ما الأعداد الأولية التي يمكن تمثيلها في النموذج. أرقام بسيطة. الأرقام المركبة

جميع الأعداد الطبيعية الأخرى تسمى مركب. الرقم الطبيعي 1 ليس أوليًا ولا مركبًا.

مثال

يمارس.أي من الأعداد الطبيعية التالية أولي:

إجابة.

تحليل رقم

يسمى تمثيل العدد الطبيعي كمنتج للأعداد الطبيعية التحليل إلى عوامل. إذا كانت جميع العوامل في تحليل العدد الطبيعي عبارة عن أعداد أولية ، فسيتم استدعاء هذا العامل التحليل الأولي.

نظرية

(النظرية الأساسية في الحساب)

يمكن تحليل كل عدد طبيعي بخلاف 1 إلى عوامل أولية ، علاوة على ذلك ، بطريقة فريدة (إذا حددنا التحليلات وأين وأعداد أولية).

بدمج العوامل الأولية المتطابقة في تحلل الرقم ، نحصل على ما يسمى بالتحلل الكنسي للرقم:

أين ، هي أعداد أولية مختلفة ، وهي أعداد طبيعية.

مثال

يمارس.أوجد التوسع الأساسي للأرقام:

حل.للعثور على التحليل الأساسي للأرقام ، يجب عليك أولاً تحليلها إلى عوامل أولية ، ثم دمج نفس العوامل وكتابة منتجها كقوة باستخدام مؤشر طبيعي:

إجابة.

مرجع تاريخي

كيف تحدد أي عدد أولي وأي عدد ليس كذلك؟ الطريقة الأكثر شيوعًا للعثور على جميع الأعداد الأولية في أي فترة عددية تم اقتراحها في القرن الثالث. قبل الميلاد ه. إراتوستينس (الطريقة تسمى "غربال إراتوستينس"). افترض أننا بحاجة إلى تحديد أي من الأعداد أولية. نكتبها في صف ونشطب كل رقم ثاني من تلك التي تلي الرقم 2 - فجميعها مركبة ، لأنها مضاعفات العدد 2. أول الأعداد المتبقية غير المقتطعة - 3 - هي عدد أولي. اشطب كل رقم ثالث من أولئك الذين يتبعون الرقم 3 ؛ التالي من الأعداد غير المتقاطعة - 5 - سيكون أيضًا أوليًا. وفقًا لنفس المبدأ ، نقوم بشطب كل رقم خامس من أولئك الذين يتبعون الرقم 5 وبشكل عام ، كل e من أولئك الذين يتبعون الرقم. ستكون جميع الأعداد المتبقية غير المقتطعة أولية.

مع زيادة الأعداد الأولية ، تصبح أقل شيوعًا. ومع ذلك ، كان القدماء يدركون جيدًا حقيقة وجود عدد لا حصر له منهم. يتم تقديم دليلها في عناصر إقليدس.

رقم اولي

عدد طبيعي أكبر من واحد وليس له قواسم أخرى إلا نفسه وواحد: 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ... رقم الأعداد الأوليةبلا نهاية.

رقم اولي

عدد صحيح موجب أكبر من واحد لا يحتوي على قواسم أخرى غير نفسه وواحد: 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، ... أرقام ؛ وبالتحديد ، فإن النظرية الأساسية لنظرية القابلية للقسمة تثبت أن كل عدد صحيح موجب ، باستثناء 1 ، قابل للتحلل بشكل فريد في ناتج رقم جزئي (لا يؤخذ ترتيب العوامل في الاعتبار). هناك عدد غير محدود من P.P. (كان هذا الافتراض معروفًا حتى لعلماء الرياضيات اليونانيين القدماء ، والدليل على ذلك في الكتاب التاسع من عناصر إقليدس). الأسئلة المتعلقة بقسمة الأعداد الطبيعية ، وبالتالي الأسئلة المرتبطة بـ P. p. ، لها أهميةعند دراسة المجموعات على وجه الخصوص ، يرتبط هيكل مجموعة ذات عدد محدود من العناصر ارتباطًا وثيقًا بكيفية تحلل هذا العدد من العناصر (ترتيب المجموعة) إلى عوامل أولية. في نظرية الأعداد الجبرية ، يتم النظر في مسائل القابلية للقسمة على الأعداد الصحيحة الجبرية ؛ تبين أن مفهوم P. ​​h غير كافٍ لبناء نظرية القسمة - وهذا أدى إلى إنشاء مفهوم المثل الأعلى. أسس P.GL Dirichlet في عام 1837 ذلك في المتوالية العددية a + bx لـ x = 1، 2، ... مع أعداد صحيحة coprime a و b تحتوي على عدد لانهائي من P. p. توضيح توزيع P. p. يتم طرحه كدراسة سلوك مقاربالدالة p (x) ، للدلالة على عدد الأجزاء P. لا يتجاوز العدد الموجب x. تعود النتائج الأولى في هذا الاتجاه إلى P.L. Chebyshev ، الذي أثبت في عام 1850 أن هناك ثابتين a و A مثل أن ═< p(x) < ═при любых x ³ 2 [т. е., что p(х) растет, как функция ]. Хронологически следующим значительным результатом, уточняющим теорему Чебышева, является т. н. асимптотический закон распределения П. ч. (Ж. Адамар, 1896, Ш. Ла Валле Пуссен, 1896), заключающийся в том, что предел отношения p(х) к ═равен

بعد ذلك ، تم توجيه جهود كبيرة من قبل علماء الرياضيات نحو تنقيح قانون التقارب لتوزيع P. h. تمت دراسة أسئلة توزيع P. h من خلال كل من الطرق الأولية وطرق التحليل الرياضي. الطريقة المثمرة بشكل خاص هي الطريقة القائمة على استخدام الهوية

(المنتج يمتد إلى جميع P. p = 2 ، 3 ، ...) ، المشار إليه أولاً بواسطة L. Euler ؛ هذه الهوية تنطبق على جميع المركبات ذات الجزء الحقيقي الأكبر من واحد. على أساس هذه الهوية ، يتم تقليل أسئلة توزيع P. h إلى دراسة وظيفة خاصة ≈ دالة زيتا x (s) ، المحددة لـ Res> 1 بواسطة

