Решаване на уравнения с корен квадратен логаритъм. Логаритмични уравнения. От просто към сложно

Всички сме запознати с уравненията начални класове. Там се научихме и да решаваме най-простите примери и трябва да признаем, че те намират своето приложение дори във висшата математика. Всичко е просто с уравненията, включително квадратните уравнения. Ако имате проблеми с тази тема, горещо ви препоръчваме да я прегледате.

Вероятно вече сте преминали и през логаритми. Въпреки това смятаме за важно да кажем какво е това за тези, които все още не знаят. Логаритъмът се равнява на степента, на която трябва да се повдигне основата, за да се получи числото вдясно от знака на логаритъма. Нека дадем пример, въз основа на който всичко ще ви стане ясно.

Ако повдигнете 3 на четвърта степен, получавате 81. Сега заместете числата по аналогия и най-накрая ще разберете как се решават логаритми. Сега остава само да комбинираме двете обсъждани концепции. Първоначално ситуацията изглежда изключително сложна, но при по-внимателно разглеждане тежестта си идва на мястото. Сигурни сме, че след тази кратка статия няма да имате проблеми в тази част от Единния държавен изпит.

Днес има много начини за решаване на такива структури. Ще ви разкажем за най-простите, най-ефективните и най-приложимите в случай на задачи за единен държавен изпит. Решаването на логаритмични уравнения трябва да започне от самото начало. прост пример. Най-простите логаритмични уравнения се състоят от функция и една променлива в нея.

Важно е да се отбележи, че x е вътре в аргумента. A и b трябва да са числа. В този случай можете просто да изразите функцията чрез число на степен. Изглежда така.

Разбира се, решаването на логаритмично уравнение с помощта на този метод ще ви доведе до правилния отговор. Проблемът за по-голямата част от учениците в случая е, че не разбират какво идва откъде. В резултат на това трябва да се примирите с грешки и да не получите желаните точки. Най-обидната грешка ще бъде, ако объркате буквите. За да решите уравнението по този начин, трябва да запомните тази стандартна училищна формула, защото е трудна за разбиране.

За да улесните, можете да прибегнете до друг метод - каноничната форма. Идеята е изключително проста. Насочете вниманието си обратно към проблема. Не забравяйте, че буквата a е число, а не функция или променлива. А не е равно на едно и не е по-голямо от нула. Няма ограничения за b. Сега, от всички формули, нека си спомним една. B може да се изрази по следния начин.

От това следва, че всички оригинални уравнения с логаритми могат да бъдат представени във формата:

Сега можем да изпуснем логаритмите. Ще се получи прост дизайн, което вече видяхме по-рано.

Удобството на тази формула се крие във факта, че може да се използва в голямо разнообразие от случаи, а не само за най-простите дизайни.

Не се притеснявайте за OOF!

Много опитни математици ще забележат, че не сме обърнали внимание на областта на дефиницията. Правилото се свежда до факта, че F(x) непременно е по-голямо от 0. Не, не сме пропуснали тази точка. Сега говорим за друго сериозно предимство на каноничната форма.

Тук няма да има допълнителни корени. Ако една променлива ще се появи само на едно място, тогава обхват не е необходим. Извършва се автоматично. За да потвърдите това решение, опитайте да разрешите няколко прости примера.

Как се решават логаритмични уравнения с различни бази

Това вече са сложни логаритмични уравнения и подходът към решаването им трябва да е специален. Тук рядко е възможно да се ограничим до прословутата канонична форма. Да започнем нашия подробна история. Имаме следната конструкция.

Обърнете внимание на фракцията. Съдържа логаритъма. Ако видите това в задача, струва си да си припомните един интересен трик.

Какво означава? Всеки логаритъм може да бъде представен като частно от два логаритма с удобна основа. И тази формула има специален случай, който е приложим в този пример (имаме предвид, ако c=b).

Точно това е фракцията, която виждаме в нашия пример. Така.

По същество обърнахме дробта и получихме по-удобен израз. Запомнете този алгоритъм!

Сега е необходимо логаритмичното уравнение да не съдържа различни бази. Нека представим основата като дроб.

В математиката има правило, въз основа на което можете да извлечете степен от база. Следните резултати от строителството.

Изглежда какво ни пречи сега да превърнем нашия израз в канонична форма и просто да го разрешим? Не е толкова просто. Не трябва да има дроби преди логаритъма. Нека оправим тази ситуация! Разрешено е дробите да се използват като градуси.

Съотв.

Ако основите са еднакви, можем да премахнем логаритмите и да приравним самите изрази. По този начин ситуацията ще стане много по-проста, отколкото беше. Това, което ще остане, е елементарно уравнение, което всеки от нас е знаел как да реши още в 8-ми или дори 7-ми клас. Можете сами да направите изчисленията.

