مهام عملية على المنطق الرياضي للعبارات والعمليات عليها. قيم الحقيقة

المنطق الاقتراحي ويسمى أيضًا المنطق الافتراضي - فرع من الرياضيات والمنطق يدرس الأشكال المنطقية للعبارات المعقدة المبنية من عبارات بسيطة أو أولية باستخدام العمليات المنطقية.

ويستخلص منطق القضايا من الحمولة الهادفة للقضايا ويدرس قيمتها الحقيقية، أي ما إذا كانت القضية صحيحة أم خاطئة.

الشكل أعلاه هو توضيح لظاهرة تعرف باسم مفارقة الكذاب. في الوقت نفسه، وفقا لمؤلف المشروع، فإن مثل هذه المفارقات ممكنة فقط في البيئات التي ليست خالية من المشاكل السياسية، حيث يمكن وصف شخص ما بأنه كاذب بداهة. في عالم الطبقات الطبيعية يتم تقييم موضوع "الحقيقة" أو "الباطل" فقط من خلال البيانات المأخوذة بشكل منفصل . وفي وقت لاحق في هذا الدرس، سيتم تعريفك بـ الفرصة لتقييم العديد من الأقوال حول هذا الموضوع (ثم ​​انظر إلى الإجابات الصحيحة). بما في ذلك العبارات المعقدة التي ترتبط فيها العبارات الأبسط بعلامات العمليات المنطقية. لكن دعونا أولًا نفكر في هذه العمليات على القضايا نفسها.

يستخدم المنطق المقترح في علوم الكمبيوتر والبرمجة في شكل إعلان عن المتغيرات المنطقية وتعيين القيم المنطقية لها "خطأ" أو "صحيح"، والتي يعتمد عليها مسار التنفيذ الإضافي للبرنامج. في البرامج الصغيرة التي تتضمن متغيرًا منطقيًا واحدًا فقط، غالبًا ما يُعطى هذا المتغير المنطقي اسمًا، مثل "علم" ويتم تضمين "العلم" عندما تكون قيمة هذا المتغير "صحيحة" و"العلم منخفض" عندما تكون قيمة هذا المتغير هذا المتغير "خطأ". في البرامج صوت عالي، حيث يوجد العديد أو حتى الكثير من المتغيرات المنطقية، يُطلب من المحترفين التوصل إلى أسماء المتغيرات المنطقية التي لها شكل عبارات وحمولة دلالية تميزها عن المتغيرات المنطقية الأخرى وتكون مفهومة للمهنيين الآخرين الذين سوف قراءة نص هذا البرنامج.

لذلك، يمكن الإعلان عن متغير منطقي باسم "UserRegistered" (أو ما يعادله باللغة الإنجليزية)، على شكل عبارة، والتي يمكن تعيين القيمة المنطقية لها "صحيح" إذا تم استيفاء شروط إرسال بيانات التسجيل من قبل المستخدم ويتم التعرف على هذه البيانات من قبل البرنامج على أنها صالحة. في الحسابات الإضافية، قد تتغير قيم المتغيرات اعتمادًا على القيمة المنطقية ("صواب" أو "خطأ") التي يمتلكها متغير "UserLogged in". في حالات أخرى، يمكن تعيين متغير، على سبيل المثال، بالاسم "أكثر من ثلاثة أيام حتى يوم"، القيمة "صحيح" حتى كتلة معينة من الحسابات، وأثناء التنفيذ الإضافي للبرنامج، يمكن تعيين هذه القيمة تم حفظه أو تغييره إلى "خطأ" ويعتمد مسار التنفيذ الإضافي على قيمة هذا البرنامج المتغير.

إذا كان البرنامج يستخدم عدة متغيرات منطقية أسماؤها على شكل قضايا، ويتم بناء قضايا أكثر تعقيدًا منها، فمن الأسهل كثيرًا تطوير برنامج إذا كانت جميع العمليات من القضايا مكتوبة في شكل صيغ قبل تطويره. المستخدمة في المنطق الافتراضي مما نفعله في سياق هذا الدرس ودعونا نفعل ذلك.

العمليات المنطقية على البيانات

بالنسبة للبيانات الرياضية، يمكن للمرء دائمًا الاختيار بين بديلين مختلفين "صحيح" و"خطأ"، ولكن بالنسبة للبيانات المكتوبة باللغة "اللفظية"، فإن مفهومي "صحيح" و"خطأ" أكثر غموضًا إلى حد ما. ومع ذلك، على سبيل المثال، فإن الصيغ اللفظية مثل "العودة إلى المنزل" و"هل تمطر؟" ليست منطوقات. ولذلك فمن الواضح أن الكلام هو صيغ لفظية يُذكر فيها شيء ما . الجمل الاستفهامية أو التعجبية والاستئنافات وكذلك الرغبات أو المطالب ليست بيانات. ولا يمكن تقييمها بالقيمتين "صواب" و"خطأ".

ومن ناحية أخرى، يمكن النظر إلى القضايا على أنها كمية يمكن أن تأخذ قيمتين: "صحيح" و"خطأ".

على سبيل المثال، يتم إعطاء الأحكام: "الكلب حيوان"، "باريس عاصمة إيطاليا"، "3

يمكن تقييم أول هذه العبارات بالرمز "صحيح"، والثاني - "خطأ"، والثالث - "صحيح"، والرابع - "خطأ". مثل هذا التفسير للافتراضات هو موضوع الجبر المقترح. سوف نشير إلى البيانات الكبيرة بأحرف لاتينية أ, ب، ...، وقيمها، أي الصواب والخطأ على التوالي وو ل. في الكلام العادي، يتم استخدام الروابط بين العبارات "و" و"أو" وغيرها.

هذه الروابط تجعل من الممكن، من خلال الجمع بين العبارات المختلفة، تشكيل عبارات جديدة - تصريحات معقدة . على سبيل المثال، مجموعة من "و". دع التصريحات تعطى: π أكبر من 3" والبيان " π أقل من 4. يمكنك تنظيم عبارة جديدة ومعقدة " π أكثر من 3 و π أقل من 4". عبارة "إذا π غير عقلاني إذن π ² غير عقلاني أيضًا" يتم الحصول عليه من خلال ربط عبارتين بالرابط "إذا - إذن". وأخيرًا، يمكننا الحصول على عبارة جديدة - معقدة - من أي عبارة - تنفي العبارة الأصلية.

اعتبار المقترحات كميات تأخذ القيم وو ل، نحدد كذلك العمليات المنطقية على البيانات والتي تتيح لنا الحصول على بيانات جديدة ومعقدة من هذه البيانات.

دعونا نعطي بيانين تعسفيين أو ب.

1 . أول عملية منطقية على هذه العبارات - الاقتران - هي تكوين عبارة جديدة سنشير إليها أ ∧ بوالذي هو صحيح إذا وفقط إذا أو بحقيقي. في الكلام العادي، تتوافق هذه العملية مع ربط البيانات بمجموعة من "و".

جدول الحقيقة للاقتران:

أ	ب	أ ∧ ب
و	و	و
و	ل	ل
ل	و	ل
ل	ل	ل

2 . العملية المنطقية الثانية على البيانات أو ب- الانفصال كما هو موضح أ ∨ بيتم تعريفه على النحو التالي: يكون صحيحًا إذا وفقط إذا كانت إحدى العبارات الأصلية على الأقل صحيحة. في الكلام العادي، تتوافق هذه العملية مع ربط البيانات بمجموعة من "أو". ومع ذلك، لدينا هنا "أو" غير فاصلة، والتي تُفهم بمعنى "إما-أو" عندما أو بكلاهما لا يمكن أن يكون صحيحا. في تعريف المنطق المقترح أ ∨ بصحيح إذا كان أحد العبارات صحيحًا فقط، وإذا كان كلا العبارتين صحيحين أو ب.

جدول الحقيقة للانفصال:

أ	ب	أ ∨ ب
و	و	و
و	ل	و
ل	و	و
ل	ل	ل

3 . العملية المنطقية الثالثة على البيانات أو ب، كما أعرب أ → ب; العبارة الناتجة خاطئة إذا وفقط إذا أصحيح، و بخطأ شنيع. أمُسَمًّى قطعة , ب - عاقبة ، والبيان أ → ب - التالي ، ويسمى أيضا ضمنا. في الكلام العادي، تتوافق هذه العملية مع الرابط "إذا - إذن": "إذا أ، الذي - التي ب". ولكن في تعريف المنطق الافتراضى، تكون هذه القضية صحيحة دائمًا، بغض النظر عما إذا كانت القضية صحيحة أم خاطئة ب. يمكن صياغة هذا الظرف بإيجاز على النحو التالي: "كل ما تحبه فهو من الباطل". بدوره، إذا أصحيح، و بكاذبة، ثم البيان كله أ → بخطأ شنيع. سيكون صحيحا إذا وفقط إذا أ، و بحقيقي. باختصار، يمكن صياغتها على النحو التالي: "لا يمكن أن يتبع الخطأ الحق".