تم استخدام هذه الوظيفة في أسئلة توزيع P. h. على real s بواسطة Chebyshev ؛ أشار ب. ريمان إلى أهمية دراسة x (s) للقيم المركبة لـ s. توقع ريمان أن جميع جذور المعادلة x (s) = 0 الكذب في النصف الأيمن من المستوى لها جزء حقيقي يساوي 1 /

لم يتم إثبات هذه الفرضية حتى الآن (1975) ؛ سيكون إثباتها مفيدًا جدًا في حل مسألة توزيع رقم P. يرتبط توزيع رقم P. ارتباطًا وثيقًا بمشكلة Goldbach ، مع مشكلة "التوائم" التي لا تزال غير محلولة وغيرها من مشاكل العدد التحليلي نظرية. تكمن مشكلة "التوائم" في معرفة ما إذا كان عدد ساعات العمل التي تختلف بمقدار 2 محدودًا أم لا نهائيًا (على سبيل المثال ، 11 و 13). تظهر جداول الأرقام الواقعة ضمن أول 11 مليون رقم طبيعي وجود "توأم" كبير جدًا (على سبيل المثال ، 10006427 و 10006429) ، ولكن هذا ليس دليلاً على اللانهاية لعددهم. خارج الجداول المترجمة ، تُعرف أرقام P. الفردية التي تسمح بتعبير حسابي بسيط [على سبيل المثال ، تم تأسيس (1965) أن 211213 ≈ 1 هي P. ساعة ؛ يتكون من 3376 رقمًا].

مضاء: I.M. Vinogradov، Fundamentals of Number Theory، 8th ed.، M.، 1972؛ Hasse G. ، محاضرات حول نظرية الأعداد ، العابرة. من الألمانية ، م ، 1953 ؛ إنغام أ. إي. ، توزيع الأعداد الأولية ، العابرة. من الإنجليزية ، M. ≈ L. ، 1936 ؛ Prahar K. ، توزيع الأعداد الأولية ، العابرة. من الألمانية. ، م ، 1967 ؛ تروست إي ، الأعداد الأولية ، مترجم من الألمانية ، م ، 1959.

ويكيبيديا

رقم اولي

رقم اوليهو رقم طبيعي يحتوي على مقسومين طبيعيين مختلفين تمامًا - ونفسه. بمعنى آخر ، الرقم xيكون عددًا أوليًا إذا كان أكبر من 1 ولا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى x. على سبيل المثال ، 5 عدد أولي ، و 6 رقم مركب ، لأنه بالإضافة إلى 1 و 6 ، فإنه أيضًا قابل للقسمة على 2 و 3.

تسمى الأعداد الطبيعية الأكبر من واحد وليست أولية بالأرقام المركبة. وبالتالي ، يتم تقسيم جميع الأعداد الطبيعية إلى ثلاث فئات: واحد. نظرية الأعداد هي دراسة خصائص الأعداد الأولية. في نظرية الحلقة ، الأعداد الأولية تتوافق مع العناصر غير القابلة للاختزال.

يبدأ تسلسل الأعداد الأولية على النحو التالي:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 139 , 149 , 151 , 157 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 …

تعريف 1. رقم اوليهو رقم طبيعي أكبر من 1 لا يقبل القسمة إلا على نفسه و 1.

بمعنى آخر ، يكون الرقم أوليًا إذا كان يحتوي على مقسومين طبيعيين متميزين فقط.

تعريف 2. أي عدد طبيعي يحتوي على قواسم أخرى إلى جانب نفسه يسمى واحد عدد مركب.

بمعنى آخر ، تسمى الأعداد الطبيعية غير الأولية بالأرقام المركبة. من التعريف 1 يتبع ذلك عدد مركبيحتوي على أكثر من قواسم طبيعية. الرقم 1 ليس أوليًا ولا مركبًا. له قاسم واحد فقط ، بالإضافة إلى ذلك ، فإن العديد من النظريات حول الأعداد الأولية لا تنطبق على الوحدة.

يستنتج من التعريفين 1 و 2 أن كل عدد صحيح موجب أكبر من 1 هو إما عدد أولي أو رقم مركب.

يوجد أدناه برنامج لعرض الأعداد الأولية حتى 5000. املأ الخلايا ، انقر فوق الزر "إنشاء" وانتظر بضع ثوان.

جدول العدد الأولي

إفادة 1. لو صهو عدد أولي و أأي عدد صحيح ، ثم إما أمقسومة على ص، أو صو أأعداد أولية نسبيًا.

حقًا. لو صعدد أولي ، فهو لا يقبل القسمة إلا على نفسه و 1 إذا ألا يقبل القسمة ص، ثم الأكبر القاسم المشترك أو صيساوي 1. ثم صو أأعداد أولية نسبيًا.

إفادة 2. إذا كان حاصل ضرب عدة أعداد من الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 ، ... يقبل القسمة على عدد أولي ص، ثم واحد على الأقل من الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 ، ... يقبل القسمة على ص.

حقًا. إذا لم يكن أي من الأرقام يقبل القسمة عليه صثم الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 ، ... ستكون أعدادًا أولية نسبيًا فيما يتعلق بـ ص. ولكن من Corollary 3 () يتبع ذلك منتجهم أ 1 , أ 2 , أ 3 ، ... هو أيضا جريمة مشتركة فيما يتعلق صالذي يتعارض مع شرط التأكيد. لذلك ، فإن واحدًا على الأقل من الأرقام يقبل القسمة عليه ص.

نظرية 1. يمكن دائمًا تمثيل أي رقم مركب ، علاوة على ذلك بطريقة فريدة ، كمنتج لعدد محدود من الأعداد الأولية.

