يمكن أن يكون توقع الرياضيات أكبر من 1. الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية

يمكن النظر في مفهوم التوقع الرياضي باستخدام مثال رمي النرد. مع كل رمية ، يتم تسجيل النقاط التي تم إسقاطها. يتم استخدام القيم الطبيعية في النطاق من 1 إلى 6 للتعبير عنها.

بعد عدد معين من الرميات مع عدم وجود حسابات معقدةيمكنك العثور على المتوسط قيمة حسابيةالنقاط المتساقطة.

بالإضافة إلى إسقاط أي من قيم النطاق ، ستكون هذه القيمة عشوائية.

وإذا قمت بزيادة عدد الرميات عدة مرات؟ مع وجود عدد كبير من الرميات ، ستقترب القيمة الحسابية المتوسطة للنقاط من رقم معين ، والذي في نظرية الاحتمالات قد تلقى اسم التوقع الرياضي.

لذلك ، يُفهم التوقع الرياضي على أنه متوسط ​​قيمة متغير عشوائي. يمكن أيضًا تقديم هذا المؤشر كمجموع مرجح للقيم المحتملة.

هذا المفهوم له عدة مرادفات:

• متوسط ​​القيمة؛
• متوسط ​​القيمة؛
• مؤشر الاتجاه المركزي
• اللحظة الأولى.

بمعنى آخر ، إنه ليس أكثر من رقم يتم توزيع قيم المتغير العشوائي حوله.

في مجالات متنوعةالنشاط البشري ، ومقاربات فهم التوقع الرياضي ستكون مختلفة بعض الشيء.

يمكن أن ينظر إليه على أنه:

• متوسط ​​الفائدة المتلقاة من اتخاذ قرار ، في حالة النظر في مثل هذا القرار من وجهة نظر نظرية الأعداد الكبيرة ؛
• المبلغ المحتمل للفوز أو الخسارة (نظرية المقامرة) ، محسوبًا في المتوسط ​​لكل من الرهانات. في العامية ، تبدو مثل "ميزة اللاعب" (إيجابية للاعب) أو "ميزة الكازينو" (سلبية للاعب) ؛
• نسبة الربح المحصل من المكاسب.

توقع الرياضيات ليس إلزاميًا للجميع على الإطلاق المتغيرات العشوائية. إنه غائب بالنسبة لأولئك الذين لديهم تباين في المجموع المقابل أو التكامل.

خصائص التوقع

مثل أي معلمة إحصائية ، فإن التوقع الرياضي له الخصائص التالية:

الصيغ الأساسية للتوقعات الرياضية

يمكن إجراء حساب التوقع الرياضي لكل من المتغيرات العشوائية التي تتميز بكل من الاستمرارية (الصيغة أ) والتمييز (الصيغة ب):

1. M (X) = ∑i = 1nxi⋅pi ، حيث x هي قيم المتغير العشوائي ، و pi هي الاحتمالات:
2. M (X) = ∫ + ∞ − ∞f (x) ⋅xdx ، حيث f (x) كثافة احتمالية معينة.

أمثلة على حساب التوقع الرياضي

مثال أ.

هل من الممكن معرفة متوسط ​​ارتفاع التماثيل في القصة الخيالية حول بياض الثلج. من المعروف أن كل من التماثيل السبعة لها ارتفاع معين: 1.25 ؛ 0.98 ؛ 1.05 ؛ 0.71 ؛ 0.56 ؛ 0.95 و 0.81 م.

خوارزمية الحساب بسيطة للغاية:

• أوجد مجموع كل قيم مؤشر النمو (متغير عشوائي):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• المبلغ الناتج مقسومًا على عدد التماثيل:
  6,31:7=0,90.

وهكذا ، فإن متوسط ​​ارتفاع التماثيل في القصة الخيالية هو 90 سم ، وبعبارة أخرى ، هذا هو التوقع الرياضي لنمو التماثيل.

صيغة العمل - M (x) \ u003d 4 0.2 + 6 0.3 + 10 0.5 \ u003d 6

التنفيذ العملي للتوقعات الرياضية

يتم اللجوء إلى حساب مؤشر إحصائي للتوقع الرياضي في مختلف مجالات النشاط العملي. بادئ ذي بدء ، نحن نتحدث عن المجال التجاري. في الواقع ، يرتبط تقديم Huygens لهذا المؤشر بتحديد الفرص التي يمكن أن تكون مواتية ، أو على العكس من ذلك ، غير مواتية لبعض الأحداث.

تستخدم هذه المعلمة على نطاق واسع لتقييم المخاطر ، خاصة عندما يتعلق الأمر بالاستثمارات المالية.
لذلك ، في الأعمال التجارية ، يعمل حساب التوقع الرياضي كطريقة لتقييم المخاطر عند حساب الأسعار.

أيضًا ، يمكن استخدام هذا المؤشر عند حساب فعالية تدابير معينة ، على سبيل المثال ، بشأن حماية العمال. بفضله ، يمكنك حساب احتمال وقوع حدث.

مجال آخر لتطبيق هذه المعلمة هو الإدارة. يمكن أيضًا حسابها أثناء مراقبة جودة المنتج. على سبيل المثال ، باستخدام حصيرة. التوقعات ، يمكنك حساب العدد المحتمل لأجزاء التصنيع المعيبة.

تبين أيضًا أن التوقع الرياضي لا غنى عنه أثناء المعالجة الإحصائية للبيانات التي تم الحصول عليها في سياقها بحث علمينتائج. كما يسمح لك بحساب احتمال نتيجة مرغوبة أو غير مرغوب فيها لتجربة أو دراسة ، اعتمادًا على مستوى تحقيق الهدف. بعد كل شيء ، يمكن أن يرتبط تحقيقه بالربح والربح ، وعدم تحقيقه - كخسارة أو خسارة.

استخدام التوقعات الرياضية في الفوركس

التطبيق العملي لهذه المعلمة الإحصائية ممكن عند إجراء المعاملات في سوق الصرف الأجنبي. يمكن استخدامه لتحليل نجاح المعاملات التجارية. علاوة على ذلك ، تشير الزيادة في قيمة التوقع إلى زيادة في نجاحهم.

من المهم أيضًا أن تتذكر أن التوقع الرياضي لا ينبغي اعتباره المعلمة الإحصائية الوحيدة المستخدمة لتحليل أداء المتداول. يؤدي استخدام العديد من المعلمات الإحصائية إلى جانب متوسط ​​القيمة إلى زيادة دقة التحليل في بعض الأحيان.

أثبتت هذه المعلمة نفسها بشكل جيد في مراقبة ملاحظات حسابات التداول. بفضله ، يتم إجراء تقييم سريع للعمل المنجز على حساب الوديعة. في الحالات التي يكون فيها نشاط المتداول ناجحًا ويتجنب الخسائر ، لا يوصى باستخدام حساب التوقع الرياضي فقط. في هذه الحالات ، لا تؤخذ المخاطر في الاعتبار ، مما يقلل من فعالية التحليل.

تشير الدراسات التي أجريت على تكتيكات المتداولين إلى ما يلي:

• الأكثر فعالية هي التكتيكات القائمة على المدخلات العشوائية ؛
• الأقل فعالية هي التكتيكات القائمة على المدخلات المنظمة.

من أجل تحقيق نتائج إيجابية ، من المهم بنفس القدر:

• تكتيكات إدارة الأموال ؛
• استراتيجيات الخروج.

باستخدام مثل هذا المؤشر كتوقع رياضي ، يمكننا أن نفترض ما سيكون الربح أو الخسارة عند استثمار دولار واحد. من المعروف أن هذا المؤشر ، المحسوب لجميع الألعاب التي تمارس في الكازينو ، لصالح المؤسسة. هذا هو ما يسمح لك لكسب المال. متى سلسلة طويلةالألعاب ، يزداد احتمال خسارة العميل للمال بشكل كبير.

ألعاب اللاعبين المحترفين محدودة بفترات زمنية صغيرة ، مما يزيد من فرص الفوز ويقلل من مخاطر الخسارة. لوحظ نفس النمط في أداء عمليات الاستثمار.

يمكن للمستثمر أن يكسب مبلغًا كبيرًا مع توقع إيجابي وعدد كبير من المعاملات في فترة زمنية قصيرة.

يمكن اعتبار التوقع على أنه الفرق بين النسبة المئوية للربح (PW) مضروبة في متوسط ​​الربح (AW) واحتمال الخسارة (PL) مضروبًا في متوسط ​​الخسارة (AL).

كمثال ، ضع في اعتبارك ما يلي: المركز - 12.5 ألف دولار ، المحفظة - 100 ألف دولار ، المخاطرة لكل إيداع - 1٪. تبلغ ربحية المعاملات 40٪ من الحالات بمتوسط ​​ربح 20٪. في حالة حدوث خسارة ، يكون متوسط ​​الخسارة 5٪. يعطي حساب التوقع الرياضي للتداول قيمة 625 دولارًا.

التوقع الرياضي هو التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي

التوقع الرياضي ، التعريف ، التوقع الرياضي للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة ، التوقع الانتقائي المشروط ، الحساب ، الخصائص ، المهام ، تقدير التوقع ، التباين ، دالة التوزيع ، الصيغ ، أمثلة الحساب

قم بتوسيع المحتوى

تصغير المحتوى

القيمة المتوقعةهو التعريف

من أهم المفاهيم في الإحصاء الرياضي ونظرية الاحتمالات التي تميز توزيع القيم أو الاحتمالات لمتغير عشوائي. عادة ما يتم التعبير عنها كمتوسط ​​مرجح لجميع المعلمات الممكنة لمتغير عشوائي. يستخدم على نطاق واسع في التحليل الفني ، ودراسة سلسلة الأرقام ، ودراسة العمليات المستمرة وطويلة الأجل. لديها أهميةعند تقييم المخاطر ، توقع مؤشرات الأسعار عند التداول الأسواق المالية، يستخدم في تطوير استراتيجيات وأساليب تكتيكات اللعبة في نظرية القمار.

التوقع الرياضيمتوسط ​​قيمة المتغير العشوائي ، يؤخذ في الاعتبار التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي في نظرية الاحتمالات.