جدول الحقيقة الذي يجب اتباعه (التضمين):

أ	ب	أ → ب
و	و	و
و	ل	ل
ل	و	و
ل	ل	و

4 . العملية المنطقية الرابعة على العبارات، وبشكل أكثر دقة على عبارة واحدة، تسمى نفي العبارة. أويشار إليه بـ ~ أ(يمكنك أيضًا العثور على استخدام ليس الرمز ~، ولكن الرمز ¬، بالإضافة إلى الخط العلوي أ). ~ أهناك عبارة خاطئة متى أصحيح، وصحيح عندما أخطأ شنيع.

جدول الحقيقة للنفي:

أ	~ أ
ل	و
و	ل

5 . وأخيرًا، العملية المنطقية الخامسة على القضايا تسمى التكافؤ ويشار إليها أ ↔ ب. البيان الناتج أ ↔ بهو بيان صحيح إذا وفقط إذا أو بكلاهما صحيح أو كلاهما خطأ.

جدول الحقيقة للتكافؤ:

أ	ب	أ → ب	ب → أ	أ ↔ ب
و	و	و	و	و
و	ل	ل	و	ل
ل	و	و	ل	ل
ل	ل	و	و	و

تحتوي معظم لغات البرمجة على رموز خاصة للقيم المنطقية للمقترحات، وهي مكتوبة في جميع اللغات تقريبًا على أنها صحيح (صحيح) وخاطئ (خطأ).

دعونا تلخيص ما ورد أعلاه. المنطق الاقتراحي يدرس الروابط التي يتم تحديدها بالكامل من خلال الطريقة التي يتم بها بناء بعض العبارات من غيرها، والتي تسمى العبارات الأولية. تعتبر البيانات الأولية كاملة وغير قابلة للتجزئة إلى أجزاء.

نقوم بتنظيم الأسماء والتسميات ومعاني العمليات المنطقية على العبارات في الجدول أدناه (سنحتاج إليها قريبًا مرة أخرى لحل الأمثلة).

باقة	تعيين	اسم العملية
لا		النفي
و		اِقتِران
أو		انفصال
اذا ثم...		يتضمن
عندها وعندها فقط		التكافؤ

للعمليات المنطقية صحيحة قوانين الجبر المنطقوالتي يمكن استخدامها لتبسيط التعبيرات المنطقية. وفي الوقت نفسه تجدر الإشارة إلى أنها في منطق القضايا تجرد من المحتوى الدلالي للقضية وتقتصر على اعتبارها من موقع كونها إما صحيحة أو كاذبة.

مثال 1

1) (2 = 2) و (7 = 7) ؛

2) ليس(15؛

3) ("الصنوبر" = "البلوط") أو ("الكرز" = "القيقب");

4) Not("Pine" = "Oak") ;

5) (ليس(15 20) ؛

6) ("العيون مُعطاة للرؤية") و ("تحت الطابق الثالث يوجد الطابق الثاني");

7) (6/2 = 3) أو (7*5 = 20) .

1) قيمة العبارة التي بين القوسين الأول هي "صحيح"، وقيمة العبارة التي بين القوسين الثانية صحيحة أيضًا. ترتبط كلا العبارتين من خلال العملية المنطقية "AND" (راجع قواعد هذه العملية أعلاه)، وبالتالي فإن القيمة المنطقية لهذه العبارة بأكملها هي "صحيح".

2) معنى العبارة التي بين القوسين هو "خطأ". يسبق هذا البيان عملية نفي منطقية، وبالتالي فإن القيمة المنطقية لهذه العبارة بأكملها هي "صحيح".

3) معنى العبارة التي بين القوسين الأول "خطأ"، ومعنى العبارة التي بين القوسين الثاني "خطأ" أيضًا. ترتبط العبارات بالعملية المنطقية "OR" ولا تحتوي أي من العبارات على القيمة "صحيح". ولذلك فإن المعنى المنطقي لهذه العبارة بأكملها هو "خطأ".

4) معنى العبارة التي بين القوسين هو "خطأ". يسبق هذا البيان عملية نفي منطقية. ولذلك، فإن المعنى المنطقي للبيان بأكمله هو "صحيح".

5) بين القوسين الأولين نفي ما بين القوسين الداخليين. يتم تقييم هذه العبارة الموجودة بين قوسين على أنها "خطأ"، لذا فإن نفيها سيتم تقييمه على القيمة المنطقية "صحيح". العبارة الموجودة بين القوسين الثانيين لها القيمة "خطأ". ترتبط هاتان العبارتان بالعملية المنطقية "AND"، أي يتم الحصول على "صحيح وخطأ". ولذلك، فإن المعنى المنطقي للبيان بأكمله هو "خطأ".

6) معنى العبارة التي بين القوسين الأول "صحيح" ، ومعنى العبارة التي بين القوسين الثاني "صحيح" أيضًا. ترتبط هاتان العبارتان بالعملية المنطقية "AND"، أي يتم الحصول على "صحيح وحقيقة". ولذلك، فإن المعنى المنطقي للبيان بأكمله هو "صحيح".

7) معنى العبارة التي بين القوسين الأولين هو "صحيح". ومعنى العبارة التي بين القوسين الثاني هو "خطأ". ترتبط هاتان العبارتان بالعملية المنطقية "OR"، أي يتم الحصول على "صحيح أو خطأ". ولذلك، فإن المعنى المنطقي للبيان بأكمله هو "صحيح".

مثال 2اكتب العبارات المعقدة التالية باستخدام العمليات المنطقية:

1) "المستخدم غير مسجل"؛

2) "اليوم هو الأحد وبعض الموظفين في العمل"؛

3) "يتم تسجيل المستخدم عندما وفقط عندما يتبين أن البيانات المرسلة من قبل المستخدم صالحة."

1) ص- عبارة واحدة "تم تسجيل المستخدم"، عملية منطقية: ؛

2) ص- عبارة واحدة "اليوم هو الأحد"، س- "بعض الموظفين في العمل"، عملية منطقية: ؛

3) ص- عبارة واحدة "تم تسجيل المستخدم"، س- "البيانات المرسلة من قبل المستخدم صالحة"، عملية منطقية: .

قم بحل الأمثلة المنطقية الافتراضية بنفسك ثم انظر إلى الحلول

مثال 3احسب القيم المنطقية للعبارات التالية:

1) ("هناك 70 ثانية في الدقيقة") أو ("الساعة الجارية تظهر الوقت");

2) (28 > 7) و (300/5 = 60)؛

3) ("تلفزيون - الأجهزة الكهربائية") و ("الزجاج - الخشب");

4) ليس((300 > 100) أو ("يمكن أن يروي العطش بالماء"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

مثال 4اكتب العبارات المعقدة التالية باستخدام العمليات المنطقية واحسب قيمها المنطقية:

1) "إذا لم تظهر الساعة الوقت بشكل صحيح، فيمكنك الحضور إلى الفصل في الوقت الخطأ"؛

2) "في المرآة يمكنك رؤية انعكاسك وباريس - عاصمة الولايات المتحدة الأمريكية"؛

مثال 5تحديد التعبير المنطقي

(ص → س) ↔ (ص → س) ,

ص = "278 > 5" ,

س= "تفاحة = برتقالية",

ص = "0 = 9" ,

س= "القبعة تغطي الرأس".

الصيغ المنطقية المقترحة

يتم تحديد مفهوم الشكل المنطقي للبيان المعقد بمساعدة المفهوم الصيغ المنطقية المقترحة .

في المثالين 1 و2، تعلمنا كيفية كتابة عبارات معقدة باستخدام العمليات المنطقية. في الواقع، يطلق عليها الصيغ المنطقية الافتراضية.

للدلالة على العبارات، كما في المثال أعلاه، سنستمر في استخدام الحروف

ص, س, ص, ..., ص 1 , س 1 , ص 1 , ...

ستلعب هذه الحروف دور المتغيرات التي تتخذ قيم الحقيقة "صواب" و"خطأ" كقيم. وتسمى هذه المتغيرات أيضًا بالمتغيرات المقترحة. سوف ندعوهم من الآن فصاعدا الصيغ الأولية أو الذرات .

لبناء صيغ منطقية افتراضية، بالإضافة إلى الحروف المذكورة أعلاه، يتم استخدام علامات العمليات المنطقية

~, ∧, ∨, →, ↔,

بالإضافة إلى الرموز التي توفر إمكانية قراءة الصيغ بشكل لا لبس فيه - بين قوسين أيمن وأيسر.

مفهوم الصيغ المنطقية المقترحة تحديد على النحو التالي:

1) الصيغ الأولية (الذرات) هي صيغ المنطق الافتراضي؛

2) إذا أو ب- الصيغ المنطقية المقترحة، ثم ~ أ , (أ ∧ ب) , (أ ∨ ب) , (أ → ب) , (أ ↔ ب) هي أيضًا صيغ للمنطق الافتراضي؛

3) هذه التعبيرات فقط هي صيغ منطقية افتراضية يتبعها 1) و 2).

يحتوي تعريف الصيغة المنطقية الافتراضية على تعداد لقواعد تكوين هذه الصيغ. ووفقا للتعريف، فإن كل صيغة من المنطق الافتراضي هي إما ذرة أو تتكون من ذرات نتيجة التطبيق المتتالي للقاعدة 2).