دليل. يترك كرقم مركب ، واسمحوا أ 1 هو أحد قواسمه المختلفة عن 1 ونفسه. لو أ 1 مركب ، ثم لديه بالإضافة إلى 1 و أ 1 ومقسّم آخر أ 2. لو أ 2 هو رقم مركب ، ثم لديه ، بالإضافة إلى 1 و أ 2 ومقسّم آخر أ 3. يتجادل بهذه الطريقة ويراعى أن الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 ، ... انخفاض وهذه السلسلة تحتوي على عدد محدود من الحدود ، سنصل إلى عدد أولي ص 1. ثم كيمكن تمثيلها كـ

افترض أن هناك توسعتين لرقم ك:

لأن ك = ص 1 ص 2 ص 3 ... يقبل القسمة على عدد أولي ف 1 ، ثم واحد على الأقل من العوامل ، على سبيل المثال ص 1 يقبل القسمة على ف 1. لكن ص 1 هو عدد أولي ولا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. لذلك ص 1 =ف 1 (لأن ف 1 ≠1)

ثم من (2) يمكننا استبعاد ص 1 و ف 1:

وبالتالي ، فإننا نتأكد من أن أي عدد أولي يدخل في التوسع الأول كعامل مرة واحدة أو أكثر يدخل في التوسع الثاني على الأقل نفس العدد من المرات والعكس صحيح ، أي عدد أولي يدخل في التوسع الثاني كعامل واحد أو عدة مرات مرات يدخل أيضًا في التوسع الأول على الأقل عدة مرات. لذلك ، فإن أي عدد أولي يدخل كعامل في كلا التمددين بنفس عدد المرات ، وبالتالي فإن هذين التمدين متماثلان.

تحلل رقم مركب كيمكن كتابتها بالشكل التالي

(3)

أين ص 1 , ص 2 ، ... أعداد أولية مميزة ، α, β, γ ... أعداد صحيحة موجبة.

التحلل (3) يسمى التحلل الكنسيأعداد.

الأعداد الأولية في سلسلة الأعداد الطبيعية تحدث بشكل غير متساو. في بعض أجزاء السلسلة يوجد عدد أكبر منهم ، وفي أجزاء أخرى - أقل. كلما تحركنا على طول سلسلة الأعداد ، كلما زادت ندرة الأعداد الأولية. السؤال هو ، هل يوجد أكبر عدد أولي؟ أثبت عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. نقدم هذا الدليل أدناه.

نظرية 2. عدد الأعداد الأولية لانهائي.

دليل. افترض أن هناك عددًا محدودًا من الأعداد الأولية ، ودع أكبر عدد أولي يكون ص. لنأخذ كل الأرقام في الاعتبار ص. بافتراض العبارة ، يجب أن تكون هذه الأرقام مركبة ويجب أن تكون قابلة للقسمة على واحد على الأقل من الأعداد الأولية. دعنا نختار الرقم الذي هو نتاج كل هذه الأعداد الأولية بالإضافة إلى 1:

رقم ضأكثر صلأن 2 صبالفعل أكثر ص. صلا يقبل القسمة على أي من هذه الأعداد الأولية ، منذ ذلك الحين عند القسمة على كل منهما ، فإنها تعطي الباقي من 1. وهكذا نصل إلى تناقض. لذلك ، هناك عدد لا حصر له من الأعداد الأولية.

هذه النظرية هي حالة خاصة لنظرية أكثر عمومية:

نظرية 3. دعونا نعطي التقدم الحسابي

ثم أي عدد أولي في ن، يجب تضمينها أيضًا في م، لذلك في نلا يمكن أن تشمل العوامل الأولية الأخرى التي لم يتم تضمينها في موعلاوة على ذلك ، هذه العوامل الرئيسية في نلا تظهر أكثر من مرة في م.

والعكس صحيح أيضا. إذا كان كل عامل أولي لعدد نيحدث على الأقل نفس العدد من المرات م، الذي - التي ممقسومة على ن.

إفادة 3. يترك أ 1 ,أ 2 ,أ 3 ، ... مختلف الأعداد الأولية التي تظهر في ملذا

أين أنا=0,1,...α , ي=0,1,...,β ، ك = 0،1 ، ... ، γ . لاحظ أن أنايقبل α قيم +1 ، β يقبل ي β قيم +1 ، γ ك يأخذ γ +1 قيم ، ....

الأعداد مختلفة: طبيعية ، طبيعية ، عقلانية ، عدد صحيح وجزئي ، موجب وسالب ، معقد وأولي ، فردي وزوجي ، حقيقي ، إلخ. من هذه المقالة يمكنك معرفة الأعداد الأولية.

ما هي الأرقام التي تسمى الكلمة الإنجليزية "بسيط"؟

في كثير من الأحيان ، لا يعرف تلاميذ المدارس كيفية الإجابة على أحد أكثر الأسئلة التي تبدو بسيطة في الرياضيات ، حول ماهية العدد الأولي. غالبًا ما يخلطون بين الأعداد الأولية والأعداد الطبيعية (أي ، الأرقام التي يستخدمها الناس عند عد الأشياء ، بينما في بعض المصادر يبدأون من الصفر ، وفي مصادر أخرى - من واحد). لكن هذان مفهومان مختلفان تمامًا. الأعداد الأولية ، طبيعية ، أي أرقام صحيحة وموجبة ، والتي أكبر من واحدوالتي تحتوي على مقسومين طبيعيين فقط. في هذه الحالة ، أحد هذه القواسم هو رقم معين ، والثاني عبارة عن وحدة. على سبيل المثال ، ثلاثة عدد أولي لأنه لا يقبل القسمة على أي رقم آخر غير نفسه وواحد.

الأرقام المركبة

عكس الأعداد الأولية هو الأعداد المركبة. هم أيضًا طبيعيون ، أيضًا أكبر من واحد ، لكن ليس لديهم اثنين ، لكن كمية كبيرةفواصل. لذلك ، على سبيل المثال ، الأرقام 4 و 6 و 8 و 9 وما إلى ذلك هي أرقام طبيعية ومركبة ولكنها ليست أعدادًا أولية. كما ترى ، هذه في الغالب أرقام زوجية ، لكن ليس كلها. لكن "اثنين" عدد زوجي و "الرقم الأول" في سلسلة من الأعداد الأولية.

اللاحقة

لبناء سلسلة من الأعداد الأولية ، من الضروري إجراء اختيار من جميع الأعداد الطبيعية ، مع مراعاة تعريفها ، أي أنك تحتاج إلى التصرف بالتناقض. من الضروري النظر في كل من الأرقام الموجبة الطبيعية حول موضوع ما إذا كان يحتوي على أكثر من اثنين من المقسومات. دعنا نحاول بناء سلسلة (تسلسل) تتكون من أعداد أولية. تبدأ القائمة برقم اثنين ، ثم تأتي بثلاثة ، لأنها لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى واحد. ضع في اعتبارك الرقم أربعة. وهل فيها قواسم غير أربعة وواحد؟ نعم ، هذا العدد هو 2. إذن أربعة ليس عددًا أوليًا. خمسة هي أيضًا أولية (إلى جانب 1 و 5 ، لا تقبل القسمة على أي رقم آخر) ، لكن ستة قابلة للقسمة. وبشكل عام ، إذا اتبعت جميع الأعداد الزوجية ، فستلاحظ أنه باستثناء "اثنين" ، لا يوجد أي منها عدد أولي. من هذا نستنتج أن الأعداد الزوجية ، باستثناء رقمين ، ليست أعدادًا أولية. اكتشاف آخر: جميع الأعداد القابلة للقسمة على ثلاثة ، باستثناء العدد الثلاثي نفسه ، سواء كان عددًا فرديًا أو زوجيًا ، ليست أيضًا أعدادًا أولية (6 ، 9 ، 12 ، 15 ، 18 ، 21 ، 24 ، 27 ، إلخ). الأمر نفسه ينطبق على الأعداد التي تقبل القسمة على خمسة وسبعة. كل مجموعاتهم ليست بسيطة أيضًا. دعونا نلخص. لذلك ، ببساطة رقم واحديتم تضمين جميع الأرقام الفردية ، باستثناء واحد وتسعة ، والأرقام الزوجية ، فقط "اثنين". العشرات نفسها (10 ، 20 ، ... 40 ، إلخ) ليست أعدادًا أولية. يمكن تعريف الأعداد الأولية المكونة من رقمين وثلاثة أرقام وما إلى ذلك بناءً على المبادئ المذكورة أعلاه: إذا لم يكن لديهم قواسم أخرى غير أنفسهم وواحد.

نظريات حول خصائص الأعداد الأولية

هناك علم يدرس خصائص الأعداد الصحيحة ، بما في ذلك الأعداد الأولية. هذا هو فرع الرياضيات ، والذي يسمى الأعلى. بالإضافة إلى خصائص الأعداد الصحيحة ، فإنها تتعامل أيضًا مع الأعداد الجبرية والمتجاوزة ، بالإضافة إلى وظائف الأصول المختلفة المتعلقة بحساب هذه الأرقام. في هذه الدراسات ، بالإضافة إلى الأساليب الأولية والجبرية ، يتم استخدام الأساليب التحليلية والهندسية أيضًا. على وجه التحديد ، تتناول دراسة الأعداد الأولية "نظرية الأعداد".

الأعداد الأولية هي "لبنات بناء" الأعداد الطبيعية

في الحساب توجد نظرية تسمى النظرية الرئيسية. وفقًا لذلك ، يمكن تمثيل أي رقم طبيعي ، باستثناء الوحدة ، كمنتج ، عوامله هي الأعداد الأولية ، وترتيب العوامل فريد ، مما يعني أن طريقة التمثيل فريدة من نوعها. يطلق عليه تحلل العدد الطبيعي إلى عوامل أولية. هناك اسم آخر لهذه العملية - تحليل الأرقام. بناءً على ذلك ، يمكن تسمية الأعداد الأولية " مواد بناء"،" كتل "لتكوين الأعداد الطبيعية.

ابحث عن الأعداد الأولية. اختبارات البساطة

حاول العديد من العلماء في أوقات مختلفة إيجاد بعض المبادئ (الأنظمة) للعثور على قائمة الأعداد الأولية. يعرف العلم أنظمة تسمى غربال أتكين ، ومنخل سوندارتام ، ومنخل إراتوستينس. ومع ذلك ، فهي لا تعطي أي نتائج مهمة ، ولإيجاد الأعداد الأولية ، يستخدم المرء شيك بسيط. تم إنشاء الخوارزميات أيضًا بواسطة علماء الرياضيات. يطلق عليهم اختبارات البدائية. على سبيل المثال ، هناك اختبار طوره رابين وميلر. يتم استخدامه من قبل التشفير. يوجد أيضًا اختبار Kayala-Agrawala-Saskena. ومع ذلك ، على الرغم من دقتها الكافية ، من الصعب جدًا حسابها ، مما يقلل من قيمتها العملية.

هل مجموعة الأعداد الأولية لها حد؟

حقيقة أن مجموعة الأعداد الأولية هي اللانهاية قد كتبها العالم اليوناني القديم إقليدس في كتاب "البدايات". قال هذا: "دعونا نتخيل للحظة أن الأعداد الأولية لها حدود. ثم دعونا نضربهم مع بعضهم البعض ونضيف واحدًا إلى المنتج. العدد الذي تم الحصول عليه نتيجة هذه العمليات البسيطة لا يمكن قسمة أي سلسلة من الأعداد الأولية ، لأن الباقي سيكون دائمًا واحدًا. وهذا يعني أن هناك عددًا آخر لم يتم تضمينه بعد في قائمة الأعداد الأولية. لذلك ، افتراضنا ليس صحيحًا ، ولا يمكن أن يكون لهذه المجموعة حد. بالإضافة إلى برهان إقليدس ، هناك صيغة أكثر حداثة قدمها عالم الرياضيات السويسري ليونارد أويلر من القرن الثامن عشر. ووفقًا له ، فإن المجموع ، وهو مقلوب مجموع الأرقام n الأولى ، ينمو إلى أجل غير مسمى مع نمو الرقم n. وهنا صيغة النظرية المتعلقة بتوزيع الأعداد الأولية: (n) ينمو مثل n / ln (n).

