دعونا نحدد الطاقة الحركية لجسم صلب يدور حول محور ثابت. دعونا نقسم هذا الجسم إلى عدد ن من النقاط المادية. تتحرك كل نقطة بسرعة خطية υ i = ωr i ، ثم الطاقة الحركية للنقطة

أو

الطاقة الحركية الكلية للدوران جسم صلبيساوي مجموع الطاقات الحركية لجميع نقاطها المادية:

(3.22)

(J - لحظة القصور الذاتي للجسم حول محور الدوران)

إذا كانت مسارات جميع النقاط تقع في مستويات متوازية (مثل أسطوانة تتدحرج لأسفل على مستوى مائل ، تتحرك كل نقطة في شكل المستوى الخاص بها) ، هذا هو حركة مسطحة. وفقًا لمبدأ أويلر ، يمكن دائمًا تحلل حركة الطائرة بعدد لا حصر له من الطرق إلى حركة انتقالية ودورانية. إذا سقطت الكرة أو انزلقت على مستوى مائل ، فإنها تتحرك للأمام فقط ؛ عندما تتدحرج الكرة ، فإنها تدور أيضًا.

إذا كان الجسم يقوم بحركات انتقالية ودورانية في نفس الوقت ، فإن طاقته الحركية الكلية تساوي

(3.23)

من مقارنة صيغ الطاقة الحركية للحركات الانتقالية والدورانية ، يمكن ملاحظة أن مقياس القصور الذاتي أثناء الحركة الدورانية هو لحظة القصور الذاتي للجسم.

§ 3.6 عمل القوى الخارجية أثناء دوران جسم صلب

عندما يدور جسم صلب ، لا تتغير طاقته الكامنة ، وبالتالي ، فإن العمل الأولي للقوى الخارجية يساوي الزيادة في الطاقة الحركية للجسم:

dA = dE أو

بالنظر إلى أن Jβ = M ، ωdr = dφ ، لدينا α للجسم بزاوية محدودة φ تساوي

(3.25)

عندما يدور جسم صلب حول محور ثابت ، يتم تحديد عمل القوى الخارجية بفعل لحظة هذه القوى حول محور معين. إذا كانت لحظة القوى حول المحور تساوي الصفر ، فإن هذه القوى لا تنتج الشغل.

أمثلة على حل المشكلات

مثال 2.1. كتلة دولاب الموازنةم= 5 كجم ونصف القطرص= 0.2 متر يدور حول المحور الأفقي بترددν 0 = 720 دقيقة -1 ويتوقف عند الكبحر= 20 ثانية. أوجد عزم الكبح وعدد الدورات قبل التوقف.

لتحديد عزم الكبح ، نطبق المعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية

حيث I = mr 2 هي لحظة القصور الذاتي للقرص ؛ Δω \ u003d ω - ω 0 ، و ω \ u003d 0 هي السرعة الزاوية النهائية ، ω 0 \ u003d 2πν 0 هي السرعة الأولية. M هي لحظة الكبح للقوى المؤثرة على القرص.

بمعرفة جميع الكميات ، من الممكن تحديد عزم الكبح

السيد 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

من حركيات الحركة الدورانية ، يمكن تحديد زاوية الدوران أثناء دوران القرص للتوقف بواسطة الصيغة

(3)

أين β هي العجلة الزاوية.

حسب حالة المشكلة: ω = ω 0 - βΔt ، منذ ω = 0 ، ω 0 = t

ثم يمكن كتابة التعبير (2) على النحو التالي:

مثال 2.2. حذافتان على شكل أقراص من نفس نصف القطر والكتل تم نسجها حتى سرعة الدورانن= 480 دورة في الدقيقة وتركها لأنفسهم. تحت تأثير قوى الاحتكاك للأعمدة على المحامل ، توقف الأول بعد ذلكر\ u003d 80 ثانية ، والثاني فعلن= 240 دورة للتوقف. في أي دولاب الموازنة ، كانت لحظة قوى الاحتكاك للأعمدة على المحامل أكبر وكم مرة.

سنجد لحظة قوى الأشواك M 1 للعجلة الأولى باستخدام المعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية

م 1 Δt \ u003d Iω 2 - Iω 1

حيث Δt هو وقت عمل لحظة قوى الاحتكاك ، I \ u003d mr 2 - لحظة القصور الذاتي في دولاب الموازنة ، ω 1 \ u003d 2πν و ω 2 \ u003d 0 هي السرعات الزاوية الأولية والنهائية للحذافات

ثم

يتم التعبير عن لحظة الاحتكاك M 2 للعجلة الثانية من خلال العلاقة بين الشغل A لقوى الاحتكاك والتغير في طاقتها الحركية ΔE k:

حيث Δφ = 2πN هي زاوية الدوران ، N هي عدد دورات دولاب الموازنة.

ثم أين

ا ستكون النسبة

عزم الاحتكاك الثاني للحدافة أكبر بمقدار 1.33 مرة.

مثال 2.3. كتلة القرص الصلب المتجانس م ، كتل الأحمال م 1 وم 2 (الشكل 15). لا يوجد انزلاق أو احتكاك للخيط في محور الاسطوانة. أوجد تسارع الكتل ونسبة شد الخيطفي عملية الحركة.

لا يوجد انزلاق في الخيط ، لذلك ، عندما يقوم m 1 و m 2 بعمل حركة انتقالية ، ستدور الأسطوانة حول المحور الذي يمر عبر النقطة O. دعنا نفترض أن m 2> m 1.

ثم يتم خفض الحمولة م 2 وتدور الاسطوانة في اتجاه عقارب الساعة. دعونا نكتب معادلات حركة الأجسام المدرجة في النظام

تتم كتابة المعادلتين الأوليين للأجسام ذات الكتلة m 1 و m 2 تؤديان حركة انتقالية ، والمعادلة الثالثة مخصصة لأسطوانة دوارة. في المعادلة الثالثة ، على اليسار توجد العزم الكلي للقوى المؤثرة على الأسطوانة (تُؤخذ لحظة القوة T 1 بعلامة ناقص ، لأن القوة T 1 تميل إلى قلب الأسطوانة عكس اتجاه عقارب الساعة). على اليمين ، أنا لحظة القصور الذاتي للأسطوانة حول المحور O ، والتي تساوي

حيث R هو نصف قطر الاسطوانة ؛ β هو العجلة الزاوية للأسطوانة.

نظرًا لعدم وجود زلة الخيط ،
. مع الأخذ في الاعتبار التعبيرات الخاصة بـ I و ، نحصل على:

بجمع معادلات النظام ، نصل إلى المعادلة

من هنا نجد العجلة أالبضائع

يمكن أن نرى من المعادلة الناتجة أن توترات الخيط ستكون هي نفسها ، أي = 1 إذا كانت كتلة الأسطوانة أقل بكثير من كتلة الأوزان.

