مجموع التقدم الحسابي ن. التقدم الجبري

إذا كان كل عدد طبيعي ن تطابق رقم حقيقي أ ، ثم يقولون ذلك معطى تسلسل رقمي :

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ , . . . .

لذا ، فإن المتتالية العددية هي دالة للحجة الطبيعية.

رقم أ 1 مُسَمًّى أول عضو في التسلسل ، رقم أ 2 — العضو الثاني في التسلسل ، رقم أ 3 — ثالث وما إلى ذلك وهلم جرا. رقم أ مُسَمًّى العضو التاسعالتسلسلات والعدد الطبيعي ن — رقمه .

من عضوين متجاورين أ و أ +1 تسلسل الأعضاء أ +1 مُسَمًّى تالي (تجاه أ )، أ أ — سابق (تجاه أ +1 ).

لتحديد تسلسل ، يجب عليك تحديد طريقة تسمح لك بالعثور على عضو تسلسل بأي رقم.

غالبًا ما يتم إعطاء التسلسل بـ صيغ المصطلح التاسع ، أي صيغة تسمح لك بتحديد عضو التسلسل برقمه.

على سبيل المثال،

يمكن إعطاء تسلسل الأرقام الفردية الموجبة بواسطة الصيغة

أ= 2ن- 1,

وتسلسل التناوب 1 و -1 - معادلة

بن = (-1)ن +1 . ◄

يمكن تحديد التسلسل الصيغة المتكررة, أي صيغة تعبر عن أي عضو في التسلسل ، بدءًا من بعض ، مرورًا بالعضو السابق (واحد أو أكثر).

على سبيل المثال،

لو أ 1 = 1 ، أ أ +1 = أ + 5

أ 1 = 1,

أ 2 = أ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

أ 3 = أ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

أ 4 = أ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

أ 5 = أ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

لو أ 1= 1, أ 2 = 1, أ +2 = أ + أ +1 , ثم يتم تعيين الأعضاء السبعة الأولى من التسلسل العددي على النحو التالي:

أ 1 = 1,

أ 2 = 1,

أ 3 = أ 1 + أ 2 = 1 + 1 = 2,

أ 4 = أ 2 + أ 3 = 1 + 2 = 3,

أ 5 = أ 3 + أ 4 = 2 + 3 = 5,

أ 6 = أ 4 + أ 5 = 3 + 5 = 8,

أ 7 = أ 5 + أ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

يمكن أن تكون التسلسلات أخير و بلا نهاية .

التسلسل يسمى ذروة إذا كان لديها عدد محدود من الأعضاء. التسلسل يسمى بلا نهاية إذا كان لديه عدد لا نهائي من الأعضاء.

على سبيل المثال،

تسلسل من رقمين الأعداد الطبيعية:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

أخير.

تسلسل الرقم الأولي:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بلا نهاية. ◄

التسلسل يسمى في ازدياد ، إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أكبر من السابق.

التسلسل يسمى يتضاءل ، إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أقل من السابق.

على سبيل المثال،

2, 4, 6, 8, . . . , 2ن, . . . هو تسلسل تصاعدي

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ن, . . . هو تسلسل تنازلي. ◄

يتم استدعاء التسلسل الذي لا تنقص عناصره مع زيادة العدد ، أو على العكس من ذلك لا يزيد تسلسل رتيب .

التسلسلات الأحادية ، على وجه الخصوص ، هي زيادة في التسلسل وتناقص التسلسلات.

المتوالية العددية

المتوالية العددية يسمى التسلسل ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العنصر السابق ، الذي يضاف إليه نفس الرقم.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ, . . .

هو تقدم حسابي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

أ +1 = أ + د,

أين د - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن الفرق بين الأعضاء التاليين والسابقين من معين المتوالية العدديةدائما ثابت:

أ 2 - أ 1 = أ 3 - أ 2 = . . . = أ +1 - أ = د.

رقم د مُسَمًّى الفرق في التقدم الحسابي.

لضبط التقدم الحسابي ، يكفي تحديد المصطلح الأول والاختلاف.

على سبيل المثال،

لو أ 1 = 3, د = 4 ، ثم تم العثور على المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

أ 1 =3,

أ 2 = أ 1 + د = 3 + 4 = 7,

أ 3 = أ 2 + د= 7 + 4 = 11,

أ 4 = أ 3 + د= 11 + 4 = 15,

أ 5 = أ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

للتقدم الحسابي مع الفصل الأول أ 1 والاختلاف د ها ن

أ = أ 1 + (ن- 1)د.

على سبيل المثال،

أوجد الحد الثلاثين من التقدم الحسابي

1, 4, 7, 10, . . .

أ 1 =1, د = 3,

أ 30 = أ 1 + (30 - 1)د = 1 + 29· 3 = 88. ◄

أ ن -1 = أ 1 + (ن- 2)د،

أ= أ 1 + (ن- 1)د،

أ +1 = أ 1 + اختصار الثاني,

ثم من الواضح

أ=	أ ن -1 + أ ن + 1
	2

كل عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين.

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية في بعض التدرجات الحسابية إذا وفقط إذا كان أحدها مساويًا للمتوسط ​​الحسابي للاثنين الآخرين.

على سبيل المثال،

أ = 2ن- 7 ، هو تقدم حسابي.

دعنا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:

أ = 2ن- 7,

أ ن -1 = 2(ن- 1) - 7 = 2ن- 9,

أ ن + 1 = 2(ن + 1) - 7 = 2ن- 5.

لذلك،

أ ن + 1 + أ ن -1	=	2ن- 5 + 2ن- 9	= 2ن- 7 = أ,
2		2

◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على العضو -th في التقدم الحسابي ليس فقط من خلال أ 1 ، ولكن أيضًا أي سابقة أ ك

أ = أ ك + (ن- ك)د.

على سبيل المثال،

ل أ 5 يمكن أن تكون مكتوبة

أ 5 = أ 1 + 4د,

أ 5 = أ 2 + 3د,

أ 5 = أ 3 + 2د,

أ 5 = أ 4 + د. ◄

أ = أ ن ك + دينار كويتي,

أ = أ ن + ك - دينار كويتي,

ثم من الواضح

أ=	أ ن ك + أ ن + ك
	2

أي عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثانية ، يساوي نصف مجموع أعضاء هذا التقدم الحسابي على مسافات متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم حسابي ، فإن المساواة صحيحة:

أ م + أ ن = أ ك + ل,

م + ن = ك + ل.

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي

1) أ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (أ 9 + أ 11 )/2;

2) 28 = أ 10 = أ 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ؛

3) أ 10= 28 = (19 + 37)/2 = (أ 7 + أ 13)/2;

4) أ 2 + أ 12 = أ 5 + أ 9, لأن

أ 2 + أ 12= 4 + 34 = 38,

أ 5 + أ 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= أ 1 + أ 2 + أ 3 +. . .+ أ,

أولاً ن أعضاء التقدم الحسابي يساوي حاصل ضرب نصف مجموع الحدود القصوى بعدد المصطلحات:

من هذا ، على وجه الخصوص ، يترتب على ذلك إذا كان من الضروري جمع الشروط

أ ك, أ ك +1 , . . . , أ,

ثم تحتفظ الصيغة السابقة بهيكلها:

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

س 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = س 10 - س 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

إذا تم إعطاء تقدم حسابي ، ثم الكميات أ 1 , أ, د, نوس ن مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم ثلاث من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هاتين الصيغتين مجتمعتين في نظام من معادلتين مع مجهولين.

