الطاقة الحركيةدوران

المحاضرة 3. ديناميات الجسم الصلب

خطة المحاضرة

3.1. لحظة القوة.

3.2 المعادلات الأساسية للحركة الدورانية. لحظة من الجمود.

3.3 الطاقة الحركية للدوران.

3.4. لحظة الاندفاع. قانون الحفاظ على الزخم الزاوي.

3.5 التناظر بين الحركة الانتقالية والحركة الدورانية.

لحظة القوة

ضع في اعتبارك حركة جسم صلب حول محور ثابت. دع الجسم الصلب له محور دوران ثابت ОО ( شكل 3.1) وتطبق عليه قوة تعسفية.

أرز. 3.1

نحلل القوة إلى عنصرين من القوة ، وتكمن القوة في مستوى الدوران ، والقوة موازية لمحور الدوران. ثم نحلل القوة إلى مكونين: - تعمل على طول متجه نصف القطر و - عموديًا عليها.

لن تؤدي أي قوة مطبقة على الجسم إلى تدويره. القوى وتخلق ضغطًا على المحامل ، لكن لا تقم بتدويرها.

قد تؤدي القوة أو لا تؤدي إلى إخراج الجسم من التوازن ، اعتمادًا على مكان تطبيق متجه نصف القطر. لذلك ، يتم تقديم مفهوم لحظة القوة حول المحور. لحظة القوةبالنسبة لمحور الدوران يسمى المنتج المتجه لمتجه نصف القطر والقوة.

يتم توجيه المتجه على طول محور الدوران ويتم تحديده من خلال قاعدة الضرب المتقاطع أو قاعدة اللولب اليمنى أو قاعدة gimlet.

معامل عزم القوة

حيث α هي الزاوية بين المتجهات و.

من الشكل 3.1. انه واضح .

ص 0- أقصر مسافة من محور الدوران إلى خط عمل القوة وتسمى كتف القوة. ثم يمكن كتابة لحظة القوة

م = و ص 0 . (3.3)

من التين. 3.1.

أين Fهو إسقاط المتجه على الاتجاه العمودي لمتجه نصف القطر المتجه. في هذه الحالة ، لحظة القوة هي

. (3.4)

إذا كانت هناك عدة قوى تؤثر على الجسم ، فإن لحظة القوة الناتجة تساوي المجموع المتجه لحظات القوى الفردية ، ولكن نظرًا لأن كل اللحظات موجهة على طول المحور ، فيمكن استبدالها مجموع جبري. سيتم اعتبار العزم موجبًا إذا قام بتدوير الجسم في اتجاه عقارب الساعة وسلبيًا إذا كان عكس اتجاه عقارب الساعة. إذا كانت كل لحظات القوى تساوي صفرًا () ، فسيكون الجسم في حالة توازن.

يمكن إثبات مفهوم لحظة القوة باستخدام "ملف غريب الأطوار". يتم سحب بكرة الخيط بواسطة الطرف الحر للخيط ( أرز. 3.2).

أرز. 3.2

اعتمادًا على اتجاه شد الخيط ، يدور الملف في اتجاه واحد أو آخر. إذا كنت تسحب بزاوية α ، ثم لحظة القوة حول المحور ا(عموديًا على الشكل) يدير الملف عكس اتجاه عقارب الساعة ويتدحرج للخلف. في حالة التوتر بزاوية β يكون العزم في عكس اتجاه عقارب الساعة ويتحرك الملف للأمام.

باستخدام شرط التوازن () ، يمكنك تصميم آليات بسيطة تكون "محولات" للقوة ، أي مع قوة أقل يمكن رفعها وتحريكها وزن مختلفالبضائع. تعتمد الرافعة وعربات اليد والكتل على هذا المبدأ. نوع مختلفالتي تستخدم على نطاق واسع في البناء. للامتثال لشرط التوازن في رافعات البناء للتعويض عن لحظة القوة التي يسببها وزن الحمولة ، هناك دائمًا نظام من الأثقال الموازنة التي تخلق لحظة قوة للعلامة المعاكسة.

3.2 معادلة الدوران الأساسية
حركة. لحظة من الجمود

ضع في اعتبارك جسمًا صلبًا تمامًا يدور حول محور ثابت OO(شكل 3.3). دعونا نقسم عقليًا هذا الجسم إلى عناصر ذات كتل Δ م 1, Δ م 2, …, Δ م. أثناء الدوران ، ستصف هذه العناصر الدوائر ذات نصف القطر r1,r2 , …,rn. تعمل القوات على كل عنصر F1,F2 , …,و ن. دوران الجسم حول محور OOيحدث تحت تأثير اللحظة الكلية للقوى م.

م \ u003d م 1 + م 2 + ... + م ن (3.4)

أين M 1 = F 1 r 1، M 2 = F 2 r 2، ...، M n = F n r n

وفقًا لقانون نيوتن الثاني ، كل قوة F، تعمل على عنصر من عناصر الكتلة د م، يتسبب في تسريع العنصر المحدد أ، بمعنى آخر.

