طلب. لحظة القصور الذاتي وحسابها.

دع الجسم الصلب يدور حول المحور Z (الشكل 6). يمكن تمثيله كنظام من نقاط مادية مختلفة m i ، دون تغيير بمرور الوقت ، يتحرك كل منها على طول دائرة بنصف قطر ص أناالكذب في مستوى عمودي على المحور Z. السرعات الزاوية لجميع نقاط المواد متساوية. لحظة القصور الذاتي للجسم حول المحور Z هي القيمة:

أين هي لحظة القصور الذاتي المنفصل نقطة ماديةحول محور أوز. من التعريف يترتب على ذلك أن لحظة القصور الذاتي هي الكمية المضافة، أي لحظة القصور الذاتي للجسم المكون من أجزاء منفصلة تساوي مجموع لحظات القصور الذاتي للأجزاء.

الشكل 6

بوضوح، [ أنا] = كجم × م 2. يتم التعبير عن أهمية مفهوم لحظة القصور الذاتي في ثلاث صيغ:

; ; .

أولهما يعبر عن الزخم الزاوي لجسم يدور حوله المحور الثابت Z (من المفيد مقارنة هذه الصيغة بالتعبير عن زخم الجسم P = mVc، أين Vcهي سرعة مركز الكتلة). تسمى الصيغة الثانية المعادلة الأساسية لديناميكيات الحركة الدورانية لجسم حول محور ثابت ، أي بعبارة أخرى قانون نيوتن الثاني للحركة الدورانية (قارن مع قانون حركة مركز الكتلة: ). الصيغة الثالثة تعبر عن الطاقة الحركية لجسم يدور حول محور ثابت (قارن مع التعبير عن الطاقة الحركية للجسيم ). تسمح لنا مقارنة الصيغ باستنتاج أن لحظة القصور الذاتي في حركة دوارةيلعب دورًا مشابهًا للكتلة بمعنى أنه كلما زادت لحظة القصور الذاتي في الجسم ، كلما قلت التسارع الزاوي الذي يكتسبه ، وأصبحت الأشياء الأخرى متساوية (الجسم ، بالمعنى المجازي ، يكون أكثر صعوبة في الدوران). في الواقع ، يتم تقليل حساب لحظات القصور الذاتي إلى حساب التكامل الثلاثي ويمكن إجراؤه فقط لعدد محدود من الأجسام المتماثلة وفقط لمحاور التناظر. عدد المحاور التي يمكن للجسم أن يدور حولها كبير بشكل لا نهائي. من بين جميع المحاور ، يبرز المرء الذي يمر عبر نقطة رائعة من الجسد - مركز الجاذبية (نقطة ، لوصف الحركة التي يكفي تخيل أن كتلة النظام بأكملها مركزة في مركز الكتلة ويتم تطبيق قوة مساوية لمجموع جميع القوى على هذه النقطة). ولكن هناك أيضًا عدد لا نهائي من المحاور التي تمر عبر مركز الكتلة. اتضح أنه لأي جسم صلب ذي شكل تعسفي ، هناك ثلاثة محاور متعامدة بشكل متبادل ج س ، ج ص ، ج ض، مُسَمًّى محاور الدوران الحر ، والتي لها خاصية ملحوظة: إذا كان الجسم ملتويًا حول أي من هذه المحاور وإلقائه ، فعندئذٍ أثناء الحركة اللاحقة للجسم ، سيظل المحور موازيًا لنفسه ، أي لن تتعثر. الالتواء حول أي محور آخر لا يحتوي على هذه الخاصية. فيما يلي قيمة لحظات القصور الذاتي للأجسام النموذجية حول المحاور المشار إليها. إذا كان المحور يمر عبر مركز الكتلة ، ولكنه يصنع الزوايا أ ، ب ، ز مع المحاور ج س ، ج ص ، ج ضوفقًا لذلك ، فإن لحظة القصور الذاتي حول هذا المحور تساوي

I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)

فكر بإيجاز في حساب لحظة القصور الذاتي لأبسط الأجسام.

1.لحظة القصور الذاتي لقضيب طويل متجانس ورفيع حول محور يمر عبر مركز كتلة القضيب وعمودي عليه.