التقدم الحسابي هو تسلسل رتيب. حيث:

• لو د > 0 ثم يتزايد.
• لو د < 0 ثم يتناقص.
• لو د = 0 ، ثم سيكون التسلسل ثابتًا.

المتوالية الهندسية

المتوالية الهندسية يسمى التسلسل ، كل حد ، بدءًا من الثاني ، يساوي الحد السابق ، مضروبًا في نفس الرقم.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , ب ن, . . .

هو تسلسل هندسي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

ب ن +1 = ب ن · ف,

أين ف ≠ 0 - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن نسبة الحد التالي من هذا التقدم الهندسي إلى الحد السابق هي رقم ثابت:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = ب ن +1 / ب ن = ف.

رقم ف مُسَمًّى مقام التقدم الهندسي.

لضبط التقدم الهندسي ، يكفي تحديد المصطلح الأول والمقام.

على سبيل المثال،

لو ب 1 = 1, ف = -3 ، ثم تم العثور على المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · ف = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · ف= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · ف= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · ف= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 والمقام ف ها ن يمكن العثور على المصطلح الثالث بالصيغة:

ب ن = ب 1 · ف ن -1 .

على سبيل المثال،

أوجد الحد السابع للتقدم الهندسي 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, ف = 2,

ب 7 = ب 1 · ف 6 = 6 1 2 = 64. ◄

مليار - 1 = ب 1 · ف ن -2 ,

ب ن = ب 1 · ف ن -1 ,

ب ن +1 = ب 1 · ف ن,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن -1 · ب ن +1 ,

كل عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الهندسي (النسبي) للأعضاء السابقين واللاحقين.

نظرًا لأن العكس صحيح أيضًا ، فإن التأكيد التالي ينطبق:

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية لبعض التقدم الهندسي إذا وفقط إذا كان مربع أحدهما مساويًا لمنتج الرقمين الآخرين ، أي أن أحد الأرقام هو المتوسط ​​الهندسي للاثنين الآخرين.

على سبيل المثال،

دعونا نثبت أن التسلسل المعطى بالصيغة ب ن= -3 2 ن ، هو تقدم هندسي. دعنا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:

ب ن= -3 2 ن,

ب ن -1 = -3 2 ن -1 ,

ب ن +1 = -3 2 ن +1 .

لذلك،

ب ن 2 = (-3 2 ن) 2 = (-3 2 ن -1 ) (-3 2 ن +1 ) = ب ن -1 · ب ن +1 ,

مما يثبت التأكيد المطلوب. ◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على مصطلح التقدم الهندسي ليس فقط من خلال ب 1 ، ولكن أيضًا أي مصطلح سابق ب ك ، حيث يكفي استخدام الصيغة

ب ن = ب ك · ف ن - ك.

على سبيل المثال،

ل ب 5 يمكن أن تكون مكتوبة

ب 5 = ب 1 · ف 4 ,

ب 5 = ب 2 · ف 3,

ب 5 = ب 3 · q2,

ب 5 = ب 4 · ف. ◄

ب ن = ب ك · ف ن - ك,

ب ن = ب ن - ك · ف ك,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن - ك· ب ن + ك

مربع أي عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي حاصل ضرب أعضاء هذا التقدم على مسافة متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم هندسي ، فإن المساواة صحيحة:

بي ام· ب ن= ب ك· ب ل,

م+ ن= ك+ ل.

على سبيل المثال،

أضعافا مضاعفة

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · ف 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , لأن

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + ب ن

أولاً ن أعضاء متتالية هندسية ذات قاسم ف ≠ 0 محسوبة بالصيغة:

وعندما ف = 1 - حسب الصيغة

S n= n.b. 1

لاحظ أنه إذا احتجنا إلى جمع الشروط

ب ك, ب ك +1 , . . . , ب ن,

ثم يتم استخدام الصيغة:

S n- ك -1 = ب ك + ب ك +1 + . . . + ب ن = ب ك ·	1 - ف ن - ك +1	.
	1 - ف

على سبيل المثال،

أضعافا مضاعفة 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

س 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = س 10 - س 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

إذا تم إعطاء تسلسل هندسي ، ثم الكميات ب 1 , ب ن, ف, نو S n مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم أي من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هاتين الصيغتين مجتمعتين في نظام من معادلتين مع مجهولين.

للتقدم الهندسي مع المصطلح الأول ب 1 والمقام ف ما يلي يحدث خصائص الرتابة :

• يتزايد التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و ف> 1;

ب 1 < 0 و 0 < ف< 1;

• يتناقص التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و 0 < ف< 1;

ب 1 < 0 و ف> 1.

لو ف< 0 ، ثم يكون التقدم الهندسي متناوبًا مع الإشارة: فحدوده الفردية لها نفس علامة الحد الأول ، والشروط ذات الأرقام الزوجية لها علامة معاكسة. من الواضح أن التقدم الهندسي المتناوب ليس رتيبًا.

منتج أول ن يمكن حساب شروط التقدم الهندسي بالصيغة:

ص ن= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · ب ن = (ب 1 · ب ن) ن / 2 .

على سبيل المثال،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

تقليل التقدم الهندسي بلا حدود

تقليل التقدم الهندسي بلا حدود يسمى التقدم الهندسي اللانهائي الذي يكون معامل قاسمه أقل من 1 ، إنه

|ف| < 1 .

لاحظ أن التدرج الهندسي المتناقص بشكل غير محدود قد لا يكون تسلسلاً تنازليًا. هذا يناسب القضية

1 < ف< 0 .

مع هذا المقام ، فإن التسلسل هو إشارة بالتناوب. على سبيل المثال،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي اسم الرقم الذي حصل عليه مجموع الأول ن من حيث التقدم مع زيادة غير محدودة في العدد ن . هذا الرقم دائمًا محدود ويتم التعبير عنه بالصيغة

س= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . =	ب 1	.
	1 - ف

على سبيل المثال،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

العلاقة بين التدرجات الحسابية والهندسية

يرتبط التعاقب الحسابي والهندسي ارتباطًا وثيقًا. لنفكر في مثالين فقط.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . د ، الذي - التي

ب أ 1 , ب أ 2 , ب أ 3 , . . . ب د .

على سبيل المثال،

1, 3, 5, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم ف ، الذي - التي

سجل ب 1, سجل أ ب 2, تسجيل ب 3, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف تسجيل أف .

على سبيل المثال،

2, 12, 72, . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم 6 و

إل جي 2, إل جي 12, إل جي 72, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف إل جي 6 . ◄

مفهوم التسلسل العددي يعني أن كل رقم طبيعي يتوافق مع بعض القيمة الحقيقية. يمكن أن تكون هذه السلسلة من الأرقام عشوائية ولها خصائص معينة - تسلسل. في الحالة الأخيرة ، يمكن حساب كل عنصر (عضو) لاحق من التسلسل باستخدام العنصر السابق.

