إلى قناة اليوتيوب الخاصة بموقعنا لتكون على علم بجميع دروس الفيديو الجديدة.

أولًا ، لنتذكر الصيغ الأساسية للدرجات وخصائصها.

نتاج رقم أيحدث على نفسه n مرة ، يمكننا كتابة هذا التعبير على أنه a… a = a n

1. أ 0 = 1 (أ ≠ 0)

3. أ ن أ م = أ ن + م

4. (أ ن) م = أ نانومتر

5. أ ن ب ن = (أب) ن

7. a n / a m \ u003d a n - m

معادلات القوة أو الأسية- هذه معادلات تكون فيها المتغيرات في القوى (أو الأسس) ، والأساس عبارة عن رقم.

أمثلة على المعادلات الأسية:

في هذا المثالالرقم 6 هو الأساس ، وهو دائمًا في الأسفل ، والمتغير xدرجة أو قياس.

دعونا نعطي المزيد من الأمثلة على المعادلات الأسية.
2 × * 5 = 10
16x-4x-6 = 0

الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية حل المعادلات الأسية؟

لنأخذ معادلة بسيطة:

2 س = 2 3

يمكن حل مثل هذا المثال حتى في العقل. يمكن ملاحظة أن x = 3. بعد كل شيء ، لكي يتساوى الجانبان الأيسر والأيمن ، عليك وضع الرقم 3 بدلاً من x.
لنرى الآن كيف يجب اتخاذ هذا القرار:

2 س = 2 3
س = 3

لحل هذه المعادلة ، أزلنا نفس الأسباب(أي التعادل) وكتب ما تبقى ، هذه هي الدرجات. حصلنا على الإجابة التي كنا نبحث عنها.

لنلخص الحل الآن.

خوارزمية لحل المعادلة الأسية:
1. تحتاج إلى التحقق نفس الشيءسواء كانت قواعد المعادلة على اليمين واليسار. إذا لم تكن الأسباب هي نفسها ، فنحن نبحث عن خيارات لحل هذا المثال.
2. بعد القواعد هي نفسها ، تعادلدرجة وحل المعادلة الجديدة الناتجة.

لنحل الآن بعض الأمثلة:

لنبدأ ببساطة.

القواعد الموجودة على الجانبين الأيسر والأيمن تساوي الرقم 2 ، مما يعني أنه يمكننا تجاهل القاعدة ومساواة درجاتها.

x + 2 = 4 ظهرت أبسط معادلة.
س = 4 - 2
س = 2
الجواب: س = 2

في المثال التالييمكن ملاحظة أن القواعد مختلفة - 3 و 9.

3 3 س - 9 س + 8 = 0

بادئ ذي بدء ، ننقل التسعة إلى الجانب الأيمن ، نحصل على:

الآن أنت بحاجة إلى إنشاء نفس القواعد. نعلم أن 9 = 3 2. دعنا نستخدم صيغة القوة (أ ن) م = أ نانومتر.

3 3x \ u003d (3 2) × + 8

نحصل على 9 × + 8 \ u003d (3 2) × + 8 \ u003d 3 2 × + 16

3 3x \ u003d 3 2x + 16 الآن يمكنك رؤية ذلك في اليسار و الجانب الأيمنالقواعد هي نفسها وتساوي ثلاثة ، مما يعني أنه يمكننا التخلص منها ومعادلة الدرجات.

3x = 2x + 16 حصلنا على أبسط معادلة
3 س -2 س = 16
س = 16
الجواب: س = 16.

لنلقِ نظرة على المثال التالي:

2 2x + 4-10 4 x \ u003d 2 4

بادئ ذي بدء ، ننظر إلى الأسس ، فالقاعدتان مختلفتان عن اثنين وأربعة. وعلينا أن نكون متشابهين. نقوم بتحويل الرباعي وفقًا للصيغة (a n) m = a nm.

4 س = (2 2) س = 2 2 س

ونستخدم أيضًا صيغة واحدة أ ن أ م = أ ن + م:

2 2 س + 4 = 2 2 س 2 4

أضف إلى المعادلة:

2 2 س 2 4 - 10 2 2 س = 24

قدمنا ​​مثالا لنفس الأسباب. لكن الأرقام الأخرى 10 و 24 تتداخل معنا ، فماذا نفعل بهم؟ إذا نظرت عن كثب ، يمكنك أن ترى أنه على الجانب الأيسر نكرر 2 2x ، وإليك الإجابة - يمكننا وضع 2 2x من الأقواس:

2 2x (2 4-10) = 24

دعنا نحسب التعبير بين قوسين:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

نقسم المعادلة بأكملها على 6:

تخيل 4 = 2 2:

2 2x \ u003d 2 2 قاعدتان متماثلتان ، وتجاهلهما وقم بمساواة الدرجات.
2x \ u003d 2 هي أبسط معادلة. نقسمها على 2 ، نحصل عليها
س = 1
الجواب: س = 1.

لنحل المعادلة:

9 س - 12 * 3 س + 27 = 0

دعنا نتحول:
9 س = (3 2) س = 3 2 س

نحصل على المعادلة:
3 2 س - 12 3 س +27 = 0

قواعدنا هي نفسها ، تساوي ثلاثة ، في هذا المثال ، من الواضح أن الثلاثية الأولى لها درجة ضعف (2x) من الثانية (x فقط). في هذه الحالة ، يمكنك أن تقرر طريقة الاستبدال. يتم استبدال الرقم ذي الدرجة الأصغر بما يلي:

ثم 3 2x \ u003d (3 x) 2 \ u003d t 2

نستبدل جميع الدرجات بـ x في المعادلة بـ t:

ر 2-12 طن + 27 \ u003d 0
نحصل على معادلة من الدرجة الثانية. نحل من خلال المميز ، نحصل على:
د = 144-108 = 36
t1 = 9
t2 = 3

رجوع إلى المتغير x.

نأخذ تي 1:
ر 1 \ u003d 9 \ u003d 3 س

إنه،

3 س = 9
3 س = 3 2
× 1 = 2

تم العثور على جذر واحد. نبحث عن الثاني من ر 2:
ر 2 \ u003d 3 \ u003d 3 س
3 س = 3 1
× 2 = 1
الجواب: × 1 \ u003d 2 ؛ × 2 = 1.

على الموقع ، يمكنك في قسم المساعدة في اتخاذ القرار لطرح الأسئلة التي تهمك ، وسوف نجيب عليك بالتأكيد.

انضمام مجموعة

هذا الدرس مخصص لأولئك الذين بدأوا للتو في تعلم المعادلات الأسية. كالعادة ، لنبدأ بتعريف وأمثلة بسيطة.

إذا كنت تقرأ هذا الدرس ، فأعتقد أن لديك بالفعل على الأقل الحد الأدنى من الفهم لأبسط المعادلات - الخطية والمربعة: 56x-11 = 0 $ ؛ $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 = 0 $ ؛ $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 = 0 $ إلخ. لتكون قادرًا على حل مثل هذه الإنشاءات أمر ضروري للغاية حتى لا يتم "تعليق" الموضوع الذي سيتم مناقشته الآن.

إذن ، المعادلات الأسية. اسمحوا لي أن أقدم لكم بضعة أمثلة:

\ [(2) ^ (x)) = 4 ؛ \ quad ((5) ^ (2x-3)) = \ frac (1) (25) ؛ \ quad ((9) ^ (x)) = - 3 \]

قد يبدو بعضها أكثر تعقيدًا بالنسبة لك ، وبعضها ، على العكس من ذلك ، بسيط للغاية. لكنهم جميعًا متحدون بميزة مهمة واحدة: أنها تحتوي على دالة أسية $ f \ left (x \ right) = ((a) ^ (x)) $. وهكذا ، نقدم التعريف:

المعادلة الأسية هي أي معادلة تحتوي على دالة أسية ، أي تعبير بالصيغة $ ((a) ^ (x)) $. بالإضافة إلى الوظيفة المحددة ، يمكن أن تحتوي هذه المعادلات على أي إنشاءات جبرية أخرى - كثيرات الحدود ، والجذور ، وعلم المثلثات ، واللوغاريتمات ، إلخ.

حسنا إذا. فهمت التعريف. الآن السؤال هو: كيف نحل كل هذا الهراء؟ الجواب بسيط ومعقد في نفس الوقت.

لنبدأ بالخبر السار: من تجربتي مع العديد من الطلاب ، يمكنني القول أنه بالنسبة لمعظمهم ، المعادلات الأسية أسهل بكثير من نفس اللوغاريتمات ، وحتى أكثر من علم المثلثات.

ولكن هناك أيضًا أخبار سيئة: في بعض الأحيان تتم زيارة جامعي المشكلات لجميع أنواع الكتب المدرسية والامتحانات من خلال "الإلهام" ، ويبدأ دماغهم الملتهب بالمخدرات في إنتاج مثل هذه المعادلات الوحشية التي يصبح من الصعب على الطلاب حلها ليس فقط - حتى أن العديد من المعلمين عالقون في مثل هذه المشكلات.

ومع ذلك ، دعونا لا نتحدث عن الأشياء المحزنة. ودعنا نعود إلى تلك المعادلات الثلاث التي تم تقديمها في بداية القصة. دعنا نحاول حل كل منها.

