تحديد المتوسط ​​والتباين وشكل التوزيع. الإحصاء الوصفي. كيفية حساب متوسط ​​سلسلة من الأرقام

لنفترض أنك بحاجة إلى العثور على متوسط ​​عدد الأيام التي يقضيها موظفون مختلفون في إكمال المهام. أو تريد حساب فترة زمنية مدتها 10 سنوات لمتوسط ​​درجة الحرارة في يوم معين. حساب متوسط ​​سلسلة من الأرقام بعدة طرق.

المتوسط ​​هو دالة لمقياس الاتجاه المركزي الذي يقع فيه مركز سلسلة من الأرقام في التوزيع الإحصائي. ثلاثة هي المعايير الأكثر شيوعا للنزعة المركزية.

متوسطيتم حساب الوسط الحسابي عن طريق إضافة سلسلة من الأرقام ثم قسمة عدد تلك الأرقام. على سبيل المثال، متوسط ​​2 و3 و3 و5 و7 و10 هو 30 مقسومًا على 6.5؛

الوسيطمتوسط ​​عدد سلسلة من الأرقام. نصف الأرقام لها قيم أكبر من الوسيط، ونصف الأرقام لها قيم أقل من الوسيط. على سبيل المثال، متوسط ​​2 و3 و3 و5 و7 و10 هو 4.

وضعالرقم الأكثر شيوعا في مجموعة من الأرقام. على سبيل المثال، الوضع 2، 3، 3، 5، 7 و10 - 3.

هذه المقاييس الثلاثة للنزعة المركزية، أي التوزيع المتماثل لسلسلة من الأرقام، هي نفسها. في التوزيع غير المتماثل لعدد من الأرقام، يمكن أن تكون مختلفة.

حساب متوسط ​​الخلايا المتجاورة في نفس الصف أو العمود

اتبع الخطوات التالية:

حساب متوسط ​​الخلايا العشوائية

لتنفيذ هذه المهمة، استخدم الوظيفة متوسط. انسخ الجدول أدناه على ورقة فارغة.

حساب المتوسط ​​المرجح

منتج مصغرو كميات. مثال vThis يحسب متوسط ​​السعروحدات القياس المدفوعة عبر ثلاث عمليات شراء، حيث تقع كل عملية شراء لعدد مختلف من وحدات القياس أسعار مختلفةلوحدة.

انسخ الجدول أدناه على ورقة فارغة.

حساب متوسط ​​الأرقام، باستثناء القيم الصفرية

لتنفيذ هذه المهمة، استخدم الوظائف متوسطو لو. انسخ الجدول أدناه وتذكر أنه في هذا المثال، لتسهيل الفهم، انسخه على ورقة فارغة.

من أجل العثور على القيمة المتوسطة في Excel (بغض النظر عما إذا كانت قيمة رقمية أو نصية أو نسبة مئوية أو قيمة أخرى)، هناك العديد من الوظائف. ولكل منهم خصائصه ومزاياه. في الواقع، في هذه المهمة قد يتم وضع شروط معينة.

على سبيل المثال، يتم حساب القيم المتوسطة لسلسلة من الأرقام في برنامج Excel باستخدام الدوال الإحصائية. يمكنك أيضًا إدخال الصيغة الخاصة بك يدويًا. دعونا نفكر في الخيارات المختلفة.

كيفية العثور على الوسط الحسابي للأرقام؟

للعثور على الوسط الحسابي، تحتاج إلى جمع جميع الأرقام في المجموعة وتقسيم المجموع على الكمية. على سبيل المثال، درجات الطالب في علوم الكمبيوتر: 3، 4، 3، 5، 5. ما يتضمنه الربع: 4. وجدنا الوسط الحسابي باستخدام الصيغة: =(3+4+3+5+5) /5.

كيفية القيام بذلك بسرعة باستخدام وظائف اكسل؟ لنأخذ على سبيل المثال السلسلة أرقام عشوائيةفي النسق:

أو: أنشئ الخلية النشطة وأدخل الصيغة يدويًا: =AVERAGE(A1:A8).

الآن دعونا نرى ما يمكن أن تفعله الدالة AVERAGE أيضًا.

دعونا نجد الوسط الحسابي للرقمين الأولين والثلاثة الأخيرة. الصيغة: =المتوسط(A1:B1,F1:H1). نتيجة:



الحالة متوسطة

يمكن أن يكون شرط إيجاد الوسط الحسابي معيارًا رقميًا أو معيارًا نصيًا. سوف نستخدم الدالة: =AVERAGEIF().

أوجد الوسط الحسابي للأعداد الأكبر من أو تساوي 10.

الوظيفة: =AVERAGEIF(A1:A8،">=10")

نتيجة استخدام الدالة AVERAGEIF بالشرط ">=10":

تم حذف الوسيطة الثالثة - "النطاق المتوسط". بادئ ذي بدء، ليس مطلوبا. ثانيًا، النطاق الذي تم تحليله بواسطة البرنامج يحتوي على قيم رقمية فقط. سيتم البحث في الخلايا المحددة في الوسيطة الأولى وفقًا للشرط المحدد في الوسيطة الثانية.

انتباه! يمكن تحديد معيار البحث في الخلية. وقم بعمل رابط لها في الصيغة.

دعونا نجد القيمة المتوسطة للأرقام باستخدام معيار النص. على سبيل المثال متوسط ​​مبيعات المنتج “الجداول”.

ستبدو الدالة كما يلي: =AVERAGEIF($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). النطاق - عمود بأسماء المنتجات. معيار البحث هو رابط لخلية تحتوي على كلمة "جداول" (يمكنك إدراج كلمة "جداول" بدلاً من الرابط A7). نطاق المتوسط ​​– تلك الخلايا التي سيتم أخذ البيانات منها لحساب القيمة المتوسطة.

ونتيجة لحساب الدالة نحصل على القيمة التالية:

انتباه! بالنسبة لمعيار النص (الشرط)، يجب تحديد نطاق المتوسط.

كيفية حساب متوسط ​​السعر المرجح في إكسيل؟

كيف عرفنا متوسط ​​السعر المرجح؟

الصيغة: =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).

باستخدام صيغة SUMPRODUCT، يمكننا معرفة إجمالي الإيرادات بعد بيع الكمية الكاملة من البضائع. والدالة SUM تلخص كمية البضائع. وبقسمة إجمالي الإيرادات من بيع البضائع على إجمالي عدد وحدات البضائع، وجدنا متوسط ​​السعر المرجح. يأخذ هذا المؤشر في الاعتبار "وزن" كل سعر. حصتها في الكتلة الإجمالية للقيم.

الانحراف المعياري: الصيغة في Excel

هناك انحرافات معيارية لعموم السكان وللعينة. وفي الحالة الأولى، هذا هو أصل التباين العام. وفي الثاني من تباين العينة.

لحساب هذا المؤشر الإحصائي، يتم تجميع صيغة التشتت. ويستخرج منه الجذر. ولكن في Excel هناك وظيفة جاهزة للعثور على الانحراف المعياري.

يرتبط الانحراف المعياري بمقياس البيانات المصدر. وهذا لا يكفي للحصول على تمثيل مجازي لتنوع النطاق الذي تم تحليله. للحصول على المستوى النسبي لتشتت البيانات، يتم حساب معامل الاختلاف:

الانحراف المعياري / المتوسط ​​الحسابي

تبدو الصيغة في Excel كما يلي:

STDEV (نطاق القيم) / المتوسط ​​(نطاق القيم).

يتم حساب معامل الاختلاف كنسبة مئوية. لذلك، قمنا بتعيين تنسيق النسبة المئوية في الخلية.

يضيع في حساب المتوسط.

متوسط معنىمجموعة الأرقام تساوي مجموع الأرقام S مقسومًا على عدد هذه الأرقام. وهذا هو، اتضح ذلك متوسط معنىيساوي: 19/4 = 4.75.

ملحوظة

إذا كنت تريد إيجاد الوسط الهندسي لعددين فقط، فلن تحتاج إلى آلة حاسبة هندسية: خذ الجذر الثاني ( الجذر التربيعي) من أي رقم يمكن إجراؤه باستخدام الآلة الحاسبة الأكثر شيوعًا.

نصائح مفيدة

وبخلاف الوسط الحسابي فإن الوسط الهندسي لا يتأثر بشدة بالانحرافات والتقلبات الكبيرة بين القيم الفردية في مجموعة المؤشرات قيد الدراسة.

مصادر:

• آلة حاسبة على الإنترنت تحسب المتوسط ​​الهندسي
• صيغة المتوسط ​​الهندسي

متوسطالقيمة هي إحدى خصائص مجموعة من الأرقام. يمثل رقمًا لا يمكن أن يكون خارج النطاق الذي يحدده الأكبر و أدنى القيمفي هذه المجموعة من الأرقام. متوسطالقيمة الحسابية هي النوع الأكثر استخدامًا من المتوسطات.

