1 ماذا حدث الكسور المشتركة. أنواع الكسور.
الكسر يعني دائمًا جزءًا من الكل. الحقيقة هي أنه ليس من الممكن دائمًا نقل الكمية بالأعداد الطبيعية ، أي إعادة الحساب: 1،2،3 ، إلخ. فكيف نخصص مثلا نصف بطيخة أو ربع ساعة؟ هذا هو سبب ظهور الأعداد الكسرية أو الكسور.

بادئ ذي بدء ، يجب القول أنه يوجد بشكل عام نوعان من الكسور: الكسور العادية والكسور العشرية. تتم كتابة الكسور العادية على النحو التالي:
تتم كتابة الكسور العشرية بشكل مختلف:

تتكون الكسور العادية من جزأين: في الأعلى البسط ، وفي الأسفل المقام. يتم فصل البسط والمقام بشريط كسري. لذلك تذكر:

كل جزء هو جزء من الكل. عادة ما يتم أخذ الكل 1 (وحدة). يوضح مقام الكسر عدد الأجزاء المقسمة إلى ( 1 ) ، والبسط هو عدد الأجزاء التي تم أخذها. إذا قطعنا الكعكة إلى 6 قطع متطابقة (يقولون في الرياضيات تشارك ) ، فإن كل جزء من الكعكة يساوي 1/6. إذا أكل فاسيا 4 قطع ، فإنه يأكل 4/6.

من ناحية أخرى ، فإن الشريط الكسري ليس أكثر من علامة قسمة. إذن ، الكسر هو خارج قسمة رقمين - البسط والمقام. في نص المشكلات أو في وصفات الأطباق ، تُكتب الكسور عادةً على النحو التالي: 2/3 ، 1/2 ، إلخ. حصلت بعض الكسور على اسمها الخاص ، على سبيل المثال ، 1/2 - "نصف" ، 1/3 - "الثالثة" ، 1/4 - "ربع"
الآن دعنا نتعرف على أنواع الكسور العادية.

2 أنواع الكسور العادية

هناك ثلاثة أنواع من الكسور الشائعة: عادية ، وغير صحيحة ، ومختلطة:

جزء الصحيح

إذا كان البسط أقل من المقام ، فسيتم استدعاء هذا الكسر صحيح،على سبيل المثال: يكون الكسر الصحيح دائمًا أقل من 1.

جزء غير لائق

إذا كان البسط أكبر من أو يساوي المقام ، فسيتم استدعاء الكسر خطأ، على سبيل المثال:

الكسر غير الفعلي أكبر من واحد (إذا كان البسط أكبر من المقام) أو يساوي واحدًا (إذا كان البسط يساوي المقام)

جزء مختلط

إذا كان الكسر يتكون من عدد صحيح (جزء كامل) وكسر مناسب (جزء كسري) ، فإن هذا الكسر يسمى مختلط، على سبيل المثال:

الكسر المختلط دائمًا أكبر من واحد.

3 تحويلات الكسر

في الرياضيات ، غالبًا ما يتعين تحويل الكسور العادية ، أي جزء مختلطتحويلها إلى سيئة والعكس صحيح. هذا ضروري لإجراء بعض العمليات ، مثل الضرب والقسمة.

لذا، يمكن تحويل أي كسر مختلط إلى كسر غير لائق. للقيام بذلك ، يتم ضرب الجزء الصحيح في المقام ويتم إضافة بسط الجزء الكسري. يتم أخذ المبلغ الناتج على أنه البسط ، ويتم ترك المقام كما هو ، على سبيل المثال:

يمكن تحويل أي كسر غير فعلي إلى كسر مختلط. للقيام بذلك ، اقسم البسط على المقام (مع الباقي) ، وسيكون الرقم الناتج هو الجزء الصحيح ، والباقي سيكون بسط الجزء الكسري ، على سبيل المثال:

في الوقت نفسه ، يقولون: "لقد خصصنا الجزء الكامل من جزء غير صحيح".

هناك قاعدة أخرى يجب تذكرها: يمكن تمثيل أي عدد صحيح في صورة كسر مشترك مقامه 1، على سبيل المثال:

لنتحدث عن كيفية مقارنة الكسور.

4 مقارنة الكسور

هناك عدة خيارات عند مقارنة الكسور: من السهل مقارنة الكسور بها نفس القواسم، يكون أكثر صعوبة إذا كانت القواسم مختلفة. هناك أيضًا مقارنة بين الكسور المختلطة. لكن لا تقلق ، الآن سنلقي نظرة فاحصة على كل خيار ونتعلم كيفية مقارنة الكسور.

مقارنة الكسور بنفس القواسم

من كسرين لهما نفس المقام ولكن بسطرين مختلفين ، يكون الكسر ذو البسط الأكبر أكبر ، على سبيل المثال:

مقارنة الكسور التي لها نفس البسط

لكسرين لهما نفس البسط ، لكن قواسم مختلفةالأكبر هو الكسر الذي يكون مقامه أصغر ، على سبيل المثال:

مقارنة الكسور المختلطة وغير الفعلية مع الكسور المناسبة

يكون الكسر غير الصحيح أو المختلط دائمًا أكبر من الكسر الصحيح ، على سبيل المثال:

المقارنة بين كسرين مختلطين

عند مقارنة كسرين مختلطين ، يكون الكسر الذي يحتوي على عدد صحيح أكبر أكبر ، على سبيل المثال:

إذا كانت الأجزاء الصحيحة من الكسور المختلطة هي نفسها ، فإن الكسر الذي يحتوي على الجزء الكسري الأكبر يكون أكبر ، على سبيل المثال:

مقارنة الكسور ببسط ومقامات مختلفة

من المستحيل مقارنة الكسور ببسط ومقامات مختلفة دون تحويلها. أولًا ، يجب إحضار الكسور إلى نفس المقام ، ثم مقارنة البسط. الكسر الأكبر هو الكسر ذو البسط الأكبر. ولكن كيفية تحويل الكسور إلى نفس المقام ، سننظر في القسمين التاليين من المقالة. أولاً ، سننظر في الخاصية الأساسية للكسر واختزال الكسور ، ثم نختصر الكسور مباشرةً إلى نفس المقام.

5 الخاصية الأساسية لكسر. تخفيض الكسر. مفهوم GCD.

يتذكر: يمكنك فقط جمع وطرح ومقارنة الكسور التي لها نفس المقامات.. إذا كانت المقامات مختلفة ، فأنت بحاجة أولاً إلى إحضار الكسور إلى نفس المقام ، أي تحويل أحد الكسور بطريقة تجعل مقامها هو نفسه مقام الكسر الثاني.

