هناك طريقة عالمية لتحديد قانون التوزيع، مناسبة لكل من المتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة، وهي دالة التوزيع.

دالة التوزيع لمتغير عشوائي X تسمى وظيفة F(س)، تحديد لكل قيمة ساحتمال ذلك قيمة عشوائية Xسوف يستغرق قيمة أقل من س، إنه

F(س) = ص(X < س).

الخصائص الأساسية لوظيفة التوزيع F(س) :

1. منذ بحكم التعريف F(س) يساوي احتمال الحدث، وجميع القيم الممكنة لوظيفة التوزيع تنتمي إلى المقطع:

0 £ F(س) 1 جنيه استرليني.

2. إذا كان الأمر كذلك F(س) هي دالة غير متناقصة للوسيطة الخاصة بها.

3. احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة تنتمي إلى نصف الفترة [ أ, ب)، يساوي زيادة دالة التوزيع في هذا الفاصل الزمني:

ص(أ £ X < ب) = F(ب) - F(أ).

4. إذا كانت جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي تنتمي إلى الفاصل الزمني [ أ, ب]، الذي - التي

F(س) = 0، في س £ أ; F(س) = 1، مع س > ب.

يمكن تحديد دالة التوزيع للمتغيرات العشوائية المنفصلة بواسطة الصيغة

. (15)

إذا كانت سلسلة التوزيع لمتغير عشوائي منفصل معروفة، فمن السهل حساب وبناء دالة التوزيع الخاصة بها. دعونا نوضح كيف يتم ذلك باستخدام المثال 23.

مثال 25.حساب وإنشاء دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصل، وقانون التوزيع له الشكل:

× ط	0,1	1,2	2,3	4,5
باي	0,1	0,2	0,6	0,1

حل. دعونا نحدد قيم الوظيفة F(س) = ص(X < س) للجميع القيم الممكنة س:

في سО (- ¥; 0.1] لا توجد قيمة واحدة للمتغير العشوائي X، أقل من هذه القيم سأي أنه لا يوجد حد واحد في المجموع (15):

F(س) = 0;

في سО (0.1; 1.2] قيمة واحدة فقط ممكنة ( X= 0.1) أقل من القيم المدروسة س. ذلك حين سيا (0.1; 1.2] F(س) = ص(X = 0,1) = 0,1;

في س O (1.2; 2.3] قيمتان ( X= 0.1 و X= 1.2) أقل من هذه القيم س، لذلك، F(س) = ص(X = 0,1) + ص(X = 1,2) = 0,1 + 0,2 = 0,3;

في س O (2.3; 4.5] ثلاث قيم ( X = 0,1, X= 1.2 و X= 2.3) أقل من هذه القيم س، لذلك، F(س) = ص(X = 0,1) + ص(X = 1,2) + ص(X = 2,3) = 0,1 + 0,2 + 0,6 = 0,9 ;

في سО (4,5, ¥) جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي Xسيكون أقل من هذه القيم س، و F(س) = ص(X = 0,1) + ص(X = 1,2) + ص(X = 2,3) +

+ ص(X = 4,5) = 0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,1 = 1.

هكذا,

رسم بياني للدالة F(س) يظهر في الشكل 8.

بشكل عام، وظيفة التوزيع F(س) المتغير العشوائي المنفصل Xهي دالة متدرجة متقطعة، مستمرة على اليسار، وتحدث قفزاتها عند نقاط تتوافق مع القيم المحتملة X 1 , X 2، ... متغير عشوائي Xوتكون متساوية في الاحتمالات ص 1 , ص 2، ... هذه القيم.

دالة التوزيع للمتغيرات العشوائية المستمرة.الآن يمكننا إعطاء تعريف أكثر دقة للمتغيرات العشوائية المستمرة: المتغير العشوائي Xمُسَمًّى مستمر، إذا كانت وظيفة التوزيع F(س) لجميع القيم سهو مستمر، وبالإضافة إلى ذلك، لديه مشتق في كل مكان، مع استثناء محتمل للنقاط الفردية.

من استمرارية الوظيفة F(س) يتبع ذلك احتمال كل قيمة فردية لمتغير عشوائي مستمر هو صفر.

بما أن احتمال كل قيمة فردية لمتغير عشوائي مستمر هو 0، فإن الخاصية 3 لدالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر ستكون على الشكل

ص(أ £ X < ب) = ص(أ £ X £ ب) = ص(أ < X £ ب) = ص(أ < X < ب) = F(ب) - F(أ).

مثال 26.احتمالات إصابة الهدف لكل من الرماتين تساوي على التوالي: 0.7؛ 0.6. قيمة عشوائية X- عدد الأخطاء بشرط أن يطلق كل رامي طلقة واحدة. إنشاء سلسلة من التوزيعات لمتغير عشوائي X، إنشاء مخطط شريطي ووظيفة التوزيع.

حل. القيم المحتملة لهذا المتغير العشوائي X: 0، 1، 2. يمكن اعتبار حالة المشكلة بمثابة سلسلة من ن= 2 تجارب مستقلة. في هذه الحالة، لحساب احتمالات القيم المحتملة للمتغير العشوائي Xيمكنك استخدام نظريات جمع الاحتمالات أحداث غير متوافقةوضرب احتمالات الأحداث المستقلة:

دعنا نشير إلى الأحداث:

أأنا = ( أنا- أصاب مطلق النار الهدف) أنا = 1, 2.

وفقا للشرط، احتمال وقوع حدث أ 1 ص(أ 1) = 0.7، احتمال وقوع الحدث أ 2 - ص(أ 2) = 0.6. ثم احتمالات الأحداث المعاكسة: , .

دعونا نحدد جميع الأحداث الأولية لتجربة عشوائية معينة والاحتمالات المقابلة لها:

الأحداث الابتدائية	الأحداث	الاحتمالات
المجموع

(دعونا نتحقق من ذلك ).

سلسلة التوزيع لمتغير عشوائي معين Xيشبه

× ط				المجموع
باي	0,42	0,46	0,12

يظهر الرسم البياني الشريطي المقابل لسلسلة التوزيع هذه في الشكل 9.