تعليمات

اجمع كل الأرقام الموجودة في المجموعة واقسمها على عدد الحدود لتحصل على المتوسط ​​الحسابي. اعتمادًا على شروط الحساب المحددة، يكون من الأسهل أحيانًا تقسيم كل رقم على عدد القيم في المجموعة وجمع النتيجة.

استخدم، على سبيل المثال، المضمنة في نظام التشغيل Windows إذا لم يكن من الممكن حساب المتوسط ​​الحسابي في رأسك. يمكنك فتحه باستخدام مربع حوار تشغيل البرنامج. للقيام بذلك، اضغط على المفاتيح الساخنة WIN + R أو انقر فوق الزر "ابدأ" وحدد الأمر "تشغيل" من القائمة الرئيسية. ثم اكتب calc في حقل الإدخال واضغط على Enter أو انقر فوق الزر "موافق". يمكنك فعل الشيء نفسه من خلال القائمة الرئيسية - افتحها وانتقل إلى قسم "كافة البرامج" وفي قسم "قياسي" وحدد سطر "الآلة الحاسبة".

أدخل جميع الأرقام الموجودة في المجموعة بالتسلسل عن طريق الضغط على مفتاح Plus بعد كل منها (ما عدا الرقم الأخير) أو النقر على الزر المقابل في واجهة الآلة الحاسبة. يمكنك أيضًا إدخال الأرقام إما من لوحة المفاتيح أو عن طريق النقر على أزرار الواجهة المقابلة.

اضغط على مفتاح الشرطة المائلة أو انقر فوقه في واجهة الآلة الحاسبة بعد إدخال القيمة المحددة الأخيرة واكتب عدد الأرقام في التسلسل. ثم اضغط على علامة المساواة وسوف تقوم الآلة الحاسبة بحساب وعرض الوسط الحسابي.

يمكنك استخدام الجدول لنفس الغرض محرر مايكروسوفتاكسل. في هذه الحالة، قم بتشغيل المحرر وأدخل جميع قيم تسلسل الأرقام في الخلايا المجاورة. إذا قمت، بعد إدخال كل رقم، بالضغط على Enter أو مفتاح السهم لأسفل أو لليمين، فسيقوم المحرر نفسه بنقل تركيز الإدخال إلى الخلية المجاورة.

انقر فوق الخلية المجاورة لآخر رقم تم إدخاله إذا كنت لا تريد رؤية المتوسط ​​فقط. قم بتوسيع القائمة المنسدلة اليونانية sigma (Σ) لأوامر التحرير في علامة التبويب الصفحة الرئيسية. حدد السطر " متوسط" وسيقوم المحرر بإدراج الصيغة المطلوبة لحساب الوسط الحسابي في الخلية المحددة. اضغط على مفتاح Enter وسيتم حساب القيمة.

يعد الوسط الحسابي أحد مقاييس النزعة المركزية، ويستخدم على نطاق واسع في الرياضيات والحسابات الإحصائية. يعد العثور على المتوسط ​​الحسابي لعدة قيم أمرًا بسيطًا للغاية، ولكن كل مهمة لها فروق دقيقة خاصة بها، والتي من الضروري ببساطة معرفتها لإجراء العمليات الحسابية الصحيحة.

ما هو الوسط الحسابي

يحدد الوسط الحسابي القيمة المتوسطة لمجموعة الأرقام الأصلية بأكملها. بمعنى آخر، من مجموعة معينة من الأرقام يتم اختيار قيمة مشتركة لجميع العناصر، وتكون المقارنة الرياضية لها مع جميع العناصر متساوية تقريبًا. ويستخدم المتوسط ​​الحسابي بشكل أساسي في إعداد التقارير المالية والإحصائية أو لحساب نتائج التجارب المماثلة.

كيفية العثور على الوسط الحسابي

ابحث عن المتوسط رقم حسابيبالنسبة لمصفوفة من الأرقام، يجب أن تبدأ بتحديد المجموع الجبري لهذه القيم. على سبيل المثال، إذا كانت المصفوفة تحتوي على أرقام 23 و43 و10 و74 و34، فسيكون مجموعها الجبري مساويًا لـ 184. عند الكتابة، يُشار إلى الوسط الحسابي بالحرف μ (mu) أو x (x مع a حاجِز). إضافي مجموع جبرييجب أن تكون مقسومة على عدد الأرقام في المصفوفة. في المثال قيد النظر كان هناك خمسة أرقام، وبالتالي فإن الوسط الحسابي سيكون 184/5 وسيكون 36.8.

ميزات العمل مع الأرقام السالبة

إذا كانت المصفوفة تحتوي على أرقام سالبة، فسيتم العثور على المتوسط ​​الحسابي باستخدام خوارزمية مشابهة. يكون الاختلاف فقط عند إجراء الحساب في بيئة برمجة، أو إذا كانت المشكلة تحتوي على شروط إضافية. في هذه الحالات، إيجاد الوسط الحسابي للأرقام باستخدام علامات مختلفةيتلخص في ثلاث خطوات:

1. إيجاد المتوسط ​​الحسابي العام باستخدام الطريقة القياسية.
2. إيجاد الوسط الحسابي للأعداد السالبة.
3. حساب الوسط الحسابي للأرقام الموجبة.

تتم كتابة الردود على كل إجراء مفصولة بفواصل.

الكسور الطبيعية والعشرية

إذا تم تقديم مجموعة من الأرقام الكسور العشرية، ويتم الحل باستخدام طريقة حساب الوسط الحسابي للأعداد الصحيحة، ولكن يتم تقليل النتيجة حسب متطلبات المشكلة لدقة الإجابة.

عند العمل مع الكسور الطبيعية، ينبغي تخفيضها إلى قاسم مشترك، وهو مضروب في عدد الأرقام في المصفوفة. سيكون بسط الإجابة هو مجموع البسط المعطاة للعناصر الكسرية الأصلية.

• حاسبة هندسية.

تعليمات

ضع في اعتبارك أنه بشكل عام، يتم إيجاد الوسط الهندسي للأرقام عن طريق ضرب هذه الأرقام وأخذ جذر القوة منها، والذي يتوافق مع عدد الأرقام. على سبيل المثال، إذا كنت تريد إيجاد المتوسط ​​الهندسي لخمسة أرقام، فسوف تحتاج إلى استخراج جذر القوة من حاصل الضرب.

لإيجاد الوسط الهندسي لعددين، استخدم القاعدة الأساسية. ابحث عن حاصل ضربهم، ثم خذ الجذر التربيعي له، لأن العدد اثنان، وهو ما يتوافق مع قوة الجذر. على سبيل المثال، لإيجاد الوسط الهندسي للرقمين 16 و4، ابحث عن حاصل ضربهما 16 4=64. من الرقم الناتج، استخرج الجذر التربيعي √64=8. ستكون هذه القيمة المطلوبة. يرجى ملاحظة أن المتوسط ​​الحسابي لهذين الرقمين أكبر من ويساوي 10. إذا لم يتم استخراج الجذر بالكامل، فقم بتقريب النتيجة إلى الترتيب المطلوب.

للعثور على الوسط الهندسي لأكثر من رقمين، استخدم أيضًا القاعدة الأساسية. للقيام بذلك، ابحث عن منتج جميع الأرقام التي تحتاج إلى العثور على الوسط الهندسي لها. من الناتج الناتج، استخرج جذر القوة المساوي لعدد الأرقام. على سبيل المثال، لإيجاد الوسط الهندسي للأعداد 2، 4، و64، ابحث عن حاصل ضربها. 2 4 64=512. نظرًا لأنك تحتاج إلى إيجاد نتيجة الوسط الهندسي لثلاثة أرقام، فخذ الجذر الثالث من حاصل الضرب. من الصعب القيام بذلك لفظيًا، لذا استخدم الآلة الحاسبة الهندسية. لهذا الغرض، يحتوي على زر "x^y". اطلب الرقم 512، اضغط على الزر "x^y"، ثم اطلب الرقم 3 واضغط على الزر "1/x"، للعثور على قيمة 1/3، اضغط على الزر "=". نحصل على نتيجة رفع 512 للقوة 1/3، وهو ما يتوافق مع الجذر الثالث. احصل على 512^1/3=8. هذا هو الوسط الهندسي للرقمين 2.4 و64.