المعادلة الأولى: $ ((2) ^ (x)) = 4 $. حسنًا ، إلى أي قوة يجب رفع الرقم 2 للحصول على الرقم 4؟ ربما الثانية؟ بعد كل شيء ، $ ((2) ^ (2)) = 2 \ cdot 2 = 4 $ - وقد حصلنا على المساواة العددية الصحيحة ، أي في الواقع $ x = 2 $. حسنًا ، شكرًا يا غطاء ، لكن هذه المعادلة كانت بسيطة جدًا لدرجة أنه حتى قطتي يمكنها حلها. :)

لنلقِ نظرة على المعادلة التالية:

\ [((5) ^ (2x-3)) = \ frac (1) (25) \]

لكن الأمر هنا أكثر صعوبة بقليل. يعرف الكثير من الطلاب أن $ ((5) ^ (2)) = 25 $ هو جدول الضرب. يشك البعض أيضًا في أن $ ((5) ^ (- 1)) = \ frac (1) (5) $ هو أساسًا تعريف الأس السالب (على غرار الصيغة $ ((a) ^ (- n)) = \ frac (1) (((a) ^ (n))) $).

أخيرًا ، فقط عدد قليل من التخمينات المختارة أنه يمكن دمج هذه الحقائق والمخرجات هي النتيجة التالية:

\ [\ frac (1) (25) = \ frac (1) (((5) ^ (2))) = ((5) ^ (- 2)) \]

وبالتالي ، ستتم إعادة كتابة معادلتنا الأصلية على النحو التالي:

\ [((5) ^ (2x-3)) = \ frac (1) (25) \ Rightarrow ((5) ^ (2x-3)) = ((5) ^ (- 2)) \]

والآن تم حل هذا الأمر بالكامل بالفعل! يوجد على الجانب الأيسر من المعادلة دالة أسية ، وعلى الجانب الأيمن من المعادلة توجد دالة أسية ، لا يوجد سوى هذه الدالة في أي مكان آخر. لذلك ، من الممكن "تجاهل" القواعد والمساواة بغباء بين المؤشرات:

حصلنا على أبسط معادلة خطية يمكن لأي طالب حلها في سطرين فقط. حسنًا ، في أربعة أسطر:

\ [\ start (align) & 2x-3 = -2 \\ & 2x = 3-2 \\ & 2x = 1 \\ & x = \ frac (1) (2) \\\ end (align) \]

إذا لم تفهم ما كان يحدث في الأسطر الأربعة الأخيرة ، فتأكد من العودة إلى الموضوع " المعادلات الخطيةوكررها. لأنه بدون استيعاب واضح لهذا الموضوع ، من السابق لأوانه تناول المعادلات الأسية.

\ [((9) ^ (x)) = - 3 \]

حسنًا ، كيف تقرر؟ الفكرة الأولى: $ 9 = 3 \ cdot 3 = ((3) ^ (2)) $ ، لذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة الأصلية على النحو التالي:

\ [((\ left (((3) ^ (2)) \ right)) ^ (x)) = - 3 \]

ثم نتذكر أنه عند رفع درجة إلى قوة ما ، تتضاعف المؤشرات:

\ [((\ left (((3) ^ (2)) \ right)) ^ (x)) = ((3) ^ (2x)) \ Rightarrow ((3) ^ (2x)) = - (( 3) ^ (1)) \]

\ [\ start (align) & 2x = -1 \\ & x = - \ frac (1) (2) \\\ end (align) \]

ولمثل هذا القرار ، نحصل على شيطان مستحق بصدق. لأننا ، برباطة جأش بوكيمون ، أرسلنا علامة الطرح أمام الثلاثة إلى قوة هؤلاء الثلاثة. ولا يمكنك فعل ذلك. وهذا هو السبب. ألق نظرة على القوى المختلفة للثلاثي:

\ [\ start (matrix) ((3) ^ (1)) = 3 & ((3) ^ (- 1)) = \ frac (1) (3) & ((3) ^ (\ frac (1) ( 2))) = \ sqrt (3) \\ ((3) ^ (2)) = 9 & ((3) ^ (- 2)) = \ frac (1) (9) & ((3) ^ (\ frac (1) (3))) = \ sqrt (3) \\ ((3) ^ (3)) = 27 & ((3) ^ (- 3)) = \ frac (1) (27) & (( 3) ^ (- \ frac (1) (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (3)) \\\ end (matrix) \]

عند تجميع هذا الجهاز اللوحي ، لم أحرف الانحراف بمجرد أن فعلت ذلك: لقد فكرت في الدرجات الموجبة والسالبة ، وحتى الدرجات الكسرية ... حسنًا ، أين يوجد رقم سالب واحد على الأقل هنا؟ انه ليس! ولا يمكن أن تكون كذلك ، لأن الدالة الأسية $ y = ((a) ^ (x)) $ ، أولاً ، تأخذ دائمًا قيمًا موجبة فقط (بغض النظر عن مقدار ضرب واحد أو القسمة على اثنين ، ستظل رقم موجب) ، وثانيًا ، قاعدة هذه الوظيفة ، الرقم $ a $ ، هي بالتعريف رقم موجب!

حسنًا ، كيف نحل المعادلة $ ((9) ^ (x)) = - 3 $؟ لا ، لا جذور. وبهذا المعنى ، فإن المعادلات الأسية تشبه إلى حد كبير المعادلات التربيعية - قد لا يكون هناك أيضًا جذور. ولكن إذا تم تحديد عدد الجذور في المعادلات التربيعية بواسطة المميز (يكون المميز موجبًا - جذران ، سالب - بلا جذور) ، ثم في المعادلات الأسية ، كل هذا يتوقف على ما هو على يمين علامة التساوي.

وبالتالي ، نقوم بصياغة الاستنتاج الرئيسي: أبسط معادلة أسية بالصيغة $ ((a) ^ (x)) = b $ لها جذر إذا وفقط إذا كان $ b> 0 $. بمعرفة هذه الحقيقة البسيطة ، يمكنك بسهولة تحديد ما إذا كانت المعادلة المقترحة لك لها جذور أم لا. أولئك. هل يستحق حلها على الإطلاق أم اكتب على الفور أنه لا توجد جذور.

ستساعدنا هذه المعرفة أكثر من مرة عندما يتعين علينا اتخاذ المزيد من القرارات المهام الصعبة. في غضون ذلك ، كلمات كافية - حان الوقت لدراسة الخوارزمية الأساسية لحل المعادلات الأسية.

كيفية حل المعادلات الأسية

لذا ، دعونا نصيغ المسألة. من الضروري حل المعادلة الأسية:

\ [((أ) ^ (س)) = ب ، \ رباعي أ ، ب> 0 \]

وفقًا للخوارزمية "الساذجة" التي استخدمناها سابقًا ، من الضروري تمثيل الرقم $ b $ كقوة للرقم $ a $:

بالإضافة إلى ذلك ، إذا كان هناك أي تعبير بدلاً من المتغير $ x $ ، فسنحصل على معادلة جديدة يمكن حلها بالفعل. على سبيل المثال:

\ [\ start (align) & ((2) ^ (x)) = 8 \ Rightarrow ((2) ^ (x)) = ((2) ^ (3)) \ Rightarrow x = 3 ؛ \\ & ((3) ^ (- x)) = 81 \ Rightarrow ((3) ^ (- x)) = ((3) ^ (4)) \ Rightarrow -x = 4 \ Rightarrow x = -4 ؛ \\ & ((5) ^ (2x)) = 125 \ Rightarrow ((5) ^ (2x)) = ((5) ^ (3)) \ Rightarrow 2x = 3 \ Rightarrow x = \ frac (3) ( 2). \\\ end (محاذاة) \]

والغريب أن هذا المخطط يعمل في حوالي 90٪ من الحالات. ماذا عن الـ 10٪ الباقية إذن؟ 10٪ المتبقية هي معادلات أسية "انفصام الشخصية" بشكل طفيف:

\ [((2) ^ (x)) = 3 ؛ \ quad ((5) ^ (x)) = 15 ؛ \ quad ((4) ^ (2x)) = 11 \]

إلى أي قوة تحتاج لرفع 2 للحصول على 3؟ في الاول؟ لكن لا: $ ((2) ^ (1)) = 2 $ لا يكفي. في الثانية؟ لا أحد: $ ((2) ^ (2)) = 4 $ كثير جدًا. ماذا بعد؟

من المحتمل أن الطلاب المطلعين قد خمنوا بالفعل: في مثل هذه الحالات ، عندما يكون من المستحيل حلها "بشكل جميل" ، ترتبط "المدفعية الثقيلة" بالحالة - اللوغاريتمات. دعني أذكرك أنه باستخدام اللوغاريتمات ، يمكن تمثيل أي رقم موجب كقوة لأي رقم موجب آخر (باستثناء واحد):

تذكر هذه الصيغة؟ عندما أخبر طلابي عن اللوغاريتمات ، فأنا أحذرك دائمًا: هذه الصيغة (وهي أيضًا الهوية اللوغاريتمية الأساسية أو ، إذا أردت ، تعريف اللوغاريتم) سوف تطاردك لفترة طويلة جدًا و "تظهر" في أغلب الأحيان أماكن غير متوقعة. حسنًا ، ظهرت على السطح. لنلقِ نظرة على معادلتنا وهذه الصيغة:

