تعريف.دع الدالة y = f(x) يتم تعريفها عند النقطة x0 وبعض المناطق المجاورة لها. يتم استدعاء الدالة y = f(x). مستمر عند النقطة x0، لو:

1. موجود
2. هذه النهاية تساوي قيمة الدالة عند النقطة x0:

عند تعريف الحد، تم التأكيد على أنه لا يجوز تعريف f(x) عند النقطة x0، وإذا تم تعريفه عند هذه النقطة، فإن قيمة f(x0) لا تشارك بأي شكل من الأشكال في تحديد الحد. عند تحديد الاستمرارية، من الأساسي وجود f(x0)، ويجب أن تكون هذه القيمة مساوية لـ lim f(x).

تعريف.دع الدالة y = f(x) يتم تعريفها عند النقطة x0 وبعض المناطق المجاورة لها. تسمى الدالة f(x) مستمرة عند نقطة x0 إذا كان لكل ε>0 رقم موجب δ بحيث يكون لكل x في حي δ للنقطة x0 (أي |x-x0|
يؤخذ في الاعتبار هنا أن قيمة الحد يجب أن تكون مساوية لـ f(x0)، وبالتالي، بالمقارنة مع تعريف الحد، تتم إزالة شرط ثقب الحي δ 0
دعونا نعطي تعريفًا آخر (مكافئًا للتعريف السابق) من حيث الزيادات. دعنا نشير إلى Δ× = x - x0، وسوف نسمي هذه القيمة زيادة الوسيطة. منذ x->x0، ثم Δx->0، أي Δx - b.m. كمية (متناهية الصغر). دعونا نشير إلى Δу = f(x)-f(x0)، وسوف نسمي هذه القيمة زيادة الدالة، حيث |Δу| يجب أن يكون (للصغير بدرجة كافية |Δkh|) أقل من رقم تعسفي ε>0، ثم Δу- هو أيضًا b.m. قيمة، لذلك

تعريف.دع الدالة y = f(x) يتم تعريفها عند النقطة x0 وبعض المناطق المجاورة لها. يتم استدعاء الدالة f(x). مستمر عند النقطة x0، إذا كانت الزيادة المتناهية الصغر في الوسيطة تتوافق مع زيادة متناهية الصغر في الدالة.

تعريف.الدالة f(x) غير متصلة عند النقطة x0، تسمى متقطعةعند هذه النقطة.

تعريف.تسمى الدالة f(x) مستمرة على المجموعة X إذا كانت مستمرة عند كل نقطة من هذه المجموعة.

نظرية استمرارية المجموع، حاصل الضرب، حاصل القسمة

نظرية المرور إلى النهاية تحت إشارة الدالة المستمرة

نظرية استمرارية تراكب الدوال المستمرة

دع الدالة f(x) يتم تعريفها على فترة زمنية وتكون رتيبة في هذه الفترة. ثم يمكن أن تحتوي f(x) على نقاط انقطاع من النوع الأول فقط في هذا المقطع.

نظرية القيمة المتوسطة.إذا كانت الدالة f(x) متصلة على مقطع وعند نقطتين a و b (a أقل من b) تأخذ قيمًا غير متساوية A = f(a) ≠ B = f(b)، ثم لأي رقم C تقع بين A وB، هناك نقطة c ∈ تكون عندها قيمة الدالة تساوي C: f(c) = C.

نظرية حدود الدالة المستمرة على فترة.إذا كانت الدالة f(x) متصلة على فترة ما، فإنها تكون محصورة في هذه الفترة.

نظرية تحقيق الحد الأدنى و القيم القصوى. إذا كانت الدالة f(x) متصلة على فترة ما، فإنها تصل إلى حديها الأدنى والأعلى في هذه الفترة.

نظرية استمرارية الدالة العكسية.دع الدالة y=f(x) تكون مستمرة ومتزايدة (تتناقصية) بشكل صارم على الفترة [a,b]. ثم توجد على المقطع دالة عكسية x = g(y)، كما أنها تزيد (تتناقص) بشكل رتيب ومستمر.

استمرارية الوظيفة. نقاط الانهيار.

الثور يمشي ويتمايل ويتنهد وهو يمشي:
- أوه، اللوحة تنفد، والآن سأسقط!

في هذا الدرس سوف ندرس مفهوم استمرارية الدالة وتصنيف نقاط الانقطاع والمشترك مشكلة عملية دراسات استمرارية الوظائف. من اسم الموضوع، يخمن الكثيرون بشكل حدسي ما سيتم مناقشته ويعتقدون أن المادة بسيطة للغاية. هذا صحيح. لكن المهام البسيطة هي التي تُعاقب في أغلب الأحيان بسبب الإهمال والنهج السطحي لحلها. لذلك أنصحك بدراسة المقالة بعناية فائقة والتعرف على كل التفاصيل الدقيقة والتقنيات.

ما الذي تحتاج إلى معرفته وتكون قادرًا على فعله؟ليس كثيرا. لكي تتعلم الدرس جيدًا، عليك أن تفهم ما هو حد الوظيفة. بالنسبة للقراء ذوي المستوى المنخفض من الإعداد، يكفي فهم المقال حدود الوظيفة. أمثلة على الحلولوالنظر معنى هندسيالحد في الدليل الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية. ومن المستحسن أيضًا أن تتعرف عليها التحولات الهندسية للرسوم البيانية، نظرًا لأن الممارسة في معظم الحالات تتضمن إنشاء رسم. التوقعات متفائلة للجميع، وحتى الغلاية الكاملة ستكون قادرة على التعامل مع المهمة بمفردها خلال الساعة أو الساعتين التاليتين!

استمرارية الوظيفة. نقاط التوقف وتصنيفها

مفهوم استمرارية الوظيفة

لنفكر في دالة متصلة على خط الأعداد بالكامل:

أو، لنقولها بشكل أكثر إيجازا، وظيفتنا مستمرة على (المجموعة أرقام حقيقية).

ما هو المعيار "الضيق الأفق" للاستمرارية؟ من الواضح أنه يمكن رسم الرسم البياني للدالة المستمرة دون رفع القلم الرصاص عن الورقة.

وفي هذه الحالة، يجب التمييز بوضوح بين مفهومين بسيطين: مجال الوظيفةو استمرارية الوظيفة. على العموم إنه ليس نفس الشيء. على سبيل المثال:

يتم تعريف هذه الوظيفة على خط الأعداد بأكمله، أي ل الجميعمعنى "x" له معناه الخاص "y". على وجه الخصوص، إذا، ثم. لاحظ أن النقطة الأخرى موضوعة بعلامات ترقيم، لأنه من خلال تعريف الدالة، يجب أن تتوافق قيمة الوسيطة معها الشيء الوحيدقيمة الوظيفة. هكذا، اِختِصاصوظيفتنا : .

