كلية الرياضيات الصغيرة. أنظمة الأعداد غير الموضعية

نظام رقم الوحدة (الأحادي). قائمة أنظمة الأعداد

الرموز:

• يعطي تمثيلات لمجموعة من الأرقام (الأعداد الصحيحة و/أو الحقيقية)؛
• يمنح كل رقم تمثيلاً فريدًا (أو على الأقل تمثيلًا قياسيًا)؛
• يعكس البنية الجبرية والحسابية للأرقام.

تنقسم أنظمة الأرقام إلى الموضعية, غير موضعيو مختلط.

أنظمة الأرقام الموضعية

في أنظمة الأرقام الموضعية، نفس العلامة الرقمية (الرقم) في إدخال الرقم لها معاني مختلفة اعتمادًا على المكان (الرقم) الذي يوجد فيه. يُنسب اختراع الترقيم الموضعي بناءً على المعنى المحلي للأرقام إلى السومريين والبابليين؛ تم تطوير مثل هذا الترقيم من قبل الهندوس وكان له عواقب لا تقدر بثمن في تاريخ الحضارة الإنسانية. ومن هذه الأنظمة نظام الأعداد العشرية الحديث الذي ارتبط ظهوره بالعد على الأصابع. وفي أوروبا في العصور الوسطى، ظهر عن طريق التجار الإيطاليين، الذين استعاروه بدورهم من المسلمين.

عادةً ما يُفهم نظام الأرقام الموضعية على أنه نظام الأعداد -ary، والذي يتم تعريفه بواسطة عدد صحيح يسمى أساسأنظمة الأرقام. يتم تمثيل العدد الصحيح غير الموقع في نظام الأعداد -ary كمجموعة خطية محدودة من قوى الرقم:

، أين يتم استدعاء الأعداد الصحيحة الأرقام، وتلبية عدم المساواة.

وتسمى كل درجة في مثل هذا السجل عامل الترجيح للفئة. يتم تحديد أقدمية الأرقام والأرقام المقابلة لها من خلال قيمة المؤشر (رقم الرقم). عادة، في الأعداد غير الصفرية، يتم حذف الأصفار اليسرى.

إذا لم تكن هناك اختلافات (على سبيل المثال، عند عرض جميع الأرقام في شكل أحرف مكتوبة فريدة)، يتم كتابة الرقم كتسلسل لأرقامه الأبجدية، مدرجة بترتيب تنازلي لأسبقية الأرقام من اليسار إلى اليمين:

على سبيل المثال، الرقم مئه و ثلاتممثلة بالتدوين العشري على النحو التالي:

الأنظمة الموضعية الأكثر استخدامًا هي:

في الأنظمة الموضعية، كلما كانت قاعدة النظام أكبر، قل عدد البتات (أي الأرقام المراد كتابتها) المطلوبة عند كتابة رقم.

أنظمة الأعداد المختلطة

نظام الأرقام المختلطةهو تعميم لنظام الأعداد -ary وغالبًا ما يشير إليه أيضًا الأنظمة الموضعيةالحساب. أساس نظام الأعداد المختلط هو تسلسل متزايد من الأرقام، ويتم تمثيل كل رقم فيه على شكل مجموعة خطية:

، حيث يتم استدعاء المعاملات كما كان من قبل الأرقام، تنطبق بعض القيود.

تسجيل رقم في نظام أرقام مختلط هو تعداد أرقامه بالترتيب التنازلي بدءاً من أول غير الصفر.

اعتمادًا على النوع، يمكن أن تكون وظيفة أنظمة الأعداد المختلطة قوة، وأسي، وما إلى ذلك. عندما يتزامن نظام الأعداد المختلطة مع نظام الأعداد الأسي -ary بالنسبة للبعض.

معظم مثال مشهورنظام الأعداد المختلط هو تمثيل الوقت بعدد الأيام والساعات والدقائق والثواني. في هذه الحالة، تتوافق قيمة "الأيام، الساعات، الدقائق، الثواني" مع قيمة الثواني.

نظام الأعداد العاملية

في نظام الأعداد العامليةالقواعد هي سلسلة من العوامل، ويتم تمثيل كل عدد طبيعي على النحو التالي:

، أين .

يتم استخدام نظام الأعداد المضروب عندما فك تشفير التباديل عن طريق قوائم الانقلابات: وجود رقم التقليب، يمكنك إعادة إنتاجه بنفسه على النحو التالي: تتم كتابة رقم أقل من الرقم (الترقيم يبدأ من الصفر) في نظام الأعداد المضروب، بينما معامل الرقم i! سيشير إلى عدد الانقلابات للعنصر i + 1 في المجموعة التي يتم فيها إجراء التباديل (عدد العناصر الأصغر من i + 1، ولكن على يمينه في التقليب المطلوب)

مثال: فكر في مجموعة من التباديل المكونة من 5 عناصر، هناك 5 في المجموع! = 120 (من رقم التبديل 0 - (1,2,3,4,5) إلى رقم التبديل 119 - (5,4,3,2,1))، أوجد التبديل رقم 101: 100 = 4!* 4 + 3 !*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; لنضع معامل ti عند الرقم i!، ثم t4 = 4، t3 = 0، t2 = 2، t1 = 0، ثم: عدد العناصر أقل من 5، لكن الوقوف على اليمين هو 4؛ عدد العناصر أقل من 4 ولكن إلى اليمين 0؛ عدد العناصر أقل من 3 ولكن على اليمين 2؛ عدد العناصر أقل من 2، ولكن على اليمين 0 (يتم "وضع" العنصر الأخير في التقليب في المكان الوحيد المتبقي) - وبالتالي، سيبدو التقليب 101 كما يلي: (5،3،1،2، 4) تحقق هذه الطريقةيمكن القيام بذلك عن طريق حساب الانقلابات مباشرة لكل عنصر من عناصر التقليب.

