1 = 0.3 ؛ p2 = 0.3 ؛ p3 = 0.1 ؛ ص 4 \ u003d 0.3
د (س) = 12.96

حل.
هنا تحتاج إلى عمل صيغة لإيجاد التباين d (x):
د (x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m (x) 2
حيث التوقع m (x) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
لبياناتنا
م (س) = 6 * 0.3 + 9 * 0.3 + × 3 * 0.1 + 15 * 0.3 = 9 + 0.1 س 3
12.96 = 6 2 0.3 + 9 2 0.3 + 3 2 0.1 + 15 2 0.3- (9 + 0.1x 3) 2
أو -9/100 (× 2-20 × + 96) = 0
وفقًا لذلك ، من الضروري إيجاد جذور المعادلة ، وسيكون هناك اثنان منهم.
× 3 \ u003d 8 ، × 3 \ u003d 12
نختار الشخص الذي يلبي الشرط × 1 x3 = 12

قانون التوزيع لمتغير عشوائي منفصل
× 1 = 6 ؛ x2 = 9 ؛ × 3 \ u003d 12 ؛ س 4 = 15
ص 1 = 0.3 ؛ p2 = 0.3 ؛ p3 = 0.1 ؛ ص 4 \ u003d 0.3

هذا هو ، إذا كان sl. الكمية لها قانون توزيع ، إذن

مُسَمًّىتوقعاتها الرياضية. إذا كان sl. تحتوي القيمة على عدد لا حصر له من القيم ، ثم يتم تحديد التوقع الرياضي من خلال مجموع سلسلة لا نهائية ، بشرط أن تتقارب هذه السلسلة تمامًا (وإلا ، يُقال إن القيمة المتوقعة غير موجودة) .

ل مستمر sl. القيمة المعطاة بواسطة دالة كثافة الاحتمال f (x) ، يتم تحديد التوقع الرياضي باعتباره جزءًا لا يتجزأ

بشرط وجود هذا التكامل (إذا تباعد التكامل ، فإننا نقول إن التوقع الرياضي غير موجود).

مثال 1. دعونا نحدد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي موزع عليه قانون بواسون. الدير

أو دلالة

,

لذا فإن المعلمة , قانون التوزيع المحدد لمتغير بواسون العشوائي يساوي متوسط ​​قيمة هذا المتغير.

مثال 2. بالنسبة للمتغير العشوائي بقانون التوزيع الأسي ، يكون التوقع الرياضي هو

():

(في التكامل ، خذ النهايتين ، مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن f (x) ليست صفرية فقط للإشارة x).

مثال 3. المتغير العشوائي يوزع حسب قانون التوزيع كوشي، ليس له قيمة متوسطة. حقًا

خصائص التوقع.

خاصية 1. التوقع الرياضي للثابت يساوي الثابت نفسه.

يأخذ الثابت C هذه القيمة مع احتمال واحد ، وبحسب التعريف ، M (C) = C × 1 = C

خاصية 2. التوقع الرياضي للمجموع الجبري للمتغيرات العشوائية يساوي المجموع الجبري لتوقعاتهم الرياضية.

نحن نقتصر على إثبات هذه الخاصية فقط لمجموع متغيرين عشوائيين منفصلين ، أي اثبت ذلك

تحت مجموع اثنين من sl المنفصلة. يتم فهم الكميات على أنها الكمية التي تأخذ القيم مع الاحتمالات

الدير

حيث يتم احتساب احتمالية الحدث بشرط أن. يسرد الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة جميع حالات حدوث الحدث ، وبالتالي فهو يساوي الاحتمال الكلي لحدوث الحدث ، أي . بصورة مماثلة . أخيرا لدينا

الملكية 3. التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي ناتج توقعاتهم الرياضية.

في			…
س			…
X			…
ص			…

نقدم أدلة على هذه الخاصية فقط للكميات المنفصلة. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستمرة ، تم إثبات ذلك بالمثل.

دع X و Y يكونان مستقلين ولديهما قوانين التوزيع

سيكون ناتج هذه المتغيرات العشوائية متغيرًا عشوائيًا يأخذ قيمًا ذات احتمالات متساوية ، بسبب استقلالية المتغيرات العشوائية. ثم

عاقبة. يمكن إخراج المضاعف الثابت من علامة التوقع الرياضي. لذا فإن ثابت القرن C لا يعتمد على القيمة التي ستتخذها المرحلة التالية. القيمة X ، ثم بالملكية 3. لدينا

M (CX) = M (C) × M (X) = C × M (X)

مثال. إذا كان a و b ثوابت ، فإن M (ax + b) = aM (x) + b.

