سنبدأ بحثنا في هذا الموضوع بدراسة مفهوم الكسر ككل، مما سيعطينا فهمًا أكمل لمعنى الكسر المشترك. لنعطي المصطلحات الأساسية وتعريفها، وندرس الموضوع تفسيرا هندسيا، أي: على خط الإحداثيات، وكذلك تحديد قائمة العمليات الأساسية مع الكسور.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

الاسهم للكل

لنتخيل جسمًا يتكون من عدة أجزاء متساوية تمامًا. على سبيل المثال، يمكن أن تكون برتقالة مكونة من عدة شرائح متطابقة.

التعريف 1

جزء من الكل أو حصةهو كل جزء من الأجزاء المتساوية التي تشكل الكائن بأكمله.

من الواضح أن الأسهم يمكن أن تكون مختلفة. لشرح هذا البيان بوضوح، تخيل تفاحتين، واحدة منها مقطعة إلى جزأين متساويين، والثانية إلى أربعة. ومن الواضح أن حجم الأسهم الناتجة تفاح مختلفستختلف.

الأسهم لها أسماءها الخاصة، والتي تعتمد على عدد المشاركات التي تشكل الكائن بأكمله. إذا كان للكائن حصتان، فسيتم تعريف كل منهما على أنه حصة ثانية واحدة من هذا الكائن؛ فإذا كان الشيء مكونًا من ثلاثة أجزاء، فكل جزء منها ثلث، وهكذا.

التعريف 2

نصف- جزء ثاني واحد من الموضوع.

ثالث- ثلث الموضوع.

ربع- ربع المادة.

ولتقصير السجل، تم إدخال الترميز التالي للأسهم: نصف - 1 2 أو 1/2؛ ثالث - 1 3 أو 1/3؛ حصة الربع - 1 4 أو 1/4 وهكذا. يتم استخدام الإدخالات ذات الشريط الأفقي في كثير من الأحيان.

يتوسع مفهوم المشاركة بشكل طبيعي من الأشياء إلى الأحجام. لذلك، لقياس الأشياء الصغيرة، يمكن استخدام كسور المتر (الثلث أو المائة) كواحدة من وحدات الطول. ويمكن تطبيق حصص الكميات الأخرى بطريقة مماثلة.

الكسور الشائعة والتعريف والأمثلة

الكسور المشتركةتستخدم لوصف عدد الأسهم. دعونا نلقي نظرة على مثال بسيط سيقربنا من تعريف الكسر المشترك.

تخيل برتقالة مكونة من 12 شريحة. سيكون كل سهم بعد ذلك - واحد على اثني عشر أو 1/12. دقتان - 2/12؛ ثلاث دقات – 3/12، إلخ. ستبدو جميع الأجزاء الـ 12 أو العدد الصحيح كما يلي: 12 / 12 . كل الرموز المستخدمة في المثال هي مثال لكسر عادي.

التعريف 3

الكسر المشتركهو سجل النموذج m n أو m / n حيث m و n عبارة عن أعداد طبيعية.

وفق هذا التعريف، أمثلة على الكسور العادية يمكن أن تكون إدخالات: 4 / 9، 11 34, 917 54. وهذه المداخلات: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 ليست كسورًا عادية.

البسط والمقام

التعريف 4

البسطجزء مشترك م ن أو م / ن هو عدد طبيعيم.

المقام - صفة مشتركة - حالةجزء مشترك mn أو m/n هو العدد الطبيعي n.

أولئك. البسط هو الرقم الموجود أعلى خط الكسر المشترك (أو على يسار الشرطة المائلة)، والمقام هو الرقم الموجود أسفل السطر (على يمين الشرطة المائلة).

ما معنى البسط والمقام؟ يشير مقام الكسر العادي إلى عدد المشاركات التي يتكون منها كائن واحد، ويعطينا البسط معلومات حول عدد هذه المشاركات المعنية. على سبيل المثال، يشير لنا الكسر المشترك 7 54 إلى أن شيئًا معينًا يتكون من 54 سهمًا، وقد أخذنا 7 أسهم من هذا القبيل مقابل العوض.

العدد الطبيعي ككسر مقامه 1

يمكن أن يكون مقام الكسر العادي واحدًا. في هذه الحالة، من الممكن القول أن الشيء (الكمية) المعني غير قابل للتجزئة ويمثل شيئًا كاملاً. سيشير البسط في مثل هذا الكسر إلى عدد هذه العناصر التي تم أخذها، أي. الكسر العادي من الشكل m 1 له معنى عدد طبيعي m. هذا البيان بمثابة مبرر للمساواة م 1 = م.

لنكتب المساواة الأخيرة على النحو التالي: m = m 1 . سيتيح لنا ذلك الفرصة لاستخدام أي عدد طبيعي ككسر عادي. على سبيل المثال، الرقم 74 هو كسر عادي من الصورة 74 1.

التعريف 5

يمكن كتابة أي عدد طبيعي m في صورة كسر عادي، حيث يكون مقامه واحدًا: m 1.

وفي المقابل، يمكن تمثيل أي كسر عادي على الصورة m 1 بعدد طبيعي m.

شريط الكسر كعلامة القسمة

التمثيل المستخدم أعلاه لهذا الموضوعلأن الأجزاء n ليست أكثر من التقسيم إلى أجزاء متساوية n. عندما يتم تقسيم عنصر ما إلى n أجزاء، لدينا الفرصة لتقسيمه بالتساوي بين n من الأشخاص - يحصل الجميع على حصتهم.

في الحالة عندما يكون لدينا في البداية كائنات م متطابقة (كل منها مقسم إلى أجزاء n)، فيمكن تقسيم هذه الكائنات m بالتساوي بين n من الأشخاص، مع إعطاء كل منهم حصة واحدة من كل كائن من الكائنات m. في هذه الحالة، سيكون لكل شخص أسهم m بقيمة 1 n، وسهم m بقيمة 1 n سيعطي الكسر العادي m n. لذلك، يمكن استخدام الكسر m n لتمثيل تقسيم العناصر m بين n من الأشخاص.

البيان الناتج ينشئ علاقة بين الكسور العادية والقسمة. ويمكن التعبير عن هذه العلاقة على النحو التالي : يمكن أن يكون المقصود من خط الكسر كعلامة القسمة، أي. م/ن = م:ن.

باستخدام الكسر العادي، يمكننا كتابة نتيجة قسمة عددين طبيعيين. على سبيل المثال، نكتب قسمة 7 تفاحات على 10 أشخاص على النحو التالي: 7 10: سيحصل كل شخص على سبعة أعشار.

الكسور العادية المتساوية وغير المتساوية

الإجراء المنطقي هو مقارنة الكسور العادية، لأنه من الواضح، على سبيل المثال، أن 1 8 من تفاحة يختلف عن 7 8.

يمكن أن تكون نتيجة مقارنة الكسور العادية: متساوية أو غير متساوية.

التعريف 6

كسور مشتركة متساويةهي كسور عادية a b و c d , والتي تكون المساواة فيها صحيحة: a d = b c .

كسور مشتركة غير متساوية- الكسور العادية a b و c d ، والتي تكون فيها المساواة: a · d = b · c غير صحيحة.

مثال على الكسور المتساوية: 1 3 و 4 12 - لأن المساواة 1 12 \u003d 3 4 صحيحة.

في الحالة التي يتبين فيها أن الكسور غير متساوية، عادةً ما يكون من الضروري أيضًا معرفة أي الكسور المعطاة أقل وأيها أكبر. للإجابة على هذه الأسئلة، يتم مقارنة الكسور العادية، مما يؤدي إلى القاسم المشتركومن ثم مقارنة البسطين.