يترك تي -كتلة قضيب ، ل -طوله.

,

فِهرِس " مع»في لحظة القصور الذاتي جيميعني أن هذه هي لحظة القصور الذاتي حول المحور الذي يمر عبر نقطة مركز الكتلة (مركز تناظر الجسم) ، ج (0،0،0).

2. لحظة من القصور الذاتي لصفيحة مستطيلة رقيقة.

; ;

3. لحظة القصور الذاتي في خط متوازي المستطيل.

، ر ج (0،0،0)

4. لحظة من الجمود لحلقة رقيقة.

;

، ر ج (0،0،0)

5. لحظة من القصور الذاتي لقرص رقيق.

بسبب التماثل

; ;

6. لحظة من القصور الذاتي لأسطوانة صلبة.

;

بسبب التناظر:

7. لحظة القصور الذاتي للكرة الصلبة.

، ر ج (0،0،0)

8. لحظة القصور الذاتي لمخروط صلب.

, ر ج (0،0،0)

أين صهو نصف قطر القاعدة ، حهو ارتفاع المخروط.

تذكر أن cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. أخيرًا ، إذا لم يمر المحور O عبر مركز الكتلة ، فيمكن حساب لحظة القصور الذاتي للجسم باستخدام نظرية Huygens Steiner

أنا o \ u003d I c + md 2, (**)

أين أنا سهي لحظة القصور الذاتي للجسم حول محور تعسفي ، يكون- لحظة القصور الذاتي حول محور موازٍ لها ، مروراً بمركز الكتلة ،
م- كتلة الجسم، د- المسافة بين المحاور.

الإجراء الخاص بحساب لحظات القصور الذاتي للأجسام ذات الشكل القياسي فيما يتعلق بالمحور التعسفي هو كما يلي.

لنتأمل الآن المشكلة تحديد لحظة القصور الذاتيمختلف الهيئات. عام صيغة لإيجاد لحظة القصور الذاتيالكائن بالنسبة إلى المحور z له الشكل

بعبارة أخرى ، تحتاج إلى جمع كل الكتل ، وضرب كل منها في مربع المسافة التي تفصلها عن المحور (x 2 i + y 2 i). لاحظ أن هذا صحيح حتى بالنسبة لجسم ثلاثي الأبعاد ، على الرغم من أن المسافة لها مثل هذا "المظهر ثنائي الأبعاد". ومع ذلك ، في معظم الحالات سنقتصر على أجسام ثنائية الأبعاد.

مثل مثال بسيطضع في اعتبارك أن قضيبًا يدور حول محور يمر من نهايته وعمودي عليه (الشكل 19.3). نحتاج الآن إلى جمع كل الكتل مضروبة في مربعات المسافة x (في هذه الحالة ، كل y يساوي صفرًا). باختصار ، بالطبع ، أعني تكامل x 2 مضروبًا في "عناصر" الكتلة. إذا قسمنا القضيب إلى قطع طولها dx ، فإن عنصر الكتلة المقابل سيكون متناسبًا مع dx ، وإذا كان dx هو طول القضيب بأكمله ، فستكون كتلته مساوية لـ M.

دائمًا ما يكون بُعد لحظة القصور الذاتي مساويًا للكتلة مضروبًا في مربع الطول ، وبالتالي فإن القيمة الوحيدة المهمة التي حسبناها هي العامل 1/3.

وماذا ستكون لحظة القصور الذاتي إذا مر محور الدوران عبر منتصف القضيب؟ للعثور عليه ، نحتاج مرة أخرى إلى أخذ التكامل ، ولكن بالفعل في النطاق من -1 / 2L إلى + 1 / 2L. لاحظ ، مع ذلك ، إحدى سمات هذه الحالة. يمكن اعتبار مثل هذا القضيب ذو المحور الذي يمر عبر المركز كقضبان بمحور يمر عبر النهاية ، ولكل منهما كتلة M / 2 وطول L / 2. لحظات القصور الذاتي لاثنين من هذه القضبان متساوية مع بعضها البعض وتحسب بالصيغة (19.5). لذلك ، فإن لحظة القصور الذاتي للقضيب بأكمله هي

وبالتالي ، فإن تحريف القضيب في المنتصف أسهل بكثير منه في النهاية.

