المشكلة B7 - تحويل التعبيرات اللوغاريتمية والأسية. الخصائص الأساسية للوغاريتمات

يتم استخدام المساواة المدرجة عند تحويل التعبيرات ذات اللوغاريتمات من اليمين إلى اليسار ومن اليسار إلى اليمين.

تجدر الإشارة إلى أنه ليس من الضروري حفظ عواقب الخصائص: عند إجراء عمليات التحويل ، يمكنك التغلب على الخصائص الأساسية للوغاريتمات والحقائق الأخرى (على سبيل المثال ، تلك الخاصة بـ b≥0) ، والتي من خلالها تتبع العواقب. " عن طريق التأثيريتجلى هذا النهج فقط في حقيقة أن الحل سيكون أطول قليلاً. على سبيل المثال ، من أجل الاستغناء عن النتيجة ، والتي يتم التعبير عنها بواسطة الصيغة ، وبدءًا من الخصائص الأساسية للوغاريتمات فقط ، سيتعين عليك إجراء سلسلة من التحولات بالشكل التالي: .

يمكن قول الشيء نفسه عن الخاصية الأخيرة من القائمة أعلاه ، والتي تتوافق مع الصيغة ، لأنه يتبع أيضًا الخصائص الأساسية للوغاريتمات. الشيء الرئيسي الذي يجب فهمه هو أنه من الممكن دائمًا لدرجة الرقم الموجب مع اللوغاريتم في الأس أن تتبادل قاعدة الدرجة والرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم. في الإنصاف ، نلاحظ أن الأمثلة التي تنطوي على تنفيذ تحولات من هذا النوع نادرة في الممارسة. سنقدم بعض الأمثلة أدناه.

تحويل التعبيرات الرقمية مع اللوغاريتمات

تذكرنا خصائص اللوغاريتمات ، والآن حان الوقت لتعلم كيفية وضعها موضع التنفيذ لتحويل التعبيرات. من الطبيعي أن نبدأ بتحويل التعبيرات الرقمية ، وليس التعبيرات ذات المتغيرات ، حيث أنه من الأسهل والأكثر ملاءمة تعلم الأساسيات المتعلقة بها. لذلك سنفعل ، وسنبدأ بـ جدا أمثلة بسيطةلمعرفة كيفية اختيار الخاصية المرغوبة للوغاريتم ، لكننا سنعقد الأمثلة تدريجيًا ، حتى اللحظة التي يلزم فيها تطبيق عدة خصائص متتالية للحصول على النتيجة النهائية.

اختيار خاصية اللوغاريتمات المطلوبة

لا يوجد عدد قليل جدًا من خصائص اللوغاريتمات ، ومن الواضح أنك بحاجة إلى أن تكون قادرًا على اختيار الخاصية المناسبة منها ، والتي في حالة معينة حالة محددةسيؤدي إلى النتيجة المرجوة. عادة ليس من الصعب القيام بذلك من خلال مقارنة شكل اللوغاريتم أو التعبير الذي يتم تحويله مع أنواع الأجزاء اليمنى واليسرى من الصيغ التي تعبر عن خصائص اللوغاريتمات. إذا كان الجانب الأيسر أو الأيمن من إحدى الصيغ يتطابق مع اللوغاريتم أو التعبير المحدد ، فمن المرجح أن هذه الخاصية هي التي يجب استخدامها أثناء التحويل. الأمثلة التاليةهذا واضح.

لنبدأ بأمثلة لتحويل التعبيرات باستخدام تعريف اللوغاريتم ، والذي يتوافق مع الصيغة a log a b = b ، a> 0 ، a ≠ 1 ، b> 0.

مثال.

احسب ، إن أمكن: أ) 5 سجل 5 4 ، ب) 10 سجل (1 + 2 π) ، ج) ، د) 2 سجل 2 (7)، ه).

حل.

في المثال ، الحرف أ) يوضح البنية أ ب ب ، حيث أ = 5 ، ب = 4. هذه الأرقام تفي بالشروط a> 0 ، a 1 ، b> 0 ، لذا يمكنك استخدام المساواة بأمان a log a b = b. لدينا 5 log 5 4 = 4.

ب) هنا أ = 10 ، ب = 1 + 2 ، الشروط أ> 0 ، أ 1 ، ب> 0 تتحقق. في هذه الحالة ، فإن المساواة 10 lg (1 + 2 π) = 1 + 2 تحدث.

ج) وفي هذا المثال ، نتعامل مع درجة من الشكل a log a b ، حيث و b = ln15. لذا .

على الرغم من الانتماء إلى نفس النموذج a log a b (هنا a = 2 ، b = −7) ، لا يمكن تحويل التعبير الموجود أسفل الحرف d) بالصيغة a log a b = b. السبب هو أنه لا معنى له لأنه يحتوي على رقم سالب تحت علامة اللوغاريتم. علاوة على ذلك ، فإن الرقم b = −7 لا يفي بالشرط b> 0 ، مما يجعل من المستحيل اللجوء إلى الصيغة a log a b = b ، لأنه يتطلب الشروط a> 0 ، a ≠ 1 ، b> 0. لذلك ، لا يمكننا التحدث عن حساب القيمة 2 log 2 (−7). في هذه الحالة ، قد تكون كتابة 2 log 2 (−7) = −7 خطأ.

وبالمثل ، في المثال الموجود تحت الحرف e) من المستحيل تقديم حل للنموذج ، لأن التعبير الأصلي لا معنى له.

إجابة:

أ) 5 سجل 5 4 = 4 ، ب) 10 سجل (1 + 2 π) = 1 + 2 π ، ج) ، د) ، ه) التعبيرات لا معنى لها.

غالبًا ما يكون من المفيد تحويل رقم موجب كقوة لعدد موجب غير واحد مع لوغاريتم في الأس. يعتمد على نفس تعريف اللوغاريتم a log a b = b ، a> 0 ، a ≠ 1 ، b> 0 ، لكن يتم تطبيق الصيغة من اليمين إلى اليسار ، أي في الشكل b = a log a b. على سبيل المثال ، 3 = e ln3 أو 5 = 5 log 5 5.

دعنا ننتقل إلى استخدام خصائص اللوغاريتمات لتحويل التعبيرات.

مثال.

أوجد قيمة التعبير: أ) السجل −2 1 ، ب) السجل 1 1 ، ج) السجل 0 1 ، د) السجل 7 1 ، هـ) ln1 ، f) lg1 ، g) السجل 3.75 1 ، h) السجل 5 π 7 1.

حل.

في الأمثلة الموجودة تحت الأحرف أ) ، ب) وج) ، يتم إعطاء التعبيرات log −2 1 ، log 1 1 ، log 0 1 ، والتي لا معنى لها ، لأن أساس اللوغاريتم يجب ألا يحتوي على رقم سالب ، صفر أو واحد ، لأننا حددنا اللوغاريتم فقط للأساس الموجب وغير المكون من وحدة. لذلك ، في الأمثلة أ) - ج) لا يمكن أن يكون هناك سؤال لإيجاد قيمة التعبير.

في جميع المهام الأخرى ، من الواضح ، في قواعد اللوغاريتمات ، توجد أرقام موجبة وغير وحدة 7 و e و 10 و 3.75 و 5 7 على التوالي ، والوحدات في كل مكان تحت علامات اللوغاريتمات. ونعرف خاصية لوغاريتم الوحدة: log a 1 = 0 لأي a> 0 ، a ≠ 1. وبالتالي ، فإن قيم التعبيرات ب) - و) تساوي الصفر.

إجابة:

أ) ، ب) ، ج) التعبيرات لا معنى لها ، د) سجل 7 1 = 0 ، ه) ln1 = 0 ، و) تسجيل 1 = 0 ، ز) تسجيل 3.75 1 = 0 ، ح) سجل 5 ه 7 1 = 0.

مثال.

احسب: أ) ، ب) lne ، ج) lg10 ، د) سجل 5 π 3 2 (5 3 2)، ه) السجل −3 (3) ، و) السجل 1 1.

حل.

من الواضح أنه يتعين علينا استخدام خاصية لوغاريتم القاعدة ، والتي تتوافق مع الصيغة log a a = 1 for a> 0 ، a ≠ 1. في الواقع ، في المهام تحت جميع الأحرف ، يتطابق الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم مع قاعدته. وبالتالي ، أود أن أقول على الفور أن قيمة كل تعبير من التعبيرات المعطاة هي 1. ومع ذلك ، لا تتسرع في الاستنتاجات: في المهام تحت الأحرف أ) - د) تكون قيم التعبيرات مساوية بالفعل للواحد ، وفي المهمتين هـ) و و) التعبيرات الأصلية لا معنى لها ، لذلك لا يمكن يقال أن قيم هذه التعبيرات تساوي 1.

إجابة:

أ) ، ب) lne = 1 ، ج) lg10 = 1 ، د) سجل 5 π 3 2 (5 π 3 −2) = 1، هـ) ، و) التعبيرات لا معنى لها.

مثال.

أوجد القيمة: أ) سجل 3 3 11 ، ب) ، ج) ، د) سجل −10 (−10) 6.

حل.

من الواضح ، تحت علامات اللوغاريتمات توجد بعض درجات القاعدة. بناءً على ذلك ، نفهم أن خاصية درجة القاعدة هنا مفيدة لنا: سجل a a p = p ، حيث a> 0 ، a ≠ 1 و p هي أي عدد حقيقي. بالنظر إلى ذلك ، لدينا النتائج التالية: أ) سجل 3 3 11 = 11 ، ب) ، الخامس) . هل من الممكن كتابة مساواة مماثلة للمثال الموجود تحت الحرف d) من النموذج log −10 (−10) 6 = 6؟ لا ، لا يمكنك ذلك ، لأن السجل −10 (10) 6 لا معنى له.