نظام أرقام فيبوناتشيبناء على أرقام فيبوناتشي. ويتم تمثيل كل عدد طبيعي فيه على النحو التالي:

، أين أرقام فيبوناتشي، بينما المعاملات لها عدد محدود من الوحدات ولا يوجد وحدتين متتاليتين.

أنظمة الأعداد غير الموضعية

في أنظمة الأرقام غير الموضعية، لا تعتمد القيمة التي يمثلها الرقم على موضعه في الرقم. وفي هذه الحالة يمكن للنظام أن يفرض قيودًا على موضع الأرقام، على سبيل المثال، بحيث يتم ترتيبها تنازليًا.

نظام الأعداد ذات الحدين

التمثيل باستخدام المعاملات ذات الحدين

، أين .

نظام الطبقة المتبقية (SOC)

يعتمد تمثيل الرقم في نظام فئة الباقي على مفهوم البقايا ونظرية الباقي الصينية. يتم تعريف RNS بواسطة مجموعة من coprime وحداتمع المنتج بحيث يرتبط كل عدد صحيح من المقطع بمجموعة من المخلفات، حيث

…

وفي الوقت نفسه، تضمن نظرية الباقي الصينية تفرد تمثيل الأرقام من الفاصل الزمني.

في RNS، يتم تنفيذ العمليات الحسابية (الجمع والطرح والضرب والقسمة) مكونًا تلو الآخر إذا كانت النتيجة معروفة بأنها عدد صحيح وتقع أيضًا في .

تتمثل عيوب RNS في القدرة على تمثيل عدد محدود فقط من الأرقام، فضلاً عن عدم وجودها خوارزميات فعالةلمقارنة الأرقام الممثلة في RNS. تتم المقارنة عادة من خلال تحويل الوسائط من RNS إلى نظام أرقام مختلط في القواعد.

نظام أرقام ستيرن-بروكوت- طريقة للتسجيل الإيجابي أرقام نسبية، بناءً على شجرة ستيرن-بروكو.

أنظمة الأرقام لمختلف الدول

نظام رقم الوحدة

على ما يبدو، ترتيبًا زمنيًا، هو نظام الأرقام الأول لكل شخص أتقن الحساب. عدد طبيعيتم تصويره بتكرار نفس الحرف (شرطة أو نقطة). على سبيل المثال، لتصوير الرقم 26، تحتاج إلى رسم 26 سطرًا (أو عمل 26 درجة على عظم أو حجر أو ما إلى ذلك). وبعد ذلك من أجل الراحة أعداد كبيرة، يتم تجميع هذه الأحرف في ثلاثات أو خمسات. ثم يبدأ استبدال مجموعات العلامات ذات الحجم المتساوي بعلامة جديدة - هكذا تظهر النماذج الأولية للأرقام المستقبلية.

نظام الأرقام المصري القديم

نظام الأرقام البابلي

أنظمة الأرقام الأبجدية

استخدم الأرمن القدماء والجورجيون واليونانيون (نظام الأرقام الأيونية) والعرب (أبجاديا) واليهود (انظر جيماتريا) وشعوب أخرى في الشرق الأوسط أنظمة الأرقام الأبجدية. في الكتب الليتورجية السلافية، تمت ترجمة النظام الأبجدي اليوناني إلى الحروف السيريلية.

نظام الأرقام العبرية

نظام الأرقام اليوناني

نظام الأرقام الرومانية

المثال الأساسي لنظام الأعداد غير الموضعي تقريبًا هو النظام الروماني، حيث يتم استخدام الحروف اللاتينية كأرقام:
أنا أمثل 1،
الخامس - 5،
س - 10،
إل-50
ج-100
د-500
م-1000

على سبيل المثال II = 1 + 1 = 2
هنا الرمز الذي أرمز إليه هو 1 بغض النظر عن مكانه في الرقم.

في الواقع، النظام الروماني ليس غير موضعي تمامًا، حيث يتم طرح الرقم الأصغر الذي يأتي قبل الرقم الأكبر منه، على سبيل المثال:

IV = 4 بينما:
السادس = 6

نظام أرقام المايا

أنظر أيضا

ملحوظات

روابط

• غاشكوف إس.بي.أنظمة الأرقام وتطبيقاتها. - م: MTsNMO، 2004. - (مكتبة "التعليم الرياضي").
• فومين إس.أنظمة الأرقام. - م: نوكا، 1987. - 48 ص. - (محاضرات شعبية في الرياضيات).
• ياجلوم آي.أنظمة الأعداد // الكم. - 1970. - رقم 6. - ص 2-10.
• الأرقام وأنظمة الأرقام. الموسوعة الإلكترونية حول العالم.
• ستاخوف أ.دور أنظمة الأرقام في تاريخ أجهزة الكمبيوتر.
• Mikushin A. V. أنظمة الأرقام. دورة محاضرات "الأجهزة الرقمية والمعالجات الدقيقة"
• Butler J. T., Sasao T. أنظمة الأرقام المتكررة ذات القيم المتعددة تتناول المقالة أنظمة الأرقام التي تستخدم أرقامًا أكبر من واحد وتسمح بالتكرار في تمثيل الأرقام

مؤسسة ويكيميديا. 2010 .