ما هو أكبر عدد أولي؟

كل نفس ليونارد أويلر كان قادرًا على إيجاد أكبر عدد أولي في عصره. هذا هو 2 31 - 1 = 2147483647. ومع ذلك ، بحلول عام 2013 ، تم حساب رقم آخر أكثر دقة في قائمة الأعداد الأولية - 2 57885161 - 1. يطلق عليه رقم ميرسين. يحتوي على حوالي 17 مليون رقم عشري. كما ترون ، الرقم الذي وجده عالم من القرن الثامن عشر أصغر بعدة مرات من هذا. كان من المفترض أن يكون الأمر كذلك ، لأن أويلر أجرى هذا الحساب يدويًا ، ولكن ربما ساعدنا المعاصر آلة حاسبة. علاوة على ذلك ، تم الحصول على هذا الرقم من قسم الرياضيات في أحد الأقسام الأمريكية. تمر الأرقام التي تحمل اسم هذا العالم من خلال اختبار لوك-لومير البدائية. ومع ذلك ، لا يريد العلم التوقف عند هذا الحد. قدمت مؤسسة Electronic Frontier Foundation ، التي تأسست عام 1990 في الولايات المتحدة الأمريكية (EFF) ، مكافأة مالية للعثور على أعداد أولية كبيرة. وإذا تم منح الجائزة حتى عام 2013 لأولئك العلماء الذين يجدونهم من بين مليون و 10 ملايين أرقام عشرية، فقد وصل هذا الرقم اليوم من 100 مليون إلى مليار. تتراوح الجوائز من 150 إلى 250 ألف دولار أمريكي.

أسماء الأعداد الأولية الخاصة

هذه الأرقام التي تم العثور عليها بفضل الخوارزميات التي أنشأها بعض العلماء واجتازت اختبار البساطة تسمى خاصة. فيما يلي بعض منهم:

1. مرسين.

4. كولين.

6. ميلز وآخرون.

بساطة هذه الأرقام ، التي سميت على اسم العلماء المذكورين أعلاه ، تم إثباتها باستخدام الاختبارات التالية:

1. لوكاس ليمير.

2. بيبينا.

3. ريزل.

4. بيلهارت - ليهمر - سلفريدج وآخرون.

العلم الحديث لا يتوقف عند هذا الحد ، وربما في المستقبل القريب سيعرف العالم أسماء أولئك الذين تمكنوا من الفوز بجائزة قدرها 250 ألف دولار من خلال إيجاد أكبر عدد أولي.

في هذه المقالة سوف ندرس الأعداد الأولية والمركبة. أولاً ، نعطي تعريفات للأعداد الأولية والمركبة ، ونعطي أيضًا أمثلة. بعد ذلك ، نثبت أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. بعد ذلك ، نكتب جدولًا للأعداد الأولية ، وننظر في طرق تجميع جدول الأعداد الأولية ، وسنتناول بشكل خاص الطريقة التي تسمى غربال إراتوستينس. في الختام ، نسلط الضوء على النقاط الرئيسية التي يجب أخذها في الاعتبار عند إثبات أن رقمًا معينًا أوليًا أو مركبًا.

التنقل في الصفحة.

الأعداد الأولية والمركبة - تعريفات وأمثلة

تشير مفاهيم الأعداد الأولية والأرقام المركبة إلى تلك التي تكون أكبر من واحد. هذه الأعداد الصحيحة ، اعتمادًا على عدد المقسومات الموجبة ، مقسمة إلى أعداد أولية ومركبة. حتى نفهم تعريفات الأعداد الأولية والمركبة، يجب أن تكون لديك فكرة جيدة عن المقسومات والمضاعفات.

تعريف.

الأعداد الأوليةهي أعداد صحيحة أكبر من واحد وتحتوي على قسومتين موجبتين فقط ، وهما نفسها و 1.

تعريف.

الأرقام المركبةهي أعداد صحيحة أكبر من واحد يحتوي على ثلاثة قواسم موجبة على الأقل.

بشكل منفصل ، نلاحظ أن الرقم 1 لا ينطبق على الأرقام الأولية أو المركبة. تحتوي الوحدة على قاسم موجب واحد فقط ، وهو الرقم 1 نفسه. هذا يميز الرقم 1 عن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأخرى التي تحتوي على الأقل على اثنين من قواسم موجبة.

بالنظر إلى أن الأعداد الصحيحة الموجبة هي ، وأن الوحدة بها قاسم موجب واحد فقط ، يمكن إعطاء صيغ أخرى للتعريفات الصوتية للأعداد الأولية والمركبة.

تعريف.

الأعداد الأوليةهي الأعداد الطبيعية التي تحتوي على اثنين فقط من قواسم موجبة.

تعريف.

الأرقام المركبةهي الأعداد الطبيعية التي تحتوي على أكثر من اثنين من قواسم موجبة.

لاحظ أن كل عدد صحيح موجب أكبر من واحد هو إما عدد أولي أو رقم مركب. بمعنى آخر ، لا يوجد عدد صحيح واحد ليس أوليًا ولا مركبًا. هذا يتبع من خاصية القسمة ، والتي تقول أن الرقمين 1 و a هما دومًا قواسم على أي عدد صحيح a.

بناءً على المعلومات الواردة في الفقرة السابقة ، يمكننا تقديم التعريف التالي للأرقام المركبة.

تعريف.

يتم استدعاء الأعداد الطبيعية التي ليست أولية المقوم، مكون، جزء من.

لنجلب أمثلة على الأعداد الأولية والمركبة.