الكسور لها خاصية مهمة واحدة تسمى أيضًا الخاصية الأساسية لكسر:

إذا تم ضرب أو قسمة كل من البسط والمقام في نفس الرقم ، فلن تتغير قيمة الكسر:

بفضل هذه الخاصية ، نستطيع تقليل الكسور:

لتقليل الكسر يعني قسمة كل من البسط والمقام على نفس الرقم.(انظر المثال أعلاه). عندما نختصر كسرًا ، يمكننا وصف أفعالنا على النحو التالي:

في كثير من الأحيان ، في جهاز كمبيوتر محمول ، يتم تقليل جزء مثل هذا:

لكن تذكر: يمكن تقليل المضاعفات فقط. إذا كان البسط أو المقام هو المجموع أو الفرق ، فلا يمكن اختزال المصطلحات. مثال:

نحتاج إلى تحويل المجموع إلى مضاعف أولاً:

في بعض الأحيان ، عند العمل مع أعداد كبيرةمن أجل تقليل الكسر ، من الملائم العثور عليه أعظم القاسم المشتركالبسط والمقام (gcd)

أكبر قواسم مشتركة (GCD)عدة أرقام - هذا هو أكبر عدد طبيعي يمكن من خلاله تقسيم هذه الأرقام دون باقي.

من أجل العثور على GCD لرقمين (على سبيل المثال ، البسط والمقام لكسر) ، تحتاج إلى تحليل كلا العددين إلى عوامل أولية ، ولاحظ نفس العوامل في كلا التوسيعين ، وضرب هذه العوامل. سيكون المنتج الناتج هو GCD. على سبيل المثال ، نحتاج إلى اختزال كسر:

أوجد GCD للأرقام 96 و 36:

يوضح لنا GCD أن كلا من البسط والمقام لهما عامل 12 ، ويمكننا بسهولة تقليل الكسر.

في بعض الأحيان ، لجلب الكسور إلى نفس المقام ، يكفي اختزال أحد الكسور. ولكن في كثير من الأحيان يكون من الضروري تحديد عوامل إضافية لكلا الكسرين ، والآن سننظر في كيفية القيام بذلك. لذا:

6 كيفية إحضار الكسور إلى نفس المقام. المضاعف المشترك الأصغر (LCM).

عندما نختزل الكسور إلى نفس المقام ، فإننا نختار للمقام عددًا يقبل القسمة على كل من المقام الأول والمقام الثاني (أي أنه سيكون مضاعفًا لكلا المقام ، من الناحية الرياضية). ومن المستحسن أن يكون هذا الرقم صغيرًا قدر الإمكان ، لذلك من الأنسب حسابه. إذن علينا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لكلا المقامين.

المضاعف المشترك الأصغر لرقمين (م م م)هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على هذين الرقمين بدون باقي. في بعض الأحيان يمكن العثور على LCM شفهيًا ، ولكن في كثير من الأحيان ، خاصة عند العمل بأعداد كبيرة ، يجب عليك العثور على LCM كتابيًا ، باستخدام الخوارزمية التالية:

من أجل العثور على المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام ، تحتاج إلى:

1. حلل هذه الأعداد إلى عوامل أولية
2. خذ التوسيع الأكبر ، واكتب هذه الأرقام كمنتج
3. حدد في التوسعات الأخرى الأرقام التي لا تحدث في التوسيع الأكبر (أو تحدث فيه عددًا أقل من المرات) ، وأضفها إلى المنتج.
4. اضرب كل الأرقام في حاصل الضرب ، فسيكون هذا هو المضاعف المشترك الأصغر.

على سبيل المثال ، لنجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 28 و 21:

لكن لنعد إلى الكسور. بعد أن نختار أو نحسب كتابةً المضاعف المشترك الأصغر لكلا المقامين ، يجب أن نضرب البسط في هذين الكسرين في مضاعفات إضافية. يمكنك إيجادهم بقسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر المقابل ، على سبيل المثال:

وهكذا قللنا الكسور إلى مقام واحد - 15.

7 جمع وطرح الكسور

جمع وطرح الكسور ذات المقامات نفسها

لإضافة كسور لها نفس المقامات ، تحتاج إلى إضافة البسط ، وترك المقام كما هو ، على سبيل المثال:

لطرح الكسور ذات المقامات نفسها ، اطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول ، واترك المقام كما هو ، على سبيل المثال:

جمع وطرح الكسور المختلطة من نفس القواسم

لإضافة الكسور المختلطة ، تحتاج إلى جمع أجزائها الكاملة بشكل منفصل ، ثم جمع الأجزاء الكسرية ، وكتابة النتيجة في صورة كسر مختلط:

إذا تم الحصول على كسر غير لائق عند إضافة الأجزاء الكسرية ، فإننا نختار الجزء الصحيح منه ونضيفه إلى الجزء الصحيح ، على سبيل المثال:

يتم إجراء الطرح بنفس الطريقة: يتم طرح الجزء الصحيح من العدد الصحيح ، ويتم طرح الجزء الكسري من الجزء الكسري:

إذا كان الجزء الكسري من المطروح أكبر من الجزء الكسري من المطروح ، فإننا "نأخذ" واحدًا من الجزء الصحيح ، ونحول الطرح إلى كسر غير فعلي ، ثم نتابع كالمعتاد:

بصورة مماثلة اطرح كسرًا من عدد صحيح:

كيفية جمع عدد صحيح وكسر

لإضافة عدد صحيح وكسر ، ما عليك سوى إضافة هذا الرقم قبل الكسر ، وستحصل على كسر مختلط ، على سبيل المثال:

اذا نحن اجمع عددًا صحيحًا وكسرًا مختلطًا، نضيف هذا الرقم إلى الجزء الصحيح من الكسر ، على سبيل المثال:

جمع وطرح الكسور ذات القواسم المختلفة.

من أجل جمع أو طرح الكسور ذات المقامات المختلفة ، يجب أولاً إحضارها إلى نفس المقام ، ثم المضي قدمًا كما هو الحال عند إضافة الكسور ذات المقامات نفسها (اجمع البسط):

عند الطرح ، ننتقل بنفس الطريقة:

إذا عملنا مع الكسور المختلطة ، فإننا نختزل أجزاءها الكسرية إلى نفس المقام ثم نطرح كالمعتاد: الجزء الكامل من الكل ، والجزء الكسري من الجزء الكسري:

8 ضرب وقسمة الكسور.

