حدود الرياضيات للدمى: الشرح ، النظرية ، أمثلة الحلول. تحديد نهاية التسلسل

تعطي الحدود الكثير من المتاعب لجميع طلاب الرياضيات. لحل هذا الحد ، يتعين عليك أحيانًا استخدام الكثير من الحيل والاختيار من بين مجموعة متنوعة من الحلول الحل المناسب تمامًا لمثال معين.

في هذا المقال ، لن نساعدك على فهم حدود قدراتك أو فهم حدود التحكم ، لكننا سنحاول الإجابة على السؤال: كيف تفهم الحدود في الرياضيات العليا؟ يأتي الفهم مع الخبرة ، لذلك في نفس الوقت سنقدم بعض الأمثلة التفصيلية لحل الحدود مع التفسيرات.

مفهوم الحد في الرياضيات

السؤال الأول: ما هو حد وماذا؟ يمكننا التحدث عن حدود المتتاليات والوظائف العددية. نحن مهتمون بمفهوم حد الوظيفة ، نظرًا لأن الطلاب غالبًا ما يواجهون معهم. لكن أولاً ، الأكثر تعريف عامحد:

لنفترض أن هناك متغيرًا ما. إذا اقتربت هذه القيمة في عملية التغيير إلى أجل غير مسمى عدد معين أ ، الذي - التي أ هو حد هذه القيمة.

لوظيفة محددة في بعض الفترات و (س) = ص الحد هو الرقم أ ، والتي تميل الوظيفة عندها X تميل إلى نقطة معينة أ . نقطة أ ينتمي إلى الفترة الزمنية التي يتم فيها تعريف الوظيفة.

يبدو الأمر مرهقًا ، لكنه مكتوب بكل بساطة:

ليم- من الانجليزية حد- حد.

يوجد أيضًا تفسير هندسي لتعريف الحد ، لكننا هنا لن ندخل في النظرية ، لأننا مهتمون بالجانب العملي أكثر من الجانب النظري للقضية. عندما نقول ذلك X يميل إلى بعض القيمة ، وهذا يعني أن المتغير لا يأخذ قيمة رقم ، ولكنه يقترب منه بشكل لا نهائي.

لنجلب مثال محدد. التحدي هو إيجاد الحد.

لحل هذا المثال ، نعوض بالقيمة س = 3 في وظيفة. نحن نحصل:

بالمناسبة ، إذا كنت مهتمًا ، فاقرأ مقالة منفصلة حول هذا الموضوع.

في الأمثلة X يمكن أن تميل إلى أي قيمة. يمكن أن يكون أي رقم أو ما لا نهاية. هنا مثال عندما X يميل إلى اللانهاية:

من الواضح أن رقم أكثرفي المقام ، كلما كانت القيمة أصغر ستأخذها الدالة. لذلك ، مع نمو غير محدود X معنى 1 / س سوف تنخفض وتقترب من الصفر.

كما ترى ، من أجل حل الحد ، تحتاج فقط إلى استبدال القيمة التي تسعى جاهدًا من أجلها في الدالة X . ومع ذلك ، هذه أبسط حالة. غالبًا ما يكون العثور على الحد غير واضح. ضمن حدود هناك شكوك من النوع 0/0 أو اللانهاية / اللانهاية . ماذا تفعل في مثل هذه الحالات؟ استخدم الحيل!

عدم اليقين في الداخل

عدم اليقين من الشكل اللانهاية / اللانهاية

يجب ألا يكون هناك حد:

إذا حاولنا التعويض بما لا نهاية في الدالة ، فسنحصل على اللانهاية في كل من البسط والمقام. بشكل عام ، من الجدير بالقول أن هناك عنصرًا معينًا من الفن في حل حالات عدم اليقين هذه: يجب على المرء أن يلاحظ كيف يمكن تحويل الوظيفة بطريقة تؤدي إلى اختفاء عدم اليقين. في حالتنا ، نقسم البسط والمقام على X في الدرجة العليا. ماذا سيحدث؟

من المثال المذكور أعلاه ، نعلم أن الحدود التي تحتوي على x في المقام ستميل إلى الصفر. ثم الحل إلى الحد هو:

للكشف عن نوع الغموض اللانهاية / اللانهايةقسّم البسط والمقام على Xإلى أعلى درجة.

بالمناسبة! بالنسبة لقرائنا ، يوجد الآن خصم 10٪ على

نوع آخر من عدم اليقين: 0/0

كالعادة ، التعويض في دالة القيمة س = -1 يعطي 0 في البسط والمقام. انظر بعناية أكثر وستلاحظ ذلك في البسط معادلة من الدرجة الثانية. لنجد الجذور ونكتب:

دعنا نخفض ونحصل على:

لذلك ، إذا واجهت نوعًا من الغموض 0/0 - حلل البسط والمقام إلى عوامل.

لتسهيل حل الأمثلة ، إليك جدول بحدود بعض الوظائف:

حكم لوبيتال في الداخل

طريقة أخرى قوية للتخلص من كلا النوعين من عدم اليقين. ما هو جوهر الطريقة؟

إذا كان هناك عدم يقين في النهاية ، فإننا نأخذ مشتق البسط والمقام حتى يختفي عدم اليقين.

بصريًا ، تبدو قاعدة L'Hopital كما يلي:

نقطة مهمة : يجب أن توجد النهاية ، حيث تكون مشتقات البسط والمقام بدلاً من البسط والمقام.

والآن مثال حقيقي:

هناك عدم يقين نموذجي 0/0 . خذ مشتقات البسط والمقام:

Voila ، يتم التخلص من عدم اليقين بسرعة وبأناقة.

نأمل أن تتمكن من استخدام هذه المعلومات بشكل جيد في الممارسة والعثور على إجابة للسؤال "كيفية حل الحدود في الرياضيات العليا". إذا كنت بحاجة إلى حساب حد التسلسل أو حد الوظيفة عند نقطة ما ، ولا يوجد وقت لهذا العمل من كلمة "مطلقًا" ، فاتصل بخدمة الطلاب المحترفين للحصول على حل سريع ومفصل.

الرياضيات هي العلم الذي يبني العالم. كل من العالم والرجل العادي - لا أحد يستطيع الاستغناء عنه. أولاً ، يتم تعليم الأطفال الصغار العد ، ثم الجمع والطرح والضرب والقسمة المدرسة الثانويةتدخل تسميات الحروف في اللعب ، وفي الأقدم لم يعد بإمكانك الاستغناء عنها.

لكن اليوم سنتحدث عما تقوم عليه كل الرياضيات المعروفة. حول مجتمع الأرقام يسمى "حدود التسلسل".

ما هي المتتاليات وأين حدودها؟

ليس من الصعب تفسير معنى كلمة "تسلسل". هذا هو مثل هذا البناء للأشياء ، حيث يوجد شخص ما أو شيء ما في ترتيب أو قائمة انتظار معينة. على سبيل المثال ، قائمة انتظار تذاكر حديقة الحيوان عبارة عن تسلسل. ويمكن أن يكون هناك واحد فقط! على سبيل المثال ، إذا نظرت إلى قائمة الانتظار إلى المتجر ، فهذا تسلسل واحد. وإذا ترك شخص ما قائمة الانتظار هذه فجأة ، فهذه قائمة انتظار مختلفة وترتيب مختلف.

كلمة "حد" يمكن تفسيرها بسهولة - هذه هي نهاية شيء ما. ومع ذلك ، في الرياضيات ، حدود المتتاليات هي تلك القيم على خط الأعداد التي تميل إليها سلسلة من الأرقام. لماذا يجاهد ولا ينتهي؟ الأمر بسيط ، خط الأعداد ليس له نهاية ، ومعظم التسلسلات ، مثل الأشعة ، لها بداية فقط وتبدو كما يلي:

x 1، x 2، x 3، ... x n ...

ومن ثم فإن تعريف التسلسل هو دالة للحجة الطبيعية. أكثر بكلمات بسيطةعبارة عن سلسلة من أعضاء بعض المجموعات.

كيف يتم بناء التسلسل الرقمي؟

قد يبدو أبسط مثال على التسلسل الرقمي على النحو التالي: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ... ن ...

في معظم الحالات ، لأغراض عملية ، يتم إنشاء التسلسلات من الأرقام ، ولكل عضو تالٍ في السلسلة ، دعنا نشير إليه بواسطة X ، اسمه الخاص. على سبيل المثال:

× 1 - العضو الأول في التسلسل ؛

× 2 - العضو الثاني في التسلسل ؛

× 3 - العضو الثالث ؛

x n هو العضو رقم n.

في الطرق العملية ، يتم إعطاء التسلسل بواسطة صيغة عامة يوجد فيها بعض المتغيرات. على سبيل المثال:

X n \ u003d 3n ، فإن سلسلة الأرقام نفسها ستبدو كما يلي:

تجدر الإشارة إلى أنه في التسجيل العام للتسلسلات ، يمكنك استخدام أي منها حروف، وليس فقط X. على سبيل المثال: y ، z ، k ، إلخ.