إجابة:

أ) سجل 3 3 11 = 11 ، ب) ، الخامس) د) لا معنى للتعبير.

مثال.

عبر عن التعبير كمجموع أو فرق اللوغاريتمات في نفس الأساس: أ) ، ب) ، ج) السجل ((- 5) (−12)).

حل.

أ) المنتج تحت علامة اللوغاريتم ، ونحن نعرف خاصية لوغاريتم المنتج log a (x y) = log a x + log a y ، a> 0 ، a ≠ 1 ، x> 0 ، y> 0. في حالتنا ، الرقم الموجود في قاعدة اللوغاريتم والأرقام الموجودة في المنتج موجبة ، أي أنها تفي بشروط الخاصية المحددة ، لذلك يمكننا تطبيقها بأمان: .

ب) هنا نستخدم خاصية لوغاريتم حاصل القسمة ، حيث أ> 0 ، أ ≠ 1 ، س> 0 ، ص> 0. في حالتنا ، أساس اللوغاريتم هو رقم موجب e ، والبسط والمقام موجبان ، مما يعني أنهما يستوفيان شروط الخاصية ، لذلك يحق لنا استخدام الصيغة المختارة: .

ج) أولاً ، لاحظ أن التعبير lg ((- 5) (−12)) منطقي. لكن في الوقت نفسه ، ليس لدينا الحق في تطبيق صيغة لوغاريتم سجل المنتج a (x y) = log a x + log a y ، a> 0 ، a ≠ 1 ، x> 0 ، y> 0 ، لأن الأرقام −5 و 12 سالبة ولا تستوفي الشروط x> 0 ، y> 0. أي أنه من المستحيل إجراء مثل هذا التحول: تسجيل الدخول ((- 5) (- 12)) = تسجيل (−5) + تسجيل (−12). لكن ماذا تفعل؟ في مثل هذه الحالات ، يحتاج التعبير الأصلي إلى التحويل المسبق لتجنب الأرقام السالبة. سنتحدث بالتفصيل عن حالات مشابهة لتحويل التعبيرات ذات الأرقام السالبة تحت علامة اللوغاريتم في أحد ، ولكن في الوقت الحالي سنقدم حلاً لهذا المثال ، وهو واضح مقدمًا وبدون تفسير: lg ((- 5) (- 12)) = lg (5 12) = lg5 + lg12.

إجابة:

أ) ، ب) ، ج) lg ((- 5) (−12)) = lg5 + lg12.

مثال.

بسّط التعبير: أ) سجل 3 0.25 + سجل 3 16 + سجل 3 0.5 ، ب).

حل.

هنا ستساعدنا جميع الخصائص نفسها لوغاريتم المنتج ولوغاريتم حاصل القسمة الذي استخدمناه في الأمثلة السابقة ، والآن فقط سنطبقها من اليمين إلى اليسار. أي أننا نحول مجموع اللوغاريتمات إلى لوغاريتم حاصل الضرب ، وفرق اللوغاريتمات إلى لوغاريتم حاصل القسمة. لدينا
أ) سجل 3 0.25 + سجل 3 16 + سجل 3 0.5 = سجل 3 (0.25 16 0.5) = سجل 3 2.
ب) .

إجابة:

أ) سجل 3 0.25 + سجل 3 16 + سجل 3 0.5 = سجل 3 2، ب) .

مثال.

تخلص من الدرجة تحت علامة اللوغاريتم: أ) سجل 0.7 5 11 ، ب) ، ج) السجل 3 (5) 6.

حل.

من السهل أن نرى أننا نتعامل مع تعابير مثل log a b p. الخاصية المقابلة للوغاريتم هي log a b p = p log a b ، حيث a> 0 ، a ≠ 1 ، b> 0 ، p هو أي رقم حقيقي. أي أنه في ظل الشروط a> 0 ، a 1 ، b> 0 من لوغاريتم الدرجة log a b p يمكننا الانتقال إلى المنتج p · log a b. دعونا نجري هذا التحول بالتعبيرات المعطاة.

أ) في هذه الحالة أ = 0.7 ، ب = 5 ، ص = 11. إذن ، سجل 0.7 5 11 = 11 سجل 0.7 5.

ب) هنا ، يتم استيفاء الشروط أ> 0 ، أ 1 ، ب> 0. لهذا

ج) التعبير log 3 (−5) 6 له نفس البنية log a b p، a = 3، b = −5، p = 6. لكن بالنسبة لـ b ، فإن الشرط b> 0 غير مستوفٍ ، مما يجعل من المستحيل تطبيق الصيغة log a b p = p log a b. فلماذا لا يمكنك إنجاز المهمة؟ هذا ممكن ، ولكن يلزم إجراء تحويل أولي للتعبير ، والذي سنناقشه بالتفصيل أدناه في الفقرة الموجودة أسفل العنوان. سيكون الحل كالتالي: سجل 3 (−5) 6 = سجل 3 5 6 = 6 سجل 3 5.

إجابة:

أ) سجل 0.7 5 11 = 11 سجل 0.7 5 ،
ب)
ج) سجل 3 (5) 6 = 6 سجل 3 5.

في كثير من الأحيان ، يجب تطبيق صيغة لوغاريتم الدرجة عند إجراء عمليات التحويل من اليمين إلى اليسار بالصيغة p log a b \ u003d log a b p (وهذا يتطلب نفس الشروط لـ a و b و p). على سبيل المثال ، 3 ln5 = ln5 3 و lg2 log 2 3 = log 2 3 lg2.

مثال.

أ) احسب قيمة السجل 2 5 إذا كان معروفًا أن lg2≈0.3010 و lg5≈0.6990. ب) اكتب الكسر في صورة لوغاريتم للأساس 3.

حل.

أ) تسمح لنا صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم بتمثيل هذا اللوغاريتم كنسبة من اللوغاريتمات العشرية ، والتي نعرف قيمها:. يبقى فقط لإجراء الحسابات ، لدينا .

ب) يكفي هنا استخدام الصيغة للانتقال إلى قاعدة جديدة ، وتطبيقها من اليمين إلى اليسار ، أي في النموذج . نحن نحصل .

إجابة:

أ) سجل 2 5≈2.3223 ، ب) .

في هذه المرحلة ، درسنا بدقة تحويل أبسط التعبيرات باستخدام الخصائص الأساسية للوغاريتمات وتعريف اللوغاريتم. في هذه الأمثلة ، كان علينا استخدام خاصية واحدة ولا شيء آخر. الآن ، بضمير مرتاح ، يمكنك الانتقال إلى الأمثلة التي يتطلب تحويلها استخدام العديد من خصائص اللوغاريتمات والتحولات الإضافية الأخرى. سنتعامل معهم في الفقرة التالية. لكن قبل ذلك ، دعونا نتناول بإيجاز أمثلة لتطبيق النتائج من الخصائص الأساسية للوغاريتمات.

مثال.

أ) تخلص من الجذر تحت علامة اللوغاريتم. ب) حوّل الكسر إلى لوغاريتم للأساس 5. ج) تخلص من القوى الموجودة تحت علامة اللوغاريتم وقاعدته. د) احسب قيمة التعبير . هـ) استبدل التعبير بقوة بالقاعدة 3.

حل.

أ) إذا تذكرنا النتيجة الطبيعية من خاصية لوغاريتم الدرجة ، ثم يمكنك الإجابة على الفور: .

ب) هنا نستخدم الصيغة من اليمين إلى اليسار لدينا .

ج) في هذه الحالة ، تؤدي الصيغة إلى النتيجة . نحن نحصل .

د) ويكفي هنا تطبيق النتيجة الطبيعية التي تتوافق معها الصيغة . لذا .

هـ) خاصية اللوغاريتم يتيح لنا تحقيق النتيجة المرجوة: .

إجابة:

أ) . ب) . الخامس) . ز) . ه) .

باستمرار تطبيق خصائص متعددة

عادةً ما تكون المهام الحقيقية لتحويل التعبيرات باستخدام خصائص اللوغاريتمات أكثر تعقيدًا من تلك التي تناولناها في الفقرة السابقة. في نفوسهم ، كقاعدة عامة ، لا يتم الحصول على النتيجة في خطوة واحدة ، ولكن الحل يتكون بالفعل من التطبيق المتسلسل لخاصية تلو الأخرى ، جنبًا إلى جنب مع تحويلات متطابقة إضافية ، مثل أقواس الفتح ، وتقليل المصطلحات المتشابهة ، وتقليل الكسور ، إلخ. . لذلك دعونا نقترب من مثل هذه الأمثلة. لا يوجد شيء معقد في هذا الأمر ، الشيء الرئيسي هو التصرف بعناية وثبات ، مع مراعاة الترتيب الذي يتم تنفيذ الإجراءات به.

مثال.

احسب قيمة التعبير (سجل 3 15 سجل 3 5) 7 سجل 7 5.

حل.

يمكن استبدال اختلاف اللوغاريتمات بين قوسين بواسطة خاصية لوغاريتم حاصل القسمة باللوغاريتم لوغاريتم 3 (15: 5) ، ثم حساب قيمته log 3 (15: 5) = log 3 3 = 1. وقيمة التعبير 7 log 7 5 بتعريف اللوغاريتم هي 5. بالتعويض عن هذه النتائج في التعبير الأصلي ، نحصل على (سجل 3 15 سجل 3 5) 7 سجل 7 5 = 5 1 = 5.

هنا حل بدون تفسير:
(سجل 3 15 سجل 3 5) 7 سجل 7 5 = سجل 3 (15: 5) 5 =
= سجل 3 3 5 = 1 5 = 5.

إجابة:

(سجل 3 15 سجل 3 5) 7 سجل 7 5 = 5.