التوقع الرياضيقياس متوسط ​​قيمة متغير عشوائي في نظرية الاحتمالات. التوقع الرياضي لمتغير عشوائي xيعني م (س).

التوقع الرياضي

التوقع الرياضيفي نظرية الاحتمالات ، المتوسط ​​المرجح للجميع القيم الممكنةالتي يمكن أن يستغرقها هذا المتغير العشوائي.

التوقع الرياضيمجموع حاصل ضرب جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي من خلال احتمالات هذه القيم.

التوقع الرياضيمتوسط ​​الاستفادة من قرار معين ، بشرط أن يتم النظر في مثل هذا القرار في إطار نظرية الأعداد الكبيرة والمسافة الطويلة.

التوقع الرياضيفي نظرية المقامرة ، مقدار المكاسب التي يمكن للاعب أن يربحها أو يخسرها ، في المتوسط ​​، لكل رهان. في لغة المقامرين ، يسمى هذا أحيانًا "ميزة اللاعب" (إذا كانت إيجابية للاعب) أو "ميزة المنزل" (إذا كانت سلبية للاعب).

التوقع الرياضيالنسبة المئوية للربح لكل ربح مضروبة في متوسط ​​الربح مطروحًا منه احتمال الخسارة مضروبًا في متوسط ​​الخسارة.

التوقع الرياضي لمتغير عشوائي في النظرية الرياضية

واحدة من الخصائص العددية الهامة للمتغير العشوائي هي التوقع الرياضي. دعونا نقدم مفهوم نظام المتغيرات العشوائية. ضع في اعتبارك مجموعة من المتغيرات العشوائية التي هي نتيجة نفس التجربة العشوائية. إذا كانت إحدى القيم المحتملة للنظام ، فإن الحدث يتوافق مع احتمال معين يفي ببديهيات Kolmogorov. تسمى الوظيفة المحددة لأي قيم محتملة للمتغيرات العشوائية قانون التوزيع المشترك. تتيح لك هذه الوظيفة حساب احتمالات أي أحداث من. على وجه الخصوص ، القانون المشترك لتوزيع المتغيرات العشوائية ، والذي يأخذ قيمًا من المجموعة ويعطى من خلال الاحتمالات.

تم تقديم مصطلح "التوقع" من قبل بيير سيمون ماركيز دي لابلاس (1795) ونشأ من مفهوم "القيمة المتوقعة للمكافأة" ، والتي ظهرت لأول مرة في القرن السابع عشر في نظرية المقامرة في أعمال بليز باسكال وكريستيان هيغنز. . ومع ذلك ، تم تقديم أول فهم نظري كامل وتقييم لهذا المفهوم من قبل بافنوتي لفوفيتش تشيبيشيف (منتصف القرن التاسع عشر).

يصف قانون توزيع المتغيرات العددية العشوائية (دالة التوزيع وسلسلة التوزيع أو كثافة الاحتمالات) تمامًا سلوك المتغير العشوائي. لكن في عدد من المشكلات ، يكفي معرفة بعض الخصائص العددية للكمية قيد الدراسة (على سبيل المثال ، متوسط ​​قيمتها و انحراف محتملمنه) للإجابة على السؤال. الخصائص العددية الرئيسية للمتغيرات العشوائية هي التوقع الرياضي والتباين والوضع والوسيط.

التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع حاصل ضرب قيمه المحتملة والاحتمالات المقابلة لها. في بعض الأحيان ، يُطلق على التوقع الرياضي اسم المتوسط ​​المرجح ، لأنه يساوي تقريبًا المتوسط ​​الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي عند أعداد كبيرةالتجارب. من تعريف التوقع الرياضي ، يترتب على ذلك أن قيمته لا تقل عن أصغر قيمة ممكنة لمتغير عشوائي ولا تزيد عن أكبر قيمة. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو متغير غير عشوائي (ثابت).

للتوقع الرياضي معنى فيزيائي بسيط: إذا تم وضع كتلة وحدة على خط مستقيم ، أو وضع بعض الكتلة في بعض النقاط (لتوزيع منفصل) ، أو "تلطيخها" بكثافة معينة (لتوزيع مستمر تمامًا) ، ثم ستكون النقطة المقابلة للتوقع الرياضي هي إحداثيات "مركز الثقل" على التوالي.

متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي هو رقم معين ، وهو ، كما كان ، "ممثل" ويستبدلها بحسابات تقريبية تقريبية. عندما نقول: "متوسط ​​وقت تشغيل المصباح 100 ساعة" أو "يتم تغيير متوسط ​​نقطة التأثير بالنسبة للهدف بمقدار 2 متر إلى اليمين" ، فإننا نشير إلى خاصية عددية معينة لمتغير عشوائي يصفه الموقع على المحور العددي ، أي وصف الموقف.

من خصائص الموضع في نظرية الاحتمالات ، الدور الأكثر أهمية هو التوقع الرياضي لمتغير عشوائي ، والذي يسمى أحيانًا ببساطة متوسط ​​قيمة متغير عشوائي.

ضع في اعتبارك متغير عشوائي Xالتي لها قيم ممكنة x1 ، x2 ، ... ، xnمع الاحتمالات p1، p2،…، pn. نحتاج إلى تحديد موقع قيم المتغير العشوائي على المحور x بواسطة بعض الأرقام ، مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن هذه القيم لها احتمالات مختلفة. لهذا الغرض ، من الطبيعي استخدام ما يسمى "المتوسط ​​المرجح" للقيم الحادي عشر، ويجب أن تؤخذ كل قيمة xi أثناء حساب المتوسط ​​في الاعتبار مع "وزن" يتناسب مع احتمال هذه القيمة. وهكذا نحسب متوسط ​​المتغير العشوائي X، والتي سوف نشير إليها م | س |:

يسمى هذا المتوسط ​​المرجح التوقع الرياضي للمتغير العشوائي. وهكذا ، قدمنا ​​في الاعتبار أحد أهم مفاهيم نظرية الاحتمالات - مفهوم التوقع الرياضي. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو مجموع حاصل ضرب جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي واحتمالات هذه القيم.

Xبسبب الاعتماد الغريب مع المتوسط ​​الحسابي للقيم المرصودة لمتغير عشوائي مع عدد كبير من التجارب. هذا الاعتماد من نفس نوع الاعتماد بين التردد والاحتمال ، أي: مع عدد كبير من التجارب ، يقترب المتوسط ​​الحسابي للقيم المرصودة لمتغير عشوائي (يتقارب في الاحتمال) توقعه الرياضي. من وجود علاقة بين التكرار والاحتمال ، يمكن للمرء أن يستنتج نتيجة وجود علاقة مماثلة بين المتوسط ​​الحسابي والتوقع الرياضي. في الواقع ، فكر في متغير عشوائي X، وتتميز بسلسلة من التوزيعات:

دعها تنتج نتجارب مستقلة ، في كل منها القيمة Xيأخذ على قيمة معينة. افترض القيمة x1ظهر م 1مرات ، قيمة x2ظهر م 2مرات ، المعنى العام الحادي عشرظهرت مي مرات. دعونا نحسب المتوسط ​​الحسابي لقيم X المرصودة ، والتي ، على عكس التوقعات الرياضية م | س |سوف نشير م * | س |:

مع زيادة عدد التجارب نالترددات بايسوف تقترب (تتقارب في الاحتمالية) من الاحتمالات المقابلة. لذلك ، المتوسط ​​الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي م | س |مع زيادة عدد التجارب ، سوف يقترب (يتقارب في الاحتمالية) من توقعاته الرياضية. تشكل العلاقة بين المتوسط ​​الحسابي والتوقعات الرياضية التي تمت صياغتها أعلاه محتوى أحد أشكال قانون الأعداد الكبيرة.

نحن نعلم بالفعل أن جميع أشكال قانون الأعداد الكبيرة تنص على حقيقة أن متوسطات معينة مستقرة خلال عدد كبير من التجارب. نحن هنا نتحدث عن ثبات الوسط الحسابي من سلسلة ملاحظات لها نفس القيمة. مع عدد قليل من التجارب ، يكون المتوسط ​​الحسابي لنتائجها عشوائيًا ؛ مع زيادة كافية في عدد التجارب ، تصبح "غير عشوائية تقريبًا" ، وتستقر ، تقترب من قيمة ثابتة - التوقع الرياضي.

من السهل التحقق تجريبيًا من خاصية ثبات المتوسطات لعدد كبير من التجارب. على سبيل المثال ، وزن أي جسم في المختبر بمقاييس دقيقة ، نتيجة للوزن نحصل على قيمة جديدة في كل مرة ؛ لتقليل خطأ الملاحظة ، نزن الجسم عدة مرات ونستخدم المتوسط ​​الحسابي للقيم التي تم الحصول عليها. من السهل أن نرى أنه مع زيادة أخرى في عدد التجارب (الوزن) ، يتفاعل المتوسط ​​الحسابي مع هذه الزيادة بشكل أقل وأقل ، ومع وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من التجارب فإنه يتوقف عمليا عن التغيير.

تجدر الإشارة إلى أن أهم ما يميزهموضع متغير عشوائي - توقع رياضي - غير موجود لجميع المتغيرات العشوائية. من الممكن تقديم أمثلة لمثل هذه المتغيرات العشوائية التي لا يوجد لها توقع رياضي ، حيث أن المجموع المقابل أو تباعد متكامل. ومع ذلك ، بالنسبة للممارسة ، مثل هذه الحالات ليست ذات أهمية كبيرة. عادة ، المتغيرات العشوائية التي نتعامل معها لها نطاق محدود من القيم الممكنة ، وبالطبع لها توقعات.

بالإضافة إلى أهم خصائص موضع المتغير العشوائي - التوقع الرياضي ، تُستخدم أحيانًا خصائص الموقع الأخرى في الممارسة العملية ، على وجه الخصوص ، وضع ومتوسط ​​المتغير العشوائي.