Получихме единствения правилен корен на това логаритмично уравнение. Примерите за решаване на логаритмично уравнение са доста прости, нали? Сега ще можете сами да се справяте и с най-трудните проблеми. сложни задачиза подготовка и полагане на Единния държавен изпит.

какъв е резултатът

В случай на всякакви логаритмични уравнения, ние започваме от едно много важно правило. Необходимо е да се действа по такъв начин, че да се изведе експресията до максимум прост изглед. В този случай ще имате по-голям шанс не само да решите задачата правилно, но и да я направите по възможно най-простия и логичен начин. Точно така винаги работят математиците.

Силно не ви препоръчваме да търсите трудни пътища, особено в този случай. Спомнете си няколко прости правила, което ще ви позволи да трансформирате всеки израз. Например, редуцирайте два или три логаритма към една и съща основа или извлечете степен от основата и спечелете от това.

Също така си струва да запомните, че решаването на логаритмични уравнения изисква постоянна практика. Постепенно ще преминете към повече и повече сложни структури, и това ще ви доведе до уверено решаване на всички варианти на задачи на Единния държавен изпит. Подгответе се предварително за изпитите си и успех!

Днес ще научим как да решаваме най-простите логаритмични уравнения, където не са необходими предварителни трансформации или избор на корени. Но ако се научите да решавате такива уравнения, тогава ще бъде много по-лесно.

Най-простото логаритмично уравнение е уравнение под формата log a f (x) = b, където a, b са числа (a > 0, a ≠ 1), f (x) е определена функция.

Отличителна черта на всички логаритмични уравнения е наличието на променливата x под знака на логаритъма. Ако това е уравнението, дадено първоначално в задачата, то се нарича най-простото. Всички други логаритмични уравнения се свеждат до най-простите чрез специални трансформации (вижте „Основни свойства на логаритмите“). Трябва обаче да се вземат предвид много тънкости: могат да възникнат допълнителни корени, така че сложните логаритмични уравнения ще бъдат разгледани отделно.

Как се решават такива уравнения? Достатъчно е да замените числото отдясно на знака за равенство с логаритъм в същата основа като отляво. Тогава можете да се отървете от знака на логаритъма. Получаваме:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

Получихме обичайното уравнение. Неговите корени са корените на първоначалното уравнение.

Изваждане на степени

Често логаритмичните уравнения, които външно изглеждат сложни и заплашителни, се решават само в няколко реда, без да включват сложни формули. Днес ще разгледаме точно такива задачи, при които всичко, което се изисква от вас, е внимателно да редуцирате формулата до каноничната форма и да не се обърквате, когато търсите областта на дефиниране на логаритми.

Днес, както вероятно се досещате от заглавието, ще решаваме логаритмични уравнения, използвайки формули за преход към каноничната форма. Основният „трик“ на този видео урок ще бъде работата със степени или по-скоро извеждането на степента от основата и аргумента. Нека да разгледаме правилото:

По същия начин можете да извлечете степента от основата:

Както можем да видим, ако, когато премахваме степента от аргумента логаритъм, просто имаме допълнителен множителотпред, тогава при премахване на степента от основата - не просто множител, а обърнат множител. Това трябва да се помни.

И накрая, най-интересното. Тези формули могат да се комбинират, тогава получаваме:

Разбира се, при извършването на тези преходи има определени клопки, свързани с възможното разширяване на обхвата на дефиницията или, обратно, стесняване на обхвата на дефиницията. Преценете сами:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x

Ако в първия случай x може да бъде всяко число, различно от 0, т.е. изискването x ≠ 0, то във втория случай се задоволяваме само с x, които не само не са равни, но са строго по-големи от 0, тъй като домейнът на дефиницията на логаритъма е аргументът да е строго по-голям от 0. Затова ще ви припомня една чудесна формула от курса по алгебра за 8-9 клас:

Тоест трябва да напишем нашата формула, както следва:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |

Тогава няма да настъпи стесняване на обхвата на дефиницията.

В днешния видео урок обаче няма да има квадрати. Ако погледнете нашите задачи, ще видите само корените. Затова няма да прилагаме това правило, но все пак трябва да го имате предвид, така че в подходящия момент, когато видите квадратична функцияв аргумент или основа на логаритъм, ще запомните това правило и ще извършите всички трансформации правилно.

Така че първото уравнение е:

За да разрешим този проблем, предлагам внимателно да разгледаме всеки от термините, присъстващи във формулата.

Нека пренапишем първия член като степен с рационален показател:

Разглеждаме втория член: log 3 (1 − x). Тук няма нужда да правите нищо, всичко вече е трансформирано тук.

