دالة التوزيع لأي متغير عشوائي هي دالة. التوقع الرياضي لمتغير عشوائي مستمر

علامات الحمل بعد زرع الجنين

دالة التوزيع لمتغير عشوائي X هي الدالة F (x) ، معبرة عن الاحتمال الذي لكل x قيمة عشوائيةسيأخذ X قيمة, أصغر x

مثال 2.5. بالنظر إلى سلسلة توزيع متغير عشوائي

ابحث عن وظيفة التوزيع الخاصة به ورسمها بيانياً. المحلول. حسب التعريف

F (jc) = 0 من أجل X X

و (س) = 0.4 + 0.1 = 0.5 عند 4 درجة فهرنهايت (س) = 0.5 + 0.5 = 1 عند X > 5.

لذلك (انظر الشكل 2.1):


خصائص دالة التوزيع:

1. دالة التوزيع لمتغير عشوائي هي دالة غير سالبة محاطة بصفر وواحد:

2. دالة التوزيع لمتغير عشوائي هي دالة غير متناقصة على محور العدد بأكمله ، أي في X 2 > س

3. عند سالب اللانهاية ، دالة التوزيع تساوي صفرًا ، عند زائد ما لا نهاية ، تساوي واحدًا ، أي

4. احتمالية الوصول إلى متغير عشوائي Xفي الفترةمساوي ل لا يتجزأعلى كثافة احتمالية تتراوح من أقبل ب(انظر الشكل 2.2) ، أي


أرز. 2.2

3. يمكن التعبير عن دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر (انظر الشكل 2.3) بدلالة كثافة الاحتمال باستخدام الصيغة:

و (س) = Jp (*) *. (2.10)

4. التكامل غير السليم في الحدود اللانهائية للكثافة الاحتمالية لمتغير عشوائي مستمر يساوي واحدًا:

الخصائص الهندسية / و 4 كثافات الاحتمالية تعني أن مؤامرة هذه هي منحنى التوزيع - لا تقع تحت المحور السيني, والمساحة الإجمالية للشكل, منحنى التوزيع المحدود والمحور السيني, يساوي واحد.

لمتغير عشوائي مستمر X القيمة المتوقعة م (X)والتباين د (X)يتم تحديدها بواسطة الصيغ:

(إذا كان التكامل يتقارب بشكل مطلق) ؛ أو

(إذا تقارب التكاملات المختزلة).

إلى جانب الخصائص العددية المذكورة أعلاه ، يتم استخدام مفهوم الكميات والنقاط المئوية لوصف متغير عشوائي.

ف المستوى الكمي(أو q-quantile) هي هذه القيمةس فمتغير عشوائي, حيث تأخذ دالة التوزيع القيمة, يساوي q ،بمعنى آخر.

  • 100النقطة q٪ -ou هي القيمة X ~ q.
  • ؟ المثال 2.8.

وفقًا للمثال 2.6 أوجد القيمة xqj و 30٪ نقطة عشوائية متغيرة x.

المحلول. حسب التعريف (2.16) F (xo t3) = 0.3 ، أي

~ ص ~ = 0.3 ، من حيث القيمة × 0 3 = 0.6. 30٪ نقطة متغيرة عشوائية X، أو الكمية Х) _о ، з = xojتم العثور على »بالمثل من المعادلة ^ = 0.7. من أين * ، = 1.4. ؟

ضمن الخصائص العدديةتخصيص متغير عشوائي مبدئيت * و وسطص * لحظات ترتيب k-th، يتم تحديدها للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة بواسطة الصيغ:


للعثور على وظائف توزيع المتغيرات العشوائية ومتغيراتها ، من الضروري دراسة جميع ميزات هذا المجال المعرفي. هناك العديد أساليب مختلفةللعثور على القيم قيد النظر ، بما في ذلك التغيير المتغير وتوليد عزم الدوران. التوزيع هو مفهوم يعتمد على عناصر مثل التشتت والاختلافات. ومع ذلك ، فإنها تميز فقط درجة نطاق التشتت.

الوظائف الأكثر أهمية للمتغيرات العشوائية هي تلك المرتبطة والمستقلة ، والموزعة بالتساوي. على سبيل المثال ، إذا كان X1 هو وزن فرد تم اختياره عشوائيًا من مجموعة من الذكور ، و X2 هو وزن شخص آخر ، ... ، و Xn هو وزن شخص آخر من مجموعة من الذكور ، فنحن بحاجة لمعرفة كيف وظيفة عشوائيةيتم توزيع X. في هذه الحالة ، تنطبق النظرية الكلاسيكية المسماة نظرية الحد المركزي. يسمح لنا بإظهار أنه بالنسبة للكبير n ، فإن الوظيفة تتبع التوزيعات القياسية.

وظائف متغير عشوائي واحد

تم تصميم نظرية الحد المركزي لتقريب القيم المنفصلة المعنية ، مثل ذات الحدين وبواسون. يتم النظر في وظائف التوزيع للمتغيرات العشوائية ، أولاً وقبل كل شيء ، على قيم بسيطة لمتغير واحد. على سبيل المثال ، إذا كانت X عبارة عن متغير عشوائي مستمر له توزيع احتمالي خاص به. في هذه الحالة ، نستكشف كيفية العثور على دالة كثافة Y باستخدام طريقتين مختلفتين ، وهما طريقة دالة التوزيع والتغيير في المتغير. أولاً ، يتم أخذ القيم الفردية فقط في الاعتبار. ثم تحتاج إلى تعديل أسلوب تغيير المتغير لإيجاد احتماله. أخيرًا ، يحتاج المرء إلى معرفة كيف يمكن أن يساعد التوزيع التراكمي في النموذج أرقام عشوائية، والتي تتبع أنماطًا متسلسلة معينة.

طريقة توزيع القيم المدروسة

طريقة دالة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي قابلة للتطبيق من أجل إيجاد كثافته. عند استخدام هذه الطريقة ، يتم حساب القيمة التراكمية. بعد ذلك ، من خلال تمييزها ، يمكنك الحصول على كثافة الاحتمال. الآن بعد أن أصبح لدينا طريقة دالة التوزيع ، يمكننا إلقاء نظرة على بعض الأمثلة الأخرى. لنفترض أن X متغير عشوائي مستمر بكثافة احتمالية معينة.

ما هي دالة الكثافة الاحتمالية لـ x2؟ إذا نظرت إلى الوظيفة أو رسمتها (أعلى ويمين) y \ u003d x2 ، يمكنك ملاحظة أنها زيادة X و 0

في المثال الأخير ، تم استخدام عناية كبيرة لفهرسة الوظائف التراكمية وكثافة الاحتمال إما مع X أو Y للإشارة إلى المتغير العشوائي الذي ينتمون إليه. على سبيل المثال ، عند إيجاد دالة التوزيع التراكمي Y ، حصلنا على X. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد متغير عشوائي X وكثافته ، فكل ما عليك فعله هو اشتقاقه.