التقدم الحسابي كجزء من المتتاليات

قبل البحث عن حدود التسلسل ، من المستحسن التعمق في مفهوم سلسلة الأرقام هذه ، والتي واجهها الجميع عندما كانوا في الطبقات الوسطى. التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة من الأرقام يكون فيها الفرق بين الحدود المتجاورة ثابتًا.

المهمة: "دع 1 \ u003d 15 ، وخطوة تقدم سلسلة الأرقام د \ u003d 4. بناء أول 4 أعضاء من هذا الصف "

الحل: 1 = 15 (حسب الشرط) هو أول عضو في التقدم (سلسلة رقمية).

و 2 = 15 + 4 = 19 هو العضو الثاني في التقدم.

و 3 \ u003d 19 + 4 = 23 هو المصطلح الثالث.

و 4 = 23 + 4 = 27 هو المصطلح الرابع.

ومع ذلك ، باستخدام هذه الطريقة يصعب الوصول إلى قيم كبيرة ، على سبيل المثال ، تصل إلى 125.. خاصة في مثل هذه الحالات ، تم اشتقاق صيغة مناسبة للممارسة: n \ u003d a 1 + d (n-1). في هذه الحالة ، 125 = 15 + 4 (125-1) = 511.

أنواع التسلسل

معظم التسلسلات لا حصر لها ، ومن الجدير أن نتذكرها مدى الحياة. هناك اثنان أنواع مثيرة للاهتمامرقم الخط. يتم إعطاء الأول بواسطة الصيغة a n = (- 1) n. غالبًا ما يشير علماء الرياضيات إلى هذه التسلسلات المتعرجة. لماذا؟ دعونا نتحقق من أرقامها.

1 ، 1 ، -1 ، 1 ، -1 ، 1 ، إلخ. باستخدام هذا المثال ، يتضح أنه يمكن بسهولة تكرار الأرقام في التسلسل.

تسلسل عاملي. من السهل تخمين أن هناك عاملاً في الصيغة يحدد التسلسل. على سبيل المثال: و n = (n + 1)!

ثم سيبدو التسلسل كما يلي:

و 2 \ u003d 1x2x3 = 6 ؛

و 3 \ u003d 1x2x3x4 = 24 ، إلخ.

تسلسل معين المتوالية العددية، يسمى التناقص اللانهائي إذا كانت المتباينة -1

و 3 \ u003d - 1/8 ، إلخ.

حتى أن هناك تسلسل يتكون من نفس الرقم. إذن ، و n \ u003d 6 يتكون من عدد لا حصر له من الستات.

تحديد نهاية التسلسل

توجد حدود التسلسل منذ فترة طويلة في الرياضيات. بالطبع ، إنهم يستحقون التصميم الخاص بهم. لذا ، حان الوقت لمعرفة تعريف حدود التسلسل. أولاً ، ضع في اعتبارك حد الدالة الخطية بالتفصيل:

1. يتم اختصار جميع الحدود على أنها Lim.
2. يتكون إدخال الحد من الاختصار ، وبعض المتغيرات التي تميل إلى رقم معين ، صفر أو ما لا نهاية ، بالإضافة إلى الوظيفة نفسها.

من السهل أن نفهم أن تعريف حد التسلسل يمكن صياغته على النحو التالي: إنه رقم معين ، يقترب منه جميع أعضاء التسلسل بلا حدود. مثال بسيط: و x = 4x + 1. ثم التسلسل نفسه سيبدو هكذا.

5 ، 9 ، 13 ، 17 ، 21 ... × ...

وبالتالي ، سيزداد هذا التسلسل إلى أجل غير مسمى ، مما يعني أن حده يساوي اللانهاية مثل x → ∞ ، ويجب كتابة هذا على النحو التالي:

إذا أخذنا تسلسلًا مشابهًا ، لكن x تميل إلى 1 ، نحصل على:

وستكون سلسلة الأرقام على النحو التالي: 1.4 ، 1.8 ، 4.6 ، 4.944 ، إلخ. في كل مرة تحتاج إلى استبدال الرقم أكثر فأكثر بالقرب من واحد (0.1 ، 0.2 ، 0.9 ، 0.986). يتضح من هذه السلسلة أن نهاية الدالة تساوي خمسة.

من هذا الجزء ، يجدر بنا أن نتذكر ما هو حد التسلسل العددي ، وتعريف وطريقة حل المهام البسيطة.

تدوين عام للحد من التسلسلات

بعد تحليل حد التسلسل العددي وتعريفه وأمثلة ، يمكننا الانتقال إلى موضوع أكثر تعقيدًا. على الإطلاق ، يمكن صياغة جميع حدود التسلسل باستخدام صيغة واحدة ، والتي يتم تحليلها عادةً في الفصل الدراسي الأول.

إذن ، ماذا تعني هذه المجموعة من الأحرف والوحدات وعلامات عدم المساواة؟

∀ هو مُحدِّد كمي عالمي ، يستبدل عبارات "للجميع" ، "لكل شيء" ، إلخ.

∃ هو محدد كمي للوجود ، في هذه الحالة يعني أن هناك قيمة N تنتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية.

العصا العمودية الطويلة التي تلي N تعني أن المجموعة المعينة N هي "هكذا". في الممارسة العملية ، يمكن أن تعني "مثل" ، "مثل ذلك" ، وما إلى ذلك.

لدمج المادة ، اقرأ الصيغة بصوت عالٍ.

عدم اليقين واليقين من الحد

طريقة إيجاد حد التسلسل ، التي تمت مناقشتها أعلاه ، على الرغم من سهولة استخدامها ، ليست منطقية في الممارسة. حاول إيجاد الحد الأقصى لهذه الوظيفة:

إذا عوضنا بقيم x مختلفة (زيادة كل مرة: 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ) ، فسنحصل على ∞ في البسط ، ولكن أيضًا ∞ في المقام. اتضح أن كسرًا غريبًا نوعًا ما:

ولكن هل هو حقا كذلك؟ يبدو حساب حد التسلسل العددي في هذه الحالة سهلاً بدرجة كافية. من الممكن ترك كل شيء كما هو ، لأن الإجابة جاهزة ، وتم استلامها بشروط معقولة ، ولكن هناك طريقة أخرى خاصة لمثل هذه الحالات.

أولًا ، لنجد أعلى درجة في بسط الكسر - هذه 1 ، حيث يمكن تمثيل x كـ x 1.

لنجد الآن أعلى درجة في المقام. أيضا 1.

اقسم كلًا من البسط والمقام على المتغير لأعلى درجة. في هذه الحالة ، نقسم الكسر على x 1.

بعد ذلك ، لنجد القيمة التي يميل إليها كل مصطلح يحتوي على المتغير. في هذه الحالة ، يتم اعتبار الكسور. بما أن x → ∞ ، فإن قيمة كل من الكسور تميل إلى الصفر. عند عمل ورقة كتابية ، يجدر عمل الحواشي التالية:

يتم الحصول على التعبير التالي:

بالطبع الكسور التي تحتوي على x لا تصبح أصفارًا! لكن قيمتها صغيرة جدًا لدرجة أنه من الجائز تمامًا عدم أخذها في الاعتبار في الحسابات. في الواقع ، لن تساوي x أبدًا 0 في هذه الحالة ، لأنه لا يمكنك القسمة على صفر.

ما هو الحي؟

لنفترض أن الأستاذ تحت تصرفه تسلسل معقد ، معطى بوضوح بصيغة لا تقل تعقيدًا. وجد الأستاذ الجواب ، لكن هل يناسبه؟ بعد كل شيء ، كل الناس يخطئون.

توصل أوغست كوشي إلى طريقة رائعة لإثبات حدود التسلسل. كانت طريقته تسمى عملية الحي.

افترض أن هناك نقطة ما ، فإن جوارها في كلا الاتجاهين على الخط الحقيقي يساوي ε ("إبسيلون"). نظرًا لأن المتغير الأخير هو المسافة ، فإن قيمته تكون دائمًا موجبة.

لنقم الآن بتعيين بعض المتتالية x n ونفترض أن العضو العاشر من المتتابعة (x 10) مدرج في المنطقة المجاورة a. كيف تكتب هذه الحقيقة بلغة رياضية؟

افترض أن x 10 على يمين النقطة a ، ثم المسافة x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

حان الوقت الآن لشرح عملياً الصيغة المذكورة أعلاه. من العدل أن نطلق على رقم معين نقطة نهاية التسلسل إذا كانت المتباينة ε> 0 ثابتة لأي من حدودها ، وكان الحي بأكمله له رقمه الطبيعي الخاص به N ، بحيث أن جميع أعضاء المتسلسلة ذات الأرقام الأعلى سوف كن داخل التسلسل | x n - a |< ε.

بهذه المعرفة ، من السهل حل حدود التسلسل ، لإثبات أو دحض إجابة جاهزة.