أرقام كسرية

كل جزء هو تسجيل لعدد كسري، وهو في الأساس مجرد "قشرة"، وهو تصور للحمل الدلالي. ولكن لا يزال، من أجل الراحة، نجمع بين مفاهيم الكسر والرقم الكسري، ببساطة التحدث - الكسر.

جميع الأرقام الكسرية، مثل أي رقم آخر، لها موقعها الفريد على شعاع الإحداثيات: هناك مراسلات فردية بين الكسور والنقاط على شعاع الإحداثيات.

من أجل العثور على نقطة على شعاع الإحداثيات تشير إلى الكسر m n، من الضروري رسم مقاطع m من أصل الإحداثيات في الاتجاه الإيجابي، حيث سيكون طول كل منها 1 n جزء من قطعة الوحدة. يمكن الحصول على المقاطع عن طريق تقسيم قطعة واحدة إلى عدد n من الأجزاء المتطابقة.

على سبيل المثال، لنحدد النقطة M على الشعاع الإحداثي، والتي تقابل الكسر 14 10. طول القطعة التي نهايتها النقطة O وأقرب نقطة، والمميزة بشرطة صغيرة، يساوي 1 10 أجزاء من قطعة الوحدة. تقع النقطة المقابلة للكسر 14 10 على مسافة 14 قطعة من الأصل.

إذا كانت الكسور متساوية، أي. أنها تتوافق مع نفس الرقم الكسري، ثم تعمل هذه الكسور كإحداثيات لنفس النقطة على شعاع الإحداثيات. على سبيل المثال، الإحداثيات في شكل كسور متساوية 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 تتوافق مع نفس النقطة على شعاع الإحداثيات، الموجود على مسافة ثلث قطعة الوحدة الموضوعة من الأصل في الاتجاه الإيجابي.

يعمل نفس المبدأ هنا كما هو الحال مع الأعداد الصحيحة: على شعاع الإحداثيات الأفقي الموجه إلى اليمين، ستكون النقطة التي يتوافق معها الكسر الأكبر موجودة على يمين النقطة التي يتوافق معها الكسر الأصغر. والعكس صحيح: النقطة التي يكون إحداثيها كسرًا أصغر تقع على يسار النقطة التي يتوافق معها الإحداثي الأكبر.

الكسور الصحيحة وغير الصحيحة، تعريفات، أمثلة

أساس تقسيم الكسور إلى صحيحة وغير صحيحة هو مقارنة البسط والمقام داخل نفس الكسر.

التعريف 7

جزء الصحيحهو كسر عادي يكون بسطه أصغر من مقامه. وهذا هو، إذا كان عدم المساواة م< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

جزء غير لائقهو الكسر الذي بسطه أكبر من أو يساوي المقام. أي أنه إذا تحققت المتباينة غير المحددة، فإن الكسر العادي m n غير صحيح.

وإليك بعض الأمثلة: - الكسور الصحيحة:

مثال 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

الكسور غير الصحيحة:

مثال 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

ومن الممكن أيضًا تحديد الكسور الصحيحة وغير الصحيحة بناءً على مقارنة الكسر بواحد.

التعريف 8

جزء الصحيح- كسر عادي أقل من واحد.

جزء غير لائق- كسر عادي يساوي أو أكبر من واحد.

على سبيل المثال، الكسر 8 12 صحيح، لأن 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 و 14 14 = 1.

دعونا نتعمق قليلاً في سبب تسمية الكسور التي يكون فيها البسط أكبر من أو يساوي المقام "غير صحيحة".

دعونا نفكر جزء غير لائق 8 8: تخبرنا أنه تم أخذ 8 أجزاء من جسم يتكون من 8 أجزاء. وهكذا، من الأسهم الثمانية المتاحة، يمكننا تكوين كائن كامل، أي. الكسر المعطى 8 8 يمثل بشكل أساسي الكائن بأكمله: 8 8 \u003d 1. الكسور التي يكون فيها البسط والمقام متساويين تحل محل العدد الطبيعي 1 بالكامل.

ضع في اعتبارك أيضًا الكسور التي يتجاوز فيها البسط المقام: 11 5 و 36 3 . من الواضح أن الكسر 11 5 يشير إلى أنه يمكننا أن نصنع منه جسمين كاملين ويتبقى لنا الخمس. أولئك. الكسر 11 5 عبارة عن شيئين و1 5 آخر منه. في المقابل، 36 3 عبارة عن كسر، وهو ما يعني في الأساس 12 شيئًا صحيحًا.

هذه الأمثلة تجعل من الممكن استنتاج أنه يمكن استبدال الكسور غير الصحيحة بأعداد طبيعية (إذا كان البسط يقبل القسمة على المقام بدون باقي: 8 8 = 1؛ 36 3 = 12) أو مجموع عدد طبيعي وكسر مناسب (إذا كان البسط لا يقبل القسمة على المقام بدون باقي: 5 11 = 2 + 5 1). ربما هذا هو سبب تسمية هذه الكسور بـ "غير المنتظمة".

هذا هو المكان الذي نواجه فيه إحدى أهم مهارات الأرقام.

التعريف 9

فصل الجزء كله عن الكسر غير الحقيقي- هذا تسجيل لكسر غير حقيقي كمجموع عدد طبيعي وكسر حقيقي.

لاحظ أيضًا أن هناك علاقة وثيقة بين الكسور غير الحقيقية والأعداد الكسرية.

الكسور الإيجابية والسلبية

قلنا أعلاه أن كل كسر عادي يتوافق مع عدد كسري موجب. أولئك. الكسور المشتركة هي كسور موجبة. على سبيل المثال، الكسور 5 17، 6 98، 64 79 إيجابية، وعندما يكون من الضروري التأكيد بشكل خاص على "إيجابية" الكسر، يتم كتابتها باستخدام علامة الجمع: + 5 17، + 6 98، + 64 79.

إذا قمنا بتعيين علامة ناقص لكسر عادي، فسيكون السجل الناتج عبارة عن سجل لعدد كسري سلبي، وفي هذه الحالة نتحدث عن الكسور السلبية. على سبيل المثال، - 8 17، - 78 14، إلخ.

الكسور الموجبة والسالبة m n و - m n أرقام متضادة، على سبيل المثال، الكسران 7 8 و - 7 8 متقابلان.

الكسور الموجبة، مثل أي أرقام موجبة بشكل عام، تعني إضافة، تغييرًا تصاعديًا. في المقابل، الكسور السلبية تتوافق مع الاستهلاك، والتغيير في اتجاه الانخفاض.

إذا نظرنا إلى خط الإحداثيات، فسنرى أن الكسور السالبة تقع على يسار نقطة الأصل. النقاط التي تتوافق معها الكسور المعاكسة (m n و - m n) تقع على نفس المسافة من أصل الإحداثيات O، ولكن على جوانب متقابلة منها.

سنتحدث هنا أيضًا بشكل منفصل عن الكسور المكتوبة بالشكل 0 n. مثل هذا الكسر يساوي الصفر، أي. 0 ن = 0 .

بتلخيص كل ما سبق نصل إلى المفهوم الأكثر أهمية وهو الأعداد النسبية.

التعريف 10

أرقام نسبيةهي مجموعة من الكسور الإيجابية والكسور السالبة والكسور من النموذج 0 ن.

