كلية الرياضيات الصغيرة. نظام الأرقام الموضعية

هناك طرق عديدة لتمثيل الأرقام. وفي كل الأحوال، يتم تمثيل الرقم برمز أو مجموعة رموز (كلمة) من بعض الحروف الأبجدية. تسمى هذه الرموز بالأرقام.

أنظمة الأرقام

تُستخدم أنظمة الأرقام غير الموضعية والموضعية لتمثيل الأرقام.

أنظمة الأعداد غير الموضعية

بمجرد أن بدأ الناس في العد، بدأوا في الحاجة إلى كتابة الأرقام. الاكتشافات الأثرية في المواقع الناس البدائيونتشير إلى أنه تم عرض عدد الكائنات في البداية بواسطة عدد متساوٍ من نوع ما من الرموز (العلامات): الشقوق والشرطات والنقاط. وفي وقت لاحق، لتسهيل العد، بدأ تجميع هذه الرموز في مجموعات من ثلاثة أو خمسة. ويسمى هذا النظام لكتابة الأرقام وحدة (أحادية)حيث أن أي رقم فيه يتكون من تكرار إشارة واحدة ترمز إلى واحدة. لا تزال أصداء نظام رقم الوحدة موجودة حتى اليوم. لذلك، لمعرفة الدورة التي يدرسها كاديت المدرسة العسكرية، تحتاج إلى حساب عدد الخطوط المخيطة على جعبته. دون أن يدركوا ذلك، يستخدم الأطفال نظام رقم الوحدة، ويظهر أعمارهم على أصابعهم، ويتم استخدام أعواد العد لتعليم طلاب الصف الأول كيفية العد. دعونا نفكر أنظمة مختلفةالحساب.

نظام الوحدات ليس الطريقة الأكثر ملاءمة لكتابة الأرقام. اكتبها بهذه الطريقة كميات كبيرةإنه أمر ممل، والملاحظات نفسها طويلة جدًا. مع مرور الوقت، ظهرت أنظمة أرقام أخرى أكثر ملاءمة.

نظام الأعداد العشرية المصرية القديمة غير الموضعية. في حوالي الألفية الثالثة قبل الميلاد، توصل المصريون القدماء إلى نظامهم العددي الخاص، والذي كانت فيه الأرقام الرئيسية 1، 10، 100، إلخ. تم استخدام أيقونات خاصة - الهيروغليفية. تم تكوين جميع الأرقام الأخرى من هذه الأرقام الرئيسية باستخدام عملية الجمع. نظام الأرقام في مصر القديمة هو نظام عشري، ولكنه غير موضعي. في أنظمة الأرقام غير الموضعية، لا يعتمد المعادل الكمي لكل رقم على موضعه (مكانه، موضعه) في سجل الأرقام. على سبيل المثال، لتصوير 3252، تم رسم ثلاث زهور لوتس (ثلاثة آلاف)، وسعفتي نخيل ملفوفتين (مائتين)، وخمسة أقواس (خمس عشرات)، وعمودين (وحدتين). لم يعتمد حجم الرقم على الترتيب الذي توجد به العلامات المكونة له: يمكن كتابتها من الأعلى إلى الأسفل، أو من اليمين إلى اليسار، أو تتخللها.

نظام الأرقام الرومانية. مثال على النظام غير الموضعي الذي بقي حتى يومنا هذا هو نظام الأرقام، الذي تم استخدامه منذ أكثر من ألفين ونصف عام في روما القديمة. اعتمد نظام الأرقام الروماني على العلامات I (إصبع واحد) للرقم 1، V (كف مفتوح) للرقم 5، X (كفين مطويتين) للرقم 10، وتم استخدام الأحرف الأولى من الأرقام المقابلة للإشارة إلى الأعداد 100 و500 و1000 الكلمات اللاتينية(سنتوم – مائة، ديميل – نصف ألف، ميل – ألف). لكتابة رقم، قام الرومان بتحليله إلى مجموع الآلاف، ونصف الآلاف، والمئات، والخمسين، والعشرات، والكعوب، والوحدات. على سبيل المثال، يتم تمثيل الرقم العشري 28 على النحو التالي:

الثامن والعشرون=10+10+5+1+1+1 (عشرتان، كعبان، ثلاثة آحاد).

لتسجيل الأعداد المتوسطة، لم يستخدم الرومان الجمع فحسب، بل استخدموا الطرح أيضًا. في هذه الحالة تم استخدامه القاعدة التالية: كل ​​علامة صغيرة توضع على يمين علامة أكبر تضاف إلى قيمتها، وكل علامة صغيرة توضع على يسار علامة أكبر تنقص منها. على سبيل المثال، IX يرمز إلى 9، وXI يرمز إلى 11.

يحتوي الرقم العشري 99 على التمثيل التالي:

XCIХ = –10+100–1+10.

تم استخدام الأرقام الرومانية لفترة طويلة جدًا. حتى قبل 200 عام، في أوراق العمل، كان يجب الإشارة إلى الأرقام بالأرقام الرومانية (كان يُعتقد أن الأرقام العادية الترقيم العربيمن السهل التزييف). يُستخدم نظام الأرقام الروماني اليوم بشكل أساسي للتسمية تواريخ مهمةوالمجلدات والأقسام والفصول في الكتب.

أنظمة الأرقام الأبجدية. كانت الأنظمة الأبجدية عبارة عن أنظمة أرقام غير موضعية أكثر تقدمًا. وشملت أنظمة الأرقام هذه اليونانية والسلافية والفينيقية وغيرها. فيها، تم تحديد الأرقام من 1 إلى 9، والأعداد الصحيحة للعشرات (من 10 إلى 90) والأعداد الصحيحة للمئات (من 100 إلى 900) بأحرف الأبجدية. في نظام الأرقام الأبجدية اليونان القديمةتم تحديد الأرقام 1، 2، ...، 9 بواسطة الأحرف التسعة الأولى من الأبجدية اليونانية، وما إلى ذلك. تم استخدام الأحرف التسعة التالية للدلالة على الأرقام 10، 20، ...، 90، واستخدمت الأحرف التسعة الأخيرة للدلالة على الأرقام 100، 200، ...، 900.

بين الشعوب السلافية، تم تحديد القيم العددية للحروف بالترتيب الأبجدية السلافية، والتي استخدمت أولاً الأبجدية الجلاجوليتية ثم الأبجدية السيريلية.

في روسيا، تم الحفاظ على الترقيم السلافي حتى نهاية القرن السابع عشر. في عهد بطرس الأول، ساد ما يسمى بالترقيم العربي، والذي مازلنا نستخدمه حتى يومنا هذا. تم الحفاظ على الترقيم السلافي فقط في الكتب الليتورجية.

