6.1 المفاهيم الأساسية والتعاريف

عند اتخاذ القرار المهام المختلفةغالبًا ما تفشل الرياضيات والفيزياء والبيولوجيا والطب في إقامة علاقة وظيفية على الفور في شكل صيغة تربط المتغيرات التي تصف العملية قيد الدراسة. عادة ، يتعين على المرء استخدام المعادلات التي تحتوي ، بالإضافة إلى المتغير المستقل والدالة غير المعروفة ، على مشتقاتها أيضًا.

تعريف.تسمى المعادلة المتعلقة بمتغير مستقل ، ووظيفة غير معروفة ، ومشتقاتها من أوامر مختلفة التفاضلي.

عادة ما يتم الإشارة إلى الوظيفة غير المعروفة ص (س)أو ببساطة ذومشتقاته ذ ", ذ "إلخ.

الرموز الأخرى ممكنة أيضًا ، على سبيل المثال: if ذ= x (t) ، إذن x "(t) ، x" "(t)هي مشتقاتها ، و رهو متغير مستقل.

تعريف.إذا كانت الوظيفة تعتمد على متغير واحد ، فإن المعادلة التفاضلية تسمى عادية. الشكل العام المعادلة التفاضلية العادية:

أو

المهام Fو Fقد لا تحتوي على بعض الحجج ، ولكن لكي تكون المعادلات تفاضلية ، فإن وجود المشتق ضروري.

تعريف.ترتيب المعادلة التفاضليةهو ترتيب المشتق الأعلى المتضمن فيه.

على سبيل المثال، × 2 ص "- ذ= 0 ، y "+ الخطيئة x= 0 هي معادلات من الدرجة الأولى ، و ذ "+ 2 ذ "+ 5 ذ= xهي معادلة من الدرجة الثانية.

عند حل المعادلات التفاضلية ، يتم استخدام عملية التكامل ، والتي ترتبط بظهور ثابت اعتباطي. إذا تم تطبيق إجراء التكامل نمرات ، إذن ، من الواضح أن الحل سيحتوي نثوابت اعتباطية.

6.2 معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى

الشكل العام معادلة تفاضلية من الدرجة الأولىيتم تعريفه من خلال التعبير

قد لا تحتوي المعادلة صراحة xو ذولكنه يحتوي بالضرورة على y ".

إذا كان من الممكن كتابة المعادلة كـ

ثم نحصل على معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى تم حلها فيما يتعلق بالمشتق.

تعريف.الحل العام للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى (6.3) (أو (6.4)) هو مجموعة الحلول ، أين معثابت تعسفي.

يسمى الرسم البياني لحل المعادلة التفاضلية منحنى متكامل.

إعطاء ثابت اعتباطي معقيم مختلفة ، فمن الممكن الحصول على حلول معينة. على السطح xOyالحل العام عبارة عن مجموعة من المنحنيات المتكاملة المقابلة لكل حل معين.

إذا قمت بتعيين نقطة أ (س 0 ، ص 0) ،والتي من خلالها يجب أن يمر المنحنى المتكامل ، كقاعدة عامة ، من مجموعة الوظائف يمكن تمييزها - حل معين.

تعريف.قرار خاصالمعادلة التفاضلية هو حلها الذي لا يحتوي على ثوابت عشوائية.

لو هو حل عام ، ثم من الشرط

يمكنك العثور على ملف مع.الشرط يسمى الشرط الأولي.

مشكلة إيجاد حل معين لمعادلة تفاضلية (6.3) أو (6.4) يحقق الشرط الأولي في مُسَمًّى مشكلة كوشي.هل هذه المشكلة دائما لها حل؟ الجواب موجود في النظرية التالية.

نظرية كوشي(نظرية الوجود وتفرد الحل). دعونا في المعادلة التفاضلية ذ "= و (س ، ص)وظيفة و (س ، ص)وهي

اشتقاق جزئي محددة ومستمرة في بعض

المناطق د،تحتوي على نقطة ثم في المنطقة دموجود

القرار الوحيدالمعادلة التي تفي بالشرط الأولي في

تنص نظرية كوشي على أنه في ظل ظروف معينة يوجد منحنى متكامل فريد ذ= و (خ) ،يمر عبر نقطة النقاط التي لا يتم فيها استيفاء شروط النظرية

تسمى القطط خاص.فواصل عند هذه النقاط F(س ، ص) أو.

إما أن تمر عدة منحنيات متكاملة عبر نقطة مفردة ، أو لا شيء.

تعريف.إذا كان الحل (6.3) ، (6.4) موجودًا في النموذج F(س ، ص ، ج)= 0 غير مسموح به فيما يتعلق بـ y ، ثم يتم استدعاؤه التكامل المشتركالمعادلة التفاضلية.

تضمن نظرية كوشي فقط وجود حل. نظرًا لعدم وجود طريقة واحدة لإيجاد حل ، سننظر فقط في بعض أنواع المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى القابلة للتكامل في مربعات.

تعريف.تسمى المعادلة التفاضلية تكامل في التربيعات ،إذا تم تقليل البحث عن حلها إلى تكامل الوظائف.

6.2.1. المعادلات التفاضليةالترتيب الأول مع المتغيرات القابلة للفصل

تعريف.تسمى المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى معادلة بـ المتغيرات القابلة للفصل ،

الجانب الأيمن من المعادلة (6.5) هو نتاج وظيفتين ، كل منهما تعتمد على متغير واحد فقط.

على سبيل المثال ، المعادلة هي معادلة مع فصل

تمرير المتغيرات
والمعادلة

لا يمكن تمثيلها في النموذج (6.5).

بشرط ، نعيد كتابة (6.5) كـ

من هذه المعادلة نحصل على معادلة تفاضلية بمتغيرات منفصلة ، حيث تحتوي الفروق على وظائف تعتمد فقط على المتغير المقابل:

دمج مصطلح تلو الآخر ، لدينا

حيث C = C 2 - C 1 ثابت اعتباطي. التعبير (6.6) هو التكامل العام للمعادلة (6.5).

بقسمة كلا الجزأين من المعادلة (6.5) على ، يمكننا أن نفقد تلك الحلول التي ، في الواقع ، إذا في

الذي - التي من الواضح أن حل المعادلة (6.5).

مثال 1أوجد حلاً للمعادلة مرضيًا

حالة: ذ= 6 في x= 2 (ذ(2) = 6).

حل.دعنا نستبدل في"لذلك . اضرب كلا الطرفين في

dx ،لأنه في مزيد من التكامل من المستحيل المغادرة dxفي المقام:

ثم قسمة كلا الجزأين على نحصل على المعادلة

التي يمكن دمجها. ندمج:

ثم ؛ بالتعزيز ، نحصل على y = C. (x + 1) - ob-

حل.

بناءً على البيانات الأولية ، نحدد ثابتًا تعسفيًا عن طريق استبدالها في الحل العام

أخيرا نحصل ذ= 2 (x + 1) حل خاص. ضع في اعتبارك بعض الأمثلة الأخرى لحل المعادلات باستخدام متغيرات قابلة للفصل.

مثال 2ابحث عن حل للمعادلة

حل.بشرط ، نحن نحصل .