العمليات مع الكسور

دعونا ندرج العمليات الأساسية مع الكسور. بشكل عام، جوهرها هو نفس العمليات المقابلة للأعداد الطبيعية

1. مقارنة الكسور - ناقشنا هذا الإجراء أعلاه.
2. جمع الكسور - نتيجة إضافة الكسور العادية هي كسر عادي (في حالة معينة، يتم تقليله إلى رقم طبيعي).
3. طرح الكسور هو عكس عملية الجمع، عندما يتم استخدام كسر واحد معروف ومجموعة معينة من الكسور لتحديد كسر غير معروف.
4. ضرب الكسور - يمكن وصف هذا الإجراء بأنه إيجاد كسر من كسر. نتيجة ضرب كسرين عاديين هي كسر عادي (في حالة معينة، يساوي عددًا طبيعيًا).
5. تقسيم الكسور هو الإجراء العكسي للضرب، عندما نحدد الكسر الذي يجب أن نضرب فيه الكسر المعطى لنحصل على عمل مشهوركسرين.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

الكسور

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليسوا..."
وبالنسبة لأولئك الذين "كثيرا ...")

الكسور ليست مصدر إزعاج كبير في المدرسة الثانوية. في الوقت الحاضر. حتى تصادف القوى ذات الأسس المنطقية واللوغاريتمات. و هناك... تضغط وتضغط على الآلة الحاسبة، فيظهر لك عرض كامل لبعض الأرقام. عليك أن تفكر برأسك كما في الصف الثالث.

دعونا أخيرا معرفة الكسور! طب قد ايه ممكن تحتار فيهم !؟ علاوة على ذلك، كل شيء بسيط ومنطقي. لذا، ما هي أنواع الكسور؟

أنواع الكسور. التحولات.

هناك ثلاثة أنواع من الكسور.

1. الكسور المشتركة ، على سبيل المثال:

في بعض الأحيان بدلاً من الخط الأفقي، يضعون شرطة مائلة: 1/2، 3/4، 19/5، حسنًا، وما إلى ذلك. هنا سوف نستخدم هذا التهجئة في كثير من الأحيان. الرقم العلوي يسمى البسط، أدنى - المقام - صفة مشتركة - حالة.إذا كنت تخلط بين هذه الأسماء باستمرار (يحدث...)، قل لنفسك هذه العبارة: " ززززيتذكر! ززززالقاسم - انظر zzzzzzش!" انظر، سيتم تذكر كل شيء.)

شرطة، وهي أفقية، وهي مائلة، تعني قسمالرقم العلوي (البسط) إلى الرقم السفلي (المقام). هذا كل شئ! بدلا من اندفاعة، من الممكن تماما وضع علامة القسمة - نقطتان.

ومتى كان التقسيم ممكنا تماما، فيجب القيام به. لذلك، بدلا من الكسر "32/8" هو أكثر متعة لكتابة الرقم "4". أولئك. 32 مقسومة ببساطة على 8.

32/8 = 32: 8 = 4

أنا لا أتحدث عن الكسر "4/1". وهو أيضًا "4" فقط. وإذا لم ينقسم بالكامل، نتركه على صورة كسر. في بعض الأحيان عليك أن تفعل العكس. اصنع كسرًا من عدد صحيح. ولكن أكثر عن ذلك لاحقا.

2. الكسور العشرية ، على سبيل المثال:

في هذا النموذج سيكون من الضروري كتابة الإجابات على المهام "ب".

3. أرقام مختلطة ، على سبيل المثال:

لا يتم استخدام الأعداد المختلطة عمليا في المدرسة الثانوية. ومن أجل العمل معهم، يجب تحويلهم إلى كسور عادية. ولكن عليك بالتأكيد أن تكون قادرًا على القيام بذلك! وإلا فسوف تصادف مثل هذا الرقم في مشكلة وتتجمد... من العدم. لكننا سوف نتذكر هذا الإجراء! أقل قليلا.

أكثر تنوعا الكسور المشتركة. لنبدأ معهم. بالمناسبة، إذا كان الكسر يحتوي على جميع أنواع اللوغاريتمات والجيوب والأحرف الأخرى، فهذا لا يغير شيئًا. بمعنى أن كل شيء لا تختلف الإجراءات ذات التعبيرات الكسرية عن الإجراءات ذات الكسور العادية!

الخاصية الرئيسية للكسر.

إذا هيا بنا! في البداية، سأفاجئك. يتم توفير مجموعة كاملة من تحويلات الكسور من خلال خاصية واحدة! هذا ما يطلق عليه الخاصية الرئيسية للكسر. يتذكر: إذا تم ضرب (قسمة) البسط والمقام لكسر على نفس الرقم، فإن الكسر لا يتغير.أولئك:

من الواضح أنه يمكنك الاستمرار في الكتابة حتى يصبح وجهك أزرقًا. لا تدع الجيوب واللوغاريتمات تربكك، فسنتعامل معها بشكل أكبر. الشيء الرئيسي هو أن نفهم أن كل هذه التعبيرات المختلفة موجودة نفس الكسر . 2/3.

هل نحن في حاجة إليها، كل هذه التحولات؟ وكيف! الآن سوف ترى بنفسك. أولاً، دعونا نستخدم الخاصية الأساسية للكسر تقليل الكسور. يبدو أن الشيء أساسي. نقسم البسط والمقام على نفس الرقم وهذا كل شيء! من المستحيل ارتكاب خطأ! لكن... الإنسان كائن مبدع. يمكنك ارتكاب خطأ في أي مكان! خاصة إذا كان عليك تقليل ليس كسرًا مثل 5/10، ولكن تعبيرًا كسريًا يحتوي على جميع أنواع الحروف.

يمكن قراءة كيفية تقليل الكسور بشكل صحيح وسريع دون القيام بعمل إضافي في القسم الخاص 555.

الطالب العادي لا يهتم بتقسيم البسط والمقام على نفس الرقم (أو التعبير)! إنه يشطب كل شيء بنفس الطريقة من أعلى ومن أسفل! هذا هو المكان الذي يكمن فيه خطأ نموذجي، خطأ مربك، إذا صح التعبير.

على سبيل المثال، تحتاج إلى تبسيط التعبير:

لا يوجد شيء للتفكير فيه هنا، قم بشطب الحرف "a" في الأعلى والحرف "2" في الأسفل! نحن نحصل:

كل شيء صحيح. ولكنك في الحقيقة منقسم الجميع البسط و الجميع المقام هو "أ". إذا كنت معتادًا على الشطب فقط، فيمكنك على عجل شطب الحرف "a" في التعبير

والحصول عليه مرة أخرى

والذي سيكون غير صحيح بشكل قاطع. لأن هنا الجميعالبسط على "أ" موجود بالفعل غير مشارك! لا يمكن تخفيض هذا الجزء. بالمناسبة، مثل هذا التخفيض يمثل تحديًا خطيرًا للمعلم. هذا لا يغفر! هل تذكر؟ عند التخفيض، تحتاج إلى تقسيم الجميع البسط و الجميع المقام - صفة مشتركة - حالة!

تقليل الكسور يجعل الحياة أسهل كثيرًا. سوف تحصل على كسر في مكان ما، على سبيل المثال 375/1000. كيف يمكنني الاستمرار في العمل معها الآن؟ بدون آلة حاسبة؟ اضرب، مثلا، أضف، مربع!؟ وإذا لم تكن كسولًا جدًا، وقمت بقصه بعناية بمقدار خمسة، وخمسة أخرى، وحتى... أثناء تقصيره، باختصار. دعونا نحصل على 3/8! أجمل بكثير، أليس كذلك؟

الخاصية الرئيسية للكسر تسمح لك بتحويل الكسور العادية إلى أعداد عشرية والعكس صحيح بدون آلة حاسبة! هذا مهم لامتحان الدولة الموحدة، أليس كذلك؟

كيفية تحويل الكسور من نوع إلى آخر.