مثال 2.4. كرة مجوفة كتلتها m = 0.5 kg لها نصف قطر خارجي R = 0.08m ونصف قطر داخلي r = 0.06m. تدور الكرة حول محور يمر عبر مركزها. في لحظة معينة ، تبدأ القوة بالتأثير على الكرة ، ونتيجة لذلك تتغير زاوية دوران الكرة وفقًا للقانون
. حدد لحظة القوة المؤثرة.

نحل المشكلة باستخدام المعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية
. تكمن الصعوبة الرئيسية في تحديد لحظة القصور الذاتي للكرة المجوفة ، وتم العثور على التسارع الزاوي β على النحو التالي
. تساوي لحظة القصور الذاتي I للكرة المجوفة الفرق بين لحظات القصور الذاتي لكرة نصف قطرها R وكرة نصف قطرها r:

أين ρ هي كثافة مادة الكرة. نحسب الكثافة ، بمعرفة كتلة الكرة المجوفة

من هنا نحدد كثافة مادة الكرة

في لحظة القوة M نحصل على التعبير التالي:

مثال 2.5. قضيب رفيع كتلته 300 جم وطوله 50 سم يدور بسرعة زاوية مقدارها 10 ثوانٍ -1 في مستوى أفقي حول محور عمودي يمر عبر منتصف القضيب. أوجد السرعة الزاوية إذا كان القضيب يتحرك أثناء الدوران في نفس المستوى بحيث يمر محور الدوران عبر نهاية القضيب.

نستخدم قانون الحفاظ على الزخم الزاوي

(1)

(J i - لحظة القصور الذاتي للقضيب بالنسبة لمحور الدوران).

بالنسبة لنظام الأجسام المعزول ، يظل المجموع المتجه للزخم الزاوي ثابتًا. نظرًا لحقيقة أن توزيع كتلة القضيب بالنسبة لمحور الدوران يتغير ، فإن لحظة القصور الذاتي للقضيب تتغير أيضًا وفقًا لـ (1):

ج 0 ω 1 = ج 2 ω 2. (2)

من المعروف أن لحظة القصور الذاتي للقضيب حول المحور الذي يمر عبر مركز الكتلة والعمودي على القضيب تساوي

ي 0 \ u003d م 2/12. (3)

حسب نظرية شتاينر

J = J 0 + م أ 2

(J هي لحظة القصور الذاتي للقضيب حول محور دوران تعسفي ؛ J 0 هي لحظة القصور الذاتي حول محور مواز يمر عبر مركز الكتلة ؛ أ- المسافة من مركز الكتلة إلى محور الدوران المحدد).

لنجد لحظة القصور الذاتي حول المحور الذي يمر عبر نهايته وعمودي على القضيب:

ي 2 \ u003d ي 0 + م أ 2 ، J 2 = مℓ 2/12 + م (/ 2) 2 = مℓ 2/3. (أربعة)

دعونا نستبدل الصيغتين (3) و (4) في (2):

مℓ 2 ω 1/12 = م 2 2/3

ω 2 \ u003d ω 1/4 ω 2 \ u003d 10s-1/4 \ u003d 2.5s -1

مثال 2.6 . رجل جماعيم= 60 كجم ، يقف على حافة المنصة مع كتلة M = 120 كجم ، يدور بالقصور الذاتي حول محور رأسي ثابت بتردد ν 1 = 12 دقيقة -1 ، يذهب إلى مركزه. بالنظر إلى النظام الأساسي كقرص متجانس دائري ، والشخص ككتلة نقطية ، حدد مع أي تردد ν 2 ستدور المنصة بعد ذلك.

معطى:م = 60 كجم ، م = 120 كجم ، ν 1 = 12 دقيقة -1 = 0.2 ثانية -1 .

تجد:الخامس 1

المحلول:وفقًا لحالة المشكلة ، تدور المنصة مع الشخص عن طريق القصور الذاتي ، أي اللحظة الناتجة لجميع القوى المطبقة على نظام الدوران هي صفر. لذلك ، بالنسبة لنظام "المنصة الرجل" ، يتم الوفاء بقانون الحفاظ على الزخم

أنا 1 ω 1 = أنا 2 2

أين
- لحظة القصور الذاتي للنظام عندما يقف شخص على حافة المنصة (أخذنا في الاعتبار أن لحظة القصور الذاتي للمنصة تساوي (R هو نصف القطر ص
المنصة) ، لحظة القصور الذاتي للشخص على حافة المنصة هي mR 2).

- لحظة القصور الذاتي للنظام عندما يقف الشخص في وسط المنصة (أخذنا في الاعتبار أن لحظة وقوف الشخص في وسط المنصة تساوي الصفر). السرعة الزاوية ω 1 = 2π ν 1 و ω 1 = 2π ν 2.

استبدال التعبيرات المكتوبة في الصيغة (1) ، نحصل عليها

من أين سرعة الدوران المطلوبة

إجابه: v 2 = 24 دقيقة -1.

فكر أولاً في جسم صلب يدور حول محور ثابت OZ بسرعة زاوية ω (الشكل 5.6). دعونا نقسم الجسم إلى كتل أولية. السرعة الخطية للكتلة الأولية هي المسافة من محور الدوران. الطاقة الحركية أنا- الكتلة الأولية ستكون مساوية لـ

.

تتكون الطاقة الحركية للجسم كله من الطاقات الحركية لأجزائه

.

بالنظر إلى أن المجموع على الجانب الأيمن من هذه العلاقة يمثل لحظة القصور الذاتي للجسم حول محور الدوران ، نحصل أخيرًا على

. (5.30)

الصيغ الخاصة بالطاقة الحركية للجسم الدوار (5.30) تشبه الصيغ المقابلة للطاقة الحركية للحركة الانتقالية للجسم. يتم الحصول عليها من الأخير عن طريق الاستبدال الرسمي .

في الحالة العامة ، يمكن تمثيل حركة الجسم الصلب كمجموع من الحركات - متعدية بسرعة ، سرعة متساويةمركز كتلة الجسم ، ودوران بسرعة زاوية حول محور لحظي يمر عبر مركز الكتلة. في هذه الحالة ، يأخذ التعبير عن الطاقة الحركية للجسم الشكل

.

دعونا الآن نجد الشغل الذي أنجزته لحظة القوى الخارجية أثناء دوران جسم صلب. العمل الأولي للقوى الخارجية في الوقت المناسب دستكون مساوية للتغير في الطاقة الحركية للجسم

بأخذ التفاضل من الطاقة الحركية للحركة الدورانية ، نجد زيادتها

.

وفقًا للمعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية

مع الأخذ في الاعتبار هذه العلاقات ، نقوم بتصغير تعبير العمل الأولي إلى النموذج

أين هو إسقاط اللحظة الناتجة للقوى الخارجية على اتجاه محور الدوران OZ ، هو زاوية دوران الجسم لفترة زمنية معينة.

بدمج (5.31) ، نحصل على صيغة لعمل القوى الخارجية المؤثرة على جسم دوار

إذا ، فسيتم تبسيط الصيغة

وبالتالي ، فإن عمل القوى الخارجية أثناء دوران جسم صلب حول محور ثابت يتم تحديده من خلال عمل إسقاط لحظة هذه القوى على محور معين.