مثال.

ما قيمة التعبير العددي log 3 log 2 2 3 1؟

حل.

لنقم أولاً بتحويل اللوغاريتم ، الموجود تحت علامة اللوغاريتم ، وفقًا لصيغة لوغاريتم الدرجة: log 2 2 3 = 3. إذن سجل 3 سجل 2 2 3 = سجل 3 3 ثم سجل 3 3 = 1. إذن سجل 3 سجل 2 2 3 −1 = 1−1 = 0.

إجابة:

سجل 3 سجل 2 2 3 −1 = 0.

مثال.

تبسيط التعبير.

حل.

تسمح صيغة التحويل إلى أساس جديد للوغاريتم بتمثيل نسبة اللوغاريتمات إلى قاعدة واحدة على أنها log 3 5. في هذه الحالة ، سيأخذ التعبير الأصلي الشكل. من خلال تعريف اللوغاريتم 3 log 3 5 = 5 ، هذا هو ، وقيمة التعبير الناتج ، بحكم نفس تعريف اللوغاريتم ، تساوي اثنين.

فيما يلي نسخة مختصرة من الحل ، يتم تقديمه عادةً: .

إجابة:

.

للانتقال السلس إلى المعلومات الواردة في الفقرة التالية ، دعنا نلقي نظرة على التعبيرات 5 2 + log 5 3 و lg0.01. هيكلها لا يتناسب مع أي من خصائص اللوغاريتمات. إذن ماذا يحدث إذا لم يتم تحويلها باستخدام خصائص اللوغاريتمات؟ من الممكن إذا قمت بإجراء تحويلات أولية تعد هذه التعبيرات لتطبيق خصائص اللوغاريتمات. لذا 5 2 + سجل 5 3 = 5 2 5 سجل 5 3 = 25 3 = 75, و lg0،01 = lg10 −2 = 2. علاوة على ذلك ، سوف نفهم بالتفصيل كيفية تنفيذ هذا التحضير للتعبيرات.

تحضير التعبيرات لتطبيق خصائص اللوغاريتمات

غالبًا ما تختلف اللوغاريتمات في التعبير المحول في بنية الترميز عن الأجزاء اليمنى واليسرى من الصيغ التي تتوافق مع خصائص اللوغاريتمات. ولكن كما هو الحال في كثير من الأحيان ، ينطوي تحويل هذه التعبيرات على استخدام خصائص اللوغاريتمات: لا يتطلب استخدامها إلا إعدادًا أوليًا. ويتمثل هذا الإعداد في إجراء بعض التحولات المتطابقة التي تجلب اللوغاريتمات إلى شكل مناسب لتطبيق الخصائص.

في الإنصاف ، نلاحظ أن أي تحويل تقريبًا للتعبيرات يمكن أن يكون بمثابة تحولات أولية ، من الاختزال المبتذل للمصطلحات المماثلة إلى التطبيق الصيغ المثلثية. هذا أمر مفهوم ، لأن التعبيرات المحولة يمكن أن تحتوي على أي كائنات رياضية: الأقواس ، والوحدات النمطية ، والكسور ، والجذور ، والدرجات ، إلخ. وبالتالي ، يجب أن يكون المرء مستعدًا لإجراء أي تحويل مطلوب من أجل زيادة الاستفادة من خصائص اللوغاريتمات.

دعنا نقول على الفور أننا في هذه الفقرة لا نحدد لأنفسنا مهمة تصنيف وتحليل جميع التحولات الأولية التي يمكن تصورها والتي تسمح لنا بتطبيق خصائص اللوغاريتمات أو تعريف اللوغاريتم في المستقبل. سنركز هنا على أربعة منها فقط ، وهي أكثر الخصائص المميزة وغالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.

والآن بالتفصيل عن كل منهم ، وبعد ذلك ، في إطار موضوعنا ، يبقى فقط التعامل مع تحويل التعبيرات مع المتغيرات تحت علامات اللوغاريتمات.

اختيار القوى تحت علامة اللوغاريتم وقاعدته

لنبدأ على الفور بمثال. دعونا نحصل على لوغاريتم. من الواضح ، في هذا الشكل ، أن هيكلها لا يفضي إلى استخدام خصائص اللوغاريتمات. هل من الممكن تحويل هذا التعبير بطريقة ما من أجل تبسيطه ، أو حتى حساب قيمته بشكل أفضل؟ للإجابة على هذا السؤال ، دعنا نلقي نظرة فاحصة على العددين 81 و 1/9 في سياق مثالنا. من السهل أن نرى هنا أن هذه الأعداد يمكن تمثيلها كقوة 3 ، في الواقع 81 = 3 4 و 1/9 = 3 2. في هذه الحالة ، يتم تقديم اللوغاريتم الأصلي في النموذج ويصبح من الممكن تطبيق الصيغة . لذا، .

يؤدي تحليل المثال الذي تم تحليله إلى ظهور الفكرة التالية: إذا أمكن ، يمكنك محاولة إبراز الدرجة تحت علامة اللوغاريتم وفي قاعدتها من أجل تطبيق خاصية لوغاريتم الدرجة أو نتيجتها. يبقى فقط لمعرفة كيفية تمييز هذه الدرجات. سنقدم بعض التوصيات بشأن هذه المسألة.

في بعض الأحيان يكون من الواضح تمامًا أن الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم و / أو في قاعدته يمثل بعض قوة الأعداد الصحيحة ، كما في المثال الذي تمت مناقشته أعلاه. يجب أن تتعامل دائمًا مع قوى العدد اثنين ، وهي مألوفة جيدًا: 4 = 2 2 ، 8 = 2 3 ، 16 = 2 4 ، 32 = 2 5 ، 64 = 2 6 ، 128 = 2 7 ، 256 = 2 8 ، 512 = 9 2 ، 1024 = 2 10. يمكن قول الشيء نفسه عن درجات الثلاثية: 9 = 3 2 ، 27 = 3 3 ، 81 = 3 4 ، 243 = 3 5 ، ... بشكل عام ، لا يضر إذا كان هناك جدول الدرجة الأعداد الطبيعية في غضون عشرة. كما أنه ليس من الصعب العمل مع قوى صحيحة من عشرة ، مائة ، ألف ، إلخ.

مثال.

احسب القيمة أو بسّط التعبير: أ) السجل 6216 ، ب) ، ج) اللوغاريتم 0.000001 0.001.

حل.

أ) من الواضح ، 216 = 6 3 ، لذلك log 6216 = log 6 6 3 = 3.

ب) يتيح لنا جدول قوى الأعداد الطبيعية تمثيل العددين 343 و 1/243 كقوى 7 ​​3 و 3 4 على التوالي. لذلك ، فإن التحويل التالي للوغاريتم المحدد ممكن:

ج) بما أن 0.000001 = 10 6 و 0.001 = 10 3 إذن اللوغاريثم 0.000001 0.001 = اللوغاريثم 10 6 10 −3 = (- 3) / (- 6) = 1/2.

إجابة:

أ) سجل 6216 = 3 ، ب) ، ج) تسجيل 0.000001 0.001 = 1/2.

في الحالات الأكثر تعقيدًا ، لتسليط الضوء على قوى الأرقام ، عليك اللجوء إلى.

مثال.

تحويل التعبير إلى المزيد مرأى من الجميعسجل 3648 سجل 2 3.

حل.

دعونا نرى ما هو تحلل الرقم 648 إلى عوامل أولية:

أي 648 = 2 3 3 4. هكذا، السجل 3648 السجل 2 3 = السجل 3 (2 3 3 4) السجل 2 3.

نقوم الآن بتحويل لوغاريتم المنتج إلى مجموع اللوغاريتمات ، وبعد ذلك نطبق خصائص لوغاريتم الدرجة:
سجل 3 (2 3 3 4) سجل 2 3 = (سجل 3 2 3 + سجل 3 3 4) سجل 2 3 =
= (3 سجل 3 2 + 4) سجل 2 3.

بحكم النتيجة الطبيعية لخاصية لوغاريتم الدرجة التي تتوافق مع الصيغة ، يكون المنتج log32 log23 هو المنتج ، ومن المعروف أنه يساوي واحدًا. بالنظر إلى هذا ، نحصل عليه 3 سجل 3 2 سجل 2 3 + 4 سجل 2 3 = 3 1 + 4 سجل 2 3 = 3 + 4 سجل 2 3.

إجابة:

سجل 3648 سجل 2 3 = 3 + 4 سجل 2 3.

في كثير من الأحيان ، تكون التعبيرات الموجودة تحت علامة اللوغاريتم وفي قاعدته عبارة عن منتجات أو نسب من الجذور و / أو القوى لبعض الأرقام ، على سبيل المثال ،. يمكن تمثيل التعبيرات المتشابهة كدرجة. للقيام بذلك ، يتم الانتقال من الجذور إلى الدرجات ويتم تطبيقه. تسمح لك هذه التحويلات بتحديد الدرجات تحت علامة اللوغاريتم وفي قاعدته ، ثم تطبيق خصائص اللوغاريتمات.

مثال.

احسب: أ) ، ب).

حل.

أ) التعبير في قاعدة اللوغاريتم هو نتاج قوى لها نفس الأسس ، من خلال خاصية المناظرة للقوى التي لدينا 5 2 5 −0.5 5 −1 = 5 2−0.5−1 = 5 0.5.

الآن دعنا نحول الكسر تحت علامة اللوغاريتم: لننتقل من الجذر إلى الدرجة ، وبعد ذلك سنستخدم خاصية نسبة الدرجات بنفس الأسس: .