مع الكسور العشرية، كل شيء بسيط. كما يسمع هكذا يكتب! لنفترض 0.25. هذه صفر فاصلة خمسة وعشرون جزءًا من مائة. فنكتب: 25/100. نقوم بالتقليل (نقسم البسط والمقام على 25) ونحصل على الكسر المعتاد: 1/4. الجميع. يحدث ذلك، ولا يتم تقليل أي شيء. مثل 0.3. وهذا ثلاثة أعشار، أي: 3/10.

ماذا لو كانت الأعداد الصحيحة ليست صفر؟ لا بأس. نكتب الكسر بأكمله بدون أي فواصلوفي البسط، وفي المقام ما سمع. على سبيل المثال: 3.17. هذه ثلاثة فاصلة سبعة عشر جزءًا من مائة. نكتب في البسط 317 وفي المقام 100. نحصل على 317/100. لم يتم تقليل أي شيء، وهذا يعني كل شيء. هذا هو الجواب. واتسون الابتدائية! ومن كل ما قيل استنتاج مفيد: يمكن تحويل أي كسر عشري إلى كسر عادي .

لكن بعض الأشخاص لا يستطيعون إجراء التحويل العكسي من العادي إلى العشري بدون آلة حاسبة. وهذا ضروري! كيف ستكتب الإجابة في امتحان الدولة الموحدة!؟ اقرأ بعناية وأتقن هذه العملية.

ما هي خاصية الكسر العشري؟ القاسم لها هو دائماًيكلف 10 أو 100 أو 1000 أو 10000 وهكذا. إذا كان للكسر المشترك مقام مثل هذا، فلا توجد مشكلة. على سبيل المثال، 4/10 = 0.4. أو 7/100 = 0.07. أو 12/10 = 1.2. ماذا لو تبين أن إجابة المهمة في القسم "ب" هي 1/2؟ ماذا سنكتب ردا؟ الأعداد العشرية مطلوبة...

دعنا نتذكر الخاصية الرئيسية للكسر ! تسمح لك الرياضيات بشكل إيجابي بضرب البسط والمقام بنفس الرقم. أي شيء، بالمناسبة! باستثناء الصفر بالطبع. لذلك دعونا نستخدم هذه الخاصية لصالحنا! ما الذي يمكن ضرب المقام به، أي: 2 بحيث يصبح 10 أو 100 أو 1000 (الأصغر هو الأفضل طبعا...)؟ في الخامسة، من الواضح. لا تتردد في مضاعفة القاسم (هذا هو نحنضروري) في 5. ولكن بعد ذلك يجب أيضًا ضرب البسط في 5. وهذا بالفعل الرياضياتحفز! نحصل على 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5. هذا كل شئ.

ومع ذلك، فإن جميع أنواع القواسم تأتي عبر. سوف تجد، على سبيل المثال، الكسر 3/16. حاول أن تعرف ما الذي يجب ضربه في 16 للحصول على 100 أو 1000... أليس هذا ناجحًا؟ ثم يمكنك ببساطة قسمة 3 على 16. في حالة عدم وجود آلة حاسبة، سيتعين عليك القسمة بزاوية، على قطعة من الورق، كما في فصول المبتدئينمُدَرّس. نحصل على 0.1875.

وهناك أيضًا قواسم سيئة للغاية. على سبيل المثال، لا توجد طريقة لتحويل الكسر 1/3 إلى عدد عشري جيد. نحصل على 0.3333333 على الآلة الحاسبة وعلى قطعة من الورق... وهذا يعني أن 1/3 هو كسر عشري دقيق لا يترجم. نفس 1/7، 5/6، وهكذا. هناك الكثير منهم، غير قابل للترجمة. وهذا يقودنا إلى نتيجة مفيدة أخرى. لا يمكن تحويل كل كسر إلى عدد عشري !

بالمناسبة، هذا معلومات مفيدةللاختبار الذاتي. في القسم "ب" يجب عليك كتابة كسر عشري في إجابتك. وحصلت، على سبيل المثال، 4/3. لا يتم تحويل هذا الكسر إلى رقم عشري. هذا يعني أنك ارتكبت خطأ في مكان ما على طول الطريق! ارجع وتحقق من الحل.

لذلك، اكتشفنا الكسور العادية والعشرية. كل ما تبقى هو التعامل مع الأعداد المختلطة. للعمل معهم، يجب تحويلها إلى كسور عادية. كيف افعلها؟ يمكنك اللحاق بطالب في الصف السادس وسؤاله. لكن طالب الصف السادس لن يكون في متناول اليد دائمًا... سيتعين عليك القيام بذلك بنفسك. ليست صعبة. تحتاج إلى ضرب مقام الجزء الكسري بالجزء الكامل وإضافة بسط الجزء الكسري. سيكون هذا هو بسط الكسر المشترك. ماذا عن القاسم؟ سيبقى القاسم كما هو. يبدو الأمر معقدا، ولكن في الواقع كل شيء بسيط. لنلقي نظرة على مثال.

لنفترض أنك شعرت بالرعب لرؤية الرقم الموجود في المشكلة:

بهدوء، دون ذعر، نفكر. الجزء كله هو 1. الوحدة. الجزء الكسري هو 3/7. وبالتالي، فإن مقام الجزء الكسري هو 7. وسيكون هذا المقام هو مقام الكسر العادي. نحن نحسب البسط. نضرب 7 في 1 (الجزء الصحيح) ونضيف 3 (بسط الجزء الكسري). لقد حصلنا على 10. سيكون هذا بسط الكسر المشترك. هذا كل شئ. يبدو الأمر أبسط في التدوين الرياضي:

هل هذا واضح؟ ثم تأمين نجاحك! تحويل إلى كسور عادية. يجب أن تحصل على 10/7، 7/2، 23/10 و21/4.

نادرًا ما تكون العملية العكسية - تحويل الكسر غير الفعلي إلى رقم مختلط - مطلوبة في المدرسة الثانوية. حسنًا، إذا كان الأمر كذلك... وإذا لم تكن في المدرسة الثانوية، فيمكنك الاطلاع على القسم الخاص 555. بالمناسبة، سوف تتعلم أيضًا عن الكسور غير الحقيقية هناك.

حسنا، هذا كل شيء عمليا. لقد تذكرت أنواع الكسور وفهمت كيف ونقلهم من نوع إلى آخر. ويبقى السؤال: لماذا افعلها؟ أين ومتى نطبق هذه المعرفة العميقة؟

أجيب. أي مثال في حد ذاته يشير إلى الإجراءات اللازمة. إذا تم في المثال خلط الكسور العادية والكسور العشرية وحتى الأعداد الكسرية معًا، فسنحول كل شيء إلى كسور عادية. يمكن القيام بذلك دائمًا. حسنًا، إذا كانت النتيجة 0.8 + 0.3، فإننا نحسبها بهذه الطريقة، دون أي ترجمة. لماذا نحتاج عمل اضافي؟ نختار الحل المناسب نحن !

إذا كانت المهمة كلها كسور عشرية، ولكن أم... نوع من الأشرار، فانتقل إلى الكسور العادية وجربها! انظر، كل شيء سوف ينجح. على سبيل المثال، سيكون عليك تربيع الرقم 0.125. الأمر ليس بهذه السهولة إذا لم تكن معتادًا على استخدام الآلة الحاسبة! ليس عليك فقط مضاعفة الأرقام في عمود، بل عليك أيضًا التفكير في مكان إدراج الفاصلة! بالتأكيد لن يعمل في رأسك! ماذا لو انتقلنا إلى كسر عادي؟

0.125 = 125/1000. نقوم بتقليله بمقدار 5 (هذا للمبتدئين). نحصل على 25/200. مرة أخرى بحلول الساعة 5. نحصل على 5/40. أوه، فإنه لا يزال يتقلص! العودة إلى 5! نحصل على 1/8. نحن نقوم بتربيعها بسهولة (في أذهاننا!) ونحصل على 1/64. الجميع!

