صيغة لمنطقة شبه منحرف متساوي الساقين باستخدام جوانبه. كيفية العثور على مساحة شبه منحرف متساوي الساقين

في الرياضيات، تُعرف عدة أنواع من الأشكال الرباعية: المربع، المستطيل، المعين، متوازي الأضلاع. ومن بينها شبه المنحرف - وهو نوع من الأشكال الرباعية المحدبة التي يكون فيها الجانبان متوازيين والجانبان الآخران ليسا كذلك. تسمى الجوانب المقابلة المتوازية بالقواعد، ويسمى الجانبان الآخران الجوانب الجانبية لشبه المنحرف. الجزء الذي يصل بين منتصف الجانبين يسمى خط الوسط. هناك عدة أنواع من شبه المنحرف: متساوي الساقين، مستطيل، منحني. لكل نوع من شبه المنحرف هناك صيغ لإيجاد المساحة.

مساحة شبه منحرف

للعثور على مساحة شبه منحرف، عليك أن تعرف طول قاعدته وارتفاعه. ارتفاع شبه المنحرف هو قطعة عمودية على القواعد. لتكن القاعدة العلوية a، والقاعدة السفلية b، والارتفاع h. ثم يمكنك حساب المساحة S باستخدام الصيغة:

ق = ½ * (أ+ب) * ح

أولئك. خذ نصف مجموع القواعد مضروبًا في الارتفاع.

سيكون من الممكن أيضًا حساب مساحة شبه المنحرف إذا كان الارتفاع وخط الوسط معروفين. دعنا نشير إلى الخط الأوسط - م. ثم

دعونا نحل مشكلة أكثر تعقيدًا: أطوال الجوانب الأربعة لشبه المنحرف معروفة - أ، ب، ج، د. ثم سيتم العثور على المنطقة باستخدام الصيغة:

إذا كانت أطوال الأقطار والزاوية بينهما معروفة، يتم البحث عن المساحة على النحو التالي:

S = ½ * d1 * d2 * الخطيئة α

حيث d مع المؤشرين 1 و 2 قطريان. في هذه الصيغة، يتم إعطاء جيب الزاوية في الحساب.

بمعلومية الأطوال المعروفة للقاعدتين a وb والزاويتين عند القاعدة السفلية، يتم حساب المساحة على النحو التالي:

S = ½ * (b2 - a2) * (الخطيئة α * الخطيئة β / الخطيئة (α + β))

مساحة شبه منحرف متساوي الساقين

شبه منحرف متساوي الساقين هو حالة خاصة من شبه منحرف. الفرق بينهما هو أن هذا شبه المنحرف هو شكل رباعي محدب مع محور تناظر يمر عبر نقاط المنتصف لجانبين متقابلين. جوانبها متساوية.

هناك عدة طرق للعثور على مساحة شبه منحرف متساوي الساقين.

• من خلال أطوال الجوانب الثلاثة. في هذه الحالة، ستتطابق أطوال الجوانب، لذلك يتم تحديدها بقيمة واحدة - ج، و أ و ب - أطوال القواعد:

• إذا كان طول القاعدة العلوية والضلع والزاوية عند القاعدة السفلية معروفة، يتم حساب المساحة على النحو التالي:

S = ج * الخطيئة α * (أ + ج * كوس α)

حيث a هي القاعدة العلوية، c هو الجانب.

• إذا كان طول القاعدة السفلية معروفًا بدلاً من القاعدة العلوية - ب، يتم حساب المنطقة باستخدام الصيغة:

S = ج * الخطيئة α * (ب – ج * كوس α)

• إذا، عندما تكون القاعدتان معلومتين والزاوية عند القاعدة السفلية، يتم حساب المساحة من خلال مماس الزاوية:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• يتم حساب المساحة أيضًا من خلال الأقطار والزاوية بينهما. في هذه الحالة، الأقطار متساوية في الطول، لذا نشير إلى كل منها بالحرف d بدون سفوح:

S = ½ * d2 * الخطيئة α

• لنحسب مساحة شبه المنحرف بمعرفة طول ضلعه وخط المنتصف والزاوية عند القاعدة السفلية.

ليكن الضلع الجانبي ج، والخط الأوسط م، والزاوية تكون أ، ثم:

S = م * ج * الخطيئة α

في بعض الأحيان يمكنك كتابة دائرة في شبه منحرف متساوي الأضلاع، نصف قطرها سيكون r.

من المعروف أنه يمكن رسم دائرة في أي شبه منحرف إذا كان مجموع أطوال قاعدتيه يساوي مجموع أطوال أضلاعه. ومن ثم يمكن إيجاد المساحة من خلال نصف قطر الدائرة المحيطية والزاوية عند القاعدة السفلية:

S = 4r2 / الخطيئةα

يتم إجراء نفس الحساب باستخدام القطر D للدائرة المنقوشة (بالمناسبة، يتزامن مع ارتفاع شبه المنحرف):

بمعرفة القاعدة والزاوية يتم حساب مساحة شبه المنحرف متساوي الساقين كما يلي:

S = أ * ب / الخطيئة α

(هذه الصيغ والصيغ اللاحقة صالحة فقط لأشباه المنحرف ذات الدائرة المنقوشة).