نظريات

تعتبر النظريات حول حدود التسلسل مكونًا مهمًا للنظرية ، والتي بدونها تكون الممارسة مستحيلة. لا يوجد سوى أربع نظريات رئيسية ، تذكر أنه يمكنك تسهيل عملية الحل أو الإثبات بشكل كبير:

1. تفرد حد التسلسل. يمكن أن يكون لأي تسلسل حد واحد فقط أو لا يكون على الإطلاق. نفس المثال مع قائمة انتظار يمكن أن يكون لها نهاية واحدة فقط.
2. إذا كان لسلسلة من الأرقام حد ، فإن تسلسل هذه الأرقام يكون محدودًا.
3. حد مجموع (الفرق ، حاصل الضرب) للتسلسلات يساوي مجموع (الفرق ، حاصل الضرب) حدودها.
4. حد خارج قسمة متتابعين يساوي خارج قسمة النهايتين إذا وفقط إذا كان المقام لا يتلاشى.

إثبات التسلسل

في بعض الأحيان يكون مطلوبًا حل مشكلة عكسية ، لإثبات حد معين من التسلسل العددي. لنلقي نظرة على مثال.

برهن على أن حد التسلسل الذي تعطيه الصيغة يساوي صفرًا.

وفقًا للقاعدة السابقة ، لأي تسلسل المتباينة | x n - a |<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

دعنا نعبر عن n من حيث "epsilon" لإظهار وجود رقم معين وإثبات وجود حد التسلسل.

في هذه المرحلة ، من المهم أن نتذكر أن "epsilon" و "en" أرقام موجبة ولا تساوي الصفر. الآن يمكنك الاستمرار في المزيد من التحولات باستخدام المعرفة حول عدم المساواة المكتسبة في المدرسة الثانوية.

من أين اتضح أن n> -3 + 1 / ε. نظرًا لأنه من الجدير بالذكر أننا نتحدث عن الأعداد الطبيعية ، يمكن تقريب النتيجة بوضعها بين قوسين مربعين. وهكذا ، فقد ثبت أنه بالنسبة لأي قيمة لحي "إبسيلون" للنقطة أ = 0 ، تم العثور على قيمة بحيث يتم استيفاء عدم المساواة الأولية. من هذا يمكننا أن نؤكد بأمان أن الرقم أ هو نهاية التسلسل المحدد. Q.E.D.

بهذه الطريقة المريحة ، يمكنك إثبات حد التسلسل الرقمي ، بغض النظر عن مدى تعقيده للوهلة الأولى. الشيء الرئيسي هو عدم الذعر عند رؤية المهمة.

أو ربما هو غير موجود؟

وجود حد التسلسل ليس ضروريًا في الممارسة. من السهل العثور على مثل هذه السلسلة من الأرقام التي لا نهاية لها حقًا. على سبيل المثال ، نفس المتعري x n = (-1) n. من الواضح أن التسلسل الذي يتكون من رقمين فقط يتكرر بشكل دوري لا يمكن أن يكون له حد.

تتكرر نفس القصة مع متواليات تتكون من رقم واحد ، كسري ، مع وجود عدم يقين بأي ترتيب أثناء العمليات الحسابية (0/0 ، ∞ / ∞ ، ∞ / 0 ، إلخ). ومع ذلك ، يجب أن نتذكر أن الحساب غير الصحيح يحدث أيضًا. في بعض الأحيان ، ستساعدك إعادة التحقق من الحل الخاص بك في العثور على حد الخلافة.

تسلسل رتيب

أعلاه ، نظرنا في العديد من الأمثلة على التسلسلات ، وطرق حلها ، والآن دعونا نحاول أن نأخذ حالة أكثر تحديدًا ونسميها "تسلسل رتيب".

التعريف: من الإنصاف استدعاء أي تسلسل يتزايد بشكل رتيب إذا كان يحقق المتباينة الصارمة x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x ن +1.

إلى جانب هذين الشرطين ، هناك أيضًا تفاوتات غير صارمة مماثلة. وفقًا لذلك ، x n ≤ x n +1 (تسلسل غير متناقص) و x n ≥ x n +1 (تسلسل غير متزايد).

لكن من الأسهل فهم ذلك بالأمثلة.

التسلسل المعطى بواسطة الصيغة x n \ u003d 2 + n يشكل سلسلة الأرقام التالية: 4 ، 5 ، 6 ، إلخ. هذا تسلسل متزايد بشكل رتيب.

وإذا أخذنا x n \ u003d 1 / n ، فسنحصل على سلسلة: 1/3 ، ¼ ، 1/5 ، إلخ. هذا تسلسل تنازلي رتيب.

حد التسلسل المتقارب والمحدود

التسلسل المحدود هو تسلسل له حد. المتتالية المتقاربة هي سلسلة من الأرقام لها حد متناهي الصغر.

وبالتالي ، فإن حد التسلسل المحدود هو أي رقم حقيقي أو مركب. تذكر أنه لا يمكن أن يكون هناك سوى حد واحد.

حد التسلسل المتقارب هو كمية متناهية الصغر (حقيقية أو معقدة). إذا قمت برسم مخطط تسلسل ، فعند نقطة معينة سوف يتقارب ، كما كان ، يميل إلى التحول إلى قيمة معينة. ومن هنا جاء الاسم - تسلسل متقارب.

حد التسلسل الأحادي

مثل هذا التسلسل قد يكون أو لا يكون له حد. أولاً ، من المفيد أن تفهم متى يكون ، من هنا يمكنك البدء عند إثبات عدم وجود حد.

من بين المتواليات الرتيبة ، يتم تمييز المتقاربة والمتباينة. متقارب - هذا هو التسلسل الذي يتكون من المجموعة x وله حد حقيقي أو معقد في هذه المجموعة. متشعب - تسلسل ليس له حدود في مجموعته (ليس حقيقيًا ولا معقدًا).

علاوة على ذلك ، يتقارب التسلسل إذا تقاربت حدوده العليا والسفلى في تمثيل هندسي.

يمكن أن يكون حد التسلسل المتقارب في كثير من الحالات مساوياً للصفر ، لأن أي تسلسل متناهي الصغر له حد معروف (صفر).

أيًا كان التسلسل المتقارب الذي تأخذه ، فكلها مقيدة ، ولكن بعيدًا عن كل التسلسلات المحدودة تتقارب.

مجموع ، فرق ، ناتج متتابعين متقاربين هو أيضًا تسلسل متقارب. ومع ذلك ، يمكن أن يتقارب حاصل القسمة أيضًا إذا تم تعريفه!

إجراءات مختلفة بحدود

حدود التسلسل هي نفس القيمة المهمة (في معظم الحالات) مثل الأرقام والأرقام: 1 ، 2 ، 15 ، 24 ، 362 ، إلخ. واتضح أن بعض العمليات يمكن إجراؤها بحدود.

أولاً ، تمامًا مثل الأرقام والأرقام ، يمكن إضافة وطرح حدود أي تسلسل. استنادًا إلى النظرية الثالثة حول حدود المتتاليات ، فإن المساواة التالية صحيحة: حد مجموع المتتاليات يساوي مجموع حدودها.

ثانيًا ، استنادًا إلى النظرية الرابعة حول حدود المتتاليات ، فإن المساواة التالية صحيحة: حد حاصل ضرب العدد التاسع من المتتاليات يساوي حاصل ضرب حدودها. وينطبق الشيء نفسه على القسمة: حد خارج قسمة متتابعين يساوي حاصل قسمة حديهما ، بشرط ألا يكون الحد صفرًا. بعد كل شيء ، إذا كان حد التسلسل يساوي صفرًا ، فإن القسمة على صفر ستنتهي ، وهو أمر مستحيل.

خصائص قيمة التسلسل

يبدو أن حد التسلسل العددي قد تم تحليله بالفعل بشيء من التفصيل ، ولكن تم ذكر عبارات مثل "صغيرة بلا حدود" والأرقام "الكبيرة بلا حدود" أكثر من مرة. من الواضح ، إذا كان هناك تسلسل 1 / x ، حيث x → ، فإن هذا الكسر يكون صغيرًا بشكل لا نهائي ، وإذا كان نفس التسلسل ، ولكن الحد يميل إلى الصفر (x → 0) ، فإن الكسر يصبح قيمة كبيرة بلا حدود . وهذه القيم لها خصائصها الخاصة. خصائص حد التسلسل الذي يحتوي على قيم صغيرة أو كبيرة تعسفية هي كما يلي:

1. سيكون مجموع أي عدد من الكميات الصغيرة بشكل تعسفي كمية صغيرة أيضًا.
2. سيكون مجموع أي عدد من القيم الكبيرة قيمة كبيرة بشكل لا نهائي.
3. ناتج الكميات الصغيرة بشكل تعسفي صغير للغاية.
4. ناتج الأعداد الكبيرة بشكل تعسفي هو كمية كبيرة بشكل لا نهائي.
5. إذا كان التسلسل الأصلي يميل إلى عدد لا نهائي ، فسيكون مقلوبه متناهي الصغر ويميل إلى الصفر.

في الواقع ، لا يعد حساب حد التسلسل مهمة صعبة إذا كنت تعرف خوارزمية بسيطة. لكن حدود التسلسل موضوع يتطلب أقصى قدر من الاهتمام والمثابرة. بالطبع ، يكفي ببساطة فهم جوهر حل مثل هذه التعبيرات. البدء صغيرًا ، بمرور الوقت ، يمكنك الوصول إلى ارتفاعات كبيرة.