كأمثلة على الأرقام المركبة ، نقدم 6 و 63 و 121 و 6697. هذا البيان يحتاج أيضا إلى تفسير. الرقم 6 ، بالإضافة إلى القواسم الموجبة 1 و 6 ، يحتوي أيضًا على قواسم 2 و 3 ، نظرًا لأن 6 \ u003d 2 3 ، وبالتالي فإن 6 هو رقم مركب حقًا. القواسم الموجبة للعدد 63 هي الأعداد 1 و 3 و 7 و 9 و 21 و 63. العدد 121 يساوي حاصل ضرب 11 11 ، إذن قواسمه الموجبة هي 1 و 11 و 121. والرقم 6697 مركب ، لأن قواسمه الموجبة ، بالإضافة إلى 1 و 6697 ، هي أيضًا الأرقام 37 و 181.

في ختام هذه الفقرة ، أود أيضًا أن ألفت الانتباه إلى حقيقة أن الأعداد الأولية وأرقام الجرائم المشتركة بعيدة كل البعد عن الشيء نفسه.

جدول العدد الأولي

يتم تسجيل الأعداد الأولية ، من أجل تسهيل الاستخدام الإضافي لها ، في جدول يسمى جدول الأعداد الأولية. في الأسفل يكون جدول العدد الأولييصل إلى 1000 .

يطرح سؤال منطقي: "لماذا قمنا بملء جدول الأعداد الأولية حتى 1000 فقط ، أليس من الممكن عمل جدول لجميع الأعداد الأولية الموجودة"؟

دعنا نجيب على الجزء الأول من هذا السؤال أولاً. تكفي الأعداد الأولية التي تصل إلى ألف في معظم المشكلات التي تتضمن أعدادًا أولية. في حالات أخرى ، على الأرجح ، سيتعين عليك اللجوء إلى بعض تقنيات الحلول الخاصة. على الرغم من أنه ، بالطبع ، يمكننا جدولة الأعداد الأولية حتى عدد صحيح موجب كبير بشكل تعسفي ، سواء كان 10،000 أو 1،000،000،000 ، في الفقرة التالية سنتحدث عن طرق تجميع جداول الأعداد الأولية ، على وجه الخصوص ، سنقوم بتحليل الطريقة مُسَمًّى.

الآن دعونا نلقي نظرة على إمكانية (أو بالأحرى استحالة) تجميع جدول لجميع الأعداد الأولية الموجودة. لا يمكننا عمل جدول لجميع الأعداد الأولية لأن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. البيان الأخير هو نظرية سنثبتها بعد النظرية المساعدة التالية.

نظرية.

أصغر قاسم موجب لعدد طبيعي أكبر من 1 بخلاف 1 هو رقم أولي.

دليل.

يترك أ هو رقم طبيعي أكبر من واحد ، و ب هو أقل عدد موجب ليس واحدًا للمقسوم على أ. دعنا نثبت أن b عدد أولي بالتناقض.

افترض أن ب هو رقم مركب. ثم هناك قاسم للرقم ب (دعنا نشير إليه ب 1) ، والذي يختلف عن كل من 1 و ب. إذا أخذنا في الاعتبار أيضًا أن القيمة المطلقة للمقسوم عليه لا تتجاوز قيمه مطلقهقابل للقسمة (نعرف هذا من خصائص القسمة) ، ثم الشرط 1

نظرًا لأن الرقم a قابل للقسمة على b حسب الشرط ، وقلنا أن b يقبل القسمة على b 1 ، فإن مفهوم القسمة يسمح لنا بالتحدث عن وجود مثل هذه الأعداد الصحيحة q و q 1 أن a = b q و b = b 1 ف 1 ، من أين أ = ب 1 · (ف 1 · ف). مما يلي أن حاصل ضرب عددين صحيحين هو عدد صحيح ، ثم المساواة أ = ب 1 · (ف 1 · ف) تشير إلى أن ب 1 هو القاسم على الرقم أ. مع الأخذ بعين الاعتبار التفاوتات المذكورة أعلاه 1

يمكننا الآن إثبات أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية.

نظرية.

هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

دليل.

لنفترض أنه ليس كذلك. أي ، لنفترض أنه لا يوجد سوى n عدد أولي ، وهذه الأعداد الأولية هي p 1، p 2،…، p n. دعنا نظهر أنه يمكننا دائمًا العثور على عدد أولي مختلف عن الأرقام المشار إليها.

ضع في اعتبارك رقم p يساوي p 1 · p 2 · ... · p n +1. من الواضح أن هذا الرقم يختلف عن كل من الأعداد الأولية ص 1 ، ص 2 ، ... ، ص ن. إذا كان الرقم p عددًا أوليًا ، فسيتم إثبات النظرية. إذا كان هذا الرقم مركبًا ، فبموجب النظرية السابقة ، يوجد قاسم أولي لهذا العدد (دعنا نشير إليه p n + 1). دعنا نظهر أن هذا القاسم لا يتطابق مع أي من الأعداد ص 1 ، ص 2 ، ... ، ف ن.

إذا لم يكن الأمر كذلك ، فبواسطة خصائص القسمة ، سيكون حاصل الضرب p 1 · p 2 · ... · p n يقبل القسمة على p n + 1. لكن الرقم p قابل للقسمة أيضًا على p n + 1 ، يساوي مجموع p 1 · p 2 · ... · p n +1. هذا يعني أن الحد الثاني من هذا المجموع ، الذي يساوي واحدًا ، يجب أن يقبل القسمة على p n + 1 ، وهذا مستحيل.

وهكذا ، ثبت أنه يمكن دائمًا العثور على عدد أولي جديد ، والذي لا يتم تضمينه بين أي عدد من الأعداد الأولية المعطاة مسبقًا. لذلك ، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

لذلك ، نظرًا لوجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ، عند تجميع جداول الأعداد الأولية ، فإنها تقصر نفسها دائمًا من أعلى إلى عدد ما ، عادةً 100 ، 1000 ، 10000 ، إلخ.

منخل إراتوستينس

الآن سنناقش طرق تجميع جداول الأعداد الأولية. افترض أننا نحتاج إلى عمل جدول بأعداد أولية حتى 100.