وباستخدام قواعد الدائرة ونصف قطرها، يمكن إيجاد المساحة كما يلي:

إذا كانت القواعد معروفة فقط، فسيتم حساب المساحة باستخدام الصيغة:

من خلال القواعد والخط الجانبي يتم حساب مساحة شبه المنحرف مع الدائرة المدرجه ومن خلال القواعد والخط الأوسط - م كما يلي:

مساحة شبه منحرف مستطيلة

يسمى شبه المنحرف مستطيلاً إذا كان أحد أضلاعه متعامدًا مع القاعدة. في هذه الحالة، طول الجانب يتزامن مع ارتفاع شبه المنحرف.

شبه منحرف مستطيل يتكون من مربع ومثلث. بعد العثور على مساحة كل شكل من الأشكال، قم بإضافة النتائج واحصل على المساحة الكليةالأرقام.

كما أن الصيغ العامة لحساب مساحة شبه المنحرف مناسبة لحساب مساحة شبه المنحرف المستطيل.

• إذا كانت أطوال القواعد والارتفاع (أو الضلع المتعامد) معروفة، فسيتم حساب المساحة باستخدام الصيغة:

ق = (أ + ب) * ح / 2

الجانب الجانبي c يمكن أن يكون بمثابة h (الارتفاع). ثم تبدو الصيغة كما يلي:

ق = (أ + ب) * ج / 2

• هناك طريقة أخرى لحساب المساحة وهي ضرب طول خط الوسط في الارتفاع:

أو بطول الضلع المتعامد الجانبي:

• الطريقة التالية للحساب هي من خلال نصف حاصل ضرب القطرين وجيب الزاوية بينهما:

S = ½ * d1 * d2 * الخطيئة α

إذا كان القطران متعامدين، يتم تبسيط الصيغة إلى:

ق = ½ * د1 * د2

• هناك طريقة أخرى للحساب وهي من خلال نصف المحيط (مجموع أطوال الجانبين المتقابلين) ونصف قطر الدائرة المنقوشة.

هذه الصيغة صالحة للقواعد. إذا أخذنا أطوال الأضلاع، فإن أحدها سيكون مساويًا لضعف نصف القطر. ستبدو الصيغة كما يلي:

ص = (2ص + ج) * ص

• إذا تم إدراج دائرة داخل شبه منحرف، فسيتم حساب المساحة بنفس الطريقة:

حيث m هو طول خط الوسط.

مساحة شبه منحرف منحني

شبه منحرف منحني هو شخصية مسطحة، محدودة بالرسم البياني غير السلبي وظيفة مستمرة y = f(x)، محددة على القطعة ومحور الإحداثي السيني والخطوط المستقيمة x = a، x = b. في الأساس، اثنان من أضلاعها متوازيان مع بعضهما البعض (القواعد)، والجانب الثالث متعامد مع القواعد، والرابع عبارة عن منحنى يتوافق مع الرسم البياني للدالة.

يتم البحث عن مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع من خلال التكامل باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز:

وهذه هي الطريقة التي يتم بها حساب المناطق أنواع مختلفةشبه منحرف. ولكن، بالإضافة إلى خصائص الجوانب، فإن شبه المنحرف له نفس خصائص الزوايا. مثل كل الأشكال الرباعية الموجودة، المجموع زوايا داخليةشبه منحرف يساوي 360 درجة. ومجموع الزوايا المجاورة للضلع يساوي 180 درجة.

من أجل الشعور بالثقة وحل المشكلات بنجاح في دروس الهندسة، لا يكفي تعلم الصيغ. يجب أن يتم فهمهم أولاً. إن الخوف، بل والأكثر من ذلك، كراهية الصيغ، أمر غير مثمر. في هذه المقالة لغة يمكن الوصول إليهاسيتم تحليلها طرق مختلفةالعثور على مساحة شبه منحرف. لامتصاص أفضل القواعد ذات الصلةوالنظريات سوف نولي بعض الاهتمام لخصائصه. سيساعدك هذا على فهم كيفية عمل القواعد وفي أي الحالات يجب تطبيق صيغ معينة.

تعريف شبه منحرف

ما هو نوع هذا الرقم بشكل عام؟ شبه المنحرف هو مضلع ذو أربع زوايا وضلعين متوازيين. يمكن أن يميل الجانبان الآخران من شبه المنحرف بزوايا مختلفة. وتسمى أضلاعها المتوازية قواعد، أما الأضلاع غير المتوازية فيستخدم اسم "الأضلاع" أو "الوركين". مثل هذه الأرقام شائعة جدًا في الحياة اليومية. يمكن رؤية ملامح شبه المنحرف في الصور الظلية للملابس والعناصر الداخلية والأثاث والأطباق وغيرها الكثير. ترابيز يحدث أنواع مختلفة: مختلف الأضلاع، متساوي الأضلاع ومستطيل. وسوف ندرس أنواعها وخصائصها بمزيد من التفصيل لاحقًا في المقالة.

