علامة شبه منحرف على طول الأقطار. شبه منحرف. دروس كاملة – المعرفة هايبر ماركت

العودة إلى الأمام

انتباه! معاينات الشرائح هي لأغراض إعلامية فقط وقد لا تمثل جميع ميزات العرض التقديمي. إذا كنت مهتما بهذا العمل، يرجى تحميل النسخة الكاملة.

الغرض من الدرس:

• التعليمية- التعريف بمفهوم شبه المنحرف، والتعرف على أنواع شبه المنحرف، ودراسة خصائص شبه المنحرف، وتعليم الطلاب كيفية تطبيق المعرفة المكتسبة في عملية حل المشكلات؛
• النامية- تنمية الصفات التواصلية لدى الطلاب، وتنمية القدرة على إجراء التجارب، والتعميم، واستخلاص النتائج، وتنمية الاهتمام بالموضوع.
• التعليمية– تنمية الاهتمام، وخلق حالة من النجاح، والفرح من التغلب على الصعوبات بشكل مستقل، وتنمية حاجة الطلاب للتعبير عن الذات من خلال أنواع مختلفةيعمل

أشكال العمل:أمامي، غرفة بخار، مجموعة.

شكل تنظيم أنشطة الأطفال:القدرة على الاستماع، وبناء المناقشة، والتعبير عن الفكر، والسؤال، والإضافة.

معدات:الكمبيوتر، جهاز عرض الوسائط المتعددة، الشاشة. على مكاتب الطلاب: قطع المواد اللازمة لصنع شبه منحرف على مكتب كل طالب؛ بطاقات بالمهام (مطبوعات للرسومات والمهام من ملاحظات الدرس).

خلال الفصول الدراسية

I. اللحظة التنظيمية

تحية والتحقق من جاهزية مكان العمل للدرس.

ثانيا. تحديث المعرفة

• تنمية المهارات لتصنيف الأشياء.
• تحديد الخصائص الرئيسية والثانوية أثناء التصنيف.

خذ بعين الاعتبار الرسم رقم 1.

التالي يأتي مناقشة الرسم.
– مم يتكون هذا الشكل الهندسي؟ الرجال يجدون الجواب في الصور: [من مستطيل ومثلثات].
- كيف يجب أن تكون المثلثات التي تشكل شبه المنحرف؟
يتم الاستماع إلى جميع الآراء ومناقشتها، ويتم تحديد خيار واحد: [يجب أن تكون المثلثات مستطيلة].
- كيف يتم تشكيل المثلثات والمستطيل؟ [بحيث يتطابق الضلعان المتقابلان للمستطيل مع ساق كل مثلث من المثلثات].
– ماذا تعرف عن الأضلاع المتقابلة للمستطيل؟ [إنهما متوازيان].
- إذن هذا الشكل الرباعي سيكون له جوانب متوازية؟ [نعم].
- كم يوجد هناك؟ [اثنين].
بعد المناقشة، يوضح المعلم "ملكة الدرس" - شبه منحرف.

ثالثا. شرح مادة جديدة

1. تعريف شبه منحرف، عناصر شبه منحرف

• تعليم الطلاب كيفية تحديد شبه منحرف.
• تسمية عناصره؛
• تطوير الذاكرة الترابطية.

- حاول الآن إعطاء تعريف كامل لشبه المنحرف. يفكر كل طالب في إجابة السؤال. يتبادلون الآراء في أزواج ويعدون إجابة واحدة على السؤال. يتم إعطاء إجابة شفهية لطالب واحد من 2-3 أزواج.
[شبه المنحرف هو شكل رباعي فيه ضلعان متوازيان والضلعان الآخران غير متوازيين].

- ماذا تسمى جوانب شبه المنحرف؟ [الأضلاع المتوازية تسمى قاعدتي شبه المنحرف، والضلعان الآخران يسمى الأضلاع الجانبية].

يقترح المعلم طي الأشكال المقطوعة إلى شبه منحرف. يعمل الطلاب في أزواج ويضيفون الأشكال. من الجيد أن تكون أزواج الطلاب من مستويات مختلفة، ويكون أحد الطلاب مستشارًا ويساعد صديقًا في حالة وجود صعوبة.

– قم ببناء شبه منحرف في دفاتر ملاحظاتك، واكتب أسماء جوانب شبه المنحرف. اطرح على جارك أسئلة حول الرسم، واستمع إلى إجاباته، وأخبره بخيارات إجابتك.

مرجع تاريخي

"شبه منحرف"- كلمة يونانية كانت تعني في العصور القديمة "الطاولة" (في الكلمة اليونانية "trapedzion" تعني الطاولة وطاولة الطعام. تم تسمية الشكل الهندسي بهذا الاسم بسبب تشابهه الخارجي مع طاولة صغيرة.
في العناصر (اليونانية Στοιχεῖα، اللاتينية Elementa) - العمل الرئيسي لإقليدس، المكتوب حوالي عام 300 قبل الميلاد. ه. ومخصص للبناء المنهجي للهندسة) مصطلح "شبه منحرف" لا يستخدم بالمعنى الحديث، ولكن بمعنى مختلف: أي رباعي الأضلاع (وليس متوازي الأضلاع). تم العثور على "شبه منحرف" بمعناه لأول مرة في عالم الرياضيات اليوناني القديم بوسيدونيوس (القرن الأول). في العصور الوسطى، وفقًا لإقليدس، كان أي شكل رباعي (وليس متوازي الأضلاع) يسمى شبه منحرف؛ فقط في القرن الثامن عشر. هذه الكلمة تأخذ معنى حديثا.

بناء شبه منحرف من عناصره المعطاة. يكمل الرجال المهام الموجودة على البطاقة رقم 1.

يجب على الطلاب بناء شبه منحرف من أكثر من غيرها أماكن مختلفةوالأساليب. في الخطوة 1 تحتاج إلى بناء شبه منحرف مستطيل. في النقطة 2 يصبح من الممكن بناء شبه منحرف متساوي الساقين. في النقطة 3، سيكون شبه المنحرف "مستلقيًا على جانبه". في الفقرة 4، يتضمن الرسم بناء شبه منحرف حيث تكون إحدى القواعد صغيرة بشكل غير عادي.
"يفاجئ" الطلاب المعلم بأشكال مختلفة لها اسم مشترك واحد - شبه منحرف. يوضح المعلم الخيارات الممكنةبناء شبه منحرف.

المشكلة 1. هل سيكون شبه المنحرفين متساويين إذا كانت إحدى القاعدتين والضلعين متساويين على التوالي؟
مناقشة حل المشكلة في مجموعات وإثبات صحة المنطق.
يقوم أحد الطلاب من المجموعة برسم رسم على السبورة ويشرح الأسباب.

2. أنواع شبه المنحرف

• تطوير الذاكرة الحركية، ومهارات كسر شبه منحرف إلى أشكال معروفة ضرورية لحل المشكلات؛
• تنمية مهارات التعميم والمقارنة والتعريف بالقياس وطرح الفرضيات.

دعونا ننظر إلى الصورة:

- فيم يختلف شبه المنحرف الموضح في الصورة؟
لاحظ الرجال أن نوع شبه المنحرف يعتمد على نوع المثلث الموجود على اليسار.
- اكمل الجملة:

يسمى شبه المنحرف مستطيلاً إذا كان...
شبه المنحرف يسمى متساوي الساقين إذا...

3. خصائص شبه منحرف. ملكيات شبه منحرف متساوي الساقين.

• طرح فرضية، قياسًا على مثلث متساوي الساقين، حول خاصية شبه منحرف متساوي الساقين؛
• تنمية المهارات التحليلية (المقارنة، الافتراض، الإثبات، البناء).

• القطعة التي تصل بين منتصف القطرين تساوي نصف الفرق بين القاعدتين.
• شبه منحرف متساوي الساقين له زوايا متساوية عند أي قاعدة.
• شبه منحرف متساوي الساقين له أقطار متساوية.
• في شبه المنحرف متساوي الساقين، يقسم الارتفاع المنخفض من الرأس إلى القاعدة الأكبر إلى قسمين، أحدهما يساوي نصف مجموع القاعدتين، والآخر يساوي نصف الفرق بين القاعدتين.

المهمة 2.أثبت أنه في شبه منحرف متساوي الساقين: أ) الزوايا عند كل قاعدة متساوية؛ ب) الأقطار متساوية. لإثبات هذه الخصائص لشبه المنحرف متساوي الساقين، نتذكر علامات تساوي المثلثات. يقوم الطلاب بإكمال المهمة في مجموعات، ويناقشون ويكتبون الحل في دفاتر ملاحظاتهم.
أحد الطلاب من المجموعة يقوم بالبرهان على السبورة.

4. تمرين الانتباه

5. أمثلة على استخدام الأشكال شبه المنحرفة في الحياة اليومية:

• في المناطق الداخلية (الأرائك والجدران، أسقف معلقة);
• الخامس تصميم المناظر الطبيعية( حدود العشب الخزانات الاصطناعيةالحجارة)؛
• في صناعة الأزياء (الملابس والأحذية والاكسسوارات)؛
• في تصميم العناصر اليومية (المصابيح والأطباق باستخدام الأشكال شبه المنحرفة)؛
• في الهندسة المعمارية.

العمل التطبيقي(حسب الخيارات).

- في نظام إحداثي واحد، قم ببناء شبه منحرف متساوي الساقين بناءً على القمم الثلاثة المعطاة.

الخيار 1: (0؛ 1)، (0؛ 6)، (– 4؛ 2)، (…؛ …) و (– 6؛ – 5)، (4؛ – 5)، (– 4؛ – 3) ، (...؛...).
الخيار 2: (- 1; 0)، (4; 0)، (6; 5)، (…; …) و (1; – 2)، (4; – 3)، (4; – 7)، ( ...;...).

– تحديد إحداثيات الرأس الرابع.
يتم التحقق من الحل والتعليق عليه من قبل الفصل بأكمله. يشير الطلاب إلى إحداثيات النقطة الرابعة التي تم العثور عليها ويحاولون شفهيًا شرح سبب تحديد الشروط المحددة لنقطة واحدة فقط.

مهمة مثيرة للاهتمام.أضعاف شبه منحرف من: أ) أربعة مثلثات قائمة؛ ب) من ثلاثة مثلثات قائمة؛ ج) من مثلثين قائمين.

رابعا. العمل في المنزل

• رعاية احترام الذات الصحيح؛
• خلق حالة من "النجاح" لكل طالب.

ص44، معرفة التعريف، عناصر شبه المنحرف، أنواعه، معرفة خواص شبه المنحرف، القدرة على إثباتها، رقم 388، رقم 390.

الخامس. ملخص الدرس. وفي نهاية الدرس يتم تقديمه للأطفال استبيان,والذي يسمح لك بإجراء التحليل الذاتي وإعطاء تقييم نوعي وكمي للدرس .

شبه المنحرف هو حالة خاصة من الشكل الرباعي الذي يكون فيه زوج واحد من الجوانب متوازيًا. مصطلح "شبه منحرف" يأتي من الكلمة اليونانية τράπεζα، ومعنى "الجدول"، "الجدول". في هذه المقالة سننظر في أنواع شبه المنحرف وخصائصه. بالإضافة إلى ذلك، سنكتشف كيفية حساب العناصر الفردية لهذا، على سبيل المثال، قطري شبه منحرف متساوي الساقين، والخط الأوسط، والمنطقة، وما إلى ذلك. يتم تقديم المادة بأسلوب الهندسة الشعبية الأولية، أي في شكل يسهل الوصول إليه .

معلومات عامة

أولاً، دعونا نتعرف على ما هو الشكل الرباعي. هذا الرقمهي حالة خاصة لمضلع يحتوي على أربعة جوانب وأربعة رؤوس. يسمى رأسان الشكل الرباعي غير المتجاورين بالعكس. ويمكن قول الشيء نفسه عن الجانبين غير المتجاورين. الأنواع الرئيسية من الأشكال الرباعية هي متوازي الأضلاع، المستطيل، المعين، المربع، شبه المنحرف والدالية.

لذلك دعونا نعود إلى شبه المنحرف. وكما قلنا سابقًا، فإن هذا الشكل له جانبان متوازيان. يطلق عليهم القواعد. أما الجانبان الآخران (غير المتوازيين) فهما الجوانب الجانبية. في مواد الامتحانات ومختلفها الاختباراتفي كثير من الأحيان يمكنك العثور على مشاكل تتعلق بأشباه المنحرف، والتي يتطلب حلها غالبًا أن يكون لدى الطالب معرفة غير منصوص عليها في البرنامج. يعرّف مقرر الهندسة المدرسية الطلاب على خصائص الزوايا والأقطار، بالإضافة إلى خط الوسط لشبه منحرف متساوي الساقين. لكن بالإضافة إلى ذلك فإن الشكل الهندسي المذكور له سمات أخرى. لكن المزيد عنها بعد قليل ...

أنواع شبه منحرف

هناك أنواع عديدة من هذا الرقم. ومع ذلك، غالبا ما يكون من المعتاد النظر في اثنين منهم - متساوي الساقين ومستطيلة.

1. شبه المنحرف المستطيل هو شكل يكون أحد أضلاعه متعامدًا مع قاعدتيه. زاويتاها تساويان دائمًا تسعين درجة.

2. شبه المنحرف متساوي الساقين هو شكل هندسي تتساوى أضلاعه مع بعضها البعض. وهذا يعني أن الزوايا عند القاعدتين متساوية أيضًا في أزواج.

المبادئ الأساسية لمنهجية دراسة خصائص شبه المنحرف

يتضمن المبدأ الرئيسي استخدام ما يسمى بنهج المهمة. في الواقع، ليست هناك حاجة لإدخال خصائص جديدة لهذا الشكل في المسار النظري للهندسة. يمكن اكتشافها وصياغتها أثناء عملية الحل المهام المختلفة(أفضل من النظام). وفي الوقت نفسه، من المهم جدًا أن يعرف المعلم المهام التي يجب تعيينها للطلاب في وقت أو آخر العملية التعليمية. علاوة على ذلك، يمكن تمثيل كل خاصية من خصائص شبه المنحرف كمهمة رئيسية في نظام المهام.

المبدأ الثاني هو ما يسمى بالتنظيم الحلزوني لدراسة الخصائص "الرائعة" لشبه المنحرف. وهذا يعني العودة في عملية التعلم إلى السمات الفردية لشخصية هندسية معينة. وهذا يسهل على الطلاب تذكرها. على سبيل المثال، خاصية أربع نقاط. يمكن إثبات ذلك عند دراسة التشابه ومن ثم استخدام المتجهات. ويمكن إثبات تكافؤ المثلثات المجاورة للأضلاع الجانبية للشكل ليس فقط من خلال تطبيق خصائص المثلثات ذات الارتفاعات المتساوية المرسومة على الجوانب التي تقع على نفس الخط المستقيم، ولكن أيضًا باستخدام الصيغة S = 1/2( أب * الخطيئة α). بالإضافة إلى ذلك، يمكنك العمل على شبه منحرف منقوش أو مثلث قائم الزاوية على شبه منحرف منقوش، وما إلى ذلك.

استخدام ميزات “خارجة عن البرنامج” للشكل الهندسي في المحتوى دورة المدرسة- هذه تقنية تعتمد على المهام لتعليمهم. إن الرجوع باستمرار إلى الخصائص التي تتم دراستها أثناء مناقشة مواضيع أخرى يسمح للطلاب باكتساب معرفة أعمق بشبه المنحرف ويضمن نجاح حل المشكلات المخصصة. لذلك، دعونا نبدأ في دراسة هذا الرقم الرائع.

عناصر وخصائص شبه منحرف متساوي الساقين

وكما لاحظنا من قبل، فإن هذا الشكل الهندسي له أضلاع متساوية. ومن المعروف أيضا باسم شبه منحرف الصحيح. لماذا هو رائع جدا ولماذا حصل على هذا الاسم؟ تكمن خصوصية هذا الشكل في أن الجوانب والزوايا عند القواعد ليست متساوية فحسب، بل الأقطار أيضًا. بالإضافة إلى ذلك، فإن مجموع زوايا شبه المنحرف متساوي الساقين هو 360 درجة. ولكن هذا ليس كل شيء! من بين جميع شبه المنحرفات المعروفة، يمكن وصف شبه المنحرف فقط بأنه دائرة. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن مجموع الزوايا المتقابلة لهذا الشكل يساوي 180 درجة، وفي ظل هذا الشرط فقط يمكن وصف دائرة حول شكل رباعي. الخاصية التالية للشكل الهندسي قيد النظر هي أن المسافة من رأس القاعدة إلى إسقاط الرأس المقابل على الخط المستقيم الذي يحتوي على هذه القاعدة ستكون مساوية لخط المنتصف.

الآن دعونا نتعرف على كيفية العثور على زوايا شبه منحرف متساوي الساقين. ولنتأمل حل هذه المشكلة بشرط معرفة أبعاد أضلاع الشكل.

حل

عادة، يُشار إلى الشكل الرباعي عادةً بالأحرف A، B، C، D، حيث تكون BS و AD هي القواعد. في شبه المنحرف متساوي الساقين، الجوانب متساوية. سنفترض أن حجمها يساوي X، وأحجام القواعد تساوي Y وZ (أصغر وأكبر، على التوالي). لإجراء الحساب، من الضروري رسم الارتفاع H من الزاوية B. والنتيجة هي مثلث قائم الزاوية ABN، حيث AB هو الوتر، وBN وAN هما الأرجل. نحسب حجم الساق AN: نطرح الأصغر من القاعدة الأكبر، ونقسم الناتج على 2. ونكتبه على شكل صيغة: (Z-Y)/2 = F. والآن لحساب الحدة زاوية المثلث نستخدم دالة cos. نحصل على الإدخال التالي: cos(β) = X/F. الآن نحسب الزاوية: β=arcos (X/F). علاوة على ذلك، بمعرفة زاوية واحدة، يمكننا تحديد الثانية، ولهذا نقوم بإجراء عملية حسابية أولية: 180 - β. يتم تعريف جميع الزوايا.

هناك حل ثان لهذه المشكلة. أولاً، نخفضه من الزاوية إلى الارتفاع H. ونحسب قيمة الساق BN. نحن نعلم أن مربع الوتر في المثلث القائم الزاوية يساوي مجموع مربعي أضلاعه. نحصل على: BN = √(X2-F2). بعد ذلك نستخدم الدالة المثلثية tg. ونتيجة لذلك، لدينا: β = القطب الشمالي (BN/F). تم العثور على زاوية حادة. بعد ذلك، نحددها بشكل مشابه للطريقة الأولى.

خاصية أقطار شبه منحرف متساوي الساقين

أولاً، دعونا نكتب أربع قواعد. إذا كان القطران في شبه منحرف متساوي الساقين متعامدين فإن:

سيكون ارتفاع الشكل مساويًا لمجموع القواعد مقسومًا على اثنين؛

ارتفاعه وخط الوسط متساويان.

مركز الدائرة هو النقطة التي عندها؛

إذا تم تقسيم الجانب الجانبي بنقطة التماس إلى قطعتين H وM، فإنه يساوي الجذر التربيعيمنتجات هذه القطاعات.

والرباعي الذي يتكون من نقاط التماس ورأس شبه المنحرف ومركز الدائرة المحيطية هو مربع ضلعه يساوي نصف القطر؛

مساحة الشكل تساوي منتج القواعد ومنتج نصف مجموع القواعد وارتفاعه.

شبه منحرف مماثلة

هذا الموضوع مناسب جداً لدراسة خواص هذا، فمثلاً الأقطار تقسم شبه المنحرف إلى أربعة مثلثات، والملاصقة للقواعد متشابهة، والمجاورة للجوانب متساوية في الحجم. يمكن تسمية هذا البيان بخاصية المثلثات التي ينقسم إليها شبه المنحرف بأقطاره. وقد ثبت الجزء الأول من هذا القول بعلامة التشبيه من زاويتين. لإثبات الجزء الثاني من الأفضل استخدام الطريقة الموضحة أدناه.

إثبات النظرية

نحن نقبل أن الشكل ABSD (AD وBS هما قاعدتا شبه المنحرف) مقسم على القطرين VD وAC. نقطة تقاطعهم هي O. نحصل على أربعة مثلثات: AOS - عند القاعدة السفلية، BOS - عند القاعدة العليا، ABO وSOD على الجانبين. المثلثان SOD وBOS لهما ارتفاع مشترك إذا كانت القطع BO وOD هي قاعدتيهما. ونجد أن الفرق بين مساحاتها (P) يساوي الفرق بين هذه الأجزاء: PBOS/PSOD = BO/OD = K. وبالتالي، PSOD = PBOS/K. وبالمثل، فإن المثلثين BOS وAOB لهما ارتفاع مشترك. نحن نأخذ القطاعات CO وOA كقواعد لها. نحصل على PBOS/PAOB = CO/OA = K وPAOB = PBOS/K. ويترتب على ذلك أن PSOD = PAOB.

لتوحيد المادة، يُنصح الطلاب بالعثور على العلاقة بين مساحات المثلثات الناتجة التي ينقسم إليها شبه المنحرف بأقطاره من خلال حل المشكلة التالية. من المعروف أن المثلثين BOS و AOD لهما مساحات متساوية، ومن الضروري إيجاد مساحة شبه المنحرف. بما أن PSOD = PAOB، فهذا يعني PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. من التشابه بين المثلثين BOS وAOD، يترتب على ذلك أن BO/OD = √(PBOS/PAOD). لذلك، PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). نحصل على PSOD = √(PBOS*PAOD). ثم PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

خصائص التشابه

الاستمرار في تطوير هذا الموضوع، يمكن للمرء أن يثبت الآخر ميزات مثيرة للاهتمامشبه منحرف. وبالتالي، باستخدام التشابه، يمكن إثبات خاصية القطعة التي تمر عبر النقطة التي تشكلها تقاطع أقطار هذا الشكل الهندسي الموازي للقواعد. للقيام بذلك، دعونا نحل المشكلة التالية: نحن بحاجة إلى العثور على طول القطعة RK التي تمر عبر النقطة O. ومن تشابه المثلثين AOD وBOS يستنتج أن AO/OS = AD/BS. من تشابه المثلثين AOP و ASB يستنتج أن AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). من هنا نحصل على RO=BS*BP/(BS+BP). وبالمثل، من تشابه المثلثين DOC وDBS، يترتب على ذلك OK = BS*AD/(BS+AD). من هنا نحصل على RO=OK و RK=2*BS*AD/(BS+AD). القطعة التي تمر بنقطة تقاطع الأقطار، الموازية للقواعد، وتربط بين ضلعين جانبيين، تقسم إلى نصفين بنقطة التقاطع. طوله هو الوسط التوافقي لقواعد الشكل.

دعونا نفكر الجودة القادمةشبه منحرف، وهو ما يسمى خاصية النقاط الأربع. تقع نقاط تقاطع الأقطار (O)، وتقاطع استمرار الجوانب (E)، وكذلك نقاط منتصف القواعد (T و F) دائمًا على نفس الخط. ويمكن إثبات ذلك بسهولة من خلال طريقة التشابه. المثلثان الناتجان BES و AED متشابهان، وفي كل منهما يقسم الوسيطان ET وEJ زاوية الرأس E إلى أجزاء متساوية. ولذلك فإن النقاط E و T و F تقع على نفس الخط المستقيم. وبنفس الطريقة تقع النقاط T وO وZh على نفس الخط المستقيم، وكل هذا ناتج عن تشابه المثلثين BOS وAOD. من هنا نستنتج أن النقاط الأربع – E، T، O، F – سوف تقع على نفس الخط المستقيم.

باستخدام شبه منحرف مماثل، يمكنك أن تطلب من الطلاب العثور على طول القطعة (LS) التي تقسم الشكل إلى شكلين متشابهين. يجب أن يكون هذا الجزء موازيا للقواعد. وبما أن شبه المنحرف الناتج ALFD وLBSF متشابهان، فإن BS/LF = LF/AD. ويترتب على ذلك أن LF=√(BS*AD). نجد أن القطعة التي تقسم شبه المنحرف إلى قسمين متشابهين طولها يساوي الوسط الهندسي لأطوال قاعدتي الشكل.

النظر في خاصية التشابه التالية. يعتمد على قطعة تقسم شبه المنحرف إلى رقمين متساويين. نحن نفترض أن شبه المنحرف ABSD مقسم بواسطة القطعة EH إلى قسمين متشابهين. من قمة الرأس B، تم حذف الارتفاع، والذي ينقسم حسب المقطع EN إلى جزأين - B1 وB2. نحصل على: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 وPABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. بعد ذلك، نؤلف نظامًا معادلته الأولى هي (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 والمعادلة الثانية (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. ويترتب على ذلك أن B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) وBS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). نجد أن طول القطعة التي تقسم شبه المنحرف إلى قسمين متساويين يساوي الجذر التربيعي المتوسط ​​لأطوال القاعدتين: √((BS2+AD2)/2).

نتائج التشابه

وبذلك أثبتنا أن:

1. القطعة التي تربط نقاط المنتصف للجوانب الجانبية لشبه المنحرف تكون موازية لـ AD وBS ويساوي الوسط الحسابي لـ BS وAD (طول قاعدة شبه المنحرف).

2. الخط الذي يمر عبر النقطة O من تقاطع القطرين الموازي لـ AD و BS سيكون مساوياً للمتوسط ​​التوافقي للرقمين AD و BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. الجزء الذي يقسم شبه المنحرف إلى أجزاء متشابهة له طول الوسط الهندسي للقاعدتين BS و AD.

4. عنصر يقسم الشكل إلى شكلين متساويين له طول الجذر التربيعي للرقمين AD و BS.

لتوحيد المادة وفهم العلاقة بين الأجزاء المدروسة، يحتاج الطالب إلى بنائها لشبه منحرف محدد. يمكنه بسهولة عرض الخط الأوسط والقطعة التي تمر بالنقطة O - تقاطع أقطار الشكل - الموازية للقواعد. لكن أين سيكون موقع المركز الثالث والرابع؟ هذه الإجابة ستقود الطالب إلى اكتشاف العلاقة المطلوبة بين القيم المتوسطة.

قطعة تصل بين منتصف قطري شبه المنحرف

النظر في الخاصية التالية لهذا الرقم. نفترض أن القطعة MH موازية للقاعدتين وتنصف الأقطار. لنسمي نقطتي التقاطع Ш و Ш، هذا الجزء سيكون مساويًا لنصف الفرق بين القاعدتين. دعونا ننظر إلى هذا بمزيد من التفصيل. MS هو الخط الأوسط لمثلث ABS، ويساوي BS/2. MSH هو الخط الأوسط للمثلث ABD، ويساوي AD/2. ثم نحصل على ShShch = MSh-MSh، وبالتالي، ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

مركز الجاذبية

دعونا نلقي نظرة على كيفية تحديد هذا العنصر لشكل هندسي معين. للقيام بذلك، من الضروري تمديد القواعد في اتجاهين متعاكسين. ماذا يعني ذلك؟ تحتاج إلى إضافة القاعدة السفلية إلى القاعدة العلوية - في أي اتجاه، على سبيل المثال، إلى اليمين. ونمد الجزء السفلي بطول الجزء العلوي إلى اليسار. بعد ذلك، نقوم بتوصيلهم قطريا. نقطة تقاطع هذا الجزء مع خط الوسط في الشكل هي مركز ثقل شبه المنحرف.

شبه منحرف منقوش ومقيد

دعونا ندرج ميزات هذه الشخصيات:

1. لا يمكن رسم شبه المنحرف في دائرة إلا إذا كان متساوي الساقين.

2. يمكن وصف شبه المنحرف حول دائرة، بشرط أن يكون مجموع أطوال قاعدتيهما مساويا لمجموع أطوال أضلاعهما.

النتائج الطبيعية للدائرة:

1. ارتفاع شبه المنحرف الموصوف يساوي دائمًا نصف قطرين.

2. يتم ملاحظة جانب شبه المنحرف الموصوف من وسط الدائرة بزاوية قائمة.

النتيجة الطبيعية الأولى واضحة، ولكن لإثبات الثانية، من الضروري إثبات أن زاوية SOD صحيحة، وهو في الواقع ليس بالأمر الصعب أيضًا. لكن المعرفة من هذا العقارسيسمح لك باستخدام المثلث الأيمن عند حل المشكلات.

الآن دعونا نحدد هذه النتائج بالنسبة لشبه منحرف متساوي الساقين منقوش في دائرة. نجد أن الارتفاع هو الوسط الهندسي لقواعد الشكل: H=2R=√(BS*AD). أثناء ممارسة التقنية الأساسية لحل مسائل شبه المنحرف (مبدأ رسم ارتفاعين)، يجب على الطالب حل المهمة التالية. نحن نفترض أن BT هو ارتفاع الشكل المتساوي الساقين ABSD. من الضروري العثور على القطع AT وTD. باستخدام الصيغة الموضحة أعلاه، لن يكون من الصعب القيام بذلك.

الآن دعونا نتعرف على كيفية تحديد نصف قطر الدائرة باستخدام مساحة شبه المنحرف المحدد. نقوم بخفض الارتفاع من قمة الرأس B إلى القاعدة AD. وبما أن الدائرة محفورة على شكل شبه منحرف، فإن BS+AD = 2AB أو AB = (BS+AD)/2. من المثلث ABN نجد sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2، BN=2R. نحصل على PABSD = (BS+BP)*R، ويترتب على ذلك أن R = PABSD/(BS+BP).

جميع الصيغ لخط الوسط شبه منحرف

حان الوقت الآن للانتقال إلى العنصر الأخير في هذا الشكل الهندسي. دعونا نكتشف ما يساويه الخط الأوسط لشبه المنحرف (M):

1. من خلال القواعد: م = (أ+ب)/2.

2. من خلال الارتفاع والقاعدة والزوايا:

م = أ-ح*(ctgα+ctgβ)/2؛

م = ب+ن*(ctgα+ctgβ)/2.

3. من خلال الارتفاع والأقطار والزاوية بينهما. على سبيل المثال، D1 وD2 هما قطرا شبه منحرف؛ α، β - الزوايا بينهما:

م = D1*D2*الخطيئةα/2N = D1*D2*الخطيئةβ/2N.

4. من خلال المساحة والارتفاع: M = P/N.

سنحاول في هذه المقالة أن نعكس خصائص شبه المنحرف على أكمل وجه قدر الإمكان. على وجه الخصوص، سوف نتحدث عنها علامات عامةوخصائص شبه المنحرف، وكذلك عن خصائص شبه منحرف منقوش وعن دائرة منقوشة في شبه منحرف. وسوف نتطرق أيضًا إلى خصائص شبه المنحرف متساوي الساقين والمستطيل.

سيساعدك مثال على حل مشكلة ما باستخدام الخصائص التي تمت مناقشتها على فرزها في أماكن في رأسك وتذكر المادة بشكل أفضل.

ترابيز وكل الكل

في البداية، دعونا نتذكر بإيجاز ما هو شبه المنحرف وما هي المفاهيم الأخرى المرتبطة به.

إذن، شبه المنحرف هو شكل رباعي الأضلاع، اثنان من أضلاعه متوازيان مع بعضهما البعض (هذه هي القاعدتان). والاثنان ليسا متوازيين، بل هما الضلعان.

في شبه المنحرف، يمكن خفض الارتفاع - بشكل عمودي على القواعد. يتم رسم خط الوسط والأقطار. من الممكن أيضًا رسم منصف من أي زاوية من شبه المنحرف.

وسنتحدث الآن عن الخصائص المختلفة المرتبطة بكل هذه العناصر ومجموعاتها.

خصائص الأقطار شبه المنحرفة

لجعل الأمر أكثر وضوحًا، أثناء القراءة، ارسم شكل شبه منحرف ACME على قطعة من الورق وارسم قطريًا فيه.

1. إذا وجدت نقاط المنتصف لكل من الأقطار (دعنا نسمي هذه النقطتين X وT) وقمت بتوصيلهما، فستحصل على قطعة. من خصائص أقطار شبه المنحرف أن القطعة HT تقع على خط الوسط. ويمكن الحصول على طوله بقسمة فرق القاعدتين على اثنين: ХТ = (أ – ب)/2.
2. أمامنا نفس شبه منحرف ACME. تتقاطع الأقطار عند النقطة O. دعونا نلقي نظرة على المثلثين AOE وMOK، اللذين يتكونان من قطع الأقطار مع قواعد شبه المنحرف. هذه المثلثات متشابهة. يتم التعبير عن معامل التشابه k للمثلثات من خلال نسبة قواعد شبه المنحرف: ك = AE/كم.
   يتم وصف نسبة مساحات المثلثات AOE و MOK بالمعامل k 2 .
3. نفس شبه المنحرف، نفس الأقطار المتقاطعة عند النقطة O. هذه المرة فقط سننظر في المثلثات التي تشكلت قطع الأقطار مع جوانب شبه المنحرف. مساحات المثلثين AKO وEMO متساوية في الحجم - ومساحاتهما متساوية.
4. خاصية أخرى لشبه المنحرف تتضمن بناء الأقطار. لذلك، إذا واصلت جانبي AK و ME في اتجاه القاعدة الأصغر، فسوف يتقاطعان عاجلاً أم آجلاً عند نقطة معينة. بعد ذلك، ارسم خطًا مستقيمًا عبر منتصف قاعدتي شبه المنحرف. يتقاطع مع القواعد عند النقطتين X و T.
   إذا قمنا الآن بمد الخط XT، فإنه سيصل معاً نقطة تقاطع أقطار شبه المنحرف O، وهي النقطة التي يتقاطع عندها امتدادات الجوانب ووسط القاعدتين X وT.
5. من خلال نقطة تقاطع الأقطار، سنرسم قطعة تربط قواعد شبه المنحرف (T يقع على القاعدة الأصغر KM، X على القاعدة الأكبر AE). نقطة تقاطع الأقطار تقسم هذا الجزء بالنسبة التالية: TO/OX = كم/AE.
6. الآن، من خلال نقطة تقاطع الأقطار، سنرسم قطعة موازية لقاعدتي شبه المنحرف (أ و ب). ستقسمه نقطة التقاطع إلى قسمين متساويين. يمكنك العثور على طول المقطع باستخدام الصيغة 2أ/(أ + ب).

خصائص الخط الأوسط لشبه منحرف

ارسم الخط الأوسط في شبه المنحرف الموازي لقاعدتيه.

1. يمكن حساب طول الخط الناصف لشبه المنحرف عن طريق جمع أطوال القاعدتين وتقسيمهما إلى نصفين: م = (أ + ب)/2.
2. إذا قمت برسم أي قطعة (الارتفاع، على سبيل المثال) من خلال قاعدتي شبه المنحرف، فإن الخط الأوسط سيقسمها إلى جزأين متساويين.

خاصية شبه المنحرف

حدد أي زاوية من شبه المنحرف وارسم منصفًا. لنأخذ، على سبيل المثال، الزاوية KAE لشبه المنحرف ACME. بعد الانتهاء من البناء بنفسك، يمكنك بسهولة التحقق من أن المنصف يقطع من القاعدة (أو استمراره على خط مستقيم خارج الشكل نفسه) قطعة بنفس طول الجانب.

خصائص الزوايا شبه المنحرفة

1. أيًا كان زوج الزوايا المجاور للجانب الذي تختاره، فإن مجموع الزوايا في الزوج يكون دائمًا 180 0: α + β = 180 0 و γ + δ = 180 0.
2. دعونا نربط نقاط منتصف قواعد شبه المنحرف بقطعة TX. الآن دعونا نلقي نظرة على الزوايا عند قاعدتي شبه المنحرف. إذا كان مجموع زوايا أي منها 90 0، فيمكن حساب طول المقطع TX بسهولة بناءً على الفرق في أطوال القواعد، مقسمة إلى نصفين: تكساس = (إ – كم)/2.
3. إذا تم رسم خطوط متوازية عبر جوانب زاوية شبه منحرف، فإنها ستقسم جوانب الزاوية إلى أجزاء متناسبة.

خصائص شبه منحرف متساوي الساقين (متساوي الأضلاع).

1. في شبه المنحرف متساوي الساقين، تكون الزوايا عند أي قاعدة متساوية.
2. الآن قم ببناء شبه منحرف مرة أخرى لتسهيل تخيل ما نتحدث عنه. انظر بعناية إلى القاعدة AE - يتم إسقاط قمة القاعدة المقابلة M إلى نقطة معينة على الخط الذي يحتوي على AE. المسافة من الرأس A إلى نقطة إسقاط الرأس M والخط الأوسط لشبه المنحرف متساوي الساقين متساويان.
3. بضع كلمات عن خاصية أقطار شبه منحرف متساوي الساقين - أطوالها متساوية. وأيضًا زوايا ميل هذه الأقطار إلى قاعدة شبه المنحرف هي نفسها.
4. فقط حول شبه منحرف متساوي الساقين يمكن وصف الدائرة، لأن مجموع الزوايا المتقابلة للشكل الرباعي هو 180 0 - وهو شرط أساسي لذلك.
5. تتبع خاصية شبه منحرف متساوي الساقين من الفقرة السابقة - إذا كان من الممكن وصف دائرة بالقرب من شبه منحرف، فهي متساوية الساقين.
6. من ميزات شبه منحرف متساوي الساقين تتبع خاصية ارتفاع شبه منحرف: إذا تقاطعت أقطارها بزوايا قائمة، فإن طول الارتفاع يساوي نصف مجموع القواعد: ح = (أ + ب)/2.
7. مرة أخرى، ارسم القطعة TX عبر نقاط منتصف قاعدتي شبه المنحرف - في شبه منحرف متساوي الساقين يكون عموديًا على القواعد. وفي نفس الوقت، TX هو محور التماثل لشبه منحرف متساوي الساقين.
8. هذه المرة، قم بخفض الارتفاع من الرأس المقابل لشبه المنحرف إلى القاعدة الأكبر (دعنا نسميها أ). سوف تحصل على جزأين. يمكن إيجاد طول الواحد إذا جمعنا أطوال القواعد وقسمناها إلى نصفين: (أ + ب)/2. نحصل على الثانية عندما نطرح الأصغر من القاعدة الأكبر ونقسم الفرق الناتج على اثنين: (أ – ب)/2.

خصائص شبه منحرف منقوش في دائرة

وبما أننا نتحدث بالفعل عن شبه منحرف مدرج في دائرة، فلنتناول هذه المسألة بمزيد من التفصيل. على وجه الخصوص، حيث يقع مركز الدائرة بالنسبة لشبه المنحرف. هنا أيضًا يوصى بعدم أن تكون كسولًا وأن تأخذ قلم رصاص بين يديك وترسم ما تتحدث عنه. سنتحدثأقل. بهذه الطريقة سوف تفهم بشكل أسرع وتتذكر بشكل أفضل.

1. يتم تحديد موقع مركز الدائرة من خلال زاوية ميل قطر شبه المنحرف إلى جانبه. على سبيل المثال، قد يمتد القطر من أعلى شبه المنحرف بزوايا قائمة إلى الجانب. في هذه الحالة، القاعدة الأكبر تتقاطع مع مركز الدائرة المحيطة تمامًا في المنتصف (R = ½AE).
2. يمكن أيضًا أن يلتقي القطر والجانب بزاوية حادة - عندها يكون مركز الدائرة داخل شبه المنحرف.
3. يمكن أن يكون مركز الدائرة المحصورة خارج شبه المنحرف، خلف قاعدته الأكبر، إذا كانت هناك زاوية منفرجة بين قطر شبه المنحرف والجانب.
4. الزاوية التي يشكلها القطر والقاعدة الكبيرة لشبه المنحرف ACME (الزاوية المنقوشة) هي نصف الزاوية المركزية المقابلة لها: MAE = ½MOE.
5. باختصار عن طريقتين للعثور على نصف قطر الدائرة المقيدة. الطريقة الأولى: انظر بعناية إلى الرسم - ماذا ترى؟ يمكنك بسهولة ملاحظة أن القطر يقسم شبه المنحرف إلى مثلثين. يمكن إيجاد نصف القطر من خلال نسبة جانب المثلث إلى جيب الزاوية المقابلة، مضروبة في اثنين. على سبيل المثال، R = AE/2*sinAME. وبطريقة مماثلة، يمكن كتابة الصيغة لأي من أضلاع المثلثين.
6. الطريقة الثانية: العثور على نصف قطر الدائرة المحددة من خلال مساحة المثلث الذي يتكون من قطر شبه المنحرف وجانبه وقاعدته: R = AM*ME*AE/4*S AME.

خواص شبه المنحرف المحيط بالدائرة

يمكنك وضع دائرة في شكل شبه منحرف إذا تم استيفاء شرط واحد. اقرأ المزيد عن ذلك أدناه. ويحتوي هذا المزيج من الأشكال معًا على عدد من الخصائص المثيرة للاهتمام.

1. إذا تم إدراج دائرة داخل شبه منحرف، فيمكن العثور بسهولة على طول خط المنتصف عن طريق جمع أطوال الجوانب وتقسيم المجموع الناتج إلى النصف: م = (ج + د)/2.
2. بالنسبة لشبه المنحرف ACME الموصوف حول الدائرة، فإن مجموع أطوال القواعد يساوي مجموع أطوال الجوانب: أك + مي = كم + AE.
3. ومن هذه الخاصية لقواعد شبه المنحرف يأتي العكس: يمكن إدراج دائرة في شبه منحرف مجموع قواعدها يساوي مجموع أضلاعها.
4. نقطة الظل لدائرة نصف قطرها r محصورة في شبه منحرف تقسم ضلعها إلى جزأين، دعنا نسميهما a وb. يمكن حساب نصف قطر الدائرة باستخدام الصيغة: ص = √أب.
5. وممتلكات أخرى. لتجنب الالتباس، ارسم هذا المثال بنفسك أيضًا. لدينا شبه المنحرف القديم الجيد ACME، الموصوف حول دائرة. يحتوي على أقطار تتقاطع عند النقطة O. المثلثان AOK وEOM المتكونان من قطع الأقطار والأضلاع الجانبية مستطيلان.
   ارتفاعات هذه المثلثات، التي تم تخفيضها إلى الوتر (أي الجوانب الجانبية لشبه المنحرف)، تتزامن مع نصف قطر الدائرة المنقوشة. وارتفاع شبه المنحرف يتطابق مع قطر الدائرة المنقوشة.

خصائص شبه منحرف مستطيل

يسمى شبه المنحرف مستطيلاً إذا كانت إحدى زواياه قائمة. وخصائصه تنبع من هذا الظرف.

1. شبه منحرف مستطيل، يكون أحد أضلاعه عموديًا على قاعدته.
2. الارتفاع والجانب الجانبي لشبه المنحرف المجاور زاوية مستقيمة، متساوون. يتيح لك ذلك حساب مساحة شبه منحرف مستطيل (الصيغة العامة ق = (أ + ب) * ح/2) ليس فقط من خلال الارتفاع، ولكن أيضًا من خلال الجانب المجاور للزاوية القائمة.
3. بالنسبة لشبه المنحرف المستطيل، تكون الخصائص العامة لأقطار شبه المنحرف الموصوفة أعلاه ذات صلة.

دليل على بعض خواص شبه المنحرف

تساوي الزوايا عند قاعدة شبه منحرف متساوي الساقين:

• ربما خمنت بالفعل أننا سنحتاج هنا إلى شبه منحرف AKME مرة أخرى - ارسم شبه منحرف متساوي الساقين. ارسم خطًا مستقيمًا MT من قمة M، موازيًا لجانب AK (MT || AK).

الشكل الرباعي AKMT الناتج هو متوازي الأضلاع (AK || MT، KM || AT). بما أن ME = KA = MT، فإن ∆ MTE متساوي الساقين وMET = MTE.

ايه كيه || MT، وبالتالي MTE = KAE، MET = MTE = KAE.

أين AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

الآن، استنادًا إلى خاصية شبه المنحرف متساوي الساقين (مساواة الأقطار)، نثبت ذلك شبه منحرف ACME هو متساوي الساقين:

• أولاً، لنرسم خطًا مستقيمًا MX – MX || ك. نحصل على متوازي الأضلاع KMHE (القاعدة – MX || KE وKM || EX).

∆AMX متساوي الساقين، حيث أن AM = KE = MX، وMAX = MEA.

م ح || KE، KEA = MXE، وبالتالي MAE = MXE.

اتضح أن المثلثين AKE وEMA متساويان لبعضهما البعض، حيث أن AM = KE وAE هما الضلع المشترك للمثلثين. وأيضا MAE = MXE. يمكننا أن نستنتج أن AK = ME، ويترتب على ذلك أن شبه المنحرف AKME متساوي الساقين.

مهمة المراجعة

قاعدتا شبه المنحرف ACME طولهما 9 سم و21 سم، والضلع KA الذي يساوي 8 سم يشكل زاوية قياسها 150 0 مع القاعدة الأصغر. تحتاج إلى العثور على مساحة شبه المنحرف.

الحل: من قمة الرأس K نخفض الارتفاع إلى القاعدة الأكبر لشبه المنحرف. ولنبدأ بالنظر إلى زوايا شبه المنحرف.

الزوايا AEM وKAN أحادية الجانب. وهذا يعني أنهم في المجموع يعطون 180 0. وبالتالي، KAN = 30 0 (استنادًا إلى خاصية الزوايا شبه المنحرفة).

دعونا الآن نفكر في الشكل المستطيل ∆ANC (أعتقد أن هذه النقطة واضحة للقراء بدون أدلة إضافية). منه سنجد ارتفاع شبه المنحرف KH - في المثلث عبارة عن ساق تقع مقابل الزاوية 30 0. ولذلك، KH = ½AB = 4 سم.

نجد مساحة شبه المنحرف باستخدام الصيغة: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 سم 2.

خاتمة

إذا كنت قد درست هذه المقالة بعناية ومدروس، ولم تكن كسولًا جدًا لرسم شبه منحرف لجميع الخصائص المحددة بقلم رصاص في يديك وتحليلها عمليًا، فيجب أن تتقن المادة جيدًا.

بالطبع، هناك الكثير من المعلومات المتنوعة والمربكة في بعض الأحيان: ليس من الصعب الخلط بين خصائص شبه المنحرف الموصوف وخصائص المنقوش. لكنك بنفسك رأيت أن الفرق كبير.

الآن لديك ملخص مفصل للجميع الخصائص العامةشبه منحرف. وكذلك الخصائص والخصائص المحددة لمتساويي الساقين وشبه المنحرف المستطيل. إنه مناسب جدًا للاستخدام للتحضير للاختبارات والامتحانات. جربه بنفسك وشارك الرابط مع أصدقائك!

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

\[(\Large(\text(شبه منحرف مجاني)))\]

تعريفات

شبه المنحرف هو شكل رباعي محدب فيه ضلعان متوازيان والضلعان الآخران غير متوازيين.

تسمى الجوانب المتوازية لشبه المنحرف قاعدتيه، ويسمى الجانبان الآخران جوانبه الجانبية.

ارتفاع شبه المنحرف هو العمودي المرسوم من أي نقطة من قاعدة إلى قاعدة أخرى.

النظريات: خواص شبه المنحرف

1) مجموع الزوايا في الجانب هو \(180^\circ\) .

2) تقسم الأقطار شبه المنحرف إلى أربعة مثلثات، اثنان منها متشابهان، والآخران متساويان في الحجم.

دليل

1) لأن \(\AD\parallel BC\)، فإن الزوايا \(\angle BAD\) و\(\angle ABC\) تكون أحادية الجانب لهذه الخطوط والتقاطع \(AB\)، وبالتالي، \(\زاوية سيئة +\زاوية ABC=180^\دائرة\).

2) لأن \(AD\parallel BC\) و \(BD\) قاطع، ثم تقع \(\angle DBC=\angle BDA\) بشكل عرضي.
أيضًا \(\angle BOC=\angle AOD\) بشكل عمودي.
وبالتالي على زاويتين \(\مثلث BOC \sim \مثلث AOD\).

دعونا نثبت ذلك \(S_(\مثلث AOB)=S_(\مثلث COD)\). اجعل \(h\) هو ارتفاع شبه المنحرف. ثم \(S_(\مثلث ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\مثلث ACD)\). ثم: \

تعريف

خط الوسط لشبه المنحرف هو الجزء الذي يربط بين منتصف الجوانب.

نظرية

الخط الأوسط لشبه المنحرف يوازي القاعدتين ويساوي نصف مجموعهما.

دليل*

1) دعونا نثبت التوازي.

دعونا نرسم من خلال النقطة \(M\) الخط المستقيم \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ). ثم، وفقا لنظرية طاليس (منذ \(MN"\parallel AD\parallel BC، AM=MB\)) النقطة \(N"\) هي منتصف المقطع \(CD\). وهذا يعني أن النقطتين \(N\) و\(N"\) ستتطابقان.

2) دعونا نثبت الصيغة.

لنفعل \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . يترك \(BB"\cap MN=M"، CC"\cap MN=N"\).

بعد ذلك، وفقًا لنظرية طاليس، \(M"\) و\(N"\) هما نقطتا المنتصف للقطاعين \(BB"\) و\(CC"\)، على التوالي. هذا يعني أن \(MM"\) هو الخط الأوسط لـ \(\triangle ABB"\) ، \(NN"\) هو الخط الأوسط لـ \(\triangle DCC"\) . لهذا السبب: \

لأن \(MN\AD الموازي\قبل الميلاد الموازي\)و\(BB), CC"\perp AD\)، ثم \(B"M"N"C"\) و\(BM"N"C\) مستطيلات. وفقًا لنظرية طاليس، من \(MN\parallel AD\) و \(AM=MB\) يتبع ذلك \(B"M"=M"B\) ومن ثم، \(B"M"N"C "\) و \(BM"N"C\) مستطيلان متساويان، لذلك \(M"N"=B"C"=BC\) .

هكذا:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

النظرية: خاصية شبه منحرف تعسفي

تقع نقاط منتصف القاعدتين ونقطة تقاطع أقطار شبه المنحرف ونقطة تقاطع امتدادات الجوانب الجانبية على نفس الخط المستقيم.

دليل*
يوصى بالتعرف على البرهان بعد دراسة موضوع "تشابه المثلثات".

1) لنثبت أن النقاط \(P\) و \(N\) و \(M\) تقع على نفس الخط.

لنرسم خطًا مستقيمًا \(PN\) (\(P\) هي نقطة تقاطع امتدادات الجوانب الجانبية، \(N\) هي منتصف \(BC\)). دعه يتقاطع مع الضلع \(AD\) عند النقطة \(M\) . دعونا نثبت أن \(M\) هي نقطة المنتصف لـ \(AD\) .

خذ بعين الاعتبار \(\triangle BPN\) و \(\triangle APM\) . وهي متشابهة في زاويتين (\(\angle APM\) - عام، \(\angle PAM=\angle PBN\) كما تقابل عند \(AD\parallel BC\) و\(AB\) قاطع). وسائل: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

خذ بعين الاعتبار \(\triangle CPN\) و \(\triangle DPM\) . وهي متشابهة في زاويتين (\(\angle DPM\) - عام، \(\angle PDM=\angle PCN\) كما تقابل في \(AD\parallel BC\) و\(CD\) قاطع). وسائل: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

من هنا \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). لكن \(BN=NC\) لذلك \(AM=DM\) .

2) لنثبت أن النقاط \(N, O, M\) تقع على نفس الخط.

اجعل \(N\) هي نقطة منتصف \(BC\) و\(O\) هي نقطة تقاطع القطرين. لنرسم خطًا مستقيمًا \(NO\) ، سيتقاطع مع الضلع \(AD\) عند النقطة \(M\) . دعونا نثبت أن \(M\) هي نقطة المنتصف لـ \(AD\) .

\(\مثلث BNO\sim \مثلث DMO\)على طول زاويتين (\(\angle OBN=\angle ODM\) تقعان بالعرض عند \(BC\parallel AD\) و\(BD\) قاطع؛ \(\angle BON=\angle DOM\) كعمودي). وسائل: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

على نفس المنوال \(\مثلث CON\sim \مثلث AOM\). وسائل: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

من هنا \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). لكن \(BN=CN\) لذلك \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(شبه منحرف متساوي الساقين)))\]

تعريفات

يسمى شبه المنحرف مستطيلاً إذا كانت إحدى زواياه قائمة.

يسمى شبه المنحرف متساوي الساقين إذا كانت أضلاعه متساوية.

النظريات: خصائص شبه منحرف متساوي الساقين

1) شبه منحرف متساوي الساقين له زوايا قاعدة متساوية.

2) قطرا شبه المنحرف متساوي الساقين متساويان.

3) المثلثان اللذان يتكونان من أقطار وقاعدة متساوي الساقين.

دليل

1) النظر في شبه منحرف متساوي الساقين \(ABCD\) .

من الرؤوس \(B\) و\(C\)، نسقط العمودين \(BM\) و\(CN\) إلى الجانب \(AD\)، على التوالي. منذ \(BM\perp AD\) و \(CN\perp AD\) ، ثم \(BM\parallel CN\) ؛ \(AD\parallel BC\) ، فإن \(MBCN\) هو متوازي أضلاع، لذلك \(BM = CN\) .

خذ بعين الاعتبار المثلثين القائمين \(ABM\) و \(CDN\) . بما أن الوتر والساقين متساويان \(BM\) يساوي الساق\(CN\) ، فإن هذين المثلثين متساويان، وبالتالي \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

لأن \(AB=CD، \الزاوية A=\الزاوية D، AD\)- عام ثم حسب الإشارة الأولى. ولذلك، \(AC=BD\) .

3) لأن \(\مثلث ABD=\مثلث ACD\)، ثم \(\angle BDA=\angle CAD\) . ولذلك، فإن المثلث \(\triangle AOD\) متساوي الساقين. وبالمثل، ثبت أن \(\مثلث BOC\) متساوي الساقين.

النظريات: علامات شبه منحرف متساوي الساقين

1) إذا كان شبه المنحرف له زوايا قاعدتين متساويتين، فهو متساوي الساقين.

2) إذا كان شبه المنحرف له أقطار متساوية، فهو متساوي الساقين.

دليل

خذ بعين الاعتبار شبه المنحرف \(ABCD\) بحيث يكون \(\angle A = \angle D\) .

لنكمل شبه المنحرف للمثلث \(AED\) كما هو موضح في الشكل. بما أن \(\angle 1 = \angle 2\) ، فإن المثلث \(AED\) متساوي الساقين و \(AE = ED\) . الزاويتان \(1\) و \(3\) متساوية كزوايا متناظرة للخطوط المتوازية \(AD\) و \(BC\) والقاطع \(AB\). وبالمثل، الزاويتان \(\2\) و\(4\) متساويتان، لكن \(\الزاوية 1 = \الزاوية 2\)، إذن \(\الزاوية 3 = \الزاوية 1 = \الزاوية 2 = \الزاوية 4\)وبالتالي فإن المثلث \(BEC\) متساوي الساقين أيضًا و \(BE = EC\) .

مؤخراً \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\)، أي \(AB = CD\)، وهو ما يحتاج إلى إثبات.

2) دع \(AC=BD\) . لأن \(\مثلث AOD\sim \مثلث BOC\)، ثم نشير إلى معامل التشابه بينهما بالرمز \(k\) . ثم إذا \(BO=x\) ، ثم \(OD=kx\) . مشابه لـ \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

لأن \(AC=BD\) ، ثم \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . هذا يعني أن \(\triangle AOD\) متساوي الساقين و \(\angle OAD=\angle ODA\) .

وهكذا حسب العلامة الأولى \(\مثلث ABD=\مثلث ACD\) (\(AC=BD، \angle OAD=\angle ODA، AD\)- عام). إذًا \(AB=CD\) لماذا.

دار FGKOU "MKK" لتلاميذ وزارة الدفاع في الاتحاد الروسي"

"موافقة"

رئيس تخصص منفصل

(الرياضيات وعلوم الكمبيوتر وتكنولوجيا المعلومات والاتصالات)

يو في كريلوفا _____________

"____" _____________ 2015

« شبه منحرف وخصائصه»

التطوير المنهجي

مدرس رياضيات

شاتالينا إيلينا دميترييفنا

تمت المراجعة و

في اجتماع مكتب إدارة المشاريع بتاريخ _______________

البروتوكول رقم ______

موسكو

2015

جدول المحتويات

مقدمة 2

التعاريف 3

خصائص شبه منحرف متساوي الساقين 4

7- الدوائر المنقوشة والمحدودة

خواص شبه المنحرف المنقوش والمحدود 8

متوسط ​​القيم في شبه منحرف 12

خصائص شبه منحرف التعسفي 15

علامات شبه منحرف 18

إنشاءات إضافية في شبه منحرف 20

منطقة شبه منحرف 25

10. الاستنتاج

فهرس

طلب

أدلة بعض خواص شبه المنحرف 27

مهام العمل المستقل

مشاكل حول موضوع "شبه منحرف" ذات تعقيد متزايد

اختبار فحصي حول موضوع "شبه منحرف"

مقدمة

هذا العملمخصص لشكل هندسي يسمى شبه منحرف. تقول: "شخصية عادية"، لكن الأمر ليس كذلك. فهو مليء بالأسرار والغموض، فإذا ألقيت نظرة فاحصة عليه ودرسته أكثر، ستكتشف الكثير من الأشياء الجديدة في عالم الهندسة، فالمشكلات التي لم يتم حلها من قبل ستبدو لك سهلة.

شبه منحرف - الكلمة اليونانية شبه منحرف - "الطاولة". الاقتراض في القرن ال 18 من اللات. اللغة، حيث شبه المنحرف هي اليونانية. هو الشكل الرباعي الذي ضلعان متقابلان متوازيان. تم اكتشاف شبه المنحرف لأول مرة من قبل العالم اليوناني القديم بوسيدونيوس (القرن الثاني قبل الميلاد). هناك العديد من الشخصيات المختلفة في حياتنا. في الصف السابع، تعرفنا على المثلث عن كثب، في الصف الثامن المنهج المدرسيبدأنا بدراسة شبه المنحرف. لقد أثار هذا الرقم اهتمامنا، ولا يوجد الكثير مما كتب عنه في الكتاب المدرسي. لذلك قررنا أن نأخذ هذا الأمر بين أيدينا ونجد معلومات حول شبه المنحرف. خصائصه.

يدرس العمل الخصائص المألوفة للطلاب من المواد التي يغطيها الكتاب المدرسي، ولكن في الغالب الخصائص غير المعروفة والتي من الضروري حلها المهام المعقدة. كيف المزيد من الكميةيتم حل المشكلات، كلما ظهرت أسئلة أكثر عند حلها. تبدو الإجابة على هذه الأسئلة في بعض الأحيان لغزا، من خلال تعلم خصائص شبه منحرف جديدة، وطرق غير عادية لحل المشكلات، وكذلك تقنية الإنشاءات الإضافية، نكتشف تدريجيا أسرار شبه منحرف. على الإنترنت، إذا كتبته في محرك بحث، فهناك القليل جدًا من الأدبيات حول طرق حل المشكلات حول موضوع "شبه المنحرف". في عملية العمل في المشروع، تم العثور على كمية كبيرة من المعلومات التي ستساعد الطلاب في دراسة متعمقة للهندسة.

شبه منحرف.

تعريفات

شبه منحرف – شكل رباعي فيه زوج واحد فقط من الجوانب متوازي (والزوج الآخر من الجوانب غير متوازي).

تسمى الجوانب المتوازية لشبه المنحرفالأسباب. والاثنان الآخران هما الجانبين .
إذا كانت الجوانب متساوية، ويسمى شبه منحرفمتساوي الساقين

يسمى شبه المنحرف الذي له زوايا قائمة على جوانبهمستطيلي

يسمى الجزء الذي يربط بين منتصف الجانبينخط الوسط شبه منحرف.

تسمى المسافة بين القاعدتين بارتفاع شبه المنحرف.

2 . خصائص شبه منحرف متساوي الساقين

3. قطرا شبه منحرف متساوي الساقين متساويان.

4

1
0. إسقاط الضلع الجانبي لشبه منحرف متساوي الساقين على القاعدة الأكبر يساوي نصف فرق القاعدتين، وإسقاط القطر يساوي مجموع القاعدتين.

3. دائرة منقوشة ومقيدة

إذا كان مجموع قواعد شبه المنحرف يساوي مجموع الجوانب، فيمكن كتابة دائرة فيه.

ه
إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين، فيمكن وصف دائرة حوله.

4 . خصائص شبه المنحرف المنقوش والمحدود

2. إذا كان من الممكن نقش دائرة في شبه منحرف متساوي الساقين، إذن

مجموع أطوال القواعد يساوي مجموع أطوال الجوانب. وبالتالي فإن طول الضلع يساوي طول خط الوسط لشبه المنحرف.

4 . إذا كانت الدائرة محفورة على شكل شبه منحرف، فإن الجوانب من مركزها تكون مرئية بزاوية 90 درجة.

إذا كانت الدائرة منقوشة على شكل شبه منحرف ومست أحد ضلعيها فإنها تقسمها إلى أجزاء مو ن , فإن نصف قطر الدائرة المنقوشة يساوي الوسط الهندسي لهذه الأجزاء.

1

0 . إذا بنيت دائرة على القاعدة الأصغر لشبه منحرف كقطر، وتمر بمنتصف الأقطار وتلامس القاعدة السفلية، فإن زوايا شبه المنحرف هي 30°، 30°، 150°، 150°.

5. القيم المتوسطة في شبه منحرف

المتوسط ​​الهندسي

في أي شبه منحرف مع القواعد أ و ب ل أ > بعدم المساواة صحيح :

ب ˂ ح ˂ ز ˂ م ˂ س ˂ أ

6. خصائص شبه منحرف تعسفي

1
. تقع نقاط منتصف أقطار شبه المنحرف ونقاط منتصف الجوانب الجانبية على نفس الخط المستقيم.

2. منصفات الزوايا الملاصقة لأحد أضلاع شبه المنحرف متعامدة وتتقاطع عند نقطة تقع على خط منتصف شبه المنحرف، أي عند تقاطعها يتكون مثلث قائم الزاوية يساوي وترها الجانبي جانب.

3. قطع الخط المستقيم الموازية لقاعدتي شبه المنحرف، المتقاطعة مع الجوانب الجانبية وأقطار شبه المنحرف، المحصورة بين الضلع الجانبي والقطري، متساوية.

تقع نقطة تقاطع استمرار جوانب شبه المنحرف التعسفي ونقطة تقاطع أقطاره ونقاط منتصف القاعدتين على نفس الخط المستقيم.

5. عندما تتقاطع أقطار شبه منحرف اعتباطياً تتشكل أربعة مثلثات ذات قمة مشتركة، وتكون المثلثات المجاورة للقواعد متشابهة، والمثلثات المجاورة للأضلاع متساوية في الحجم (أي لها مساحات متساوية).

6. مجموع مربعات أقطار شبه منحرف عشوائيًا يساوي مجموع مربعات الجوانب الجانبية مضافًا إلى ضعف ناتج القواعد.

د 1 2 + د 2 2 = ج 2 + د 2 + 2 أب

7
. في شبه المنحرف المستطيل، الفرق بين مربعي الأقطار يساوي الفرق في مربعي القاعدتين د 1 2 - د 2 2 = أ 2 – ب 2

8 . الخطوط المستقيمة المتقاطعة مع جوانب الزاوية تقطع الأجزاء المتناسبة من جوانب الزاوية.

9. الجزء الموازي للقواعد ويمر عبر نقطة تقاطع الأقطار يقسمه الأخير إلى النصف.

7. علامات شبه منحرف

8 . إنشاءات إضافية في شبه منحرف

1. القطعة التي تربط منتصف الجانبين هي خط الوسط لشبه المنحرف.

2
. قطعة موازية لأحد أضلاع شبه المنحرف، يتطابق أحد طرفيها مع منتصف الضلع الآخر، والآخر ينتمي إلى الخط المستقيم الذي يحتوي على القاعدة.

3
. إذا كانت جميع جوانب شبه منحرف معطاة، يتم رسم خط مستقيم موازي للجانب من خلال قمة القاعدة الأصغر. والنتيجة هي مثلث ذو أضلاع متساوية مع الجوانب الجانبية لشبه المنحرف والفرق في القواعد. باستخدام صيغة هيرون، أوجد مساحة المثلث، ثم ارتفاع المثلث، وهو ما يساوي ارتفاع شبه المنحرف.

4

. ارتفاع شبه منحرف متساوي الساقين، المرسوم من قمة القاعدة الأصغر، يقسم القاعدة الأكبر إلى قطعتين، إحداهما تساوي نصف الفرق بين القاعدتين، والأخرى تساوي نصف مجموع قاعدتي شبه المنحرف، أي خط الوسط لشبه المنحرف.

5. يتم قطع ارتفاعات شبه المنحرف، التي تم إنزالها من رؤوس إحدى القواعد، على خط مستقيم يحتوي على القاعدة الأخرى، قطعة مساوية للقاعدة الأولى.

6
. يتم رسم قطعة موازية لأحد أقطار شبه المنحرف من خلال قمة - وهي النقطة التي تمثل نهاية القطر الآخر. والنتيجة هي مثلث ضلعان يساويان أقطار شبه المنحرف، والثالث يساوي مجموع القاعدتين

7
.القطعة الواصلة بين منتصف الأقطار تساوي نصف الفرق بين قاعدتي شبه المنحرف.

8. منصفات الزوايا الملاصقة لأحد أضلاع شبه المنحرف متعامدة وتتقاطع عند نقطة تقع على خط منتصف شبه المنحرف، أي عند تقاطعها يتكون مثلث قائم الزاوية يساوي وترها الجانبي جانب.

9. منصف زاوية شبه منحرف يقطع مثلث متساوي الساقين.

1
0. تشكل أقطار شبه المنحرف التعسفي، عند تقاطعها، مثلثين متشابهين مع معامل تشابه يساوي نسبة القاعدتين، ومثلثين متساويين مجاورين للأضلاع الجانبية.

1
1. أقطار شبه المنحرف التعسفي، عند تقاطعها، تشكل مثلثين متشابهين مع معامل تشابه يساوي نسبة القاعدتين، ومثلثين متساويين مجاورين للأضلاع الجانبية.

1
2. استمرار جوانب شبه المنحرف حتى التقاطع يجعل من الممكن النظر في مثلثات مماثلة.

13. إذا تم إدراج دائرة في شبه منحرف متساوي الساقين، فاحسب ارتفاع شبه المنحرف - الوسط الهندسي لمنتج قاعدتي شبه المنحرف أو ضعف المتوسط ​​الهندسي لمنتج أجزاء الجانب الجانبي الذي يقع فيه مقسمة على نقطة التماس.

9. مساحة شبه منحرف

1 . مساحة شبه المنحرف تساوي منتج نصف مجموع القواعد والارتفاع س = ½( أ + ب) حأو

ص

مساحة شبه المنحرف تساوي ناتج خط الوسط لشبه المنحرف وارتفاعه س = م ح .

2. مساحة شبه المنحرف تساوي حاصل ضرب ضلع ومتعامد مرسوم من منتصف الضلع الآخر على الخط الذي يحتوي على الضلع الأول.

مساحة شبه منحرف متساوي الساقين ونصف قطر الدائرة المدرج يساوي صوالزاوية عند القاعدةα :

10. الاستنتاج

أين وكيف ولماذا يتم استخدام الأرجوحة؟

الأرجوحة في الرياضة: من المؤكد أن شبه المنحرف هو اختراع تقدمي للبشرية. إنه مصمم لتخفيف أيدينا وجعل ركوب الأمواج شراعيًا راحة مريحة وسهلة. إن المشي على لوحة قصيرة لا معنى له على الإطلاق بدون أرجوحة، لأنه بدونها يكون من المستحيل توزيع الجر بشكل صحيح بين الخطوة والساقين والتسريع بشكل فعال.

الأرجوحة في الموضة: كانت الأرجوحة في الملابس شائعة في العصور الوسطى، في العصر الروماني في القرنين التاسع والحادي عشر. خلال تلك الفترة الأساس ملابس نسائيةلقد صنعوا سترات بطول الأرض، مع توسع السترة بشكل كبير نحو الأسفل، مما خلق تأثير شبه منحرف. تم إحياء الصورة الظلية في عام 1961 وأصبحت ترنيمة للشباب والاستقلال والرقي. لعبت عارضة الأزياء الهشة ليزلي هورنبي، المعروفة باسم تويجي، دورًا كبيرًا في الترويج للأرجوحة. أصبحت الفتاة القصيرة ذات البنية المصابة بفقدان الشهية والعينين الكبيرتين رمزًا للعصر، وكانت ملابسها المفضلة هي الفساتين القصيرة على شكل حرف A.

شبه منحرف في الطبيعة: شبه منحرف موجود أيضًا في الطبيعة. لدى البشر عضلة شبه منحرفة، وبعض الناس لديهم وجه على شكل شبه منحرف. بتلات الزهور والأبراج وبالطبع جبل كليمنجارو لها أيضًا شكل شبه منحرف.

شبه منحرف في الحياة اليومية: يُستخدم شبه المنحرف أيضًا في الحياة اليومية، لأن شكله عملي. تم العثور عليها في أشياء مثل: دلو الحفارة والطاولة والمسمار والآلة.

شبه المنحرف هو رمز للهندسة المعمارية الإنكا. الشكل الأسلوبي السائد في عمارة الإنكا بسيط ولكنه رشيق - شبه المنحرف. ليس لها أهمية وظيفية فحسب، بل إنها محدودة أيضًا بشكل صارم زخرفة. تم العثور على المداخل والنوافذ وكوات الجدران شبه المنحرفة في المباني بجميع أنواعها، سواء في المعابد أو في المباني الأقل ذات البناء الأكثر خشونة، إذا جاز التعبير. تم العثور على شبه منحرف أيضا في العمارة الحديثة. هذا الشكل من المباني غير عادي، لذلك تجذب هذه المباني دائما أعين المارة.

شبه منحرف في التكنولوجيا: يستخدم شبه منحرف في تصميم الأجزاء في تكنولوجيا الفضاء والطيران. على سبيل المثال، بعض الألواح الشمسية محطات فضاءلها شكل شبه منحرف لأن مساحتها كبيرة، مما يعني أنها تتراكم المزيد من الطاقة الشمسية

في القرن الحادي والعشرين، لم يعد الناس يفكرون عمليا في المعنى الأشكال الهندسيةفي حياتهم. إنهم لا يهتمون على الإطلاق بشكل مكتبهم أو نظاراتهم أو هواتفهم. إنهم ببساطة يختارون الشكل العملي. لكن استخدام الشيء والغرض منه ونتيجة العمل قد يعتمد على شكل هذا الشيء أو ذاك. لقد قدمنا ​​لكم اليوم أحد أعظم إنجازات البشرية - الأرجوحة. لقد فتحنا لك الباب عالم رائعلقد أخبرتك الأشكال بأسرار شبه المنحرف وأظهرت أن الهندسة موجودة في كل مكان حولنا.

فهرس

Bolotov A.A.، Prokhorenko V.I.، Safonov V.F.، نظرية الرياضيات ومشكلاتها. كتاب 1 درس تعليميللمتقدمين M.1998 دار النشر MPEI.

Bykov A.A.، Malyshev G.Yu.، كلية التدريب ما قبل الجامعي في GUVS. الرياضيات. الدليل التربوي والمنهجي الجزء الرابع M2004

جوردين ر.ك. قياس المساحة. كتاب المشكلة.

إيفانوف أ. إيفانوف إيه بي، الرياضيات: دليل للتحضير لامتحان الدولة الموحدة والقبول في الجامعات - م: دار نشر MIPT، 2003-288p. ردمك 5-89155-188-3

Pigolkina T.S.، وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي، ميزانية الدولة الفيدرالية مؤسسة تعليميةالتعليم الإضافي للأطفال "معهد ZFTSH موسكو للفيزياء والتكنولوجيا ( جامعة الدولة)". الرياضيات. قياس المساحة. واجبات رقم 2 للصف العاشر (العام الدراسي 2012-2013).

Pigolkina T.S.، قياس المخططات (الجزء 1) الموسوعة الرياضية للمشارك. م. دار نشر الجامعة الروسية المفتوحة 1992.

Sharygin IF مشاكل مختارة في الهندسة للامتحانات التنافسية في الجامعات (1987-1990) مجلة Lvov "Quantor" 1991.

موسوعة "أفانتا بلس"، الرياضيات م.، عالم موسوعات أفانتا 2009.

طلب

1. إثبات بعض خواص شبه المنحرف.

1. خط مستقيم يمر بنقطة تقاطع أقطار شبه منحرف موازية لقاعدتيه ويتقاطع مع الجوانب الجانبية لشبه المنحرف عند النقاطك و ل . أثبت أنه إذا كانت قاعدتا شبه المنحرف متساويتين أ و ب ، الذي - التي طول القطعة كوالالمبور يساوي الوسط الهندسي لقاعدتي شبه المنحرف. دليل

يتركعن - نقطة تقاطع الأقطار،إعلان = شمس = ب . مباشر كوالالمبور بالتوازي مع القاعدةإعلان ، لذلك،ك عن║ إعلان , مثلثاتفي ك عن وسيء متشابهة، لذلك

(1)

(2)

لنعوض بـ (2) في (1) نحصل على كو =

على نفس المنوال L.O.= ثم ك ل = ك.و. + L.O. =

في بالنسبة لأي شبه منحرف، فإن نقطة منتصف القواعد ونقطة تقاطع الأقطار ونقطة تقاطع استمرار الجوانب الجانبية تقع على نفس الخط المستقيم.

البرهان: أن تتقاطع امتدادات أضلاعه عند النقطةل. من خلال النقطةل والفترةعن التقاطعات القطريةلنرسم خطًا مستقيمًا شركة

ك

دعونا نثبت أن هذا الخط يقسم القواعد إلى نصفين.

عن بارِزجهاز افتراضي = س، مس = ذ، أن = و، اختصار الثاني = الخامس . لدينا:

∆ VKM ~ ∆AKN →

م

س

ب

ج

ي

∆ عضو الكنيست ج ~ ∆نكد → →