Решаване на логаритмични уравнения въз основа на определението за логаритъм. Научете се да решавате прости логаритмични уравнения

Алгебра 11 клас

Тема: „Методи за решаване логаритмични уравнения »

Цели на урока:

образователен: изграждане на знания за по различни начинирешаване на логаритмични уравнения, способност за прилагането им във всяка конкретна ситуация и избор на произволен метод за решаване;

развитие: развитие на умения за наблюдение, сравняване, прилагане на знания в нова ситуация, идентифициране на модели, обобщаване; развиване на умения за взаимен контрол и самоконтрол;

образователен: насърчаване на отговорно отношение към учебната работа, внимателно възприемане на материала в урока и внимателно водене на бележки.

Тип урок : урок за въвеждане на нов материал.

„Изобретяването на логаритмите, макар и да намалява работата на астронома, удължава живота му.“
Френският математик и астроном P.S. Лаплас

По време на часовете

I. Поставяне на целта на урока

Изученото определение за логаритъм, свойствата на логаритмите и логаритмичната функция ще ни позволят да решаваме логаритмични уравнения. Всички логаритмични уравнения, независимо колко сложни са, се решават с помощта на единни алгоритми. Ще разгледаме тези алгоритми в днешния урок. Не са много от тях. Ако ги усвоите, тогава всяко уравнение с логаритми ще бъде изпълнимо за всеки от вас.

Запишете темата на урока в тетрадката си: „Методи за решаване на логаритмични уравнения“. Каня всички за съдействие.

II. Актуализиране на справочните знания

Нека се подготвим за изучаване на темата на урока. Решавате всяка задача и записвате отговора, не е нужно да пишете условието. Работете по двойки.

1) За какви стойности на x функцията има смисъл:

а)

б)

V)

д)

(Отговорите се проверяват за всеки слайд и грешките се сортират)

2) Съвпадат ли графиките на функциите?

а) y = x и

б)И

3) Препишете равенствата като логаритмични равенства:

4) Запишете числата като логаритми с основа 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Изчислете :

6) Опитайте се да възстановите или допълните липсващите елементи в тези равенства.

III. Въведение в новия материал

На екрана се показва следното изявление:

„Уравнението е златният ключ, който отваря всички математически сусами.“
Съвременният полски математик С. Ковал

Опитайте се да формулирате дефиницията на логаритмично уравнение. (Уравнение, съдържащо неизвестно под знака на логаритъма ).

Нека помислимнай-простото логаритмично уравнение: дневник А x = b (където a>0, a ≠ 1). защото логаритмична функциянараства (или намалява) върху множеството от положителни числа и приема всички реални стойности, тогава от теоремата за корена следва, че за всяко b това уравнение има, освен това, само едно решение, и то положително.

Запомнете дефиницията на логаритъм. (Логаритъмът на число x при основа a е показател за степента, на която трябва да се повдигне основата a, за да се получи числото x ). От дефиницията на логаритъм веднага следва, чеА V е такова решение.

Запишете заглавието:Методи за решаване на логаритмични уравнения

1. По дефиниция на логаритъм .

Така се решават най-простите уравнения от вида.

Нека помислим№ 514(a) ): Решете уравнението

Как предлагате да го разрешите? (По дефиниция на логаритъм )

Решение . , Следователно 2x – 4 = 4; х = 4.

Отговор: 4.

В тази задача 2x – 4 > 0, тъй като> 0, така че не могат да се появят външни корени иняма нужда да проверявате . В тази задача не е необходимо да се изписва условието 2x – 4 > 0.

2. Потенциране (преход от логаритъм на даден израз към самия израз).

Нека помислим№ 519(g): дневник 5 ( х 2 +8)- дневник 5 ( х+1)=3 дневник 5 2

Каква функция забелязахте?(Основите са еднакви и логаритмите на двата израза са равни) . Какво може да се направи?(Потенцира).

Трябва да се има предвид, че всяко решение се съдържа сред всички x, за които логаритмичните изрази са положителни.