و أنا =د أنا أ (3.5)

استبدال القيم المقابلة في (3.4) ، نحصل عليها

أرز. 3.3

معرفة العلاقة بين التسارع الزاوي الخطي ε () وأن العجلة الزاوية لجميع العناصر هي نفسها ، فإن الصيغة (3.6) ستبدو

م = (3.7)

=أنا (3.8)

أناهي لحظة القصور الذاتي للجسم حول المحور الثابت.

ثم سنحصل

م = أنا ε (3.9)

أو في شكل ناقل

(3.10)

هذه المعادلة هي المعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية. إنه مشابه في شكله للمعادلة الثانية لقانون نيوتن. من (3.10) لحظة القصور الذاتي

وبالتالي ، فإن لحظة القصور الذاتي لجسم معين هي نسبة لحظة القوة إلى التسارع الزاوي الذي تسببه. من (3.11) يمكن ملاحظة أن لحظة القصور الذاتي هي مقياس لقصور الجسم فيما يتعلق بالحركة الدورانية. تلعب لحظة القصور الذاتي نفس دور الكتلة في الحركة متعدية. وحدة si [ أنا] = كجم م 2. من الصيغة (3.7) يتبع ذلك أن لحظة القصور الذاتي تميز توزيع كتل جسيمات الجسم بالنسبة لمحور الدوران.

إذن ، عزم القصور الذاتي لعنصر كتلته ∆m يتحرك على طول دائرة نصف قطرها r يساوي

أنا = r2د م (3.12)

أنا = (3.13)

في حالة التوزيع الشامل المستمر ، يمكن استبدال المجموع بالتكامل

أنا = ∫ ص 2 دسم (3.14)

حيث يتم تنفيذ التكامل على كامل كتلة الجسم.

هذا يدل على أن لحظة القصور الذاتي للجسم تعتمد على الكتلة وتوزيعها بالنسبة لمحور الدوران. يمكن إثبات ذلك تجريبيا شكل 3.4).

أرز. 3.4

تبدأ أسطوانتان دائريتان ، إحداهما مجوفة (على سبيل المثال ، معدنية) ، والأخرى صلبة (خشبية) بنفس الأطوال ، ونصف القطر والكتل ، في التدحرج لأسفل في وقت واحد. سوف تتخلف الأسطوانة المجوفة ذات العزم الكبير من القصور الذاتي عن الأسطوانة الصلبة.

يمكنك حساب لحظة القصور الذاتي إذا كنت تعرف الكتلة موتوزيعه بالنسبة لمحور الدوران. أبسط حالة هي الحلقة ، عندما تكون جميع عناصر الكتلة متساوية من محور الدوران ( أرز. 3.5):

أنا = (3.15)

أرز. 3.5

دعونا نعطي تعبيرات عن لحظات القصور الذاتي لأجسام متناظرة مختلفة ذات كتلة م.

1. لحظة من الجمود خواتم, اسطوانة رقيقة الجدران مجوفةحول محور الدوران الذي يتزامن مع محور التناظر.

, (3.16)

صهو نصف قطر الحلقة أو الاسطوانة

2. بالنسبة للأسطوانة الصلبة والقرص ، لحظة القصور الذاتي حول محور التناظر

(3.17)

3. لحظة القصور الذاتي للكرة حول المحور الذي يمر عبر المركز

(3.18)

ص- نصف قطر الكرة

4. لحظة القصور الذاتي لقضيب رفيع طويل لبالنسبة لمحور متعامد على القضيب ويمر عبر منتصفه

(3.19)

ل- طول القضيب.

إذا لم يمر محور الدوران عبر مركز الكتلة ، فعندئذ يتم تحديد لحظة القصور الذاتي للجسم حول هذا المحور بواسطة نظرية شتاينر.

(3.20)

وفقًا لهذه النظرية ، فإن لحظة القصور الذاتي حول المحور التعسفي О'O '( ) تساوي اللحظةالقصور الذاتي حول محور مواز يمر عبر مركز كتلة الجسم ( ) زائد حاصل ضرب كتلة الجسم في مربع المسافة أبين المحاور ( أرز. 3.6).

أرز. 3.6

الطاقة الحركية للدوران

ضع في اعتبارك دوران جسم صلب تمامًا حول محور ثابت OO بسرعة زاوية ω (أرز. 3.7). دعونا نقسم الجسم الصلب إلى نالكتل الأولية ∆ م أنا. يدور كل عنصر من عناصر الكتلة على دائرة نصف قطرها ص أنامع السرعة الخطية (). الطاقة الحركية هي مجموع الطاقات الحركية للعناصر الفردية.

(3.21)

أرز. 3.7

نذكر من (3.13) ذلك هي لحظة القصور الذاتي حول محور OO.