И накрая, 0, 5. Както казах в предишните уроци, когато решавате логаритмични уравнения и формули, силно препоръчвам да преминете от десетични дроби към обикновени. Нека направим това:

0,5 = 5/10 = 1/2

Нека пренапишем нашата оригинална формула, като вземем предвид получените условия:

log 3 (1 − x ) = 1

Сега да преминем към каноничната форма:

log 3 (1 − x ) = log 3 3

Отърваваме се от знака за логаритъм, като приравняваме аргументите:

1 − x = 3

−x = 2

x = −2

Това е, решихме уравнението. Все пак нека да играем на сигурно и да намерим домейна на дефиницията. За да направите това, нека се върнем към оригиналната формула и да видим:

1 − x > 0

−x > −1

х< 1

Нашият корен x = −2 удовлетворява това изискване, следователно x = −2 е решение на първоначалното уравнение. Сега получихме строга, ясна обосновка. Това е, проблемът е решен.

Да преминем към втората задача:

Нека разгледаме всеки термин поотделно.

Нека напишем първото:

Преобразувахме първия член. Работим с втори термин:

И накрая, последният член, който е вдясно от знака за равенство:

Заместваме получените изрази вместо термините в получената формула:

log 3 x = 1

Да преминем към каноничната форма:

log 3 x = log 3 3

Отърваваме се от знака за логаритъм, приравнявайки аргументите, и получаваме:

х = 3

Отново, само за по-сигурно, нека се върнем към първоначалното уравнение и да погледнем. В оригиналната формула променливата x присъства само в аргумента, следователно,

x > 0

Във втория логаритъм x е под корена, но отново в аргумента, следователно коренът трябва да е по-голям от 0, т.е. радикалният израз трябва да е по-голям от 0. Гледаме нашия корен x = 3. Очевидно е, че удовлетворява това изискване. Следователно x = 3 е решение на първоначалното логаритмично уравнение. Това е, проблемът е решен.

Има две ключови точки в днешния видео урок:

1) не се страхувайте да преобразувате логаритми и по-специално не се страхувайте да изваждате степени от знака на логаритъма, като същевременно помните нашата основна формула: когато премахвате степен от аргумент, тя просто се изважда без промени като множител, а при премахване на степен от основата тази степен се обръща.

2) втората точка е свързана със самата канонична форма. Направихме прехода към каноничната форма в самия край на преобразуването на формулата на логаритмичното уравнение. Нека ви напомня следната формула:

a = log b b a

Разбира се, под израза „всяко число b“ имам предвид тези числа, които отговарят на изискванията, наложени на основата на логаритъма, т.е.

1 ≠ b > 0

За такова b и тъй като вече знаем основата, това изискване ще бъде изпълнено автоматично. Но за такова b - всяко, което удовлетворява това изискване - този преход може да бъде извършен и ще получим канонична форма, в която можем да се отървем от знака на логаритъма.

Разширяване на домейна на дефиниция и допълнителни корени

В процеса на трансформиране на логаритмични уравнения може да възникне имплицитно разширяване на областта на дефиниция. Често учениците дори не забелязват това, което води до грешки и неправилни отговори.

Нека започнем с най-простите дизайни. Най-простото логаритмично уравнение е следното:

log a f (x) = b

Обърнете внимание, че x присъства само в един аргумент от един логаритъм. Как решаваме такива уравнения? Използваме каноничната форма. За да направите това, представете си числото b = log a a b и нашето уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

log a f (x) = log a a b

Този запис се нарича канонична форма. Именно до това трябва да сведете всяко логаритмично уравнение, което ще срещнете не само в днешния урок, но и във всяка самостоятелна и контролна работа.

Как да стигнем до каноничната форма и какви техники да използваме е въпрос на практика. Основното нещо, което трябва да разберете, е, че веднага щом получите такъв запис, можете да считате проблема за разрешен. Защото следващата стъпка е да напишете:

f (x) = a b

С други думи, ние се отърваваме от знака за логаритъм и просто приравняваме аргументите.

Защо всички тези приказки? Факт е, че каноничната форма е приложима не само към най-простите проблеми, но и към всякакви други. По-специално тези, които ще решим днес. да видим

Първа задача:

Какъв е проблемът с това уравнение? Факт е, че функцията е в два логаритма наведнъж. Проблемът може да бъде сведен до най-простия си вид, като просто извадите един логаритъм от друг. Но възникват проблеми с областта на дефиницията: могат да се появят допълнителни корени. Нека просто преместим един от логаритмите надясно:

Този запис е много по-подобен на каноничната форма. Но има още един нюанс: в каноничната форма аргументите трябва да са еднакви. И отляво имаме логаритъма при основа 3, а отдясно при основа 1/3. Той знае, че тези бази трябва да бъдат доведени до една и съща бройка. Например, нека си спомним какви са отрицателните сили:

И тогава ще използваме експонентата „−1“ извън дневника като множител:

Моля, обърнете внимание: степента, която е била в основата, се обръща и се превръща в дроб. Получихме почти канонична нотация, като се отървахме от различни бази, но в замяна получихме фактора „−1“ отдясно. Нека включим този фактор в аргумента, като го превърнем в степен:

Разбира се, след като получихме каноничната форма, ние смело зачеркваме знака на логаритъма и приравняваме аргументите. В същото време нека ви напомня, че когато се повдигне на степен „−1“, фракцията просто се обръща - получава се пропорция.