أنظمة الأرقام غير الموضعية لها عدد من العيوب الهامة:

• هناك حاجة مستمرة لتقديم شخصيات جديدة للتسجيل أعداد كبيرة.

• من المستحيل تمثيل الأرقام الكسرية والسالبة.

• من الصعب إجراء العمليات الحسابية لعدم وجود خوارزميات لإجرائها.

أنظمة الأرقام الموضعية

في أنظمة الأرقام الموضعية، يعتمد المكافئ الكمي لكل رقم على موضعه (موضعه) في كود (سجل) الرقم. لقد اعتدنا في الوقت الحاضر على استخدام النظام الموضعي العشري - حيث تتم كتابة الأرقام باستخدام 10 أرقام. يشير الرقم الموجود في أقصى اليمين إلى الوحدات، والرقم الموجود على اليسار يشير إلى العشرات، وحتى إلى اليسار يشير إلى المئات، وما إلى ذلك.

على سبيل المثال: 1) النظام الستيني (بابل القديمة) – أول نظام أرقام موضعية. حتى الآن، عند قياس الوقت، يتم استخدام قاعدة 60 (1 دقيقة = 60 ثانية، 1 ساعة = 60 دقيقة)؛ 2) نظام الأرقام الاثني عشري (الرقم 12 - "دزينة" - كان يستخدم على نطاق واسع في القرن التاسع عشر: هناك عشرين ساعة في اليوم). العد ليس بالأصابع، بل بالمفاصل. كل إصبع، باستثناء الإبهام، لديه 3 مفاصل - 12 في المجموع؛ 3) أنظمة الأرقام الموضعية الأكثر شيوعًا حاليًا هي النظام العشري والثنائي والثماني والسداسي العشري (يستخدم على نطاق واسع في البرمجة ذات المستوى المنخفض وبشكل عام في وثائق الكمبيوتر، نظرًا لأن الحد الأدنى لوحدة الذاكرة في أجهزة الكمبيوتر الحديثة هو بايت 8 بت، فإن القيم والتي يتم كتابتها بسهولة برقمين سداسي عشري).

في أي نظام موضعي، يمكن تمثيل الرقم على أنه متعدد الحدود.

دعونا نوضح كيفية تمثيل الرقم العشري باعتباره متعدد الحدود:

أنواع أنظمة الأعداد

أهم ما يجب أن تعرفه عن نظام الأرقام هو نوعه: مضاف أو مضاعف. في النوع الأول، كل رقم له معنى خاص به، ولقراءة الرقم تحتاج إلى جمع كافة قيم الأرقام المستخدمة:

الخامس والثلاثون = 10+10+10+5 = 35؛ CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219؛

في النوع الثاني، يمكن أن يكون لكل رقم معان مختلفةحسب موقعه في الرقم:

(الحروف الهيروغليفية بالترتيب: 2، 1000، 4، 100، 2، 10، 5)

هنا يتم استخدام الحرف الهيروغليفي "2" مرتين، وفي كل حالة أخذ معنيين مختلفين "2000" و"20".

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

بالنسبة للنظام الإضافي ("الإضافي")، تحتاج إلى معرفة جميع الأرقام والرموز مع معانيها (هناك ما يصل إلى 4-5 عشرات منها)، وترتيب التسجيل. على سبيل المثال، في التدوين اللاتيني، إذا تم كتابة رقم أصغر قبل الرقم الأكبر، فسيتم إجراء الطرح، وإذا تم بعده، فسيتم إجراء الجمع (IV = (5–1) = 4؛ VI = (5+1) = 6) .

بالنسبة للنظام الضربي، تحتاج إلى معرفة صورة الأرقام ومعناها، وكذلك قاعدة نظام الأرقام. من السهل جدًا تحديد القاعدة، ما عليك سوى إعادة حساب الكمية شخصيات مهمةفي النظام. بكل بساطة، هذا هو الرقم الذي يبدأ منه الرقم الثاني من الرقم. على سبيل المثال، نستخدم الأرقام 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. هناك 10 منها بالضبط، لذا فإن أساس نظام الأرقام لدينا هو 10 أيضًا، ونظام الأرقام هو يسمى "العشري". يستخدم المثال أعلاه الأرقام 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9 (لا يتم احتساب الأرقام المساعدة 10، 100، 1000، 10000، وما إلى ذلك). هناك أيضًا 10 أرقام رئيسية هنا، ونظام الأرقام عشري.

كما يمكنك التخمين، بقدر ما يوجد من أرقام، يمكن أن يكون هناك العديد من قواعد نظام الأرقام. ولكن يتم استخدام القواعد الأكثر ملاءمة لأنظمة الأرقام فقط. لماذا تعتقد أن قاعدة الأكثر استخداما النظام البشريرقم 10؟ نعم، على وجه التحديد لأن لدينا 10 أصابع في أيدينا. "لكن هناك خمسة أصابع فقط في يد واحدة"، سيقول البعض، وسيكونون على حق. يعرف تاريخ البشرية أمثلة على أنظمة الأعداد الخماسية. "ومع الساقين عشرين أصابع،" سيقول آخرون، وسوف يكونون أيضا على حق تماما. هذا هو بالضبط ما يعتقده المايا. ويمكن رؤية هذا حتى في أعدادهم.

مفهوم "العشرات" مثير للاهتمام للغاية. يعلم الجميع أن هذا هو 12، لكن قليل من الناس يعرفون من أين جاء هذا الرقم. انظر إلى يديك، أو بالأحرى، يد واحدة. كم عدد السلاميات الموجودة في جميع أصابع اليد الواحدة، دون احتساب الإبهام؟ هذا صحيح، اثني عشر. أ إبهامتهدف إلى تحديد الكتائب المحسوبة.

ومن ناحية أخرى، إذا حددنا عدد العشرات الكاملة بأصابعنا، فسنحصل على النظام البابلي الستيني المعروف.

تم حساب الحضارات المختلفة بشكل مختلف، ولكن حتى الآن يمكنك أن تجد في اللغة، في أسماء وصور الأرقام، بقايا أنظمة أرقام مختلفة تمامًا كانت تستخدم من قبل هؤلاء الأشخاص.

لذلك كان لدى الفرنسيين نظام أرقام ذو أساس 20، حيث أن الرقم 80 باللغة الفرنسية يبدو مثل "أربعة في عشرين".

استخدم الرومان، أو أسلافهم، ذات مرة النظام الخماسي، حيث أن V ليس أكثر من صورة كف مع إبهام ممتد، وX هو اثنتين من نفس اليدين.