التوقع الرياضي لعدد حدوث حدث في مخطط التجارب المستقلة.

دعونا ننفذ تجارب مستقلة ، واحتمال حدوث حدث في كل منها هو R. عدد تكرارات حدث في هذه التجارب n هو متغير عشوائي X موزع وفقًا لقانون ذي الحدين. ومع ذلك ، فإن الحساب المباشر لمتوسط ​​قيمتها مرهق. للتبسيط ، سنستخدم التوسيع ، الذي سنستخدمه في المستقبل مرارًا وتكرارًا:

حيث يوجد قانون توزيع (يأخذ القيمة 1 إذا حدث الحدث في تجربة معينة ، والقيمة 0 إذا لم يظهر الحدث في التجربة المحددة).

ص	الأول	ص

لهذا

أولئك. متوسط ​​عدد مرات حدوث حدث في n تجارب مستقلة يساوي ناتج عدد التجارب واحتمال حدوث الحدث في تجربة واحدة.

على سبيل المثال ، إذا كان احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة هو 0.1 ، فإن متوسط ​​عدد الضربات في 20 لقطة هو 20 × 0.1 = 2.

يمكن النظر في مفهوم التوقع الرياضي باستخدام مثال رمي النرد. مع كل رمية ، يتم تسجيل النقاط التي تم إسقاطها. يتم استخدام القيم الطبيعية في النطاق من 1 إلى 6 للتعبير عنها.

بعد عدد معين من الرميات ، وباستخدام حسابات بسيطة ، يمكنك إيجاد المتوسط ​​الحسابي للنقاط التي سقطت.

بالإضافة إلى إسقاط أي من قيم النطاق ، ستكون هذه القيمة عشوائية.

وإذا قمت بزيادة عدد الرميات عدة مرات؟ مع وجود عدد كبير من الرميات ، ستقترب القيمة الحسابية المتوسطة للنقاط من رقم معين ، والذي في نظرية الاحتمالات قد تلقى اسم التوقع الرياضي.

لذلك ، يُفهم التوقع الرياضي على أنه متوسط ​​قيمة متغير عشوائي. يمكن أيضًا تقديم هذا المؤشر كمجموع مرجح للقيم المحتملة.

هذا المفهوم له عدة مرادفات:

• متوسط ​​القيمة؛
• متوسط ​​القيمة؛
• مؤشر الاتجاه المركزي
• اللحظة الأولى.

بمعنى آخر ، إنه ليس أكثر من رقم يتم توزيع قيم المتغير العشوائي حوله.

في مختلف مجالات النشاط البشري ، ستكون مناهج فهم التوقعات الرياضية مختلفة إلى حد ما.

يمكن أن ينظر إليه على أنه:

• متوسط ​​الفائدة المتلقاة من اتخاذ قرار ، في حالة النظر في مثل هذا القرار من وجهة نظر نظرية الأعداد الكبيرة ؛
• المبلغ المحتمل للفوز أو الخسارة (نظرية المقامرة) ، محسوبًا في المتوسط ​​لكل من الرهانات. في العامية ، تبدو مثل "ميزة اللاعب" (إيجابية للاعب) أو "ميزة الكازينو" (سلبية للاعب) ؛
• نسبة الربح المحصل من المكاسب.

التوقع الرياضي ليس إلزاميًا على الإطلاق لجميع المتغيرات العشوائية. إنه غائب بالنسبة لأولئك الذين لديهم تباين في المجموع المقابل أو التكامل.

خصائص التوقع

مثل أي معلمة إحصائية ، فإن التوقع الرياضي له الخصائص التالية:

الصيغ الأساسية للتوقعات الرياضية

يمكن إجراء حساب التوقع الرياضي لكل من المتغيرات العشوائية التي تتميز بكل من الاستمرارية (الصيغة أ) والتمييز (الصيغة ب):

1. M (X) = ∑i = 1nxi⋅pi ، حيث x هي قيم المتغير العشوائي ، و pi هي الاحتمالات:
2. M (X) = ∫ + ∞ − ∞f (x) ⋅xdx ، حيث f (x) كثافة احتمالية معينة.

أمثلة على حساب التوقع الرياضي

مثال أ.