بدمج كلا الجزأين من المعادلة ، لدينا

أين

مثال 3ابحث عن حل للمعادلة حل.نقسم كلا الجزأين من المعادلة على تلك العوامل التي تعتمد على متغير لا يتطابق مع المتغير تحت العلامة التفاضلية ، أي بواسطة ودمج. ثم نحصل

وأخيرا

مثال 4ابحث عن حل للمعادلة

حل.معرفة ما سنحصل عليه. قسم-

متغيرات ليم. ثم

التكامل ، نحصل عليه

تعليق.في الأمثلة 1 و 2 ، الوظيفة المطلوبة ذصراحة (حل عام). في الأمثلة 3 و 4 - ضمنيًا (تكامل عام). في المستقبل ، لن يتم تحديد شكل القرار.

مثال 5ابحث عن حل للمعادلة حل.

مثال 6ابحث عن حل للمعادلة مرضيه

حالة ص (هـ)= 1.

حل.نكتب المعادلة في الصورة

ضرب طرفي المعادلة في dxوهكذا نحصل

تكامل طرفي المعادلة (يتم أخذ التكامل على الجانب الأيمن بالأجزاء) ، نحصل عليها

لكن بشرط ذ= 1 في x= ه. ثم

استبدل القيم التي تم العثور عليها معفي حل عام:

يسمى التعبير الناتج حلاً معينًا للمعادلة التفاضلية.

6.2.2. المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الأولى

تعريف.يتم استدعاء المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى متجانسإذا كان يمكن تمثيله على أنه

نقدم خوارزمية لحل معادلة متجانسة.

1. بدلا من ذلك ذإدخال وظيفة جديدة ثم وبالتالي

2. من حيث الوظيفة شتأخذ المعادلة (6.7) الشكل

أي أن الاستبدال يقلل من المعادلة المتجانسة إلى معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل.

3. لحل المعادلة (6.8) ، نجد أولاً u ، ثم بعد ذلك ذ= ux.

مثال 1حل المعادلة حل.نكتب المعادلة في الصورة

نجعل الاستبدال:
ثم

دعنا نستبدل

اضرب ب dx: اقسم على xو على ثم

دمج كلا الجزأين من المعادلة فيما يتعلق بالمتغيرات المقابلة ، لدينا

أو بالعودة إلى المتغيرات القديمة ، نحصل عليها أخيرًا

مثال 2حل المعادلة حل.يترك ثم

اقسم طرفي المعادلة على x2: لنفتح الأقواس ونعيد ترتيب المصطلحات:

بالانتقال إلى المتغيرات القديمة ، نصل إلى النتيجة النهائية:

مثال 3ابحث عن حل للمعادلة بشرط

حل.إجراء بديل قياسي نحن نحصل

أو

أو

إذن الحل المعين له الشكل مثال 4ابحث عن حل للمعادلة

حل.

مثال 5ابحث عن حل للمعادلة حل.

عمل مستقل

ابحث عن حل للمعادلات التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة (1-9).

إيجاد حل للمعادلات التفاضلية المتجانسة (9-18).

6.2.3. بعض تطبيقات المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

مشكلة الاضمحلال الإشعاعي

يتناسب معدل اضمحلال Ra (الراديوم) في كل لحظة من الوقت مع كتلته المتاحة. ابحث عن قانون الاضمحلال الإشعاعي لرع إذا كان معروفًا أنه في اللحظة الأولى كان هناك رع ونصف عمر رع هو 1590 عامًا.

حل.دعونا في هذه اللحظة تكون الكتلة رع x= س (ر)ز و ثم معدل اضمحلال رع هو

حسب المهمة

أين ك

نحصل على فصل المتغيرات في المعادلة الأخيرة والتكامل

أين

لتحديد جنستخدم الشرط الأولي: .

ثم وبالتالي ،

عامل التناسب كتحديد من حالة إضافية:

لدينا

من هنا والصيغة المطلوبة

مشكلة معدل تكاثر البكتيريا

معدل تكاثر البكتيريا يتناسب مع عددها. في اللحظة الأولى كان هناك 100 بكتيريا. في غضون 3 ساعات تضاعف عددهم. ابحث عن اعتماد عدد البكتيريا في الوقت المناسب. كم مرة سيزداد عدد البكتيريا في غضون 9 ساعات؟

حل.يترك x- عدد البكتيريا في الوقت الحالي ر.ثم حسب الشرط

أين ك- معامل التناسب.

من هنا ومن المعروف من الشرط أن . وسائل،

من الشرط الإضافي . ثم

الوظيفة المطلوبة:

لذلك ، في ر= 9 x= 800 أي خلال 9 ساعات زاد عدد البكتيريا 8 مرات.

مهمة زيادة كمية الانزيم

في استزراع خميرة البيرة ، يتناسب معدل نمو الإنزيم النشط مع الكمية الأولية. x.الكمية الأولية للإنزيم أتضاعف في غضون ساعة. ابحث عن التبعية

س (ر).

حل.حسب الشرط ، فإن المعادلة التفاضلية للعملية لها الشكل

من هنا

لكن . وسائل، ج= أوثم

ومن المعروف أيضا أن

لذلك،

6.3 معادلات تفاضلية من الدرجة الثانية

6.3.1. مفاهيم أساسية

تعريف.معادلة تفاضلية من الدرجة الثانيةتسمى العلاقة التي تربط المتغير المستقل والوظيفة المرغوبة ومشتقاتها الأولى والثانية.

في حالات خاصة ، قد تكون x غائبة في المعادلة ، فيأو y ". ومع ذلك ، يجب أن تحتوي معادلة الدرجة الثانية بالضرورة على y". في الحالة العامة ، تتم كتابة المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية على النحو التالي:

أو ، إن أمكن ، بالشكل المسموح به للمشتق الثاني:

كما في حالة معادلة الدرجة الأولى ، يمكن أن يكون لمعادلة الدرجة الثانية حل عام وحل خاص. يبدو الحل العام كما يلي:

إيجاد حل خاص

في ظل الظروف الأولية - معطى

رقم) مشكلة كوشي.هندسيًا ، هذا يعني أنه مطلوب إيجاد منحنى متكامل في= ص (س) ،عابر طريق نقطة معينةوله ظل عند هذه النقطة ، وهو حوالي

شوكات مع اتجاه المحور الموجب ثورزاوية معينة. ه. (الشكل 6.1). مشكلة كوشي لها حل فريد إذا كان الجانب الأيمن من المعادلة (6.10) ، غير جاهز

متقطع وله مشتقات جزئية مستمرة فيما يتعلق بـ أنت ، أنت "في بعض الأحياء من نقطة البداية

لإيجاد ثابت المدرجة في حل معين ، فمن الضروري السماح للنظام

أرز. 6.1منحنى متكامل

المعادلة التفاضلية العادية تسمى معادلة تربط متغيرًا مستقلاً ، وهي دالة غير معروفة لهذا المتغير ومشتقاته (أو تفاضلاته) من أوامر مختلفة.

ترتيب المعادلة التفاضلية هو ترتيب المشتق الأعلى الموجود فيه.

بالإضافة إلى المعادلات العادية ، يتم أيضًا دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية. هذه معادلات تتعلق بالمتغيرات المستقلة ، وهي دالة غير معروفة لهذه المتغيرات ومشتقاتها الجزئية فيما يتعلق بنفس المتغيرات. لكننا سننظر فقط المعادلات التفاضلية العادية وبالتالي فإننا نحذف كلمة "عادية" للإيجاز.

أمثلة على المعادلات التفاضلية:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

المعادلة (1) من الدرجة الرابعة ، والمعادلة (2) من الدرجة الثالثة ، والمعادلتان (3) و (4) من الدرجة الثانية ، والمعادلة (5) من الدرجة الأولى.

المعادلة التفاضلية نلا يجب أن يحتوي النظام بشكل صريح على دالة ، كل مشتقاتها من الأول إلى نالترتيب العاشر ومتغير مستقل. قد لا تحتوي بشكل صريح على مشتقات لبعض الأوامر أو دالة أو متغير مستقل.

على سبيل المثال ، في المعادلة (1) من الواضح أنه لا توجد مشتقات من الرتبتين الثالثة والثانية ، وكذلك الوظائف ؛ في المعادلة (2) - مشتق ودالة من الدرجة الثانية ؛ في المعادلة (4) - متغير مستقل ؛ في المعادلة (5) - دوال. تحتوي المعادلة (3) فقط صراحةً على جميع المشتقات والدالة والمتغير المستقل.

بحل المعادلة التفاضلية أي وظيفة تسمى ص = و (س)، مع استبدال أي في المعادلة ، يتحول إلى متطابقة.

تسمى عملية إيجاد حل للمعادلة التفاضلية اندماج.

مثال 1أوجد حلاً للمعادلة التفاضلية.

حل. نكتب هذه المعادلة في الصورة. الحل هو إيجاد الدالة بمشتقتها. الوظيفة الأصلية ، كما هو معروف من حساب التفاضل والتكامل ، هي المشتق العكسي لـ ، أي

هذا ما هو عليه حل المعادلة التفاضلية المعطاة . تغيير فيه ج، سوف نتلقى حلول مختلفة. اكتشفنا أن هناك عددًا لا حصر له من الحلول لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى.

الحل العام للمعادلة التفاضلية نالترتيب هو الحل المعبر عنه صراحةً فيما يتعلق بالوظيفة غير المعروفة والاحتواء نثوابت اعتباطية مستقلة ، أي

حل المعادلة التفاضلية في المثال 1 عام.

الحل الجزئي للمعادلة التفاضلية يسمى حلها ، حيث يتم تعيين قيم عددية محددة إلى ثوابت عشوائية.

مثال 2أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية والحل الخاص لها .

حل. نقوم بدمج كلا الجزأين من المعادلة بعدد المرات التي يكون فيها ترتيب المعادلة التفاضلية متساويًا.

,

.

نتيجة لذلك ، حصلنا على الحل العام -

بالنظر إلى المعادلة التفاضلية من الدرجة الثالثة.

لنجد الآن حلًا معينًا في ظل الظروف المحددة. للقيام بذلك ، نستبدل قيمها بدلاً من المعاملات العشوائية ونحصل عليها

.

إذا تم ، بالإضافة إلى المعادلة التفاضلية ، إعطاء الشرط الأولي في النموذج ، عندئذٍ تسمى هذه المشكلة مشكلة كوشي . تم العثور على القيم واستبدالها في الحل العام للمعادلة وقيمة الثابت التعسفي ج، ثم حل معين لمعادلة القيمة التي تم العثور عليها ج. هذا هو الحل لمشكلة كوشي.

مثال 3حل مسألة كوشي للمعادلة التفاضلية من المثال 1 تحت الشرط.

حل. نعوض في الحل العام بالقيم من الشرط الأولي ذ = 3, x= 1. نحصل

نكتب حل مسألة كوشي للمعادلة التفاضلية المعطاة من الرتبة الأولى:

يتطلب حل المعادلات التفاضلية ، حتى أبسطها ، مهارات جيدة في دمج المشتقات وأخذها ، بما في ذلك الدوال المعقدة. يمكن ملاحظة ذلك في المثال التالي.

مثال 4أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية.

حل. تمت كتابة المعادلة في مثل هذا الشكل بحيث يمكن دمج كلا الجانبين على الفور.

.

نطبق طريقة التكامل عن طريق تغيير المتغير (الاستبدال). دعنا إذن.

مطلوب لاتخاذ dxوالآن - انتباه - نقوم بذلك وفقًا لقواعد تمايز دالة معقدة ، منذ ذلك الحين xوهناك وظيفة معقدة ("تفاح" - مستخلص الجذر التربيعيأو ، وهو نفسه ، رفع إلى قوة "ثانية واحدة" ، و "اللحم المفروم" هو التعبير ذاته تحت الجذر):

نجد التكامل:

العودة إلى المتغير x، نحن نحصل:

.

هذا هو الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.

لن تكون المهارات من الأقسام السابقة للرياضيات العليا مطلوبة فقط في حل المعادلات التفاضلية ، ولكن أيضًا المهارات من المرحلة الابتدائية ، أي الرياضيات المدرسية. كما ذكرنا سابقًا ، في معادلة تفاضلية لأي ترتيب قد لا يكون هناك متغير مستقل ، أي متغير x. ستساعد المعرفة بالنسب التي لم يتم نسيانها (ومع ذلك ، أي شخص لديه مثل ذلك) من مقعد المدرسة على حل هذه المشكلة. هذا هو المثال التالي.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. أمثلة الحل.
المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة

المعادلات التفاضلية (DE). هاتان الكلمتان عادة ما ترعبان الشخص العادي العادي. يبدو أن المعادلات التفاضلية أمر شائن ويصعب إتقانه للعديد من الطلاب. Uuuuuu… المعادلات التفاضلية كيف يمكنني النجاة من كل هذا ؟!

مثل هذا الرأي ومثل هذا الموقف هو خطأ جوهري ، لأنه في الواقع المعادلات التفاضلية بسيطة وممتعة حتى. ما الذي تحتاج إلى معرفته والقدرة على تعلم حل المعادلات التفاضلية؟ لدراسة الاختلافات بنجاح ، يجب أن تكون جيدًا في الدمج والتمييز. كلما تمت دراسة المواضيع بشكل أفضل مشتق دالة لمتغير واحدو تكامل غير محدد، سيكون من الأسهل فهم المعادلات التفاضلية. سأقول أكثر من ذلك ، إذا كانت لديك مهارات تكامل أكثر أو أقل ، فسيتم إتقان الموضوع عمليًا! المزيد من التكاملات أنواع مختلفةأنت تعرف كيف تقرر - كان ذلك أفضل. لماذا؟ عليك أن تندمج كثيرًا. وتفرق. أيضًا موصى بة بشدةتعلم أن تجد.

في 95٪ من الحالات في مراقبة العملهناك 3 أنواع من المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى: معادلات قابلة للفصل، والتي سنغطيها في هذا الدرس ؛ معادلات متجانسةو معادلات خطية غير متجانسة. بالنسبة للمبتدئين لدراسة الناشرين ، أنصحك بقراءة الدروس في هذا التسلسل ، وبعد دراسة أول مقالتين ، لن يضرك تعزيز مهاراتك في ورشة عمل إضافية - المعادلات التي تختزل إلى متجانسة.

هناك أنواع نادرة من المعادلات التفاضلية: المعادلات في مجموع الفروق ، معادلات برنولي ، وبعض المعادلات الأخرى. من النوعين الأخيرين ، الأهم هي المعادلات في مجموع التفاضلات ، لأنه بالإضافة إلى DE ، أعتبر مواد جديدة – تكامل جزئي.