مثال 6يترك ص- عبارة واحدة (ذرة) "جميع الأرقام العقلانية حقيقية"، س- "بعض الأعداد الحقيقية هي أعداد نسبية"، ص- "بعض الأعداد العقلانية حقيقية". ترجم إلى شكل قضايا لفظية الصيغ التالية لمنطق القضايا:

6) .

1) "لا أرقام حقيقيةوهي عقلانية"؛

2) "إذا لم تكن جميع الأعداد النسبية حقيقية، فلا أرقام نسبية، وهي صالحة"؛

3) "إذا كانت جميع الأعداد النسبية حقيقية، فإن بعض الأعداد الحقيقية هي أعداد نسبية وبعض الأعداد النسبية حقيقية"؛

4) "جميع الأعداد الحقيقية هي أرقام نسبية وبعض الأعداد الحقيقية هي أعداد نسبية وبعض الأعداد النسبية هي أرقام حقيقية"؛

5) "جميع الأعداد النسبية تكون حقيقية إذا وفقط إذا لم تكن جميع الأعداد النسبية حقيقية"؛

6) "ليس الأمر أنه ليست كل الأعداد النسبية حقيقية، ولا توجد أرقام حقيقية منطقية أو لا توجد أرقام منطقية حقيقية."

مثال 7أنشئ جدول الحقيقة للصيغة المنطقية المقترحة والتي يمكن الإشارة إليها في الجدول F .

حل. نبدأ بتجميع جدول الحقيقة من خلال تسجيل القيم ("صحيح" أو "خطأ") للعبارات المفردة (الذرات) ص , سو ص. الجميع القيم الممكنةمكتوبة في ثمانية صفوف من الجدول. علاوة على ذلك، عند تحديد قيم عملية التضمين، والانتقال إلى اليمين في الجدول، تذكر أن القيمة تساوي "خطأ" عندما تكون "صحيح" تعني "خطأ".

ص	س	ص					F
و	و	و	و	و	و	و	و
و	و	ل	و	و	و	ل	و
و	ل	و	و	ل	ل	ل	ل
و	ل	ل	و	ل	ل	و	و
ل	و	و	ل	و	ل	و	و
ل	و	ل	ل	و	ل	و	ل
ل	ل	و	و	و	و	و	و
ل	ل	ل	و	و	و	ل	و

لاحظ أنه لا توجد ذرة لها الشكل ~ أ , (أ ∧ ب) , (أ ∨ ب) , (أ → ب) , (أ ↔ ب) . هذه صيغ معقدة.

يمكن تقليل عدد الأقواس في الصيغ المنطقية الافتراضية بافتراض ذلك

1) في الصيغة المعقدة، سنحذف الزوج الخارجي من الأقواس؛

2) ترتيب علامات العمليات المنطقية "حسب الأقدمية":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

في هذه القائمة، العلامة ↔ لها النطاق الأكبر، والعلامة ~ لها النطاق الأصغر. يُفهم نطاق علامة العملية على أنه تلك الأجزاء من الصيغة المنطقية الافتراضية التي يتم تطبيق التواجد المدروس لهذه العلامة (التي تعمل عليها). وبالتالي، من الممكن حذف أزواج الأقواس التي يمكن استعادتها في أي صيغة، مع مراعاة "ترتيب الأسبقية". وعند استعادة الأقواس، يتم أولاً وضع جميع الأقواس التي تشير إلى جميع تكرارات الإشارة ~ (في هذه الحالة، ننتقل من اليسار إلى اليمين)، ثم إلى جميع تكرارات الإشارة ∧، وهكذا.

مثال 8استعادة الأقواس في الصيغة المنطقية المقترحة ب ↔ ~ ج ∨ د ∧ أ .

حل. تتم استعادة الأقواس خطوة بخطوة كما يلي:

ب ↔ (~ ج) ∨ د ∧ أ

ب ↔ (~ ج) ∨ (د ∧ أ)

ب ↔ ((~ ج) ∨ (د ∧ أ))

(ب ↔ ((~ ج) ∨ (د ∧ أ)))

لا يمكن كتابة كل صيغة منطقية افتراضية بدون أقواس. على سبيل المثال، في الصيغ أ → (ب → ج) و ~( أ → ب) لا يمكن حذف المزيد من الأقواس.

التكرار والتناقضات

الحشو المنطقي (أو ببساطة الحشو) هي صيغ من المنطق الافتراضي بحيث أنه إذا تم استبدال الحروف بشكل تعسفي بافتراضات (صحيحة أو خاطئة)، فإن النتيجة ستكون دائمًا افتراضًا صحيحًا.

نظرًا لأن صحة أو زيف العبارات المعقدة يعتمد فقط على المعاني، وليس على محتوى العبارات، التي يتوافق كل منها مع حرف معين، فيمكن استبدال اختبار ما إذا كانت هذه العبارة عبارة عن حشو بالطريقة التالية. في التعبير محل الدراسة يتم استبدال القيمتين 1 و0 (على التوالي، "صحيح" و"خطأ") بالحروف بكل الطرق الممكنة، وباستخدام العمليات المنطقية يتم حساب القيم المنطقية للتعبيرات. إذا كانت كل هذه القيم تساوي 1، فإن التعبير قيد الدراسة هو حشو، وإذا كان استبدال واحد على الأقل يعطي 0، فهذا ليس حشوا.

ومن ثم فإن الصيغة المنطقية الافتراضية التي تأخذ القيمة "صحيحة" لأي توزيع لقيم الذرات المتضمنة في هذه الصيغة تسمى صيغة صحيحة متطابقة أو الحشو .

والمعنى المعاكس هو تناقض منطقي. إذا كانت جميع قيم الاقتراح هي 0، فإن التعبير يعتبر تناقضا منطقيا.

وبالتالي فإن الصيغة المنطقية الافتراضية التي تأخذ القيمة "خطأ" لأي توزيع لقيم الذرات المتضمنة في هذه الصيغة تسمى صيغة كاذبة متطابقة أو تناقض .

بالإضافة إلى الحشو والتناقضات المنطقية، هناك صيغ للمنطق الافتراضي ليست حشوًا ولا تناقضات.

مثال 9أنشئ جدول حقيقة لصيغة منطقية افتراضية وحدد ما إذا كانت حشوًا أم تناقضًا أم لا.

حل. نقوم بعمل جدول الحقيقة:

و	و	و	و	و
و	ل	ل	ل	و
ل	و	ل	و	و
ل	ل	ل	ل	و

وفي معاني التضمين لا نواجه سطراً فيه "صحيح" يعني "خطأ". جميع قيم العبارة الأصلية تساوي "صحيح". لذلك، صيغة معينةالمنطق المقترح هو حشو.

مثال 1تحديد صحة العبارة ج
حل. يتضمن تكوين العبارة المعقدة 3 عبارات بسيطة: A، B، C. تمتلئ الأعمدة الموجودة في الجدول بالقيم (0، 1). يشار إلى كل شيء المواقف المحتملة. يتم فصل الجمل البسيطة عن الجمل المعقدة بخط عمودي مزدوج.
عند تجميع الجدول، يجب الحرص على عدم الخلط بين ترتيب الإجراءات؛ ملء الأعمدة، ينبغي للمرء أن يتحرك "من الداخل إلى الخارج"، أي. من الصيغ الأولية إلى الصيغ الأكثر تعقيدا؛ يحتوي العمود الأخير المراد ملؤه على قيم الصيغة الأصلية.

أ	في	مع		أ +		· مع
0	1	1	0	0	1	1

يوضح الجدول أن هذه العبارة صحيحة فقط إذا كانت A=0، B=1، C=1. وفي جميع الحالات الأخرى فهو كاذب.

معادلة التصريحات.

يمكن استخدام جداول الحقيقة لتحديد تكافؤ عبارتين أو أكثر.

تسمى العبارات مكافئة إذا كانت القيم المقابلة لكل منها متطابقة في جدول الحقيقة.

مثال 2يُزعم أن القضية A + B C تعادل القضية (A + B) (A + C)
حل. يتم التحقق من خلال تجميع جدول الحقيقة.

أ	في	مع	ب ج	أ+ب ج	أ+ب	أ+ج	(أ+ب) (أ+ج)

بمقارنة العمودين الخامس والثامن نتأكد من أن جميع القيم التي حصلت عليها الصيغة A + B C تتطابق مع القيم التي حصلت عليها الصيغة (A + B) + (A + C) ، أي. العبارات متكافئة (مكافئة). يمكن للمرء أن يحل محل الآخر.
ترتبط البيانات المكافئة (المكافئة) بالعلامة º A + B · Cº (A + B) · (A + C).
لاحظ الفرق بين التكافؤ والتكافؤ.
التكافؤ هو عملية منطقية تسمح، وفقًا لعبارتين محددتين A وB، ببناء A «B» جديد.
ومن ناحية أخرى، فإن التكافؤ هو العلاقة بين قضيتين مركبتين بحيث تكون قيم الحقيقة الخاصة بهما هي نفسها دائمًا.