يعد ضرب الكسور وقسمتها أسهل بكثير من الجمع والطرح لأنك لست مضطرًا لتقريبهم إلى نفس المقام. يتذكر قواعد بسيطةضرب وقسمة الكسور:

قبل ضرب الأرقام في البسط والمقام ، من المستحسن تقليل الكسر ، أي للتخلص من نفس العوامل في البسط والمقام ، كما في مثالنا.

لقسمة كسر على عدد طبيعي، تحتاج إلى ضرب المقام في هذا الرقم وترك البسط دون تغيير:

على سبيل المثال:

قسمة الكسر على كسر

لتقسيم كسر على آخر ، تحتاج إلى ضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه (المقلوب) ، ما هو هذا المقلوب؟

إذا قلبنا الكسر ، أي بدل البسط والمقام ، نحصل على المقلوب. حاصل ضرب الكسر ومقلوبه يساوي واحدًا. في الرياضيات ، تسمى هذه الأرقام أرقامًا متبادلة:

على سبيل المثال ، الأرقام معكوس بشكل متبادل ، منذ ذلك الحين

وهكذا نعود إلى قسمة الكسر على الكسر:

لقسمة كسر على آخر ، تحتاج إلى ضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه:

على سبيل المثال:

عند قسمة الكسور المختلطة ، تمامًا كما هو الحال عند الضرب ، يجب أولاً تحويلها إلى كسور غير صحيحة:

عند ضرب الكسور وتقسيمها على أعداد صحيحة أعداد صحيحة ، يمكنك أيضًا تمثيل هذه الأعداد في صورة كسور ذات مقام 1 .

وفي قسمة عدد صحيح على كسرتمثيل هذا الرقم في صورة كسر مقامه 1 :

جزءفي الرياضيات ، عدد يتكون من جزء أو أكثر (كسور) من الوحدة. الكسور جزء من مجال الأعداد النسبية. تنقسم الكسور إلى نسقين حسب طريقة كتابتها: عادينوع و عدد عشري .

بسط الكسر- رقم يوضح عدد الأسهم المأخوذة (الموجود أعلى الكسر - فوق السطر). مقام الكسر- رقم يوضح عدد الأجزاء التي يتم تقسيم الوحدة إليها (الموجودة أسفل الخط - في الجزء السفلي). ، بدورها ، تنقسم إلى: صحيحو خطأ, مختلطو مركبترتبط ارتباطًا وثيقًا بوحدات القياس. المتر الواحد يحتوي على 100 سم مما يعني أن 1 م مقسم إلى 100 جزء متساوي. وهكذا ، 1 سم = 1/100 م (السنتيمتر الواحد يساوي مائة من المتر).

أو 3/5 (ثلاثة أخماس) ، هنا 3 هو البسط ، 5 هو المقام. إذا كان البسط أقل من المقام ، فسيكون الكسر أصغر من واحد ويسمى صحيح:

إذا كان البسط يساوي المقام ، فإن الكسر يساوي واحدًا. إذا كان البسط أكبر من المقام ، فإن الكسر أكبر من واحد. في كلتا الحالتين يسمى الكسر خطأ:

لعزل أكبر عدد صحيح موجود في كسر غير فعلي ، تحتاج إلى قسمة البسط على المقام. إذا تم إجراء القسمة بدون باقي ، فإن الكسر غير الصحيح المأخوذ يساوي حاصل القسمة:

إذا تم إجراء القسمة مع الباقي ، فإن حاصل القسمة (غير المكتمل) يعطي العدد الصحيح المطلوب ، والباقي يصبح بسط الجزء الكسري ؛ مقام الجزء الكسري يبقى كما هو.

يسمى الرقم الذي يحتوي على عدد صحيح وجزء كسري مختلط. جزء عدد كسريربما لا جزء الصحيح . ثم من الممكن استخراج أكبر عدد صحيح من الجزء الكسري وتمثيل العدد المختلط بحيث يصبح الجزء الكسري كسرًا مناسبًا (أو يختفي تمامًا).

دراسة ملكة جميع العلوم - الرياضيات ، في مرحلة ما ، يواجه الجميع كسورًا. على الرغم من أن هذا المفهوم (مثل أنواع الكسور نفسها أو العمليات الحسابية معهم) بسيط للغاية ، إلا أنه يجب معالجته بعناية ، لأنه في الحياه الحقيقيهخارج المدرسة سيكون مفيدًا جدًا. لذلك ، دعونا نجدد معرفتنا بالكسور: ماهيتها ، ولماذا هي ، وما هي أنواعها وكيفية إجراء عمليات حسابية مختلفة معها.

جلالة الكسر: ما هو

الكسور في الرياضيات عبارة عن أعداد يتكون كل منها من جزء أو أكثر من الوحدة. تسمى هذه الكسور أيضًا عادية أو بسيطة. كقاعدة عامة ، يتم كتابتها في صورة رقمين ، مفصولة بشريط أفقي أو مائل ، وتسمى "كسري". على سبيل المثال: ½، ¾.

الجزء العلوي أو الأول من هذه الأرقام هو البسط (يوضح عدد كسور الرقم المأخوذة) ، والجزء السفلي أو الثاني هو المقام (يوضح عدد الأجزاء المقسمة إلى الوحدة).

يعمل الشريط الكسري في الواقع كعلامة قسمة. على سبيل المثال ، 7: 9 = 7/9

تقليديا ، الكسور المشتركة أقل من واحد. بينما يمكن أن تكون الكسور العشرية أكبر منها.

ما هي الكسور ل؟ نعم ، لكل شيء ، لأنه في العالم الحقيقي ، ليست كل الأرقام أعدادًا صحيحة. على سبيل المثال ، اشترت تلميذتان في الكافتيريا قطعة شوكولاتة لذيذة معًا. عندما كانوا على وشك مشاركة الحلوى ، التقوا بصديقة وقرروا معاملتها أيضًا. ومع ذلك ، من الضروري الآن تقسيم لوح الشوكولاتة بشكل صحيح ، نظرًا لأنه يتكون من 12 مربعًا.