خصائص شبه منحرف

دعونا نتناول بإيجاز خصائص هذا الرقم. مجموع الزوايا المجاورة لأي جانب هو دائمًا 180 درجة. تجدر الإشارة إلى أن مجموع زوايا شبه المنحرف يصل إلى 360 درجة. شبه المنحرف لديه مفهوم خط الوسط. إذا قمت بتوصيل نقاط منتصف الجوانب بقطعة، فسيكون هذا هو الخط الأوسط. تم تعيين م. يتمتع الخط الأوسط بخصائص مهمة: فهو دائمًا موازٍ للقواعد (نتذكر أن القواعد متوازية أيضًا مع بعضها البعض) وتساوي نصف مجموعها:

وهذا التعريف يجب تعلمه وفهمه، لأنه المفتاح لحل الكثير من المشاكل!

باستخدام شبه المنحرف، يمكنك دائمًا خفض الارتفاع إلى القاعدة. الارتفاع هو خط عمودي، يُشار إليه غالبًا بالرمز h، يتم رسمه من أي نقطة من قاعدة إلى قاعدة أخرى أو امتدادها. سيساعدك خط الوسط والارتفاع في العثور على مساحة شبه المنحرف. مثل هذه المهام هي الأكثر شيوعًا في دورة المدرسةالهندسة وتظهر بانتظام بين أوراق الاختبار والامتحان.

أبسط الصيغ لمنطقة شبه منحرف

دعونا نلقي نظرة على الصيغتين الأكثر شعبية وبساطة المستخدمة للعثور على مساحة شبه المنحرف. يكفي ضرب الارتفاع في نصف مجموع القواعد للعثور بسهولة على ما تبحث عنه:

ق = ح*(أ + ب)/2.

في هذه الصيغة، أ، ب تشير إلى قواعد شبه المنحرف، ح - الارتفاع. لسهولة الإدراك، في هذه المقالة، يتم تمييز علامات الضرب بالرمز (*) في الصيغ، على الرغم من حذف علامة الضرب عادةً في الكتب المرجعية الرسمية.

لنلقي نظرة على مثال.

معطى: شبه منحرف طول قاعدتيه 10 و 14 سم وارتفاعه 7 سم، ما مساحة شبه المنحرف؟

دعونا نلقي نظرة على الحل لهذه المشكلة. باستخدام هذه الصيغة، عليك أولًا إيجاد نصف مجموع الأسس: (10+14)/2 = 12. إذن، نصف المجموع يساوي 12 سم، والآن نضرب نصف المجموع في الارتفاع: 12*7 = 84. لقد تم العثور على ما نبحث عنه. الجواب: مساحة شبه المنحرف 84 متراً مربعاً. سم.

الصيغة الثانية المعروفة تقول: مساحة شبه المنحرف تساوي حاصل ضرب خط الوسط وارتفاع شبه المنحرف. أي أنه يتبع في الواقع المفهوم السابق للخط الأوسط: S=m*h.

استخدام الأقطار في العمليات الحسابية

هناك طريقة أخرى للعثور على مساحة شبه المنحرف وهي في الواقع ليست بهذه التعقيد. وهي متصلة بأقطارها. باستخدام هذه الصيغة، للعثور على المساحة، عليك ضرب نصف ناتج قطريها (د 1 د 2) في جيب الزاوية بينهما:

S = ½ د 1 د 2 خطيئة أ.

دعونا نفكر في مشكلة توضح تطبيق هذه الطريقة. معطى: شبه منحرف طول قطريه يساوي 8 و13 سم على التوالي، والزاوية a بين القطرين هي 30°. أوجد مساحة شبه المنحرف.

حل. باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه، من السهل حساب ما هو مطلوب. كما تعلم، فإن sin 30° يساوي 0.5. وبالتالي، S = 8*13*0.5=52. الجواب: المساحة 52 متر مربع. سم.

إيجاد مساحة شبه منحرف متساوي الساقين

يمكن أن يكون شبه المنحرف متساوي الساقين (متساوي الساقين). وأضلاعه متساوية والزوايا عند قاعدتيه متساوية، وهو ما يوضحه الشكل جيدًا. شبه منحرف متساوي الساقين له نفس خصائص شبه المنحرف العادي، بالإضافة إلى عدد من الخصائص الخاصة. يمكن تحديد دائرة حول شبه منحرف متساوي الساقين، ويمكن كتابة دائرة داخلها.

ما هي الطرق الموجودة لحساب مساحة هذا الشكل؟ ستتطلب الطريقة أدناه الكثير من الحسابات. لاستخدامها، تحتاج إلى معرفة قيم الجيب (الخطيئة) وجيب التمام (جيب التمام) للزاوية عند قاعدة شبه المنحرف. تتطلب حساباتهم إما جداول Bradis أو آلة حاسبة هندسية. هنا هي الصيغة:

س= ج*الخطيئة أ*(أ - ج*كوس أ),

أين مع- الفخذ الجانبي، أ- الزاوية عند القاعدة السفلية .