وبالتالي ، الطاقة الحركية لجسم دوار

ه ك \ u003d (3.22)

لقد درسنا الطاقة الحركية للدوران حول محور ثابت. إذا كان الجسم متورطًا في حركتين: في الحركات الانتقالية والدورانية ، فإن الطاقة الحركية للجسم هي مجموع الطاقة الحركية للحركة الانتقالية والطاقة الحركية للدوران.

على سبيل المثال ، كرة كتلة مالمتداول. يتحرك مركز كتلة الكرة للأمام بسرعة ش (أرز. 3.8).

أرز. 3.8

مجموع الطاقة الحركية للكرة سوف يساوي

(3.23)

3.4. لحظة الاندفاع. قانون الحفظ
الزخم الزاوي

كمية فيزيائية تساوي ناتج لحظة القصور الذاتي أناإلى السرعة الزاوية ω ، يسمى الزخم الزاوي (لحظة الزخم) إلحول محور الدوران.

- الزخم الزاوي هو كمية متجهية ويتزامن في الاتجاه مع اتجاه السرعة الزاوية.

معادلة التفريق (3.24) فيما يتعلق بالوقت ، نحصل عليها

أين، مهي اللحظة الكلية للقوى الخارجية. في نظام منعزل ، لا توجد لحظة من القوى الخارجية ( م= 0) و

الخصائص الديناميكية الرئيسية للحركة الدورانية هي الزخم الزاوي حول محور الدوران z:

والطاقة الحركية

في الحالة العامة ، يتم العثور على الطاقة أثناء الدوران بالسرعة الزاوية بالصيغة:

، أين موتر القصور الذاتي.

في الديناميكا الحرارية

من خلال نفس المنطق تمامًا كما في حالة الحركة الانتقالية ، يشير التقسيم المتساوي إلى أنه عند التوازن الحراري ، فإن المتوسط الطاقة الدورانيةكل جسيم من غاز أحادي الذرة: (3/2) ك ب ت. وبالمثل ، تسمح نظرية التجزئة المتساوية للفرد بحساب السرعة الزاوية لجذر متوسط ​​التربيع للجزيئات.

أنظر أيضا

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

تعرف على "طاقة الحركة الدورانية" في القواميس الأخرى:

هذا المصطلح له معاني أخرى ، انظر الطاقة (المعاني). الطاقة ، البعد ... ويكيبيديا

الحركات- الحركات. المحتويات: الهندسة د .................... 452 الحركية د ................... 456 ديناميات د. ................... 461 الآليات الحركية ...................... 465 طرق دراسة د. من شخص .......... 471 علم الأمراض (د) للإنسان ............. 474 ... ... ... موسوعة طبية كبيرة

الطاقة الحركية هي طاقة النظام الميكانيكي الذي يعتمد على سرعة حركة نقاطه. غالبًا ما تخصص الطاقة الحركية للحركة الانتقالية والدورانية. بتعبير أدق ، الطاقة الحركية هي الفرق بين المجموع ...... ويكيبيديا

الحركة الحرارية للببتيد ألفا. حركة الارتعاش المعقدة للذرات التي يتكون منها الببتيد عشوائية ، وتتأرجح طاقة ذرة مفردة على مدى واسع ، ولكن باستخدام قانون التقسيم المتساوي يتم حسابه على أنه متوسط ​​الطاقة الحركية لكل ... ... ويكيبيديا

الحركة الحرارية للببتيد ألفا. حركة الارتعاش المعقدة للذرات التي يتكون منها الببتيد عشوائية ، وتتأرجح طاقة ذرة مفردة على مدى واسع ، ولكن باستخدام قانون التقسيم المتساوي يتم حسابه على أنه متوسط ​​الطاقة الحركية لكل ... ... ويكيبيديا

- (marées الفرنسية ، Gezeiten الألمانية ، المد والجزر الإنجليزية) تقلبات دورية في منسوب المياه بسبب جاذبية القمر والشمس. معلومات عامة. P. هو الأكثر وضوحًا على طول شواطئ المحيطات. مباشرة بعد انخفاض المياه لأكبر انخفاض ، يبدأ مستوى المحيط في ... ... قاموس موسوعي F. Brockhaus و I.A. إيفرون

الوعاء المبرد Ivory Tirupati الاستقرار الأولي سلبي القدرة على الاستقرار ... ويكيبيديا

الاستقرار الأولي للوعاء المبرد Ivory Tirupati سلبي استقرار قدرة المنشأة العائمة على تحمل القوى الخارجية التي تتسبب في تدحرجها أو تقليمها والعودة إلى حالة التوازن في نهاية الاضطراب ... ... ويكيبيديا

نظرًا لأن الجسم الصلب هو حالة خاصة لنظام نقاط المواد ، فإن الطاقة الحركية للجسم أثناء الدوران حول محور Z ثابت ستكون مساوية لمجموع الطاقات الحركية لجميع نقاط المواد ، أي

