عندما تقرر المهام المختلفةأصبحت الهندسة والميكانيكا والفيزياء وغيرها من فروع المعرفة ضرورية باستخدام نفس العملية التحليلية من هذه الوظيفة ص = و (س)الحصول على وظيفة جديدة تسمى وظيفة مشتقة(أو ببساطة مشتق) لدالة معينة f(x)ويتم تحديده بالرمز

العملية التي من خلالها من وظيفة معينة و (خ)الحصول على ميزة جديدة و" (خ)، مُسَمًّى التفاضلويتكون من الخطوات الثلاث التالية: 1) تقديم الحجة سزيادة راتب  سوتحديد الزيادة المقابلة للوظيفة  ص = و(س+ س) -و(خ); 2) تكوين علاقة

3) العد سثابت و  س0 نجد
، والتي نشير بها و" (خ)، كما لو كان التأكيد على أن الوظيفة الناتجة تعتمد فقط على القيمة س، حيث نذهب إلى الحد الأقصى. تعريف: مشتق ص " =f " (خ) دالة معينة y=f(x) لx معينيسمى حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة، بشرط أن تميل زيادة الوسيطة إلى الصفر، إذا كان هذا الحد موجودًا بالطبع، أي. محدود. هكذا،
، أو

لاحظ أنه إذا كان لبعض القيمة س، على سبيل المثال متى س=أ، سلوك
في  س0 لا يميل إلى حد محدود، ففي هذه الحالة يقولون أن الوظيفة و (خ)في س=أ(أو عند النقطة س=أ) ليس له مشتق أو غير قابل للاشتقاق عند هذه النقطة س=أ.

2. المعنى الهندسي للمشتق.

خذ بعين الاعتبار الرسم البياني للدالة y = f (x)، القابلة للتمييز بالقرب من النقطة x 0

و (خ)

لنفكر في خط مستقيم عشوائي يمر عبر نقطة على الرسم البياني للدالة - النقطة A(x 0, f (x 0)) ويتقاطع مع الرسم البياني عند نقطة ما B(x;f(x)). ويسمى هذا الخط (AB) بالقاطع. من ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

منذ التيار المتردد || Ox، ثم ALO = BAC = β (كما يقابل التوازي). لكن ALO هي زاوية ميل القاطع AB إلى الاتجاه الموجب لمحور الثور. هذا يعني أن tanβ = k هو ميل الخط المستقيم AB.

الآن سوف نقوم بتقليل ∆x، أي. ∆×→ 0. في هذه الحالة، ستقترب النقطة B من النقطة A وفقًا للرسم البياني، وسيدور القاطع AB. سيكون الموضع المحدد للقاطع AB عند ∆x→ 0 عبارة عن خط مستقيم (a)، يسمى ظل الرسم البياني للدالة y = f (x) عند النقطة A.

إذا ذهبنا إلى النهاية كـ ∆x → 0 في المساواة tgβ = ∆y/∆x، نحصل على
ortg =f "(x 0)، منذ ذلك الحين
-زاوية ميل المماس للاتجاه الموجب لمحور الثور
، حسب تعريف المشتق. لكن tg = k هو المعامل الزاوي للظل، وهو ما يعني k = tg = f "(x 0).

لذا، معنى هندسيالمشتق هو كما يلي:

مشتقة الدالة عند النقطة x 0 يساوي ميل المماس للرسم البياني للدالة المرسومة عند النقطة مع الإحداثي السيني x 0 .

3. المعنى المادي للمشتق.

النظر في حركة نقطة على طول خط مستقيم. دع إحداثيات نقطة ما في أي وقت x(t) تعطى. ومن المعروف (من مقرر الفيزياء) أن متوسط ​​السرعة خلال فترة زمنية تساوي نسبة المسافة المقطوعة خلال هذه الفترة الزمنية إلى الزمن، أي.

فاف = ∆x/∆t. دعنا نذهب إلى النهاية في المساواة الأخيرة مثل ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - السرعة اللحظية في الوقت t 0، ∆t → 0.

و lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (حسب تعريف المشتق).

إذن، (t) =x"(t).

المعنى المادي للمشتق هو كما يلي: مشتق الوظيفةذ = F(س) عند نقطةس 0 هو معدل تغير الوظيفةF(خ) عند النقطةس 0

يتم استخدام المشتق في الفيزياء للعثور على السرعة من دالة معروفة للإحداثيات مقابل الوقت، والتسارع من دالة معروفة للسرعة مقابل الزمن.

(t) = x"(t) - السرعة،

أ(و) = "(ر) - التسارع، أو

إذا كان قانون حركة نقطة مادية في دائرة معروفًا، فيمكن إيجاد السرعة الزاوية والتسارع الزاوي أثناء الحركة الدورانية:

φ = φ(t) - التغير في الزاوية مع مرور الوقت،

ω = φ"(t) - السرعة الزاوية،

ε = φ"(t) - التسارع الزاوي، أو ε = φ"(t).

إذا كان قانون توزيع الكتلة للقضيب غير المتجانس معروفًا، فيمكن إيجاد الكثافة الخطية للقضيب غير المتجانس:

م = م(س) - الكتلة،

x  , l - طول القضيب،

ع = م"(س) - الكثافة الخطية.

باستخدام المشتقة، يتم حل المسائل من نظرية المرونة والاهتزازات التوافقية. لذلك، وفقا لقانون هوك

F = -kx، x - الإحداثيات المتغيرة، k - معامل مرونة الزنبرك. وبوضع ω 2 =k/m، نحصل على المعادلة التفاضلية للبندول الزنبركي x"(t) + ω 2 x(t) = 0،

حيث ω = √k/√m تردد التذبذب (l/c)، k - صلابة الزنبرك (H/m).

معادلة من الشكل y" + ω 2 y = 0 تسمى معادلة التذبذبات التوافقية (الميكانيكية، الكهربائية، الكهرومغناطيسية). حل هذه المعادلات هو الدالة

y = Asin(ωt + φ 0) أو y = Acos(ωt + φ 0)، حيث

أ - سعة التذبذبات، ω - التردد الدوري،

φ 0 - المرحلة الأولية.

