محتوى المقال

المعادلات التفاضلية.تتم كتابة العديد من القوانين الفيزيائية ، التي تخضع لظواهر معينة ، في شكل معادلة رياضية تعبر عن علاقة معينة بين بعض الكميات. غالبًا ما نتحدث عن العلاقة بين القيم التي تتغير بمرور الوقت ، على سبيل المثال ، تعتمد كفاءة المحرك ، المقاسة بالمسافة التي يمكن أن تقطعها السيارة على لتر واحد من الوقود ، على سرعة السيارة. تحتوي المعادلة المقابلة على وظيفة واحدة أو أكثر ومشتقاتها وتسمى المعادلة التفاضلية. (يتم تحديد معدل تغير المسافة بمرور الوقت من خلال السرعة ؛ وبالتالي ، فإن السرعة هي مشتق من المسافة ؛ وبالمثل ، فإن التسارع هو مشتق من السرعة ، لأن التسارع يحدد معدل تغير السرعة بمرور الوقت.) أهمية عظيمة، وهي المعادلات التفاضلية للرياضيات وخاصة لتطبيقاتها ، يتم تفسيرها من خلال حقيقة أن دراسة العديد من المشاكل الفيزيائية والتقنية يتم اختصارها إلى حل مثل هذه المعادلات. تلعب المعادلات التفاضلية دورًا أساسيًا في العلوم الأخرى ، مثل علم الأحياء والاقتصاد والهندسة الكهربائية ؛ في الواقع ، تنشأ حيثما كانت هناك حاجة إلى وصف كمي (رقمي) للظواهر (بمجرد العالمتتغير بمرور الوقت ، وتتغير الظروف من مكان إلى آخر).

أمثلة.

ستساعدك الأمثلة التالية على فهم الكيفية بشكل أفضل المهام المختلفةتمت صياغتها بلغة المعادلات التفاضلية.

1) قانون اضمحلال بعض المواد المشعة هو أن معدل التحلل يتناسب مع الكمية المتاحة من هذه المادة. لو xهو مقدار المادة في وقت معين ر، ثم يمكن كتابة هذا القانون على النحو التالي:

أين dx/دهو معدل الاضمحلال ، و كهو بعض السمات الثابتة الإيجابية مادة معينة. (تشير علامة الطرح على الجانب الأيمن إلى ذلك xيتناقص مع الوقت علامة الجمع ، التي يتم الإشارة إليها دائمًا عندما لا يتم ذكر العلامة صراحة ، تعني ذلك xيزيد بمرور الوقت.)

2) تحتوي الحاوية مبدئيًا على 10 كجم من الملح المذاب في 100 م 3 من الماء. لو ماء نقييصب في الحاوية بمعدل 1 م 3 في الدقيقة ويمزج بالتساوي مع المحلول ، ويتدفق المحلول الناتج من الحاوية بنفس السرعة ، فما مقدار الملح الذي سيكون في الحاوية في أي وقت لاحق؟ لو x- كمية الملح (بالكيلو جرام) في الحاوية في ذلك الوقت ر، ثم في أي وقت ريحتوي 1 م 3 من المحلول الموجود في الحاوية x/ 100 كغم من الملح. لذا فإن كمية الملح تنخفض بمعدل x/ 100 كجم / دقيقة ، أو

3) دع الكتلة على الجسم ممعلقة من نهاية الربيع ، تعمل قوة الاستعادة بما يتناسب مع مقدار التوتر في الربيع. يترك x- مقدار انحراف الجسم عن وضعية التوازن. ثم ، وفقًا لقانون نيوتن الثاني ، الذي ينص على أن التسارع (المشتق الثاني لـ xفي الوقت المناسب د 2 x/د 2) بما يتناسب مع القوة:

الجانب الأيمن بعلامة ناقص لأن قوة الاستعادة تقلل من امتداد الزنبرك.

4) ينص قانون تبريد الأجسام على أن كمية الحرارة في الجسم تتناقص بما يتناسب مع الاختلاف في درجات حرارة الجسم و بيئة. إذا كان فنجان القهوة المسخن إلى درجة حرارة 90 درجة مئوية في غرفة تبلغ درجة حرارتها 20 درجة مئوية ، إذن

أين تي- درجة حرارة القهوة في ذلك الوقت ر.

5) يدعي وزير خارجية ولاية بليفوسكو أن برنامج التسلح الذي تبناه ليليبوت يجبر بلاده على زيادة الإنفاق العسكري قدر الإمكان. تصريحات مماثلة أدلى بها وزير خارجية ليليبوت. يمكن وصف الموقف الناتج (في أبسط تفسيره) بدقة من خلال معادلتين تفاضليتين. يترك xو ذ- تكلفة تسليح Lilliput و Blefuscu. بافتراض أن Lilliputia تزيد من إنفاقها على التسلح بمعدل يتناسب مع معدل الزيادة في الإنفاق على التسلح في Blefuscu ، والعكس صحيح ، نحصل على:

حيث الأعضاء فأسو - بواسطةوصف الإنفاق العسكري لكل بلد ، كو لثوابت موجبة. (تمت صياغة هذه المشكلة لأول مرة بهذه الطريقة في عام 1939 بواسطة ل. ريتشاردسون).

بعد كتابة المشكلة بلغة المعادلات التفاضلية ، يجب على المرء أن يحاول حلها ، أي إيجاد الكميات التي يتم تضمين معدلات تغيرها في المعادلات. في بعض الأحيان ، يتم العثور على الحلول في شكل صيغ صريحة ، ولكن في كثير من الأحيان يمكن تمثيلها فقط في شكل تقريبي أو الحصول على معلومات نوعية عنها. غالبًا ما يكون من الصعب تحديد ما إذا كان الحل موجودًا على الإطلاق ، ناهيك عن إيجاد حل. قسم مهمتشكل نظريات المعادلات التفاضلية ما يسمى بـ "نظريات الوجود" ، والتي يتم فيها إثبات وجود حل لنوع أو آخر من المعادلات التفاضلية.

عادة ما تحتوي الصيغة الرياضية الأصلية لمشكلة فيزيائية على افتراضات مبسطة ؛ يمكن أن يكون معيار المعقولية هو درجة اتساق الحل الرياضي مع الملاحظات المتاحة.

حلول المعادلات التفاضلية.

المعادلة التفاضلية ، على سبيل المثال دى/dx = x/ذ، لا يرضي رقمًا ، ولكن دالة ، في معين حالة محددةبحيث يكون الرسم البياني الخاص به في أي نقطة ، على سبيل المثال ، عند نقطة ذات إحداثيات (2،3) ، مماسًا بميل يساوي نسبة الإحداثيات (في مثالنا ، 2/3). من السهل التحقق مما إذا كنا نبني رقم ضخمنقاط ومن كل وضع جانبًا مقطعًا قصيرًا بميل مناسب. سيكون الحل دالة يلامس رسمها البياني كل نقطة من نقاطها في المقطع المقابل. إذا كان هناك ما يكفي من النقاط والأجزاء ، فيمكننا تحديد مسار منحنيات القرار تقريبًا (ثلاثة منحنيات من هذا القبيل موضحة في الشكل 1). يوجد منحنى حل واحد بالضبط يمر عبر كل نقطة ذرقم 0. كل حل فردي يسمى حلا خاصا المعادلة التفاضلية؛ إذا كان من الممكن العثور على صيغة تحتوي على جميع الحلول الخاصة (مع استثناء محتمل لبعض الحلول الخاصة) ، فإننا نقول إنه تم الحصول على حل عام. حل معين هو وظيفة واحدة ، بينما الحل العام هو عائلة كاملة منهم. يعني حل المعادلة التفاضلية إيجاد حل خاص أو عام. في مثالنا ، الحل العام له الشكل ذ 2 – x 2 = ج، أين ج- أي رقم ؛ الحل المعين الذي يمر عبر النقطة (1،1) له الشكل ذ = xويتم الحصول عليها عندما ج= 0 ؛ الحل المعين الذي يمر عبر النقطة (2.1) له الشكل ذ 2 – x 2 = 3. الشرط الذي يتطلب أن يمر منحنى الحل ، على سبيل المثال ، من خلال النقطة (2،1) ، يسمى الشرط الأولي (لأنه يحدد نقطة البداية على منحنى الحل).

يمكن إثبات أنه في المثال (1) الحل العام له الشكل x = م –كيلوطن، أين ج- ثابت يمكن تحديده ، على سبيل المثال ، من خلال الإشارة إلى كمية المادة عند ر= 0. المعادلة من المثال (2) هي حالة خاصة من المعادلة من المثال (1) ، المقابلة ل ك= 1/100. الشرط الأولي x= 10 في ر= 0 يعطي حلاً معينًا x = 10ه –ر/ 100. المعادلة من المثال (4) لها حل عام تي = 70 + م –كيلوطنوحل خاص 70 + 130 - كيلوطن؛ لتحديد القيمة ك، هناك حاجة إلى بيانات إضافية.

المعادلة التفاضلية دى/dx = x/ذتسمى معادلة من الدرجة الأولى ، لأنها تحتوي على المشتق الأول (من المعتاد اعتبار ترتيب المشتق الأعلى المتضمن فيه ترتيبًا لمعادلة تفاضلية). بالنسبة لمعظم (وليس كل) المعادلات التفاضلية من النوع الأول التي تنشأ في الممارسة ، يمر منحنى حل واحد فقط عبر كل نقطة.

هناك عدة أنواع مهمة من المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى التي يمكن حلها كصيغ تحتوي فقط وظائف الابتدائية- القوى ، الأس ، اللوغاريتمات ، الجيب وجيب التمام ، إلخ. تشمل هذه المعادلات ما يلي.

المعادلات ذات المتغيرات القابلة للفصل.

معادلات النموذج دى/dx = F(x)/ز(ذ) يمكن حلها عن طريق كتابتها في تفاضلات ز(ذ)دى = F(x)dxودمج كلا الجزأين. في أسوأ الحالات ، يمكن تمثيل الحل كتكامل لدوال معروفة. على سبيل المثال ، في حالة المعادلة دى/dx = x/ذلدينا F(x) = x, ز(ذ) = ذ. من خلال كتابته في النموذج ydy = xdxوالتكامل ، نحصل عليه ذ 2 = x 2 + ج. تشمل المعادلات ذات المتغيرات القابلة للفصل المعادلات من الأمثلة (1) ، (2) ، (4) (يمكن حلها بالطريقة الموضحة أعلاه).

المعادلات في مجموع الفروق.

إذا كانت المعادلة التفاضلية لها الشكل دى/dx = م(x,ذ)/ن(x,ذ)، أين مو نوظيفتان معينتان ، يمكن تمثيلهما كـ م(x,ذ)dx – ن(x,ذ)دى= 0. إذا كان الجانب الأيسر هو تفاضل بعض الوظائف F(x,ذ) ، ثم يمكن كتابة المعادلة التفاضلية كـ مدافع(x,ذ) = 0 ، وهو ما يعادل المعادلة F(x,ذ) = const. وبالتالي ، فإن منحنيات حل المعادلة هي "خطوط ذات مستويات ثابتة" لوظيفة ما ، أو موضع النقاط التي تحقق المعادلات F(x,ذ) = ج. المعادلة ydy = xdx(الشكل 1) - مع المتغيرات القابلة للفصل ، وهي نفسها - في مجموع الفروق: للتأكد من الأخير ، نكتبه في النموذج ydy – xdx= 0 ، أي د(ذ 2 – x 2) = 0. الوظيفة F(x,ذ) في هذه الحالة يساوي (1/2) ( ذ 2 – x 2) ؛ تظهر بعض خطوط المستوى الثابت في الشكل. 1.

المعادلات الخطية.

المعادلات الخطية هي معادلات من "الدرجة الأولى" - يتم تضمين الوظيفة غير المعروفة ومشتقاتها في هذه المعادلات في الدرجة الأولى فقط. وهكذا ، فإن المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى لها الشكل دى/dx + ص(x) = ف(x)، أين ص(x) و ف(x) هي وظائف تعتمد فقط على x. يمكن دائمًا كتابة حلها باستخدام تكاملات وظائف معروفة. يتم حل العديد من الأنواع الأخرى من المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى باستخدام تقنيات خاصة.

معادلات الرتب الأعلى.

العديد من المعادلات التفاضلية التي يتعامل معها الفيزيائيون هي معادلات من الدرجة الثانية (أي المعادلات التي تحتوي على مشتقات ثانية). مثل ، على سبيل المثال ، معادلة الحركة التوافقية البسيطة من المثال (3) ، م 2 x/د 2 = –ككس. بشكل عام ، يتوقع المرء أن يكون لمعادلة من الدرجة الثانية حلول معينة تفي بشرطين ؛ على سبيل المثال ، قد يطلب المرء أن يمر منحنى الحل عبر نقطة معينة في اتجاه معين. في الحالات التي تحتوي فيها المعادلة التفاضلية على بعض المعلمات (رقم تعتمد قيمته على الظروف) ، توجد حلول من النوع المطلوب فقط لقيم معينة من هذه المعلمة. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المعادلة م 2 x/د 2 = –ككسونحن نطلب ذلك ذ(0) = ذ(1) = 0. الوظيفة ذє 0 هو بالتأكيد حل ، ولكن إذا كان عددًا صحيحًا مضاعفًا ص، أي. ك = م 2 ن 2 ص 2 ، أين نهو عدد صحيح ، وفي الحقيقة فقط في هذه الحالة هناك حلول أخرى ، وهي: ذ= الخطيئة npx. تسمى قيم المعلمات التي تحتوي المعادلة على حلول خاصة لها بالخاصية أو القيم الذاتية؛ يلعبون دورًا مهمًا في العديد من المهام.

تمثل معادلة الحركة التوافقية البسيطة فئة مهمة من المعادلات ، وهي المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة. أكثر مثال عام(أيضًا من الدرجة الثانية) - المعادلة

أين أو بتعطى ثوابت ، F(x) هي وظيفة معينة. يمكن حل هذه المعادلات طرق مختلفة، على سبيل المثال ، باستخدام تحويل لابلاس المتكامل. يمكن قول الشيء نفسه عن المعادلات الخطية للطلبات الأعلى ذات المعاملات الثابتة. كما أنهم يلعبون دورًا مهمًا المعادلات الخطيةمع معاملات متغيرة.

المعادلات التفاضلية غير الخطية.

المعادلات التي تحتوي على دوال غير معروفة ومشتقاتها أعلى من الأولى أو أي أكثر بطريقة معقدةتسمى غير الخطية. في السنوات الاخيرةيحصلون على المزيد والمزيد من الاهتمام. النقطة هي أن المعادلات المادية عادة ما تكون خطية فقط في التقريب الأول ؛ يتطلب التحقيق الأكثر دقة ، كقاعدة عامة ، استخدام المعادلات غير الخطية. بالإضافة إلى ذلك ، فإن العديد من المشاكل هي بطبيعتها غير خطية. نظرًا لأن حلول المعادلات غير الخطية غالبًا ما تكون معقدة جدًا ويصعب تمثيلها صيغ بسيطة، جزء كبير النظرية الحديثةالمكرسة ل التحليل النوعيسلوكهم ، أي تطوير الأساليب التي تجعل من الممكن ، دون حل المعادلات ، قول شيء مهم حول طبيعة الحلول ككل: على سبيل المثال ، أنها كلها محدودة ، أو لها طابع دوري ، أو تعتمد بطريقة معينة على المعاملات.

يمكن إيجاد الحلول التقريبية للمعادلات التفاضلية عدديًا ، لكن هذا يستغرق وقتًا طويلاً. مع ظهور أجهزة الكمبيوتر عالية السرعة ، تم تقليل هذه المرة بشكل كبير ، مما فتح إمكانيات جديدة للحل العددي للعديد من المشكلات التي لم تكن في السابق قابلة لمثل هذا الحل.

نظريات الوجود.

نظرية الوجود هي نظرية تنص على أنه في ظل ظروف معينة ، يكون لمعادلة تفاضلية معينة حل. هناك معادلات تفاضلية ليس لها حلول أو لديها حلول أكثر من المتوقع. الغرض من نظرية الوجود هو إقناعنا بأن معادلة معينة لها حل ، وفي أغلب الأحيان للتأكيد على أن لديها حلًا واحدًا بالضبط من النوع المطلوب. على سبيل المثال ، المعادلة التي التقيناها بالفعل دى/dx = –2ذلديه حل واحد بالضبط يمر عبر كل نقطة من المستوى ( x,ذ) ، وبما أننا وجدنا بالفعل أحد هذه الحلول ، فقد حللنا هذه المعادلة تمامًا. من ناحية أخرى ، فإن المعادلة ( دى/dx) 2 = 1 – ذ 2 له العديد من الحلول. من بينها مباشرة ذ = 1, ذ= –1 والمنحنيات ذ= الخطيئة ( x + ج). قد يتكون الحل من عدة أجزاء من هذه الخطوط والمنحنيات المستقيمة ، ويمر بعضها ببعض عند نقاط التلامس (الشكل 2).

المعادلات التفاضلية الجزئية.

المعادلة التفاضلية العادية هي بيان حول مشتق دالة غير معروفة لمتغير واحد. تحتوي المعادلة التفاضلية الجزئية على دالة من متغيرين أو أكثر ومشتقات هذه الوظيفة في متغيرين مختلفين على الأقل.

في الفيزياء ، أمثلة هذه المعادلات هي معادلة لابلاس

X ، ذ) داخل الدائرة إذا كانت القيم شترد في كل نقطة من الدائرة المحيطة. نظرًا لأن المشكلات التي تحتوي على أكثر من متغير في الفيزياء هي القاعدة وليست الاستثناء ، فمن السهل تخيل مدى اتساع موضوع نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية.

ملاحظات المحاضرة على

المعادلات التفاضلية

المعادلات التفاضلية

مقدمة

عند دراسة بعض الظواهر ، غالبًا ما تنشأ حالة عندما لا يمكن وصف العملية باستخدام المعادلة y = f (x) أو F (x ؛ y) = 0. بالإضافة إلى المتغير x والدالة غير المعروفة ، تتضمن المعادلة مشتق هذه الدالة.

تعريف:تسمى المعادلة المتعلقة بالمتغير x والدالة غير المعروفة y (x) ومشتقاتها المعادلة التفاضلية. في نظرة عامةتبدو المعادلة التفاضلية كما يلي:

F (x ؛ y (x) ؛ ;؛ ... ؛ ص (ن)) = 0

تعريف:ترتيب المعادلة التفاضلية هو ترتيب مشتقها الأعلى.

- المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى

- المعادلة التفاضلية من الرتبة الثالثة

تعريف:حل المعادلة التفاضلية هو وظيفة ، عند استبدالها في المعادلة ، فإنها تحولها إلى متطابقة.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

تعريف:اكتب المعادلة = f (x ؛ y) أو F (x ؛ y ؛ )=0تسمى معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى.

تعريف:الحل العام للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هو الوظيفة y = γ (x ؛ c) ، حيث (с –const) ، والتي عند استبدالها في المعادلة ، تحولها إلى متطابقة. هندسيًا على المستوى ، يتوافق الحل العام مع عائلة من المنحنيات المتكاملة اعتمادًا على المعلمة ج.

تعريف:منحنى متكامل يمر عبر نقطة في المستوى مع إحداثيات (x 0 ؛ y 0) يتوافق مع حل معين لمعادلة تفاضلية تحقق الشرط الأولي:

نظرية حول وجود تفرد حل المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى

إعطاء معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى
والدالة f (x ؛ y) متصلة مع مشتقات جزئية في بعض المنطقة D من مستوى XOY ، ثم من خلال النقطة M 0 (x 0 ؛ y 0) يمر D بالمنحنى الوحيد المقابل لحل معين للمعادلة التفاضلية المقابلة للشرط الأولي y (x 0) = y 0

من خلال نقطة المستوى مع الإحداثيات المعطاة يمر منحنى واحد متكامل.

إذا لم يكن من الممكن الحصول على الحل العام للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى في شكل صريح ، أي
، ثم يمكن الحصول عليها ضمنيًا:

F (x ؛ y ؛ ج) = 0 - شكل ضمني

الحل العام في هذا النموذج يسمى التكامل المشتركالمعادلة التفاضلية.

فيما يتعلق بالمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى ، تم تعيين مهمتين:

1) إيجاد حل عام (تكامل عام)

2) أوجد حلاً معينًا (تكامل جزئي) يلبي الشرط الأولي المحدد. هذه المشكلة تسمى مشكلة كوشي للمعادلة التفاضلية.

المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة

معادلات النموذج:
تسمى معادلة تفاضلية ذات متغيرات قابلة للفصل.

بديل

اضرب في dx

نفصل المتغيرات

اقسم على

ملاحظة: من الضروري النظر في حالة خاصة عندما

يتم فصل المتغيرات

نقوم بدمج كلا الجزأين من المعادلة

- قرار مشترك

يمكن كتابة المعادلة التفاضلية ذات المتغيرات القابلة للفصل على النحو التالي:

حالة فردية
!

ندمج كلا الجزأين من المعادلة:

1)

2)
مبكر شروط:

المعادلات التفاضلية المتجانسة من الرتبة الأولى

تعريف:وظيفة
يسمى الترتيب المتجانس n إذا

مثال: - دالة متجانسة من الرتبة n = 2

تعريف:تسمى وظيفة متجانسة من الرتبة 0 متجانس.

تعريف:المعادلة التفاضلية
يسمى متجانسة إذا
- وظيفة متجانسة ، أي

وبالتالي ، يمكن كتابة المعادلة التفاضلية المتجانسة على النحو التالي:

بتعويض ، حيث t هي دالة للمتغير x ، يتم تقليل المعادلة التفاضلية المتجانسة إلى معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل.

- استبدل في المعادلة

يتم فصل المتغيرات ، نقوم بدمج كلا الجزأين من المعادلة

لنقم بالتعويض العكسي بالتعويض نحصل على الحل العام بشكل ضمني.

يمكن كتابة معادلة تفاضلية متجانسة في شكل تفاضلي.

M (x ؛ y) dx + N (x ؛ y) dy = 0 ، حيث M (x ؛ y) و N (x ؛ y) هي وظائف متجانسة من نفس الترتيب.

اقسم على dx و صريح

1)

ال آلة حاسبة على الانترنتيسمح لك بحل المعادلات التفاضلية عبر الإنترنت. يكفي إدخال المعادلة في الحقل المناسب ، مع الإشارة إلى "مشتق الوظيفة" بعلامة اقتباس أحادية والنقر فوق الزر "حل المعادلة". وسيعطي النظام المطبق على أساس موقع WolframAlpha الشهير شرحًا تفصيليًا حل المعادلة التفاضليةبحرية مطلقة. يمكنك أيضًا ضبط مشكلة Cauchy بحيث يتم ذلك من المجموعة بأكملها الحلول الممكنةاختر حاصل قسمة يتوافق مع الشروط الأولية المحددة. يتم إدخال مشكلة كوشي في حقل منفصل.

المعادلة التفاضلية

بشكل افتراضي ، في المعادلة ، الوظيفة ذهي دالة لمتغير x. ومع ذلك ، يمكنك تعيين تدوين المتغير الخاص بك ، إذا كتبت ، على سبيل المثال ، y (t) في معادلة ، فسوف تتعرف الآلة الحاسبة تلقائيًا على ذلك ذهي دالة لمتغير ر. مع الآلة الحاسبة يمكنك ذلك حل المعادلات التفاضليةمن أي تعقيد ونوع: متجانسة وغير متجانسة ، خطية أو غير خطية ، الرتبة الأولى أو الثانية والأعلى ، المعادلات ذات المتغيرات القابلة للفصل أو غير القابلة للفصل ، إلخ. فرق الحل. يتم إعطاء المعادلة في شكل تحليلي ، لديها وصف مفصل. المعادلات التفاضلية شائعة جدًا في الفيزياء والرياضيات. بدون حساباتهم ، من المستحيل حل العديد من المشكلات (خاصة في الفيزياء الرياضية).

تتمثل إحدى خطوات حل المعادلات التفاضلية في تكامل الوظائف. هناك طرق قياسية لحل المعادلات التفاضلية. من الضروري إحضار المعادلات إلى النموذج مع المتغيرات القابلة للفصل y و x ودمج الوظائف المنفصلة بشكل منفصل. للقيام بذلك ، تحتاج في بعض الأحيان إلى إجراء بديل معين.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. أمثلة الحل.
المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة

المعادلات التفاضلية (DE). هاتان الكلمتان عادة ما ترعبان الشخص العادي العادي. يبدو أن المعادلات التفاضلية أمر شائن ويصعب إتقانه للعديد من الطلاب. Uuuuuu… المعادلات التفاضلية كيف يمكنني النجاة من كل هذا ؟!

مثل هذا الرأي ومثل هذا الموقف هو خطأ جوهري ، لأنه في الواقع المعادلات التفاضلية بسيطة وممتعة حتى. ما الذي تحتاج إلى معرفته والقدرة على تعلم حل المعادلات التفاضلية؟ لدراسة الاختلافات بنجاح ، يجب أن تكون جيدًا في الدمج والتمييز. كلما تمت دراسة المواضيع بشكل أفضل مشتق دالة لمتغير واحدو تكامل غير محدد، سيكون من الأسهل فهم المعادلات التفاضلية. سأقول أكثر من ذلك ، إذا كانت لديك مهارات تكامل أكثر أو أقل ، فسيتم إتقان الموضوع عمليًا! المزيد من التكاملات أنواع مختلفةأنت تعرف كيف تقرر - كان ذلك أفضل. لماذا؟ عليك أن تندمج كثيرًا. وتفرق. أيضًا موصى بة بشدةتعلم أن تجد.

في 95٪ من الحالات في مراقبة العملهناك 3 أنواع من المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى: معادلات قابلة للفصل، والتي سنغطيها في هذا الدرس ؛ معادلات متجانسةو معادلات خطية غير متجانسة. للمبتدئين لدراسة الناشرين ، أنصحك بقراءة الدروس في هذا التسلسل ، وبعد دراسة أول مقالتين ، لن يضرك تعزيز مهاراتك في ورشة عمل إضافية - المعادلات التي تختزل إلى متجانسة.

هناك أنواع نادرة من المعادلات التفاضلية: المعادلات في مجموع الفروق ، معادلات برنولي ، وبعض المعادلات الأخرى. من النوعين الأخيرين ، الأهم هي المعادلات في مجموع التفاضلات ، لأنه بالإضافة إلى DE ، أعتبر مواد جديدة – تكامل جزئي.

إذا لم يتبق لديك سوى يوم أو يومين، الذي - التي لتحضير فائق السرعةهنالك دورة مداهماتبتنسيق pdf.

لذلك ، تم تعيين المعالم - دعنا نذهب:

دعونا أولاً نتذكر المعادلات الجبرية المعتادة. تحتوي على متغيرات وأرقام. أبسط مثال:. ماذا يعني حل معادلة عادية؟ هذا يعني أن تجد مجموعة من الأرقامالتي ترضي هذه المعادلة. من السهل ملاحظة أن معادلة الأبناء لها جذر واحد:. من أجل المتعة ، دعنا نجري فحصًا ، استبدل الجذر الموجود في معادلتنا:

- يتم الحصول على المساواة الصحيحة ، مما يعني أن الحل موجود بشكل صحيح.

يتم ترتيب النشرات بنفس الطريقة إلى حد كبير!

المعادلة التفاضلية الطلب الأولعلى العموم يتضمن:
1) متغير مستقل ؛
2) المتغير التابع (الوظيفة) ؛
3) المشتق الأول للدالة:.

في بعض المعادلات من الترتيب الأول ، قد لا يكون هناك "x" أو (و) "y" ، لكن هذا ليس ضروريًا - مهمبحيث في DU كانالمشتق الأول و لم يكن لديمشتقات الطلبات الأعلى - إلخ.

ماذا يعني ؟لحل المعادلة التفاضلية يعني إيجاد مجموعة من جميع الوظائفالتي ترضي هذه المعادلة. غالبًا ما يكون لمثل هذه المجموعة من الوظائف الشكل (ثابت تعسفي) ، والذي يسمى الحل العام للمعادلة التفاضلية.

مثال 1

حل المعادلة التفاضلية

ذخيرة كاملة. من أين نبدأ حل?

أولًا ، عليك إعادة كتابة المشتق بصيغة مختلفة قليلًا. نتذكر التدوين المرهق ، الذي ربما اعتقد الكثير منكم أنه سخيف وغير ضروري. هذا هو الذي يحكم الناشرون!

في الخطوة الثانية ، دعنا نرى ما إذا كان ذلك ممكنًا متغيرات الانقسام؟ماذا يعني فصل المتغيرات؟ تحدث تقريبا، على الجانب الأيسرنحن بحاجة للمغادرة فقط "ألعاب"، أ على الجانب الأيمنتنظم س فقط. يتم فصل المتغيرات بمساعدة التلاعب في "المدرسة": الأقواس ، ونقل المصطلحات من جزء إلى آخر مع تغيير علامة ، ونقل العوامل من جزء إلى جزء وفقًا لقاعدة التناسب ، إلخ.

الفوارق كاملة المضاعفات والمشاركين النشطين في الأعمال العدائية. في هذا المثال ، يمكن فصل المتغيرات بسهولة عن طريق التقليب العوامل وفقًا لقاعدة التناسب:

يتم فصل المتغيرات. على الجانب الأيسر - فقط "لعبة" ، على الجانب الأيمن - فقط "X".

المرحلة القادمة - تكامل المعادلة التفاضلية. الأمر بسيط ، فنحن نعلق التكاملات على كلا الجزأين:

بالطبع ، يجب أخذ التكاملات. في هذه الحالة ، تكون جدولة:

كما نتذكر ، يتم تخصيص ثابت لأي مشتق عكسي. يوجد تكاملان هنا ، لكن يكفي كتابة الثابت مرة واحدة (لأن الثابت + ثابت لا يزال مساويًا لثابت آخر). في معظم الحالات ، يتم وضعه على الجانب الأيمن.

بالمعنى الدقيق للكلمة ، بعد أخذ التكاملات ، تعتبر المعادلة التفاضلية قد تم حلها. الشيء الوحيد هو أن "y" الخاص بنا لا يتم التعبير عنه من خلال "x" ، أي أن الحل مقدم في الضمنياستمارة. يسمى الحل الضمني للمعادلة التفاضلية التكامل العام للمعادلة التفاضلية. هذا هو ، هو التكامل العام.

الإجابة في هذا النموذج مقبولة تمامًا ، لكن هل هناك خيار أفضل؟ دعنا نحاول الحصول عليها قرار مشترك.

لو سمحت، تذكر التقنية الأولى، فهو شائع جدًا وغالبًا ما يستخدم في ملفات مهام عملية: إذا ظهر لوغاريتم على الجانب الأيمن بعد التكامل ، فمن المستحسن أيضًا في كثير من الحالات (ولكن ليس دائمًا بأي حال من الأحوال!) كتابة الثابت تحت اللوغاريتم.

إنه، بدلاً منعادة ما يتم كتابة السجلات .

لماذا هذا مطلوب؟ ولتسهيل التعبير عن "y". نستخدم خاصية اللوغاريتمات . في هذه الحالة:

يمكن الآن إزالة اللوغاريتمات والوحدات النمطية:

يتم تقديم الوظيفة بشكل صريح. هذا هو الحل العام.

إجابة: قرار مشترك: .

من السهل التحقق من إجابات العديد من المعادلات التفاضلية. في حالتنا ، يتم ذلك بكل بساطة ، نأخذ الحل الذي تم العثور عليه ونفرقه:

ثم نستبدل المشتق بالمعادلة الأصلية:

- يتم الحصول على المساواة الصحيحة ، مما يعني أن الحل العام يفي بالمعادلة التي كان مطلوبًا التحقق منها.

بإعطاء قيم مختلفة ثابتة ، يمكنك الحصول على عدد لا نهائي من قرارات خاصةالمعادلة التفاضلية. من الواضح أن أيًا من الوظائف ، وما إلى ذلك. يفي بالمعادلة التفاضلية.

في بعض الأحيان يسمى الحل العام عائلة الوظائف. في هذا المثالقرار مشترك هي عائلة من الدوال الخطية ، أو بالأحرى عائلة من النسب المباشرة.

بعد مناقشة تفصيلية للمثال الأول ، من المناسب الإجابة على بعض الأسئلة الساذجة حول المعادلات التفاضلية:

1)في هذا المثال ، تمكنا من فصل المتغيرات. هل من الممكن دائما أن تفعل هذا؟لا، ليس دائما. وحتى في كثير من الأحيان لا يمكن فصل المتغيرات. على سبيل المثال ، في معادلات متجانسة من الدرجة الأولىيجب استبداله أولا. في أنواع أخرى من المعادلات ، على سبيل المثال ، في معادلة خطية غير متجانسة من الدرجة الأولى ، يجب على المرء استخدام الحيل المختلفةوطرق إيجاد حل عام. المعادلات المتغيرة القابلة للفصل التي نأخذها في الاعتبار في الدرس الأول هي أبسط نوع من المعادلات التفاضلية.

2) هل من الممكن دائمًا تكامل معادلة تفاضلية؟لا، ليس دائما. من السهل جدًا التوصل إلى معادلة "خيالية" لا يمكن دمجها ، بالإضافة إلى وجود تكاملات لا يمكن أخذها. لكن يمكن حل مثل هذه العناصر تقريبًا باستخدام طرق خاصة. يضمن D'Alembert و Cauchy ... ... آه ، متردد.لقد قرأت كثيرًا الآن ، لقد أضفت تقريبًا "من العالم الآخر".

3) في هذا المثال ، حصلنا على حل في شكل تكامل عام . هل من الممكن دائمًا إيجاد حل عام من التكامل العام ، أي التعبير عن "y" بشكل صريح؟لا، ليس دائما. على سبيل المثال: . حسنًا ، كيف يمكنني التعبير عن "y" هنا ؟! في مثل هذه الحالات ، يجب كتابة الإجابة كجزء متكامل عام. بالإضافة إلى ذلك ، في بعض الأحيان يمكن العثور على حل عام ، ولكن يتم كتابته بشكل مرهق وغير متقن لدرجة أنه من الأفضل ترك الإجابة في شكل تكامل عام

4) ... ربما يكفي الآن. في المثال الأول ، التقينا واحدة أخرى نقطة مهمة ولكن لكي لا أغطي "الدمى" بسيل من المعلومات الجديدة ، سأترك الأمر حتى الدرس التالي.

دعونا لا نسرع. جهاز تحكم عن بعد بسيط آخر وحل نموذجي آخر:

مثال 2

ابحث عن حل معين للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي

حل: حسب الحالة المراد إيجادها حل خاص DE الذي يفي بشرط أولي معين. يسمى هذا النوع من الاستجواب أيضًا مشكلة كوشي.

أولاً ، نجد حلاً عامًا. لا يوجد متغير "x" في المعادلة ، لكن هذا لا ينبغي أن يكون محرجًا ، الشيء الرئيسي هو أنه يحتوي على المشتق الأول.

نعيد كتابة المشتق في الشكل المطلوب:

من الواضح أنه يمكن تقسيم المتغيرات ، الأولاد على اليسار ، البنات على اليمين:

ندمج المعادلة:

يتم الحصول على التكامل العام. لقد رسمت هنا ثابتًا بنجمة مميزة ، والحقيقة هي أنه سيتحول قريبًا إلى ثابت آخر.

نحاول الآن تحويل التكامل العام إلى حل عام (عبر عن "y" صراحة). نتذكر المدرسة القديمة الجيدة: . في هذه الحالة:

لا يبدو الثابت في المؤشر بطريقة ما كوشير ، لذلك عادةً ما يتم إنزاله من السماء إلى الأرض. بالتفصيل ، يحدث مثل هذا. باستخدام خاصية الدرجات ، نعيد كتابة الدالة على النحو التالي:

إذا كان ثابتًا ، فهو ثابت أيضًا ، فقم بإعادة تصميمه بالحرف:

تذكر أن "هدم" ثابت هو التقنية الثانية، والذي يستخدم غالبًا في سياق حل المعادلات التفاضلية.

لذا فإن الحل العام هو: هذه عائلة لطيفة من الوظائف الأسية.

في المرحلة النهائية ، تحتاج إلى إيجاد حل معين يلبي الشرط الأولي المحدد. إنه بسيط أيضًا.

ما هي المهمة؟ بحاجة لالتقاط هذهقيمة الثابت للوفاء بالشرط.

يمكنك ترتيبها بطرق مختلفة ، ولكن ربما يكون الأمر الأكثر قابلية للفهم على هذا النحو. في الحل العام ، بدلاً من "x" ، نعوض بصفر ، وبدلاً من "y" ، نعوض اثنين:



إنه،

إصدار التصميم القياسي:

الآن نعوض بالقيمة التي تم العثور عليها للثابت في الحل العام:
- هذا هو الحل المحدد الذي نحتاجه.

إجابة: private solution:

لنقم بفحص. يتضمن التحقق من حل معين مرحلتين:

أولاً ، من الضروري التحقق مما إذا كان الحل المعين الذي تم العثور عليه يلبي بالفعل الشرط الأولي؟ بدلاً من "x" نستبدل الصفر ونرى ما سيحدث:
- نعم ، في الواقع ، تم الحصول على شيطان ، مما يعني أن الشرط الأولي مستوفى.

المرحلة الثانية مألوفة بالفعل. نأخذ الحل المعين الناتج ونجد المشتق:

استبدل في المعادلة الأصلية:

- الحصول على المساواة الصحيحة.

الخلاصة: تم العثور على حل معين بشكل صحيح.

دعنا ننتقل إلى أمثلة أكثر أهمية.

مثال 3

حل المعادلة التفاضلية

حل:نعيد كتابة المشتق بالشكل الذي نحتاجه:

تقييم ما إذا كان يمكن فصل المتغيرات؟ يستطيع. ننقل المصطلح الثاني إلى الجانب الأيمن مع تغيير العلامة:

ونقلب العوامل حسب قاعدة التناسب:

تم فصل المتغيرات ، دعنا ندمج كلا الجزأين:

يجب أن أحذرك ، يوم القيامة قادم. إذا لم تكن قد تعلمت جيدًا تكاملات غير محددة، تم حل بعض الأمثلة ، فلا يوجد مكان تذهب إليه - عليك إتقانها الآن.

يسهل العثور على تكامل الجانب الأيسر ، مع تكامل ظل التمام نتعامل مع التقنية القياسية التي أخذناها في الاعتبار في الدرس تكامل التوابع المثلثيةالعام الماضي:

على الجانب الأيمن ، لدينا لوغاريتم ، ووفقًا لتوصيتي الفنية الأولى ، يجب أيضًا كتابة الثابت تحت اللوغاريتم.

الآن نحاول تبسيط التكامل العام. نظرًا لأن لدينا لوغاريتمات فقط ، فمن الممكن (والضروري) التخلص منها. باستخدام الخصائص المعروفةأقصى حد "حزمة" اللوغاريتمات. سأكتب بتفصيل كبير:

العبوة كاملة لتكون ممزقة بوحشية:

هل من الممكن التعبير عن "y"؟ يستطيع. كلا الجزأين يجب تربيعهما.

لكن ليس عليك ذلك.

النصيحة التقنية الثالثة:إذا كنت تريد الحصول على حل عام ، فأنت بحاجة إلى الارتقاء إلى قوة أو أن تتجذر ، إذن في معظم الحالاتيجب أن تمتنع عن هذه الإجراءات وتترك الإجابة في شكل تكامل عام. الحقيقة هي أن الحل العام سيبدو سيئًا - بجذور كبيرة وعلامات ونفايات أخرى.

لذلك ، نكتب الإجابة كتكامل عام. لهجة جيدةيُنظر إليه على أنه يمثله في الشكل ، أي على الجانب الأيمن ، إذا أمكن ، اترك فقط ثابتًا. ليس من الضروري القيام بذلك ، لكن من المفيد دائمًا إرضاء الأستاذ ؛-)

إجابة:التكامل العام:

! ملحوظة: يمكن كتابة التكامل العام لأي معادلة بأكثر من طريقة. وبالتالي ، إذا لم تتطابق نتيجتك مع إجابة معروفة مسبقًا ، فهذا لا يعني أنك حللت المعادلة بشكل غير صحيح.

يتم أيضًا التحقق من التكامل العام بسهولة تامة ، والشيء الرئيسي هو أن تكون قادرًا على العثور عليه مشتق من وظيفة محددة ضمنيًا. لنفرق الجواب:

نضرب كلا المصطلحين في:

ونقسم على:

تم الحصول على المعادلة التفاضلية الأصلية بالضبط ، مما يعني أنه تم إيجاد التكامل العام بشكل صحيح.

مثال 4

ابحث عن حل معين للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي. قم بإجراء فحص.

هذا مثال على حل مستقل.

أذكرك أن الخوارزمية تتكون من مرحلتين:
1) إيجاد حل عام ؛
2) إيجاد الحل المعين المطلوب.

يتم إجراء الفحص أيضًا على خطوتين (انظر العينة في المثال رقم 2) ، تحتاج إلى:
1) تأكد من أن الحل المعين الذي تم العثور عليه يلبي الشرط الأولي ؛
2) تحقق من أن حلًا معينًا يفي بالمعادلة التفاضلية بشكل عام.

الحل الكاملوالجواب في نهاية الدرس.

مثال 5

ابحث عن حل معين لمعادلة تفاضلية ، واستيفاء الشرط الأولي. قم بإجراء فحص.

حل:أولاً ، لنجد حلًا عامًا ، تحتوي هذه المعادلة بالفعل على متفاضلات جاهزة ، مما يعني أن الحل مبسط. فصل المتغيرات:

ندمج المعادلة:

التكامل على اليسار جدولي ، والتكامل على اليمين مأخوذ طريقة جمع الدالة تحت علامة التفاضل:

تم الحصول على التكامل العام ، هل من الممكن التعبير عن الحل العام بنجاح؟ يستطيع. نحن نعلق اللوغاريتمات على كلا الجانبين. نظرًا لأنها إيجابية ، فإن علامات modulo زائدة عن الحاجة:

(أتمنى أن يفهم الجميع التحول ، يجب أن تكون هذه الأشياء معروفة بالفعل)

لذا فإن الحل العام هو:

لنجد حلاً معينًا يتوافق مع الشرط الأولي المحدد.
في الحل العام ، بدلاً من "x" ، نعوض بصفر ، وبدلاً من "y" ، لوغاريتم اثنين:

تصميم مألوف أكثر:

نعوض بالقيمة التي تم إيجادها للثابت في الحل العام.

إجابة:حل خاص:

تحقق: أولاً ، تحقق مما إذا تم استيفاء الشرط الأولي:
- كل شيء بخير.

دعنا الآن نتحقق مما إذا كان الحل المعين الذي تم العثور عليه يفي بالمعادلة التفاضلية على الإطلاق. نجد المشتق:

لنلقِ نظرة على المعادلة الأصلية: - يتم تقديمه في تفاضلات. هناك طريقتان للتحقق. من الممكن التعبير عن التفاضل من المشتق الموجود:

نعوض بالحل المعين الموجود والمشتق الناتج في المعادلة الأصلية :

نستخدم الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

يتم الحصول على المساواة الصحيحة ، مما يعني أن الحل المحدد موجود بشكل صحيح.

الطريقة الثانية للتدقيق معكوسة ومألوفة أكثر: من المعادلة عبر عن المشتق ، لذلك نقسم كل القطع على:

وفي DE المحول نستبدل الحل المعين الذي تم الحصول عليه والمشتق الموجود. نتيجة للتبسيط ، يجب أيضًا الحصول على المساواة الصحيحة.

مثال 6

حل المعادلة التفاضلية. عبر عن الإجابة باعتبارها جزءًا لا يتجزأ من عامة.

هذا مثال على الحل الذاتي والحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ما هي الصعوبات التي تنتظر حل المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة؟

1) ليس من الواضح دائمًا (خاصةً إبريق الشاي) أنه يمكن فصل المتغيرات. يعتبر مثال شرطي:. هنا تحتاج إلى إخراج العوامل من الأقواس: وفصل الجذور:. كيفية المضي قدمًا واضحة.

2) صعوبات في الاندماج نفسه. غالبًا ما تنشأ التكاملات ليست أبسطها ، وإذا كانت هناك عيوب في مهارات البحث تكامل غير محدد، عندها سيكون الأمر صعبًا مع العديد من الموزعات. بالإضافة إلى ذلك ، فإن جامعي المجموعات والكتيبات مشهورون بالمنطق "نظرًا لأن المعادلة التفاضلية بسيطة ، فإن التكاملات على الأقل ستكون أكثر تعقيدًا."

3) التحولات ذات ثابت. كما لاحظ الجميع ، يمكن التعامل مع ثابت في المعادلات التفاضلية بحرية تامة ، وبعض التحولات لا تكون دائمًا واضحة للمبتدئين. لنلقِ نظرة على مثال افتراضي آخر: . في ذلك ، يُنصح بضرب جميع المصطلحات في 2: . الثابت الناتج هو أيضًا نوع من الثابت ، والذي يمكن الإشارة إليه من خلال: . نعم ، وبما أن هناك لوغاريتمًا في الجانب الأيمن ، فمن المستحسن إعادة كتابة الثابت باعتباره ثابتًا آخر: .

تكمن المشكلة في أنهم غالبًا لا يهتمون بالمؤشرات ويستخدمون نفس الحرف. ونتيجة لذلك ، يتخذ سجل القرار النموذج التالي:

ما بدعة؟ ها هي الأخطاء! بالمعنى الدقيق للكلمة ، نعم. ومع ذلك ، من وجهة نظر موضوعية ، لا توجد أخطاء ، لأنه نتيجة لتحويل ثابت متغير ، لا يزال يتم الحصول على ثابت متغير.

أو مثال آخر ، افترض أنه أثناء حل المعادلة ، يتم الحصول على تكامل عام. تبدو هذه الإجابة قبيحة ، لذا يُنصح بتغيير إشارة كل مصطلح: . رسميًا ، هناك خطأ مرة أخرى - على اليمين ، يجب كتابته. ولكن من المفهوم ضمنيًا بشكل غير رسمي أن "ناقص" لا يزال ثابتًا ( والتي تأخذ أيضًا أي قيم!)لذا فإن وضع علامة "ناقص" لا معنى له ويمكنك استخدام نفس الحرف.

سأحاول تجنب أسلوب الإهمال ، مع الاستمرار في وضع فهارس مختلفة للثوابت عند تحويلها.

مثال 7

حل المعادلة التفاضلية. قم بإجراء فحص.

حل:تسمح هذه المعادلة بفصل المتغيرات. فصل المتغيرات:

ندمج:

لا يجب تعريف الثابت هنا تحت اللوغاريتم ، لأنه لن يأتي منه أي خير.

إجابة:التكامل العام:

تحقق: ميّز الإجابة (وظيفة ضمنية):

نتخلص من الكسور ، لذلك نضرب كلا الحدين في:

تم الحصول على المعادلة التفاضلية الأصلية ، مما يعني أنه تم إيجاد التكامل العام بشكل صحيح.

المثال 8

ابحث عن حل خاص لـ DE.
,

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". التلميح الوحيد هو أنك هنا تحصل على تكامل عام ، والأصح أنك تحتاج إلى التدبر حتى لا تجد حلاً معينًا ، ولكن تكامل خاص. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

غالبًا ما يؤدي حل المشكلات الهندسية والفيزيائية والهندسية المختلفة إلى معادلات تربط المتغيرات المستقلة التي تميز مشكلة معينة ببعض وظائف هذه المتغيرات ومشتقات هذه الوظيفة من أوامر مختلفة.

كمثال ، ضع في اعتبارك أبسط حالة للحركة المتسارعة بشكل منتظم نقطة مادية.

من المعروف أن إزاحة نقطة مادية أثناء الحركة المتسارعة بشكل منتظم هي دالة للوقت ويتم التعبير عنها بالصيغة:

في المقابل ، التسارع أهو مشتق الوقت رمن السرعة الخامس, وهو أيضًا مشتق فيما يتعلق بالوقت رمن التحرك س. أولئك.

ثم نحصل على:
- تتعلق المعادلة بالدالة f (t) بالمتغير المستقل t والمشتق من الدرجة الثانية للدالة f (t).

تعريف. المعادلة التفاضلية تسمى معادلة تتعلق بالمتغيرات المستقلة ووظائفها ومشتقاتها (أو الفروق) من هذه الوظيفة.

تعريف. إذا كانت المعادلة التفاضلية تحتوي على متغير مستقل واحد ، فسيتم استدعاؤها المعادلة التفاضلية العادية , إذا كان هناك متغيران مستقلان أو أكثر ، فسيتم استدعاء هذه المعادلة التفاضلية المعادلة التفاضلية الجزئية.

تعريف. يسمى أعلى ترتيب للمشتقات في المعادلة ترتيب المعادلة التفاضلية .

مثال.

- المعادلة التفاضلية العادية من الدرجة الأولى. بشكل عام ، هو مكتوب
.

- المعادلة التفاضلية العادية من الدرجة الثانية. بشكل عام ، هو مكتوب

- المعادلة التفاضلية في المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى.

تعريف. الحل العام المعادلة التفاضلية هي دالة قابلة للتفاضل y =  (x، C) ، والتي عند استبدالها في المعادلة الأصلية بدلاً من دالة غير معروفة ، تحول المعادلة إلى متطابقة

خصائص الحل العام.

1) لأن نظرًا لأن الثابت C هو قيمة عشوائية ، فإن المعادلة التفاضلية بشكل عام لها عدد لا حصر له من الحلول.

2) في ظل أي ظروف أولية x \ u003d x 0، y (x 0) \ u003d y 0 ، توجد مثل هذه القيمة C \ u003d C 0 والتي يكون حل المعادلة التفاضلية لها هو الوظيفة y \ u003d  (x، ج 0).

تعريف. حل النموذج y \ u003d  (x ، C 0) يسمى قرار خاص المعادلة التفاضلية.

تعريف. مشكلة كوشي (Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - عالم رياضيات فرنسي) يسمى إيجاد أي حل معين لمعادلة تفاضلية للصيغة y \ u003d  (x، C 0) التي تفي بالشروط الأولية y (x 0) \ u003d y 0 .

نظرية كوشي. (نظرية حول وجود وتفرد حل المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى)

إذا كانت الوظيفةF(x, ذ) مستمر في بعض المجالاتدفي الطائرةXOYوله مشتق جزئي مستمر في هذه المنطقة
، ثم مهما كانت النقطة (x 0 ، ذ 0 ) في المنطقةد، لايوجد الا حل واحد
المعادلات
، المحدد في بعض الفترات التي تحتوي على النقطة x 0 ، القبول عند x = x 0 معنى (X 0 ) = ذ 0 ، أي. هناك حل فريد للمعادلة التفاضلية.

تعريف. أساسي المعادلة التفاضلية هي أي معادلة لا تحتوي على مشتقات ، والتي تكون نتيجة لهذه المعادلة التفاضلية.

مثال.أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية
.

يتم البحث عن الحل العام للمعادلة التفاضلية من خلال دمج الجانبين الأيمن والأيسر للمعادلة ، والتي يتم تحويلها مبدئيًا على النحو التالي:

الآن دعنا ندمج:

هو الحل العام للمعادلة التفاضلية الأصلية.

افترض أنه تم تقديم بعض الشروط الأولية: x 0 = 1 ؛ y 0 = 2 ، ثم لدينا

من خلال استبدال القيمة التي تم الحصول عليها للثابت في الحل العام ، نحصل على حل معين لظروف أولية معينة (حل مشكلة كوشي).

تعريف. منحنى متكامل يسمى الرسم البياني y =  (x) لحل المعادلة التفاضلية على المستوى XOY.

تعريف. حل خاص المعادلة التفاضلية هو مثل هذا الحل ، وفي جميع النقاط التي يطلق عليها شرط تفرد كوشي (راجع. نظرية كوشي.) غير راضٍ ، أي في منطقة مجاورة لنقطة ما (س ، ص) يوجد على الأقل منحنيان متكاملان.

لا تعتمد الحلول الفردية على الثابت C.

لا يمكن الحصول على حلول خاصة من الحل العام لأي قيم للثابت C. إذا قمنا ببناء مجموعة من المنحنيات المتكاملة لمعادلة تفاضلية ، فسيتم تمثيل الحل الخاص بخط يلامس منحنى واحدًا على الأقل عند كل نقطة من نقاطها.

لاحظ أنه ليس لكل معادلة تفاضلية حلول فردية.

مثال.أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية:
ابحث عن حل خاص إذا كان موجودًا.

هذه المعادلة التفاضلية لها أيضًا حل خاص في= 0. لا يمكن الحصول على هذا الحل من الحل العام ، ومع ذلك ، عند الاستبدال في المعادلة الأصلية ، نحصل على هوية. الرأي أن الحل ذ = 0 يمكن الحصول عليها من الحل العام لـ مع 1 = 0 خطأ لأن ج 1 = ه ج  0.