نظام رقم الوحدة

بدأت الحاجة إلى كتابة الأرقام تظهر بين الناس في العصور القديمة بعد أن تعلموا العد. والدليل على ذلك الاكتشافات الأثرية في أماكن المعسكرات. الناس البدائيونوالتي تنتمي إلى العصر الحجري القديم (10$ - 11$ ألف سنة قبل الميلاد). في البداية، تم تصوير عدد العناصر باستخدام علامات معينة: الشرطات، والشقوق، والدوائر المطبقة على الحجارة أو الخشب أو الطين، وكذلك العقد على الحبال.

الصورة 1.

يسمي العلماء هذا النظام بالتدوين وحيد (أحادي)حيث أن الرقم الموجود فيه يتكون من تكرار علامة واحدة ترمز إلى الوحدة.

عيوب النظام:

عند الكتابة عدد كبيرضروري للاستخدام عدد كبير منالعصي؛

فمن السهل ارتكاب الأخطاء عند وضع العصي.

في وقت لاحق، من أجل تسهيل العد، بدأ الناس في الجمع بين هذه العلامات.

مثال 1

يمكن العثور على أمثلة لاستخدام نظام رقم الوحدة في حياتنا. على سبيل المثال، يحاول الأطفال الصغار تصوير عمرهم بأصابعهم، أو يستخدمون أعواد العد لتعليم العد في الصف الأول.

نظام واحدليست مريحة للغاية، نظرًا لأن الإدخالات تبدو طويلة جدًا وتطبيقها ممل إلى حد ما، لذلك بدأت أنظمة الأرقام العملية في الظهور بمرور الوقت.

وهنا بعض الأمثلة.

نظام الأعداد العشرية المصرية القديمة غير الموضعية

ظهر نظام الأرقام هذا حوالي عام 3000 قبل الميلاد. نتيجة لحقيقة أن السكان مصر القديمةتوصلوا إلى نظامهم العددي الخاص، والذي، عند الإشارة إلى الأرقام الرئيسية $1$، $10$، $100$، إلخ. تم استخدام الحروف الهيروغليفية، والتي كانت ملائمة عند الكتابة على الألواح الطينية التي حلت محل الورق. وتم تكوين أرقام أخرى منها باستخدام الجمع. أولا، تم كتابة رقم الترتيب الأعلى، ثم الأدنى. لقد تضاعف المصريون وانقسموا، وتضاعفت الأعداد باستمرار. يمكن تكرار كل رقم حتى 9$ مرات. وترد أدناه أمثلة على أرقام هذا النظام.

الشكل 2.

نظام الأرقام الرومانية

لا يختلف هذا النظام كثيرًا عن النظام السابق وقد بقي حتى يومنا هذا. يعتمد على العلامات:

$I$ (إصبع واحد) للرقم $1$؛

$V$ (كف مفتوح) مقابل 5$؛

$X$ (يدين مقوستين) مقابل 10 دولارات؛

للإشارة إلى الأرقام $100$ و$500$ و$1000$، وهي الأحرف الأولى من الحروف المقابلة الكلمات اللاتينية (سنتوم- مائة، ديميل- نصف ألف ميل- ألف).

عند تجميع الأرقام، استخدم الرومان القواعد التالية:

الرقم يساوي مجموع قيم عدة "أرقام" متطابقة تقع في صف واحد وتشكل مجموعة من النوع الأول.

الرقم يساوي الفرق بين قيمتين "رقمين" إذا كان الرقم الأصغر على يسار الرقم الأكبر. في هذه الحالة، يتم طرح قيمة القيمة الأصغر من القيمة الأكبر. ويشكلون معًا مجموعة من النوع الثاني. في هذه الحالة، يمكن أن يكون "الرقم" الأيسر أقل من الرقم الأيمن بحد أقصى $1$ للطلب: $L(50)$ و$C(100$) من الأرقام "الأدنى" يمكن أن يسبقها فقط $X( 10$)، قبل $D(500$ ) و$M(1000$) - فقط $C(100$)، قبل $V(5) - I(1)$.

الرقم يساوي مجموع قيم المجموعات و"الأرقام" غير المضمنة في مجموعات $1$ أو $2$ في النموذج.

الشكل 3

تم استخدام الأرقام الرومانية منذ العصور القديمة: فهي تشير إلى التواريخ وأعداد المجلدات والأقسام والفصول. كنت أعتقد أن ذلك عادي الترقيم العربييمكن تزويرها بسهولة.

أنظمة الأرقام الأبجدية

أنظمة الأرقام هذه أكثر كمالا. وتشمل هذه اليونانية والسلافية والفينيقية واليهودية وغيرها. في هذه الأنظمة، تمت الإشارة إلى الأرقام من $1$ إلى $9$، بالإضافة إلى عدد العشرات (من $10$ إلى $90$)، والمئات (من $100$ إلى $900$) بواسطة الحروف الأبجدية.