Нека използваме основното свойство на пропорцията и го умножим на кръст:

(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

x 2 − 10x + 16 = 0

Това, което имаме пред нас е квадратно уравнение, така че го решаваме с помощта на формулите на Vieta:

(x − 8)(x − 2) = 0

x 1 = 8; х 2 = 2

Това е. Мислите ли, че уравнението е решено? не! За такова решение ще получим 0 точки, тъй като оригиналното уравнение съдържа два логаритма с променливата x. Следователно е необходимо да се вземе предвид областта на дефиницията.

И тук започва забавлението. Повечето ученици са объркани: каква е областта на дефиниране на логаритъм? Разбира се, всички аргументи (имаме два) трябва да са по-големи от нула:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Всяко от тези неравенства трябва да се реши, да се маркира на права линия, да се пресече и едва тогава да се види кои корени лежат в пресечката.

Ще бъда честен: тази техника има право на съществуване, надеждна е и ще получите правилния отговор, но в нея има твърде много ненужни стъпки. Така че нека да преминем през нашето решение отново и да видим: къде точно трябва да приложим обхвата? С други думи, трябва ясно да разберете кога точно се появяват допълнителни корени.

1. Първоначално имахме два логаритма. След това преместихме един от тях надясно, но това не повлия на дефиниционната зона.
2. След това премахваме степента от основата, но все още има два логаритъма и във всеки от тях има променлива x.
3. Накрая задраскваме знаците на log и получаваме класическото дробно-рационално уравнение.

На последната стъпка обхватът на дефиницията се разширява! Веднага щом преминахме към дробно-рационално уравнение, отървавайки се от логаритмичните знаци, изискванията за променливата x се промениха драматично!

Следователно областта на дефиницията може да се разглежда не в самото начало на решението, а само на споменатата стъпка - преди директно приравняване на аргументите.

Тук се крие възможността за оптимизация. От една страна, от нас се изисква и двата аргумента да са по-големи от нула. От друга страна, ние допълнително приравняваме тези аргументи. Следователно, ако поне един от тях е положителен, то вторият също ще бъде положителен!

Така се оказва, че изискването две неравенства да бъдат изпълнени едновременно е пресилено. Достатъчно е да разгледаме само една от тези дроби. Коя точно? Този, който е по-прост. Например, нека разгледаме дясната дроб:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Това е типично дробно рационално неравенство, като се използва методът на интервалите:

Как да поставите табели? Нека вземем число, което очевидно е по-голямо от всички наши корени. Например, 1 милиард и заместваме неговата част. Получаваме положително число, т.е. вдясно от корена x = 5 ще има знак плюс.

След това знаците се редуват, защото никъде няма корени с четна кратност. Интересуваме се от интервали, където функцията е положителна. Следователно x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Сега нека си припомним отговорите: x = 8 и x = 2. Строго погледнато, това все още не са отговори, а само кандидати за отговор. Кое от тях принадлежи на посочения набор? Разбира се, x = 8. Но x = 2 не ни подхожда по отношение на своята област на дефиниране.

Като цяло отговорът на първото логаритмично уравнение ще бъде x = 8. Сега имаме компетентно, добре обосновано решение, като се вземе предвид домейнът на дефиницията.

Да преминем към второто уравнение:

log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3

Нека ви напомня, че ако има десетична дроб в уравнението, тогава трябва да се отървете от нея. С други думи, нека пренапишем 0,5 като обикновена дроб. Веднага забелязваме, че логаритъма, съдържащ тази основа, се изчислява лесно:

Това е много важен момент! Когато имаме степени както в основата, така и в аргумента, можем да извлечем индикаторите на тези степени, като използваме формулата:

Нека се върнем към нашето първоначално логаритмично уравнение и го пренапишем:

log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)

Получихме дизайн, доста близък до каноничната форма. Ние обаче сме объркани от термините и знака минус вдясно от знака за равенство. Нека представим едно като логаритъм при основа 5:

log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)

Извадете логаритмите отдясно (в този случай техните аргументи са разделени):

log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)

Прекрасно. Така че получихме каноничната форма! Зачеркваме знаците на дневника и приравняваме аргументите:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

Това е пропорция, която може лесно да се реши чрез умножение на кръст:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 − 9x − 5x + 45 = 5

x 2 − 14x + 40 = 0

Очевидно имаме редуцирано квадратно уравнение. Може лесно да се реши с помощта на формулите на Vieta:

(x − 10)(x − 4) = 0

х 1 = 10

х 2 = 4

Имаме два корена. Но това не са окончателни отговори, а само кандидати, тъй като логаритмичното уравнение също изисква проверка на домейна на дефиниция.