التقدم الحسابي هو سلسلة من القيم العددية التي يختلف فيها أعضائها المتجاورين عن بعضهم البعض بنفس الرقم (جميع عناصر السلسلة ، بدءًا من الثانية ، لها خاصية مماثلة). هذا الرقم - الفرق بين العضو السابق واللاحق - ثابت ويسمى اختلاف التقدم.

فرق التقدم: التعريف

ضع في اعتبارك تسلسل يتكون من قيم j A = a (1) ، a (2) ، a (3) ، a (4) ... a (j) ، j ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية N. وفقًا لتعريفه ، هو تسلسل ، حيث أ (3) - أ (2) = أ (4) - أ (3) = أ (5) - أ (4) = ... = أ (ي) - أ (ي -1) = د. قيمة d هي الفرق المطلوب من هذا التقدم.

د = أ (ي) - أ (ي -1).

تخصيص:

• تقدم متزايد ، وفي هذه الحالة d> 0. مثال: 4 ، 8 ، 12 ، 16 ، 20 ، ...
• تناقص التقدم ، ثم د< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

اختلاف التقدم وعناصره التعسفية

إذا تم معرفة عضوين تعسفيين من التقدم (i-th ، k-th) ، فيمكن تحديد الفرق في هذا التسلسل بناءً على العلاقة:

أ (ط) = أ (ك) + (أنا - ك) * د ، لذلك د = (أ (أنا) - أ (ك)) / (أنا - ك).

فارق التدرج وفترته الأولى

سيساعد هذا التعبير في تحديد القيمة غير المعروفة فقط في الحالات التي يكون فيها رقم عنصر التسلسل معروفًا.

فرق التقدم ومجموعها

مجموع التقدم هو مجموع أعضائها. لحساب القيمة الإجمالية لعناصرها الأولى j ، استخدم الصيغة المقابلة:

S (j) = ((a (1) + a (j)) / 2) * j ، لكن منذ ذلك الحين أ (ي) = أ (1) + د (ي - 1) ، ثم S (ي) = ((أ (1) + أ (1) + د (ي - 1)) / 2) * ي = (( 2 أ (1) + د (- 1)) / 2) * ي.

الرابع ياكوفليف | مواد في الرياضيات | MathUs.ru

المتوالية العددية

التقدم الحسابي هو نوع خاص من التسلسل. لذلك ، قبل تحديد التقدم الحسابي (ثم الهندسي) ، نحتاج إلى مناقشة وجيزة للمفهوم المهم للتسلسل الرقمي.

اللاحقة

تخيل جهازًا على الشاشة تعرض له بعض الأرقام واحدة تلو الأخرى. دعنا نقول 2 ؛ 7 ؛ 13 ؛ 1 ؛ 6 ؛ 0 ؛ 3 ؛ ::: هذه المجموعة من الأرقام هي مجرد مثال على التسلسل.

تعريف. التسلسل العددي هو مجموعة من الأرقام التي يمكن فيها تخصيص رقم فريد لكل رقم (أي ، يتم وضعه في تناظر مع رقم طبيعي واحد) 1. الرقم الذي يحتوي على الرقم n يسمى العضو التاسع في التسلسل.

لذلك ، في المثال أعلاه ، يحتوي الرقم الأول على الرقم 2 ، وهو أول عضو في التسلسل ، والذي يمكن الإشارة إليه بـ a1 ؛ الرقم خمسة يحتوي على الرقم 6 وهو العضو الخامس في التسلسل ، والذي يمكن الإشارة إليه a5. على الاطلاق، العضو التاسعيتم الإشارة إلى التسلسلات بواسطة (أو bn ، cn ، إلخ).

الوضع المناسب للغاية هو عندما يمكن تحديد العضو التاسع في التسلسل بواسطة صيغة ما. على سبيل المثال ، تحدد الصيغة a = 2n 3 التسلسل: 1؛ 1 ؛ 3 ؛ 5 ؛ 7 ؛ ::: الصيغة an = (1) n تحدد التسلسل: 1؛ 1 ؛ 1 ؛ 1 ؛ :::

ليست كل مجموعة من الأرقام عبارة عن تسلسل. إذن ، المقطع ليس تسلسلاً ؛ يحتوي على "عدد كبير جدًا" من الأرقام المطلوب إعادة ترقيمها. مجموعة R للجميع أرقام حقيقيةهو أيضا ليس تسلسل. تم إثبات هذه الحقائق في سياق التحليل الرياضي.

التقدم الحسابي: التعريفات الأساسية

الآن نحن جاهزون لتحديد التقدم الحسابي.

تعريف. التدرج الحسابي هو تسلسل يكون فيه كل مصطلح (بدءًا من الثاني) مساويًا لمجموع المصطلح السابق وبعض الأرقام الثابتة (يُطلق عليه اختلاف التدرج الحسابي).

على سبيل المثال ، التسلسل 2 ؛ 5 ؛ 8 ؛ أحد عشر؛ ::: هو تقدم حسابي مع الفصل الأول 2 والفرق 3. التسلسل 7؛ 2 ؛ 3 ؛ 8 ؛ ::: هو تقدم حسابي مع الفصل الأول 7 والفرق 5. التسلسل 3؛ 3 ؛ 3 ؛ ::: هو تقدم حسابي بدون فرق.

التعريف المكافئ: يسمى التسلسل a بالتقدم الحسابي إذا كان الاختلاف a + 1 an قيمة ثابتة (لا تعتمد على n).

يقال إن التقدم الحسابي يتزايد إذا كان فرقه موجبًا ويتناقص إذا كان الاختلاف سالبًا.

1 وهنا تعريف أكثر إيجازًا: التسلسل هو وظيفة محددة في مجموعة الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال ، تسلسل الأرقام الحقيقية هو الوظيفة f: N! تم العثور على R.

بشكل افتراضي ، تعتبر التسلسلات لا نهائية ، أي تحتوي على عدد لا حصر له من الأرقام. لكن لا أحد يكلف نفسه عناء التفكير في التسلسلات المحدودة ؛ في الواقع ، يمكن تسمية أي مجموعة منتهية من الأرقام بالتسلسل المحدود. على سبيل المثال، التسلسل النهائي 1 ؛ 2 ؛ 3 ؛ 4 ؛ 5 يتكون من خمسة أعداد.

صيغة العضو التاسع للتقدم الحسابي

من السهل أن نفهم أن التقدم الحسابي يتم تحديده بالكامل من خلال رقمين: المصطلح الأول والفرق. لذلك ، فإن السؤال الذي يطرح نفسه: كيف تجد ، بمعرفة المصطلح الأول والفرق ، مصطلحًا تعسفيًا للتقدم الحسابي؟

ليس من الصعب الحصول على الصيغة المرغوبة للمدة التاسعة من التقدم الحسابي. دع

التقدم الحسابي مع الاختلاف د. لدينا:
an + 1 = an + d (n = 1 ؛ 2 ؛:: :):
على وجه الخصوص ، نكتب:
a2 = a1 + d ؛
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d ؛
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d ؛
والآن أصبح من الواضح أن صيغة a هي:
an = a1 + (n 1) d:

المهمة 1. في التقدم الحسابي 2؛ 5 ؛ 8 ؛ أحد عشر؛ ::: أوجد صيغة الحد النوني واحسب الحد المائة.