نمط المتغير العشوائي هو القيمة الأكثر احتمالا. مصطلح "القيمة الأكثر احتمالا" ، بالمعنى الدقيق للكلمة ، ينطبق فقط على الكميات غير المستمرة ؛ بالنسبة للكمية المستمرة ، يكون الوضع هو القيمة التي تكون عندها كثافة الاحتمال القصوى. توضح الأشكال طريقة المتغيرات العشوائية المتقطعة والمستمرة ، على التوالي.

إذا كان لمضلع التوزيع (منحنى التوزيع) أكثر من حد أقصى ، يُقال أن التوزيع "متعدد الأشكال".

في بعض الأحيان توجد توزيعات ليس لها في المنتصف حد أقصى ، ولكن بحد أدنى. وتسمى هذه التوزيعات بـ "antimodal".

في الحالة العامة ، لا يتطابق الوضع مع التوقع الرياضي للمتغير العشوائي. في حالة معينة ، عندما يكون التوزيع متماثلًا ومشروطًا (أي له وضع) وهناك توقع رياضي ، فإنه يتزامن مع وضع ومركز تناظر التوزيع.

غالبًا ما يتم استخدام خاصية أخرى للموضع - ما يسمى بمتوسط ​​المتغير العشوائي. عادةً ما تُستخدم هذه الخاصية فقط للمتغيرات العشوائية المستمرة ، على الرغم من أنه يمكن تعريفها رسميًا لمتغير غير مستمر أيضًا. هندسيًا ، الوسيط هو الحد الأقصى للنقطة التي يتم عندها تقسيم المنطقة التي يحدها منحنى التوزيع.

في حالة التوزيع النمطي المتماثل ، يتطابق الوسيط مع المتوسط ​​والوضع.

التوقع الرياضي هو متوسط ​​قيمة متغير عشوائي - خاصية عددية للتوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي. بشكل عام ، التوقع الرياضي لمتغير عشوائي X (ث)يتم تعريفه على أنه تكامل ليبيج فيما يتعلق بمقياس الاحتمالية صفي مساحة الاحتمال الأصلية:

يمكن أيضًا حساب التوقع الرياضي باعتباره تكامل Lebesgue Xحسب التوزيع الاحتمالي مقصفكميات X:

بطريقة طبيعية ، يمكن للمرء أن يحدد مفهوم المتغير العشوائي بتوقعات رياضية لا نهائية. مثال نموذجي هو أوقات العودة في بعض مسارات المشي العشوائية.

بمساعدة التوقع الرياضي ، العديد من الأرقام و الخصائص الوظيفيةالتوزيعات (كتوقع رياضي للوظائف المقابلة لمتغير عشوائي) ، على سبيل المثال ، وظيفة التوليد ، وظيفة مميزة ، لحظات من أي ترتيب ، في تباين معين ، التباين المشترك.

التوقع الرياضي هو خاصية مميزة لموقع قيم المتغير العشوائي (متوسط ​​قيمة توزيعه). وبهذه الصفة ، يعمل التوقع الرياضي كمعامل توزيع "نموذجي" ويشبه دوره دور اللحظة الساكنة - إحداثيات مركز ثقل توزيع الكتلة - في الميكانيكا. من خصائص الموقع الأخرى ، التي يتم من خلالها وصف التوزيع بعبارات عامة - المتوسطات ، الأنماط ، يختلف التوقع الرياضي في القيمة الأكبر التي يمتلكها وخاصية التشتت المقابلة - التشتت - في نظريات الحد لنظرية الاحتمالات. بأكبر قدر من الاكتمال ، يتم الكشف عن معنى التوقع الرياضي من خلال قانون الأعداد الكبيرة (عدم المساواة في Chebyshev) والقانون المعزز للأعداد الكبيرة.

التوقع الرياضي لمتغير عشوائي منفصل

يجب أن يكون هناك بعض المتغيرات العشوائية التي يمكن أن تأخذ واحدة من عدة قيم عددية (على سبيل المثال ، يمكن أن يكون عدد النقاط في لفة القوالب 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6). في كثير من الأحيان في الممارسة العملية ، لمثل هذه القيمة ، يطرح السؤال: ما هي القيمة التي تأخذها "في المتوسط" مع عدد كبير من الاختبارات؟ ماذا سيكون متوسط ​​العائد (أو الخسارة) من كل عملية محفوفة بالمخاطر؟

لنفترض أن هناك نوعًا من اليانصيب. نريد أن نفهم ما إذا كان من المربح أم لا المشاركة فيه (أو حتى المشاركة بشكل متكرر ومنتظم). لنفترض أن كل تذكرة رابعة تفوز ، ستكون الجائزة 300 روبل ، وسعر أي تذكرة سيكون 100 روبل. هذا ما يحدث مع عدد لا حصر له من المشاركات. في ثلاثة أرباع الحالات ، سنفقد ، كل ثلاث خسائر ستكلف 300 روبل. في كل حالة رابعة ، سنفوز بـ 200 روبل. (الجائزة مطروحًا منها التكلفة) ، أي في أربع مشاركات ، نفقد ما متوسطه 100 روبل ، لمشاركة واحدة - بمتوسط ​​25 روبل. في المجموع ، سيكون متوسط ​​سعر الخراب لدينا 25 روبل لكل تذكرة.

نرمي النرد. إذا لم يكن هذا غشًا (بدون تغيير مركز الجاذبية ، وما إلى ذلك) ، فكم عدد النقاط التي سنحصل عليها في المتوسط ​​في المرة الواحدة؟ نظرًا لأن كل خيار متساوٍ في الاحتمال ، فإننا نأخذ المتوسط ​​الحسابي الغبي ونحصل على 3.5. نظرًا لأن هذا هو AVERAGE ، فلا داعي للسخط لأنه لا يوجد رمية معينة ستعطي 3.5 نقطة - حسنًا ، هذا المكعب ليس له وجه بهذا الرقم!

الآن دعنا نلخص أمثلةنا:

دعنا نلقي نظرة على الصورة أعلاه. يوجد على اليسار جدول توزيع متغير عشوائي. يمكن أن تأخذ قيمة X إحدى القيم الممكنة n (الواردة في الصف العلوي). لا يمكن أن تكون هناك قيم أخرى. تحت كل قيمة ممكنة ، يتم تسجيل احتمالها أدناه. توجد على اليمين معادلة ، حيث يُطلق على M (X) اسم التوقع الرياضي. معنى هذه القيمة هو أنه مع وجود عدد كبير من التجارب (مع عينة كبيرة) ، فإن متوسط ​​القيمة سيميل إلى هذا التوقع الرياضي للغاية.

دعنا نعود إلى نفس مكعب اللعب. التوقع الرياضي لعدد النقاط في رمية هو 3.5 (احسب نفسك باستخدام الصيغة إذا كنت لا تصدق ذلك). لنفترض أنك رميته عدة مرات. 4 و 6. في المتوسط ​​، اتضح أنه 5 ، أي بعيدًا عن 3.5. ألقوا بها مرة أخرى ، سقطت 3 ، أي في المتوسط ​​(4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... بعيدًا إلى حد ما عن التوقع الرياضي. الآن قم بتجربة مجنونة - دحرج المكعب 1000 مرة! وإذا لم يكن المتوسط ​​3.5 بالضبط ، فسيكون قريبًا من ذلك.

دعونا نحسب التوقع الرياضي لليانصيب الموصوف أعلاه. سيبدو الجدول كما يلي:

ثم سيكون التوقع الرياضي كما ذكرنا أعلاه:

إنها مسألة أخرى وهي أنها أيضًا "على الأصابع" ، بدون صيغة ، سيكون من الصعب إذا كانت موجودة المزيد من الخيارات. حسنًا ، لنفترض أن 75٪ تذاكر خاسرة و 20٪ تذاكر فائزة و 5٪ تذاكر فائزة.

الآن بعض خصائص التوقع الرياضي.

من السهل إثبات ذلك:

يمكن إخراج مُضاعِف ثابت من علامة التوقع ، أي:

هذه حالة خاصة للخاصية الخطية للتوقع الرياضي.

نتيجة أخرى لخطية التوقع الرياضي:

أي أن التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمتغيرات العشوائية.

دع X ، Y تكون متغيرات عشوائية مستقلة، ثم:

من السهل أيضًا إثبات ذلك) س صهو نفسه متغير عشوائي ، بينما إذا كانت القيم الأولية يمكن أن تأخذ نو مالقيم ، على التوالي ، إذن س صيمكن أن تأخذ قيم نانومتر. يتم حساب احتمال كل من القيم بناءً على حقيقة أن الاحتمالات أحداث مستقلةتتضاعف. نتيجة لذلك ، حصلنا على هذا:

التوقع الرياضي لمتغير عشوائي مستمر

المتغيرات العشوائية المستمرة لها خاصية مثل كثافة التوزيع (كثافة الاحتمال). في الواقع ، يميز الموقف أن بعض القيم من المجموعة أرقام حقيقيةيأخذ المتغير العشوائي في كثير من الأحيان ، البعض - أقل في كثير من الأحيان. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك هذا المخطط:

هنا X- في الواقع متغير عشوائي ، و (خ)- كثافة التوزيع. انطلاقا من هذا الرسم البياني ، خلال التجارب ، القيمة Xغالبًا ما يكون رقمًا قريبًا من الصفر. فرص تجاوزها 3 أو كن أقل -3 بالأحرى نظرية بحتة.

دعنا ، على سبيل المثال ، هناك توزيع موحد:

هذا يتوافق تمامًا مع الفهم الحدسي. لنفترض أنه إذا حصلنا على عدد كبير من الأعداد الحقيقية العشوائية بتوزيع منتظم ، كل جزء |0; 1| ، إذن يجب أن يكون المتوسط ​​الحسابي حوالي 0.5.

خصائص التوقع الرياضي - الخطية ، وما إلى ذلك ، المطبقة على المتغيرات العشوائية المنفصلة ، قابلة للتطبيق هنا أيضًا.

علاقة التوقع الرياضي بالمؤشرات الإحصائية الأخرى

في التحليل الإحصائي ، إلى جانب التوقعات الرياضية ، هناك نظام من المؤشرات المترابطة التي تعكس تجانس الظواهر واستقرار العمليات. في كثير من الأحيان ، لا يكون لمؤشرات التباين معنى مستقل ويتم استخدامها لمزيد من تحليل البيانات. الاستثناء هو معامل التباين الذي يميز تجانس البيانات ، وهي خاصية إحصائية قيمة.