أثناء دراسة الترميزات، أدركت أنني لم أفهم أنظمة الأرقام جيدًا بما فيه الكفاية. ومع ذلك، غالبا ما استخدمت أنظمة 2، 8، 10، 16، تحويل واحد إلى آخر، ولكن كل شيء تم "تلقائيا". بعد أن قرأت العديد من المنشورات، فوجئت بعدم وجود كتاب واحد مكتوب بلغة بسيطة، مقالات عن هذه المواد الأساسية. ولهذا السبب قررت أن أكتب كتابي الخاص، والذي حاولت فيه تقديم أساسيات أنظمة الأعداد بطريقة يسهل الوصول إليها ومنظمة.

مقدمة

الرموزهي وسيلة لتسجيل (تمثيل) الأرقام.

ماذا يعني هذا؟ على سبيل المثال، ترى عدة أشجار أمامك. مهمتك هي لحسابهم. للقيام بذلك، يمكنك ثني أصابعك، أو عمل شقوق على حجر (شجرة واحدة - إصبع واحد/شق واحد)، أو مطابقة 10 أشجار بجسم ما، على سبيل المثال، حجر، وعينة واحدة بعصا، ووضعها على الأرض كما تحسب. في الحالة الأولى، يتم تمثيل الرقم كسلسلة من الأصابع أو الشقوق المنحنية، في الثانية - تكوين الحجارة والعصي، حيث تكون الحجارة على اليسار والعصي على اليمين

تنقسم أنظمة الأرقام إلى موضعية وغير موضعية، والموضعية بدورها إلى متجانسة ومختلطة.

غير موضعي- الأقدم ففيه كل رقم من الرقم له قيمة لا تعتمد على موضعه (الرقم). وهذا هو، إذا كان لديك 5 أسطر، فإن الرقم هو أيضا 5، لأن كل سطر، بغض النظر عن مكانه في السطر، يتوافق مع عنصر واحد فقط.

النظام الموضعي- معنى كل رقم يعتمد على موضعه (الرقم) في الرقم. على سبيل المثال، نظام الأرقام العاشر المألوف لدينا هو نظام موضعي. لنتأمل الرقم 453. الرقم 4 يشير إلى عدد المئات ويتوافق مع الرقم 400، 5 - عدد العشرات ويشبه القيمة 50، و3 - الوحدات والقيمة 3. كما ترون، كلما زاد الرقم، زادت القيمة. يمكن تمثيل الرقم النهائي بالمجموع 400+50+3=453.

نظام متجانس- بالنسبة لجميع الأرقام (المواضع) للرقم، تكون مجموعة الأحرف الصالحة (الأرقام) هي نفسها. كمثال، لنأخذ النظام العاشر المذكور سابقًا. عند كتابة رقم في نظام عاشر متجانس، يمكنك استخدام رقم واحد فقط من 0 إلى 9 في كل رقم، وبالتالي يُسمح بالرقم 450 (الرقم الأول - 0، الثاني - 5، الثالث - 4)، لكن 4F5 غير مسموح به، لأن الحرف F غير متضمن في مجموعة الأرقام من 0 إلى 9.

نظام مختلط- في كل رقم (موضع) من الرقم، قد تختلف مجموعة الأحرف الصالحة (الأرقام) عن مجموعات الأرقام الأخرى. ومن الأمثلة الصارخة على ذلك نظام قياس الوقت. يوجد في فئة الثواني والدقائق 60 رمزًا مختلفًا (من "00" إلى "59")، وفي فئة الساعات - 24 رموز مختلفة(من "00" إلى "23")، في فئة اليوم - 365، إلخ.

الأنظمة غير الموضعية

بمجرد أن تعلم الناس العد، نشأت الحاجة إلى كتابة الأرقام. في البداية، كان كل شيء بسيطًا - درجة أو اندفاعة على سطح ما تتوافق مع كائن واحد، على سبيل المثال، فاكهة واحدة. هكذا ظهر نظام الأرقام الأول - الوحدة.

نظام رقم الوحدة

الرقم في نظام الأرقام هذا عبارة عن سلسلة من الشرطات (العصي)، وعددها يساوي قيمة الرقم المحدد. وبذلك يكون عائد 100 تمرة يساوي العدد، مكونة من 100 سطر.
ولكن هذا النظام لديه مضايقات واضحة - كلما زاد العدد، كلما كانت سلسلة العصي أطول. بالإضافة إلى ذلك، يمكنك بسهولة ارتكاب خطأ عند كتابة رقم عن طريق إضافة عصا إضافية عن طريق الخطأ أو، على العكس من ذلك، عدم كتابته.

ومن أجل الراحة، بدأ الناس في تجميع العصي إلى 3 و5 و10 قطع. في الوقت نفسه، تتوافق كل مجموعة مع علامة أو كائن معين. في البداية، تم استخدام الأصابع في العد، فظهرت العلامات الأولى للمجموعات المكونة من 5 و10 قطع (وحدات). كل هذا جعل من الممكن إنشاء أنظمة أكثر ملاءمة لتسجيل الأرقام.

النظام العشري المصري القديم

في مصر القديمةتم استخدام رموز خاصة (أرقام) لتمثيل الأرقام 1، 10، 10 2، 10 3، 10 4، 10 5، 10 6، 10 7. وهنا بعض منها:

لماذا سمي بالعشري؟ كما ذكر أعلاه، بدأ الناس في تجميع الرموز. وفي مصر، اختاروا مجموعة من 10، وتركوا الرقم "1" دون تغيير. في هذه الحالة، يسمى الرقم 10 نظام الأرقام العشري الأساسي، وكل رمز يمثل الرقم 10 إلى حد ما.

تمت كتابة الأرقام في نظام الأرقام المصري القديم كمزيج من هذه
شخصيات لم تتكرر كل منها أكثر من تسع مرات. وكانت القيمة النهائية مساوية لمجموع عناصر الرقم. تجدر الإشارة إلى أن هذه الطريقة للحصول على القيمة هي سمة من سمات كل نظام أرقام غير موضعي. على سبيل المثال سيكون الرقم 345:

النظام البابلي الستيني

على عكس النظام المصري، استخدم النظام البابلي رمزين فقط: إسفين "مستقيم" للإشارة إلى الوحدات وإسفين "راقد" للإشارة إلى العشرات. لتحديد قيمة الرقم، تحتاج إلى تقسيم صورة الرقم إلى أرقام من اليمين إلى اليسار. يبدأ التفريغ الجديد بظهور إسفين مستقيم بعد الاستلقاء. لنأخذ الرقم 32 كمثال:

يُشار أيضًا إلى الرقم 60 وجميع قواه بواسطة إسفين مستقيم، مثل "1". ولذلك، سمي نظام الأرقام البابلي بالنظام الستيني.
البابليون كتبوا جميع الأعداد من 1 إلى 59 بالنظام العشري غير الموضعي، والقيم الكبيرة بالنظام الموضعي ذو الأساس 60. الرقم 92:

وكان تسجيل الرقم غامضا، إذ لم يكن هناك رقم يشير إلى الصفر. تمثيل الرقم 92 لا يعني فقط 92=60+32، بل أيضًا، على سبيل المثال، 3632=3600+32. لتحديد قيمه مطلقه number، تم إدخال حرف خاص للدلالة على الرقم الستيني المفقود، وهو ما يتوافق مع ظهور الرقم 0 في الإدخال عدد عشري:

الآن يجب كتابة الرقم 3632 على النحو التالي:

النظام البابلي الستيني هو أول نظام أرقام يعتمد جزئيًا على المبدأ الموضعي. لا يزال نظام الأرقام هذا يستخدم حتى يومنا هذا، على سبيل المثال، عند تحديد الوقت - تتكون الساعة من 60 دقيقة، والدقيقة تتكون من 60 ثانية.