إذا لم يتبق لديك سوى يوم أو يومين، الذي - التي لتحضير فائق السرعةهنالك دورة مداهماتبتنسيق pdf.

لذلك ، تم تعيين المعالم - دعنا نذهب:

دعونا أولاً نتذكر المعادلات الجبرية المعتادة. تحتوي على متغيرات وأرقام. أبسط مثال:. ماذا يعني حل معادلة عادية؟ هذا يعني أن تجد مجموعة من الأرقامالتي ترضي هذه المعادلة. من السهل ملاحظة أن معادلة الأبناء لها جذر واحد:. من أجل المتعة ، دعنا نجري فحصًا ، استبدل الجذر الموجود في معادلتنا:

- يتم الحصول على المساواة الصحيحة ، مما يعني أن الحل موجود بشكل صحيح.

يتم ترتيب النشرات بنفس الطريقة إلى حد كبير!

المعادلة التفاضلية الطلب الأولعلى العموم يتضمن:
1) متغير مستقل ؛
2) المتغير التابع (الوظيفة) ؛
3) المشتق الأول للدالة:.

في بعض المعادلات من الترتيب الأول ، قد لا يكون هناك "x" أو (و) "y" ، لكن هذا ليس ضروريًا - مهمبحيث في DU كانالمشتق الأول و لم يكن لديمشتقات الطلبات الأعلى - إلخ.

ماذا يعني ؟لحل المعادلة التفاضلية يعني إيجاد مجموعة من جميع الوظائفالتي ترضي هذه المعادلة. غالبًا ما يكون لمثل هذه المجموعة من الوظائف الشكل (ثابت تعسفي) ، والذي يسمى الحل العام للمعادلة التفاضلية.

مثال 1

حل المعادلة التفاضلية

ذخيرة كاملة. من أين نبدأ حل?

أولًا ، عليك إعادة كتابة المشتق بصيغة مختلفة قليلًا. نتذكر التدوين المرهق ، الذي ربما اعتقد الكثير منكم أنه سخيف وغير ضروري. هذا هو الذي يحكم الناشرون!

في الخطوة الثانية ، دعنا نرى ما إذا كان ذلك ممكنًا متغيرات الانقسام؟ماذا يعني فصل المتغيرات؟ تحدث تقريبا، على الجانب الأيسرنحن بحاجة للمغادرة فقط "ألعاب"، أ على الجانب الأيمنتنظم س فقط. يتم فصل المتغيرات بمساعدة التلاعب في "المدرسة": الأقواس ، ونقل المصطلحات من جزء إلى آخر مع تغيير علامة ، ونقل العوامل من جزء إلى جزء وفقًا لقاعدة التناسب ، إلخ.

الفوارق كاملة المضاعفات والمشاركين النشطين في الأعمال العدائية. في هذا المثال ، يمكن فصل المتغيرات بسهولة عن طريق التقليب العوامل وفقًا لقاعدة التناسب:

يتم فصل المتغيرات. على الجانب الأيسر - فقط "لعبة" ، على الجانب الأيمن - فقط "X".

المرحلة القادمة - تكامل المعادلة التفاضلية. الأمر بسيط ، فنحن نعلق التكاملات على كلا الجزأين:

بالطبع ، يجب أخذ التكاملات. في هذه الحالة ، تكون جدولة:

كما نتذكر ، يتم تخصيص ثابت لأي مشتق عكسي. يوجد تكاملان هنا ، لكن يكفي كتابة الثابت مرة واحدة (لأن الثابت + ثابت لا يزال مساويًا لثابت آخر). في معظم الحالات ، يتم وضعه على الجانب الأيمن.

بالمعنى الدقيق للكلمة ، بعد أخذ التكاملات ، تعتبر المعادلة التفاضلية قد تم حلها. الشيء الوحيد هو أن "y" الخاص بنا لا يتم التعبير عنه من خلال "x" ، أي أن الحل مقدم في الضمنياستمارة. يسمى الحل الضمني للمعادلة التفاضلية التكامل العام للمعادلة التفاضلية. هذا هو ، هو التكامل العام.

الإجابة في هذا النموذج مقبولة تمامًا ، لكن هل هناك خيار أفضل؟ دعنا نحاول الحصول عليها قرار مشترك.

لو سمحت، تذكر التقنية الأولى، فهو شائع جدًا وغالبًا ما يستخدم في ملفات مهام عملية: إذا ظهر لوغاريتم على الجانب الأيمن بعد التكامل ، فمن المستحسن أيضًا في كثير من الحالات (ولكن ليس دائمًا بأي حال من الأحوال!) كتابة الثابت تحت اللوغاريتم.

إنه، بدلاً منعادة ما يتم كتابة السجلات .

لماذا هذا مطلوب؟ ولتسهيل التعبير عن "y". نستخدم خاصية اللوغاريتمات . في هذه الحالة:

يمكن الآن إزالة اللوغاريتمات والوحدات النمطية:

يتم تقديم الوظيفة بشكل صريح. هذا هو الحل العام.

إجابة: قرار مشترك: .

من السهل التحقق من إجابات العديد من المعادلات التفاضلية. في حالتنا ، يتم ذلك بكل بساطة ، نأخذ الحل الذي تم العثور عليه ونفرقه:

ثم نستبدل المشتق بالمعادلة الأصلية:

- يتم الحصول على المساواة الصحيحة ، مما يعني أن الحل العام يفي بالمعادلة التي كان مطلوبًا التحقق منها.

بإعطاء قيم مختلفة ثابتة ، يمكنك الحصول على عدد لا نهائي من قرارات خاصةالمعادلة التفاضلية. من الواضح أن أيًا من الوظائف ، وما إلى ذلك. يفي بالمعادلة التفاضلية.

في بعض الأحيان يسمى الحل العام عائلة الوظائف. في هذا المثالقرار مشترك هي عائلة من الدوال الخطية ، أو بالأحرى عائلة من النسب المباشرة.

بعد مناقشة تفصيلية للمثال الأول ، من المناسب الإجابة على بعض الأسئلة الساذجة حول المعادلات التفاضلية:

1)في هذا المثال ، تمكنا من فصل المتغيرات. هل من الممكن دائما أن تفعل هذا؟لا، ليس دائما. وحتى في كثير من الأحيان لا يمكن فصل المتغيرات. على سبيل المثال ، في معادلات متجانسة من الدرجة الأولىيجب استبداله أولا. في أنواع أخرى من المعادلات ، على سبيل المثال ، في معادلة خطية غير متجانسة من الدرجة الأولى ، يجب على المرء استخدام الحيل المختلفةوطرق إيجاد حل عام. المعادلات المتغيرة القابلة للفصل التي نأخذها في الاعتبار في الدرس الأول هي أبسط نوع من المعادلات التفاضلية.

2) هل من الممكن دائمًا تكامل معادلة تفاضلية؟لا، ليس دائما. من السهل جدًا التوصل إلى معادلة "خيالية" لا يمكن دمجها ، بالإضافة إلى وجود تكاملات لا يمكن أخذها. لكن يمكن حل مثل هذه العناصر تقريبًا باستخدام طرق خاصة. يضمن D'Alembert و Cauchy ... ... آه ، متردد.لقد قرأت كثيرًا الآن ، لقد أضفت تقريبًا "من العالم الآخر".