شبه منحرف متساوي الأضلاع له أقطار متساوية في الطول. والعكس صحيح أيضًا: إذا كان شبه المنحرف له أقطار متساوية، فهو متساوي الساقين. ومن هنا جاءت الصيغة التالية للمساعدة في العثور على مساحة شبه المنحرف - نصف منتج مربع الأقطار وجيب الزاوية بينهما: S = ½ d 2 sin أ.

إيجاد مساحة شبه منحرف مستطيل

هناك حالة خاصة من شبه المنحرف المستطيل معروفة. هذا هو شبه منحرف، حيث يجاور أحد الجانبين (فخذه) القواعد بزاوية قائمة. له خصائص شبه منحرف منتظم. بالإضافة إلى ذلك، لديها جدا ميزة مثيرة للاهتمام. الفرق في مربعات أقطار هذا شبه المنحرف يساوي الفرق في مربعات قاعدته. يتم استخدام جميع الطرق الموضحة مسبقًا لحساب المساحة لذلك.

نحن نستخدم البراعة

هناك خدعة واحدة يمكن أن تساعدك إذا نسيت صيغًا معينة. دعونا نلقي نظرة فاحصة على ما هو شبه منحرف. إذا قسمناها عقليًا إلى أجزاء، فسنحصل على أشكال هندسية مألوفة ومفهومة: مربع أو مستطيل ومثلث (واحد أو اثنان). إذا كان ارتفاع شبه المنحرف وجوانبه معروفين، فيمكنك استخدام الصيغ الخاصة بمساحة المثلث والمستطيل، ثم جمع كل القيم الناتجة.

دعونا نوضح هذا المثال التالي. نظرا لشبه منحرف مستطيلة. الزاوية C = 45 درجة، والزوايا A، D هي 90 درجة. القاعدة العلوية للشبه المنحرف 20 سم والارتفاع 16 سم وتحتاج إلى حساب مساحة الشكل.

من الواضح أن هذا الشكل يتكون من مستطيل (إذا كانت الزاويتان تساوي 90 درجة) ومثلث. بما أن شبه المنحرف مستطيل فإن ارتفاعه يساوي ضلعه أي 16 سم، لدينا مستطيل طول ضلعه 20 و 16 سم على التوالي. الآن فكر في مثلث زاويته 45 درجة. نحن نعلم أن أحد أضلاعه 16 سم، وبما أن هذا الضلع هو أيضًا ارتفاع شبه المنحرف (ونعلم أن الارتفاع ينحدر إلى القاعدة بزاوية قائمة)، فإن الزاوية الثانية للمثلث هي 90 درجة. ومن ثم فإن الزاوية المتبقية للمثلث هي 45 درجة. ونتيجة لهذا نحصل على مستطيل مثلث متساوي الساقين، الذي الجانبين متماثلان. وهذا يعني أن الضلع الآخر للمثلث يساوي الارتفاع أي 16 سم، ويبقى حساب مساحة المثلث والمستطيل وإضافة القيم الناتجة.

مساحة المثلث القائم تساوي نصف حاصل ضرب ساقيه: S = (16*16)/2 = 128. مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب عرضه وطوله: S = 20*16 = 320. وجدنا المطلوب: مساحة شبه المنحرف S = 128 + 320 = 448 متر مربع. انظر، يمكنك بسهولة التحقق من نفسك مرة أخرى باستخدام الصيغ المذكورة أعلاه، وستكون الإجابة متطابقة.

نحن نستخدم صيغة الاختيار

أخيرًا، نقدم صيغة أصلية أخرى تساعد في إيجاد مساحة شبه المنحرف. يطلق عليها صيغة الاختيار. إنه مناسب للاستخدام عند رسم شبه منحرف على ورق مربعات. غالبًا ما توجد مشكلات مماثلة في مواد GIA. تبدو هكذا:

ق = م/2 + ن - 1،

في هذه الصيغة M هو عدد العقد، أي. تقاطعات خطوط الشكل مع خطوط الخلية عند حدود شبه المنحرف (النقاط البرتقالية في الشكل)، N هو عدد العقد داخل الشكل (النقاط الزرقاء). إنه أكثر ملاءمة لاستخدامه عند العثور على مساحة مضلع غير منتظم. ومع ذلك، كلما كانت ترسانة التقنيات المستخدمة أكبر، قلت الأخطاء وتحسنت النتائج.

وبطبيعة الحال، فإن المعلومات المقدمة لا تستنفد أنواع وخصائص شبه المنحرف، وكذلك طرق العثور على منطقته. تقدم هذه المقالة لمحة عامة عن أهم خصائصه. عند حل المشكلات الهندسية، من المهم التصرف تدريجيًا، والبدء بالصيغ والمسائل السهلة، وتعزيز فهمك باستمرار، والانتقال إلى مستوى آخر من التعقيد.

ستساعد الصيغ الأكثر شيوعًا التي تم جمعها معًا الطلاب على التنقل بين الطرق المختلفة لحساب مساحة شبه المنحرف والاستعداد بشكل أفضل للاختبارات و الاختباراتحول هذا الموضوع.