هنا ننظر في تعريف النهاية المحدودة للتسلسل. تتم مناقشة حالة التسلسل المتقارب إلى اللانهاية في صفحة "تعريف التسلسل الكبير اللانهائي".

تعريف .
(x ن)، إذا كان لأي رقم موجب ε > 0 هناك من هذا القبيل عدد طبيعي N ε ، اعتمادًا على ε ، مثل كل الأعداد الطبيعية n> N المتباينة
| x n - أ |< ε .
يُشار إلى حد التسلسل على النحو التالي:
.
او عند .

دعونا نحول عدم المساواة:
;
;
.

الفاصل الزمني المفتوح (أ - ε ، أ +) يسمى ε - حي النقطة أ.

يتم استدعاء التسلسل الذي له حد تسلسل متقارب. ويقال أيضا أن التسلسل يتقاربإلى أ. يتم استدعاء التسلسل الذي ليس له حدود متشعب.

ويترتب على ذلك من التعريف أنه إذا كان للتسلسل حد أ ، فبغض النظر عن - جوار النقطة أ الذي نختاره ، فقط عدد محدود من عناصر التسلسل ، أو لا شيء على الإطلاق (المجموعة الفارغة) يمكن أن يكون بالخارج منه. وأي حي ε يحتوي على عدد لا حصر له من العناصر. في الواقع ، من خلال تحديد رقم معين ε ، يصبح لدينا رقم. لذا فإن جميع عناصر التسلسل التي تحتوي على أرقام ، بحكم التعريف ، تقع في محيط للنقطة أ. يمكن أن تكون العناصر الأولى في أي مكان. أي خارج - لا يمكن أن يكون هناك أكثر من عناصر - أي عدد محدود.

نلاحظ أيضًا أن الفرق لا يجب أن يميل بشكل رتيب إلى الصفر ، أي أن يتناقص طوال الوقت. يمكن أن تميل إلى الصفر ليس بشكل رتيب: يمكن أن تزيد أو تنقص ، مع وجود حد أقصى محلي. ومع ذلك ، يجب أن تميل هذه الحدود القصوى ، مع زيادة n ، إلى الصفر (ربما أيضًا ليس بشكل رتيب).

باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية ، يمكن كتابة تعريف النهاية على النحو التالي:
(1) .

تحديد أن a ليس حدًا

الآن ضع في اعتبارك التأكيد العكسي بأن الرقم أ ليس حد التسلسل.

رقم أ ليس حد التسلسل، إذا كان هناك مثل هذا لأي n طبيعي يوجد مثل هذا طبيعي m > ن، ماذا
.

لنكتب هذا البيان باستخدام الرموز المنطقية.
(2) .

التأكيد على أن الرقم أ ليس حد التسلسل، يعني أن
يمكنك اختيار ε - الحي للنقطة أ ، والذي سيكون خارجه عدد لا حصر له من عناصر التسلسل.

تأمل في مثال. دعونا نعطي تسلسل مع عنصر مشترك
(3)
يحتوي أي حي للنقطة على عدد لا حصر له من العناصر. ومع ذلك ، فإن هذه النقطة ليست حد التسلسل ، لأن أي حي للنقطة يحتوي أيضًا على عدد لا حصر له من العناصر. خذ ε - حي نقطة مع ε = 1 . سيكون هذا هو الفاصل الزمني (-1, +1) . تنتمي جميع العناصر باستثناء العنصر الأول الذي يحتوي على عدد n إلى هذه الفترة الزمنية. لكن كل العناصر ذات العدد الفردي n تقع خارج هذه الفترة لأنها تحقق المتباينة x n > 2 . نظرًا لأن عدد العناصر الفردية غير محدود ، سيكون هناك عدد لا حصر له من العناصر خارج الحي المحدد. لذلك ، فإن النقطة ليست حد التسلسل.

دعونا نظهر هذا الآن من خلال الالتزام الصارم بالتوكيد (2). النقطة ليست نهاية المتتالية (3) ، نظرًا لوجود مثل هذا ، لذلك ، بالنسبة لأي n طبيعي ، هناك عدد فردي n حيث المتباينة
.

يمكن أيضًا إظهار أن أي نقطة لا يمكن أن تكون حد هذا التسلسل. يمكننا دائمًا اختيار ε - حي للنقطة a لا يحتوي على النقطة 0 أو النقطة 2. وبعد ذلك سيكون هناك عدد لا نهائي من عناصر التسلسل خارج الحي المختار.

تعريف مكافئ

يمكننا إعطاء تعريف مكافئ لنهاية التسلسل إذا وسعنا مفهوم - الجوار. سنحصل على تعريف مكافئ إذا ظهر فيه أي حي من النقطة a بدلاً من-Neighborhood.

تحديد حي النقطة
حي النقطة أيتم استدعاء أي فاصل زمني مفتوح يحتوي على هذه النقطة. رياضيا ، يعرف الحي على النحو التالي: أين ε 1 و ε 2 هي أرقام موجبة عشوائية.

ثم سيكون تعريف الحد على النحو التالي.

تعريف مكافئ لحد التسلسل
الرقم أ يسمى حد التسلسل، إذا كان لأي من أحيائها عدد طبيعي N بحيث تنتمي جميع عناصر التسلسل ذات الأرقام إلى هذا الحي.

يمكن أيضًا تقديم هذا التعريف في شكل موسع.

الرقم أ يسمى حد التسلسل، إذا كان لأي أرقام موجبة وكان هناك عدد طبيعي يعتمد على N وهذا يعني أن المتباينات تحمل جميع الأعداد الطبيعية
.

إثبات تكافؤ التعاريف

دعنا نثبت أن التعريفين أعلاه لنهاية التسلسل متكافئان.

اجعل الرقم a هو حد التسلسل وفقًا للتعريف الأول. هذا يعني أن هناك دالة ، بحيث أن المتباينات التالية تبقى ثابتة لأي عدد موجب ε:
(4) في .

دعنا نظهر أن الرقم أ هو حد التسلسل بالتعريف الثاني أيضًا. أي أننا نحتاج إلى إظهار وجود مثل هذه الدالة ، بحيث تكون لأي أعداد موجبة ε 1 و ε 2 التفاوتات التالية تحمل:
(5) في .

لنحصل على رقمين موجبين: ε 1 و ε 2 . وليكن أصغرهم:. ثم ؛ ؛ . نستخدم هذا في (5):
.
لكن التفاوتات تصمد. ثم المتباينات (5) تنطبق أيضا.

أي أننا وجدنا دالة مثل المتباينات (5) تحمل أي أعداد موجبة ε 1 و ε 2 .
تم إثبات الجزء الأول.

الآن دع الرقم a هو حد التسلسل وفقًا للتعريف الثاني. هذا يعني أن هناك دالة ، أي أن أي أرقام موجبة ε 1 و ε 2 التفاوتات التالية تحمل:
(5) في .

دعونا نظهر أن الرقم أ هو حد التسلسل وبالتعريف الأول. لهذا عليك أن تضع. ثم ، من أجل ، فإن التفاوتات التالية تصمد:
.
هذا يتوافق مع التعريف الأول مع.
تم إثبات تكافؤ التعاريف.

أمثلة

هنا نأخذ في الاعتبار العديد من الأمثلة التي يلزم فيها إثبات أن رقمًا معينًا أ هو حد التسلسل. في هذه الحالة ، من الضروري تعيين رقم موجب تعسفي ε وتحديد دالة N لـ ε بحيث يتم إرضاء المتباينة للجميع.

مثال 1

اثبت ذلك .

(1) .
في حالتنا هذه ؛
.

.
دعونا نستخدم خصائص المتباينات. ثم إذا ، ثم
.

.
ثم
في .
هذا يعني أن الرقم هو حد التسلسل المحدد:
.

مثال 2

باستخدام تعريف حد التسلسل ، اثبت ذلك
.

نكتب تعريف حدود التسلسل:
(1) .
في حالتنا هذه ، ؛
.

نقوم بإدخال أرقام موجبة و:
.
دعونا نستخدم خصائص المتباينات. ثم إذا ، ثم
.

أي ، لأي عدد موجب ، يمكننا أن نأخذ أي عدد طبيعي أكبر من أو يساوي:
.
ثم
في .
.

مثال 3

.

نقدم الترميز ،.
دعنا نحول الفرق:
.
ل n الطبيعية = 1, 2, 3, ... لدينا:
.

نكتب تعريف حدود التسلسل:
(1) .
نقوم بإدخال أرقام موجبة و:
.
ثم إذا ، ثم
.

أي ، لأي عدد موجب ، يمكننا أن نأخذ أي عدد طبيعي أكبر من أو يساوي:
.
حيث
في .
هذا يعني أن الرقم هو حد التسلسل:
.

مثال 4

باستخدام تعريف حد التسلسل ، اثبت ذلك
.

نكتب تعريف حدود التسلسل:
(1) .
في حالتنا هذه ، ؛
.