ملاحظات هامة!
1. إذا رأيت gobbledygook بدلاً من الصيغ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. كيفية القيام بذلك في متصفحك مكتوبة هنا:
2. قبل أن تبدأ بقراءة المقال، انتبه لمتصفحنا للأكثر مورد مفيدل

لنتخيل طريقًا مستقيمًا يمر عبر منطقة جبلية. أي أنه يصعد ويهبط، لكنه لا يلتفت يمينًا أو يسارًا. إذا تم توجيه المحور أفقيًا على طول الطريق وعموديًا، فسيكون خط الطريق مشابهًا جدًا للرسم البياني لبعض الوظائف المستمرة:

المحور هو مستوى معين من الارتفاع صفر، في الحياة نستخدم مستوى سطح البحر كما هو.

وبينما نتحرك للأمام على طول هذا الطريق، فإننا نتحرك أيضًا لأعلى أو لأسفل. يمكننا أن نقول أيضًا: عندما يتغير الوسيط (الحركة على طول محور الإحداثي) تتغير قيمة الدالة (الحركة على طول المحور الإحداثي). الآن دعونا نفكر في كيفية تحديد "انحدار" طريقنا؟ أي نوع من القيمة يمكن أن يكون هذا؟ الأمر بسيط للغاية: ما مدى تغير الارتفاع عند المضي قدمًا لمسافة معينة. بعد كل شيء، على مناطق مختلفةالطرق، تتحرك للأمام (على طول المحور السيني) بمقدار كيلومتر واحد، سنرتفع أو نسقط كميات مختلفةمتر بالنسبة لمستوى سطح البحر (على طول المحور الإحداثي).

دعونا نشير إلى التقدم (اقرأ "دلتا x").

يُستخدم الحرف اليوناني (دلتا) بشكل شائع في الرياضيات كبادئة تعني "التغيير". وهذا هو - هذا تغيير في الكمية، - التغيير؛ ما هي اذا؟ هذا صحيح، تغيير في الحجم.

هام: التعبير هو كل واحد ومتغير واحد. لا تفصل أبدًا "دلتا" عن "x" أو أي حرف آخر! وهذا هو، على سبيل المثال،.

لذلك، تقدمنا ​​للأمام، أفقيًا، بمقدار. إذا قارنا خط الطريق بالرسم البياني للدالة، فكيف نشير إلى الارتفاع؟ بالتأكيد، . أي أننا كلما تقدمنا ​​للأمام، نرتفع إلى أعلى.

القيمة سهلة الحساب: إذا كنا في البداية على ارتفاع، وبعد التحرك وجدنا أنفسنا على ارتفاع، إذن. إذا كانت نقطة النهاية أقل من نقطة البداية، فستكون سلبية - وهذا يعني أننا لا نصعد، بل ننزل.

دعنا نعود إلى "الانحدار": هذه قيمة توضح مدى زيادة الارتفاع (بشكل حاد) عند التحرك للأمام بوحدة مسافة واحدة:

لنفترض أنه في جزء ما من الطريق، عند التحرك للأمام بمقدار كيلومتر، يرتفع الطريق بمقدار كيلومتر. إذن الميل عند هذا المكان متساوي. وإذا كان الطريق أثناء التقدم بمقدار متر انخفض بمقدار كيلومتر؟ ثم الميل متساوي.

الآن دعونا ننظر إلى أعلى التل. إذا أخذت بداية المقطع قبل القمة بنصف كيلومتر، والنهاية بعد نصف كيلومتر منها، يمكنك أن ترى أن الارتفاع هو نفسه تقريبًا.

وهذا يعني أنه وفقًا لمنطقنا، يتبين أن الميل هنا يساوي الصفر تقريبًا، وهو ما من الواضح أنه غير صحيح. على مسافة كيلومترات قليلة يمكن أن يتغير الكثير. تحتاج المناطق الأصغر إلى النظر فيها بشكل أكثر ملاءمة و تقييم دقيقالانحدار. على سبيل المثال، إذا قمت بقياس التغير في الارتفاع أثناء تحركك مترًا واحدًا، فستكون النتيجة أكثر دقة. ولكن حتى هذه الدقة قد لا تكون كافية بالنسبة لنا - لأنه إذا كان هناك عمود في منتصف الطريق، فيمكننا ببساطة تجاوزه. ما المسافة التي يجب أن نختارها إذن؟ سنتيمتر؟ ملليمتر؟ اقل هو الافضل!

في الحياه الحقيقيهيعد قياس المسافات إلى أقرب ملليمتر أكثر من كافي. لكن علماء الرياضيات يسعون دائمًا إلى الكمال. ولذلك، تم اختراع هذا المفهوم متناهي الصغرأي أن القيمة المطلقة أقل من أي رقم يمكننا تسميته. مثلاً تقول: واحد على تريليون! كم أقل؟ وقمت بتقسيم هذا الرقم على - وسيكون أقل. وما إلى ذلك وهلم جرا. إذا أردنا أن نكتب أن الكمية متناهية الصغر، نكتب هكذا: (نقرأ "x تميل إلى الصفر"). من المهم جدا أن نفهم أن هذا الرقم ليس صفراً!ولكن قريبة جدا منه. هذا يعني أنه يمكنك القسمة عليه.

المفهوم المعاكس لل متناهية الصغر هو كبير بلا حدود (). من المحتمل أنك صادفت هذا بالفعل عندما كنت تعمل على المتباينات: هذا الرقم أكبر بمقياس من أي رقم يمكن أن يخطر ببالك. إذا حصلت على أكبر عدد ممكن، فما عليك سوى ضربه في اثنين وستحصل على رقم أكبر. واللانهاية أعظم مما يحدث. في الواقع، الكبير بلا حدود والصغير بلا حدود هما عكس بعضهما البعض، أي عند، والعكس صحيح: عند.

الآن دعونا نعود إلى طريقنا. الميل المحسوب بشكل مثالي هو الميل المحسوب لجزء متناهٍ في الصغر من المسار، وهو:

وألاحظ أنه مع الإزاحة المتناهية الصغر، فإن التغير في الارتفاع سيكون أيضًا متناهيًا في الصغر. ولكن اسمحوا لي أن أذكركم أن متناهية الصغر لا تعني يساوي الصفر. إذا قمت بقسمة أعداد متناهية الصغر على بعضها البعض، فيمكنك الحصول على رقم عادي تمامًا، على سبيل المثال، . وهذا يعني أن قيمة صغيرة واحدة يمكن أن تكون أكبر من الأخرى تمامًا.