\ [\ start (align) & ((2) ^ (x)) = 3 \\ & a = ((b) ^ (((\ log) _ (b)) a)) \\\ end (align) \]

إذا افترضنا أن $ a = 3 $ هو رقمنا الأصلي على اليمين ، و $ b = 2 $ هو رقم الأساس دالة أسية، التي نريد تقليل الجانب الأيمن إليها ، نحصل على ما يلي:

\ [\ start (align) & a = ((b) ^ (((\ log) _ (b)) a)) \ Rightarrow 3 = ((2) ^ (((\ log) _ (2)) 3 )) ؛ \\ & ((2) ^ (x)) = 3 \ Rightarrow ((2) ^ (x)) = ((2) ^ (((\ log) _ (2)) 3)) \ Rightarrow x = ( (\ سجل) _ (2)) 3. \\\ end (محاذاة) \]

حصلنا على إجابة غريبة بعض الشيء: $ x = ((\ log) _ (2)) 3 $. في مهمة أخرى ، مع مثل هذه الإجابة ، قد يشك الكثيرون ويبدأون في التحقق مرة أخرى من حلهم: ماذا لو كان هناك خطأ في مكان ما؟ أسارع إلى إرضائك: لا يوجد خطأ هنا ، واللوغاريتمات في جذور المعادلات الأسية هي حالة نموذجية تمامًا. حتى تعتاد على ذلك. :)

الآن نحل المعادلتين المتبقيتين عن طريق القياس:

\ [\ start (align) & ((5) ^ (x)) = 15 \ Rightarrow ((5) ^ (x)) = ((5) ^ (((\ log) _ (5)) 15)) \ Rightarrow x = ((\ log) _ (5)) 15 ؛ \\ & ((4) ^ (2x)) = 11 \ Rightarrow ((4) ^ (2x)) = ((4) ^ (((\ log) _ (4)) 11)) \ Rightarrow 2x = ( (\ سجل) _ (4)) 11 \ Rightarrow x = \ frac (1) (2) ((\ log) _ (4)) 11. \\\ end (محاذاة) \]

هذا كل شئ! بالمناسبة ، يمكن كتابة الإجابة الأخيرة بشكل مختلف:

نحن من أدخلنا المضاعف في حجة اللوغاريتم. لكن لا أحد يمنعنا من إضافة هذا العامل إلى القاعدة:

في هذه الحالة ، جميع الخيارات الثلاثة صحيحة - إنها فقط أشكال مختلفةسجلات من نفس الرقم. أي واحد تختاره وتدوينه في هذا القرار متروك لك.

وهكذا ، تعلمنا حل أي معادلات أسية بالصيغة $ ((a) ^ (x)) = b $ ، حيث تكون الأرقام $ a $ و $ b $ موجبة تمامًا. ومع ذلك ، فإن الواقع القاسي لعالمنا هو أن مثل هذه المهام البسيطة ستلتقي بك في حالات نادرة جدًا. في كثير من الأحيان ستصادف شيئًا كهذا:

\ [\ start (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 ؛ \\ & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)) ؛ \\ & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2،7) ^ (1-x)) = 0.09. \\\ end (محاذاة) \]

حسنًا ، كيف تقرر؟ هل يمكن حل هذا على الإطلاق؟ وإذا كان الأمر كذلك ، فكيف؟

لا تصابوا بالذعر. كل هذه المعادلات تختزل بسرعة وسهولة إلى صيغ بسيطةالتي نظرنا فيها بالفعل. تحتاج فقط إلى معرفة تذكر بعض الحيل من دورة الجبر. وبالطبع ، لا توجد قواعد للعمل مع الدرجات العلمية هنا. سأتحدث عن كل هذا الآن. :)

تحويل المعادلات الأسية

أول شيء يجب تذكره هو أن أي معادلة أسية ، بغض النظر عن مدى تعقيدها ، يجب اختزالها بطريقة أو بأخرى إلى أبسط المعادلات - تلك التي درسناها بالفعل والتي نعرف كيفية حلها. بمعنى آخر ، يبدو مخطط حل أي معادلة أسية كما يلي:

1. اكتب المعادلة الأصلية. على سبيل المثال: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 $ ؛
2. قم ببعض الهراء الغبي. أو حتى بعض الهراء يسمى "تحويل المعادلة" ؛
3. عند الإخراج ، احصل على أبسط التعبيرات مثل $ ((4) ^ (x)) = 4 $ أو أي شيء آخر من هذا القبيل. علاوة على ذلك ، يمكن أن تعطي معادلة أولية عدة تعبيرات من هذا القبيل في وقت واحد.

مع النقطة الأولى ، كل شيء واضح - حتى قطتي يمكنها كتابة المعادلة على ورقة. مع النقطة الثالثة أيضًا ، يبدو أنها أكثر أو أقل وضوحًا - لقد حللنا بالفعل مجموعة كاملة من هذه المعادلات أعلاه.

لكن ماذا عن النقطة الثانية؟ ما هي التحولات؟ إلى ماذا تتحول إلى ماذا؟ وكيف؟

حسنًا ، دعنا نفهم ذلك. بادئ ذي بدء ، أود أن أشير إلى ما يلي. تنقسم جميع المعادلات الأسية إلى نوعين:

1. تتكون المعادلة من وظائف أسية لها نفس القاعدة. مثال: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 $ ؛
2. تحتوي الصيغة على وظائف أسية بقواعد مختلفة. أمثلة: $ ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)) $ و $ ((100) ^ (x-1) ) \ cdot ((2،7) ^ (1-x)) = 0.09 دولار.

لنبدأ بالمعادلات من النوع الأول - فهي الأسهل في الحل. وفي حلهم ، ستساعدنا تقنية مثل اختيار التعبيرات المستقرة.

إبراز التعبير المستقر

لنلقِ نظرة على هذه المعادلة مرة أخرى:

\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 \]

ماذا نرى؟ يتم رفع الأربعة إلى درجات مختلفة. لكن كل هذه القوى عبارة عن مجاميع بسيطة للمتغير $ x $ مع أرقام أخرى. لذلك ، من الضروري تذكر قواعد العمل مع الدرجات العلمية:

\ [\ begin (align) & ((a) ^ (x + y)) = ((a) ^ (x)) \ cdot ((a) ^ (y)) ؛ \\ & ((a) ^ (x-y)) = ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) = \ frac (((a) ^ (x))) (((a ) ^ (ص))). \\\ end (محاذاة) \]

ببساطة ، يمكن تحويل إضافة الأس إلى منتج قوى ، ويمكن تحويل الطرح بسهولة إلى قسمة. دعنا نحاول تطبيق هذه الصيغ على القوى من معادلتنا:

\ [\ start (align) & ((4) ^ (x-1)) = \ frac (((4) ^ (x))) (((4) ^ (1))) = ((4) ^ (خ)) \ cdot \ frac (1) (4) ؛ \\ & ((4) ^ (x + 1)) = ((4) ^ (x)) \ cdot ((4) ^ (1)) = ((4) ^ (x)) \ cdot 4. \ \\ end (محاذاة) \]

نعيد كتابة المعادلة الأصلية مع مراعاة هذه الحقيقة ، ثم نجمع كل الحدود على اليسار:

\ [\ begin (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (1) (4) = ((4) ^ (x)) \ cdot 4 -أحد عشر؛ \\ & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (1) (4) - ((4) ^ (x)) \ cdot 4 + 11 = 0. \\\ end (محاذاة) \]

تحتوي المصطلحات الأربعة الأولى على العنصر $ ((4) ^ (x)) $ - لنخرجه من القوس:

\ [\ start (align) & ((4) ^ (x)) \ cdot \ left (1+ \ frac (1) (4) -4 \ right) + 11 = 0 ؛ \\ & ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (4 + 1-16) (4) + 11 = 0 ؛ \\ & ((4) ^ (x)) \ cdot \ left (- \ frac (11) (4) \ right) = - 11. \\\ end (محاذاة) \]

يبقى تقسيم كلا الجزأين من المعادلة على الكسر $ - \ frac (11) (4) $ ، أي اضرب بشكل أساسي في الكسر المقلوب - $ - \ frac (4) (11) $. نحن نحصل:

\ [\ start (align) & ((4) ^ (x)) \ cdot \ left (- \ frac (11) (4) \ right) \ cdot \ left (- \ frac (4) (11) \ right ) = - 11 \ cdot \ يسار (- \ frac (4) (11) \ يمين) ؛ \\ & ((4) ^ (x)) = 4 ؛ \\ & ((4) ^ (x)) = ((4) ^ (1)) ؛ \\ & x = 1. \\\ end (محاذاة) \]

هذا كل شئ! اختزلنا المعادلة الأصلية إلى أبسطها وحصلنا على الحل النهائي.