جيروسكوب

الجيروسكوب هو جسم متناظر يدور بسرعة ، ويمكن لمحور دورانه أن يغير اتجاهه في الفضاء. حتى يتمكن محور الجيروسكوب من الدوران بحرية في الفضاء ، يتم وضع الجيروسكوب في ما يسمى بتعليق gimbal (الشكل 5.13). تدور دولاب الموازنة للجيروسكوب في القفص الحلقي الداخلي حول محور C 1 C 2 الذي يمر عبر مركز ثقله. يمكن للقفص الداخلي بدوره أن يدور في القفص الخارجي حول المحور B 1 B 2 عموديًا على C 1 C 2. أخيرًا ، يمكن للسباق الخارجي أن يدور بحرية في محامل الدعامة حول المحور A 1 A 2 عموديًا على المحاور C 1 C 2 و B 1 B 2. تتقاطع المحاور الثلاثة عند نقطة ثابتة ما ، تسمى مركز التعليق أو نقطة ارتكاز الجيروسكوب. يتمتع الجيروسكوب الموجود في المحور بثلاث درجات من الحرية ، وبالتالي يمكنه إجراء أي دوران حول مركز المحور. إذا تزامن مركز تعليق الجيروسكوب مع مركز جاذبيته ، فإن لحظة الجاذبية الناتجة لجميع أجزاء الجيروسكوب بالنسبة إلى مركز التعليق تساوي الصفر. يسمى هذا الجيروسكوب متوازن.

دعونا الآن ننظر في أهم خصائص الجيروسكوب ، والتي وجدت تطبيقات واسعة له في مختلف المجالات.

1) الاستدامة.

مع أي دوران لحامل الجيروسكوب المتوازن ، يحتفظ محور الدوران الخاص به بنفس الاتجاه فيما يتعلق نظام المختبرالمرجعي. هذا يرجع إلى حقيقة أن لحظة كل القوى الخارجية ، يساوي اللحظةقوى الاحتكاك صغيرة جدًا وعمليًا لا تسبب تغييرًا في الزخم الزاوي للجيروسكوب ، أي

نظرًا لأنه يتم توجيه الزخم الزاوي على طول محور دوران الجيروسكوب ، يجب أن يظل اتجاهه دون تغيير.

إذا عملت قوة خارجية لفترة قصيرة ، فسيكون التكامل الذي يحدد زيادة الزخم الزاوي صغيرًا

. (5.34)

هذا يعني أنه في ظل التأثيرات قصيرة المدى حتى للقوى الكبيرة ، فإن حركة الجيروسكوب المتوازن تتغير قليلاً. يقاوم الجيروسكوب ، كما كان ، كل المحاولات لتغيير حجم واتجاه زخمه الزاوي. يرتبط بهذا الاستقرار الرائع الذي تكتسبه حركة الجيروسكوب بعد وضعه في الدوران السريع. تستخدم خاصية الجيروسكوب هذه على نطاق واسع تحكم تلقائىحركة الطائرات والسفن والصواريخ وغيرها من المركبات.

إذا عملنا على الجيروسكوب وقت طويلثابت في اتجاه لحظة القوى الخارجية ، ثم يتم إنشاء محور الجيروسكوب ، في النهاية ، في اتجاه لحظة القوى الخارجية. تستخدم هذه الظاهرة في البوصلة الجيروسكوبية. هذا الجهاز عبارة عن جيروسكوب ، يمكن لمحوره أن يدور بحرية في مستوى أفقي. نظرًا للدوران اليومي للأرض وعمل لحظة قوى الطرد المركزي ، يدور محور الجيروسكوب بحيث تصبح الزاوية بينهما ضئيلة (الشكل 5.14). هذا يتوافق مع موضع محور الجيروسكوب في مستوى خط الزوال.

2). التأثير الجيروسكوبي.

إذا تم تطبيق زوج من القوى على جيروسكوب دوار ، يميل إلى تدويره حول محور عمودي على محور الدوران ، فسوف يدور حول المحور الثالث ، عموديًا على أول اثنين (الشكل 5.15). يسمى هذا السلوك غير العادي للجيروسكوب بالتأثير الجيروسكوبي. يتم تفسير ذلك من خلال حقيقة أن لحظة زوج من القوى يتم توجيهها على طول محور O 1 O 1 وأن ​​التغيير في المتجه بقيمة مع مرور الوقت سيكون له نفس الاتجاه. نتيجة لذلك ، سوف يدور المتجه الجديد حول محور O 2 O 2. وبالتالي ، فإن السلوك الذي يبدو غير طبيعي للجيروسكوب يتوافق تمامًا مع قوانين ديناميات الحركة الدورانية

3). مداورة الدوران.

حركة الجيروسكوب هي الحركة المخروطية لمحورها. يحدث ذلك عندما تدور لحظة القوى الخارجية ، التي تظل ثابتة في الحجم ، في وقت واحد مع محور الجيروسكوب ، وتشكل معها زاوية قائمة طوال الوقت. لإثبات الحركة الاستباقية ، يمكن لعجلة دراجة بمحور ممتد ، يتم إدخالها في الدوران السريع (الشكل 5.16) ، أن تخدم.

إذا تم تعليق العجلة من خلال الطرف الممتد للمحور ، فسيبدأ محورها بالدوران حول المحور الرأسي تحت تأثير وزنها. يمكن أيضًا أن يكون الجزء العلوي الذي يدور بسرعة بمثابة عرض مسبق.

اكتشف أسباب استباقية الجيروسكوب. فكر في جيروسكوب غير متوازن يمكن لمحوره أن يدور بحرية حول نقطة معينة O (الشكل 5.16). إن عزم الجاذبية المطبق على الجيروسكوب يساوي المقدار

أين كتلة الجيروسكوب ، هي المسافة من النقطة O إلى مركز كتلة الجيروسكوب ، هي الزاوية التي شكلها محور الجيروسكوب مع الرأسي. يتم توجيه المتجه بشكل عمودي على المستوى الرأسي الذي يمر عبر محور الجيروسكوب.

تحت تأثير هذه اللحظة ، سيتلقى الزخم الزاوي للجيروسكوب (يتم وضع بدايته عند النقطة O) زيادة في الوقت ، وسوف يدور المستوى العمودي الذي يمر عبر محور الجيروسكوب بزاوية. يكون المتجه دائمًا عموديًا ، لذلك ، بدون تغيير الحجم ، يتغير المتجه فقط في الاتجاه. ومع ذلك ، بعد فترة الترتيب المتبادلالمتجهات وستكون هي نفسها كما في اللحظة الأولى. نتيجة لذلك ، سوف يدور محور الجيروسكوب باستمرار حول العمودي ، واصفاً المخروط. هذه الحركة تسمى الاستباقية.

دعونا نحدد السرعة الزاوية للمبادرة. وفقًا للشكل 5.16 ، فإن زاوية دوران الطائرة التي تمر عبر محور المخروط ومحور الجيروسكوب تساوي

أين الزخم الزاوي للجيروسكوب ، وزيادته بمرور الوقت.