من الممكن ، بالطبع ، الاستمرار في حساب لحظات القصور الذاتي للهيئات الأخرى التي تهمنا. ولكن نظرًا لأن مثل هذه الحسابات تتطلب الكثير من الخبرة في حساب التكاملات (وهو أمر مهم جدًا في حد ذاته) ، فهي ، على هذا النحو ، لا تهمنا كثيرًا. ومع ذلك ، هناك بعض النظريات الشيقة والمفيدة للغاية هنا. يجب أن يكون هناك بعض الجسد ونريد أن نعرفه لحظة من الجمود حول بعض المحاور. هذا يعني أننا نريد أن نجد قصورها الذاتي عند الدوران حول هذا المحور. إذا قمنا بتحريك الجسم بواسطة القضيب الذي يدعم مركز كتلته بحيث لا يدور أثناء الدوران حول المحور (في هذه الحالة ، لا تعمل عليه لحظات من القصور الذاتي ، لذلك لن يدور الجسم عندما نبدأ في تحريكه) ، إذن من أجل قلبها ، فأنت بحاجة إلى نفس القوة تمامًا كما لو كانت كل الكتلة مركزة في مركز الكتلة وستكون لحظة القصور الذاتي ببساطة مساوية لـ I 1 = MR 2 c.m. ، حيث R cm هي المسافة من مركز الكتلة إلى محور الدوران. ومع ذلك ، فإن هذه الصيغة ، بالطبع ، غير صحيحة. لا يعطي اللحظة الصحيحة من القصور الذاتي للجسم. بعد كل شيء ، في الواقع ، عند الدوران ، يدور الجسم. ليس فقط مركز الكتلة يدور (وهو ما سيعطي القيمة 1) ، يجب أن يدور الجسم أيضًا بالنسبة إلى مركز الكتلة. وهكذا ، إلى لحظة القصور الذاتي ، فأنت بحاجة إلى إضافة I c - لحظة القصور الذاتي حول مركز الكتلة. الجواب الصحيح هو أن لحظة القصور الذاتي حول أي محور هي

تسمى هذه النظرية بنظرية ترجمة المحور المتوازي. تم إثباته بسهولة بالغة. إن لحظة القصور الذاتي حول أي محور تساوي مجموع الكتل مضروبة في مجموع مربعي x و y ، أي I \ u003d Σm i (x 2 i + y 2 i). سنركز اهتمامنا الآن على x ، لكن يمكن قول الشيء نفسه بالنسبة لـ y. دع إحداثي x هو المسافة بين نقطة معينة من الأصل ؛ دعونا نرى ، مع ذلك ، كيف تتغير الأشياء إذا قمنا بقياس المسافة x` من مركز الكتلة بدلاً من x من الأصل. لمعرفة ذلك ، يجب أن نكتب
x i = x` i + X c.m.
بتربيع هذا التعبير ، نجد
x 2 أنا = x` 2 ط + 2X سم. x` i + X 2 سم.

ماذا يحدث إذا ضربته في m i وجمعت كل r؟ نجد بإخراج الثوابت من علامة الجمع

أنا x = Σm i x` 2 i + 2X c.m. Σ أنا x` أنا + X2 سم. أنا أنا

من السهل حساب المجموع الثالث ؛ إنها فقط MX 2 ts.m. . يتكون المصطلح الثاني من عاملين ، أحدهما هو Σm i x` i ؛ إنه يساوي الإحداثي x لمركز الكتلة. ولكن يجب أن يكون هذا صفرًا ، لأن x` تقاس من مركز الكتلة ، وفي نظام الإحداثيات هذا ، يكون متوسط ​​موضع جميع الجسيمات ، موزونة بكتلها ، صفرًا. من الواضح أن الحد الأول هو جزء من x من I c. وهكذا نصل إلى الصيغة (19.7).