دعونا نلخص هذا الدرس.

1. هناك ثلاثة أنواع من الكسور. الأعداد الشائعة والعشرية والمختلطة.

2. الكسور العشرية والأرقام المختلطة دائماًيمكن تحويلها إلى كسور عادية. نقل عكسي ليس دائمامتاح.

3. اختيار نوع الكسور للعمل مع مهمة ما يعتمد على المهمة نفسها. إذا كانت هناك أنواع مختلفة من الكسور في مهمة واحدة، فإن الشيء الأكثر موثوقية هو التبديل إلى الكسور العادية.

الآن يمكنك ممارسة. أولاً، قم بتحويل هذه الكسور العشرية إلى كسور عادية:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

يجب أن تحصل على إجابات مثل هذه (في حالة من الفوضى!):

دعونا ننتهي هنا. في هذا الدرس، قمنا بتحديث ذاكرتنا بشأن النقاط الأساسية المتعلقة بالكسور. ومع ذلك، يحدث أنه لا يوجد شيء خاص للتحديث...) إذا نسي شخص ما الأمر تمامًا، أو لم يتقنه بعد... فيمكنك الانتقال إلى قسم خاص 555. يتم تغطية جميع الأساسيات بالتفصيل هناك. كثير فجأة يفهم كل شئبدأوا. ويحلون الكسور بسرعة).

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

ويسمى جزء من الوحدة أو عدة أجزاء منها بالكسر البسيط أو المشترك. ويسمى عدد الأجزاء المتساوية التي تنقسم إليها الوحدة بالمقام، ويسمى عدد الأجزاء المأخوذة بالبسط. يتم كتابة الكسر على النحو التالي:

في هذه الحالة، a هو البسط، b هو المقام.

إذا كان البسط أقل من المقام، فإن الكسر أصغر من 1 ويسمى كسرًا حقيقيًا. إذا كان البسط أكبر من المقام، وكان الكسر أكبر من 1، فإن الكسر يسمى كسرًا غير فعلي.

إذا كان بسط الكسر ومقامه متساويين، فإن الكسر متساوي.

1. إذا أمكن قسمة البسط على المقام فإن هذا الكسر يساوي حاصل القسمة:

إذا تم إجراء القسمة مع الباقي، فيمكن تمثيل هذا الكسر غير الحقيقي برقم كسري، على سبيل المثال:

إذن 9 هو حاصل قسمة غير مكتمل (الجزء الصحيح من العدد المختلط)،
1 - الباقي (بسط الجزء الكسري)،
5 هو القاسم.

من أجل تحويل رقم كسري إلى كسر، تحتاج إلى ضرب الجزء الكامل من الرقم الكسري بالمقام وإضافة بسط الجزء الكسري.

ستكون النتيجة الناتجة هي بسط الكسر المشترك، لكن المقام سيبقى كما هو.

العمليات مع الكسور

توسيع الكسر.لا تتغير قيمة الكسر إذا ضربت بسطه ومقامه بنفس الرقم غير الصفر.
على سبيل المثال:

تقليل جزء.لا تتغير قيمة الكسر إذا قسمت بسطه ومقامه على نفس الرقم غير الصفر.
على سبيل المثال:

مقارنة الكسور.من الكسرين اللذين لهما نفس البسطين، يكون مقامه أصغر هو الأكبر:

من كسرين مع نفس القواسمالأكبر الذي بسطه أكبر:

لمقارنة الكسور التي تختلف بسطها ومقامها، من الضروري توسيعها، أي إحضارها إلى قاسم مشترك. خذ على سبيل المثال الكسور التالية:

جمع وطرح الكسور.إذا كانت قواسم الكسور هي نفسها، فمن أجل إضافة الكسور، تحتاج إلى إضافة بسطها، ومن أجل طرح الكسور، تحتاج إلى طرح بسطها. سيكون المجموع أو الفرق الناتج هو بسط النتيجة، لكن المقام سيبقى كما هو. إذا كانت مقامات الكسور مختلفة، فيجب عليك أولاً تقليل الكسور إلى مقام مشترك. عند إضافة أرقام كسرية، يتم إضافة أجزائها الكاملة والكسرية بشكل منفصل. عند طرح الأعداد الكسرية، عليك أولًا تحويلها إلى صورة كسور غير حقيقية، ثم طرح أحدهما من الآخر، ثم تحويل النتيجة مرة أخرى، إذا لزم الأمر، إلى صورة رقم كسري.

ضرب الكسور. لضرب الكسور، تحتاج إلى ضرب البسط والمقامات بشكل منفصل وتقسيم الناتج الأول على الثاني.

تقسيم الكسور. لقسمة رقم على كسر، عليك ضرب هذا الرقم في الكسر المتبادل.

عدد عشري- وهذا ناتج قسمة الواحد على عشرة، أو مائة، أو ألف، الخ. القطع. أولاً يتم كتابة الجزء الكامل من الرقم، ثم يتم وضع علامة عشرية على اليمين. الرقم الأول بعد العلامة العشرية يعني عدد الأعشار، والثاني - عدد المئات، والثالث - عدد الألف، وما إلى ذلك. الأرقام الموجودة بعد العلامة العشرية تسمى الكسور العشرية.

على سبيل المثال:

خصائص الأعداد العشرية

ملكيات:

• لا يتغير الكسر العشري إذا أضفت أصفارًا إلى اليمين: 4.5 = 4.5000.
• لا يتغير العلامة العشرية إذا قمت بإزالة الأصفار في نهاية العلامة العشرية: 0.0560000 = 0.056.
• يزداد العدد العشري بمقدار 10، 100، 1000، إلخ. مرات، إذا قمت بتحريك العلامة العشرية مرة واحدة، واثنين، وثلاثة، وما إلى ذلك. المواضع على اليمين: 4.5 45 (زاد الكسر 10 مرات).
• يتم تقليل العلامة العشرية بمقدار 10، 100، 1000، وما إلى ذلك. مرات، إذا قمت بنقل العلامة العشرية إلى واحد، اثنان، ثلاثة، وما إلى ذلك. المواضع على اليسار: 4.5 0.45 (انخفض الكسر 10 مرات).

يحتوي الكسر العشري الدوري على مجموعة أرقام متكررة بلا حدود تسمى النقطة: 0.321321321321…=0,(321)

العمليات مع الأعداد العشرية

تتم عملية جمع وطرح الكسور العشرية بنفس طريقة جمع وطرح الأعداد الصحيحة، كل ما عليك فعله هو كتابة الكسور العشرية المقابلة واحدًا تلو الآخر.
على سبيل المثال:

يتم ضرب الكسور العشرية على عدة مراحل:

• نحن نضرب الأعداد العشرية في أعداد صحيحة، ونتجاهل العلامة العشرية.
• تنطبق القاعدة: عدد المنازل العشرية في المنتج يساوي مجموع المنازل العشرية في جميع العوامل.

على سبيل المثال:

مجموع أعداد المنازل العشرية في العوامل يساوي: 2+1=3. أنت الآن بحاجة إلى حساب 3 أرقام من نهاية الرقم الناتج ووضع علامة عشرية: 0.675.