النظام الروماني

النظام الروماني لا يختلف كثيرا عن النظام المصري. ويستخدم الحروف اللاتينية الكبيرة I وV وX وL وC وD وM لتمثيل الأرقام 1 و5 و10 و50 و100 و500 و1000 على التوالي. الرقم في نظام الأرقام الرومانية هو مجموعة من الأرقام المتتالية.

طرق تحديد قيمة الرقم:

1. قيمة الرقم تساوي مجموع قيم أرقامه. على سبيل المثال، الرقم 32 في نظام الأرقام الرومانية هو XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
2. إذا كان هناك رقم أصغر على يسار الرقم الأكبر، فإن القيمة تساوي الفرق بين الرقم الأكبر والأصغر. في الوقت نفسه، يمكن أن يكون الرقم الأيسر أقل من الرقم الأيمن بحد أقصى واحد من حيث الحجم: على سبيل المثال، يمكن أن يظهر X(10) فقط قبل L(50) وC(100) بين الأرقام "الأدنى". وفقط قبل D(500) وM(1000) C(100)، قبل V(5) - فقط I(1)؛ ستتم كتابة الرقم 444 في نظام الأرقام قيد النظر بالشكل CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
3. القيمة تساوي مجموع قيم المجموعات والأرقام التي لا تتناسب مع النقطتين 1 و 2.

بالإضافة إلى الأنظمة الرقمية، هناك أيضًا أنظمة أرقام بالحروف (الأبجدية)، إليك بعض منها:
1) السلافية
2) اليونانية (الأيونية)

أنظمة الأرقام الموضعية

كما ذكر أعلاه، نشأت المتطلبات الأساسية الأولى لظهور النظام الموضعي في بابل القديمة. وفي الهند اتخذ النظام شكل الترقيم العشري الموضعي باستخدام الصفر، ومن الهنود استعار العرب نظام الأرقام هذا واعتمده الأوروبيون منهم. لسبب ما، تم تخصيص اسم "عربي" لهذا النظام في أوروبا.

نظام الأعداد العشرية

هذا هو أحد أنظمة الأرقام الأكثر شيوعًا. هذا هو ما نستخدمه عندما نذكر سعر المنتج ونذكر رقم الحافلة. يمكن لكل رقم (موضع) استخدام رقم واحد فقط من النطاق من 0 إلى 9. قاعدة النظام هي الرقم 10.

على سبيل المثال، لنأخذ الرقم 503. إذا كان هذا الرقم مكتوبًا بنظام غير موضعي، فستكون قيمته 5+0+3 = 8. لكن لدينا نظام موضعي وهذا يعني أن كل رقم من الرقم يجب أن يكون مضروبًا في قاعدة النظام، وهو في هذه الحالة الرقم "10"، مرفوعًا إلى قوة تساوي الرقم. وتبين أن القيمة هي 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. ولتجنب الارتباك عند العمل مع عدة أنظمة أرقام في وقت واحد، تتم الإشارة إلى القاعدة على أنها منخفضة. وبالتالي 503 = 503 10.

بالإضافة إلى النظام العشري، تستحق الأنظمة 2 و8 و16 اهتمامًا خاصًا.

نظام الأرقام الثنائية

يستخدم هذا النظام بشكل رئيسي في الحوسبة. لماذا لم يستخدموا العاشر المعتاد؟ تم إنشاء أول جهاز كمبيوتر على يد بليز باسكال، الذي استخدم النظام العشري، والذي تبين أنه غير مناسب للآلات الإلكترونية الحديثة، حيث كان يتطلب إنتاج أجهزة قادرة على العمل في 10 ولايات، مما أدى إلى زيادة سعرها والحجم النهائي للحاسوب. آلة. العناصر العاملة في النظام الثاني ليس لديها هذه العيوب. ومع ذلك، تم إنشاء النظام المعني قبل وقت طويل من الاختراع أجهزة الكمبيوترولها "جذور" في حضارة الإنكا، حيث تم استخدام الكيبوس - نسج وعقد الحبال المعقدة.

يحتوي نظام الأرقام الموضعية الثنائية على أساس 2 ويستخدم رمزين (رقمين) لكتابة الأرقام: 0 و1. يُسمح برقم واحد فقط في كل رقم - إما 0 أو 1.

مثال على ذلك هو الرقم 101. وهو مشابه للرقم 5 في نظام الأرقام العشري. للتحويل من 2 إلى 10، عليك ضرب كل رقم من رقم ثنائي في الأساس "2" مرفوعًا إلى قوة تساوي القيمة المكانية. وبالتالي فإن الرقم 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10.

حسنًا، بالنسبة للآلات، يعد نظام الأرقام الثاني أكثر ملاءمة، لكننا كثيرًا ما نرى ونستخدم الأرقام في النظام العاشر على الكمبيوتر. فكيف يحدد الجهاز الرقم الذي يدخله المستخدم؟ كيف يمكن ترجمة رقم من نظام إلى آخر، حيث أنه يحتوي على رمزين فقط - 0 و1؟

لكي يعمل الكمبيوتر مع الأرقام الثنائية (الرموز)، يجب تخزينها في مكان ما. لتخزين كل رقم فردي، يتم استخدام المشغل، وهو دائرة كهربائية. يمكن أن يكون في حالتين، إحداهما تساوي صفرًا والأخرى تساوي واحدًا. لتذكر رقم واحد، يتم استخدام السجل - مجموعة من المشغلات، وعددها يتوافق مع عدد الأرقام في رقم ثنائي. ومجموعة السجلات هي ذاكرة الوصول العشوائي. الرقم الموجود في السجل هو كلمة آلية. يتم تنفيذ العمليات الحسابية والمنطقية مع الكلمات بواسطة وحدة المنطق الحسابي (ALU). لتبسيط الوصول إلى السجلات، يتم ترقيمها. الرقم يسمى عنوان التسجيل. على سبيل المثال، إذا كنت بحاجة إلى إضافة رقمين، يكفي الإشارة إلى أرقام الخلايا (السجلات) التي توجد بها، وليس الأرقام نفسها. تتم كتابة العناوين في أنظمة ثمانية وعشرية (سيتم مناقشتها أدناه)، لأن الانتقال منها إلى النظام الثنائي والعودة بسيط للغاية. للانتقال من الثاني إلى الثامن، يجب تقسيم الرقم إلى مجموعات مكونة من 3 أرقام من اليمين إلى اليسار، والانتقال إلى السادس عشر - 4. إذا لم تكن هناك أرقام كافية في مجموعة الأرقام الموجودة في أقصى اليسار، فسيتم ملؤها من اليسار بالأصفار التي تسمى الرائدة. لنأخذ الرقم 101100 2 كمثال. في النظام الثماني يكون 101 100 = 54 8، وفي النظام الست عشري يكون 0010 1100 = 2C 16. رائع، لكن لماذا نرى الأرقام والحروف العشرية على الشاشة؟ عند الضغط على أحد المفاتيح، يتم نقل تسلسل معين إلى الكمبيوتر نبضات كهربائيةوكل رمز يتوافق مع تسلسل النبضات الكهربائية الخاص به (الأصفار والآحاد). يصل برنامج تشغيل لوحة المفاتيح والشاشة إلى جدول رموز الأحرف (على سبيل المثال، Unicode، الذي يسمح لك بتشفير 65536 حرفًا)، ويحدد الحرف الذي يتوافق معه الرمز الناتج، ويعرضه على الشاشة. وهكذا، يتم تخزين النصوص والأرقام في ذاكرة الكمبيوتر في شكل رمز ثنائي، و برمجيايتم تحويلها إلى صور على الشاشة.

نظام الأرقام الثماني

غالبًا ما يستخدم نظام الأرقام الثامن، مثل النظام الثنائي، في التكنولوجيا الرقمية. تحتوي على قاعدة مكونة من 8 وتستخدم الأرقام من 0 إلى 7 لكتابة الأرقام.

مثال على رقم ثماني: 254. للتحويل إلى النظام العاشر، يجب ضرب كل رقم من الرقم الأصلي في 8 n، حيث n هو رقم الرقم. يتبين أن 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10.

نظام الأرقام السداسي العشري

يُستخدم النظام السداسي العشري على نطاق واسع في أجهزة الكمبيوتر الحديثة، على سبيل المثال، يستخدم للإشارة إلى اللون: #FFFFFF - لون أبيض. النظام المعني له أساس من 16 ويستخدم الأرقام التالية لكتابة: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، A، B. C، D، E، F، حيث الحروف هي 10، 11، 12، 13، 14، 15 على التوالي.

لنأخذ الرقم 4F5 16 كمثال. للتحويل إلى النظام الثماني، نقوم أولاً بتحويل الرقم السداسي العشري إلى ثنائي، ثم نقسمه إلى مجموعات مكونة من 3 أرقام إلى ثماني. لتحويل رقم إلى 2، تحتاج إلى تمثيل كل رقم كرقم ثنائي مكون من 4 بت. 4F5 16 = (1001111101)2 . ولكن في المجموعتين 1 و 3 لا يوجد عدد كاف من الأرقام، لذلك دعونا نملأ كل منها بالأصفار البادئة: 0100 1111 0101. الآن تحتاج إلى تقسيم الرقم الناتج إلى مجموعات مكونة من 3 أرقام من اليمين إلى اليسار: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101 لنحول كل مجموعة ثنائية إلى النظام الثماني، بضرب كل رقم في 2 n، حيث n هو رقم الرقم: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .

بالإضافة إلى أنظمة الأعداد الموضعية المعتبرة، هناك أنظمة أخرى، على سبيل المثال:
1) الثالوث
2) الرباعي
3) الاثني عشري

تنقسم الأنظمة الموضعية إلى متجانسة ومختلطة.

أنظمة الأعداد الموضعية المتجانسة

التعريف الوارد في بداية المقال يصف بشكل كامل أنظمة متجانسة، لذلك لا داعي للتوضيح.

أنظمة الأعداد المختلطة

إلى التعريف المقدم بالفعل يمكننا إضافة النظرية: "إذا كانت P=Q n (P,Q,n أعداد صحيحة موجبة، في حين أن P و Q هي قواعد)، فإن تسجيل أي رقم في نظام الأرقام المختلط (P-Q) متماثل يتزامن مع كتابة نفس الرقم في نظام الأرقام ذو الأساس Q."

واستنادا إلى هذه النظرية، يمكننا صياغة قواعد للانتقال من P إلى نظام سوالعكس صحيح:

1. للتحويل من Q إلى P، تحتاج إلى رقم نظام س، قم بتقسيمها إلى مجموعات مكونة من n أرقام، بدءًا من الرقم الصحيح، واستبدل كل مجموعة برقم واحد نظام P-th.
2. للتحويل من P-th إلى Q-th، من الضروري تحويل كل رقم من رقم في نظام P-th إلى Q-th وملء الأرقام المفقودة بالأصفار البادئة، باستثناء الرقم الأيسر، بحيث يتكون كل رقم في النظام ذو الأساس Q من أرقام n.

وخير مثال على ذلك هو التحويل من ثنائي إلى ثماني. لنأخذ الرقم الثنائي 10011110 2 لتحويله إلى رقم ثماني - سنقسمه من اليمين إلى اليسار إلى مجموعات مكونة من 3 أرقام: 010011110، الآن اضرب كل رقم في 2 n، حيث n هو رقم الرقم، 010011110 = (0*2 2 +1 *2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) = 236 8 . اتضح أن 10011110 2 = 236 8. لجعل صورة الرقم الثنائي الثماني لا لبس فيها، يتم تقسيمها إلى ثلاثة توائم: 236 8 = (10 011 110) 2-8.

أنظمة الأعداد المختلطة هي أيضًا، على سبيل المثال:
1) العامل
2) فيبوناتشي

التحويل من نظام رقم إلى آخر

في بعض الأحيان تحتاج إلى تحويل رقم من نظام أرقام إلى آخر، لذلك دعونا نلقي نظرة على طرق التحويل بين الأنظمة المختلفة.

التحويل إلى نظام الأرقام العشرية

يوجد رقم a 1 a 2 a 3 في نظام الأرقام ذو الأساس b. للتحويل إلى النظام العاشر، من الضروري ضرب كل رقم من الرقم بـ b n، حيث n هو رقم الرقم. وبالتالي، (أ 1 أ 2 أ 3) ب = (أ 1 * ب 2 + أ 2 * ب 1 + أ 3 * ب 0) 10.