دعنا نتحقق من الصيغة (19.7) بمثال واحد. دعنا فقط نتحقق مما إذا كان سيكون قابلاً للتطبيق على القضيب. لقد وجدنا بالفعل أن لحظة القصور الذاتي للقضيب بالنسبة لنهايته يجب أن تكون مساوية لـ ML 2/3. ويقع مركز كتلة القضيب بالطبع على مسافة L / 2. لذلك يجب أن نحصل على ML 2/3 = ML 2/12 + M (L / 2) 2. منذ ربع + واحد على 12 = ثلث ، لم نرتكب أي خطأ فادح.

بالمناسبة ، لإيجاد لحظة القصور الذاتي (19.5) ، ليس من الضروري على الإطلاق حساب التكامل. يمكن للمرء ببساطة أن يفترض أنه مساوي ل ML 2 مضروبًا في معامل غير معروف γ. بعد ذلك ، يمكن للمرء استخدام المنطق حول نصفين والحصول على المعامل 1/4 لحظة القصور الذاتي (19.6). باستخدام نظرية ترجمة المحور المتوازي الآن ، نثبت أن γ = 1 / 4γ + 1/4 ، من أين γ = 1/3. يمكنك دائما أن تجد بعض الالتفاف!

عند تطبيق نظرية المحور المتوازي ، من المهم أن نتذكر أن المحور I يجب أن يكون موازيًا للمحور الذي نريد حساب لحظة القصور الذاتي حوله.

ربما يجدر ذكر خاصية أخرى ، والتي غالبًا ما تكون مفيدة جدًا في إيجاد لحظة القصور الذاتي لبعض أنواع الأجسام. يتكون مما يلي: إذا كان لدينا شكل مسطح وثلاثة محاور إحداثيات مع الأصل الموجود في هذا المستوى والمحور z الموجه عموديًا عليه ، فعندئذٍ تكون لحظة القصور الذاتي لهذا الشكل حول المحور z متساوية لمجموع لحظات القصور الذاتي حول محوري x و y. تم إثباته بكل بساطة. لاحظ أن

لحظة القصور الذاتي للوحة مستطيلة متجانسة ، على سبيل المثال ، مع الكتلة M والعرض والطول L حول محور عمودي عليها وتمر عبر مركزها ، هي ببساطة

نظرًا لأن لحظة القصور الذاتي حول محور يقع في مستوى اللوحة وموازاة طوله تساوي Mω 2/12 ، أي تمامًا مثل قضيب طوله ω ، ولحظة القصور الذاتي حول محور آخر في نفس المستوى يساوي ML 2/12 ، كما هو الحال بالنسبة لقضيب طوله L.

لذا ، دعنا نسرد خصائص لحظة القصور الذاتي حول محور معين ، والذي سنسميه المحور z:

1. لحظة القصور الذاتي

2. إذا كان الكائن يتكون من عدة أجزاء ، وكانت لحظة القصور الذاتي لكل منها معروفة ، فإن إجمالي عزم القصور الذاتي يساوي مجموع لحظات القصور الذاتي لهذه الأجزاء.
3. لحظة القصور الذاتي حول أي محور معين تساوي عزم القصور الذاتي حول محور موازٍ عبر مركز الكتلة ، زائد حاصل ضرب مجموع الكتلة مضروبة في مربع مسافة ذلك المحور من مركز الكتلة.
4. لحظة من الجمود شخصية مسطحةبالنسبة إلى المحور العمودي على مستواه ، يساوي مجموع لحظات القصور الذاتي حول أي محورين متعامدين آخرين يقعان في مستوى الشكل ويتقاطعان مع المحور العمودي.

في الجدول. يوضح الشكل 19.1 لحظات القصور الذاتي لبعض الشخصيات الأولية التي لها كثافة كتلة موحدة ، وفي الجدول. 19.2 - لحظات القصور الذاتي لبعض الأرقام والتي يمكن الحصول عليها من الجدول. 19.1 باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه.

يمكن العثور على الأجسام حول أي محور عن طريق الحساب. إذا تم توزيع المادة في الجسم بشكل مستمر ، فسيتم تقليل حساب لحظة القصور الذاتي إلى حساب التكامل

بحيث ص- المسافة من عنصر الكتلة دإلى محور الدوران.

لحظة القصور الذاتي لقضيب متجانس رقيق حول محور عمودي.دع المحور يمر عبر نهاية القضيب أ(الشكل 4.4).

في لحظة القصور الذاتي ، يمكننا أن نكتب أنا A = kml 2 ، أين ل- طول القضيب ، ك- معامل التناسب. مركز رود معهو مركز كتلته. حسب نظرية شتاينر أنا أ = أنا ج + م(ل/ 2) 2. القيمة أنا جيمكن تمثيلها كمجموع لحظات القصور الذاتي لقضيبين ، SAو جنوب غرب، طول كل منها ل/ 2 الوزن م/ 2 ، وبالتالي ، فإن لحظة القصور الذاتي هي ، أنا C = كم(ل / 2) 2 . بالتعويض عن هذه التعبيرات في صيغة نظرية شتاينر ، نحصل عليها

,

أين ك = 1/3. نتيجة لذلك نجد

(4.16)

لحظة من القصور الذاتي لحلقة دائرية رفيعة للغاية(الدوائر). لحظة من الجمود حول المحور ض(الشكل 4.5) يساوي

أنا Z = السيد 2 , (4.17)

أين صهو نصف قطر الحلقة. بسبب التماثل أنا X = أنا Y.

من الواضح أن الصيغة (4.17) تعطي أيضًا لحظة القصور الذاتي لأسطوانة مجوفة متجانسة ذات جدران رفيعة للغاية حول محورها الهندسي.

أرز. 4.5 التين. 4.6

لحظة من القصور الذاتي لقرص رقيق للغاية وأسطوانة صلبة.من المفترض أن القرص والأسطوانة متجانسين ، أي أن المادة موزعة فيهما بكثافة ثابتة. دع المحور ضيمر عبر مركز القرص مععمودي على مستواها (الشكل 4.6). ضع في اعتبارك حلقة رفيعة بلا حدود بنصف قطر داخلي صونصف القطر الخارجي ص + د. منطقة مثل هذه الحلقة DS = 2ص rdr. تم العثور على لحظة القصور الذاتي في الصيغة (4.17) ، وهي تساوي dIz = ص 2 د م.يتم تحديد لحظة القصور الذاتي للقرص بأكمله من خلال التكامل بسبب توحيد القرص د م = ، أين S =ص ص 2 هي مساحة القرص بأكمله. بإدخال هذا التعبير تحت علامة التكامل ، نحصل عليها

(4.18)

تعطي الصيغة (4.18) أيضًا لحظة القصور الذاتي لأسطوانة صلبة متجانسة حول محورها الهندسي الطولي.

غالبًا ما يمكن تبسيط حساب لحظة القصور الذاتي لجسم حول محور من خلال الحساب الأول لحظة من الجمودله نسبة إلى هذه النقطة. في حد ذاتها ، لحظة القصور الذاتي للجسم بالنسبة للنقطة لا تلعب أي دور في الديناميات. إنه مفهوم مساعد بحت يعمل على تبسيط العمليات الحسابية. لحظة القصور الذاتي للجسم حول النقطة Oمُسَمًّى مجموع منتجات كتل النقاط المادية التي يتكون منها الجسم ، بمربعات مسافاتها R إلى النقطة O: ف = Σ السيد 2. في حالة التوزيع الشامل المستمر ، يتم تقليل هذا المجموع إلى q التكامل = ∫R 2 دسم. وغني عن القول أن اللحظة θ لا ينبغي الخلط بينها وبين لحظة القصور الذاتي أناحول المحور. في حالة اللحظة أناالجماهير ديتم ضرب مربعات المسافات لهذا المحور ، وفي حالة اللحظة θ - إلى نقطة ثابتة.

ضع في اعتبارك أول نقطة مادية واحدة مع الكتلة مومع الإحداثيات x, في,ضبالنسبة إلى نظام الإحداثيات المستطيلة (الشكل 4.7). مربعات مسافاتها إلى محاور الإحداثيات X,ص,ضمتساوية على التوالي ص 2 + ع 2,z2 + x2,س 2 + ص 2، ولحظات القصور الذاتي حول نفس المحاور

أنا X= م(ذ 2 + ض 2), أنا = م(ض 2 + x 2),

أنا Z = م(x 2 + ذ 2).