لنحسب دالة التوزيع لهذا المتغير العشوائي:

:

في س Î (- ¥, 0] ;

في سيا (0, 1] ;

في سص (1، 2] ؛

في سيا (2، +¥)؛

وبالتالي فإن دالة التوزيع للمتغير العشوائي قيد النظر لها الشكل:

رسم بياني للدالة F(س) يظهر في الشكل 10.

دالة الكثافة الاحتمالية لمتغير عشوائي مستمر.

كثافة التوزيع الاحتماليةمتغير عشوائي مستمر Xعند هذه النقطة سمشتق دالة التوزيع عند هذه النقطة يسمى:

F(س) = F¢( س).

وفقا لمعنى القيم الوظيفية F(س) تتناسب مع احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيد الدراسة قيمة في مكان ما في المنطقة المجاورة مباشرة للنقطة س.

وظيفة توزيع الكثافة F(س)، وكذلك وظيفة التوزيع F(س)، هو أحد أشكال تحديد قانون التوزيع، ولكنه ينطبق فقط على المتغيرات العشوائية المستمرة. دالة الكثافة الاحتمالية F(س) أيضا يسمى وظيفة التوزيع التفاضلي، في حين أن وظيفة التوزيع F(س) يتم استدعاؤها، على التوالي، دالة التوزيع التراكمي.

مؤامرة توزيع الكثافة F(س) يسمى منحنى التوزيع.

دعونا نفكر في الخصائص التي تمتلكها دالة كثافة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر.

الخاصية 1.كثافة التوزيع الاحتمالي هي دالة غير سالبة:

F(س) ³ 0

(هندسيا:منحنى التوزيع لا يقع تحت المحور السيني).

الملكية 2.يتم تحديد احتمالية سقوط متغير عشوائي في المنطقة من a إلى b بواسطة الصيغة

;

(هندسيا:هذا الاحتمال يساوي مساحة شبه المنحرف المنحني الذي يحده المنحنى F(س)، المحور أوهومستقيم س= و س= ب).

الملكية 3.

(هندسيا: مساحة الشكل الذي يحده منحنى التوزيع والمحور السيني يساوي واحدًا).

على وجه الخصوص، إذا كانت جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي تنتمي إلى الفاصل الزمني [ أ, ب]، الذي - التي

الخاصية 4.وظيفة التوزيع F(س) يمكن العثور عليها من دالة كثافة التوزيع المعروفة على النحو التالي:

.

مثال 27.يتم تحديد متغير عشوائي مستمر بواسطة دالة التوزيع

يُعرِّف وظيفة تفاضليةكثافة التوزيع.

حل. دعونا نحدد وظيفة كثافة التوزيع التفاضلي

مثال 28.هل كل من الوظائف التالية هي كثافة توزيع بعض المتغيرات العشوائية؟

أسئلة للتحكم في النفس

1. ما يسمى المتغير العشوائي؟

2. ما هي الكميات التي تسمى منفصلة؟ مستمر؟

3. ماذا يسمى قانون توزيع المتغير العشوائي؟

4. ما هي الطرق التي يمكن بها تحديد قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل؟ مستمر؟

5. ما الذي يميز وظيفة التوزيع و(خ)متغير عشوائي؟

6. كيفية تحديد احتمال وقوع متغير عشوائي في فترة معينة باستخدام دالة التوزيع؟

7. بماذا تتميز دالة كثافة التوزيع للمتغير العشوائي؟ اذكر معناها الاحتمالي.

8. ما هي الكميات التي يتم تحديد دالة كثافة التوزيع؟

9. هل يمكن لدالة كثافة التوزيع أن تأخذ قيمًا سالبة؟

10. كيفية ارتباط الوظائف ببعضها البعض و(خ)و F(س)?

11. ما هي المتغيرات العشوائية التي تسمى مستمرة؟

12. ما هي مساحة الشكل الذي يحده منحنى التوزيع والمحور السيني؟

13. كيفية تحديد احتمال وقوع متغير عشوائي مستمر في فترة معينة باستخدام دالة كثافة التوزيع؟

متغير عشوائي هو متغير يمكن أن يأخذ قيمًا معينة اعتمادًا على ظروف مختلفة، و المتغير العشوائي يسمى مستمر ، إذا كان يمكن أن يأخذ أي قيمة من أي فترة محدودة أو غير محدودة. بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، من المستحيل الإشارة إلى جميع القيم الممكنة، لذلك نقوم بتعيين فترات من هذه القيم المرتبطة باحتمالات معينة.

تتضمن أمثلة المتغيرات العشوائية المستمرة: قطر الجزء الذي يتم طحنه إلى حجم معين، وارتفاع الشخص، ومدى طيران المقذوف، وما إلى ذلك.

منذ المتغيرات العشوائية المستمرة الدالة F(س)، خلافا المتغيرات العشوائية المنفصلة، لا توجد قفزات في أي مكان، فإن احتمال أي قيمة فردية لمتغير عشوائي مستمر هو صفر.

هذا يعني أنه بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، ليس من المنطقي الحديث عن التوزيع الاحتمالي بين قيمه: كل واحد منهم لديه احتمال صفر. ومع ذلك، بمعنى ما، من بين قيم المتغير العشوائي المستمر هناك "احتمال أكبر وأقل". على سبيل المثال، لا يكاد أحد يشك في أن قيمة المتغير العشوائي - ارتفاع شخص يتم مواجهته بشكل عشوائي - 170 سم - هي أكثر احتمالا من 220 سم، على الرغم من أن كلا القيمتين يمكن أن تحدثا في الممارسة العملية.

دالة التوزيع للمتغير العشوائي المستمر وكثافة الاحتمال

كقانون توزيع منطقي فقط للمتغيرات العشوائية المستمرة، تم تقديم مفهوم كثافة التوزيع أو كثافة الاحتمال. دعونا نتعامل مع الأمر من خلال مقارنة معنى دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر ومتغير عشوائي منفصل.

إذن، دالة التوزيع لمتغير عشوائي (منفصل ومستمر) أو وظيفة متكاملةتسمى دالة تحدد احتمالية أن تكون قيمة المتغير العشوائي Xأقل من أو يساوي القيمة الحدية X.

