1 ماذا حدث الكسور المشتركة. أنواع الكسور.
الكسر يعني دائمًا جزءًا من الكل. والحقيقة هي أنه ليس من الممكن دائمًا نقل الكمية بالأعداد الطبيعية، أي إعادة الحساب: 1،2،3، إلخ. كيف، على سبيل المثال، تعيين نصف البطيخ أو ربع ساعة؟ ولهذا السبب ظهرت الأعداد الكسرية، أو الكسور.

في البداية، لا بد من القول أنه بشكل عام هناك نوعان من الكسور: الكسور العادية والكسور العشرية. تتم كتابة الكسور العادية على النحو التالي:
تتم كتابة الأعداد العشرية بشكل مختلف:

تتكون الكسور العادية من جزأين: في الأعلى يوجد البسط، وفي الأسفل يوجد المقام. يتم الفصل بين البسط والمقام بشريط كسري. لذلك تذكر:

كل جزء هو جزء من الكل. وعادة ما يؤخذ كله 1 (وحدة). يوضح مقام الكسر عدد الأجزاء التي ينقسم إليها الكل ( 1 )، والبسط هو عدد الأجزاء المأخوذة. إذا قطعنا الكعكة إلى 6 قطع متطابقة (في الرياضيات يقولون تشارك )، فإن كل جزء من الكعكة سيكون مساوياً لـ 1/6. إذا أكل فاسيا 4 قطع، فإنه أكل 4/6.

من ناحية أخرى، الشريط الكسري ليس أكثر من علامة القسمة. لذلك، الكسر هو حاصل قسمة رقمين - البسط والمقام. في نص المسائل أو في وصفات الأطباق، عادة ما تتم كتابة الكسور على النحو التالي: 2/3، 1/2، إلخ. حصلت بعض الكسور على اسمها الخاص، على سبيل المثال، 1/2 - "نصف"، 1/3 - "الثالث"، 1/4 - "الربع"
الآن دعونا نتعرف على أنواع الكسور العادية.

2 أنواع الكسور العادية

هناك ثلاثة أنواع من الكسور الشائعة: العادية وغير الصحيحة والمختلطة:

جزء الصحيح

إذا كان البسط أقل من المقام، يسمى هذا الكسر صحيح،على سبيل المثال: الكسر الصحيح دائمًا أقل من 1.

جزء غير لائق

إذا كان البسط أكبر من أو يساوي المقام، يسمى الكسر خطأ، على سبيل المثال:

الكسر غير الفعلي أكبر من واحد (إذا كان البسط أكبر من المقام) أو يساوي واحدًا (إذا كان البسط يساوي المقام)

جزء مختلط

إذا كان الكسر يتكون من عدد صحيح (جزء كامل) وكسر حقيقي (جزء كسري)، فإن هذا الكسر يسمى مختلط، على سبيل المثال:

دائمًا ما يكون الكسر المختلط أكبر من واحد.

3 تحويلات الكسر

في الرياضيات، غالبًا ما يتعين تحويل الكسور العادية، أي: جزء مختلطتحويلها إلى سيئة والعكس صحيح. وهذا ضروري لإجراء بعض العمليات، مثل الضرب والقسمة.

لذا، يمكن تحويل أي جزء مختلط إلى غير صحيح. للقيام بذلك، يتم ضرب الجزء الصحيح بالمقام وإضافة بسط الجزء الكسري. يؤخذ المبلغ الناتج كبسط، ويترك المقام كما هو، على سبيل المثال:

يمكن تحويل أي كسر غير فعلي إلى كسر مختلط. للقيام بذلك، اقسم البسط على المقام (مع الباقي)، فيكون الرقم الناتج هو الجزء الصحيح، والباقي سيكون بسط الجزء الكسري، على سبيل المثال:

وفي الوقت نفسه يقولون: "لقد أفردنا الجزء كله من الكسر غير الحقيقي".

هناك قاعدة أخرى يجب تذكرها: يمكن تمثيل أي عدد صحيح ككسر عادي مقامه 1، على سبيل المثال:

دعونا نتحدث عن كيفية مقارنة الكسور.

4 مقارنة الكسر

هناك عدة خيارات عند مقارنة الكسور: من السهل مقارنة الكسور بها نفس القواسمسيكون الأمر أكثر صعوبة إذا كانت القواسم مختلفة. هناك أيضًا مقارنة بين الكسور المختلطة. لكن لا تقلق، الآن سنلقي نظرة فاحصة على كل خيار ونتعلم كيفية مقارنة الكسور.

مقارنة الكسور التي لها نفس المقامات

إذا كان الكسران لهما نفس المقام لكن بسطرين مختلفين، يكون الكسر ذو البسط الأكبر أكبر، على سبيل المثال:

مقارنة الكسور التي لها نفس البسط

من كسرين لهما نفس البسطين، ولكن قواسم مختلفةالأكبر هو الكسر الذي مقامه أصغر، على سبيل المثال:

مقارنة الكسور المخلوطة وغير الحقيقية بالكسور المناسبة

دائمًا ما يكون الكسر غير الحقيقي أو المختلط أكبر من الكسر الصحيح، على سبيل المثال:

مقارنة كسرين مختلطين

عند مقارنة كسرين مختلطين يكون الكسر ذو الجزء الصحيح الأكبر أكبر، على سبيل المثال:

إذا كانت الأجزاء الصحيحة من الكسور المختلطة هي نفسها، فإن الكسر الذي يحتوي على الجزء الكسري الأكبر يكون أكبر، على سبيل المثال:

مقارنة الكسور ذات البسط والمقامات المختلفة

من المستحيل مقارنة الكسور ذات البسط والمقامات المختلفة دون تحويلها. أولاً، يجب تقريب الكسور إلى نفس المقام، ثم مقارنة بسطيها. الكسر الأكبر هو الذي له بسط أكبر. ولكن كيفية إحضار الكسور إلى نفس المقام، سننظر في القسمين التاليين من المقالة. أولاً، سننظر في الخاصية الأساسية للكسر واختزال الكسور، ثم اختزال الكسور مباشرة إلى نفس المقام.

5 الخاصية الأساسية للكسر. تخفيض الكسر. مفهوم GCD.