من خلال القسمة ، مع الأخذ في الاعتبار العلاقات والتحولات المذكورة أعلاه ، نحصل على السرعة الزاوية للدفع

. (5.35)

بالنسبة للجيروسكوبات المستخدمة في التكنولوجيا ، تكون السرعة الزاوية للدوران أقل بملايين المرات من سرعة دوران الجيروسكوب.

في الختام ، نلاحظ أن ظاهرة الاستباقية تُلاحظ أيضًا في الذرات بسبب الحركة المدارية للإلكترونات.

أمثلة على تطبيق قوانين الديناميات

في حركة دوارة

1. ضع في اعتبارك بعض الأمثلة على قانون الحفاظ على الزخم الزاوي ، والذي يمكن تنفيذه باستخدام مقعد جوكوفسكي. في أبسط الحالات ، فإن مقعد جوكوفسكي عبارة عن منصة على شكل قرص (كرسي) يمكن أن تدور بحرية حول محور عمودي على محامل كروية (الشكل 5.17). يجلس المتظاهر أو يقف على المقعد ، وبعد ذلك يتم تحريكه إلى حركة دورانية. نظرًا لحقيقة أن قوى الاحتكاك الناتجة عن استخدام المحامل صغيرة جدًا ، لا يمكن أن يتغير الزخم الزاوي للنظام الذي يتكون من المقعد والمتظاهر ، بالنسبة إلى محور الدوران ، بمرور الوقت إذا تُرك النظام لنفسه . إذا حمل المتظاهر أوزان ثقيلة في يديه وقام بنشر ذراعيه على الجانبين ، فإنه سيزيد من لحظة القصور الذاتي للنظام ، وبالتالي يجب أن تنخفض السرعة الزاوية للدوران بحيث يظل الزخم الزاوي دون تغيير.

وفقًا لقانون الحفاظ على الزخم الزاوي ، نقوم بتكوين معادلة لهذه الحالة

أين هي لحظة القصور الذاتي للشخص والمقعد ، وهي لحظة القصور الذاتي للأوزان في الموضعين الأول والثاني ، وهي السرعات الزاوية للنظام.

السرعة الزاوية لدوران النظام عند تربية الدمبل على الجانب ستكون مساوية لها

.

يمكن تحديد العمل الذي يقوم به الشخص عند تحريك الدمبل من خلال تغيير في الطاقة الحركية للنظام

2. دعونا نعطي تجربة أخرى مع مقعد جوكوفسكي. يجلس المتظاهر أو يقف على مقعد ويتم إعطاؤه عجلة سريعة الدوران ذات محور موجه عموديًا (الشكل 5.18). ثم يدير المتظاهر العجلة 180 0. في هذه الحالة ، يتم نقل التغيير في الزخم الزاوي للعجلة بالكامل إلى المقعد والمتظاهر. نتيجة لذلك ، يتم تدوير المقعد ، جنبًا إلى جنب مع المتظاهر ، بسرعة زاوية محددة على أساس قانون الحفاظ على الزخم الزاوي.

يتم تحديد الزخم الزاوي للنظام في الحالة الأولية فقط من خلال الزخم الزاوي للعجلة ويساوي

أين لحظة القصور الذاتي للعجلة ، هي السرعة الزاوية لدورانها.

بعد تدوير العجلة بزاوية 180 0 ، سيتم تحديد لحظة زخم النظام بالفعل من خلال مجموع لحظة زخم المقعد مع الشخص وعزم زخم العجلة. مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن متجه الزخم للعجلة قد غير اتجاهه إلى العكس ، وأصبح إسقاطه على المحور الرأسي سالبًا ، نحصل على

,

أين لحظة القصور الذاتي لنظام "المنصة البشرية" ، هي السرعة الزاوية لدوران المقعد مع الشخص.

وفقًا لقانون حفظ الزخم الزاوي

و .

نتيجة لذلك ، نجد سرعة دوران المقعد

3. كتلة قضيب رقيق موطول لتدور بسرعة زاوية ω = 10 ث -1 في مستوى أفقي حول محور عمودي يمر عبر منتصف القضيب. مع الاستمرار في الدوران في نفس المستوى ، يتحرك القضيب بحيث يمر محور الدوران الآن عبر نهاية القضيب. أوجد السرعة الزاوية في الحالة الثانية.

في هذه المشكلة ، نظرًا لحقيقة أن توزيع كتلة القضيب بالنسبة لمحور الدوران يتغير ، فإن لحظة القصور الذاتي للقضيب تتغير أيضًا. وفقًا لقانون حفظ الزخم الزاوي لنظام معزول ، لدينا

هنا - لحظة القصور الذاتي للقضيب حول المحور الذي يمر عبر منتصف القضيب ؛ - لحظة القصور الذاتي للقضيب حول المحور الذي يمر عبر نهايته والتي تم العثور عليها بواسطة نظرية شتاينر.

استبدال هذه التعبيرات بقانون حفظ الزخم الزاوي ، نحصل عليه

,

.

4. طول القضيب إل= 1.5 م والوزن م 1= 10 كجم يتوقف عند الطرف العلوي. رصاصة تضرب مركز القضيب بكتلة م 2= 10 جم ، تطير أفقيًا بسرعة = 500 م / ث ، وتعلق في القضيب. بأي زاوية ينحرف القضيب بعد الاصطدام؟

دعونا نتخيل في الشكل. 5.19. نظام تفاعل الأجسام "قضيب رصاصة". لحظات القوى الخارجية (الجاذبية ، رد فعل المحور) في لحظة التأثير تساوي الصفر ، لذلك يمكننا استخدام قانون حفظ الزخم الزاوي

الزخم الزاوي للنظام قبل الاصطدام يساوي الزخم الزاوي للرصاصة بالنسبة لنقطة التعليق

يتم تحديد الزخم الزاوي للنظام بعد تأثير غير مرن من خلال الصيغة

,

أين هي لحظة القصور الذاتي للقضيب بالنسبة إلى نقطة التعليق ، هي لحظة القصور الذاتي للرصاصة ، السرعة الزاوية للقضيب بالرصاصة مباشرة بعد الاصطدام.

نجد حل المعادلة الناتجة بعد التعويض

.

دعونا الآن نستخدم قانون حفظ الطاقة الميكانيكية. دعونا نساوي الطاقة الحركية للقضيب بعد أن تصطدم به الرصاصة مع طاقتها الكامنة عند أعلى نقطة في الصعود:

,

أين ارتفاع مركز كتلة النظام المعطى.

بعد إجراء التحولات اللازمة ، حصلنا عليها

ترتبط زاوية انحراف القضيب بالقيمة حسب النسبة

.

بعد إجراء الحسابات ، نحصل على = 0،1 ع = 18 0.

5. حدد تسارع الأجسام وشد الخيط على آلة Atwood ، بافتراض ذلك (الشكل 5.20). لحظة القصور الذاتي للكتلة حول محور الدوران هي أنانصف قطر الكتلة ص. تجاهل كتلة الخيط.