لمتغير عشوائي متقطع عند نقاط قيمه س1 , س 2 , ..., سأنا،...تتركز كتل من الاحتمالات ص1 , ص 2 , ..., صأنا،...، ومجموع كل الكتل يساوي 1. دعنا ننقل هذا التفسير إلى حالة المتغير العشوائي المستمر. لنتخيل أن كتلة تساوي 1 لا تتركز في نقاط فردية، ولكنها "تلطخ" بشكل مستمر على طول محور الإحداثي المحوري أوهمع بعض الكثافة غير المتكافئة. احتمال سقوط متغير عشوائي في أي منطقة Δ سسيتم تفسيرها على أنها الكتلة لكل قسم، ومتوسط ​​الكثافة في ذلك القسم على أنها نسبة الكتلة إلى الطول. لقد قدمنا ​​للتو مفهومًا مهمًا في نظرية الاحتمالات: كثافة التوزيع.

كثافة الاحتمال F(س) للمتغير العشوائي المستمر هو مشتق دالة التوزيع الخاصة به:

.

بمعرفة دالة الكثافة، يمكنك إيجاد احتمال أن تنتمي قيمة المتغير العشوائي المستمر إلى الفترة المغلقة [ أ; ب]:

احتمال وجود متغير عشوائي مستمر Xسوف تأخذ أي قيمة من الفاصل الزمني [ أ; ب]، يساوي تكاملًا معينًا لكثافة احتمالية تتراوح من أقبل ب:

.

في هذه الحالة، الصيغة العامة للوظيفة F(س) التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المستمر، والذي يمكن استخدامه إذا كانت دالة الكثافة معروفة F(س) :

.

يسمى الرسم البياني للكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر بمنحنى التوزيع (الشكل أدناه).

مساحة الشكل (المظلل في الشكل) التي يحدها منحنى، خطوط مستقيمة مرسومة من النقاط أو بعمودي على المحور السيني، والمحور أوه، يعرض بيانيًا احتمال أن تكون قيمة المتغير العشوائي المستمر Xيقع ضمن نطاق أقبل ب.

خصائص دالة الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر

1. احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي أي قيمة من الفاصل الزمني (ومساحة الشكل التي يقتصرها الرسم البياني للدالة F(س) والمحور أوه) يساوي واحد:

2. لا يمكن لدالة كثافة الاحتمال أن تأخذ قيمًا سالبة:

وخارج وجود التوزيع قيمته صفر

كثافة التوزيع F(س)، وكذلك وظيفة التوزيع F(س)، هو أحد أشكال قانون التوزيع، ولكن على عكس دالة التوزيع، فهو ليس عالميًا: كثافة التوزيع موجودة فقط للمتغيرات العشوائية المستمرة.

ولنذكر أهم نوعين من توزيع المتغير العشوائي المستمر عملياً.

إذا كانت دالة كثافة التوزيع F(س) متغير عشوائي مستمر في بعض الفترات المحدودة [ أ; ب] يأخذ قيمة ثابتة ج، وخارج الفترة يأخذ قيمة تساوي الصفر، فهذا التوزيع يسمى موحد .

إذا كان الرسم البياني لدالة كثافة التوزيع متماثلًا حول المركز، فإن القيم المتوسطة تتركز بالقرب من المركز، وبالابتعاد عن المركز يتم جمع القيم الأكثر اختلافًا عن المتوسط ​​(يشبه الرسم البياني للدالة مقطعًا من الجرس)، ثم هذا التوزيع يسمى عادي .

مثال 1.تُعرف دالة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المستمر:

البحث عن وظيفة F(س) الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر. إنشاء الرسوم البيانية لكلا الدالتين. أوجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في الفترة من 4 إلى 8: .

حل. نحصل على دالة الكثافة الاحتمالية من خلال إيجاد مشتق دالة التوزيع الاحتمالي:

رسم بياني للدالة F(س) - القطع المكافئ:

رسم بياني للدالة F(س) - مستقيم:

لنجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في النطاق من 4 إلى 8:

مثال 2.يتم إعطاء دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي مستمر على النحو التالي:

حساب المعامل ج. البحث عن وظيفة F(س) التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المستمر. إنشاء الرسوم البيانية لكلا الدالتين. أوجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في النطاق من 0 إلى 5: .

حل. معامل في الرياضيات او درجة جنجد باستخدام الخاصية 1 لدالة الكثافة الاحتمالية:

وبالتالي فإن دالة الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر هي:

وبالتكامل نجد الدالة F(س) التوزيعات الاحتمالية. لو س < 0 , то F(س) = 0 . إذا 0< س < 10 , то

.

س> 10 إذن F(س) = 1 .

وبالتالي، فإن السجل الكامل لوظيفة التوزيع الاحتمالي هو:

رسم بياني للدالة F(س) :

رسم بياني للدالة F(س) :

لنجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في النطاق من 0 إلى 5:

مثال 3.الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر Xويعطى من قبل المساواة ، و . أوجد المعامل أ، احتمال أن يكون متغير عشوائي مستمر Xسوف تأخذ أي قيمة من الفاصل الزمني ]0، 5[، دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر X.

حل. بالشرط نصل إلى المساواة

ولذلك، من أين. لذا،

.

الآن نجد احتمال وجود متغير عشوائي مستمر Xسوف تأخذ أي قيمة من الفاصل الزمني ]0، 5[:

الآن نحصل على دالة التوزيع لهذا المتغير العشوائي:

مثال 4.أوجد الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر X، والتي تأخذ فقط القيم غير السالبة، ووظيفة التوزيع الخاصة بها .

دالة التوزيع الاحتمالية للمتغير العشوائي وخصائصه.

النظر في الوظيفة و(خ)، محددة على خط الأعداد بالكامل كما يلي: لكل منها Xمعنى و(خ)يساوي احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المنفصل قيمة أقل من X، أي.

(18)

تسمى هذه الوظيفة دالة التوزيع الاحتمالي، أو باختصار، وظيفة التوزيع.

مثال 1.أوجد دالة التوزيع للمتغير العشوائي الوارد في المثال 1، النقطة 1.