تدور جميع النقاط المادية لجسم صلب في هذه الحالة على طول دوائر ذات نصف قطر وبنفس السرعات الزاوية. السرعة الخطية لكل منهما نقطة ماديةالجسم الصلب يساوي. تأخذ الطاقة الحركية للجسم الصلب الشكل

المجموع على الجانب الأيمن من هذا التعبير ، وفقًا لـ (4.4) ، هو لحظة القصور الذاتي لهذا الجسم حول محور الدوران المحدد. لذلك ، فإن صيغة حساب الطاقة الحركية لجسم صلب يدور بالنسبة لمحور ثابت ستأخذ الشكل النهائي:

. (4.21)

يؤخذ في الاعتبار هنا أن

يصبح حساب الطاقة الحركية لجسم صلب في حالة الحركة التعسفية أكثر تعقيدًا. فكر في حركة مستوية ، عندما تكون مسارات جميع نقاط الجسم المادية في مستويات متوازية. يمكن تمثيل سرعة كل نقطة مادية لجسم صلب وفقًا لـ (1.44) على أنها

,

حيث كمحور الدوران الآني نختار المحور الذي يمر عبر مركز القصور الذاتي للجسم بشكل عمودي على مستوى مسار نقطة معينة من الجسم. في هذه الحالة ، في التعبير الأخير هو سرعة مركز القصور الذاتي للجسم ، - نصف قطر الدوائر التي تدور حولها نقاط الجسم بسرعة زاوية حول المحور الذي يمر عبر مركز القصور الذاتي. بما أنه مع مثل هذه الحركة ، فإن المتجه الذي يساوي يكمن في مستوى مسار النقطة.

بناءً على ما سبق ، فإن الطاقة الحركية للجسم أثناء حركته المستوية تساوي

.

رفع التعبير بين الأقواس إلى المربع وإخراج القيم الثابتة لجميع نقاط الجسم خارج علامة الجمع ، نحصل على

هنا يؤخذ في الاعتبار أن ^.

ضع في اعتبارك كل حد على الجانب الأيمن من التعبير الأخير بشكل منفصل. المصطلح الأول ، بسبب المساواة الواضحة ، يساوي

المصطلح الثاني يساوي صفرًا ، لأن المجموع يحدد متجه نصف القطر لمركز القصور الذاتي (3.5) ، والذي يقع في هذه الحالة على محور الدوران. يأخذ المصطلح الأخير ، مع مراعاة (4.4) ، الشكل. الآن ، أخيرًا ، يمكن تمثيل الطاقة الحركية لحركة عشوائية ولكن مستوية لجسم صلب على أنها مجموع حدين:

, (4.23)

حيث المصطلح الأول هو الطاقة الحركية لنقطة مادية لها كتلة تساوي كتلة الجسم وتتحرك بسرعة مثل مركز كتلة الجسم ؛

المصطلح الثاني هو الطاقة الحركية لجسم يدور حول محور (يتحرك بسرعة) يمر عبر مركز القصور الذاتي.

الاستنتاجات: لذلك ، يمكن حساب الطاقة الحركية لجسم صلب أثناء دورانه حول محور ثابت باستخدام إحدى العلاقات (4.21) ، وفي حالة حركة مستوية باستخدام (4.23).

أسئلة الاختبار.

4.4 في أي الحالات ينتقل (4.23) إلى (4.21)؟

4.5 كيف ستبدو صيغة الطاقة الحركية لجسم ما أثناء حركته المستوية إذا لم يمر محور الدوران اللحظي عبر مركز القصور الذاتي؟ ما معنى الكميات الواردة في المعادلة؟

4.6 بيّن أن عمل القوى الداخلية أثناء دوران جسم صلب يساوي صفرًا.

تعبير عن الطاقة الحركية لجسم دوار مع مراعاة ذلك سرعة الخطنقطة المواد التعسفية التي تشكل الجسم ، بالنسبة لمحور الدوران تساوي الشكل

أين لحظة القصور الذاتي للجسم حول محور الدوران المختار ، سرعته الزاوية حول هذا المحور ، لحظة زخم الجسم حول محور الدوران.

إذا كان الجسم يقوم بحركة دورانية انتقالية ، فإن حساب الطاقة الحركية يعتمد على اختيار القطب ، بالنسبة إلى حركة الجسم. ستكون النتيجة النهائية هي نفسها. لذلك ، إذا كان الجسم المستدير يتدحرج بسرعة v دون الانزلاق بنصف قطر R ومعامل القصور الذاتي k ، يتم أخذ القطب عند سم عند النقطة C ، ثم لحظة القصور الذاتي ، والسرعة الزاوية للدوران حوله المحور С. ثم الطاقة الحركية للجسم

إذا تم أخذ القطب عند نقطة الاتصال O بين الجسم والسطح الذي يمر من خلاله المحور اللحظي لدوران الجسم ، فإن لحظة القصور الذاتي حول المحور O تصبح مساوية لـ . ثم الطاقة الحركية للجسم ، مع الأخذ في الاعتبار أن السرعات الزاوية لدوران الجسم بالنسبة إلى المحاور المتوازية هي نفسها ويقوم الجسم بدوران نقي حول المحور O ، ستكون مساوية لها. النتيجة هي نفسها.

النظرية الخاصة بالطاقة الحركية لجسم يؤدي حركة معقدة سيكون لها نفس شكل حركته الانتقالية: .

مثال 1جسم كتلته m مربوط بنهاية خيط ملفوف على كتلة أسطوانية نصف قطرها R وكتلة M. يتم رفع الجسم إلى ارتفاع h ويتم تحريره (الشكل 65). بعد رعشة الخيط غير المرنة ، يبدأ الجسم والكتلة على الفور في التحرك معًا. ما هي الحرارة التي سيتم إطلاقها أثناء النفضة؟ ماذا سيكون تسارع حركة الجسم وشد الخيط بعد النفضة؟ كم ستكون سرعة الجسم والمسافة التي يقطعها بعد رعشة الخيط بعد الزمن t؟

معطى: M ، R ، m ، h ، g ، t. تجد: Q - ؟، a - ؟، T - ؟، v - ؟، s -؟

المحلول: سرعة الجسم قبل سحب الخيط. بعد نفض الخيط ، ستبدأ الكتلة والجسم بالدوران حول محور الكتلة O وسوف يتصرفان مثل الأجسام ذات لحظات من القصور الذاتي حول هذا المحور تساوي و. هم إجمالي اللحظةالقصور الذاتي حول محور الدوران.

إن رعشة الخيط هي عملية سريعة وخلال النطر يحدث قانون الحفاظ على الزخم الزاوي لنظام كتلة الجسم ، والذي يرجع إلى حقيقة أن الجسم والكتلة مباشرة بعد النطر يبدأان في التحرك معًا ، بالشكل:. من أين تأتي السرعة الزاوية الأولية لدوران الكتلة ، والسرعة الخطية الابتدائية للجسم .

الطاقة الحركية للنظام بسبب الحفاظ على زخمه الزاوي مباشرة بعد أن تساوي رعشة الخيط. الحرارة المنبعثة أثناء النطر حسب قانون حفظ الطاقة

لا تعتمد المعادلات الديناميكية لحركة أجسام النظام بعد رعشة الخيط على سرعتها الأولية. بالنسبة للكتلة ، يبدو الأمر أو وللجسد. بجمع هاتين المعادلتين ، نحصل على . من أين يأتي تسارع حركة الجسم. قوة شد الخيط

المعادلات الحركية لحركة الجسم بعد النطر سيكون لها الشكل حيث جميع المعلمات معروفة.

إجابه: . .

مثال 2. جسمان دائريان لهما معاملات القصور الذاتي (أسطوانة مجوفة) و (كرة) تقعان عند قاعدة مستوى مائل بزاوية ميل α أبلغ عن السرعات الأولية نفسها الموجهة لأعلى على طول مستوى مائل. إلى أي ارتفاع وفي أي وقت سترتفع الأجساد إلى هذا الارتفاع؟ ما هي تسارعات صعود الجسم؟ كم مرة تختلف ارتفاعات وأوقات وتسارع صعود الأجسام؟ تتحرك الأجسام على طول مستوى مائل دون الانزلاق.

معطى: . تجد:

المحلول: يتأثر الجسم بـ: الجاذبية م زرد فعل المستوى المائل ن، وقوة الاحتكاك التصاق (شكل 67). عمل التفاعل الطبيعي وقوة الاحتكاك الالتصاق (لا يوجد انزلاق ولا يتم إطلاق حرارة عند نقطة التصاق الجسم والطائرة.) تساوي الصفر: لذلك ، لوصف حركة الأجسام ، من الممكن تطبيق قانون الحفاظ على الطاقة:. أين .

نحسب أوقات وتسارع حركة الأجسام من المعادلات الحركية . أين , . نسبة الأطوال والأوقات والتسارع في صعود الأجسام:

إجابه: , , , .

مثال 3. رصاصة كتلة ، تطير بسرعة ، تصطدم بمركز كرة كتلتها M ونصف قطرها R ، متصلة بنهاية قضيب كتلته m وطولها l ، معلقة عند النقطة O من نهايتها الثانية ، وتطير خارجها مع السرعة (الشكل 68). أوجد السرعة الزاوية لدوران نظام كرة القضيب مباشرة بعد الاصطدام وزاوية انحراف القضيب بعد اصطدام الرصاصة.