تقنية المتغيرات المتغيرة

لنفترض أن X متغير عشوائي مستمر تعطى بواسطة دالة توزيع ذات مقام مشترك f (x). في هذه الحالة ، إذا وضعت قيمة y في X = v (Y) ، فستحصل على قيمة x ، على سبيل المثال v (y). الآن ، نحتاج إلى الحصول على دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر Y. حيث تحدث المساواة الأولى والثانية من تعريف Y التراكمي.تثبت المساواة الثالثة لأن جزء الوظيفة الذي من أجله u (X) ≤ y هو صحيح أيضًا أن X ≤ v (Y). ويتم إجراء الأخير لتحديد الاحتمال في المتغير العشوائي المستمر X. والآن نحتاج إلى أخذ مشتق FY (y) ، دالة التوزيع التراكمي لـ Y ، للحصول على كثافة الاحتمال Y.

التعميم لوظيفة التخفيض

لنفترض أن X متغير عشوائي مستمر مع تعريف f (x) المشترك على c1

لمعالجة هذه المشكلة ، يمكن جمع البيانات الكمية واستخدام دالة التوزيع التراكمي التجريبية. باستخدام هذه المعلومات وجاذبيتها ، تحتاج إلى الجمع بين عينات الوسائل والانحرافات المعيارية وبيانات الوسائط وما إلى ذلك.

وبالمثل ، حتى النموذج الاحتمالي البسيط إلى حد ما يمكن أن يكون له عدد كبير من النتائج. على سبيل المثال ، إذا قمت بقلب عملة معدنية 332 مرة. ثم يكون عدد النتائج التي تم الحصول عليها من التقلبات أكبر من عدد google (10100) - وهو رقم ، ولكن ليس أقل من 100 كوينتيليون مرة أعلى من الجسيمات الأولية في الكون المعروف. غير مهتم بتحليل يعطي إجابة لكل نتيجة محتملة. ستكون هناك حاجة إلى مفهوم أبسط ، مثل عدد الرؤوس ، أو أطول ضربة للذيول. للتركيز على القضايا ذات الاهتمام ، يتم قبول نتيجة محددة. التعريف في هذه الحالة هو كما يلي: المتغير العشوائي هو وظيفة حقيقية مع مساحة احتمالية.

يُطلق أحيانًا على النطاق S للمتغير العشوائي مساحة الحالة. وبالتالي ، إذا كانت X هي القيمة المعنية ، إذن N = X2 و exp X و X2 + 1 و tan2 X و bXc وما إلى ذلك. آخرها ، تقريب X لأقرب رقم صحيح ، تسمى دالة الأرضية.

وظائف التوزيع

بمجرد تحديد دالة التوزيع ذات الأهمية لمتغير عشوائي x ، يصبح السؤال عادةً: "ما هي فرص أن يقع X في مجموعة فرعية من B؟" على سبيل المثال ، B = (أرقام فردية) ، B = (أكبر من 1) ، أو B = (بين 2 و 7) للإشارة إلى تلك النتائج التي تحتوي على X ، قيمة المتغير العشوائي ، في المجموعة الفرعية A. لذلك في ما سبق على سبيل المثال ، يمكنك وصف الأحداث على النحو التالي.

(X هو رقم فردي) ، (X أكبر من 1) = (X> 1) ، (X بين 2 و 7) = (2

المتغيرات العشوائية ووظائف التوزيع

وبالتالي ، من الممكن حساب احتمال أن تأخذ دالة التوزيع لمتغير عشوائي x قيمًا في الفاصل الزمني عن طريق الطرح. يجب النظر في تضمين أو استبعاد نقاط النهاية.

سوف نسمي متغير عشوائي منفصل إذا كان يحتوي على مساحة حالة محدودة أو غير محدودة. وبالتالي ، فإن X هو عدد الرؤوس على ثلاث تقلبات مستقلة لعملة منحازة ترتفع مع الاحتمال p. نحتاج إلى إيجاد دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي FX متغير لـ X. لنفترض أن X هو عدد القمم في مجموعة من ثلاث بطاقات. ثم Y = X3 عبر FX. يبدأ FX عند 0 وينتهي عند 1 ولا ينقص كلما زادت قيم x. دالة توزيع FX التراكمية لمتغير عشوائي X متغير ثابت ، باستثناء القفزات. عند القفز على FX مستمر. من الممكن إثبات العبارة المتعلقة بالاستمرارية الصحيحة لوظيفة التوزيع من خاصية الاحتمالية باستخدام التعريف. يبدو الأمر كما يلي: المتغير العشوائي الثابت لديه FX تراكمي قابل للتفاضل.

لتوضيح كيف يمكن أن يحدث هذا ، يمكننا إعطاء مثال: هدف بنصف قطر وحدة. محتمل. يتم توزيع السهام بالتساوي على المنطقة المحددة. بالنسبة للبعض λ> 0. وهكذا ، تزداد وظائف التوزيع للمتغيرات العشوائية المستمرة بسلاسة. FX لها خصائص دالة التوزيع.

رجل ينتظر في محطة للحافلات حتى وصول الحافلة. بعد أن قرر بنفسه أنه سيرفض عندما يصل الانتظار إلى 20 دقيقة. من الضروري هنا العثور على دالة التوزيع التراكمي لـ T. الوقت الذي سيظل فيه الشخص في محطة الحافلات أو لن يغادر. على الرغم من حقيقة أن دالة التوزيع التراكمي محددة لكل متغير عشوائي. على الرغم من ذلك ، سيتم استخدام خصائص أخرى في كثير من الأحيان: كتلة المتغير المنفصل ودالة كثافة التوزيع لمتغير عشوائي. عادة ما تكون القيمة ناتجة من خلال إحدى هاتين القيمتين.

وظائف مجمعة

يتم النظر في هذه القيم من خلال الخصائص التالية ، والتي لها طبيعة عامة (جماعية). الأول يعتمد على حقيقة أن الاحتمالات ليست سالبة. يتبع الثاني من الملاحظة أن المجموعة لكل x = 2S ، مساحة الحالة لـ X ، تشكل قسمًا للحرية الاحتمالية لـ X. مثال: تقلبات عملة متحيزة تكون نتائجها مستقلة. يمكنك الاستمرار في أداء بعض الإجراءات حتى تحصل على رمية الرأس. دع X تشير إلى متغير عشوائي يعطي عدد ذيول أمام الرأس الأول. وتشير p إلى الاحتمال في أي إجراء معين.