بجمع هذه المساواة الثلاث ، نحصل عليها أنا X + أنا Y + أنا Z = 2م(x 2 + ص 2 + ض 2).

لكن X 2 + ص 2 + ض 2 = ص 2 ، أين ص- مسافة النقطة م من الأصل عن.لهذا

أنا X + أنا Y + أنا Z = 2θ . (4.19)

هذه النسبة صالحة ليس فقط لنقطة مادية واحدة ، ولكن أيضًا لجسم تعسفي ، حيث يمكن اعتبار الجسم كمجموعة من النقاط المادية. هكذا، مجموع لحظات القصور الذاتي لجسم حول ثلاثة محاور عمودية متبادلة تتقاطع عند نقطة واحدة O يساوي ضعف لحظة القصور الذاتي للجسم نفسه حول هذه النقطة.

لحظة من القصور الذاتي في كرة مجوفة بجدران رقيقة بلا حدود.

أولًا ، نوجد لحظة القصور الذاتي θ حول مركز الكرة. من الواضح أنها تساوي θ = م 2 . ثم نطبق الصيغة (4.19). بافتراض ذلك في ضوء التناظر أنا X = أنا Y = أنا Z = أنا.نتيجة لذلك ، نجد لحظة القصور الذاتي للكرة المجوفة بالنسبة إلى قطرها

لحظة القوة ولحظة القصور الذاتي

في ديناميات الحركة الانتقالية لنقطة مادية ، بالإضافة إلى الخصائص الحركية ، تم تقديم مفاهيم القوة والكتلة. عند دراسة ديناميات الحركة الدورانية ، يتم إدخال الكميات الفيزيائية - عزم الدورانو لحظة من الجمود، المعنى المادي الذي سيتم مناقشته أدناه.

دع جسمًا ما تحت تأثير قوة مطبقة في نقطة ما أ، يدور حول المحور OO "(الشكل 5.1).

الشكل 5.1 - لاستكمال مفهوم لحظة القوة

تعمل القوة في مستوى عمودي على المحور. عمودي ص، من النقطة عن(ملقاة على المحور) باتجاه القوة تسمى كتف القوة. حاصل ضرب القوة على الكتف يحدد المقياس لحظة القوةنسبة إلى هذه النقطة عن:

(5.1)

لحظة القوة هو متجه يحدده منتج المتجه لمتجه نصف القطر لنقطة تطبيق القوة ومتجه القوة:

(5.2)

وحدة لحظة القوة - نيوتن متر(ح . م). تم إيجاد اتجاه متجه لحظة القوة باستخدام قواعد المسمار الصحيح.

مقياس القصور الذاتي للأجسام في الحركة الانتقالية هو الكتلة. لا يعتمد القصور الذاتي للأجسام أثناء الحركة الدورانية على الكتلة فحسب ، بل يعتمد أيضًا على توزيعها في الفضاء بالنسبة لمحور الدوران. مقياس القصور الذاتي أثناء الحركة الدورانية هو كمية تسمى لحظة من الجمود في الجسم حول محور الدوران.

لحظة من الجمود لنقطة مادية بالنسبة إلى محور الدوران - حاصل ضرب كتلة هذه النقطة بمربع المسافة من المحور:

لحظة من الجمود في الجسم حول محور الدوران - مجموع لحظات القصور الذاتي للنقاط المادية التي يتكون منها هذا الجسم:

(5.4)

في الحالة العامة ، إذا كان الجسم صلبًا وهو عبارة عن مجموعة من النقاط ذات الكتل الصغيرة د، يتم تحديد لحظة القصور الذاتي بالتكامل:

, (5.5)

أين ص- المسافة من محور الدوران إلى عنصر الكتلة د م.