معطى: . تجد:

المحلول:لحظات القصور الذاتي للقضيب والكرة بالنسبة للنقطة O لتعليق القضيب وفقًا لنظرية شتاينر: و . إجمالي عزم القصور الذاتي لنظام كرة القضيب . يعتبر تأثير الرصاصة عملية سريعة ، ويحدث قانون الحفاظ على الزخم الزاوي لنظام كرة الرصاصة (تبدأ الأجسام بالدوران بعد الاصطدام):. من أين تأتي السرعة الزاوية لنظام كرة قضيب مباشرة بعد الاصطدام؟

موضع CM لنظام كرة القضيب بالنسبة لنقطة التعليق O: . قانون حفظ الطاقة من أجل CM للنظام بعد التأثير ، مع الأخذ في الاعتبار قانون الحفاظ على الزخم الزاوي للنظام عند التأثير ، له الشكل. أين ارتفاع سم النظام بعد الاصطدام . يتم تحديد زاوية الانحراف للقضيب بعد الصدمة حسب الحالة .

إجابه: , , .

مثال 4. بالنسبة لجسم دائري كتلته m ونصف قطره R ، بمعامل القصور الذاتي k ، يدور بسرعة زاوية ، يتم الضغط على كتلة بقوة N (الشكل 69). بعد أي وقت ستتوقف الأسطوانة وما مقدار الحرارة التي ستطلق عندما يحتك الحذاء بالأسطوانة خلال هذا الوقت؟ معامل الاحتكاك بين البطانة والأسطوانة هو.

معطى: تجد:

المحلول: عمل قوة الاحتكاك حتى يتوقف الجسم حسب نظرية الطاقة الحركية يساوي . تنطلق الحرارة أثناء الدوران .

معادلة الحركة الدورانية للجسم لها الشكل. من أين يأتي العجلة الزاوية لدورانها البطيء؟ . وقت دوران الجسم قبل توقفه.

إجابه: , .

مثال 5. جسم دائري كتلته m ونصف قطره R مع معامل القصور الذاتي k غير مجدول إلى سرعة زاوية عكس اتجاه عقارب الساعة ويوضع على سطح أفقي يتصل بجدار عمودي (الشكل 70). بعد أي وقت سيتوقف الجسم وكم عدد الثورات التي سيحدثها قبل أن يتوقف؟ كم ستكون الحرارة المنبعثة أثناء احتكاك الجسم بالسطح خلال هذا الوقت؟ معامل احتكاك الجسم بالسطح هو.

معطى: . تجد:

المحلول: الحرارة المنبعثة أثناء دوران الجسم حتى يتوقف تساوي عمل قوى الاحتكاك ، والتي يمكن إيجادها من خلال نظرية الطاقة الحركية للجسم. نملك .

رد فعل المستوى الأفقي. قوى الاحتكاك المؤثرة على الجسم من الأفقي و الأسطح العموديةمتساوية: و من نظام هاتين المعادلتين نحصل على و.

مع الأخذ في الاعتبار هذه العلاقات ، فإن معادلة الحركة الدورانية للجسم لها الشكل

إجابه: , , , .

مثال 6. يتدحرج جسم دائري بمعامل القصور الذاتي k لأسفل دون أن ينزلق من أعلى نصف كرة نصف قطر R ، ويقف على سطح أفقي (الشكل 71). في أي ارتفاع وبأي سرعة سينفصل عن نصف الكرة وبأي سرعة سيسقط على سطح أفقي؟

معطى: ك ، ز ، ر. تجد:

المحلول: القوى المؤثرة على الجسم . الشغل و 0 ، (لا يوجد انزلاق ولا يتم إطلاق الحرارة عند نقطة اقتران نصف الكرة والكرة) ، لذلك ، لوصف حركة الجسم ، من الممكن تطبيق قانون الحفاظ على الطاقة. قانون نيوتن الثاني لسم الجسم عند نقطة انفصاله عن نصف الكرة ، مع الأخذ في الاعتبار أنه عند هذه النقطة يكون له الشكل ، من أين . قانون حفظ الطاقة للنقطة الأولية ونقطة فصل الجسم له الشكل. من حيث ارتفاع وسرعة انفصال الجسم عن نصف الكرة متساوية ، .

بعد فصل الجسم عن نصف الكرة الأرضية ، تتغير طاقته الحركية الانتقالية فقط ، وبالتالي فإن قانون حفظ الطاقة لنقاط الانفصال وسقوط الجسم على الأرض له الشكل. أين ، مع الأخذ بعين الاعتبار ، نحصل عليه . بالنسبة لجسم ينزلق على سطح نصف كرة بدون احتكاك ، ك = 0 و ، ،.

إجابه: , , .

الطاقة الحركية هي كمية مضافة. لذلك ، فإن الطاقة الحركية لجسم يتحرك بطريقة عشوائية تساوي مجموع الطاقات الحركية لجميع النقاط المادية التي يمكن تقسيم هذا الجسم إليها عقليًا:

إذا كان الجسم يدور حول محور ثابت z بسرعة زاوية ، فإن السرعة الخطية إذن النقطة الأولى ، Ri هي المسافة إلى محور الدوران. بالتالي،

المقارنة ويمكن ملاحظة أن لحظة القصور الذاتي للجسم I هي مقياس للقصور الذاتي أثناء الحركة الدورانية ، تمامًا كما أن الكتلة m هي مقياس للقصور الذاتي أثناء الحركة الانتقالية.