في البداية ، أرادت الفتيات مشاركة كل شيء على قدم المساواة ، ثم تحصل كل واحدة على أربع قطع. لكن بعد التفكير في الأمر ، قرروا معاملة صديقتهم ، ليس 1/3 ، ولكن 1/4 من الشوكولاتة. ونظرًا لأن تلميذات المدارس لم يدرسن الكسور جيدًا ، لم يأخذن في الاعتبار أنه في مثل هذه الحالة ، نتيجة لذلك ، سيكون لديهم 9 أجزاء مقسمة بشكل سيء للغاية إلى قسمين. يوضح هذا المثال البسيط إلى حد ما مدى أهمية القدرة على العثور على جزء من الرقم بشكل صحيح. ولكن في الحياة هناك العديد من مثل هذه الحالات.

أنواع الكسور: عادية وعشرية

جميع الكسور الرياضية مقسمة إلى رقمين كبيرين: عادي وعشري. تم وصف ميزات الأول منهم في الفقرة السابقة ، لذلك يجدر الآن الانتباه إلى الثانية.

العلامة العشرية هي تدوين موضعي لكسر من رقم ، يتم إصلاحه في حرف مفصول بفاصلة ، بدون شرطة أو شرطة مائلة. على سبيل المثال: 0.75 ، 0.5.

في الواقع ، الكسر العشري مطابق للكسر العادي ، ومع ذلك ، فإن قاسمه دائمًا ما يكون واحدًا متبوعًا بالأصفار - ومن هنا جاء اسمه.

الرقم الذي يسبق العلامة العشرية هو الجزء الصحيح ، وكل شيء بعد الفاصلة العشرية هو الجزء الكسري. أي جزء بسيطيمكن تحويلها إلى رقم عشري. لذلك ، يمكن كتابة الكسور العشرية المشار إليها في المثال السابق ككسور عادية: ¾ و ½.

من الجدير بالذكر أن الكسور العشرية والعادية يمكن أن تكون موجبة وسالبة. إذا كانت مسبوقة بعلامة "-" ، فهذا الكسر سالب ، إذا كانت "+" - ثم موجبة.

أنواع فرعية من الكسور العادية

هناك مثل هذه الأنواع من الكسور البسيطة.

نوع فرعي من الكسر العشري

على عكس الكسر العشري البسيط ، ينقسم إلى نوعين فقط.

• نهائي - حصل على اسمه بسبب حقيقة أنه بعد الفاصلة العشرية يحتوي على عدد محدود (نهائي) من الأرقام: 19.25.
• الكسر اللانهائي هو رقم به عدد لا نهائي من الأرقام بعد الفاصلة العشرية. على سبيل المثال ، عند قسمة 10 على 3 ، ستكون النتيجة كسرًا لانهائيًا 3.333 ...

جمع الكسور

يعد إجراء معالجات حسابية مختلفة باستخدام الكسور أصعب قليلاً من إجراء عمليات حسابية مع الأعداد العادية. ومع ذلك ، إذا تعلمت القواعد الأساسية ، فلن يكون حل أي مثال بها أمرًا صعبًا.

على سبيل المثال: 2/3 + 3/4. سيكون المضاعف المشترك الأصغر بالنسبة لهم هو 12 ، لذلك من الضروري أن يكون هذا الرقم في كل مقام. للقيام بذلك ، نضرب بسط الكسر الأول ومقامه في 4 ، ويظهر 8/12 ، ونفعل الشيء نفسه مع الحد الثاني ، لكننا نضرب في 3 - 9/12 فقط. الآن يمكنك بسهولة حل المثال: 8/12 + 9/12 = 17/12. الكسر الناتج هو قيمة غير صحيحة لأن البسط أكبر من المقام. يمكن ويجب تحويلها إلى المجموعة المختلطة الصحيحة بقسمة 17:12 = 1 و 5/12.

إذا تمت إضافة الكسور المختلطة ، يتم تنفيذ الإجراءات أولاً بأعداد صحيحة ، ثم بأعداد كسرية.

إذا كان المثال يحتوي على كسر عشري وآخر عادي ، فمن الضروري أن يصبح كلاهما بسيطًا ، ثم أحضرهما إلى نفس المقام وأضفهما. على سبيل المثال 3.1 + 1/2. يمكن كتابة الرقم 3.1 في صورة كسر مختلط من 3 و 1/10 ، أو ككسر غير لائق - 31/10. سيكون المقام المشترك للحدود هو 10 ، لذلك عليك أن تضرب البسط والمقام 1/2 في 5 ، يتحول إلى 5/10. ثم يمكنك بسهولة حساب كل شيء: 31/10 + 5/10 = 35/10. النتيجة التي تم الحصول عليها هي كسر غير قابل للتقلص ، نعيده إلى الشكل الطبيعي ، ونخفضه بمقدار 5: 7/2 = 3 و 1/2 ، أو عشري - 3.5.

عند جمع رقمين عشريين ، من المهم أن يكون هناك نفس عدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فأنت تحتاج فقط إلى الإضافة المبلغ المطلوبالأصفار ، لأنه في الكسور العشرية يمكن القيام بذلك بدون ألم. على سبيل المثال ، 3.5 + 3.005. لحل هذه المهمة ، تحتاج إلى إضافة صفرين إلى الرقم الأول ثم الجمع بدوره: 3.500 + 3.005 = 3.505.

طرح الكسور

عند طرح الكسور ، يجدر فعل الشيء نفسه عند الجمع: اختزل إلى القاسم المشترك، اطرح بسطًا واحدًا من الآخر ، إذا لزم الأمر ، قم بتحويل النتيجة إلى كسر مختلط.

على سبيل المثال: 16 / 20-5 / 10. سيكون المقام المشترك هو 20. أنت بحاجة لإحضار الكسر الثاني إلى هذا المقام ، بضرب كلا الجزأين في 2 ، تحصل على 10/20. يمكنك الآن حل المثال: 16 / 20-10 / 20 = 6/20. ومع ذلك ، تنطبق هذه النتيجة على الكسور القابلة للاختزال ، لذلك يجدر قسمة كلا الجزأين على 2 والنتيجة هي 3/10.

ضرب الكسور

قسمة الكسور وضربها هي عمليات أبسط بكثير من عمليات الجمع والطرح. الحقيقة هي أنه عند تنفيذ هذه المهام ، ليست هناك حاجة للبحث عن قاسم مشترك.

لضرب الكسور ، ما عليك سوى ضرب كلا البسطين معًا بالتناوب ، ثم كلا المقامين. قم بتقليل النتيجة الناتجة إذا كان الكسر عبارة عن قيمة مخفضة.