لماذا كل هذا؟ الطريق والانحدار... لن نشارك في مسيرة بالسيارات، ولكننا نقوم بتدريس الرياضيات. وفي الرياضيات، كل شيء هو نفسه تمامًا، ولكن يُسمى بشكل مختلف.

مفهوم المشتقة

مشتق الدالة هو نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة لزيادة متناهية الصغر في الوسيطة.

تدريجيافي الرياضيات يسمونه التغيير. يسمى المدى الذي تتغير به الوسيطة () أثناء تحركها على طول المحور زيادة الحجةويتم تعيينه، ويسمى مقدار تغير الوظيفة (الارتفاع) عند التحرك للأمام على طول المحور لمسافة زيادة الوظيفةويتم تعيينه.

إذن، مشتقة الدالة هي النسبة إلى متى. نشير إلى المشتق بنفس حرف الدالة، فقط برمز أولي في أعلى اليمين: أو ببساطة. لذلك، دعونا نكتب الصيغة المشتقة باستخدام هذه الرموز:

وكما في التشبيه بالطريق، هنا عندما تزيد الدالة تكون المشتقة موجبة، وعندما تنقص تكون سالبة.

هل يمكن أن تكون المشتقة مساوية للصفر؟ بالتأكيد. على سبيل المثال، إذا كنا نسير على طريق أفقي مسطح، فإن درجة الانحدار تكون صفرًا. وهذا صحيح، الارتفاع لا يتغير على الإطلاق. وهكذا الحال مع المشتقة: مشتقة دالة ثابتة (ثابتة) تساوي صفرًا:

حيث أن زيادة هذه الدالة تساوي صفرًا لأي.

دعونا نتذكر مثال قمة التل. اتضح أنه من الممكن ترتيب نهايات المقطع على جوانب متقابلة من الرأس بحيث يكون الارتفاع عند الأطراف هو نفسه، أي أن المقطع موازي للمحور:

لكن الأجزاء الكبيرة هي علامة على قياس غير دقيق. سنرفع القطعة موازية لنفسها، ثم سينخفض ​​طولها.

في النهاية، عندما نقترب بشكل لا نهائي من القمة، سيصبح طول القطعة متناهية الصغر. لكنه بقي في نفس الوقت موازيا للمحور، أي أن فرق الارتفاعات عند طرفيه يساوي الصفر (لا يميل إلى بل يساوي). لذلك المشتقة

يمكن فهم ذلك بهذه الطريقة: عندما نقف في القمة، فإن التحول البسيط إلى اليسار أو اليمين يغير ارتفاعنا بشكل ضئيل.

يوجد أيضًا تفسير جبري بحت: تزداد الوظيفة على يسار الرأس، وتتناقص إلى اليمين. كما عرفنا سابقًا، عندما تزيد الدالة، تكون المشتقة موجبة، وعندما تقل تكون سالبة. لكنه يتغير بسلاسة، دون قفزات (لأن الطريق لا يغير منحدره بشكل حاد في أي مكان). ولذلك يجب أن يكون هناك بين القيم السلبية والإيجابية. سيكون حيث لا تزيد الدالة ولا تنقص - عند نقطة القمة.

وينطبق الشيء نفسه على الحوض الصغير (المنطقة التي تقل فيها الدالة على اليسار وتزداد على اليمين):

المزيد عن الزيادات.

لذلك نغير الحجة إلى الحجم. نتغير من أي قيمة؟ ماذا أصبحت (الحجة) الآن؟ يمكننا اختيار أي نقطة، والآن سنرقص منها.

النظر في نقطة مع الإحداثيات. قيمة الدالة فيه متساوية. ثم نقوم بنفس الزيادة: نزيد الإحداثيات بمقدار. ما هي الحجة الآن؟ سهل جدا: . ما هي قيمة الدالة الآن؟ أينما تذهب الوسيطة، تذهب الدالة أيضًا: . ماذا عن زيادة الوظيفة؟ لا شيء جديد: لا يزال هذا هو المقدار الذي تغيرت به الوظيفة:

ممارسة العثور على الزيادات:

1. أوجد زيادة الدالة عند نقطة تكون فيها زيادة الوسيطة مساوية لـ.
2. وينطبق الشيء نفسه على الوظيفة عند نقطة ما.

حلول:

في نقاط مختلفة بنفس زيادة الوسيطة، ستكون زيادة الوظيفة مختلفة. هذا يعني أن المشتق عند كل نقطة يختلف (ناقشنا هذا في البداية - يختلف انحدار الطريق عند نقاط مختلفة). لذلك، عندما نكتب مشتقًا، يجب أن نشير إلى أي نقطة:

وظيفة الطاقة.

دالة القوة هي دالة يكون فيها الوسيط إلى حد ما (منطقي، أليس كذلك؟).

علاوة على ذلك - إلى أي حد: .

أبسط حالة هي عندما يكون الأس:

دعونا نجد مشتقتها عند نقطة ما. لنتذكر تعريف المشتق:

لذلك تتغير الحجة من إلى. ما هي الزيادة في الدالة؟

الزيادة هي هذه. لكن الدالة عند أي نقطة تساوي حجتها. لهذا السبب:

المشتق يساوي:

مشتق يساوي:

ب) فكر الآن وظيفة من الدرجة الثانية (): .

الآن دعونا نتذكر ذلك. وهذا يعني أنه يمكن إهمال قيمة الزيادة، لأنها متناهية الصغر، وبالتالي غير ذات أهمية على خلفية المصطلح الآخر:

لذلك توصلنا إلى قاعدة أخرى:

ج) نواصل السلسلة المنطقية : .

يمكن تبسيط هذا التعبير بطرق مختلفة: افتح القوس الأول باستخدام صيغة الضرب المختصر لمكعب المجموع، أو قم بتحليل التعبير بأكمله باستخدام صيغة فرق المكعبات. حاول أن تفعل ذلك بنفسك باستخدام أي من الطرق المقترحة.

لذلك حصلت على ما يلي:

ومرة أخرى دعونا نتذكر ذلك. وهذا يعني أنه يمكننا إهمال جميع المصطلحات التي تحتوي على:

نحن نحصل: .

د) يمكن الحصول على قواعد مماثلة للقوى الكبرى:

هـ) تبين أنه يمكن تعميم هذه القاعدة على وظيفة الطاقةمع الأس التعسفي، ولا حتى عددا صحيحا:

(2)

يمكن صياغة القاعدة بالكلمات التالية: "يتم تقديم الدرجة كمعامل، ثم يتم تخفيضها بمقدار".

