Формула за площта на равнобедрен трапец, използвайки неговите страни. Как да намерите площта на равнобедрен трапец

В математиката са известни няколко вида четириъгълници: квадрат, правоъгълник, ромб, успоредник. Сред тях е трапецът - вид изпъкнал четириъгълник, в който две страни са успоредни, а другите две не. Успоредните противоположни страни се наричат ​​основи, а другите две се наричат ​​странични страни на трапеца. Отсечката, която свързва средните точки на страните, се нарича средна линия. Има няколко вида трапец: равнобедрени, правоъгълни, извити. За всеки тип трапец има формули за намиране на площта.

Площ на трапец

За да намерите площта на трапец, трябва да знаете дължината на основите и височината му. Височината на трапеца е отсечка, перпендикулярна на основите. Нека горната основа е a, долната основа е b, а височината е h. След това можете да изчислите площта S, като използвате формулата:

S = ½ * (a+b) * h

тези. вземете половината от сумата на основите, умножена по височината.

Също така ще бъде възможно да се изчисли площта на трапеца, ако са известни височината и централната линия. Нека обозначим средната линия - m. Тогава

Нека решим една по-сложна задача: известни са дължините на четирите страни на трапеца - a, b, c, d. Тогава площта ще бъде намерена по формулата:

Ако са известни дължините на диагоналите и ъгълът между тях, тогава областта се търси, както следва:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

където d с индекси 1 и 2 са диагонали. В тази формула синусът на ъгъла е даден при изчислението.

Като се имат предвид известните дължини на основите a и b и два ъгъла при долната основа, площта се изчислява, както следва:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Площ на равнобедрен трапец

Равнобедреният трапец е частен случай на трапец. Разликата му е, че такъв трапец е изпъкнал четириъгълник с ос на симетрия, минаваща през средните точки на две противоположни страни. Страните му са равни.

Има няколко начина да намерите площта на равнобедрен трапец.

• През дължините на трите страни. В този случай дължините на страните ще съвпадат, следователно те се обозначават с една стойност - c, а a и b - дължините на основите:

• Ако са известни дължината на горната основа, страната и ъгълът при долната основа, площта се изчислява, както следва:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

където a е горната основа, c е страната.

• Ако вместо горната основа е известна дължината на долната - b, площта се изчислява по формулата:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Ако, когато са известни две основи и ъгълът при долната основа, площта се изчислява чрез тангенса на ъгъла:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• Площта се изчислява и чрез диагоналите и ъгъла между тях. В този случай диагоналите са равни по дължина, така че ние означаваме всеки с буквата d без индекси:

S = ½ * d2 * sin α

• Нека изчислим площта на трапеца, като знаем дължината на страната, централната линия и ъгъла при долната основа.

Нека страничната страна е c, средната линия е m, а ъгълът е a, тогава:

S = m * c * sin α

Понякога можете да впишете кръг в равностранен трапец, чийто радиус ще бъде r.

Известно е, че във всеки трапец може да се впише окръжност, ако сборът от дължините на основите е равен на сбора от дължините на неговите страни. Тогава площта може да се намери чрез радиуса на вписания кръг и ъгъла при долната основа:

S = 4r2 / sinα

Същото изчисление се прави, като се използва диаметърът D на вписания кръг (между другото, той съвпада с височината на трапеца):

Познавайки основата и ъгъла, площта на равнобедрен трапец се изчислява, както следва:

S = a * b / sin α

(тази и следващите формули са валидни само за трапеци с вписана окръжност).

Използвайки основите и радиуса на окръжността, площта се намира, както следва:

Ако са известни само основите, площта се изчислява по формулата:

Чрез основите и страничната линия площта на трапеца с вписания кръг и през основите и средната линия - m се изчислява, както следва:

Площ на правоъгълен трапец

Трапецът се нарича правоъгълен, ако едната му страна е перпендикулярна на основата. В този случай дължината на страната съвпада с височината на трапеца.

Правоъгълният трапец се състои от квадрат и триъгълник. След като намерите площта на всяка от фигурите, добавете резултатите и вземете цялата зонафигури.