باستخدام آلة حاسبة هندسيةيمكنك إيجاد الوسط الهندسي بطريقة أخرى. ابحث عن زر السجل على لوحة المفاتيح. بعد ذلك، خذ اللوغاريتم لكل رقم، وأوجد مجموعهم واقسمه على عدد الأرقام. خذ اللوغاريتم المضاد من الرقم الناتج. سيكون هذا هو الوسط الهندسي للأرقام. على سبيل المثال، من أجل العثور على المتوسط ​​الهندسي لنفس الأرقام 2 و 4 و 64، قم بإجراء مجموعة من العمليات على الآلة الحاسبة. اطلب الرقم 2، ثم اضغط على زر السجل، اضغط على الزر "+"، اطلب الرقم 4 واضغط على السجل و"+" مرة أخرى، اطلب 64، اضغط على السجل و"=". ستكون النتيجة رقمًا يساوي مجموع اللوغاريتمات العشرية للأرقام 2 و4 و64. اقسم الرقم الناتج على 3، لأن هذا هو عدد الأرقام التي يتم البحث عن الوسط الهندسي لها. من النتيجة، خذ اللوغاريتم المضاد عن طريق تبديل زر الحالة واستخدام نفس مفتاح السجل. وستكون النتيجة الرقم 8، وهذا هو الوسط الهندسي المطلوب.

في عام 1906، زار العالم الكبير وعالم تحسين النسل الشهير فرانسيس جالتون المعرض السنوي للإنجازات في مجال تربية الماشية والدواجن في غرب إنجلترا، حيث أجرى بالصدفة تجربة مثيرة للاهتمام.

وكما لاحظ جيمس سوروفيكي، مؤلف كتاب "حكمة الحشود"، كان جالتون مهتمًا في المعرض بمسابقة واحدة كان على الناس فيها تخمين وزن ثور مذبوح. تم إعلان الفائز بالشخص الذي ذكر الرقم الأقرب إلى الرقم الحقيقي.

كان جالتون معروفًا بازدرائه للقدرات الفكرية للناس العاديين. كان يعتقد أن الخبراء الحقيقيين فقط هم من يمكنهم الإدلاء ببيانات دقيقة حول وزن الثور. و787 مشاركا في المسابقة ليسوا خبراء.

كان العالم سيثبت عدم كفاءة الجمهور من خلال حساب متوسط ​​إجابات المشاركين. تخيل دهشته عندما تبين أن النتيجة التي حصل عليها تتطابق تمامًا مع الوزن الحقيقي للثور!

متوسط ​​- اختراع متأخر

وبالطبع دقة الإجابة أذهلت الباحث. ولكن الأمر الأكثر لفتًا للانتباه هو حقيقة أن جالتون فكر في استخدام القيمة المتوسطة.

في عالم اليوم، توجد المتوسطات وما يسمى بالمؤشرات المتوسطة في كل خطوة: معدل الحرارةوفي نيويورك في أبريل تبلغ درجة الحرارة 52 درجة فهرنهايت؛ يبلغ متوسط ​​ستيفن كاري 30 نقطة في المباراة الواحدة. متوسط ​​دخل الأسرة في الولايات المتحدة هو 51,939 دولارًا سنويًا.

ومع ذلك، فإن فكرة إمكانية تمثيل العديد من النتائج المختلفة برقم واحد هي فكرة جديدة تمامًا. حتى القرن السابع عشر، لم يتم استخدام المتوسطات على الإطلاق.

كيف نشأ وتطور مفهوم المتوسطات والمتوسطات؟ وكيف تمكنت من أن تصبح تقنية القياس الرئيسية في عصرنا؟

لقد كان لهيمنة المتوسطات على المتوسطات عواقب بعيدة المدى على فهمنا للمعلومات. وكثيرا ما أدى ذلك إلى ضلال الناس.

يعني والقيم المتوسطة

تخيل أنك تحكي قصة عن أربعة أشخاص تناولوا العشاء معك في أحد المطاعم الليلة الماضية. ستمنح أحدهم 20 عامًا، والآخر 30 عامًا، والثالث 40 عامًا، والرابع 50 عامًا. ماذا تقول عن أعمارهم في قصتك؟

على الأرجح سوف تسميهم منتصف العمر.

غالبًا ما يُستخدم المتوسط ​​لنقل معلومات حول شيء ما، وكذلك لوصف مجموعة من القياسات. من الناحية الفنية، المتوسط ​​هو ما يسميه علماء الرياضيات "المتوسط ​​الحسابي" - مجموع جميع القياسات مقسومًا على عدد القياسات.

على الرغم من أن كلمة متوسط ​​غالبا ما تستخدم كمرادف للمتوسط، فإن الأخير غالبا ما يشير إلى منتصف شيء ما. تأتي هذه الكلمة من الكلمة اللاتينية "medianus" والتي تعني "الوسط".

القيمة المتوسطة في اليونان القديمة

يبدأ تاريخ القيمة المتوسطة بتعاليم عالم الرياضيات اليوناني القديم فيثاغورس. بالنسبة لفيثاغورس ومدرسته، كان للوسيط تعريف واضح وكان مختلفًا تمامًا عن الطريقة التي نفهم بها المتوسط ​​اليوم. تم استخدامه فقط في الرياضيات، وليس في تحليل البيانات.

في مدرسة فيثاغورس، كانت القيمة المتوسطة هي الرقم الأوسط في تسلسل من ثلاثة أرقام، في علاقة "مساوية" مع الحدود المجاورة له. العلاقة "المتساوية" يمكن أن تعني مسافة متساوية. على سبيل المثال، الرقم 4 في السلسلة 2،4،6. ومع ذلك، فإنه يمكن أيضا التعبير المتوالية الهندسية، على سبيل المثال 10 في التسلسل 1,10,100.

يوضح الإحصائي تشرشل أيزنهارت أنه في اليونان القديمة، لم يتم استخدام القيمة المتوسطة لتمثيل أو استبدال أي مجموعة من الأرقام. لقد كان يشير ببساطة إلى الوسط، وكثيرًا ما كان يستخدم في البراهين الرياضية.

قضى أيزنهارت عشر سنوات في دراسة المتوسط ​​والوسيط. في البداية، حاول العثور على الوظيفة التمثيلية للوسيط في الإنشاءات العلمية المبكرة. لكنه اكتشف بدلًا من ذلك أن معظم الفيزيائيين وعلماء الفلك الأوائل اعتمدوا على قياسات فردية ذكية وافتقروا إلى منهجية لاختيار أفضل نتيجة من بين العديد من الملاحظات.

يبني الباحثون المعاصرون استنتاجاتهم على جمع كميات كبيرة من البيانات، مثل علماء الأحياء الذين يدرسون الجينوم البشري. كان بإمكان العلماء القدماء إجراء عدة قياسات، لكنهم اختاروا الأفضل فقط لبناء نظرياتهم.

وكما كتب مؤرخ علم الفلك أوتو نيوجيباور: "إن هذا يتوافق مع الرغبة الواعية لدى القدماء في تقليل كمية البيانات التجريبية في العلوم، لأنهم لم يؤمنوا بدقة الملاحظات المباشرة".

على سبيل المثال، قام عالم الرياضيات والفلكي اليوناني بطليموس بحساب القطر الزاوي للقمر باستخدام طرق الرصد ونظرية حركة الأرض. وكانت نتيجته 31'20. نعلم اليوم أن قطر القمر يتراوح من 29'20 إلى 34'6 حسب بعده عن الأرض. استخدم بطليموس القليل من البيانات في حساباته، ولكن كان لديه كل الأسباب للاعتقاد بأنها كانت دقيقة.

يكتب أيزنهارت: «يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن العلاقة بين الملاحظة والنظرية كانت مختلفة في العصور القديمة عما هي عليه اليوم. لم يتم فهم نتائج الملاحظات على أنها حقائق يجب تعديل النظرية وفقًا لها، بل على أنها حالات محددةوالتي لا يمكن أن تكون مفيدة إلا كأمثلة توضيحية لحقيقة النظرية."

سيتحول العلماء في النهاية إلى قياسات تمثيلية للبيانات، ولكن في البداية لم يتم استخدام أي وسيلة أو وسيط في هذا الدور. منذ العصور القديمة وحتى يومنا هذا، تم استخدام مفهوم رياضي آخر كممثل لهذه الوسائل: نصف مجموع القيم المتطرفة.

نصف مجموع القيم المتطرفة

تنشأ الأدوات العلمية الجديدة دائمًا تقريبًا من الحاجة إلى الحل مهمة محددةفي أي تخصص. نشأت الحاجة إلى العثور على أفضل قيمة بين القياسات المتعددة من الحاجة إلى تحديد الموقع الجغرافي بدقة.