الطريقة الأكثر وضوحًا لحل هذه المشكلة هي التحقق بالتسلسل من الأعداد الصحيحة الموجبة ، بدءًا من 2 وتنتهي بـ 100 ، لوجود قاسم موجب أكبر من 1 وأقل من الرقم الذي يتم التحقق منه (من خصائص القسمة ، نحن اعلم أن القيمة المطلقة للمقسوم عليه لا تتجاوز القيمة المطلقة للمقسوم ، تختلف عن الصفر). إذا لم يتم العثور على المقسوم عليه ، فإن الرقم الذي يتم التحقق منه يكون أوليًا ، ويتم إدخاله في جدول الأعداد الأولية. إذا تم العثور على قاسم كهذا ، فإن الرقم الذي يتم التحقق منه مركب ، ولا يتم إدخاله في جدول الأعداد الأولية. بعد ذلك ، هناك انتقال إلى الرقم التالي ، والذي يتم فحصه بالمثل بحثًا عن وجود القاسم.

دعنا نصف الخطوات القليلة الأولى.

نبدأ بالرقم 2. الرقم 2 لا يحتوي على قواسم موجبة بخلاف 1 و 2. لذلك ، فهو عدد أولي ، لذلك ندخله في جدول الأعداد الأولية. هنا يجب أن يقال أن 2 هو أصغر عدد أولي. دعنا ننتقل إلى الرقم 3. المقسوم الإيجابي المحتمل بخلاف 1 و 3 هو 2. لكن 3 غير قابلة للقسمة على 2 ، لذلك ، 3 هي عدد أولي ، ويجب أيضًا إدخالها في جدول الأعداد الأولية. دعنا ننتقل إلى الرقم 4. قواسمه الموجبة بخلاف 1 و 4 يمكن أن تكون 2 و 3 ، فلنتحقق منها. الرقم 4 قابل للقسمة على 2 ، لذلك ، 4 هو رقم مركب ولا يحتاج إلى إدخاله في جدول الأعداد الأولية. لاحظ أن 4 هو أصغر رقم مركب. دعنا ننتقل إلى الرقم 5. نتحقق مما إذا كان أحد الأعداد 2 ، 3 ، 4 على الأقل هو القاسم عليه. بما أن الرقم 5 لا يقبل القسمة على 2 أو 3 أو 4 ، فهو عدد أولي ويجب كتابته في جدول الأعداد الأولية. ثم هناك انتقال إلى الأرقام 6 و 7 وهكذا حتى 100.

هذا النهج لتجميع جدول الأعداد الأولية بعيد كل البعد عن المثالية. بطريقة أو بأخرى ، له الحق في الوجود. لاحظ أنه باستخدام طريقة إنشاء جدول الأعداد الصحيحة ، يمكنك استخدام معايير القسمة ، والتي ستسرع قليلاً من عملية إيجاد القواسم.

هناك طريقة أكثر ملاءمة لتجميع جدول الأعداد الأولية يسمى. كلمة "غربال" الموجودة في الاسم ليست عرضية ، لأن إجراءات هذه الطريقة تساعد ، كما كانت ، على "غربلة" منخل إراتوستينس الأعداد الصحيحة ، الوحدات الكبيرة ، من أجل فصل الوحدات البسيطة عن الوحدات المركبة.

دعنا نظهر غربال إراتوستينس أثناء العمل عند تجميع جدول الأعداد الأولية حتى 50.

أولاً ، نكتب الأرقام 2 ، 3 ، 4 ، ... ، 50 بالترتيب.

العدد الأول المكتوب 2 هو عدد أولي. الآن من الرقم 2 ننتقل بالتتابع إلى اليمين برقمين ونشطب هذه الأرقام حتى نصل إلى نهاية جدول الأرقام المترجم. لذلك سيتم شطب جميع الأعداد التي تكون من مضاعفات العدد اثنين.

الرقم الأول غير المشطوب بعد 2 هو 3. هذا الرقم أولي. الآن ، من الرقم 3 ، ننتقل بالتتابع إلى اليمين بثلاثة أرقام (مع مراعاة الأرقام المشطوبة بالفعل) وشطبها. لذلك سيتم شطب جميع الأعداد التي تكون من مضاعفات العدد ثلاثة.

الرقم الأول غير المشطوب بعد 3 هو 5. هذا الرقم أولي. الآن ، من الرقم 5 ، ننتقل بالتتابع إلى اليمين بمقدار 5 أرقام (نأخذ في الاعتبار أيضًا الأرقام التي تم شطبها سابقًا) ونشطبها. لذلك ، يتم شطب جميع الأعداد التي تكون من مضاعفات العدد خمسة.

بعد ذلك ، نقوم بشطب الأعداد التي تكون من مضاعفات 7 ، ثم مضاعفات 11 ، وهكذا. تنتهي العملية في حالة عدم وجود أرقام متبقية لشطبها. يوجد أدناه جدول مكتمل بالأعداد الأولية حتى 50 تم الحصول عليها باستخدام منخل إراتوستينس. جميع الأعداد غير المتقاطعة هي أعداد أولية ، وجميع الأرقام المشطوبة مركبة.

دعنا نصوغ ونثبت نظرية من شأنها تسريع عملية تجميع جدول الأعداد الأولية باستخدام غربال إراتوستينس.

نظرية.

لا يتعدى أقل عدد مركب موجب واحد أ ، حيث يكون من أ.

دليل.

نشير بالحرف ب إلى أصغر قاسم للرقم المركب أ الذي يختلف عن الوحدة (الرقم ب هو عدد أولي ، والذي يتبع النظرية المثبتة في بداية الفقرة السابقة). ثم هناك عدد صحيح q بحيث يكون a = b q (هنا q هو عدد صحيح موجب ، يتبع قواعد ضرب الأعداد الصحيحة) ، و (عندما b> q ، يتم انتهاك الشرط الذي يكون b هو أصغر قاسم على a ، منذ ذلك الحين q هو أيضًا مقسوم عليه بسبب المساواة أ = ف ب). بضرب كلا طرفي المتباينة في موجب وأكبر من واحد صحيح ب (مسموح لنا القيام بذلك) ، نحصل على ومن أين و.

ماذا تعطينا النظرية المثبتة بخصوص غربال إراتوستينس؟

أولاً ، يجب أن يبدأ حذف الأعداد المركبة التي تكون مضاعفات العدد الأولي b برقم يساوي (هذا يتبع من المتباينة). على سبيل المثال ، يجب أن يبدأ شطب الأرقام المكوّنة من مضاعفات الرقمين بالرقم 4 ومضاعفات الثلاثة - بالرقم 9 ومضاعفات الخمسة - بالرقم 25 وهكذا.

ثانيًا ، يمكن اعتبار تجميع جدول الأعداد الأولية حتى الرقم n باستخدام غربال Eratosthenes مكتملاً عندما يتم شطب جميع الأرقام المركبة التي هي مضاعفات أعداد أولية لا تتجاوز. في مثالنا ، n = 50 (لأننا نقوم بجدولة الأعداد الأولية حتى 50) ، وبالتالي يجب أن يستبعد غربال إراتوستينس جميع المضاعفات المركبة للأعداد الأولية 2 و 3 و 5 و 7 التي لا تتجاوز الجذر التربيعي الحسابي لـ 50 . أي أننا لم نعد بحاجة إلى البحث عن الأعداد التي تكون مضاعفات الأعداد الأولية 11 و 13 و 17 و 19 و 23 وما إلى ذلك حتى 47 وشطبها ، حيث سيتم شطبها بالفعل كمضاعفات الأعداد الأولية الأصغر 2 ، 3 و 5 و 7.

هل هذا العدد أولي أم مركب؟

تتطلب بعض المهام معرفة ما إذا كان الرقم المحدد أوليًا أم مركبًا. في الحالة العامة ، هذه المهمة بعيدة كل البعد عن البساطة ، خاصة بالنسبة للأرقام التي يتكون سجلها من عدد كبير من الأحرف. في معظم الحالات ، عليك البحث عن طريقة محددة لحلها. ومع ذلك ، سنحاول توجيه سلسلة الأفكار للحالات البسيطة.

مما لا شك فيه ، يمكن للمرء أن يحاول استخدام معايير القسمة لإثبات أن رقمًا معينًا مركب. إذا أظهرت بعض معايير القابلية للقسمة ، على سبيل المثال ، أن الرقم المعطى قابل للقسمة على عدد صحيح موجب أكبر من واحد ، فإن الرقم الأصلي مركب.

مثال.

برهن على أن الرقم 89898989898989898989 مركب.

حل.

مجموع أرقام هذا الرقم هو 9 8 + 9 9 = 9 17. نظرًا لأن الرقم الذي يساوي 9 17 قابل للقسمة على 9 ، فعندئذٍ من خلال معيار القابلية للقسمة على 9 ، يمكن القول إن الرقم الأصلي قابل للقسمة أيضًا على 9. لذلك ، فهو مركب.

عيب كبير في هذا النهج هو أن معايير القسمة لا تسمح لنا بإثبات بساطة الرقم. لذلك ، عند التحقق من رقم لمعرفة ما إذا كان أوليًا أم مركبًا ، فأنت بحاجة إلى المتابعة بشكل مختلف.

الطريقة الأكثر منطقية هي تعداد جميع القواسم الممكنة لرقم معين. إذا لم يكن أي من القواسم المحتملة مقسومًا حقيقيًا على رقم معين ، فإن هذا الرقم يكون أوليًا ؛ وإلا فإنه مركب. من النظريات المثبتة في الفقرة السابقة ، يترتب على ذلك أنه يجب البحث عن قواسم عدد معين من الأعداد الأولية التي لا تتجاوز. وبالتالي ، يمكن قسمة الرقم المعطى أ على التوالي على الأعداد الأولية (التي يسهل أخذها من جدول الأعداد الأولية) ، في محاولة للعثور على المقسوم على الرقم أ. إذا تم العثور على القاسم ، فإن الرقم أ مركب. إذا كان من بين الأعداد الأولية التي لا تتجاوز ، لا يوجد قاسم على الرقم أ ، فإن الرقم أ هو عدد أولي.

مثال.

رقم 11 723 بسيط أم مركب؟

حل.

لنكتشف العدد الأولي الذي يمكن أن تكون قواسمه على 11 723. لهذا ، نحن نقدر.

من الواضح أن ، منذ 200 2 \ u003d 40000 ، و 11723<40 000 (при необходимости смотрите статью مقارنة الأرقام). وبالتالي ، فإن القواسم الأولية المحتملة لـ 11،723 أقل من 200. هذا بالفعل يبسط مهمتنا إلى حد كبير. إذا لم نكن نعرف هذا ، فسنضطر إلى فرز جميع الأعداد الأولية ليس حتى 200 ، ولكن حتى العدد 11 723.

إذا رغبت في ذلك ، يمكنك تقدير أكثر دقة. منذ 108 2 \ u003d 11664 ، و 109 2 \ u003d 11881 ، ثم 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . وبالتالي ، فإن أيًا من الأعداد الأولية الأقل من 109 يحتمل أن يكون قاسمًا أوليًا للرقم المحدد 11،723.

الآن سنقسم العدد 11723 بالتسلسل إلى أعداد أولية 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 ، 41 ، 43 ، 47 ، 53 ، 59 ، 61 ، 67 ، 71 ، 73 ، 79 ، 83 ، 89 ، 97 ، 101 ، 103 ، 107. إذا كان العدد 11 723 مقسومًا بالكامل على أحد الأعداد الأولية المكتوبة ، فسيكون مركبًا. إذا لم يكن قابلاً للقسمة على أي من الأعداد الأولية المكتوبة ، فإن الرقم الأصلي يكون أوليًا.

لن نصف عملية الانقسام الرتيبة والرتيبة بأكملها. دعنا نقول فقط أن 11 723