الحشو.

دع العبارة A+ تعطى ومن الضروري عمل جدول الحقيقة.
العبارة (أ) خاطئة، وحقيقتها لا تعتمد على صحة العبارة (أ).

خذ بعين الاعتبار العبارة B+.
في هذه الحالة، يكون الطرح B+ صحيحًا دائمًا، بغض النظر عن حقيقة B.

في		ب+

العبارات التي تكون صحتها ثابتة ولا تعتمد على حقيقة العبارات البسيطة المضمنة فيها، ولكن يتم تحديدها فقط من خلال بنيتها، تسمى متطابقة أو حشو.
هناك تصريحات صحيحة متطابقة وأخرى كاذبة بشكل متطابق.
في الصيغ، يتم استبدال كل عبارة صحيحة تمامًا بـ 1، وكل عبارة خاطئة تمامًا بـ 0. قانون الوسط المستبعد.
أ 0
ب+° 1

مثال 3إثبات الحشو (XÙ Y)® (XÚ Y)
حل.

لأن إن القضية (XÙ Y)® (XÚ Y) صحيحة دائمًا، فهي حشو.

مثال 4إثبات الحشو ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z)
حل.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F1 _ _ _ _ F2 _ _ _ _ _ F

X	ي	ز	X®Y	Y®Z	اكس®ز	F1Ù F2	(F1Ù F2) ® F3

يوضح الجدول أن العبارة قيد الدراسة عبارة عن حشو، لأن إنه دائم حقًا.

الأسئلة والمهام.

1. أي من العبارات التالية:

أ) (أ+ج)؛ ب) +ب؛ ج) +ج)؛ د) أ+؛
يعادل العبارة (ب+ج)

2. استخدم جداول الحقيقة لتحديد أي من الصيغ التالية تعتبر حشوًا:
أ) " )؛ ب) ; الخامس) ;

ز) ; ه) (X® Y)" (Y® X)؛ و) (X® Y) « ;

ز) (X®Y)« .

3. تحديد حقيقة البيان

4. هل التصريحات متكافئة؟
و ؟

5. حدد ما إذا كانت العبارة المقدمة عبارة عن حشو:
أ) ; ب)

6. لكل صيغة، توصل إلى الجمل التي تضفي عليها طابعًا رسميًا:
أ) ؛ ب) ; الخامس) .

7. من عبارات بسيطة: "فيكتور سباح جيد" - أ؛ "فيكتور يغوص جيدًا" - ڤي؛ "فيكتور يغني جيدًا" - C، تم الإدلاء ببيان معقد، تبدو صيغته كما يلي:
X=(أ+ج) · (أ+ب). حدد ما إذا كانت العبارة X تعادل العبارة: "فيكتور سباح جيد وفيكتور يغني جيدًا".

8.
أ) ; ب) ;
ج) ((X1® X2)® X3) ش (X3 «X1)؛ د) ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z).

9. تحديد حقيقة الأقوال:
أ) ، ، ؛
ب) , , ;
الخامس) ، ، ؛
ز) ،، .

قوانين المنطق

غالبًا ما تسمى معادلات الصيغ المنطقية الافتراضية بقوانين المنطق.
تتيح لك معرفة قوانين المنطق التحقق من صحة المنطق والأدلة.
ويترتب على مخالفة هذه القوانين أخطاء منطقيةوما يترتب على ذلك من تناقضات.
نذكر أهمها:
1. X° X قانون الهوية
2. قانون التناقض
3. قانون الوسط المستبعد
4. قانون النفي المزدوج
5. قوانين العجز الجنسي
6. C Ù U ° U Ù C , C Ú U ° U Ú C قوانين التبادل (الإزاحة)
7. (C Ù U) Ù Z °C Ù (U Ù Z) , (C Ú U) Ú Z º C Ú (U Ú Z) - قوانين الترابط (التوافق)
8. C Ù (U Ú Z) º (C Ù U) Ú (C Ù Z) , C Ú (U Ù Z) º (C Ú U) Ù (C Ú Z) - قوانين التوزيع (التوزيع)
9. , قوانين دي مورغان
10. XÙ 1 درجة مئوية، C Ú 0 درجة مئوية
11. C Ù 0 ° 0 , C Ú 1 ° 1
12. C Ù (C Ú U) ° C , C Ú (C Ù U) ° C قوانين الامتصاص
13. (C Ú U) Ù ( Ú U) ´ U , (C Ù U) Ú ( Ú U) ´ U لصق القوانين

القانون الأولصاغها الفيلسوف اليوناني القديم أرسطو. ينص قانون الهوية على أن الفكرة الواردة في العبارة تظل دون تغيير طوال المنطق الذي تظهر فيه هذه العبارة.

قانون التناقضيقول أنه لا يمكن لأي جملة أن تكون صحيحة في نفس الوقت الذي يكون فيه نفيها.
"هذه التفاحة ناضجة" و"هذه التفاحة ليست ناضجة".

قانون الوسط المستبعديقول أنه يوجد لكل عبارة احتمالان فقط: إما أن تكون هذه العبارة صحيحة أو خاطئة. لا يوجد ثالث. "اليوم أحصل على 5 أو لا أحصل عليها." فإما أن يكون الطرح صحيحا أو يكون نفيه صحيحا.

قانون النفي المزدوج.فإن إنكار نفي قول ما هو بمثابة تأكيد هذا القول.
"ليس صحيحًا أن 2×2¹4"

قوانين العجز الجنسي.لا توجد أسس ومعاملات في جبر المنطق. إن اقتران "العوامل" المتطابقة يعادل أحدها.

قوانين التبادلية والترابطية.إن الوصل والانفصال يشبهان العلامات التي تحمل نفس الاسم في الضرب والجمع في الأعداد.
على عكس جمع وضرب الأعداد، فإن الجمع والضرب المنطقيين متساويان فيما يتعلق بالتوزيع: ليس الارتباط توزيعيًا فيما يتعلق بالانفصال فحسب، بل يكون الانفصال توزيعيًا فيما يتعلق بالاقتران.

معنى قوانين دي مورغان(أغسطس دي مورغان (1806-1871) - عالم رياضيات ومنطق اسكتلندي) يمكن التعبير عنه بصيغ لفظية مختصرة:
- إنكار المنتج المنطقي يعادل المجموع المنطقي لنفي العوامل.
- إنكار المجموع المنطقي يعادل المنتج المنطقي لنفي المصطلحات.

يمكنك إثبات قوانين المنطق:
1) استخدام جداول الحقيقة.
2) بمساعدة المعادلات.
دعونا نثبت قوانين الإلتصاق والامتصاص بمساعدة المعادلات:
1) (C Ú U) Ù ( Ú U) º (C + U) × ( + U) º C × + U × + U × U + C × U °U × + U + C × U º U × +U (1 + C) ° U × + U ° U ( + 1) ° U (قانون الإلتصاق)

2) C Ù (CÚ U) º C × C + C × U º C + C × U º C (1 + U) º C (قانون الامتصاص)

يمارس.إثبات قوانين المنطق باستخدام جداول الحقيقة.

تحولات الهوية

تبسيط الصيغ.

مثال 1تبسيط الصيغة (AÚB) (AÚC)
حل.
أ) افتح القوسين (A Ú B) (A ÚC) § A A Ú A C Ú B A Ú B C
ب) وفقا لقانون التكافؤ A · A º A ، لذلك،
أ أ أ ج أ ب أ أ ب ج أ أ أ ج أ ب أ أ ب ج
ج) في العبارتين A و A C نضع بين قوسين A وباستخدام الخاصية AÚ1° 1 نحصل على B C
د) كما في النقطة ج)، نضع العبارة أ بين قوسين.
AÚB A Ú B C° A (1ÚB)ÚB C° A Ú B C
وهكذا أثبتنا قانون التوزيع.

2. التحولات "الامتصاص" و"اللصق"

مثال 2بسّط التعبير АУ A B

حل.أ Ú أ ب ْ أ (1 Ú ب) ْ أ - الامتصاص

مثال 3تبسيط التعبير A · BÚ A · - علامات الجمع المنطقي؛
- علامات الضرب المنطقي.
وسيتم استخدام:
- علامات النفي والضرب المنطقي؛
- علامات النفي والإضافة المنطقية.

مثال 5قم بتحويل الصيغة بحيث لا تستخدم علامات الجمع المنطقية.
حل. دعونا نستخدم قانون النفي المزدوج، ثم صيغة دي مورغان.

مثال 6قم بتحويل الصيغة بحيث لا تستخدم علامات الضرب المنطقي.
حل. باستخدام صيغ دي مورغان وقانون النفي المزدوج نحصل على:

قمنا في المحاضرتين السابقتين بتعريف العمليات المنطقية: النفي، والربط، ونوعين من الانفصال، والتضمين، والتكافؤ. دعونا نفكر في بعض المهام لتطبيق تعريفات الروابط المنطقية. هذه هي المهام التي تتطلب معرفة القيمة الحقيقة لعبارة مركبة واحدة إذا كانت قيمة الحقيقة لعبارة مركبة أخرى معروفة، بالإضافة إلى المشكلات التي تتطلب تحديد ما إذا كانت هناك أقوال بسيطةإذا عرفت قيم الحقيقة لبعض العبارات المركبة المتكونة من هذه العبارات.