مثال: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

التحويل من نظام الأرقام العشرية إلى الآخرين

الجزء الكامل:

1. نقوم بتقسيم الجزء الصحيح من الرقم العشري على التوالي على أساس النظام الذي نقوم بالتحويل إليه حتى يساوي الرقم العشري صفرًا.
2. الباقي الذي تم الحصول عليه أثناء القسمة هو أرقام الرقم المطلوب. الرقم في نظام جديداكتب بدءًا من الباقي الأخير.

جزء:

1. نقوم بضرب الجزء الكسري من الرقم العشري في قاعدة النظام الذي نريد التحويل إليه. افصل الجزء بأكمله. نستمر في ضرب الجزء الكسري في أساس النظام الجديد حتى يساوي 0.
2. تتكون الأرقام في النظام الجديد من أجزاء كاملة من نتائج الضرب بالترتيب الموافق لإنتاجها.

مثال: تحويل 15 10 إلى ثماني:
15\8 = 1، والباقي 7
1\8 = 0، والباقي 1

وبعد كتابة كل الباقي من الأسفل إلى الأعلى، نحصل على الرقم النهائي 17. وبالتالي، 15 10 = 17 8.

التحويل من الثنائي إلى الثماني والست عشري

للتحويل إلى رقم ثماني، نقوم بتقسيم الرقم الثنائي إلى مجموعات مكونة من 3 أرقام من اليمين إلى اليسار، ونملأ الأرقام الخارجية المفقودة بالأصفار البادئة. بعد ذلك، نقوم بتحويل كل مجموعة عن طريق ضرب الأرقام بالتسلسل في 2n، حيث n هو رقم الرقم.

لنأخذ الرقم 1001 2 كمثال: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8

للتحويل إلى رقم سداسي عشري، نقوم بتقسيم الرقم الثنائي إلى مجموعات مكونة من 4 أرقام من اليمين إلى اليسار، ثم نقوم بنفس عملية التحويل من الثاني إلى الثامن.

تحويل من ثماني وسداسي عشري إلى ثنائي

التحويل من الرقم الثماني إلى الثنائي - نقوم بتحويل كل رقم من الرقم الثماني إلى رقم ثنائي مكون من 3 أرقام عن طريق القسمة على 2 (لمزيد من المعلومات حول القسمة، راجع الفقرة "التحويل من نظام الأرقام العشرية إلى أخرى" أعلاه)، املأ النموذج الأرقام الخارجية المفقودة ذات الأصفار البادئة.

على سبيل المثال، فكر في الرقم 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2

الترجمة من السادس عشر إلى الثاني - نقوم بتحويل كل رقم من رقم سداسي عشري إلى رقم ثنائي مكون من 4 أرقام عن طريق القسمة على 2، وملء الأرقام الخارجية المفقودة بالأصفار البادئة.

تحويل الجزء الكسري من أي نظام أرقام إلى رقم عشري

يتم التحويل بنفس الطريقة المتبعة مع الأجزاء الصحيحة، فيما عدا أن أرقام العدد يتم ضربها في الأساس إلى القوة "-n"، حيث يبدأ n من 1.

مثال: 101,011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0)، (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5)، (0 + 0) .25 + 0.125) = 5.375 10

تحويل الجزء الكسري من الثنائي إلى الثامن والسادس عشر

تتم ترجمة الجزء الكسري بنفس الطريقة التي تتم بها الأجزاء الكاملة من الرقم، مع الاستثناء الوحيد وهو أن التقسيم إلى مجموعات مكونة من 3 و4 أرقام يذهب إلى يمين العلامة العشرية، ويتم استكمال الأرقام المفقودة بـ صفر إلى اليمين.

مثال: 1001.01 2 = 001 001، 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0)، (0*2 2 + 1) *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1)، (0+2+0) = 11.2 8

تحويل الجزء الكسري من النظام العشري إلى أي جزء آخر

لتحويل الجزء الكسري من رقم إلى أنظمة أرقام أخرى، تحتاج إلى تحويل الجزء بأكمله إلى صفر والبدء في ضرب الرقم الناتج في قاعدة النظام الذي تريد التحويل إليه. إذا ظهرت أجزاء كاملة مرة أخرى نتيجة الضرب، فيجب تحويلها إلى الصفر مرة أخرى، بعد أن تتذكر (تكتب) أولاً قيمة الجزء بأكمله الناتج. تنتهي العملية عندما يصبح الجزء الكسري صفرًا تمامًا.

على سبيل المثال، لنحول 10.625 10 إلى ثنائي:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
وبكتابة الباقي من الأعلى إلى الأسفل، نحصل على 10.625 10 = (1010)، (101) = 1010.101 2

بمجرد أن بدأ الناس في العد، بدأوا في الحاجة إلى كتابة الأرقام. لقد وجد علماء الآثار أدلة في مواقع الأشخاص البدائيين على أنه في البداية تمت كتابة أي كمية تقريبًا بنفس عدد الرموز: العصي والنقاط والشرطات. يسمى هذا النظام بالوحدة (الأحادية). أي رقم في هذا النظام يتم كتابته بتكرار إشارة واحدة ترمز إلى الواحد.

على الرغم من قدم هذا النظام، إلا أنه لا يزال يستخدم حتى يومنا هذا؛ حيث يتم تعليم طلاب الصف الأول الاعتماد على العصي، ولتحديد الدورة التي يدرس فيها طالب المدرسة العسكرية حاليًا، ينبغي للمرء أن يحسب عدد الخطوط المخيطة على قميصه. كم.

النظام الأحادي ليس الطريقة الأكثر ملاءمة لكتابة الأرقام، فالتسجيل يشغل مساحة كبيرة وتؤدي رتابة التسجيل إلى حدوث أخطاء، لذلك مع مرور الوقت، بدأت أنظمة الأرقام الأكثر ملاءمة في الظهور.

نظام الأعداد العشرية المصري القديم

كان لدى المصريين القدماء نظام أرقام مناسب للغاية، وكان لديه علامات تشير إلى الأرقام الرئيسية: 1، 10، 100، إلخ. تم كتابة الأرقام المتبقية باستخدام الجمع. وترد تسميات بعض الأرقام في الشكل 1.

النظام ليس قيد الاستخدام حاليا.

