فوضى غامضة: تاريخ الفركتلات وتطبيقاتها. مقدمة إلى فركتلات

في كثير من الأحيان، يمكن للاكتشافات الرائعة التي يتم إجراؤها في العلوم أن تغير حياتنا بشكل جذري. لذلك، على سبيل المثال، اختراع لقاح يمكن أن ينقذ الكثير من الناس، وإنشاء سلاح جديد يؤدي إلى القتل. بالأمس حرفياً (على مقياس التاريخ) قام الإنسان "بترويض" الكهرباء، واليوم لم يعد يستطيع أن يتخيل حياته بدونها. ومع ذلك، هناك أيضا مثل هذه الاكتشافات التي، كما يقولون، تبقى في الظل، وعلى الرغم من حقيقة أن لديهم أيضا بعض التأثير على حياتنا. أحد هذه الاكتشافات كان الفراكتل. معظم الناس لم يسمعوا حتى عن مثل هذا المفهوم ولن يتمكنوا من شرح معناه. في هذه المقالة، سنحاول التعامل مع مسألة ما هو الفراكتل، والنظر في معنى هذا المصطلح من وجهة نظر العلم والطبيعة.

النظام في الفوضى

من أجل فهم ما هو الكسورية، ينبغي للمرء أن يبدأ استخلاص المعلومات من موقف الرياضيات، ولكن قبل الخوض في ذلك، نحن نتفلسف قليلا. كل شخص لديه فضول طبيعي، بفضله يتعلم العالم. في كثير من الأحيان، في رغبته في المعرفة، يحاول العمل بالمنطق في أحكامه. لذلك، من خلال تحليل العمليات التي تحدث حولها، يحاول حساب العلاقات واستخلاص أنماط معينة. إن أكبر العقول على هذا الكوكب مشغولة بحل هذه المشاكل. بشكل تقريبي، يبحث علماؤنا عن أنماط لا توجد فيها، ولا ينبغي أن تكون كذلك. ومع ذلك، حتى في حالة الفوضى هناك علاقة بين أحداث معينة. هذا الاتصال هو كسورية. على سبيل المثال، فكر في فرع مكسور ملقى على الطريق. وإذا نظرنا إليها عن كثب، سنرى أنها بكل فروعها وعقدها تشبه الشجرة. يشهد هذا التشابه بين جزء منفصل وكل واحد على ما يسمى بمبدأ التشابه الذاتي العودي. يمكن العثور على الفركتلات في الطبيعة طوال الوقت، لأن العديد من الأشكال العضوية وغير العضوية تتشكل بطريقة مماثلة. هذه هي الغيوم، وقذائف البحر، وقذائف الحلزون، وتيجان الأشجار، وحتى نظام الدورة الدموية. هذه القائمة يمكن أن تستمر إلى أجل غير مسمى. يتم وصف كل هذه الأشكال العشوائية بسهولة بواسطة الخوارزمية الكسورية. هنا نأتي إلى النظر في ماهية الفراكتل من وجهة نظر العلوم الدقيقة.

بعض الحقائق الجافة

تتم ترجمة كلمة "كسورية" من اللاتينية بأنها "جزئية"، "مقسمة"، "مجزأة"، أما بالنسبة لمحتوى هذا المصطلح، فإن الصياغة على هذا النحو غير موجودة. وعادة ما يتم التعامل معها على أنها مجموعة متشابهة بذاتها، أي جزء من الكل، والذي يتكرر من خلال بنيتها على المستوى الجزئي. وقد تمت صياغة هذا المصطلح في سبعينيات القرن العشرين على يد بينوا ماندلبرو، المعترف به باعتباره الأب. واليوم، يعني مفهوم الفراكتل تمثيلاً بيانيًا لبنية معينة، والتي، عند تكبيرها، ستكون مشابهة لنفسها. ومع ذلك، تم وضع الأساس الرياضي لإنشاء هذه النظرية حتى قبل ولادة ماندلبروت نفسه، لكنها لم تتمكن من التطور حتى ظهور أجهزة الكمبيوتر الإلكترونية.

مرجع تاريخي، أو كيف بدأ كل شيء

في مطلع القرنين التاسع عشر والعشرين، كانت دراسة طبيعة الفركتلات عرضية. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن علماء الرياضيات يفضلون دراسة الأشياء التي يمكن دراستها على أساس النظريات والأساليب العامة. في عام 1872، قام عالم الرياضيات الألماني K. Weierstrass بإنشاء مثال وظيفة مستمرة، لا يمكن تمييزه في أي مكان. ومع ذلك، تبين أن هذا البناء مجردة تماما ويصعب فهمه. ثم جاء بعد ذلك السويدي هيلج فون كوخ، الذي قام في عام 1904 ببناء منحنى مستمر ليس له مماس في أي مكان. من السهل جدًا الرسم، وكما اتضح فيما بعد، فهو يتميز بخصائص كسورية. تم تسمية أحد المتغيرات لهذا المنحنى على اسم مؤلفه - "ندفة الثلج كوخ". علاوة على ذلك، تم تطوير فكرة التشابه الذاتي بين الشخصيات من قبل معلم المستقبل ب. ماندلبرو، الفرنسي بول ليفي. في عام 1938 نشر بحثًا بعنوان "المنحنيات والسطوح المستوية والمكانية التي تتكون من أجزاء مثل الكل". وفيه وصف النوع الجديد- ليفي C- منحنى. تشير جميع الأشكال المذكورة أعلاه بشكل مشروط إلى شكل من الأشكال كفركتلات هندسية.

فركتلات ديناميكية أو جبرية

ل هذه الفئةيشير إلى مجموعة ماندلبروت. أصبح علماء الرياضيات الفرنسيون بيير فاتو وجاستون جوليا أول الباحثين في هذا الاتجاه. في عام 1918 نشرت جوليا بحثًا يعتمد على دراسة تكرارات الوظائف المعقدة العقلانية. هنا وصف عائلة من الفركتلات التي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمجموعة ماندلبروت. بغض النظر عن حقيقة أن هذا العملتمجد المؤلف بين علماء الرياضيات، وسرعان ما تم نسيانها. وبعد نصف قرن فقط، وبفضل أجهزة الكمبيوتر، تلقى عمل جوليا حياة ثانية. أتاحت أجهزة الكمبيوتر أن تجعل من الممكن رؤية جمال وثراء عالم الفركتلات لكل شخص والذي يمكن لعلماء الرياضيات "رؤيته" من خلال عرضه من خلال الوظائف. كان ماندلبروت أول من استخدم الكمبيوتر لإجراء العمليات الحسابية (يستحيل إجراء مثل هذا الحجم يدويًا) مما جعل من الممكن بناء صورة لهذه الأرقام.

رجل ذو خيال مكاني

بدأ ماندلبروت مسيرته العلمية في مركز أبحاث آي بي إم. دراسة إمكانيات نقل البيانات عبر مسافات طويلة، واجه العلماء حقيقة الخسائر الكبيرة التي نشأت بسبب تدخل الضوضاء. كان بينوا يبحث عن طرق لحل هذه المشكلة. وبالنظر إلى نتائج القياس، لفت الانتباه إلى نمط غريب، وهو أن الرسوم البيانية للضوضاء تبدو متشابهة على نطاقات زمنية مختلفة.

وقد لوحظت صورة مماثلة لمدة يوم واحد ولمدة سبعة أيام أو لمدة ساعة. كثيرا ما كرر بينوا ماندلبروت نفسه أنه لا يعمل مع الصيغ، ولكنه يلعب بالصور. وتميز هذا العالم بالتفكير التخيلي، حيث قام بترجمة أي مسألة جبرية إلى مساحة هندسية، حيث تكون الإجابة الصحيحة واضحة. لذلك ليس من المستغرب أن يتميز بالثراء وأصبح أبو الهندسة الكسورية. وفي نهاية المطاف، فإن الوعي بهذا الشكل لا يمكن أن يأتي إلا عندما تدرس الرسومات وتفكر في معنى هذه الدوامات الغريبة التي تشكل النمط. لا تحتوي الرسومات الكسورية على عناصر متطابقة، ولكنها متشابهة بأي مقياس.