يتذكر: يمكنك فقط جمع وطرح ومقارنة الكسور التي لها نفس المقامات.. إذا كانت القواسم مختلفة، فأنت بحاجة أولاً إلى إحضار الكسور إلى نفس المقام، أي تحويل أحد الكسور بطريقة تجعل مقامه هو نفسه مقام الكسر الثاني.

الكسور لها خاصية واحدة مهمة، وتسمى أيضا الخاصية الأساسية للكسر:

إذا تم ضرب أو قسمة بسط ومقام الكسر على نفس العدد، فإن قيمة الكسر لن تتغير:

بفضل هذه الخاصية، نستطيع تقليل الكسور:

إن تقليل الكسر يعني قسمة كل من البسط والمقام على نفس الرقم.(انظر المثال أعلاه). عندما نقوم بتبسيط جزء ما، يمكننا وصف أفعالنا على النحو التالي:

في كثير من الأحيان، في دفتر الملاحظات، يتم تقليل الكسر مثل هذا:

لكن تذكر: يمكن تقليل المضاعفات فقط. إذا كان البسط أو المقام هو المجموع أو الفرق، فلا يمكن تبسيط الحدود. مثال:

تحتاج أولاً إلى تحويل المبلغ إلى مضاعف:

في بعض الأحيان، عند العمل مع أعداد كبيرة، من أجل تقليل الكسر، من السهل العثور عليه أكبر القاسم المشتركالبسط والمقام (gcd)

القاسم المشترك الأكبر (GCD)عدة أرقام - هذا هو أكبر عدد طبيعي تقبل به هذه الأرقام القسمة بدون باقي.

من أجل العثور على GCD لعددين (على سبيل المثال، البسط والمقام للكسر)، تحتاج إلى تحليل كلا الرقمين إلى عوامل أولية، وملاحظة نفس العوامل في كلا التوسعات، وضرب هذه العوامل. سيكون المنتج الناتج هو GCD. على سبيل المثال، نحن بحاجة إلى تقليل الكسر:

ابحث عن GCD للأرقام 96 و 36:

يوضح لنا GCD أن كلا من البسط والمقام لهما عامل 12، ويمكننا بسهولة تبسيط الكسر.

في بعض الأحيان، لجلب الكسور إلى نفس المقام، يكفي تقليل أحد الكسور. ولكن في كثير من الأحيان يكون من الضروري اختيار عوامل إضافية لكلا الكسرين، والآن سننظر في كيفية القيام بذلك. لذا:

6 كيفية جلب الكسور إلى نفس المقام. المضاعف المشترك الأصغر (LCM).

عندما نقوم بتبسيط الكسور إلى نفس المقام، نختار للمقام رقمًا يمكن القسمة عليه بالمقام الأول والمقام الثاني (أي أنه سيكون مضاعفًا للمقامين، من الناحية الرياضية). ومن المستحسن أن يكون هذا الرقم صغيرًا قدر الإمكان حتى يكون حسابه أكثر ملاءمة. لذا علينا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لكلا المقامين.

المضاعف المشترك الأصغر لعددين (LCM)هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على هذين العددين دون باقي. في بعض الأحيان يمكن العثور على المضاعف المشترك الأصغر شفهيًا، ولكن في كثير من الأحيان، خاصة عند التعامل مع أعداد كبيرة، يتعين عليك العثور على المضاعف المشترك الأصغر كتابيًا، باستخدام الخوارزمية التالية:

للعثور على LCM لعدة أرقام، تحتاج إلى:

1. قم بتحليل هذه الأرقام إلى عوامل أولية
2. خذ التوسعة الأكبر، واكتب هذه الأرقام في صورة منتج
3. حدد في التوسعات الأخرى الأرقام التي لا تتكرر في التوسعة الأكبر (أو تتكرر فيها عدد أقل من المرات)، وأضفها إلى المنتج.
4. اضرب جميع الأرقام الموجودة في المنتج، وسيكون هذا هو المضاعف المشترك الأصغر.

على سبيل المثال، لنجد المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 28 و21:

ولكن العودة إلى الكسور لدينا. بعد أن نختار أو نحسب كتابيًا المضاعف المشترك الأصغر لكلا المقامين، يجب علينا ضرب بسط هذين الكسورين في مضاعفات إضافية. يمكنك العثور عليها عن طريق قسمة LCM على مقام الكسر المقابل، على سبيل المثال:

وهكذا، قمنا بتبسيط الكسور إلى مقام واحد - 15.

7 جمع وطرح الكسور

جمع وطرح الكسور التي لها نفس المقامات

لجمع الكسور التي لها نفس المقامات، عليك جمع بسطيها، وترك المقام كما هو، على سبيل المثال:

لطرح الكسور التي لها نفس المقامات، اطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، واترك المقام كما هو، على سبيل المثال:

جمع وطرح الكسور المختلطة ذات المقامات نفسها

لإضافة كسور مختلطة، يجب عليك جمع أجزائها بالكامل بشكل منفصل، ثم إضافة أجزائها الكسرية، وكتابة النتيجة ككسر مختلط:

إذا حصل عند جمع الأجزاء الكسرية على كسر غير حقيقي، نختار الجزء الصحيح منه ونضيفه إلى الجزء الصحيح، على سبيل المثال:

يتم إجراء الطرح بنفس الطريقة: يتم طرح الجزء الصحيح من العدد الصحيح، ويتم طرح الجزء الكسري من الجزء الكسري:

إذا كان الجزء الكسري من المطروح أكبر من الجزء الكسري من المطروح، فإننا "نأخذ" واحدًا من الجزء الصحيح، ونحول المطروح إلى كسر غير حقيقي، ثم نمضي كالمعتاد:

بصورة مماثلة طرح كسر من عدد صحيح:

كيفية جمع عدد صحيح وكسر

لجمع عدد صحيح وكسر، ما عليك سوى إضافة هذا الرقم قبل الكسر، وستحصل على كسر مختلط، على سبيل المثال:

اذا نحن أضف عددًا صحيحًا وكسرًا مختلطًا، نضيف هذا الرقم إلى الجزء الصحيح من الكسر، على سبيل المثال:

جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة.