يُعرف العملاق الفكري البيروني في القرن الحادي عشر بأنه من أوائل الأشخاص الذين استخدموا منهجية المعاني التمثيلية. كتب البيروني أنه عندما كان تحت تصرفه العديد من القياسات وأراد العثور على الأفضل بينها، استخدم "القاعدة" التالية: عليك العثور على الرقم المقابل للوسط بين قيمتين متطرفتين. عند حساب نصف مجموع القيم المتطرفة، جميع الأرقام بين الحد الأقصى و الحد الأدنى من القيمولكن تم العثور على المتوسط ​​لهذين الرقمين فقط.

وقد استخدم البيروني هذا الأسلوب في مناطق مختلفةبما في ذلك حساب خط الطول لمدينة غزنة التي تقع على أراضي أفغانستان الحديثة، وكذلك في دراساته لخصائص المعادن.

ومع ذلك، في القرون القليلة الماضية، تم استخدام نصف مجموع القيم المتطرفة بشكل أقل فأقل. في الواقع، في العلم الحديثأنها ليست ذات صلة على الإطلاق. تم استبدال نصف المبلغ بالقيمة المتوسطة.

الذهاب إلى المتوسطات

بحلول أوائل القرن التاسع عشر، أصبح استخدام القيمة المتوسطة طريقة شائعة للعثور على القيمة الأكثر تمثيلاً بدقة من مجموعة من البيانات. كتب فريدريش فون غاوس، عالم الرياضيات البارز في عصره، في عام 1809: "كان يُعتقد أنه إذا تم تحديد عدد معين من خلال عدة ملاحظات مباشرة تم إجراؤها في نفس الظروف، فإن الوسط الحسابي هو القيمة الأكثر صحة. إذا لم تكن صارمة تمامًا، فهي على الأقل قريبة من الواقع، وبالتالي يمكنك الاعتماد عليها دائمًا.

لماذا حدث هذا التحول في المنهجية؟

من الصعب جدًا الإجابة على هذا السؤال. ويشير تشرشل أيزنهارت في دراسته إلى أن طريقة إيجاد الوسط الحسابي ربما نشأت في مجال قياس الانحراف المغناطيسي، أي في إيجاد الفرق بين اتجاه إبرة البوصلة التي تشير إلى الشمال والشمال الحقيقي. وكان هذا البعد في غاية الأهمية خلال عصر الاكتشافات الجغرافية العظيمة.

وجد أيزنهارت أنه حتى أواخر القرن السادس عشر، استخدم معظم العلماء الذين قاموا بقياس الانحراف المغناطيسي الطريقة المخصصة (التي تعني باللاتينية "لهذا، لهذه المناسبة، لهذا الغرض") في اختيار القياس الأكثر دقة.

لكن في عام 1580، تناول العالم ويليام بورو المشكلة بطريقة مختلفة. أخذ ثمانية قياسات مختلفة للانحراف، وبعد مقارنتها، خلص إلى أن القيمة الأكثر دقة كانت بين 11 ⅓ و11 ¼ درجة. ربما قام بحساب الوسط الحسابي الذي كان في هذا النطاق. ومع ذلك، فإن بورو نفسه لم يطلق علانية على أسلوبه أسلوبًا جديدًا.

قبل عام 1635، لم تكن هناك حالات واضحة لاستخدام المتوسط ​​كرقم تمثيلي. ومع ذلك، فقد أجرى عالم الفلك الإنجليزي هنري جيليبراند قياسين مختلفين للانحراف المغناطيسي. تم أخذ إحداهما في الصباح (11 درجة)، والأخرى بعد الظهر (11 درجة و32 دقيقة). حساب الأكثر المعنى الحقيقي، هو كتب:

"إذا وجدنا الوسط الحسابي، يمكننا القول باحتمال كبير أن نتيجة القياس الدقيق يجب أن تكون حوالي 11 درجة و16 دقيقة."

ومن المرجح أن هذه كانت المرة الأولى التي يتم فيها استخدام القيمة المتوسطة باعتبارها الأقرب إلى القيمة الحقيقية!

تم استخدام كلمة "متوسط" في اللغة الإنجليزيةفي بداية القرن السادس عشر للإشارة إلى الخسارة المالية الناجمة عن الأضرار التي لحقت بالسفينة أو البضائع المنقولة أثناء الرحلة. وعلى مدى المائة عام التالية، حددت هذه الخسائر بدقة، والتي تم حسابها على أنها المتوسط ​​الحسابي. على سبيل المثال، إذا تعرضت سفينة لأضرار أثناء الرحلة واضطر الطاقم إلى إلقاء بعض البضائع في البحر للحفاظ على وزن السفينة، فإن المستثمرين سيتكبدون خسائر مالية تعادل مبلغ استثمارهم - تم حساب هذه الخسائر بنفس الطريقة المتوسط ​​الحسابي. وهكذا اقتربت قيم المتوسط ​​والوسط الحسابي تدريجياً.

قيمة متوسطة

في الوقت الحاضر، يتم استخدام المتوسط ​​أو الوسط الحسابي كطريقة أساسية لاختيار قيمة تمثيلية لمجموعة من القياسات. كيف حدث هذا؟ لماذا لم يتم إعطاء هذا الدور للقيمة المتوسطة؟

كان فرانسيس جالتون بطل الوسيط

مصطلح "الوسيط" - عضو متوسطفي سلسلة من الأرقام، وتقسيم هذه السلسلة إلى النصف - ظهر في نفس الوقت تقريبًا الذي ظهر فيه الوسط الحسابي. في عام 1599، اقترح عالم الرياضيات إدوارد رايت، الذي كان يعمل على مشكلة انحراف البوصلة الطبيعي، لأول مرة استخدام القيمة المتوسطة.

"... لنفترض أن الكثير من الرماة يطلقون النار على هدف معين. تتم إزالة الهدف في وقت لاحق. كيف يمكنك معرفة مكان الهدف؟ عليك أن تجد المكان الأوسط بين جميع الأسهم. وبالمثل، من بين العديد من نتائج المراقبة، فإن النتيجة الموجودة في المنتصف ستكون الأقرب إلى الحقيقة.

تم استخدام الوسيط على نطاق واسع في القرن التاسع عشر، وأصبح جزءًا ضروريًا من أي تحليل للبيانات في ذلك الوقت. وقد استخدمه أيضًا فرانسيس جالتون، وهو محلل بارز في القرن التاسع عشر. في قصة وزن الثور المذكورة في بداية هذا المقال، استخدم جالتون في البداية القيمة المتوسطة لتمثيل رأي الجمهور.

العديد من المحللين، بما في ذلك جالتون، فضلوا الوسيط لأنه من الأسهل حسابه بالنسبة لمجموعات البيانات الصغيرة.

ومع ذلك، لم يكن الوسيط أكثر شعبية من المتوسط. وكان هذا على الأرجح بسبب الخصائص الإحصائية الخاصة المتأصلة في المتوسط، فضلا عن علاقته بالتوزيع الطبيعي.

العلاقة بين المتوسط ​​والتوزيع الطبيعي

فعندما نجري العديد من القياسات، تكون النتائج، كما يقول الإحصائيون، "موزعة بشكل طبيعي". وهذا يعني أنه إذا تم رسم هذه البيانات على رسم بياني، فإن النقاط الموجودة عليه ستمثل شيئًا مشابهًا للجرس. إذا قمت بتوصيلها، فستحصل على منحنى "على شكل جرس". تتوافق العديد من الإحصائيات مع التوزيع الطبيعي، مثل طول الأشخاص ومستوى الذكاء وأعلى درجة حرارة سنوية.

عندما يتم توزيع البيانات بشكل طبيعي، سيكون المتوسط ​​​​قريبًا جدًا من أعلى نقطة على منحنى الجرس، جدًا عدد كبير منستكون القياسات قريبة من القيمة المتوسطة. بل إن هناك صيغة تتنبأ بعدد القياسات التي ستقع على مسافة ما من المتوسط.

وبالتالي فإن حساب المتوسط ​​يمنح الباحثين الكثير من المعلومات الإضافية.

إن الارتباط بين القيمة المتوسطة والانحراف المعياري يمنحها ميزة كبيرة، لأن القيمة المتوسطة لا يوجد بها مثل هذا الارتباط. هذا الاتصال هو جزء مهمتحليل البيانات التجريبية والمعالجة الإحصائية للمعلومات. ولهذا أصبح المتوسط ​​هو جوهر الإحصاء وكل العلوم التي تعتمد على البيانات المتعددة في التوصل إلى استنتاجاتها.

تعود ميزة المتوسط ​​أيضًا إلى حقيقة أنه يمكن حسابه بسهولة بواسطة أجهزة الكمبيوتر. على الرغم من أنه من السهل جدًا حساب القيمة المتوسطة لمجموعة صغيرة من البيانات بنفسك، إلا أنه من الأسهل بكثير كتابة برنامج كمبيوتر للعثور على المتوسط. إذا كنت تستخدم مايكروسوفت اكسل، فربما تعلم أن حساب الدالة المتوسطة ليس سهلاً مثل حساب الدالة المتوسطة.