قسمة الأعداد العشرية. قسمة الكسر العشري على عدد صحيح: إذا كان المقسوم أقل من المقسوم عليه، فأنت بحاجة إلى كتابة صفر في الجزء الصحيح من حاصل القسمة ووضع علامة عشرية بعدها. بعد ذلك، دون مراعاة العلامة العشرية للمقسوم، أضف الرقم التالي من الجزء الكسري إلى الجزء بأكمله وقارن مرة أخرى الجزء الكامل الناتج من المقسوم مع المقسوم عليه. إذا كان الرقم الجديد أقل من المقسوم عليه مرة أخرى، فيجب تكرار العملية. تتكرر هذه العملية حتى يصبح المقسوم الناتج أكبر من المقسوم عليه. بعد ذلك يتم إجراء القسمة كما هو الحال بالنسبة للأعداد الصحيحة. إذا كان المقسوم أكبر من أو يساوي المقسوم عليه، قم أولًا بتقسيم الجزء بالكامل، ثم اكتب نتيجة القسمة في خارج القسمة ثم ضع علامة عشرية. وبعد ذلك تستمر عملية القسمة كما في حالة الأعداد الصحيحة.

قسمة كسر عشري على آخر: أولاً، يتم نقل النقاط العشرية في المقسوم والمقسوم عليه إلى عدد المنازل العشرية في المقسوم عليه، أي أننا نجعل المقسوم عليه عددًا صحيحًا، ويتم تنفيذ الإجراءات الموضحة أعلاه.

من أجل تحويل الكسر العشري إلى كسر عادي، من الضروري أن تأخذ الرقم بعد العلامة العشرية كبسط، وأن تأخذ القوة k للعشرة كمقام (k هو عدد المنازل العشرية). يتم الاحتفاظ بالجزء الصحيح غير الصفري في الكسر المشترك؛ تم حذف الجزء الصحيح الصفري.
على سبيل المثال:

لتحويل كسر إلى عدد عشري، يجب عليك قسمة البسط على المقام وفقًا لقواعد القسمة.

النسبة المئوية هي جزء من مائة من الوحدة، على سبيل المثال: 5% تعني 0.05. النسبة هي حاصل قسمة رقم على آخر. النسبة هي تساوي النسبتين.

على سبيل المثال:

الخاصية الرئيسية للتناسب: حاصل ضرب الحدود القصوى للنسبة يساوي حاصل ضرب الحدود الوسطى، أي 5x30 = 6x25. تسمى الكميتان المعتمدتان على بعضهما البعض بالتناسب إذا ظلت نسبة الكميتين دون تغيير (معامل التناسب).

وهكذا يتم الكشف عن العمليات الحسابية التالية.
على سبيل المثال:

تتضمن مجموعة الأعداد النسبية أرقامًا موجبة وسالبة (الأعداد الصحيحة والكسور) والصفر. التعريف الأكثر دقة للأرقام العقلانية المقبولة في الرياضيات هو كما يلي: يُسمى الرقم عقلانيًا إذا كان من الممكن تمثيله ككسر عادي غير قابل للاختزال من النموذج: حيث a و b أعداد صحيحة.

لرقم سلبي قيمه مطلقه(المعامل) هو رقم موجب يتم الحصول عليه عن طريق تغيير إشارته من "-" إلى "+"؛ للرقم الموجب والصفر - الرقم نفسه. للإشارة إلى معامل الرقم، يتم استخدام خطين مستقيمين، يكتب ضمنهما هذا الرقم، على سبيل المثال: |–5|=5.

خصائص القيمة المطلقة

دع معامل الرقم يعطى ، والتي تكون الخصائص التالية صحيحة:

وحيدة الحد هي حاصل ضرب عاملين أو أكثر، كل واحد منهم إما رقم أو حرف أو قوة حرف: 3 x a x b. غالبًا ما يُشار إلى المعامل على أنه مجرد مضاعف عددي. تسمى أحاديات الحد متشابهة إذا كانت متماثلة أو تختلف في المعاملات فقط. درجة أحادية الحد هي مجموع أسس جميع حروفها. إذا كان هناك أشياء متشابهة بين مجموع أحاديات الحد، فيمكن تخفيض المبلغ إلى المزيد عرض بسيط: 3 × أ × ب + 6 × أ = 3 × أ × (ب + 2). تسمى هذه العملية بإكراه المصطلحات المتشابهة أو الأقواس.

كثير الحدود هو مجموع جبريوحيدات الحد. درجة كثيرة الحدود هي أعظم درجات أحاديات الحد المتضمنة في كثيرة الحدود المعطاة.

هناك الصيغ التالية للضرب المختصر:

طرق التخصيم:

الكسر الجبري هو تعبير عن الصيغة، حيث يمكن أن يكون A وB عددًا أو أحاديًا أو متعدد الحدود.

إذا كان هناك تعبيران (رقمي وأبجدي) مرتبطان بالعلامة "="، فيقال إنهما يشكلان مساواة. أي مساواة حقيقية صالحة لجميع القيم العددية المسموح بها للأحرف المضمنة فيها تسمى هوية.

المعادلة هي مساواة حرفية صالحة لقيم معينة من الحروف المتضمنة فيها. تسمى هذه الحروف مجهولة (متغيرات)، وقيمها، التي تتحول عندها هذه المعادلة إلى هوية، تسمى جذور المعادلة.

حل المعادلة يعني إيجاد جميع جذورها. تسمى معادلتان أو أكثر متكافئة إذا كانت لهما نفس الجذور.

• وكان الصفر هو جذر المعادلة؛
• تحتوي المعادلة على عدد محدود من الجذور.

الأنواع الأساسية للمعادلات الجبرية:

بالنسبة للمعادلة الخطية ax + b = 0:

• إذا كان x 0، هناك جذر واحد x = -b/a;
• إذا كان a = 0، b ≠ 0، فلا توجد جذور؛
• إذا كان a = 0، b = 0، فإن الجذر هو أي عدد حقيقي.

المعادلة xn = a,n N:

• إذا كان n رقمًا فرديًا، فإن أي a له جذر حقيقي يساوي a/n؛
• إذا كان n رقمًا زوجيًا، ففي حالة 0، يكون له جذرين.

تحويلات الهوية الأساسية: استبدال تعبير بآخر مماثل له؛ نقل شروط المعادلة من طرف إلى آخر بإشارات متضادة؛ ضرب أو قسمة طرفي المعادلة على نفس التعبير (الرقم) غير الصفر.

المعادلة الخطية ذات المجهول الواحد هي معادلة على الشكل: ax+b=0، حيث a وb أرقام معروفة، وx كمية مجهولة.

أنظمة من اثنين المعادلات الخطيةمع اثنين من المجهولين لديهم النموذج:

حيث يتم إعطاء أرقام a، b، c، d، e، f؛ x، y مجهولة.

الأرقام أ، ب، ج، د هي معاملات للمجهول؛ e، f هي شروط مجانية. يمكن إيجاد حل هذا النظام من المعادلات بطريقتين رئيسيتين: طريقة الاستبدال: من معادلة واحدة نعبر عن أحد المجهولين بمعاملات ومجهول آخر ثم نعوض به في المعادلة الثانية، ونحل المعادلة الأخيرة نقوم أولاً نجد مجهولا، ثم نعوض بالقيمة الموجودة في المعادلة الأولى ونجد المجهول الثاني؛ طريقة لإضافة أو طرح معادلة من أخرى.

العمليات مع الجذور:

الجذر الحسابي الدرجة التاسعةمن رقم غير سالب يسمى رقم غير سالب، الدرجة التاسعةوهو يساوي أ. جبري الجذر ندرجة عدد معين هي مجموعة جميع جذور هذا الرقم.