لكن هذه الوظيفة ليست مستمرة!ومن الواضح تمامًا أنها تعاني في هذه المرحلة فجوة. المصطلح أيضًا واضح ومرئي تمامًا، في الواقع، هنا يجب أن يتم تمزيق قلم الرصاص من الورقة على أي حال. بعد ذلك بقليل سننظر في تصنيف نقاط التوقف.

استمرارية الدالة عند نقطة وعلى فترة

في مسألة رياضية معينة، يمكننا التحدث عن استمرارية دالة عند نقطة ما، أو استمرارية دالة على فترة، أو نصف فترة، أو استمرارية دالة على قطعة. إنه، لا يوجد "مجرد استمرارية"- يمكن أن تكون الوظيفة مستمرة في مكان ما. و"لبنة البناء" الأساسية لكل شيء آخر هي استمرارية الوظيفة عند هذه النقطة .

تعطي نظرية التحليل الرياضي تعريفا لاستمرارية الدالة عند نقطة ما باستخدام حيي “دلتا” و”إبسيلون”، ولكن عمليا هناك تعريف مختلف في الاستخدام، والذي سنوليه اهتماما وثيقا.

أولا دعونا نتذكر حدود من جانب واحدالذي اقتحم حياتنا في الدرس الأول حول الرسوم البيانية الوظيفية. فكر في موقف يومي:

إذا اقتربنا من المحور إلى هذه النقطة غادر(السهم الأحمر)، فإن القيم المقابلة لـ "الألعاب" ستمتد على طول المحور إلى النقطة (السهم القرمزي). رياضيا هذه الحقيقةثابت مع الحد الأيسر:

انتبه إلى الإدخال (يقرأ "x يميل إلى ka على اليسار"). يرمز "المضاف" "ناقص صفر". ، وهذا يعني في الأساس أننا نقترب من الرقم من الجانب الأيسر.

وبالمثل، إذا اقتربت من النقطة "كا" على اليمين(السهم الأزرق)، فإن "الألعاب" ستصل إلى نفس القيمة، ولكن على طول السهم الأخضر، و الحد الأيمنسيتم تنسيقها على النحو التالي:

"المضاف" يرمز ، ويقول الإدخال: "x يميل إلى ka على اليمين."

إذا كانت النهايات من جهة واحدة منتهية ومتساوية(كما في حالتنا): فسنقول أن هناك حدًا عامًا. الأمر بسيط، الحد العام هو "المعتاد" لدينا حد الوظيفة، يساوي عددا منتهيا.

لاحظ أنه إذا لم يتم تعريف الدالة عند (أخرج النقطة السوداء في فرع الرسم البياني)، فستظل الحسابات المذكورة أعلاه صالحة. كما سبق أن أشرنا عدة مرات، ولا سيما في المقال على وظائف متناهية الصغر، التعبيرات تعني أن "x" قريبة بلا حدوديقترب من هذه النقطة، في حين لا يهم، سواء تم تعريف الوظيفة نفسها عند نقطة معينة أم لا. مثال جيدسوف تظهر في الفقرة التالية، عندما يتم تحليل الوظيفة.

تعريف: تكون الدالة متصلة عند نقطة ما إذا كانت نهاية الدالة عند نقطة معينة تساوي قيمة الدالة عند تلك النقطة: .

التعريف مفصل في وفقا للشروط:

1) يجب تعريف الدالة عند النقطة، أي أن القيمة يجب أن تكون موجودة.

2) يجب أن يكون هناك حد عام للوظيفة. وكما ذكر أعلاه، فإن هذا يعني وجود ومساواة الحدود من جانب واحد: .

3) نهاية الدالة عند نقطة معينة يجب أن تكون مساوية لقيمة الدالة عند هذه النقطة: .

إذا انتهكت مرة على الأقلمن ثلاثة شروطعندها تفقد الدالة خاصية الاستمرارية عند النقطة .

استمرارية الدالة خلال فترة زمنيةتمت صياغتها ببراعة وبساطة شديدة: تكون الدالة متصلة على الفترة إذا كانت متصلة عند كل نقطة من الفترة المعطاة.

على وجه الخصوص، العديد من الدوال تكون متصلة على فترة لا نهائية، أي على مجموعة الأعداد الحقيقية. هذه دالة خطية، متعددة الحدود، أسية، جيب التمام، جيب التمام، وما إلى ذلك. وبشكل عام، أي وظيفة أوليةالمستمر عليها مجال التعريف، على سبيل المثال، وظيفة لوغاريتميةمستمر على الفترة . نأمل أن تكون لديك الآن فكرة جيدة عن الشكل الذي تبدو عليه الرسوم البيانية للوظائف الأساسية. يمكن العثور على مزيد من المعلومات حول استمراريتها في شخص لطيفباللقب Fichtengolts.

مع استمرارية الدالة على قطعة وأنصاف الفترات، فإن كل شيء ليس صعبًا أيضًا، ولكن من المناسب التحدث عن ذلك في الفصل حول العثور على الحد الأدنى والحد الأقصى لقيم دالة على مقطع ماولكن في الوقت الحالي دعونا لا نقلق بشأن ذلك.

تصنيف نقاط التوقف

إن الحياة الرائعة للوظائف غنية بجميع أنواع النقاط الخاصة، ونقاط الاستراحة ليست سوى صفحة واحدة من صفحات سيرتهم الذاتية.

ملحوظة : في حالة حدوث ذلك، سأتناول نقطة أولية: نقطة الانهيار هي دائمًا نقطة واحدة- لا يوجد "عدة نقاط استراحة متتالية"، أي أنه لا يوجد شيء اسمه "فاصل فاصل".

وتنقسم هذه النقاط بدورها إلى مجموعتين كبيرتين: تمزقات من النوع الأولو تمزقات من النوع الثاني. كل نوع من الفجوة له خاصته صفاتوالتي سننظر إليها الآن:

نقطة الانقطاع من النوع الأول

إذا تم انتهاك شرط الاستمرارية عند نقطة ما وحدود من جانب واحد محدود ، ثم يطلق عليه نقطة انقطاع من النوع الأول.

لنبدأ بالحالة الأكثر تفاؤلاً. وفقا للفكرة الأصلية للدرس، أردت أن أقول النظرية "في منظر عام"، ولكن من أجل إظهار حقيقة المادة، استقريت على الخيار بشخصيات محددة.