Решение: ODZ:

х 2 +8>0 ненужно неравенство

дневник 5 ( х 2 +8) = дневник 5 2 3 + дневник 5 ( х+1)

дневник 5 ( х 2 +8)= дневник 5 (8 х+8)

Нека потенцираме първоначалното уравнение

х 2 +8= 8 х+8

получаваме уравнениетох 2 +8= 8 х+8

Нека го решим:х 2 -8 х=0

х=0, х=8

Отговор: 0; 8

Общо взетопреминаване към еквивалентна система :

Уравнението

(Системата съдържа излишно условие - едно от неравенствата не трябва да се разглежда).

Въпрос към класа : Кое от тези три решения ви хареса най-много? (Обсъждане на методите).

Имате право да решавате по какъвто и да е начин.

3. Въвеждане на нова променлива .

Нека помислим№ 520(g) . .

Какво забелязахте? (Това квадратно уравнениеспрямо log3x) Вашите предложения? (Въведете нова променлива)

Решение . ODZ: x > 0.

Позволявам, тогава уравнението ще приеме формата:. Дискриминант D > 0. Корени според теоремата на Виета:.

Да се ​​върнем към замяната:или.

След като решихме най-простите логаритмични уравнения, получаваме:

; .

Отговор : 27;

4. Логаритмирайте двете страни на уравнението.

Решете уравнението:.

Решение : ODZ: x>0, нека вземем логаритъма на двете страни на уравнението при основа 10:

. Нека приложим свойството на логаритъм от степен:

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

Нека logx = y, тогава (y + 3)y = 4

, (D > 0) корени съгласно теоремата на Vieta: y1 = -4 и y2 = 1.

Нека се върнем към замяната, получаваме: lgx = -4,; logx = 1,. . Това е следното: ако една от функциите y = f(x) увеличава, а другият y = g(x) намалява на интервала X, след това уравнението f(x)= g(x) има най-много един корен на интервала X .

Ако има корен, значи може да се познае. .

Отговор : 2

« Правилна употребаметоди могат да бъдат научени
само като ги прилагаме към различни примери.“
Датският историк на математиката G. G. Zeiten

аз V. Домашна работа

С. 39 разгледайте пример 3, решете № 514(b), № 529(b), № 520(b), № 523(b)

V. Обобщаване на урока

Какви методи за решаване на логаритмични уравнения разгледахме в клас?

В следващите уроци ще разгледаме повече сложни уравнения. За решаването им ще бъдат полезни изучените методи.

Последен показан слайд:

„Какво е повече от всичко на света?
пространство.
Кое е най-мъдрото нещо?
време.
Коя е най-добрата част?
Постигни това, което искаш."
Талес

Пожелавам на всеки да постигне това, което иска. Благодарим ви за съдействието и разбирането.

Логаритмични изрази, решаване на примери. В тази статия ще разгледаме проблеми, свързани с решаването на логаритми. Задачите поставят въпроса за намиране на значението на израз. Трябва да се отбележи, че понятието логаритъм се използва в много задачи и разбирането на значението му е изключително важно. Що се отнася до Единния държавен изпит, логаритъмът се използва при решаване на уравнения, в приложни задачи, а също и в задачи, свързани с изучаването на функции.

Нека дадем примери, за да разберем самото значение на логаритъма:

Основна логаритмична идентичност:

Свойства на логаритмите, които винаги трябва да се запомнят:

*Логаритъмът на произведението е равен на сумата от логаритмите на факторите.

* * *

*Логаритъмът на частното (дроб) е равен на разликата между логаритмите на факторите.

* * *

*Логаритъмът на степенна степен е равен на произведението на степенната степен и логаритъма на нейната основа.

* * *

*Преминаване към нова основа

* * *

Още имоти:

* * *

Изчисляването на логаритми е тясно свързано с използването на свойствата на показателите.

Нека изброим някои от тях:

Същността от този имотсе крие във факта, че при прехвърляне на числителя към знаменателя и обратно, знакът на експонента се променя на противоположния. Например:

Следствие от това свойство:

* * *

При повишаване на степен на степен основата остава същата, но показателите се умножават.

* * *

Както видяхте, самата концепция за логаритъм е проста. Основното е това, което е необходимо добра практика, което дава определено умение. Разбира се, изисква се познаване на формулите. Ако умението за преобразуване на елементарни логаритми не е развито, тогава при решаване на прости задачи лесно можете да направите грешка.

Практикувайте, решавайте първо най-простите примери от курса по математика, след това преминете към по-сложните. В бъдеще определено ще покажа как се решават "грозни" логаритми; те няма да се появяват на Единния държавен изпит, но представляват интерес, не ги пропускайте!