سنثبت هذه القاعدة لاحقًا (في النهاية تقريبًا). الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة. أوجد مشتقة الدوال:

1. (بطريقتين: بالصيغة وباستخدام تعريف المشتق - بحساب زيادة الدالة)؛

الدوال المثلثية.

هنا سوف نستخدم حقيقة واحدة من الرياضيات العليا:

مع التعبير.

سوف تتعلم الدليل في السنة الأولى من المعهد (وللوصول إلى هناك، تحتاج إلى اجتياز اختبار الدولة الموحدة جيدًا). والآن سأعرضها بيانيًا فقط:

نرى أنه في حالة عدم وجود الدالة، يتم قطع النقطة الموجودة على الرسم البياني. ولكن كلما اقتربنا من القيمة، كلما اقتربت الوظيفة منها، وهذا هو "الهدف".

بالإضافة إلى ذلك، يمكنك التحقق من هذه القاعدة باستخدام الآلة الحاسبة. نعم، نعم، لا تخجل، استخدم الآلة الحاسبة، فنحن لم نصل إلى امتحان الدولة الموحدة بعد.

إذا دعنا نحاول: ؛

لا تنس تحويل الآلة الحاسبة إلى وضع الراديان!

إلخ. ونحن نرى أنه كلما قل قيمة أقربعلاقة

أ) النظر في الوظيفة. كالعادة، لنجد زيادتها:

دعونا نحول فرق الجيوب إلى منتج. للقيام بذلك نستخدم الصيغة (تذكر الموضوع ""): .

الآن المشتقة:

فلنقم بالاستبدال : . ثم بالنسبة إلى متناهية الصغر فهي أيضًا متناهية الصغر: . التعبير لـ يأخذ الشكل:

والآن نتذكر ذلك بالتعبير. وأيضًا، ماذا لو كان من الممكن إهمال كمية متناهية الصغر في المجموع (أي في).

حتى نحصل على القاعدة التالية:مشتق الجيب يساوي جيب التمام:

هذه هي المشتقات الأساسية ("الجدولية"). وهنا هم في قائمة واحدة:

سنضيف إليها لاحقًا بعضًا منها، لكن هذه هي الأهم، حيث يتم استخدامها في أغلب الأحيان.

يمارس:

1. أوجد مشتقة الدالة عند نقطة ما؛
2. العثور على مشتق من وظيفة.

حلول:

الأس واللوغاريتم الطبيعي.

هناك دالة في الرياضيات مشتقتها لأي قيمة تساوي قيمة الدالة نفسها في نفس الوقت. وتسمى "الأس"، وهي دالة أسية

أساس هذه الدالة هو ثابت - إنه لانهائي عدد عشري، أي عدد غير نسبي (مثل). يُطلق عليه "رقم أويلر"، ولهذا يُشار إليه بالحرف.

إذن القاعدة:

من السهل جدًا تذكرها.

حسنًا، دعونا لا نذهب بعيدًا، فلنفكر فورًا في الدالة العكسية. ما هي الدالة معكوسها؟ وظيفة الأسية؟ اللوغاريتم:

في حالتنا، الأساس هو الرقم:

يُطلق على مثل هذا اللوغاريتم (أي اللوغاريتم ذو الأساس) اسم "طبيعي" ، ونستخدم له رمزًا خاصًا: نكتب بدلاً من ذلك.

ما هو يساوي؟ بالطبع، .

مشتق اللوغاريتم الطبيعي بسيط جدًا أيضًا:

أمثلة:

1. العثور على مشتق من وظيفة.
2. ما هو مشتق الدالة؟

الإجابات: العارض و اللوغاريتم الطبيعي- الوظائف بسيطة بشكل فريد من حيث المشتقات. إن الدوال الأسية واللوغاريتمية مع أي أساس آخر سيكون لها مشتق مختلف، وهو ما سنحلله لاحقا، بعد أن نتعرف على قواعد الاشتقاق.

قواعد التمايز

قواعد ماذا؟ مرة أخرى مصطلح جديد، مرة أخرى؟!...

التفاضلهي عملية العثور على المشتق.

هذا كل شئ. ماذا يمكنك أن تسمي هذه العملية في كلمة واحدة؟ ليست مشتقة... يطلق علماء الرياضيات على التفاضل نفس زيادة الدالة عند. يأتي هذا المصطلح من التمايز اللاتيني - الاختلاف. هنا.

عند استخلاص كل هذه القواعد، سنستخدم دالتين، على سبيل المثال، و. سنحتاج أيضًا إلى صيغ لزياداتها:

هناك 5 قواعد في المجموع.

يتم إخراج الثابت من علامة المشتقة.

إذا كان بعض رقم ثابت(ثابت) إذن.

من الواضح أن هذه القاعدة تعمل أيضًا على الاختلاف: .

دعونا نثبت ذلك. فليكن، أو أبسط.

أمثلة.

أوجد مشتقات الدوال:

1. عند نقطة ما؛
2. عند نقطة ما؛
3. عند نقطة ما؛
4. عند هذه النقطة.

حلول:

مشتق من المنتج

كل شيء مشابه هنا: فلنقدم دالة جديدة ونجد زيادتها:

المشتق:

أمثلة:

1. أوجد مشتقات الدوال و؛
2. أوجد مشتقة الدالة عند نقطة ما.

حلول:

مشتق من الدالة الأسية

الآن معرفتك كافية لتتعلم كيفية العثور على مشتقة أي دالة أسية، وليس فقط الأسس (هل نسيت ما هو حتى الآن؟).

لذلك، أين هو بعض العدد.

نحن نعرف بالفعل مشتقة الدالة، لذا دعونا نحاول اختزال الدالة إلى أساس جديد:

لهذا سوف نستخدم قاعدة بسيطة: . ثم:

حسنًا، لقد نجحت. حاول الآن إيجاد المشتقة، ولا تنس أن هذه الدالة معقدة.

حدث؟

وهنا راجع نفسك:

تبين أن الصيغة مشابهة جدًا لمشتقة الأس: كما كانت، ظلت كما هي، ولم يظهر سوى عامل، وهو مجرد رقم، ولكنه ليس متغيرًا.

أمثلة:
أوجد مشتقات الدوال:

الإجابات:

مشتق من دالة لوغاريتمية

الأمر مشابه هنا: أنت تعرف بالفعل مشتقة اللوغاريتم الطبيعي:

ولذلك، للعثور على لوغاريتم اختياري مع قاعدة مختلفة، على سبيل المثال:

علينا اختزال هذا اللوغاريتم إلى الأساس. كيف يمكنك تغيير قاعدة اللوغاريتم؟ أتمنى أن تتذكر هذه الصيغة:

الآن فقط سنكتب بدلاً من ذلك:

المقام هو ببساطة ثابت (رقم ثابت، بدون متغير). يتم الحصول على المشتق بكل بساطة:

مشتقات الأسي و وظائف لوغاريتميةلم يظهروا أبدًا في امتحان الدولة الموحدة، ولكن لن يضر معرفتهم.

مشتق من وظيفة معقدة.

ما هي "الوظيفة المعقدة"؟ لا، هذا ليس لوغاريتمًا، وليس ظلًا قوسيًا. يمكن أن يكون من الصعب فهم هذه الوظائف (على الرغم من أنك إذا وجدت اللوغاريتمات صعبة، فاقرأ موضوع "اللوغاريتمات" وستكون بخير)، ولكن من وجهة نظر رياضية، فإن كلمة "معقدة" لا تعني "صعبة".

تخيل حزامًا ناقلًا صغيرًا: شخصان يجلسان ويقومان ببعض الإجراءات باستخدام بعض الأشياء. على سبيل المثال، يقوم الأول بتغليف قطعة من الشوكولاتة في غلاف، والثاني يربطها بشريط. والنتيجة هي كائن مركب: قطعة من الشوكولاتة ملفوفة ومربوطة بشريط. لتناول قطعة من الشوكولاتة، عليك القيام بالخطوات العكسية ترتيب عكسي.

لنقم بإنشاء مسار رياضي مماثل: أولاً سنجد جيب تمام الرقم، ثم نقوم بتربيع الرقم الناتج. لذلك، حصلنا على رقم (الشوكولاتة)، وأجد جيب تمامها (الغلاف)، ثم قمت بتربيع ما حصلت عليه (اربطه بشريط). ماذا حدث؟ وظيفة. هذا مثال على دالة معقدة: للعثور على قيمتها، نقوم بالإجراء الأول مباشرة مع المتغير، ثم الإجراء الثاني بما نتج عن الأول.

يمكننا بسهولة القيام بنفس الخطوات بترتيب عكسي: أولاً تقوم بتربيعه، ثم أبحث عن جيب التمام للرقم الناتج: . من السهل تخمين أن النتيجة ستكون مختلفة دائمًا تقريبًا. من السمات المهمة للوظائف المعقدة: عندما يتغير ترتيب الإجراءات، تتغير الوظيفة.

بعبارة أخرى، الدالة المعقدة هي دالة تكون حجتها دالة أخرى: .

بالنسبة للمثال الأول، .

المثال الثاني: (نفس الشيء). .

سيتم استدعاء الإجراء الذي قمنا به أخيرًا وظيفة "خارجية".، ويتم تنفيذ الإجراء أولاً - وفقًا لذلك وظيفة "داخلية".(هذه أسماء غير رسمية، أستخدمها فقط لشرح المادة بلغة بسيطة).

حاول أن تحدد بنفسك أي وظيفة خارجية وأي وظيفة داخلية:

الإجابات:إن فصل الوظائف الداخلية والخارجية يشبه إلى حد كبير تغيير المتغيرات: على سبيل المثال، في دالة

نغير المتغيرات ونحصل على دالة.

حسنًا، الآن سوف نستخرج لوح الشوكولاتة الخاص بنا ونبحث عن المشتق. يتم دائمًا عكس الإجراء: أولاً نبحث عن مشتقة الدالة الخارجية، ثم نضرب النتيجة في مشتقة الدالة الداخلية. بالنسبة للمثال الأصلي، يبدو كما يلي:

مثال آخر:

لذا، دعونا أخيرًا صياغة القاعدة الرسمية:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

يبدو الأمر بسيطا، أليس كذلك؟

دعونا نتحقق من الأمثلة:

المشتق. باختصار عن الأشياء الرئيسية

مشتق من وظيفة- نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة لزيادة متناهية الصغر في الوسيطة:

المشتقات الأساسية:

قواعد التمايز:

يتم إخراج الثابت من علامة المشتقة:

مشتق من المبلغ:

مشتق من المنتج:

مشتق الحاصل:

مشتق من وظيفة معقدة:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

1. نحدد الدالة "الداخلية" ونجد مشتقتها.
2. نحدد الدالة "الخارجية" ونجد مشتقتها.
3. نضرب نتائج النقطتين الأولى والثانية.

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

للنجاح اجتياز امتحان الدولة الموحدة، للقبول في الكلية بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الناس الذين تلقوا على تعليم جيد، يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يحصلوا عليها. هذه إحصائيات.

ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول تحليل تفصيلي وتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - شراء كتاب مدرسي - 499 روبية

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.

ختاماً...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

مشتق من دالة لمتغير واحد.

مقدمة.

حقيقي التطورات المنهجيةمخصص لطلاب كلية الهندسة الصناعية والمدنية. تم تجميعها فيما يتعلق ببرنامج دورة الرياضيات في قسم "حساب التفاضل والتكامل لوظائف متغير واحد".

وتمثل التطورات دليلاً منهجياً واحداً، يتضمن: معلومات نظرية مختصرة؛ المسائل والتمارين "القياسية" مع الحلول التفصيلية والشروحات لهذه الحلول؛ خيارات الاختبار.

هناك تمارين إضافية في نهاية كل فقرة. هيكل التطوير هذا يجعلها مناسبة لإتقان القسم بشكل مستقل بأقل قدر من المساعدة من المعلم.

§1. تعريف المشتقة.

المعنى الميكانيكي والهندسي

المشتق.

يعتبر مفهوم المشتقة من أهم مفاهيم التحليل الرياضي، وقد نشأ في القرن السابع عشر. يرتبط تشكيل مفهوم المشتقة تاريخيًا بمشكلتين: مشكلة سرعة الحركة المتناوبة ومشكلة مماس المنحنى.

وهذه المسائل، على الرغم من اختلاف محتوياتها، تؤدي إلى نفس العملية الرياضية التي يجب إجراؤها على دالة، وقد حصلت هذه العملية على اسم خاص في الرياضيات. وتسمى عملية تمايز الوظيفة. نتيجة عملية التمايز تسمى المشتقة.

لذا، فإن مشتق الدالة y=f(x) عند النقطة x0 هو الحد (إن وجد) لنسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة
في
.

عادة ما يتم الإشارة إلى المشتق على النحو التالي:
.

وهكذا بحكم التعريف

تُستخدم الرموز أيضًا للإشارة إلى المشتقات
.

المعنى الميكانيكي للمشتقات.

إذا كان s=s(t) هو قانون الحركة المستقيمة لنقطة مادية، إذن
هي سرعة هذه النقطة عند الزمن t .

المعنى الهندسي للمشتق.

إذا كانت الدالة y=f(x) لها مشتق عند هذه النقطة ، ثم المعامل الزاوي للمماس للرسم البياني للدالة عند هذه النقطة
يساوي
.

مثال.

العثور على مشتق من وظيفة
عند هذه النقطة =2:

1) دعونا نعطيها نقطة = 2 زيادة
. لاحظ أن.

2) أوجد زيادة الدالة عند النقطة =2:

3) لنقم بإنشاء نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة:

دعونا نجد نهاية النسبة عند
:

.

هكذا،
.

§ 2. مشتقات البعض

أبسط الوظائف.

يحتاج الطالب إلى تعلم كيفية حساب مشتقات دوال محددة: y=x,y= وبشكل عام= .

لنجد مشتقة الدالة y=x.

أولئك. (س)′=1.

دعونا نجد مشتقة الدالة

المشتق

يترك
ثم

من السهل ملاحظة وجود نمط في تعبيرات مشتقات دالة القوة
مع ن = 1،2،3.

لذلك،

. (1)

هذه الصيغة صالحة لأي n حقيقي.

وعلى وجه الخصوص، باستخدام الصيغة (1)، لدينا:

;

.

مثال.

العثور على مشتق من وظيفة

.

.

هذه الوظيفة هي حالة خاصة لوظيفة النموذج

في
.

وباستخدام الصيغة (1)، لدينا

.

مشتقات الدوال y=sin x و y=cos x.

دع y=sinx.

نقسم على ∆x نحصل على

بالمرور إلى الحد الأقصى عند ∆x→0، لدينا

دع y=cosx.

بالمرور إلى الحد عند ∆x→0، نحصل على

;
. (2)

§3. القواعد الأساسية للتمايز.

دعونا ننظر في قواعد التمايز.

نظرية1 . إذا كانت الدالتان u=u(x) وv=v(x) قابلة للاشتقاق عند نقطة معينة x، فإن مجموعهما يكون قابلاً للاشتقاق عند هذه النقطة، ومشتقة المجموع تساوي مجموع مشتقات الحدود : (u+v)"=u"+v".(3 )

الدليل: النظر في الدالة y=f(x)=u(x)+v(x).

الزيادة ∆x للوسيطة x تتوافق مع الزيادات ∆u=u(x+∆x)-u(x)، ∆v=v(x+∆x)-v(x) للوظائف u و v. ثم ستزداد الدالة y

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

لذلك،

لذا، (u+v)"=u"+v".

نظرية2. إذا كانت الدالتان u=u(x) وv=v(x) قابلة للاشتقاق عند نقطة معينة x، فإن حاصل ضربهما يكون قابلاً للاشتقاق عند نفس النقطة. في هذه الحالة، يتم إيجاد مشتقة حاصل الضرب بالصيغة التالية: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

الدليل: افترض أن y=uv، حيث u وv هما دوال قابلة للتمييز لـ x. لنعطي x زيادة قدرها ∆x؛ ثم ستحصل u على زيادة قدرها ∆u، وستتلقى v زيادة قدرها ∆v، وستتلقى y زيادة قدرها ∆y.

لدينا y+∆y=(u+∆u)(v+∆v)، أو

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

لذلك، ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

من هنا

بالمرور إلى الحد عند ∆x→0 ومع الأخذ في الاعتبار أن u وv لا يعتمدان على ∆x، سيكون لدينا

النظرية 3. مشتقة حاصل دالتين يساوي كسرًا مقامه يساوي مربع المقسوم عليه، والبسط هو الفرق بين حاصل ضرب مشتقة المقسوم والمقسوم عليه وحاصل ضرب المقسوم عليه توزيعات الأرباح ومشتق المقسوم عليه، أي

لو
الذي - التي
(5)

النظرية 4.مشتقة الثابت هي صفر، أي. إذا كانت y=C، حيث C=const، فإن y"=0.

النظرية 5.يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المشتقة، أي. إذا y=Cu(x)، حيث С=const، ثم y"=Cu"(x).

مثال 1.

العثور على مشتق من وظيفة

.

هذه الوظيفة لديها النموذج
، حيث u=x,v=cosx. وبتطبيق قاعدة التفاضل (4) نجد

.

مثال 2.

العثور على مشتق من وظيفة

.

دعونا نطبق الصيغة (5).

هنا
;
.

مهام.

البحث عن المشتقات الوظائف التالية:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

التاريخ: 20/11/2014

ما هو المشتق؟

جدول المشتقات.

المشتق هو أحد المفاهيم الرئيسية للرياضيات العليا. في هذا الدرس سوف نقدم هذا المفهوم. دعونا نتعرف على بعضنا البعض، دون صيغ وأدلة رياضية صارمة.

هذا التعارف سيسمح لك بما يلي:

فهم جوهر المهام البسيطة مع المشتقات.

حل هذه المهام البسيطة بنجاح؛

الاستعداد لدروس أكثر جدية حول المشتقات.

أولا - مفاجأة سارة.)

يعتمد التعريف الصارم للمشتقة على نظرية الحدود والأمر معقد للغاية. هذا مزعج. لكن التطبيق العملي للمشتقات، كقاعدة عامة، لا يتطلب مثل هذه المعرفة الواسعة والعميقة!

لإكمال معظم المهام في المدرسة والجامعة بنجاح، يكفي أن تعرف فقط بعض المصطلحات- لفهم المهمة، و فقط عدد قليل من القواعد- لحلها. هذا كل شئ. هذا يجعلني سعيدا.

لنبدأ بالتعرف؟)

المصطلحات والتسميات.

هناك العديد من العمليات الرياضية المختلفة في الرياضيات الابتدائية. الجمع، الطرح، الضرب، الأس، اللوغاريتم، الخ. إذا أضفت عملية أخرى إلى هذه العمليات، تصبح الرياضيات الأولية أعلى. هذه العملية الجديدة تسمى التفاضل.سيتم مناقشة تعريف ومعنى هذه العملية في دروس منفصلة.

ومن المهم أن نفهم هنا أن التمايز هو ببساطة عملية حسابيةفوق الوظيفة. نحن نأخذ أي وظيفة ونقوم بتحويلها وفقًا لقواعد معينة. وستكون النتيجة وظيفة جديدة. هذه الوظيفة الجديدة تسمى: المشتق.

التفاضل- العمل على وظيفة.

المشتق- نتيجة هذا الإجراء.

تماما مثل، على سبيل المثال، مجموع- نتيجة الإضافة. أو خاص- نتيجة القسمة.

بمعرفة المصطلحات، يمكنك على الأقل فهم المهام.) الصياغة هي كما يلي: العثور على مشتقة وظيفة. خذ المشتق التمييز بين الوظيفة؛ حساب المشتقةوما إلى ذلك وهلم جرا. هذا كل شيء نفس.بالطبع، هناك أيضًا مهام أكثر تعقيدًا، حيث سيكون العثور على المشتق (التمايز) مجرد إحدى خطوات حل المشكلة.

تتم الإشارة إلى المشتق بشرطة في أعلى يمين الدالة. مثله: ذ"أو و"(خ)أو شارع)وما إلى ذلك وهلم جرا.

قراءة السكتة الدماغية igrek، السكتة الدماغية ef من x، السكتة الدماغية es من te،حسنًا ، لقد فهمت ...)

يمكن أن يشير العدد الأولي أيضًا إلى مشتق دالة معينة، على سبيل المثال: (2x+3)", (x 3 )" , (سينكس)"إلخ. غالبًا ما يتم الإشارة إلى المشتقات باستخدام التفاضلات، لكننا لن نأخذ هذا الرمز في الاعتبار في هذا الدرس.

لنفترض أننا تعلمنا فهم المهام. كل ما تبقى هو أن تتعلم كيفية حلها.) اسمحوا لي أن أذكركم مرة أخرى: العثور على المشتقة هو تحويل وظيفة وفقا لقواعد معينة.والمثير للدهشة أن هناك عددًا قليلاً جدًا من هذه القواعد.

للعثور على مشتق دالة، عليك أن تعرف ثلاثة أشياء فقط. ثلاث ركائز يقوم عليها كل التمايز. وإليكم هذه الأركان الثلاثة:

1. جدول المشتقات (صيغ التمايز).

3. مشتق من وظيفة معقدة.

لنبدأ بالترتيب. في هذا الدرس سوف ننظر إلى جدول المشتقات.

جدول المشتقات.

هناك عدد لا حصر له من الوظائف في العالم. من بين هذه المجموعة هناك الوظائف الأكثر أهمية للاستخدام العملي. هذه الوظائف موجودة في جميع قوانين الطبيعة. من هذه الوظائف، كما هو الحال من الطوب، يمكنك بناء جميع الوظائف الأخرى. تسمى هذه الفئة من الوظائف وظائف أولية.يتم دراسة هذه الوظائف في المدرسة - الخطية، التربيعية، القطع الزائد، إلخ.

التمايز بين الوظائف "من الصفر" ، أي. استنادا إلى تعريف المشتق ونظرية الحدود، فهذا شيء كثيف العمالة إلى حد ما. وعلماء الرياضيات هم أيضًا بشر، نعم، نعم!) لذلك قاموا بتبسيط حياتهم (وحياةنا). لقد حسبوا مشتقات الوظائف الأولية التي أمامنا. والنتيجة هي جدول المشتقات، حيث كل شيء جاهز.)

ومن هنا، هذه اللوحة للوظائف الأكثر شعبية. غادر - وظيفة أولية، على اليمين مشتقته.

	وظيفة ذ	مشتق من وظيفة ذ ذ"
1	ج (قيمة ثابتة)	ج" = 0
2	س	س" = 1
3	س ن (ن - أي رقم)	(x n)" = nx n-1
	× 2 (ن = 2)	(× 2)" = 2×
4	الخطيئة س	(الخطيئة ×)" = cosx
	كوس س	(كوس س)" = - الخطيئة س
	تيراغرام س
	سي تي جي اكس
5	أرسين x
	أركوس x
	أركانتان x
	arcctg x
4	أس
	هس
5	سجل أس
	لن س ( أ = ه)

أوصي بالاهتمام بالمجموعة الثالثة من الوظائف في جدول المشتقات هذا. مشتقة دالة القوة هي إحدى الصيغ الأكثر شيوعًا، إن لم تكن الأكثر شيوعًا! هل فهمت التلميح؟) نعم، يُنصح بحفظ جدول المشتقات عن ظهر قلب. بالمناسبة، هذا ليس صعبا كما قد يبدو. حاول حل المزيد من الأمثلة، سيتم تذكر الجدول نفسه!)

العثور على القيمة الجدولية للمشتق، كما تفهم، ليس المهمة الأكثر صعوبة. لذلك، في كثير من الأحيان في مثل هذه المهام هناك رقائق إضافية. إما في صيغة المهمة، أو في الوظيفة الأصلية التي لا يبدو أنها موجودة في الجدول...

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

1. أوجد مشتقة الدالة y = x 3

لا توجد مثل هذه الوظيفة في الجدول. ولكن هناك مشتق من وظيفة السلطة في منظر عام(المجموعة الثالثة). في حالتنا ن = 3. لذلك نستبدل ثلاثة بدلاً من n ونكتب النتيجة بعناية:

(x 3) " = 3 س 3-1 = 3x 2

هذا كل شيء.

إجابة: ص" = 3x 2

2. أوجد قيمة مشتقة الدالة y = sinx عند النقطة x = 0.

تعني هذه المهمة أنه يجب عليك أولًا إيجاد مشتقة جيب الجيب، ثم التعويض بالقيمة س = 0في نفس هذا المشتق. بالضبط بهذا الترتيب!خلاف ذلك، يحدث ذلك على الفور استبدال الصفر في الوظيفة الأصلية... يطلب منا العثور على قيمة الوظيفة الأصلية وليس القيمة مشتق منه.اسمحوا لي أن أذكركم بأن المشتقة هي دالة جديدة.