لذا ، فإن دالة احتمالية الكتلة لها السمات المميزة التالية. لأن المصطلحات تشكل متوالية رقمية ، فإن X تسمى متغير هندسي عشوائي. مخطط هندسي c ، cr ، cr2 ،. ، crn لديها مبلغ. وبالتالي ، فإن sn لها حد مثل n 1. في هذه الحالة ، يكون المجموع اللانهائي هو النهاية.

تشكل دالة الكتلة أعلاه تسلسلًا هندسيًا بنسبة. لذلك ، الأعداد الطبيعية أ وب. الفرق في القيم في دالة التوزيع يساوي قيمة دالة الكتلة.

قيم الكثافة قيد النظر لها التعريف التالي: X هو متغير عشوائي له توزيع FX له مشتق. FX المرضية Z xFX (x) = fX (t) dt-1 تسمى دالة كثافة الاحتمال. و X يسمى متغير عشوائي مستمر. في النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، فإن دالة الكثافة هي مشتق من التوزيع. يمكنك حساب الاحتمالات عن طريق حساب التكاملات المحددة.

نظرًا لأنه يتم جمع البيانات من عدة ملاحظات ، يجب مراعاة أكثر من متغير عشوائي واحد في كل مرة من أجل نمذجة الإجراءات التجريبية. لذلك ، فإن مجموعة هذه القيم وتوزيعها المشترك للمتغيرين X1 و X2 تعني عرض الأحداث. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة ، يتم تحديد وظائف الكتلة الاحتمالية المشتركة. بالنسبة للأشكال المستمرة ، يتم أخذ fX1 ، X2 في الاعتبار ، حيث يتم استيفاء كثافة الاحتمالية المشتركة.

المتغيرات العشوائية المستقلة

متغيرين عشوائيين X1 و X2 مستقلان إذا كان هناك حدثان مرتبطان بهما متماثلان. بالكلمات ، فإن احتمال وقوع حدثين (X1 2 B1) و (X2 2 B2) في نفس الوقت ، y ، يساوي حاصل ضرب المتغيرات أعلاه ، أن كل منهما يحدث على حدة. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة المستقلة ، توجد دالة كتلة احتمالية مشتركة ، وهي نتاج حجم الأيونات المحدد. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستمرة المستقلة ، فإن دالة كثافة الاحتمال المشتركة هي نتاج قيم الكثافة الهامشية. أخيرًا ، يتم اعتبار n ملاحظات مستقلة x1 ، x2. ، xn الناشئة عن كثافة غير معروفة أو دالة كتلة f. على سبيل المثال ، معلمة غير معروفة في وظائف متغير عشوائي أسي يصف وقت انتظار الحافلة.

محاكاة المتغيرات العشوائية

الهدف الرئيسي من هذا المجال النظري هو توفير الأدوات اللازمة لتطوير الإجراءات الاستنتاجية على أساس المبادئ السليمة للعلوم الإحصائية. وبالتالي ، فإن إحدى حالات الاستخدام المهمة جدًا للبرنامج هي القدرة على إنشاء بيانات زائفة لتقليد المعلومات الفعلية. هذا يجعل من الممكن اختبار وتحسين طرق التحليل قبل الاضطرار إلى استخدامها في قواعد البيانات الحقيقية. هذا مطلوب لاستكشاف خصائص البيانات من خلال النمذجة. بالنسبة للعديد من عائلات المتغيرات العشوائية شائعة الاستخدام ، يوفر R أوامر لتوليدها. بالنسبة للظروف الأخرى ، ستكون هناك حاجة إلى طرق لنمذجة سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة التي لها توزيع مشترك.

المتغيرات العشوائية المنفصلة وأمر العينة. يتم استخدام أمر العينة لإنشاء عينات عشوائية بسيطة وطبقية. نتيجة لذلك ، إذا تم إدخال تسلسل x ، فإن العينة (x ، 40) تختار 40 سجلًا من x بحيث يكون لجميع اختيارات الحجم 40 نفس الاحتمال. يستخدم هذا الأمر R الافتراضي للجلب بدون استبدال. يمكن استخدامها أيضًا لنمذجة المتغيرات العشوائية المنفصلة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى توفير مساحة حالة في المتجه x ودالة الكتلة f. تشير استدعاء الاستبدال = TRUE إلى أن أخذ العينات يحدث مع الاستبدال. بعد ذلك ، لإعطاء عينة من n متغيرات عشوائية مستقلة لها دالة كتلة مشتركة f ، يتم استخدام العينة (x ، n ، استبدال = TRUE ، prob = f).

تم تحديد أن 1 هي أصغر قيمة ممثلة ، و 4 هي أكبر قيمة على الإطلاق. إذا تم حذف الأمر prob = f ، فستقوم العينة بأخذ عينات بشكل موحد من القيم الموجودة في المتجه x. يمكنك التحقق من المحاكاة مقابل دالة الكتلة التي أنشأت البيانات من خلال النظر إلى علامة المساواة المزدوجة ==. وإعادة حساب الملاحظات التي تأخذ كل قيمة ممكنة لـ x. يمكنك صنع طاولة. كرر هذا لـ 1000 وقارن المحاكاة بوظيفة الكتلة المقابلة.

توضيح التحول الاحتمالي

أولاً ، قم بمحاكاة وظائف التوزيع المتجانسة للمتغيرات العشوائية u1 ، u2 ،. ، الأمم المتحدة في الفترة الفاصلة. يجب أن يكون حوالي 10٪ من الأرقام ضمن. هذا يتوافق مع 10٪ من عمليات المحاكاة على الفاصل الزمني لمتغير عشوائي مع عرض دالة توزيع FX. وبالمثل ، يجب أن يكون حوالي 10٪ من الأرقام العشوائية في الفترة الزمنية. هذا يتوافق مع 10٪ من عمليات المحاكاة على الفاصل الزمني المتغير العشوائي مع دالة التوزيع FX. يمكن الحصول على هذه القيم على المحور x بأخذ المعكوس من FX. إذا كان X متغيرًا عشوائيًا مستمرًا مع كثافة fX موجبة في كل مكان في مجاله ، فإن دالة التوزيع تتزايد بشكل صارم. في هذه الحالة ، لدى FX دالة FX-1 معكوسة تُعرف باسم دالة الكم. FX (x) u فقط عندما x FX-1 (u). يتبع التحول الاحتمالي من تحليل المتغير العشوائي U = FX (X).

FX لها نطاق من 0 إلى 1. لا يمكن أن تأخذ قيمًا أقل من 0 أو أعلى 1. لقيم u بين 0 و 1. إذا كان من الممكن نمذجة U ، فمن الضروري محاكاة متغير عشوائي مع توزيع FX عبر دالة كميّة. خذ المشتق لترى أن الكثافة u تختلف في حدود 1. نظرًا لأن المتغير العشوائي U له كثافة ثابتة على مدى الفاصل الزمني لقيمه المحتملة ، فإنه يسمى منتظم على الفترة. تم تصميمه في R باستخدام الأمر runif. تسمى الهوية تحولًا احتماليًا. يمكنك أن ترى كيف يعمل في مثال لوحة النبال. X بين 0 و 1 ، دالة التوزيع u = FX (x) = x2 ، ومن ثم الدالة الكمية x = FX-1 (u). من الممكن نمذجة ملاحظات مستقلة للمسافة من مركز لوحة السهام ، مع توليد متغيرات عشوائية موحدة U1 ، U2 ،. ، الأمم المتحدة. تعتمد وظيفة التوزيع والوظيفة التجريبية على 100 محاكاة لتوزيع لوحة السهام. بالنسبة للمتغير العشوائي الأسي ، يفترض أن u = FX (x) = 1 - exp (- x) ، وبالتالي x = - 1 ln (1 - u). يتكون المنطق أحيانًا من عبارات مكافئة. في هذه الحالة ، تحتاج إلى ربط جزأي الوسيطة. تتشابه هوية التقاطع مع جميع 2 (S i) S ، بدلاً من بعض القيم. الاتحاد Ci يساوي مساحة الولاية S وكل زوج متنافي. منذ بي - ينقسم إلى ثلاث بديهيات. يعتمد كل فحص على الاحتمال المقابل P. لأي مجموعة فرعية. استخدام هوية للتأكد من أن الإجابة لا تعتمد على ما إذا كانت نقاط نهاية الفاصل الزمني متضمنة أم لا.

الدالة الأسية ومتغيراتها

لكل نتيجة في جميع الأحداث ، يتم استخدام الخاصية الثانية لاستمرارية الاحتمالات في النهاية ، والتي تعتبر بديهية. يوضح قانون توزيع دالة المتغير العشوائي هنا أن لكل متغير حله وإجابته.

الموضوع رقم 11

في الممارسة العملية ، عادة ما تستخدم دالة التوزيع لتحديد المتغيرات العشوائية لشكل عام.

احتمالية المتغير العشوائي Xسيأخذ قيمة معينة × 0 ، معبرًا عنها من خلال دالة التوزيع وفقًا للصيغة

ص (X = × 0) \ u003d F (× 0 +0) - F (× 0).(3)

على وجه الخصوص ، إذا كانت الوظيفة F (x) عند النقطة x = x 0 متصلة ، إذن

ص (X = × 0) \ u003d 0.

قيمة عشوائية Xمع التوزيع ص (أ)يسمى منفصل إذا كان هناك مجموعة منتهية أو قابلة للعد W على الخط الحقيقي مثل ذلك ص(ث ،) = 1.

دع W = ( × 1 ، × 2 ، ...)و بي= ص({س ط}) = ص(x = س ط), أنا= 1،2 ، .... ثم لأي مجموعة بوريل لكناحتمالا ص (أ)بشكل فريد من خلال الصيغة

وضع هذه الصيغة أ = (س ط / س ط< x}, x Î R ، نحصل على صيغة دالة التوزيع و (س)المتغير العشوائي المنفصل X:

و (س) = ص(x < x) =. (5)

رسم بياني وظيفي و (س)هو خط متدرج. وظيفة سباق الخيل و (س)في نقاط س \ u003d × 1 ، × 2 ... (× 1 يساوي الاحتمالات المقابلة ص 1 ، ص 2 ، ....

مثال 1. أوجد دالة التوزيع

المتغير العشوائي المنفصل x من المثال 1 § 13.

باستخدام دالة التوزيع ، احسب

احتمالات الحدث: x< 3, 1 £ x < 4, 1 £ x £ 3.

و (س)
0 × 1 × 2 × 3 × 4 X
المحلول. باستخدام البيانات من الجدول ،

تم الحصول عليها في الفقرة 13 والصيغة (5) ، نحصل عليها

وظيفة التوزيع:

بالصيغة (1) Р (x< 3) = F(3) = 0,1808; по формуле (2)

ص (1 جنيه إسترليني x< 4) = F (4) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888;

ص (1 جنيه إسترليني × 3 جنيه إسترليني) = ص (1 جنيه إسترليني ×<3) + p(x = 3) = F(3) – F(1) + F(3+0) – F(3) =

و (3 + 0) - ف (1) = 0.5904 - 0.0016 = 0.5888.

مثال 2. إعطاء دالة

هل الدالة F (x) دالة توزيع لمتغير عشوائي؟ إذا كانت الإجابة بنعم ، ابحث عن ملفات . ارسم الدالة F (x).

المحلول. لكي تكون الوظيفة المحددة مسبقًا F (x) دالة توزيع لبعض المتغيرات العشوائية x ، من الضروري والكافي استيفاء الشروط التالية (الخصائص المميزة لوظيفة التوزيع):

1. F (x) هي دالة غير متناقصة.

3. لأي x О R F ( x- 0) = F ( x).

لوظيفة معينة F (x) ، التنفيذ

هذه الشروط واضحة. وسائل،

F (x) هي دالة التوزيع.

احتمالا احسب من خلال

الصيغة (2):

الرسم البياني للدالة F ( x) في الشكل 13.

مثال 3. دع F 1 ( x) و F 2 ( x) هي وظائف توزيع المتغيرات العشوائية X 1 و X 2 على التوالي ، أ 1 و أ 2 هي أرقام غير سالبة مجموعها 1.

يثبت أن F ( x) = أ 1 F 1 ( x) + أ 2 F 2 ( x) هي دالة التوزيع لبعض المتغيرات العشوائية X.



المحلول. 1) منذ F 1 ( x) و F 2 ( x) وظائف غير متناقصة و أ 1 ³ 0 ، أ 2 ³ 0 ، إذن أ 1 F 1 ( x) و أ 2 F 2 ( x) غير متناقصة ، ومن ثم مجموعها F ( x) أيضًا غير متناقص.

3) لأي x О R F ( x - 0) = أ 1 F 1 ( x - 0) + أ 2 F 2 ( x - 0)= أ 1 F 1 ( x) + أ 2 F 2 ( x) = F ( x).

مثال 4. إعطاء وظيفة

هل F (x) دالة توزيع لمتغير عشوائي؟

المحلول. من السهل ملاحظة أن F (1) = 0.2> 0.11 = F (1.1). لذلك ، F ( x) ليست غير متناقصة ، مما يعني أنها ليست دالة توزيع لمتغير عشوائي. لاحظ أن الخواص الأخرى صالحة لهذه الوظيفة.

مهمة المراقبة رقم 11

1. متغير عشوائي منفصل X

x) وباستخدامه ، أوجد احتمالات الأحداث: أ) –2 جنيه إسترليني X < 1; б) ½X£ ½ 2. ارسم دالة التوزيع.