يمكن قياس درجة تباين أو استقرار العمليات في العلوم الإحصائية باستخدام عدة مؤشرات.

أهم مؤشر يميز تباين المتغير العشوائي هو تشتت، والتي ترتبط ارتباطًا وثيقًا ومباشرًا بالتوقعات الرياضية. تُستخدم هذه المعلمة بنشاط في أنواع أخرى من التحليل الإحصائي (اختبار الفرضيات ، وتحليل علاقات السبب والنتيجة ، وما إلى ذلك). مثل متوسط ​​الانحراف الخطي ، يعكس التباين أيضًا مدى انتشار البيانات حول المتوسط.

من المفيد ترجمة لغة الإشارات إلى لغة الكلمات. اتضح أن التباين هو متوسط ​​مربع الانحرافات. أي ، يتم حساب متوسط ​​القيمة أولاً ، ثم يتم أخذ الفرق بين كل قيمة أصلية ومتوسط ​​القيمة ، وتربيعها ، وإضافتها ، ثم تقسيمها على عدد القيم في هذا المجتمع. يعكس الفرق بين القيمة الفردية والمتوسط ​​مقياس الانحراف. يتم تربيعها للتأكد من أن جميع الانحرافات تصبح أرقامًا موجبة بشكل حصري ولتجنب الإلغاء المتبادل للانحرافات الإيجابية والسلبية عند جمعها. بعد ذلك ، بالنظر إلى الانحرافات التربيعية ، نحسب ببساطة المتوسط ​​الحسابي. متوسط ​​- مربع - الانحرافات. يتم تربيع الانحرافات ، ويتم أخذ المتوسط ​​في الاعتبار. الجواب على الكلمة السحرية "تشتت" هو مجرد ثلاث كلمات.

ومع ذلك، في شكل نقيلا يتم استخدام التباين ، مثل الوسط الحسابي أو الفهرس. إنه بالأحرى مؤشر مساعد ومتوسط ​​يستخدم لأنواع أخرى من التحليل الإحصائي. ليس لديها حتى وحدة قياس عادية. انطلاقًا من الصيغة ، هذا هو مربع وحدة البيانات الأصلية.

دعونا نقيس متغير عشوائي نمرات ، على سبيل المثال ، نقيس سرعة الرياح عشر مرات ونريد إيجاد القيمة المتوسطة. كيف ترتبط القيمة المتوسطة بوظيفة التوزيع؟

أو سنرمي حجر النرد عدد كبير منمرة واحدة. عدد النقاط التي ستسقط على النرد أثناء كل رمية هو متغير عشوائي ويمكن أن يأخذ أي قيم طبيعية من 1 إلى 6. نتميل إلى رقم محدد للغاية - التوقع الرياضي مكس. في هذه الحالة ، Mx = 3.5.

كيف نشأت هذه القيمة؟ اتركه نمحاكمات n1بمجرد إسقاط نقطة واحدة ، n2مرات - 2 نقطة وهلم جرا. ثم عدد النتائج التي سقطت فيها نقطة واحدة:

وبالمثل بالنسبة للنتائج عندما سقطت نقاط 2 و 3 و 4 و 5 و 6.

لنفترض الآن أننا نعرف قانون توزيع المتغير العشوائي x ، أي أننا نعلم أن المتغير العشوائي x يمكن أن يأخذ القيم x1 ، x2 ، ... ، xk مع الاحتمالات p1 ، p2 ، ... ، pk.

التوقع الرياضي Mx لمتغير عشوائي x هو:

التوقع الرياضي ليس دائمًا تقديرًا معقولًا لبعض المتغيرات العشوائية. لذلك ، لتقدير المتوسط أجورمن المعقول أكثر استخدام مفهوم الوسيط ، أي القيمة التي يتساوى فيها عدد الأشخاص الذين يتلقون أقل من متوسط ​​الراتب وأكثر.

احتمال p1 أن المتغير العشوائي x أقل من x1 / 2 واحتمال p2 أن المتغير العشوائي x أكبر من x1 / 2 متماثلان ويساويان 1/2. لم يتم تحديد الوسيط بشكل فريد لجميع التوزيعات.

الانحراف المعياري أو المعياريفي الإحصاء ، يتم استدعاء درجة انحراف بيانات المراقبة أو المجموعات عن قيمة AVERAGE. يشار إليها بالحرفين s أو s. يشير الانحراف المعياري الصغير إلى أن البيانات مجمعة حول المتوسط ​​، ويشير الانحراف المعياري الكبير إلى أن البيانات الأولية بعيدة عنها. الانحراف المعياري هو الجذر التربيعيكمية تسمى التشتت. إنه متوسط ​​مجموع تربيع الفروق في البيانات الأولية التي تنحرف عن المتوسط. الانحراف المعياري للمتغير العشوائي هو الجذر التربيعي للتباين:

مثال. تحت ظروف الاختبار عند التصوير على هدف ، احسب التباين والانحراف المعياري لمتغير عشوائي:

تفاوت- التقلب ، تقلب قيمة السمة بوحدات السكان. تسمى القيم العددية المنفصلة للميزة التي تحدث في المجتمع المدروس بمتغيرات القيم. عدم كفاية متوسط ​​قيمة الخصائص الكاملةالمجموع يجعلنا نكمل القيم المتوسطة بمؤشرات تسمح لنا بتقييم نموذجية هذه المتوسطات عن طريق قياس تذبذب (تباين) السمة قيد الدراسة. يتم حساب معامل الاختلاف بالصيغة:

اختلاف المدى(R) هو الفرق بين الحد الأقصى و القيم الدنياسمة في مجتمع الدراسة. هذا المؤشر يعطي أكثر فكرة عامةحول تذبذب السمة قيد الدراسة ، حيث تظهر الفرق فقط بين القيم المحددة للخيارات. الاعتماد على القيم القصوى للسمة يعطي نطاق التباين طابعًا عشوائيًا غير مستقر.

متوسط ​​الانحراف الخطيهو المتوسط ​​الحسابي للانحرافات المطلقة (المعيارية) لجميع قيم المجتمع الذي تم تحليله عن متوسط ​​قيمتها:

التوقع الرياضي في نظرية القمار

التوقع الرياضيمتوسط ​​المبلغ الذي يمكن أن يربحه المقامر أو يخسره في رهان معين. هذا مفهوم مهم للغاية بالنسبة للاعب ، لأنه أساسي لتقييم معظم مواقف اللعبة. التوقع الرياضي هو أيضًا أفضل أداة لتحليل تخطيطات البطاقات الأساسية ومواقف اللعبة.

لنفترض أنك تلعب عملة معدنية مع صديق ، وتقوم برهان يساوي 1 دولار في كل مرة ، بغض النظر عما سيحدث. ذيول - تربح ، رؤساء - تخسر. احتمالية ظهور ذيول هي واحد لواحد وأنت تراهن من دولار إلى دولار واحد. وبالتالي ، فإن توقعاتك الرياضية هي صفر ، لأن من الناحية الحسابية ، لا يمكنك معرفة ما إذا كنت ستقود أو تخسر بعد لفتين أو بعد 200.

ربحك بالساعة هو صفر. الدفع بالساعة هو مقدار المال الذي تتوقع أن تربحه في ساعة واحدة. يمكنك قلب العملة 500 مرة في غضون ساعة ، لكنك لن تربح أو تخسر بسبب ذلك احتمالاتك ليست إيجابية ولا سلبية. إذا نظرت ، من وجهة نظر لاعب جاد ، فإن نظام الرهان هذا ليس سيئًا. لكنها مجرد مضيعة للوقت.

لكن لنفترض أن شخصًا ما يريد المراهنة بمبلغ 2 دولار مقابل 1 دولار في نفس اللعبة. ثم لديك على الفور توقع إيجابي قدره 50 سنتًا من كل رهان. لماذا 50 سنتا؟ في المتوسط ​​، تربح رهانًا واحدًا وتخسر ​​الثاني. راهن على الدولار الأول وخسر 1 دولار ، راهن على الثاني واربح 2 دولار. لقد راهنت بدولار واحد مرتين وتتقدم بمقدار دولار واحد. لذا فإن كل رهاناتك التي تبلغ قيمتها دولار واحد أعطتك 50 سنتًا.

إذا سقطت العملة 500 مرة في ساعة واحدة ، فسيكون ربحك في الساعة بالفعل 250 دولارًا ، لأن. في المتوسط ​​، خسرت 1 250 دولارًا وفازت بـ 2 250 دولارًا مرة. 500 دولار مطروحًا منه 250 دولارًا يساوي 250 دولارًا ، وهو إجمالي الفوز. لاحظ أن القيمة المتوقعة ، وهي المبلغ الذي تربحه في المتوسط ​​في رهان واحد ، هي 50 سنتًا. لقد ربحت 250 دولارًا عن طريق المراهنة على دولار 500 مرة ، أي ما يعادل 50 سنتًا من رهانك.

لا علاقة للتوقع الرياضي بالنتائج قصيرة المدى. يمكن لخصمك ، الذي قرر المراهنة بمبلغ 2 دولار ضدك ، أن يهزمك في أول عشر رميات متتالية ، لكنك ، بميزة رهان 2 إلى 1 ، مع تساوي كل شيء آخر ، يمكنك كسب 50 سنتًا على كل رهان بقيمة 1 دولار تحت أي رهان. ظروف. لا يهم إذا فزت أو خسرت رهانًا واحدًا أو عدة رهانات ، ولكن بشرط أن يكون لديك نقود كافية لتعويض التكاليف بسهولة. إذا واصلت الرهان بنفس الطريقة ، فعندئذٍ فترة طويلةالوقت ، ستصل أرباحك إلى مجموع القيم المتوقعة في القوائم الفردية.