Това е всичко! Късмет!

С уважение, Александър Крутицких

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.

Примери:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Как се решават логаритмични уравнения:

Когато решавате логаритмично уравнение, трябва да се стремите да го трансформирате във формата \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\ и след това да направите преход към \(f(x )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Пример:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Много важно!Този преход може да се извърши само ако:

Написахте за първоначалното уравнение, а накрая ще проверите дали намерените влизат в ОДЗ. Ако това не бъде направено, може да се появят допълнителни корени, което означава грешно решение.

Числото (или изразът) отляво и отдясно е едно и също;

Логаритмите отляво и отдясно са „чисти“, тоест не трябва да има умножения, деления и т.н. – само единични логаритми от двете страни на знака за равенство.

Например:

Обърнете внимание, че уравнения 3 и 4 могат лесно да бъдат решени чрез прилагане на необходимите свойства на логаритмите.

Пример . Решете уравнението \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Решение :

Отговор : \(5\)

Пример : Решете уравнението \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Решение :

Отговор : \(4\); \(2\).

Както знаете, когато се умножават изрази със степени, техните показатели винаги се събират (a b *a c = a b+c). Този математически закон е изведен от Архимед, а по-късно, през 8-ми век, математикът Вирасен създава таблица с цели показатели. Именно те послужиха за по-нататъшното откриване на логаритми. Примери за използване на тази функция могат да бъдат намерени почти навсякъде, където трябва да опростите тромавото умножение чрез просто събиране. Ако прекарате 10 минути в четене на тази статия, ще ви обясним какво представляват логаритмите и как да работите с тях. На прост и достъпен език.

Дефиниция в математиката

Логаритъмът е израз на следната форма: log a b=c, т.е. логаритъмът на всяко неотрицателно число (т.е. всяко положително) „b“ спрямо основата му „a“ се счита за степен „c“ ”, до което е необходимо да се повдигне основата „a”, за да се получи в крайна сметка стойността „b”. Нека анализираме логаритъма с примери, да кажем, че има израз log 2 8. Как да намерим отговора? Много е просто, трябва да намерите такава степен, че от 2 до необходимата степен да получите 8. След като направим някои изчисления наум, получаваме числото 3! И това е вярно, защото 2 на степен 3 дава отговора като 8.

Видове логаритми

За много ученици и студенти тази тема изглежда сложна и неразбираема, но всъщност логаритмите не са толкова страшни, основното е да разберете общото им значение и да запомните техните свойства и някои правила. Има три отделни типа логаритмични изрази:

1. Натурален логаритъм ln a, където основата е числото на Ойлер (e = 2,7).
2. Десетично a, където основата е 10.
3. Логаритъм на произволно число b при основа a>1.

Всяка от тях се решава по стандартен начин, включващ опростяване, редукция и последваща редукция до един логаритъм с помощта на логаритмични теореми. За да получите правилните стойности на логаритмите, трябва да запомните техните свойства и последователността от действия, когато ги решавате.

Правила и някои ограничения

В математиката има няколко правила-ограничения, които се приемат като аксиома, тоест не подлежат на обсъждане и са истината. Например, невъзможно е да се разделят числа на нула и също така е невъзможно да се извлече четен корен от отрицателни числа. Логаритмите също имат свои собствени правила, следвайки които лесно можете да се научите да работите дори с дълги и обемни логаритмични изрази:

• Основата „а“ винаги трябва да е по-голяма от нула и да не е равна на 1, в противен случай изразът ще загуби значението си, тъй като „1“ и „0“ във всяка степен винаги са равни на техните стойности;
• ако a > 0, тогава a b > 0, се оказва, че „c” също трябва да е по-голямо от нула.

Как се решават логаритми?

Например, дадена е задачата да намерите отговора на уравнението 10 x = 100. Това е много лесно, трябва да изберете степен, като увеличите числото десет, до което получаваме 100. Това, разбира се, е 10 2 = 100.

Сега нека представим този израз в логаритмична форма. Получаваме log 10 100 = 2. При решаването на логаритми всички действия практически се събират, за да се намери степента, на която е необходимо да се въведе основата на логаритъма, за да се получи дадено число.