3) في هذا المثال ، حصلنا على حل في شكل تكامل عام . هل من الممكن دائمًا إيجاد حل عام من التكامل العام ، أي التعبير عن "y" بشكل صريح؟لا، ليس دائما. على سبيل المثال: . حسنًا كيف يمكنني التعبير عن "y" هنا ؟! في مثل هذه الحالات ، يجب كتابة الإجابة كجزء متكامل عام. بالإضافة إلى ذلك ، في بعض الأحيان يمكن العثور على حل عام ، ولكن يتم كتابته بشكل مرهق وغير متقن لدرجة أنه من الأفضل ترك الإجابة في شكل تكامل عام

4) ... ربما يكفي الآن. في المثال الأول ، التقينا واحدة أخرى نقطة مهمة ولكن لكي لا أغطي "الدمى" بسيل من المعلومات الجديدة ، سأترك الأمر حتى الدرس التالي.

دعونا لا نسرع. جهاز تحكم عن بعد بسيط آخر وحل نموذجي آخر:

مثال 2

ابحث عن حل معين للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي

حل: حسب الحالة المراد إيجادها قرار خاص DE الذي يفي بشرط أولي معين. يسمى هذا النوع من الاستجواب أيضًا مشكلة كوشي.

أولاً ، نجد حلاً عامًا. لا يوجد متغير "x" في المعادلة ، لكن هذا لا ينبغي أن يكون محرجًا ، الشيء الرئيسي هو أنه يحتوي على المشتق الأول.

نعيد كتابة المشتق في الشكل المطلوب:

من الواضح أنه يمكن تقسيم المتغيرات ، الأولاد على اليسار ، البنات على اليمين:

ندمج المعادلة:

يتم الحصول على التكامل العام. لقد رسمت هنا ثابتًا بنجمة مميزة ، والحقيقة هي أنه سيتحول قريبًا إلى ثابت آخر.

نحاول الآن تحويل التكامل العام إلى حل عام (عبر عن "y" صراحة). نتذكر المدرسة القديمة الجيدة: . في هذه الحالة:

لا يبدو الثابت في المؤشر بطريقة ما كوشير ، لذلك عادةً ما يتم إنزاله من السماء إلى الأرض. بالتفصيل ، يحدث مثل هذا. باستخدام خاصية الدرجات ، نعيد كتابة الدالة على النحو التالي:

إذا كان ثابتًا ، فهو ثابت أيضًا ، فقم بإعادة تصميمه بالحرف:

تذكر أن "هدم" ثابت هو التقنية الثانية، والذي يستخدم غالبًا في سياق حل المعادلات التفاضلية.

لذا فإن الحل العام هو: هذه عائلة لطيفة من الوظائف الأسية.

في المرحلة النهائية ، تحتاج إلى إيجاد حل معين يلبي الشرط الأولي المحدد. إنه بسيط أيضًا.

ما هي المهمة؟ بحاجة لالتقاط هذهقيمة الثابت للوفاء بالشرط.

يمكنك ترتيبها بطرق مختلفة ، ولكن ربما يكون الأمر الأكثر قابلية للفهم على هذا النحو. في الحل العام ، بدلاً من "x" ، نعوض بصفر ، وبدلاً من "y" ، نعوض اثنين:



إنه،

إصدار التصميم القياسي:

الآن نعوض بالقيمة التي تم العثور عليها للثابت في الحل العام:
- هذا هو الحل المحدد الذي نحتاجه.

إجابة: private solution:

لنقم بفحص. يتضمن التحقق من حل معين مرحلتين:

أولاً ، من الضروري التحقق مما إذا كان الحل المعين الذي تم العثور عليه يلبي بالفعل الشرط الأولي؟ بدلاً من "x" نستبدل الصفر ونرى ما سيحدث:
- نعم ، في الواقع ، تم الحصول على شيطان ، مما يعني أن الشرط الأولي مستوفى.

المرحلة الثانية مألوفة بالفعل. نأخذ الحل المعين الناتج ونجد المشتق:

استبدل في المعادلة الأصلية:

- الحصول على المساواة الصحيحة.

الخلاصة: تم العثور على حل معين بشكل صحيح.

دعنا ننتقل إلى أمثلة أكثر أهمية.

مثال 3

حل المعادلة التفاضلية

حل:نعيد كتابة المشتق بالشكل الذي نحتاجه:

تقييم ما إذا كان يمكن فصل المتغيرات؟ يستطيع. ننقل المصطلح الثاني إلى الجانب الأيمن مع تغيير العلامة:

ونقلب العوامل حسب قاعدة التناسب:

تم فصل المتغيرات ، دعنا ندمج كلا الجزأين:

يجب أن أحذرك ، يوم القيامة قادم. إذا لم تكن قد تعلمت جيدًا تكاملات غير محددة، تم حل بعض الأمثلة ، فلا يوجد مكان تذهب إليه - عليك إتقانها الآن.

يسهل العثور على تكامل الجانب الأيسر ، مع تكامل ظل التمام نتعامل مع التقنية القياسية التي أخذناها في الاعتبار في الدرس تكامل التوابع المثلثيةالعام الماضي:

على الجانب الأيمن ، لدينا لوغاريتم ، ووفقًا لتوصيتي الفنية الأولى ، يجب أيضًا كتابة الثابت تحت اللوغاريتم.

الآن نحاول تبسيط التكامل العام. نظرًا لأن لدينا لوغاريتمات فقط ، فمن الممكن (والضروري) التخلص منها. باستخدام الخصائص المعروفةأقصى حد "حزمة" اللوغاريتمات. سأكتب بتفصيل كبير:

العبوة كاملة لتكون ممزقة بوحشية:

هل من الممكن التعبير عن "y"؟ يستطيع. كلا الجزأين يجب تربيعهما.

لكن ليس عليك ذلك.

النصيحة التقنية الثالثة:إذا كنت تريد الحصول على حل عام ، فأنت بحاجة إلى الارتقاء إلى قوة أو أن تتجذر ، إذن في معظم الحالاتيجب أن تمتنع عن هذه الإجراءات وتترك الإجابة في شكل تكامل عام. الحقيقة هي أن الحل العام سيبدو سيئًا - بجذور كبيرة وعلامات ونفايات أخرى.

لذلك ، نكتب الإجابة كتكامل عام. لهجة جيدةيُنظر إليه على أنه يمثله في الشكل ، أي على الجانب الأيمن ، إذا أمكن ، اترك فقط ثابتًا. ليس من الضروري القيام بذلك ، لكن من المفيد دائمًا إرضاء الأستاذ ؛-)

إجابة:التكامل العام:

! ملحوظة: يمكن كتابة التكامل العام لأي معادلة بأكثر من طريقة. وبالتالي ، إذا لم تتطابق نتيجتك مع إجابة معروفة مسبقًا ، فهذا لا يعني أنك حللت المعادلة بشكل غير صحيح.

يتم أيضًا التحقق من التكامل العام بسهولة تامة ، والشيء الرئيسي هو أن تكون قادرًا على العثور عليه مشتق من وظيفة محددة ضمنيًا. لنفرق الجواب:

نضرب كلا المصطلحين في:

ونقسم على:

تم الحصول على المعادلة التفاضلية الأصلية بالضبط ، مما يعني أنه تم إيجاد التكامل العام بشكل صحيح.