في نظام الأرقام الأبجدية اليونانية القديمة، كانت الأرقام $1، 2، ...، 9$ يُشار إليها بالأحرف التسعة الأولى من الأبجدية اليونانية، وهكذا. تم استخدام الحروف التالية $9$ لتعيين الأرقام $10، 20، ...، 90$، وتم استخدام الحروف الأخيرة $9$ لتعيين الأرقام $100، 200، ...، 900$.

في الشعوب السلافية، تم تحديد القيم العددية للحروف وفقًا للترتيب الأبجدية السلافية، والتي استخدمت في البداية الأبجدية الجلاجوليتية، ثم الأبجدية السيريلية.

الشكل 4

ملاحظة 1

كما تم استخدام النظام الأبجدي في روس القديمة. حتى نهاية القرن السابع عشر، تم استخدام الحروف السيريلية بقيمة 27 دولارًا كأرقام.

أنظمة الأرقام غير الموضعية لها عدد من العيوب الهامة:

هناك حاجة مستمرة لإدخال أحرف جديدة لكتابة أعداد كبيرة.

لا يمكن تمثيل الأرقام الكسرية والسالبة.

من الصعب إجراء العمليات الحسابية، حيث لا توجد خوارزميات لتنفيذها.

المفاهيم الأساسية لأنظمة الأعداد

نظام الأرقام عبارة عن مجموعة من القواعد والتقنيات لكتابة الأرقام باستخدام مجموعة من الأحرف الرقمية. يُطلق على عدد الأرقام المطلوبة لكتابة رقم في النظام اسم أساس نظام الأرقام. تتم كتابة قاعدة النظام على يمين الرقم الموجود بالخط السفلي: ; ; إلخ.

هناك نوعان من أنظمة الأرقام:

الموضعية، عندما يتم تحديد قيمة كل رقم من الرقم من خلال موضعه في تدوين الرقم؛

غير موضعية، عندما لا تعتمد قيمة الرقم في الرقم على مكانه في تدوين الرقم.

مثال على نظام الأرقام غير الموضعية هو النظام الروماني: الأرقام IX، IV، XV، إلخ. مثال على نظام الأرقام الموضعية هو النظام العشري المستخدم كل يوم.

يمكن كتابة أي عدد صحيح في النظام الموضعي على هيئة كثير الحدود:

حيث S هو أساس نظام الأرقام؛

أرقام من رقم مكتوب في نظام أرقام معين؛

n هو عدد أرقام الرقم.

مثال. رقم مكتوب في شكل كثير الحدود على النحو التالي:

أنواع أنظمة الأعداد

نظام الأرقام الرومانية هو نظام غير موضعي. ويستخدم حروف الأبجدية اللاتينية لكتابة الأرقام. في هذه الحالة، الحرف I يعني دائمًا واحدًا، والحرف V يعني خمسة، وX يعني عشرة، وL يعني خمسين، وC يعني مائة، وD يعني خمسمائة، وM يعني ألف، وما إلى ذلك. على سبيل المثال، يتم كتابة الرقم 264 كـ CCLXIV. عند كتابة الأرقام في نظام الأرقام الرومانية، قيمة الرقم هي مجموع جبريالأرقام الواردة فيه. في هذه الحالة، تتبع الأرقام الموجودة في إدخال الرقم، كقاعدة عامة، ترتيبًا تنازليًا لقيمها، ولا يُسمح بكتابة أكثر من ثلاثة أرقام متطابقة جنبًا إلى جنب. في حالة وجود رقم ذو قيمة أكبر متبوعًا برقم ذو قيمة أصغر، فإن مساهمته في قيمة الرقم ككل تكون سالبة. أمثلة نموذجية توضيحية قواعد عامةترد في الجدول سجلات الأرقام في نظام الأرقام الرومانية.

الجدول 2. كتابة الأرقام في نظام الأرقام الرومانية

		ثالثا
	سابعا	ثامنا
	الثالث عشر	الثامن عشر	التاسع عشر	الثاني والعشرون
الرابع والثلاثون	التاسع والثلاثون			التاسع والعشرون
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	كمكسيكس	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	مممدلف	MMMDCLXXVIII	ط ط ط ط	MMMCMXCIX

عيب النظام الروماني هو عدم وجود قواعد رسمية لكتابة الأرقام، وبالتالي العمليات الحسابية أرقام متعددة الأرقام. نظرًا للإزعاج والتعقيد الكبير، يتم استخدام نظام الأرقام الرومانية حاليًا حيث يكون مناسبًا حقًا: في الأدب (ترقيم الفصول)، وفي الأعمال الورقية (سلسلة من جوازات السفر، والأوراق المالية، وما إلى ذلك)، ولأغراض الديكور على قرص الساعة وفي عدد من الحالات الأخرى.

يعد نظام الأرقام العشرية هو الأكثر شهرة واستخدامًا حاليًا. يعد اختراع نظام الأعداد العشرية أحد الإنجازات الرئيسية للفكر الإنساني. وبدونها، لا يمكن للتكنولوجيا الحديثة أن توجد، ناهيك عن أن تنشأ. السبب وراء قبول نظام الأرقام العشري بشكل عام ليس رياضيًا على الإطلاق. اعتاد الناس على العد بالترميز العشري لأن لديهم 10 أصابع في أيديهم.