تُظهر ممارسة امتحان الدولة الموحدة وامتحان الدولة العام الماضي أن المشكلات الهندسية تسبب صعوبات للعديد من تلاميذ المدارس. يمكنك التعامل معها بسهولة إذا حفظت جميع الصيغ الضرورية وتدربت على حل المشكلات.

ستشاهد في هذه المقالة صيغًا لإيجاد مساحة شبه المنحرف، بالإضافة إلى أمثلة للمشكلات مع الحلول. قد تصادف نفس تلك الموجودة في KIMs في امتحانات الشهادةأو في الألعاب الأولمبية. لذلك، تعامل معهم بعناية.

ما تحتاج لمعرفته حول شبه منحرف؟

وبادئ ذي بدء، دعونا نتذكر ذلك شبه منحرفيسمى الشكل الرباعي الذي يكون فيه ضلعان متقابلان، ويسمىان أيضًا القاعدتين، متوازيين، والضلعان الآخران ليسا كذلك.

في شبه المنحرف، يمكن أيضًا خفض الارتفاع (عموديًا على القاعدة). تم رسم الخط الأوسط - وهو خط مستقيم موازٍ للقواعد ويساوي نصف مجموعهما. وكذلك الأقطار التي يمكن أن تتقاطع لتشكل زوايا حادة ومنفرجة. أو في بعض الحالات، بزاوية قائمة. بالإضافة إلى ذلك، إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين، فيمكن كتابة دائرة فيه. ووصف دائرة حوله.

صيغ منطقة شبه منحرف

أولاً، دعونا نلقي نظرة على الصيغ القياسية لإيجاد مساحة شبه المنحرف. سننظر أدناه في طرق حساب مساحة متساوي الساقين وشبه المنحرف المنحني الخطوط.

لذا، تخيل أن لديك شبه منحرف له القاعدتان a وb، حيث ينخفض ​​الارتفاع h إلى القاعدة الأكبر. يعد حساب مساحة الشكل في هذه الحالة أمرًا سهلاً مثل قشر الكمثرى. كل ما عليك فعله هو قسمة مجموع أطوال القواعد على اثنين وضرب الناتج في الارتفاع: ق = 1/2(أ + ب)*ح.

لنأخذ حالة أخرى: لنفترض أنه في شبه المنحرف، بالإضافة إلى الارتفاع، يوجد خط وسط m. نحن نعرف صيغة إيجاد طول الخط الأوسط: م = 1/2(أ + ب). لذلك، يمكننا بحق تبسيط صيغة مساحة شبه المنحرف إلى النموذج التالي: ق = م * ح. وبعبارة أخرى، للعثور على مساحة شبه منحرف، تحتاج إلى ضرب خط الوسط في الارتفاع.

لنفكر في خيار آخر: يحتوي شبه المنحرف على قطرين d 1 و d 2، لا يتقاطعان بزوايا قائمة α. لحساب مساحة شبه المنحرف هذا، تحتاج إلى تقسيم منتج الأقطار على اثنين وضرب النتيجة في جيب الزاوية بينهما: S= 1/2د 1 د 2 *الخطيئةα.

الآن فكر في صيغة إيجاد مساحة شبه المنحرف إذا لم يكن معروفًا عنه سوى أطوال جميع جوانبه: a و b و c و d. هذه صيغة مرهقة ومعقدة، ولكن سيكون من المفيد لك أن تتذكرها فقط في حالة: S = 1/2(أ + ب) * √ج 2 – ((1/2(ب – أ)) * ((ب – أ) 2 + ج 2 – د 2)) 2.

بالمناسبة، الأمثلة المذكورة أعلاه تنطبق أيضًا على الحالة التي تحتاج فيها إلى صيغة مساحة شبه منحرف مستطيل. هذا شبه منحرف، جانبه يجاور القواعد بزاوية قائمة.

شبه منحرف متساوي الساقين

شبه المنحرف الذي تكون أضلاعه متساوية يسمى متساوي الساقين. سننظر في عدة خيارات للصيغة الخاصة بمنطقة شبه منحرف متساوي الساقين.

الخيار الأول: في الحالة التي يتم فيها إدراج دائرة نصف قطرها r داخل شبه منحرف متساوي الساقين، ويشكل الجانب والقاعدة الأكبر زاوية حادة α. يمكن نقش الدائرة في شبه المنحرف بشرط أن يكون مجموع أطوال قاعدتيها مساوياً لمجموع أطوال أضلاعها.

يتم حساب مساحة شبه منحرف متساوي الساقين على النحو التالي: اضرب مربع نصف قطر الدائرة المنقوشة بأربعة واقسمها كلها على sinα: ق = 4ص 2 /الخطيئةα. صيغة مساحة أخرى هي حالة خاصة للخيار عندما تكون الزاوية بين القاعدة الكبيرة والجانب 30 0: ق = 8ر2.