جوليا - ماندلبروت

كانت إحدى الرسومات الأولى لهذا الشكل عبارة عن تفسير رسومي للمجموعة، والذي ولد بفضل عمل جاستون جوليا وتم الانتهاء منه بواسطة ماندلبروت. حاول غاستون أن يتخيل كيف تبدو المجموعة، المبنية على أساس صيغة بسيطة، يتم تكرارها بواسطة حلقة تعليق. دعونا نحاول شرح ما قيل باللغة البشرية، إذا جاز التعبير، على الأصابع. بالنسبة لقيمة عددية محددة، باستخدام الصيغة، نجد قيمة جديدة. نعوض بها في الصيغة ونجد ما يلي. والنتيجة هي واحدة كبيرة، لتمثيل مثل هذه المجموعة، تحتاج إلى القيام بهذه العملية عدد كبير من المرات: مئات وآلاف وملايين. وهذا ما فعله بينوا. قام بمعالجة التسلسل ونقل النتائج إلى شكل رسومي. بعد ذلك، قام بتلوين الشكل الناتج (كل لون يتوافق مع عدد معينالتكرارات). تسمى هذه الصورة الرسومية كسورية ماندلبروت.

لام النجار: فن خلقته الطبيعة

وسرعان ما وجدت نظرية الفركتلات تطبيقًا عمليًا. وبما أن الأمر يرتبط ارتباطًا وثيقًا بتصور الصور المشابهة ذاتيًا، فإن أول من اعتمد المبادئ والخوارزميات لبناء هذه الأشكال غير العادية هم الفنانون. كان أول هؤلاء هو المؤسس المستقبلي لاستوديو بيكسار لورين كاربنتر. أثناء عمله على عرض النماذج الأولية للطائرات، توصل إلى فكرة استخدام صورة الجبال كخلفية. اليوم، يمكن لكل مستخدم كمبيوتر تقريبًا التعامل مع مثل هذه المهمة، وفي السبعينيات من القرن الماضي، لم تكن أجهزة الكمبيوتر قادرة على إجراء مثل هذه العمليات، لأنه لم يكن هناك محررين رسوميين وتطبيقات للرسومات ثلاثية الأبعاد في ذلك الوقت. صادفت لورين فركتلات ماندلبروت: الشكل والعشوائية والبعد. في ذلك، أعطى بينوا العديد من الأمثلة، موضحا أن هناك فركتلات في الطبيعة (فيفا)، ووصف أشكالها المختلفة وأثبت أنه من السهل وصفها بالتعبيرات الرياضية. واستشهد عالم الرياضيات بهذا التشبيه كحجة لفائدة النظرية التي كان يطورها ردا على موجة من الانتقادات من زملائه. لقد جادلوا بأن الفركتل هو مجرد صورة جميلة لا قيمة لها، وهو منتج ثانوي للآلات الإلكترونية. قرر كاربنتر تجربة هذه الطريقة عمليًا. بعد دراسة الكتاب بعناية، بدأ رسام الرسوم المتحركة المستقبلي في البحث عن طريقة لتطبيق الهندسة الكسورية فيه رسومات الحاسوب. استغرق الأمر منه ثلاثة أيام فقط لتقديم صورة واقعية تمامًا للمناظر الطبيعية الجبلية على جهاز الكمبيوتر الخاص به. واليوم يستخدم هذا المبدأ على نطاق واسع. كما اتضح فيما بعد، فإن إنشاء الفركتلات لا يستغرق الكثير من الوقت والجهد.

قرار النجار

تبين أن المبدأ الذي استخدمته لورين بسيط. وهي تتمثل في تقسيم العناصر الأكبر إلى عناصر أصغر، وتلك إلى عناصر أصغر مماثلة، وهكذا. قام النجار، باستخدام مثلثات كبيرة، بسحقها إلى 4 مثلثات صغيرة، وهكذا، حتى حصل على منظر طبيعي جبلي واقعي. وبذلك أصبح أول فنان يطبق الخوارزمية الكسورية في رسومات الكمبيوتر لبناء الصورة المطلوبة. اليوم، يتم استخدام هذا المبدأ لمحاكاة مختلف الأشكال الطبيعية الواقعية.

أول تصور ثلاثي الأبعاد يعتمد على الخوارزمية الكسورية

وبعد بضع سنوات، طبق لورين عمله في مشروع واسع النطاق - وهو فيديو رسوم متحركة Vol Libre، تم عرضه على Siggraph في عام 1980. لقد صدم هذا الفيديو الكثيرين، وتمت دعوة منشئه للعمل في Lucasfilm. هنا تمكن رسام الرسوم المتحركة من تحقيق نفسه بالكامل، حيث قام بإنشاء مناظر طبيعية ثلاثية الأبعاد (الكوكب بأكمله) للفيلم الروائي "Star Trek". يستخدم أي برنامج أو تطبيق حديث ("Fractals") لإنشاء رسومات ثلاثية الأبعاد (Terragen، Vue، Bryce) نفس الخوارزمية لنمذجة القوام والأسطح.

توم بيدارد

ابتكر بيدارد، وهو فيزيائي ليزر سابق والآن فنان وفنان رقمي، سلسلة من الأشكال الهندسية المثيرة للاهتمام للغاية والتي أطلق عليها اسم فركتلات فابرجيه. ظاهريًا، تشبه البيض المزخرف لصائغ روسي، ولها نفس النمط المعقد الرائع. استخدم بيدارد طريقة القالب لإنشاء عروضه الرقمية للنماذج. المنتجات الناتجة ملفتة للنظر في جمالها. على الرغم من أن الكثيرين يرفضون مقارنة منتج مصنوع يدويًا بـ برنامج الحاسبومع ذلك، يجب الاعتراف بأن الأشكال الناتجة جميلة بشكل غير عادي. أبرز ما في الأمر هو أنه يمكن لأي شخص إنشاء مثل هذا الفراكتل باستخدام مكتبة برامج WebGL. يسمح لك باستكشاف الهياكل الكسورية المختلفة في الوقت الفعلي.

فركتلات في الطبيعة

قليل من الناس ينتبهون، لكن هذه الأرقام المذهلة موجودة في كل مكان. تتكون الطبيعة من شخصيات متشابهة ذاتيًا، لكننا لا نلاحظ ذلك. يكفي أن ننظر من خلال عدسة مكبرة إلى بشرتنا أو ورقة شجرة، وسوف نرى فركتلات. أو خذ، على سبيل المثال، الأناناس أو حتى ذيل الطاووس - فهي تتكون من أشكال متشابهة. وصنف بروكلي رومانيسكو ملفت للنظر بشكل عام في مظهره، لأنه يمكن أن يطلق عليه حقا معجزة الطبيعة.

وقفة موسيقية

اتضح أن الفركتلات ليست مجرد أشكال هندسية، بل يمكن أن تكون أصواتًا أيضًا. لذلك، يكتب الموسيقي جوناثان كولتون الموسيقى باستخدام خوارزميات كسورية. يدعي أنه يتوافق مع الانسجام الطبيعي. ينشر الملحن جميع أعماله بموجب ترخيص CreativeCommons Attribution-Noncommercial، الذي ينص على التوزيع المجاني، والنسخ، ونقل الأعمال من قبل أشخاص آخرين.

مؤشر كسورية

لقد وجدت هذه التقنية تطبيقًا غير متوقع للغاية. وعلى أساسها تم إنشاء أداة لتحليل سوق الأوراق المالية، ونتيجة لذلك بدأ استخدامها في سوق الفوركس. يوجد الآن مؤشر الفراكتل على جميع منصات التداول ويستخدم في تقنية تداول تسمى اختراق السعر. طور بيل ويليامز هذه التقنية. كما يعلق المؤلف على اختراعه، فإن هذه الخوارزمية عبارة عن مزيج من عدة "شموع"، حيث تعكس الشمعة المركزية الحد الأقصى أو، على العكس من ذلك، الحد الأدنى من النقطة القصوى.