حل. وفقًا للصيغة (1) لدينا:

و = 2 + 3 (ن 1) = 3 ن 1:

أ 100 = 3100 1 = 299:

خاصية وعلامة التقدم الحسابي

خاصية التقدم الحسابي. في التقدم الحسابي لأي

بمعنى آخر ، كل عضو في التقدم الحسابي (بدءًا من الثاني) هو المتوسط ​​الحسابي للأعضاء المجاورة.

	دليل. لدينا:
	أ ن 1+ أ ن + 1		(د) + (أن + د)

وهو ما كان المطلوب.

بشكل عام ، فإن التقدم الحسابي يرضي المساواة

أ ن = أ ن ك + أ ن + ك

لأي ن> 2 وأي ك طبيعي< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

اتضح أن الصيغة (2) ليست فقط شرطًا ضروريًا ولكنها أيضًا شرطًا كافيًا للتسلسل ليكون تقدمًا حسابيًا.

علامة على التقدم الحسابي. إذا كانت المساواة (2) تنطبق على كل n> 2 ، فإن التسلسل a هو تقدم حسابي.

دليل. دعنا نعيد كتابة الصيغة (2) على النحو التالي:

أ نا ن 1 = أ ن + 1 أ ن:

يوضح هذا أن الاختلاف في + 1 و لا يعتمد على n ، وهذا يعني فقط أن التسلسل a هو تقدم حسابي.

يمكن صياغة خاصية وعلامة التقدم الحسابي في شكل بيان واحد ؛ سنفعل هذا للراحة ثلاثة أرقام(هذا هو الموقف الذي يحدث غالبًا في المهام).

توصيف التقدم الحسابي. تشكل ثلاثة أرقام أ ، ب ، ج تقدمًا حسابيًا إذا وفقط إذا كان 2 ب = أ + ج.

المشكلة الثانية (جامعة موسكو الحكومية ، كلية الاقتصاد ، 2007) ثلاثة أرقام 8x و 3 x2 و 4 بالترتيب المحدد تشكل تقدمًا حسابيًا متناقصًا. أوجد x واكتب الفرق في هذا التقدم.

حل. من خلال خاصية التقدم الحسابي ، لدينا:

2 (3 × 2) = 8 × 4 ، 2 × 2 + 8 × 10 = 0 ، × 2 + 4 × 5 = 0 ، س = 1 ؛ س = 5:

إذا كانت x = 1 ، فسيتم الحصول على تقدم متناقص قدره 8 ، 2 ، 4 بفارق 6. إذا كانت x = 5 ، فسيتم الحصول على تقدم متزايد قدره 40 ، 22 ، 4 ؛ هذه الحالة لا تعمل.

الإجابة: س = 1 ، الفرق هو 6.

مجموع أول n من المصطلحات للتقدم الحسابي

تقول الأسطورة أنه بمجرد أن طلب المعلم من الأطفال العثور على مجموع الأرقام من 1 إلى 100 وجلس لقراءة الصحيفة بهدوء. ومع ذلك ، في غضون بضع دقائق ، قال أحد الأطفال إنه حل المشكلة. كان كارل فريدريش جاوس ، البالغ من العمر 9 سنوات ، أحد أعظم علماء الرياضيات في التاريخ.

كانت فكرة غاوس الصغيرة هكذا. يترك

S = 1 + 2 + 3 +::: + 98 + 99 + 100:

لنكتب هذا المجموع بترتيب عكسي:

S = 100 + 99 + 98 +::: + 3 + 2 + 1 ؛

وأضف هاتين الصيغتين:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

كل حد بين قوسين يساوي 101 ، وهناك 100 حد في المجموع ، لذلك

2S = 101100 = 10100 ؛

نستخدم هذه الفكرة لاشتقاق صيغة الجمع

S = a1 + a2 +::: + an + a n n: (3)

يتم الحصول على تعديل مفيد للصيغة (3) عن طريق استبدال صيغة المصطلح n = a1 + (n 1) d فيه:

		2a1 + (ن 1) د

المهمة 3. أوجد مجموع كل الأعداد الموجبة المكونة من ثلاثة أرقام والقابلة للقسمة على 13.

حل. تشكل الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام ومضاعفات العدد 13 تقدمًا حسابيًا مع الحد الأول 104 والفرق 13 ؛ المصطلح التاسع لهذا التقدم هو:

و = 104 + 13 (عدد 1) = 91 + 13 ن:

دعنا نتعرف على عدد الأعضاء الذي يحتويه تقدمنا. للقيام بذلك ، نحل مشكلة عدم المساواة:

6999 ؛ 91 + 13 ن 6999 ؛

عدد 6 908 13 = 6911 13 ؛ العدد 6 69:

إذن هناك 69 عضوًا في تقدمنا. وفقًا للصيغة (4) نجد المبلغ المطلوب:

ق = 2104 + 68 13 69 = 37674: 2

ملاحظات هامة!
1. إذا رأيت abracadabra بدلاً من الصيغ ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. كيفية القيام بذلك في متصفحك مكتوب هنا:
2. قبل أن تبدأ في قراءة المقال ، انتبه إلى الملاح الخاص بنا أكثر من غيره مورد مفيدل

تسلسل رقمي

لذلك دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:
يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك ما تريد (في حالتنا ، هم). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها ، يمكننا دائمًا تحديد أي منهم هو الأول ، وهو الثاني ، وهكذا إلى الأخير ، أي يمكننا ترقيمها. هذا مثال على تسلسل رقمي:

تسلسل رقمي
على سبيل المثال ، بالنسبة لتسلسلنا:

الرقم المخصص محدد لرقم تسلسل واحد فقط. بمعنى آخر ، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في التسلسل. الرقم الثاني (مثل الرقم -th) هو نفسه دائمًا.
الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.

عادة ما نطلق على التسلسل الكامل بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو:.

في حالتنا هذه:

لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا يكون فيه الفرق بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا.
على سبيل المثال:

إلخ.
يسمى هذا التسلسل العددي بالتقدم الحسابي.
تم تقديم مصطلح "التقدم" من قبل المؤلف الروماني بوثيوس في وقت مبكر من القرن السادس وتم فهمه بمعنى أوسع على أنه تسلسل رقمي لا نهاية له. تم نقل اسم "الحساب" من نظرية النسب المستمرة التي انخرط فيها الإغريق القدماء.

هذا تسلسل رقمي ، كل عضو فيه يساوي التسلسل السابق ، مضافًا بنفس الرقم. يسمى هذا الرقم باختلاف التقدم الحسابي ويشار إليه.

حاول تحديد التسلسلات الرقمية التي تعتبر تقدمًا حسابيًا وأيها ليست:

أ)
ب)
ج)
د)

فهمتها؟ قارن إجاباتنا:
يكونالتقدم الحسابي - ب ، ج.
ليسالتقدم الحسابي - أ ، د.

دعنا نعود إلى التقدم المعطى () ونحاول إيجاد قيمة العضو العاشر. موجود اثنينطريقة للعثور عليه.

1. الطريقة

يمكننا أن نضيف إلى القيمة السابقة لرقم التقدم حتى نصل إلى الحد العاشر من التقدم. من الجيد أنه ليس لدينا الكثير لتلخيصه - ثلاث قيم فقط:

إذن ، العضو -th في التقدم الحسابي الموصوف يساوي.