الصورة القديمة للأرقام العشرية (الشكل 1) ليست عرضية: كل رقم يشير إلى رقم بعدد الزوايا فيه. على سبيل المثال، 0 - لا توجد زوايا، 1 - زاوية واحدة، 2 - زاويتان، إلخ. لقد خضع تهجئة الأرقام العشرية لتغييرات كبيرة. تم إنشاء النموذج الذي نستخدمه في القرن السادس عشر.

ظهر النظام العشري لأول مرة في الهند في القرن السادس تقريبًا. عهد جديد. يستخدم الترقيم الهندي تسعة أحرف رقمية وصفر للإشارة إلى موضع فارغ. في المخطوطات الهندية المبكرة التي وصلت إلينا، تم كتابة الأرقام ترتيب عكسي- معظم شخصية هامةوضعت على اليمين. ولكن سرعان ما أصبحت القاعدة هي وضع مثل هذا الشكل على الجانب الأيسر. تم إيلاء أهمية خاصة للرمز الفارغ، الذي تم تقديمه للتدوين الموضعي. لقد وصل الترقيم الهندي، بما في ذلك الصفر، إلى عصرنا. وفي أوروبا، انتشرت الأساليب الهندوسية للحساب العشري في بداية القرن الثالث عشر. بفضل عمل عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو بيزا (فيبوناتشي). الأوروبيون اقترضوا النظام الهندييحسب عند العرب ويطلق عليه العربية. تم الاحتفاظ بهذا الاسم غير الصحيح تاريخيًا حتى يومنا هذا.

يستخدم النظام العشري عشرة أرقام - 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8 و 9، بالإضافة إلى الرموز "+" و "-" للإشارة إلى علامة الرقم والفاصلة أو فترة للفصل بين الأعداد الصحيحة والكسرية.

في أجهزة الكمبيوتريتم استخدام نظام الأرقام الثنائية، قاعدته هي الرقم 2. لكتابة الأرقام في هذا النظام، يتم استخدام رقمين فقط - 0 و 1. على عكس الاعتقاد الخاطئ الشائع، تم اختراع نظام الأرقام الثنائية ليس من قبل مهندسي تصميم الكمبيوتر، ولكن لقد اكتشفها علماء الرياضيات والفلاسفة قبل وقت طويل من ظهور أجهزة الكمبيوتر، حتى في القرنين السابع عشر والتاسع عشر. أول مناقشة منشورة لنظام الأرقام الثنائية كانت من قبل الكاهن الأسباني خوان كارامويل لوبكويتز (1670). وقد لفت الانتباه العام إلى هذا النظام مقالة عالم الرياضيات الألماني جوتفريد فيلهلم لايبنتز، المنشورة عام 1703. والتي شرحت العمليات الثنائية للجمع والطرح والضرب والقسمة. لم ينصح لايبنتز باستخدام هذا النظام في الحسابات العملية، لكنه أكد على أهميته البحث النظري. مع مرور الوقت، أصبح نظام الأرقام الثنائية معروفًا ويتطور.

يتم تفسير اختيار النظام الثنائي للاستخدام في الحوسبة بحقيقة ذلك العناصر الإلكترونية- المشغلات التي تشكل رقائق الكمبيوتر لا يمكن أن تكون إلا في حالتين عاملتين.

وبمساعدة نظام الترميز الثنائي، يمكن تسجيل أي بيانات ومعرفة. من السهل أن تفهم هذا إذا كنت تتذكر مبدأ تشفير المعلومات ونقلها باستخدام كود مورس. يمكن لمشغل التلغراف، باستخدام حرفين فقط من هذه الأبجدية - النقاط والشرطات، إرسال أي نص تقريبًا.

النظام الثنائي مناسب للكمبيوتر، ولكنه غير مريح للشخص: الأرقام طويلة ويصعب كتابتها وتذكرها. بالطبع، يمكنك تحويل الرقم إلى النظام العشري وكتابته بهذا النموذج، وبعد ذلك، عندما تحتاج إلى ترجمته مرة أخرى، ولكن كل هذه الترجمات تستغرق وقتًا طويلاً. لذلك، يتم استخدام أنظمة الأرقام المرتبطة بالنظام الثنائي - الثماني والست عشري. لكتابة الأرقام في هذه الأنظمة، يلزم وجود 8 و16 رقمًا على التوالي. في النظام السداسي العشري، تكون الأرقام العشرة الأولى شائعة، ثم يتم استخدام الأحرف اللاتينية الكبيرة. الرقم الست عشري A يتوافق مع الرقم العشري 10، والرقم الست عشري B يتوافق مع الرقم العشري 10 عدد عشري 11، إلخ. يتم تفسير استخدام هذه الأنظمة من خلال حقيقة أن الانتقال إلى كتابة رقم في أي من هذه الأنظمة من تدوينه الثنائي بسيط للغاية. يوجد أدناه جدول المراسلات بين الأرقام المكتوبة في أنظمة مختلفة.

الجدول 3. مراسلات الأرقام المكتوبة أنظمة مختلفةالحساب

عدد عشري	الثنائية	ثماني	السداسي عشري
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		د http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

قواعد تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر

ترجمة الأرقام من نظام أرقام إلى آخر هي جزء مهمحساب الآلة. النظر في القواعد الأساسية للترجمة.