تحديد قيمة الحقيقة للعبارات باستخدام قيم الحقيقة للعبارات الأخرى

المشكلة 6.1. من المعروف أن $ \displaystyle AB$ خطأ وأن $ \displaystyle A \to B $ صحيح. حدد القيمة الحقيقة للاقتراح $ \displaystyle B \to A' $ إذا كان من المعروف أنه يمكن تحديدها بشكل فريد باستخدام هذه البيانات.

حل. لنفترض أن هذا البيان غير صحيح:

$ \displaystyle B \to A'=0 $.

ولماذا افترضنا كذب هذا الضمني ولم نصدقه؟ والسبب بسيط للغاية: فالمعنى الضمني خاطئ في حالة واحدة فقط. إذا كان هذا الافتراض لا يتعارض مع حالة المشكلة، فهو صحيح، لأن قيمة الحقيقة لأي عبارة خاطئة أو صحيحة. وفقًا لتعريف التضمين، فهو خطأ إذا وفقط إذا كانت المقدمة صحيحة والنتيجة خاطئة:

$ \displaystyle B= 1$، $ \displaystyle A'=0 $.

وفقًا لتعريف النفي، فهو كاذب إذا وفقط إذا كانت القضية نفسها صحيحة:

$ \displaystyle A=1 $.

لكن في هذه الحالة، بالنظر إلى تعريفات التضمين والاقتران،

$ \displaystyle A \to B=1 $، $ \displaystyle A B=1 $.

ومع ذلك، وفقًا لحالة المشكلة، فإن العبارة الأخيرة لها قيمة الحقيقة "خطأ". حصلنا على التناقض. لذا فإن العبارة $ \displaystyle B \to A' $ صحيحة.

يمكن حل المشكلة بطريقة أخرى: باستخدام الشرط، احصل مباشرة على القيمة الحقيقية للمعنى الضمني. لأن

$ \displaystyle AB=0 $,

إذن، وفقًا لتعريف الاقتران، فإن التوزيعات التالية لقيم الحقيقة للعبارات $ \displaystyle A $ و $ \displaystyle B $ ممكنة:

1) $ \displaystyle A=B=0 $;

3) $ \displaystyle A=1 $، $ \displaystyle B=0 $.

بسبب ال

$ \displaystyle A \to B=1 $,

إذن، وفقًا لتعريف التضمين، نحصل على أن قيم الحقيقة $ \displaystyle A $ و $ \displaystyle B $ يمكن أن تكون:

1) $ \displaystyle A=B=0 $;

2) $ \displaystyle A=0 $, $ \displaystyle B=1 $;

3) $\displaystyle A=B=1 $.

الشروط $ \displaystyle A=1 $، $ \displaystyle B=0 $، و$ \displaystyle A=B=1 $ غير متوافقة، لأن أي عبارة إما صحيحة أو خاطئة. ويبقى الخياران الأولان. دعونا نتحقق منها باستخدام تعريفات التضمين والنفي:

1) $ \displaystyle B \to A'=0 \to 0'=0 \to 1=1 $;

2) $ \displaystyle B \to A'=1 \to 0'=1 \to 1 =1 $.

في كلتا الحالتين، تكون قيمة العبارة $ \displaystyle B \to A' $ صحيحة.

من الواضح أن الطريقة الأولى لحل المشكلة الحالية أقصر بكثير من الطريقة الثانية.

اكتشف ما إذا كانت هناك بيانات كافية لتحديد القيمة الحقيقية للعبارة

المشكلة 6.2. اجعل العبارة $ \displaystyle A \to B $ خاطئة. هل هذا كافٍ لتحديد القيمة الحقيقية لـ $ \displaystyle (B \to (A \to C)) \vee (B' \to C) $؟ إذا كانت كافية، حدد هذه القيمة. إذا لم يكن ذلك كافيا، فأظهر بالأمثلة أن قيمتي الحقيقة ممكنة.

حل. بسبب ال

$ \displaystyle A \to B=0 $،

ثم، وفقا لتعريف التضمين،

$ \displaystyle A=1$، $ \displaystyle B=0 $.

ومن ثم فإن المعنى الضمني $ \displaystyle B \to (A \to C) $ صحيح لأن فرضيته خاطئة (مهما كانت قيم الحقيقة $ \displaystyle A $ و $ \displaystyle C $). لذلك، نظرًا لتعريف الانفصال، فإن الاقتراح $ \displaystyle (B \to (A \to C)) \vee (B' \to C) $ له قيمة حقيقة "صحيح".

المشكلة 6.3. دع العبارة $ \displaystyle AB $ معروفة بأنها صحيحة. هل من الممكن تحديد القيمة الحقيقة للقضية $ \displaystyle (AB) \to ((ABC') \vee (A’BC))$ باستخدام هذه البيانات؟؟ إذا أمكن، أشر إلى هذه القيمة. بخلاف ذلك، أظهر بالأمثلة أن العبارة يمكن أن تكون صحيحة أو خاطئة.

حل. بما أن اقتران عبارتين يكون صحيحًا إذا وفقط إذا كان كلا العبارتين صحيحًا، إذن

$ \displaystyle A=B=1 $.

ومن ثم، فإن التضمين $ \displaystyle (AB) \to ((ABC') \vee (A'BC))$ يكون صحيحًا إذا كان استنتاجه صحيحًا، وكاذبًا بخلاف ذلك (بموجب تعريف الرابط المنطقي المحدد). خذ بعين الاعتبار الانفصال $ \displaystyle (ABC') \vee (A'BC) $. ومن المعروف أن

$ \displaystyle A=B=1 $.

ثم، وفقًا لتعريف النفي $ \displaystyle A'=0 $. إذا كان $ \displaystyle C=0 $، فإن $ \displaystyle C'=1 $. لذلك، بحكم التعريف، فإن أداة الاقتران $ \displaystyle ABC' $ صحيحة وأداة الاقتران $ \displaystyle A'BC $ خاطئة. لذا فإن الانفصال $ \displaystyle (ABC') \vee (A'BC) $ صحيح. إذا كان $ \displaystyle C=1 $، فإن $ \displaystyle C'=0 $. ولذلك، فإن العبارات $ \displaystyle ABC' $ و $ \displaystyle A'BC $ كلاهما خاطئة. ثم فإن الانفصال $ \displaystyle (ABC') \vee (A'BC) $ هو أيضًا خطأ. لذا فإن العبارة $ \displaystyle (AB) \to ((ABC') \vee (A'BC))$ لها قيمة صحيحة "خطأ" عندما

$ \displaystyle C=1 $

و الحقيقة"

$ \displaystyle C=0 $.

اتضح أنه من المستحيل تحديد القيمة الحقيقية للبيان بشكل لا لبس فيه باستخدام شروط المشكلة. ويجب التأكيد هنا على أن هذا لا يعني عدم إمكانية تحديد قيمة الحقيقة على الإطلاق. لا توجد بيانات كافية لذلك.

معرفة ما إذا كانت هناك عبارات ذات قيم حقيقة معينة

المشكلة 6.4. دع العبارة $ \displaystyle A \vee B' $ و $ \displaystyle B \to (A \vee C) $ لها قيمة صحيحة "خطأ" وتكون العبارة $ \displaystyle C' \to B' $ صحيحة قيمة "صحيح". هل توجد مثل هذه العبارات $ \displaystyle A $ و $ \displaystyle B$ و $ \displaystyle C $؟

حل. والفصل بين القولين لا يكون باطلاً في التعريف إلا في حالة واحدة: إذا كان كلا القولين كاذباً. وسائل،

$ \displaystyle A=B'=0 $.

ولذلك، بالنظر إلى تعريفات النفي،

$ \displaystyle B=1 $.

النظر في الآثار المترتبة

$ \displaystyle B \to (A \vee C) $.

بشرط المشكلة، فهو كاذب. هذا ممكن إذا وفقط إذا

$ \displaystyle B=1 $، $ \displaystyle A \vee C =0 $.

لذا، حسب تعريف الانفصال،

$ \displaystyle A=C=0 $.

لذلك،

$ \displaystyle C' \to B'=0' \to 1'=1 \to 0=0 $.

ولكن، وفقا لحالة المشكلة، فإن هذا المضمون صحيح. حصلنا على التناقض. وهذا يعني أنه لا توجد بيانات تستوفي هذه الشروط.

الدرس 2

جبر البيانات. العمليات المنطقية.

(درس مشترك، بما في ذلك تكرار الموضوع السابق،

إدخال مواد جديدة وتوحيدها)

الغرض من الدرس:تكوين المفاهيم لدى الطلاب: الاقتراح المنطقي، والعمليات المنطقية.

أهداف الدرس:

كرر المواد الرئيسية للدرس 1 (أشكال التفكير البشري: المفهوم، الحكم، الاستنتاج)؛

تقديم تعريف الجبر الافتراضي؛

تقديم العمليات المنطقية الأساسية.