2. الطريق

ماذا لو احتجنا لإيجاد قيمة الحد ال عشر للتقدم؟ كان الجمع سيستغرق منا أكثر من ساعة ، وليس حقيقة أننا لم نكن نرتكب أخطاء عند جمع الأرقام.
بالطبع ، توصل علماء الرياضيات إلى طريقة لا تحتاج فيها إلى إضافة فرق التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة. انظر عن كثب إلى الصورة المرسومة ... بالتأكيد لاحظت بالفعل نمطًا معينًا ، وهو:

على سبيل المثال ، دعنا نرى ما الذي يُكوِّن قيمة العضو رقم -th في هذا التقدم الحسابي:


بعبارة أخرى:

حاول أن تجد بهذه الطريقة بشكل مستقل قيمة عضو في هذا التقدم الحسابي.

محسوب؟ قارن إدخالاتك بالإجابة:

انتبه إلى أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة ، عندما أضفنا على التوالي أعضاء التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة.
دعنا نحاول "نزع الطابع الشخصي" هذه الصيغة- احضرها الى الشكل العامواحصل على:

معادلة التقدم الحسابي.

التدرجات الحسابية تتزايد أو تتناقص.

في ازدياد- التدرجات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للمصطلحات أكبر من القيمة السابقة.
على سبيل المثال:

تنازلي- التدرجات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للمصطلحات أقل من القيمة السابقة.
على سبيل المثال:

تُستخدم الصيغة المشتقة في حساب المصطلحات في كل من المصطلحات المتزايدة والمتناقصة للتقدم الحسابي.
دعنا نتحقق من ذلك في الممارسة.
يتم منحنا تقدمًا حسابيًا يتكون من الأرقام التالية:

منذ ذلك الحين:

وبالتالي ، كنا مقتنعين بأن الصيغة تعمل في تقليل التقدم الحسابي وزيادة حجمه.
حاول أن تجد العضوين -th و -th في هذا التقدم الحسابي بنفسك.

لنقارن النتائج:

خاصية التقدم الحسابي

دعونا نعقد المهمة - نشتق خاصية التقدم الحسابي.
لنفترض أننا حصلنا على الشرط التالي:
- التقدم الحسابي ، أوجد القيمة.
إنه سهل ، كما تقول ، وابدأ في العد وفقًا للصيغة التي تعرفها بالفعل:

دعونا إذن:

صح تماما. اتضح أننا وجدنا أولًا ، ثم نضيفه إلى الرقم الأول ونحصل على ما نبحث عنه. إذا تم تمثيل التقدم بقيم صغيرة ، فلا يوجد شيء معقد بشأنه ، ولكن ماذا لو تم إعطاؤنا أرقامًا في الحالة؟ موافق ، هناك احتمال لارتكاب أخطاء في الحسابات.
فكر الآن ، هل من الممكن حل هذه المشكلة في خطوة واحدة باستخدام أي صيغة؟ بالطبع ، نعم ، وسنحاول إخراجها الآن.

دعنا نشير إلى المصطلح المطلوب للتقدم الحسابي حيث أننا نعرف صيغة إيجاده - هذه هي نفس الصيغة التي اشتقناها في البداية:
، ثم:

• العضو السابق في التقدم هو:
• الفصل التالي من التقدم هو:

دعنا نلخص الأعضاء السابقين والتاليين في التقدم:

اتضح أن مجموع الأعضاء السابقين واللاحقين للتقدم هو ضعف قيمة عضو التقدم الموجود بينهما. بمعنى آخر ، من أجل العثور على قيمة عضو التقدم مع القيم المعروفة السابقة والمتتالية ، من الضروري إضافتهم والقسمة على.

هذا صحيح ، لدينا نفس الرقم. دعونا نصلح المادة. احسب قيمة التقدم بنفسك ، لأنها ليست صعبة على الإطلاق.

أحسنت! أنت تعرف كل شيء تقريبًا عن التقدم! يبقى أن نكتشف صيغة واحدة فقط ، والتي ، وفقًا للأسطورة ، واحدة من أعظم علماء الرياضيات في كل العصور ، "ملك علماء الرياضيات" - كارل غاوس ، استنتجها لنفسه بسهولة ...

عندما كان كارل غاوس يبلغ من العمر 9 سنوات ، كان المعلم مشغولًا بفحص عمل الطلاب من الفصول الأخرى ، وسأل المهمة التالية في الدرس: "احسب مجموع جميع الأعداد الطبيعية من أعلى (وفقًا لمصادر أخرى حتى). " ما كانت مفاجأة المعلم عندما أعطى أحد طلابه (كان كارل جاوس) بعد دقيقة الإجابة الصحيحة على المهمة ، بينما تلقى معظم زملائه في الصف المتهور بعد حسابات طويلة النتيجة الخاطئة ...

لاحظ Young Carl Gauss نمطًا يمكنك ملاحظته بسهولة.
لنفترض أن لدينا تقدمًا حسابيًا يتكون من -ti أعضاء: نحتاج إلى إيجاد مجموع الأعضاء المعينين للتقدم الحسابي. بالطبع ، يمكننا جمع كل القيم يدويًا ، ولكن ماذا لو احتجنا إلى إيجاد مجموع شروطها في المهمة ، كما كان يبحث عنها غاوس؟

دعونا نصور التقدم المعطى لنا. انظر عن كثب إلى الأرقام المميزة وحاول إجراء عمليات حسابية مختلفة معهم.


حاول؟ ماذا لاحظت؟ يمين! مبالغهم متساوية

أجب الآن ، كم عدد هذه الأزواج في التقدم المعطى لنا؟ بالطبع ، بالضبط نصف كل الأرقام ، هذا هو.
استنادًا إلى حقيقة أن مجموع حدين من التقدم الحسابي متساوٍ ، وأزواج متساوية متشابهة ، نحصل على أن المجموع الكلي يساوي:
.
وبالتالي ، فإن صيغة مجموع المصطلحات الأولى لأي تقدم حسابي ستكون:

في بعض المشاكل ، لا نعرف المصطلح ال ، لكننا نعرف فرق التقدم. حاول الاستعاضة في صيغة الجمع ، صيغة العضو ال.
على ماذا حصلت؟

أحسنت! الآن دعنا نعود إلى المسألة التي أعطيت لكارل غاوس: احسب بنفسك مجموع الأرقام التي تبدأ من -th ، ومجموع الأرقام التي تبدأ من -th.

كم لم تحصل عليه؟
اتضح جاوس أن مجموع المصطلحات متساوٍ ومجموع المصطلحات. هل هذه هي الطريقة التي قررت بها؟

في الواقع ، تم إثبات صيغة مجموع أعضاء التقدم الحسابي من قبل العالم اليوناني القديم ديوفانتوس في القرن الثالث ، وطوال هذا الوقت ، استخدم الأشخاص البارعون خصائص التقدم الحسابي مع القوة والرئيسية.
على سبيل المثال ، تخيل مصر القديمةوأكبر موقع بناء في ذلك الوقت - بناء هرم .. الشكل يظهر جانب واحد منه.

أين التقدم هنا تقول؟ انظر بعناية وابحث عن نمط في عدد الكتل الرملية في كل صف من جدار الهرم.