في الحالة العامة ، يمكن تمثيل حركة الجسم الصلب على أنها مجموع حركتين - انتقالية مع سرعة vc ودورانية بسرعة زاوية ω حول المحور اللحظي الذي يمر عبر مركز القصور الذاتي. ثم إجمالي الطاقة الحركية لهذا الجسم

هنا Ic هي لحظة القصور الذاتي حول محور الدوران اللحظي الذي يمر عبر مركز القصور الذاتي.

القانون الأساسي لديناميات الحركة الدورانية.

ديناميات الدوران

القانون الأساسي لديناميات الحركة الدورانية:

أو م = جيحيث M هي لحظة القوة م = [ص ف] ، ي -لحظة القصور الذاتي هي لحظة زخم الجسم.

إذا كان M (خارجي) = 0 - قانون حفظ الزخم الزاوي. - الطاقة الحركية للجسم الدوار.

العمل بالتناوب.

قانون الحفاظ على الزخم الزاوي.

الزخم الزاوي (الزخم) لنقطة مادية A بالنسبة لنقطة ثابتة O هو كمية مادية يحددها منتج متجه:

حيث r هو متجه نصف القطر المرسوم من النقطة O إلى النقطة A ، p = mv هو زخم نقطة المادة (الشكل 1) ؛ L هو ناقل كاذب ، يتزامن اتجاهه مع اتجاه الحركة الانتقالية للمسمار الأيمن أثناء دورانه من r إلى p.

معامل ناقل الزخم

حيث α هي الزاوية بين المتجهين r و p ، l هي كتف المتجه p بالنسبة للنقطة O.

الزخم الزاوي بالنسبة للمحور الثابت z هو القيمة العددية Lz ، والتي تساوي الإسقاط على هذا المحور لمتجه الزخم الزاوي ، المحدد بالنسبة لنقطة عشوائية O لهذا المحور. لا يعتمد الزخم الزاوي Lz على موضع النقطة O على المحور z.

عندما يدور جسم صلب تمامًا حول محور ثابت z ، فإن كل نقطة من الجسم تتحرك على طول دائرة نصف قطرها الثابت ri بسرعة vi. تكون السرعة vi وميفي الزخم متعامدين مع نصف القطر هذا ، أي أن نصف القطر هو ذراع المتجه ميفي. إذن يمكننا أن نكتب أن الزخم الزاوي لجسيم فردي هو

ويتم توجيهه على طول المحور في الاتجاه الذي تحدده قاعدة المسمار الأيمن.

زخم الجسم الصلب بالنسبة للمحور هو مجموع زخم الجسيمات الفردية:

باستخدام الصيغة vi = ωri ، نحصل على

وهكذا ، فإن الزخم الزاوي لجسم صلب حول المحور يساوي لحظة القصور الذاتي للجسم حول نفس المحور ، مضروبًا في السرعة الزاوية. دعونا نفرق المعادلة (2) فيما يتعلق بالوقت:

هذه الصيغة هي شكل آخر من أشكال معادلة ديناميات الحركة الدورانية لجسم صلب حول محور ثابت: مشتق الزخم الزاوي لجسم صلب حول المحور يساوي لحظة القوى حول نفس المحور.

يمكن إثبات أن مساواة المتجه صحيحة

في نظام مغلق ، لحظة القوى الخارجية هي M = 0 ومن أين

التعبير (4) هو قانون الحفاظ على الزخم الزاوي: يتم الحفاظ على الزخم الزاوي لنظام مغلق ، أي لا يتغير بمرور الوقت.

قانون الحفاظ على الزخم الزاوي وكذلك قانون الحفاظ على الطاقة هو قانون أساسي من قوانين الطبيعة. يرتبط بخاصية التناظر للفضاء - خواصه ، أي مع ثبات القوانين الفيزيائية فيما يتعلق باختيار اتجاه محاور إحداثيات النظام المرجعي (فيما يتعلق بتناوب نظام مغلق في الفضاء بواسطة أي زاوية).

سنشرح هنا قانون الحفاظ على الزخم الزاوي باستخدام مقعد جوكوفسكي. شخص جالس على مقعد ، يدور حول محور عمودي ، ممسكًا بالدمبل في أيدي ممدودة (الشكل 2) ، يتم تدويره بواسطة آلية خارجية بسرعة زاوية ω1. إذا ضغط الشخص على الدمبل على الجسم ، فإن لحظة القصور الذاتي للنظام ستنخفض. لكن لحظة القوى الخارجية تساوي الصفر ، ويتم الحفاظ على الزخم الزاوي للنظام وتزداد السرعة الزاوية للدوران ω2. وبالمثل ، عندما يقفز لاعب الجمباز فوق رأسه ، يقوم بسحب ذراعيه وساقيه بالقرب من الجسم لتقليل لحظة القصور الذاتي وبالتالي زيادة السرعة الزاوية للدوران.