حزين، مثل صورة للعروسين في الخلفية شعلة أزلية، ولكن الإطار التالي مقبول بشكل عام. دعونا نصور الرسم البياني للوظيفة في الرسم:


هذه الدالة متصلة على خط الأعداد بأكمله، ما عدا النقطة. وفي الواقع، لا يمكن أن يساوي المقام صفرًا. ومع ذلك، وفقا لمعنى الحد، يمكننا ذلك قريبة بلا حدودالاقتراب من "الصفر" من اليسار ومن اليمين، أي أن الحدود أحادية الجانب موجودة، ومن الواضح أنها تتزامن:
(تم استيفاء الشرط رقم 2 الخاص بالاستمرارية).

لكن الدالة لم يتم تعريفها عند هذه النقطة، لذلك تم انتهاك الشرط رقم 1 من الاستمرارية، وتعاني الدالة من عدم الاستمرارية عند هذه النقطة.

استراحة من هذا النوع (مع الموجود الحد العام) وتسمى فجوة قابلة للإصلاح. لماذا قابلة للإزالة؟ لأن الوظيفة يمكن إعادة تعريفعند نقطة الانهيار:

هل يبدو غريبا؟ ربما. لكن مثل هذا التدوين الوظيفي لا يتعارض مع أي شيء! والآن أغلقت الفجوة وأصبح الجميع سعداء:


لنجري فحصًا رسميًا:

2) - هناك حد عام؛
3)

وبذلك تتحقق الشروط الثلاثة، وتكون الدالة متصلة عند نقطة حسب تعريف استمرارية الدالة عند نقطة.

ومع ذلك، يمكن لمكرهي الماتان تعريف الوظيفة بطريقة سيئة، على سبيل المثال :


ومن المثير للاهتمام أن شرطي الاستمرارية الأولين قد تم استيفاءهما هنا:
1) - يتم تعريف الوظيفة عند نقطة معينة؛
2) - هناك حد عام.

لكن الحد الثالث لم يتم تجاوزه: أي حد الدالة عند النقطة غير متساويقيمة دالة معينة عند نقطة معينة.

وبالتالي، عند نقطة ما تعاني الوظيفة من انقطاع.

الحالة الثانية الأكثر حزنا تسمى تمزق من النوع الأول مع قفزة. والحزن يثيره حدود من جانب واحد محدودة ومختلفة. يظهر مثال في الرسم الثاني للدرس. عادة ما تحدث مثل هذه الفجوة عندما وظائف محددة جزئيا، والتي سبق ذكرها في المقال حول التحولات الرسم البياني.

خذ بعين الاعتبار الدالة متعددة التعريف وسنكمل رسمها. كيفية بناء الرسم البياني؟ بسيط جدا. على نصف فاصل نرسم جزءًا من القطع المكافئ ( اللون الاخضر)، على الفاصل الزمني – قطعة خط مستقيم (أحمر) وعلى نصف الفاصل – خط مستقيم ( لون ازرق).

علاوة على ذلك، بسبب عدم المساواة، يتم تحديد القيمة ل وظيفة من الدرجة الثانية(النقطة الخضراء)، ونظرًا للمتراجحة، يتم تحديد قيمة الدالة الخطية (النقطة الزرقاء):

في الحالة الأكثر صعوبة، يجب عليك اللجوء إلى البناء نقطة بنقطة لكل جزء من الرسم البياني (انظر الأول درس حول الرسوم البيانية للوظائف).

الآن سنكون مهتمين فقط بهذه النقطة. دعونا نفحصها من أجل الاستمرارية:

2) دعونا نحسب الحدود من جانب واحد.

على اليسار لدينا قطعة خط أحمر، وبالتالي فإن الحد من الجانب الأيسر هو:

على اليمين يوجد الخط المستقيم الأزرق، والحد الأيمن:

ونتيجة لذلك، تلقينا أعداد محدودة، و هم غير متساوي. منذ حدود من جانب واحد محدودة ومختلفة: ، فإن وظيفتنا تتحمل انقطاع من النوع الأول مع قفزة.

من المنطقي أنه لا يمكن إزالة هذه الفجوة - فالوظيفة في الواقع لا يمكن تعريفها بشكل أكبر و"لصقها معًا"، كما في المثال السابق.

نقاط الانقطاع من النوع الثاني

عادة، يتم تصنيف جميع حالات التمزق الأخرى بذكاء ضمن هذه الفئة. لن أدرج كل شيء، لأنه في الممارسة العملية، ستواجه 99٪ من المشاكل فجوة لا نهاية لها- عندما يكون الشخص أعسرًا أو أيمنًا، وفي أغلب الأحيان، يكون كلا الحدين لا نهائيين.

وبالطبع، الصورة الأكثر وضوحًا هي القطع الزائد عند النقطة صفر. هنا كلا الحدين من جانب واحد لا نهائيان: ولذلك تعاني الدالة من انقطاع من النوع الثاني عند النقطة .

أحاول ملء مقالاتي بمحتوى متنوع قدر الإمكان، لذلك دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني للوظيفة التي لم تتم مواجهتها بعد:

وفقًا للمخطط القياسي:

1) لم يتم تعريف الدالة في هذه المرحلة لأن المقام يذهب إلى الصفر.

بالطبع، يمكننا أن نستنتج على الفور أن الدالة تعاني من انقطاع عند النقطة، ولكن سيكون من الجيد تصنيف طبيعة الانقطاع، والذي غالبًا ما يتطلبه الشرط. لهذا:

اسمحوا لي أن أذكركم أننا نعني بالتسجيل عدد سلبي لا متناه، وتحت الإدخال - عدد موجب متناهية الصغر.

الحدود من جانب واحد لا نهائية، مما يعني أن الدالة تعاني من انقطاع من النوع الثاني عند النقطة . المحور y هو الخط المقارب الرأسيللرسم البياني.

ليس من غير المألوف وجود كلا النهايتين من جانب واحد، ولكن أحدهما فقط لانهائي، على سبيل المثال:

هذا هو الرسم البياني للوظيفة.

نحن ندرس نقطة الاستمرارية:

1) لم يتم تعريف الوظيفة في هذه المرحلة.

2) دعونا نحسب الحدود من جانب واحد:

سنتحدث عن طريقة حساب هذه الحدود أحادية الجانب في المثالين الأخيرين من المحاضرة، على الرغم من أن العديد من القراء قد رأوا كل شيء وخمنوه بالفعل.

الحد الأيسر محدود ويساوي الصفر (نحن "لا نذهب إلى النقطة نفسها")، لكن الحد الأيمن لا نهائي و فرع برتقاليالرسومات قريبة بشكل لا نهائي من رسوماتها الخط المقارب الرأسي، تعطى بالمعادلة (خط منقط أسود).

وبالتالي فإن الوظيفة تعاني انقطاع النوع الثانيعند نقطة .

أما بالنسبة للانقطاع من النوع الأول فيمكن تعريف الدالة عند نقطة الانقطاع نفسها. على سبيل المثال، لوظيفة متعددة التعريف لا تتردد في وضع نقطة سوداء غامقة عند أصل الإحداثيات. على اليمين فرع من القطع الزائد، والحد الأيمن لا نهائي. أعتقد أن الجميع تقريبًا لديه فكرة عما يبدو عليه هذا الرسم البياني.

ما كان الجميع يتطلع إليه:

كيفية فحص وظيفة للاستمرارية؟

يتم إجراء دراسة دالة الاستمرارية عند نقطة ما وفقًا لمخطط روتيني محدد بالفعل، والذي يتكون من التحقق من ثلاثة شروط للاستمرارية:

مثال 1

استكشاف الوظيفة

حل:

1) النقطة الوحيدة داخل النطاق هي حيث لم يتم تعريف الوظيفة.

2) دعونا نحسب الحدود من جانب واحد:

الحدود من جانب واحد محدودة ومتساوية.

وبالتالي، عند هذه النقطة تعاني الوظيفة من انقطاع قابل للإزالة.

كيف يبدو الرسم البياني لهذه الوظيفة؟

أود أن أبسط ، ويبدو أنه تم الحصول على قطع مكافئ عادي. لكنلم يتم تعريف الوظيفة الأصلية عند النقطة، لذلك مطلوب العبارة التالية:

لنقم بالرسم:

إجابة: تكون الدالة متصلة على خط الأعداد بأكمله باستثناء النقطة التي تعاني فيها من انقطاع قابل للإزالة.

يمكن تعريف الوظيفة بشكل أكبر بطريقة جيدة أو غير جيدة، ولكن وفقًا للشرط، فإن هذا غير مطلوب.

هل تقول أن هذا مثال بعيد المنال؟ مُطْلَقاً. لقد حدث هذا عشرات المرات في الممارسة العملية. تأتي جميع مهام الموقع تقريبًا من عمل واختبارات حقيقية مستقلة.

دعونا نتخلص من الوحدات المفضلة لدينا:

مثال 2

استكشاف الوظيفة من أجل الاستمرارية. تحديد طبيعة الانقطاعات الوظيفية إن وجدت. نفذ الرسم.

حل: لسبب ما، يشعر الطلاب بالخوف ولا يحبون الوظائف التي تحتوي على وحدة نمطية، على الرغم من عدم وجود شيء معقد فيها. لقد تطرقنا بالفعل إلى مثل هذه الأشياء قليلاً في الدرس. التحولات الهندسية للرسوم البيانية. وبما أن الوحدة غير سلبية، يتم توسيعها على النحو التالي: ، حيث "alpha" هي بعض التعبيرات. في هذه الحالة، ويجب كتابة وظيفتنا بالقطعة:

ولكن يجب تقليل كسور كلا القطعتين بمقدار . التخفيض، كما في المثال السابق، لن يتم دون عواقب. لم يتم تعريف الدالة الأصلية عند هذه النقطة لأن المقام يصل إلى الصفر. لذلك، يجب على النظام بالإضافة إلى ذلك تحديد الشرط، وجعل عدم المساواة الأولى صارمة:

الآن عن تقنية اتخاذ القرار المفيدة جدًا: قبل الانتهاء من المهمة على المسودة، من المفيد إجراء رسم (بغض النظر عما إذا كانت الشروط مطلوبة أم لا). سيساعد ذلك، أولا، على رؤية نقاط الاستمرارية ونقاط الانقطاع على الفور، وثانيا، سوف يحميك بنسبة 100٪ من الأخطاء عند العثور على حدود من جانب واحد.

دعونا نفعل الرسم. وفقًا لحساباتنا، من الضروري رسم جزء من القطع المكافئ (اللون الأزرق) على يسار النقطة، وعلى اليمين - قطعة من القطع المكافئ (اللون الأحمر)، بينما لم يتم تعريف الوظيفة عند نقطة نفسها:

إذا كنت في شك، فخذ بعض قيم x وقم بتوصيلها بالوظيفة (تذكر أن الوحدة تدمر علامة الطرح المحتملة) وتحقق من الرسم البياني.

دعونا نفحص وظيفة الاستمرارية تحليليا:

1) الدالة غير محددة عند النقطة، لذلك يمكننا القول على الفور أنها غير متصلة عندها.

2) لنحدد طبيعة الانقطاع، وللقيام بذلك نحسب الحدود من جانب واحد:

النهايات أحادية الجانب منتهية ومختلفة، مما يعني أن الدالة تعاني من انقطاع من النوع الأول مع القفز عند النقطة . لاحظ مرة أخرى أنه عند إيجاد الحدود، لا يهم ما إذا كانت الدالة عند نقطة التوقف محددة أم لا.

الآن كل ما تبقى هو نقل الرسم من المسودة (تم إجراؤه كما لو كان بمساعدة البحث ؛-)) وإكمال المهمة:

إجابة: تكون الدالة متصلة على خط الأعداد بأكمله باستثناء النقطة التي تعاني فيها من انقطاع من النوع الأول مع قفزة.

في بعض الأحيان يحتاجون إلى إشارة إضافية إلى قفزة التوقف. يتم حسابه ببساطة - من الحد الأيمن تحتاج إلى طرح الحد الأيسر: أي أنه عند نقطة الاستراحة قفزت وظيفتنا بمقدار وحدتين (كما تخبرنا علامة الطرح).

مثال 3

استكشاف الوظيفة من أجل الاستمرارية. تحديد طبيعة الانقطاعات الوظيفية إن وجدت. جعل الرسم.

وهذا مثال ل قرار مستقل, عينة تقريبيةالحلول في نهاية الدرس.

دعنا ننتقل إلى الإصدار الأكثر شيوعًا وانتشارًا للمهمة، حيث تتكون الوظيفة من ثلاثة أجزاء:

مثال 4

فحص دالة للاستمرارية ورسم رسم بياني للوظيفة .