هل من الممكن معرفة متوسط ​​ارتفاع التماثيل في القصة الخيالية حول بياض الثلج. من المعروف أن كل من التماثيل السبعة لها ارتفاع معين: 1.25 ؛ 0.98 ؛ 1.05 ؛ 0.71 ؛ 0.56 ؛ 0.95 و 0.81 م.

خوارزمية الحساب بسيطة للغاية:

• أوجد مجموع كل قيم مؤشر النمو (متغير عشوائي):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• المبلغ الناتج مقسومًا على عدد التماثيل:
  6,31:7=0,90.

وهكذا ، فإن متوسط ​​ارتفاع التماثيل في القصة الخيالية هو 90 سم ، وبعبارة أخرى ، هذا هو التوقع الرياضي لنمو التماثيل.

صيغة العمل - M (x) \ u003d 4 0.2 + 6 0.3 + 10 0.5 \ u003d 6

التنفيذ العملي للتوقعات الرياضية

يتم اللجوء إلى حساب مؤشر إحصائي للتوقع الرياضي في مختلف مجالات النشاط العملي. بادئ ذي بدء ، نحن نتحدث عن المجال التجاري. في الواقع ، يرتبط تقديم Huygens لهذا المؤشر بتحديد الفرص التي يمكن أن تكون مواتية ، أو على العكس من ذلك ، غير مواتية لبعض الأحداث.

تستخدم هذه المعلمة على نطاق واسع لتقييم المخاطر ، خاصة عندما يتعلق الأمر بالاستثمارات المالية.
لذلك ، في الأعمال التجارية ، يعمل حساب التوقع الرياضي كطريقة لتقييم المخاطر عند حساب الأسعار.

أيضًا ، يمكن استخدام هذا المؤشر عند حساب فعالية تدابير معينة ، على سبيل المثال ، بشأن حماية العمال. بفضله ، يمكنك حساب احتمال وقوع حدث.

مجال آخر لتطبيق هذه المعلمة هو الإدارة. يمكن أيضًا حسابها أثناء مراقبة جودة المنتج. على سبيل المثال ، باستخدام حصيرة. التوقعات ، يمكنك حساب العدد المحتمل لأجزاء التصنيع المعيبة.

التوقع الرياضي لا غنى عنه أيضًا أثناء المعالجة الإحصائية للنتائج التي تم الحصول عليها في سياق البحث العلمي. كما يسمح لك بحساب احتمال نتيجة مرغوبة أو غير مرغوب فيها لتجربة أو دراسة ، اعتمادًا على مستوى تحقيق الهدف. بعد كل شيء ، يمكن أن يرتبط تحقيقه بالربح والربح ، وعدم تحقيقه - كخسارة أو خسارة.

استخدام التوقعات الرياضية في الفوركس

التطبيق العملي لهذه المعلمة الإحصائية ممكن عند إجراء المعاملات في سوق الصرف الأجنبي. يمكن استخدامه لتحليل نجاح المعاملات التجارية. علاوة على ذلك ، تشير الزيادة في قيمة التوقع إلى زيادة في نجاحهم.

من المهم أيضًا أن تتذكر أن التوقع الرياضي لا ينبغي اعتباره المعلمة الإحصائية الوحيدة المستخدمة لتحليل أداء المتداول. يؤدي استخدام العديد من المعلمات الإحصائية إلى جانب متوسط ​​القيمة إلى زيادة دقة التحليل في بعض الأحيان.

أثبتت هذه المعلمة نفسها بشكل جيد في مراقبة ملاحظات حسابات التداول. بفضله ، يتم إجراء تقييم سريع للعمل المنجز على حساب الوديعة. في الحالات التي يكون فيها نشاط المتداول ناجحًا ويتجنب الخسائر ، لا يوصى باستخدام حساب التوقع الرياضي فقط. في هذه الحالات ، لا تؤخذ المخاطر في الاعتبار ، مما يقلل من فعالية التحليل.

تشير الدراسات التي أجريت على تكتيكات المتداولين إلى ما يلي:

• الأكثر فعالية هي التكتيكات القائمة على المدخلات العشوائية ؛
• الأقل فعالية هي التكتيكات القائمة على المدخلات المنظمة.

من أجل تحقيق نتائج إيجابية ، من المهم بنفس القدر:

• تكتيكات إدارة الأموال ؛
• استراتيجيات الخروج.