مثال 4

ابحث عن حل معين للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي. قم بإجراء فحص.

هذا مثال على حل مستقل.

أذكرك أن الخوارزمية تتكون من مرحلتين:
1) إيجاد حل عام ؛
2) إيجاد الحل المعين المطلوب.

يتم إجراء الفحص أيضًا على خطوتين (انظر العينة في المثال رقم 2) ، تحتاج إلى:
1) تأكد من أن الحل المعين الذي تم العثور عليه يلبي الشرط الأولي ؛
2) تحقق من أن حلًا معينًا يفي بالمعادلة التفاضلية بشكل عام.

الحل الكاملوالجواب في نهاية الدرس.

مثال 5

ابحث عن حل معين لمعادلة تفاضلية ، واستيفاء الشرط الأولي. قم بإجراء فحص.

حل:أولاً ، لنجد حلًا عامًا ، تحتوي هذه المعادلة بالفعل على متفاضلات جاهزة ، مما يعني أن الحل مبسط. فصل المتغيرات:

ندمج المعادلة:

التكامل على اليسار جدولي ، والتكامل على اليمين مأخوذ طريقة جمع الدالة تحت علامة التفاضل:

تم الحصول على التكامل العام ، هل من الممكن التعبير عن الحل العام بنجاح؟ يستطيع. نحن نعلق اللوغاريتمات على كلا الجانبين. نظرًا لأنها إيجابية ، فإن علامات modulo زائدة عن الحاجة:

(أتمنى أن يفهم الجميع التحول ، يجب أن تكون هذه الأشياء معروفة بالفعل)

لذا فإن الحل العام هو:

لنجد حلاً معينًا يتوافق مع الشرط الأولي المحدد.
في الحل العام ، بدلاً من "x" ، نعوض بصفر ، وبدلاً من "y" ، لوغاريتم اثنين:

تصميم مألوف أكثر:

نعوض بالقيمة التي تم إيجادها للثابت في الحل العام.

إجابة:حل خاص:

تحقق: أولاً ، تحقق مما إذا تم استيفاء الشرط الأولي:
- كل شيء بخير.

دعنا الآن نتحقق مما إذا كان الحل المعين الذي تم العثور عليه يفي بالمعادلة التفاضلية على الإطلاق. نجد المشتق:

لنلقِ نظرة على المعادلة الأصلية: - يتم تقديمه في تفاضلات. هناك طريقتان للتحقق. من الممكن التعبير عن التفاضل من المشتق الموجود:

نعوض بالحل المعين الموجود والمشتق الناتج في المعادلة الأصلية :

نستخدم الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

يتم الحصول على المساواة الصحيحة ، مما يعني أن الحل المحدد موجود بشكل صحيح.

الطريقة الثانية للتدقيق معكوسة ومألوفة أكثر: من المعادلة عبر عن المشتق ، لذلك نقسم كل القطع على:

وفي DE المحول نستبدل الحل المعين الذي تم الحصول عليه والمشتق الموجود. نتيجة للتبسيط ، يجب أيضًا الحصول على المساواة الصحيحة.

مثال 6

حل المعادلة التفاضلية. عبر عن الإجابة باعتبارها جزءًا لا يتجزأ من عامة.

هذا مثال على الحل الذاتي والحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ما هي الصعوبات التي تنتظر حل المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة؟

1) ليس من الواضح دائمًا (خاصةً إبريق الشاي) أنه يمكن فصل المتغيرات. يعتبر مثال شرطي:. هنا تحتاج إلى إخراج العوامل من الأقواس: وفصل الجذور:. كيفية المضي قدمًا واضحة.

2) صعوبات في الاندماج نفسه. غالبًا ما تنشأ التكاملات ليست أبسطها ، وإذا كانت هناك عيوب في مهارات البحث تكامل غير محدد، عندها سيكون الأمر صعبًا مع العديد من الموزعات. بالإضافة إلى ذلك ، فإن جامعي المجموعات والكتيبات مشهورون بالمنطق "نظرًا لأن المعادلة التفاضلية بسيطة ، فإن التكاملات على الأقل ستكون أكثر تعقيدًا."

3) التحولات ذات ثابت. كما لاحظ الجميع ، يمكن التعامل مع ثابت في المعادلات التفاضلية بحرية تامة ، وبعض التحولات لا تكون دائمًا واضحة للمبتدئين. لنلقِ نظرة على مثال افتراضي آخر: . في ذلك ، يُنصح بضرب جميع المصطلحات في 2: . الثابت الناتج هو أيضًا نوع من الثابت ، والذي يمكن الإشارة إليه من خلال: . نعم ، وبما أن هناك لوغاريتمًا في الجانب الأيمن ، فمن المستحسن إعادة كتابة الثابت باعتباره ثابتًا آخر: .

تكمن المشكلة في أنهم غالبًا لا يهتمون بالمؤشرات ويستخدمون نفس الحرف. ونتيجة لذلك ، يتخذ سجل القرار النموذج التالي:

ما بدعة؟ ها هي الأخطاء! بالمعنى الدقيق للكلمة ، نعم. ومع ذلك ، من وجهة نظر موضوعية ، لا توجد أخطاء ، لأنه نتيجة لتحويل ثابت متغير ، لا يزال يتم الحصول على ثابت متغير.

أو مثال آخر ، افترض أنه أثناء حل المعادلة ، يتم الحصول على تكامل عام. تبدو هذه الإجابة قبيحة ، لذا يُنصح بتغيير إشارة كل مصطلح: . رسميًا ، هناك خطأ مرة أخرى - على اليمين ، يجب كتابته. ولكن من المفهوم ضمنيًا بشكل غير رسمي أن "ناقص" لا يزال ثابتًا ( والتي تأخذ أيضًا أي قيم!)لذا فإن وضع علامة "ناقص" لا معنى له ويمكنك استخدام نفس الحرف.

سأحاول تجنب أسلوب الإهمال ، مع الاستمرار في وضع فهارس مختلفة للثوابت عند تحويلها.

مثال 7

حل المعادلة التفاضلية. قم بإجراء فحص.

حل:تسمح هذه المعادلة بفصل المتغيرات. فصل المتغيرات:

ندمج:

لا يجب تعريف الثابت هنا تحت اللوغاريتم ، لأنه لن يأتي منه أي خير.

إجابة:التكامل العام:

تحقق: ميّز الإجابة (وظيفة ضمنية):

نتخلص من الكسور ، لذلك نضرب كلا الحدين في:

تم الحصول على المعادلة التفاضلية الأصلية ، مما يعني أنه تم إيجاد التكامل العام بشكل صحيح.

المثال 8

ابحث عن حل خاص لـ DE.
,

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". التلميح الوحيد هو أنك هنا تحصل على تكامل عام ، والأصح أنك تحتاج إلى التدبر حتى لا تجد حلاً معينًا ، ولكن تكامل خاص. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

أولا المعادلات التفاضلية العادية

1.1 المفاهيم والتعاريف الأساسية

المعادلة التفاضلية هي معادلة تتعلق بمتغير مستقل x، الوظيفة المطلوبة ذومشتقاتها أو فروقها.