دعونا نرتب كل القوى المؤثرة على الأحمال والكتلة ، ونؤلف معادلات الديناميات لها

إذا لم يكن هناك انزلاق للخيط على طول الكتلة ، فإن التسارع الخطي والزاوي مرتبطان بالعلاقة

نحصل على حل هذه المعادلات

ثم نجد T 1 و T 2.

6. يتم إرفاق خيط ببكرة صليب Oberbeck (الشكل 5.21) ، والتي يكون لها وزن كبير م= 0.5 كجم. حدد المدة التي يستغرقها سقوط الحمولة من ارتفاع ح= 1 متر إلى الموضع السفلي. نصف قطر البكرة ص\ u003d 3 سم أربعة أوزان من الكتلة م= 250 جرام لكل منهما على مسافة ص= 30 سم من محوره. إهمال لحظة القصور الذاتي للصليب نفسه والبكرة مقارنة بلحظة القصور الذاتي للأوزان.

الطاقة الحركية للدوران

المحاضرة 3. ديناميات الجسم الصلب

خطة المحاضرة

3.1. لحظة القوة.

3.2 المعادلات الأساسية للحركة الدورانية. لحظة من الجمود.

3.3 الطاقة الحركية للدوران.

3.4. لحظة الاندفاع. قانون الحفاظ على الزخم الزاوي.

3.5 التناظر بين الحركة الانتقالية والحركة الدورانية.

لحظة القوة

ضع في اعتبارك حركة جسم صلب حول محور ثابت. دع الجسم الصلب له محور دوران ثابت ОО ( شكل 3.1) وتطبق عليه قوة تعسفية.

أرز. 3.1

نحلل القوة إلى عنصرين من القوة ، وتكمن القوة في مستوى الدوران ، والقوة موازية لمحور الدوران. ثم نحلل القوة إلى مكونين: - تعمل على طول متجه نصف القطر و - عموديًا عليها.

لن تؤدي أي قوة مطبقة على الجسم إلى تدويره. القوى وتخلق ضغطًا على المحامل ، لكن لا تقم بتدويرها.

قد تؤدي القوة أو لا تؤدي إلى إخراج الجسم من التوازن ، اعتمادًا على مكان تطبيق متجه نصف القطر. لذلك ، يتم تقديم مفهوم لحظة القوة حول المحور. لحظة القوةبالنسبة لمحور الدوران يسمى المنتج المتجه لمتجه نصف القطر والقوة.

يتم توجيه المتجه على طول محور الدوران ويتم تحديده من خلال قاعدة الضرب المتقاطع أو قاعدة اللولب اليمنى أو قاعدة gimlet.

معامل عزم القوة

حيث α هي الزاوية بين المتجهات و.

من الشكل 3.1. انه واضح .

ص 0- أقصر مسافة من محور الدوران إلى خط عمل القوة وتسمى كتف القوة. ثم يمكن كتابة لحظة القوة

م = و ص 0 . (3.3)

من التين. 3.1.

أين Fهو إسقاط المتجه على الاتجاه العمودي لمتجه نصف القطر المتجه. في هذه الحالة ، لحظة القوة هي

. (3.4)

إذا كانت هناك عدة قوى تؤثر على الجسم ، فإن لحظة القوة الناتجة تساوي المجموع المتجه لحظات القوى الفردية ، ولكن نظرًا لأن كل اللحظات موجهة على طول المحور ، فيمكن استبدالها مجموع جبري. سيتم اعتبار العزم موجبًا إذا قام بتدوير الجسم في اتجاه عقارب الساعة وسلبيًا إذا كان عكس اتجاه عقارب الساعة. إذا كانت كل لحظات القوى تساوي صفرًا () ، فسيكون الجسم في حالة توازن.

يمكن إثبات مفهوم لحظة القوة باستخدام "ملف غريب الأطوار". يتم سحب بكرة الخيط بواسطة الطرف الحر للخيط ( أرز. 3.2).

أرز. 3.2

اعتمادًا على اتجاه شد الخيط ، يدور الملف في اتجاه واحد أو آخر. إذا قمت بالسحب بزاوية α ، ثم لحظة القوة حول المحور ا(عموديًا على الشكل) يدير الملف عكس اتجاه عقارب الساعة ويتدحرج للخلف. في حالة التوتر بزاوية β يكون العزم في عكس اتجاه عقارب الساعة ويتحرك الملف للأمام.

باستخدام شرط التوازن () ، يمكنك تصميم آليات بسيطة تكون "محولات" للقوة ، أي مع قوة أقل يمكن رفعها وتحريكها وزن مختلفالبضائع. تعتمد الرافعة وعربات اليد والكتل على هذا المبدأ. نوع مختلفالتي تستخدم على نطاق واسع في البناء. للامتثال لشرط التوازن في رافعات البناء للتعويض عن لحظة القوة التي يسببها وزن الحمولة ، هناك دائمًا نظام من الأثقال الموازنة التي تخلق لحظة قوة للعلامة المعاكسة.

3.2 معادلة الدوران الأساسية
حركة. لحظة من الجمود

ضع في اعتبارك جسمًا صلبًا تمامًا يدور حول محور ثابت OO(شكل 3.3). دعونا نقسم عقليًا هذا الجسم إلى عناصر ذات كتل Δ م 1, Δ م 2, …, Δ م. أثناء الدوران ، ستصف هذه العناصر الدوائر ذات نصف القطر r1,r2 , …,rn. تعمل القوات على كل عنصر F1,F2 , …,و ن. دوران الجسم حول محور OOيحدث تحت تأثير اللحظة الكلية للقوى م.

م \ u003d م 1 + م 2 + ... + م ن (3.4)

أين M 1 = F 1 r 1، M 2 = F 2 r 2، ...، M n = F n r n

وفقًا لقانون نيوتن الثاني ، كل قوة F، تعمل على عنصر من عناصر الكتلة د م، يتسبب في تسريع العنصر المحدد أ، بمعنى آخر.

و أنا =د أنا أ (3.5)

استبدال القيم المقابلة في (3.4) ، نحصل عليها

أرز. 3.3

معرفة العلاقة بين التسارع الزاوي الخطي ε () وأن العجلة الزاوية لجميع العناصر هي نفسها ، فإن الصيغة (3.6) ستبدو

م = (3.7)

=أنا (3.8)

أناهي لحظة القصور الذاتي للجسم حول المحور الثابت.

ثم سنحصل

م = أنا ε (3.9)

أو في شكل ناقل

(3.10)

هذه المعادلة هي المعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية. إنه مشابه في شكله للمعادلة الثانية لقانون نيوتن. من (3.10) لحظة القصور الذاتي

وبالتالي ، فإن لحظة القصور الذاتي لجسم معين هي نسبة لحظة القوة إلى التسارع الزاوي الذي تسببه. من (3.11) يمكن ملاحظة أن لحظة القصور الذاتي هي مقياس لقصور الجسم فيما يتعلق بالحركة الدورانية. تلعب لحظة القصور الذاتي نفس دور الكتلة في الحركة متعدية. وحدة si [ أنا] = كجم م 2. من الصيغة (3.7) يتبع ذلك أن لحظة القصور الذاتي تميز توزيع كتل جسيمات الجسم بالنسبة لمحور الدوران.