إذا كان الجسم متجانسًا وكثافته ρ = م/الخامس، ثم لحظة القصور الذاتي للجسم

(5.6)

تعتمد لحظة القصور الذاتي للجسم على المحور الذي يدور وكيف يتم توزيع كتلة الجسم في جميع أنحاء الحجم.

يتم تحديد لحظة القصور الذاتي للأجسام التي لها الشكل الهندسي الصحيح والتوزيع المنتظم للكتلة على الحجم بكل بساطة.

لحظة القصور الذاتي لقضيب متجانسحول مرور المحور مركز الكتلةوعمودي على القضيب

لحظة القصور الذاتي لأسطوانة متجانسةحول محور عمودي على قاعدته ويمر عبر مركز القصور الذاتي ،

(5.8)

لحظة من القصور الذاتي لأسطوانة رقيقة الجدران أو طوقحول محور عمودي على مستوى قاعدته ويمر عبر مركزه ،

لحظة القصور الذاتي للكرةنسبة إلى القطر

(5.10)

دعونا نحدد لحظة القصور الذاتي للقرص حول المحور الذي يمر عبر مركز القصور الذاتي والعمودي على مستوى الدوران. دع كتلة القرص تكون م، ونصف قطرها هو ص.

منطقة الحلقة (الشكل 5.2) المحاطة بينهما صو ، يساوي.

الشكل 5.2 - لانتهاء لحظة القصور الذاتي للقرص

منطقة القرص. بسماكة حلقة ثابتة ،

من اين او .

ثم لحظة القصور الذاتي للقرص ،

من أجل الوضوح ، يوضح الشكل 5.3 متجانسًا أجسام صلبة أشكال متعددةويشار إلى لحظات القصور الذاتي لهذه الأجسام حول المحور الذي يمر عبر مركز الكتلة.

الشكل 5.3 - لحظات القصور الذاتي أناج ـ بعض المواد الصلبة المتجانسة.

نظرية شتاينر

يتم إعطاء الصيغ المذكورة أعلاه لحظات القصور الذاتي للأجسام بشرط أن يمر محور الدوران عبر مركز القصور الذاتي. لتحديد لحظات القصور الذاتي للجسم حول محور تعسفي ، يجب على المرء أن يستخدم نظرية شتاينر : لحظة القصور الذاتي للجسم حول محور دوران تعسفي تساوي مجموع لحظة القصور الذاتي J 0 حول المحور الموازي للمحور المعطى والمرور عبر مركز القصور الذاتي للجسم ، والقيمة md 2:

(5.12)

أين م- كتلة الجسم، د- المسافة من مركز الكتلة إلى محور الدوران المحدد. وحدة لحظة القصور الذاتي - كيلوغرام متر مربع (kg . م 2).

لذلك ، لحظة القصور الذاتي لقضيب متجانسة الطول لفيما يتعلق بالمحور الذي يمر عبر نهايته ، وفقًا لنظرية شتاينر يساوي

غالبًا ما نسمع عبارات: "إنها خاملة" ، "تتحرك بالقصور الذاتي" ، "لحظة من القصور الذاتي". في معنى رمزييمكن تفسير كلمة "القصور الذاتي" على أنها نقص في المبادرة والعمل. نحن مهتمون بالمعنى المباشر.

ما هو الجمود

حسب التعريف التعطيلفي الفيزياء ، إنها قدرة الأجسام على الحفاظ على حالة من الراحة أو الحركة في غياب القوى الخارجية.

إذا كان كل شيء واضحًا مع مفهوم القصور الذاتي على مستوى حدسي ، إذن لحظة من الجمود- قضية منفصلة. موافق ، من الصعب تخيل ما هو عليه في العقل. في هذه المقالة سوف تتعلم كيفية حل المشاكل الأساسية في هذا الموضوع "لحظة من الجمود".

تحديد لحظة القصور الذاتي

من دورة مدرسيةمن المعروف أن الكتلة هي مقياس لقصور الجسم. إذا دفعنا عربتين ذات كتل مختلفة ، فسيكون من الصعب إيقاف العربة الأثقل. وهذا يعني أنه كلما زادت الكتلة ، زادت تأثير خارجيضروري لتغيير حركة الجسم. يعتبر يشير إلى الحركة الانتقالية ، عندما تتحرك العربة من المثال في خط مستقيم.