حل:فمن الواضح أنه إذا ، ثم و(س)=0، لأنه لا يأخذ قيمًا أقل من واحد. اذا ثم ؛ اذا ثم . لكن الحدث<3 в данном случае является суммой двух несовместных событий: =1 и =2. Следовательно,

لذلك لدينا و(س)=1/3. يتم حساب قيم الدالة في الفواصل الزمنية بالمثل. وأخيراً إذا س>6الذي - التي و(س)=1، لأنه في هذه الحالة أي قيمة ممكنة (1, 2, 3, 4, 5, 6) أقل من س. رسم بياني للدالة و(خ)يظهر في الشكل. 4.

مثال 2.أوجد دالة التوزيع للمتغير العشوائي الوارد في المثال 2، النقطة 1.

حل:من الواضح أن

جدول و(خ)يظهر في الشكل. 5.

معرفة وظيفة التوزيع و(خ)فمن السهل العثور على احتمال أن يحقق المتغير العشوائي المتباينات.
ضع في اعتبارك الحدث الذي سيحصل فيه المتغير العشوائي على قيمة أقل من . ينقسم هذا الحدث إلى مجموع حدثين غير متوافقين: 1) يأخذ المتغير العشوائي قيمًا أقل من، أي. ; 2) يأخذ المتغير العشوائي القيم التي تحقق المتباينات. باستخدام بديهية الجمع، نحصل على

ولكن حسب تعريف وظيفة التوزيع و(خ)[سم. صيغة (18)]، لدينا , ; لذلك،

(19)

هكذا، إن احتمال وقوع متغير عشوائي منفصل في فترة ما يساوي زيادة دالة التوزيع خلال هذه الفترة.

دعونا نفكر في الخصائص الأساسية لوظيفة التوزيع.
1°. دالة التوزيع غير متناقصة.
في الواقع، اسمحوا< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то . وبالتالي من الصيغة (19) يتبع ذلك ، أي. .

2°. قيم دالة التوزيع تلبي عدم المساواة .
هذه الخاصية تأتي من حقيقة ذلك و(خ)يتم تعريفه على أنه احتمال [انظر صيغة (18)]. من الواضح أن * و .

3°. احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المنفصل إحدى القيم المحتملة xi يساوي القفزة في دالة التوزيع عند النقطة xi.
في الواقع، اسمحوا الحادي عشرهي القيمة التي يأخذها المتغير العشوائي المنفصل، و . بافتراض أنه في الصيغة (19) نحصل على

أولئك. معنى ص (الحادي عشر)يساوي وظيفة القفز ** الحادي عشر. تم توضيح هذه الخاصية بوضوح في الشكل. 4 والتين. 5.

* فيما يلي إدخال الرموز التالية: , .
** ويمكن إثبات ذلك F(الحادي عشر)=F(الحادي عشر-0)، أي. ما هي الوظيفة و(خ)ويترك مستمرا عند نقطة ما الحادي عشر.

3. المتغيرات العشوائية المستمرة.

بالإضافة إلى المتغيرات العشوائية المنفصلة، ​​التي تشكل قيمها المحتملة تسلسلاً منتهيًا أو لا نهائيًا من الأرقام التي لا تملأ أي فاصل زمني بشكل كامل، غالبًا ما توجد متغيرات عشوائية تشكل قيمها المحتملة فاصلًا معينًا. مثال على هذا المتغير العشوائي هو الانحراف عن القيمة الاسمية لحجم معين للجزء الذي تم ضبطه بشكل صحيح العملية التكنولوجية. لا يمكن تحديد هذا النوع من المتغيرات العشوائية باستخدام قانون التوزيع الاحتمالي ع (خ). ومع ذلك، يمكن تحديدها باستخدام دالة التوزيع الاحتمالي و(خ). يتم تعريف هذه الوظيفة بنفس الطريقة تمامًا كما في حالة المتغير العشوائي المنفصل:

وهكذا، هنا أيضا الوظيفة و(خ)محددة على خط الأعداد بأكمله، وقيمتها عند هذه النقطة Xيساوي احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة أقل من X.
الصيغة (19) والخصائص 1° و2° صالحة لدالة التوزيع لأي متغير عشوائي. يتم إجراء الإثبات بشكل مشابه لحالة الكمية المنفصلة.
يسمى المتغير العشوائي مستمر، إذا كانت هناك دالة متصلة متعددة التعريف غير سالبة* ترضي أي قيم سالمساواة

قائم على معنى هندسيمتكاملة كمنطقة، يمكننا القول أن احتمال تحقيق المتباينات يساوي مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع مع قاعدة ، يحدها من الأعلى المنحنى (الشكل 6).

منذ ، وعلى أساس الصيغة (22)

لاحظ أنه بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر فإن دالة التوزيع و(خ)مستمر في أي لحظة X، حيث تكون الدالة مستمرة. وهذا يأتي من حقيقة ذلك و(خ)قابل للتمييز في هذه النقاط.
بناء على الصيغة (23)، على افتراض س 1 = س، ، لدينا

نظرا لاستمرارية الوظيفة و(خ)لقد حصلنا على ذلك

لذلك

هكذا، احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة واحدة x هو صفر.
ويترتب على ذلك أن الأحداث التي تتكون من تحقيق كل من المتباينات

لديهم نفس الاحتمال، أي.

في الواقع، على سبيل المثال،

لأن

تعليق.وكما نعلم، إذا كان الحدث مستحيلاً، فإن احتمال وقوعه يكون صفراً. مع التعريف الكلاسيكي للاحتمال، عندما يكون عدد نتائج الاختبار محدودًا، فإن الافتراض العكسي ينطبق أيضًا: إذا كان احتمال وقوع حدث ما صفرًا، فإن الحدث مستحيل، لأنه في هذه الحالة لا تفضله أي من نتائج الاختبار. وفي حالة المتغير العشوائي المستمر فإن عدد قيمه الممكنة يكون لا نهائيا. احتمال أن تأخذ هذه الكمية قيمة محددة × 1كما رأينا، يساوي الصفر. ومع ذلك، لا يترتب على ذلك أن هذا الحدث مستحيل، لأنه نتيجة للاختبار، يمكن للمتغير العشوائي، على وجه الخصوص، أن يأخذ القيمة × 1. لذلك، في حالة وجود متغير عشوائي مستمر، فمن المنطقي التحدث عن احتمالية سقوط المتغير العشوائي في الفاصل الزمني، وليس عن احتمالية أن يستغرق بعض القيمة المحددة.
لذلك، على سبيل المثال، عند صنع الأسطوانة، نحن لسنا مهتمين باحتمال أن قطرها سيكون مساويا للقيمة الاسمية. ما يهمنا هو احتمال أن يكون قطر الأسطوانة ضمن نطاق التسامح.