في نفس الوقت ، أثناء عملية الحل ، اكتشفنا (بل واستخرجنا من القوس) العامل المشترك $ ((4) ^ (x)) $ - هذا هو التعبير الثابت. يمكن تعيينه كمتغير جديد ، أو يمكنك ببساطة التعبير عنه بدقة والحصول على إجابة. على أي حال، المبدأ الرئيسيالحلول هي التالية:

ابحث في المعادلة الأصلية عن تعبير ثابت يحتوي على متغير يمكن تمييزه بسهولة عن جميع الدوال الأسية.

الخبر السار هو أن كل معادلة أسية تقريبًا تقبل مثل هذا التعبير المستقر.

ولكن هناك أيضًا أخبار سيئة: مثل هذه التعبيرات يمكن أن تكون خادعة للغاية ، وقد يكون من الصعب جدًا التمييز بينها. لذلك دعونا نلقي نظرة على مشكلة أخرى:

\ [((5) ^ (x + 2)) + ((0،2) ^ (- x-1)) + 4 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2 \]

ربما سيطرح أحد الآن سؤالاً: "باشا ، هل رجمت بالحجارة؟ فيما يلي قواعد مختلفة - 5 و 0.2. لكن دعونا نحاول تحويل قوة أساسها 0.2. على سبيل المثال ، دعنا نتخلص من الكسر العشري ، ونجعله على النحو المعتاد:

\ [((0،2) ^ (- x-1)) = ((0،2) ^ (- \ left (x + 1 \ right))) = ((\ left (\ frac (2) (10 ) \ right)) ^ (- \ left (x + 1 \ right))) = ((\ left (\ frac (1) (5) \ right)) ^ (- \ left (x + 1 \ right)) ) \]

كما ترى ، لا يزال الرقم 5 يظهر ، وإن كان في المقام. في الوقت نفسه ، تمت إعادة كتابة المؤشر على أنه سلبي. والآن نتذكر واحدًا من القواعد الأساسيةالعمل بالدرجات:

\ [((a) ^ (- n)) = \ frac (1) (((a) ^ (n))) \ Rightarrow ((\ left (\ frac (1) (5) \ right)) ^ ( - \ يسار (x + 1 \ يمين))) = ((\ left (\ frac (5) (1) \ right)) ^ (x + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \ ]

هنا ، بالطبع ، غششت قليلاً. لأنه من أجل الفهم الكامل ، يجب كتابة صيغة التخلص من المؤشرات السلبية على النحو التالي:

\ [((a) ^ (- n)) = \ frac (1) (((a) ^ (n))) = ((\ left (\ frac (1) (a) \ right)) ^ (n )) \ Rightarrow ((\ left (\ frac (1) (5) \ right)) ^ (- \ left (x + 1 \ right))) = ((\ left (\ frac (5) (1) \ يمين)) ^ (س + 1)) = ((5) ^ (س + 1)) \]

من ناحية أخرى ، لا شيء يمنعنا من العمل بجزء واحد فقط:

\ [((\ left (\ frac (1) (5) \ right)) ^ (- \ left (x + 1 \ right))) = ((\ left (((5) ^ (- 1)) \ يمين)) ^ (- \ يسار (س + 1 \ يمين))) = ((5) ^ (\ يسار (-1 \ يمين) \ cdot \ يسار (- \ يسار (س + 1 \ يمين) \ يمين) )) = ((5) ^ (x + 1)) \]

لكن في هذه الحالة ، يجب أن تكون قادرًا على رفع درجة إلى درجة أخرى (أذكرك: في هذه الحالة ، تتم إضافة المؤشرات). لكن لم يكن علي أن "أقلب" الكسور - ربما يكون الأمر أسهل بالنسبة لشخص ما. :)

في أي حال ، ستتم إعادة كتابة المعادلة الأسية الأصلية على النحو التالي:

\ [\ begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2 ؛ \\ & ((5) ^ (x + 2)) + 5 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2 ؛ \\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2 ؛ \\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) = 2 ؛ \\ & 2 \ cdot ((5) ^ (س + 2)) = 2 ؛ \\ & ((5) ^ (x + 2)) = 1. \\\ end (محاذاة) \]

لذلك اتضح أن حل المعادلة الأصلية أسهل في الحل من المعادلة السابقة: هنا لا تحتاج حتى إلى تحديد تعبير ثابت - فقد تم تقليل كل شيء من تلقاء نفسه. يبقى فقط أن نتذكر أن $ 1 = ((5) ^ (0)) $ ، من أين نحصل على:

\ [\ start (align) & ((5) ^ (x + 2)) = ((5) ^ (0)) ؛ \\ & x + 2 = 0 ؛ \\ & x = -2. \\\ end (محاذاة) \]

هذا هو الحل الكامل! حصلنا على الإجابة النهائية: $ x = -2 $. في الوقت نفسه ، أود أن أشير إلى خدعة واحدة سهّلت بشكل كبير جميع الحسابات بالنسبة لنا:

في المعادلات الأسية ، تأكد من التخلص منها الكسور العشرية، تحويلها إلى وضعها الطبيعي. سيسمح لك ذلك برؤية نفس قواعد الدرجات وتبسيط الحل بشكل كبير.

دعنا ننتقل إلى المزيد معادلات معقدة، حيث توجد قواعد مختلفة ، لا يتم اختزالها بشكل عام لبعضها البعض بمساعدة الدرجات.

باستخدام خاصية الأس

دعني أذكرك أن لدينا معادلتين قاسيتين بشكل خاص:

\ [\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)) ؛ \\ & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2،7) ^ (1-x)) = 0.09. \\\ end (محاذاة) \]

تكمن الصعوبة الرئيسية هنا في أنه ليس من الواضح ماذا وإلى أي أساس نؤدي. أين التعابير الثابتة؟ أين هي الأرضية المشتركة؟ لا يوجد شيء من هذا.

لكن دعونا نحاول الذهاب في الاتجاه الآخر. إذا لم تكن هناك قواعد متطابقة جاهزة ، يمكنك محاولة العثور عليها من خلال تحليل القواعد المتاحة.

لنبدأ بالمعادلة الأولى:

\ [\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)) ؛ \\ & 21 = 7 \ cdot 3 \ Rightarrow ((21) ^ (3x)) = ((\ left (7 \ cdot 3 \ right)) ^ (3x)) = ((7) ^ (3x)) \ cdot ((3) ^ (3x)). \\\ end (محاذاة) \]

لكن بعد كل شيء ، يمكنك القيام بالعكس - قم بتكوين الرقم 21 من الرقمين 7 و 3. من السهل بشكل خاص القيام بذلك على اليسار ، لأن مؤشرات كلتا الدرجتين هي نفسها:

\ [\ start (align) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((\ left (7 \ cdot 3 \ right)) ^ (x + 6 )) = ((21) ^ (س + 6)) ؛ \\ & ((21) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)) ؛ \\ & x + 6 = 3x ؛ \\ & 2x = 6 ؛ \\ & x = 3. \\\ end (محاذاة) \]

هذا كل شئ! لقد أخرجت الأس من الناتج وحصلت على الفور على معادلة جميلة يمكن حلها في سطرين.

الآن دعونا نتعامل مع المعادلة الثانية. هنا كل شيء أكثر تعقيدًا:

\ [((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2،7) ^ (1-x)) = 0.09 \]

\ [((100) ^ (x-1)) \ cdot ((\ left (\ frac (27) (10) \ right)) ^ (1-x)) = \ frac (9) (100) \]

في هذه الحالة ، تبين أن الكسور غير قابلة للاختزال ، ولكن إذا كان من الممكن تقليل شيء ما ، فتأكد من تقليله. سينتج عن هذا غالبًا أسباب مثيرة للاهتمام يمكنك العمل معها بالفعل.

لسوء الحظ ، لم نتوصل إلى أي شيء. لكننا نرى أن الأسس على اليسار في حاصل الضرب عكس ذلك:

دعني أذكرك: للتخلص من علامة الطرح في الأس ، تحتاج فقط إلى "قلب" الكسر. لذلك دعونا نعيد كتابة المعادلة الأصلية:

\ [\ start (align) & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((\ left (\ frac (10) (27) \ right)) ^ (x-1)) = \ frac (9 ) (100) ؛ \\ & ((\ left (100 \ cdot \ frac (10) (27) \ right)) ^ (x-1)) = \ frac (9) (100) ؛ \\ & ((\ left (\ frac (1000) (27) \ right)) ^ (x-1)) = \ frac (9) (100). \\\ end (محاذاة) \]

في السطر الثاني ، أخرجنا للتو مجموع النقاطمن حاصل الضرب بين الأقواس وفقًا للقاعدة $ ((a) ^ (x)) \ cdot ((b) ^ (x)) = ((\ left (a \ cdot b \ right)) ^ (x)) $، وفي الأخير اضرب ببساطة الرقم 100 بكسر.