أخيراً

لذلك فكرنا في ماهية الفراكتل. اتضح أنه في الفوضى التي تحيط بنا، هناك في الواقع أشكال مثالية. الطبيعة هي أفضل مهندس معماري، وهي البناء والمهندس المثالي. وهي مرتبة بشكل منطقي للغاية، وإذا لم نتمكن من العثور على نمط، فهذا لا يعني أنه غير موجود. ربما تحتاج إلى النظر إلى نطاق مختلف. يمكننا أن نقول بثقة أن الفركتلات لا تزال تحتفظ بالكثير من الأسرار التي لم نكتشفها بعد.

من أجل تمثيل المجموعة الكاملة من الفركتلات، من المناسب اللجوء إلى تصنيفها المقبول عمومًا.

2.1 فركتلات هندسية

فركتلات هذه الفئة هي الأكثر وضوحا. وفي الحالة ثنائية الأبعاد، يتم الحصول عليها باستخدام بعض الخطوط المتعددة (أو السطحية في الحالة ثلاثية الأبعاد) تسمى مولد كهرباء. في خطوة واحدة من الخوارزمية، يتم استبدال كل جزء من الأجزاء التي تشكل الخط المتقطع بمولد خط متقطع، بالمقياس المناسب. ونتيجة للتكرار الذي لا نهاية له لهذا الإجراء، يتم الحصول على كسورية هندسية.

الشكل 1. بناء منحنى كوخ الثلاثي.

خذ بعين الاعتبار أحد هذه الأجسام الفركتلية - منحنى كوخ الثلاثي. يبدأ بناء المنحنى بقطعة طول الوحدة (الشكل 1) - وهذا هو الجيل الصفري من منحنى كوخ. علاوة على ذلك، يتم استبدال كل رابط (قطعة واحدة في الجيل الصفري) بـ معرف com لهذا التطبيق هو com.generatrix، مبين في الشكل 1 حتى ن = 1. ونتيجة لهذا الاستبدال، يتم الحصول على الجيل القادم من منحنى كوخ. في الجيل الأول، يكون هذا منحنى من أربع وصلات مستقيمة، يبلغ طول كل منها 1/3 . للحصول على الجيل الثالث، يتم تنفيذ نفس الإجراءات - يتم استبدال كل رابط بعنصر تشكيل مخفض. لذلك، للحصول على كل جيل لاحق، يجب استبدال جميع روابط الجيل السابق بعنصر تشكيل مخفض. منحنى نالجيل الرابع لاي نهائي نمُسَمًّى كسورية. ويبين الشكل 1 خمسة أجيال من المنحنى. في نويميل منحنى كوخ إلى اللانهاية، ويصبح كائنًا كسوريًا.

الشكل 2. بناء "التنين" في هارتر-هاتواي.

للحصول على كائن كسورية آخر، تحتاج إلى تغيير قواعد البناء. دع المولد يتكون من جزأين متساويين متصلين بزوايا قائمة. في التوليد الصفري نستبدل قطعة الوحدة بعنصر التوليد هذا بحيث تكون الزاوية في الأعلى. يمكننا القول أنه مع مثل هذا الاستبدال، يحدث تحول في منتصف الرابط. عند بناء الأجيال القادمة يتم تحقيق القاعدة: يتم استبدال الرابط الأول على اليسار بعنصر توليد بحيث يتم إزاحة منتصف الرابط إلى يسار اتجاه الحركة، وعند استبدال الروابط التالية، يجب أن تتناوب اتجاهات إزاحة نقاط المنتصف للقطاعات. يوضح الشكل 2 الأجيال القليلة الأولى والجيل الحادي عشر من المنحنى الذي تم إنشاؤه وفقًا للمبدأ الموضح أعلاه. الحد من منحنى كسورية (في نيميل إلى ما لا نهاية) يسمى تنين هارتر-هاتواي .

في رسومات الحاسوب، يعد استخدام الفركتلات الهندسية ضروريًا عند الحصول على صور للأشجار والشجيرات والخط الساحلي. تُستخدم فركتلات هندسية ثنائية الأبعاد لإنشاء أنسجة حجمية (أنماط على سطح الجسم).

2.2 الفركتلات الجبرية

هذه هي أكبر مجموعة من الفركتلات. يتم الحصول عليها باستخدام العمليات غير الخطية في ن- فضاءات الأبعاد . العمليات ثنائية الأبعاد هي الأكثر دراسة. عند تفسير العملية التكرارية غير الخطية كنظام ديناميكي منفصل، يمكن للمرء استخدام مصطلحات نظرية هذه الأنظمة: صورة المرحلة, حالة مستقرة, جاذبإلخ.

من المعروف أن الأنظمة الديناميكية غير الخطية لها عدة حالات مستقرة. الحالة التي يجد فيها النظام الديناميكي نفسه بعد عدد معين من التكرارات تعتمد على حالته الأولية. لذلك، فإن كل حالة مستقرة (أو، كما يقولون، جاذبة) لديها مساحة معينة من الحالات الأولية، والتي سيقع منها النظام بالضرورة في الحالات النهائية المدروسة. وهكذا يتم تقسيم مساحة الطور للنظام إلى مجالات الجذبجاذبون. إذا كان فضاء الطور ثنائي الأبعاد فيمكن الحصول عليه بتلوين مناطق الجذب بألوان مختلفة صورة مرحلة اللونهذا النظام (عملية تكرارية). من خلال تغيير خوارزمية اختيار اللون، يمكنك الحصول على أنماط فركتالية معقدة مع أنماط متعددة الألوان رائعة. كانت المفاجأة لعلماء الرياضيات هي القدرة على إنشاء هياكل معقدة للغاية وغير تافهة باستخدام خوارزميات بدائية.

الشكل 3. مجموعة ماندلبروت.

على سبيل المثال، خذ بعين الاعتبار مجموعة ماندلبروت (انظر الشكل 3 والشكل 4). خوارزمية بنائها بسيطة للغاية وتعتمد على تعبير تكراري بسيط:

ز = ز[أنا] * ز[أنا] + ج,

أين زانا و جهي متغيرات معقدة. يتم تنفيذ التكرارات لكل نقطة بداية جمنطقة مستطيلة أو مربعة - مجموعة فرعية من المستوى المركب. وتستمر العملية التكرارية حتى ز[i] لن يتجاوز دائرة نصف القطر 2، التي يقع مركزها عند النقطة (0،0)، (وهذا يعني أن جاذب النظام الديناميكي موجود عند اللانهاية)، أو بعد عدد كبير بما فيه الكفاية من التكرارات (على سبيل المثال، 200-500) ز[i] يتقارب عند نقطة ما على الدائرة. اعتمادا على عدد التكرارات التي خلالها ز[i] بقي داخل الدائرة، يمكنك ضبط لون النقطة ج(لو ز[i] يبقى داخل الدائرة لعدد كبير بما فيه الكفاية من التكرارات، وتتوقف عملية التكرار ويتم طلاء هذه النقطة النقطية باللون الأسود).

الشكل 4. جزء من حدود مجموعة ماندلبروت، مكبرة 200 مرة.

تعطي الخوارزمية المذكورة أعلاه تقريبًا لما يسمى بمجموعة ماندلبروت. تحتوي مجموعة ماندلبروت على النقاط التي خلال بلا نهايةعدد التكرارات لا يصل إلى ما لا نهاية (النقاط سوداء). النقاط التي تنتمي إلى حدود المجموعة (هذا هو المكان الذي تنشأ فيه الهياكل المعقدة) تذهب إلى ما لا نهاية في عدد محدود من التكرارات، والنقاط الواقعة خارج المجموعة تذهب إلى ما لا نهاية بعد عدة تكرارات (خلفية بيضاء).

2.3 فركتلات العشوائية

فئة أخرى معروفة من الفركتلات هي الفركتلات العشوائية، والتي يتم الحصول عليها إذا تم تغيير أي من معلماتها بشكل عشوائي في عملية متكررة. وينتج عن ذلك كائنات مشابهة جدًا للكائنات الطبيعية - مثل الأشجار غير المتماثلة، والسواحل المتعرجة، وما إلى ذلك. تُستخدم الفركتلات العشوائية ثنائية الأبعاد في نمذجة التضاريس وسطح البحر.

هناك تصنيفات أخرى للفركتلات، على سبيل المثال، تقسيم الفركتلات إلى حتمية (جبرية وهندسية) وغير حتمية (عشوائية).

لقد عرفت الفركتلات منذ ما يقرب من قرن من الزمان، وقد تمت دراستها جيدًا ولها العديد من التطبيقات في الحياة. تقوم هذه الظاهرة على فكرة بسيطة جدًا: يمكن الحصول على عدد لا نهائي من الأشكال في الجمال والتنوع من مكان نسبيًا تصاميم بسيطةمن خلال عمليتين فقط - النسخ والقياس

هذا المفهوم ليس له تعريف صارم. لذلك، فإن كلمة "فركتل" ليست مصطلحًا رياضيًا. عادة ما يكون هذا هو اسم الشكل الهندسي الذي يحقق واحدة أو أكثر من الخصائص التالية:

• لديه بنية معقدة في أي تكبير؛
• هو (تقريبا) مماثل ذاتيا؛
• له بعد هاوسدورف (فركتلي) كسري، وهو أكبر من البعد الطوبولوجي؛
• يمكن بناؤها عن طريق إجراءات العودية.

في مطلع القرنين التاسع عشر والعشرين، كانت دراسة الفركتلات عرضية أكثر منها منهجية، لأن علماء الرياضيات الأوائل كانوا يدرسون بشكل أساسي الأشياء "الجيدة" التي يمكن دراستها باستخدام أساليب ونظريات عامة. في عام 1872، قام عالم الرياضيات الألماني كارل فايرستراس ببناء مثال لدالة متصلة لا يمكن اشتقاقها في أي مكان. ومع ذلك، كان بنائه مجردًا تمامًا ويصعب فهمه. لذلك، في عام 1904، توصل السويدي هيلج فون كوخ إلى منحنى مستمر ليس له مماس في أي مكان، ومن السهل جدًا رسمه. اتضح أنه يحتوي على خصائص كسورية. أحد أشكال هذا المنحنى يسمى ندفة الثلج كوخ.

تم التقاط أفكار التشابه الذاتي للشخصيات من قبل الفرنسي بول بيير ليفي، معلم بينوا ماندلبرو المستقبلي. في عام 1938، تم نشر مقالته "المنحنيات المستوية والمكانية والأسطح التي تتكون من أجزاء مشابهة للكل"، والتي تم فيها وصف كسورية أخرى - منحنى ليفي C. يمكن أن تُعزى جميع الفركتلات المذكورة أعلاه بشكل مشروط إلى فئة واحدة من الفركتلات البناءة (الهندسية).

فئة أخرى هي الفركتلات الديناميكية (الجبرية)، والتي تشمل مجموعة ماندلبروت. تعود الدراسات الأولى في هذا الاتجاه إلى بداية القرن العشرين وترتبط بأسماء علماء الرياضيات الفرنسيين غاستون جوليا وبيير فاتو. في عام 1918، نشرت جوليا ما يقرب من مائتي صفحة من العمل المخصص لتكرارات المجمع وظائف عقلانية، الذي يصف مجموعات جوليا - عائلة كاملة من الفركتلات المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بمجموعة ماندلبروت. حصل هذا العمل على جائزة الأكاديمية الفرنسية، لكنه لم يحتوي على رسم توضيحي واحد، لذلك كان من المستحيل تقدير جمال الأشياء المكتشفة. على الرغم من أن هذا العمل جعل جوليا مشهورة بين علماء الرياضيات في ذلك الوقت، إلا أنه تم نسيانه بسرعة.

وبعد مرور نصف قرن فقط، ومع ظهور أجهزة الكمبيوتر، تحول الاهتمام إلى أعمال جوليا وفاتو: فهما من جعلا ثراء وجمال عالم الفركتلات مرئيًا. بعد كل شيء، لم تتمكن فاتو أبدًا من النظر إلى الصور التي نعرفها الآن كصور لمجموعة ماندلبروت، لأنها المبلغ المطلوبلا يمكن إجراء الحسابات يدويًا. أول شخص استخدم الكمبيوتر لهذا كان بينوا ماندلبروت.

في عام 1982، تم نشر كتاب ماندلبروت "الهندسة الكسورية للطبيعة"، حيث قام المؤلف بجمع وتنظيم جميع المعلومات تقريبا عن الفركتلات المتاحة في ذلك الوقت وعرضها بطريقة سهلة ويمكن الوصول إليها. لم يركز ماندلبروت بشكل أساسي في عرضه التقديمي على الصيغ الثقيلة والإنشاءات الرياضية، بل على الحدس الهندسي للقراء. بفضل الرسوم التوضيحية والقصص التاريخية التي تم إنشاؤها بواسطة الكمبيوتر، والتي خفف بها المؤلف بمهارة المكون العلمي للدراسة، أصبح الكتاب من أكثر الكتب مبيعًا، وأصبحت الفركتلات معروفة لعامة الناس. يرجع نجاحهم بين غير علماء الرياضيات إلى حد كبير إلى حقيقة أنه بمساعدة الإنشاءات والصيغ البسيطة جدًا التي يمكن حتى لطالب المدرسة الثانوية فهمها، يتم الحصول على صور ذات تعقيد مذهل وجمال. عندما أصبحت أجهزة الكمبيوتر الشخصية قوية بما فيه الكفاية، ظهر حتى اتجاه كامل في الفن - الرسم الكسري، ويمكن لأي مالك كمبيوتر تقريبًا القيام بذلك. يمكنك الآن العثور بسهولة على العديد من المواقع المخصصة لهذا الموضوع على الإنترنت.

وكما أصبح واضحا في العقود الأخيرة (فيما يتعلق بتطور نظرية التنظيم الذاتي)، فإن التشابه الذاتي يحدث في أغلب الأحيان. مواضيع مختلفةوالظواهر. على سبيل المثال، يمكن ملاحظة التشابه الذاتي في فروع الأشجار والشجيرات، في تقسيم الزيجوت المخصب، والثلج، وبلورات الجليد، في تطوير النظم الاقتصادية، في هيكل الأنظمة الجبلية، الغيوم.

جميع الكائنات المدرجة والأشياء المشابهة لها في بنيتها هي كسورية. أي أنها تمتلك خصائص التشابه الذاتي، أو ثبات الحجم. وهذا يعني أن بعض أجزاء بنيتها تتكرر بشكل صارم على فترات مكانية معينة. من الواضح أن هذه الأشياء يمكن أن تكون من أي طبيعة، ويظل مظهرها وشكلها دون تغيير بغض النظر عن الحجم. يحدث التكرار الذاتي في الطبيعة وفي المجتمع على نطاق واسع بما فيه الكفاية. لذلك، تكرر السحابة هيكلها الخشن من 10 4 م (10 كم) إلى 10 -4 م (0.1 مم). ويتكرر التفرع في الأشجار من 10-2 إلى 102م، كما تكرر المواد المنهارة التي تولد الشقوق تشابهها الذاتي على عدة مقاييس. تذوب ندفة الثلج التي تسقط على اليد. خلال فترة الذوبان، والانتقال من مرحلة إلى أخرى، تكون قطرة ندفة الثلج أيضًا كسورية.

الفراكتل هو كائن ذو تعقيد لا نهائي، مما يسمح بفحص دقيق له تفاصيل أقلمن بعيد. مثال كلاسيكيلذلك - الأرض. ومن الفضاء تبدو كالكرة. عند الاقتراب منها سنجد المحيطات والقارات والسواحل وسلاسل الجبال. في وقت لاحق، أكثر أجزاء صغيرة: قطعة أرض على سطح جبل معقدة وغير مستوية مثل الجبل نفسه. بعد ذلك سوف تظهر جزيئات صغيرة من التربة، كل منها هو في حد ذاته كائن فركتلي.

الفراكتل هو هيكل غير خطي يحتفظ بالتشابه الذاتي عند تضخيمه لأعلى أو لأسفل بشكل لا نهائي. فقط عند الأطوال الصغيرة تتحول اللاخطية إلى خطية. وهذا واضح بشكل خاص في الإجراء الرياضي للتمايز.