نقوم بإدخال أرقام موجبة و:
.
ثم إذا ، ثم
.

أي ، لأي عدد موجب ، يمكننا أن نأخذ أي عدد طبيعي أكبر من أو يساوي:
.
ثم
في .
هذا يعني أن الرقم هو حد التسلسل:
.

مراجع:
L.D. كودريافتسيف. دورة التحليل الرياضي. المجلد 1. موسكو ، 2003.
سم. نيكولسكي. دورة التحليل الرياضي. المجلد 1. موسكو ، 1983.

اليوم في الدرس سوف نحلل التسلسل الصارمو تعريف صارم لحد الوظيفة، وكذلك تعلم كيفية حل المشكلات ذات الطبيعة النظرية. المقال مخصص في المقام الأول لطلاب السنة الأولى من تخصصات العلوم الطبيعية والهندسة الذين بدأوا في دراسة نظرية التحليل الرياضي وواجهوا صعوبات في فهم هذا القسم من الرياضيات العليا. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن الوصول إلى المواد بسهولة لطلاب المدارس الثانوية.

على مدار سنوات وجود الموقع ، تلقيت عشرات الرسائل غير اللطيفة مع المحتوى التالي تقريبًا: "أنا لا أفهم التحليل الرياضي جيدًا ، ماذا أفعل؟" ، "أنا لا أفهم matan على الإطلاق ، أنا" أفكر في ترك دراستي "، إلخ. في الواقع ، فإن المتان هو الذي غالبًا ما يخفف مجموعة الطلاب بعد الجلسة الأولى. لماذا مثل هذه الأشياء؟ لأن الموضوع معقد بشكل لا يمكن تصوره؟ مُطْلَقاً! نظرية التحليل الرياضي ليست صعبة بقدر ما هي غريبة. وعليك أن تقبلها وتحبها كما هي =)

لنبدأ بأصعب حالة. أولا وقبل كل شيء ، لا تترك المدرسة. افهم بشكل صحيح ، استقال ، سيكون لديك دائمًا وقت ؛-) بالطبع ، إذا كان ذلك سيجعلك مريضًا خلال عام أو عامين من التخصص المختار ، فعندئذ نعم - يجب أن تفكر في الأمر (ولا تصفع الحمى!)حول تغيير الأنشطة. لكن في الوقت الحالي ، الأمر يستحق الاستمرار. ويرجى أن تنسى عبارة "أنا لا أفهم شيئًا" - لا يحدث أنك لا تفهم شيئًا على الإطلاق.

ماذا تفعل إذا كانت النظرية سيئة؟ بالمناسبة ، هذا لا ينطبق فقط على التحليل الرياضي. إذا كانت النظرية سيئة ، فأنت بحاجة أولاً إلى الممارسة بجدية. في الوقت نفسه ، يتم حل مهمتين استراتيجيتين في وقت واحد:

- أولاً ، لقد نشأت نسبة كبيرة من المعرفة النظرية من خلال الممارسة. والكثير من الناس يفهمون النظرية من خلال ... - هذا صحيح! لا ، لا ، لم تفكر في ذلك.

- وثانيًا ، من المرجح جدًا أن "تمدك" المهارات العملية في الامتحان ، حتى لو ... ، لكن دعونا لا نضبط الأمر بهذه الطريقة! كل شيء حقيقي وكل شيء "يتم رفعه" حقًا في وقت قصير إلى حد ما. التحليل الرياضي هو القسم المفضل لدي في الرياضيات العليا ، وبالتالي لا يسعني سوى مساعدتك:

في بداية الفصل الدراسي الأول ، عادة ما تمر حدود التسلسل وحدود الوظيفة. لا تفهم ما هي ولا تعرف كيف تحلها؟ ابدأ بمقال حدود الوظيفة، حيث يتم اعتبار المفهوم نفسه "على الأصابع" ويتم تحليل أبسط الأمثلة. ثم اعمل من خلال دروس أخرى حول الموضوع ، بما في ذلك درس حول ضمن تسلسل، والتي قمت بالفعل بصياغة تعريف دقيق لها.

ما هي الرموز التي تعرفها إلى جانب علامات عدم المساواة والمعامل؟

- عصا عمودية طويلة تقرأ كالتالي: "من هذا القبيل" ، "من هذا القبيل" ، "مثل ذلك" أو "هذا أن"، في حالتنا ، من الواضح أننا نتحدث عن رقم - وبالتالي "مثل هذا" ؛

- لكل "en" أكبر من ؛

– علامة الوحدة تعني المسافة، أي. يخبرنا هذا الإدخال أن المسافة بين القيم أقل من إبسيلون.

حسنًا ، هل هي قاتلة صعبة؟ =)

بعد إتقان هذه الممارسة ، أنتظرك في الفقرة التالية:

في الواقع ، دعنا نفكر قليلاً - كيف نصوغ تعريفًا صارمًا للتسلسل؟ ... أول ما يتبادر إلى الذهن في النور جلسة عملية: "حد التسلسل هو الرقم الذي يقترب منه أعضاء التسلسل بشكل لا نهائي."

حسنًا ، دعنا نكتب اللاحقة :

من السهل فهم ذلك اللاحقة تقترب بشكل لا نهائي من الحدود -1 ، والأرقام الزوجية - إلى "وحدة".

ربما حدين؟ ولكن لماذا لا يمكن أن يحتوي تسلسل ما على عشرة أو عشرين منهم؟ بهذه الطريقة يمكنك الذهاب بعيدا. في هذا الصدد ، من المنطقي أن نفترض ذلك إذا كان للتسلسل حد ، فهو فريد.

ملحوظة : التسلسل ليس له حد ، ولكن يمكن التمييز بين اثنين من التتابعات التالية (انظر أعلاه) ، ولكل منهما حده الخاص.

وبالتالي ، فإن التعريف أعلاه لا يمكن الدفاع عنه. نعم ، إنه يعمل في حالات مثل (التي لم أستخدمها بشكل صحيح تمامًا في التفسيرات المبسطة للأمثلة العملية)، لكننا الآن بحاجة إلى إيجاد تعريف صارم.

المحاولة الثانية: "حد التسلسل هو الرقم الذي يقترب منه جميع أعضاء التسلسل ، باستثناء ربما ، أخيركميات." هذا أقرب إلى الحقيقة ، لكنه لا يزال غير دقيق تمامًا. لذلك ، على سبيل المثال ، التسلسل نصف المصطلحات لا تقترب من الصفر على الإطلاق - إنها ببساطة تساويها =) بالمناسبة ، يأخذ "الضوء الوامض" عموماً قيمتين ثابتتين.

ليس من الصعب توضيح الصياغة ، ولكن بعد ذلك يطرح سؤال آخر: كيفية كتابة التعريف علامات رياضية؟ كافح العالم العلمي مع هذه المشكلة لفترة طويلة حتى تم حل الموقف. المايسترو الشهير، والتي ، في جوهرها ، إضفاء الطابع الرسمي على التحليل الرياضي الكلاسيكي بكل صرامته. عرض كوشي العمل محيط مما أدى إلى تقدم النظرية بشكل كبير.

النظر في بعض النقاط و اِعتِباطِيّ-حيّ:

قيمة "إبسيلون" إيجابية دائمًا ، علاوة على ذلك ، لدينا الحق في اختياره بأنفسنا. افترض أن الحي المحدد يحتوي على مجموعة من المصطلحات (ليس بالضرورة الكل)بعض التسلسل. كيف تدون حقيقة أن المصطلح العاشر ، على سبيل المثال ، وقع في الحي؟ فليكن على الجانب الأيمن منه. ثم المسافة بين النقطتين ويجب أن تكون أقل من "إبسيلون":. ومع ذلك ، إذا كانت "x عشرة" تقع على يسار النقطة "a" ، فسيكون الفرق سالبًا ، وبالتالي يجب إضافة العلامة إليها وحدة: .

تعريف: رقم يسمى حد التسلسل إذا لأيمحيطها (محدد مسبقا)هناك عدد طبيعي - مثل هذا الجميعأعضاء التسلسل بأرقام أعلى سيكونون داخل الحي:

أو أقصر: إذا

بعبارة أخرى ، مهما كانت قيمة "epsilon" التي نأخذها صغيرة ، فإن "الذيل اللامتناهي" للتسلسل سيكون بالكامل في هذا الحي عاجلاً أم آجلاً.

لذلك ، على سبيل المثال ، "الذيل اللانهائي" للتسلسل يذهب بالكامل إلى أي حي صغير تعسفي من النقطة. وبالتالي ، هذه القيمة هي حد التسلسل حسب التعريف. أذكرك أن التسلسل الذي يكون حده صفر يسمى متناهي الصغر.

وتجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة للتسلسل ، لم يعد من الممكن قول "ذيل لانهائي" تأتي"- الأعضاء الذين لديهم أرقام فردية هم في الواقع مساوون للصفر و" لا تذهب إلى أي مكان "=) وهذا هو سبب استخدام الفعل" سوف ينتهي "في التعريف. وبالطبع ، فإن أعضاء مثل هذا التسلسل أيضًا "لا يذهبون إلى أي مكان". بالمناسبة ، تحقق مما إذا كان الرقم سيكون الحد الأقصى.