من أجل جمع أو طرح الكسور ذات المقامات المختلفة، يجب عليك أولاً إحضارها إلى نفس المقام، ثم المضي قدمًا كما هو الحال عند إضافة الكسور ذات المقامات نفسها (إضافة البسط):

عند الطرح نتبع نفس الطريقة:

إذا عملنا مع كسور مختلطة، فإننا نختصر أجزائها الكسرية إلى نفس المقام ثم نطرح كالمعتاد: الجزء الكامل من الكل، والجزء الكسري من الجزء الكسري:

8 ضرب وقسمة الكسور.

يعد ضرب الكسور وقسمتها أسهل بكثير من الجمع والطرح لأنك لا تحتاج إلى جعلهما في نفس المقام. يتذكر قواعد بسيطةضرب وقسمة الكسور:

قبل ضرب الأرقام في البسط والمقام، من المستحسن تقليل الكسر، أي التخلص من نفس العوامل في البسط والمقام، كما في مثالنا.

لقسمة كسر على عدد طبيعي، تحتاج إلى ضرب المقام بهذا الرقم، وترك البسط دون تغيير:

على سبيل المثال:

قسمة الكسر على الكسر

لتقسيم كسر إلى آخر، عليك ضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه (المقلوب).ما هو هذا المقلوب؟

إذا قلبنا الكسر، أي بدلنا البسط والمقام، فسنحصل على المقلوب. حاصل ضرب الكسر ومقلوبه يعطي واحدًا. في الرياضيات، تسمى هذه الأرقام أرقامًا متبادلة:

على سبيل المثال، الأرقام هي معكوسة بشكل متبادل، منذ ذلك الحين

وهكذا نعود إلى تقسيم الكسر على الكسر:

لتقسيم كسر على آخر، عليك ضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه:

على سبيل المثال:

عند قسمة الكسور المختلطة، تمامًا كما هو الحال عند الضرب، يجب عليك أولًا تحويلها إلى كسور غير حقيقية:

عند ضرب وقسمة الكسور على الأعداد الصحيحة الأعداد الصحيحة ، يمكنك أيضًا تمثيل هذه الأرقام على هيئة كسور ذات مقام 1 .

وفي قسمة عدد صحيح على كسرتمثيل هذا الرقم ككسر مع مقام 1 :

جزءفي الرياضيات، رقم يتكون من جزء أو أكثر (كسور) من الوحدة. الكسور هي جزء من مجال الأعداد العقلانية. تنقسم الكسور إلى صيغتين حسب طريقة كتابتها: عادينوع و عدد عشري .

بسط الكسر- رقم يوضح عدد الأسهم المستحوذ عليها (موجود في أعلى الكسر - فوق السطر). مقام الكسر- رقم يوضح عدد الأجزاء التي تم تقسيم الوحدة إليها (موجود تحت الخط - في الجزء السفلي). وتنقسم بدورها إلى: صحيحو خطأ, مختلطو مركبترتبط ارتباطًا وثيقًا بوحدات القياس. 1 متر يحتوي على 100 سم، مما يعني أن 1 متر مقسم إلى 100 جزء متساوي. وبالتالي، 1 سم = 1/100 م (السنتيمتر الواحد يساوي جزء من مائة من المتر).

أو 3/5 (ثلاثة أخماس)، هنا 3 هو البسط، 5 هو المقام. إذا كان البسط أصغر من المقام، فإن الكسر أصغر من واحد ويسمى صحيح:

إذا كان البسط يساوي المقام، فإن الكسر يساوي واحدًا. إذا كان البسط أكبر من المقام، فإن الكسر أكبر من واحد. وفي كلتا الحالتين يسمى الكسر خطأ:

لعزل أكبر عدد صحيح موجود في كسر غير فعلي، عليك قسمة البسط على المقام. إذا تم إجراء القسمة بدون باقي، فإن الكسر غير الحقيقي المأخوذ يساوي حاصل القسمة:

إذا تم إجراء القسمة مع الباقي، فإن حاصل القسمة (غير الكامل) يعطي العدد الصحيح المطلوب، ويصبح الباقي هو بسط الجزء الكسري؛ يبقى مقام الجزء الكسري كما هو.

يسمى الرقم الذي يحتوي على عدد صحيح وجزء كسري مختلط. جزء رقم مختلطربما لا جزء الصحيح . ومن ثم يمكن استخراج أكبر عدد صحيح من الجزء الكسري وتمثيل العدد الكسري بحيث يصبح الجزء الكسري كسرًا حقيقيًا (أو يختفي تمامًا).

دراسة ملكة جميع العلوم - الرياضيات، في مرحلة ما يواجه الجميع الكسور. على الرغم من أن هذا المفهوم (مثل أنواع الكسور نفسها أو العمليات الرياضية معها) بسيط للغاية، إلا أنه يجب التعامل معه بعناية، لأنه في الحياه الحقيقيهخارج المدرسة سيكون مفيدًا جدًا. لذلك، دعونا نقوم بتحديث معرفتنا بالكسور: ما هي، وما هي أنواعها، وكيفية إجراء العمليات الحسابية المختلفة بها.

صاحبة الجلالة الكسر : ما هو

الكسور في الرياضيات هي أرقام، يتكون كل منها من جزء واحد أو أكثر من الوحدة. وتسمى هذه الكسور أيضًا عادية أو بسيطة. كقاعدة عامة، تتم كتابتهما كرقمين، مفصولين بشريط أفقي أو مائل، ويسمى "كسري". على سبيل المثال: ½، ¾.

الجزء العلوي أو الأول من هذه الأرقام هو البسط (يوضح عدد كسور الرقم المأخوذة)، والجزء السفلي أو الثاني هو المقام (يوضح عدد الأجزاء المقسمة إلى الوحدة).

يعمل الشريط الكسري في الواقع كعلامة قسمة. على سبيل المثال، 7:9=7/9

تقليديا، الكسور المشتركة هي أقل من واحد. في حين أن الكسور العشرية يمكن أن تكون أكبر منها.

ما هي الكسور ل؟ نعم، لكل شيء، لأنه في العالم الحقيقي، ليست كل الأرقام أعدادًا صحيحة. على سبيل المثال، اشترت تلميذتان في الكافتيريا قطعة شوكولاتة لذيذة معًا. عندما كانوا على وشك مشاركة الحلوى، التقوا بصديقة وقرروا معاملتها أيضًا. ومع ذلك، من الضروري الآن تقسيم لوح الشوكولاتة بشكل صحيح، نظرًا لأنه يتكون من 12 مربعًا.