على سبيل المثال: 4 / 9x5 / 8. بعد الضرب البديل ، تكون النتيجة 4x5 / 9x8 = 20/72. يمكن اختزال هذا الكسر بمقدار 4 ، لذا فإن الإجابة النهائية في المثال هي 5/18.

كيفية قسمة الكسور

قسمة الكسور هي أيضًا إجراء بسيط ، في الواقع لا يزال يتعلق بضربها. لقسمة كسر على آخر ، عليك قلب الكسر الثاني وضربه في الأول.

على سبيل المثال ، قسمة الكسور 5/19 و 5/7. لحل هذا المثال ، تحتاج إلى تبديل مقام الكسر الثاني وبسطه وضربه: 5 / 19x7 / 5 = 35/95. يمكن تقليل النتيجة بمقدار 5 - اتضح 7/19.

إذا كنت بحاجة إلى قسمة كسر على رقم أولي ، فإن الأسلوب مختلف قليلاً. في البداية ، يجدر بكتابة هذا الرقم في صورة كسر غير فعلي ، ثم القسمة وفقًا لنفس المخطط. على سبيل المثال ، يجب كتابة 2/13: 5 بالشكل 2/13: 5/1. أنت الآن بحاجة إلى قلب 5/1 وضرب الكسور الناتجة: 2 / 13x1 / 5 = 2/65.

في بعض الأحيان عليك قسمة الكسور المختلطة. تحتاج إلى التعامل معها ، كما هو الحال مع الأعداد الصحيحة: تحويلها إلى كسور غير صحيحة ، وقلب المقسوم عليه وضرب كل شيء. على سبيل المثال ، 8 ½: 3. تحويل كل شيء إلى كسور غير صحيحة: 17/2: 3/1. يتبع ذلك قلب 3/1 وضرب: 17 / 2x1 / 3 = 17/6. الآن يجب أن تترجم الكسر الخاطئ إلى الكسر الصحيح - عددان صحيحان و 5/6.

لذلك ، بعد معرفة ماهية الكسور وكيف يمكنك إجراء عمليات حسابية مختلفة معهم ، عليك أن تحاول ألا تنسى ذلك. بعد كل شيء ، يميل الناس دائمًا إلى تقسيم شيء ما إلى أجزاء بدلاً من إضافته ، لذلك عليك أن تكون قادرًا على القيام بذلك بشكل صحيح.

تعتبر أمثلة الكسور أحد العناصر الأساسية للرياضيات. هناك العديد من أنواع مختلفةالمعادلات مع الكسور. في الأسفل يكون تعليمات مفصلةمن خلال حل أمثلة من هذا النوع.

كيفية حل الأمثلة مع الكسور - القواعد العامة

لحل أمثلة الكسور من أي نوع ، سواء كانت جمعًا أو طرحًا أو ضربًا أو قسمة ، تحتاج إلى معرفة القواعد الأساسية:

• لجمع التعبيرات الكسرية التي لها نفس المقام (المقام هو الرقم الموجود أسفل الكسر ، والبسط في الأعلى) ، عليك أن تجمع البسط وتترك المقام كما هو.
• لطرح الثانية من تعبير كسري واحد (بنفس المقام) ، عليك أن تطرح البسط وتترك المقام كما هو.
• لجمع أو طرح التعبيرات الكسرية ذات المقامات المختلفة ، عليك إيجاد أصغر مقام مشترك.
• لإيجاد حاصل الضرب الكسري ، تحتاج إلى ضرب البسط والمقام ، مع تقليلها إن أمكن.
• لقسمة كسر على كسر ، تحتاج إلى ضرب الكسر الأول في الثانية المعكوسة.

كيفية حل الأمثلة مع الكسور - تمرين

القاعدة 1 ، المثال 1:

احسب 3/4 +1/4.

وفقًا للقاعدة 1 ، إذا كانت كسور اثنين (أو أكثر) لها نفس المقام ، فما عليك سوى جمع البسط. نحصل على: 3/4 + 1/4 = 4/4. إذا كان للكسر نفس البسط والمقام ، فسيكون الكسر 1.

الجواب: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

القاعدة 2 ، المثال 1:

احسب: 3/4 - 1/4

باستخدام القاعدة رقم 2 لحل هذه المعادلة ، عليك طرح 1 من 3 وترك المقام كما هو. نحصل على 2/4. نظرًا لأنه يمكن اختزال 2 و 4 ، فإننا نخفض ونحصل على 1/2.

الجواب: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.

القاعدة 3 ، المثال 1

احسب: 3/4 + 1/6

الحل: باستخدام القاعدة الثالثة ، نجد القاسم المشترك الأصغر. القاسم المشترك الأصغر هو الرقم الذي يقبل القسمة على جميع التعبيرات الكسرية في المثال. وبالتالي ، نحتاج إلى إيجاد مثل هذا العدد الأدنى الذي يقبل القسمة على كل من 4 و 6. هذا الرقم هو 12. نكتب 12 في المقام الأول. 12 مقسومًا على مقام الكسر الأول ، نحصل على 3 ، نضرب في 3 ، نكتب 3 * 3 في البسط وعلامة +. نقسم 12 على مقام الكسر الثاني ، نحصل على 2 ، نضرب 2 في 1 ، نكتب 2 * 1 في البسط. إذن ، حصلنا على كسر جديد مقامه يساوي 12 وبسطًا يساوي 3 * 3 + 2 * 1 = 11. 11/12.

الجواب: 11/12

القاعدة 3 ، المثال 2:

احسب 3/4 - 1/6. هذا المثال مشابه جدًا للمثال السابق. نقوم بنفس الإجراءات ، ولكن في البسط بدلاً من علامة + ، نكتب علامة الطرح. نحصل على: 3 * 3-2 * 1/12 = 9-2 / 12 = 7/12.

الجواب: 7/12

القاعدة 4 ، المثال 1:

احسب: 3/4 * 1/4

باستخدام القاعدة الرابعة ، نضرب مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني وبسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني. 3 * 1/4 * 4 = 3/16.

الجواب: 3/16

القاعدة 4 ، المثال 2:

احسب 2/5 * 10/4.

يمكن اختزال هذا الكسر. في حالة حاصل الضرب ، يتم تقليل بسط الكسر الأول ومقام الكسر الثاني وبسط الكسر الثاني ومقام الكسر الأول.

يتم تقليل 2 من 4. يتم تقليل 10 من 5. نحصل على 1 * 2/2 = 1 * 1 = 1.