حل: من الواضح أن الأجزاء الثلاثة للدالة متصلة على الفواصل الزمنية المقابلة، لذلك يبقى التحقق من نقطتي "التقاطع" فقط بين القطع. أولاً، لنقم بعمل مسودة رسم، لقد علقت على تقنية البناء بتفاصيل كافية في الجزء الأول من المقالة. الشيء الوحيد هو أننا بحاجة إلى متابعة النقاط الفردية بعناية: بسبب عدم المساواة، تنتمي القيمة إلى الخط المستقيم (النقطة الخضراء)، وبسبب عدم المساواة، تنتمي القيمة إلى القطع المكافئ (النقطة الحمراء):


حسنًا، من حيث المبدأ، كل شيء واضح =) كل ما تبقى هو إضفاء الطابع الرسمي على القرار. لكل نقطة من نقطتي "الانضمام"، نتحقق بشكل قياسي من 3 شروط للاستمرارية:

أنا)نحن ندرس نقطة الاستمرارية

1)

النهايات أحادية الجانب منتهية ومختلفة، مما يعني أن الدالة تعاني من انقطاع من النوع الأول مع القفز عند النقطة .

دعونا نحسب قفزة التوقف كالفرق بين الحدين الأيمن والأيسر:
أي أن الرسم البياني قد ارتفع بمقدار وحدة واحدة.

ثانيا)نحن ندرس نقطة الاستمرارية

1) - يتم تعريف الوظيفة عند نقطة معينة.

2) البحث عن حدود من جانب واحد:

- النهايات من جهة واحدة منتهية ومتساوية، مما يعني أن هناك نهاية عامة.

3) - نهاية الدالة عند نقطة ما تساوي قيمة هذه الدالة عند نقطة معينة.

في المرحلة النهائية ننقل الرسم إلى النسخة النهائية وبعد ذلك نضع الوتر النهائي:

إجابة: تكون الدالة متصلة على خط الأعداد بأكمله، باستثناء النقطة التي تعاني فيها من انقطاع من النوع الأول مع قفزة.

مثال 5

فحص دالة للاستمرارية وإنشاء الرسم البياني الخاص بها .

هذا مثال للحل المستقل وحل قصير وعينة تقريبية للمشكلة في نهاية الدرس.

قد يتولد لديك انطباع بأن الدالة في مرحلة ما يجب أن تكون مستمرة، وفي نقطة أخرى يجب أن يكون هناك انقطاع. في الممارسة العملية، هذا ليس هو الحال دائما. حاول ألا تهمل الأمثلة المتبقية - سيكون هناك العديد من الميزات المثيرة للاهتمام والمهمة:

مثال 6

نظرا لوظيفة . التحقيق في وظيفة الاستمرارية عند النقاط. قم ببناء رسم بياني.

حل: ومرة ​​أخرى قم بتنفيذ الرسم على المسودة على الفور:

تكمن خصوصية هذا الرسم البياني في أن الدالة المتعددة التعريف تُعطى بواسطة معادلة محور الإحداثي السيني. هنا هذه المنطقةمسحوب أخضر، وعادة ما يتم تمييزه في دفتر الملاحظات بالخط العريض باستخدام قلم رصاص بسيط. وبالطبع، لا ننسى كباشنا: القيمة تنتمي إلى فرع المماس (النقطة الحمراء)، والقيمة تنتمي إلى الخط المستقيم.

كل شيء واضح من الرسم - الوظيفة مستمرة على طول خط الأعداد بأكمله، ولا يبقى سوى إضفاء الطابع الرسمي على الحل، والذي يتم جلبه إلى الأتمتة الكاملة حرفيًا بعد 3-4 أمثلة مماثلة:

أنا)نحن ندرس نقطة الاستمرارية

1) - يتم تعريف الوظيفة عند نقطة معينة.

2) دعونا نحسب الحدود من جانب واحد:

مما يعني أن هناك حدًا عامًا.

فقط في حالة حدوث ذلك، دعني أذكرك بحقيقة تافهة: نهاية الثابت تساوي الثابت نفسه. في هذه الحالة، نهاية الصفر تساوي الصفر نفسه (الحد الأيسر).

3) - نهاية الدالة عند نقطة ما تساوي قيمة هذه الدالة عند نقطة معينة.

وبالتالي، تكون الدالة مستمرة عند نقطة ما حسب تعريف استمرارية الدالة عند نقطة ما.

ثانيا)نحن ندرس نقطة الاستمرارية

1) - يتم تعريف الوظيفة عند نقطة معينة.

2) البحث عن حدود من جانب واحد:

وهنا - نهاية الواحد تساوي الوحدة نفسها.

- هناك حد عام.

3) - نهاية الدالة عند نقطة ما تساوي قيمة هذه الدالة عند نقطة معينة.

وبالتالي، تكون الدالة مستمرة عند نقطة ما حسب تعريف استمرارية الدالة عند نقطة ما.

كالعادة، بعد البحث ننقل رسمنا إلى النسخة النهائية.

إجابة: الدالة مستمرة عند النقاط.

يرجى ملاحظة أنه في الحالة لم يطلب منا أي شيء عن دراسة الدالة بأكملها للاستمرارية، وتعتبر صيغة رياضية جيدة لصياغتها دقيقة وواضحةالجواب على السؤال المطروح. بالمناسبة، إذا كان الشرط لا يتطلب منك إنشاء رسم بياني، فهذا يعني أنك قمت بذلك كل الحقلا تقم ببنائها (على الرغم من أن المعلم يمكن أن يجبرك على القيام بذلك لاحقًا).

"إعصار اللسان" الرياضي الصغير لحلها بنفسك:

مثال 7

نظرا لوظيفة . التحقيق في وظيفة الاستمرارية عند النقاط. تصنيف نقاط التوقف، إن وجدت. نفذ الرسم.

حاول "نطق" كل "الكلمات" بشكل صحيح =) وارسم الرسم البياني بشكل أكثر دقة، ودقة، لن تكون زائدة عن الحاجة في كل مكان؛-)

كما تتذكر، أوصيت بإكمال الرسم على الفور كمسودة، ولكن من وقت لآخر تصادف أمثلة لا يمكنك فيها على الفور معرفة شكل الرسم البياني. لذلك، في بعض الحالات، من المفيد أولاً العثور على حدود من جانب واحد وبعد ذلك فقط، بناءً على الدراسة، قم بتصوير الفروع. في المثالين الأخيرين، سنتعلم أيضًا تقنية لحساب بعض النهايات أحادية الجانب:

مثال 8

فحص الدالة للاستمرارية وإنشاء الرسم البياني التخطيطي لها.

حل: النقاط السيئة واضحة: (يخفض مقام الأس إلى الصفر) و (يخفض مقام الكسر بأكمله إلى الصفر). ليس من الواضح كيف يبدو الرسم البياني لهذه الوظيفة، مما يعني أنه من الأفضل إجراء بعض الأبحاث أولاً.

لنفكر في وظيفتين، تظهر الرسوم البيانية لهما في الشكل. 1 و 2. يمكن رسم الرسم البياني للدالة الأولى دون رفع القلم الرصاص عن الورقة. يمكن أن تسمى هذه الوظيفة مستمرة. من المستحيل رسم رسم بياني لوظيفة أخرى مثل هذا. وتتكون من قطعتين متصلتين، وعند نقطة ما يكون لها انقطاع، وسنسمي الدالة غير متصلة.

مثل هذا التعريف المرئي للاستمرارية لا يمكن أن يناسب الرياضيات بأي شكل من الأشكال، لأنه يحتوي على مفاهيم غير رياضية تماما مثل "قلم الرصاص" و "الورق". يتم تقديم التعريف الرياضي الدقيق للاستمرارية على أساس مفهوم الحد وهو على النحو التالي.

دع الوظيفة يتم تعريفها على مقطع ما وتكون نقطة ما في هذا المقطع. تسمى الوظيفة مستمرة عند نقطة ما إذا كانت قيم الوظيفة تميل إلى (يُنظر إليها فقط من المقطع) ، أي. لو

. (1)

تسمى الدالة مستمرة على القطعة إذا كانت مستمرة عند كل نقطة.

إذا لم تتحقق المساواة (1) عند نقطة ما، تسمى الدالة متقطعة عند هذه النقطة.

كما نرى، رياضيًا، يتم تحديد خاصية استمرارية دالة على قطعة ما من خلال الخاصية المحلية للاستمرارية عند نقطة ما.

تسمى القيمة زيادة الوسيطة، ويسمى الفرق بين قيم الدالة بزيادة الوظيفة ويشار إليه بـ . من الواضح، كما تميل الوسيطة، فإن الزيادة تميل إلى الصفر: .

دعونا نعيد كتابة المساواة (1) بالصورة المكافئة

.

باستخدام الترميز المقدم، يمكن إعادة كتابته على النحو التالي:

لذا، إذا كانت الدالة متصلة، فعندما تميل زيادة الوسيط إلى الصفر، تميل زيادة الدالة إلى الصفر. ويقولون أيضًا بطريقة أخرى: إن الزيادة الصغيرة في الوسيطة تتوافق مع زيادة صغيرة في الوظيفة. في التين. يوضح الشكل 3 رسمًا بيانيًا لدالة مستمرة عند نقطة ما، وتتوافق الزيادة مع زيادة الوظيفة. في التين. 4 الزيادة تتوافق مع هذه الزيادة في الوظيفة التي، مهما كانت صغيرة، لن تقل عن نصف طول المقطع؛ الدالة متقطعة عند هذه النقطة .

إن فكرتنا عن الدالة المستمرة كدالة يمكن رسم رسمها البياني دون رفع القلم الرصاص عن الورقة، تم تأكيدها تمامًا من خلال خصائص الدوال المستمرة، والتي تم إثباتها في التحليل الرياضي. دعونا نلاحظ، على سبيل المثال، مثل هذه الخصائص.

1. إذا كانت الدالة المستمرة على مقطع ما تأخذ قيم إشارات مختلفة في نهايات المقطع، فإنها في مرحلة ما من هذا المقطع تأخذ قيمة تساوي الصفر.

2. الدالة المستمرة على القطعة تأخذ جميع القيم الوسيطة بين القيم عند نقاط النهاية، أي. بين و .

3. إذا كانت الدالة متصلة على قطعة فإنها تصل في هذه القطعة إلى أقصى حد لها أدنى قيمة، أي. إذا كانت القيمة الأصغر والأكبر قيمة للدالة في المقطع، ففي هذا المقطع توجد نقاط مثل و.

المعنى الهندسي لأول هذه العبارات واضح تمامًا: إذا مر منحنى مستمر من أحد جانبي المحور إلى الجانب الآخر، فإنه يتقاطع مع هذا المحور (الشكل 5). لا تحتوي الدالة المتقطعة على هذه الخاصية، وهو ما يؤكده الرسم البياني للدالة في الشكل. 2، وكذلك الخصائص 2 و 3. في الشكل 2. 2 الدالة لا تأخذ قيمة، على الرغم من أنها محاطة بين و. في التين. يوضح الشكل 6 مثالاً على دالة غير متصلة (جزء كسري من رقم) لا تصل إلى قيمتها الكبرى.

يؤدي الجمع والطرح وضرب الوظائف المستمرة على نفس القطعة مرة أخرى إلى وظائف مستمرة. عند قسمة دالتين متصلتين، تكون النتيجة دالة متصلة إذا كان المقام في كل مكان غير الصفر.

توصلت الرياضيات إلى مفهوم الدالة المستمرة من خلال دراسة قوانين الحركة المختلفة في المقام الأول. المكان والزمان مستمران، والاعتماد، على سبيل المثال، لمسار على الزمن، معبرًا عنه بقانون، يقدم مثالاً على وظيفة مستمرة.

تُستخدم الدوال المستمرة لوصف الحالات والعمليات في المواد الصلبة والسوائل والغازات. العلوم التي تدرسها - نظرية المرونة والديناميكا المائية والديناميكا الهوائية - متحدة تحت اسم واحد - "ميكانيكا الاستمرارية".

في هذا الدرس سوف نتعلم كيفية تحديد استمرارية الدالة. سنفعل ذلك باستخدام الحدود أحادية الجانب - اليمين واليسار، وهي ليست مخيفة على الإطلاق، على الرغم من أنها مكتوبة كـ و .

ولكن ما هي استمرارية الوظيفة على أي حال؟ وإلى أن نصل إلى تعريف صارم، فمن الأسهل تخيل خط يمكن رسمه دون رفع قلم الرصاص عن الورقة. إذا تم رسم مثل هذا الخط، فهو مستمر. هذا الخط هو الرسم البياني لوظيفة مستمرة.

من الناحية البيانية، تكون الدالة مستمرة عند نقطة ما إذا لم "ينكسر" الرسم البياني الخاص بها عند هذه النقطة. الرسم البياني لهذه الوظيفة المستمرة هو هو مبين في الشكل أدناه.

تحديد استمرارية الوظيفة من خلال الحد.تكون الدالة متصلة عند نقطة ما إذا تحققت ثلاثة شروط:

1. يتم تعريف الوظيفة عند النقطة .