3. المتغير العشوائي المنفصل Xمن خلال جدول التوزيع:

س ط
بي 0,05 0,2 0,3 0,35 0,1

أوجد دالة التوزيع F ( x) وابحث عن احتمالات الأحداث التالية: أ) x < 2; б) 1 £ X < 4; в) 1 £ X 4 جنيهات استرلينية د) 1< x 4 جنيهات استرلينية ه) X = 2,5.

4. أوجد دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصل X، يساوي عدد النقاط التي تم إسقاطها برمية واحدة من النرد. أوجد احتمال التدحرج على الأقل 5 باستخدام دالة التوزيع.

5. يتم إجراء اختبارات متتابعة لـ 5 أجهزة من أجل الموثوقية. يتم اختبار كل جهاز لاحق فقط إذا تبين أن الجهاز السابق موثوق به. قم بعمل جدول توزيع وابحث عن دالة التوزيع لعدد عشوائي من اختبارات الجهاز إذا كان احتمال اجتياز الاختبار لكل جهاز هو 0.9.

6. دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصل معطاة X:

أ) أوجد احتمال وقوع الحدث £ 1 X 3 جنيهات إسترلينية.

ب) أوجد جدول توزيع المتغير العشوائي X.

7. دالة التوزيع لمتغير عشوائي متقطع معطاة X:

قم بعمل جدول توزيع لهذا المتغير العشوائي.

8. رمي عملة معدنية نذات مرة. قم بعمل جدول توزيع وابحث عن دالة التوزيع لعدد مرات ظهور شعار النبالة. ارسم دالة التوزيع لـ ن = 5.

9. يتم رمي عملة معدنية حتى سقوط شعار النبالة. قم بعمل جدول توزيع وابحث عن دالة التوزيع لعدد تكرارات الرقم.

10. يطلق القناص النار على الهدف حتى الضربة الأولى. احتمال الخطأ من تسديدة واحدة يساوي ص. أوجد دالة التوزيع لعدد الأخطاء.

قيم عشوائية

مثال 2.1.قيمة عشوائية Xمن خلال دالة التوزيع

أوجد احتمالية ذلك كنتيجة للاختبار Xسيأخذ القيم بين (2.5 ؛ 3.6).

المحلول: Xفي الفاصل الزمني (2.5 ؛ 3.6) يمكن تحديده بطريقتين:

مثال 2.2.ما قيم المعلمات لكنو فيوظيفة F(x) = أ + كن - سيمكن أن تكون دالة توزيع للقيم غير السالبة لمتغير عشوائي X.

المحلول:منذ كل القيم الممكنة للمتغير العشوائي Xتنتمي إلى الفاصل الزمني ، ثم لكي تكون الوظيفة دالة توزيع لـ X، يجب أن يحتوي العقار على:

.

إجابه: .

مثال 2.3.يتم إعطاء المتغير العشوائي X بواسطة دالة التوزيع

أوجد احتمالية أن القيمة ، كنتيجة لأربع تجارب مستقلة Xبالضبط 3 مرات سوف تأخذ قيمة تنتمي إلى الفترة الزمنية (0.25 ؛ 0.75).

المحلول:احتمالية الوصول إلى قيمة Xفي الفترة الزمنية (0.25 ؛ 0.75) نجدها بالصيغة:

مثال 2.4.احتمال اصطدام الكرة بالسلة في رمية واحدة هو 0.3. ضع قانون توزيع عدد الضربات في ثلاث رميات.

المحلول:قيمة عشوائية X- عدد الضربات في السلة بثلاث رميات - يمكن أن تأخذ القيم: 0 ، 1 ، 2 ، 3. الاحتمالات التي X

X:

مثال 2.5.يقوم اثنان من الرماة بإطلاق طلقة واحدة على الهدف. احتمال ضربه من قبل مطلق النار الأول هو 0.5 ، والثاني - 0.4. اكتب قانون توزيع عدد الضربات على الهدف.

المحلول:أوجد قانون توزيع متغير عشوائي منفصل X- عدد الضربات على الهدف. اجعل الحدث يصيب الهدف من قبل مطلق النار الأول ، و- يصيبه مطلق النار الثاني ، و- على التوالي ، أخطائهم.



دعونا نؤلف قانون التوزيع الاحتمالي لـ SV X:

مثال 2.6.يتم اختبار 3 عناصر تعمل بشكل مستقل عن بعضها البعض. فترات الوقت (بالساعات) من التشغيل الخالي من العطل للعناصر لها وظائف كثافة التوزيع: للأول: F 1 (ر) =1-هـ- 0,1 ر، للمرة الثانية: F 2 (ر) = 1-هـ- 0,2 ر، للثالث: F 3 (ر) =1-هـ- 0,3 ر. أوجد احتمال أنه في الفترة الزمنية من 0 إلى 5 ساعات: سيفشل عنصر واحد فقط ؛ فقط عنصران سيفشلان ؛ كل العناصر الثلاثة تفشل.

المحلول:دعنا نستخدم تعريف دالة توليد الاحتمالات:

احتمال أنه في تجارب مستقلة ، في أولها احتمال وقوع حدث لكنيساوي ، في الثانية ، وما إلى ذلك ، الحدث لكنيظهر مرة واحدة بالضبط ، يساوي المعامل عند توسيع دالة التوليد في قوى. لنجد احتمالية الفشل وعدم الفشل ، على التوالي ، للعنصر الأول والثاني والثالث في الفترة الزمنية من 0 إلى 5 ساعات:

لنقم بإنشاء وظيفة توليد:

المعامل عند يساوي احتمال وقوع الحدث لكنسيظهر ثلاث مرات بالضبط ، أي احتمال فشل العناصر الثلاثة ؛ المعامل عند يساوي احتمال فشل عنصرين بالضبط ؛ المعامل عند يساوي احتمال فشل عنصر واحد فقط.

مثال 2.7.نظرا لكثافة الاحتمال F(x) متغير عشوائي X:

أوجد دالة التوزيع F (x).

المحلول:نستخدم الصيغة:

.

وبالتالي ، فإن دالة التوزيع لها الشكل:

المثال 2.8.يتكون الجهاز من ثلاثة عناصر تعمل بشكل مستقل. احتمال فشل كل عنصر في تجربة واحدة هو 0.1. قم بتجميع قانون توزيع عدد العناصر الفاشلة في تجربة واحدة.

المحلول:قيمة عشوائية X- عدد العناصر التي فشلت في تجربة واحدة - يمكن أن تأخذ القيم: 0 ، 1 ، 2 ، 3. الاحتمالات Xيأخذ هذه القيم ، نجدها من خلال صيغة برنولي:

وبالتالي ، نحصل على القانون التالي للتوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي X:

المثال 2.9.هناك 4 أجزاء قياسية في الكثير من 6 أجزاء. تم اختيار 3 عناصر بشكل عشوائي. ضع قانون توزيع عدد الأجزاء المعيارية على الأجزاء المختارة.