في كل مرة تقوم فيها برهان أفضل (رهان يمكن أن يكون مربحًا على المدى الطويل) عندما تكون الاحتمالات في صالحك ، فأنت ملزم بالفوز بشيء ما ، سواء خسرته أم لا في توزيع ورق معين. بالمقابل ، إذا راهنت بنتيجة أسوأ (رهان غير مربح على المدى الطويل) عندما لا تكون الاحتمالات في صالحك ، فإنك تخسر شيئًا ما ، بغض النظر عما إذا كنت قد فزت أو خسرت في هذه اليد.

أنت تراهن على أفضل نتيجة إذا كانت توقعاتك إيجابية ، وهي إيجابية إذا كانت الاحتمالات في صالحك. بالمراهنة على أسوأ نتيجة ، يكون لديك توقع سلبي ، والذي يحدث عندما تكون الاحتمالات ضدك. يراهن اللاعبون الجادون فقط مع أفضل النتائج ، مع أسوأ النتائج - ينسحبون. ماذا تعني الاحتمالات في صالحك؟ قد ينتهي بك الأمر إلى الفوز بأكثر مما تجلبه الاحتمالات الفعلية. الاحتمالات الحقيقية لضرب ذيول الضرب هي 1 إلى 1 ، لكنك تحصل على 2 إلى 1 بسبب نسبة الرهان. في هذه الحالة ، الاحتمالات في صالحك. يمكنك بالتأكيد الحصول على أفضل نتيجة مع توقع إيجابي قدره 50 سنتًا لكل رهان.

هنا المزيد مثال معقدتوقع رياضي. يكتب الصديق الأرقام من واحد إلى خمسة ويراهن بخمسة دولارات مقابل دولار واحد أنك لن تختار الرقم. هل توافق على مثل هذا الرهان؟ ما هو التوقع هنا؟

في المتوسط ​​، ستكون مخطئًا أربع مرات. بناءً على هذا ، فإن الاحتمالات ضدك في تخمين الرقم ستكون من 4 إلى 1. الاحتمالات هي أنك ستخسر دولارًا في محاولة واحدة. ومع ذلك ، تربح 5 إلى 1 ، مع احتمال خسارة 4 إلى 1. وبالتالي ، فإن الاحتمالات في صالحك ، يمكنك المراهنة والأمل في الحصول على أفضل نتيجة. إذا قمت بهذا الرهان خمس مرات ، فستخسر في المتوسط ​​أربع مرات 1 دولار وتربح 5 دولارات مرة واحدة. بناءً على ذلك ، ستربح دولارًا واحدًا لجميع المحاولات الخمس مع توقع رياضي إيجابي قدره 20 سنتًا لكل رهان.

اللاعب الذي يربح أكثر مما يراهن ، كما في المثال أعلاه ، يتفوق على الاحتمالات. بالمقابل ، يفسد الفرص عندما يتوقع ربح أقل مما يراهن. يمكن للمراهن أن يكون لديه توقعات إيجابية أو سلبية اعتمادًا على ما إذا كان يكتشف أو يفسد الاحتمالات.

إذا راهنت بـ 50 دولارًا للفوز بـ 10 دولارات مع فرصة 4 إلى 1 للفوز ، فستحصل على توقع سلبي قدره 2 دولار ، لأن في المتوسط ​​، ستربح أربعة أضعاف 10 دولارات وتخسر ​​50 دولارًا مرة واحدة ، مما يدل على أن الخسارة لكل رهان ستكون 10 دولارات. لكن إذا راهنت بـ 30 دولارًا للفوز بـ 10 دولارات ، مع نفس احتمالات الفوز 4 إلى 1 ، ففي هذه الحالة يكون لديك توقع إيجابي قدره 2 دولار ، لأن تربح مرة أخرى أربعة أضعاف 10 دولارات وتخسر ​​30 دولارًا مرة واحدة ، لتحقق ربحًا قدره 10 دولارات. توضح هذه الأمثلة أن الرهان الأول سيئ والثاني جيد.

التوقع الرياضي هو مركز أي موقف لعبة. عندما يشجع صانع المراهنات مشجعي كرة القدم على المراهنة بمبلغ 11 دولارًا للفوز بـ 10 دولارات ، فإن لديهم توقعات إيجابية تبلغ 50 سنتًا لكل 10 دولارات. إذا كان الكازينو يدفع حتى نقودًا من خط مرور كرابس ، فإن التوقع الإيجابي للمنزل هو 1.40 دولار تقريبًا لكل 100 دولار ؛ تم تنظيم هذه اللعبة بحيث يخسر كل من يراهن على هذا الخط 50.7٪ في المتوسط ​​ويفوز بنسبة 49.3٪ من الوقت. مما لا شك فيه أن هذا الحد الأدنى من التوقعات الإيجابية على ما يبدو هو الذي يجلب أرباحًا ضخمة لأصحاب الكازينوهات في جميع أنحاء العالم. كما لاحظ مالك كازينو فيجاس وورلد بوب ستوباك ، "إن احتمالًا سلبيًا واحدًا على الألف في المائة على مسافة طويلة بما يكفي سيؤدي إلى إفلاس أغنى رجل في العالم."

التوقع الرياضي عند لعب البوكر

تعتبر لعبة البوكر المثال الأكثر توضيحيًا وتوضيحيًا من حيث استخدام نظرية وخصائص التوقعات الرياضية.

القيمة المتوقعة في البوكر هي متوسط ​​الفائدة من قرار معين ، بشرط أن يتم النظر في مثل هذا القرار في إطار نظرية الأعداد الكبيرة والمسافة الطويلة. لعبة ناجحةفي البوكر هو قبول التحركات دائمًا فقط مع توقع رياضي إيجابي.

يكمن المعنى الرياضي للتوقعات الرياضية عند لعب البوكر في حقيقة أننا غالبًا ما نواجه متغيرات عشوائية عند اتخاذ القرار (لا نعرف البطاقات التي يمتلكها الخصم في يده ، وأي الأوراق ستأتي في جولات المراهنة اللاحقة). يجب أن نفكر في كل حل من الحلول من وجهة نظر نظرية الأعداد الكبيرة ، والتي تقول أنه مع وجود عينة كبيرة بما فيه الكفاية ، فإن متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي سوف يميل إلى توقعه الرياضي.

من بين الصيغ الخاصة لحساب التوقع الرياضي ، ما يلي هو الأكثر قابلية للتطبيق في لعبة البوكر:

عند لعب البوكر ، يمكن حساب التوقعات الرياضية لكل من الرهانات والمكالمات. في الحالة الأولى ، يجب أخذ أضعاف حقوق الملكية في الاعتبار ، في الحالة الثانية ، احتمالات الرهان نفسه. عند تقييم التوقع الرياضي لحركة معينة ، يجب أن نتذكر أن الطية لها دائمًا توقع رياضي صفري. وبالتالي ، سيكون التخلص من البطاقات دائمًا قرارًا مربحًا أكثر من أي حركة سلبية.

يخبرك التوقع بما يمكن أن تتوقعه (ربح أو خسارة) مقابل كل دولار تخاطر به. تجني الكازينوهات المال لأن التوقع الرياضي لجميع الألعاب التي تمارس فيها لصالح الكازينو. مع وجود سلسلة طويلة بما فيه الكفاية من الألعاب ، يمكن توقع أن يخسر العميل أمواله ، لأن "الاحتمال" لصالح الكازينو. ومع ذلك ، يقصر لاعبو الكازينو المحترفون ألعابهم على فترات زمنية قصيرة ، مما يزيد من الاحتمالات لصالحهم. الشيء نفسه ينطبق على الاستثمار. إذا كانت توقعاتك إيجابية ، يمكنك كسب المزيد من المال عن طريق إجراء العديد من الصفقات في فترة زمنية قصيرة. التوقع هو النسبة المئوية للربح لكل ربح مضروبًا في متوسط ​​ربحك مطروحًا منه احتمال الخسارة مضروبًا في متوسط ​​خسارتك.

يمكن أيضًا اعتبار لعبة البوكر من منظور التوقعات الرياضية. يمكنك أن تفترض أن حركة معينة مربحة ، ولكن في بعض الحالات قد لا تكون الأفضل ، لأن حركة أخرى تكون أكثر ربحية. لنفترض أنك ضربت منزلًا كاملاً في لعبة البوكر بسحب خمس بطاقات. رهان خصمك. أنت تعلم أنه إذا قمت بالتصعيد ، فسوف يتصل. لذا فإن الرفع يبدو أفضل تكتيك. ولكن إذا قمت برفع الرهان ، فإن اللاعبين المتبقيين سينسحبون بالتأكيد. ولكن إذا طلبت الرهان ، فستكون متأكدًا تمامًا من أن اللاعبين الآخرين بعدك سيفعلون الشيء نفسه. عندما ترفع الرهان ، تحصل على وحدة واحدة ، وببساطة بالاتصال تحصل على وحدتين. لذا يمنحك الاتصال قيمة أعلى إيجابية متوقعة وهو أفضل تكتيك.

يمكن للتوقع الرياضي أيضًا أن يعطي فكرة عن تكتيكات البوكر الأقل ربحًا وأيها أكثر ربحية. على سبيل المثال ، إذا لعبت توزيع ورق معين وتعتقد أن متوسط ​​خسارتك 75 سنتًا بما في ذلك الرهان المسبق ، فيجب أن تلعب هذه اليد لأن هذا أفضل من الطي عندما يكون الرهان المسبق 1 دولار.

سبب آخر مهم لفهم القيمة المتوقعة هو أنه يمنحك شعورًا براحة البال سواء فزت بمراهنة أم لا: إذا قمت برهان جيد أو تجاوز الوقت ، فستعرف أنك قد قمت أو وفرت قدرًا معينًا من المال ، الذي لا يستطيع اللاعب الأضعف توفيره. يكون الانسحاب أكثر صعوبة إذا كنت محبطًا من أن خصمك له توزيع ورق أفضل في القرعة. ومع ذلك ، فإن الأموال التي تدخرها من خلال عدم اللعب ، بدلاً من الرهان ، تتم إضافتها إلى أرباحك الليلية أو الشهرية.

فقط تذكر أنه إذا قمت بتبديل توزيعات الورق ، فإن خصمك سيتصل بك ، وكما سترى في مقالة النظرية الأساسية للبوكر ، فهذه مجرد واحدة من مزاياك. يجب أن تفرح عندما يحدث هذا. يمكنك حتى أن تتعلم الاستمتاع بفقدان توزيع ورق ، لأنك تعلم أن اللاعبين الآخرين في حذائك سيخسرون أكثر من ذلك بكثير.

كما نوقش في مثال لعبة العملات المعدنية في البداية ، يرتبط معدل العائد بالساعة بالقيمة المتوقعة ، و هذا المفهوممهم بشكل خاص للاعبين المحترفين. عندما تلعب البوكر ، يجب أن تقدر عقليًا مقدار ما يمكنك الفوز به في ساعة واحدة من اللعب. في معظم الحالات ، ستحتاج إلى الاعتماد على حدسك وخبرتك ، ولكن يمكنك أيضًا استخدام بعض الحسابات الرياضية. على سبيل المثال ، إذا كنت تلعب لعبة Draw lowball ورأيت ثلاثة لاعبين يراهنون بـ 10 دولارات ثم يرسمون بطاقتين ، وهو تكتيك سيئ للغاية ، يمكنك أن تحسب لنفسك أنه في كل مرة يراهنون فيها بـ 10 دولارات يخسرون حوالي 2 دولار. كل منهم يفعل ذلك ثماني مرات في الساعة ، مما يعني أن الثلاثة يخسرون حوالي 48 دولارًا في الساعة. أنت واحد من اللاعبين الأربعة المتبقين ، الذين هم متساوون تقريبًا ، لذلك يجب أن يتشارك هؤلاء الأربعة (وأنت من بينهم) 48 دولارًا ، وسيحقق كل منهم ربحًا قدره 12 دولارًا في الساعة. معدلك بالساعة في هذه الحالة هو ببساطة حصتك من مبلغ المال الذي خسره ثلاثة لاعبين سيئين في الساعة.

على مدار فترة زمنية طويلة ، يكون إجمالي أرباح اللاعب هو مجموع توقعاته الرياضية في توزيعات منفصلة. كلما لعبت بتوقعات إيجابية أكثر ، كلما ربحت أكثر ، وبالعكس ، كلما لعبت توزيعات ورق أكثر بتوقعات سلبية ، كلما خسرت أكثر. نتيجة لذلك ، يجب أن تعطي الأولوية للعبة التي يمكن أن تزيد من توقعاتك الإيجابية أو تلغي توقعاتك السلبية حتى تتمكن من زيادة مكاسبك في الساعة.

التوقعات الرياضية الإيجابية في استراتيجية اللعبة

إذا كنت تعرف كيفية عد البطاقات ، فقد يكون لديك ميزة على الكازينو إذا لم يلاحظوا ذلك وطردوك. تحب الكازينوهات المقامرين المخمورين ولا يمكنها تحمل بطاقات العد. ستسمح لك الميزة بالفوز بمرور الوقت أكثرمرات مما تخسره. يمكن أن تساعدك الإدارة الجيدة للأموال باستخدام حسابات التوقع على الاستفادة من ميزتك وتقليل خسائرك. بدون ميزة ، من الأفضل أن تعطي المال للجمعيات الخيرية. في اللعبة في البورصة ، يتم إعطاء الميزة من خلال نظام اللعبة ، الذي يحقق ربحًا أكثر من الخسائر وفروق الأسعار والعمولات. أي مبلغ من إدارة الأموال سيوفر السيئ نظام اللعبة.

يتم تعريف التوقع الإيجابي بقيمة أكبر من الصفر. كلما زاد هذا الرقم ، زادت قوة التوقعات الإحصائية. إذا كانت القيمة أقل من الصفر ، فسيكون التوقع الرياضي سالبًا أيضًا. كلما زاد معامل القيمة السالبة ، كان الوضع أسوأ. إذا كانت النتيجة صفر ، فإن التوقع هو نقطة التعادل. يمكنك الفوز فقط عندما يكون لديك توقعات رياضية إيجابية ، ونظام لعبة معقول. اللعب على الحدس يؤدي إلى كارثة.

التوقع الرياضي وتداول الأسهم

التوقع الرياضي هو مؤشر إحصائي مطلوب على نطاق واسع وشائع في تداول العملات في الأسواق المالية. بادئ ذي بدء ، يتم استخدام هذه المعلمة لتحليل نجاح التداول. ليس من الصعب تخمين أن أكثر قيمة معينة، كلما زاد سبب اعتبار التجارة المدروسة ناجحة. بالطبع ، لا يمكن إجراء تحليل عمل المتداول إلا بمساعدة هذه المعلمة. ومع ذلك ، فإن القيمة المحسوبة ، إلى جانب الطرق الأخرى لتقييم جودة العمل ، يمكن أن تزيد بشكل كبير من دقة التحليل.

غالبًا ما يتم حساب التوقع الرياضي في خدمات مراقبة حساب التداول ، مما يسمح لك بتقييم العمل المنجز على الإيداع بسرعة. كاستثناءات ، يمكننا الاستشهاد بالاستراتيجيات التي تستخدم "تجاوز مدة" التداولات الخاسرة. قد يكون التاجر محظوظًا لبعض الوقت ، وبالتالي ، قد لا يكون هناك خسائر في عمله على الإطلاق. في هذه الحالة ، لن يكون من الممكن التنقل إلا من خلال التوقع ، لأن المخاطر المستخدمة في العمل لن تؤخذ في الاعتبار.

في التداول في السوق ، غالبًا ما يتم استخدام التوقع الرياضي عند توقع ربحية أي منها استراتيجية التداولأو عند توقع أرباح المتداول بناءً على إحصائيات تداولاته السابقة.

فيما يتعلق بإدارة الأموال ، من المهم جدًا أن نفهم أنه عند إجراء صفقات بتوقعات سلبية ، لا يوجد مخطط لإدارة الأموال يمكن أن يحقق أرباحًا عالية بالتأكيد. إذا واصلت اللعب في البورصة في ظل هذه الظروف ، فبغض النظر عن كيفية إدارتك لأموالك ، ستفقد حسابك بالكامل ، بغض النظر عن حجمه في البداية.

هذه البديهية ليست صحيحة فقط بالنسبة لألعاب التوقع السلبي أو الصفقات ، بل إنها صحيحة أيضًا بالنسبة لألعاب الاحتمالات. لهذا الحالة الوحيدةعندما يكون لديك فرصة للاستفادة منها طويل الأمد، هو إبرام المعاملات مع توقع رياضي إيجابي.

الفرق بين التوقع السلبي والتوقع الإيجابي هو الفرق بين الحياة والموت. لا يهم مدى إيجابية أو سلبية التوقعات ؛ ما يهم هو ما إذا كانت إيجابية أم سلبية. لذلك ، قبل التفكير في إدارة الأموال ، يجب أن تجد لعبة ذات توقعات إيجابية.

إذا لم يكن لديك هذه اللعبة ، فلن يوفر لك أي قدر من إدارة الأموال في العالم. من ناحية أخرى ، إذا كان لديك توقع إيجابي ، فمن الممكن ، من خلال الإدارة السليمة للأموال ، تحويلها إلى وظيفة نمو أسي. لا يهم مدى صغر التوقعات الإيجابية! بمعنى آخر ، لا يهم مدى ربحية نظام التداول القائم على عقد واحد. إذا كان لديك نظام يربح 10 دولارات لكل عقد في صفقة واحدة (بعد الرسوم والانزلاق) ، فيمكنك استخدام تقنيات إدارة الأموال لجعله أكثر ربحية من النظام الذي يظهر متوسط ​​ربح قدره 1000 دولار لكل صفقة (بعد خصم العمولات و الانزلاق).

ما يهم ليس مدى ربحية النظام ، ولكن مدى التأكد من أن النظام سيُظهر على الأقل ربحًا ضئيلًا في المستقبل. لذلك ، فإن أهم إعداد يمكن أن يقوم به المتداول هو التأكد من أن النظام يُظهر قيمة إيجابية متوقعة في المستقبل.

من أجل الحصول على قيمة إيجابية متوقعة في المستقبل ، من المهم جدًا عدم تقييد درجات الحرية لنظامك. يتم تحقيق ذلك ليس فقط عن طريق إزالة أو تقليل عدد المعلمات المطلوب تحسينها ، ولكن أيضًا عن طريق تقليل قدر الإمكان أكثرقواعد النظام. كل معلمة تضيفها ، كل قاعدة تقوم بها ، كل تغيير صغير تقوم به على النظام يقلل من عدد درجات الحرية. من الناحية المثالية ، تحتاج إلى بناء نظام بدائي وبسيط إلى حد ما سيحققه باستمرار ربح صغيرتقريبا كل سوق. مرة أخرى ، من المهم أن تفهم أنه لا يهم مدى ربحية النظام ، طالما أنه مربح. سيتم كسب الأموال التي تكسبها في التداول من خلالها الإدارة الفعالةمال.

نظام التداول هو ببساطة أداة تمنحك توقعًا رياضيًا إيجابيًا بحيث يمكن استخدام إدارة الأموال. الأنظمة التي تعمل (تظهر على الأقل ربحًا ضئيلًا) في سوق واحد أو عدد قليل من الأسواق ، أو لديها قواعد أو معايير مختلفة لأسواق مختلفة ، على الأرجح لن تعمل في الوقت الفعلي لفترة طويلة. المشكلة مع معظم المتداولين الفنيين هي أنهم يقضون الكثير من الوقت والجهد في التحسين. قواعد مختلفةوقيم معلمات نظام التداول. هذا يعطي نتائج معاكسة تمامًا. بدلاً من إهدار الطاقة ووقت الكمبيوتر في زيادة أرباح نظام التداول ، وجّه طاقتك إلى زيادة مستوى الموثوقية للحصول على الحد الأدنى من الربح.

مع العلم أن إدارة الأموال هي مجرد لعبة أرقام تتطلب استخدام التوقعات الإيجابية ، يمكن للمتداول التوقف عن البحث عن "الكأس المقدسة" لتداول الأسهم. بدلاً من ذلك ، يمكنه البدء في اختبار طريقة التداول الخاصة به ، ومعرفة كيف تكون هذه الطريقة سليمة منطقيًا ، وما إذا كانت تعطي توقعات إيجابية. الطرق الصحيحةإدارة الأموال ، المطبقة على أي طرق تداول متواضعة للغاية ، ستقوم ببقية العمل.