في البداية، أرادت الفتيات مشاركة كل شيء بالتساوي، وبعد ذلك حصلت كل واحدة على أربع قطع. ولكن، بعد التفكير في الأمر، قررا أن يهديا صديقتهما، ليس 1/3، بل 1/4 من الشوكولاتة. وبما أن تلميذات المدارس لم يدرسوا الكسور بشكل جيد، فإنهم لم يأخذوا في الاعتبار أنه في مثل هذه الحالة، نتيجة لذلك، سيكون لديهم 9 قطع مقسمة بشكل سيء للغاية إلى قسمين. يوضح هذا المثال البسيط مدى أهمية أن تكون قادرًا على العثور على جزء من الرقم بشكل صحيح. ولكن في الحياة هناك العديد من هذه الحالات.

أنواع الكسور: العادية والعشرية

تنقسم جميع الكسور الرياضية إلى رقمين كبيرين: عادي وعشري. تم وصف ميزات الأول منها في الفقرة السابقة، لذا الآن يستحق الاهتمام بالثانية.

العلامة العشرية هي تدوين موضعي لكسر من رقم، يتم تثبيته في حرف مفصول بفاصلة، بدون شرطة أو شرطة مائلة. على سبيل المثال: 0.75، 0.5.

في الواقع، الكسر العشري مطابق للكسر العادي، ومع ذلك، يكون مقامه دائمًا واحدًا متبوعا بأصفار - ومن هنا اسمه.

الرقم الذي يسبق العلامة العشرية هو جزء صحيح، وكل شيء بعد العلامة العشرية هو جزء كسري. أي جزء بسيطيمكن تحويلها إلى عشري. لذلك، يمكن كتابة الكسور العشرية المشار إليها في المثال السابق ككسر عادي: ¾ و ½.

تجدر الإشارة إلى أن الكسور العشرية والعادية يمكن أن تكون موجبة وسالبة. إذا كانت مسبوقة بعلامة "-"، فإن هذا الكسر يكون سالبًا، إذا كانت "+" - فهو موجب.

أنواع فرعية من الكسور العادية

هناك مثل هذه الأنواع من الكسور البسيطة.

الأنواع الفرعية من الكسر العشري

على عكس الكسر العشري البسيط، يتم تقسيمه إلى نوعين فقط.

• نهائي - حصل على اسمه لأنه بعد العلامة العشرية يحتوي على عدد محدود (نهائي) من الأرقام: 19.25.
• الكسر اللانهائي هو رقم يحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام بعد العلامة العشرية. على سبيل المثال، عند قسمة 10 على 3، ستكون النتيجة كسرًا لا نهائيًا 3.333...

إضافة الكسور

يعد إجراء عمليات حسابية مختلفة باستخدام الكسور أصعب قليلاً من إجراء عمليات حسابية باستخدام الأرقام العادية. ومع ذلك، إذا تعلمت القواعد الأساسية، فلن يكون حل أي مثال معهم أمرًا صعبًا.

على سبيل المثال: 2/3+3/4. المضاعف المشترك الأصغر لهم هو 12، لذلك من الضروري أن يكون هذا الرقم في كل مقام. للقيام بذلك، نضرب البسط والمقام للكسر الأول في 4، اتضح 8/12، ونفعل الشيء نفسه مع المصطلح الثاني، ولكن نضرب فقط في 3 - 9/12. الآن يمكنك بسهولة حل المثال: 8/12+9/12= 17/12. الكسر الناتج هو قيمة غير صحيحة لأن البسط أكبر من المقام. يمكن ويجب تحويلها إلى الخليط الصحيح بقسمة 17:12 = 1 و5/12.

إذا تمت إضافة كسور مختلطة، يتم تنفيذ الإجراءات أولاً باستخدام الأعداد الصحيحة، ثم باستخدام الأعداد الكسرية.

إذا كان المثال يحتوي على كسر عشري وكسر عادي، فمن الضروري أن يصبح كلاهما بسيطا، ثم جلبهما إلى نفس المقام وإضافتهما. على سبيل المثال 3.1+1/2. يمكن كتابة الرقم 3.1 ككسر مختلط من 3 و1/10 أو ككسر غير صحيح - 31/10. سيكون القاسم المشترك للحدود هو 10، لذلك تحتاج إلى ضرب البسط والمقام 1/2 في 5 بدوره، اتضح 5/10. ومن ثم يمكنك حساب كل شيء بسهولة: 31/10+5/10=35/10. النتيجة التي تم الحصول عليها هي كسر غير صحيح قابل للتقلص، ونعيده إلى شكله الطبيعي، ونخفضه بمقدار 5: 7/2=3 و1/2، أو العلامة العشرية - 3.5.

عند إضافة رقمين عشريين، من المهم أن يكون هناك نفس عدد الأرقام بعد العلامة العشرية. إذا لم يكن هذا هو الحال، تحتاج فقط إلى إضافة المبلغ المطلوبالأصفار، لأنه في الكسور العشرية يمكن القيام بذلك دون ألم. على سبيل المثال، 3.5+3.005. لحل هذه المهمة، عليك إضافة صفرين إلى الرقم الأول ثم إضافة تباعًا: 3.500 + 3.005 = 3.505.

طرح الكسور

عند طرح الكسور، من المفيد أن تفعل نفس الشيء عند الإضافة: تقليل إلى القاسم المشترك، اطرح بسطًا واحدًا من الآخر، إذا لزم الأمر، قم بتحويل النتيجة إلى كسر مختلط.

على سبيل المثال: 16/20-5/10. سيكون المقام المشترك 20. تحتاج إلى إحضار الكسر الثاني إلى هذا المقام عن طريق ضرب كلا جزأيه في 2، وستحصل على 10/20. الآن يمكنك حل المثال: 16/20-10/20= 6/20. ومع ذلك، تنطبق هذه النتيجة على الكسور القابلة للاختزال، لذا يجدر قسمة كلا الجزأين على 2 وتكون النتيجة 3/10.

مضاعفة الكسور

إن قسمة الكسور وضربها هي عمليات أبسط بكثير من الجمع والطرح. والحقيقة هي أنه عند أداء هذه المهام، ليست هناك حاجة للبحث عن قاسم مشترك.

لضرب الكسور، كل ما عليك فعله هو ضرب البسطين معًا بالتناوب، ثم ضرب المقامين معًا. قم بتقليل النتيجة الناتجة إذا كان الكسر ذو قيمة مخفضة.

على سبيل المثال: 4/9x5/8. بعد الضرب المتبادل تكون النتيجة 4x5/9x8=20/72. يمكن تخفيض هذا الكسر بمقدار 4، وبالتالي فإن الإجابة النهائية في المثال هي 5/18.

كيفية تقسيم الكسور

إن قسمة الكسور هي أيضًا عملية بسيطة، لكنها في الواقع تتلخص في ضربها. لتقسيم كسر على آخر، عليك أن تقلب الثاني وتضربه في الأول.

على سبيل المثال، تقسيم الكسور 5/19 و 5/7. لحل المثال، عليك تبديل مقام وبسط الكسر الثاني والضرب: 5/19x7/5=35/95. يمكن تخفيض النتيجة بمقدار 5 - اتضح 7/19.

إذا كنت بحاجة إلى قسمة كسر على رقم أولي، فإن التقنية مختلفة قليلاً. في البداية، يجدر كتابة هذا العدد على شكل كسر غير فعلي، ثم القسمة عليه بنفس الطريقة. على سبيل المثال، يجب كتابة 2/13:5 بالشكل 2/13:5/1. أنت الآن بحاجة إلى قلب 5/1 وضرب الكسور الناتجة: 2/13x1/5= 2/65.

في بعض الأحيان يتعين عليك تقسيم الكسور المختلطة. تحتاج إلى التعامل معها كما هو الحال مع الأعداد الصحيحة: تحويلها إلى كسور غير حقيقية، وقلب المقسوم عليه وضرب كل شيء. على سبيل المثال، 8 ½: 3. تحويل كل شيء إلى كسور غير حقيقية: 17/2: 3/1. ويتبع ذلك قلب 3/1 والضرب: 17/2x1/3= 17/6. الآن يجب عليك ترجمة الكسر الخاطئ إلى الكسر الصحيح - عددان صحيحان و5/6.

لذلك، بعد أن فهمت ما هي الكسور وكيف يمكنك إجراء عمليات حسابية مختلفة معهم، عليك أن تحاول ألا تنسى ذلك. بعد كل شيء، يميل الناس دائمًا إلى تقسيم شيء ما إلى أجزاء بدلاً من إضافته، لذلك عليك أن تكون قادرًا على القيام بذلك بشكل صحيح.

تعتبر الأمثلة مع الكسور أحد العناصر الأساسية للرياضيات. هناك العديد من أنواع مختلفةالمعادلات مع الكسور. في الأسفل يكون تعليمات مفصلةمن خلال حل أمثلة من هذا النوع.

كيفية حل الأمثلة بالكسور - القواعد العامة

لحل أمثلة الكسور من أي نوع، سواء كان ذلك الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة، تحتاج إلى معرفة القواعد الأساسية:

• من أجل إضافة تعبيرات كسرية بنفس المقام (المقام هو الرقم الموجود في أسفل الكسر، والبسط في الأعلى)، تحتاج إلى إضافة بسطيها، وترك المقام كما هو.
• من أجل طرح تعبير كسري واحد من التعبير الثاني (بنفس المقام)، تحتاج إلى طرح البسطين، وترك المقام كما هو.
• من أجل جمع أو طرح المقادير الكسرية ذات المقامات المختلفة، عليك إيجاد أصغر مقام مشترك.
• من أجل العثور على المنتج الكسري، تحتاج إلى ضرب البسط والمقامات، مع تقليلها إن أمكن.
• لتقسيم كسر على كسر، عليك ضرب الكسر الأول في الثاني المعكوس.

كيفية حل الأمثلة مع الكسور - التدريب

القاعدة 1، المثال 1:

احسب 3/4 +1/4.

وفقًا للقاعدة 1، إذا كانت الكسور من اثنين (أو أكثر) لها نفس المقام، فأنت بحاجة فقط إلى إضافة بسطيها. نحصل على: 3/4 + 1/4 = 4/4. إذا كان للكسر نفس البسط والمقام، فسيكون الكسر 1.

الجواب: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

القاعدة 2، المثال 1:

احسب: 3/4 - 1/4

باستخدام القاعدة رقم 2، لحل هذه المعادلة، عليك طرح 1 من 3، وترك المقام كما هو. نحصل على 2/4. وبما أنه يمكن اختزال اثنين 2 و4، فإننا نختصر ونحصل على 1/2.

الإجابة: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.

القاعدة 3، المثال 1

احسب: 3/4 + 1/6

الحل: باستخدام القاعدة الثالثة، نجد المقام المشترك الأصغر. المقام المشترك الأصغر هو الرقم الذي يقبل القسمة على مقامات جميع التعبيرات الكسرية في المثال. وبالتالي، نحن بحاجة إلى إيجاد مثل هذا العدد الأدنى الذي سيكون قابلاً للقسمة على كل من 4 و 6. هذا الرقم هو 12. نكتب 12 كمقام، 12 مقسوم على مقام الكسر الأول، نحصل على 3، نضرب في 3، نكتب 3 في البسط *3 وعلامة +. نقسم 12 على مقام الكسر الثاني، ونحصل على 2، ونضرب 2 في 1، ونكتب 2 * 1 في البسط. إذن، حصلنا على كسر جديد مقامه 12 وبسطه 3*3+2*1=11. 11/12.

الجواب: 11/12

القاعدة 3، المثال 2:

احسب 3/4 - 1/6. هذا المثال مشابه جدًا للمثال السابق. نقوم بنفس الإجراءات، ولكن في البسط بدلاً من علامة +، نكتب علامة الطرح. نحصل على: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

الجواب: 7/12

القاعدة 4، المثال 1:

احسب: 3/4 * 1/4

باستخدام القاعدة الرابعة، نضرب مقام الكسر الأول في مقام الثاني، وبسط الكسر الأول في بسط الثاني. 3*1/4*4 = 3/16.

الجواب: 16/3

القاعدة 4، المثال 2:

احسب 2/5 * 10/4.

يمكن تقليل هذا الجزء. في حالة المنتج، يتم تقليل بسط الكسر الأول ومقام الثاني وبسط الكسر الثاني ومقام الأول.