الضغط في السائل والغاز.

إن جزيئات الغاز ، التي تؤدي حركة فوضوية فوضوية ، ليست مرتبطة أو مرتبطة بشكل ضعيف بقوى التفاعل ، وهذا هو السبب في أنها تتحرك بحرية تقريبًا ، ونتيجة للتصادم ، تنتشر في جميع الاتجاهات ، بينما تملأ الحجم الكامل المقدم لها ، على سبيل المثال ، يتم تحديد حجم الغاز بواسطة وعاء الحجم الذي يشغله الغاز.

والسائل ، الذي له حجم معين ، يأخذ شكل الوعاء الذي يحيط به. ولكن على عكس الغازات في السوائل ، فإن متوسط ​​المسافة بين الجزيئات يظل ثابتًا في المتوسط ​​، وبالتالي فإن السائل له حجم ثابت تقريبًا.

تختلف خصائص السوائل والغازات اختلافًا كبيرًا من نواحٍ عديدة ، ولكن في العديد من الظواهر الميكانيكية يتم تحديد خصائصها من خلال نفس المعلمات والمعادلات المتطابقة. لهذا السبب ، فإن ميكانيكا الهواء هي فرع من الميكانيكا التي تدرس توازن وحركة الغازات والسوائل ، والتفاعل بينها وبين الأجسام الصلبة التي تتدفق حولها ، أي. يتم تطبيق نهج موحد لدراسة السوائل والغازات.

في الميكانيكا ، تعتبر السوائل والغازات بدرجة عالية من الدقة على أنها مستمرة ، وموزعة باستمرار في الجزء الذي يشغلها من المساحة. تعتمد الكثافة في الغازات على الضغط بشكل كبير. تأسست من التجربة. أن قابلية انضغاط السائل والغاز يمكن إهمالها في كثير من الأحيان ومن المستحسن استخدام مفهوم واحد - عدم انضغاط السائل - سائل بنفس الكثافة في كل مكان ، والذي لا يتغير بمرور الوقت.

نضعها في صفيحة رقيقة عند السكون ، ونتيجة لذلك ، ستعمل أجزاء من السائل الموجود على جوانب متقابلة من اللوحة على كل عنصر من عناصرها ΔS مع قوى ΔF ، والتي ستكون متساوية في القيمة المطلقة وموجهة بشكل عمودي على الموقع ΔS ، بغض النظر عن اتجاه الموقع ، وإلا فإن وجود قوى عرضية سيؤدي إلى تحريك جسيمات السائل (الشكل 1)

الكمية الفيزيائية التي تحددها القوة الطبيعية المؤثرة من جانب السائل (أو الغاز) لكل وحدة مساحة تسمى الضغط p / السائل (أو الغاز): p = F / S.

وحدة الضغط هي باسكال (Pa): 1 باسكال يساوي الضغط الناتج عن قوة مقدارها 1 نيوتن ، والتي يتم توزيعها بالتساوي على سطح مساحته 1 م 2 (1 باسكال = 1 نيوتن / م 2).

الضغط عند توازن السوائل (الغازات) يخضع لقانون باسكال: الضغط في أي مكان للسائل في حالة راحة هو نفسه في جميع الاتجاهات ، وينتقل الضغط بالتساوي في جميع أنحاء الحجم الكامل الذي يشغله السائل عند الراحة.

دعونا نتحرى تأثير وزن المائع على توزيع الضغط داخل سائل ثابت غير قابل للضغط. عندما يكون السائل في حالة توازن ، يكون الضغط على طول أي خط أفقي هو نفسه دائمًا ، وإلا فلن يكون هناك توازن. هذا يعني أن السطح الحر للسائل في حالة الراحة يكون دائمًا أفقيًا (نحن لا نأخذ في الاعتبار جاذبية السائل بواسطة جدران الوعاء). إذا كان السائل غير قابل للضغط ، فإن كثافة السائل تكون مستقلة عن الضغط. ثم ، مع المقطع العرضي S لعمود السائل ، وارتفاعه h وكثافته ρ ، يكون الوزن P = ρgSh ، بينما يكون الضغط على القاعدة السفلية: p = P / S = ρgSh / S = gh ، (1)

أي يتغير الضغط خطيًا مع الارتفاع. الضغط ρgh يسمى الضغط الهيدروستاتيكي.

وفقًا للصيغة (1) ، فإن قوة الضغط على الطبقات السفلية من السائل ستكون أكبر منها على الطبقات العلوية ، وبالتالي ، فإن القوة التي يحددها قانون أرخميدس تعمل على جسم مغمور في سائل (غاز): طفو صاعد القوة المساوية لوزن السائل (الغاز) الذي يزيحه الجسم: FA = ρgV ، حيث ρ هي كثافة السائل ، V هو حجم الجسم المغمور في السائل.