الجواب: 2/5 * 10/4 = 1

القاعدة 5 ، المثال 1:

احسب: 3/4: 5/6

باستخدام القاعدة الخامسة ، نحصل على: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. نقوم بتقليل الكسر وفقًا لمبدأ المثال السابق ونحصل على 9/10.

الجواب: 9/10.

كيفية حل أمثلة الكسور - المعادلات الكسرية

المعادلات الكسرية هي أمثلة حيث يحتوي المقام على مجهول. لحل مثل هذه المعادلة ، تحتاج إلى استخدام قواعد معينة.

فكر في مثال:

حل المعادلة 15/3 س + 5 = 3

تذكر أنه لا يمكنك القسمة على صفر ، أي يجب ألا تكون قيمة المقام صفرًا. عند حل مثل هذه الأمثلة ، يجب الإشارة إلى ذلك. للقيام بذلك ، هناك ODZ (مجموعة من القيم المقبولة).

إذن 3 س + 5 ≠ 0.
ومن ثم: 3x ≠ 5.
س ≠ 5/3

بالنسبة إلى x = 5/3 ، لا يوجد حل للمعادلة.

بتحديد ODZ ، في أفضل طريقة ممكنةحل هذه المعادلة سوف نتخلص من الكسور. للقيام بذلك ، نقوم أولاً بتمثيل جميع القيم غير الكسرية في صورة كسر ، وفي هذه الحالة الرقم 3. نحصل على: 15 / (3x + 5) = 3/1. للتخلص من الكسور ، عليك أن تضرب كل منها في أصغر مقام مشترك. في هذه الحالة ، سيكون ذلك (3x + 5) * 1. التسلسل:

1. اضرب 15 / (3x + 5) ب (3x + 5) * 1 = 15 * (3x + 5).
2. قم بتوسيع الأقواس: 15 * (3x + 5) = 45x + 75.
3. نفعل الشيء نفسه مع الجانب الأيمن من المعادلة: 3 * (3x + 5) = 9x + 15.
4. قم بمساواة الجانبين الأيمن والأيسر: 45x + 75 = 9x +15
5. انقل x إلى اليسار ، والأرقام إلى اليمين: 36x = -50
6. أوجد x: x = -50/36.
7. نخفض: -50/36 = -25/18

الجواب: ODZ x ≠ 5/3. س = -25/18.

كيفية حل الأمثلة مع الكسور - كسور عدم المساواة

يتم حل المتباينات الكسرية من النوع (3x-5) / (2-x) ≥0 باستخدام المحور العددي. تأمل هذا المثال.

التسلسل:

• مساواة البسط والمقام بصفر: 1. 3x-5 = 0 => 3x = 5 => x = 5/3
  2. 2-x = 0 => x = 2
• نرسم محورًا رقميًا ، ونرسم القيم الناتجة عليه.
• ارسم دائرة تحت القيمة. الدائرة من نوعين - مملوءة وفارغة. الدائرة المملوءة تعني ذلك قيمة معينةالمدرجة في مجموعة الحلول. تشير الدائرة الفارغة إلى أن هذه القيمة غير مضمنة في نطاق الحلول.
• نظرًا لأن المقام لا يمكن أن يكون صفرًا ، فستكون هناك دائرة فارغة أسفل الثانية.

• لتحديد العلامات ، نستبدل أي رقم أكبر من اثنين في المعادلة ، على سبيل المثال 3. (3 * 3-5) / (2-3) \ u003d -4. القيمة سالبة ، لذلك نكتب سالب على المنطقة بعد الشيطان. ثم نعوض بأي قيمة للفترة من 5/3 إلى 2 بدلاً من x ، على سبيل المثال 1. القيمة مرة أخرى سالبة. نكتب ناقص. نكرر نفس الشيء مع مساحة تصل إلى 5/3. نستبدل أي رقم أقل من 5/3 ، على سبيل المثال 1. ناقص مرة أخرى.

• نظرًا لأننا مهتمون بقيم x ، حيث سيكون التعبير أكبر من أو يساوي 0 ، ولا توجد مثل هذه القيم (سلبيات في كل مكان) ، فإن هذه المتباينة ليس لها حل ، أي x = Ø (مجموعة فارغة).

الجواب: x = Ø

يُطلق على جزء من الوحدة أو العديد من أجزائها الكسر البسيط أو العادي. يسمى عدد الأجزاء المتساوية التي يتم تقسيم الوحدة إليها المقام ، ويطلق على عدد الأجزاء المأخوذة البسط. يتم كتابة الكسر على النحو التالي:

في هذه الحالة ، أ هو البسط ، ب هو المقام.

إذا كان البسط أقل من المقام ، فإن الكسر أصغر من 1 ويسمى كسرًا مناسبًا. إذا كان البسط أكبر من المقام ، فإن الكسر أكبر من 1 ، ثم يسمى الكسر كسر غير فعلي.

إذا كان بسط الكسر ومقامه متساويين ، فإن الكسر يكون متساويًا.

1. إذا كان من الممكن قسمة البسط على المقام ، فإن هذا الكسر يساوي حاصل القسمة:

إذا تم إجراء القسمة مع الباقي ، فيمكن تمثيل هذا الكسر غير الصحيح برقم مختلط ، على سبيل المثال:

ثم 9 هو حاصل غير مكتمل (الجزء الصحيح للعدد المختلط) ،
1 - الباقي (بسط الجزء الكسري) ،
5 هو المقام.

لتحويل رقم كسري إلى كسر ، اضرب الجزء الصحيح من العدد الكسري في المقام وأضف بسط الجزء الكسري.

ستكون النتيجة التي تم الحصول عليها هي بسط الكسر العادي ، وسيظل المقام كما هو.

الأفعال مع الكسور

توسيع الكسر.لا تتغير قيمة الكسر إذا تم ضرب البسط والمقام في نفس العدد غير الصفري.
على سبيل المثال:

تخفيض الكسر.لا تتغير قيمة الكسر إذا تم تقسيم البسط والمقام على نفس العدد غير الصفري.
على سبيل المثال:

مقارنة الكسور.من كسرين لهما نفس البسط ، يكون الكسر الأكبر هو ذا المقام الأصغر:

من كسرين لهما نفس المقام ، يكون الجزء الذي يحتوي على بسط أكبر أكبر:

لمقارنة الكسور التي تحتوي على بسط وقواسم مختلفة ، من الضروري توسيعها ، أي إحضارها إلى قاسم مشترك. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، الكسور التالية:

جمع وطرح الكسور.إذا كانت مقامات الكسور متطابقة ، فمن أجل جمع الكسور ، من الضروري جمع البسط ، ومن أجل طرح الكسور ، من الضروري طرح البسط. سيكون المجموع أو الفرق الناتج هو بسط النتيجة ، بينما سيظل المقام كما هو. إذا كانت مقامات الكسور مختلفة ، يجب عليك أولاً تقليل الكسور إلى مقام مشترك. عند جمع الأعداد المختلطة ، تتم إضافة الأعداد الصحيحة والكسرية بشكل منفصل. عند طرح الأعداد الكسرية ، يجب عليك أولاً تحويلها إلى صورة كسور غير صحيحة ، ثم طرحها من بعضها البعض ، ثم إعادة النتيجة ، إذا لزم الأمر ، إلى صورة عدد كسري.