لاحظ الآن أن الأرقام الموجودة على اليسار (في القاعدة) وعلى اليمين متشابهة إلى حد ما. كيف؟ نعم ، من الواضح: إنها قوى من نفس العدد! لدينا:

\ [\ start (align) & \ frac (1000) (27) = \ frac (((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) = ((\ left (\ frac ( 10) (3) \ right)) ^ (3)) ؛ \\ & \ frac (9) (100) = \ frac (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) = ((\ left (\ frac (3) (10) \ يمين)) ^ (2)). \\\ end (محاذاة) \]

وبالتالي ، ستتم إعادة كتابة معادلتنا على النحو التالي:

\ [(\ left (((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (3)) \ right)) ^ (x-1)) = ((\ left (\ frac (3 ) (10) \ right)) ^ (2)) \]

\ [(\ left (((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (3)) \ right)) ^ (x-1)) = ((\ left (\ frac (10 ) (3) \ right)) ^ (3 \ left (x-1 \ right))) = ((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (3x-3)) \]

في الوقت نفسه ، على اليمين ، يمكنك أيضًا الحصول على درجة بنفس القاعدة ، والتي يكفيها "قلب" الكسر:

\ [((\ left (\ frac (3) (10) \ right)) ^ (2)) = ((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (- 2)) \]

أخيرًا ، ستأخذ معادلتنا الشكل:

\ [\ start (align) & ((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (3x-3)) = ((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (- 2)) ؛ \\ & 3x-3 = -2 ؛ \\ & 3x = 1 ؛ \\ & x = \ frac (1) (3). \\\ end (محاذاة) \]

هذا هو الحل الكامل. فكرته الرئيسية هي أنه حتى لو أسباب مختلفةنحن نحاول عن طريق الخطاف أو المحتال تقليص هذه الأسباب إلى نفس الشيء. في هذا تساعدنا التحولات الأولية للمعادلات وقواعد العمل مع القوى.

لكن ما هي القواعد ومتى تستخدم؟ كيف نفهم أنه في إحدى المعادلات تحتاج إلى تقسيم كلا الجانبين بشيء ، وفي أخرى - لتحليل قاعدة الدالة الأسية إلى عوامل؟

ستأتي الإجابة على هذا السؤال بالخبرة. جرب يدك في البداية معادلات بسيطة، ثم تعقد المهام تدريجيًا - وسرعان ما ستكون مهاراتك كافية لحل أي معادلة أسية من نفس الاستخدام أو أي عمل مستقل / اختبار.

ولمساعدتك في هذه المهمة الصعبة ، أقترح تنزيل مجموعة من المعادلات على موقع الويب الخاص بي حل مستقل. جميع المعادلات لها إجابات ، لذا يمكنك دائمًا التحقق من نفسك.

محاضرة: "طرق حل المعادلات الأسية".

1 . المعادلات الأسية.

المعادلات التي تحتوي على مجاهيل في الأس تسمى المعادلات الأسية. أبسطها هو المعادلة ax = b ، حيث a> 0 و a ≠ 1.

1) لب< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) بالنسبة لـ b> 0 ، باستخدام رتابة الوظيفة ونظرية الجذر ، يكون للمعادلة جذر واحد. من أجل العثور عليه ، يجب تمثيل b على أنه b = aс ، ax = bс ó x = c أو x = logab.

تؤدي المعادلات الأسية من خلال التحويلات الجبرية إلى معادلات قياسية يتم حلها بالطرق التالية:

1) طريقة الاختزال إلى قاعدة واحدة ؛

2) طريقة التقييم.

3) طريقة الرسم ؛

4) طريقة إدخال المتغيرات الجديدة.

5) طريقة التحليل.

6) إرشادية - معادلات القوة;

7) أسي مع معلمة.

2 . طريقة الاختزال إلى أساس واحد.

تعتمد الطريقة على خاصية الدرجات التالية: إذا كانت درجتان متساويتان وقواعدهما متساوية ، فإن الأسس متساويان ، أي يجب محاولة اختزال المعادلة إلى النموذج

أمثلة. حل المعادلة:

1 . 3 س = 81 ؛

لنمثل الجانب الأيمن من المعادلة بالصيغة 81 = 34 ونكتب المعادلة المكافئة للقيمة الأصلية 3 × = 34 ؛ س = 4. الإجابة: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png "width =" 52 "height =" 49 "> وانتقل إلى معادلة الأس 3x + 1 = 3-5x ؛ 8x = 4 ؛ س = 0.5 الإجابة: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png "width =" 105 "height =" 47 ">

لاحظ أن الأرقام 0.2 و 0.04 و 5 و 25 هي قوى لـ 5. لنستفيد من هذا ونحول المعادلة الأصلية على النحو التالي:

, من أين 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2 ، ومن هنا نجد الحل x = -1. الجواب: -1.

5. 3x = 5. حسب تعريف اللوغاريتم ، x = log35. الجواب: log35.

6. 62 س + 4 = 33 س. 2x + 8.

دعونا نعيد كتابة المعادلة على النحو التالي: 32x + 4.22x + 4 = 32x.2x + 8 ، أي .. png "width =" 181 "height =" 49 src = "> ومن ثم x - 4 = 0 ، x = 4. الإجابة: 4.

7 . 2 ∙ 3x + 1 - 6 ∙ 3x-2 - 3x = 9. باستخدام خصائص القوى ، نكتب المعادلة بالصيغة e. x + 1 = 2، x = 1. الجواب: 1.

بنك المهام رقم 1.

حل المعادلة:

رقم الاختبار 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3 ؛ 1 2) -3 ؛ -1 3) 0 ؛ 2 4) لا جذور
	1) 7 ؛ 1 2) بلا جذور 3) -7 ؛ 1 4) -1 ؛ -7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
أ 6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

اختبار رقم 2

أ 1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
أ 2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2؛ -1 2) بدون جذور 3) 0 4) -2؛ 1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 طريقة التقييم.

نظرية الجذر: إذا زادت الدالة f (x) (تنقص) في الفترة I ، فإن الرقم a هو أي قيمة مأخوذة بواسطة f في هذه الفترة الزمنية ، فإن المعادلة f (x) = a لها جذر واحد في الفترة I.

عند حل المعادلات بطريقة التقدير ، يتم استخدام هذه النظرية وخصائص الرتابة للوظيفة.

أمثلة. حل المعادلات: 1. 4 س = 5 - س.

حل. لنعد كتابة المعادلة بالصيغة 4x + x = 5.

1. إذا كانت x \ u003d 1 ، إذن 41 + 1 \ u003d 5 ، 5 \ u003d 5 صحيحة ، فإن 1 هو جذر المعادلة.

تتزايد الدالة f (x) = 4x على R و g (x) = x تتزايد على R => h (x) = f (x) + g (x) على R كمجموع وظائف متزايدة ، إذن ، x = 1 هو الجذر الوحيد للمعادلة 4x = 5 - x. الجواب: 1.

2.

حل. نعيد كتابة المعادلة بالصورة .

1. إذا كانت x = -1 ، إذن ، 3 = 3-true ، لذا فإن x = -1 هو جذر المعادلة.

2. إثبات أنها فريدة من نوعها.

3. الدالة f (x) = - تنقص في R ، و g (x) = - x - تنقص في R => h (x) = f (x) + g (x) - تنقص في R ، كمجموع من الوظائف المتناقصة. إذن ، من خلال نظرية الجذر ، فإن x = -1 هو الجذر الوحيد للمعادلة. الجواب: -1.

بنك المهام رقم 2. حل المعادلة

أ) 4x + 1 = 6 - س ؛

ب)

ج) 2 س - 2 = 1 - س ؛

4. طريقة إدخال متغيرات جديدة.

تم وصف الطريقة في القسم 2.1. عادة ما يتم إدخال متغير جديد (استبدال) بعد عمليات التحويل (التبسيط) لشروط المعادلة. ضع في اعتبارك الأمثلة.

أمثلة. رأكل المعادلة: 1. .

دعنا نعيد كتابة المعادلة بشكل مختلف: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png "width =" 128 "height =" 48 src = "> ie..png" width = "210" height = "45">

حل. دعنا نعيد كتابة المعادلة بشكل مختلف:

أشر إلى https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png "width =" 245 "height =" 57 "> - غير مناسب.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png "width =" 268 "height =" 51 "> معادلة غير منطقية. لاحظ أن

حل المعادلة هو x = 2.5 ≤ 4 ، لذا فإن 2.5 هو جذر المعادلة. الجواب: 2.5.

حل. دعونا نعيد كتابة المعادلة بالصورة ونقسم كلا الطرفين على 56x + 6 ≠ 0. نحصل على المعادلة

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2 (x2-3x-4) +1 ، لذا .. png "width =" 118 "height =" 56 ">

جذور المعادلة التربيعية - t1 = 1 و t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

حل . نعيد كتابة المعادلة بالصورة

ولاحظ أنها معادلة متجانسة من الدرجة الثانية.

قسّم المعادلة على 42x ، نحصل على

استبدل https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png "width =" 16 "height =" 41 src = ">.

الجواب: 0؛ 0.5

بنك المهام # 3. حل المعادلة

ب)

ز)

اختبار # 3 مع اختيار الإجابات. المستوى الأدنى.

أ 1	1) -0.2 ؛ 2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0.52x - 3 0.5x +2 = 0.	1) 2 ؛ 1 2) -1 ؛ 0 3) بلا جذور 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) بلا جذور. 2) 2 ؛ 4 3) 3 4) -1 ؛ 2

اختبار رقم 4 مع اختيار الإجابات. مستوى عام.