1. لتحويل رقم ثنائي إلى رقم عشري، من الضروري كتابته على شكل متعدد الحدود يتكون من منتجات أرقام الرقم والقوة المقابلة للرقم 2، ويتم الحساب وفقًا لقواعد الحساب العشري:

عند الترجمة، من المناسب استخدام جدول قوى العدد اثنين:

الجدول 4. صلاحيات 2

ن (درجة)
											1024

مثال. تحويل الرقم إلى نظام الأرقام العشرية.

2. لترجمة رقم ثماني إلى رقم عشري، من الضروري كتابته على شكل متعدد الحدود يتكون من منتجات أرقام الرقم والقوة المقابلة للرقم 8، ويتم الحساب وفقًا لقواعد الحساب العشري:

عند الترجمة، من المناسب استخدام جدول قوى العدد ثمانية:

الجدول 5. صلاحيات 8

ن (درجة)

بمجرد أن بدأ الناس في العد، كانت لديهم حاجة لكتابة الأرقام. وجد علماء الآثار أدلة في مواقع الأشخاص البدائيين على أنه في البداية تم كتابة أي رقم تقريبًا ببساطة من خلال عدد الرموز المطابقة له: العصي والنقاط والشرطات. ويسمى هذا النظام واحد (أحادي). يتم كتابة أي رقم في هذا النظام بتكرار حرف واحد يرمز إلى الوحدة.

على الرغم من قدم هذا النظام، إلا أنه لا يزال يستخدم حتى يومنا هذا، حيث يتم تعليم طلاب الصف الأول الاعتماد على العصي، ولتحديد الدورة التي يدرس فيها حاليًا طالب في مدرسة عسكرية، ينبغي للمرء أن يحسب عدد الخطوط المخيطة على كمه.

النظام الأحادي ليس الطريقة الأكثر ملاءمة لكتابة الأرقام، فالسجل يشغل مساحة كبيرة وتؤدي رتابة السجل إلى حدوث أخطاء، لذلك بدأت أنظمة الأرقام الأكثر ملاءمة في الظهور بمرور الوقت.

نظام الأرقام العشري المصري القديم

كان لدى المصريين القدماء نظام أرقام مناسب للغاية، وكان لديه علامات تشير إلى الأرقام الرئيسية: 1، 10، 100، إلخ. تمت كتابة بقية الأرقام باستخدام الجمع. وترد تسميات بعض الأرقام في الشكل 1.

النظام غير مستخدم حاليا.

نظام الأرقام الرومانية

وقد ظل هذا النظام دون تغيير حتى يومنا هذا. ظهرت منذ أكثر من ألفين ونصف عام روما القديمة. واعتمد على العلامات I (الإصبع) للرقم 1، V (خمسة) للرقم 5، X (اليدين) للرقم 10. وتم استخدام الحروف الأولى للإشارة إلى 100 و500 و1000 أسماء لاتينية(سنتوم - مائة، ديميل - نصف ألف، ميل - ألف). من أجل كتابة الرقم، استخدم الرومان ليس فقط المبالغ، مثل المصريين، ولكن أيضًا الفرق. ولهذا تم تطبيق قاعدة بسيطة: كل علامة أصغر بعد العلامة الأكبر تضاف إلى قيمتها، والعلامة التي قبل العلامة الأكبر تطرح من قيمتها. وبالتالي فإن IX - يرمز إلى 9، وXI - 11.

يتم استخدام الأرقام الرومانية حتى يومنا هذا، ويتم استخدامها لتسمية الأقسام والأقسام الفرعية من الكتب والقرون، كما أنها غالبًا ما تكون مكتوبة على الساعات.

أنظمة الأرقام الأبجدية

وتشمل هذه الأنظمة: اليونانية والسلافية والفنلندية وغيرها. هنا تم الإشارة إلى الأرقام من 1 إلى 9 ومن 10 إلى 90 ومن 100 إلى 900 بأحرف الأبجدية. في اليونان القديمةتم الإشارة إلى الأرقام بالأحرف التسعة الأولى من الأبجدية اليونانية. الأرقام من 10 إلى 90 هي التسعة التالية. ومن 100 إلى 900 - آخر تسعة أحرف من الأبجدية الرومانية. في السلاف، تتوافق القيم الرقمية مع الحروف بالترتيب. في البداية، تم استخدام الأبجدية الجلاجوليتية لهذا الغرض، ثم السيريلية. في روسيا، تم الحفاظ على هذا الترقيم حتى نهاية القرن السابع عشر. ثم أحضر بطرس الأول من الخارج الترقيم العربي الذي نستخدمه حتى يومنا هذا.

في سياق علوم الكمبيوتر، بغض النظر عن المدرسة أو الجامعة، يتم إعطاء مكان خاص لمفهوم مثل أنظمة الأرقام. كقاعدة عامة، يتم تخصيص العديد من الدروس أو التمارين العملية لذلك. الهدف الرئيسي ليس فقط تعلم المفاهيم الأساسية للموضوع، ودراسة أنواع أنظمة الأعداد، ولكن أيضًا التعرف على الحساب الثنائي والثماني والست عشري.

ماذا يعني ذلك؟

لنبدأ بتعريف المفهوم الرئيسي. كما يشير الكتاب المدرسي "علوم الكمبيوتر"، فإن نظام الأرقام عبارة عن سجل للأرقام يستخدم أبجدية خاصة أو مجموعة محددة من الأرقام.

اعتمادًا على ما إذا كانت قيمة الرقم تتغير من موضعه في الرقم، يتم التمييز بين نظامين: أنظمة الأرقام الموضعية وغير الموضعية.