ضرب الكسور. لضرب الكسور ، تحتاج إلى ضرب البسط والمقام بشكل منفصل وقسمة حاصل الضرب الأول على الثاني.

قسمة الكسور. لقسمة رقم على كسر ، تحتاج إلى ضرب هذا الرقم في مقلوبه.

عدد عشريهي نتيجة قسمة واحد على عشرة ، مائة ، ألف ، إلخ. القطع. أولاً ، يتم كتابة الجزء الصحيح من الرقم ، ثم يتم وضع العلامة العشرية على اليمين. الرقم الأول بعد الفاصلة العشرية يعني عدد الأعشار ، والثاني - عدد المئات ، والثالث - عدد الألف ، إلخ. تسمى الأرقام التي تلي العلامة العشرية المنازل العشرية.

على سبيل المثال:

الخصائص العشرية

ملكيات:

• لا يتغير الكسر العشري إذا تمت إضافة الأصفار إلى اليمين: 4.5 = 4.5000.
• لا يتغير الكسر العشري إذا تمت إزالة الأصفار الموجودة في نهاية الكسر العشري: 0.0560000 = 0.056.
• يزيد الرقم العشري عند 10 و 100 و 1000 وما إلى ذلك. مرات ، إذا قمت بنقل العلامة العشرية إلى واحد ، أو اثنين ، أو ثلاثة ، إلخ. المواضع على اليمين: 4.5 45 (زاد الكسر 10 مرات).
• يتم تقليل العلامة العشرية بمقدار 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. مرات ، إذا قمت بنقل العلامة العشرية إلى واحد ، أو اثنين ، أو ثلاثة ، إلخ. المواضع على اليسار: 4.5 0.45 (انخفض الكسر 10 مرات).

يحتوي الكسر العشري الدوري على مجموعة أرقام لا متناهية متكررة تسمى نقطة: 0.321321321321 ... = 0 ، (321)

العمليات ذات الكسور العشرية

تتم عملية جمع الكسور العشرية وطرحها بنفس طريقة جمع الأعداد الصحيحة وطرحها ، ما عليك سوى كتابة المنازل العشرية المقابلة واحدة تحت الأخرى.
على سبيل المثال:

يتم ضرب الكسور العشرية على عدة مراحل:

• نضرب الكسور العشرية كأعداد صحيحة ، دون مراعاة الفاصلة العشرية.
• تنطبق القاعدة: عدد المنازل العشرية في المنتج يساوي مجموع المنازل العشرية في جميع العوامل.

على سبيل المثال:

مجموع أعداد المنازل العشرية في العوامل هو: 2 + 1 = 3. أنت الآن بحاجة إلى حساب 3 أرقام من نهاية الرقم الناتج ووضع علامة عشرية: 0.675.

قسمة الكسور العشرية. قسمة رقم عشري على عدد صحيح: إذا كان المقسوم أقل من المقسوم عليه ، فأنت بحاجة إلى كتابة الصفر في الجزء الصحيح من حاصل القسمة ووضع علامة عشرية بعده. بعد ذلك ، دون مراعاة النقطة العشرية للمقسوم ، أضف الرقم التالي من الجزء الكسري إلى الجزء الصحيح وقارن مرة أخرى الجزء الصحيح الناتج من المقسوم مع المقسوم عليه. إذا كان الرقم الجديد أقل من المقسوم عليه مرة أخرى ، فيجب تكرار العملية. تتكرر هذه العملية حتى يصبح العائد الناتج أكبر من المقسوم عليه. بعد ذلك ، يتم إجراء القسمة على الأعداد الصحيحة. إذا كان المقسوم أكبر من أو يساوي المقسوم عليه ، فإننا نقسم أولاً الجزء الصحيح ، ونكتب نتيجة القسمة في حاصل القسمة ونضع علامة عشرية. بعد ذلك يستمر التقسيم كما في حالة الأعداد الصحيحة.

تقسيم الكسر العشري إلى آخر: أولاً ، يتم نقل النقاط العشرية في المقسوم والمقسوم عليه من خلال عدد المنازل العشرية في المقسوم عليه ، أي أننا نجعل المقسوم عليه عددًا صحيحًا ، ويتم تنفيذ الإجراءات الموضحة أعلاه.

لكي يتحول عدد عشريفي الرقم العادي ، من الضروري أخذ الرقم بعد الفاصلة العشرية كبسط ، وأخذ الأس العشرة k في المقام (k هو عدد المنازل العشرية). يتم الاحتفاظ بالجزء الصحيح غير الصفري في الكسر المشترك ؛ تم حذف جزء الأعداد الصحيحة الصفرية.
على سبيل المثال:

لتحويل كسر عادي إلى كسر عشري ، من الضروري قسمة البسط على المقام وفقًا لقواعد القسمة.

النسبة المئوية هي جزء من مائة وحدة ، على سبيل المثال: 5٪ تعني 0.05. النسبة هي حاصل قسمة رقم على آخر. النسبة هي المساواة بين نسبتين.

على سبيل المثال:

الخاصية الرئيسية للنسبة: ناتج الأعضاء المتطرفين للنسبة يساوي منتج أعضائها الأوسطين ، أي 5 × 30 = 6 × 25. تسمى الكميتان المتبادلتان بالتناسب إذا ظلت نسبة كمياتهما دون تغيير (معامل التناسب).

وهكذا ، يتم الكشف عن العمليات الحسابية التالية.
على سبيل المثال:

تتضمن مجموعة الأعداد المنطقية أعدادًا موجبة وسالبة (صحيحة وكسرية) وصفرًا. تعريف أكثر دقة للأرقام المنطقية ، المقبولة في الرياضيات ، هو كما يلي: يسمى الرقم منطقيًا إذا كان يمكن تمثيله ككسر عادي غير قابل للاختزال من النموذج: ، حيث يكون a و b عددًا صحيحًا.