Напомням ви: няма нужда да търсите кога всекиот аргументите ще бъде по-голямо от нула. Достатъчно е да се изисква един аргумент - или x − 9 или 5/(x − 5) - да е по-голям от нула. Помислете за първия аргумент:

x − 9 > 0

х > 9

Очевидно само x = 10 удовлетворява това изискване. Това е окончателният отговор. Целият проблем е решен.

Още веднъж ключовите мисли на днешния урок:

1. Веднага щом променливата x се появи в няколко логаритма, уравнението престава да бъде елементарно и неговата област на дефиниция трябва да бъде изчислена. В противен случай можете лесно да напишете допълнителни корени в отговора.
2. Работата със самия домейн може значително да се опрости, ако изпишем неравенството не веднага, а точно в момента, в който се отървем от знаците на журнала. В крайна сметка, когато аргументите се приравняват помежду си, достатъчно е да се изисква само един от тях да е по-голям от нула.

Разбира се, ние сами избираме с кой аргумент да образуваме неравенство, така че е логично да изберем най-простия. Например, във второто уравнение избрахме аргумента (x − 9), линейна функция, за разлика от дробния рационален втори аргумент. Съгласете се, решаването на неравенството x − 9 > 0 е много по-лесно от 5/(x − 5) > 0. Въпреки че резултатът е същият.

Тази забележка значително опростява търсенето на ODZ, но внимавайте: можете да използвате едно неравенство вместо две само ако аргументите са точно са равни помежду си!

Разбира се, сега някой ще попита: какво се случва по различен начин? Да, случва се. Например, в самата стъпка, когато умножаваме два аргумента, съдържащи променлива, има опасност да се появят ненужни корени.

Преценете сами: първо се изисква всеки от аргументите да е по-голям от нула, но след умножението е достатъчно произведението им да е по-голямо от нула. В резултат на това се пропуска случаят, когато всяка от тези дроби е отрицателна.

Ето защо, ако тепърва започвате да разбирате сложни логаритмични уравнения, при никакви обстоятелства не умножавайте логаритми, съдържащи променливата x - това твърде често ще доведе до появата на ненужни корени. По-добре е да направите една допълнителна стъпка, да преместите един термин от другата страна и да създадете канонична форма.

Е, какво да направите, ако не можете да умножите такива логаритми, ще обсъдим в следващия видео урок :)

Още веднъж за степените в уравнението

Днес ще разгледаме една доста хлъзгава тема относно логаритмичните уравнения или по-точно премахването на степените от аргументите и основите на логаритмите.

Дори бих казал ще говоримотносно премахването на четните степени, защото именно с четните степени възникват повечето трудности при решаването на реални логаритмични уравнения.

Да започнем с каноничната форма. Да кажем, че имаме уравнение от формата log a f (x) = b. В този случай пренаписваме числото b, използвайки формулата b = log a a b . Оказва се следното:

log a f (x) = log a a b

След това приравняваме аргументите:

f (x) = a b

Предпоследната формула се нарича канонична форма. Именно до това се опитват да сведат всяко логаритмично уравнение, колкото и сложно и страшно да изглежда на пръв поглед.

Така че нека опитаме. Да започнем с първата задача:

Предварителна бележка: както казах, всичко десетични знацив логаритмично уравнение е по-добре да го преобразувате в обикновени:

0,5 = 5/10 = 1/2

Нека пренапишем нашето уравнение, като вземем предвид този факт. Обърнете внимание, че както 1/1000, така и 100 са степени на десет, а след това нека извадим степени, където и да са: от аргументи и дори от основата на логаритмите:

И тук много студенти имат въпрос: „Откъде идва модулът вдясно?“ Наистина, защо просто не напишем (x − 1)? Разбира се, сега ще напишем (x − 1), но вземането под внимание на домейна на дефиницията ни дава право да напишем това. В крайна сметка друг логаритъм вече съдържа (x − 1) и този израз трябва да е по-голям от нула.

Но когато премахнем квадрата от основата на логаритъма, трябва да оставим точно модула в основата. Нека обясня защо.

Факт е, че от математическа гледна точка вземането на степен е равносилно на вземане на корен. По-специално, когато повдигаме на квадрат израза (x − 1) 2, ние по същество вземаме втория корен. Но квадратният корен не е нищо повече от модул. точно така модул, защото дори ако изразът x − 1 е отрицателен, когато се повдигне на квадрат, „минусът“ пак ще изгори. По-нататъшното извличане на корена ще ни даде положително число - без никакви минуси.

Като цяло, за да избегнете обидни грешки, запомнете веднъж завинаги:

Коренът на четната степен на всяка функция, която е повдигната на същата степен, е равен не на самата функция, а на нейния модул:

Нека се върнем към нашето логаритмично уравнение. Говорейки за модула, твърдя, че можем да го премахнем безболезнено. Това е вярно. Сега ще обясня защо. Строго погледнато, трябваше да разгледаме две възможности:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
2. x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Всяка от тези опции трябва да бъде разгледана. Но има една уловка: оригиналната формула вече съдържа функцията (x − 1) без никакъв модул. И следвайки областта на дефиниране на логаритмите, имаме право веднага да напишем, че x − 1 > 0.