نظام الأرقام الرومانية

وقد ظل هذا النظام دون تغيير حتى يومنا هذا. ظهرت منذ أكثر من ألفين ونصف ألف عام في روما القديمة. واعتمد على العلامات I (الإصبع) للرقم 1، V (خمسة) للرقم 5، X (اليدين) للرقم 10. وتم استخدام الحروف الأولى للإشارة إلى 100 و500 و1000 أسماء لاتينية(سنتوم - مائة، ديميل - نصف ألف، ميل - ألف). من أجل كتابة الأرقام، استخدم الرومان ليس فقط المبالغ، مثل المصريين، ولكن أيضًا الفروق. ولهذا تم تطبيق قاعدة بسيطة: كل علامة أصغر بعد العلامة الكبيرة تضاف إلى قيمتها، وكل علامة واقفة أمام العلامة الأكبر تطرح من قيمتها. وبالتالي، فإن IX يمثل 9، وXI يمثل 11.

لا تزال الأرقام الرومانية تُستخدم حتى يومنا هذا، وتُستخدم لتسمية الأقسام والأقسام الفرعية من الكتب والقرون، وغالبًا ما تُكتب أيضًا على الساعات.

أنظمة الأرقام الأبجدية

وتشمل هذه الأنظمة: اليونانية والسلافية والفنلندية وغيرها. هنا تم تحديد الأرقام من 1 إلى 9 ومن 10 إلى 90 ومن 100 إلى 900 بأحرف الأبجدية. في اليونان القديمة، تم تمثيل الأرقام بالأحرف التسعة الأولى من الأبجدية اليونانية. الأرقام من 10 إلى 90 هي التسعة التالية. ومن 100 إلى 900 - بالأحرف التسعة الأخيرة من الأبجدية الرومانية. بين السلاف، تتوافق القيم العددية مع الحروف بالترتيب. في البداية، تم استخدام الأبجدية الجلاجوليتية لهذا الغرض، ثم الأبجدية السيريلية. في روسيا، تم الحفاظ على هذا الترقيم حتى نهاية القرن السابع عشر. ثم أحضر بطرس الأول من الخارج الترقيم العربي الذي نستخدمه حتى يومنا هذا.

في دورات علوم الكمبيوتر، بغض النظر عن المدرسة أو الجامعة، يتم إعطاء مكان خاص لمفهوم مثل أنظمة الأرقام. كقاعدة عامة، يتم تخصيص العديد من الدروس أو التمارين العملية لذلك. الهدف الرئيسي ليس فقط إتقان المفاهيم الأساسية للموضوع، ودراسة أنواع أنظمة الأعداد، ولكن أيضًا التعرف على الحساب الثنائي والثماني والست عشري.

ماذا يعني ذلك؟

لنبدأ بتحديد المفهوم الأساسي. كما يشير الكتاب المدرسي "المعلوماتية"، فإن نظام الأرقام هو سجل للأرقام يستخدم أبجدية خاصة أو مجموعة محددة من الأرقام.

اعتمادًا على ما إذا كانت قيمة الرقم تتغير اعتمادًا على موضعه في الرقم، هناك نوعان: أنظمة الأرقام الموضعية وغير الموضعية.

في الأنظمة الموضعية، يتغير معنى الرقم مع موضعه في الرقم. لذلك، إذا أخذنا الرقم 234، فإن الرقم 4 فيه يعني الوحدات، ولكن إذا نظرنا إلى الرقم 243، فسيعني بالفعل العشرات، وليس الوحدات.

في الأنظمة غير الموضعية، يكون معنى الرقم ثابتًا، بغض النظر عن موضعه في الرقم. معظم مثال ساطع- نظام العصا، حيث يتم الإشارة إلى كل وحدة بشرطة. لا يهم المكان الذي تضع فيه العصا، فقيمة الرقم ستتغير بمقدار واحد فقط.

الأنظمة غير الموضعية

ل الأنظمة غير الموضعيةالحسابات تشمل:

1. نظام الوحدة الذي يعتبر من الأول. واستخدمت العصي بدلا من الأرقام. وكلما زاد العدد، زادت قيمة الرقم. يمكنك العثور على مثال للأرقام المكتوبة بهذه الطريقة في الأفلام التي نتحدث فيها عن الأشخاص المفقودين في البحر، والسجناء الذين يحتفلون كل يوم بمساعدة الشقوق على الحجر أو الشجرة.
2. الرومانية، حيث تم استخدام الحروف اللاتينية بدلاً من الأرقام. باستخدامها، يمكنك كتابة أي رقم. علاوة على ذلك، تم تحديد قيمته باستخدام مجموع وفرق الأرقام التي يتكون منها الرقم. إذا كان هناك رقم أصغر على يسار الرقم، فسيتم طرح الرقم الأيسر من اليمين، وإذا كان الرقم الذي على اليمين أقل من أو يساوي الرقم الذي على اليسار، فسيتم جمع قيمهما. على سبيل المثال، تم كتابة الرقم 11 كـ XI، و9 - IX.
3. أبجدي، حيث تم تحديد الأرقام باستخدام أبجدية لغة معينة. يعتبر واحد منهم النظام السلافي، حيث لم يكن لعدد من الحروف معنى صوتيًا فحسب، بل أيضًا رقميًا.
4. حيث تم استخدام رمزين فقط للكتابة - الأوتاد والسهام.
5. استخدمت مصر أيضًا رموزًا خاصة لتمثيل الأرقام. عند كتابة رقم، لا يمكن استخدام كل رمز أكثر من تسع مرات.

أنظمة الموقف

يتم إيلاء الكثير من الاهتمام في علوم الكمبيوتر لأنظمة الأرقام الموضعية. وتشمل هذه ما يلي:

• الثنائية؛
• ثماني.
• عدد عشري؛
• السداسي عشري؛
• الستيني، يستخدم عند حساب الوقت (على سبيل المثال، هناك 60 ثانية في الدقيقة، و60 دقيقة في الساعة).

لكل منهم أبجدية خاصة به للكتابة وقواعد الترجمة وإجراء العمليات الحسابية.

النظام العشري

هذا النظام هو الأكثر دراية لنا. ويستخدم الأرقام من 0 إلى 9 لكتابة الأرقام. ويطلق عليهم أيضًا اسم اللغة العربية. اعتمادًا على موضع الرقم في الرقم، يمكن أن يمثل أرقامًا مختلفة - وحدات أو عشرات أو مئات أو آلاف أو ملايين. نحن نستخدمها في كل مكان، ونحن نعرف القواعد الأساسية التي يتم من خلالها تنفيذ العمليات الحسابية على الأرقام.

النظام الثنائي

أحد أنظمة الأعداد الرئيسية في علوم الكمبيوتر هو النظام الثنائي. تسمح بساطته للكمبيوتر بإجراء عمليات حسابية مرهقة أسرع عدة مرات من النظام العشري.

لكتابة الأرقام، يتم استخدام رقمين فقط - 0 و1. علاوة على ذلك، اعتمادًا على موضع 0 أو 1 في الرقم، ستتغير قيمته.