يبقى استبدال النتائج التي تم الحصول عليها في التعبير الأصلي ، استخدم الصيغة والانتهاء من التحول:

ب) بما أن 729 = 3 6 ، و 1/9 = 3 2 ، يمكن إعادة كتابة التعبير الأصلي بالشكل.

بعد ذلك ، قم بتطبيق خاصية جذر الأس ، وانتقل من الجذر إلى الأس ، واستخدم خاصية النسبة بين القوى لتحويل أساس اللوغاريتم إلى قوة: .

مع الأخذ بعين الاعتبار النتيجة الأخيرة لدينا .

إجابة:

أ) ، ب).

من الواضح أنه في الحالة العامة ، للحصول على صلاحيات تحت علامة اللوغاريتم وفي قاعدته ، قد تكون هناك حاجة إلى تحولات مختلفة من التعبيرات المختلفة. دعنا نعطي بعض الأمثلة.

مثال.

ما هي قيمة التعبير: أ) ، ب) .

حل.

علاوة على ذلك ، نلاحظ أن التعبير المعطى له النموذج log A B p ، حيث A = 2 و B = x + 1 و p = 4. قمنا بتحويل التعبيرات العددية من هذا النوع وفقًا لخاصية لوغاريتم الدرجة a b p \ u003d p log a b ، لذلك ، مع تعبير معين ، أريد أن أفعل الشيء نفسه ، وانتقل من log 2 (x + 1) 4 إلى 4 سجل 2 (x + 1). والآن دعونا نحسب قيمة التعبير الأصلي والتعبير الذي تم الحصول عليه بعد التحويل ، على سبيل المثال ، مع x = −2. لدينا سجل 2 (−2 + 1) 4 = سجل 2 1 = 0 ، و 4 سجل 2 (2 + 1) = 4 سجل 2 (−1)- تعبير لا معنى له. وهذا يثير سؤالاً مشروعًا: "ما الخطأ الذي ارتكبناه"؟

والسبب هو كما يلي: أجرينا تحويل سجل 2 (x + 1) 4 = 4 log 2 (x + 1) ، بناءً على الصيغة log a b p = p log a b ، لكن هذه الصيغةلدينا الحق في التقديم فقط إذا كانت الشروط a> 0 ، a 1 ، b> 0 ، p - أي رقم حقيقي. أي أن التحويل الذي أجريناه يحدث إذا كانت x + 1> 0 ، وهي نفس x> 1 (بالنسبة إلى A و p ، يتم استيفاء الشروط). ومع ذلك ، في حالتنا ، فإن ODZ للمتغير x للتعبير الأصلي لا يتكون فقط من الفاصل الزمني x> −1 ، ولكن أيضًا من الفترة x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

الحاجة إلى مراعاة ODZ

دعنا نواصل تحليل تحول التعبير log 2 (x + 1) 4 الذي اخترناه ، والآن دعونا نرى ما يحدث لـ ODZ عند المرور إلى التعبير 4 log 2 (x + 1). في الفقرة السابقة وجدنا ODZ للتعبير الأصلي - هذه هي المجموعة (−∞، −1) ∪ (−1، +). لنجد المساحة الآن القيم المسموح بهامتغير x للتعبير 4 log 2 (x + 1). يتم تحديده من خلال الشرط x + 1> 0 ، والذي يتوافق مع المجموعة (−1 ، + ∞). من الواضح أنه عند الانتقال من log 2 (x + 1) 4 إلى 4 · log 2 (x + 1) ، يضيق نطاق القيم المسموح بها. واتفقنا على تجنب الإصلاحات التي تؤدي إلى تضييق منطقة ODZ ، لأن هذا يمكن أن يؤدي إلى عواقب سلبية مختلفة.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه من المفيد التحكم في ODZ في كل خطوة من خطوات التحول وعدم السماح له بالتضييق. وإذا حدث فجأة في مرحلة ما من التحول تضييق في منطقة ODZ ، فإن الأمر يستحق النظر بعناية شديدة فيما إذا كان هذا التحول مسموحًا به وما إذا كان لدينا الحق في تنفيذه.

في الإنصاف ، نقول إنه من الناحية العملية ، يتعين علينا عادةً العمل مع التعبيرات التي يكون فيها ODZ للمتغيرات بحيث يسمح لنا باستخدام خصائص اللوغاريتمات دون قيود في الشكل المعروف لنا بالفعل ، سواء من اليسار إلى اليمين أو من من اليمين إلى اليسار ، عند إجراء التحولات. تعتاد على هذا بسرعة ، وتبدأ في تنفيذ التحولات ميكانيكيًا ، دون التفكير فيما إذا كان من الممكن تنفيذها. وفي مثل هذه اللحظات ، كما يحالف الحظ ، تتسلل أمثلة أكثر تعقيدًا ، حيث يؤدي التطبيق غير الدقيق لخصائص اللوغاريتمات إلى أخطاء. لذلك عليك أن تكون دائمًا في حالة تأهب ، وتأكد من عدم وجود تضييق في منطقة ODZ.

لا يضر تسليط الضوء بشكل منفصل على التحولات الرئيسية بناءً على خصائص اللوغاريتمات ، والتي يجب تنفيذها بعناية شديدة ، مما قد يؤدي إلى تضييق DPV ، ونتيجة لذلك ، إلى أخطاء:

يمكن أن تؤدي بعض تحولات التعبيرات وفقًا لخصائص اللوغاريتمات أيضًا إلى العكس - توسع ODZ. على سبيل المثال ، الانتقال من 4 log 2 (x + 1) إلى log 2 (x + 1) 4 يمد ODZ من المجموعة (−1، + ∞) إلى (−∞، −1) ∪ (−1، + ). تحدث هذه التحولات إذا بقيت داخل ODZ للتعبير الأصلي. لذا فإن التحويل المذكور للتو 4 log 2 (x + 1) = log 2 (x + 1) 4 يحدث على متغير ODZ x للتعبير الأصلي 4 log 2 (x + 1) ، أي عندما x + 1> 0 ، وهو نفس (−1، + ∞).

الآن وقد ناقشنا الفروق الدقيقة التي تحتاج إلى الانتباه إليها عند تحويل التعبيرات ذات المتغيرات باستخدام خصائص اللوغاريتمات ، يبقى معرفة كيفية إجراء هذه التحويلات بشكل صحيح.

X + 2> 0. هل تعمل في حالتنا؟ للإجابة على هذا السؤال ، دعنا نلقي نظرة على DPV لمتغير x. يتم تحديده من خلال نظام عدم المساواة ، وهو ما يعادل الشرط x + 2> 0 (إذا لزم الأمر ، راجع المقالة حل أنظمة عدم المساواة). وبالتالي ، يمكننا تطبيق خاصية لوغاريتم الدرجة بأمان.

لدينا
3 سجل (س + 2) 7 سجل (س + 2) −5 سجل (س + 2) 4 =
= 3 7 سجل (س + 2) − سجل (س + 2) −5 4 سجل (س + 2) =
= 21 سجل (س + 2) − سجل (س + 2) −20 سجل (س + 2) =
= (21−1−20) lg (x + 2) = 0.

يمكنك التصرف بشكل مختلف ، لأن ODZ يتيح لك القيام بذلك ، على سبيل المثال مثل هذا:

إجابة:

3 سجل (س + 2) 7 سجل (س + 2) −5 سجل (س + 2) 4 = 0.

وماذا تفعل عندما لا تتحقق الشروط المرتبطة بخصائص اللوغاريتمات في ODZ؟ سنتعامل مع هذا مع الأمثلة.

لنطلب منا تبسيط التعبير lg (x + 2) 4 −lg (x + 2) 2. لا يسمح تحويل هذا التعبير ، على عكس التعبير من المثال السابق ، بالاستخدام المجاني لخاصية لوغاريتم الدرجة. لماذا؟ ODZ للمتغير x في هذه الحالة هو اتحاد فترتين x> −2 و x<−2 . При x>−2 يمكننا تطبيق خاصية لوغاريتم الدرجة بأمان والمتابعة كما في المثال أعلاه: تسجيل (س + 2) 4 − سجل (س + 2) 2 = 4 سجل (س + 2) −2 سجل (س + 2) = 2 سجل (س + 2). لكن ODZ يحتوي على فاصل زمني آخر x + 2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к تسجيل الدخول (- | x + 2 |) 4 −log (- | x + 2 |) 2علاوة على ذلك ، نظرًا لخصائص الطاقة لـ lg | x + 2 | 4 − lg | x + 2 | 2. يمكن تحويل التعبير الناتج وفقًا لخاصية لوغاريتم الدرجة ، منذ | x + 2 |> 0 لأي قيم للمتغير. لدينا سجل | x + 2 | 4 − lg | x + 2 | 2 = 4 سجل | س + 2 | −2 سجل | س + 2 | = 2 سجل | س + 2 |. يمكنك الآن التخلص من الوحدة ، لأنها قامت بعملها. نظرًا لأننا نتحول عند x + 2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

دعنا نفكر في مثال آخر لجعل العمل مع الوحدات مألوفًا. دعونا نتصور من التعبير مرر إلى مجموع وفرق لوغاريتمات ذات الحدين الخطي x 1 و x − 2 و x 3. أولاً نجد ODZ:

في الفترة (3 ، + ∞) ، تكون قيم التعبيرات x 1 و x − 2 و x 3 موجبة ، لذلك يمكننا تطبيق خصائص لوغاريتم المجموع والفرق بأمان:

وفي الفترة (1 ، 2) ، تكون قيم التعبير x − 1 موجبة ، وقيم التعبيرات x − 2 و x − 3 سالبة. لذلك ، في الفترة قيد النظر ، نمثل x 2 و x − 3 باستخدام المقياس كـ - | x − 2 | و - | x − 3 | على التوالى. حيث

الآن يمكننا تطبيق خصائص لوغاريتم الضرب والحاصل ، لأنه في الفترة المدروسة (1 ، 2) قيم التعبيرات x − 1 ، | x − 2 | و | x − 3 | - إيجابي.