إذا لم يتم استيفاء أحد الشروط المذكورة على الأقل، فإن الدالة ليست متصلة عند هذه النقطة. في هذه الحالة، يقولون إن الدالة تعاني من انقطاع، والنقاط الموجودة على الرسم البياني التي ينقطع عندها الرسم البياني تسمى نقاط انقطاع الدالة. الرسم البياني لهذه الوظيفة التي تعاني من انقطاع عند النقطة x=2 موجود في الشكل أدناه.

مثال 1.وظيفة F(س) يتم تعريفها على النحو التالي:

فهل ستكون هذه الدالة متصلة عند كل نقطة من النقاط الحدودية لفروعها، أي عند النقاط س = 0 , س = 1 , س = 3 ?

حل. نتحقق من الشروط الثلاثة لاستمرارية الدالة عند كل نقطة حدودية. تم استيفاء الشرط الأول، منذ ماذا وظيفة محددةفي كل نقطة من النقاط الحدودية يتبع تعريف الوظيفة. يبقى التحقق من الشرطين المتبقيين.

نقطة س= 0 . دعونا نجد الحد الأيسر في هذه المرحلة:

.

لنجد الحد الأيمن:

س= 0 يجب إيجاد ذلك الفرع من الدالة الذي يتضمن هذه النقطة، أي الفرع الثاني. نجدهم:

وكما نرى، نهاية الدالة وقيمة الدالة عند النقطة س= 0 متساوون. وبالتالي فإن الدالة مستمرة عند النقطة س = 0 .

نقطة س= 1 . دعونا نجد الحد الأيسر في هذه المرحلة:

لنجد الحد الأيمن:

نهاية الدالة وقيمة الدالة عند نقطة ما س= 1 يجب إيجاد ذلك الفرع من الدالة الذي يتضمن هذه النقطة، أي الفرع الثاني. نجدهم:

.

نهاية الدالة وقيمة الدالة عند نقطة ما س= 1 متساوون. وبالتالي فإن الدالة مستمرة عند النقطة س = 1 .

نقطة س= 3 . دعونا نجد الحد الأيسر في هذه المرحلة:

لنجد الحد الأيمن:

نهاية الدالة وقيمة الدالة عند نقطة ما س= 3 يجب إيجاد ذلك الفرع من الدالة الذي يتضمن هذه النقطة، أي الفرع الثاني. نجدهم:

.

نهاية الدالة وقيمة الدالة عند نقطة ما س= 3 متساوون. وبالتالي فإن الدالة مستمرة عند النقطة س = 3 .

الاستنتاج الرئيسي: هذه الوظيفة مستمرة عند كل نقطة حدودية.

أنشئ استمرارية دالة عند نقطة ما بنفسك، ثم انظر إلى الحل

يمكن تعريف التغيير المستمر في الدالة على أنه تغيير تدريجي، بدون قفزات، حيث يستلزم تغيير بسيط في الوسيطة تغييرًا صغيرًا في الوظيفة.

دعونا نوضح هذا التغيير المستمر في الوظيفة بمثال.

دع الوزن معلقًا على خيط أعلى الطاولة. تحت تأثير هذا الحمل، يمتد الخيط، وبالتالي المسافة لالحمل من نقطة تعليق الخيط هو دالة لكتلة الحمل م، إنه ل = F(م) , م≥0 .

إذا قمت بتغيير كتلة الحمل قليلاً، فستكون المسافة لسوف يتغير قليلا: تغييرات صغيرة مالتغييرات الصغيرة تتوافق ل. ومع ذلك، إذا كانت كتلة الحمل قريبة من قوة شد الخيط، فإن الزيادة الطفيفة في كتلة الحمل يمكن أن تتسبب في كسر الخيط: المسافة لستزداد فجأة وتصبح مساوية للمسافة من نقطة التعليق إلى سطح الطاولة. رسم بياني للدالة ل = F(م) يظهر في الشكل. عند أي قسم، يكون هذا الرسم البياني خطًا مستمرًا (صلبًا)، وعند نقطة ما يكون متقطعًا. والنتيجة هي رسم بياني يتكون من فرعين. في جميع النقاط باستثناء الوظيفة ل = F(م) هو مستمر، ولكن عند نقطة ما لديه انقطاع.

يمكن أن تكون دراسة الدالة من أجل الاستمرارية مهمة مستقلة أو إحدى مراحل الدراسة الكاملة للدالة وبناء الرسم البياني الخاص بها.

استمرارية الدالة على فترة

دع الوظيفة ذ = F(س) محددة في الفاصل الزمني ] أ, ب[وهو مستمر عند كل نقطة من هذه الفترة. ثم تسمى مستمرة في الفاصل ] أ, ب[ . يتم تعريف مفهوم استمرارية الدالة على فترات من النموذج ]- ∞ بشكل مشابه، ب[ , ]أ, + ∞[ , ]- ∞, + ∞[ . دعونا الآن الوظيفة ذ = F(س) محددة على الفاصل الزمني [ أ, ب] . الفرق بين الفاصل الزمني والقطعة: لا يتم تضمين النقاط الحدودية للفاصل الزمني في الفاصل الزمني، ولكن يتم تضمين النقاط الحدودية للقطعة في المقطع. وهنا ينبغي أن نذكر ما يسمى بالاستمرارية من جانب واحد: عند النقطة أ، المتبقية على الجزء [ أ, ب] ، لا يمكننا أن نقترب إلا من اليمين، وإلى هذه النقطة ب- على اليسار فقط. يقال أن الدالة مستمرة على الفترة [ أ, ب] ، إذا كانت متصلة في جميع النقاط الداخلية لهذا المقطع، ومتصلة على اليمين عند هذه النقطة أويترك مستمرا عند هذه النقطة ب.

مثال على وظيفة مستمرة يمكن أن يكون أي من الوظائف الأولية. كل وظيفة أوليةتكون مستمرة في أي فترة يتم تعريفها عليها. على سبيل المثال، الوظائف و تكون مستمرة على أي فترة [ أ, ب]، الدالة مستمرة على الفترة [ 0 , ب] ، تكون الدالة متصلة على أي قطعة لا تحتوي على نقطة أ = 2 .

مثال 4.افحص الدالة للاستمرارية.

حل. دعونا نتحقق من الشرط الأول. لم يتم تعريف الدالة عند النقطتين - 3 و 3. لم يتم استيفاء شرط واحد على الأقل لاستمرارية الدالة على طول خط الأعداد بأكمله. ولذلك، هذه الدالة مستمرة على فترات

.

مثال 5.تحديد ما هي قيمة المعلمة أمستمر طوال الوقت مجال التعريفوظيفة

حل.

دعونا نجد الحد الأيمن في:

.

ومن الواضح أن القيمة عند هذه النقطة س= 2 يجب أن تكون متساوية فأس :

أ = 1,5 .