المحلول:قيمة عشوائية X- عدد الأجزاء القياسية بين الأجزاء المختارة - يمكن أن تأخذ القيم: 1 ، 2 ، 3 ولها توزيع فوق هندسي. الاحتمالات التي X

أين -- عدد الأجزاء في الدفعة ؛

-- عدد الأجزاء القياسية في الدفعة ؛

– عدد الأجزاء المختارة

-- عدد الأجزاء القياسية من بين تلك المختارة.

.

.

.

المثال 2.10.المتغير العشوائي له كثافة توزيع

أين و غير معروفين ، لكن أ و. اعثر و .

المحلول:في هذه الحالة ، المتغير العشوائي Xله توزيع مثلثي (توزيع سيمبسون) على الفاصل الزمني [ أ ، ب]. الخصائص العددية X:

بالتالي، . لحل هذا النظام ، نحصل على زوجين من القيم:. منذ ذلك الحين ، وفقًا لحالة المشكلة ، لدينا أخيرًا: .

إجابه: .

المثال 2.11.في المتوسط ​​، بالنسبة لـ 10٪ من العقود ، تدفع شركة التأمين المبالغ المؤمن عليها فيما يتعلق بوقوع حدث مؤمن عليه. احسب التوقع الرياضي والتباين في عدد هذه العقود بين أربعة عقود تم اختيارها عشوائيًا.

المحلول:يمكن العثور على التوقع والتباين الرياضي باستخدام الصيغ:

.

القيم المحتملة لـ SV (عدد العقود (من أصل أربعة) مع وقوع حدث مؤمن عليه): 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4.

نستخدم معادلة برنولي لحساب احتمالات عدد مختلف من العقود (من أصل أربعة) التي تم دفع المبالغ المؤمن عليها من أجلها:

.

سلسلة توزيع السيرة الذاتية (عدد العقود مع وقوع حدث مؤمن عليه) لها الشكل:

0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001

إجابه: ، .

المثال 2.12.من الورود الخمسة ، اثنان من الورود البيضاء. اكتب قانون توزيع لمتغير عشوائي معبرًا عن عدد الورود البيضاء بين وردين مأخوذين في نفس الوقت.

المحلول:في عينة من وردين ، قد لا يكون هناك وردة بيضاء ، أو قد يكون هناك وردة بيضاء واحدة أو اثنتين. لذلك ، المتغير العشوائي Xيمكن أن تأخذ القيم: 0 ، 1 ، 2. الاحتمالات أن Xيأخذ هذه القيم ، نجدها من خلال الصيغة:

أين -- عدد الورود

-- عدد الورود البيضاء

– عدد الورود المأخوذة في وقت واحد ؛

-- عدد الورود البيضاء بين تلك المأخوذة.

.

.

.

ثم يكون قانون توزيع المتغير العشوائي على النحو التالي:

المثال 2.13.من بين 15 وحدة مجمعة ، هناك 6 وحدات تحتاج إلى تزييت إضافي. ضع قانون توزيع عدد الوحدات التي تحتاج إلى تزييت إضافي ، من بين خمس وحدات تم اختيارها عشوائيًا من العدد الإجمالي.

المحلول:قيمة عشوائية X- عدد الوحدات التي تحتاج إلى تشحيم إضافي بين الوحدات الخمس المحددة - يمكن أن تأخذ القيم: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ولها توزيع فوق هندسي. الاحتمالات التي Xيأخذ هذه القيم ، نجدها من خلال الصيغة:

أين -- عدد الوحدات المجمعة

-- عدد الوحدات التي تتطلب تشحيمًا إضافيًا ؛

– عدد الركام المختار ؛

-- عدد الوحدات التي تحتاج إلى تشحيم إضافي بين الوحدات المختارة.

.

.

.

.

.

.

ثم يكون قانون توزيع المتغير العشوائي على النحو التالي:

المثال 2.14.من بين الساعات العشر التي تم استلامها للإصلاح ، تحتاج 7 ساعات إلى تنظيف عام للآلية. لا يتم فرز الساعات حسب نوع الإصلاح. السيد ، الذي يريد العثور على ساعة تحتاج إلى التنظيف ، يفحصها واحدة تلو الأخرى ، وبعد أن وجد مثل هذه الساعة ، يتوقف عن المشاهدة. أوجد التوقع الرياضي والتباين في عدد ساعات المشاهدة.

المحلول:قيمة عشوائية X- عدد الوحدات التي تحتاج إلى تشحيم إضافي من بين الخمس المحددة - يمكن أن تأخذ القيم التالية: 1 ، 2 ، 3 ، 4. الاحتمالات التي Xيأخذ هذه القيم ، نجدها من خلال الصيغة:

.

.

.

.

ثم يكون قانون توزيع المتغير العشوائي على النحو التالي:

الآن دعنا نحسب الخصائص العددية للكمية:

إجابه: ، .

المثال 2.15.لقد نسي المشترك الرقم الأخير من رقم الهاتف الذي يحتاجه ، لكنه يتذكر أنه رقم فردي. ابحث عن التوقع الرياضي والتباين في عدد الأوجه التي أجراها قبل أن يصل إلى الرقم المطلوب ، إذا اتصل بالرقم الأخير عشوائيًا ولم يتصل بالرقم المطلوب في المستقبل.

المحلول:يمكن أن يأخذ المتغير العشوائي قيمًا:. نظرًا لأن المشترك لا يطلب الرقم المطلوب في المستقبل ، فإن احتمالات هذه القيم متساوية.

لنؤلف سلسلة توزيع لمتغير عشوائي:

0,2

دعنا نحسب التوقع الرياضي والتباين في عدد محاولات الاتصال:

إجابه: ، .

مثال 2.16.يساوي احتمال الفشل أثناء اختبارات الموثوقية لكل جهاز من أجهزة السلسلة ص. حدد التوقع الرياضي لعدد الأجهزة التي فشلت ، إذا تم اختبارها نالأجهزة.

المحلول:المتغير العشوائي المنفصل X هو عدد الأجهزة الفاشلة في ناختبارات مستقلة ، يتساوى فيها احتمال الفشل صوزعت وفق قانون الحدين. التوقع الرياضي للتوزيع ذي الحدين يساوي ناتج عدد المحاولات واحتمال وقوع حدث في تجربة واحدة:

المثال 2.17.المتغير العشوائي المنفصل Xيأخذ 3 قيم ممكنة: مع الاحتمال ؛ مع الاحتمال والاحتمال. اكتشف ومعرفة أن M ( X) = 8.