إذن ، عزم القصور الذاتي لعنصر كتلته ∆m يتحرك على طول دائرة نصف قطرها r يساوي

أنا = r2د م (3.12)

أنا = (3.13)

في حالة التوزيع الشامل المستمر ، يمكن استبدال المجموع بالتكامل

أنا = ∫ ص 2 دسم (3.14)

حيث يتم تنفيذ التكامل على كامل كتلة الجسم.

هذا يدل على أن لحظة القصور الذاتي للجسم تعتمد على الكتلة وتوزيعها بالنسبة لمحور الدوران. يمكن إثبات ذلك تجريبيا شكل 3.4).

أرز. 3.4

تبدأ أسطوانتان دائريتان ، إحداهما مجوفة (على سبيل المثال ، معدنية) ، والأخرى صلبة (خشبية) بنفس الأطوال ، ونصف القطر والكتل ، في التدحرج لأسفل في وقت واحد. سوف تتخلف الأسطوانة المجوفة ذات العزم الكبير من القصور الذاتي عن الأسطوانة الصلبة.

يمكنك حساب لحظة القصور الذاتي إذا كنت تعرف الكتلة موتوزيعه بالنسبة لمحور الدوران. أبسط حالة هي الحلقة ، عندما تكون جميع عناصر الكتلة متساوية من محور الدوران ( أرز. 3.5):

أنا = (3.15)

أرز. 3.5

دعونا نعطي تعبيرات عن لحظات القصور الذاتي لأجسام متناظرة مختلفة ذات كتلة م.

1. لحظة من الجمود خواتم, اسطوانة رقيقة الجدران مجوفةحول محور الدوران الذي يتزامن مع محور التناظر.

, (3.16)

صهو نصف قطر الحلقة أو الاسطوانة

2. بالنسبة للأسطوانة الصلبة والقرص ، لحظة القصور الذاتي حول محور التناظر

(3.17)

3. لحظة القصور الذاتي للكرة حول المحور الذي يمر عبر المركز

(3.18)

ص- نصف قطر الكرة

4. لحظة القصور الذاتي لقضيب رفيع طويل لبالنسبة لمحور متعامد على القضيب ويمر عبر منتصفه

(3.19)

ل- طول القضيب.

إذا لم يمر محور الدوران عبر مركز الكتلة ، فعندئذ يتم تحديد لحظة القصور الذاتي للجسم حول هذا المحور بواسطة نظرية شتاينر.

(3.20)

وفقًا لهذه النظرية ، فإن لحظة القصور الذاتي حول المحور التعسفي О'O '( ) تساوي لحظة القصور الذاتي حول محور مواز يمر عبر مركز كتلة الجسم ( ) زائد حاصل ضرب كتلة الجسم في مربع المسافة أبين المحاور ( أرز. 3.6).

أرز. 3.6

الطاقة الحركية للدوران

ضع في اعتبارك دوران جسم صلب تمامًا حول محور ثابت OO بسرعة زاوية ω (أرز. 3.7). دعونا نقسم الجسم الصلب إلى نالكتل الأولية ∆ م أنا. يدور كل عنصر من عناصر الكتلة على دائرة نصف قطرها ص أنامع السرعة الخطية (). الطاقة الحركية هي مجموع الطاقات الحركية للعناصر الفردية.

(3.21)

أرز. 3.7

نذكر من (3.13) ذلك هي لحظة القصور الذاتي حول محور OO.

وبالتالي ، الطاقة الحركية لجسم دوار

ه ك \ u003d (3.22)

لقد درسنا الطاقة الحركية للدوران حول محور ثابت. إذا كان الجسم متورطًا في حركتين: في الحركات الانتقالية والدورانية ، فإن الطاقة الحركية للجسم هي مجموع الطاقة الحركية للحركة الانتقالية والطاقة الحركية للدوران.

على سبيل المثال ، كرة كتلة مالمتداول. يتحرك مركز كتلة الكرة للأمام بسرعة ش (أرز. 3.8).

أرز. 3.8

مجموع الطاقة الحركية للكرة سوف يساوي

(3.23)

3.4. لحظة الاندفاع. قانون الحفظ
الزخم الزاوي

كمية فيزيائية تساوي ناتج لحظة القصور الذاتي أناإلى السرعة الزاوية ω ، يسمى الزخم الزاوي (لحظة الزخم) إلحول محور الدوران.

- الزخم الزاوي هو كمية متجهية ويتزامن في الاتجاه مع اتجاه السرعة الزاوية.

معادلة التفريق (3.24) فيما يتعلق بالوقت ، نحصل عليها

أين، مهي اللحظة الكلية للقوى الخارجية. في نظام منعزل ، لا توجد لحظة من القوى الخارجية ( م= 0) و

ضع في اعتبارك جسمًا صلبًا تمامًا يدور حول محور ثابت. دعونا نقسم هذا الجسم عقليًا إلى قطع صغيرة بلا حدود ذات أحجام وكتل صغيرة بشكل لا نهائي. م ت ت. ، ر 3 ،... على مسافات R v R 0 ، R 3 ، ... من المحور. الطاقة الحركية للجسم الدوارنجد مجموع الطاقات الحركية لأجزائها الصغيرة:

- لحظة من الجمودجسم صلب بالنسبة للمحور المحدد 00 ،. من خلال مقارنة الصيغ الخاصة بالطاقة الحركية للحركات الانتقالية والحركات الدورانية ، يتضح ذلك إن لحظة القصور الذاتي في الحركة الدورانية مماثلة للكتلة في الحركة الانتقالية.الصيغة (4.14) ملائمة لحساب لحظة القصور الذاتي للأنظمة التي تتكون من نقاط مادية فردية. لحساب لحظة القصور الذاتي للأجسام الصلبة ، باستخدام تعريف التكامل ، يمكنك تحويله إلى النموذج

من السهل أن نرى أن لحظة القصور الذاتي تعتمد على اختيار المحور وتتغير بترجمتها المتوازية وتناوبها. دعونا نجد قيم لحظات القصور الذاتي لبعض الأجسام المتجانسة.

من الصيغة (4.14) يتضح ذلك لحظة من الجمود نقطة مادية يساوي

أين ر -كتلة نقطة ص-المسافة إلى محور الدوران.