Това изискване трябва да бъде изпълнено независимо от всички модули и други трансформации, които извършваме в процеса на решение. Следователно няма смисъл да се обмисля вторият вариант - той никога няма да възникне. Дори да получим някои числа при решаването на този клон на неравенството, те пак няма да бъдат включени в крайния отговор.

Сега сме буквално на една крачка от каноничната форма на логаритмичното уравнение. Нека представим единицата по следния начин:

1 = log x − 1 (x − 1) 1

Освен това въвеждаме фактора −4, който е отдясно, в аргумента:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

Пред нас е каноничната форма на логаритмичното уравнение. Отърваваме се от знака за логаритъм:

10 −4 = x − 1

Но тъй като основата беше функция (а не просто число), ние допълнително изискваме тази функция да е по-голяма от нула, а не равна на единица. Получената система ще бъде:

Тъй като изискването x − 1 > 0 се изпълнява автоматично (все пак x − 1 = 10 −4), едно от неравенствата може да бъде изтрито от нашата система. Второто условие също може да бъде зачеркнато, защото x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

х = 1 + 0,0001 = 1,0001

Това е единственият корен, който автоматично удовлетворява всички изисквания на областта на дефиниране на логаритъма (въпреки това всички изисквания бяха елиминирани като очевидно изпълнени в условията на нашата задача).

И така, второто уравнение:

3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2

Как това уравнение е фундаментално различно от предишното? Макар и само защото основите на логаритмите - 3x и 9x - не са естествени степени една на друга. Следователно преходът, който използвахме в предишното решение, не е възможен.

Да махнем поне градусите. В нашия случай единствената степен е във втория аргумент:

3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |

Знакът за модул обаче може да бъде премахнат, тъй като променливата x също е в основата, т.е. x > 0 ⇒ |x| = х. Нека пренапишем нашето логаритмично уравнение:

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Получихме логаритми, в които аргументите са еднакви, но различни причини. Какво да правя след това? Тук има много опции, но ние ще разгледаме само две от тях, които са най-логичните и най-важното е, че това са бързи и разбираеми техники за повечето ученици.

Вече разгледахме първия вариант: във всяка неясна ситуация преобразувайте логаритми с променлива основа в някаква постоянна основа. Например до двойка. Формулата за преход е проста:

Разбира се, ролята на променлива c трябва да бъде нормално число: 1 ≠ c > 0. Нека в нашия случай c = 2. Сега имаме пред нас обикновено дробно рационално уравнение. Събираме всички елементи отляво:

Очевидно е по-добре да премахнете коефициента log 2 x, тъй като той присъства както в първата, така и във втората фракция.

log 2 x = 0;

3 log 2 9x = 4 log 2 3x

Разделяме всеки дневник на два термина:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

log 2 3x = log 2 3 + log 2 x

Нека пренапишем двете страни на равенството, като вземем предвид тези факти:

3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )

6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x

2 log 2 3 = log 2 x

Сега всичко, което остава, е да въведете две под знака на логаритъма (ще се превърне в степен: 3 2 = 9):

log 2 9 = log 2 x

Пред нас е класическата канонична форма, отърваваме се от знака за логаритъм и получаваме:

Както се очакваше, този корен се оказа по-голям от нула. Остава да проверим домейна на дефиницията. Нека да разгледаме причините:

Но коренът x = 9 удовлетворява тези изисквания. Следователно това е окончателното решение.

Заключение от това решениепросто: не се плашете от дългите оформления! Просто в самото начало избрахме нова база на случаен принцип - и това значително усложни процеса.

Но тогава възниква въпросът: каква е основата оптимален? Ще говоря за това във втория метод.

Нека се върнем към нашето първоначално уравнение:

3 log 3x x = 2 log 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = х

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Сега нека помислим малко: кое число или функция би била оптималната основа? Очевидно е, че най-добрият вариантще има c = x - това, което вече е в аргументите. В този случай формулата log a b = log c b /log c a ще приеме формата:

С други думи, изразът е просто обърнат. В този случай аргументът и основата сменят местата си.

Тази формула е много полезна и много често се използва при решаване на сложни логаритмични уравнения. Има обаче един много сериозен капан при използването на тази формула. Ако заместим променливата x вместо основата, тогава върху нея се налагат ограничения, които не са били спазвани преди това:

Нямаше такова ограничение в първоначалното уравнение. Следователно трябва да проверим отделно случая, когато x = 1. Заместете тази стойност в нашето уравнение:

3 log 3 1 = 4 log 9 1

Получаваме правилното числово равенство. Следователно x = 1 е корен. Намерихме точно същия корен в предишния метод в самото начало на решението.