دعونا نظهر الآن أن التسلسل ليس له حدود. تأمل ، على سبيل المثال ، حي النقطة. من الواضح تمامًا أنه لا يوجد مثل هذا الرقم ، وبعد ذلك سيكون أعضاء ALL في هذا الحي - فالأعضاء الفرديون سوف "يقفزون" دائمًا إلى "ناقص واحد". لسبب مماثل ، لا يوجد حد في هذه النقطة.

أصلح المادة بالممارسة:

مثال 1

إثبات أن نهاية المتسلسلة هي صفر. حدد الرقم ، وبعد ذلك يتم ضمان وجود جميع أعضاء التسلسل داخل أي حي صغير تعسفي للنقطة.

ملحوظة : بالنسبة للعديد من المتتاليات ، يعتمد العدد الطبيعي المطلوب على القيمة - ومن هنا جاءت التسمية.

حل: يعتبر اِعتِباطِيّ سيكون هناكالرقم - بحيث يكون جميع الأعضاء ذوي الأرقام الأعلى داخل هذا الحي:

لإظهار وجود الرقم المطلوب ، نعبر عنه من حيث.

نظرًا لأنه لأي قيمة "en" ، يمكن إزالة علامة المقياس:

نحن نستخدم أفعال "المدرسة" مع عدم المساواة التي كررتها في الدروس المتباينات الخطيةو نطاق الوظيفة. في هذه الحالة ، هناك ظرف مهم وهو أن "epsilon" و "en" موجبتان:

نظرًا لأننا على اليسار نتحدث عن الأعداد الطبيعية ، والجانب الأيمن بشكل عام كسري ، فيجب تقريبه:

ملحوظة : في بعض الأحيان يتم إضافة وحدة إلى اليمين لإعادة التأمين ، ولكن هذا في الواقع يعتبر مبالغة. نسبيًا ، إذا أضعفنا النتيجة أيضًا بالتقريب لأسفل ، فسيظل أقرب رقم مناسب ("ثلاثة") يحقق المتباينة الأصلية.

والآن ننظر إلى عدم المساواة ونتذكر أننا أخذنا في الاعتبار في البداية اِعتِباطِيّالحي ، أي يمكن أن تكون "epsilon" مساوية لـ أي واحدرقم موجب، عدد إيجابي.

خاتمة: لأي حي صغير تعسفي من النقطة ، القيمة . وبالتالي ، فإن الرقم هو حد التسلسل بحكم التعريف. Q.E.D.

بالمناسبة ، من النتيجة يكون النمط الطبيعي مرئيًا بوضوح: فكلما كان الحي أصغر ، زاد العدد الذي سيكون بعده جميع أعضاء التسلسل في هذا الحي. ولكن بغض النظر عن مدى صغر حجم "إبسيلون" ، فسيكون هناك دائمًا "ذيل غير محدود" في الداخل والخارج - حتى لو كان كبيرًا ، ولكن أخيرعدد من أعضاء.

كيف هي الانطباعات؟ =) أوافق على أنه أمر غريب. لكن بدقة!يرجى إعادة القراءة والتفكير مرة أخرى.

ضع في اعتبارك مثالًا مشابهًا وتعرف على تقنيات أخرى:

مثال 2

حل: من خلال تعريف التسلسل ، من الضروري إثبات ذلك (التحدث بصوت عال!!!).

يعتبر اِعتِباطِيّ- حي النقطة وفحص. هل تتواجدالعدد الطبيعي - بحيث ينطبق المتباينة التالية على جميع الأعداد الأكبر:

لإظهار وجود مثل هذا ، تحتاج إلى التعبير عن "en" من خلال "epsilon". نبسط التعبير تحت علامة الوحدة:

الوحدة تدمر علامة الطرح:

يكون المقام موجبًا لأي "en" ، لذلك يمكن إزالة العصي:

خلط:

الآن نحن بحاجة إلى استخراج الجذر التربيعي، ولكن المهم هو أنه بالنسبة لبعض إبسيلونس ، سيكون الجانب الأيمن سالبًا. لتجنب هذه المشكلة دعنا نقويمعامل عدم المساواة:

لماذا يمكن القيام بذلك؟ إذا اتضح ، نسبيًا ، أن الحالة ستكون راضية أكثر. يمكن للوحدة فقط زيادةالرقم المطلوب ، وهذا سوف يناسبنا أيضًا! بشكل تقريبي ، إذا كانت المائة مناسبة ، فعندئذٍ المئتان ستفي بالغرض! حسب التعريف ، تحتاج إلى إظهار مجرد وجود الرقم(على الأقل بعضًا) ، وبعد ذلك سيكون جميع أعضاء التسلسل في حي واحد. بالمناسبة ، هذا هو السبب في أننا لا نخاف من التقريب النهائي للجانب الأيمن لأعلى.

استخراج الجذر:

وتقريب النتيجة:

خاتمة: لأن تم اختيار قيمة "إبسيلون" بشكل تعسفي ، ثم بالنسبة لأي حي صغير تعسفيًا للنقطة ، فإن القيمة ، مثل أن عدم المساواة . هكذا، الدير. Q.E.D.

انا انصح خصوصاًفهم تقوية وإضعاف التفاوتات - هذه طرق نموذجية وشائعة جدًا للتحليل الرياضي. الشيء الوحيد الذي تحتاجه لمراقبة صحة هذا الإجراء أو ذاك. لذلك ، على سبيل المثال ، عدم المساواة بدون معني إرخاءطرح ، قل ، واحد:

مرة أخرى ، شرطي: إذا كان الرقم مناسبًا تمامًا ، فقد لا يعد الرقم السابق مناسبًا.

المثال التاليل قرار مستقل:

مثال 3

باستخدام تعريف التسلسل ، اثبت ذلك

حل قصير والإجابة في نهاية الدرس.

إذا كان التسلسل عظيم بلا حدود، ثم تتم صياغة تعريف الحد بصورة مماثلة: النقطة تسمى حد التسلسل إن وجد ، كبير بشكل تعسفيهناك رقم بحيث يتم استيفاء عدم المساواة لجميع الأعداد الأكبر. الرقم يسمى جوار النقطة "زائد اللانهاية":

بعبارة أخرى ، أيا كان أهمية عظيمةبغض النظر عن أي شيء ، فإن "الذيل اللانهائي" من التسلسل سيذهب بالضرورة إلى الحي المجاور للنقطة ، تاركًا عددًا محدودًا من المصطلحات على اليسار.

مثال العمل:

وترميز مختصر: إذا

للحالة ، اكتب التعريف بنفسك. الإصدار الصحيح في نهاية الدرس.

بعد أن "حشو" يدك أمثلة عمليةوحددت تعريف حدود التسلسل ، يمكنك الرجوع إلى الأدبيات المتعلقة بالتحليل الرياضي و / أو دفتر الملاحظات الخاص بك مع المحاضرات. أوصي بتنزيل المجلد الأول من Bohan (أسهل - للطلاب بدوام جزئي)و Fikhtengoltz (أكثر تفصيلاً وشمولاً). من بين المؤلفين الآخرين ، أنصح بيسكونوف ، الذي تركز دراسته على الجامعات التقنية.

حاول أن تدرس بضمير حي النظريات التي تتعلق بحد التسلسل ، وأدلةها ، وعواقبها. في البداية ، قد تبدو النظرية "غائمة" ، لكن هذا أمر طبيعي - لا يتطلب الأمر سوى بعض التعود. وسيتذوق الكثير منهم!

تعريف صارم لحد الوظيفة

لنبدأ بنفس الشيء - كيفية الصياغة هذا المفهوم؟ تتم صياغة التعريف اللفظي لحدود الدالة بشكل أكثر بساطة: "الرقم هو حد الدالة ، إذا كان مع" x "يميل إلى (على حد سواء اليسار واليمين)، تميل القيم المقابلة للدالة إلى » (إطلع على الرسم). يبدو أن كل شيء طبيعي ، لكن الكلمات هي كلمات ، والمعنى هو المعنى ، والأيقونة هي رمز ، والتدوين الرياضي الصارم لا يكفي. وفي الفقرة الثانية ، سنتعرف على نهجين لحل هذه المشكلة.

دع الوظيفة تُحدد في بعض الفترات باستثناء ، ربما ، للنقطة. في الأدب التربويمن المقبول عمومًا أن الوظيفة موجودة لامُعرف:

يبرز هذا الاختيار جوهر حد الوظيفة: "x" قريب بلا حدودالنهج ، والقيم المقابلة للدالة هي قريب بلا حدودل . وبعبارة أخرى ، فإن مفهوم الحد لا يعني ضمنا "نهجا دقيقا" للنقاط ، أي تقريب قريب بلا حدود، لا يهم ما إذا كانت الوظيفة محددة عند النقطة أم لا.

ليس من المستغرب أن تتم صياغة التعريف الأول لنهاية الدالة باستخدام متتابعين. أولاً ، المفاهيم مرتبطة ، وثانيًا ، تتم دراسة حدود الوظائف عادةً بعد حدود التسلسلات.

ضع في اعتبارك التسلسل نقاط (ليس على الرسم)ينتمون إلى الفاصل الزمني و غير ذلك، أيّ يتقاربل . ثم تشكل القيم المقابلة للوظيفة أيضًا تسلسلًا رقميًا ، يقع أعضائه على المحور ص.

حد وظيفة Heine لأيتسلسل نقطي (ينتمي إلى ويختلف عن)، الذي يتقارب مع النقطة ، يتقارب التسلسل المقابل لقيم الوظيفة.

إدوارد هاينه عالم رياضيات ألماني. ... وليس هناك حاجة للتفكير في أي شيء من هذا القبيل ، لا يوجد سوى مثلي الجنس واحد في أوروبا - هذا هو Gay-Lussac =)

تم بناء التعريف الثاني للحد ... نعم ، نعم ، أنت على حق. لكن أولاً ، دعونا نلقي نظرة على تصميمه. لننظر إلى الجوار التعسفي في النقطة (الحي "الأسود"). بناءً على الفقرة السابقة ، فإن التدوين يعني ذلك بعض القيمةتقع الوظيفة داخل بيئة "إبسيلون".

لنجد الآن حيًا يتوافق مع الحي المحدد (ارسم عقليًا خطوطًا منقطة سوداء من اليسار إلى اليمين ثم من أعلى إلى أسفل). لاحظ أنه تم اختيار القيمة على طول الجزء الأصغر ، في هذه الحالة ، بطول المقطع الأيسر الأقصر. علاوة على ذلك ، يمكن اختزال الحي "القرمزي" لنقطة ما ، كما في التعريف التالي حقيقة الوجود مهمةهذا الحي. وبالمثل ، فإن الإدخال يعني أن بعض القيمة موجودة داخل حي "دلتا".

حد كوشي للدالة: الرقم يسمى حد الدالة عند النقطة إذا لأي مختار مسبقاحيّ (صغير بشكل تعسفي), موجود- حي النقطة ، هذهأن: كقيم فقط (مملوكة)المدرجة في هذه المنطقة: (السهام الحمراء)- لذلك على الفور يتم ضمان دخول القيم المقابلة للوظيفة إلى الحي السكني: (الأسهم الزرقاء).

يجب أن أحذرك من أنه لكي أكون أكثر وضوحًا ، فقد ارتجلت قليلاً ، لذا لا تسيء استخدامه =)

الاختزال: إذا

ما هو جوهر التعريف؟ من الناحية المجازية ، من خلال تقليل الحي الحي بشكل لا نهائي ، فإننا "نرافق" قيم الوظيفة إلى أقصى حد لها ، ولا نترك لها أي بديل للاقتراب من مكان آخر. غير عادي للغاية ، ولكن مرة أخرى بدقة! للحصول على الفكرة بشكل صحيح ، أعد قراءة الصياغة مرة أخرى.

! انتباه: إذا كنت بحاجة إلى صياغة فقط التعريف حسب هاينهأو فقط تعريف كوشيمن فضلك لا تنسى بارِزتعليق أولي: "ضع في اعتبارك وظيفة محددة في فاصل زمني ما عدا نقطة ربما". لقد ذكرت هذا مرة واحدة في البداية ولم أكرره في كل مرة.

وفقًا للنظرية المقابلة للتحليل الرياضي ، فإن تعاريف Heine و Cauchy متكافئة ، لكن البديل الثاني هو الأكثر شهرة (لا يزال!)والتي تسمى أيضًا "حد اللسان":

مثال 4

باستخدام تعريف الحد ، اثبت ذلك

حل: يتم تحديد الوظيفة على خط الأعداد بأكمله باستثناء النقطة. باستخدام تعريف ، نثبت وجود حد عند نقطة معينة.

ملحوظة : يعتمد حجم حي "دلتا" على "إبسيلون" ، ومن هنا جاءت التسمية

يعتبر اِعتِباطِيّ-حيّ. المهمة هي استخدام هذه القيمة للتحقق مما إذا كان هل تتواجد- حيّ، هذه، والتي من عدم المساواة يتبع عدم المساواة .

بافتراض ذلك ، نقوم بتحويل آخر عدم مساواة:
(تتحلل مربع ثلاثي الحدود)

رقم ثابت أمُسَمًّى حد التسلسلات(x ن) إذا كان لأي رقم موجب صغير بشكل تعسفيε > 0 هناك رقم N بحيث أن جميع القيم x ن، حيث n> N ، تحقق عدم المساواة

| س ن - أ |< ε. (6.1)

اكتبها على النحو التالي: أو x n →أ.

اللامساواة (6.1) تعادل عدم المساواة المزدوجة

أ ε< x n < a + ε, (6.2)

مما يعني أن النقاط x ن، بدءًا من عدد n> N ، تقع داخل الفاصل الزمني (a-ε ، أ + ε )، أي. تقع في أي صغيرةε - حي النقطة أ.

يتم استدعاء التسلسل الذي له حد متقاربة، خلاف ذلك - متشعب.

مفهوم حد الوظيفة هو تعميم لمفهوم حد التسلسل ، حيث يمكن اعتبار حد التسلسل حدًا للدالة x n = f (n) لحجة عدد صحيح ن.

دع الدالة f (x) تُعطى والسماح لها أ - نقطة محدودةمجال تعريف هذه الوظيفة D (f) ، أي مثل هذه النقطة ، أي حي يحتوي على نقاط من المجموعة D (f) تختلف عنها أ. نقطة أقد تنتمي أو لا تنتمي إلى المجموعة D (f).

التعريف 1.الرقم الثابت أ يسمى حد المهامو (خ) في x →a if لأي تسلسل (x n) من قيم الوسيطات تميل إلى أ، التسلسلات المقابلة (f (x n)) لها نفس الحد A.

هذا التعريف يسمى تحديد حدود الوظيفة وفقًا لهينه ،أو " بلغة التسلسلات”.

التعريف 2. الرقم الثابت أ يسمى حد المهامو (خ) في x →أ إذا ، إعطاء رقم موجب صغير تعسفيًا تعسفيًا ε، يمكن للمرء أن يجد مثل δ> 0 (اعتمادًا على ε) ، وهو للجميع xالكذب فيε- احياء عدد أ، أي. ل xإرضاء عدم المساواة
0 < اكس- ا< ε ، فإن قيم الدالة f (x) تكمن فيهاε- حي الرقم أ أي| f (x) -A |< ε.

هذا التعريف يسمى تحديد حدود الوظيفة وفقًا لـ Cauchy ،أو "في اللغة ε - δ “.

التعريفان 1 و 2 متكافئان. إذا كانت الوظيفة f (x) كـ x →أ لديه حديساوي أ ، هذا مكتوب كـ

. (6.3)

في حالة زيادة التسلسل (f (x n)) (أو النقصان) إلى أجل غير مسمى لأي طريقة تقريب xإلى الحد الخاص بك أ، ثم سنقول أن الوظيفة f (x) لها حد لانهائي ،واكتبها على النحو التالي:

يسمى المتغير (أي تسلسل أو وظيفة) الذي يكون حده صفر صغير بلا حدود.

يسمى المتغير الذي يساوي حده اللانهاية كبيرة بشكل لا نهائي.

للعثور على الحد في الممارسة العملية ، استخدم النظريات التالية.

نظرية 1 . إذا كان كل حد موجود

(6.4)

(6.5)

(6.6)

تعليق. عبارات مثل 0/0 ، ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - غير مؤكد ، على سبيل المثال ، نسبة اثنين من الكميات متناهية الصغر أو بكميات كبيرة بشكل غير محدود ، وإيجاد حد من هذا النوع يسمى "الكشف عن عدم اليقين".

نظرية 2. (6.7)

أولئك. من الممكن المرور إلى الحد عند قاعدة الدرجة عند الأس الثابت ، على وجه الخصوص ، ;

(6.8)

(6.9)

نظرية 3.

(6.10)

(6.11)

أين ه » 2.7 هو أساس اللوغاريتم الطبيعي. تسمى الصيغتان (6.10) و (6.11) الأولى حد رائعوالحد الملحوظ الثاني.

تُستخدم النتائج الطبيعية للصيغة (6.11) أيضًا في الممارسة:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

على وجه الخصوص الحد

إذا كان x → a وفي نفس الوقت x> a ، ثم اكتب x→ a + 0. إذا كان ، على وجه الخصوص ، a = 0 ، فبدلاً من الرمز 0 + 0 يكتب المرء +0. وبالمثل ، إذا كانت x →أ وفي نفس الوقت س أ -0. أعداد ويتم تسميتها وفقًا لذلك. الحد الصحيحو الحد الأيسر المهامو (خ) في هذه النقطة أ. من أجل أن تكون نهاية الدالة f (x) موجودة على شكل x →أ ضروري وكافي ل . تسمى الوظيفة f (x) مستمر في هذه النقطة× 0 إذا كان الحد

. (6.15)

يمكن إعادة كتابة الشرط (6.15) على النحو التالي:

,

أي أن المرور إلى النهاية تحت علامة الدالة ممكن إذا كانت متصلة عند نقطة معينة.