من السهل حساب لحظة القصور الذاتي لـ اسطوانة رقيقة الجدران مجوفة(أو حالة خاصة لأسطوانة ذات ارتفاع صغير - حلقة رقيقة)نصف القطر صحول محور التناظر. المسافة إلى محور الدوران لجميع النقاط لمثل هذا الجسم هي نفسها ، وتساوي نصف القطر ويمكن إخراجها من تحت علامة المجموع (4.14):

أرز. 4.5

اسطوانة صلبة(أو حالة خاصة لأسطوانة ذات ارتفاع صغير - قرص)نصف القطر صلحساب لحظة القصور الذاتي حول محور التناظر يتطلب حساب التكامل (4.15). يمكن أن نفهم مقدمًا أن الكتلة في هذه الحالة ، في المتوسط ​​، تتركز إلى حد ما أقرب إلى المحور منها في حالة الأسطوانة المجوفة ، وستكون الصيغة مماثلة لـ (4.17) ، لكن معامل أقل من واحد. تظهر فيه. لنجد هذا المعامل. دع الأسطوانة الصلبة لها كثافة p وارتفاع أ. دعونا نقسمها إلى أسطوانات مجوفة (أسطح أسطوانية رفيعة) بسمك الدكتور(يوضح الشكل 4.5 إسقاطًا عموديًا على محور التناظر). حجم هذه الاسطوانة المجوفة نصف قطرها r مساوية للمنطقةسمك مرات السطح: dV = 2nrhdr ،وزن: dm = 2nphrdr ،ولحظة القصور الذاتي وفقًا للصيغة (4.17): دي جي =

= ص 2 دسم = 2lr /؟ ز Wr. يتم الحصول على إجمالي عزم القصور الذاتي للأسطوانة الصلبة من خلال دمج (تجميع) لحظات القصور الذاتي للأسطوانات المجوفة:

بحثت بالمثل لحظة القصور الذاتي لقضيب رفيعالطول إلوالجماهير رإذا كان محور الدوران عموديًا على القضيب ويمر عبر منتصفه. دعونا نكسر هذا

مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن كتلة الأسطوانة الصلبة مرتبطة بالكثافة بواسطة الصيغة ر = 2 حصان ،لدينا في النهاية لحظة القصور الذاتي لأسطوانة صلبة:

أرز. 4.6

قضيب وفقا للتين. 4.6 قطعة سميكة دل.كتلة هذه القطعة هي dm = mdl / L ،ولحظة القصور الذاتي وفقًا للصيغة (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl / L.يتم الحصول على إجمالي لحظة القصور الذاتي لقضيب رفيع من خلال دمج (تجميع) لحظات القصور الذاتي للقطع:

أخذ التكامل الأولي يعطي لحظة القصور الذاتي لقضيب رفيع من الطول إلوالجماهير ر

أرز. 4.7

يعتبر التكامل أكثر تعقيدًا إلى حد ما عند البحث لحظة القصور الذاتي للكرة المتجانسةنصف القطر صوالكتلة / 77 بالنسبة لمحور التناظر. دع الكرة الصلبة لها كثافة p. دعنا نقسمها كما هو موضح في الشكل. 4.7 لسمك الاسطوانات الرقيقة المجوفة الدكتور،يتزامن محور تناظرها مع محور دوران الكرة. حجم هذه الاسطوانة المجوفة نصف قطرها جيتساوي مساحة السطح مضروبة في السماكة:

أين ارتفاع الاسطوانة حوجدت باستخدام نظرية فيثاغورس:

ثم من السهل العثور على كتلة الأسطوانة المجوفة:

وكذلك لحظة القصور الذاتي وفقًا للصيغة (4.15):

يتم الحصول على إجمالي عزم القصور الذاتي للكرة الصلبة من خلال دمج (جمع) لحظات القصور الذاتي للأسطوانات المجوفة:

مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن كتلة الكرة الصلبة مرتبطة بكثافة الشكل - 4.

لوي ر = -npR A yلدينا أخيرًا لحظة القصور الذاتي حول المحور

تناظر كرة متجانسة نصف قطرها صالجماهير ر:

تعبير عن الطاقة الحركية لجسم دوار مع مراعاة ذلك سرعة الخطنقطة المواد التعسفية التي تشكل الجسم ، بالنسبة لمحور الدوران تساوي الشكل

أين لحظة القصور الذاتي للجسم حول محور الدوران المختار ، سرعته الزاوية حول هذا المحور ، لحظة زخم الجسم حول محور الدوران.

إذا كان الجسم يقوم بحركة دورانية انتقالية ، فإن حساب الطاقة الحركية يعتمد على اختيار القطب ، بالنسبة إلى حركة الجسم. ستكون النتيجة النهائية هي نفسها. لذلك ، إذا كان الجسم المستدير يتدحرج بسرعة v دون الانزلاق بنصف قطر R ومعامل القصور الذاتي k ، يتم أخذ القطب عند سم عند النقطة C ، ثم لحظة القصور الذاتي ، والسرعة الزاوية للدوران حوله المحور С. ثم الطاقة الحركية للجسم

إذا تم أخذ القطب عند نقطة الاتصال O بين الجسم والسطح الذي يمر من خلاله المحور اللحظي لدوران الجسم ، فإن لحظة القصور الذاتي حول المحور O تصبح مساوية لـ . ثم الطاقة الحركية للجسم ، مع الأخذ في الاعتبار أن السرعات الزاوية لدوران الجسم بالنسبة إلى المحاور المتوازية هي نفسها ويقوم الجسم بدوران نقي حول المحور O ، ستكون مساوية لها. النتيجة هي نفسها.

النظرية الخاصة بالطاقة الحركية لجسم يؤدي حركة معقدة سيكون لها نفس شكل حركته الانتقالية: .

مثال 1جسم كتلته m مربوط بنهاية خيط ملفوف على كتلة أسطوانية نصف قطرها R وكتلة M. يتم رفع الجسم إلى ارتفاع h ويتم تحريره (الشكل 65). بعد رعشة الخيط غير المرنة ، يبدأ الجسم والكتلة على الفور في التحرك معًا. ما هي الحرارة التي سيتم إطلاقها أثناء النفضة؟ ماذا سيكون تسارع حركة الجسم وشد الخيط بعد النفضة؟ كم ستكون سرعة الجسم والمسافة التي يقطعها بعد رعشة الخيط بعد الزمن t؟

معطى: M ، R ، m ، h ، g ، t. تجد: Q - ؟، a - ؟، T - ؟، v - ؟، s -؟

المحلول: سرعة الجسم قبل سحب الخيط. بعد نفض الخيط ، ستبدأ الكتلة والجسم بالدوران حول محور الكتلة O وسوف يتصرفان مثل الأجسام ذات لحظات من القصور الذاتي حول هذا المحور تساوي و. هم إجمالي اللحظةالقصور الذاتي حول محور الدوران.

إن رعشة الخيط هي عملية سريعة وخلال النطر يحدث قانون الحفاظ على الزخم الزاوي لنظام كتلة الجسم ، والذي يرجع إلى حقيقة أن الجسم والكتلة مباشرة بعد النطر يبدأان في التحرك معًا ، بالشكل:. من أين تأتي السرعة الزاوية الأولية لدوران الكتلة ، والسرعة الخطية الابتدائية للجسم .