الموضوع رقم 11

في الممارسة العملية، لتحديد المتغيرات العشوائية منظر عامعادة ما يتم استخدام وظيفة التوزيع.

احتمال وجود متغير عشوائي Xسيأخذ قيمة معينة × 0، يتم التعبير عنها من خلال دالة التوزيع وفقًا للصيغة

ر (X = س 0) = و(س 0 +0) – و(س 0).(3)

على وجه الخصوص، إذا كانت الدالة F(x) متصلة عند النقطة x = x 0، إذن

ر (X = × 0) =0.

قيمة عشوائية Xمع التوزيع ع (أ)تسمى منفصلة إذا كانت هناك مجموعة W محدودة أو قابلة للعد على خط الأعداد ر(ث،) = 1.

دع W = ( × 1، × 2،…)و باي= ص({× ط}) = ص(س = × ط), أنا= 1,2,.... ثم لأي مجموعة بوريل أاحتمالا ع (أ)يتم تحديده بشكل فريد من خلال الصيغة

وضع في هذه الصيغة أ = (س ط / س ط< x}, x Î R ، نحصل على صيغة دالة التوزيع و(خ)المتغير العشوائي المنفصل X:

و(خ) = ص(س < س) =. (5)

رسم بياني للدالة و(خ)هو خط متدرج. يقفز وظيفة و(خ)في النقاط س = × 1، × 2…(× 1 يساوي الاحتمالات المقابلة ص 1، ص 2، ....

مثال 1: ابحث عن دالة التوزيع

المتغير العشوائي المنفصل x من المثال 1§ 13.

باستخدام دالة التوزيع، احسب

احتمالية الأحداث: x< 3, 1 £ x < 4, 1 £ x £ 3.

و(خ)

0 × 1 × 2 × 3 × 4 X

حل. باستخدام البيانات من الجدول،

تم الحصول عليها في § 13، والصيغة (5)، نحصل عليها

وظيفة التوزيع:

وفقًا للصيغة (1) Р(x< 3) = F(3) = 0,1808; по формуле (2)

ع(1 جنيه س< 4) = F (4) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888;

ع (1 جنيه استرليني × 3 جنيه استرليني) = ع (1 جنيه استرليني س<3) + p(x = 3) = F(3) – F(1) + F(3+0) – F(3) =

ف(3+0) – ف(1) = 0.5904 – 0.0016 = 0.5888.

مثال 2. نظرا لوظيفة

هل الدالة F(x) هي دالة التوزيع لبعض المتغيرات العشوائية؟ إذا كانت الإجابة بنعم، فابحث . ارسم رسمًا بيانيًا للدالة F(x).

حل. لكي تكون الوظيفة المحددة مسبقًا F(x) دالة توزيع لبعض المتغيرات العشوائية x، فمن الضروري والكافي استيفاء الشروط التالية (الخصائص المميزة لوظيفة التوزيع):

1. F(x) هي دالة غير تناقصية.

3. لأي x О R F( س– 0) = و( س).

لوظيفة معينة F(x)، التنفيذ

هذه الشروط واضحة. وسائل،

F(x) – دالة التوزيع.

احتمالا احسب بواسطة

الصيغة (2):

رسم بياني للدالة F( س) يرد في الشكل 13.

مثال 3. دع F 1 ( س) و ف 2 ( س) – وظائف التوزيع للمتغيرات العشوائية X 1 و X 2 على التوالي، أ 1 و أ 2 هي أرقام غير سالبة مجموعها 1.

أثبت أن ف( س) = أ 1 ف 1 ( س) + أ 2 ف 2 ( س) هي دالة التوزيع لبعض المتغيرات العشوائية X.

حل. 1) منذ F 1 ( س) و ف 2 ( س) هي وظائف غير متناقصة و أ 1 ³ 0, أ 2 ³ 0 إذن أ 1 ف 1 ( س) و أ 2 ف 2 ( س) غير متناقصة، وبالتالي فإن مجموعها F( س) هو أيضا غير متناقص.

3) لأي x О R F ( س - 0) = أ 1 ف 1 ( س - 0) + أ 2 ف 2 ( س - 0)= أ 1 ف 1 ( س) + أ 2 ف 2 ( س) = و( س).

مثال 4. نظرا لوظيفة

هل F(x) دالة التوزيع لمتغير عشوائي؟

حل. من السهل أن نرى أن F(1) = 0.2 > 0.11 = F(1,1). ولذلك ف( س) ليست غير متناقصة، وبالتالي فهي ليست دالة توزيع لمتغير عشوائي. لاحظ أن الخاصيتين المتبقيتين صالحتان لهذه الوظيفة.

مهمة الاختبار رقم 11

1. المتغير العشوائي المنفصل X

س) وباستخدامه، ابحث عن احتمالات الأحداث: أ) -2 جنيه إسترليني X < 1; б) ½X½ £ 2. ارسم رسمًا بيانيًا لوظيفة التوزيع.

3. المتغير العشوائي المنفصل Xيعطى من جدول التوزيع :

× ط
باي	0,05	0,2	0,3	0,35	0,1

أوجد دالة التوزيع F( س) وأوجد احتمالات الأحداث التالية: أ) س < 2; б) 1 £ X < 4; в) 1 £ X 4 جنيهات إسترلينية؛ د) 1< س 4 جنيهات إسترلينية؛ د) X = 2,5.

4. أوجد دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصل X، يساوي عدد النقاط التي تم رميها خلال رمية النرد الواحدة. باستخدام دالة التوزيع، أوجد احتمال المتداول بمقدار 5 نقاط على الأقل.

5. يتم إجراء اختبارات متتالية لـ 5 أجهزة للتأكد من الموثوقية. يتم اختبار كل جهاز لاحق فقط إذا تبين أن الجهاز السابق موثوق به. قم بإنشاء جدول توزيع وأوجد دالة التوزيع لعدد الاختبارات العشوائية للأجهزة إذا كان احتمال اجتياز الاختبارات لكل جهاز هو 0.9.