الخيار الثاني: هذه المرة نأخذ شبه منحرف متساوي الساقين، حيث يتم رسم القطرين d 1 و d 2 بالإضافة إلى الارتفاع h. إذا كانت أقطار شبه المنحرف متعامدة بشكل متبادل، فإن الارتفاع يكون نصف مجموع القاعدتين: h = 1/2(a + b). بمعرفة ذلك، من السهل تحويل صيغة مساحة شبه المنحرف المألوفة لك إلى هذا النموذج: س = ح 2.

صيغة لمنطقة شبه منحرف منحني

لنبدأ بمعرفة ما هو شبه المنحرف المنحني. تخيل محورًا إحداثيًا ورسمًا بيانيًا لدالة مستمرة وغير سالبة f لا تغير الإشارة داخل مقطع معين على المحور السيني. يتم تشكيل شبه منحرف منحني الأضلاع من خلال الرسم البياني للدالة y = f(x) - في الجزء العلوي، يكون المحور x في الأسفل (القطعة)، وعلى الجانبين - خطوط مستقيمة مرسومة بين النقطتين a و b والرسم البياني لـ الوظيفة.

من المستحيل حساب مساحة هذا الشكل غير القياسي باستخدام الطرق المذكورة أعلاه. هنا تحتاج إلى تطبيق التحليل الرياضي واستخدام التكامل. وهي: صيغة نيوتن-لايبنتز - S = ∫ ب أ f(x)dx = F(x)│ ب أ = F(b) – F(a). في هذه الصيغة، F هو المشتق العكسي للدالة في الجزء المحدد. وتتوافق مساحة شبه المنحرف المنحني مع زيادة المشتق العكسي في قطعة معينة.

مشاكل العينة

لتسهيل فهم كل هذه الصيغ في ذهنك، إليك بعض الأمثلة على المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحة شبه المنحرف. سيكون من الأفضل أن تحاول أولاً حل المشكلات بنفسك، وعندها فقط تقارن الإجابة التي تتلقاها بالحل الجاهز.

مهمة 1:نظرا شبه منحرف. قاعدتها الكبرى 11 سم، والصغرى 4 سم. شبه المنحرف له قطران، طول أحدهما 12 سم، والثاني 9 سم.

الحل: إنشاء شبه منحرف AMRS. ارسم خطًا مستقيمًا РХ عبر قمة الرأس P بحيث يكون موازيًا للقطر MC ويتقاطع مع الخط المستقيم AC عند النقطة X. وستحصل على مثلث APХ.

سننظر في الشكلين اللذين تم الحصول عليهما نتيجة لهذه التلاعبات: المثلث APX ومتوازي الأضلاع CMRX.

بفضل متوازي الأضلاع، تعلمنا أن PX = MC = 12 سم وCX = MR = 4 سم. ومن هنا يمكننا حساب الضلع AX للمثلث ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 سم.

يمكننا أيضًا إثبات أن المثلث APX قائم الزاوية (للقيام بذلك، قم بتطبيق نظرية فيثاغورس - AX 2 = AP 2 + PX 2). واحسب مساحتها: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9*12) = 54 سم2.

بعد ذلك، ستحتاج إلى إثبات أن المثلثين AMP وPCX متساويان في المساحة. سيكون الأساس هو المساواة بين الطرفين MR وCX (كما سبق إثباته أعلاه). وكذلك الارتفاعات التي تخفضها على هذه الجوانب - فهي تساوي ارتفاع شبه منحرف AMRS.

كل هذا سيسمح لك بالقول أن S AMPC = S APX = 54 سم 2.

المهمة رقم 2:يتم إعطاء شبه منحرف KRMS. على جوانبه توجد النقطتان O وE، بينما OE وKS متوازيان. ومن المعروف أيضًا أن مساحات شبه المنحرف ORME وOKSE تكون بنسبة 1:5. RM = أ وKS = ب. أنت بحاجة إلى العثور على OE.

الحل: ارسم خطًا موازيًا لـ RK عبر النقطة M، وحدد نقطة تقاطعه مع OE بالرمز T. A هي نقطة تقاطع الخط المرسوم عبر النقطة E الموازي لـ RK مع القاعدة KS.

دعونا نقدم تدوينًا آخر - OE = x. وكذلك الارتفاع h 1 للمثلث TME والارتفاع h 2 للمثلث AEC (يمكنك إثبات تشابه هذه المثلثات بشكل مستقل).

سنفترض أن ب> أ. مساحات شبه المنحرف ORME وOKSE تكون بنسبة 1:5، مما يمنحنا الحق في إنشاء المعادلة التالية: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. دعونا نحول ونحصل على: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

وبما أن المثلثين TME وAEC متشابهان، فلدينا h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). لنجمع كلا المدخلين ونحصل على: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( ب + س)(ب – س) ↔ 5(س 2 – أ 2) = (ب 2 – س 2) ↔ 6x 2 = ب 2 + 5أ 2 ↔ x = √(5أ 2 + ب 2)/6.

وبالتالي، OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

خاتمة

الهندسة ليست من أسهل العلوم، ولكن يمكنك بالتأكيد التعامل مع أسئلة الامتحان. يكفي إظهار القليل من المثابرة في التحضير. وبطبيعة الحال، تذكر كل الصيغ اللازمة.

لقد حاولنا جمع كل الصيغ لحساب مساحة شبه المنحرف في مكان واحد حتى تتمكن من استخدامها عند الاستعداد للامتحانات ومراجعة المادة.

تأكد من إخبار زملائك وأصدقائك عن هذه المقالة. في الشبكات الاجتماعية. يترك درجات جيدةسيكون هناك المزيد في امتحان الدولة الموحد واختبار امتحان الدولة!

blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.

مساحة شبه منحرف. تحيات! في هذا المنشور سننظر في هذه الصيغة. لماذا هي هكذا بالضبط وكيف نفهمها. إذا كان هناك فهم، فلا داعي لتعليمه. إذا كنت ترغب فقط في إلقاء نظرة على هذه الصيغة وعلى وجه السرعة، فيمكنك التمرير على الفور إلى أسفل الصفحة))

الآن بالتفصيل وبالترتيب.

شبه المنحرف هو شكل رباعي، ضلعان من هذا الشكل الرباعي متوازيان، والضلعان الآخران ليسا كذلك. تلك التي ليست متوازية هي قواعد شبه المنحرف. ويسمى الاثنان الآخران الجانبين.

إذا كانت الجوانب متساوية، فإن شبه المنحرف يسمى متساوي الساقين. إذا كان أحد الجانبين متعامدا مع القواعد، فإن هذا شبه المنحرف يسمى مستطيلا.

في شكله الكلاسيكي، يتم تصوير شبه منحرف على النحو التالي - القاعدة الأكبر في الأسفل، على التوالي، الأصغر في الأعلى. لكن لا أحد يمنع تصويرها والعكس صحيح. وهنا الرسومات:

المفهوم المهم التالي.

خط الوسط لشبه المنحرف هو الجزء الذي يربط بين منتصف الجوانب. الخط الأوسط يوازي قاعدتي شبه المنحرف ويساوي نصف مجموعهما.

الآن دعونا نتعمق أكثر. لماذا هو كذلك؟

النظر في شبه منحرف مع القواعد أ و بومع الخط الأوسط ل، وإجراء بعض الإنشاءات الإضافية: رسم خطوط مستقيمة عبر القواعد، وخطوط متعامدة عبر أطراف خط الوسط حتى تتقاطع مع القواعد:

*لم يتم تضمين تسميات الحروف للقمم والنقاط الأخرى عمدًا لتجنب التعيينات غير الضرورية.

انظر، المثلثان 1 و 2 متساويان حسب العلامة الثانية لتساوي المثلثات، المثلثان 3 و 4 متماثلان. من مساواة المثلثات يتبع مساواة العناصر، وهي الأرجل (يشار إليها باللون الأزرق والأحمر، على التوالي).

الآن الاهتمام! إذا "قطعنا" الأجزاء الزرقاء والحمراء عقليًا من القاعدة السفلية، فسوف يتبقى لدينا قطعة (هذا هو جانب المستطيل) مساوية للخط الأوسط. بعد ذلك، إذا قمنا "بلصق" الأجزاء المقطوعة باللونين الأزرق والأحمر على القاعدة العلوية لشبه المنحرف، فسنحصل أيضًا على قطعة (وهذا أيضًا جانب المستطيل) يساوي خط الوسط لشبه المنحرف.

فهمتها؟ يتبين أن مجموع القاعدتين سيكون مساوياً للخطين الأوسطين لشبه المنحرف:

شاهد شرح آخر

لنقم بما يلي: أنشئ خطًا مستقيمًا يمر عبر القاعدة السفلية لشبه المنحرف وخطًا مستقيمًا يمر عبر النقطتين A وB:

نحصل على المثلثين 1 و 2، وهما متساويان على طول الجوانب والزوايا المجاورة (العلامة الثانية لمساواة المثلثات). هذا يعني أن الجزء الناتج (المشار إليه باللون الأزرق في الرسم) يساوي القاعدة العلوية لشبه المنحرف.

الآن فكر في المثلث:

* يتطابق خط المنتصف لهذا شبه المنحرف مع خط المنتصف للمثلث.

من المعروف أن المثلث يساوي نصف القاعدة الموازية له، أي:

حسنا، لقد اكتشفنا ذلك. الآن عن مساحة شبه المنحرف.

صيغة منطقة شبه منحرف:

يقولون: مساحة شبه المنحرف تساوي حاصل ضرب نصف مجموع قواعده وارتفاعه.

أي يتبين أنه يساوي حاصل ضرب خط الوسط والارتفاع:

ربما لاحظت بالفعل أن هذا أمر واضح. هندسيًا، يمكن التعبير عن ذلك بهذه الطريقة: إذا قطعنا عقليًا المثلثين 2 و 4 من شبه المنحرف ووضعناهما على المثلثين 1 و 3 على التوالي:

ثم نحصل على مستطيل في المنطقة يساوي المساحةشبه منحرف لدينا. مساحة هذا المستطيل ستكون مساوية لحاصل ضرب خط المنتصف والارتفاع، أي يمكننا أن نكتب:

لكن النقطة هنا ليست في الكتابة بالطبع، بل في الفهم.