بالتشابه مع الكتلة والحركة الانتقالية ، فإن لحظة القصور الذاتي هي مقياس لقصور الجسم أثناء الحركة الدورانية حول المحور.

لحظة من الجمود- كمية فيزيائية قياسية ، مقياس لقصور الجسم أثناء الدوران حول محور. يشار إليها بالحرف ي وفي النظام SI تقاس بالكيلوغرامات مضروبة في المتر المربع.

كيف تحسب لحظة القصور الذاتي؟ هناك معادلة عامة يتم من خلالها حساب لحظة القصور الذاتي لأي جسم في الفيزياء. إذا تم تقسيم الجسم إلى قطع صغيرة لا متناهية من الكتلة د ، فإن لحظة القصور الذاتي ستكون مساوية لمجموع منتجات هذه الكتل الأولية ومربع المسافة إلى محور الدوران.

هذه هي الصيغة العامة للحظة القصور الذاتي في الفيزياء. للحصول على نقطة كتلة مادية م ، بالتناوب حول محور على مسافة ص منها، صيغة معينةيأخذ الشكل:

نظرية شتاينر

على ماذا تعتمد لحظة القصور الذاتي؟ من الكتلة ، موضع محور الدوران ، شكل الجسم وحجمه.

نظرية Huygens-Steiner هي نظرية مهمة جدًا تستخدم غالبًا في حل المشكلات.

بالمناسبة! بالنسبة لقرائنا ، يوجد الآن خصم 10٪ على

تنص نظرية Huygens-Steiner على ما يلي:

تساوي لحظة القصور الذاتي لجسم حول محور تعسفي مجموع لحظة القصور الذاتي للجسم حول محور يمر عبر مركز الكتلة الموازي لمحور عشوائي وحاصل ضرب كتلة الجسم في مربع المسافة بين المحاور.

بالنسبة لأولئك الذين لا يرغبون في الاندماج باستمرار عند حل مشاكل العثور على لحظة القصور الذاتي ، فإليك شكل يوضح لحظات القصور الذاتي لبعض الأجسام المتجانسة والتي غالبًا ما توجد في المشاكل:

مثال على حل مشكلة إيجاد لحظة القصور الذاتي

لنفكر في مثالين. المهمة الأولى هي إيجاد لحظة القصور الذاتي. المهمة الثانية هي استخدام نظرية Huygens-Steiner.

المشكلة 1. أوجد لحظة القصور الذاتي لقرص متجانس كتلته m ونصف القطر R. يمر محور الدوران عبر مركز القرص.

حل:

دعونا نقسم القرص إلى حلقات رفيعة بشكل لا نهائي ، ويختلف نصف قطرها عن 0 قبل صوالنظر في واحدة من هذه الخواتم. دع نصف قطرها يكون صوالكتلة د. ثم لحظة جمود الحلقة:

يمكن تمثيل كتلة الحلقة على النحو التالي:

هنا دزهو ارتفاع الخاتم. استبدل الكتلة في الصيغة لحظة القصور الذاتي وادمج:

كانت النتيجة معادلة لحظة القصور الذاتي لقرص أو أسطوانة رقيقة مطلقة.

المشكلة 2. لنوجد مرة أخرى قرص كتلته m ونصف قطره R. الآن نحتاج إلى إيجاد لحظة القصور الذاتي للقرص حول المحور الذي يمر عبر منتصف أحد نصف قطره.

حل:

تُعرف لحظة القصور الذاتي للقرص حول المحور الذي يمر عبر مركز الكتلة من المشكلة السابقة. نطبق نظرية شتاينر ونجد:

بالمناسبة ، في مدونتنا يمكنك أن تجد غير ذلك مواد مفيدةفي الفيزياء و

نأمل أن تجد شيئًا مفيدًا في المقالة. إذا كانت هناك صعوبات في عملية حساب موتر القصور الذاتي ، فلا تنس خدمة الطلاب. سيقدم خبراؤنا المشورة بشأن أي مشكلة ويساعدون في حل المشكلة في غضون دقائق.