تم تخفيض 2 من 4. تم تقليل 10 من 5. نحصل على 1 * 2/2 = 1 * 1 = 1.

الجواب: 2/5 * 10/4 = 1

القاعدة 5، المثال 1:

احسب: 3/4: 5/6

وباستخدام القاعدة الخامسة نحصل على: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. نقوم بتبسيط الكسر وفقًا لمبدأ المثال السابق ونحصل على 9/10.

الجواب: 9/10.

كيفية حل أمثلة الكسر - المعادلات الكسرية

المعادلات الكسرية هي أمثلة حيث يحتوي المقام على مجهول. من أجل حل هذه المعادلة، تحتاج إلى استخدام قواعد معينة.

خذ بعين الاعتبار مثالا:

حل المعادلة 15/3س+5 = 3

تذكر أنه لا يمكنك القسمة على صفر، أي. يجب ألا تكون قيمة المقام صفرًا. عند حل مثل هذه الأمثلة يجب الإشارة إلى ذلك. للقيام بذلك، هناك ODZ (نطاق القيم المقبولة).

إذن 3x+5 ≠ 0.
وبالتالي: 3x ≠ 5.
س ≠ 5/3

بالنسبة لـ x = 5/3، ببساطة ليس للمعادلة حل.

من خلال تحديد ODZ، في أفضل طريقة ممكنةحل هذه المعادلة سوف يتخلص من الكسور. للقيام بذلك، نقوم أولاً بتمثيل جميع القيم غير الكسرية على شكل كسر، وهو في هذه الحالة الرقم 3. نحصل على: 15/(3x+5) = 3/1. للتخلص من الكسور، تحتاج إلى ضرب كل منها في أصغر قاسم مشترك. في هذه الحالة سيكون (3x+5)*1. التسلسل:

1. اضرب 15/(3x+5) في (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. قم بفك الأقواس: 15*(3س+5) = 45س + 75.
3. نفعل الشيء نفسه مع الطرف الأيمن من المعادلة: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. مساواة الجانبين الأيسر والأيمن: 45س + 75 = 9س +15
5. حرك علامة x إلى اليسار، والأرقام إلى اليمين: 36x = -50
6. أوجد س: س = -50/36.
7. نقوم بالتقليل: -50/36 = -25/18

الجواب: ODZ x ≠ 5/3. س = -25/18.

كيفية حل الأمثلة بالكسور - المتباينات الكسرية

يتم حل المتباينات الكسرية من النوع (3x-5)/(2-x)≥0 باستخدام المحور العددي. النظر في هذا المثال.

التسلسل:

• مساواة البسط والمقام بالصفر: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-س=0 => س=2
• نرسم محورًا عدديًا، ونرسم عليه القيم الناتجة.
• ارسم دائرة تحت القيمة. الدائرة نوعان - مملوءة وفارغة. الدائرة المملوءة تعني ذلك قيمة معينةالمدرجة في مجموعة الحلول. تشير الدائرة الفارغة إلى أن هذه القيمة غير مدرجة في نطاق الحلول.
• بما أن المقام لا يمكن أن يكون صفرًا، فستكون هناك دائرة فارغة أسفل الثاني.

• لتحديد العلامات، نعوض في المعادلة بأي رقم أكبر من اثنين، على سبيل المثال 3. (3 * 3-5) / (2-3) \u003d -4. القيمة سالبة، لذلك نكتب علامة ناقص على المنطقة بعد التعادل. ثم نستبدل بأي قيمة في الفترة من 5/3 إلى 2 بدلاً من x، على سبيل المثال 1. وتكون القيمة سالبة مرة أخرى. نكتب ناقص. نكرر الأمر نفسه مع المساحة حتى 5/3. نعوض بأي رقم أقل من 5/3، على سبيل المثال 1. ناقص مرة أخرى.

• نظرًا لأننا مهتمون بقيم x، حيث يكون التعبير أكبر من أو يساوي 0، ولا توجد مثل هذه القيم (سلبيات في كل مكان)، فإن هذه المتباينة ليس لها حل، أي x = Ø (مجموعة فارغة).

الجواب: س = Ø

ويسمى جزء من الوحدة أو عدة أجزائها بالكسر البسيط أو العادي. ويسمى عدد الأجزاء المتساوية التي تنقسم إليها الوحدة بالمقام، ويسمى عدد الأجزاء المأخوذة بالبسط. يتم كتابة الكسر على النحو التالي:

في هذه الحالة، a هو البسط، b هو المقام.

إذا كان البسط أقل من المقام، فإن الكسر أصغر من 1 ويسمى كسرًا حقيقيًا. إذا كان البسط أكبر من المقام، وكان الكسر أكبر من 1، فإن الكسر يسمى كسرًا غير فعلي.

إذا كان بسط الكسر ومقامه متساويين، فإن الكسر متساوي.

1. إذا أمكن قسمة البسط على المقام، فإن هذا الكسر يساوي حاصل القسمة:

إذا تم إجراء القسمة بباقي، فيمكن تمثيل هذا الكسر غير الحقيقي برقم كسري، على سبيل المثال:

إذن 9 هو حاصل قسمة غير مكتمل (الجزء الصحيح من العدد المختلط)،
1 - الباقي (بسط الجزء الكسري)،
5 هو القاسم.

لتحويل رقم كسري إلى كسر، اضرب الجزء الصحيح من العدد الكسري بالمقام وأضف بسط الجزء الكسري.

ستكون النتيجة التي تم الحصول عليها هي بسط الكسر العادي، وسيظل المقام كما هو.