في البداية، تم الحصول على كل شيء بمساعدة أجهزة الكمبيوتر معلومات ضرورية. في هذه الحالة، واحد يعني وجود إشارة تنتقل باستخدام الجهد، والصفر يعني غيابها.

النظام الثماني

نظام أرقام كمبيوتر معروف آخر يستخدم الأرقام من 0 إلى 7. وقد تم استخدامه بشكل أساسي في مجالات المعرفة المرتبطة بالأجهزة الرقمية. ولكن في مؤخرايتم استخدامه بشكل أقل تكرارًا، حيث تم استبداله بنظام الأرقام الست عشري.

النظام العشري الثنائي

يعد تمثيل الأعداد الكبيرة في النظام الثنائي عملية معقدة إلى حد ما بالنسبة للبشر. ولتبسيط الأمر تم تطويره، ويستخدم عادة في الساعات الإلكترونية والآلات الحاسبة. في هذا النظام، لا يتم تحويل الرقم بالكامل من النظام العشري إلى النظام الثنائي، ولكن يتم تحويل كل رقم إلى مجموعة الأصفار والواحدات المقابلة له في النظام الثنائي. يتم التحويل من النظام الثنائي إلى النظام العشري بطريقة مماثلة. يتم تحويل كل رقم، يتم تمثيله كمجموعة مكونة من أربعة أرقام من الأصفار والواحد، إلى رقم نظام الأرقام العشري. من حيث المبدأ، لا يوجد شيء معقد.

للعمل مع الأرقام في هذه الحالة، سيكون جدول أنظمة الأرقام مفيدًا، والذي سيشير إلى المراسلات بين الأرقام ورمزها الثنائي.

نظام سداسي عشري

في الآونة الأخيرة، أصبح نظام الأرقام السداسي العشري شائعًا بشكل متزايد في البرمجة وعلوم الكمبيوتر. فهو لا يستخدم الأرقام من 0 إلى 9 فحسب، بل يستخدم أيضًا سلسلة حروف لاتينية- أ، ب، ج، د، ه، و.

وفي الوقت نفسه، كل حرف له معنى خاص به، لذلك A=10، B=11، C=12 وهكذا. يتم تمثيل كل رقم كمجموعة من أربعة أحرف: 001F.

تحويل الأرقام: من العشري إلى الثنائي

تتم الترجمة في أنظمة الأرقام وفقًا لقواعد معينة. التحويل الأكثر شيوعًا هو من النظام الثنائي إلى النظام العشري والعكس.

من أجل تحويل رقم من النظام العشري إلى النظام الثنائي، من الضروري تقسيمه تسلسلياً على أساس نظام الأرقام، أي الرقم اثنين. وفي هذه الحالة يجب تسجيل باقي كل قسم. سيحدث هذا حتى يصبح باقي القسمة أقل من أو يساوي واحدًا. من الأفضل إجراء الحسابات في عمود. تتم بعد ذلك كتابة باقي القسمة الناتجة على السطر بترتيب عكسي.

على سبيل المثال، دعونا نحول الرقم 9 إلى ثنائي:

نقسم 9، بما أن الرقم لا يقبل القسمة على الكل، فنأخذ الرقم 8، فيكون الباقي 9 - 1 = 1.

بعد قسمة 8 على 2، نحصل على 4. نقسمه مرة أخرى، حيث أن الرقم قابل للقسمة على عدد صحيح - نحصل على باقي 4 - 4 = 0.

نقوم بتنفيذ نفس العملية مع 2. والباقي هو 0.

ونتيجة القسمة نحصل على 1.

وبغض النظر عن نظام الأرقام النهائي، فإن تحويل الأرقام من النظام العشري إلى أي نظام آخر سيتم وفق مبدأ قسمة الرقم على أساس النظام الموضعي.

تحويل الأرقام: من الثنائي إلى العشري

من السهل جدًا تحويل الأرقام إلى نظام الأرقام العشري من النظام الثنائي. للقيام بذلك، يكفي معرفة قواعد رفع الأعداد إلى القوى. في هذه الحالة، إلى قوة اثنين.

خوارزمية الترجمة هي كما يلي: يجب ضرب كل رقم من كود الرقم الثنائي في اثنين، وسيكون الأولان بقوة m-1، والثاني - m-2 وهكذا، حيث m هو عدد الأرقام في الكود. ثم قم بإضافة نتائج الجمع للحصول على عدد صحيح.

بالنسبة لأطفال المدارس، يمكن شرح هذه الخوارزمية بشكل أكثر بساطة:

في البداية، نأخذ ونكتب كل رقم مضروبًا في اثنين، ثم نضع قوة اثنين من النهاية، بدءًا من الصفر. ثم نجمع الرقم الناتج.

على سبيل المثال، سنقوم بتحليل الرقم 1001 الذي تم الحصول عليه مسبقًا، وتحويله إلى النظام العشري، وفي نفس الوقت التحقق من صحة حساباتنا.

سوف يبدو مثل هذا:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

عند دراسة هذا الموضوع، من المناسب استخدام جدول بقوة اثنين. سيؤدي هذا إلى تقليل مقدار الوقت اللازم لإجراء العمليات الحسابية بشكل كبير.

خيارات الترجمة الأخرى

في بعض الحالات، يمكن إجراء الترجمة بين أنظمة الأعداد الثنائية والثمانية، الثنائية والست عشرية. في هذه الحالة، يمكنك استخدام جداول خاصة أو تشغيل تطبيق الآلة الحاسبة على جهاز الكمبيوتر الخاص بك عن طريق تحديد خيار "المبرمج" في علامة التبويب "عرض".

عمليات حسابية

وبغض النظر عن الشكل الذي يتم به تقديم الرقم، فإنه يمكن استخدامه لإجراء العمليات الحسابية المألوفة لدينا. يمكن أن يكون هذا القسمة والضرب والطرح والجمع في نظام الأرقام الذي اخترته. وبطبيعة الحال، كل واحد منهم لديه قواعده الخاصة.

لذلك بالنسبة للنظام الثنائي، فقد تم تطوير جداول خاصة به لكل عملية من العمليات. يتم استخدام نفس الجداول في الأنظمة الموضعية الأخرى.

ليست هناك حاجة لحفظها - ما عليك سوى طباعتها ووضعها في متناول اليد. يمكنك أيضًا استخدام الآلة الحاسبة على جهاز الكمبيوتر الخاص بك.

واحد من أهم المواضيعفي علوم الكمبيوتر - نظام الأعداد. معرفة هذا الموضوع، وفهم خوارزميات تحويل الأرقام من نظام إلى آخر هو المفتاح لحقيقة أنك ستتمكن من فهم المزيد مواضيع صعبةمثل الخوارزمية والبرمجة، وستتمكن من كتابة برنامجك الأول بنفسك.