لدينا

يمكن الجمع بين النتائج التي تم الحصول عليها:

بشكل عام ، يسمح المنطق المماثل ، استنادًا إلى الصيغ الخاصة بلوغاريتم المنتج والنسبة والدرجة ، بالحصول على ثلاث نتائج مفيدة عمليًا تكون ملائمة تمامًا للاستخدام:

• يمكن استبدال لوغاريتم ناتج تعبيرين تعسفيين X و Y للنموذج log a (X · Y) بمجموع اللوغاريتمات log a | X | + log a | Y | ، أ> 0 ، أ 1.
• يمكن استبدال اللوغاريتم الخاص بـ log a (X: Y) باختلاف اللوغاريتمات log a | X | −log a | Y | ، a> 0 ، a 1 ، X و Y هي تعبيرات عشوائية.
• من لوغاريتم بعض التعبيرات B إلى القوة الزوجية p للصيغة log a B p ، يمكن للمرء أن يمرّر إلى التعبير p log a | B | ، حيث a> 0 ، a 1 ، p عدد زوجي و B تعبير تعسفي.

يتم إعطاء نتائج مماثلة ، على سبيل المثال ، في تعليمات حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية في مجموعة المسائل في الرياضيات للمتقدمين للجامعات ، تم تحريره بواسطة M.I.Skanavi.

مثال.

تبسيط التعبير .

حل.

سيكون من الجيد تطبيق خصائص لوغاريتم الدرجة والجمع والفرق. لكن هل يمكننا فعل ذلك هنا؟ للإجابة على هذا السؤال ، نحتاج إلى معرفة ODZ.

دعنا نحدده:

من الواضح تمامًا أن التعبيرات x + 4 و x 2 و (x + 4) 13 في نطاق القيم الممكنة للمتغير x يمكن أن تأخذ قيمًا موجبة وسالبة. لذلك ، سيتعين علينا العمل من خلال الوحدات.

تسمح لك خصائص الوحدة بإعادة الكتابة على هذا النحو

أيضًا ، لا شيء يمنعك من استخدام خاصية لوغاريتم الدرجة ، ثم إحضار المصطلحات المشابهة:

يؤدي تسلسل آخر للتحولات إلى نفس النتيجة:

وبما أن التعبير x − 2 يمكن أن يأخذ كلًا من القيم الموجبة والسالبة على ODZ ، عند أخذ الأس الزوجي 14

المهام ، الحل الذي هو تحويل التعبيرات اللوغاريتمية، غالبًا ما يتم العثور عليها في الامتحان.

من أجل التعامل معهم بنجاح بأقل قدر من الوقت ، بالإضافة إلى الهويات اللوغاريتمية الأساسية ، من الضروري معرفة المزيد من الصيغ واستخدامها بشكل صحيح.

هذا هو: سجل أ ب = ب ، حيث أ ، ب> 0 ، أ 1 (يتبع مباشرة من تعريف اللوغاريتم).

سجل أ ب = سجل ج ب / سجل ج أ أو سجل أ ب = 1 / سجل ب أ
حيث أ ، ب ، ج> 0 ؛ أ ، ج 1.

سجل أ م ب ن = (م / ن) سجل | أ | | ب |
حيث أ ، ب> 0 ، أ ≠ 1 ، م ، ن Є ص ، ن ≠ 0.

أ السجل ج ب = ب السجل ج أ
حيث أ ، ب ، ج> 0 ، أ ، ب ، ج 1

لإظهار صحة المساواة الرابعة ، نأخذ لوغاريتم الضلع الأيسر والأيمن في القاعدة أ. نحصل على log a (a log c b) = log a (b log c a) أو log c b = log c a log a b ؛ سجل ج ب = سجل ج أ (سجل ج ب / سجل ج أ) ؛ سجل ب = سجل ب.

لقد أثبتنا مساواة اللوغاريتمات ، مما يعني أن التعبيرات تحت اللوغاريتمات متساوية أيضًا. تم إثبات صحة الصيغة 4.

مثال 1

احسب 81 log 27 5 log 5 4.

حل.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

سجل 27 5 = 1/3 سجل 3 5 ، سجل 5 4 = سجل 3 4 / سجل 3 5. لذلك ،

سجل 27 5 سجل 5 4 = 1/3 سجل 3 5 (سجل 3 4 / سجل 3 5) = 1/3 سجل 3 4.

ثم 81 سجل 27 5 سجل 5 4 = (3 4) 1/3 سجل 3 4 = (3 سجل 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

يمكنك إكمال المهمة التالية بنفسك.

احسب (8 سجل 2 3 + 3 1 / سجل 2 3) - سجل 0.2 5.

كتلميح ، 0.2 = 1/5 = 5 -1 ؛ سجل 0.2 5 = -1.

الجواب: 5.

مثال 2

احسب (√11) سجل √3 9 سجل 121 81.

حل.

دعنا نستبدل التعبيرات: 9 = 3 2 ، √3 = 3 1/2 ، السجل √3 9 = 4 ،

121 = 11 2 ، 81 = 3 4 ، سجل 121 81 = 2 سجل 11 3 (تم استخدام الصيغة 3).

ثم (√11) سجل √3 9- سجل 121 81 = (11 1/2) 4-2 سجل 11 3 = (11) 2- سجل 11 3 = 11 2 / (11) سجل 11 3 = 11 2 / ( 11 سجل 11 3) = 121/3.

مثال 3

احسب log 2 24 / log 96 2 - log 2192 / log 12 2.

حل.

سنستبدل اللوغاريتمات الموجودة في المثال باللوغاريتمات بالأساس 2.

سجل 96 2 = 1 / سجل 2 96 = 1 / سجل 2 (2 5 3) = 1 / (سجل 2 2 5 + سجل 2 3) = 1 / (5 + سجل 2 3) ؛

سجل 222 = سجل 2 (2 6 3) = (سجل 2 2 6 + سجل 2 3) = (6 + سجل 2 3) ؛

سجل 2 24 = سجل 2 (2 3 3) = (سجل 2 2 3 + سجل 2 3) = (3 + سجل 2 3) ؛

السجل 12 2 = 1 / السجل 2 12 = 1 / السجل 2 (2 2 3) = 1 / (السجل 2 2 2 + السجل 2 3) = 1 / (2 + السجل 2 3).

ثم سجل 2 24 / سجل 96 2 - سجل 2129 / سجل 12 2 = (3 + سجل 2 3) / (1 / (5 + سجل 2 3)) - ((6 + سجل 2 3) / (1 / ( 2 + سجل 2 3)) =

= (3 + سجل 2 3) (5 + سجل 2 3) - (6 + سجل 2 3) (2 + سجل 2 3).

بعد فتح الأقواس وتقليل المصطلحات المتشابهة ، نحصل على الرقم 3. (عند تبسيط التعبير ، يمكن الإشارة إلى log 2 3 بواسطة n وتبسيط التعبير

(3 + ن) (5 + ن) - (6 + ن) (2 + ن)).

الجواب: 3.

يمكنك القيام بما يلي بنفسك:

احسب (سجل 3 4 + سجل 4 3 + 2) سجل 3 16 سجل 2144 3.

من الضروري هنا الانتقال إلى اللوغاريتمات في الأساس 3 والتحلل إلى عوامل أولية ذات أعداد كبيرة.

الجواب: 1/2

مثال 4

يتم إعطاء ثلاثة أرقام A \ u003d 1 / (log 3 0.5) ، B \ u003d 1 / (log 0.5 3) ، C \ u003d log 0.5 12 - log 0.5 3. رتبهم بترتيب تصاعدي.

حل.

دعنا نحول الأرقام A \ u003d 1 / (log 3 0.5) \ u003d log 0.5 3 ؛ C \ u003d log 0.5 12 - log 0.5 3 \ u003d log 0.5 12/3 \ u003d log 0.5 4 \ u003d -2.

دعونا نقارن بينهما

سجل 0.5 3> سجل 0.5 4 = -2 وسجل 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

أو 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

إجابة. لذلك ، ترتيب ترتيب الأرقام: C ؛ أ؛ في.

مثال 5

كم عدد الأعداد الصحيحة في الفترة (سجل 3 1/16 ؛ سجل 2 6 48).

حل.

لنحدد بين قوى العدد 3 التي تمثل الرقم 1/16. نحصل على 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

نظرًا لأن الوظيفة y \ u003d log 3 x تتزايد ، ثم تسجيل 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

السجل 6 48 = السجل 6 (36 4/3) = السجل 6 36 + السجل 6 (4/3) = 2 + السجل 6 (4/3). قارن السجل 6 (4/3) و 1/5. ولهذا نقارن الأرقام 4/3 و 6 1/5. ارفع كلا العددين للقوة الخامسة. نحصل على (4/3) 5 = 1024/243 = 4 52/243< 6. Следовательно,

سجل 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

لذلك ، الفاصل الزمني (سجل 3 1/16 ؛ سجل 6 48) يتضمن الفاصل الزمني [-2 ؛ 4] والأعداد الصحيحة -2 توضع عليها ؛ -1 ؛ 0 ؛ 1 ؛ 2 ؛ 3 ؛ 4.

الجواب: 7 أعداد صحيحة.

مثال 6

احسب 3 lglg 2 / lg 3 - lg20.

حل.

3 lg lg 2 / lg 3 = (3 1 / lg3) lg lg 2 = (3 lo g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

ثم 3 lglg2 / lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0.1 = -1.

الجواب: -1.