أ 1	1) 2 ؛ 1 2) ½ ؛ 0 3) 2 ؛ 0 4) 0
А2 2x - (0.5) 2x - (0.5) x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0 ؛ 1 4) لا جذور

5. طريقة التحليل إلى عوامل.

1. حل المعادلة: ٥ س + ١ - ٥ س - ١ = ٢٤.

الحل..png "العرض =" 169 "الارتفاع =" 69 "> ، من أين

2. 6 س + 6 س + 1 = 2 س + 2 س + 1 + 2 س + 2.

حل. لنخرج 6x في الجانب الأيسر من المعادلة و 2 x في الجانب الأيمن. نحصل على المعادلة 6 س (1 + 6) = 2 س (1 + 2 + 4) ó 6 س = 2 س.

بما أن 2x> 0 لكل x ، يمكننا قسمة كلا طرفي هذه المعادلة على 2x دون الخوف من فقدان الحلول. نحصل على 3 س = 1 س = 0.

3.

حل. نحل المعادلة بالتحليل.

نختار مربع ذات الحدين

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png "width =" 500 "height =" 181 ">

x = -2 هو جذر المعادلة.

المعادلة x + 1 = 0 "style =" border-collapse: collapse؛ border: none ">

أ 1 5 س -1 + 5 س -5 س + 1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

أ 2 3 س + 1 + 3 س -1 = 270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x + 1-108 = 0.x = 1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x = 4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

اختبار رقم 6 مستوى عام.

A1 (22x-1) (24x + 22x + 1) = 7.	1) ½ 2) 2 3) -1 ؛ 3 4) 0.2
أ 2	1) 2.5 2) 3 ؛ 4 3) سجل 43/2 4) 0
A3 2x-1-3x = 3x-1-2x + 2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. الأسي - معادلات القوة.

ترتبط المعادلات الأسية بما يسمى معادلات القوة الأسية ، أي معادلات النموذج (f (x)) g (x) = (f (x)) h (x).

إذا كان معروفًا أن f (x)> 0 و f (x) ≠ 1 ، فإن المعادلة ، مثل المعادلة الأسية ، يتم حلها عن طريق معادلة الأس g (x) = f (x).

إذا كان الشرط لا يستبعد إمكانية f (x) = 0 و f (x) = 1 ، فعلينا النظر في هاتين الحالتين عند حل معادلة القوة الأسية.

1..png "width =" 182 "height =" 116 src = ">

2.

حل. x2 + 2x-8 - منطقي لأي x ، لأن كثيرة الحدود ، لذا فإن المعادلة تكافئ المجموعة

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png "width =" 137 "height =" 35 ">

ب)

7. المعادلات الأسية مع المعلمات.

1. ما هي قيم المعلمة p التي تحتوي عليها المعادلة 4 (5 - 3) 2 + 4p2–3p = 0 (1) القرار الوحيد?

حل. دعونا نقدم التغيير 2x = t ، t> 0 ، ثم المعادلة (1) ستأخذ الشكل t2 - (5p - 3) t + 4p2 - 3p = 0. (2)

مميز المعادلة (2) هو D = (5p - 3) 2-4 (4p2 - 3p) = 9 (p - 1) 2.

المعادلة (1) لها حل فريد إذا كانت المعادلة (2) لها جذر موجب واحد. هذا ممكن في الحالات التالية.

1. إذا كانت D = 0 ، أي ، p = 1 ، فإن المعادلة (2) ستأخذ الشكل t2 - 2t + 1 = 0 ، وبالتالي t = 1 ، وبالتالي ، فإن المعادلة (1) لها حل فريد x = 0.

2. إذا كان p1 ، ثم 9 (p - 1) 2> 0 ، فإن المعادلة (2) لها جذرين مختلفين t1 = p ، t2 = 4p - 3. مجموعة الأنظمة تفي بشرط المشكلة

لدينا استبدال t1 و t2 في الأنظمة

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png "alt =" (! LANG: no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

حل. يترك ثم المعادلة (3) ستأخذ الشكل t2 - 6t - a = 0. [4)

دعونا نجد قيم المعلمة a التي يلبي فيها جذر واحد على الأقل من المعادلة (4) الشرط t> 0.

دعونا نقدم الوظيفة f (t) = t2 - 6t - a. الحالات التالية ممكنة.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

الحالة 2. المعادلة (4) لها حل إيجابي فريد إذا

D = 0 ، إذا كانت a = - 9 ، فإن المعادلة (4) ستأخذ الشكل (t - 3) 2 = 0 ، t = 3 ، x = - 1.

الحالة الثالثة: للمعادلة (4) جذران ، لكن أحدهما لا يفي بالمتباينة t> 0. هذا ممكن إذا

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png "alt =" (! LANG: no35_17" width="267" height="63">!}

وهكذا ، في المعادلة (4) a 0 لها جذر موجب واحد . ثم المعادلة (3) لها حل فريد

ل< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

اذا كان< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
إذا كانت أ = - 9 ، إذن س = - 1 ؛

إذا كانت 0 ، إذن

دعونا نقارن طرق حل المعادلتين (1) و (3). لاحظ أنه عند حل المعادلة (1) تم اختزاله إلى معادلة تربيعية ، يكون المميز منها مربعًا كاملًا ؛ وهكذا ، تم حساب جذور المعادلة (2) على الفور من خلال صيغة جذور المعادلة التربيعية ، ثم تم استخلاص النتائج المتعلقة بهذه الجذور. تم اختزال المعادلة (3) إلى معادلة تربيعية (4) ، ومميزها ليس مربعًا كاملًا ، لذلك ، عند حل المعادلة (3) ، يُنصح باستخدام النظريات حول موقع جذور مربع ثلاثي الحدود و نموذج رسومي. لاحظ أنه يمكن حل المعادلة (4) باستخدام نظرية فييتا.

لنحل المعادلات الأكثر تعقيدًا.

المهمة 3. حل المعادلة

حل. ODZ: x1 ، x2.

دعنا نقدم بديل. لنفترض أن 2x = t ، t> 0 ، وكنتيجة للتحولات ، ستأخذ المعادلة الشكل t2 + 2t - 13 - a = 0. (*) دعونا نجد قيم a التي لها جذر واحد على الأقل من المعادلة (*) تفي بالشرط t> 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

الجواب: إذا كانت a> - 13 ، a 11 ، a 5 ، ثم إذا a - 13 ،

أ = 11 ، أ = 5 ، فلا توجد جذور.

فهرس.

1. أسس جوزيف لتكنولوجيا التعليم.

2. تقنية جوزيف: من الاستقبال إلى الفلسفة.

M. "Headmaster" No. 4، 1996

3. جوزيف و الأشكال التنظيميةتعلُّم.

4. جوزيف وممارسة تقنية تعليمية متكاملة.

M. "تعليم الناس" ، 2001

5. جوزيف من أشكال الدرس - ندوة.

الرياضيات في المدرسة رقم 2 ، 1987 ، ص 9-11.

6. تقنيات التعليم Selevko.

M. "تعليم الناس" ، 1998

7. أطفال مدارس Episheva يتعلمون الرياضيات.

م. "التنوير" ، 1990

8. إيفانوف لإعداد الدروس - ورش العمل.

الرياضيات في المدرسة رقم 6 ، 1990 ، ص. 37-40.

9. نموذج سميرنوف لتعليم الرياضيات.

الرياضيات في المدرسة رقم 1 ، 1997 ، ص. 32-36.

10. Tarasenko طرق تنظيم العمل العملي.

الرياضيات في المدرسة رقم 1 ، 1993 ، ص. 27 - 28.

11. حول أحد أنواع العمل الفردي.

الرياضيات في المدرسة رقم 2 ، 1994 ، ص 63 - 64.

12. خزانكين مهارات إبداعيةتلاميذ المدارس.

الرياضيات في المدرسة رقم 2 ، 1989 ، ص. 10.

13. سكانافي. الناشر ، 1997

14. وآخرون. الجبر وبدايات التحليل. المواد التعليمية ل

15. مهام Krivonogov في الرياضيات.

م "الأول من سبتمبر" 2002

16. تشيركاسوف. كتيب لطلاب المدارس الثانوية و

دخول الجامعات. - مدرسة الصحافة عام 2002

17. Zhevnyak للمتقدمين للجامعات.

مينسك و RF "مراجعة" ، 1996

18. كتابي د. التحضير لامتحان الرياضيات. إم رولف ، 1999

19. وغيرها تعلم حل المعادلات وعدم المساواة.

م. "مركز الفكر" 2003

20. وغيرها. المواد التعليمية والتدريبية للتحضير ل E G E.

م. "الفكر - المركز" ، 2003 و 2004

21 وغيرها. مركز الاختبارات التابع لوزارة الدفاع الروسية ، 2002 ، 2003

22. معادلات جولدبيرج. "كوانتوم" رقم 3 ، 1971

23. Volovich M. كيف تدرس الرياضيات بنجاح.

الرياضيات ، 1997 رقم 3.