لماذا ليس التقدم الحسابي؟ احسب عدد الكتل اللازمة لبناء جدار واحد إذا تم وضع قوالب الطوب في القاعدة. أتمنى ألا تحسب من خلال تحريك إصبعك على الشاشة ، هل تتذكر الصيغة الأخيرة وكل ما قلناه عن التقدم الحسابي؟

في هذه الحالة ، يبدو التقدم كما يلي:
فرق التقدم الحسابي.
عدد أعضاء التقدم الحسابي.
دعنا نستبدل بياناتنا في الصيغ الأخيرة (نحسب عدد الكتل بطريقتين).

طريقة 1.

الطريقة الثانية.

والآن يمكنك أيضًا إجراء الحساب على الشاشة: قارن القيم التي تم الحصول عليها بعدد الكتل الموجودة في هرمنا. هل وافقت؟ أحسنت صنعًا ، لقد أتقنت مجموع شروط التقدم الحسابي.
طبعا لايمكنك بناء هرم من الكتل في القاعدة لكن من؟ حاول حساب عدد الطوب الرملي المطلوب لبناء جدار بهذه الحالة.
هل تستطيع فعلها؟
الجواب الصحيح هو الكتل:

تمرين

مهام:

1. ماشا تتأقلم مع الصيف. كل يوم تزيد من عدد القرفصاء. كم مرة ستجلس ماشا القرفصاء في أسابيع إذا مارست القرفصاء في التمرين الأول.
2. ما هو مجموع كل الأعداد الفردية الواردة في.
3. عند تخزين السجلات ، يقوم الحطّاب بتكديسها بطريقة تجعل كل منها الطبقة العليايحتوي على سجل واحد أقل من السابق. كم عدد السجلات الموجودة في البناء الواحد ، إذا كانت قاعدة البناء عبارة عن سجلات.

الإجابات:

1. دعونا نحدد معلمات التقدم الحسابي. في هذه الحالة
   (أسابيع = أيام).

   إجابة:في غضون أسبوعين ، يجب أن تجلس ماشا مرة واحدة في اليوم.

2. أول رقم فردي وآخر رقم.
   فرق التقدم الحسابي.
   عدد الأعداد الفردية في - النصف ، ومع ذلك ، تحقق من هذه الحقيقة باستخدام الصيغة لإيجاد العنصر -th في التقدم الحسابي:

   الأرقام تحتوي على أرقام فردية.
   نستبدل البيانات المتاحة في الصيغة:

   إجابة:مجموع كل الأعداد الفردية الواردة في يساوي.

3. أذكر مشكلة الأهرامات. بالنسبة لحالتنا ، أ ، نظرًا لأنه يتم تقليل كل طبقة عليا بواسطة سجل واحد ، فلا يوجد سوى مجموعة من الطبقات ، أي.
   استبدل البيانات الموجودة في الصيغة:

   إجابة:هناك سجلات في البناء.

تلخيص لما سبق

1. - تسلسل رقمي يكون فيه الاختلاف بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا. إنه يتزايد ويتناقص.
2. إيجاد الصيغةتتم كتابة العضو العاشر في التقدم الحسابي بواسطة الصيغة - ، حيث يوجد عدد الأرقام في التقدم.
3. خاصية أعضاء التقدم الحسابي- - أين - عدد الأرقام في التقدم.
4. مجموع أعضاء التقدم الحسابييمكن العثور عليها بطريقتين:
   
   ، أين هو عدد القيم.

المتوالية العددية. مستوى متوسط

تسلسل رقمي

دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:

يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده. لكن يمكنك دائمًا معرفة أيهما هو الأول ، وهو الثاني ، وهكذا ، أي يمكننا ترقيمهما. هذا مثال على تسلسل رقمي.

تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام ، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.

بمعنى آخر ، يمكن ربط كل رقم برقم طبيعي معين ، واحد فقط. ولن نخصص هذا الرقم لأي رقم آخر من هذه المجموعة.

الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.

عادة ما نطلق على التسلسل الكامل بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو:.

إنه مناسب جدًا إذا كان من الممكن إعطاء العضو -th في التسلسل بواسطة صيغة ما. على سبيل المثال ، الصيغة

يحدد التسلسل:

والصيغة هي التسلسل التالي:

على سبيل المثال ، التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة (المصطلح الأول هنا متساوٍ والفرق). أو (فرق).

صيغة مصطلح nth

نسمي المتكرر صيغة تحتاج فيها إلى معرفة المصطلح السابق أو السابق:

لإيجاد ، على سبيل المثال ، المصطلح العاشر للتقدم باستخدام مثل هذه الصيغة ، علينا حساب التسعة السابقة. على سبيل المثال ، دعونا. ثم:

حسنًا ، من الواضح الآن ما هي الصيغة؟

في كل سطر ، نضيف إلى ، مضروبًا في عدد ما. لماذا؟ بسيط جدًا: هذا هو رقم العضو الحالي مطروحًا منه:

أكثر راحة الآن ، أليس كذلك؟ نحن نفحص:

تقرر لنفسك:

في التقدم الحسابي ، أوجد صيغة الحد النوني وأوجد الحد المائة.

حل:

العضو الأول متساوٍ. وما الفرق؟ وإليك ما يلي:

(بعد كل شيء ، يطلق عليه الفرق لأنه يساوي اختلاف الأعضاء المتعاقبين في التقدم).

إذن الصيغة هي:

ثم المصطلح المائة هو:

ما هو مجموع كل الأعداد الطبيعية من إلى؟

وفقًا للأسطورة ، قام عالم الرياضيات العظيم كارل جاوس ، وهو صبي يبلغ من العمر 9 سنوات ، بحساب هذا المبلغ في بضع دقائق. لقد لاحظ أن مجموع العددين الأول والأخير متساويان ، ومجموع الثاني وما قبل الأخير هو نفسه ، ومجموع الثالث والثالث من النهاية هو نفسه ، وهكذا. كم عدد هذه الأزواج الموجودة؟ هذا صحيح ، بالضبط نصف عدد كل الأرقام ، أي. لذا،

ستكون الصيغة العامة لمجموع المصطلحات الأولى لأي تقدم حسابي:

مثال:
أوجد مجموع الكل أرقام من رقمين، مضاعفات.

حل:

الرقم الأول من هذا القبيل هو هذا. يتم الحصول على كل تالية عن طريق إضافة رقم إلى الرقم السابق. وهكذا ، فإن الأرقام التي تهمنا تشكل تقدمًا حسابيًا مع المصطلح الأول والفرق.

صيغة المصطلح العاشر لهذا التقدم هي:

كم عدد المصطلحات في التقدم إذا كان يجب أن تكون جميعها من رقمين؟

سهل جدا: .

سيكون المصطلح الأخير من التقدم متساويًا. ثم المجموع:

إجابة: .

قرر الآن بنفسك:

1. في كل يوم ، يركض الرياضي 1 متر أكثر من اليوم السابق. كم كيلومترًا سيجري في أسابيع إذا ركض كيلومترًا في اليوم الأول؟
2. يركب راكب الدراجة أميالًا كل يوم أكثر من سابقه. في اليوم الأول سافر كيلومترًا. كم يوما يجب عليه القيادة لقطع كيلومتر واحد؟ كم كيلومترًا سيقطعه في اليوم الأخير من الرحلة؟
3. يتم تخفيض سعر الثلاجة في المتجر بنفس المبلغ كل عام. حدد مقدار انخفاض سعر الثلاجة كل عام إذا تم بيعها مقابل روبل بعد ست سنوات ، معروضة للبيع مقابل روبل.

الإجابات:

1. أهم شيء هنا هو التعرف على التقدم الحسابي وتحديد معاملاته. في هذه الحالة (أسابيع = أيام). تحتاج إلى تحديد مجموع الشروط الأولى لهذا التقدم:
   .
   إجابة:
2. هنا يعطى: ، من الضروري أن تجد.
   من الواضح أنك تحتاج إلى استخدام نفس صيغة الجمع كما في المسألة السابقة:
   .
   استبدل القيم:

   من الواضح أن الجذر غير مناسب ، لذا فإن الإجابة.
   لنحسب المسافة المقطوعة خلال اليوم الأخير باستخدام صيغة العضو -th:
   (كم).
   إجابة:

3. منح: . يجد: .
   لا يصبح الأمر أسهل:
   (فرك).
   إجابة:

المتوالية العددية. باختصار حول الرئيسي

هذا تسلسل رقمي يكون فيه الفرق بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا.

يتزايد التقدم الحسابي () ويتناقص ().

على سبيل المثال:

صيغة إيجاد العضو رقم n للتقدم الحسابي

مكتوب كصيغة ، حيث عدد الأرقام في التقدم.

خاصية أعضاء التقدم الحسابي

يسهل العثور على عضو في التقدم إذا كان الأعضاء المجاورون معروفين - أين عدد الأرقام في التقدم.

مجموع أعضاء التقدم الحسابي

هناك طريقتان لإيجاد المجموع:

أين عدد القيم.

أين عدد القيم.

حسنًا ، لقد انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور ، فأنت رائع جدًا.

لأن 5٪ فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بمفردهم. وإذا كنت قد قرأت حتى النهاية ، فأنت في الـ 5٪!

الآن أهم شيء.

لقد اكتشفت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر ، إنه ... إنه رائع فقط! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من أقرانك.

المشكلة أن هذا قد لا يكون كافيا ...

لماذا؟

للنجاح اجتياز الامتحان، للقبول في المعهد على الميزانية ، والأهم من ذلك ، مدى الحياة.

لن أقنعك بأي شيء ، سأقول شيئًا واحدًا ...

الناس الذين تلقوا على تعليم جيد، يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يحصلوا عليها. هذه إحصائيات.

لكن هذا ليس هو الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن المزيد من الفرص تفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف ...

لكن فكر بنفسك ...

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أن تكون أفضل من الآخرين في الامتحان وأن تكون في النهاية ... أكثر سعادة؟

املأ يدك وحل المشكلات الواردة في هذا الموضوع.

في الامتحان لن يطلب منك النظرية.

سوف تحتاج حل المشاكل في الوقت المحدد.

وإذا لم تحلها (الكثير!) ، فإنك بالتأكيد سترتكب خطأ غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن ترتكبها في الوقت المناسب.

إنه مثل الرياضة - تحتاج إلى التكرار عدة مرات للفوز بالتأكيد.

ابحث عن مجموعة في أي مكان تريده بالضرورة مع الحلول تحليل تفصيلي وتقرر ، تقرر ، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (ليست ضرورية) ونحن بالتأكيد نوصي بها.

من أجل الحصول على يد المساعدة في مهامنا ، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع المقالات البالغ عددها 99 في البرنامج التعليمي - شراء كتاب مدرسي - 499 روبل

نعم ، لدينا 99 مقالًا من هذا القبيل في الكتاب المدرسي ويمكن الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها يمكن فتحها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع بالكامل.

ختاماً...

إذا كنت لا تحب مهامنا ، فابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عن النظرية.

"فهمت" و "أعرف كيف أحل" مهارات مختلفة تمامًا. أنت بحاجة لكليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

عند دراسة الجبر في مدرسة التعليم العام(الصف 9) واحد من مواضيع مهمةهي دراسة المتواليات العددية ، والتي تشمل التعاقب - الهندسي والحسابي. في هذه المقالة ، سننظر في التقدم الحسابي والأمثلة مع الحلول.

ما هو التقدم الحسابي؟

لفهم هذا ، من الضروري إعطاء تعريف للتقدم قيد النظر ، وكذلك إعطاء الصيغ الأساسية التي سيتم استخدامها بشكل أكبر في حل المشكلات.

من المعروف أنه في بعض التدرجات الجبرية ، فإن الحد الأول يساوي 6 ، والحد السابع يساوي 18. من الضروري إيجاد الفرق وإعادة هذا التسلسل إلى الحد السابع.

دعنا نستخدم الصيغة لتحديد المصطلح غير المعروف: a n = (n - 1) * d + a 1. نستبدل البيانات المعروفة من الشرط فيها ، أي الأرقام أ 1 و 7 ، لدينا: 18 \ u003d 6 + 6 * د. من هذا التعبير ، يمكنك بسهولة حساب الفرق: d = (18-6) / 6 = 2. وبالتالي ، تمت الإجابة على الجزء الأول من المشكلة.

لاستعادة التسلسل للعضو السابع ، يجب عليك استخدام تعريف التقدم الجبري ، أي أ 2 = أ 1 + د ، أ 3 = أ 2 + د ، وهكذا. نتيجة لذلك ، نستعيد التسلسل بأكمله: أ 1 = 6 ، أ 2 = 6 + 2 = 8 ، أ 3 = 8 + 2 = 10 ، أ 4 = 10 + 2 = 12 ، أ 5 = 12 + 2 = 14 ، أ 6 = 14 + 2 = 16 و 7 = 18.

المثال رقم 3: إحراز تقدم

دعونا نجعل الأمر أكثر صعوبة حالة أقوىمهام. أنت الآن بحاجة للإجابة على سؤال حول كيفية إيجاد التقدم الحسابي. يستطيع أن يقود المثال التالي: يتم إعطاء رقمين ، على سبيل المثال ، - 4 و 5. من الضروري إجراء تقدم جبري بحيث يتم وضع ثلاثة مصطلحات أخرى بينهما.

قبل البدء في حل هذه المشكلة ، من الضروري فهم المكان الذي ستشغله الأرقام المعينة في التقدم المستقبلي. نظرًا لأنه سيكون هناك ثلاثة مصطلحات أخرى بينهما ، ثم 1 \ u003d -4 و 5 \ u003d 5. بعد إثبات ذلك ، ننتقل إلى مهمة مشابهة لتلك السابقة. مرة أخرى ، بالنسبة للمصطلح n ، نستخدم الصيغة ، نحصل على: a 5 \ u003d a 1 + 4 * d. من: د \ u003d (أ 5 - أ 1) / 4 \ u003d (5 - (-4)) / 4 \ u003d 2.25. هنا لم نحصل على قيمة عددية للفرق ، لكنها كذلك رقم منطقي، لذلك تظل معادلات التقدم الجبري كما هي.

الآن دعنا نضيف الفرق الموجود إلى 1 ونستعيد الأعضاء المفقودين من التقدم. نحصل على: أ 1 = - 4 ، أ 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75 ، أ 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5 ، أ 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75 ، أ 5 = 2.75 + 2.25 = 5 ، التي تزامنت مع حالة المشكلة.