مثال 6.تحديد ما هي قيم المعلمات أو بمستمر طوال الوقت مجال التعريفوظيفة

حل.
لنجد النهاية اليسرى للدالة عند النقطة:

.

لذلك، يجب أن تكون القيمة عند هذه النقطة 1:

لنجد الدالة اليسرى عند النقطة:

من الواضح أن قيمة الدالة عند نقطة ما يجب أن تكون مساوية لـ:

الجواب: الدالة مستمرة على كامل مجال التعريف متى أ = 1; ب = -3 .

الخصائص الأساسية للوظائف المستمرة

توصلت الرياضيات إلى مفهوم الدالة المستمرة من خلال دراسة قوانين الحركة المختلفة في المقام الأول. المكان والزمان لا نهائيان، والتبعية، على سبيل المثال، المسارات سمن وقت ر، التي أعرب عنها القانون س = F(ر) ، يعطي مثالا على المستمر المهام F(ر) . تتغير درجة حرارة الماء الساخن أيضًا بشكل مستمر، وهي أيضًا دالة مستمرة للزمن: ت = F(ر) .

في التحليل الرياضي تم إثبات بعض خصائص الدوال المستمرة. ولنعرض أهم هذه الخصائص.

1. إذا كانت الدالة المستمرة على فترة زمنية تأخذ قيم علامات مختلفة في نهايات الفترة، فإنها عند نقطة ما من هذه الفترة تأخذ قيمة تساوي الصفر. في عبارة أكثر رسمية، يتم تقديم هذه الخاصية في نظرية تعرف باسم نظرية بولزانو-كوشي الأولى.

2. الوظيفة F(س) , مستمر على الفاصل الزمني [ أ, ب] ، يأخذ جميع القيم الوسيطة بين القيم عند نقاط النهاية، أي بين F(أ) و F(ب) . في عبارة أكثر رسمية، يتم إعطاء هذه الخاصية في نظرية تعرف باسم نظرية بولزانو-كوشي الثانية.

وظيفة مستمرةهي دالة بدون "قفزات"، أي دالة يتم استيفاء الشرط لها: التغييرات الصغيرة في الوسيطة تتبعها تغييرات صغيرة في قيم الدالة المقابلة. الرسم البياني لهذه الوظيفة هو منحنى سلس أو مستمر.

يمكن تعريف الاستمرارية عند نقطة نهاية لمجموعة معينة باستخدام مفهوم الحد، وهو: يجب أن يكون للدالة حد عند هذه النقطة يساوي قيمتها عند نقطة الحد.

فإذا انتهكت هذه الشروط عند نقطة معينة، يقولون إن الدالة في هذه المرحلة تعاني من انقطاع، أي أن استمراريتها قد انتهكت. في لغة الحدود، يمكن وصف نقطة الفصل بأنها تناقض بين قيمة الدالة عند نقطة الانفصال وقيمة الدالة (إذا كانت موجودة).

يمكن أن تكون نقطة الفصل قابلة للإزالة، ولهذا يلزم وجود حد للدالة، لكنه لا يتطابق مع قيمتها في نقطة معينة. في هذه الحالة، يمكن "تصحيحه" عند هذه النقطة، أي أنه يمكن تعريفه بشكل أكبر بالاستمرارية.
تظهر صورة مختلفة تمامًا إذا كان هناك حد للوظيفة المحددة. هناك خياران محتملان لنقطة التوقف:

• النوع الأول: كلا النهايتين من جهة واحدة متاحتان ومنتهيتان، ولا تتطابق قيمة أحدهما أو كليهما مع قيمة الدالة عند نقطة معينة؛
• النوع الثاني، عندما لا يوجد أحد الحدين الأحاديين أو كليهما أو تكون قيمهما لا نهائية.

خصائص الدوال المستمرة

• إن الدالة التي يتم الحصول عليها نتيجة للعمليات الحسابية، وكذلك تراكب الدوال المستمرة في مجال تعريفها، هي أيضًا مستمرة.
• إذا تم إعطاؤك دالة متصلة موجبة في مرحلة ما، فيمكنك دائمًا العثور على حي صغير بما فيه الكفاية منها حيث ستحتفظ بإشارتها.
• وبالمثل، إذا كانت قيمها عند النقطتين A وB تساوي a وb على التوالي، وكانت a مختلفة عن b، فبالنسبة للنقاط المتوسطة ستأخذ جميع القيم من الفاصل الزمني (a؛ b). من هذا يمكننا استخلاص نتيجة مثيرة للاهتمام: إذا تركت شريطًا مطاطيًا ممتدًا ينضغط بحيث لا يتدلى (يظل مستقيماً)، فستبقى إحدى نقاطه بلا حراك. ومن الناحية الهندسية، هذا يعني أن هناك خطًا مستقيمًا يمر بأي نقطة متوسطة بين A وB يتقاطع مع التمثيل البياني للدالة.

دعونا نلاحظ بعض الوظائف الأولية المستمرة (في مجال تعريفها):

• ثابت؛
• عاقِل؛
• حساب المثاثات.

بين مفهومين أساسيين في الرياضيات - الاستمرارية والتمايز - هناك سندات غير قابلة للكسر. يكفي أن نتذكر أنه لكي تكون الدالة قابلة للاشتقاق، من الضروري أن تكون دالة متصلة.

إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة ما، فهي متصلة هناك. لكن ليس من الضروري مطلقاً أن تكون مشتقتها متصلة.

تنتمي الدالة التي لها مشتق مستمر في مجموعة معينة إلى فئة منفصلة من الدوال الملساء. بمعنى آخر، إنها دالة قابلة للتفاضل بشكل مستمر. إذا كان للمشتق عدد محدود من نقاط الانقطاع (من النوع الأول فقط)، فإن هذه الدالة تسمى سلسة متعددة التعريف.

مفهوم آخر مهم هو الاستمرارية المنتظمة للدالة، أي قدرتها على أن تكون مستمرة بشكل متساو عند أي نقطة في مجال تعريفها. فهذه خاصية تعتبر في نقاط عديدة، وليس في نقطة واحدة.

إذا قمنا بتثبيت نقطة ما، فلن نحصل على أكثر من تعريف للاستمرارية، أي أنه من وجود استمرارية موحدة يترتب على ذلك أن لدينا وظيفة مستمرة. على العموم، العكس غير صحيح. ومع ذلك، وفقًا لنظرية كانتور، إذا كانت الدالة متصلة على مجموعة مدمجة، أي على فترة مغلقة، فهي متصلة بشكل منتظم عليها.