وبالتالي، يمكننا القول أن الفركتلات كنماذج تستخدم عندما لا يمكن تمثيل الكائن الحقيقي في شكل نماذج كلاسيكية. وهذا يعني أننا نتعامل مع العلاقات غير الخطية والطبيعة غير الحتمية للبيانات. اللاخطية بالمعنى الأيديولوجي تعني تعدد مسارات التنمية، وتوافر الاختيار من بين المسارات البديلة وسرعة معينة من التطور، فضلا عن عدم رجعة العمليات التطورية. بالمعنى الرياضي، عدم الخطية هي نوع معينالمعادلات الرياضية (غير الخطية المعادلات التفاضلية) تحتوي على الكميات المطلوبة في القوى، أكثر من واحدأو معاملات تعتمد على خصائص الوسط. أي أنه عندما نطبق النماذج الكلاسيكية (على سبيل المثال، الاتجاه، والانحدار، وما إلى ذلك)، فإننا نقول إن مستقبل كائن ما يتحدد بشكل فريد. ويمكننا التنبؤ به من خلال معرفة ماضي الكائن (البيانات الأولية للنمذجة). ويتم استخدام الفركتلات عندما يكون للكائن عدة خيارات للتطوير ويتم تحديد حالة النظام من خلال الموضع الذي يوجد فيه حاليًا. أي أننا نحاول محاكاة تطور فوضوي.

عندما يتحدثون عن حتمية نظام معين، فإنهم يقصدون أن سلوكه يتميز بعلاقة سببية لا لبس فيها. أي أنه بمعرفة الظروف الأولية وقانون حركة النظام، من الممكن التنبؤ بمستقبله بدقة. إن فكرة الحركة في الكون هي التي تميز الديناميكيات النيوتونية الكلاسيكية. على العكس من ذلك، تعني الفوضى عملية فوضوية وعشوائية، عندما لا يمكن التنبؤ بمسار الأحداث أو إعادة إنتاجها.

يتم إنشاء الفوضى من خلال الديناميكيات الجوهرية للنظام غير الخطي - وهي خاصية للفصل السريع بين المسارات القريبة بشكل تعسفي. ونتيجة لذلك، فإن شكل المسارات يعتمد بشدة على الظروف الأولية. عند دراسة الأنظمة التي تتطور بشكل فوضوي للوهلة الأولى، غالبًا ما يستخدمون نظرية الفركتلات، لأن وهذا النهج هو الذي يجعل من الممكن رؤية نمط معين في حدوث الانحرافات "العشوائية" في تطوير النظام.

تتيح لنا دراسة الهياكل الكسورية الطبيعية الفرصة لفهم عمليات التنظيم الذاتي وتطوير الأنظمة غير الخطية بشكل أفضل. لقد اكتشفنا بالفعل أن الفركتلات الطبيعية للخطوط المتعرجة الأكثر تنوعًا موجودة في كل مكان حولنا. هل هو شاطئ البحر، الأشجار، السحب، الصاعقة، الهيكل المعدني، العصبي أو نظام الأوعية الدمويةشخص. ظهرت هذه الخطوط المعقدة والأسطح الخشنة بحث علميلأن الطبيعة أظهرت لنا مستوى مختلفًا تمامًا من التعقيد عما هو عليه في الأنظمة الهندسية المثالية. تبين أن الهياكل قيد الدراسة متشابهة ذاتيا في العلاقة المكانية والزمانية. لقد قاموا بتكرار أنفسهم وتكرار أنفسهم إلى ما لا نهاية على مقاييس مختلفة من الطول والوقت. أي عملية غير خطية تؤدي في النهاية إلى الشوكة. النظام في هذه الحالة، عند نقطة التفرع، يختار مسارًا أو آخر. سيبدو مسار تطور النظام ككسريًا، أي خطًا متقطعًا، يمكن وصف شكله بأنه مسار متفرع ومعقد له منطقه ونمطه الخاص.

يمكن مقارنة تفرع النظام بتفرع شجرة، حيث يمثل كل فرع ثلث النظام بأكمله. يسمح المتفرعة هيكل خطيملء المساحة الحجمية أو بشكل أكثر دقة: إحداثيات البنية الكسورية مساحات مختلفة. يمكن أن ينمو الفراكتل ليملأ المساحة المحيطة، تمامًا كما تنمو البلورة في محلول مفرط التشبع. في هذه الحالة، لن ترتبط طبيعة التفرع بالصدفة، بل بنمط معين.

يكرر الهيكل الكسري نفسه بالمثل على مستويات أخرى، على مستوى أعلى من تنظيم الحياة البشرية، على سبيل المثال، على مستوى التنظيم الذاتي للفريق أو الفريق. ينتقل التنظيم الذاتي للشبكات والأشكال من المستوى الجزئي إلى المستوى الكلي. وهي تمثل مجتمعة وحدة شمولية، حيث يمكن للمرء أن يحكم على الكل من خلال الجزء. في هذا ورقة الأجلتعتبر الخصائص الفركتلية للعمليات الاجتماعية مثالا، مما يدل على عالمية نظرية الفركتلات وولائها لمختلف مجالات العلوم.

وخلص إلى أن الفراكتل هو وسيلة للتفاعل المنظم للمساحات ذات الأبعاد والطبيعة المختلفة. وينبغي أن يضاف إلى ما سبق أنه ليس مكانيًا فحسب، بل زمانيًا أيضًا. عندها حتى الدماغ البشري والشبكات العصبية ستكون عبارة عن بنية كسرية.

الطبيعة مغرمة جدًا بالأشكال الكسورية. يحتوي الكائن الكسري على بنية مترامية الأطراف ومخلخلة. عند مراقبة مثل هذه الأجسام بتكبير متزايد، يمكن للمرء أن يرى أنها تظهر نمطًا يتكرر على مستويات مختلفة. لقد قلنا بالفعل أن الجسم الكسري يمكن أن يبدو متماثلًا تمامًا بغض النظر عما إذا كنا نلاحظه بالأمتار أو المليمترات أو الميكرونات (1:1000000 من مقياس المتر). تتجلى خاصية تناظر الأجسام الفركتلية في الثبات فيما يتعلق بالحجم. تكون الفركتلات متناظرة حول مركز التمدد أو إعادة القياس، تمامًا كما تكون الأجسام المستديرة متناظرة حول محور الدوران.

الصورة المعشوقة للديناميكيات غير الخطية هي الهياكل الكسورية، حيث يتم بناء الوصف وفقًا لنفس القاعدة مع تغيير الحجم. في الحياه الحقيقيهتنفيذ هذا المبدأ ممكن مع اختلافات طفيفة. على سبيل المثال، في الفيزياء، عند الانتقال من مستوى إلى آخر (من العمليات الذرية إلى العمليات النووية، من العمليات النووية إلى الجسيمات الأولية) الانتظام والنماذج وطرق الوصف تتغير. ونحن نلاحظ نفس الشيء في علم الأحياء (مستوى تعداد الكائن الحي، والأنسجة، والخلية، وما إلى ذلك). ويعتمد مستقبل التآزر على مدى قدرة العلوم غير الخطية على المساعدة في وصف هذا التجانس الهيكلي والتباين البنيوي. مختلف الظواهر "بين المستويات". في الوقت الحالي، لا تمتلك معظم التخصصات العلمية نماذج مفاهيمية فركتالية موثوقة.

اليوم، يتم تنفيذ التطورات في إطار نظرية الفركتلات في أي علم معين - الفيزياء، وعلم الاجتماع، وعلم النفس، واللغويات، وما إلى ذلك. ثم المجتمع و مؤسسات إجتماعيةواللغة وحتى الفكر هي فركتلات.

وفي المناقشات التي جرت في السنوات الاخيرةبين العلماء والفلاسفة حول مفهوم الفركتلات، السؤال الأكثر إثارة للجدل هو ما يلي: هل من الممكن الحديث عن عالمية الفركتلات، أن كل كائن في الطبيعة يحتوي على كسورية أو يمر بمرحلة كسورية؟ هناك مجموعتان من العلماء يجيبون على هذا السؤال بالطريقة المعاكسة تمامًا. المجموعة الأولى ("المتطرفون"، المبتكرون) تدعم الأطروحة حول عالمية الفركتلات. تنفي المجموعة الثانية ("المحافظون") هذه الأطروحة، لكنها لا تزال تدعي أنه ليس كل كائن في الطبيعة لديه كسورية، ولكن يمكن العثور على كسورية في كل مجال من مجالات الطبيعة.