Но сега, след като разгледахме отделно този конкретен случай, ние безопасно приемаме, че x ≠ 1. Тогава нашето логаритмично уравнение ще бъде пренаписано в следната форма:

3 log x 9x = 4 log x 3x

Ние разширяваме двата логаритма, като използваме същата формула, както преди. Обърнете внимание, че log x x = 1:

3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )

3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4

3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3

2 log x 3 = 1

Така стигнахме до каноничната форма:

log x 9 = log x x 1

х=9

Получихме втория корен. Той удовлетворява изискването x ≠ 1. Следователно x = 9 заедно с x = 1 е крайният отговор.

Както можете да видите, обемът на изчисленията леко е намалял. Но когато решавате истинско логаритмично уравнение, броят на стъпките ще бъде много по-малък, защото не се изисква да описвате всяка стъпка толкова подробно.

Основното правило на днешния урок е следното: ако задачата съдържа четна степен, от която се извлича корен от същата степен, тогава изходът ще бъде модул. Този модул обаче може да бъде премахнат, ако обърнете внимание на областта на дефиниране на логаритми.

Но внимавайте: след този урок повечето ученици смятат, че разбират всичко. Но когато решават реални проблеми, те не могат да възпроизведат цялата логическа верига. В резултат на това уравнението придобива ненужни корени и отговорът се оказва неправилен.

Подготовката за финален контрол по математика включва важен раздел- „Логаритми“. Задачите от тази тема задължително се съдържат в Единния държавен изпит. Опитът от минали години показва, че логаритмичните уравнения създават трудности за много ученици. Следователно учениците с различни нива на обучение трябва да разберат как да намерят правилния отговор и бързо да се справят с тях.

Преминете успешно сертификационния тест с помощта на образователния портал Школково!

Когато се подготвят за единния държавен изпит, зрелостниците се нуждаят от надежден източник, който предоставя най-пълната и точна информация за успешно решение тестови проблеми. Учебникът обаче не винаги е под ръка, а търсенето на необходимите правила и формули в интернет често отнема време.

Образователният портал на Школково ви позволява да се подготвите за Единния държавен изпит навсякъде и по всяко време. Нашият уебсайт предлага най-удобния подход за повтаряне и усвояване на голямо количество информация за логаритми, както и с едно и няколко неизвестни. Започнете с лесни уравнения. Ако се справите с тях без затруднения, преминете към по-сложни. Ако имате проблеми с решаването на определено неравенство, можете да го добавите към любимите си, за да можете да се върнете към него по-късно.

Намерете необходимите формулиЗа да завършите задачата, можете да повторите специални случаи и методи за изчисляване на корена на стандартно логаритмично уравнение, като разгледате раздела „Теоретична помощ“. Учителите в Школково събраха, систематизираха и представиха всички материали, необходими за успешното преминаване в най-простата и разбираема форма.

За да се справите лесно със задачи с всякаква сложност, на нашия портал можете да се запознаете с решението на някои стандартни логаритмични уравнения. За да направите това, отидете в секцията „Каталози“. Ние представяме голям бройпримери, включително уравнения на профилното ниво на Единния държавен изпит по математика.

Ученици от училища в цяла Русия могат да използват нашия портал. За да започнете занятия, просто се регистрирайте в системата и започнете да решавате уравнения. За да консолидирате резултатите, ви съветваме да се връщате ежедневно на уебсайта на Школково.

Логаритмични уравнения. Продължаваме да разглеждаме задачи от Част Б на Единния държавен изпит по математика. Вече разгледахме решенията на някои уравнения в статиите "", "". В тази статия ще разгледаме логаритмични уравнения. Веднага ще кажа, че няма да има сложни трансформации при решаването на такива уравнения на Единния държавен изпит. Те са прости.

Достатъчно е да знаете и разбирате основното логаритмично тъждество, да знаете свойствата на логаритъма. Моля, обърнете внимание, че след като го решите, ТРЯБВА да направите проверка - заменете получената стойност в оригиналното уравнение и изчислете, в крайна сметка трябва да получите правилното равенство.

Определение:

Логаритъмът на число при основа b е показателят,до което b трябва да се повдигне, за да се получи a.

Например:

Log 3 9 = 2, тъй като 3 2 = 9

Свойства на логаритмите:

Специални случаи на логаритми:

Да решаваме проблеми. В първия пример ще направим проверка. Направете сами последващата проверка.

Намерете корена на уравнението: log 3 (4–x) = 4

Тъй като log b a = x b x = a, тогава

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

преглед:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Правилно.

Отговор: – 77

Решете сами:

Намерете корена на уравнението: log 2 (4 – x) = 7

Намерете корена на уравнението log 5(4 + x) = 2

Използваме основното логаритмично тъждество.