ونتيجة لذلك، ونظراً لأهميتها العلمية الكبيرة وسهولة استخدامها، أصبحت القيمة المتوسطة هي القيمة التمثيلية الرئيسية. ومع ذلك، فإن هذا الخيار ليس هو الأفضل دائمًا.

مزايا القيمة المتوسطة

في كثير من الحالات عندما نريد حساب القيمة المركزية للتوزيع، تكون القيمة المتوسطة هي أفضل مؤشر. وذلك لأن القيمة المتوسطة يتم تحديدها إلى حد كبير من خلال نتائج القياس المتطرفة.

يعتقد العديد من المحللين أن الاستخدام الطائش للمتوسطات له تأثير سلبي على فهمنا للمعلومات الكمية. ينظر الناس إلى المتوسط ​​ويعتقدون أنه "القاعدة". ولكن في الواقع، يمكن تحديده من خلال أي عضو واحد يبرز بقوة من سلسلة متجانسة.

تخيل أن أحد المحللين يريد معرفة القيمة التمثيلية لخمسة منازل. أربعة منازل بقيمة 100 ألف دولار، والخامس بقيمة 900 ألف دولار. وبالتالي فإن المتوسط ​​سيكون 200000 دولار والوسيط سيكون 100000 دولار. وفي هذا، كما هو الحال في العديد من الحالات الأخرى، توفر القيمة المتوسطة فهمًا أفضل لما يمكن أن نطلق عليه "المعيار".

وإدراكًا لمدى تأثير القيم المتطرفة على المتوسط، يتم استخدام المتوسط ​​ليعكس التغيرات في دخل الأسرة الأمريكية.

كما أن الوسطاء أقل حساسية للبيانات القذرة التي يتعامل معها المحللون اليوم. يقوم العديد من الإحصائيين والمحللين بجمع المعلومات عن طريق مسح الأشخاص على الإنترنت. إذا أضاف المستخدم عن طريق الخطأ صفرًا إضافيًا إلى الإجابة، وهو ما يحول 100 إلى 1000، فسيكون لهذا الخطأ تأثير أقوى بكثير على المتوسط ​​منه على الوسيط.

متوسط ​​أم متوسط؟

إن الاختيار بين الوسيط والمتوسط ​​له عواقب بعيدة المدى، بدءًا من فهمنا لآثار الأدوية على الصحة إلى معرفة ما هي تأثيراتها. ميزانية الأسرةيمكن أن يسمى المعيار.

وبينما يشكل جمع البيانات وتحليلها بشكل متزايد كيفية فهمنا للعالم، كذلك فإن قيمة الكميات التي نستخدمها. في عالم مثالي، يستخدم المحللون كلا من المتوسط ​​والوسيط للتعبير عن البيانات بيانيا.

لكننا نعيش في ظروف محدودة الوقت والاهتمام. وبسبب هذه القيود، غالبًا ما نحتاج إلى اختيار شيء واحد فقط. وفي كثير من الحالات، تكون القيمة المتوسطة هي الأفضل.

في الرياضيات، المتوسط ​​الحسابي للأرقام (أو ببساطة المتوسط) هو مجموع جميع الأرقام في مجموعة معينة مقسومًا على عدد الأرقام. هذا هو المفهوم الأكثر تعميمًا وانتشارًا لمتوسط ​​القيمة. كما فهمت بالفعل، للعثور على المتوسط، تحتاج إلى جمع جميع الأرقام المعطاة لك، وتقسيم النتيجة الناتجة على عدد المصطلحات.

ما هو المعنى الحسابي؟

لنلقي نظرة على مثال.

مثال 1. الأرقام المعطاة: 6، 7، 11. عليك إيجاد متوسط ​​قيمتها.

حل.

أولا، دعونا نجد مجموع كل هذه الأرقام.

الآن قم بتقسيم المبلغ الناتج على عدد المصطلحات. وبما أن لدينا ثلاثة حدود، فسنقسم على ثلاثة.

وبالتالي فإن متوسط ​​الأعداد 6 و 7 و 11 هو 8. لماذا 8؟ نعم، لأن مجموع 6 و 7 و 11 سيكون هو نفسه ثلاثة ثمانية. ويمكن رؤية هذا بوضوح في الرسم التوضيحي.

المتوسط ​​يشبه إلى حد ما سلسلة من الأرقام "للمساء". كما ترون، أصبحت أكوام أقلام الرصاص على نفس المستوى.

دعونا نلقي نظرة على مثال آخر لتعزيز المعرفة المكتسبة.

مثال 2.الأرقام المعطاة: 3، 7، 5، 13، 20، 23، 39، 23، 40، 23، 14، 12، 56، 23، 29. عليك إيجاد الوسط الحسابي لها.

حل.

العثور على المبلغ.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

قسّم على عدد المصطلحات (في هذه الحالة - 15).

ولذلك فإن المتوسط هذه السلسلةالأرقام هي 22.

الآن دعونا نلقي نظرة على الأرقام السالبة. دعونا نتذكر كيفية تلخيصها. على سبيل المثال، لديك رقمين 1 و -4. دعونا نجد مجموعهم.

1 + (-4) = 1 – 4 = -3

بمعرفة ذلك، دعونا ننظر إلى مثال آخر.

مثال 3.أوجد القيمة المتوسطة لسلسلة من الأرقام: 3، -7، 5، 13، -2.

حل.

العثور على مجموع الأرقام.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

بما أن هناك 5 حدود، قم بتقسيم المجموع الناتج على 5.

ولذلك فإن الوسط الحسابي للأعداد 3، -7، 5، 13، -2 هو 2.4.

في عصر التقدم التكنولوجي لدينا، يكون استخدامه أكثر ملاءمة للعثور على القيمة المتوسطة برامج الحاسوب. مايكروسوفت أوفيس إكسل هو واحد منهم. يعد العثور على المتوسط ​​في Excel أمرًا سريعًا وسهلاً. علاوة على ذلك، تم تضمين هذا البرنامج في حزمة برامج Microsoft Office. دعونا نفكر تعليمات موجزةكيفية إيجاد الوسط الحسابي باستخدام هذا البرنامج.

لحساب القيمة المتوسطة لسلسلة من الأرقام، يجب عليك استخدام الدالة AVERAGE. بناء الجملة لهذه الوظيفة هو:
= المتوسط ​​(الوسيطة 1، الوسيطة 2، ... الوسيطة 255)
حيث الوسيطة1، الوسيطة2، ... الوسيطة255 هي إما أرقام أو مراجع خلايا (نعني بالخلايا النطاقات والمصفوفات).

ولتوضيح الأمر أكثر، دعونا نجرب المعرفة التي اكتسبناها.

1. أدخل الأرقام 11، 12، 13، 14، 15، 16 في الخلايا C1 - C6.
2. حدد الخلية C7 بالنقر عليها. في هذه الخلية سوف نعرض القيمة المتوسطة.
3. انقر فوق علامة التبويب الصيغ.
4. حدد المزيد من الوظائف > الإحصائية لفتح القائمة المنسدلة.
5. حدد المتوسط. بعد ذلك، يجب أن يفتح مربع حوار.
6. حدد الخلايا من C1 إلى C6 واسحبها لتعيين النطاق في مربع الحوار.
7. قم بتأكيد أفعالك باستخدام الزر "موافق".
8. إذا فعلت كل شيء بشكل صحيح، فيجب أن يكون لديك الإجابة في الخلية C7 - 13.7. عند النقر فوق الخلية C7، ستظهر الدالة (=Average(C1:C6)) في شريط الصيغة.

تعتبر هذه الميزة مفيدة جدًا للمحاسبة أو الفواتير أو عندما تحتاج فقط إلى العثور على متوسط ​​سلسلة طويلة جدًا من الأرقام. ولذلك، غالبا ما يتم استخدامه في المكاتب و الشركات الكبيرة. يتيح لك هذا الاحتفاظ بسجلاتك بالترتيب ويجعل من الممكن حساب شيء ما بسرعة (على سبيل المثال، متوسط ​​الدخل الشهري). يمكنك أيضًا استخدام برنامج Excel للعثور على القيمة المتوسطة للدالة.

متوسط

وهذا المصطلح له معاني أخرى، انظر المعنى المتوسط.

متوسط(في الرياضيات والإحصاء) مجموعات من الأرقام - مجموع كل الأرقام مقسومًا على عددها. وهو أحد مقاييس النزعة المركزية الأكثر شيوعاً.