مثال 7

من المعروف أن السجل 2 (√3 + 1) + السجل 2 (√6-2) = أ. ابحث عن السجل 2 (√3 -1) + السجل 2 (√6 + 2).

حل.

الأعداد (√3 + 1) و (√3-1) ؛ (√6-2) و (6 + 2) مترافقان.

دعونا نجري التحول التالي للتعبيرات

√3-1 = (3-1) (√3 + 1)) / (3 + 1) = 2 / (3 + 1) ؛

√6 + 2 = (6 + 2) (√6-2)) / (6-2) = 2 / (6-2).

ثم تسجيل 2 (√3-1) + تسجيل 2 (6 + 2) = تسجيل 2 (2 / (√3 + 1)) + تسجيل 2 (2 / (√6-2)) =

السجل 2 2 - السجل 2 (3 + 1) + السجل 2 2 - السجل 2 (√6-2) = 1 - السجل 2 (√3 + 1) + 1 - السجل 2 (6-2) =

2 - السجل 2 (√3 + 1) - السجل 2 (√6-2) = 2 - أ.

الجواب: 2 - أ.

المثال 8.

بسّط واعثر على القيمة التقريبية للتعبير (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

حل.

نقوم بتقليل كل اللوغاريتمات إلى ارضية مشتركة 10.

(سجل 3 2 سجل 4 3 سجل 5 4 سجل 6 5 ... سجل 10 9 = (سجل 2 / سجل 3) (سجل 3 / سجل 4) (سجل 4 / سجل 5) (سجل 5 / سجل 6) .... .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \ u003d lg 2 ≈ 0.3010 (يمكن إيجاد القيمة التقريبية لـ lg 2 باستخدام جدول أو قاعدة شريحة أو آلة حاسبة).

الجواب: 0.3010.

المثال 9.

احسب log a 2 b 3 √ (a 11 b -3) إذا كان log √ a b 3 = 1. (في هذا المثال ، a 2 b 3 هي أساس اللوغاريتم).

حل.

إذا كان السجل √ أ ب 3 = 1 ، فإن 3 / (0.5 سجل أ ب = 1. وسجل أ ب = 1/6.

ثم سجل a 2 b 3√ (a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (سجل أ 11 + سجل أ ب -3) / (2 (سجل أ 2 + سجل أ ب 3)) = (11 - 3 سجل أ ب) / (2 (2 + 3 سجل أ ب)) هذا السجل وب = 1/6 نحصل على (11 - 3 1/6) / (2 (2 + 3 1/6)) = 10.5 / 5 = 2.1.

الجواب: 2.1.

يمكنك القيام بما يلي بنفسك:

احسب log √3 6 √2.1 إذا كان log 0.7 27 = a.

الجواب: (3 + أ) / (3 أ).

المثال 10

احسب 6.5 4 / سجل 319 3 1 / سجل 4 13 + سجل 125.

حل.

6.5 4 / سجل 319 3 1 / سجل 4 13 + سجل 125 = (13/2) 4/2 سجل 3 13 3 2 / سجل 2 13 + 2 سجل 5 5 3 = (13/2) 2 سجل 13 3 3 2 تسجيل 13 2 + 6 = (13 سجل 13 3/2 سجل 13 3) 2 (3 سجل 13 2) 2 + 6 = (3 / سجل 13 3) 2 (3 سجل 13 2) 2 + 6 = (3 2 / (2 سجل 13 3) 2) (2 سجل 13 3) 2 + 6.

(2 سجل 13 3 = 3 سجل 13 2 (الصيغة 4))

نحصل على 9 + 6 = 15.

الجواب: 15.

هل لديك اسئلة؟ ألست متأكدًا من كيفية العثور على قيمة التعبير اللوغاريتمي؟
للحصول على مساعدة من مدرس -.
الدرس الأول مجاني!

blog.site ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، مطلوب رابط للمصدر.

يمكن إضافة اللوغاريتمات ، مثل أي رقم ، وطرحها وتحويلها بكل طريقة ممكنة. ولكن نظرًا لأن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا ، فهناك قواعد هنا تسمى الخصائص الأساسية.

يجب أن تعرف هذه القواعد - لا يمكن حل مشكلة لوغاريتمية خطيرة بدونها. بالإضافة إلى ذلك ، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكن تعلم كل شيء في يوم واحد. اذا هيا بنا نبدأ.

جمع وطرح اللوغاريتمات

ضع في اعتبارك لوغاريتمين لهما نفس القاعدة: log أ xوتسجيل أ ذ. ثم يمكن إضافتهم وطرحهم ، و:

1. سجل أ x+ سجل أ ذ= سجل أ (x · ذ);
2. سجل أ xسجل أ ذ= سجل أ (x : ذ).

إذن ، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب ، والفرق هو لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة: النقطة الأساسية هنا هي - نفس الأسباب. إذا كانت القواعد مختلفة ، فإن هذه القواعد لا تعمل!

ستساعدك هذه الصيغ في حساب التعبير اللوغاريتمي حتى في حالة عدم مراعاة أجزائه الفردية (انظر الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألق نظرة على الأمثلة وانظر:

سجل 6 4 + سجل 6 9.

نظرًا لأن قواعد اللوغاريتمات هي نفسها ، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
سجل 6 4 + سجل 6 9 = سجل 6 (4 9) = سجل 6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 2 48 - log 2 3.

القواعد هي نفسها ، نستخدم صيغة الفرق:
السجل 2 48 - السجل 2 3 = السجل 2 (48: 3) = السجل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 3135 - log 3 5.

مرة أخرى ، القواعد هي نفسها ، لذلك لدينا:
السجل 3135 - السجل 3 5 = السجل 3 (135: 5) = السجل 3 27 = 3.

كما ترى ، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة" ، والتي لا يتم النظر فيها بشكل منفصل. ولكن بعد التحولات تظهر أرقام عادية. بناء على هذه الحقيقة ، كثير أوراق الاختبار. نعم ، تحكم - يتم تقديم تعبيرات متشابهة بكل جدية (أحيانًا - مع عدم وجود تغييرات تقريبًا) في الامتحان.

إزالة الأس من اللوغاريتم

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً. ماذا لو كانت هناك درجة في قاعدة اللوغاريتم أو حججه؟ ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من علامة اللوغاريتم وفقًا للقواعد التالية:

من السهل ملاحظة أن القاعدة الأخيرة تتبع أول قاعدتين. لكن من الأفضل تذكرها على أي حال - في بعض الحالات ستقلل بشكل كبير من مقدار العمليات الحسابية.

بالطبع ، كل هذه القواعد منطقية إذا لوحظ لوغاريتم ODZ: أ > 0, أ ≠ 1, x> 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين ، ولكن أيضًا العكس ، أي يمكنك إدخال الأرقام قبل علامة اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه. هذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 7 49 6.

دعنا نتخلص من الدرجة في الحجة وفق الصيغة الأولى:
سجل 7 49 6 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

[شرح الشكل]

لاحظ أن المقام عبارة عن لوغاريتم أساسه وسيطته قوى دقيقة: 16 = 2 4؛ 49 = 72. لدينا:

[شرح الشكل]

أعتقد أن المثال الأخير يحتاج إلى توضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة ، نحن نعمل فقط مع المقام. قدموا قاعدة وحجة اللوغاريتم الذي يقف هناك على شكل درجات وأخذوا المؤشرات - حصلوا على كسر من "ثلاثة طوابق".

لنلق نظرة الآن على الكسر الرئيسي. البسط والمقام لهما نفس العدد: log 2 7. بما أن log 2 7 ≠ 0 ، يمكننا تقليل الكسر - 2/4 سيبقى في المقام. وفقًا لقواعد الحساب ، يمكن تحويل الأربعة إلى البسط ، وقد تم ذلك. والنتيجة هي الجواب: 2.

الانتقال إلى مؤسسة جديدة

بالحديث عن قواعد إضافة وطرح اللوغاريتمات ، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. ماذا لو اختلفت القواعد؟ ماذا لو لم تكن قوى دقيقة لنفس العدد؟

تنقذ الصيغ الخاصة بالانتقال إلى قاعدة جديدة. نصيغها في شكل نظرية:

دع اللوغاريتم سجل أ x. ثم لأي رقم جمثل ذلك ج> 0 و ج≠ 1 ، المساواة صحيحة:

[شرح الشكل]

على وجه الخصوص ، إذا وضعنا ج = x، نحن نحصل:

[شرح الشكل]

ويترتب على الصيغة الثانية أنه من الممكن تبادل الأساس ووسيط اللوغاريتم ، ولكن في هذه الحالة يكون التعبير بالكامل "منقلبًا" ، أي اللوغاريتم في المقام.

نادرًا ما توجد هذه الصيغ في التعبيرات العددية العادية. من الممكن تقييم مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.

ومع ذلك ، هناك مهام لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى مؤسسة جديدة. دعنا نفكر في اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 5 16 log 2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمين هي أسس دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2 ؛ سجل 2 25 = سجل 2 5 2 = 2 سجل 2 5 ؛

الآن دعنا نقلب اللوغاريتم الثاني:

[شرح الشكل]

نظرًا لأن المنتج لا يتغير من تبديل العوامل ، فقد ضربنا بهدوء أربعة في اثنين ، ثم اكتشفنا اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 9100 lg 3.

أساس وسعة اللوغاريتم الأول قوى دقيقة. دعنا نكتبها ونتخلص من المؤشرات:

[شرح الشكل]

الآن دعنا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

[شرح الشكل]

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

غالبًا في عملية الحل ، يلزم تمثيل رقم كلوغاريتم لقاعدة معينة. في هذه الحالة ، ستساعدنا الصيغ على:

في الحالة الأولى ، الرقم نيصبح الأس للحجة. رقم نيمكن أن يكون أي شيء على الإطلاق ، لأنه مجرد قيمة اللوغاريتم.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. إنها تسمى الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

في الواقع ، ماذا سيحدث إذا كان الرقم برفع إلى السلطة بحيث بإلى هذا الحد يعطي عددًا أ؟ هذا صحيح: هذا هو نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس "يعلقون" عليها.

مثل صيغ التحويل الأساسية الجديدة ، فإن الهوية اللوغاريتمية الأساسية هي أحيانًا الحل الوحيد الممكن.

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

[شرح الشكل]

لاحظ أن log 25 64 = log 5 8 - أخرج للتو المربع من القاعدة ووسيطة اللوغاريتم. بالنظر إلى قواعد ضرب الأسس بنفس الأساس ، نحصل على:

[شرح الشكل]

إذا لم يكن شخص ما على دراية ، فهذه كانت مهمة حقيقية من الامتحان :)

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

في الختام ، سأقدم متطابقتين يصعب تسميتهما بالخصائص - بالأحرى ، هذه نتائج من تعريف اللوغاريتم. يتم العثور عليها باستمرار في المشاكل ، والمثير للدهشة أنها تخلق مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".

1. سجل أ أ= 1 هي الوحدة اللوغاريتمية. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي أساس أمن هذه القاعدة نفسها يساوي واحدًا.
2. سجل أ 1 = 0 هو صفر لوغاريتمي. قاعدة أيمكن أن يكون أي شيء ، ولكن إذا كانت الوسيطة واحدة ، فإن اللوغاريتم هو صفر! لأن أ 0 = 1 نتيجة مباشرة للتعريف.

هذه كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وقم بطباعتها وحل المشكلات.

اليوم سنتحدث عنه صيغ اللوغاريتموإعطاء مظاهرة أمثلة الحل.

في حد ذاتها ، فإنها تشير إلى أنماط الحل وفقًا للخصائص الأساسية للوغاريتمات. قبل تطبيق صيغ اللوغاريتم على الحل ، نذكر لك أولاً جميع الخصائص:

الآن ، بناءً على هذه الصيغ (الخصائص) ، نعرض أمثلة على حل اللوغاريتمات.

أمثلة على حل اللوغاريتمات بناءً على الصيغ.

لوغاريتمالرقم الموجب ب في القاعدة أ (يُشار إليه بالسجل أ ب) هو الأس الذي يجب رفع أ إليه للحصول على ب ، مع ب> 0 ، أ> 0 ، و 1.

وفقًا للتعريف log a b = x ، وهو ما يعادل a x = b ، لذلك سجل a a x = x.

اللوغاريتمات، أمثلة:

سجل 2 8 = 3 ، لأن 2 3 = 8

سجل 7 49 = 2 لأن 7 2 = 49

سجل 5 1/5 = -1 ، لأن 5-1 = 1/5

اللوغاريتم العشريهو لوغاريتم عادي ، وأساسه هو 10. ويشار إليه بالرمز lg.

سجل 10 100 = 2 لأن 10 2 = 100

اللوغاريتم الطبيعي- أيضًا اللوغاريتم المعتاد للوغاريتم ، ولكن مع الأساس e (e \ u003d 2.71828 ... - رقم غير نسبي). يشار إليها باسم ln.

من المستحسن تذكر الصيغ أو خصائص اللوغاريتمات ، لأننا سنحتاجها لاحقًا عند حل اللوغاريتمات والمعادلات اللوغاريتمية والمتباينات. دعونا نعمل من خلال كل صيغة مرة أخرى مع الأمثلة.

• الهوية اللوغاريتمية الأساسية
  سجل أ ب = ب

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• لوغاريتم المنتج يساوي مجموع اللوغاريتمات
  سجل أ (قبل الميلاد) = سجل أ ب + سجل أ ج

  سجل 3 8.1 + سجل 3 10 = سجل 3 (8.1 * 10) = سجل 3 81 = 4

• لوغاريتم خارج القسمة يساوي فرق اللوغاريتمات
  سجل أ (ب / ج) = سجل أ ب - سجل أ ج

  9 سجل 5 50/9 سجل 5 2 = 9 سجل 5 50 - سجل 5 2 = 9 سجل 5 25 = 9 2 = 81

• خصائص درجة الرقم اللوغاريتمي وأساس اللوغاريتم

  أُس رقم لوغاريتمي log a b m = mlog a b

  أس أساس اللوغاريتم اللوغاريتمي a n b = 1 / n * log a b

  سجل أ ن ب م = م / ن * سجل أ ب ،

  إذا كانت m = n ، نحصل على log a n b n = log a b

  سجل 4 9 = سجل 2 2 3 2 = سجل 2 3

• الانتقال إلى مؤسسة جديدة
  سجل أ ب = سجل ج ب / سجل ج أ ،

  إذا كان c = b ، نحصل على log b b = 1

  ثم سجل أ ب = 1 / سجل ب أ

  سجل 0.8 3 * سجل 3 1.25 = سجل 0.8 3 * سجل 0.8 1.25 / سجل 0.8 3 = سجل 0.8 1.25 = سجل 4/5 5/4 = -1

كما ترى ، فإن صيغ اللوغاريتم ليست معقدة كما تبدو. الآن ، بعد أن درسنا أمثلة لحل اللوغاريتمات ، يمكننا الانتقال إلى المعادلات اللوغاريتمية. سننظر في أمثلة لحل المعادلات اللوغاريتمية بمزيد من التفصيل في المقالة: "". لا تفوت!

إذا كان لا يزال لديك أسئلة حول الحل ، فاكتبها في التعليقات على المقالة.

ملاحظة: قررت الحصول على تعليم فصل دراسي آخر في الخارج كخيار.

كما تعلم ، عند ضرب التعابير ذات القوى ، يتم جمع الأسس دائمًا (أ ب * أ ج = أ ب + ج). اشتق أرخميدس هذا القانون الرياضي ، وفي وقت لاحق ، في القرن الثامن ، أنشأ عالم الرياضيات فيراسن جدولًا لمؤشرات الأعداد الصحيحة. كانوا هم الذين خدموا لمزيد من اكتشاف اللوغاريتمات. يمكن العثور على أمثلة لاستخدام هذه الوظيفة في كل مكان تقريبًا حيث يلزم تبسيط الضرب المرهق إلى عملية الجمع البسيطة. إذا أمضيت 10 دقائق في قراءة هذا المقال ، فسنشرح لك ماهية اللوغاريتمات وكيفية التعامل معها. لغة بسيطة وسهلة الوصول.

التعريف في الرياضيات

اللوغاريتم هو تعبير عن النموذج التالي: log a b = c ، أي ، لوغاريتم أي رقم غير سالب (أي ، أي موجب) "b" وفقًا لقاعدته "a" يعتبر قوة "c "، والتي من الضروري رفع القاعدة" أ "إليها ، بحيث تحصل في النهاية على القيمة" ب ". دعنا نحلل اللوغاريتم باستخدام الأمثلة ، دعنا نقول أن هناك تعبير log 2 8. كيف تجد الإجابة؟ الأمر بسيط للغاية ، تحتاج إلى العثور على الدرجة التي تحصل عليها من 2 إلى الدرجة المطلوبة 8. وبعد إجراء بعض الحسابات في ذهنك ، نحصل على الرقم 3! وهذا صحيح ، لأن 2 أس 3 يعطي الرقم 8 في الإجابة.

أنواع اللوغاريتمات

بالنسبة للعديد من التلاميذ والطلاب ، يبدو هذا الموضوع معقدًا وغير مفهوم ، ولكن في الواقع ، اللوغاريتمات ليست مخيفة جدًا ، والشيء الرئيسي هو فهم معناها العام وتذكر خصائصها وبعض القواعد. هناك ثلاثة أنواع مختلفة من التعبيرات اللوغاريتمية:

1. اللوغاريتم الطبيعي ln a ، حيث الأساس هو رقم أويلر (e = 2.7).
2. العلامة العشرية a حيث الأساس هو 10.
3. لوغاريتم أي عدد ب للقاعدة أ> 1.

يتم حل كل منها بطريقة قياسية ، بما في ذلك التبسيط والاختزال والاختزال اللاحق إلى لوغاريتم واحد باستخدام النظريات اللوغاريتمية. للحصول على القيم الصحيحة للوغاريتمات ، يجب على المرء أن يتذكر خصائصها وترتيب الإجراءات في قراراتهم.

القواعد وبعض القيود

في الرياضيات ، هناك العديد من قيود القواعد المقبولة كبديهية ، أي أنها لا تخضع للنقاش وهي صحيحة. على سبيل المثال ، من المستحيل قسمة الأرقام على صفر ، ومن المستحيل أيضًا استخراج جذر الدرجة الزوجية من الأرقام السالبة. تمتلك اللوغاريتمات أيضًا قواعدها الخاصة ، والتي يمكنك بعدها بسهولة معرفة كيفية العمل حتى مع التعبيرات اللوغاريتمية الطويلة والواسعة:

• يجب أن تكون القاعدة "a" دائمًا أكبر من الصفر ، وفي نفس الوقت لا تساوي 1 ، وإلا فإن التعبير سيفقد معناه ، لأن "1" و "0" إلى أي درجة تساوي دائمًا قيمهما ؛
• إذا كانت a> 0 ، ثم a b> 0 ، فقد اتضح أن "c" يجب أن تكون أكبر من صفر.

كيف تحل اللوغاريتمات؟

على سبيل المثال ، تم تكليف المهمة للعثور على إجابة المعادلة 10 x \ u003d 100. إنه سهل للغاية ، تحتاج إلى اختيار مثل هذه القوة ، ورفع الرقم عشرة الذي نحصل عليه 100. هذا ، بالطبع ، هو 10 2 \ u003d 100.

الآن لنمثل هذا المقدار على أنه واحد لوغاريتمي. نحصل على log 10 100 = 2. عند حل اللوغاريتمات ، تتقارب جميع الإجراءات عمليًا لإيجاد الدرجة التي يجب إدخال أساس اللوغاريتم عندها للحصول على رقم معين.

لتحديد قيمة الدرجة غير المعروفة بدقة ، يجب أن تتعلم كيفية التعامل مع جدول الدرجات. تبدو هكذا:

كما ترى ، يمكن تخمين بعض الأسس بشكل حدسي إذا كان لديك عقلية تقنية ومعرفة بجدول الضرب. ومع ذلك ، ستتطلب القيم الأكبر جدول طاقة. يمكن استخدامه حتى من قبل أولئك الذين لا يفهمون أي شيء على الإطلاق في الموضوعات الرياضية المعقدة. يحتوي العمود الأيسر على أرقام (القاعدة أ) ، والصف العلوي من الأرقام هو قيمة القوة ج ، التي يرتفع إليها الرقم أ. عند التقاطع في الخلايا ، يتم تحديد قيم الأرقام ، وهي الإجابة (أ ج = ب). لنأخذ ، على سبيل المثال ، الخلية الأولى التي تحتوي على الرقم 10 وتربيعها ، نحصل على القيمة 100 ، والتي يشار إليها عند تقاطع خليتينا. كل شيء بسيط للغاية وسهل حتى يفهمه حتى أكثر إنساني حقيقي!

المعادلات وعدم المساواة

اتضح أنه في ظل ظروف معينة ، يكون الأس هو اللوغاريتم. لذلك ، يمكن كتابة أي تعبيرات عددية رياضية كمعادلة لوغاريتمية. على سبيل المثال ، 3 4 = 81 يمكن كتابتها على أنها لوغاريتم 81 للأساس 3 ، وهو أربعة (log 3 81 = 4). بالنسبة للقوى السالبة ، القواعد هي نفسها: 2-5 = 1/32 نكتب كلوغاريتم ، نحصل على log 2 (1/32) = -5. أحد أكثر أقسام الرياضيات روعة هو موضوع "اللوغاريتمات". سننظر في أمثلة وحلول للمعادلات أقل قليلاً ، مباشرة بعد دراسة خصائصها. الآن دعونا نلقي نظرة على شكل المتباينات وكيفية تمييزها عن المعادلات.

يتم إعطاء تعبير بالصيغة التالية: log 2 (x-1)> 3 - إنها متباينة لوغاريتمية ، لأن القيمة غير المعروفة "x" تحت علامة اللوغاريتم. وأيضًا في التعبير تتم مقارنة كميتين: لوغاريتم الرقم المطلوب في الأساس الثاني أكبر من الرقم ثلاثة.

يتمثل الاختلاف الأكثر أهمية بين المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات في أن المعادلات ذات اللوغاريتمات (على سبيل المثال ، لوغاريتم 2 س = √9) تتضمن قيمة عددية محددة أو أكثر في الإجابة ، بينما عند حل المتباينة ، كلا النطاقين القيم المقبولة والنقاط التي تكسر هذه الوظيفة. نتيجة لذلك ، فإن الإجابة ليست مجموعة بسيطة من الأرقام الفردية ، كما هو الحال في إجابة المعادلة ، ولكنها سلسلة متصلة أو مجموعة من الأرقام.

النظريات الأساسية حول اللوغاريتمات

عند حل المهام البدائية لإيجاد قيم اللوغاريتم ، قد لا تكون خصائصه معروفة. ومع ذلك ، عندما يتعلق الأمر بالمعادلات اللوغاريتمية أو عدم المساواة ، فمن الضروري أولاً أن نفهم بوضوح وتطبيق جميع الخصائص الأساسية للوغاريتمات في الممارسة العملية. سنتعرف على أمثلة المعادلات لاحقًا ، دعنا أولاً نحلل كل خاصية بمزيد من التفصيل.

1. تبدو الهوية الأساسية كما يلي: a logaB = B. يتم تطبيقه فقط إذا كان a أكبر من 0 ، ولا يساوي واحدًا ، وكان B أكبر من صفر.
2. يمكن تمثيل لوغاريتم المنتج بالصيغة التالية: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. في هذه الحالة ، يكون المتطلب الأساسي: d، s 1 and s 2> 0؛ أ ≠ 1. يمكنك تقديم دليل على صيغة اللوغاريتمات هذه ، مع أمثلة وحل. دع السجل a s 1 = f 1 وسجل a s 2 = f 2 ، ثم f1 = s 1 ، a f2 = s 2. نحصل على s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1 + f2 (خصائص الدرجة ) ، وكذلك بالتعريف: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 ، الذي كان من المقرر إثباته.
3. يبدو لوغاريتم حاصل القسمة على النحو التالي: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. تأخذ النظرية في شكل صيغة الصيغة التالية: log a q b n = n / q log a b.

هذه الصيغة تسمى "خاصية درجة اللوغاريتم". إنها تشبه خصائص الدرجات العادية ، وهذا ليس مفاجئًا ، لأن كل الرياضيات تقوم على افتراضات منتظمة. دعونا نلقي نظرة على الدليل.

دع السجل أ ب \ u003d t ، اتضح أن t \ u003d ب. إذا رفعت كلا الجزأين إلى القوة m: a tn = b n ؛

ولكن بما أن tn = (a q) nt / q = b n ، وبالتالي سجل a q b n = (n * t) / t ، ثم سجل a q b n = n / q log a b. لقد تم إثبات النظرية.

أمثلة على المشاكل وعدم المساواة

أكثر أنواع مسائل اللوغاريتم شيوعًا هي أمثلة على المعادلات والمتباينات. تم العثور عليها في جميع الكتب المشكلة تقريبًا ، كما يتم تضمينها أيضًا في الجزء الإلزامي من امتحانات الرياضيات. للقبول في الجامعة أو النجاح امتحانات القبولفي الرياضيات ، تحتاج إلى معرفة كيفية حل هذه المشكلات بشكل صحيح.

لسوء الحظ ، لا توجد خطة أو مخطط واحد لحل وتحديد القيمة غير المعروفة للوغاريتم ، ومع ذلك ، يمكن تطبيق قواعد معينة على كل متباينة رياضية أو معادلة لوغاريتمية. أولًا ، يجب أن تعرف ما إذا كان التعبير يمكن تبسيطه أم اختزاله إلى نظرة عامة. بسّط طويلاً التعبيرات اللوغاريتميةيمكنك ، إذا كنت تستخدم خصائصهم بشكل صحيح. دعنا نتعرف عليهم قريبا.

عند حل المعادلات اللوغاريتمية ، من الضروري تحديد نوع اللوغاريتم الموجود أمامنا: مثال للتعبير قد يحتوي على لوغاريتم طبيعي أو لوغاريتم عشري.

فيما يلي أمثلة ln100 ، ln1026. يتلخص حلهم في حقيقة أنك تحتاج إلى تحديد الدرجة التي سيكون عندها الأساس 10 مساويًا لـ 100 و 1026 على التوالي. عن الحلول اللوغاريتمات الطبيعيةيجب على المرء تطبيق الهويات اللوغاريتمية أو خصائصها. دعنا نلقي نظرة على الحل بالأمثلة. مشاكل لوغاريتميةنوع مختلف.

كيفية استخدام صيغ اللوغاريتم: مع أمثلة وحلول

لذا ، دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام النظريات الرئيسية في اللوغاريتمات.

1. يمكن استخدام خاصية لوغاريتم المنتج في المهام التي يكون من الضروري توسيعها أهمية عظيمةالأرقام ب إلى عوامل أبسط. على سبيل المثال ، السجل 2 4 + السجل 2128 = السجل 2 (4 * 128) = السجل 2512. الإجابة هي 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - كما ترون ، باستخدام الخاصية الرابعة لدرجة اللوغاريتم ، تمكنا من حل تعبير معقد وغير قابل للحل للوهلة الأولى. من الضروري فقط تحليل الأساس ثم أخذ قيم الأس من علامة اللوغاريتم.

مهام من الامتحان

غالبًا ما توجد اللوغاريتمات في امتحانات القبول ، خاصةً الكثير من المشكلات اللوغاريتمية في اختبار الدولة الموحدة (امتحان رسمي لجميع خريجي المدارس). عادةً ما تكون هذه المهام موجودة ليس فقط في الجزء أ (أسهل جزء للاختبار من الاختبار) ، ولكن أيضًا في الجزء ج (المهام الأكثر صعوبة وضخامة). يتضمن الاختبار معرفة دقيقة وكاملة لموضوع "اللوغاريتمات الطبيعية".

الأمثلة وحلول المشاكل مأخوذة من المسؤول خيارات الاستخدام. دعونا نرى كيف يتم حل هذه المهام.

معطى السجل 2 (2x-1) = 4. الحل:
دعونا نعيد كتابة التعبير ، ونبسطه قليلاً log 2 (2x-1) = 2 2 ، من خلال تعريف اللوغاريتم نحصل على 2x-1 = 2 4 ، وبالتالي 2x = 17 ؛ س = 8.5.

• من الأفضل اختزال جميع اللوغاريتمات إلى نفس القاعدة بحيث لا يكون الحل مرهقًا ومربكًا.
• يشار إلى جميع التعبيرات الموجودة تحت علامة اللوغاريتم على أنها موجبة ، لذلك ، عند إخراج الأس الأس للتعبير ، الذي يقع تحت علامة اللوغاريتم وكقاعدة له ، يجب أن يكون التعبير المتبقي تحت اللوغاريتم موجبًا.