في الأنظمة الموضعية، تتغير قيمة الرقم مع موضعه في الرقم. لذلك، إذا أخذنا الرقم 234، فإن الرقم 4 فيه يعني وحدات، ولكن إذا نظرنا إلى الرقم 243، فسيعني هنا العشرات، وليس الوحدات.

في الأنظمة غير الموضعية، تكون قيمة الرقم ثابتة، بغض النظر عن موضعه في الرقم. معظم مثال رئيسي- نظام العصا، حيث يتم الإشارة إلى كل وحدة بشرطة. بغض النظر عن المكان الذي قمت بتعيينه للعصا، فإن قيمة الرقم ستتغير بمقدار واحد فقط.

الأنظمة غير الموضعية

تشمل أنظمة الأرقام غير الموضعية ما يلي:

1. نظام واحد يعتبر من الأول. واستخدمت العصي بدلا من الأرقام. وكلما زاد العدد، زادت قيمة الرقم. يمكنك العثور على مثال للأرقام المكتوبة بهذه الطريقة في الأفلام، حيث نتحدث عن الأشخاص المفقودين في البحر، والسجناء الذين يحتفلون كل يوم بمساعدة الشقوق على الحجر أو الشجرة.
2. الرومانية، حيث تم استخدام الحروف اللاتينية بدلاً من الأرقام. باستخدامها، يمكنك كتابة أي رقم. وفي الوقت نفسه، تم تحديد قيمته باستخدام مجموع وفرق الأرقام التي يتكون منها الرقم. إذا كان هناك رقم أصغر على يسار الرقم، فسيتم طرح الرقم الأيسر من الرقم الأيمن، وإذا كان الرقم الذي على اليمين أقل من أو يساوي الرقم الذي على اليسار، فسيتم جمع قيمهم أعلى. على سبيل المثال، تم كتابة الرقم 11 كـ XI، و9 - IX.
3. الحروف التي تم فيها الإشارة إلى الأرقام باستخدام الأبجدية الخاصة بلغة معينة. يعتبر واحد منهم النظام السلافي، حيث لم يكن لعدد من الحروف قيمة صوتية فحسب، بل أيضًا قيمة رقمية.
4. حيث تم استخدام تسميتين فقط للتسجيل - الأوتاد والسهام.
5. وفي مصر أيضًا، تم استخدام رموز خاصة للدلالة على الأرقام. عند كتابة رقم، لا يمكن استخدام كل حرف أكثر من تسع مرات.

الأنظمة الموضعية

يتم إيلاء الكثير من الاهتمام في علوم الكمبيوتر لأنظمة الأرقام الموضعية. وتشمل هذه ما يلي:

• الثنائية؛
• ثماني.
• عدد عشري؛
• السداسي عشري؛
• الستيني، يستخدم عند حساب الوقت (على سبيل المثال، في الدقيقة - 60 ثانية، في الساعة - 60 دقيقة).

ولكل منهم أبجدية خاصة به في الكتابة وقواعد الترجمة والعمليات الحسابية.

النظام العشري

هذا النظام هو الأكثر دراية لنا. ويستخدم الأرقام من 0 إلى 9 لكتابة الأرقام. ويطلق عليهم أيضًا اسم اللغة العربية. اعتمادًا على موضع الرقم في الرقم، يمكن أن يشير إلى أرقام مختلفة - وحدات أو عشرات أو مئات أو آلاف أو ملايين. نحن نستخدمها في كل مكان، ونحن نعرف القواعد الأساسية التي يتم من خلالها إجراء العمليات الحسابية على الأرقام.

النظام الثنائي

أحد أنظمة الأعداد الرئيسية في علوم الكمبيوتر هو النظام الثنائي. تسمح بساطته للكمبيوتر بإجراء عمليات حسابية مرهقة أسرع عدة مرات من النظام العشري.

لكتابة الأرقام، يتم استخدام رقمين فقط - 0 و 1. وفي الوقت نفسه، اعتمادًا على موضع 0 أو 1 في الرقم، ستتغير قيمته.

في البداية، تم الحصول على كل شيء بمساعدة أجهزة الكمبيوتر معلومات ضرورية. وفي الوقت نفسه، يعني وجود إشارة تنتقل باستخدام الجهد، والصفر يعني غيابها.

النظام الثماني

نظام أرقام كمبيوتر معروف آخر يستخدم الأرقام من 0 إلى 7. وقد تم استخدامه بشكل أساسي في مجالات المعرفة المرتبطة بالأجهزة الرقمية. ولكن في مؤخرايتم استخدامه بشكل أقل تكرارًا، حيث تم استبداله بنظام الأرقام الست عشري.

ثنائي عشري

يعد تمثيل الأعداد الكبيرة في النظام الثنائي لشخص ما عملية معقدة إلى حد ما. ولتبسيط الأمر تم تطويره، ويستخدم عادة في الساعات الإلكترونية، والآلات الحاسبة. في هذا النظام، لا يتم تحويل الرقم بالكامل من النظام العشري إلى النظام الثنائي، ولكن يتم ترجمة كل رقم إلى المجموعة المقابلة من الأصفار والواحدات في النظام الثنائي. وينطبق الشيء نفسه على التحويل من الثنائي إلى العشري. يتم ترجمة كل رقم، يتم تمثيله كمجموعة مكونة من أربعة أرقام من الأصفار والواحد، إلى رقم في نظام الأرقام العشري. من حيث المبدأ، لا يوجد شيء معقد.