قم بتنزيل (عرض) مادة المقالة بتنسيق *pdf

هذا كل شئ. كل التوفيق لك!

مع خالص التقدير، الكسندر.

و . الآن يمكننا أن نبدأ في النظر في مسألة كيفية العثور على مساحة شبه منحرف. هذه المهمةنادرًا ما يحدث في الحياة اليومية، ولكن في بعض الأحيان يكون من الضروري، على سبيل المثال، العثور على مساحة غرفة على شكل شبه منحرف، والتي تستخدم بشكل متزايد في البناء شقق حديثة، أو في مشاريع تصميم التجديد.

شبه منحرف هو الشكل الهندسي، مكونة من أربعة أجزاء متقاطعة، اثنتان منها متوازيتان وتسمى قواعد شبه المنحرف. ويسمى الجزءان الآخران جوانب شبه المنحرف. وبالإضافة إلى ذلك، سنحتاج إلى تعريف آخر لاحقا. هذا هو الخط الأوسط لشبه المنحرف، وهو القطعة التي تصل منتصف أضلاعه وارتفاع شبه المنحرف الذي يساوي المسافة بين القاعدتين.
مثل المثلثات، شبه المنحرف له أنواع خاصة، على شكل شبه منحرف متساوي الساقين (متساوي الجوانب)، تكون أطوال أضلاعه متساوية، وشبه منحرف مستطيل، يشكل فيه أحد الجوانب زاوية قائمة مع القاعدتين.

الأرجوحة لها بعض الخصائص المثيرة للاهتمام:

1. الخط الأوسط لشبه المنحرف يساوي نصف مجموع القاعدتين ويوازيهما.
   
2. شبه المنحرف متساوي الساقين له جوانب متساوية والزوايا التي تشكلها مع القواعد.
   
3. نقطتا منتصف قطري شبه المنحرف ونقطة تقاطع قطريه تقعان على نفس الخط المستقيم.
   
4. إذا كان مجموع أضلاع شبه المنحرف يساوي مجموع القواعد فيمكن كتابة دائرة فيه
   
5. إذا كان مجموع الزوايا المتكونة من أضلاع شبه المنحرف عند أي من قاعدتيه يساوي 90، فإن طول القطعة الواصلة بين منتصف القاعدتين يساوي نصف الفارق بينهما.
   
6. يمكن وصف شبه منحرف متساوي الساقين بدائرة. والعكس صحيح. إذا كان شبه منحرف يتناسب مع الدائرة، فهو متساوي الساقين.
   
7. القطعة التي تمر عبر منتصف قاعدتي شبه منحرف متساوي الساقين ستكون متعامدة مع قاعدتيها وتمثل محور التماثل.
   

كيفية العثور على مساحة شبه منحرف.

مساحة شبه المنحرف تساوي نصف مجموع قواعده مضروبة في ارتفاعه. في صيغة الصيغة، يتم كتابة هذا كتعبير:

حيث S هي مساحة شبه المنحرف، a، b هو طول كل قاعدة من قاعدتي شبه المنحرف، h هو ارتفاع شبه المنحرف.

يمكنك فهم وتذكر هذه الصيغة على النحو التالي. على النحو التالي من الشكل أدناه، باستخدام خط الوسط، يمكن تحويل شبه منحرف إلى مستطيل، طوله يساوي نصف مجموع القواعد.

يمكنك أيضًا توسيع أي شبه منحرف إلى المزيد أرقام بسيطة: مستطيل ومثلث أو مثلثين، وإذا كان الأمر أسهل بالنسبة لك، فابحث عن مساحة شبه المنحرف كمجموع مساحات الأشكال المكونة له.

هناك واحد آخر صيغة بسيطةلحساب مساحتها. ووفقا لها فإن مساحة شبه المنحرف تساوي حاصل ضرب خط وسطه في ارتفاع شبه المنحرف ويكتب بالصيغة: S = m*h، حيث S هي المساحة، m هو طول خط الوسط، h هو ارتفاع شبه المنحرف. هذه الصيغةأكثر ملاءمة لمشاكل الرياضيات من المشاكل اليومية، لأنه في الظروف الحقيقية لن تعرف طول خط الوسط بدون حسابات أولية. وسوف تعرف فقط أطوال القواعد والجوانب.

في هذه الحالة، يمكن العثور على مساحة شبه المنحرف باستخدام الصيغة:

س = ((أ+ب)/2)*√ج 2 -((ب-أ) 2 +ج 2 -د 2 /2(ب-أ)) 2

حيث S هي المساحة، a، b هي القواعد، c، d هي جوانب شبه المنحرف.

هناك عدة طرق أخرى للعثور على مساحة شبه المنحرف. لكنها غير مريحة مثل الصيغة الأخيرة، مما يعني أنه لا فائدة من الخوض فيها. لذلك ننصحك باستخدام الصيغة الأولى من المقال ونتمنى لك الحصول دائمًا على نتائج دقيقة.