المحلول:نستخدم تعريفات التوقع الرياضي وقانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل:

نجد: .

المثال 2.18.يقوم قسم التحكم الفني بفحص المنتجات للتأكد من المواصفات القياسية. احتمال أن يكون العنصر معياريًا هو 0.9. كل دفعة تحتوي على 5 عناصر. أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي X- عدد الدُفعات ، كل منها يحتوي بالضبط على 4 منتجات قياسية ، إذا كانت 50 دفعة خاضعة للتحقق.

المحلول:في هذه الحالة ، تكون جميع التجارب التي تم إجراؤها مستقلة ، والاحتمالات التي تحتوي على كل دفعة تحتوي بالضبط على 4 منتجات قياسية هي نفسها ، لذلك ، يمكن تحديد التوقع الرياضي من خلال الصيغة:

,

أين هو عدد الأحزاب؟

احتمال احتواء الدُفعة على 4 عناصر قياسية بالضبط.

نجد الاحتمال باستخدام صيغة برنولي:

إجابه: .

المثال 2.19.أوجد تباين متغير عشوائي X- عدد تكرارات الحدث أفي تجربتين مستقلتين ، إذا كانت احتمالات حدوث حدث في هذه التجارب هي نفسها ومن المعروف أن م(X) = 0,9.

المحلول:يمكن حل المشكلة بطريقتين.

1) قيم CB الممكنة X: 0 ، 1 ، 2. باستخدام صيغة برنولي ، نحدد احتمالات هذه الأحداث:

, , .

ثم قانون التوزيع Xيشبه:

من تعريف التوقع الرياضي ، نحدد الاحتمال:

لنجد تباين SW X:

.

2) يمكنك استخدام الصيغة:

.

إجابه: .

مثال 2.20.التوقع الرياضي والانحراف المعياري لمتغير عشوائي يتم توزيعه بشكل طبيعي Xهي 20 و 5 على التوالي. أوجد الاحتمال نتيجة الاختبار Xسوف تأخذ القيمة الواردة في الفترة الزمنية (15 ؛ 25).

المحلول:احتمالية الوصول إلى متغير عشوائي عادي Xفي القسم من إلى من حيث وظيفة لابلاس:

المثال 2.21.إعطاء وظيفة:

ما قيمة المعلمة جهذه الوظيفة هي كثافة التوزيع لبعض المتغيرات العشوائية المستمرة X؟ أوجد التوقع الرياضي والتباين لمتغير عشوائي X.

المحلول:لكي تكون الوظيفة هي كثافة التوزيع لبعض المتغيرات العشوائية ، يجب أن تكون غير سالبة ، ويجب أن تفي بالخاصية:

.

بالتالي:

احسب التوقع الرياضي باستخدام الصيغة:

.

احسب التباين باستخدام الصيغة:

هذا ص. من الضروري إيجاد التوقع الرياضي والتباين لهذا المتغير العشوائي.

المحلول:قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل X - عدد تكرارات حدث في تجارب مستقلة ، يُطلق على كل منها احتمال حدوث حدث ما ، يسمى ذو الحدين. التوقع الرياضي للتوزيع ذي الحدين يساوي ناتج عدد المحاولات واحتمال حدوث الحدث أ في تجربة واحدة:

.

مثال 2.25.تم إطلاق ثلاث طلقات مستقلة على الهدف. احتمال إصابة كل طلقة هو 0.25. أوجد الانحراف المعياري لعدد الضربات بثلاث طلقات.

المحلول:نظرًا لإجراء ثلاث تجارب مستقلة ، واحتمال حدوث الحدث A (النتيجة) في كل تجربة هو نفسه ، سنفترض أن المتغير العشوائي المنفصل X - عدد الزيارات على الهدف - يتم توزيعه وفقًا للحدين قانون.

التباين في التوزيع ذي الحدين يساوي ناتج عدد المحاولات واحتمالات حدوث وعدم حدوث حدث في تجربة واحدة:

مثال 2.26.متوسط ​​عدد العملاء الذين يزورون شركة التأمين في 10 دقائق هو ثلاثة. أوجد احتمال وصول عميل واحد على الأقل خلال الدقائق الخمس التالية.

متوسط ​​عدد العملاء الذين يصلون في 5 دقائق: . .

مثال 2.29.يخضع وقت انتظار التطبيق في قائمة انتظار المعالج لقانون التوزيع الأسي بمتوسط ​​قيمة 20 ثانية. أوجد احتمالية أن الطلب التالي (التعسفي) سينتظر المعالج لأكثر من 35 ثانية.

المحلول:في هذا المثال ، التوقع ، ومعدل الفشل هو.

ثم الاحتمال المطلوب هو:

المثال 2.30.مجموعة مكونة من 15 طالبًا تعقد اجتماعًا في قاعة بها 20 صفًا من 10 مقاعد لكل منها. يجلس كل طالب في القاعة بشكل عشوائي. ما هو احتمال ألا يكون هناك أكثر من ثلاثة أشخاص في المركز السابع على التوالي؟

المحلول:

المثال 2.31.

ثم وفقًا للتعريف الكلاسيكي للاحتمالية:

أين -- عدد الأجزاء في الدفعة ؛

-- عدد الأجزاء غير القياسية في الدفعة ؛

– عدد الأجزاء المختارة

-- عدد الأجزاء غير القياسية بين الأجزاء المختارة.

ثم سيكون قانون توزيع المتغير العشوائي على النحو التالي.

متغير عشوائي هو متغير يمكن أن يأخذ قيمًا معينة اعتمادًا على ظروف مختلفة ، و يسمى المتغير العشوائي المستمر ، إذا كان يمكن أن يأخذ أي قيمة من فاصل زمني محدد أو غير محدود. بالنسبة لمتغير عشوائي مستمر ، من المستحيل تحديد جميع القيم الممكنة ، لذلك يتم الإشارة إلى فترات هذه القيم المرتبطة باحتمالات معينة.

من أمثلة المتغيرات العشوائية المستمرة: قطر الجزء الذي تحول إلى حجم معين ، وارتفاع الشخص ، ومدى المقذوف ، وما إلى ذلك.

منذ المتغيرات العشوائية المستمرة الدالة F(x) ، على عكس المتغيرات العشوائية المنفصلة، ليس له قفزات في أي مكان ، فإن احتمال أي قيمة مفردة لمتغير عشوائي مستمر يساوي صفرًا.

هذا يعني أنه بالنسبة لمتغير عشوائي مستمر ، ليس من المنطقي التحدث عن توزيع الاحتمالات بين قيمه: فلكل منها احتمال صفري. ومع ذلك ، بمعنى ما ، من بين قيم المتغير العشوائي المستمر هناك "احتمال أكثر فأكثر". على سبيل المثال ، من غير المحتمل أن يشك أي شخص في أن قيمة المتغير العشوائي - ارتفاع الشخص الذي تمت مواجهته عشوائيًا - 170 سم - من المرجح أن تزيد عن 220 سم ، على الرغم من إمكانية حدوث قيمة وأخرى في الممارسة العملية.

دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر وكثافة احتمالية

كقانون توزيع ، والذي يكون منطقيًا فقط للمتغيرات العشوائية المستمرة ، يتم تقديم مفهوم كثافة التوزيع أو كثافة الاحتمال. دعنا نتناولها من خلال مقارنة معنى دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر ومتغير عشوائي منفصل.

إذن ، دالة التوزيع لمتغير عشوائي (كلاهما منفصل ومستمر) أو دالة متكاملةتسمى دالة تحدد احتمالية أن تكون قيمة متغير عشوائي Xأقل من أو يساوي الحد من القيمة X.

لمتغير عشوائي منفصل عند نقاط قيمه x1 , x 2 , ..., xأنا ،...كتل مركزة من الاحتمالات ص1 , ص 2 , ..., صأنا ،...، ومجموع كل الكتل يساوي 1. لننقل هذا التفسير إلى حالة المتغير العشوائي المستمر. تخيل أن كتلة تساوي 1 لا تتركز في نقاط منفصلة ، ولكنها "تلطخ" باستمرار على طول المحور السيني ثورمع بعض الكثافة غير المتكافئة. احتمالية إصابة متغير عشوائي في أي موقع Δ xسيتم تفسيره على أنه الكتلة المنسوبة إلى هذا القسم ، ومتوسط ​​الكثافة في هذا القسم - كنسبة الكتلة إلى الطول. لقد قدمنا ​​للتو مفهومًا مهمًا في نظرية الاحتمالات: كثافة التوزيع.

كثافة الاحتمال F(x) من المتغير العشوائي المستمر هو مشتق من دالة التوزيع الخاصة به:

.

بمعرفة دالة الكثافة ، يمكننا إيجاد احتمال أن تنتمي قيمة المتغير العشوائي المستمر إلى الفترة المغلقة [ أ; ب]:

احتمال أن يكون متغير عشوائي مستمر Xسيأخذ أي قيمة من الفاصل الزمني [ أ; ب] ، تساوي تكاملًا معينًا لكثافة احتمالية في النطاق من أقبل ب:

.

في هذه الحالة ، الصيغة العامة للدالة F(x) التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مستمر ، والذي يمكن استخدامه إذا كانت دالة الكثافة معروفة F(x) :

.

يسمى الرسم البياني للكثافة الاحتمالية لمتغير عشوائي مستمر منحنى التوزيع الخاص به (الشكل أدناه).

مساحة الشكل (المظللة في الشكل) ، يحدها منحنى ، وخطوط مستقيمة مرسومة من النقاط أو بعمودي على محور الإحداثية ، والمحور أوهيعرض بيانياً احتمال أن تكون قيمة متغير عشوائي مستمر Xيقع في نطاق أقبل ب.

خصائص دالة الكثافة الاحتمالية لمتغير عشوائي مستمر

1. احتمالية أن يأخذ المتغير العشوائي أي قيمة من الفاصل الزمني (ومساحة الشكل المحدد بالرسم البياني للوظيفة F(x) والمحور أوه) يساوي واحدًا:

2. لا يمكن لدالة كثافة الاحتمال أن تأخذ قيمًا سالبة:

وخارج نطاق وجود التوزيع ، قيمته صفر

كثافة التوزيع F(x) ، وكذلك دالة التوزيع F(x) ، أحد أشكال قانون التوزيع ، ولكن بخلاف دالة التوزيع ، فهي ليست عامة: كثافة التوزيع موجودة فقط للمتغيرات العشوائية المستمرة.

دعنا نذكر أهم نوعين في الممارسة العملية لتوزيع متغير عشوائي مستمر.

إذا كانت دالة كثافة التوزيع F(x) متغير عشوائي مستمر في فترة محدودة [ أ; ب] يأخذ قيمة ثابتة ج، وخارج الفترة يأخذ قيمة تساوي صفرًا ، ثم هذا التوزيع يسمى موحد .

إذا كان الرسم البياني لوظيفة كثافة التوزيع متماثلًا حول المركز ، فإن القيم المتوسطة تتركز بالقرب من المركز ، وعند الابتعاد عن المركز ، يتم جمع المزيد من المتوسطات (الرسم البياني للوظيفة يشبه قطع جرس) ، ثم هذا التوزيع يسمى عادي .

مثال 1تُعرف دالة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مستمر:

ابحث عن ميزة F(x) كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي مستمر. ارسم الرسوم البيانية لكلتا الوظيفتين. أوجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في النطاق من 4 إلى 8:.

المحلول. نحصل على دالة كثافة الاحتمال من خلال إيجاد مشتق دالة التوزيع الاحتمالي:

رسم بياني وظيفي F(x) - القطع المكافئ:

رسم بياني وظيفي F(x) - خط مستقيم:

لنجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في النطاق من 4 إلى 8:

مثال 2يتم إعطاء دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي مستمر على النحو التالي:

احسب العامل ج. ابحث عن ميزة F(x) التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مستمر. ارسم الرسوم البيانية لكلتا الوظيفتين. أوجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في النطاق من 0 إلى 5:.

المحلول. معامل في الرياضيات او درجة جنجد ، باستخدام الخاصية 1 لدالة كثافة الاحتمال:

وبالتالي ، فإن دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي مستمر هي:

عند التكامل ، نجد الدالة F(x) التوزيعات الاحتمالية. اذا كان x < 0 , то F(x) = 0. إذا كان 0< x < 10 , то

.

x> 10 ، إذن F(x) = 1 .

وبالتالي ، فإن السجل الكامل لوظيفة التوزيع الاحتمالي هو:

رسم بياني وظيفي F(x) :

رسم بياني وظيفي F(x) :

لنجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في النطاق من 0 إلى 5:

مثال 3كثافة الاحتمالية لمتغير عشوائي مستمر Xمن خلال المساواة ، بينما. أوجد المعامل لكن، احتمالية أن يكون متغير عشوائي مستمر Xيأخذ بعض القيمة من الفاصل] 0 ، 5 [، دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر X.

المحلول. بشرط ، نصل إلى المساواة

لذلك من أين. لذا،

.

الآن نجد احتمال وجود متغير عشوائي مستمر Xسيأخذ أي قيمة من الفاصل الزمني] 0 ، 5 [:

الآن نحصل على دالة التوزيع لهذا المتغير العشوائي:

مثال 4أوجد كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي مستمر X، التي تأخذ فقط القيم غير السالبة ، ودالة التوزيع الخاصة بها .

المنشورات ذات الصلة