لقد نجح العلم الحديث في تكييف نظرية الفركتلات بنجاح مناطق مختلفةمعرفة. لذلك، في الاقتصاد، يتم استخدام نظرية الفركتلات في التحليل الفني. الأسواق الماليةالتي كانت موجودة في الدول المتقدمة في العالم منذ أكثر من مائة عام. لأول مرة، أشار C. Dow إلى القدرة على التنبؤ بالسلوك المستقبلي لأسعار الأسهم، إذا كان اتجاهها لبعض الفترة الأخيرة معروفًا. في التسعينيات، بعد نشر عدد من المقالات، لاحظ داو أن أسعار الأسهم كانت عرضة لتقلبات دورية: بعد ارتفاع طويل، يتبعه انخفاض طويل، ثم يرتفع وينخفض ​​مرة أخرى.

في منتصف القرن العشرين، عندما كان العالم العلمي بأكمله مفتونًا بنظرية الفركتلات الناشئة حديثًا، اقترح ممول أمريكي معروف آخر، وهو ر. إليوت، نظريته حول سلوك أسعار الأسهم، والتي كانت تعتمد على استخدام الفركتلات نظرية. انطلق إليوت من حقيقة أن هندسة الفركتلات تحدث ليس فقط في الطبيعة الحية، ولكن أيضًا في العمليات الاجتماعية. كما أرجع تداول الأسهم في البورصة إلى العمليات الاجتماعية.

أساس النظرية هو ما يسمى بالمخطط الموجي. تتيح هذه النظرية التنبؤ بالسلوك الإضافي لاتجاه السعر، بناءً على معرفة سلوكه في عصور ما قبل التاريخ واتباع قواعد تطور السلوك النفسي الجماعي.

وقد وجدت نظرية الفركتلات أيضًا تطبيقًا في علم الأحياء. العديد من الهياكل والأنظمة البيولوجية للنباتات والحيوانات والبشر، إن لم يكن كلها، لها طبيعة كسورية، وبعض التشابه معها: الجهاز العصبي، نظام الرئة، الدورة الدموية والجهاز الليمفاوي، الخ. لقد ظهرت أدلة على أن تطور الورم الخبيث يستمر أيضًا وفقًا للمبدأ الكسري. مع الأخذ في الاعتبار مبدأ الألفة الذاتية والتطابق للكسورية، يمكن تفسير عدد من مشاكل التطور المستعصية العالم العضوي. تتميز الكائنات الكسورية أيضًا بميزة مثل مظهر التكامل. التكامل في الكيمياء الحيوية - المراسلات المتبادلة في التركيب الكيميائيجزيئين ضخمين، مما يضمن تفاعلهما - اقتران خيطين من الحمض النووي، وربط الإنزيم بالركيزة، ومستضد مع الجسم المضاد. تتوافق الهياكل التكميلية معًا مثل مفتاح القفل (موسوعة سيريل وميثوديوس). تمتلك سلاسل بولينوكليوتيدات الحمض النووي هذه الخاصية.

أحد أقوى تطبيقات الفركتلات يكمن في رسومات الحاسوب. أولا، هو ضغط كسورية للصور، وثانيا، بناء المناظر الطبيعية والأشجار والنباتات وتوليد القوام كسورية. في الوقت نفسه، بالنسبة للضغط وتسجيل المعلومات، من الضروري زيادة مماثلة ذاتيًا في الكسورية، ولقراءتها، على التوالي، زيادة مماثلة ذاتيًا.

تتمثل مزايا خوارزميات ضغط الصور الكسورية في الحجم الصغير جدًا للملف المعبأ ووقت استرداد الصورة القصير. يمكن تغيير حجم الصور المجمعة بشكل كسري دون ظهور البيكسلات. لكن عملية الضغط تستغرق وقتا طويلا وأحيانا تستمر لساعات. تتيح لك خوارزمية التعبئة الفراكتلية المفقودة ضبط مستوى الضغط، على غرار تنسيق jpeg. تعتمد الخوارزمية على إيجاد أجزاء كبيرة من الصورة تشبه بعض الأجزاء الصغيرة. ويتم كتابة المعلومات حول تشابه جزء مع آخر فقط في ملف الإخراج. عند الضغط، عادة ما يتم استخدام شبكة مربعة (القطع عبارة عن مربعات)، مما يؤدي إلى زاوية طفيفة عند استعادة الصورة، والشبكة السداسية خالية من هذا العيب.

ضمن أعمال أدبيةابحث عن تلك التي لها طبيعة كسورية نصية أو بنيوية أو دلالية. في الفركتلات النصية، من المحتمل أن تتكرر عناصر النص إلى ما لا نهاية. تشتمل الفركتلات النصية على شجرة لا نهائية غير متفرعة مطابقة لنفسها من أي تكرار ("كان لدى الكاهن كلب..."، "مثل الفيلسوف الذي يحلم بأنه فراشة يحلم بأنها فيلسوفة تحلم..."، "البيان خطأ، أن البيان صحيح، أن البيان كاذب ...")؛ نصوص لا نهاية لها غير متفرعة مع اختلافات ("كان لدى بيجي أوزة مرحة...") ونصوص ذات امتدادات ("المنزل الذي بناه جاك").

في الفركتلات الهيكلية، من المحتمل أن يكون مخطط النص كسوريًا. يتم ترتيب النصوص ذات هذا الهيكل وفقًا للمبادئ التالية: إكليل من أكاليل السوناتات (15 قصيدة) ، إكليل من أكاليل السوناتات (211 قصيدة) ، إكليل من أكاليل أكاليل السوناتات (2455 قصيدة) ؛ "قصص في قصة" ("كتاب ألف ليلة وليلة"، يا. بوتوتسكي "المخطوطة الموجودة في سرقسطة")؛ مقدمات تخفي التأليف (د. إيكو "اسم الوردة").

ما هو القاسم المشترك بين الشجرة أو شاطئ البحر أو السحابة أو الأوعية الدموية في أيدينا؟ للوهلة الأولى، قد يبدو أن كل هذه الأشياء ليس لديها أي شيء مشترك. ومع ذلك، في الواقع، هناك خاصية واحدة للبنية متأصلة في جميع الكائنات المدرجة: فهي متشابهة ذاتيًا. من الفرع، وكذلك من جذع الشجرة، تغادر العمليات الأصغر منها - حتى أصغر، وما إلى ذلك، أي أن الفرع يشبه الشجرة بأكملها. يتم ترتيب نظام الدورة الدموية بطريقة مماثلة: تغادر الشرايين من الشرايين، ومنها - أصغر الشعيرات الدموية التي يدخل من خلالها الأكسجين إلى الأعضاء والأنسجة. دعونا نلقي نظرة على الصور الفضائية ساحل البحر: سنرى الخلجان وشبه الجزيرة. دعونا نلقي نظرة عليها، ولكن من منظور عين الطير: سنرى الخلجان والرؤوس؛ تخيل الآن أننا نقف على الشاطئ وننظر إلى أقدامنا: سيكون هناك دائمًا حصى تبرز في الماء أكثر من البقية. أي أن الخط الساحلي يظل مشابهًا لنفسه عند تكبيره. أطلق عالم الرياضيات الأمريكي بينوا ماندلبروت (على الرغم من نشأته في فرنسا) على خاصية الكائنات كسورية، ومثل هذه الأشياء نفسها - فركتلات (من اللاتينية fractus - مكسورة).

هذا المفهوم ليس له تعريف صارم. لذلك، فإن كلمة "فركتل" ليست مصطلحًا رياضيًا. عادةً ما يكون الشكل الكسري شكلًا هندسيًا يفي بواحدة أو أكثر من الخصائص التالية: له بنية معقدة عند أي تكبير (على عكس الخط المستقيم، على سبيل المثال، الذي يكون أي جزء منه هو أبسط شكل هندسي - قطعة). وهو (تقريبًا) مشابه لذاته. وله بعد هوسدورف (فركتلي) كسري، وهو أكبر من البعد الطوبولوجي. يمكن بناؤها بإجراءات العودية.