متطلبات المعرفة والمهارات:

يجب أن يعرف الطلاب:

ماذا يدرس الجبر الافتراضي وما هو موضوع دراسة الجبر الافتراضي؛

معاني المفهوم: البيان المنطقي، العمليات المنطقية؛

جداول الحقيقة للعمليات المنطقية

يجب أن يكون الطلاب قادرين على:

أعط أمثلة على العبارات المنطقية؛

تحديد معنى البيانات المنطقية.

تسمية العمليات المنطقية وبناء جداول الحقيقة لها.

مراحل الدرس

I. اللحظة التنظيمية. تحديد هدف الدرس. 2 دقيقة.

ثانيا. تكرار. 7 دقائق

ثالثا. فحص العمل في المنزل. 5 دقائق.

رابعا. إدخال مواد جديدة. 20 دقيقة.

خامسا: التوحيد. 7 دقائق.

السادس. تلخيص الدرس. 3 دقيقة.

سابعا. تحديد الواجبات المنزلية. 1 دقيقة.

خلال الفصول الدراسية

ثانيا. تكرار.

1) تكرار التعريفات والمفاهيم الأساسية للدرس الأول:

· مفهوم - شكل من أشكال التفكير يعكس السمات الأساسية للأشياء.

س نطاق المفهوم- مجموعة من الكائنات، لكل منها سمات تشكل محتوى المفهوم.

أعط أمثلة.

· حكم (بيان، بيان) - شكل من أشكال التفكير يتم فيه تأكيد أو نفي شيء ما بشأن الأشياء أو خصائصها أو العلاقات بينها.

س نموذج الحكم- هذا هو هيكلها، وسيلة لربط الأجزاء المكونة لها.

· الإستنباط - شكل من أشكال التفكير، من خلاله، من خلال حكم واحد أو أكثر، يسمى المقدمات، وفقًا لقواعد معينة للاستدلال، نحصل على نتيجة حكم (استدلال الاستنتاج)

- أي من العبارات التالية تعتبر عبارات ولماذا؟

1. من الجيد أن تكون جنرالا!

2.

3. اعرف نفسك.

4. جميع الدببة تعيش في الشمال.

5. لا يمكن للثورة أن تكون سلمية وغير دموية.

6.

7.

(المثالان 1 و 3 ليسا عبارات، لأنهما جمل تعجبية وأمرية، على التوالي).

- الآن حدد ما إذا كانت القضايا البسيطة أم المركبة معطاة..

(في المثال 5، يمكن تقسيمها إلى عبارتين بسيطتين، مما يعني أنها مركبة.)

- تحديد معاني العبارات (صحيح أو خطأ).

في المثال السادس، نحن مقتنعون بأن محتوى البيان غالبا ما يكون خاصية ذاتية. إن تبرير صحة أو زيف العبارات البسيطة يتم تحديده خارج علم المنطق. على سبيل المثال، بناءً على تجربتنا الحياتية، نخصص قيمة معينة للحكم رقم 6.

الأمثال الروسية، كما في المثال 4، ستكون دائما صحيحة، لأنها تستند إلى تجربة حياة أجيال كاملة من الناس.

في المثال 7، تم حل معنى العبارة في سياق الهندسة، وفي البيان الخامس في سياق التاريخ.

ويتم عرض النتائج في شكل الجدول التالي:

عبارات	اقوال	صحيحة أو خاطئة	أقوال بسيطة
1. كم هو جيد أن تكون جنرالا!
2. لا يمكنك حتى اصطياد سمكة من البركة دون صعوبة.
3. اعرف نفسك.
4. تعيش جميع الدببة في الشمال.
5. لا يمكن للثورة أن تكون سلمية وغير دموية.
6. الموهبة سوف تجد طريقها دائمًا.
7. مجموع زوايا المثلث هو 1800.

قلنا في الدرس الأخير أن كل عبارة تتكون من ثلاثة عناصر:
الموضوع والمسند والحزمة. موضوع(س) - مفهوم الموضوع. فاعل(ف)- مفهوم خصائص وعلاقات الموضوع. باقة - العلاقة بين الموضوع والمسند.

تحديد ما هو الموضوع والمسند والرابط في عبارات بسيطة.

لا يمكنك حتى اصطياد سمكة من البركة دون جهد.

جميع الدببة تعيش في الشمال.

الموهبة سوف تجد دائما طريقها.

مجموع زوايا المثلث هو 1800.

ثالثا. التحقق من الواجبات المنزلية:

بطاقة للواجبات المنزلية

1. من العبارات البسيطة المعطاة، قم بتأليف وكتابة 3 عبارات مركبة على الأقل: 1) دعنا نذهب إلى البلاد. 2) الطقس الجيد. 3) سوء الاحوال الجوية. 4) سوف نذهب إلى الشاطئ. 5) يدعونا أنطون إلى المسرح.

2. استنتج، إن أمكن، نتيجة من كل زوج من المقدمات: أ) جميع الطيور حيوانات. كل العصافير طيور. ب) بعض الدروس صعبة. أي شيء صعب يحتاج إلى الاهتمام. في) لا احد عمل جيدليس غير قانوني. كل ما هو قانوني يمكن القيام به دون خوف.

أ) أولئك الذين هم أصلع لا يحتاجون إلى مشط. لا يوجد شعر في أي من السحالي. لذلك، السحالي لا تحتاج إلى مشط. ب) كل من أنهى الربع الثالث بشكل مثالي سيحصل على جهاز كمبيوتر. لقد أنهيت الربع الثالث بدون C. لذا، استعد لتلقي جهاز كمبيوتر كهدية.

السادس. شرح مادة جديدة

الجبر المقترح

فكرة الفرصة رياضيات المنطقتم التعبير عنها في القرن السابع عشر. لقد حاول إنشاء لغة عالمية يمكن من خلالها تقديم كل مفهوم وبيان خاصية عدديةووضع قواعد للعمل مع هذه الأرقام تسمح لك على الفور بتحديد ما إذا كانت العبارة المعينة صحيحة أم خاطئة. أي أن الخلافات بين الناس يمكن حلها من خلال الحسابات. تبين أن فكرة لايبنتز خاطئة، لأنه من المستحيل (لم يتم العثور على طرق) اختزال التفكير البشري في نوع ما من حسابات التفاضل والتكامل الرياضي.

ومع ذلك، فقد تم تحقيق التقدم الحقيقي لهذا العلم في منتصف القرن التاسع عشر، وذلك بفضل أعمال جيه بول "التحليل الرياضي للمنطق". لقد نقل قوانين وقواعد العمليات الجبرية إلى المنطق، وقدم العمليات المنطقية، واقترح طريقة لكتابة البيانات في شكل رمزي.

شارك العديد من علماء الرياضيات وعلماء المنطق البارزين في تطوير المنطق الرياضي. أواخر التاسع عشرو XX قرون، بما في ذلك K. Gödel (النمساوي)، D. Gilbert (الألمانية)، S. Kleene (عامر)، E. Post (عامر)، A. Turing (Eng.)، A. Church (عامر.) ، واشياء أخرى عديدة.

يعد المنطق الرسمي الرياضي الحديث مجالًا علميًا واسعًا يستخدم على نطاق واسع داخل الرياضيات (دراسة أسس الرياضيات) وخارجها (التركيب والتحليل). الأجهزة التلقائية، علم التحكم الآلي النظري، على وجه الخصوص، الذكاء الاصطناعي).

وبالتالي، فإن موضوعات دراسة جبر المنطق هي الافتراضات.

تحت قائلا (الحكم) سنفهم جملة خبرية يمكن القول على نحو لا لبس فيه هل هي حق أم خطأ.

سنقوم بتعيين البيانات بالأحرف اللاتينية الكبيرة. إذا كانت العبارة A صحيحة، فسنكتب "A = 1" ونقول: "A صحيح". إذا كانت العبارة X خاطئة، فسنكتب "X = 0" ونقول "X خطأ".

إن تبرير صحة أو زيف العبارات البسيطة يتم تحديده خارج جبر المنطق. على سبيل المثال، يتم تحديد صحة أو كذب العبارة "مجموع زوايا المثلث 180 درجة" عن طريق الهندسة، وفي هندسة إقليدس تكون هذه العبارة صحيحة، وفي هندسة لوباتشيفسكي خاطئة.

يتم استخلاص جبر المنطق من المحتوى الدلالي للبيانات. إنها مهتمة بحقيقة واحدة فقط - العبارة المقدمة صحيحة أم خاطئة. مثل هذا الحكم على المصالح يجعل من الممكن دراسة البيانات بالطرق الجبرية.

العمليات المنطقية

في جبر المنطق، على المقترحات، يمكن للمرء أن يؤدي عمليات مختلفة(كما هو الحال في جبر الأعداد الحقيقية، يتم تعريف عمليات الجمع والقسمة والأس على الأعداد). سننظر فقط في بعض أهمها:

الانفصال (إضافة منطقية) التضمين (نتيجة منطقية) التكافؤ (المساواة المنطقية)

1) الانقلاب (النفي المنطقي)

الانقلاب (النفي المنطقي) هي عملية منطقية تعين لكل عبارة معينة عبارة جديدة، وتكون صحيحة إذا كانت العبارة المعطاة خاطئة، وخطأ إذا كانت العبارة المعطاة صحيحة.