За да определите точно стойността на неизвестна степен, трябва да се научите как да работите с таблица с градуси. Изглежда така:

Както можете да видите, някои показатели могат да бъдат познати интуитивно, ако имате технически ум и познаване на таблицата за умножение. Въпреки това, за по-големи стойности ще ви е необходима таблица за мощност. Може да се използва дори от тези, които не разбират нищо от сложни математически теми. Лявата колона съдържа числа (основа a), горният ред от числа е стойността на степен c, на която е повдигнато числото a. В пресечната точка клетките съдържат числовите стойности, които са отговорът (a c =b). Да вземем, например, първата клетка с числото 10 и да я поставим на квадрат, получаваме стойността 100, която е посочена в пресечната точка на нашите две клетки. Всичко е толкова просто и лесно, че и най-истинският хуманист ще разбере!

Уравнения и неравенства

Оказва се, че при определени условия показателят е логаритъм. Следователно всички математически числови изрази могат да бъдат записани като логаритмично равенство. Например, 3 4 =81 може да бъде записано като логаритъм с основа 3 от 81, равен на четири (log 3 81 = 4). За отрицателните степени правилата са същите: 2 -5 = 1/32, записваме го като логаритъм, получаваме log 2 (1/32) = -5. Един от най-завладяващите раздели на математиката е темата "логаритми". Ще разгледаме примери и решения на уравнения по-долу, веднага след изучаването на техните свойства. Сега нека да разгледаме как изглеждат неравенствата и как да ги различим от уравненията.

Даден е следният израз: log 2 (x-1) > 3 - това е логаритмично неравенство, тъй като неизвестната стойност “x” е под логаритмичния знак. И също така в израза се сравняват две количества: логаритъма на желаното число при основа две е по-голям от числото три.

Най-важната разлика между логаритмичните уравнения и неравенствата е, че уравненията с логаритми (пример - логаритъм 2 x = √9) предполагат една или повече конкретни числени стойности в отговора, докато при решаване на неравенства те се определят като област приемливи стойностии точките на прекъсване на тази функция. Вследствие на това отговорът не е прост набор от отделни числа, както в отговора на уравнение, а непрекъсната серия или набор от числа.

Основни теореми за логаритмите

При решаване на примитивни задачи за намиране на стойностите на логаритъма, неговите свойства може да не са известни. Въпреки това, когато става въпрос за логаритмични уравнения или неравенства, на първо място е необходимо ясно да се разберат и приложат на практика всички основни свойства на логаритмите. По-късно ще разгледаме примери за уравнения; нека първо разгледаме всяко свойство по-подробно.

1. Основната идентичност изглежда така: a logaB =B. Прилага се само когато a е по-голямо от 0, не е равно на единица, и B е по-голямо от нула.
2. Логаритъмът на продукта може да бъде представен в следната формула: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. В този случай задължителното условие е: d, s 1 и s 2 > 0; a≠1. Можете да дадете доказателство за тази логаритмична формула с примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2, тогава a f1 = s 1, a f2 = s 2. Получаваме, че s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства на градуса ), и след това по дефиниция: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, което трябваше да бъде доказано.
3. Логаритъмът на частното изглежда така: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Теоремата под формата на формула приема следния вид: log a q b n = n/q log a b.

Тази формула се нарича „свойство на степента на логаритъм“. Тя прилича на свойствата на обикновените степени и не е изненадващо, защото цялата математика се основава на естествени постулати. Нека да разгледаме доказателството.

Нека log a b = t, оказва се, че a t = b. Ако повдигнем двете части на степен m: a tn = b n ;

но тъй като a tn = (a q) nt/q = b n, следователно log a q b n = (n*t)/t, тогава log a q b n = n/q log a b. Теоремата е доказана.

Примери за задачи и неравенства

Най-често срещаните видове задачи за логаритми са примери за уравнения и неравенства. Има ги в почти всички задачници, а също така са задължителна част от изпитите по математика. За прием в университет или преминаване приемни изпитив математиката трябва да знаете как да решавате правилно такива задачи.

За съжаление, няма единен план или схема за решаване и определяне на неизвестната стойност на логаритъма, но определени правила могат да бъдат приложени към всяко математическо неравенство или логаритмично уравнение. На първо място, трябва да разберете дали изразът може да бъде опростен или да доведе до общ външен вид. Опростете дългите логаритмични изразивъзможно, ако използвате правилно свойствата им. Нека бързо да ги опознаем.