باستخدام مثل هذا المؤشر كتوقع رياضي ، يمكننا أن نفترض ما سيكون الربح أو الخسارة عند استثمار دولار واحد. من المعروف أن هذا المؤشر ، المحسوب لجميع الألعاب التي تمارس في الكازينو ، لصالح المؤسسة. هذا هو ما يسمح لك لكسب المال. في حالة وجود سلسلة طويلة من الألعاب ، يزداد احتمال خسارة العميل للمال بشكل كبير.

ألعاب اللاعبين المحترفين محدودة بفترات زمنية صغيرة ، مما يزيد من فرص الفوز ويقلل من مخاطر الخسارة. لوحظ نفس النمط في أداء عمليات الاستثمار.

يمكن للمستثمر أن يكسب مبلغًا كبيرًا مع توقع إيجابي وعدد كبير من المعاملات في فترة زمنية قصيرة.

يمكن اعتبار التوقع على أنه الفرق بين النسبة المئوية للربح (PW) مضروبة في متوسط ​​الربح (AW) واحتمال الخسارة (PL) مضروبًا في متوسط ​​الخسارة (AL).

كمثال ، ضع في اعتبارك ما يلي: المركز - 12.5 ألف دولار ، المحفظة - 100 ألف دولار ، المخاطرة لكل إيداع - 1٪. تبلغ ربحية المعاملات 40٪ من الحالات بمتوسط ​​ربح 20٪. في حالة حدوث خسارة ، يكون متوسط ​​الخسارة 5٪. يعطي حساب التوقع الرياضي للتداول قيمة 625 دولارًا.

يتم تحديد كل قيمة فردية تمامًا من خلال وظيفة التوزيع الخاصة بها. أيضًا ، لحل المشكلات العملية ، يكفي معرفة العديد من الخصائص العددية ، والتي بفضلها يصبح من الممكن تقديم السمات الرئيسية لمتغير عشوائي في شكل موجز.

هذه الكميات في المقام الأول القيمة المتوقعةو تشتت .

القيمة المتوقعة- متوسط ​​قيمة متغير عشوائي في نظرية الاحتمالات. صمم ك .

في أبسط طريقة ، التوقع الرياضي لمتغير عشوائي X (ث)، تم العثور عليها أساسيليبيسجفيما يتعلق بقياس الاحتمال ص إبداعي مساحة الاحتمال

يمكنك أيضًا العثور على التوقع الرياضي لقيمة مثل تكامل ليبيجمن Xحسب التوزيع الاحتمالي R Xكميات X:

أين هي مجموعة كل القيم الممكنة X.

التوقع الرياضي للوظائف من متغير عشوائي Xمن خلال التوزيع R X. على سبيل المثال، لو X- متغير عشوائي بقيم في و و (خ)- خالية من الغموض بوريلوظيفة X ، الذي - التي:

لو و (س)- دالة التوزيع X، فإن التوقع الرياضي يمكن تمثيله أساسيLebesgue - Stieltjes (أو Riemann - Stieltjes):

بينما التكامل Xمن ناحية ( * ) يتوافق مع محدودية التكامل

في حالات محددة ، إذا Xله توزيع منفصل مع القيم المحتملة س ك, ك = 1 ، 2و. ، والاحتمالات ، إذن

لو Xله توزيع مستمر تمامًا مع كثافة احتمالية ص (خ)، الذي - التي

في هذه الحالة ، فإن وجود توقع رياضي يعادل التقارب المطلق للسلسلة أو التكامل المقابل.

خصائص التوقع الرياضي لمتغير عشوائي.

• التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي هذه القيمة:

ج- ثابت؛

• M = C.M [X]

• التوقع الرياضي لمجموع القيم المأخوذة عشوائيًا يساوي مجموع توقعاتهم الرياضية:

• التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية المستقلة = ناتج توقعاتهم الرياضية:

M = M [X] + M [Y]

لو Xو صمستقل.

إذا تقاربت السلسلة:

خوارزمية لحساب التوقع الرياضي.

خصائص المتغيرات العشوائية المنفصلة: يمكن إعادة ترقيم جميع قيمها بالأرقام الطبيعية ؛ يساوي كل قيمة مع احتمال غير صفري.

1. اضرب الأزواج بالتناوب: س طعلى بي.

2. أضف منتج كل زوج س ط ص ط.

على سبيل المثال، ل ن = 4 :

دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصلتدريجيًا ، يزداد بشكل مفاجئ عند النقاط التي تحتوي احتمالاتها على إشارة موجبة.

مثال:أوجد التوقع الرياضي بالصيغة.