6. يتم إعطاء دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصل X:

أ) أوجد احتمال الحدث 1 جنيهًا إسترلينيًا X 3 جنيهات استرلينية.

ب) أوجد جدول توزيع المتغير العشوائي X.

7. يتم إعطاء دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصل X:

أنشئ جدولاً لتوزيع هذا المتغير العشوائي.

8. إرم العملة نمرة واحدة. قم بإنشاء جدول توزيع وابحث عن دالة التوزيع لعدد مرات ظهور شعار النبالة. ارسم وظيفة التوزيع في ن = 5.

9. يتم رمي العملة حتى يظهر شعار النبالة. قم بإنشاء جدول توزيع وابحث عن دالة التوزيع لعدد مرات ظهور الرقم.

10. يطلق القناص النار على الهدف حتى الضربة الأولى. احتمال الخطأ في تسديدة واحدة يساوي ر. أوجد دالة التوزيع لعدد الأخطاء.

محتوى المقال

وظيفة التوزيع- الكثافة الاحتمالية لتوزيع جسيمات النظام العياني على الإحداثيات أو العزم أو الحالات الكمومية. وظيفة التوزيع هي السمة الرئيسية لمجموعة واسعة من الأنظمة (ليست المادية فقط) التي تتميز بالسلوك العشوائي، أي. تغيير عشوائي في حالة النظام وبالتالي معلماته. حتى في ظل الظروف الخارجية الثابتة، قد تكون حالة النظام نفسه بحيث تكون نتيجة قياس بعض معلماته متغيرًا عشوائيًا. في الغالبية العظمى من الحالات، تحتوي وظيفة التوزيع على جميع المعلومات الممكنة وبالتالي الشاملة حول خصائص هذه الأنظمة.

في نظرية الاحتمالات الرياضية والإحصاء الرياضي، تختلف دالة التوزيع وكثافة الاحتمال عن بعضها البعض، ولكنهما مرتبطان بشكل واضح ببعضهما البعض. سنتحدث أدناه بشكل حصري تقريبًا عن الكثافة الاحتمالية، والتي (وفقًا لتقليد طويل الأمد في الفيزياء) تسمى كثافة التوزيع الاحتمالي أو دالة التوزيع، مما يضع علامة المساواة بين هذين المصطلحين.

السلوك العشوائي هو، بدرجة أو بأخرى، سمة مميزة لجميع أنظمة ميكانيكا الكم: الجسيمات الأولية، ذرات الجزيء، وما إلى ذلك. ومع ذلك، فإن السلوك العشوائي ليس سمة محددة للأنظمة الميكانيكية الكمومية فقط؛ حيث تمتلك العديد من الأنظمة الكلاسيكية البحتة هذه الخاصية.

أمثلة.

عند رمي عملة معدنية على سطح أفقي صلب، ليس من الواضح ما إذا كانت ستهبط بالرقم لأعلى أم بشعار النبالة. ومن المعلوم أن احتمالات هذه الأحداث في ظروف معينة تساوي 1/2. عند رمي حجر النرد، لا يمكنك أن تحدد على وجه اليقين أي من الأرقام الستة سيكون على الوجه العلوي. إن احتمال سقوط كل رقم في ظل افتراضات معينة (النرد عبارة عن مكعب متجانس بدون حواف ورؤوس متكسرة يقع على سطح أفقي صلب وأملس) هو 1/6.

تكون عشوائية الحركة الجزيئية أكثر وضوحًا في الغاز. حتى في ظل الظروف الخارجية الثابتة، تتقلب القيم الدقيقة للمعلمات العيانية (تتغير بشكل عشوائي)، وتكون قيمها المتوسطة فقط ثابتة. إن وصف الأنظمة العيانية بلغة القيم المتوسطة للمعلمات الكلية هو جوهر الوصف الديناميكي الحراري ().

يجب أن يكون هناك غاز أحادي الذرة مثالي وثلاثة من معلماته العيانية (لم يتم حساب متوسطها بعد): ن- عدد الذرات التي تتحرك داخل الوعاء الذي يشغله الغاز؛ صهو ضغط الغاز على جدار الوعاء وهي الطاقة الداخلية للغاز. الغاز مثالي وأحادي الذرة، وبالتالي فإن طاقته الداخلية هي ببساطة مجموع الطاقات الحركية للحركة الانتقالية لذرات الغاز.

رقم نيتقلب، على الأقل، بسبب عملية الامتصاص (الالتصاق بجدار الوعاء عند الاصطدام به) والامتزاز (عملية فك الالتصاق، عندما يخرج الجزيء من الجدار من تلقاء نفسه أو نتيجة اصطدام جزيء آخر به) )، وأخيرًا، عملية تكوين الكتلة – مجمعات قصيرة العمر مكونة من عدة جزيئات. لو كان من الممكن قياس نعلى الفور وبدقة، ثم الاعتماد الناتج ن(ر) ستكون مشابهة لتلك الموضحة في الشكل.

يتم المبالغة في تقدير نطاق التقلبات في الشكل بشكل كبير من أجل الوضوح، ولكن بقيمة متوسطة صغيرة (ب نمع ~ 10 2) سيكون عدد الجزيئات الموجودة في الغاز هو نفسه تقريبًا.

إذا قمت بتحديد منطقة صغيرة على جدار الوعاء وقياس القوة المؤثرة على هذه المنطقة نتيجة لتأثيرات جزيئات الغاز الموجودة في الوعاء، فإن نسبة القيمة المتوسطة لمركب هذه القوة عمودية على المساحة إلى منطقة المنطقة تسمى عادة الضغط. وفي لحظات زمنية مختلفة، ستطير أعداد مختلفة من الجزيئات إلى الموقع، وبسرعات مختلفة. ونتيجة لذلك، إذا كان من الممكن قياس هذه القوة بشكل فوري ودقيق، فستكون هناك صورة مشابهة لتلك الموضحة في الشكل، ما عليك سوى تغيير الترميز على طول المحور الرأسي:

ن(ر) يو ص(ر) وب ن(ر) ق يو ب ص(ر)مع.