Тъй като log a b = x b x = a, тогава

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

х = 21

преглед:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Правилно.

Отговор: 21

Намерете корена на уравнението log 3 (14 – x) = log 3 5.

Следното свойство има място, значението му е следното: ако от лявата и дясната страна на уравнението имаме логаритми с една и съща основа, тогава можем да приравним изразите под знаците на логаритмите.

14 – x = 5

х=9

Направете проверка.

Отговор: 9

Решете сами:

Намерете корена на уравнението log 5 (5 – x) = log 5 3.

Намерете корена на уравнението: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Ако log c a = log c b, тогава a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

х = 6

Направете проверка.

Отговор: 6

Намерете корена на уравнението log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Направете проверка.

Малко допълнение - имотът се ползва тук

градуса ().

Отговор: – 51

Решете сами:

Намерете корена на уравнението: log 1/7 (7 – x) = – 2

Намерете корена на уравнението log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Нека трансформираме дясната страна. Да използваме свойството:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Ако log c a = log c b, тогава a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Направете проверка.

Отговор: – 21

Решете сами:

Намерете корена на уравнението: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Решете уравнението log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Ако log c a = log c b, тогава a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

х = 2,75

Направете проверка.

Отговор: 2,75

Решете сами:

Намерете корена на уравнението log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Решете уравнението log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Задължително с дясната странауравненията получават израз във формата:

дневник 2 (......)

Представяме 1 като логаритъм с основа 2:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Получаваме:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Ако log c a = log c b, тогава a = b, тогава

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

х = 0,4

Направете проверка.

Отговор: 0,4

Решете сами: След това трябва да решите квадратното уравнение. Между другото

корените са 6 и – 4.

Корен "-4" не е решение, тъй като основата на логаритъма трябва да е по-голяма от нула и с "– 4" е равно на " – 5". Решението е корен 6.Направете проверка.

Отговор: 6.

Р яж сам:

Решете уравнението log x –5 49 = 2. Ако уравнението има повече от един корен, отговорете с по-малкия.

Както видяхте, няма сложни трансформации с логаритмични уравненияне Достатъчно е да знаете свойствата на логаритъма и да можете да ги прилагате. В задачите на единния държавен изпит, свързани с трансформацията логаритмични изрази, извършват се по-сериозни трансформации и са необходими по-задълбочени умения за решаване. Ще разгледаме такива примери, не ги пропускайте!Успех и на теб!!!

С уважение, Александър Крутицких.

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.

Примери:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Как се решават логаритмични уравнения:

Когато решавате логаритмично уравнение, трябва да се стремите да го трансформирате във формата \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\ и след това да направите преход към \(f(x )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Пример:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Решение: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) преглед:\(10>2\) - подходящ за DL отговор:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Много важно!Този преход може да се извърши само ако:

Вие сте написали за първоначалното уравнение и накрая ще проверите дали намерените са включени в DL. Ако това не бъде направено, може да се появят допълнителни корени, което означава грешно решение.

Числото (или изразът) отляво и отдясно е едно и също;

Логаритмите отляво и отдясно са „чисти“, тоест не трябва да има умножения, деления и т.н. – само единични логаритми от двете страни на знака за равенство.

Например:

Обърнете внимание, че уравнения 3 и 4 могат лесно да бъдат решени чрез прилагане на необходимите свойства на логаритмите.

Пример . Решете уравнението \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Решение :

		Нека запишем ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Отляво пред логаритъма е коефициентът, отдясно е сумата от логаритмите. Това ни притеснява. Нека преместим двете в степента \(x\) според свойството: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Нека представим сумата от логаритми като един логаритъм според свойството: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Редуцирахме уравнението до формата \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) и записахме ODZ, което означава, че можем да преминем към формата \(f(x) =g(x)\ ).
		Подейства. Решаваме го и получаваме корените.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Проверяваме дали корените са подходящи за ODZ. За да направим това, в \(x>0\) вместо \(x\) заместваме \(5\) и \(-5\). Тази операция може да се извърши орално.
\(5>0\), \(-5>0\)		Първото неравенство е вярно, второто не. Това означава, че \(5\) е коренът на уравнението, но \(-5\) не е. Записваме отговора.

отговор : \(5\)

Пример : Решете уравнението \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Решение :

		Нека запишем ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Типично уравнение, решено с помощта на . Заменете \(\log_2⁡x\) с \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Получихме обичайната. Търсим корените му.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Извършване на обратна замяна
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Преобразуваме десните части, представяйки ги като логаритми: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) и \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Сега нашите уравнения са \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) и можем да преминем към \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Проверяваме съответствието на корените на ODZ. За да направите това, заместете \(4\) и \(2\) в неравенството \(x>0\) вместо \(x\).
\(4>0\) \(2>0\)		И двете неравенства са верни. Това означава, че както \(4\), така и \(2\) са корени на уравнението.

отговор : \(4\); \(2\).