تم اقتراحه (مع الوسط الهندسي والوسط التوافقي) من قبل الفيثاغوريين.

الحالات الخاصة للمتوسط ​​الحسابي هي المتوسط ​​(عموم السكان) ومتوسط ​​العينة (العينة).

مقدمة

دعونا نشير إلى مجموعة البيانات X = (س 1 , س 2 , …, س ن) ، تتم الإشارة عادةً إلى متوسط ​​العينة بواسطة شريط أفقي فوق المتغير (x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))، ويُنطق " سمع خط").

يُستخدم الحرف اليوناني μ للدلالة على الوسط الحسابي لجميع السكان. ل متغير عشوائي، والتي يتم تحديد القيمة المتوسطة لها، μ المتوسط ​​الاحتماليأو القيمة المتوقعةمتغير عشوائي. إذا مجموعة Xعبارة عن مجموعة من الأرقام العشوائية ذات الوسط الاحتمالي μ لأي عينة س أنامن هذه المجموعة μ = E( س أنا) هو التوقع الرياضي لهذه العينة.

من الناحية العملية، الفرق بين μ وx ¯ (\displaystyle (\bar (x))) هو أن μ هو متغير نموذجي لأنه يمكنك رؤية عينة بدلاً من المجتمع بأكمله. ولذلك، إذا تم تمثيل العينة بشكل عشوائي (من حيث نظرية الاحتمالات)، فيمكن التعامل مع x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))) (ولكن ليس μ) كمتغير عشوائي له توزيع احتمالي على العينة ( التوزيع الاحتمالي للمتوسط).

ويتم حساب هاتين الكميتين بنفس الطريقة:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

لو Xمتغير عشوائي ثم التوقع الرياضي Xيمكن اعتباره الوسط الحسابي للقيم في القياسات المتكررة للكمية X. وهذا مظهر من مظاهر القانون أعداد كبيرة. ولذلك، يتم استخدام متوسط ​​العينة لتقدير القيمة المتوقعة غير المعروفة.

وقد ثبت في الجبر الابتدائي أن المتوسط ن+ 1 أرقام فوق المتوسط نأرقام إذا وفقط إذا كان الرقم الجديد أكبر من المتوسط ​​القديم، وأقل إذا وفقط إذا كان الرقم الجديد أقل من المتوسط، ولا يتغير إذا وفقط إذا كان الرقم الجديد يساوي المتوسط. الاكثر نكلما قل الفرق بين المتوسطين الجديد والقديم.

لاحظ أن هناك العديد من "المتوسطات" الأخرى المتاحة، بما في ذلك متوسط ​​القوة، ومتوسط ​​كولموجوروف، والمتوسط ​​التوافقي، والمتوسط ​​الحسابي الهندسي، والمتوسطات المرجحة المختلفة (على سبيل المثال، المتوسط ​​الحسابي المرجح، والوسط الهندسي المرجح، والمتوسط ​​التوافقي المرجح).

أمثلة

• ل ثلاثة أرقامتحتاج إلى جمعها وتقسيمها على 3:

س 1 + س 2 + س 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• بالنسبة لأربعة أرقام، تحتاج إلى جمعها وتقسيمها على 4:

س 1 + س 2 + س 3 + س 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

أو بشكل أبسط 5+5=10، 10:2. لأننا كنا نضيف رقمين، وهو ما يعني عدد الأرقام التي نضيفها، فإننا نقسمها على هذا العدد.

متغير عشوائي مستمر

بالنسبة للكمية الموزعة باستمرار f (x) (\displaystyle f(x))، المتوسط ​​الحسابي في الفترة [ a ; b ] (\displaystyle ) يتم تحديده من خلال تكامل محدد:

و (خ) ¯ [ أ ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) و (خ) دكس)

بعض مشاكل استخدام المتوسط

عدم وجود متانة

المقال الرئيسي: المتانة في الإحصاء

على الرغم من أن المتوسطات الحسابية تستخدم غالبًا كمتوسطات أو اتجاهات مركزية، إلا أن هذا المفهوم ليس إحصائية قوية، مما يعني أن المتوسط ​​الحسابي يتأثر بشدة بـ "الانحرافات الكبيرة". من الجدير بالذكر أنه بالنسبة للتوزيعات ذات معامل الانحراف الكبير، قد لا يتوافق الوسط الحسابي مع مفهوم "المتوسط"، وقد تصف قيم الوسط من الإحصائيات القوية (على سبيل المثال، الوسيط) بشكل أفضل الوسط المركزي نزعة.

والمثال الكلاسيكي هو حساب متوسط ​​الدخل. من الممكن أن يساء تفسير المتوسط ​​الحسابي باعتباره متوسطًا، مما قد يؤدي إلى استنتاج مفاده أن عدد الأشخاص ذوي الدخل الأعلى أكبر من العدد الفعلي. يتم تفسير الدخل "المتوسط" على أنه يعني أن معظم الناس لديهم دخل حول هذا الرقم. وهذا "المتوسط" (بمعنى المتوسط ​​الحسابي) أعلى من دخل معظم الناس، حيث أن ذات الدخل المرتفعومع وجود انحراف كبير عن المتوسط، فإن المتوسط ​​الحسابي منحرف بشدة (في المقابل، فإن متوسط ​​الدخل عند المتوسط ​​"يقاوم" مثل هذا الانحراف). ومع ذلك، فإن هذا الدخل "المتوسط" لا يقول شيئًا عن عدد الأشخاص القريبين من الدخل المتوسط ​​(ولا يقول شيئًا عن عدد الأشخاص القريبين من الدخل النموذجي). ومع ذلك، إذا أخذت مفهومي "المتوسط" و"معظم الناس" باستخفاف، فقد تتوصل إلى استنتاج غير صحيح مفاده أن معظم الناس لديهم دخل أعلى مما هم عليه في الواقع. على سبيل المثال، فإن تقرير "متوسط" صافي الدخل في المدينة المنورة بواشنطن، والذي يتم حسابه على أنه المتوسط ​​الحسابي لجميع صافي الدخل السنوي للسكان، سوف يسفر بشكل مدهش عن رقم ضخمبسبب بيل جيتس. النظر في العينة (1، 2، 2، 2، 3، 9). المتوسط ​​الحسابي هو 3.17، لكن خمس من أصل ست قيم أقل من هذا المتوسط.

الفائدة المركبة

المقال الرئيسي: العائد على الاستثمار

إذا كانت الأرقام تتضاعف، لكن لا يطوى، عليك استخدام الوسط الهندسي وليس الوسط الحسابي. غالبًا ما يحدث هذا الحادث عند حساب عائد الاستثمار في التمويل.

على سبيل المثال، إذا انخفض السهم بنسبة 10% في السنة الأولى وارتفع بنسبة 30% في السنة الثانية، فمن غير الصحيح حساب الزيادة "المتوسطة" خلال هذين العامين بالمتوسط ​​الحسابي (-10% + 30%) / 2 = 10%؛ المتوسط ​​الصحيح في هذه الحالة هو معدل النمو السنوي المركب الذي يعطي معدل نمو سنوي حوالي 8.16653826392% ≈ 8.2% فقط.

والسبب في ذلك هو أن النسب المئوية لها نقطة بداية جديدة في كل مرة: 30% هي 30%. من رقم أقل من السعر في بداية السنة الأولى:إذا بدأ السهم عند 30 دولارًا وانخفض بنسبة 10%، فإن قيمته تبلغ 27 دولارًا في بداية السنة الثانية. إذا ارتفع السهم بنسبة 30٪، فستكون قيمته 35.1 دولارًا في نهاية العام الثاني. المتوسط ​​الحسابي لهذا النمو هو 10%، ولكن بما أن السهم ارتفع بمقدار 5.1 دولار فقط على مدار عامين، فإن متوسط ​​النمو البالغ 8.2% يعطي النتيجة النهائية البالغة 35.1 دولارًا:

[30 دولارًا (1 - 0.1) (1 + 0.3) = 30 دولارًا (1 + 0.082) (1 + 0.082) = 35.1 دولارًا]. إذا استخدمنا المتوسط ​​الحسابي 10% بنفس الطريقة، فلن نحصل على القيمة الفعلية: [30 دولارًا (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36.3 دولارًا].

الفائدة المركبة في نهاية السنتين: 90% * 130% = 117%، أي أن إجمالي الزيادة 17%، ومتوسط ​​الفائدة المركبة السنوية 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\حوالي 108.2\%) أي بمتوسط ​​زيادة سنوية 8.2%.

الاتجاهات

المقال الرئيسي: إحصائيات الوجهة

عند حساب الوسط الحسابي لبعض المتغيرات التي تتغير دوريا (مثل الطور أو الزاوية)، يجب توخي الحذر بشكل خاص. على سبيل المثال، متوسط ​​1° و359° سيكون 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. هذا الرقم غير صحيح لسببين.

• أولاً، يتم تعريف القياسات الزاوية فقط للنطاق من 0° إلى 360° (أو من 0 إلى 2π عند قياسها بالراديان). لذا يمكن كتابة نفس زوج الأرقام بالشكل (1° و-1°) أو (1° و719°). سيكون متوسط ​​القيم لكل زوج مختلفًا: 1 ​​∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ الدائرة)) .
• ثانيًا، في هذه الحالة، ستكون قيمة 0° (أي ما يعادل 360°) قيمة متوسطة أفضل هندسيًا، نظرًا لأن انحراف الأرقام أقل من 0° مقارنة بأي قيمة أخرى (القيمة 0° لها أصغر تباين). يقارن:
  • الرقم 1° ينحرف عن 0° بمقدار 1° فقط؛
  • الرقم 1° ينحرف عن المتوسط ​​المحسوب 180° بمقدار 179°.

سيتم إزاحة القيمة المتوسطة للمتغير الدوري المحسوب باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه بشكل مصطنع بالنسبة إلى المتوسط ​​الحقيقي نحو منتصف النطاق الرقمي. وبسبب هذا، يتم حساب المتوسط ​​بطريقة مختلفة، أي يتم تحديد الرقم ذو التباين الأصغر (نقطة المركز) كقيمة متوسطة. أيضًا، بدلاً من الطرح، يتم استخدام المسافة المعيارية (أي المسافة المحيطية). على سبيل المثال، المسافة المعيارية بين 1° و359° هي 2°، وليس 358° (على الدائرة بين 359° و360°==0° - درجة واحدة، بين 0° و1° - أيضًا 1°، إجمالاً - 2 درجة).

المتوسط ​​المرجح - ما هو وكيفية حسابه؟

في عملية دراسة الرياضيات، يتعرف تلاميذ المدارس على مفهوم الوسط الحسابي. في وقت لاحق في الإحصاء وبعض العلوم الأخرى، يواجه الطلاب حساب القيم المتوسطة الأخرى. ماذا يمكن أن يكونوا وكيف يختلفون عن بعضهم البعض؟

المتوسطات: المعنى والاختلافات

المؤشرات الدقيقة لا توفر دائمًا فهمًا للوضع. من أجل تقييم موقف معين، من الضروري في بعض الأحيان تحليل عدد كبير من الأرقام. ثم تأتي المتوسطات للإنقاذ. أنها تسمح لنا بتقييم الوضع ككل.

منذ أيام الدراسة، يتذكر الكثير من البالغين وجود الوسط الحسابي. من السهل جدًا حسابها - مجموع تسلسل n من الحدود مقسوم على n. أي أنه إذا كنت تريد حساب الوسط الحسابي في تسلسل القيم 27 و 22 و 34 و 37، فأنت بحاجة إلى حل التعبير (27+22+34+37)/4، حيث أن 4 قيم تستخدم في الحسابات. في هذه الحالة ستكون القيمة المطلوبة 30.

في كثير من الأحيان داخل دورة المدرسةكما تتم دراسة المتوسط ​​الهندسي. عملية حسابية قيمة معينةيعتمد على استخراج الجذر n لمنتج n-terms. إذا أخذنا نفس الأرقام: 27، 22، 34 و 37، فإن نتيجة الحسابات ستكون 29.4.

الوسط التوافقي في .مدرسة ثانويةليس عادة موضوع الدراسة. ومع ذلك، يتم استخدامه في كثير من الأحيان. هذه القيمة هي معكوس الوسط الحسابي ويتم حسابها كحاصل n - عدد القيم والمجموع 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n. إذا أخذنا نفس سلسلة الأرقام مرة أخرى للحساب، فسيكون التوافقي 29.6.

المتوسط ​​المرجح: الميزات

ومع ذلك، لا يجوز استخدام جميع القيم المذكورة أعلاه في كل مكان. على سبيل المثال، في الإحصائيات، عند حساب متوسطات معينة، يلعب "وزن" كل رقم مستخدم في الحسابات دورًا مهمًا. النتائج أكثر دلالة وصحيحة لأنها تأخذ في الاعتبار المزيد من المعلومات. وتسمى هذه المجموعة من الكميات عمومًا "المتوسط ​​المرجح". لا يتم تدريسهم في المدرسة، لذلك يستحق النظر إليهم بمزيد من التفصيل.

بادئ ذي بدء، يجدر بنا أن نقول ما هو المقصود بـ "وزن" قيمة معينة. أسهل طريقة لشرح ذلك هي مثال محدد. يتم قياس درجة حرارة الجسم لكل مريض مرتين يوميًا في المستشفى. من بين 100 مريض في أقسام مختلفة بالمستشفى، ستكون درجة حرارة 44 منهم طبيعية - 36.6 درجة. 30 أخرى سيكون لها قيمة متزايدة - 37.2، 14 - 38، 7 - 38.5، 3 - 39، والاثنان المتبقيان - 40. وإذا أخذنا المتوسط ​​الحسابي، فإن هذه القيمة بشكل عام للمستشفى ستكون أكثر من 38 درجات! لكن ما يقرب من نصف المرضى لديهم درجة حرارة طبيعية تمامًا. وهنا سيكون من الأصح استخدام المتوسط ​​المرجح، وسيكون "وزن" كل قيمة هو عدد الأشخاص. في هذه الحالة ستكون نتيجة الحساب 37.25 درجة. الفرق واضح.

في حالة حسابات المتوسط ​​المرجح، يمكن أخذ “الوزن” على أنه عدد الشحنات، عدد الأشخاص الذين يعملون في يوم معين، بشكل عام، أي شيء يمكن قياسه ويؤثر على النتيجة النهائية.

أصناف

ويرتبط المتوسط ​​المرجح بالوسط الحسابي الذي تمت مناقشته في بداية المقال. ومع ذلك، فإن القيمة الأولى، كما ذكرنا سابقًا، تأخذ في الاعتبار أيضًا وزن كل رقم مستخدم في الحسابات. بالإضافة إلى ذلك، هناك أيضًا قيم هندسية وتوافقية مرجحة.

هناك اختلاف آخر مثير للاهتمام يستخدم في سلسلة الأرقام. هذا هو المتوسط ​​المتحرك المرجح. وعلى هذا الأساس يتم حساب الاتجاهات. بالإضافة إلى القيم نفسها ووزنها، يتم استخدام الدورية هناك أيضًا. وعند حساب متوسط ​​القيمة في وقت ما، يتم أيضًا أخذ قيم الفترات الزمنية السابقة بعين الاعتبار.

حساب كل هذه القيم ليس بهذه الصعوبة، ولكن في الممارسة العملية عادة ما يتم استخدام المتوسط ​​المرجح العادي فقط.

طرق الحساب

وفي عصر الحوسبة واسعة النطاق، ليست هناك حاجة لحساب المتوسط ​​المرجح يدويا. ومع ذلك، قد يكون من المفيد معرفة صيغة الحساب حتى تتمكن من التحقق من النتائج التي تم الحصول عليها وتعديلها إذا لزم الأمر.

أسهل طريقة هي النظر في الحساب باستخدام مثال محدد.

من الضروري معرفة متوسط ​​\u200b\u200bالأجور في هذه المؤسسة، مع الأخذ في الاعتبار عدد العمال الذين يتلقون هذا الراتب أو ذاك.

لذلك، يتم حساب المتوسط ​​المرجح باستخدام الصيغة التالية:

س = (أ 1 *ث 1 +أ 2 *ث 2 +...+أ ن *و ن)/(ث 1 +ث 2 +...+ث ن)

على سبيل المثال، الحساب سيكون مثل هذا:

س = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33.48

ومن الواضح أنه لا توجد صعوبة خاصة في حساب المتوسط ​​المرجح يدويا. تبدو صيغة حساب هذه القيمة في أحد التطبيقات الأكثر شيوعًا باستخدام الصيغ - Excel - مثل وظيفة SUMPRODUCT (سلسلة من الأرقام؛ سلسلة من الأوزان) / SUM (سلسلة من الأوزان).

كيفية العثور على المتوسط ​​في التفوق؟

كيفية العثور على الوسط الحسابي في إكسل؟

فلاديمير09854

سهل مثل الفطيرة. للعثور على المتوسط ​​في Excel، تحتاج فقط إلى 3 خلايا. في الأول سنكتب رقمًا واحدًا، وفي الثاني - آخر. وفي الخلية الثالثة سوف نقوم بإدخال صيغة تعطينا متوسط ​​القيمة بين هذين الرقمين من الخليتين الأولى والثانية. إذا كانت الخلية رقم 1 تسمى A1، فإن الخلية رقم 2 تسمى B1، ثم في الخلية التي تحتوي على الصيغة التي تحتاج إلى كتابة ما يلي:

تحسب هذه الصيغة الوسط الحسابي لرقمين.

ولجعل حساباتنا أجمل، يمكننا إبراز الخلايا بخطوط، على شكل لوحة.

في Excel نفسه، هناك أيضًا وظيفة لتحديد القيمة المتوسطة، لكنني أستخدم الطريقة القديمة وأدخل الصيغة التي أحتاجها. وبالتالي، أنا متأكد من أن برنامج Excel سيحسب بالضبط ما أحتاجه، ولن يأتي بنوع من التقريب الخاص به.

M3sergey

يعد هذا أمرًا بسيطًا جدًا إذا تم إدخال البيانات بالفعل في الخلايا. إذا كنت مهتمًا برقم فقط، فما عليك سوى تحديد النطاق/النطاقات المطلوبة، وستظهر قيمة مجموع هذه الأرقام ومتوسطها الحسابي وعددها في أسفل اليمين في شريط الحالة.

يمكنك تحديد خلية فارغة، والنقر على المثلث (القائمة المنسدلة) "الجمع التلقائي" واختيار "المتوسط" هناك، وبعد ذلك ستوافق على النطاق المقترح للحساب، أو حدد النطاق الخاص بك.

وأخيرًا، يمكنك استخدام الصيغ مباشرةً بالنقر فوق "إدراج دالة" بجوار شريط الصيغة وعنوان الخلية. تقع الدالة AVERAGE في الفئة "إحصائية"، وتأخذ كوسيطات كلاً من الأرقام ومراجع الخلايا، وما إلى ذلك. وهناك يمكنك أيضًا تحديد المزيد خيارات معقدةعلى سبيل المثال، AVERAGEIF - حساب المتوسط ​​وفقًا للشرط.

إيجاد القيمة المتوسطة في إكسلهي مهمة بسيطة إلى حد ما. هنا عليك أن تفهم ما إذا كنت تريد استخدام هذه القيمة المتوسطة في بعض الصيغ أم لا.

إذا كنت بحاجة فقط إلى الحصول على القيمة، فما عليك سوى تحديد النطاق المطلوب من الأرقام، وبعد ذلك سيقوم Excel تلقائيًا بحساب القيمة المتوسطة - سيتم عرضها في شريط الحالة، بعنوان "المتوسط".

في حالة رغبتك في استخدام النتيجة في الصيغ، يمكنك القيام بذلك:

1) جمع الخلايا باستخدام الدالة SUM وتقسيمها كلها على عدد الأرقام.

2) المزيد الخيار الصحيح- استخدم وظيفة خاصة تسمى المتوسط. يمكن أن تكون وسيطات هذه الدالة أرقامًا محددة تسلسليًا أو نطاقًا من الأرقام.

فلاديمير تيخونوف

ضع دائرة حول القيم التي ستشارك في الحساب، انقر فوق علامة التبويب "الصيغ"، هناك سترى على اليسار هناك "الجمع التلقائي" وبجانبه مثلث يشير إلى الأسفل. انقر على هذا المثلث وحدد "متوسط". Voila، لقد تم) في أسفل العمود سترى القيمة المتوسطة :)

ايكاترينا موتالابوفا

لنبدأ من البداية وبالترتيب. ماذا يعني المتوسط؟

الوسط هو القيمة التي هي المتوسط القيمة الحسابية، أي. يتم حسابه عن طريق إضافة مجموعة من الأرقام ثم قسمة مجموع الأرقام بالكامل على عددها. على سبيل المثال، بالنسبة للأرقام 2، 3، 6، 7، 2 سيكون هناك 4 (مجموع الأرقام 20 مقسوم على عددها 5)

في جدول بيانات Excel، بالنسبة لي شخصيًا، كانت أسهل طريقة هي استخدام الصيغة = المتوسط. لحساب القيمة المتوسطة، تحتاج إلى إدخال البيانات في الجدول، وكتابة الدالة =AVERAGE() ضمن عمود البيانات، والإشارة إلى نطاق الأرقام في الخلايا بين قوسين، مع تمييز العمود الذي يحتوي على البيانات. بعد ذلك، اضغط على ENTER، أو ببساطة انقر بزر الماوس الأيسر على أي خلية. تظهر النتيجة في الخلية الموجودة أسفل العمود. يبدو أن الأمر موصوف بشكل غير مفهوم، لكنه في الحقيقة مسألة دقائق.

المغامر 2000

يعد Excel برنامجًا متنوعًا، لذا هناك العديد من الخيارات التي ستسمح لك بالعثور على المتوسطات:

الخيار الأول. يمكنك ببساطة جمع كل الخلايا وتقسيمها على عددها؛

الخيار الثاني. استخدم أمرًا خاصًا، اكتب الصيغة "= المتوسط ​​(وهنا حدد نطاق الخلايا)" في الخلية المطلوبة؛

الخيار الثالث. إذا قمت بتحديد النطاق المطلوب، يرجى ملاحظة أنه في الصفحة أدناه، يتم أيضًا عرض متوسط ​​القيمة في هذه الخلايا.

وبالتالي، هناك العديد من الطرق للعثور على المتوسط، ما عليك سوى اختيار الطريقة الأفضل بالنسبة لك واستخدامها باستمرار.

في Excel، يمكنك استخدام الدالة AVERAGE لحساب المتوسط ​​الحسابي البسيط. للقيام بذلك، تحتاج إلى إدخال عدد من القيم. اضغط على يساوي وحدد الإحصائية في الفئة، ومن بينها حدد الدالة المتوسط

أيضًا، باستخدام الصيغ الإحصائية، يمكنك حساب الوسط الحسابي المرجح، والذي يعتبر أكثر دقة. لحسابه، نحتاج إلى قيم المؤشر وتكراره.

كيفية العثور على المتوسط ​​في إكسل؟

هذا هو الوضع. ويوجد الجدول التالي:

الأعمدة المظللة باللون الأحمر تحتوي على القيم العددية للدرجات في المواد. في عمود "متوسط ​​النقاط"، تحتاج إلى حساب متوسطها.
المشكلة هي كما يلي: هناك ما بين 60 إلى 70 عنصرًا في المجمل وبعضها موجود في ورقة أخرى.
لقد بحثت في مستند آخر وتم حساب المتوسط ​​بالفعل، وفي الخلية توجد صيغة مثل
="اسم الورقة"!|E12
ولكن تم ذلك من قبل بعض المبرمجين الذين تم فصلهم.
من فضلك قل لي من يفهم هذا.

هيكتور

في سطر الوظائف، تقوم بإدراج "المتوسط" من الوظائف المقترحة وتحديد المكان الذي تريد حسابها منه (B6:N6) لإيفانوف، على سبيل المثال. لا أعرف على وجه اليقين ما هي الأوراق المجاورة، ولكن من المحتمل أن تكون موجودة في تعليمات Windows القياسية

أخبرني كيف أحسب القيمة المتوسطة في Word

من فضلك قل لي كيفية حساب القيمة المتوسطة في Word. وهي متوسط ​​قيمة التقييمات، وليس عدد الأشخاص الذين حصلوا على التقييمات.

يوليا بافلوفا

يستطيع Word فعل الكثير باستخدام وحدات الماكرو. اضغط ALT+F11 واكتب برنامج ماكرو..
بالإضافة إلى ذلك، فإن Insert-Object... سيسمح لك باستخدام برامج أخرى، حتى Excel، لإنشاء ورقة تحتوي على جدول داخل مستند Word.
ولكن في هذه الحالة، تحتاج إلى كتابة أرقامك في عمود من الجدول، وإدخال المتوسط ​​في الخلية السفلية من نفس العمود، أليس كذلك؟
للقيام بذلك، قم بإدراج حقل في الخلية السفلية.
إدراج حقل... -الصيغة
المحتوى الميداني
[=المتوسط(أعلاه)]
يعطي متوسط ​​مجموع الخلايا أعلاه.
إذا قمت بتحديد حقل والنقر فوق زر الفأرة الأيمن، يمكنك تحديثه إذا تغيرت الأرقام،
عرض رمز أو قيمة الحقل، وتغيير الرمز مباشرة في الحقل.
إذا حدث خطأ ما، فاحذف الحقل بأكمله في الخلية وأنشئه مرة أخرى.
"المتوسط" يعني المتوسط، "أعلاه" - حوالي، أي عدد الخلايا الموجودة أعلاه.
لم أكن أعرف كل هذا بنفسي، لكنني اكتشفت ذلك بسهولة في المساعدة، بالطبع، مع القليل من التفكير.