Също така, общите формули за изчисляване на площта на трапец са подходящи за изчисляване на площта на правоъгълен трапец.

• Ако са известни дължините на основите и височината (или перпендикулярната странична страна), площта се изчислява по формулата:

S = (a + b) * h / 2

Страничната страна c може да действа като h (височина). Тогава формулата изглежда така:

S = (a + b) * c / 2

• Друг начин за изчисляване на площта е да умножите дължината на централната линия по височината:

или по дължината на страничната перпендикулярна страна:

• Следващият начин за изчисляване е чрез половината от произведението на диагоналите и синуса на ъгъла между тях:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Ако диагоналите са перпендикулярни, тогава формулата се опростява до:

S = ½ * d1 * d2

• Друг начин за изчисляване е чрез полупериметъра (сумата от дължините на две срещуположни страни) и радиуса на вписаната окръжност.

Тази формула е валидна за бази. Ако вземем дължините на страните, тогава една от тях ще бъде равна на два пъти радиуса. Формулата ще изглежда така:

S = (2r + c) * r

• Ако кръгът е вписан в трапец, площта се изчислява по същия начин:

където m е дължината на централната линия.

Площ на извит трапец

Извит трапец е плоска фигура, ограничен от графиката на неотрицателни непрекъсната функция y = f(x), определени върху отсечката , абсцисната ос и правите x = a, x = b. По същество две от страните му са успоредни една на друга (основите), третата страна е перпендикулярна на основите, а четвъртата е крива, съответстваща на графиката на функцията.

Площта на криволинейния трапец се търси чрез интеграла по формулата на Нютон-Лайбниц:

Така се изчисляват площите различни видоветрапец. Но в допълнение към свойствата на страните, трапецът има същите свойства на ъгли. Както всички съществуващи четириъгълници, сумата вътрешни ъглитрапец е равен на 360 градуса. А сумата от ъглите, съседни на страната, е 180 градуса.

За да се чувствате уверени и успешно да решавате задачи в уроците по геометрия, не е достатъчно да научите формулите. Те първо трябва да бъдат разбрани. Да се ​​страхуваш и още повече да мразиш формулите е непродуктивно. В тази статия достъпен езикще бъдат анализирани различни начиниНамиране на площта на трапец. За по-добро усвояване съответните правилаи теореми ще обърнем малко внимание на неговите свойства. Това ще ви помогне да разберете как работят правилата и в какви случаи трябва да се прилагат определени формули.

Определяне на трапец

Каква фигура е това като цяло? Трапецът е многоъгълник с четири ъгъла и две успоредни страни. Другите две страни на трапеца могат да бъдат наклонени под различни ъгли. Неговите успоредни страни се наричат ​​основи, а за неуспоредни страни се използва наименованието „страни” или „бедра”. Такива фигури са доста често срещани в ежедневието. Контурите на трапеца могат да се видят в силуетите на дрехи, предмети от интериора, мебели, съдове и много други. Трапец се случва различни видове: мащабен, равностранен и правоъгълен. Ще разгледаме техните видове и свойства по-подробно по-късно в статията.

Свойства на трапец

Нека се спрем накратко на свойствата на тази фигура. Сборът от ъглите, съседни на всяка страна, винаги е 180°. Трябва да се отбележи, че сумата от всички ъгли на трапеца е 360°. Трапецът има концепцията за средна линия. Ако свържете средните точки на страните със сегмент, това ще бъде средната линия. Означава се m. Средната линия има важни свойства: тя винаги е успоредна на основите (помним, че основите също са успоредни една на друга) и е равна на тяхната полусума:

Това определение трябва да се научи и разбере, защото то е ключът към решаването на много проблеми!

С трапец винаги можете да свалите височината до основата. Надморската височина е перпендикуляр, често обозначаван със символа h, който е изтеглен от всяка точка на една основа към друга основа или нейно продължение. Средната линия и височината ще ви помогнат да намерите площта на трапеца. Такива задачи са най-често срещаните в училищен курсгеометрия и редовно се появяват сред тестовите и изпитните работи.

Най-простите формули за площта на трапец

Нека да разгледаме двете най-популярни и прости формули, използвани за намиране на площта на трапец. Достатъчно е да умножите височината по половината от сумата на основите, за да намерите лесно това, което търсите:

S = h*(a + b)/2.

В тази формула a, b означават основите на трапеца, h - височината. За по-лесно възприемане в тази статия знаците за умножение са маркирани със символ (*) във формулите, въпреки че в официалните справочници знакът за умножение обикновено се пропуска.

Нека разгледаме един пример.

Дадено е: трапец с две основи равни на 10 и 14 см, височината е 7 см. Каква е площта на трапеца?

Нека разгледаме решението на този проблем. Използвайки тази формула, първо трябва да намерите полусумата на основите: (10+14)/2 = 12. Така че полусумата е равна на 12 см. Сега умножаваме полусумата по височината: 12*7 = 84. Това, което търсим, е намерено. Отговор: Площта на трапеца е 84 квадратни метра. см.

Втората добре позната формула гласи: площта на трапеца е равна на произведението на средната линия и височината на трапеца. Тоест всъщност следва от предишната концепция за средната линия: S=m*h.

Използване на диагонали за изчисления

Друг начин да намерите площта на трапец всъщност не е толкова сложен. Той е свързан с неговите диагонали. Използвайки тази формула, за да намерите площта, трябва да умножите полупродукта на нейните диагонали (d 1 d 2) по синуса на ъгъла между тях:

S = ½ d 1 d 2 sin а.

Нека разгледаме една задача, която показва приложението на този метод. Дадено е: трапец с дължина на диагоналите съответно 8 и 13 cm. Ъгълът a между диагоналите е 30°. Намерете площта на трапеца.

Решение. С помощта на горната формула е лесно да се изчисли какво е необходимо. Както знаете, sin 30° е 0,5. Следователно S = 8*13*0,5=52. Отговор: площта е 52 квадратни метра. см.

Намиране на площта на равнобедрен трапец

Трапецът може да бъде равнобедрен (равнобедрен). Страните му са еднакви, а ъглите при основите са равни, което е добре илюстрирано от фигурата. Равнобедреният трапец има същите свойства като обикновения плюс редица специални. Около равнобедрен трапец може да бъде описан кръг и в него може да бъде вписан кръг.

Какви методи има за изчисляване на площта на такава фигура? Методът по-долу ще изисква много изчисления. За да го използвате, трябва да знаете стойностите на синуса (sin) и косинуса (cos) на ъгъла в основата на трапеца. Техните изчисления изискват или таблици на Брадис, или инженерен калкулатор. Ето формулата:

S= ° С*грях а*(а - ° С*cos а),

Където с- странично бедро, а- ъгъл при долната основа.

Равностранен трапец има диагонали с еднаква дължина. Обратното също е вярно: ако трапецът има равни диагонали, тогава той е равнобедрен. Оттук и следната формула, която помага да се намери площта на трапец - полупродуктът на квадрата на диагоналите и синуса на ъгъла между тях: S = ½ d 2 sin а.

Намиране на площта на правоъгълен трапец

Известен е частен случай на правоъгълен трапец. Това е трапец, в който едната страна (бедрото) граничи с основите под прав ъгъл. Има свойствата на правилен трапец. Освен това тя има много интересна функция. Разликата в квадратите на диагоналите на такъв трапец е равна на разликата в квадратите на неговите основи. За него се използват всички описани по-горе методи за изчисляване на площта.

Използваме изобретателност

Има един трик, който може да ви помогне, ако забравите определени формули. Нека да разгледаме по-отблизо какво е трапец. Ако мислено го разделим на части, ще получим познати и разбираеми геометрични фигури: квадрат или правоъгълник и триъгълник (един или два). Ако височината и страните на трапеца са известни, можете да използвате формулите за площта на триъгълник и правоъгълник и след това да добавите всички получени стойности.

Нека илюстрираме това следния пример. Даден е правоъгълен трапец. Ъгъл C = 45°, ъгли A, D са 90°. Горната основа на трапеца е 20 см, височината е 16 см. Трябва да изчислите площта на фигурата.

Тази фигура очевидно се състои от правоъгълник (ако два ъгъла са равни на 90°) и триъгълник. Тъй като трапецът е правоъгълен, следователно височината му е равна на неговата страна, тоест 16 см. Имаме правоъгълник със страни съответно 20 и 16 см. Сега разгледайте триъгълник, чийто ъгъл е 45°. Знаем, че едната му страна е 16 см. Тъй като тази страна е и височината на трапеца (и знаем, че височината се спуска към основата под прав ъгъл), следователно вторият ъгъл на триъгълника е 90°. Следователно оставащият ъгъл на триъгълника е 45°. В резултат на това получаваме правоъгълник равнобедрен триъгълник, чиито две страни са еднакви. Това означава, че другата страна на триъгълника е равна на височината, тоест 16 см. Остава само да се изчисли площта на триъгълника и правоъгълника и да се съберат получените стойности.

Площта на правоъгълен триъгълник е равна на половината от произведението на краката му: S = (16*16)/2 = 128. Площта на правоъгълник е равна на произведението на неговата ширина и дължина: S = 20*16 = 320. Намерихме необходимото: площ на трапеца S = 128 + 320 = 448 кв. вижте. Можете лесно да се проверите отново, като използвате горните формули, отговорът ще бъде идентичен.

Използваме формулата Pick

И накрая, представяме друга оригинална формула, която помага да се намери площта на трапец. Нарича се формула на Pick. Удобно е да се използва, когато трапецът е начертан върху карирана хартия. Подобни проблеми често се срещат в материалите на GIA. Изглежда така:

S = M/2 + N - 1,

в тази формула М е броят на възлите, т.е. пресечни точки на линиите на фигурата с линиите на клетката на границите на трапеца (оранжеви точки на фигурата), N е броят на възлите във фигурата (сини точки). Най-удобно е да го използвате, когато намирате площта на неправилен многоъгълник. Въпреки това, колкото по-голям е арсеналът от използвани техники, толкова по-малко грешки и по-добри резултати.

Разбира се, предоставената информация не изчерпва видовете и свойствата на трапеца, както и методите за намиране на неговата площ. Тази статия предоставя преглед на най-важните му характеристики. Когато решавате геометрични задачи, е важно да действате постепенно, да започнете с лесни формули и задачи, последователно да консолидирате разбирането си и да преминете към друго ниво на сложност.

Събраните заедно най-често срещаните формули ще помогнат на учениците да се ориентират в различните начини за изчисляване на площта на трапец и по-добре да се подготвят за тестове и тестовепо тази тема.

Практиката на миналогодишния Единен държавен изпит и Държавен изпит показва, че проблемите с геометрията създават трудности за много ученици. Можете лесно да се справите с тях, ако запомните всички необходими формули и практикувате решаването на задачи.

В тази статия ще видите формули за намиране на площта на трапец, както и примери за задачи с решения. Може да срещнете същите в KIM на сертификационни изпитиили на олимпиадата. Затова се отнасяйте към тях внимателно.

Какво трябва да знаете за трапеца?

Като начало нека си припомним това трапецсе нарича четириъгълник, в който две противоположни страни, наричани още основи, са успоредни, а другите две не са.

В трапец височината (перпендикулярна на основата) също може да бъде намалена. Начертана е средната линия - това е права линия, която е успоредна на основите и равна на половината от техния сбор. Както и диагонали, които могат да се пресичат, образувайки остри и тъпи ъгли. Или, в някои случаи, под прав ъгъл. Освен това, ако трапецът е равнобедрен, в него може да се впише окръжност. И опишете кръг около него.

Формули за площ на трапец

Първо, нека разгледаме стандартните формули за намиране на площта на трапец. Ще разгледаме начините за изчисляване на площта на равнобедрени и криволинейни трапеци по-долу.

И така, представете си, че имате трапец с основи a и b, в който височината h е спусната до по-голямата основа. Изчисляването на площта на фигура в този случай е толкова лесно, колкото беленето на круши. Просто трябва да разделите сумата от дължините на основите на две и да умножите резултата по височината: S = 1/2(a + b)*h.

Нека вземем друг случай: да предположим, че в трапец, освен височината, има средна линия m. Знаем формулата за намиране на дължината на средната линия: m = 1/2(a + b). Следователно можем с право да опростим формулата за площта на трапец до следната форма: S = m* h. С други думи, за да намерите площта на трапец, трябва да умножите централната линия по височината.