الهندسة والجبر

كانت دراسة الفركتلات في مطلع القرنين التاسع عشر والعشرين أكثر عرضية منها منهجية، لأن علماء الرياضيات الأوائل درسوا بشكل أساسي الأشياء "الجيدة" التي يمكن دراستها باستخدام الأساليب والنظريات العامة. في عام 1872، قام عالم الرياضيات الألماني كارل فايرستراس ببناء مثال لدالة متصلة لا يمكن اشتقاقها في أي مكان. ومع ذلك، كان بنائه مجردًا تمامًا ويصعب فهمه. لذلك، في عام 1904، توصل السويدي هيلج فون كوخ إلى منحنى مستمر ليس له مماس في أي مكان، ومن السهل جدًا رسمه. اتضح أنه يحتوي على خصائص كسورية. أحد أشكال هذا المنحنى يسمى ندفة الثلج كوخ.

تم التقاط أفكار التشابه الذاتي للشخصيات من قبل الفرنسي بول بيير ليفي، معلم بينوا ماندلبرو المستقبلي. في عام 1938، تم نشر مقالته "المنحنيات المستوية والمكانية والأسطح التي تتكون من أجزاء مشابهة للكل"، والتي تم فيها وصف كسورية أخرى - منحنى ليفي C. يمكن أن تُعزى كل هذه الفركتلات المذكورة أعلاه بشكل مشروط إلى فئة واحدة من الفركتلات البناءة (الهندسية).

فئة أخرى هي الفركتلات الديناميكية (الجبرية)، والتي تشمل مجموعة ماندلبروت. بدأ البحث الأول في هذا الاتجاه في بداية القرن العشرين ويرتبط بأسماء علماء الرياضيات الفرنسيين غاستون جوليا وبيير فاتو. في عام 1918، نشرت جوليا مذكرات مكونة من مائتي صفحة تقريبًا، مخصصة لتكرارات الوظائف العقلانية المعقدة، والتي تم فيها وصف مجموعات جوليا - عائلة كاملة من الفركتلات المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بمجموعة ماندلبروت. حصل هذا العمل على جائزة الأكاديمية الفرنسية، لكنه لم يحتوي على رسم توضيحي واحد، لذلك كان من المستحيل تقدير جمال الأشياء المكتشفة. على الرغم من أن هذا العمل جعل جوليا مشهورة بين علماء الرياضيات في ذلك الوقت، إلا أنه تم نسيانه بسرعة. مرة أخرى، تحول الاهتمام إليها بعد نصف قرن فقط مع ظهور أجهزة الكمبيوتر: فهي التي جعلت ثراء وجمال عالم الفركتلات مرئيًا.

الأبعاد الفراكتلية

كما تعلم، البعد (عدد القياسات) للشكل الهندسي هو عدد الإحداثيات اللازمة لتحديد موضع النقطة الواقعة على هذا الشكل.
على سبيل المثال، يتم تحديد موضع نقطة على منحنى بإحداثيات واحدة، وعلى سطح (ليس بالضرورة مستوى) بإحداثيتين، وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد بثلاثة إحداثيات.
من وجهة نظر رياضية أكثر عمومية، يمكن تحديد البعد بهذه الطريقة: زيادة الأبعاد الخطية، على سبيل المثال، مرتين، للكائنات أحادية البعد (من وجهة نظر طوبولوجية) (القطعة) تؤدي إلى زيادة في الحجم (الطول) بمعامل اثنين، ثنائي الأبعاد (مربع) نفس الزيادة في الأبعاد الخطية تؤدي إلى زيادة الحجم (المساحة) بمقدار 4 مرات، ثلاثي الأبعاد (مكعب) - بمقدار 8 مرات. أي أنه يمكن حساب البعد "الحقيقي" (ما يسمى هاوسدورف) على أنه نسبة لوغاريتم الزيادة في "حجم" الكائن إلى لوغاريتم الزيادة في حجمه الخطي. أي أنه بالنسبة للمقطع D=log (2)/log (2)=1، بالنسبة للمستوى D=log (4)/log (2)=2، بالنسبة للحجم D=log (8)/log (2) )=3.
دعونا الآن نحسب بعد منحنى كوخ، الذي يتم من خلاله تقسيم قطعة الوحدة إلى ثلاثة أجزاء متساوية ويتم استبدال الفاصل الأوسط بمثلث متساوي الأضلاع بدون هذا الجزء. مع زيادة الأبعاد الخطية للجزء الأدنى ثلاث مرات، يزداد طول منحنى كوخ في السجل (4) / السجل (3) ~ 1.26. أي أن بُعد منحنى كوخ كسري!

العلم والفن

في عام 1982، تم نشر كتاب ماندلبروت "الهندسة الكسورية للطبيعة"، حيث قام المؤلف بجمع وتنظيم جميع المعلومات تقريبا عن الفركتلات المتاحة في ذلك الوقت وعرضها بطريقة سهلة ويمكن الوصول إليها. لم يركز ماندلبروت بشكل أساسي في عرضه التقديمي على الصيغ الثقيلة والإنشاءات الرياضية، بل على الحدس الهندسي للقراء. بفضل الرسوم التوضيحية والقصص التاريخية التي تم إنشاؤها بواسطة الكمبيوتر، والتي خفف بها المؤلف بمهارة المكون العلمي للدراسة، أصبح الكتاب من أكثر الكتب مبيعًا، وأصبحت الفركتلات معروفة لعامة الناس. يرجع نجاحهم بين غير علماء الرياضيات إلى حد كبير إلى حقيقة أنه بمساعدة الإنشاءات والصيغ البسيطة جدًا التي يمكن حتى لطالب المدرسة الثانوية فهمها، يتم الحصول على صور ذات تعقيد مذهل وجمال. عندما أصبحت أجهزة الكمبيوتر الشخصية قوية بما فيه الكفاية، ظهر حتى اتجاه كامل في الفن - الرسم الكسري، ويمكن لأي مالك كمبيوتر تقريبًا القيام بذلك. يمكنك الآن العثور بسهولة على العديد من المواقع المخصصة لهذا الموضوع على الإنترنت.

مخطط للحصول على منحنى كوخ

الحرب و السلام

كما ذكر أعلاه، واحد من الأشياء الطبيعية، والتي لها خصائص كسورية، هو الساحل. معها، أو بالأحرى، مع محاولة قياس طولها، واحد قصة مثيرة للاهتماموالتي شكلت أساس مقالة ماندلبروت العلمية، والتي تم وصفها أيضًا في كتابه "الهندسة الكسورية للطبيعة". نحن نتحدث عن تجربة قام بها لويس ريتشاردسون، عالم الرياضيات والفيزيائي والأرصاد الجوية الموهوب للغاية وغريب الأطوار. كان أحد اتجاهات بحثه هو محاولة العثور على وصف رياضي لأسباب واحتمال نشوب صراع مسلح بين البلدين. ومن بين المعايير التي أخذها في الاعتبار طول الحدود المشتركة بين البلدين المتحاربين. عندما جمع بيانات للتجارب العددية، وجد أنه في مصادر مختلفة، تختلف البيانات المتعلقة بالحدود المشتركة بين إسبانيا والبرتغال اختلافًا كبيرًا. وقد قاده ذلك إلى الاكتشاف التالي: طول حدود البلاد يعتمد على المسطرة التي نقيسها بها. كلما كان المقياس أصغر، كلما كانت الحدود أطول. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه عند التكبير الأعلى، يصبح من الممكن مراعاة المزيد والمزيد من انحناءات الساحل، والتي تم تجاهلها سابقًا بسبب خشونة القياسات. وإذا تم فتح انحناءات الخطوط غير المحسوبة مسبقًا مع كل تكبير، فسيتبين أن طول الحدود لا نهائي! صحيح أن هذا لا يحدث في الواقع - لقد تمت دقة قياساتنا الحد النهائي. وتسمى هذه المفارقة بتأثير ريتشاردسون.

فركتلات بنائية (هندسية).

خوارزمية إنشاء كسورية بناءة في الحالة العامة هي كما يلي. أولًا، نحتاج إلى شكلين هندسيين مناسبين، لنسميهما القاعدة والجزء. في المرحلة الأولى، يتم تصوير أساس الفراكتل المستقبلي. ثم يتم استبدال بعض أجزائه بجزء مأخوذ بمقياس مناسب - وهذا هو التكرار الأول للبناء. ثم، في الشكل الناتج، تتغير بعض الأجزاء مرة أخرى إلى أشكال مشابهة للجزء، وهكذا، إذا واصلنا هذه العملية إلى أجل غير مسمى، فعندئذ نحصل على فركتال.