مثال رقم 4: العضو الأول في التقدم

نستمر في إعطاء أمثلة على التقدم الحسابي مع الحل. في جميع المشاكل السابقة ، كان الرقم الأول للتقدم الجبري معروفًا. فكر الآن في مشكلة من نوع مختلف: دعنا نعطي رقمين ، حيث 15 = 50 و 43 = 37. من الضروري معرفة أي رقم يبدأ هذا التسلسل.

الصيغ التي تم استخدامها حتى الآن تفترض معرفة 1 و د. لا شيء معروف عن هذه الأرقام في حالة المشكلة. ومع ذلك ، دعنا نكتب التعبيرات الخاصة بكل حد لدينا معلومات عنه: أ 15 = أ 1 + 14 * د و 43 = أ 1 + 42 * د. حصلنا على معادلتين فيهما كميتين غير معروفين (أ 1 ود). هذا يعني أن المشكلة تختزل في حل نظام المعادلات الخطية.

من الأسهل حل النظام المحدد إذا عبرت عن 1 في كل معادلة ، ثم قارنت التعبيرات الناتجة. المعادلة الأولى: أ 1 = أ 15-14 * د = 50-14 * د ؛ المعادلة الثانية: أ 1 \ u003d أ 43-42 * د \ u003d 37-42 * د. معادلة هذه التعبيرات ، نحصل على: 50 - 14 * د \ u003d 37-42 * د ، ومن هنا الفرق د \ u003d (37-50) / (42-14) \ u003d - 0.464 (معطاة فقط 3 منازل عشرية).

بمعرفة د ، يمكنك استخدام أي من التعبيرين أعلاه لـ 1. على سبيل المثال ، أولاً: أ 1 \ u003d 50-14 * د \ u003d 50-14 * (- 0.464) \ u003d 56.496.

إذا كانت هناك شكوك حول النتيجة ، فيمكنك التحقق منها ، على سبيل المثال ، تحديد العضو 43 من التقدم المحدد في الشرط. نحصل على: a 43 \ u003d a 1 + 42 * d \ u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \ u003d 37.008. يرجع الخطأ الصغير إلى حقيقة أنه تم استخدام التقريب إلى جزء من الألف في الحسابات.

المثال الخامس: المجموع

الآن دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة ذات الحلول لمجموع التقدم الحسابي.

دع التقدم العددي للشكل التالي يعطى: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ... ،. كيف تحسب مجموع 100 من هذه الأرقام؟

بفضل التطور تكنولوجيا الكمبيوتريمكنك حل هذه المشكلة ، أي جمع كل الأرقام بالتسلسل ، والتي آلة حاسبةبمجرد أن يضغط الشخص على مفتاح Enter. ومع ذلك ، يمكن حل المشكلة عقليًا إذا انتبهت إلى أن سلسلة الأرقام المقدمة هي تقدم جبري ، وفرقها هو 1. بتطبيق صيغة الجمع ، نحصل على: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

من الغريب أن نلاحظ أن هذه المشكلة تسمى "Gaussian" لأن في الثامن عشر في وقت مبكرمن القرن الماضي ، تمكن الألماني الشهير ، الذي كان لا يزال في العاشرة من عمره فقط ، من حلها في ذهنه في بضع ثوان. لم يكن الصبي يعرف صيغة مجموع التقدم الجبري ، لكنه لاحظ أنه إذا أضفت أزواجًا من الأرقام الموجودة عند أطراف المتسلسلة ، فستحصل دائمًا على نفس النتيجة ، أي 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ، وبما أن هذه المبالغ ستكون بالضبط 50 (100/2) ، إذن للحصول على الإجابة الصحيحة ، يكفي ضرب 50 في 101.

مثال رقم 6: مجموع المصطلحات من n إلى m

مثال آخر نموذجي لمجموع التقدم الحسابي هو ما يلي: بالنظر إلى سلسلة من الأرقام: 3 ، 7 ، 11 ، 15 ، ... ، تحتاج إلى إيجاد مجموع شروطه من 8 إلى 14.

تم حل المشكلة بطريقتين. يتضمن أولهما إيجاد حدود غير معروفة من 8 إلى 14 ، ثم تلخيصها بالتتابع. نظرًا لوجود عدد قليل من المصطلحات ، فإن هذه الطريقة ليست مرهقة بدرجة كافية. ومع ذلك ، يُقترح حل هذه المشكلة بالطريقة الثانية ، وهي أكثر عالمية.

الفكرة هي الحصول على صيغة لمجموع التقدم الجبري بين المصطلحين m و n ، حيث n> m هي أعداد صحيحة. في كلتا الحالتين ، نكتب تعبيرين للمجمع:

1. S م \ u003d م * (أ م + أ 1) / 2.
2. S n \ u003d n * (a n + a 1) / 2.

بما أن n> m ، فمن الواضح أن مجموع 2 يشتمل على أول واحد. الاستنتاج الأخير يعني أننا إذا أخذنا الفرق بين هذه المبالغ ، وأضفنا المصطلح a m إليه (في حالة أخذ الفرق ، يتم طرحه من مجموع S n) ، فإننا نحصل على الإجابة اللازمة للمسألة. لدينا: S mn \ u003d S n - S m + a m \ u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \ u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). من الضروري استبدال الصيغتين a n و a m في هذا التعبير. ثم نحصل على: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - م / 2) = أ 1 * (ن - م + 1) + د * ن * (ن - 1) / 2 + د * (3 * م - م 2-2) / 2.

الصيغة الناتجة مرهقة إلى حد ما ، ومع ذلك ، فإن مجموع S mn يعتمد فقط على n و m و a 1 و d. في حالتنا ، a 1 = 3 ، d = 4 ، n = 14 ، m = 8. بالتعويض عن هذه الأرقام ، نحصل على: S mn = 301.

كما يتضح من الحلول المذكورة أعلاه ، تستند جميع المشكلات إلى معرفة التعبير عن المصطلح n ومعادلة مجموع مجموعة المصطلحات الأولى. قبل البدء في حل أي من هذه المشكلات ، يوصى بقراءة الحالة بعناية ، وفهم ما تريد البحث عنه بوضوح ، وبعد ذلك فقط المضي قدمًا في الحل.

نصيحة أخرى هي أن تسعى جاهدًا إلى البساطة ، أي إذا كان بإمكانك الإجابة على السؤال دون استخدام حسابات رياضية معقدة ، فأنت بحاجة إلى القيام بذلك بالضبط ، لأنه في هذه الحالة يكون احتمال ارتكاب خطأ أقل. على سبيل المثال ، في مثال التقدم الحسابي مع الحل رقم 6 ، يمكن للمرء أن يتوقف عند الصيغة S mn \ u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m ، وانقسام المهمة الشائعةإلى مشكلات فرعية منفصلة (في هذه الحالة ، ابحث أولاً عن المصطلحين a n و a m).

إذا كانت هناك شكوك حول النتيجة التي تم الحصول عليها ، فمن المستحسن التحقق منها ، كما حدث في بعض الأمثلة المقدمة. كيف تجد التقدم الحسابي ، اكتشف. بمجرد أن تكتشف ذلك ، لن يكون الأمر بهذه الصعوبة.