الطاقة الحركية للنظام بسبب الحفاظ على زخمه الزاوي مباشرة بعد أن تساوي رعشة الخيط. الحرارة المنبعثة أثناء النطر حسب قانون حفظ الطاقة

لا تعتمد المعادلات الديناميكية لحركة أجسام النظام بعد رعشة الخيط على سرعتها الأولية. بالنسبة للكتلة ، يبدو الأمر أو وللجسد. بجمع هاتين المعادلتين ، نحصل على . من أين يأتي تسارع حركة الجسم. قوة شد الخيط

المعادلات الحركية لحركة الجسم بعد النطر سيكون لها الشكل حيث جميع المعلمات معروفة.

إجابه: . .

مثال 2. جسمان دائريان لهما معاملات القصور الذاتي (أسطوانة مجوفة) و (كرة) تقعان عند قاعدة مستوى مائل بزاوية ميل α أبلغ عن السرعات الأولية نفسها الموجهة لأعلى على طول مستوى مائل. إلى أي ارتفاع وفي أي وقت سترتفع الأجساد إلى هذا الارتفاع؟ ما هي تسارعات صعود الجسم؟ كم مرة تختلف ارتفاعات وأوقات وتسارع صعود الأجسام؟ تتحرك الأجسام على طول مستوى مائل دون الانزلاق.

معطى: . تجد:

المحلول: يتأثر الجسم بـ: الجاذبية م زرد فعل المستوى المائل ن، وقوة الاحتكاك التصاق (شكل 67). عمل التفاعل الطبيعي وقوة الاحتكاك الالتصاق (لا يوجد انزلاق ولا يتم إطلاق حرارة عند نقطة التصاق الجسم والطائرة.) تساوي الصفر: لذلك ، لوصف حركة الأجسام ، من الممكن تطبيق قانون الحفاظ على الطاقة:. أين .

نحسب أوقات وتسارع حركة الأجسام من المعادلات الحركية . أين , . نسبة الأطوال والأوقات والتسارع في صعود الأجسام:

إجابه: , , , .

مثال 3. رصاصة كتلة ، تطير بسرعة ، تصطدم بمركز كرة كتلتها M ونصف قطرها R ، متصلة بنهاية قضيب كتلته m وطولها l ، معلقة عند النقطة O من نهايتها الثانية ، وتطير خارجها مع السرعة (الشكل 68). أوجد السرعة الزاوية لدوران نظام كرة القضيب مباشرة بعد الاصطدام وزاوية انحراف القضيب بعد اصطدام الرصاصة.

معطى: . تجد:

المحلول:لحظات القصور الذاتي للقضيب والكرة بالنسبة للنقطة O لتعليق القضيب وفقًا لنظرية شتاينر: و . إجمالي عزم القصور الذاتي لنظام كرة القضيب . يعتبر تأثير الرصاصة عملية سريعة ، ويحدث قانون الحفاظ على الزخم الزاوي لنظام كرة الرصاصة (تبدأ الأجسام بالدوران بعد الاصطدام):. من أين تأتي السرعة الزاوية لنظام كرة قضيب مباشرة بعد الاصطدام؟

موضع CM لنظام كرة القضيب بالنسبة لنقطة التعليق O: . قانون حفظ الطاقة من أجل CM للنظام بعد التأثير ، مع الأخذ في الاعتبار قانون الحفاظ على الزخم الزاوي للنظام عند التأثير ، له الشكل. أين ارتفاع سم النظام بعد الاصطدام . يتم تحديد زاوية الانحراف للقضيب بعد الصدمة حسب الحالة .

إجابه: , , .

مثال 4. بالنسبة لجسم دائري كتلته m ونصف قطره R ، بمعامل القصور الذاتي k ، يدور بسرعة زاوية ، يتم الضغط على كتلة بقوة N (الشكل 69). بعد أي وقت ستتوقف الأسطوانة وما مقدار الحرارة التي ستطلق عندما يحتك الحذاء بالأسطوانة خلال هذا الوقت؟ معامل الاحتكاك بين البطانة والأسطوانة هو.

معطى: تجد:

المحلول: عمل قوة الاحتكاك حتى يتوقف الجسم حسب نظرية الطاقة الحركية يساوي . تنطلق الحرارة أثناء الدوران .

معادلة الحركة الدورانية للجسم لها الشكل. من أين يأتي العجلة الزاوية لدورانها البطيء؟ . وقت دوران الجسم قبل توقفه.

إجابه: , .

مثال 5. جسم دائري كتلته m ونصف قطره R مع معامل القصور الذاتي k غير مجدول إلى سرعة زاوية عكس اتجاه عقارب الساعة ويوضع على سطح أفقي يتصل بجدار عمودي (الشكل 70). بعد أي وقت سيتوقف الجسم وكم عدد الثورات التي سيحدثها قبل أن يتوقف؟ كم ستكون الحرارة المنبعثة أثناء احتكاك الجسم بالسطح خلال هذا الوقت؟ معامل احتكاك الجسم بالسطح هو.

معطى: . تجد:

المحلول: الحرارة المنبعثة أثناء دوران الجسم حتى يتوقف تساوي عمل قوى الاحتكاك ، والتي يمكن إيجادها من خلال نظرية الطاقة الحركية للجسم. نملك .

رد فعل المستوى الأفقي. قوى الاحتكاك المؤثرة على الجسم من الأفقي و الأسطح العموديةمتساوية: و من نظام هاتين المعادلتين نحصل على و.

مع الأخذ في الاعتبار هذه العلاقات ، فإن معادلة الحركة الدورانية للجسم لها الشكل

إجابه: , , , .

مثال 6. يتدحرج جسم دائري بمعامل القصور الذاتي k لأسفل دون أن ينزلق من أعلى نصف كرة نصف قطر R ، ويقف على سطح أفقي (الشكل 71). في أي ارتفاع وبأي سرعة سينفصل عن نصف الكرة وبأي سرعة سيسقط على سطح أفقي؟

معطى: ك ، ز ، ر. تجد:

المحلول: القوى المؤثرة على الجسم . الشغل و 0 ، (لا يوجد انزلاق ولا يتم إطلاق الحرارة عند نقطة اقتران نصف الكرة والكرة) ، لذلك ، لوصف حركة الجسم ، من الممكن تطبيق قانون الحفاظ على الطاقة. قانون نيوتن الثاني لسم الجسم عند نقطة انفصاله عن نصف الكرة ، مع الأخذ في الاعتبار أنه عند هذه النقطة يكون له الشكل ، من أين . قانون حفظ الطاقة للنقطة الأولية ونقطة فصل الجسم له الشكل. من حيث ارتفاع وسرعة انفصال الجسم عن نصف الكرة متساوية ، .

بعد فصل الجسم عن نصف الكرة الأرضية ، تتغير طاقته الحركية الانتقالية فقط ، وبالتالي فإن قانون حفظ الطاقة لنقاط الانفصال وسقوط الجسم على الأرض له الشكل. أين ، مع الأخذ بعين الاعتبار ، نحصل عليه . بالنسبة لجسم ينزلق على سطح نصف كرة بدون احتكاك ، ك = 0 و ، ،.

إجابه: , , .