الإجراءات مع الكسور

توسيع الكسر.لا تتغير قيمة الكسر إذا ضرب بسطه ومقامه في نفس العدد غير الصفر.
على سبيل المثال:

تخفيض الكسر.لا تتغير قيمة الكسر إذا قسم بسطه ومقامه على نفس العدد غير الصفر.
على سبيل المثال:

مقارنة الكسر.من الكسرين اللذين لهما نفس البسط، الأكبر هو الذي له مقام أصغر:

من الكسرين اللذين لهما نفس المقام، يكون البسط الأكبر أكبر:

لمقارنة الكسور التي لها بسط ومقامات مختلفة، من الضروري توسيعها، أي إحضارها إلى قاسم مشترك. خذ على سبيل المثال الكسور التالية:

جمع وطرح الكسور.إذا كانت مقامات الكسور هي نفسها، فمن أجل جمع الكسور، من الضروري إضافة بسطها، ومن أجل طرح الكسور، من الضروري طرح بسطها. سيكون المجموع أو الفرق الناتج هو بسط النتيجة، بينما سيبقى المقام كما هو. إذا كانت مقامات الكسور مختلفة، فيجب عليك أولاً تقليل الكسور إلى مقام مشترك. عند إضافة أرقام كسرية، يتم إضافة أجزائها الصحيحة والكسرية بشكل منفصل. عند طرح الأعداد الكسرية، يجب عليك أولاً تحويلها إلى صورة كسور غير حقيقية، ثم الطرح من بعضها البعض، ثم إحضار النتيجة مرة أخرى، إذا لزم الأمر، إلى صورة رقم كسري.

مضاعفة الكسور. لضرب الكسور، تحتاج إلى ضرب البسط والمقامات بشكل منفصل وتقسيم الناتج الأول على الثاني.

تقسيم الكسور. لتقسيم رقم على كسر، عليك ضرب هذا الرقم في مقلوبه.

عدد عشريهو نتيجة قسمة واحد على عشرة، أو مائة، أو ألف، الخ. القطع. أولا، يتم كتابة الجزء الصحيح من الرقم، ثم يتم وضع العلامة العشرية على اليمين. الرقم الأول بعد العلامة العشرية يعني عدد الأعشار، والثاني - عدد المئات، والثالث - عدد الألف، وما إلى ذلك. تسمى الأرقام بعد العلامة العشرية بالمنازل العشرية.

على سبيل المثال:

خصائص العشرية

ملكيات:

• لا يتغير الكسر العشري إذا أضيفت أصفار إلى اليمين: 4.5 = 4.5000.
• لا يتغير الكسر العشري إذا تمت إزالة الأصفار الموجودة في نهاية الكسر العشري: 0.0560000 = 0.056.
• ويزداد العدد العشري عند 10، 100، 1000، وهكذا. مرات، إذا قمت بنقل العلامة العشرية إلى واحد، اثنان، ثلاثة، وما إلى ذلك. المواضع على اليمين: 4.5 45 (زاد الكسر 10 مرات).
• يتم تقليل العلامة العشرية بمقدار 10، 100، 1000، وما إلى ذلك. مرات، إذا قمت بنقل العلامة العشرية إلى واحد، اثنان، ثلاثة، وما إلى ذلك. المواضع على اليسار: 4.5 0.45 (انخفض الكسر 10 مرات).

يحتوي العدد العشري الدوري على مجموعة أرقام متكررة بلا حدود تسمى النقطة: 0.321321321321…=0,(321)

العمليات مع الأعداد العشرية

تتم عملية جمع وطرح الكسور العشرية بنفس طريقة جمع وطرح الأعداد الصحيحة، ما عليك سوى كتابة المنازل العشرية المقابلة واحدة تحت الأخرى.
على سبيل المثال:

يتم ضرب الكسور العشرية على عدة مراحل:

• نقوم بضرب الأعداد العشرية في أعداد صحيحة، دون مراعاة العلامة العشرية.
• تنطبق القاعدة: عدد المنازل العشرية في المنتج يساوي مجموع المنازل العشرية في جميع العوامل.

على سبيل المثال:

مجموع أعداد المنازل العشرية في العوامل هو: 2+1=3. أنت الآن بحاجة إلى حساب 3 أرقام من نهاية الرقم الناتج ووضع علامة عشرية: 0.675.

تقسيم الأعداد العشرية. قسمة عدد عشري على عدد صحيح: إذا كانت المقسومة أقل من المقسوم عليه، فأنت بحاجة إلى كتابة صفر في الجزء الصحيح من حاصل القسمة ووضع علامة عشرية بعدها. بعد ذلك، دون مراعاة العلامة العشرية للمقسوم، أضف الرقم التالي من الجزء الكسري إلى الجزء الصحيح الخاص به وقارن مرة أخرى الجزء الصحيح الناتج من المقسوم مع المقسوم عليه. إذا كان الرقم الجديد أقل من المقسوم عليه مرة أخرى، فيجب تكرار العملية. تتكرر هذه العملية حتى يصبح المقسوم الناتج أكبر من المقسوم عليه. بعد ذلك يتم إجراء القسمة كما هو الحال بالنسبة للأعداد الصحيحة. إذا كان المقسوم أكبر من أو يساوي المقسوم عليه، نقسم أولاً الجزء الصحيح منه، ونكتب نتيجة القسمة في خارج القسمة ونضع علامة عشرية. وبعد ذلك تستمر عملية القسمة كما في حالة الأعداد الصحيحة.

تقسيم كسر عشري إلى آخر: أولاً، يتم نقل النقاط العشرية في المقسوم والمقسوم عليه بعدد المنازل العشرية في المقسوم عليه، أي أننا نجعل المقسوم عليه عددًا صحيحًا، ويتم تنفيذ الإجراءات الموضحة أعلاه.

من أجل أن تتحول عدد عشريفي رقم عادي، من الضروري أن تأخذ الرقم بعد العلامة العشرية كبسط، وأن تأخذ قوة k للعشرة كمقام (k هو عدد المنازل العشرية). يتم الاحتفاظ بالجزء الصحيح غير الصفري في الكسر المشترك؛ تم حذف الجزء الصحيح الصفري.
على سبيل المثال:

لتحويل كسر عادي إلى عدد عشري، من الضروري قسمة البسط على المقام وفقًا لقواعد القسمة.

النسبة المئوية هي جزء من مائة من الوحدة، على سبيل المثال: 5% تعني 0.05. النسبة هي حاصل قسمة رقم على آخر. النسبة هي تساوي النسبتين.

على سبيل المثال:

الخاصية الرئيسية للنسبة: أن ناتج الأعضاء المتطرفين في النسبة يساوي منتج الأعضاء الوسطى، أي 5x30 = 6x25. تسمى الكميتان المعتمدتان على بعضهما البعض بالتناسب إذا ظلت نسبة الكميتين دون تغيير (معامل التناسب).