باستخدام الجهاز اللوحي نجد الجيب والمشتق المقابل:

y" = (sin x)" = cosx

نعوض بالصفر في المشتقة:

ص"(0) = جتا 0 = 1

سيكون هذا هو الجواب.

3. التفريق بين الوظيفة:

ماذا، هل هذا يلهم؟) لا توجد مثل هذه الوظيفة في جدول المشتقات.

دعني أذكرك أن اشتقاق دالة يعني ببساطة إيجاد مشتقة هذه الدالة. إذا نسيت علم المثلثات الأساسي، فسيكون البحث عن مشتقة الدالة أمرًا مزعجًا للغاية. الجدول لا يساعد...

ولكن إذا رأينا أن وظيفتنا هي جيب التمام زاوية مزدوجة، ثم يتحسن كل شيء على الفور!

نعم نعم! تذكر أن تحويل الوظيفة الأصلية قبل التفريقمقبول تماما! ويحدث أن يجعل الحياة أسهل كثيرًا. باستخدام صيغة جيب التمام للزاوية المزدوجة:

أولئك. وظيفتنا الصعبة ليست أكثر من ذ = كوسكس. وهذه هي وظيفة الجدول. نحصل على الفور على:

إجابة: y" = - الخطيئة x.

مثال للخريجين والطلاب المتقدمين:

4. أوجد مشتقة الدالة:

بالطبع لا توجد مثل هذه الوظيفة في جدول المشتقات. ولكن إذا كنت تتذكر الرياضيات الأولية، والعمليات مع القوى. فمن الممكن تماما تبسيط هذه الوظيفة. مثله:

وx أس العشر هي بالفعل دالة جدولية! المجموعة الثالثة، ن = 1/10. نكتب مباشرة حسب الصيغة:

هذا كل شئ. سيكون هذا هو الجواب.

آمل أن يكون كل شيء واضحًا فيما يتعلق بالركيزة الأولى للتمايز - جدول المشتقات. يبقى التعامل مع الحوتين المتبقيين. وفي الدرس القادم سوف نتعلم قواعد التفاضل.

إن حل المشكلات الفيزيائية أو الأمثلة في الرياضيات أمر مستحيل تمامًا دون معرفة المشتقة وطرق حسابها. المشتق هو أحد أهم المفاهيم في التحليل الرياضي. قررنا تخصيص مقال اليوم لهذا الموضوع الأساسي. ما هو المشتق وما هو معناه الفيزيائي والهندسي وكيفية حساب مشتق الدالة؟ يمكن دمج كل هذه الأسئلة في سؤال واحد: كيف نفهم المشتق؟

المعنى الهندسي والمادي للمشتق

يجب أن تكون هناك وظيفة و (خ) ، محددة في فترة زمنية معينة (أ، ب) . تنتمي النقطتان x وx0 إلى هذا الفاصل الزمني. عندما يتغير x، تتغير الدالة نفسها. تغيير الحجة - الفرق في قيمها x-x0 . يتم كتابة هذا الاختلاف كما دلتا س ويسمى زيادة الوسيطة. التغيير أو الزيادة في الدالة هو الفرق بين قيم الدالة عند نقطتين. تعريف المشتق:

مشتق الدالة عند نقطة ما هو حد نسبة زيادة الدالة عند نقطة معينة إلى زيادة الوسيط عندما يميل الأخير إلى الصفر.

وإلا فإنه يمكن كتابتها مثل هذا:

ما الفائدة من إيجاد مثل هذا الحد؟ وهذا ما هو عليه:

مشتق الدالة عند نقطة ما يساوي ظل الزاوية بين محور OX ومماس الرسم البياني للدالة عند نقطة معينة.

المعنى المادي للمشتق: مشتق المسار بالنسبة إلى الزمن يساوي سرعة الحركة المستقيمة.

في الواقع، منذ أيام المدرسة يعلم الجميع أن السرعة هي طريق معين س = و (ر) و الوقت ر . السرعة المتوسطة خلال فترة زمنية معينة:

لمعرفة سرعة الحركة في لحظة زمنية ما ر0 تحتاج إلى حساب الحد:

القاعدة الأولى: تعيين ثابت

يمكن إخراج الثابت من علامة المشتقة. علاوة على ذلك، يجب القيام بذلك. عند حل الأمثلة في الرياضيات، خذها كقاعدة - إذا كان بإمكانك تبسيط تعبير ما، فتأكد من تبسيطه .

مثال. دعونا نحسب المشتق:

القاعدة الثانية: مشتقة مجموع الدوال

مشتق مجموع دالتين يساوي مجموع مشتقات هاتين الدالتين. وينطبق الشيء نفسه على مشتقة اختلاف الوظائف.

ولن نقدم برهانًا على هذه النظرية، بل سنأخذ مثالًا عمليًا.

العثور على مشتق من وظيفة:

القاعدة الثالثة: مشتقة حاصل ضرب الدوال

يتم حساب مشتق منتج وظيفتين قابلتين للتفاضل بواسطة الصيغة:

مثال: إيجاد مشتقة الدالة:

حل:

من المهم الحديث عن حساب مشتقات الدوال المعقدة هنا. مشتقة دالة معقدة يساوي حاصل ضرب مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى الوسيطة الوسيطة ومشتقة الوسيطة الوسيطة بالنسبة إلى المتغير المستقل.

في المثال أعلاه نواجه التعبير:

في هذه الحالة، الوسيطة الوسيطة هي 8x مرفوعة للقوة الخامسة. من أجل حساب مشتقة مثل هذا التعبير، نحسب أولاً مشتقة الدالة الخارجية بالنسبة إلى الوسيطة الوسيطة، ثم نضرب في مشتقة الوسيطة نفسها بالنسبة إلى المتغير المستقل.

القاعدة الرابعة: مشتقة حاصل قسمة دالتين

صيغة لتحديد مشتق حاصل وظيفتين:

حاولنا التحدث عن مشتقات الدمى من الصفر. هذا الموضوع ليس بسيطًا كما يبدو، لذا كن حذرًا: غالبًا ما تكون هناك عيوب في الأمثلة، لذا كن حذرًا عند حساب المشتقات.

إذا كانت لديك أي أسئلة حول هذا الموضوع والمواضيع الأخرى، يمكنك الاتصال بخدمة الطلاب. في وقت قصير، سنساعدك على حل أصعب اختبار وفهم المهام، حتى لو لم تقم بإجراء حسابات مشتقة من قبل.