يحتاج أي متداول لتحقيق النجاح في عمله إلى حل ثلاث مهام من أهمها:. للتأكد من أن عدد المعاملات الناجحة يتجاوز الأخطاء الحتمية وسوء التقدير ؛ قم بإعداد نظام التداول الخاص بك بحيث تكون فرصة كسب المال في كثير من الأحيان ؛ تحقيق نتيجة إيجابية مستقرة لعملياتك.

وهنا ، بالنسبة لنا ، التجار العاملين ، يمكن للتوقعات الرياضية أن تقدم مساعدة جيدة. هذا المصطلح في نظرية الاحتمال هو أحد المفاتيح. باستخدامه ، يمكنك إعطاء تقدير متوسط ​​لبعض القيمة العشوائية. التوقع الرياضي لمتغير عشوائي يشبه مركز الثقل ، إذا تخيلنا جميع الاحتمالات الممكنة كنقاط ذات كتل مختلفة.

فيما يتعلق باستراتيجية التداول ، لتقييم فعاليتها ، غالبًا ما يتم استخدام التوقع الرياضي للربح (أو الخسارة). يتم تعريف هذه المعلمة على أنها مجموع منتجات مستويات معينة من الربح والخسارة واحتمال حدوثها. على سبيل المثال ، تفترض استراتيجية التداول المطورة أن 37٪ من جميع العمليات ستحقق ربحًا ، والجزء المتبقي - 63٪ - سيكون غير مربح. في الوقت نفسه ، سيكون متوسط ​​الدخل من الصفقة الناجحة 7 دولارات ، ومتوسط ​​الخسارة 1.4 دولار. دعنا نحسب التوقع الرياضي للتداول باستخدام النظام التالي:

ماذا يعني هذا الرقم؟ تقول أنه باتباع قواعد هذا النظام ، في المتوسط ​​، سنتلقى 1.708 دولارًا من كل معاملة مغلقة. نظرًا لأن درجة الكفاءة الناتجة أكبر من الصفر ، يمكن استخدام مثل هذا النظام للعمل الحقيقي. إذا تبين ، نتيجة الحساب ، أن التوقع الرياضي سالب ، فهذا يشير بالفعل إلى متوسط ​​الخسارة وسيؤدي هذا التداول إلى الخراب.

يمكن أيضًا التعبير عن مقدار الربح لكل صفقة كقيمة نسبية في شكل٪. على سبيل المثال:

- نسبة الدخل لكل معاملة واحدة - 5٪ ؛

- نسبة عمليات التداول الناجحة - 62٪ ؛

- نسبة الخسارة لكل صفقة واحدة - 3٪ ؛

- النسبة المئوية للصفقات غير الناجحة - 38٪ ؛

أي أن متوسط ​​الصفقة سيجلب 1.96٪.

من الممكن تطوير نظام ، على الرغم من غلبة التداولات الخاسرة ، سيعطي نتيجة إيجابية ، حيث أن MO> 0.

ومع ذلك ، فإن الانتظار وحده لا يكفي. من الصعب كسب المال إذا أعطى النظام إشارات تداول قليلة جدًا. في هذه الحالة ، ستكون ربحيتها قابلة للمقارنة مع الفوائد المصرفية. دع كل عملية تجلب 0.5 دولار فقط في المتوسط ​​، ولكن ماذا لو افترض النظام 1000 معاملة في السنة؟ سيكون هذا مبلغًا خطيرًا جدًا في وقت قصير نسبيًا. يستنتج من ذلك منطقياً أن السمة المميزة الأخرى لنظام التداول الجيد يمكن اعتبارها فترة احتجاز قصيرة.

المصادر والروابط

dic.academic.ru - قاموس أكاديمي على الإنترنت

mathematics.ru - موقع تعليمي عن الرياضيات

nsu.ru - الموقع التعليمي لجامعة ولاية نوفوسيبيرسك

webmath.ru البوابة التعليميةللطلاب والمتقدمين وأطفال المدارس.

موقع exponenta.ru التعليمي الرياضي

en.tradimo.com - مجاني مدرسة عبر الإنترنتتجارة

crypto.hut2.ru - مصدر معلومات متعدد التخصصات

poker-wiki.ru - موسوعة البوكر المجانية

sernam.ru مكتبة العلوممنشورات العلوم الطبيعية المختارة

reshim.su - موقع الويب SOLVE مهام التحكم في الدورات الدراسية

unfx.ru - الفوركس على UNFX: التعليم ، إشارات التداول ، إدارة الثقة

slovopedia.com - كبير قاموس موسوعي Slovopedia

pokermansion.3dn.ru - دليلك إلى عالم البوكر

statanaliz.info - مدونة إعلامية "تحليل البيانات الإحصائية"

forex-trader.rf - بوابة Forex-Trader

megafx.ru - تحليلات فوركس محدثة

fx-by.com - كل شيء للمتداول

يتم تحديد كل قيمة فردية تمامًا من خلال وظيفة التوزيع الخاصة بها. أيضا ، لحلها مهام عمليةيكفي معرفة بعض الخصائص العددية ، والتي بفضلها يصبح من الممكن تقديم السمات الرئيسية لمتغير عشوائي في شكل موجز.

هذه الكميات في المقام الأول القيمة المتوقعةو تشتت .

القيمة المتوقعة- متوسط ​​قيمة متغير عشوائي في نظرية الاحتمالات. صمم ك .

على الأكثر بطريقة بسيطةالتوقع الرياضي لمتغير عشوائي X (ث)، تم العثور عليها أساسيليبيسجفيما يتعلق بقياس الاحتمال ص إبداعي مساحة الاحتمال

يمكنك أيضًا العثور على التوقع الرياضي لقيمة مثل تكامل ليبيجمن Xحسب التوزيع الاحتمالي R Xكميات X:

أين هي مجموعة كل القيم الممكنة X.

التوقع الرياضي للوظائف من متغير عشوائي Xمن خلال التوزيع R X. على سبيل المثال، لو X- متغير عشوائي بقيم في و و (خ)- خالية من الغموض بوريلوظيفة X ، الذي - التي:

لو و (س)- دالة التوزيع X، فإن التوقع الرياضي يمكن تمثيله أساسيLebesgue - Stieltjes (أو Riemann - Stieltjes):

بينما التكامل Xمن ناحية ( * ) يتوافق مع محدودية التكامل

في حالات محددة، لو Xله توزيع منفصل مع القيم المحتملة س ك, ك = 1 ، 2و. ، والاحتمالات ، إذن

لو Xله توزيع مستمر تمامًا مع كثافة احتمالية ص (خ)، الذي - التي

في هذه الحالة ، فإن وجود توقع رياضي يعادل التقارب المطلق للسلسلة أو التكامل المقابل.

خصائص التوقع الرياضي لمتغير عشوائي.

• التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي هذه القيمة:

ج- ثابت؛

• M = C.M [X]

• التوقع الرياضي لمجموع القيم المأخوذة عشوائيًا يساوي مجموع توقعاتهم الرياضية:

• التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية المستقلة = ناتج توقعاتهم الرياضية:

M = M [X] + M [Y]

لو Xو صمستقل.

إذا تقاربت السلسلة:

خوارزمية لحساب التوقع الرياضي.

خصائص المتغيرات العشوائية المنفصلة: يمكن إعادة ترقيم جميع قيمها بالأرقام الطبيعية ؛ يساوي كل قيمة مع احتمال غير صفري.

1. اضرب الأزواج بالتناوب: س طعلى باي.

2. أضف منتج كل زوج س ط ص ط.

على سبيل المثال، ل ن = 4 :

دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصلتدريجيًا ، يزداد بشكل مفاجئ عند النقاط التي تحتوي احتمالاتها على إشارة موجبة.

مثال:أوجد التوقع الرياضي بالصيغة.

اتضح أنه يمكن حل عدد من المشكلات العملية باستخدام بعض خصائص التوزيع ، وتبين أن معرفة وظيفة التوزيع الدقيقة لمتغير عشوائي اختيارية. تتضمن هذه الخصائص المحددة للمتغير العشوائي ، على سبيل المثال ، قيمه المتوسطة والجذر التربيعي المتوسط ​​، بالإضافة إلى الانحراف المعياري.

يمكنك العثور على متوسط ​​قيم المتغيرات العشوائية من التجربة ، وكذلك معرفة وظائف التوزيع للمتغيرات العشوائية. دعنا نفكر في كيفية العثور على هذه القيم المتوسطة في حالات مختلفة.

دع المتغير العشوائي يمكن أن يأخذ: القيم ذات الاحتمالية أو تسقط هذه القيمة مرة واحدة من

قيمة مع احتمال أو تسقط هذه القيمة مرة واحدة من النهاية ،

قيمة مع احتمال أو تقع هذه القيمة مرة واحدة من

ثم يكون مجموع قيم المتغير العشوائي أثناء الاختبارات هو:

للعثور على متوسط ​​قيمة متغير عشوائي ، أي القيمة لكل تجربة ، تحتاج إلى قسمة المجموع على العدد الإجمالي للتجارب:

إذا كان لدينا بعض متوسط ​​القيمة التي تم العثور عليها بواسطة الصيغة (2.11) ، فعندئذٍ ، بشكل عام ، بالنسبة للقيم المختلفة للعدد الإجمالي للتجارب ، ستكون قيم متوسط ​​القيمة مختلفة أيضًا ، نظرًا لأن الكميات قيد النظر هي من طبيعة عشوائية. ومع ذلك ، مع زيادة الرقم ، فإن متوسط ​​قيمة هذه الكمية سيميل إلى حد معين أ. وكلما زاد عدد الاختبارات ، كلما اقتربت الصيغة (2.11) من هذه القيمة الحدية:

المساواة الأخيرة هي ما يسمى بقانون الأعداد الكبيرة أو نظرية تشيبيشيف: تميل القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي إلى رقم ثابتبعدد كبير جدًا من القياسات.

إذن ، متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي يساوي مجموع حاصل ضرب المتغير العشوائي واحتمال حدوثه.