Нека разгледаме друг вариант: трапецът съдържа диагонали d 1 и d 2, които не се пресичат под прав ъгъл α. За да изчислите площта на такъв трапец, трябва да разделите произведението на диагоналите на две и да умножите резултата по греха на ъгъла между тях: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Сега разгледайте формулата за намиране на площта на трапец, ако нищо не се знае за него, освен дължините на всичките му страни: a, b, c и d. Това е тромава и сложна формула, но ще е полезно да я запомните за всеки случай: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Между другото, горните примери са валидни и за случая, когато имате нужда от формулата за площта на правоъгълен трапец. Това е трапец, чиято страна граничи с основите под прав ъгъл.

Равнобедрен трапец

Трапец, чиито страни са равни, се нарича равнобедрен. Ще разгледаме няколко варианта за формулата за площта на равнобедрен трапец.

Първи вариант: за случая, когато окръжност с радиус r е вписана в равнобедрен трапец, а страната и по-голямата основа образуват остър ъгъл α. В трапец може да се впише окръжност, при условие че сборът от дължините на неговите основи е равен на сбора от дължините на страните.

Площта на равнобедрен трапец се изчислява по следния начин: умножете квадрата на радиуса на вписания кръг по четири и го разделете на sinα: S = 4r 2 /sinα. Друга формула за площ е специален случай за опцията, когато ъгълът между голямата основа и страната е 30 0: S = 8r2.

Втори вариант: този път вземаме равнобедрен трапец, в който допълнително са начертани диагоналите d 1 и d 2, както и височината h. Ако диагоналите на трапец са взаимно перпендикулярни, височината е половината от сбора на основите: h = 1/2(a + b). Знаейки това, лесно е да трансформирате формулата за площта на трапец, която вече ви е позната, в тази форма: S = h 2.

Формула за площта на извит трапец

Нека започнем, като разберем какво е извит трапец. Представете си координатна ос и графика на непрекъсната и неотрицателна функция f, която не променя знака в даден сегмент на оста x. Криволинеен трапец е образуван от графиката на функцията y = f(x) - отгоре, оста x е отдолу (отсечка), а отстрани - прави, прекарани между точки a и b и графиката на функцията.

Невъзможно е да се изчисли площта на такава нестандартна фигура, като се използват горните методи. Тук трябва да приложите математически анализ и да използвате интеграла. А именно: формулата на Нютон-Лайбниц - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). В тази формула F е първоизводната на нашата функция върху избрания сегмент. И площта на криволинейния трапец съответства на нарастването на антипроизводната на даден сегмент.

Примерни проблеми

За да направите всички тези формули по-лесни за разбиране в главата си, ето няколко примера за задачи за намиране на площта на трапец. Най-добре ще е първо да се опитате да решите задачите сами и едва след това да сравните получения отговор с готовото решение.

Задача #1:Даден е трапец. По-голямата му основа е 11 см, по-малката е 4 см. Трапецът има диагонали, единият с дължина 12 cm, вторият 9 cm.

Решение: Построете трапец AMRS. Прекарайте права РХ през върха P така, че да е успоредна на диагонала MC и да пресича правата AC в точка X. Ще получите триъгълник APХ.

Ще разгледаме две фигури, получени в резултат на тези манипулации: триъгълник APX и паралелограм CMRX.

Благодарение на успоредника научаваме, че PX = MC = 12 cm и CX = MR = 4 cm. Откъде можем да изчислим страната AX на триъгълника ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Можем също да докажем, че триъгълникът APX е правоъгълен (за да направите това, приложете Питагоровата теорема - AX 2 = AP 2 + PX 2). И изчислете неговата площ: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

След това ще трябва да докажете, че триъгълниците AMP и PCX са равни по площ. Основата ще бъде равенството на страните MR и CX (вече доказано по-горе). А също и височините, които спускаш от тези страни - те са равни на височината на AMRS трапеца.