Когато решаваме логаритмични уравнения, трябва да определим какъв тип логаритъм имаме: примерен израз може да съдържа натурален логаритъм или десетичен.

Ето примери ln100, ln1026. Тяхното решение се свежда до факта, че те трябва да определят степента, на която основата 10 ще бъде равна съответно на 100 и 1026. За решения естествени логаритмитрябва да приложите логаритмични идентичности или техните свойства. Нека разгледаме решението с примери логаритмични задачиразлични видове.

Как да използваме логаритмични формули: с примери и решения

И така, нека да разгледаме примери за използване на основните теореми за логаритми.

1. Свойството логаритъм на произведение може да се използва в задачи, където е необходимо разширяване голямо значениечисла b на по-прости множители. Например log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Отговорът е 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - както виждате, използвайки четвъртото свойство на степента на логаритъм, успяхме да решим един на пръв поглед сложен и неразрешим израз. Просто трябва да факторизирате основата и след това да извадите стойностите на степента от знака на логаритъма.

Задачи от Единния държавен изпит

Логаритмите често се срещат в приемните изпити, особено много логаритмични задачи в Единния държавен изпит (държавен изпит за всички завършили училище). Обикновено тези задачи присъстват не само в част А (най-лесната тестова част от изпита), но и в част В (най-сложните и обемни задачи). Изпитът изисква точни и завършени познания по темата “Натурални логаритми”.

Примерите и решенията на проблемите са взети от официални Опции за единен държавен изпит. Да видим как се решават такива задачи.

Даден е log 2 (2x-1) = 4. Решение:
нека пренапишем израза, като го опростим малко log 2 (2x-1) = 2 2, по дефиницията на логаритъма получаваме, че 2x-1 = 2 4, следователно 2x = 17; х = 8,5.

• Най-добре е да намалите всички логаритми до една и съща основа, така че решението да не е тромаво и объркващо.
• Всички изрази под знака за логаритъм са посочени като положителни, следователно, когато показателят на израз, който е под знака за логаритъм и като негова основа е изваден като множител, изразът, който остава под логаритъма, трябва да бъде положителен.

Подготовката за финален контрол по математика включва важен раздел- „Логаритми“. Задачите от тази тема задължително се съдържат в Единния държавен изпит. Опитът от минали години показва, че логаритмичните уравнения създават трудности за много ученици. Следователно учениците с различни нива на обучение трябва да разберат как да намерят правилния отговор и бързо да се справят с тях.

Преминете успешно сертификационния тест с помощта на образователния портал Школково!

Когато се подготвят за единния държавен изпит, зрелостниците се нуждаят от надежден източник, който предоставя най-пълната и точна информация за успешно решение тестови проблеми. Учебникът обаче не винаги е под ръка, а търсенето на необходимите правила и формули в интернет често отнема време.

Образователният портал на Школково ви позволява да се подготвите за Единния държавен изпит навсякъде и по всяко време. Нашият уебсайт предлага най-удобния подход за повтаряне и усвояване на голямо количество информация за логаритми, както и с едно и няколко неизвестни. Започнете с лесни уравнения. Ако се справите с тях без затруднения, преминете към по-сложни. Ако имате проблеми с решаването на определено неравенство, можете да го добавите към любимите си, за да можете да се върнете към него по-късно.

намирам необходимите формулиЗа да завършите задачата, можете да повторите специални случаи и методи за изчисляване на корена на стандартно логаритмично уравнение, като разгледате раздела „Теоретична помощ“. Учителите в Школково събраха, систематизираха и представиха всички материали, необходими за успешното преминаване в най-простата и разбираема форма.

За да се справите лесно със задачи с всякаква сложност, на нашия портал можете да се запознаете с решението на някои стандартни логаритмични уравнения. За да направите това, отидете в секцията „Каталози“. Ние представяме голям бройпримери, включително уравнения на профилното ниво на Единния държавен изпит по математика.

Ученици от училища в цяла Русия могат да използват нашия портал. За да започнете занятия, просто се регистрирайте в системата и започнете да решавате уравнения. За да консолидирате резултатите, ви съветваме да се връщате ежедневно на уебсайта на Школково.