إذا كان متغير عشوائي يتغير باستمرار ، فيمكن العثور على متوسط ​​قيمته باستخدام التكامل:

المتوسطات لها عدد من الخصائص المهمة:

1) متوسط ​​قيمة قيمة ثابتة يساوي القيمة الأكثر ثباتًا ، أي

2) متوسط ​​قيمة بعض المتغيرات العشوائية قيمة ثابتة ، أي

3) متوسط ​​قيمة مجموع العديد من المتغيرات العشوائية يساوي مجموع متوسط ​​قيم هذه المتغيرات ، أي

4) متوسط ​​قيمة منتج متغيرين عشوائيين مستقلين عن بعضهما البعض يساوي حاصل ضرب متوسط ​​قيم كل منهما ، أي

بتوسيع هذه القاعدة إلى عدد أكبر من الكميات المستقلة ، لدينا:

في بعض الأحيان ، لسبب أو لآخر ، يتبين أن معرفة متوسط ​​قيمة متغير عشوائي غير كافٍ. في مثل هذه الحالات ، لا يتم البحث عن متوسط ​​قيمة متغير عشوائي فحسب ، بل يتم البحث عن متوسط ​​قيمة مربع هذا المتغير (تربيعي). في هذه الحالة ، تحدث صيغ مماثلة:

للقيم المنفصلة و

في حالة التغيير المستمر لمتغير عشوائي.

دائمًا ما يكون متوسط ​​القيمة التربيعية للمتغير العشوائي موجبًا ولا يتلاشى.

غالبًا ما يجب على المرء أن يهتم ليس فقط بمتوسط ​​قيم المتغير العشوائي نفسه ، ولكن أيضًا بالقيم المتوسطة لبعض وظائف المتغير العشوائي.

على سبيل المثال ، بالنظر إلى توزيع الجزيئات على السرعات ، يمكننا إيجاد متوسط ​​السرعة. ولكن قد نكون مهتمين أيضًا بمتوسط ​​الطاقة الحركية للحركة الحرارية ، وهو وظيفة من الدرجة الثانيةسرعة. في مثل هذه الحالات ، يمكنك استخدام الصيغ العامة التالية التي تحدد متوسط ​​قيمة دالة عشوائية لمتغير عشوائي لحالة التوزيع المنفصل

لحالة التوزيع المستمر

للعثور على متوسط ​​قيم متغير عشوائي أو دالة لمتغير عشوائي باستخدام دالة توزيع غير طبيعية ، يتم استخدام الصيغ التالية:

هنا ، يتم تنفيذ التكامل في كل مكان عبر النطاق الكامل للقيم الممكنة للمتغير العشوائي

الانحراف عن المتوسط.في بعض الحالات ، تكون معرفة القيم التربيعية المتوسطة والجذر لمتغير عشوائي غير كافية لوصف المتغير العشوائي. من المهم أيضًا توزيع متغير عشوائي حول متوسط ​​قيمته. للقيام بذلك ، نقوم بدراسة انحراف متغير عشوائي عن متوسط ​​القيمة.

ومع ذلك ، إذا أخذنا متوسط ​​الانحراف لمتغير عشوائي عن متوسط ​​قيمته ، أي متوسط ​​قيمة الأرقام:

ثم نحصل على صفر في حالة التوزيع المنفصل والتوزيع المستمر. حقًا،

في بعض الأحيان يمكنك العثور على متوسط ​​قيمة وحدات الانحرافات لمتغير عشوائي من متوسط ​​القيمة ، أي القيمة:

ومع ذلك ، فإن الحسابات باستخدام القيم المطلقةغالبًا ما يكون صعبًا وأحيانًا مستحيل.

لذلك ، في كثير من الأحيان ، لوصف توزيع متغير عشوائي حول متوسط ​​قيمته ، يتم استخدام ما يسمى بالانحراف المعياري أو متوسط ​​الانحراف التربيعي. يُطلق أيضًا على متوسط ​​مربع الانحراف تباين المتغير العشوائي. يتم تحديد التشتت بواسطة الصيغ:

والتي تم تحويلها إلى نموذج واحد (راجع المهمتين 5 و 9).

حيث تمثل الكمية مربع انحراف المتغير العشوائي عن قيمته المتوسطة.

يسمى الجذر التربيعي لتشتت متغير عشوائي الانحراف المعياري للمتغير العشوائي ، وبالنسبة للكميات الفيزيائية - التذبذب:

في بعض الأحيان يتم إدخال تقلب نسبي ، والذي تحدده الصيغة

وبالتالي ، بمعرفة قانون توزيع المتغير العشوائي ، من الممكن تحديد جميع خصائص المتغير العشوائي التي تهمنا: القيمة المتوسطة ، جذر متوسط ​​التربيع ، القيمة المتوسطة لدالة عشوائية لعشوائية متغير ، متوسط ​​مربع الانحراف أو تباين وتقلب المتغير العشوائي.

لذلك ، تتمثل إحدى المهام الرئيسية للفيزياء الإحصائية في العثور على القوانين ووظائف التوزيع لمختلف المتغيرات والمعلمات الفيزيائية العشوائية في الأنظمة الفيزيائية المختلفة.

اسمحوا لمتغير عشوائي xالقيم الممكنة:

X1 ، x2 ، ... ، xk.

يتم أخذ القياسات نمرات ، النتيجة x أنالاحظ ن أنامرة واحدة ثم

متوسط ​​القيمة

(مجموع القياسات) / (عدد جميع القياسات) =
.

في
مع الأخذ بعين الاعتبار (1.1)

نحن نحصل

. (1.5)

لدالة متغير عشوائي

. (1.5 أ)

القيمة المتوسطة للكمية تساوي مجموع حاصل ضرب قيمها واحتمالات هذه القيم .

في
نحن نحصل
و (1.5 أ) يعطي تطبيع الاحتمالات

. (1.6)

يعني خصائص

بشكل دائم
والمتغيرات العشوائية المستقلة xو ذإجراء:

1)

- يتم إخراج المضاعف الثابت من تحت علامة المتوسط ​​؛

- متوسط ​​المجموع / الفرق يساوي مجموع / فرق الوسيلة ؛

3)

- متوسط ​​حاصل ضرب المتغيرات المستقلة يساوي حاصل ضرب متوسطاتها.

إثبات الملكية 1

من تعريف المتوسط ​​(1.5 أ)

نحن نحصل

إثبات الملكية 2

وظيفة
يصف التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي x، هو نفسه بالنسبة للوظائف
و
، ثم من تعريف المتوسط ​​(1.5 أ)

;

دليلملكيات 3

نستخدم تعريف المتوسط ​​ودالة التوزيع
المتغيرات العشوائية المستقلة xو ذ. وفقًا لنظرية الحدث المستقل ، تتضاعف احتمالاتها

ثم نحصل

.

التعاريف الأساسية

الانحراف عن المتوسطمتغير عشوائي

.

متوسط ​​الانحراف من المتوسطالمتغير العشوائي هو صفر

قيمة RMS

. (1.7)

لمتوسط ​​قيم المتغيرات العشوائية xو ذإجراء عدم المساواة بين كوشي وبونياكوفسكي وشوارتز

. (1.7 أ)

من (1.7a) مع
يجد

. (1.7 ب)

المربع المتوسط ​​أكبر من أو يساوي مربع المتوسط.

تشتت- الانحراف المعياري عن المتوسط

من (1.7b) نحصل عليها
.

تقلبهو الجذر التربيعي للتباين

التقلب النسبي

. (1.10)

لو xيتغير بشكل عشوائي بمرور الوقت ، ثم يوضح التقلب النسبي جزء الوقت الذي يكون فيه النظام في حالة
.

النظرية:يتناقص التقلب النسبي لكمية المواد المضافة التي تميز النظام بالتناسب العكسي مع الجذر التربيعي لعدد الأنظمة الفرعية المستقلة ، وبالنسبة للنظام العياني فهو صغير. مثال على كمية مضافة (من اللاتينية additivus - "مضافة") هي الطاقة. تذبذب الطاقة لنظام ماكرو لا يكاد يذكر ، بالنسبة للنظام الدقيق فهو مهم.

دليل

الكمية المضافة Xللنظام يساوي مجموع القيم x كل نأنظمة فرعية مستقلة

.

بواسطة الخاصية 2 من المتوسط ​​- متوسط ​​المجموع يساوي مجموع المتوسطات

يتناسب مع عدد الأنظمة الفرعية.

الانحراف عن المتوسط

,

تشتت

.

عند التربيع
ومتوسط ​​نتيجة المنتجات المتقاطعة ، تؤخذ الخاصية 3 للتوسيط في الاعتبار - متوسط ​​ناتج المتغيرات المستقلة يساوي ناتج متوسطاتها

,
,

واستخدم أن متوسط ​​الانحراف عن المتوسط ​​هو صفر

.

تظل مربعات الكميات غير صفرية. نتيجة لذلك ، التقلبات

.

التقلب النسبي

(A.1.11)

يتناقص بالتناسب العكسي مع الجذر التربيعي لعدد الأنظمة الفرعية المستقلة.

وظيفة التوليد. هناك متغير عشوائي ن، والتي تأخذ قيمًا منفصلة في الفترة الزمنية
. احتمالية الحصول على نتيجة نمساوي ل
. حدد وظيفة التوليد

. (A.1.14)

إذا كانت دالة التوليد معروفة ، يتم الحصول على التوزيع الاحتمالي من (A.1.14)

، (A.1.15)

حيث تستخدم

حالة التطبيع (1.6)

يتطلب الوفاء

. (A.1.16)

للحصول على متوسط ​​قيم المتغير العشوائي نفرق (A.1.14)

,

ويجد

. (A.1.17)

التمايز المزدوج (أ / 1/14)

. (أ / 1/18)

نظرية دالة توليد المنتج. في حالة حدوث نوعين مستقلين من الأحداث ، والتي يتم وصفها بواسطة توزيعات احتمالية مع وظائف توليد
و
، ثم يتم التعبير عن توزيع مجموع الأحداث بواسطة منتج وظائف التوليد الخاصة بهم