يتم إعطاء العمليات المنطقية جداول الحقيقة ويمكن توضيحها بيانياً باستخدام دوائر أويلر ، سمي على اسم عالم الرياضيات والفيزياء والفلكي العظيم ليونارد أويلر ()

تدوين الانعكاس: ; لا أ ; أ؛ لا أ

0 "style="border-collapse:collapse;border:none">

أ

يتم تشكيلها من عبارة بسيطة عن طريق إضافة جسيم ليس إلى المسند أو باستخدام الشكل الكلامي "هذا غير صحيح...".

مثال: أ = "إنها تمطر في الخارج"

= "ليس صحيحًا أنها تمطر في الخارج"

التمرين 1.أعط مثالاً على البيان ونفيه.

تحديد حقيقة كل منهما.

إذن يكون عكس العبارة صحيحا عندما تكون العبارة خاطئة.

2) الإقتران (الضرب المنطقي)

صحيح إذا وفقط إذا كان كلا البيانين صحيحين.

تدوين الاقتران: أ&في, أ و في, أ ل في, أ في.

جدول الحقيقة:

		أ&في

يتم تشكيلها من خلال الجمع بين بيانين في بيان واحد باستخدام الاتحاد "و"

مثال: أ = "إنها تمطر في الخارج"

ب= "السماء زرقاء"

أ&في = "إنها تمطر في الخارج والسماء زرقاء"

المهمة 2.أ) أعط أمثلة على عبارتين واحصل على عبارة مركبة باستخدام أداة الربط المنطقية "AND".

لذا، فإن اقتران القضيتين يكون صحيحًا إذا وفقط إذا كانت كلتا القضيتين الأصليتين صحيحتين.

3) الانفصال (الإضافة المنطقية) هي عملية منطقية تربط كل عبارتين بعبارة جديدة

تكون صحيحة إذا وفقط إذا كانت إحدى العبارتين الأصليتين على الأقل صحيحة.

تدوين الانفصال: أ الخامس في, أ أو في, أ+في.

0 "style="border-collapse:collapse;border:none">

أ الخامس في

يتم تشكيلها من خلال الجمع بين عبارة واحدة باستخدام الاتحاد "OR"

مثال: أ = "إنها تمطر في الخارج"

ب= "السماء زرقاء"

أ الخامس في = "إنها تمطر في الخارج أو أن السماء زرقاء"

المهمة 3.أ) أعط أمثلة على عبارتين واحصل على عبارة مركبة باستخدام الرابط "OR".

لذا، فإن الفصل بين العبارتين يكون صحيحًا إذا وفقط إذا كان واحد على الأقل من العبارتين الأصليتين صحيحًا.

4) التضمين (النتيجة المنطقية) هي عملية منطقية تربط كل عبارتين بعبارة جديدة

تكون خاطئة إذا وفقط إذا كان الاقتراح الأول (الشرط) صحيحًا والافتراض الثاني (النتيجة) خاطئًا.

تدوين الانفصال: أ ® في.

جدول الحقيقة: مخطط أويلر:

"اذا ثم…"

وإذا أقسم وجب الوفاء به.

إذا كان العدد يقبل القسمة على 9، فهو يقبل القسمة أيضًا على 3.

مثال: أ = "إنها تمطر في الخارج"

ب= "السماء زرقاء"

أ ® في = "إذا كانت السماء تمطر في الخارج، فإن السماء زرقاء"

المهمة 4. أ) أعط أمثلة على عبارتين واحصل على عبارة مركبة باستخدام أداة الربط "IF, THEN ...".

ب) تحديد صحة أو خطأ كل من العبارات الثلاثة

لذا، فإن المعنى الضمني لقضيتين يكون خاطئًا إذا وفقط إذا كانت القضية الأولى (الشرط) صحيحة والقضية الثانية (النتيجة) خاطئة.

5) التكافؤ (المساواة المنطقية) هي عملية منطقية تربط كل عبارتين بعبارة جديدة

يكون صحيحًا إذا وفقط إذا كان كلا العبارتين صحيحًا أو كلاهما خطأ.

تدوين الانفصال: أ « ب، أ = ب، أ≡ب.

جدول الحقيقة: مخطط أويلر:

يتم تشكيلها من خلال الجمع بين عبارتين في عبارة واحدة باستخدام الشكل الكلامي "...عندها وفقط عندما..."

تسمى الزاوية زاوية قائمة إذا وفقط إذا كانت تساوي 900

جميع قوانين الرياضيات والفيزياء وجميع التعاريف - تكافؤ البيانات

يكون الخطان متوازيين إذا وفقط إذا لم يتقاطعا.

مثال: أ = "إنها تمطر في الخارج"

ب= "السماء زرقاء"

أ « في = "إنها تمطر في الخارج فقط إذا كانت السماء زرقاء"

المهمة 5.أ) أعط أمثلة على عبارتين واحصل على عبارة مركبة باستخدام العبارة "...عندها وفقط عندما..."

ب) تحديد صحة أو خطأ كل من العبارات الثلاثة.

لذا فإن التكافؤ بين العبارتين صحيح إذا وفقط إذا كان كلا العبارتين صحيحين أو كلاهما خاطئين.

السادس. توحيد ما تم تعلمه.

1. اشرح لماذا الجمل التالية ليست عبارات :

ما هو لون هذا المنزل؟

الرقم X لا يتجاوز الواحد.

· انظر خارج النافذة.

· يشرب عصير الطماطم!

هذا الموضوع ممل.

هل ذهبت إلى المسرح؟

2. اشرح لماذا تعتبر عبارة أي نظرية قضية.

3. أعط مثالين على العبارات الصحيحة والخاطئة من الرياضيات والأحياء والتاريخ وعلوم الكمبيوتر والأدب.

4. اختر من الجمل التالية الجمل التي تعتبر عبارات:

سأل كوليا: "كيف تصل إلى مسرح البولشوي؟ كيف أصل إلى المكتبة؟ لوحات بيكاسو مجردة للغاية. حل المشكلات هو عملية معلومات. الرقم 2 هو مقسوم على الرقم 7 في بعض أنظمة الأرقام.

5. اختر العبارات الصحيحة:

"الرقم 28 هو رقم مثالي"

"بدون عمل لا يمكنك حتى اصطياد سمكة من البركة"

"الموهبة تجد طريقها دائما"

"بعض الحيوانات تفكر"

"المعلوماتية هي علم الخوارزميات"

"2+3*5=30"

"جميع الطلاب يحبون علوم الكمبيوتر"

6.

7. ما هي العملية المنطقية التي تتوافق مع جدول الحقيقة هذا؟

8. ما هي العملية المنطقية التي تتوافق مع جدول الحقيقة هذا؟

9. ما هي العملية المنطقية التي تتوافق مع جدول الحقيقة هذا؟

10. ما هي العملية المنطقية التي تتوافق مع جدول الحقيقة هذا؟

ملخص الدرس:

لقد أصبحت على دراية بالمفاهيم الأساسية لجبر المنطق. تعتبر عمليات منطقية. قمنا بتحليل جدول الحقيقة لكل عملية منطقية وقمنا بتوضيح LO باستخدام دوائر أويلر.

2. تعلم جميع التعاريف الموجودة في الدفتر من ملخص الدرس.

3. حدد العبارات لكل عملية منطقية من المثال)

غالبًا ما تستخدم العبارات الكاذبة والصحيحة في ممارسة اللغة. يُنظر إلى التقييم الأول على أنه إنكار للحقيقة (الكذب). في الواقع، يتم أيضًا استخدام أنواع أخرى من التقييم: عدم اليقين، وعدم قابلية الإثبات (قابلية الإثبات)، وعدم قابلية الحل. عند الجدال حول العدد الصحيح للبيان x، من الضروري مراعاة قوانين المنطق.

أدى ظهور "المنطق متعدد القيم" إلى استخدام عدد غير محدود من مؤشرات الحقيقة. إن الوضع مع عناصر الحقيقة محير ومعقد، لذا من المهم توضيحه.

مبادئ النظرية

العبارة الحقيقية هي قيمة الخاصية (السمة)، والتي يتم أخذها في الاعتبار دائمًا لإجراء محدد. ما هي الحقيقة؟ المخطط هو كما يلي: "الافتراض X له قيمة حقيقة Y في الحالة التي يكون فيها الاقتراح Z صحيحًا."

لنلقي نظرة على مثال. من الضروري أن نفهم أي من العبارات المعطاة تكون العبارة صحيحة: "الكائن أ لديه علامة ب". هذه العبارة خاطئة لأن الكائن له السمة B، وكاذبة لأن a ليس له السمة B. يتم استخدام مصطلح "خطأ" في هذه الحالة كنفي خارجي.