24 أوكونيف للدرس يا أطفال! التنوير ، 1988

25. Yakimanskaya - التعليم الموجه في المدرسة.

26. Liimets العمل في الدرس. م. المعرفة ، 1975

في مرحلة التحضير للاختبار النهائي ، يحتاج طلاب المدارس الثانوية إلى تحسين معرفتهم حول موضوع "المعادلات الأسية". تشير تجربة السنوات الماضية إلى أن مثل هذه المهام تسبب بعض الصعوبات لأطفال المدارس. لذلك ، يحتاج طلاب المدارس الثانوية ، بغض النظر عن مستوى إعدادهم ، إلى إتقان النظرية بعناية وحفظ الصيغ وفهم مبدأ حل هذه المعادلات. بعد تعلم كيفية التعامل مع هذا النوع من المهام ، سيتمكن الخريجون من الاعتماد على درجات عالية عند اجتياز اختبار الرياضيات.

استعد للاختبار مع شكولكوفو!

عند تكرار المواد التي تمت تغطيتها ، يواجه العديد من الطلاب مشكلة إيجاد الصيغ اللازمة لحل المعادلات. الكتاب المدرسي ليس دائما في متناول اليد ، والاختيار معلومات ضروريةحول الموضوع على الإنترنت يستغرق وقتًا طويلاً.

تدعو البوابة التعليمية Shkolkovo الطلاب لاستخدام قاعدة المعرفة الخاصة بنا. نحن ننفذ بالكامل أسلوب جديدالتحضير للاختبار النهائي. من خلال الدراسة على موقعنا ، ستتمكن من تحديد الفجوات المعرفية والاهتمام على وجه التحديد بتلك المهام التي تسبب أكبر الصعوبات.

قام معلمو "شكولكوفو" بجمع وتنظيم وتقديم كل ما هو ضروري لتحقيق النجاح استخدام الموادبأكثر الطرق بساطة وسهولة.

يتم تقديم التعريفات والصيغ الرئيسية في قسم "المرجع النظري".

لاستيعاب المواد بشكل أفضل ، نوصيك بممارسة المهام. راجع بعناية أمثلة المعادلات الأسية مع الحلول المقدمة في هذه الصفحة لفهم خوارزمية الحساب. بعد ذلك ، تابع المهام في قسم "الكتالوجات". يمكنك البدء بأسهل المهام أو الانتقال مباشرة إلى حل المعادلات الأسية المعقدة مع العديد من المجاهيل أو. يتم استكمال وتحديث قاعدة بيانات التمارين على موقعنا باستمرار.

يمكن إضافة تلك الأمثلة مع المؤشرات التي سببت لك صعوبات إلى "المفضلة". حتى تتمكن من العثور عليها بسرعة ومناقشة الحل مع المعلم.

لاجتياز الامتحان بنجاح ، ادرس على بوابة شكولكوفو كل يوم!

حل المعادلات الأسية. أمثلة.

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

ماذا حدث المعادلة الأسية؟ هذه معادلة يكون فيها المجهول (س) والتعبيرات معهم المؤشراتبعض الدرجات. وفقط هناك! انه مهم.

ها أنت ذا أمثلة من المعادلات الأسية:

3 × 2 × = 8 × + 3

ملحوظة! في قواعد الدرجات (أدناه) - أرقام فقط. في المؤشراتدرجات (أعلاه) - مجموعة متنوعة من التعبيرات ذات x. إذا ظهر x فجأة في المعادلة في مكان آخر غير المؤشر ، على سبيل المثال:

ستكون هذه معادلة مختلطة. مثل هذه المعادلات ليس لها قواعد واضحة للحل. لن نفكر فيها الآن. هنا سنتعامل مع حل المعادلات الأسيةفي أنقى صورها.

في الواقع ، حتى المعادلات الأسية البحتة لا تُحل دائمًا بوضوح. ولكن هناك أنواعًا معينة من المعادلات الأسية التي يمكن ويجب حلها. هذه هي الأنواع التي سننظر إليها.

حل أبسط المعادلات الأسية.

لنبدأ بشيء أساسي للغاية. على سبيل المثال:

حتى بدون أي نظرية ، من خلال الاختيار البسيط ، من الواضح أن x = 2. لا شيء أكثر ، أليس كذلك؟ لا توجد لفات قيمة x أخرى. والآن دعونا نلقي نظرة على حل هذه المعادلة الأسية الصعبة:

ماذا فعلنا؟ في الواقع ، لقد ألقينا للتو نفس القيعان (ثلاثة أضعاف). طرد تماما. وماذا يرضي ، اصطدم بالعلامة!

في الواقع ، إذا كان في المعادلة الأسية على اليسار وعلى اليمين نفس الشيءالأرقام بأي درجة ، يمكن إزالة هذه الأرقام وتساوي الأسس. تسمح الرياضيات. يبقى حل معادلة أبسط بكثير. إنه جيد ، أليس كذلك؟)

ومع ذلك ، دعونا نتذكر من المفارقات: يمكنك إزالة القواعد فقط عندما تكون الأرقام الأساسية على اليسار واليمين في عزلة رائعة!بدون أي جيران ومعاملات. دعنا نقول في المعادلات:

2 س +2 س + 1 = 2 3 ، أو

لا يمكنك إزالة الزوجي!

حسنًا ، لقد أتقننا أهم شيء. كيف نتحرك من الشر التعبيرات الأسيةإلى معادلات أبسط.

"ها هي تلك الأوقات!" - قول انت. "من سيعطي مثل هذه البدائية في الرقابة والامتحانات !؟"

أجبرت على الموافقة. لا أحد سيفعل. لكنك الآن تعرف إلى أين تتجه عند حل الأمثلة المربكة. من الضروري تذكر ذلك ، عندما يكون الرقم الأساسي نفسه على اليسار - على اليمين. ثم كل شيء سيكون أسهل. في الواقع ، هذه هي كلاسيكيات الرياضيات. نأخذ المثال الأصلي ونحوله إلى المطلوب نحنعقل. طبعا حسب قواعد الرياضيات.

ضع في اعتبارك الأمثلة التي تتطلب بعض الجهد الإضافي لجعلها أبسط. دعنا نسميهم معادلات أسية بسيطة.

حل المعادلات الأسية البسيطة. أمثلة.

عند حل المعادلات الأسية ، فإن القواعد الرئيسية هي الإجراءات مع السلطات.بدون معرفة هذه الإجراءات ، لن ينجح شيء.

إلى الإجراءات ذات الدرجات ، يجب على المرء إضافة الملاحظة الشخصية والبراعة. هل نحتاج إلى نفس الأعداد الأساسية؟ لذلك نحن نبحث عنها في المثال بصيغة صريحة أو مشفرة.

دعونا نرى كيف يتم ذلك عمليا؟

دعنا نعطينا مثالا:

2 2 س - 8 س + 1 = 0

أول نظرة على أسباب.هم ... هم مختلفون! اثنان وثمانية. لكن من السابق لأوانه الشعور بالإحباط. حان الوقت لتذكر ذلك

اثنان وثمانية أقارب في الدرجة.) من الممكن تمامًا كتابة:

8 س + 1 = (2 3) س + 1

إذا تذكرنا الصيغة من الأفعال ذات القوى:

(أ ن) م = أ نانومتر ،

بشكل عام يعمل بشكل رائع:

8 س + 1 = (2 3) س + 1 = 2 3 (س + 1)

يبدو المثال الأصلي كالتالي:

2 2 س - 2 3 (س + 1) = 0

ننقل 2 3 (× + 1)إلى اليمين (لم يلغ أحد الإجراءات الأولية للرياضيات!) ، نحصل على:

2 2 س \ u003d 2 3 (س + 1)

هذا كل شيء عمليا. إزالة القواعد:

نحل هذا الوحش ونحصل عليه

هذا هو الجواب الصحيح.

في هذا المثال ، ساعدتنا معرفة قوى العدد اثنين. نحن المحددةفي الثمانية ، الشيطان المشفر. هذه التقنية (التشفير الاراضي المشتركةتحت أرقام مختلفة) - خدعة شائعة جدًا في المعادلات الأسية! نعم ، حتى في اللوغاريتمات. يجب أن يكون المرء قادرًا على التعرف على قوى الأعداد الأخرى في الأرقام. هذا مهم للغاية لحل المعادلات الأسية.

الحقيقة هي أن رفع أي رقم إلى أي قوة ليس مشكلة. اضرب ، حتى على قطعة من الورق ، وهذا كل شيء. على سبيل المثال ، يمكن للجميع رفع 3 إلى القوة الخامسة. 243 ستظهر إذا كنت تعرف جدول الضرب.) ولكن في المعادلات الأسية ، غالبًا ما يكون من الضروري عدم رفعها إلى قوة ، ولكن العكس ... ما الرقم إلى أي مدىيختبئ خلف الرقم 243 ، أو ، على سبيل المثال ، 343 ... لن تساعدك هنا أي آلة حاسبة.

أنت بحاجة إلى معرفة قوى بعض الأرقام عن طريق البصر ، نعم ... هل نتدرب؟

حدد ما هي القوى وما هي الأرقام هي الأرقام:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

الإجابات (في حالة فوضى ، بالطبع!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

إذا نظرت عن كثب ، يمكنك أن ترى حقيقة غريبة. هناك إجابات أكثر من الأسئلة! حسنًا ، هذا يحدث ... على سبيل المثال ، 2 6 ، 4 3 ، 8 2 هو الكل 64.