وينطبق الشيء نفسه تقريبًا على الطاقة الداخلية للغاز، فقط العمليات التي تؤدي إلى تغيرات عشوائية في هذه الكمية هي التي تختلف. على سبيل المثال، عند الاقتراب من جدار الحاوية، لا يصطدم جزيء الغاز بجدار مجرد ومرن تمامًا وعاكس بشكل مرآوي، ولكن مع إحدى الجزيئات التي تشكل مادة هذا الجدار. دع الجدار يكون من الفولاذ، فهذه أيونات حديدية تتأرجح حول مواضع التوازن - عقد الشبكة البلورية. إذا اقترب جزيء غاز من الجدار في تلك المرحلة من تذبذبات الأيونات عندما يتحرك نحوه، فنتيجة الاصطدام، سيطير الجزيء بعيدًا عن الجدار بسرعة أكبر مما كان يقترب. جنبا إلى جنب مع طاقة هذا الجزيء، ستزداد الطاقة الداخلية للغاز أيضا ه. إذا اصطدم جزيء بأيون يتحرك في نفس اتجاهه، فإن هذا الجزيء سوف يطير بعيدًا بسرعة أقل من تلك التي طار بها. أخيرًا، يمكن للجزيء الدخول إلى الفضاء الخلالي (مساحة فارغة بين العقد المجاورة للشبكة البلورية) ويعلق هناك، بحيث لا يمكن حتى للتسخين القوي إزالته من هناك. وفي الحالتين الأخيرتين، الطاقة الداخلية للغاز هسوف يتناقص. لذلك، ه(ر) هي أيضًا دالة عشوائية للوقت وهي القيمة المتوسطة لهذه الوظيفة.

الحركة البراونية.

بعد تحديد موضع الجسيم البراوني في وقت ما ر 1، يمكن للمرء أن يتنبأ بدقة فقط بموقعه في نقطة زمنية لاحقة ر 2 لا يتجاوز ( ر 2 –ر 1)· ج، أين ج– سرعة الضوء في الفراغ .

هناك حالات من الطيف المنفصل والمستمر للحالات، وبالتالي متغيرة س. يُفهم نطاق قيم المتغير على أنه المجموعة الكاملة لقيمه المحتملة.

في حالة وجود طيف منفصل من الحالات، لتحديد التوزيع الاحتمالي، من الضروري أولاً الإشارة إلى المجموعة الكاملة للقيم المحتملة للمتغير العشوائي

س 1, س 2, س 3,…سك،… (1)

وثانياً: احتمالاتها:

دبليو 1, دبليو 2, دبليو 3,…دبليوك،… (2)

يجب أن يكون مجموع احتمالات جميع الأحداث المحتملة مساوياً لواحد (شرط التطبيع)

وصف التوزيع الاحتمالي حسب العلاقات (1) - (3) مستحيل في حالة وجود طيف مستمر من الحالات، وبالتالي طيف مستمر من القيم المحتملة للمتغير س. يترك سيقبل جميع القيم الحقيقية الممكنة في الفترة

سعن [ أ, ب] (4)

أين أو بليس بالضرورة محدودة. على سبيل المثال، لمعامل ناقل السرعة لجزيء الغاز الخامسيا الكذب ضمن النطاق الكامل للقيم الممكنة، أي. سعن [ س,س+د س] عن [ أ, ب] (5)

ثم الاحتمال د دبليو(س، د س) يضرب سفي الفترة (5) يساوي

هنا ن- العدد الإجمالي للقياسات س، و د ن(س، د س) - عدد النتائج التي تقع في الفاصل الزمني (5).

الاحتمال د دبليويعتمد بطبيعة الحال على حجتين: س- موضع الفاصل الزمني داخل [ أ, ب] و د س- طوله (من المفترض، على الرغم من أن هذا ليس ضروريًا على الإطلاق، أن D س> 0). على سبيل المثال، احتمال الحصول على القيمة الدقيقة سوبعبارة أخرى، احتمال الضرب سفي فترة طولها صفر يوجد احتمال لحدث مستحيل وبالتالي يساوي الصفر: D دبليو(س, 0) = 0

ومن ناحية أخرى، احتمال الحصول على القيمة سفي مكان ما (بغض النظر عن المكان) داخل الفاصل الزمني بأكمله [ أ, ب] هو احتمال وقوع حدث موثوق (يحدث شيء دائمًا) وبالتالي يساوي واحدًا (من المفترض أن ب > أ): د دبليو(أ, ب – أ) = 1.

دع د سعدد قليل. يعتمد معيار الصغر الكافي على الخصائص المحددة للنظام، والتي يصفها التوزيع الاحتمالي D دبليو(س، د س). إذا د سصغيرة، ثم الدالة D دبليو(س، د س) يمكن توسيعها إلى سلسلة في صلاحيات D س:

إذا قمت برسم رسم بياني لـ D دبليو(س، د س) من الحجة الثانية د سفإن استبدال الاعتماد الدقيق بالتعبير التقريبي (7) يعني استبدال (ب منطقة صغيرة) قطعة منحنية تمامًا من القطع المكافئ (7).

في (7) الحد الأول يساوي صفرًا تمامًا، والحد الثالث واللاحق عندما يكون D صغيرًا بدرجة كافية سيمكن حذف. مقدمة التدوين

يعطي نتيجة مهمة د دبليو(س، د س) » ص( س)·د س (8)

العلاقة (8) والتي تتحقق بدقة أكبر كلما كانت D أصغر سيعني أنه إذا كان طول الفاصل الزمني قصيرا فإن احتمال الوقوع في هذا الفاصل يتناسب مع طوله.

يمكنك أيضًا الانتقال من D الصغيرة ولكن المحدودة سإلى متناهية الصغر رسميا dx، مع الاستبدال المتزامن لـ D دبليو(س، د س) على دي دبليو(س). ثم تتحول المساواة التقريبية (8) إلى دقيقة دي دبليو(س) = ص( س)· dx(9)

عامل التناسب ص( س) له معنى بسيط. وكما يتبين من (8) و (9)، ص( س) يساوي عدديا احتمال الضرب سفي فترة طول الوحدة. ولذلك فإن أحد أسماء الدالة r( س) - كثافة التوزيع الاحتمالية للمتغير س.