رمزياً ، تكتب المعادلة التفاضلية على النحو التالي:

F (x، y، y ") = 0، F (x، y، y") = 0، F (x، y، y "، y"، ..، y (n)) = 0

تسمى المعادلة التفاضلية عادية إذا كانت الوظيفة المرغوبة تعتمد على متغير مستقل واحد.

بحل المعادلة التفاضليةتسمى هذه الوظيفة التي تحول هذه المعادلة إلى متطابقة.

ترتيب المعادلة التفاضليةهو ترتيب المشتق الأعلى في هذه المعادلة

أمثلة.

1. النظر في المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى

حل هذه المعادلة هو الدالة y = 5 ln x. في الواقع ، عن طريق الاستبدال ذ "في المعادلة ، نحصل على - هوية.

وهذا يعني أن الدالة y = 5 ln x– هي حل هذه المعادلة التفاضلية.

2. النظر في المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية ص "- 5 سنوات" + 6 س = 0. الوظيفة هي حل هذه المعادلة.

حقًا، .

بالتعويض عن هذه التعبيرات في المعادلة ، نحصل على: ، - الهوية.

وهذا يعني أن الدالة هي حل هذه المعادلة التفاضلية.

تكامل المعادلات التفاضليةهي عملية إيجاد حلول للمعادلات التفاضلية.

الحل العام للمعادلة التفاضليةتسمى وظيفة النموذج ، والذي يتضمن العديد من الثوابت التعسفية المستقلة مثل ترتيب المعادلة.

الحل الجزئي للمعادلة التفاضليةيسمى الحل الذي تم الحصول عليه من الحل العام لقيم عددية مختلفة من الثوابت التعسفية. تم العثور على قيم الثوابت التعسفية في بعض القيم الأولية للحجة والوظيفة.

يسمى الرسم البياني لحل معين لمعادلة تفاضلية منحنى متكامل.

أمثلة

1. أوجد حلاً معينًا لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى

xdx + ydy = 0، لو ذ= 4 في x = 3.

حل. نحصل على تكامل طرفي المعادلة

تعليق. يمكن تمثيل الثابت التعسفي C الذي تم الحصول عليه نتيجة التكامل بأي شكل مناسب لمزيد من التحولات. في هذه الحالة ، مع مراعاة المعادلة الأساسية للدائرة ، من الملائم تمثيل ثابت تعسفي С في النموذج.

هو الحل العام للمعادلة التفاضلية.

حل معين لمعادلة تفي بالشروط الأولية ذ = 4 في x = 3 تم إيجادها من العام بتعويض الشروط الأولية في الحل العام: 3 2 + 4 2 = C 2؛ ج = 5.

بالتعويض عن C = 5 في الحل العام ، نحصل على x2 + y2 = 5 2 .

هذا حل خاص للمعادلة التفاضلية التي تم الحصول عليها من الحل العام في ظل ظروف أولية معينة.

2. أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية

حل هذه المعادلة هو أي دالة في النموذج ، حيث C ثابت اعتباطي. في الواقع ، بالتعويض في المعادلات ، نحصل على:،.

لذلك ، تحتوي هذه المعادلة التفاضلية على عدد لا حصر له من الحلول ، لأنه بالنسبة للقيم المختلفة للثابت C ، تحدد المساواة حلولًا مختلفة للمعادلة.

على سبيل المثال ، عن طريق الاستبدال المباشر ، يمكن للمرء التحقق من أن الوظائف هي حلول المعادلة.

مشكلة تتطلب إيجاد حل معين للمعادلة ص "= و (س ، ص)استيفاء الشرط الأولي ص (س 0) = ص 0، تسمى مشكلة كوشي.

حل المعادلة ص "= و (س ، ص)، تلبية الشرط الأولي ، ص (س 0) = ص 0، يسمى حل مشكلة كوشي.

حل مشكلة كوشي له معنى هندسي بسيط. في الواقع ، وفقًا لهذه التعريفات ، من أجل حل مشكلة كوشي ص "= و (س ، ص)بشرط ص (س 0) = ص 0، يعني إيجاد المنحنى المتكامل للمعادلة ص "= و (س ، ص)الذي يمر عبر نقطة معينة M0 (x0.2),ص 0).

ثانيًا. المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

2.1. مفاهيم أساسية

المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هي معادلة النموذج F (س ، ص ، ص ") = 0.

تتضمن المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى المشتق الأول ولا تتضمن مشتقات من الدرجة الأولى.

المعادلة ص "= و (س ، ص)تسمى معادلة من الدرجة الأولى يتم حلها فيما يتعلق بالمشتق.

الحل العام لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى هو دالة في النموذج ، والتي تحتوي على ثابت تعسفي واحد.

مثال.اعتبر معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى.

حل هذه المعادلة هو الوظيفة.

في الواقع ، نستبدل هذه المعادلة بقيمتها ، نحصل عليها

إنه 3 س = 3 س

لذلك ، فإن الوظيفة هي حل عام للمعادلة لأي ثابت C.

ابحث عن حل معين لهذه المعادلة يلبي الشرط الأولي ص (1) = 1استبدال الشروط الأولية س = 1 ، ص = 1في الحل العام للمعادلة ، نحصل من أين ج = 0.

وبالتالي ، نحصل على حل معين من الحل العام عن طريق استبدال القيمة الناتجة في هذه المعادلة ج = 0هو قرار خاص.

2.2. المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة

المعادلة التفاضلية ذات المتغيرات القابلة للفصل هي معادلة بالشكل: y "= f (x) g (y)أو من خلال الفروق ، أين و (خ)و ز (ص)يتم إعطاء وظائف.

لأولئك ذالتي ، المعادلة y "= f (x) g (y)يعادل المعادلة فيه المتغير ذيوجد فقط في الجانب الأيسر ، والمتغير x موجود فقط في الجانب الأيمن. يقولون ، "في المعادلة y "= f (x) g (yفصل المتغيرات.

اكتب المعادلة يسمى معادلة متغيرة منفصلة.

بعد دمج جزئي المعادلة بواسطة x، نحن نحصل G (y) = F (x) + Cهو الحل العام للمعادلة ، أين ز (ذ)و و (س)هي بعض المشتقات العكسية ، على التوالي ، للوظائف و و (خ), جثابت تعسفي.

خوارزمية لحل معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى بمتغيرات قابلة للفصل

مثال 1

حل المعادلة ص "= س ص

حل. مشتق من وظيفة ذ "استبدل ب

نفصل المتغيرات

دعنا ندمج كلا الجزأين من المساواة:

مثال 2

2yy "= 1-3 × 2، لو ص 0 = 3في × 0 = 1

هذه معادلة متغيرة منفصلة. دعنا نمثلها في التفاضلات. للقيام بذلك ، نعيد كتابة هذه المعادلة بالصيغة من هنا

دمج كلا الجزأين من المساواة الأخيرة ، نجد

استبدال القيم الأولية س 0 = 1 ، ص 0 = 3يجد مع 9=1-1+ج، أي. ج = 9.