للعمل مع الأرقام، في هذه الحالة، يكون جدول أنظمة الأرقام مفيدًا، والذي سيشير إلى المراسلات بين الأرقام ورمزها الثنائي.

نظام سداسي عشري

في الآونة الأخيرة، أصبح نظام الأرقام السداسي العشري شائعًا بشكل متزايد في البرمجة وعلوم الكمبيوتر. فهو لا يستخدم الأرقام من 0 إلى 9 فحسب، بل يستخدم أيضًا سلسلة حروف لاتينية- أ، ب، ج، د، ه، و.

وفي الوقت نفسه، كل حرف له معنى خاص به، لذلك A=10، B=11، C=12 وهكذا. يتم تمثيل كل رقم كمجموعة من أربعة أحرف: 001F.

تحويل الأرقام: من العشري إلى الثنائي

تتم الترجمة في أنظمة الأرقام وفقًا لقواعد معينة. التحويل الأكثر شيوعًا هو من الثنائي إلى العشري والعكس.

لتحويل رقم من رقم عشري إلى ثنائي، من الضروري تقسيمه باستمرار على أساس نظام الأرقام، أي الرقم اثنين. وفي هذه الحالة يجب إصلاح ما تبقى من كل قسم. سيستمر هذا حتى يصبح باقي القسمة أقل من أو يساوي واحدًا. من الأفضل إجراء الحسابات في عمود. ثم تتم كتابة بقايا القسمة الناتجة على السلسلة بترتيب عكسي.

على سبيل المثال، دعونا نحول الرقم 9 إلى ثنائي:

نقسم 9، بما أن الرقم لا يقبل القسمة بالتساوي، فنأخذ الرقم 8، فيكون الباقي 9 - 1 = 1.

بعد قسمة 8 على 2، نحصل على 4. ونقسمه مرة أخرى، حيث أن الرقم مقسوم على اثنين - نحصل على 4 - 4 = 0 في الباقي.

نقوم بتنفيذ نفس العملية مع 2. والباقي هو 0.

ونتيجة القسمة نحصل على 1.

وبغض النظر عن نظام الأرقام النهائي، فإن نقل الأرقام من النظام العشري إلى أي نظام آخر سيتم وفق مبدأ قسمة العدد على أساس النظام الموضعي.

تحويل الأرقام: من الثنائي إلى العشري

من السهل جدًا تحويل الأرقام إلى رقم عشري من ثنائي. للقيام بذلك، يكفي معرفة قواعد رفع الأعداد إلى قوة. في هذه الحالة، إلى قوة اثنين.

خوارزمية الترجمة هي كما يلي: يجب ضرب كل رقم من رمز الرقم الثنائي في اثنين، وسيكون الأولان بقوة m-1، والثاني - m-2، وهكذا، حيث m هو الرقم من الأرقام في الكود. ثم أضف نتائج الجمع لتحصل على عدد صحيح.

بالنسبة لأطفال المدارس، يمكن شرح هذه الخوارزمية بشكل أكثر بساطة:

في البداية، نأخذ كل رقم مضروبًا في اثنين ونكتبه، ثم نكتب أس اثنين من النهاية، بدءًا من الصفر. ثم أضف الرقم الناتج.

على سبيل المثال، دعونا نحلل معك الرقم 1001 الذي تم الحصول عليه مسبقًا، وتحويله إلى النظام العشري، وفي نفس الوقت نتحقق من صحة حساباتنا.

سوف يبدو مثل هذا:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

عند دراسة هذا الموضوع، من المناسب استخدام جدول بقوة اثنين. سيؤدي هذا إلى تقليل مقدار الوقت اللازم لإجراء العمليات الحسابية بشكل كبير.

خيارات الترجمة الأخرى

في بعض الحالات، يمكن إجراء الترجمة بين النظام الثنائي والثماني، والثنائي والسداسي العشري. في هذه الحالة، يمكنك استخدام جداول خاصة أو تشغيل تطبيق الآلة الحاسبة على جهاز الكمبيوتر الخاص بك عن طريق تحديد خيار "المبرمج" في علامة التبويب "عرض".

عمليات حسابية

وبغض النظر عن الشكل الذي يتم به تمثيل الرقم، فمن الممكن إجراء العمليات الحسابية المألوفة لدينا. يمكن أن يكون هذا القسمة والضرب والطرح والجمع في نظام الأرقام الذي اخترته. وبطبيعة الحال، كل واحد منهم لديه قواعده الخاصة.

لذلك قام النظام الثنائي بتطوير جداول خاصة به لكل عملية من العمليات. يتم استخدام نفس الجداول في الأنظمة الموضعية الأخرى.

ليس من الضروري حفظها - فقط اطبعها واحتفظ بها في متناول اليد. يمكنك أيضًا استخدام الآلة الحاسبة على جهاز الكمبيوتر الخاص بك.

واحد من الموضوعات الرئيسيةفي علوم الكمبيوتر - نظام الأرقام. إن معرفة هذا الموضوع وفهم خوارزميات ترجمة الأرقام من نظام إلى آخر هو ضمان أنك ستتمكن من فهم المزيد مواضيع صعبةمثل الخوارزمية والبرمجة، وستتمكن من كتابة برنامجك الأول بنفسك.