لرقم سالب قيمه مطلقه(المعامل) هو رقم موجب يتم الحصول عليه بتغيير علامته من "-" إلى "+" ؛ لعدد موجب والصفر ، الرقم نفسه. لتعيين معامل العدد ، يتم استخدام خطين مستقيمين ، يتم كتابة هذا الرقم بداخلهما ، على سبيل المثال: | –5 | = 5.

خصائص القيمة المطلقة

دعنا نحسب معامل العدد ، والتي تكون الخصائص صالحة لها:

المونومال هو نتاج عاملين أو أكثر ، كل منهما إما رقم ، أو حرف ، أو قوة حرف: 3 × أ × ب. غالبًا ما يُطلق على المعامل عامل عددي فقط. يقال أن المونومال متشابهة إذا كانت متشابهة أو تختلف فقط في المعاملات. درجة المونومال هي مجموع الأس لجميع أحرفها. إذا كانت هناك متشابهة بين مجموع المونومال ، فيمكن تقليل المجموع إلى أكثر مرأى من الجميع: 3 س أ س ب + 6 س أ \ u003d 3 س أ س (ب + 2). تسمى هذه العملية بالإكراه على المصطلحات المتشابهة أو الأقواس.

كثير الحدود هو مجموع جبريأحادي. درجة كثير الحدود هي أكبر درجات المونومرات المتضمنة في كثير الحدود المعطى.

توجد الصيغ التالية لمضاعفة الاختصار:

طرق العوملة:

الكسر الجبري هو تعبير عن النموذج ، حيث يمكن أن يكون A و B عددًا أو أحاديًا أو متعدد الحدود.

إذا تم ربط تعبيرين (رقمي وأبجدي) بعلامة "=" ، فيقال إنهما يشكلان مساواة. أي مساواة حقيقية ، صالحة لجميع القيم العددية المسموح بها للأحرف المدرجة فيها ، تسمى هوية.

المعادلة هي مساواة حرفية تصلح لقيم معينة من الحروف المضمنة فيها. تسمى هذه الأحرف بالمجهول (المتغيرات) ، وتسمى قيمها ، حيث تصبح المعادلة المعطاة هوية ، بجذور المعادلة.

حل المعادلة يعني إيجاد كل جذورها. يقال أن معادلتين أو أكثر متكافئة إذا كان لهما نفس الجذور.

• كان الصفر هو جذر المعادلة ؛
• المعادلة لها فقط عدد محدود من الجذور.

الأنواع الرئيسية للمعادلات الجبرية:

تحتوي المعادلة الخطية على ax + b = 0:

• إذا كانت x 0 ، فهناك جذر واحد x = -b / a ؛
• إذا كانت أ = 0 ، ب 0 ، فلا جذور ؛
• إذا كان a = 0 ، b = 0 ، فإن الجذر هو أي رقم حقيقي.

المعادلة xn = a، n N:

• إذا كان n عددًا فرديًا ، فإن له جذرًا حقيقيًا يساوي a / n لأي a ؛
• إذا كان n عددًا زوجيًا ، فعندئذٍ بالنسبة للرقم 0 ، يكون له جذران.

التحولات الأساسية المتطابقة: استبدال تعبير بآخر ، مساوٍ له ؛ نقل شروط المعادلة من جانب إلى آخر بإشارات معاكسة ؛ ضرب أو قسمة كلا الجزأين من المعادلة بنفس التعبير (الرقم) بخلاف الصفر.

المعادلة الخطية غير المعروفة هي معادلة من الشكل: ax + b = 0 ، حيث a و b أرقام معروفة ، و x قيمة غير معروفة.

أنظمة من اثنين المعادلات الخطيةمع مجهولين لها الشكل:

حيث يتم إعطاء أ ، ب ، ج ، د ، هـ ، و أرقام ؛ س ، ص غير معروفين.

الأرقام أ ، ب ، ج ، د - معاملات المجهول ؛ ه ، و - الأعضاء الأحرار. يمكن إيجاد حل نظام المعادلات هذا بطريقتين رئيسيتين: طريقة الاستبدال: من معادلة واحدة نعبر عن أحد المجهولين من خلال المعاملين والآخر غير معروف ، ثم نستبدلها في المعادلة الثانية ، ونحل المعادلة الأخيرة ، ونجد أولاً واحدة غير معروفة ، ثم نعوض بالقيمة التي تم العثور عليها في المعادلة الأولى ونجد المجهول الثاني ؛ طريقة جمع أو طرح معادلة من أخرى.

العمليات مع الجذور:

جذر حسابي الدرجة التاسعةالرقم غير السالب يسمى الرقم غير السالب ، الدرجة التاسعةوهو ما يساوي أ. جبري جذر ال نالدرجة من رقم معين تسمى مجموعة كل الجذور من هذا الرقم.

لا يمكن تمثيل الأعداد غير المنطقية ، على عكس الأرقام المنطقية ، ككسر عادي غير قابل للاختزال من الشكل m / n ، حيث m و n عدد صحيح. هذه أرقام من نوع جديد يمكن حسابها بأي دقة ، ولكن لا يمكن استبدالها رقم منطقي. قد تظهر كنتيجة للقياسات الهندسية ، على سبيل المثال: نسبة طول قطر المربع إلى طول ضلعه متساوية.

المعادلة التربيعية هي معادلة جبرية من الدرجة الثانية ax2 + bx + c = 0 ، حيث تُعطى a ، b ، c معاملات عددية أو أبجدية ، x غير معروف. إذا قسمنا جميع شروط هذه المعادلة على أ ، فنتيجة لذلك نحصل على x2 + px + q = 0 - المعادلة المختصرة p = b / a ، q = c / a. تم العثور على جذوره من خلال الصيغة:

إذا كانت b2-4ac> 0 ، فهناك جذران مختلفان ، b2-4ac = 0 ، فإن هناك جذرين متساويين ؛ معادلات b2-4ac التي تحتوي على وحدات

الأنواع الرئيسية من المعادلات التي تحتوي على وحدات:
1) | و (س) | = | ز (س) | ؛
2) | و (س) | = ز (خ) ؛
3) f1 (x) | g1 (x) | + f2 (x) | g2 (x) | +… + fn (x) | gn (x) | = 0 ، n N ، حيث يتم إعطاء وظائف f (x) ، g (x) ، fk (x) ، gk (x).