إذا انتهكت المساواة (6.15) نقول ذلك فيس = xo وظيفةو (خ) لديها فجوة.ضع في اعتبارك الدالة y = 1 / x. مجال هذه الوظيفة هو المجموعة ص، باستثناء x = 0. النقطة x = 0 هي نقطة حد للمجموعة D (f) ، لأنه في أي من الأحياء المجاورة لها ، على سبيل المثال ، أي فاصل زمني مفتوح يحتوي على النقطة 0 يحتوي على نقاط من D (f) ، لكنه لا ينتمي إلى هذه المجموعة. لم يتم تعريف القيمة f (x o) = f (0) ، لذا فإن الوظيفة لها انقطاع عند النقطة x o = 0.

تسمى الوظيفة f (x) مستمر على اليمين عند نقطةس س إذا حد

,

و مستمر على اليسار عند نقطةس س إذا حد

.

استمرارية دالة عند نقطة س سيكافئ استمراريته في هذه المرحلة على كل من اليمين واليسار.

لكي تكون الوظيفة متصلة عند نقطة ما س س، على سبيل المثال ، على اليمين ، من الضروري ، أولاً ، أن يكون هناك حد منتهي ، وثانيًا ، أن تكون هذه النهاية مساوية لـ f (x o). لذلك ، إذا لم يتم استيفاء أحد هذين الشرطين على الأقل ، فستكون للدالة فجوة.

1. إذا كانت النهاية موجودة ولا تساوي f (x o) ، فيقولون ذلك وظيفةو (خ) في هذه النقطة xo لديها كسر من النوع الأول ،أو القفز.

2. إذا كان الحد هو+ ∞ أو-أو غير موجود ، ثم نقول ذلك في نقطةس س الوظيفة لها فاصل النوع الثاني.

على سبيل المثال ، الدالة y = ctg x عند x→ +0 له حد يساوي +، وبالتالي ، عند النقطة x = 0 ، يكون لها انقطاع من النوع الثاني. الوظيفة y = E (x) (جزء صحيح من x) عند النقاط التي تحتوي على عدد صحيح من الحروف الأبجدية ، بها انقطاعات من النوع الأول ، أو قفزات.

يتم استدعاء الوظيفة المستمرة في كل نقطة من الفاصل الزمني مستمرالخامس . يتم تمثيل الدالة المستمرة بمنحنى صلب.

تؤدي العديد من المشكلات المرتبطة بالنمو المستمر لبعض الكميات إلى الحد الثاني الملحوظ. مثل هذه المهام ، على سبيل المثال ، تشمل: نمو المساهمة وفقًا لقانون الفائدة المركبة ، ونمو سكان البلاد ، واضمحلال مادة مشعة ، وتكاثر البكتيريا ، وما إلى ذلك.

يعتبر مثال يا أنا بيرلمانالذي يعطي تفسير الرقم هفي مشكلة الفائدة المركبة. رقم ههناك حد . في بنوك الادخار ، يتم إضافة أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت سنويًا. إذا تم الاتصال في كثير من الأحيان ، فإن رأس المال ينمو بشكل أسرع ، حيث يشارك مبلغ كبير في تكوين الفائدة. لنأخذ مثالًا نظريًا بحتًا ومبسطًا للغاية. دع البنك يضع 100 دن. الوحدات بمعدل 100٪ سنويًا. إذا تمت إضافة الأموال ذات الفائدة إلى رأس المال الثابت بعد عام فقط ، فعندئذٍ بحلول هذا الوقت ، 100 دن. الوحدات سوف يتحول إلى 200 دن. الآن دعونا نرى ما سيتحول إلى 100 دن. الوحدات ، إذا تمت إضافة أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت كل ستة أشهر. بعد نصف عام 100 دن. الوحدات يصل إلى 100× 1.5 = 150 ، وبعد ستة أشهر أخرى - عند 150× 1.5 = 225 (وحدة عرين). إذا تم الانضمام كل 1/3 من السنة ، ثم بعد عام 100 دن. الوحدات تتحول إلى 100× (1 +1/3) 3 » 237 (وحدات عرين). سنزيد الإطار الزمني لإضافة أموال الفائدة إلى 0.1 سنة و 0.01 سنة و 0.001 سنة وهكذا. ثم من أصل 100 دن. الوحدات بعد سنة:

100 × (1 +1/10) 10 »259 (وحدات عرين) ،

100 × (1 + 1/100) 100 »270 (وحدات عرين) ،

100 × (1 + 1/1000) 1000 »271 (وحدة عرين).

مع التخفيض غير المحدود في شروط ضم الفائدة ، لا ينمو رأس المال المستحق إلى أجل غير مسمى ، ولكنه يقترب من حد معين يساوي حوالي 271. رأس المال الموضوع بنسبة 100٪ سنويًا لا يمكن أن يزيد أكثر من 2.71 مرة ، حتى لو كانت الفائدة المتراكمة يضاف إلى رأس المال كل ثانية لأن الحد

مثال 3.1.باستخدام تعريف حد التسلسل الرقمي ، أثبت أن المتتابعة x n = (n-1) / n لها حد يساوي 1.

حل.نحن بحاجة لإثبات ذلك مهما كانε > 0 نأخذ ، لأنه يوجد عدد طبيعي N مثل المتباينة لجميع n N| xn-1 |< ε.

خذ أي ه> 0. منذ ؛ x n -1 = (n + 1) / n - 1 = 1 / n ، إذن لإيجاد N يكفي حل المتباينة 1 / n< ه. ومن ثم ن> 1 / هـ وبالتالي ، يمكن اعتبار N جزءًا صحيحًا من 1 /ه ، ن = ه (1 / هـ ). وهكذا أثبتنا أن الحد.

مثال 3.2 . أوجد نهاية تسلسل محدد بمصطلح مشترك .

حل.طبق نظرية مجموع النهايات وأوجد نهاية كل حد. ل n→ ∞ بسط كل حد ومقامه يميل إلى اللانهاية ، ولا يمكننا تطبيق نظرية حد خارج القسمة مباشرة. لذلك ، نقوم بالتحويل أولاً x ن، قسمة البسط والمقام في الحد الأول على ن 2، والثانية ن. بعد ذلك ، بتطبيق نظرية حد خارج القسمة ونظرية حد المجموع ، نجد:

.

مثال 3.3. . يجد .

حل. .

استخدمنا هنا نظرية حد الدرجة: حد الدرجة يساوي درجة حد القاعدة.

مثال 3.4 . يجد ( ).

حل.من المستحيل تطبيق نظرية حد الفروق ، لأن لدينا شكًا في الشكل ∞-∞ . دعنا نحول صيغة المصطلح العام:

.

مثال 3.5 . بالنظر إلى الدالة f (x) = 2 1 / x. إثبات أن الحد غير موجود.

حل.نستخدم تعريف 1 لنهاية الدالة بدلالة التسلسل. خذ تسلسل (x n) متقارب إلى 0 ، أي دعنا نوضح أن القيمة f (x n) = تتصرف بشكل مختلف مع التسلسلات المختلفة. دع x n = 1 / n. من الواضح ، ثم الحد دعنا نختار الآن كـ x نتسلسل بمصطلح مشترك x n = -1 / n ، يميل أيضًا إلى الصفر. لذلك ، لا يوجد حد.

مثال 3.6 . إثبات أن الحد غير موجود.

حل.لنفترض أن x 1 ، x 2 ، ... ، x n ، ... تسلسل من أجله
. كيف تتصرف المتتالية (f (x n)) = (sin x n) مع مختلف x n → ∞

إذا كانت x n \ u003d p n ، إذن sin x n \ u003d sin p ن = 0 للجميع نوتحد إذا
س = 2 p n + p / 2 ، ثم sin x n = sin (2 p n + p / 2) = sin p / 2 = 1 للجميع نومن هنا الحد. وبالتالي لا وجود لها.

القطعة لحساب الحدود على الإنترنت

في المربع العلوي ، بدلاً من sin (x) / x ، أدخل الوظيفة التي تريد البحث عن حدها. في المربع السفلي ، أدخل الرقم الذي يميل x إليه وانقر فوق الزر Calcular ، واحصل على الحد المطلوب. وإذا قمت بالنقر فوق "إظهار الخطوات" في الزاوية اليمنى العليا في نافذة النتيجة ، فستحصل على حل مفصل.

قواعد إدخال الوظيفة: الجذر التربيعي (x) - الجذر التربيعي ، cbrt (x) - الجذر التكعيبي ، exp (x) - الأس ، ln (x) - اللوغاريتم الطبيعي، الخطيئة (x) - الجيب ، cos (x) - جيب التمام ، tan (x) - الظل ، cot (x) - cotangent ، arcsin (x) - arcsine ، arccos (x) - arccosine ، arctan (x) - arctangent. الإشارات: * الضرب ، / القسمة ، ^ الأُس ، بدلاً من ما لا نهايةما لا نهاية. مثال: يتم إدخال الوظيفة كـ sqrt (tan (x / 2)).