الأعداد غير النسبية، على عكس الأعداد النسبية، لا يمكن تمثيلها ككسر عادي غير قابل للاختزال من النموذج m/n، حيث m و n أعداد صحيحة. وهي أرقام من نوع جديد يمكن حسابها بأي دقة، لكن لا يمكن استبدالها رقم منطقي. ويمكن أن تظهر نتيجة للقياسات الهندسية، على سبيل المثال: نسبة طول قطر المربع إلى طول ضلعه متساوية.

المعادلة التربيعية هي معادلة جبرية من الدرجة الثانية ax2+bx+c=0، حيث a، b، c معطاة بمعاملات رقمية أو حرفية، x مجهول. إذا قسمنا جميع حدود هذه المعادلة على a، تكون النتيجة x2+px+q=0 - المعادلة المخفضة p=b/a, q=c/a. تم العثور على جذورها بالصيغة:

إذا كان b2-4ac>0، فهناك جذرين مختلفين، b2- 4ac=0، إذًا هناك جذرين متساويين؛ معادلات b2-4ac تحتوي على معاملات

الأنواع الأساسية للمعادلات التي تحتوي على وحدات:
1) |و(س)| = |ز(س)|;
2) |و(س)| = ز(س);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0، n N، حيث يتم إعطاء وظائف f(x)، g(x)، fk(x)، gk(x).

البسط، وما يقسم عليه هو المقام.

لكتابة كسر، اكتب البسط أولًا، ثم ارسم خطًا أفقيًا أسفل الرقم، واكتب المقام أسفل الخط. الخط الأفقي الذي يفصل بين البسط والمقام يسمى خط الكسر. في بعض الأحيان يتم تصويره على أنه "/" أو "∕" مائل. في هذه الحالة، يتم كتابة البسط على يسار السطر، والمقام على اليمين. لذلك، على سبيل المثال، سيتم كتابة الكسر "الثلثين" بالشكل 2/3. من أجل الوضوح، عادة ما يتم كتابة البسط في أعلى السطر، والمقام في الأسفل، أي أنه بدلاً من 2/3 يمكنك العثور على: ⅔.

لحساب حاصل ضرب الكسور، قم أولًا بضرب البسط واحد الكسورإلى البسط مختلف. اكتب النتيجة في البسط الجديد الكسور. بعد ذلك، اضرب المقامات. أدخل القيمة الإجمالية في الجديد الكسور. على سبيل المثال، 1/3؟ 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1؛ 3 × 5 = 15).

لقسمة كسر على آخر، عليك أولاً ضرب بسط الأول في مقام الثاني. افعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني (المقسوم عليه). أو، قبل تنفيذ جميع الإجراءات، قم أولاً "بقلب" المقسوم عليه، إذا كان الأمر أكثر ملاءمة لك: يجب أن يظهر المقام بدلاً من البسط. ثم اضرب مقام المقسوم في المقام الجديد للمقسوم عليه واضرب البسطين. على سبيل المثال، 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

مصادر:

• مسائل الكسر الأساسية

يمكن التعبير عن الأرقام الكسرية في بأشكال مختلفةالقيمة الدقيقة للكمية. يمكنك أن تفعل الشيء نفسه مع الكسور عمليات رياضيةكما هو الحال مع الأعداد الصحيحة: الطرح والجمع والضرب والقسمة. لتعلم اتخاذ القرار الكسوريجب أن نتذكر بعض ميزاتها. يعتمدون على النوع الكسور، وجود جزء صحيح، قاسم مشترك. تتطلب بعض العمليات الحسابية تقليل الجزء الكسري من النتيجة بعد التنفيذ.

سوف تحتاج

• - آلة حاسبة

تعليمات

انظر عن كثب إلى الأرقام. إذا كان هناك كسور عشرية وغير منتظمة بين الكسور، في بعض الأحيان يكون من الملائم أكثر إجراء العمليات مع الكسور العشرية أولاً، ثم تحويلها إلى الشكل غير المنتظم. هل يمكنك الترجمة الكسورفي هذا النموذج في البداية، كتابة القيمة بعد العلامة العشرية في البسط ووضع 10 في المقام. إذا لزم الأمر، قم بتبسيط الكسر عن طريق قسمة الأرقام الموجودة بالأعلى والأسفل على مقسوم واحد. الكسور التي يتم فيها عزل الجزء بالكامل يجب تحويلها إلى الشكل الخاطئ عن طريق ضربها في المقام وإضافة البسط إلى النتيجة. القيمة المعطاةسوف يصبح البسط الجديد الكسور. لاختيار جزء كامل من جزء غير صحيح في البداية الكسور، تحتاج إلى قسمة البسط على المقام. اكتب النتيجة كاملة من الكسور. وسيصبح باقي القسمة هو البسط والمقام الجديد الكسورلا يتغير. بالنسبة للكسور التي تحتوي على جزء صحيح، من الممكن تنفيذ إجراءات بشكل منفصل، أولاً للعدد الصحيح ثم للأجزاء الكسرية. على سبيل المثال، يمكن حساب مجموع 1 2/3 و2 ¾:
- تحويل الكسور إلى الصورة الخاطئة:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12؛
- جمع الأجزاء الصحيحة والكسرية من المصطلحات بشكل منفصل:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

أعد كتابتها باستخدام الفاصل ":" واستمر في القسمة العادية.

للحصول على النتيجة النهائية، قم بتقليل الكسر الناتج عن طريق قسمة البسط والمقام على عدد صحيح واحد، وهو أكبر عدد ممكن في هذه الحالة. في هذه الحالة، يجب أن تكون هناك أعداد صحيحة أعلى الخط وتحته.

ملحوظة

لا تقم بإجراء العمليات الحسابية مع الكسور التي تختلف مقاماتها. اختر رقمًا بحيث عندما تضرب بسط ومقام كل كسر به، تكون النتيجة أن مقامي الكسرين متساويان.

نصائح مفيدة

عند كتابة الأعداد الكسرية، يتم كتابة المقسوم فوق السطر. يتم تعيين هذه الكمية كبسط للكسر. يُكتب المقسوم عليه أو مقامه أسفل السطر. على سبيل المثال، سيتم كتابة كيلو ونصف من الأرز ككسر على النحو التالي: 1 ½ كجم من الأرز. إذا كان مقام الكسر 10، يسمى الكسر عددًا عشريًا. في هذه الحالة، يتم كتابة البسط (العائد) على يمين الجزء بأكمله، مفصولاً بفاصلة: 1.5 كجم من الأرز. ولتسهيل الحساب، يمكن دائمًا كتابة هذا الكسر بالشكل الخاطئ: 1 2/10 كجم من البطاطس. للتبسيط، يمكنك تقليل قيم البسط والمقام عن طريق قسمتهما على عدد صحيح واحد. في في هذا المثاليمكن تقسيمها على 2. وستكون النتيجة 1 1/5 كجم من البطاطس. تأكد من أن الأرقام التي ستقوم بإجراء العمليات الحسابية بها هي بنفس الشكل.

الإجراءات مع الكسور. في هذه المقالة سننظر في الأمثلة، كل شيء بالتفصيل مع التوضيحات. سننظر في الكسور العادية. سننظر في الكسور العشرية في وقت لاحق. أنصح بمشاهدة الموضوع كاملاً ودراسته بالتسلسل.

1. مجموع الكسور، الفرق بين الكسور.

القاعدة: عند إضافة كسور ذات قواسم متساوية، تكون النتيجة كسرًا - يبقى مقامه كما هو، وسيكون بسطه مساويًا لمجموع بسط الكسور.