Всичко това ще ви позволи да кажете, че S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Задача #2:Даден е трапецът KRMS. На страничните му страни има точки O и E, а OE и KS са успоредни. Известно е също, че площите на трапеца ORME и OKSE са в съотношение 1:5. RM = a и KS = b. Трябва да намерите OE.

Решение: Начертайте права, успоредна на RK през точка M, и означете точката на нейното пресичане с OE като T. A е точката на пресичане на правата, прекарана през точка E, успоредна на RK, с основата KS.

Нека въведем още едно означение - OE = x. А също и височината h 1 за триъгълника TME и височината h 2 за триъгълника AEC (можете независимо да докажете сходството на тези триъгълници).

Ще приемем, че b > a. Площите на трапеца ORME и OKSE са в съотношение 1:5, което ни дава право да съставим следното уравнение: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Нека трансформираме и получаваме: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Тъй като триъгълниците TME и AEC са подобни, имаме h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Нека комбинираме двата записа и да получим: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Така OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Заключение

Геометрията не е от най-лесните науки, но със сигурност можете да се справите с изпитните въпроси. Достатъчно е да проявите малко постоянство в подготовката. И, разбира се, запомнете всички необходими формули.

Опитахме се да съберем всички формули за изчисляване на площта на трапец на едно място, за да можете да ги използвате, когато се подготвяте за изпити и повтаряте материала.

Не забравяйте да кажете на вашите съученици и приятели за тази статия. в социалните мрежи. Позволявам добри оценкище има още за Единния държавен изпит и Държавния изпитен тест!

blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.

Площ на трапец. Поздравления! В тази публикация ще разгледаме посочената формула. Защо е точно такава и как да я разберем. Ако има разбиране, тогава не е нужно да го преподавате. Ако просто искате да разгледате тази формула и спешно, тогава можете веднага да превъртите страницата надолу))

Сега подробно и по ред.

Трапецът е четириъгълник, две страни на този четириъгълник са успоредни, другите две не са. Тези, които не са успоредни, са основите на трапеца. Другите две се наричат ​​страни.

Ако страните са равни, тогава трапецът се нарича равнобедрен. Ако една от страните е перпендикулярна на основите, тогава такъв трапец се нарича правоъгълен.

В класическата си форма трапецът се изобразява по следния начин - по-голямата основа е отдолу, съответно по-малката е отгоре. Но никой не забранява да я изобразява и обратното. Ето и скиците:

Следващата важна концепция.

Средната линия на трапец е сегмент, който свързва средните точки на страните. Средната линия е успоредна на основите на трапеца и е равна на тяхната полусума.

Сега нека се задълбочим. защо е така

Помислете за трапец с основи а и би със средната линия ли изпълнете някои допълнителни конструкции: начертайте прави линии през основите и перпендикуляри през краищата на средната линия, докато се пресекат с основите:

*Буквените обозначения за върхове и други точки не са включени умишлено, за да се избегнат ненужни обозначения.

Вижте, триъгълници 1 и 2 са равни според втория знак за равенство на триъгълници, триъгълници 3 и 4 са еднакви. От равенството на триъгълниците следва равенството на елементите, а именно краката (те са обозначени съответно в синьо и червено).

Сега внимание! Ако мислено „отрежем“ синия и червения сегмент от долната основа, тогава ще остане сегмент (това е страната на правоъгълника), равен на средната линия. След това, ако „залепим“ изрязаните сини и червени сегменти към горната основа на трапеца, тогава ще получим и сегмент (това също е страната на правоъгълника), равен на средната линия на трапеца.

Схванах го? Оказва се, че сборът от основите ще бъде равен на двете средни линии на трапеца:

Вижте друго обяснение

Нека направим следното - построим права линия, минаваща през долната основа на трапеца и права, която ще минава през точки A и B:

Получаваме триъгълници 1 и 2, те са равни по страната и съседните ъгли (вторият знак за равенство на триъгълниците). Това означава, че полученият сегмент (на скицата е посочен в синьо) е равен на горната основа на трапеца.

Сега разгледайте триъгълника:

*Средната линия на този трапец и средната линия на триъгълника съвпадат.

Известно е, че триъгълникът е равен на половината от успоредната му основа, т.е.

Добре, разбрахме го. Сега за площта на трапеца.

Формула за площ на трапец:

Те казват: площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и височина.

Тоест, оказва се, че е равно на произведението на централната линия и височината:

Вероятно вече сте забелязали, че това е очевидно. Геометрично това може да се изрази по следния начин: ако мислено отрежем триъгълници 2 и 4 от трапеца и ги поставим съответно на триъгълници 1 и 3:

Тогава получаваме правоъгълник по площ равна на площнашият трапец. Площта на този правоъгълник ще бъде равна на произведението на централната линия и височината, тоест можем да напишем:

Но въпросът тук не е в писането, разбира се, а в разбирането.

Изтеглете (разгледайте) материал на статията в *pdf формат

Това е всичко. Късмет!

С уважение, Александър.

И . Сега можем да започнем да разглеждаме въпроса как да намерим площта на трапец. Тази задачавъзниква много рядко в ежедневието, но понякога се оказва необходимо, например, да се намери площта на стая във формата на трапец, които все повече се използват в строителството модерни апартаменти, или в проекти за обновяване.

Трапецът е геометрична фигура, образувани от четири пресичащи се сегмента, два от които са успоредни един на друг и се наричат ​​основи на трапец. Другите два сегмента се наричат ​​страни на трапеца. Освен това по-късно ще ни е необходима друга дефиниция. Това е средната линия на трапеца, която е отсечка, свързваща средните точки на страните и височината на трапеца, която е равна на разстоянието между основите.
Подобно на триъгълниците, трапецът има специални видове под формата на равнобедрен (равностранен) трапец, в който дължините на страните са еднакви, и правоъгълен трапец, в който една от страните образува прав ъгъл с основите.

Трапеците имат някои интересни свойства:

1. Средната линия на трапеца е равна на половината от сбора на основите и е успоредна на тях.
   
2. Равнобедрените трапеци имат равни страни и ъглите, които образуват с основите.
   
3. Средите на диагоналите на трапец и пресечната точка на неговите диагонали са на една права линия.
   
4. Ако сборът от страните на трапеца е равен на сбора от основите, тогава в него може да се впише кръг
   
5. Ако сумата от ъглите, образувани от страните на трапец при която и да е от основите му, е 90, тогава дължината на сегмента, свързващ средите на основите, е равна на тяхната полуразлика.
   
6. Равнобедрен трапец може да се опише с окръжност. И обратно. Ако трапецът се вписва в кръг, тогава той е равнобедрен.
   
7. Сегментът, минаващ през средните точки на основите на равнобедрен трапец, ще бъде перпендикулярен на неговите основи и представлява оста на симетрия.
   

Как да намерите площта на трапец.

Площта на трапеца ще бъде равна на половината от сбора на неговите основи, умножени по неговата височина. Под формата на формула това се записва като израз:

където S е площта на трапеца, a, b е дължината на всяка от основите на трапеца, h е височината на трапеца.

Можете да разберете и запомните тази формула, както следва. Както следва от фигурата по-долу, използвайки централната линия, трапецът може да бъде преобразуван в правоъгълник, чиято дължина ще бъде равна на половината от сумата на основите.

Можете също така да разширите всеки трапец в повече прости фигури: правоъгълник и един или два триъгълника и ако ви е по-лесно, намерете площта на трапеца като сумата от площите на съставните му фигури.

Има още един проста формулада се изчисли неговата площ. Според него площта на трапеца е равна на произведението на средната му линия по височината на трапеца и се записва във формата: S = m*h, където S е площта, m е дължината на средна линия, h е височината на трапеца. Тази формулапо-подходящ за математически задачи, отколкото за ежедневни задачи, тъй като в реални условия няма да знаете дължината на централната линия без предварителни изчисления. И ще знаете само дължините на основите и страните.

В този случай площта на трапеца може да се намери по формулата:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

където S е площта, a, b са основите, c, d са страните на трапеца.

Има няколко други начина да намерите площта на трапец. Но те са толкова неудобни, колкото и последната формула, което означава, че няма смисъл да се спираме на тях. Затова ви препоръчваме да използвате първата формула от статията и ви пожелаваме винаги да получавате точни резултати.