فكر في هذه العملية باستخدام مثال منحنى كوخ (انظر الشريط الجانبي في الصفحة السابقة). يمكن اعتبار أي منحنى أساسًا لمنحنى كوخ (بالنسبة لندفة ثلج كوخ، هذا مثلث). لكننا نقتصر على أبسط حالة - شريحة. الجزء عبارة عن خط متقطع يظهر في الجزء العلوي من الشكل. بعد التكرار الأول للخوارزمية، في هذه الحالة، سيتزامن الجزء الأصلي مع الجزء، ثم سيتم استبدال كل جزء من الأجزاء المكونة له بحد ذاته بخط متقطع مشابه للجزء، وهكذا، يوضح الشكل الأربعة الأولى خطوات هذه العملية.

لغة الرياضيات: الفركتلات الديناميكية (الجبرية).

فركتلات من هذا النوع تنشأ في دراسة غير الخطية الأنظمة الديناميكية(وبالتالي الاسم). يمكن وصف سلوك مثل هذا النظام من خلال دالة غير خطية معقدة (متعددة الحدود) f(z). دعونا نأخذ بعض النقطة الأولية z0 على المستوى المركب (انظر الشريط الجانبي). الآن فكر في مثل هذا التسلسل اللانهائي من الأرقام على المستوى المركب، كل منها تم الحصول عليه من الرقم السابق: z0، z1=f (z0)، z2=f (z1)، … zn+1=f (zn). اعتمادًا على النقطة الأولية z0، يمكن أن يتصرف هذا التسلسل بشكل مختلف: يميل إلى ما لا نهاية كـ n -> ∞؛ تتلاقى إلى نقطة النهاية. تأخذ دوريا عددا من القيم الثابتة؛ خيارات أكثر تعقيدا ممكنة.

ارقام مركبة

الرقم المركب هو رقم يتكون من جزأين - حقيقي وتخيلي، أي المجموع الرسمي x + iy (x و y هنا أرقام حقيقية). أنا هو ما يسمى. الوحدة التخيلية، أي الرقم الذي يحقق المعادلة أنا ^ 2 = -1. على الأعداد المعقدة، الرئيسية عمليات رياضية- الجمع والضرب والقسمة والطرح (لم يتم تعريف عملية المقارنة فقط). لعرض الأعداد المركبة، غالبًا ما يتم استخدام التمثيل الهندسي - على المستوى (يسمى معقدًا)، يتم رسم الجزء الحقيقي على طول محور الإحداثي، والجزء التخيلي على طول المحور الإحداثي، في حين أن الرقم المركب سوف يتوافق مع نقطة مع الإحداثيات الديكارتية x و y.

وبالتالي، فإن أي نقطة z من المستوى المعقد لها سلوكها الخاص أثناء تكرارات الدالة f (z)، ويتم تقسيم المستوى بأكمله إلى أجزاء. علاوة على ذلك، فإن النقاط الموجودة على حدود هذه الأجزاء لها الخاصية التالية: بالنسبة للإزاحة الصغيرة بشكل تعسفي، تتغير طبيعة سلوكها بشكل كبير (تسمى هذه النقاط نقاط التشعب). لذلك، اتضح أن مجموعات النقاط التي لها نوع واحد محدد من السلوك، بالإضافة إلى مجموعات نقاط التشعب، غالبًا ما يكون لها خصائص كسورية. هذه هي مجموعات جوليا للدالة f(z).

عائلة التنين

من خلال تغيير القاعدة والجزء، يمكنك الحصول على مجموعة مذهلة من الفركتلات البناءة.
علاوة على ذلك، يمكن تنفيذ عمليات مماثلة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. ومن أمثلة الفركتلات الحجمية "إسفنجة مينجر" و"هرم سيربينسكي" وغيرها.
يشار إلى عائلة التنانين أيضًا بالفركتلات البناءة. ويشار إليهم أحيانًا باسم المكتشفين باسم "تنانين هيوي-هاتر" (وهي تشبه التنانين الصينية في شكلها). هناك عدة طرق لبناء هذا المنحنى. أبسطها وأكثرها وضوحًا هو: عليك أن تأخذ شريطًا طويلًا بما فيه الكفاية من الورق (كلما كانت الورقة أرق، كلما كان ذلك أفضل)، وثنيها إلى النصف. ثم قم بثنيها مرة أخرى إلى النصف في نفس اتجاه المرة الأولى. بعد عدة تكرارات (عادة بعد خمس أو ست طيات، يصبح الشريط سميكًا جدًا بحيث لا يمكن ثنيه بعناية أكثر)، تحتاج إلى فرد الشريط للخلف، ومحاولة تشكيل زوايا 90 درجة عند الطيات. ثم سيظهر منحنى التنين في الملف الشخصي. وبطبيعة الحال، سيكون هذا مجرد تقدير تقريبي، مثل كل محاولاتنا لتصوير الأجسام الكسرية. يتيح لك الكمبيوتر تصوير العديد من الخطوات في هذه العملية، والنتيجة هي شخصية جميلة جدًا.

تم إنشاء مجموعة ماندلبروت بشكل مختلف إلى حد ما. خذ بعين الاعتبار الدالة fc (z) = z 2 +c، حيث c عدد مركب. دعونا نبني تسلسلاً لهذه الدالة مع z0=0، اعتمادًا على المعلمة c، يمكن أن تتباعد إلى ما لا نهاية أو تظل محدودة. علاوة على ذلك، فإن جميع قيم c التي يحدها هذا التسلسل تشكل مجموعة ماندلبروت. تمت دراستها بالتفصيل من قبل ماندلبرو نفسه وعلماء الرياضيات الآخرين الذين اكتشفوا الكثير خصائص مثيرة للاهتمامهذه المجموعة.

يمكن ملاحظة أن تعريفات مجموعتي جوليا وماندلبروت متشابهة مع بعضها البعض. في الواقع، هاتان المجموعتان مرتبطتان ارتباطًا وثيقًا. وهي مجموعة ماندلبروت هي جميع قيم المعلمة المعقدة c التي تتصل بها مجموعة جوليا fc (z) (تسمى المجموعة متصلة إذا لم يكن من الممكن تقسيمها إلى جزأين غير متقاطعين، مع بعض الشروط الإضافية).

فركتلات والحياة

في الوقت الحاضر، يتم استخدام نظرية الفركتلات على نطاق واسع في مختلف مجالات النشاط البشري. بالإضافة إلى كائن علمي بحت للبحث واللوحة الكسورية المذكورة بالفعل، يتم استخدام الفركتلات في نظرية المعلومات لضغط البيانات الرسومية (هنا، يتم استخدام خاصية التشابه الذاتي للفركتلات بشكل أساسي - بعد كل شيء، من أجل تذكر جزء صغير من الرسم والتحويلات التي يمكنك من خلالها الحصول على بقية الأجزاء، يستغرق الأمر ذاكرة أقل بكثير من تخزين الملف بأكمله). من خلال إضافة اضطرابات عشوائية إلى الصيغ التي تحدد الفركتلات، يمكنك الحصول على فركتلات عشوائية تنقل بشكل معقول بعض الأشياء الحقيقية - عناصر الإغاثة، وسطح المسطحات المائية، وبعض النباتات، والتي يتم استخدامها بنجاح في الفيزياء والجغرافيا ورسومات الكمبيوتر لتحقيقها تشابه أكبر للأشياء المحاكاة مع الأشياء الحقيقية. في الإلكترونيات الراديوية، في العقد الماضي، بدأوا في إنتاج هوائيات ذات شكل كسورية. تشغل مساحة صغيرة، وتوفر استقبال إشارة عالي الجودة. يستخدم الاقتصاديون الفركتلات لوصف منحنيات تقلبات العملة (اكتشف ماندلبروت هذه الخاصية منذ أكثر من 30 عامًا). وبهذا تنتهي هذه الرحلة القصيرة إلى عالم الفركتلات المذهل بجماله وتنوعه.