تعريف الحقيقة

كيف يتم تحديد البيان الحقيقي؟ بغض النظر عن بنية العبارة X، يُسمح فقط بالتعريف التالي: "العبارة X صحيحة عندما يكون هناك X، X فقط."

وهذا التعريف يجعل من الممكن إدخال مصطلح "صحيح" في اللغة. وهو يحدد فعل قبول الاتفاق أو النطق بما يقوله.

أقوال بسيطة

أنها تحتوي على بيان صحيح دون تعريف. يمكنك تقييد نفسك عند قول "Not-X" تعريف مشتركإذا كان هذا البيان غير صحيح. يكون اقتران "X وY" صحيحًا إذا كان كل من X وY صحيحين.

قوله مثال

كيف نفهم لأي x العبارة صحيحة؟ للإجابة على هذا السؤال نستخدم التعبير: "الجسيم أ يقع في منطقة الفضاء ب". لهذا، النظر في البيانات الحالات التالية:

• من المستحيل مراقبة الجسيم.
• يمكن ملاحظة الجسيمات.

يتضمن الخيار الثاني احتمالات معينة:

• يقع الجسيم بالفعل في منطقة معينة من الفضاء؛
• وليست في الجزء المفترض من الفضاء؛
• يتحرك الجسيم بطريقة يصعب معها تحديد مساحة موقعه.

في هذه الحالة، يمكنك استخدام أربعة حدود لقيم الحقيقة التي تتوافق مع الاحتمالات المعطاة.

ل الهياكل المعقدةالاستخدام المناسب أكثرشروط. وهذا يدل على أن قيم الحقيقة غير محدودة. يعتمد الرقم الصحيح للبيان على المنفعة العملية.

مبدأ الغموض

ووفقا له، فإن أي عبارة إما خاطئة أو صحيحة، أي أنها تتميز بإحدى قيمتي الحقيقة المحتملتين - "خطأ" و "صحيح".

وهذا المبدأ هو أساس المنطق الكلاسيكي الذي يسمى بنظرية القيمة الثنائية. وقد استخدم أرسطو مبدأ الغموض. هذا الفيلسوف، يتجادل حول العدد الصحيح للبيان، واعتبره غير مناسب لتلك العبارات التي تتعلق بالأحداث العشوائية المستقبلية.

لقد أقام علاقة منطقية بين القدرية ومبدأ الغموض، أي الأقدار لأي عمل بشري.

في العصور التاريخية اللاحقة، تم تفسير القيود المفروضة على هذا المبدأ من خلال حقيقة أنه يعقد بشكل كبير تحليل البيانات حول الأحداث المخطط لها، وكذلك حول الأشياء غير الموجودة (غير القابلة للملاحظة).

عند التفكير في العبارات الصحيحة، لم يكن من الممكن دائمًا العثور على إجابة لا لبس فيها بهذه الطريقة.

ولم تتبدد الشكوك الناشئة حول الأنظمة المنطقية إلا بعد تطوير المنطق الحديث.

لفهم أي من الأرقام المعطاة يكون البيان صحيحًا، فإن المنطق ثنائي القيمة مناسب.

مبدأ الغموض

إذا قمنا بإعادة صياغة متغير من عبارة ذات قيمتين للكشف عن الحقيقة، فيمكننا تحويلها إلى حالة خاصة من تعدد المعاني: أي عبارة ستكون لها قيمة حقيقة واحدة إذا كانت n أكبر من 2 أو أقل من اللانهاية.

كثير الأنظمة المنطقيةعلى أساس مبدأ الغموض. يميز المنطق الكلاسيكي ثنائي القيمة الاستخدامات النموذجية لبعض العلامات المنطقية: "أو"، "و"، "لا".

إن المنطق متعدد القيم الذي يدعي تحديدها يجب ألا يتعارض مع نتائج نظام ثنائي القيمة.

إن الاعتقاد بأن مبدأ الغموض يؤدي دائما إلى بيان القدرية والحتمية يعتبر خاطئا. من الخطأ أيضًا فكرة أن المنطق المتعدد يُنظر إليه على أنه وسيلة ضرورية لتنفيذ التفكير غير الحتمي، وأن قبوله يتوافق مع رفض استخدام الحتمية الصارمة.

دلالات العلامات المنطقية

لفهم الرقم X الذي تكون العبارة صحيحة، يمكنك تسليح نفسك بجداول الحقيقة. الدلالات المنطقية هي فرع من علم الميتالوجيكا الذي يدرس العلاقة بالأشياء المحددة ومحتواها من التعبيرات اللغوية المختلفة.

تم النظر في هذه المشكلة بالفعل في العالم القديم، ولكن في شكل انضباط مستقل كامل، تم صياغته فقط في مطلع القرنين التاسع عشر والعشرين. أعمال G. Frege، C. Pierce، R. Carnap، S. Kripke جعلت من الممكن الكشف عن جوهر هذه النظرية وواقعيتها ونفعيتها.

لفترة طويلة، اعتمد المنطق الدلالي بشكل أساسي على تحليل اللغات الرسمية. فقط في مؤخرابدأ تخصيص معظم الأبحاث للغة الطبيعية.

هناك مجالان رئيسيان في هذه المنهجية:

• نظرية التدوين (المرجع)؛
• نظرية المعنى.

الأول يتضمن دراسة علاقة التعبيرات اللغوية المختلفة بالأشياء المخصصة. يمكن للمرء أن يتخيل فئاته الرئيسية: "التعيين"، "الاسم"، "النموذج"، "التفسير". هذه النظريةهو أساس البراهين في المنطق الحديث.

تهتم نظرية المعنى بإيجاد إجابة لسؤال ما معنى التعبير اللغوي. تشرح هويتهم بالمعنى.

ولنظرية المعنى دور مهم في مناقشة المفارقات الدلالية، والتي يعتبر حلها أي معيار للقبول مهمًا وذو صلة.

المعادلة البوليانية

يستخدم هذا المصطلح في اللغة المعدنية. في ظل المعادلة المنطقية، يمكننا تمثيل السجل F1=F2، حيث F1 وF2 عبارة عن صيغ للغة الموسعة للافتراضات المنطقية. إن حل مثل هذه المعادلة يعني تحديد مجموعات القيم الحقيقية للمتغيرات التي سيتم تضمينها في إحدى الصيغ F1 أو F2، والتي بموجبها سيتم ملاحظة المساواة المقترحة.

تشير علامة التساوي في الرياضيات في بعض المواقف إلى تساوي الأشياء الأصلية، وفي بعض الحالات تستخدم لإثبات تساوي قيمها. قد يشير الإدخال F1=F2 إلى أننا نتحدث عن نفس الصيغة.

في الأدب، في كثير من الأحيان، يُفهم المنطق الرسمي على أنه مرادف لـ "لغة الافتراضات المنطقية". مثل " كلمات صحيحة» هي الصيغ التي تخدم الوحدات الدلاليةتستخدم لبناء المنطق في المنطق غير الرسمي (الفلسفي).

البيان بمثابة الجملة التي تعبر عن اقتراح محدد. بمعنى آخر، يعبر عن فكرة وجود حالة معينة.

أصبحت هذه الحقيقة أساس المنطق المقترح. هناك تقسيم البيانات إلى مجموعات بسيطة ومعقدة.

عند إضفاء الطابع الرسمي خيارات بسيطةتستخدم المقترحات الصيغ الأولية للغة ذات الترتيب الصفري. لا يمكن وصف العبارات المعقدة إلا باستخدام صيغ اللغة.

الروابط المنطقية ضرورية للدلالة على النقابات. عند تطبيقها، تتحول العبارات البسيطة إلى أنواع معقدة:

• "لا"،
• "ليس صحيحا أن..."
• "أو".

خاتمة

يساعد المنطق الرسمي في معرفة الاسم الصحيح للبيان، ويتضمن بناء وتحليل قواعد لتحويل تعبيرات معينة تحافظ عليها. قيمة حقيقيةبغض النظر عن المحتوى. وكقسم منفصل من العلوم الفلسفية، ظهر فقط في نهاية القرن التاسع عشر. الاتجاه الثاني هو المنطق غير الرسمي.

تتمثل المهمة الرئيسية لهذا العلم في تنظيم القواعد التي تسمح باستخلاص بيانات جديدة بناءً على البيانات المثبتة.

أساس المنطق هو إمكانية الحصول على بعض الأفكار كنتيجة منطقية لعبارات أخرى.

هذه الحقيقة تجعل من الممكن وصف ليس فقط مشكلة معينة بشكل مناسب العلوم الرياضيةولكن أيضًا لنقل المنطق إلى الإبداع الفني.

يفترض البحث المنطقي العلاقة الموجودة بين المقدمات والاستنتاجات المستخلصة منها.

ويمكن أن يُعزى إلى عدد من المفاهيم الأولية والأساسية للمنطق الحديث، والذي يُطلق عليه غالبًا علم "ما يتبعه".

ومن الصعب أن نتصور إثبات النظريات في الهندسة دون مثل هذا الاستدلال والشرح الظواهر الفيزيائية,شرح آليات التفاعلات في الكيمياء.