لنفترض أنك قد لاحظت المعلومات المتعلقة بالتعرف على الأرقام.) دعني أذكرك أنه لحل المعادلات الأسية ، نطبق الكلمخزون المعرفة الرياضية. بما في ذلك من الطبقات المتوسطة الدنيا. أنت لم تذهب مباشرة إلى المدرسة الثانوية ، أليس كذلك؟

على سبيل المثال ، عند حل المعادلات الأسية ، غالبًا ما يساعد وضع العامل المشترك خارج الأقواس (مرحبًا بالصف السابع!). دعنا نرى مثالا:

3 2 س + 4-11 9 س = 210

ومرة أخرى ، النظرة الأولى - على أرض الواقع! قواعد الدرجات مختلفة ... ثلاثة وتسعة. ونريدهم أن يكونوا متشابهين. حسنًا ، في هذه الحالة ، تكون الرغبة ممكنة تمامًا!) للأسباب التالية:

9 س = (3 2) س = 3 2 س

وفقًا لنفس قواعد الإجراءات ذات الدرجات:

3 2 س + 4 = 3 2 س 3 4

هذا رائع ، يمكنك أن تكتب:

3 2 س 3 4 - 11 3 2 س = 210

قدمنا ​​مثالا لنفس الأسباب. إذن ، ماذا بعد !؟ لا يمكن رمي الثلاثات ... طريق مسدود؟

مُطْلَقاً. تذكر قاعدة القرار الأكثر عالمية وقوة الجميع واجبات الرياضيات:

إذا كنت لا تعرف ماذا تفعل ، فافعل ما تستطيع!

انظر ، كل شيء تم تشكيله).

ما هو في هذه المعادلة الأسية يستطيعيفعل؟ نعم ، يسأل الجانب الأيسر مباشرة عن الأقواس! المضاعف المشترك 3 2x يلمح بوضوح إلى هذا. لنجرب ، وبعد ذلك سنرى:

3 2x (3 4-11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

المثال يتحسن باستمرار!

نتذكر أنه من أجل حذف القواعد ، نحتاج إلى درجة صافية ، بدون أي معاملات. الرقم 70 يزعجنا. لذلك نقسم كلا طرفي المعادلة على 70 ، نحصل على:

Op-pa! كل شيء على ما يرام!

هذه هي الإجابة النهائية.

ومع ذلك ، يحدث أن يتم الحصول على سيارات الأجرة على نفس الأسس ، ولكن لا يتم تصفيتها. يحدث هذا في المعادلات الأسية من نوع آخر. دعونا نحصل على هذا النوع.

تغيير المتغير في حل المعادلات الأسية. أمثلة.

لنحل المعادلة:

٤ س - ٣ ٢ س +2 = ٠

أولا - كالعادة. دعنا ننتقل إلى القاعدة. إلى الشيطان.

4 س = (2 2) س = 2 2 س

نحصل على المعادلة:

2 2 س - 3 2 س +2 = 0

وهنا سنعلق. لن تعمل الحيل السابقة ، بغض النظر عن كيفية قلبك لها. سيتعين علينا الخروج من ترسانة وسيلة أخرى قوية ومتعددة الاستخدامات. تسمى استبدال متغير.

جوهر الطريقة بسيط بشكل مدهش. بدلاً من رمز واحد معقد (في حالتنا ، 2 x) ، نكتب رمزًا آخر أبسط (على سبيل المثال ، t). مثل هذا الاستبدال الذي يبدو بلا معنى يؤدي إلى نتائج مذهلة!) يصبح كل شيء واضحًا ومفهومًا!

لذا دع

ثم 2 2x \ u003d 2 x2 \ u003d (2 x) 2 \ u003d t 2

نستبدل في معادلتنا جميع القوى بـ x بـ t:

حسنًا ، لقد بزغت؟) المعادلات التربيعيةلم تنسى بعد؟ نحل من خلال المميز ، نحصل على:

هنا ، الشيء الرئيسي هو عدم التوقف ، كما يحدث ... هذه ليست الإجابة بعد ، فنحن بحاجة إلى x ، وليس t. نعود إلى Xs ، أي صنع بديل. الأول لـ t 1:

إنه،

تم العثور على جذر واحد. نبحث عن الثاني من ر 2:

أم ... يسار 2 × ، يمين 1 ... عقبة؟ نعم لا على الاطلاق! يكفي أن نتذكر (من الأفعال ذات الدرجات ، نعم ...) أن الوحدة هي أيالرقم إلى الصفر. أي. كل ما تحتاجه ، سنضعه. نحن بحاجة إلى اثنين. وسائل:

الآن هذا كل شيء. حصلت على 2 جذور:

هذا هو الجواب.

في حل المعادلات الأسيةفي النهاية ، يتم الحصول على بعض التعبيرات المحرجة أحيانًا. يكتب:

من السبعة ، لا يعمل الشيطان من خلال درجة بسيطة. هم ليسوا أقارب ... كيف يمكنني أن أكون هنا؟ قد يكون شخص ما في حيرة من أمره ... لكن الشخص الذي قرأ في هذا الموقع موضوع "ما هو اللوغاريتم؟" ابتسم باعتدال واكتب بيد قوية الإجابة الصحيحة تمامًا:

لا يمكن أن تكون هناك إجابة من هذا القبيل في المهام "ب" في الامتحان. هناك عدد محدد مطلوب. ولكن في المهام "ج" - بسهولة.

يقدم هذا الدرس أمثلة على حل أكثر المعادلات الأسية شيوعًا. دعنا نسلط الضوء على الرئيسي.

نصائح عملية:

1. بادئ ذي بدء ، ننظر إلى أسبابدرجات. دعونا نرى ما إذا كان لا يمكن فعل ذلك نفس الشيء.دعنا نحاول القيام بذلك عن طريق استخدام الإجراءات مع السلطات.لا تنس أن الأرقام بدون x يمكن أيضًا تحويلها إلى درجات!

2. نحاول إحضار المعادلة الأسية إلى الشكل عندما يكون اليسار واليمين كذلك نفس الشيءالأرقام إلى أي درجة. نحن نستخدم الإجراءات مع السلطاتو التحليل إلى عوامل.ما يمكن عده بالأرقام - نحسب.

3. إذا لم تنجح النصيحة الثانية ، نحاول تطبيق استبدال المتغير. يمكن أن تكون النتيجة معادلة يمكن حلها بسهولة. في أغلب الأحيان - مربع. أو كسري ، مما يقلل أيضًا إلى مربع.

4. لحل المعادلات الأسية بنجاح ، تحتاج إلى معرفة درجات بعض الأرقام "عن طريق البصر".

كالعادة ، في نهاية الدرس ، أنت مدعو لحل القليل) بنفسك. من البسيط إلى المعقد.

حل المعادلات الأسية:

أكثر صعوبة:

2 × + 3 - 2 × + 2 - 2 × \ u003d 48

9 × - 8 3 × = 9

2 س - 2 0.5 س + 1-8 = 0

ابحث عن منتج الجذور:

2 3-س + 2 س = 9

حدث؟

حسنا اذن اصعب مثال(قرر ، مع ذلك ، في العقل ...):

7 0.13 س + 13 0.7 س + 1 + 2 0.5 س + 1 = -3

ما هو أكثر إثارة للاهتمام؟ ثم هذا مثال سيء بالنسبة لك. سحب شديد على زيادة الصعوبة. سألمح إلى أنه في هذا المثال ، يحفظ البراعة والقاعدة الأكثر عالمية لحل جميع المهام الرياضية.)

2 5 س -1 3 3 س -1 5 2 س -1 = 720 س

مثال أبسط من أجل الاسترخاء):

9 2 س - 4 3 س = 0

وللحلوى. أوجد مجموع جذور المعادلة:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

نعم نعم! هذه معادلة من النوع المختلط! وهو ما لم نأخذه بعين الاعتبار في هذا الدرس. وما يجب مراعاتها في الاعتبار ، يجب حلها!) هذا الدرس كافٍ تمامًا لحل المعادلة. حسنًا ، هناك حاجة إلى الإبداع ... ونعم ، سوف يساعدك الصف السابع (هذا تلميح!).

الإجابات (في حالة فوضى ، مفصولة بفواصل منقوطة):

1 ؛ 2 ؛ 3 ؛ 4 ؛ لا توجد حلول 2 ؛ -2 ؛ -5 ؛ 4 ؛ 0.

هل كل شيء ناجح؟ عظيم.

هناك مشكلة؟ لا مشكلة! في القسم الخاص 555 ، يتم حل كل هذه المعادلات الأسية باستخدام شروحات مفصلة. ماذا ولماذا ولماذا. وبالطبع ، هناك معلومات قيمة إضافية حول العمل مع جميع أنواع المعادلات الأسية. ليس فقط مع هؤلاء.)

آخر سؤال ممتع للنظر فيه. في هذا الدرس ، عملنا باستخدام المعادلات الأسية. لماذا لم أنطق بكلمة واحدة عن ODZ هنا؟بالمناسبة ، هذا شيء مهم جدًا في المعادلات ...

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.