لذلك ، سيكون التكامل الجزئي المطلوب أو

مثال 3

اكتب معادلة لمنحنى يمر بنقطة م (2 ؛ -3)وله ظل مع منحدر

حل. حسب الحالة

هذه معادلة متغيرة قابلة للفصل. بقسمة المتغيرات ، نحصل على:

بدمج كلا الجزأين من المعادلة ، نحصل على:

باستخدام الشروط الأولية ، س = 2و ص = -3يجد ج:

لذلك ، فإن المعادلة المرغوبة لها الشكل

2.3 المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى

المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى هي معادلة للصيغة y "= f (x) y + g (x)

أين و (خ)و ز (س)- بعض الوظائف المعطاة.

لو ز (س) = 0ثم تسمى المعادلة التفاضلية الخطية متجانسة ولها الشكل: y "= f (x) y

إذا ثم المعادلة y "= f (x) y + g (x)يسمى غير متجانسة.

الحل العام لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة y "= f (x) yتعطى بالصيغة: أين معثابت تعسفي.

على وجه الخصوص ، إذا ج \ u003d 0 ،ثم الحل ص = 0إذا كانت المعادلة الخطية المتجانسة لها الشكل y "= kyأين كهو نوع من ثابت ، ثم الحل العام له الشكل:.

حل عام لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة y "= f (x) y + g (x)من خلال الصيغة ,

أولئك. يساوي مجموع الحل العام للمعادلة الخطية المتجانسة المقابلة والحل الخاص لهذه المعادلة.

للحصول على معادلة خطية غير متجانسة للشكل y "= kx + b,

أين كو ب- ستكون بعض الأرقام وحل معين دالة ثابتة. لذلك ، الحل العام له الشكل.

مثال. حل المعادلة ص "+ 2 س +3 = 0

حل. نحن نمثل المعادلة في الصورة ص "= -2 ص - 3أين ك = -2 ، ب = -3يتم إعطاء الحل العام من خلال الصيغة.

لذلك ، حيث C ثابت اعتباطي.

2.4 حل المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى بطريقة برنولي

إيجاد حل عام لمعادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى y "= f (x) y + g (x)يقلل إلى حل معادلتين تفاضليتين بمتغيرات منفصلة باستخدام التعويض ص = الأشعة فوق البنفسجية، أين شو الخامس- وظائف غير معروفة من x. تسمى طريقة الحل طريقة برنولي.

خوارزمية لحل معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى

y "= f (x) y + g (x)

1. أدخل بديلاً ص = الأشعة فوق البنفسجية.

2. التفريق بين هذه المساواة y "= u" v + uv "

3. البديل ذو ذ "في هذه المعادلة: u "v + uv" =f (x) uv + g (x)أو u "v + uv" + f (x) uv = g (x).

4. تجميع شروط المعادلة بحيث شأخرجه من الأقواس:

5. من القوس ، معادلته بالصفر ، أوجد الدالة

هذه معادلة قابلة للفصل:

اقسم المتغيرات واحصل على:

أين . .

6. استبدل القيمة المستلمة الخامسفي المعادلة (من البند 4):

والعثور على الوظيفة هذه معادلة قابلة للفصل:

7. اكتب الحل العام بالصيغة: ، أي. .

مثال 1

ابحث عن حل معين للمعادلة ص "= -2 ص +3 = 0لو ص = 1في س = 0

حل. لنحلها بالتعويض ص = الأشعة فوق البنفسجية ،.y "= u" v + uv "

أستعاض ذو ذ "في هذه المعادلة ، نحصل على

بتجميع الحدين الثاني والثالث في الجانب الأيسر من المعادلة ، نخرج العامل المشترك ش من بين قوسين

نحن نساوي التعبير الموجود بين قوسين بالصفر ، وبعد حل المعادلة الناتجة ، نجد الدالة الخامس = ت (س)

حصلنا على معادلة بمتغيرات منفصلة. ندمج كلا الجزأين في هذه المعادلة: أوجد الوظيفة الخامس:

استبدل القيمة الناتجة الخامسفي المعادلة نحصل على:

هذه معادلة متغيرة منفصلة. ندمج كلا الجزأين من المعادلة: لنجد الدالة ش = ش (س ، ج) لنجد حلاً عامًا: دعونا نجد حلا خاصا للمعادلة التي تلبي الشروط الأولية ص = 1في س = 0:

ثالثا. المعادلات التفاضلية ذات الرتبة الأعلى

3.1. المفاهيم والتعاريف الأساسية

المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية هي معادلة تحتوي على مشتقات ليست أعلى من الدرجة الثانية. في الحالة العامة ، تتم كتابة المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية على النحو التالي: F (س ، ص ، ص "، ص") = 0

الحل العام لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية هو دالة في النموذج ، والتي تتضمن ثابتين تعسفيتين C1و C2.

حل معين لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية هو حل يتم الحصول عليه من الحل العام لبعض قيم الثوابت التعسفية C1و C2.

3.2 المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية مع نسب ثابتة.

معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتةيسمى معادلة النموذج y "+ py" + qy = 0، أين صو فهي قيم ثابتة.

خوارزمية لحل المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة

1. اكتب المعادلة التفاضلية بالصيغة: y "+ py" + qy = 0.

2. تجميع معادلتها المميزة ، للدلالة ذ "خلال r2, ذ "خلال ص, ذفي 1: r2 + العلاقات العامة + ف = 0

ال آلة حاسبة على الانترنتيسمح لك بحل المعادلات التفاضلية عبر الإنترنت. يكفي إدخال المعادلة في الحقل المناسب ، مع الإشارة إلى "مشتق الوظيفة" بعلامة اقتباس أحادية والنقر فوق الزر "حل المعادلة". وسيعطي النظام المطبق على أساس موقع WolframAlpha الشهير شرحًا تفصيليًا حل المعادلة التفاضليةبحرية مطلقة. يمكنك أيضًا ضبط مشكلة Cauchy بحيث يتم ذلك من المجموعة بأكملها الحلول الممكنةاختر حاصل قسمة يتوافق مع الشروط الأولية المحددة. يتم إدخال مشكلة كوشي في حقل منفصل.

المعادلة التفاضلية

بشكل افتراضي ، في المعادلة ، الوظيفة ذهي دالة لمتغير x. ومع ذلك ، يمكنك تعيين تدوين المتغير الخاص بك ، إذا كتبت ، على سبيل المثال ، y (t) في معادلة ، فسوف تتعرف الآلة الحاسبة تلقائيًا على ذلك ذهي دالة لمتغير ر. مع الآلة الحاسبة يمكنك ذلك حل المعادلات التفاضليةمن أي تعقيد ونوع: متجانسة وغير متجانسة ، خطية أو غير خطية ، الرتبة الأولى أو الثانية والأعلى ، المعادلات ذات المتغيرات القابلة للفصل أو غير القابلة للفصل ، إلخ. فرق الحل. يتم إعطاء المعادلة في شكل تحليلي ، لديها وصف مفصل. المعادلات التفاضلية شائعة جدًا في الفيزياء والرياضيات. بدون حساباتهم ، من المستحيل حل العديد من المشكلات (خاصة في الفيزياء الرياضية).

تتمثل إحدى خطوات حل المعادلات التفاضلية في تكامل الوظائف. هناك طرق قياسية لحل المعادلات التفاضلية. من الضروري إحضار المعادلات إلى النموذج مع المتغيرات القابلة للفصل y و x ودمج الوظائف المنفصلة بشكل منفصل. للقيام بذلك ، تحتاج في بعض الأحيان إلى إجراء بديل معين.