القاعدة: عند حساب الفرق بين الكسور ذات القواسم نفسها، نحصل على كسر - يبقى المقام كما هو، ويتم طرح بسط الثاني من بسط الكسر الأول.

تدوين رسمي لمجموع وفرق الكسور ذات المقامات المتساوية:

أمثلة (1):

من الواضح أنه عندما يتم إعطاء الكسور العادية، فكل شيء بسيط، ولكن ماذا لو تم خلطها؟ لا شيء معقد...

الخيار 1– يمكنك تحويلها إلى عادية ومن ثم حسابها.

الخيار 2- يمكنك "العمل" بشكل منفصل مع الأجزاء الصحيحة والكسرية.

أمثلة (2):

أكثر:

وإذا كان الفرق بين اثنين معطى كسور مختلطةويكون بسط الكسر الأول أقل من بسط الثاني؟ يمكنك أيضًا التصرف بطريقتين.

أمثلة (3):

* يتم ترجمتها إلى كسور عادية، وحساب الفرق، وتحويل الكسر غير الصحيح الناتج إلى كسر مختلط.

* مقسمة إلى أجزاء صحيحة وكسرية، حصلت على ثلاثة، ثم قدمت 3 كمجموع 2 و 1، مع تقديم الوحدة كـ 11/11، ثم وجدت الفرق بين 11/11 و 11/7 واحتسبت النتيجة. معنى التحويلات المذكورة أعلاه هو أخذ (تحديد) الوحدة وتقديمها ككسر مع المقام الذي نحتاجه، ثم من هذا الكسر يمكننا بالفعل طرح آخر.

مثال آخر:

الخلاصة: هناك نهج عالمي - من أجل حساب مجموع (الفرق) من الكسور المختلطة ذات القواسم المتساوية، يمكن دائما تحويلها إلى غير صحيحة، ثم القيام بالإجراء اللازم. بعد ذلك، إذا حصلنا على كسر غير فعلي، فإننا نترجمه إلى كسر مختلط.

لقد نظرنا أعلاه إلى أمثلة للكسور التي لها مقامات متساوية. ماذا لو كانت القواسم مختلفة؟ في هذه الحالة، يتم تقليل الكسور إلى نفس المقام ويتم تنفيذ الإجراء المحدد. لتغيير (تحويل) الكسر، يتم استخدام الخاصية الأساسية للكسر.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة بسيطة:

في هذه الأمثلة، نلاحظ على الفور كيف يمكن تحويل أحد الكسرين للحصول على مقامين متساويين.

إذا حددنا طرقًا لتبسيط الكسور إلى مقام واحد، فسيتم تسمية هذا المقام الطريقة الأولى.

وهذا هو، على الفور عند "تقييم" الكسر، تحتاج إلى معرفة ما إذا كان هذا النهج سيعمل - نتحقق مما إذا كان المقام الأكبر قابل للقسمة على الأصغر. وإذا تم تقسيمه، فإننا نقوم بالتحويل - نضرب البسط والمقام حتى تصبح مقامات الكسرين متساوية.

والآن انظر إلى هذه الأمثلة:

وهذا النهج لا ينطبق عليهم. هناك أيضًا طرق لاختزال الكسور إلى مقام مشترك؛ فلنفكر فيها.

الطريقة الثانية.

اضرب بسط ومقام الكسر الأول في مقام الثاني، وبسط ومقام الكسر الثاني في مقام الأول:

*في الواقع، نقوم بتبسيط الكسور لتكوينها عندما تصبح المقامات متساوية. بعد ذلك، نستخدم قاعدة جمع الكسور ذات المقامات المتساوية.

مثال:

*يمكن تسمية هذه الطريقة بأنها عالمية، وهي تعمل دائمًا. السلبية الوحيدة هي أنه بعد الحسابات قد يكون هناك جزء يحتاج إلى مزيد من التخفيض.

لنلقي نظرة على مثال:

يمكن ملاحظة أن البسط والمقام قابلان للقسمة على 5:

الطريقة الثالثة.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للمقامات. وسيكون هذا هو القاسم المشترك. أي نوع من هذا الرقم؟ هذا هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على كل رقم.

انظر، هنا رقمان: 3 و 4، هناك العديد من الأرقام التي تقبل القسمة عليهما - هذه هي 12، 24، 36، ... أصغرهما هو 12. أو 6 و 15، وهما يقبلان القسمة على 30، 60، 90 .... الأقل 30. سؤال - كيفية تحديد هذا المضاعف المشترك الأصغر؟

هناك خوارزمية واضحة، ولكن في كثير من الأحيان يمكن القيام بذلك على الفور دون حسابات. على سبيل المثال، وفقًا للأمثلة المذكورة أعلاه (3 و4 و6 و15) ليست هناك حاجة إلى خوارزمية، فقد أخذنا أعدادًا كبيرة (4 و15) وقمنا بمضاعفتها ورأينا أنها قابلة للقسمة على الرقم الثاني، ولكن يمكن لأزواج من الأرقام يكون غيرها، على سبيل المثال 51 و 119.

خوارزمية. من أجل تحديد المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام، يجب عليك:

- قم بتحليل كل رقم من الأرقام إلى عوامل بسيطة

- اكتب التحلل الأكبر منها

- اضربها بالعوامل المفقودة للأرقام الأخرى

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

50 و 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

في التحلل أكثرواحد خمسة مفقود

=> م م(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 و 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

وفي توسيع عدد أكبر، اثنان وثلاثة مفقودون

=> م م(48.72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* المضاعف المشترك الأصغر للاثنين الأعداد الأوليةيساوي منتجاتهم

سؤال! لماذا يعتبر إيجاد المضاعف المشترك الأصغر مفيدًا، حيث يمكنك استخدام الطريقة الثانية وتبسيط الكسر الناتج؟ نعم، يمكنك ذلك، لكن الأمر ليس مناسبًا دائمًا. انظر إلى مقام الرقمين 48 و72 إذا قمت بضربهما ببساطة 48∙72 = 3456. ستوافق على أنه من الممتع العمل مع أرقام أصغر.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

في توسيع عدد أكبر، الثلاثي مفقود

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

والآن نطبق الطريقة الأولى:

*انظر إلى الفرق في الحسابات، في الحالة الأولى يوجد حد أدنى منها، لكن في الحالة الثانية تحتاج إلى العمل بشكل منفصل على قطعة من الورق، وحتى الكسر الذي تلقيته يحتاج إلى تقليل. يؤدي العثور على LCM إلى تبسيط العمل إلى حد كبير.

مزيد من الأمثلة:

*في المثال الثاني يتضح أن أصغر عدد يقبل القسمة على 40 و60 هو 120.

نتيجة! خوارزمية الحساب العامة!

— نقوم بتبديل الكسور إلى كسور عادية إذا كان هناك جزء صحيح.

- نأتي بالكسور إلى مقام مشترك (أولاً ننظر إلى ما إذا كان المقام قابلاً للقسمة على آخر؛ وإذا كان قابلاً للقسمة، فإننا نضرب البسط والمقام لهذا الكسر الآخر؛ وإذا لم يكن قابلاً للقسمة، فإننا نتصرف باستخدام الطرق الأخرى المشار إليها أعلاه).

- بعد الحصول على كسور ذات قواسم متساوية نقوم بإجراء العمليات (الجمع والطرح).

- إذا لزم الأمر، نقوم بتقليل النتيجة.

- إذا لزم الأمر، حدد الجزء بأكمله.

2. منتج الكسور.

القاعدة بسيطة. عند ضرب الكسور، يتم ضرب بسطها ومقامها:

أمثلة: