أرقام عادية. أرقام بسيطة. الأرقام المركبة

إجابة إيليا صحيحة ، لكنها ليست مفصلة للغاية. بالمناسبة ، في القرن الثامن عشر ، كان المرء لا يزال يعتبر عددًا أوليًا. على سبيل المثال ، علماء رياضيات كبار مثل أويلر وغولدباخ. غولدباخ هو مؤلف إحدى المهام السبع للألفية - فرضية جولدباخ. تنص الصيغة الأصلية على أنه يمكن تمثيل أي عدد زوجي كمجموع اثنين من الأعداد الأولية. علاوة على ذلك ، في البداية تم أخذ 1 في الاعتبار كرقم أولي ، ونرى هذا: 2 = 1 + 1. هذا أصغر مثال، والذي يفي بالصياغة الأصلية للفرضية. في وقت لاحق تم تصحيحه ، واكتسبت الصياغة نظرة حديثة: "يمكن تمثيل كل عدد زوجي ، بدءًا من 4 ، على أنه مجموع عددين أوليين."

دعونا نتذكر التعريف. الرقم الأولي p هو رقم طبيعي p له فقط قاسومتان طبيعيتان مختلفتان: p نفسه و 1. نتيجة طبيعية من التعريف: العدد الأولي p له قاسم أولي واحد فقط - p نفسه.

افترض الآن أن 1 هو عدد أولي. بحكم التعريف ، العدد الأولي له قاسم أولي واحد فقط - نفسه. ثم يتبين أن أي عدد أولي أكبر من 1 يقبل القسمة على عدد أولي يختلف عنه (على 1). لكن لا يمكن القسمة على عددين أوليين مختلفين ، لأن وإلا فهي ليست أعدادًا أولية ، ولكنها أرقام مركبة ، وهذا يتعارض مع التعريف. مع هذا النهج ، اتضح أن هناك عددًا أوليًا واحدًا فقط - الوحدة نفسها. لكن هذا سخيف. لذلك ، 1 ليس عددًا أوليًا.

1 ، وكذلك 0 ، يشكلان فئة أخرى من الأرقام - فئة العناصر المحايدة فيما يتعلق بعمليات n-nar في بعض المجموعات الفرعية للحقل الجبري. علاوة على ذلك ، فيما يتعلق بعملية الجمع ، 1 هو أيضًا عنصر توليد لحلقة الأعداد الصحيحة.

بالنظر إلى ذلك ، ليس من الصعب العثور على نظائرها للأعداد الأولية في الهياكل الجبرية الأخرى. لنفترض أن لدينا مجموعة ضرب مكونة من قوى 2 تبدأ من 1: 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، ... إلخ. 2 يعمل هنا كعنصر تشكيل. الرقم الأولي في هذه المجموعة هو رقم أكبر من أصغر عنصر ولا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى أصغر عنصر. في مجموعتنا ، 4 فقط لديها مثل هذه الخصائص. لا يوجد المزيد من الأعداد الأولية في مجموعتنا.

إذا كان 2 عددًا أوليًا أيضًا في مجموعتنا ، فراجع الفقرة الأولى - مرة أخرى سيتضح أن 2 فقط عدد أولي.

تتناول المقالة مفاهيم الأعداد الأولية والمركبة. تعاريف هذه الأرقام مع الأمثلة. نعطي دليلًا على أن عدد الأعداد الأولية غير محدود ونقوم بإدخال إدخال في جدول الأعداد الأولية باستخدام طريقة إراتوستينس. سيتم تقديم البراهين حول ما إذا كان الرقم أوليًا أم مركبًا.

Yandex.RTB R-A-339285-1

الأعداد الأولية والمركبة - تعريفات وأمثلة

يتم تصنيف الأرقام الأولية والمركبة على أنها أعداد صحيحة موجبة. يجب أن يكونوا أكثر من واحد. تنقسم المقسومات أيضًا إلى بسيطة ومركبة. لفهم مفهوم الأعداد المركبة ، من الضروري أولاً دراسة مفاهيم القواسم والمضاعفات.

التعريف 1

الأعداد الأولية هي أعداد صحيحة أكبر من واحد ولها قسومان موجبان ، أي نفسها و 1.

التعريف 2

الأعداد المركبة هي أعداد صحيحة أكبر من واحد ولها ثلاثة قواسم موجبة على الأقل.

واحد ليس عددًا أوليًا ولا عددًا مركبًا. لها قاسم موجب واحد فقط ، لذا فهي تختلف عن جميع الأعداد الموجبة الأخرى. تسمى جميع الأعداد الصحيحة الموجبة طبيعية ، أي تستخدم في العد.

التعريف 3

الأعداد الأولية هي الأعداد الطبيعية التي تحتوي على اثنين فقط من قواسم موجبة.

التعريف 4

عدد مركبهو رقم طبيعي يحتوي على أكثر من اثنين من قواسمه الموجبة.

أي رقم أكبر من 1 يكون إما أوليًا أو مركبًا. من خاصية القابلية للقسمة ، لدينا ذلك 1 والرقم a سيكون دائمًا قواسم على أي رقم a ، أي أنه سيكون قابلاً للقسمة على نفسه وعلى 1. نعطي تعريف الأعداد الصحيحة.

التعريف 5

تسمى الأعداد الطبيعية غير الأولية بالأرقام المركبة.

الأعداد الأولية: 2 ، 3 ، 11 ، 17 ، 131 ، 523. لا يقبلون القسمة إلا على أنفسهم وعلى 1. الأرقام المركبة: 6 ، 63 ، 121 ، 6697. أي أن الرقم 6 يمكن أن يتحلل إلى 2 و 3 ، و 63 إلى 1 ، 3 ، 7 ، 9 ، 21 ، 63 ، و 121 إلى 11 ، 11 ، أي أن قواسمه ستكون 1 ، 11 ، 121. الرقم 6697 سوف يتحلل إلى 37 و 181. لاحظ أن مفاهيم الأعداد الأولية والأعداد الأولية نسبيًا هي مفاهيم مختلفة.

لتسهيل استخدام الأعداد الأولية ، تحتاج إلى استخدام جدول:

يعد جدول جميع الأعداد الطبيعية الموجودة غير واقعي ، نظرًا لوجود عدد لا حصر له منها. عندما تصل الأرقام إلى أحجام 10000 أو 1000000000 ، فعليك التفكير في استخدام غربال إراتوستينس.

ضع في اعتبارك نظرية تشرح العبارة الأخيرة.

نظرية 1

أصغر قاسم موجب لعدد طبيعي أكبر من 1 بخلاف 1 هو رقم أولي.

إثبات 1

افترض أن a عدد طبيعي أكبر من 1 ، وأن b هو أصغر قاسم ليس واحدًا لـ a. يجب أن نثبت أن b عدد أولي باستخدام طريقة التناقض.

لنفترض أن ب هو رقم مركب. من هنا نجد أن هناك قاسمًا لـ b ، والذي يختلف عن 1 وكذلك عن b. يُشار إلى هذا القاسم بالرمز ب 1. من الضروري هذا الشرط 1< b 1 < b اكتمل.

يمكن أن نرى من الشرط أن أ قابل للقسمة على ب ، ب قابل للقسمة على ب 1 ، مما يعني أن مفهوم القسمة يتم التعبير عنه بهذه الطريقة: أ = ب فو ب = ب 1 ف 1 ، من أين أ = ب 1 (ف 1 ف) ، حيث ف و ف 1هي أعداد صحيحة. وفقًا لقاعدة ضرب الأعداد الصحيحة ، لدينا أن حاصل ضرب الأعداد الصحيحة هو عدد صحيح مع المساواة في الشكل a = b 1 · (q 1 · q). يمكن ملاحظة أن ب 1 هو القاسم على. عدم المساواة 1< b 1 < b لايطابق ، لأننا حصلنا على أن b هو أصغر عامل موجب غير مقسوم على 1 لـ a.

نظرية 2

هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

إثبات 2

لنفترض أننا أخذنا عددًا محدودًا من الأعداد الطبيعية n ونشير إليه على أنه p 1، p 2،…، p n. لنفكر في متغير لإيجاد عدد أولي مختلف عن الأرقام المشار إليها.

ضع في اعتبارك الرقم p ، الذي يساوي p 1 ، p 2 ، ... ، p n + 1. لا يساوي كل من الأرقام المقابلة للأعداد الأولية بالصيغة p 1، p 2،…، p n. الرقم ص أولي. ثم تعتبر النظرية مثبتة. إذا كان مركبًا ، فعلينا أن نأخذ الرمز p n + 1 وإظهار عدم تطابق القاسم مع أي من p 1، p 2،…، p n.

إذا لم يكن الأمر كذلك ، فعندئذٍ ، بناءً على خاصية القسمة للمنتج p 1، p 2،…، p n , نتوصل إلى أنه يمكن القسمة على p n + 1. لاحظ أن التعبير p n + 1 العدد ص مقسوم على مجموع ص 1 ، ص 2 ، ... ، ف ن + 1. نحصل على هذا التعبير p n + 1 يجب تقسيم الحد الثاني من هذا المجموع ، والذي يساوي 1 ، لكن هذا مستحيل.

يمكن ملاحظة أن أي عدد أولي يمكن العثور عليه بين أي عدد من الأعداد الأولية. ويترتب على ذلك وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

نظرًا لوجود عدد كبير من الأعداد الأولية ، فإن الجداول تقتصر على الأرقام 100 و 1000 و 10000 وما إلى ذلك.

عند تجميع جدول الأعداد الأولية ، ينبغي للمرء أن يأخذ في الاعتبار حقيقة أن مثل هذه المهمة تتطلب فحصًا تسلسليًا للأرقام ، بدءًا من 2 إلى 100. إذا لم يكن هناك قاسم ، يتم تسجيله في الجدول ؛ وإذا كان مركبًا ، فلا يتم إدخاله في الجدول.

دعنا نفكر خطوة بخطوة.

إذا بدأت بالرقم 2 ، فهذا يعني أنه يحتوي على مقسومين فقط: 2 و 1 ، مما يعني أنه يمكن إدخاله في الجدول. أيضا مع الرقم 3. الرقم 4 مركب ، يجب أن يتحلل إلى 2 و 2. الرقم 5 هو عدد أولي ، مما يعني أنه يمكن تثبيته في الجدول. افعل هذا حتى الرقم 100.

هذه الطريقة غير مريحة وتستغرق وقتا طويلا. يمكنك صنع طاولة ، لكن عليك أن تنفق عدد كبير منوقت. من الضروري استخدام معايير القابلية للقسمة ، والتي ستسرع من عملية إيجاد القواسم.

تعتبر الطريقة التي تستخدم منخل إراتوستينس هي الأكثر ملاءمة. دعنا نلقي نظرة على الجداول أدناه. بادئ ذي بدء ، الأرقام 2 ، 3 ، 4 ، ... ، 50 مكتوبة.

أنت الآن بحاجة إلى شطب جميع الأرقام التي تكون من مضاعفات 2. جعل يتوسطه خط متسلسل. نحصل على جدول بالنموذج:

دعنا ننتقل إلى شطب الأعداد التي تكون من مضاعفات العدد 5. نحن نحصل:

نقوم بشطب الأعداد التي تكون من مضاعفات 7 و 11. أخيرًا يبدو الجدول

دعونا ننتقل إلى صياغة النظرية.

نظرية 3

لا يتجاوز أصغر قاسم موجب وغير 1 للرقم الأساسي a ، حيث a هو الجذر الحسابي للرقم المحدد.

إثبات 3

من الضروري تعيين ب أصغر قاسمرقم مركب أ. يوجد عدد صحيح q ، حيث a = b · q ولدينا ذلك b ≤ q. عدم المساواة في الشكل ب> فلأن الشرط منتهك. يجب ضرب طرفي المتباينة ب ≤ q بأي عدد موجب ب لا يساوي 1. نحصل على b b ≤ b q ، حيث b 2 ≤ a و b a.

يمكن أن نرى من النظرية المثبتة أن حذف الأرقام في الجدول يؤدي إلى حقيقة أنه من الضروري البدء برقم يساوي b 2 ويفي بالتباين b 2 ≤ a. أي إذا قمت بشطب الأرقام التي هي مضاعفات 2 ، فإن العملية تبدأ من 4 ، وتلك التي تعد مضاعفات 3 تبدأ من 9 ، وهكذا حتى 100.

يقول تجميع مثل هذا الجدول باستخدام نظرية إراتوستينس أنه عندما يتم شطب جميع الأرقام المركبة ، ستبقى هناك أرقام أولية لا تتجاوز n. في المثال حيث n = 50 ، لدينا n = 50. من هنا نحصل على أن غربال إراتوستينس يزيل جميع الأرقام المركبة التي لا تزيد قيمتها في القيمة عن قيمة جذر 50. يتم البحث عن الأرقام بالشطب.

قبل الحل ، من الضروري معرفة ما إذا كان الرقم أوليًا أم مركبًا. غالبًا ما تستخدم معايير القسمة. لنلق نظرة على هذا في المثال أدناه.

مثال 1

برهن على أن 898989898989898989 هو رقم مركب.

حل

مجموع أرقام العدد المعطى 9 8 + 9 9 = 9 17. لذا فإن الرقم 9 17 قابل للقسمة على 9 ، بناءً على علامة القابلية للقسمة على 9. ويترتب على ذلك أنه مركب.

هذه العلامات ليست قادرة على إثبات أهلية الرقم. إذا كان التحقق مطلوبًا ، يجب اتخاذ خطوات أخرى. أنسب طريقة هي تعداد الأرقام. أثناء العملية ، يمكن العثور على الأرقام الأولية والمركبة. أي أن الأرقام في القيمة يجب ألا تتجاوز أ. وهذا يعني أن الرقم أ يجب أن يتحلل إلى عوامل أولية. إذا كان هذا صحيحًا ، فيمكن اعتبار الرقم أ عددًا أوليًا.

مثال 2

أوجد العدد المركب أو الأولي 11723.

حل

أنت الآن بحاجة إلى إيجاد جميع القواسم على الرقم 11723. نحتاج إلى تقييم 11723.

من هنا نرى أن 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 ، و 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

للمزيد من تقييم دقيقالأرقام 11723 ، يجب كتابة التعبير 108 2 \ u003d 11664 ، و 109 2 = 11 881 ، الذي - التي 108 2 < 11 723 < 109 2 . ويترتب على ذلك أن 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

عند التحلل ، نحصل على 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 ، 41 ، 43 ، 47 ، 53 ، 59 ، 61 ، 67 ، 71 ، 73 ، 79 ، 83 ، 89 ، 97 ، 101 ، 103 ، 107 كلها أعداد أولية. جميع هذه العمليةيمكن تمثيلها كقسمة بواسطة عمود. أي قسمة 11723 على 19. الرقم 19 هو أحد عوامله ، لأننا نحصل على القسمة دون الباقي. دعنا نصور القسمة على عمود:

ويترتب على ذلك أن 11723 هو رقم مركب ، لأنه بالإضافة إلى نفسه و 1 ، فإنه يحتوي على القاسم 19.

إجابة: 11723 رقم مركب.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

تعريف 1. رقم اوليهو رقم طبيعي أكبر من 1 لا يقبل القسمة إلا على نفسه و 1.

بمعنى آخر ، يكون الرقم أوليًا إذا كان يحتوي على مقسومين طبيعيين متميزين فقط.

تعريف 2. أي عدد طبيعي يحتوي على قواسم أخرى إلى جانب نفسه يسمى واحد عدد مركب.

بمعنى آخر ، تسمى الأعداد الطبيعية غير الأولية بالأرقام المركبة. التعريف 1 يعني أن الرقم المركب يحتوي على أكثر من مقسومين طبيعيين. الرقم 1 ليس أوليًا ولا مركبًا. له قاسم واحد فقط ، بالإضافة إلى ذلك ، فإن العديد من النظريات حول الأعداد الأولية لا تنطبق على الوحدة.

يستنتج من التعريفين 1 و 2 أن كل عدد صحيح موجب أكبر من 1 هو إما عدد أولي أو رقم مركب.

يوجد أدناه برنامج لعرض الأعداد الأولية حتى 5000. املأ الخلايا ، انقر فوق الزر "إنشاء" وانتظر بضع ثوان.

جدول العدد الأولي

إفادة 1. لو صهو عدد أولي و أأي عدد صحيح ، ثم إما أمقسومة على ص، أو صو أأعداد أولية نسبيًا.

حقًا. لو صعدد أولي ، فهو لا يقبل القسمة إلا على نفسه و 1 إذا ألا يقبل القسمة ص، ثم القاسم المشترك الأكبر أو صيساوي 1. ثم صو أأعداد أولية نسبيًا.

إفادة 2. إذا كان حاصل ضرب عدة أعداد من الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 ، ... يقبل القسمة على عدد أولي ص، ثم واحد على الأقل من الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 ، ... يقبل القسمة على ص.

حقًا. إذا لم يكن أي من الأرقام يقبل القسمة عليه صثم الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 ، ... ستكون أعدادًا أولية نسبيًا فيما يتعلق بـ ص. ولكن من Corollary 3 () يتبع ذلك منتجهم أ 1 , أ 2 , أ 3 ، ... هو أيضا جريمة مشتركة فيما يتعلق صالذي يتعارض مع شرط التأكيد. لذلك ، فإن واحدًا على الأقل من الأرقام يقبل القسمة عليه ص.

نظرية 1. يمكن دائمًا تمثيل أي رقم مركب ، علاوة على ذلك بطريقة فريدة ، كمنتج لعدد محدود من الأعداد الأولية.

دليل. يترك كرقم مركب ، واسمحوا أ 1 هو أحد قواسمه المختلفة عن 1 ونفسه. لو أ 1 مركب ، ثم لديه بالإضافة إلى 1 و أ 1 ومقسّم آخر أ 2. لو أ 2 هو رقم مركب ، ثم لديه ، بالإضافة إلى 1 و أ 2 ومقسّم آخر أ 3. يتجادل بهذه الطريقة ويراعى أن الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 ، ... انخفاض وهذه السلسلة تحتوي على عدد محدود من الحدود ، سنصل إلى عدد أولي ص 1. ثم كيمكن تمثيلها كـ

افترض أن هناك توسعتين لرقم ك:

لأن ك = ص 1 ص 2 ص 3 ... يقبل القسمة على عدد أولي ف 1 ، ثم واحد على الأقل من العوامل ، على سبيل المثال ص 1 يقبل القسمة على ف 1. لكن ص 1 هو عدد أولي ولا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. لذلك ص 1 =ف 1 (لأن ف 1 ≠1)

ثم من (2) يمكننا استبعاد ص 1 و ف 1:

وبالتالي ، فإننا نتأكد من أن أي عدد أولي يدخل في التوسع الأول كعامل مرة واحدة أو أكثر يدخل في التوسع الثاني على الأقل نفس العدد من المرات والعكس صحيح ، أي عدد أولي يدخل في التوسع الثاني كعامل واحد أو عدة مرات مرات يدخل أيضًا في التوسع الأول على الأقل عدة مرات. لذلك ، فإن أي عدد أولي يدخل كعامل في كلا التمددين بنفس عدد المرات ، وبالتالي فإن هذين التمدين متماثلان.

تحلل رقم مركب كيمكن كتابتها بالشكل التالي

أين ص 1 , ص 2 ، ... أعداد أولية مميزة ، α, β, γ ... أعداد صحيحة موجبة.

التحلل (3) يسمى التحلل الكنسيأعداد.

الأعداد الأولية في سلسلة الأعداد الطبيعية تحدث بشكل غير متساو. في بعض أجزاء السلسلة يوجد عدد أكبر منهم ، وفي أجزاء أخرى - أقل. كلما تحركنا على طول سلسلة الأعداد ، كلما زادت ندرة الأعداد الأولية. السؤال هو ، هل يوجد أكبر عدد أولي؟ أثبت عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. نقدم هذا الدليل أدناه.

نظرية 2. عدد الأعداد الأولية لانهائي.

دليل. افترض أن هناك عددًا محدودًا من الأعداد الأولية ، ودع أكبر عدد أولي يكون ص. لنأخذ كل الأرقام في الاعتبار ص. بافتراض العبارة ، يجب أن تكون هذه الأرقام مركبة ويجب أن تكون قابلة للقسمة على واحد على الأقل من الأعداد الأولية. دعنا نختار الرقم الذي هو نتاج كل هذه الأعداد الأولية بالإضافة إلى 1:

رقم ضأكثر صلأن 2 صبالفعل أكثر ص. صلا يقبل القسمة على أي من هذه الأعداد الأولية ، منذ ذلك الحين عند القسمة على كل منهما ، فإنها تعطي الباقي من 1. وهكذا نصل إلى تناقض. لذلك ، هناك عدد لا حصر له من الأعداد الأولية.

هذه النظرية هي حالة خاصة لنظرية أكثر عمومية:

نظرية 3. يترك المتوالية العددية

ثم أي عدد أولي في ن، يجب تضمينها أيضًا في م، لذلك في نلا يمكن أن تشمل العوامل الأولية الأخرى التي لم يتم تضمينها في موعلاوة على ذلك ، هذه العوامل الرئيسية في نلا تظهر أكثر من مرة في م.

والعكس صحيح أيضا. إذا كان كل عامل أولي لعدد نيحدث على الأقل نفس العدد من المرات م، الذي - التي ممقسومة على ن.

إفادة 3. يترك أ 1 ,أ 2 ,أ 3 ، ... مختلف الأعداد الأولية التي تظهر في ملذا

أين أنا=0,1,...α , ي=0,1,...,β ، ك = 0،1 ، ... ، γ . لاحظ أن أنايقبل α قيم +1 ، β يقبل ي β قيم +1 ، γ ك يأخذ γ +1 قيم ، ....

تعد الأعداد الأولية من أكثر الظواهر الرياضية إثارة للاهتمام والتي جذبت انتباه العلماء والمواطنين العاديين لأكثر من ألفي عام. على الرغم من حقيقة أننا نعيش الآن في عصر أجهزة الكمبيوتر وأحدث برامج المعلومات ، إلا أن العديد من ألغاز الأعداد الأولية لم يتم حلها بعد ، بل هناك حتى تلك الألغاز التي لا يعرف العلماء كيفية التعامل معها.

الأعداد الأولية ، كما هو معروف من مسار الحساب الأولي ، هي تلك التي تقبل القسمة دون الباقي على واحد فقط بنفسه. بالمناسبة ، إذا كان الرقم الطبيعي قابلاً للقسمة ، بالإضافة إلى الأرقام المذكورة أعلاه ، على رقم آخر ، فإنه يسمى مركب. تنص إحدى أشهر النظريات على أنه يمكن تمثيل أي رقم مركب على أنه المنتج الوحيد الممكن للأعداد الأولية.

بعض الحقائق المثيرة للاهتمام. أولاً ، الوحدة فريدة بمعنى أنها ، في الواقع ، لا تنتمي إلى أي من الأرقام الأولية أو المركبة. في الوقت نفسه ، لا يزال من المعتاد في المجتمع العلمي نسبه إلى المجموعة الأولى ، لأنه رسميًا يلبي متطلباته تمامًا.

ثانيًا ، العدد الزوجي الوحيد الذي تسلل إلى مجموعة "الأعداد الأولية" هو بالطبع اثنان. أي رقم زوجي آخر ببساطة لا يمكن أن يصل إلى هنا ، لأنه بحكم التعريف ، بالإضافة إلى نفسه ورقم واحد ، فإنه أيضًا قابل للقسمة على اثنين.

الأعداد الأولية ، والتي يمكن أن تبدأ القائمة ، كما ذكرنا سابقًا ، برقم واحد ، وهي سلسلة لا نهائية ، لا نهائية مثل سلسلة الأعداد الطبيعية. بناءً على النظرية الحسابية الأساسية ، يمكن للمرء أن يستنتج أن الأعداد الأولية لا تنقطع أبدًا ولا تنتهي أبدًا ، وإلا فإن سلسلة الأعداد الطبيعية ستتقطع حتمًا.

لا تظهر الأعداد الأولية بشكل عشوائي في المتسلسلة الطبيعية ، كما قد يبدو للوهلة الأولى. بعد تحليلها بعناية ، يمكنك على الفور ملاحظة العديد من الميزات ، والتي يرتبط أكثرها فضولًا بما يسمى بالأرقام "المزدوجة". تم استدعاؤهم لأنهم انتهى بهم الأمر إلى جانب بعضهم البعض بطريقة غير مفهومة ، مفصولين فقط بمحدد متساوٍ (خمسة وسبعة وسبعة عشر وتسعة عشر).

إذا نظرت إليها عن كثب ، ستلاحظ أن مجموع هذه الأرقام دائمًا ما يكون من مضاعفات الثلاثة. علاوة على ذلك ، عند القسمة على ثلاثة أضعاف من الزميل الأيسر ، يبقى الباقي دائمًا اثنين ، والأيمن - واحد. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن التنبؤ بتوزيع هذه الأرقام على طول السلسلة الطبيعية إذا تم تقديم هذه السلسلة بأكملها في شكل أشباه الجيوب المتذبذبة ، والتي تتشكل نقاطها الرئيسية عندما يتم تقسيم الأرقام على ثلاثة واثنين.

الأعداد الأولية ليست فقط موضوعًا للتدقيق الدقيق من قبل علماء الرياضيات في جميع أنحاء العالم ، ولكن تم استخدامها بنجاح منذ فترة طويلة في تجميع سلسلة مختلفة من الأرقام ، والتي هي الأساس ، بما في ذلك علم التشفير. في الوقت نفسه ، يجب الاعتراف بأن عددًا كبيرًا من الألغاز المرتبطة بهذه العناصر الرائعة لا تزال تنتظر الحل ، والعديد من الأسئلة ليس لها أهمية فلسفية فحسب ، بل أهمية عملية أيضًا.

• ترجمة

تمت دراسة خصائص الأعداد الأولية لأول مرة من قبل علماء الرياضيات اليونان القديمة. كان علماء الرياضيات في مدرسة فيثاغورس (500-300 قبل الميلاد) مهتمين في المقام الأول بالخصائص الصوفية والرقمية للأعداد الأولية. كانوا أول من طرح أفكارًا حول الأرقام المثالية والودية.

العدد المثالي له قواسمه الخاصة التي تساوي نفسه. على سبيل المثال ، القواسم الصحيحة للرقم 6 هي: 1 و 2 و 3. 1 + 2 + 3 = 6. قواسم الرقم 28 هي 1 و 2 و 4 و 7 و 14. علاوة على ذلك ، 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

يُطلق على الأرقام مألوفة إذا كان مجموع المقسومات الصحيحة لرقم ما مساويًا لآخر ، والعكس صحيح - على سبيل المثال ، 220 و 284. يمكننا القول أن الرقم المثالي يتناسب مع نفسه.

بحلول وقت ظهور أعمال "بدايات" إقليدس عام 300 قبل الميلاد. تم بالفعل إثبات العديد من الحقائق المهمة حول الأعداد الأولية. في الكتاب التاسع من العناصر ، أثبت إقليدس أن هناك عددًا لا حصر له من الأعداد الأولية. بالمناسبة ، هذا هو أحد الأمثلة الأولى لاستخدام البرهان بالتناقض. لقد أثبت أيضًا النظرية الأساسية للحساب - يمكن تمثيل كل عدد صحيح بطريقة فريدة كمنتج للأعداد الأولية.

وأوضح أيضًا أنه إذا كان الرقم 2 ن -1 عددًا أوليًا ، فسيكون الرقم 2 ن -1 * (2 ن -1) مثاليًا. تمكن عالم رياضيات آخر ، أويلر ، في عام 1747 من إظهار أنه يمكن كتابة جميع الأعداد الكاملة بهذا الشكل. حتى يومنا هذا ، من غير المعروف ما إذا كانت الأعداد المثالية الفردية موجودة.

في عام 200 قبل الميلاد. جاء اليوناني إراتوستينس بخوارزمية للعثور على الأعداد الأولية تسمى غربال إراتوستينس.

ثم حدث انقطاع كبير في تاريخ دراسة الأعداد الأولية المرتبطة بالعصور الوسطى.

تم إجراء الاكتشافات التالية بالفعل في بداية القرن السابع عشر بواسطة عالم الرياضيات فيرمات. لقد أثبت حدس ألبرت جيرارد بأن أي عدد أولي على الشكل 4n + 1 يمكن كتابته بشكل فريد كمجموع مربعين ، وصاغ أيضًا نظرية مفادها أنه يمكن تمثيل أي رقم كمجموع أربعة مربعات.

لقد طور أسلوب جديدالتحليل إلى عوامل أعداد كبيرة، وأظهر ذلك على الرقم 2027651281 = 44021 × 46061. كما أثبت أيضًا نظرية فيرما الصغيرة: إذا كان p عددًا أوليًا ، فإن p = a modulo p سيكون صحيحًا لأي عدد صحيح a.

تثبت هذه العبارة نصف ما كان يُعرف باسم "الفرضية الصينية" ويعود تاريخها إلى ما قبل 2000 عام: العدد الصحيح n هو عدد أولي إذا وفقط إذا كان 2n-2 يقبل القسمة على n. تبين أن الجزء الثاني من الفرضية خاطئ - على سبيل المثال ، 2341-2 قابل للقسمة على 341 ، على الرغم من أن الرقم 341 مركب: 341 = 31 × 11.

كانت نظرية فيرما الصغيرة أساسًا للعديد من النتائج الأخرى في نظرية الأعداد وطرق اختبار ما إذا كانت الأعداد أولية ، وكثير منها لا يزال قيد الاستخدام حتى اليوم.

تقابل فيرما على نطاق واسع مع معاصريه ، خاصةً مع راهب يُدعى مارين ميرسين. في إحدى رسائله ، خمن أن الأرقام التي على شكل 2 n + 1 ستكون دائمًا أولية إذا كانت n هي قوة اثنين. لقد اختبر هذا من أجل n = 1 و 2 و 4 و 8 و 16 ، وتأكد من أنه عندما لا تكون n أس اثنين ، فإن الرقم ليس بالضرورة عددًا أوليًا. تسمى هذه الأرقام أرقام فيرمات ، ولم يظهر أويلر إلا بعد 100 عام أن الرقم التالي ، 232 + 1 = 4294967297 ، قابل للقسمة على 641 ، وبالتالي فهو ليس عددًا أوليًا.

كانت الأرقام من الشكل 2 ن - 1 أيضًا موضوعًا للبحث ، لأنه من السهل إظهار أنه إذا كان n مركبًا ، فإن الرقم نفسه مركب أيضًا. تسمى هذه الأرقام أرقام ميرسين لأنه درسها بنشاط.

ولكن ليست كل الأعداد التي في الصورة 2 n - 1 ، حيث n عدد أولي ، فهي أعداد أولية. على سبيل المثال ، 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. تم اكتشاف هذا لأول مرة في عام 1536.

لسنوات عديدة ، أعطت أعداد من هذا النوع علماء الرياضيات أكبر الأعداد الأولية المعروفة. تم إثبات الرقم M 19 بواسطة كاتالدي في عام 1588 ، وكان لمدة 200 عام أكبر عدد أولي معروف ، حتى أثبت أويلر أن M 31 هو أيضًا عدد أولي. استمر هذا السجل لمئة عام أخرى ، ثم أظهر لوكاس أن M 127 هو عدد أولي (وهذا بالفعل عدد من 39 رقمًا) ، وبعد ذلك ، استمر البحث مع ظهور أجهزة الكمبيوتر.

في عام 1952 ، تم إثبات أهلية الأرقام M 521 و M 607 و M 1279 و M 2203 و M 2281.

بحلول عام 2005 ، تم العثور على 42 من أعداد ميرسين الأولية. أكبرها ، M 25964951 ، يتكون من 7816230 رقمًا.

كان لعمل أويلر تأثير كبير على نظرية الأعداد ، بما في ذلك الأعداد الأولية. قام بتمديد نظرية فيرما الصغيرة وقدم وظيفة φ. حلل رقم فيرما الخامس 2 32 +1 إلى عوامل ، ووجد 60 زوجًا من الأرقام المألوفة ، وصاغ (لكن فشل في إثبات) القانون التربيعي للمعاملة بالمثل.

كان أول من قدم أساليب التحليل الرياضي وطور النظرية التحليلية للأرقام. لقد أثبت أنه ليس فقط السلسلة التوافقية ∑ (1 / ن) ، ولكن أيضًا سلسلة من الشكل

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

يتم الحصول عليها من خلال مجموع الكميات المقلوبة للأعداد الأولية ، وتتباعد أيضًا. ينمو مجموع n من المتسلسلة التوافقية تقريبًا مثل log (n) ، بينما تتباعد السلسلة الثانية بشكل أبطأ ، مثل log [log (n)]. هذا يعني ، على سبيل المثال ، أن مجموع المعادلات بين جميع الأعداد الأولية التي تم العثور عليها حتى الآن سيعطي 4 فقط ، على الرغم من أن السلسلة لا تزال تتباعد.

للوهلة الأولى ، يبدو أن الأعداد الأولية يتم توزيعها بين الأعداد الصحيحة بشكل عشوائي. على سبيل المثال ، من بين 100 رقم قبل 10000000 مباشرة ، هناك 9 أعداد أولية ، ومن بين 100 رقم بعد هذه القيمة مباشرة ، هناك فقط 2. ولكن في الأجزاء الكبيرة ، يتم توزيع الأعداد الأولية بالتساوي. تعامل Legendre و Gauss مع توزيعهم. أخبر غاوس صديقًا ذات مرة أنه في أي 15 دقيقة مجانية يحسب دائمًا عدد الأعداد الأولية في الألف رقم التالية. بحلول نهاية حياته ، كان قد أحصى جميع الأعداد الأولية حتى 3 ملايين. حسبت Legendre و Gauss بالتساوي أن كثافة الأعداد الأولية هي 1 / log (n). قدر Legendre عدد الأعداد الأولية بين 1 و n كـ

π (ن) = ن / (تسجيل (ن) - 1.08366)

و Gauss - كتكامل لوغاريتمي

π (ن) = / 1 / سجل (ر) دت

مع فاصل تكامل من 2 إلى n.

تُعرف العبارة المتعلقة بكثافة الأعداد الأولية 1 / log (n) باسم نظرية الأعداد الأولية. لقد حاولوا إثبات ذلك طوال القرن التاسع عشر ، وأحرز تشيبيشيف وريمان تقدمًا. قاموا بربطها بفرضية ريمان ، وهي تخمين غير مثبت حتى الآن حول توزيع أصفار دالة زيتا ريمان. تم إثبات كثافة الأعداد الأولية بشكل متزامن بواسطة Hadamard و de la Vallée-Poussin في عام 1896.

في نظرية الأعداد الأولية ، لا يزال هناك العديد من الأسئلة التي لم يتم حلها ، وبعضها عمره مئات السنين:

• الفرضية الأولية المزدوجة - حول عدد لا حصر له من أزواج الأعداد الأولية التي تختلف عن بعضها البعض بمقدار 2
• تخمين جولدباخ: أي عدد زوجي ، يبدأ من 4 ، يمكن تمثيله كمجموع عددين أوليين
• هل يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية بالصيغة n 2 + 1؟
• هل من الممكن دائمًا إيجاد عدد أولي بين n 2 و (n + 1) 2؟ (حقيقة أن هناك دائمًا عددًا أوليًا بين n و 2n تم إثباته بواسطة Chebyshev)
• هل يوجد عدد لا حصر له من الأعداد الأولية لفيرمات؟ هل توجد أي أعداد أولية فرما بعد الرابع؟
• هل هناك تسلسل حسابي للأعداد الأولية المتتالية لأي طول معين؟ على سبيل المثال ، للطول 4: 251 ، 257 ، 263 ، 269. أقصى طول تم العثور عليه هو 26.
• هل هناك عدد لا حصر له من المجموعات المكونة من ثلاثة أعداد أولية متتالية في التقدم الحسابي؟
• n 2 - n + 41 عدد أولي لـ 0 n ≤ 40. هل يوجد عدد لا نهائي من هذه الأعداد الأولية؟ نفس السؤال عن الصيغة n 2 - 79 n + 1601. هذه الأعداد أولية لـ 0 ≤ n ≤ 79.
• هل يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية على شكل n # + 1؟ (n # هو نتيجة ضرب كل الأعداد الأولية الأقل من n)
• هل يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية على شكل n # -1؟
• هل يوجد عدد لا حصر له من الأعداد الأولية على شكل n! +1؟
• هل يوجد عدد لا حصر له من الأعداد الأولية على شكل n! - 1؟
• إذا كان p عددًا أوليًا ، فهل 2 p -1 دائمًا لا يشمل عوامل التربيع الأولي
• هل يحتوي متوالية فيبوناتشي على عدد لا نهائي من الأعداد الأولية؟

أكبر الأعداد الأولية المزدوجة هي 2003663613 × 2 195000 ± 1. وتتكون من 58711 رقمًا وتم العثور عليها في عام 2007.

أكبر عدد أولي عاملي (على شكل n! ± 1) هو 147855! - 1. يتكون من 142891 رقما ، تم العثور عليه عام 2002.

أكبر عدد أولي (رقم على الشكل n # ± 1) هو 1098133 # + 1.

العلامات: أضف علامات