وهكذا يتم الكشف عن العمليات الحسابية التالية.
على سبيل المثال:

تتضمن مجموعة الأعداد النسبية أرقامًا موجبة وسالبة (كاملة وكسرية) وصفرًا. التعريف الأكثر دقة للأرقام العقلانية المعتمد في الرياضيات هو كما يلي: يُسمى الرقم عقلانيًا إذا كان من الممكن تمثيله ككسر عادي غير قابل للاختزال من النموذج: حيث a و b أعداد صحيحة.

لرقم سلبي قيمه مطلقه(المعامل) هو رقم موجب يتم الحصول عليه عن طريق تغيير إشارته من "-" إلى "+"؛ بالنسبة للرقم الموجب والصفر، الرقم نفسه. لتعيين معامل الرقم، يتم استخدام خطين مستقيمين، يكتب داخلهما هذا الرقم، على سبيل المثال: |–5|=5.

خصائص القيمة المطلقة

دع معامل الرقم يعطى ، والتي تكون الخصائص صالحة لها:

وحيدة الحد هي حاصل ضرب عاملين أو أكثر، كل واحد منهم إما رقم، أو حرف، أو قوة الحرف: 3 × أ × ب. غالبًا ما يُطلق على المعامل اسم العامل العددي فقط. يقال أن أحاديات الحد متشابهة إذا كانت متماثلة أو تختلف في المعاملات فقط. درجة أحادية الحد هي مجموع أسس جميع حروفها. إذا كان هناك تشابه بين مجموع الأحاديات، فيمكن تخفيض المبلغ إلى المزيد مرأى من الجميع: 3 × أ × ب + 6 × أ \u003d 3 × أ × (ب + 2). تسمى هذه العملية بإكراه المصطلحات المتشابهة أو الأقواس.

كثير الحدود هو مجموع جبريأحادية الحد. درجة كثيرة الحدود هي الأكبر بين درجات أحاديات الحد المتضمنة في كثيرة الحدود المحددة.

هناك الصيغ التالية للضرب المختصر:

طرق التخصيم:

الكسر الجبري هو تعبير عن الشكل، حيث يمكن أن يكون A وB رقمًا، أو أحادي الحد، أو كثير الحدود.

إذا تم ربط تعبيرين (رقمي وأبجدي) بالعلامة "="، فيقال إنهما يشكلان المساواة. أي مساواة حقيقية صالحة لجميع القيم العددية المسموح بها للأحرف المضمنة فيها تسمى هوية.

المعادلة هي مساواة حرفية صالحة لقيم معينة من الحروف المتضمنة فيها. تسمى هذه الحروف مجهولة (متغيرات)، وقيمها، التي تصبح عندها المعادلة المعطاة هوية، تسمى جذور المعادلة.

حل المعادلة يعني إيجاد جميع جذورها. يقال أن معادلتين أو أكثر متكافئتان إذا كان لهما نفس الجذور.

• وكان الصفر هو جذر المعادلة؛
• المعادلة لها عدد محدود من الجذور.

الأنواع الرئيسية للمعادلات الجبرية:

المعادلة الخطية لها الفأس + ب = 0:

• إذا كان x 0، هناك جذر واحد x = -b/a؛
• إذا كان أ = 0، ب ≠ 0، لا توجد جذور؛
• إذا كان a = 0، b = 0، فإن الجذر هو أي عدد حقيقي.

المعادلة xn = a,n N:

• إذا كان n رقمًا فرديًا، فإن جذره الحقيقي يساوي a/n لأي a؛
• إذا كان n رقمًا زوجيًا، ففي حالة 0، يكون له جذرين.

التحويلات المتطابقة الأساسية: استبدال تعبير بآخر مساو له بشكل مماثل؛ نقل شروط المعادلة من طرف إلى آخر بإشارات متضادة؛ ضرب أو قسمة طرفي المعادلة بنفس التعبير (الرقم) غير الصفر.

المعادلة الخطية ذات المجهول الواحد هي معادلة من الشكل: ax+b=0، حيث a وb أرقام معروفة، وx قيمة مجهولة.

أنظمة من اثنين المعادلات الخطيةمع اثنين من المجهولين لديهم النموذج:

حيث يتم إعطاء أرقام a، b، c، d، e، f؛ س، ص غير معروفة.

الأرقام أ، ب، ج، د - معاملات المجهول؛ ه، و - أعضاء أحرار. يمكن إيجاد حل هذا النظام من المعادلات بطريقتين رئيسيتين: طريقة الاستبدال: من معادلة واحدة نعبر عن أحد المجهولين من خلال المعاملات والمجهول الآخر، ثم نعوض به في المعادلة الثانية، فنحل المعادلة الأخيرة ، نوجد أولًا مجهولًا، ثم نعوض بالقيمة التي تم العثور عليها في المعادلة الأولى ونجد المجهول الثاني؛ طريقة جمع أو طرح معادلة من أخرى.

العمليات مع الجذور:

الجذر الحسابي الدرجة التاسعةالرقم غير السالب a يسمى رقم غير سالب، القوة نوهو يساوي أ. جبري جذر نالدرجة من رقم معين تسمى مجموعة كل الجذور من هذا الرقم.

الأعداد غير المنطقية، على عكس الأعداد النسبية، لا يمكن تمثيلها ككسر عادي غير قابل للاختزال من النموذج m/n، حيث m و n أعداد صحيحة. وهي أرقام من نوع جديد يمكن حسابها بأي دقة، لكن لا يمكن استبدالها رقم منطقي. وقد تظهر نتيجة للقياسات الهندسية، فمثلاً: نسبة طول قطر المربع إلى طول ضلعه متساوية.

المعادلة التربيعية هي معادلة جبرية من الدرجة الثانية ax2+bx+c=0، حيث a، b، c معطاة بمعاملات عددية أو أبجدية، x مجهول. إذا قسمنا جميع حدود هذه المعادلة على a، فسنحصل على x2+px+q=0 - المعادلة المخفضة p=b/a, q=c/a. تم العثور على جذورها بالصيغة:

إذا كان b2-4ac>0 فهناك جذرين مختلفين، b2-4ac=0 إذن هناك جذرين متساويين؛ معادلات b2-4ac تحتوي على وحدات

الأنواع الرئيسية للمعادلات التي تحتوي على وحدات:
1) |و(س)| = |ز(س)|;
2) |و(س)| = ز(س);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0، n N، حيث يتم إعطاء وظائف f(x)، g(x)، fk(x)، gk(x).