الدالة ص( س) يحتوي على كافة المعلومات حول كيفية الاحتمال دي دبليو(س) يضرب سفي فترة زمنية معينة dxيعتمد على موقع هذه الفترة، أي. يوضح كيفية توزيع الاحتمال س. لذلك فإن الدالة r( س) تسمى عادة دالة التوزيع للمتغير سوبالتالي وظيفة التوزيع لذلك النظام المادي، من أجل وصف نطاق الحالات التي تم تقديم المتغير فيها س. يتم استخدام مصطلحي "الكثافة الاحتمالية" و"دالة التوزيع" بالتبادل في الفيزياء الإحصائية.

يمكننا النظر في تعميم تعريف الاحتمال (6) ودالة التوزيع (9) على حالة ثلاثة متغيرات على سبيل المثال. التعميم على هذه القضية هو تعسفي عدد كبيرتتم المتغيرات بنفس الطريقة تمامًا.

دع حالة النظام المادي تتغير بشكل عشوائي مع مرور الوقت يتم تحديدها من خلال قيم ثلاثة متغيرات س, ذو ضمع الطيف المستمر:

سعن [ أ, ب]

ذعن [ ج, د]

ضعن [ ه, F] (10)

أين أ, ب,…, F، كما كان من قبل، ليست بالضرورة محدودة. المتغيرات س, ذو ضيمكن أن تكون، على سبيل المثال، إحداثيات مركز كتلة جزيء الغاز، ومكونات متجه سرعته سيو VX, ذيو الخامس ذو ضيو الخامس ضأو دافع الخ يُفهم الحدث على أنه حدوث متزامن لجميع المتغيرات الثلاثة في فترات طولها D س، د ذو د ضوفقا لذلك، أي:

سعن [ س, س+د س]

ذعن [ ذ, ذ+د ذ]

ضعن [ ض, ض+د ض] (11)

يمكن تحديد احتمالية الحدث (11) بشكل مشابه لـ (6)

مع الفارق الآن د ن- عدد القياسات س, ذو ض، نتائجها ترضي العلاقات في وقت واحد (11). باستخدام توسيع سلسلة مماثلة ل(7) يعطي

دي دبليو(س, ذ, ض) = ص( س, ذ, ض)· دي اكس دي دي زد(13)

حيث ص ( س, ذ, ض) - دالة التوزيع لثلاثة متغيرات في وقت واحد س, ذو ض.

في نظرية الاحتمالية الرياضية، يُستخدم مصطلح "دالة التوزيع" للدلالة على كمية مختلفة عن r( س)، وهي: دع x تكون قيمة ما لمتغير عشوائي س. الدالة Ф(x)، تعطي احتمالية ذلك سستأخذ قيمة لا تزيد عن x وتسمى دالة التوزيع. الدالتان r و Ф لهما معاني مختلفة، لكنهما مرتبطتان. باستخدام نظرية إضافة الاحتمالية يعطي (هنا أ- الطرف الأيسر من نطاق القيم الممكنة س (سم.نظرية الاحتمالية): ‏‎(١٤) من أين

باستخدام العلاقة التقريبية (8) يعطي D دبليو(س، د س) » ص( س)·د س.

توضح المقارنة مع التعبير الدقيق (15) أن استخدام (8) يعادل استبدال التكامل المتضمن في (16) بمنتج الدالة التكاملية r( س) بطول فترة التكامل D س:

العلاقة (17) ستكون صحيحة إذا كان r = مقدار ثابتولذلك فإن الخطأ عند استبدال (16) بـ (17) سيكون صغيرًا عندما تتغير دالة التكامل قليلاً على طول فترة التكامل D س.

يمكنك إدخال د × تأثير- طول الفاصل الزمني الذي تكون فيه دالة التوزيع r( س) يتغير بشكل ملحوظ، أي. بقيمة ترتيب الدالة نفسها، أو بقيمة Dr تأثيرترتيب modulo ص. باستخدام صيغة لاغرانج يمكننا أن نكتب:

حيث يترتب على ذلك د × تأثيرلأي وظيفة ص

يمكن اعتبار دالة التوزيع "ثابتة تقريبًا" خلال فترة زمنية معينة من التغيير في الوسيطة إذا زادت |Dr| وفي هذه الفترة، يكون المقياس أقل بكثير من الدالة نفسها عند نقاط هذه الفترة. المتطلبات |دكتور| تأثير| ~ r (وظيفة التوزيع r i 0) تعطي

د س× إف (20)

يجب أن يكون طول فترة التكامل صغيرًا مقارنة بالفترة التي تتغير خلالها الدالة التكاملية بشكل ملحوظ. يظهر الرسم التوضيحي في الشكل. 1.

التكامل على الجانب الأيسر (17) يساوي المساحةتحت المنحنى. المنتج الموجود على الجانب الأيمن من (17) هو المساحة المظللة في الشكل. 1 عمود. ومعيار صغر الفارق بين المساحات المتناظرة هو استيفاء التفاوت (20). يمكن التحقق من ذلك عن طريق استبدال الحدود الأولى لموسع الدالة r( س) حسب ترتيب السلطات

واشتراط أن يكون التصحيح (الحد الثاني على يمين (21)) صغيرا مقارنة بالأول يعطي عدم المساواة (20) مع د × تأثيرمن (19).

أمثلة على عدد من وظائف التوزيع التي تلعب دورا هاما في الفيزياء الإحصائية.

توزيع ماكسويل لإسقاط ناقل السرعة الجزيئية على اتجاه معين (على سبيل المثال، هذا هو اتجاه المحور ثور).

هنا م- كتلة جزيء الغاز، ت- درجة حرارته، ك- ثابت بولتزمان.

توزيع ماكسويل لحجم ناقل السرعة:

توزيع ماكسويل لطاقة الحركة الانتقالية للجزيئات e = بالسيارات 2/2

توزيع بولتزمان، وبشكل أدق، ما يسمى بالصيغة البارومترية، التي تحدد توزيع تركيز الجزيئات أو ضغط الهواء على الارتفاع حمن "مستوى الصفر" على افتراض أن درجة حرارة الهواء لا تعتمد على الارتفاع (نموذج الغلاف الجوي متساوي الحرارة). في الواقع، تنخفض درجة الحرارة في الغلاف الجوي السفلي بشكل ملحوظ مع زيادة الارتفاع.