عند اتخاذ القرار المهام المختلفةالهندسة والميكانيكا والفيزياء وفروع المعرفة الأخرى ، أصبح من الضروري استخدام نفس العملية التحليلية من وظيفة معينة ص = و (س)الحصول على وظيفة جديدة تسمى دالة مشتقة(أو ببساطة مشتق) من هذه الوظيفة f (x)ويرمز لها

العملية التي بواسطتها وظيفة معينة و (خ)الحصول على وظيفة جديدة و "(خ)، مُسَمًّى التفاضلوتتكون من الخطوات الثلاث التالية: 1) نعطي الحجة xزيادة راتب  xوتحديد الزيادة المقابلة للدالة  ص = و (س + x) -f (x)؛ 2) تكوين العلاقة

3) العد xدائم و  x0 ، نجد
، والذي يشير إليه و "(خ)، كما لو كان التأكيد على أن الوظيفة الناتجة تعتمد فقط على القيمة x، والذي ننتقل فيه إلى الحد الأقصى. تعريف: المشتق y "= f" (x) وظيفة معينة y = f (x) نظرا xيسمى حد نسبة زيادة الوظيفة إلى زيادة الوسيطة ، بشرط أن تكون الزيادة في الوسيطة تميل إلى الصفر ، إذا كان هذا الحد موجودًا بالطبع ، أي محدود. هكذا،
، أو

لاحظ أنه إذا كان لبعض القيمة x، على سبيل المثال متى س = أ، علاقة
في  x0 لا يميل إلى الحد النهائي، ثم في هذه الحالة نقول أن الوظيفة و (خ)في س = أ(أو عند هذه النقطة س = أ) ليس له مشتق أو غير قابل للتفاضل عند نقطة معينة س = أ.

2. المعنى الهندسي للمشتق.

ضع في اعتبارك الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) ، القابلة للتفاضل بالقرب من النقطة x 0

و (خ)

لنفكر في وجود خط مستقيم تعسفي يمر عبر نقطة الرسم البياني للوظيفة - النقطة A (x 0، f (x 0)) ويتقاطع مع الرسم البياني عند نقطة ما B (x؛ f (x)). يسمى هذا الخط المستقيم (AB) القاطع. من ∆ABC: ​​AC = ∆x ؛ BC \ u003d ∆y ؛ tgβ = y / ∆x.

منذ AC || Ox ، ثم ALO = BAC = β (على النحو المقابل على التوازي). لكن ALO هي زاوية ميل القاطع AB إلى الاتجاه الإيجابي لمحور Ox. ومن ثم ، فإن tgβ = k هو ميل الخط المستقيم AB.

الآن سنقلل ∆x ، أي ∆x → 0. في هذه الحالة ، ستقترب النقطة B من النقطة A وفقًا للرسم البياني ، وسوف يدور القاطع AB. سيكون الموضع المحدد للقاطع AB عند ∆x → 0 هو الخط المستقيم (أ) ، المماس للرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) عند النقطة A.

إذا تجاوزنا الحد كـ ∆х → 0 في المساواة tgβ = y / ∆x ، فإننا نحصل على
أو tg \ u003d f "(x 0) ، منذ ذلك الحين
-زاوية ميل الظل إلى الاتجاه الإيجابي لمحور الثور
، من خلال تعريف المشتق. لكن tg \ u003d k هو ميل الظل ، مما يعني أن k \ u003d tg \ u003d f "(x 0).

لذا، المعنى الهندسيالمشتق كما يلي:

مشتق دالة عند النقطة x 0 يساوي ميل المماس للرسم البياني للدالة المرسومة عند النقطة التي تحتوي على المحور x 0 .

3. المعنى المادي للمشتق.

ضع في اعتبارك حركة نقطة على طول خط مستقيم. دع إحداثي النقطة في أي وقت يُعطى x (t). من المعروف (من مسار الفيزياء) أن متوسط ​​السرعة على مدى فترة زمنية يساوي نسبة المسافة المقطوعة خلال هذه الفترة الزمنية إلى الوقت ، أي

فاف = ∆x / t. دعونا ننتقل إلى الحد الأقصى في المساواة الأخيرة مثل ∆t → 0.

lim Vav (t) =  (t 0) - السرعة اللحظية في الوقت t 0 ، ∆t → 0.

و lim = x / ∆t = x "(t 0) (من خلال تعريف المشتق).

إذن ،  (t) = x "(t).

المعنى المادي للمشتق هو كما يلي: مشتق الوظيفةذ = F(x) عند النقطةx 0 هو معدل تغير الوظيفةF(خ) عند النقطةx 0

يتم استخدام المشتق في الفيزياء لإيجاد السرعة من دالة معروفة للإحداثيات من وقت ، التسارع من وظيفة معروفة للسرعة من وقت.

 (t) \ u003d x "(t) - السرعة ،

أ (و) =  "(تي) - تسارع ، أو

إذا كان قانون حركة نقطة مادية على طول دائرة معروفًا ، فمن الممكن إيجاد السرعة الزاوية والتسارع الزاوي أثناء الحركة الدورانية:

φ = φ (t) - تغير في الزاوية مع الوقت ،

ω \ u003d φ "(t) - السرعة الزاوية ،

ε = φ "(t) - التسارع الزاوي ، أو ε = φ" (t).

إذا كان قانون التوزيع لكتلة قضيب غير متجانس معروفًا ، فيمكن العثور على الكثافة الخطية للقضيب غير المتجانس:

م = م (س) - الكتلة ،

س  ، ل - طول القضيب ،

ع \ u003d م "(س) - الكثافة الخطية.

بمساعدة المشتق ، يتم حل المشكلات من نظرية المرونة والاهتزازات التوافقية. نعم ، وفقًا لقانون هوك

F = -kx ، x - إحداثيات متغيرة ، k - معامل مرونة الزنبرك. بوضع ω 2 \ u003d k / m ، نحصل على المعادلة التفاضلية للبندول الربيعي x "(t) + ω 2 x (t) \ u003d 0 ،

حيث ω = √k / m هو تردد التذبذب (l / c) ، k هو معدل الربيع (H / m).

معادلة الصيغة y "+ ω 2 y \ u003d 0 تسمى معادلة التذبذبات التوافقية (الميكانيكية ، الكهربائية ، الكهرومغناطيسية). حل هذه المعادلات هو الوظيفة

y = Asin (t + φ 0) أو y = Acos (t + φ 0) ، حيث

أ - سعة التذبذب ، ω - تردد دوري ،

φ 0 - المرحلة الأولية.

ملاحظات هامة!
1. إذا رأيت abracadabra بدلاً من الصيغ ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. كيفية القيام بذلك في متصفحك مكتوب هنا:
2. قبل أن تبدأ في قراءة المقال ، انتبه إلى الملاح الخاص بنا أكثر من غيره مورد مفيدل

تخيل طريقًا مستقيمًا يمر عبر منطقة جبلية. أي أنه يتحرك لأعلى ولأسفل ، لكنه لا ينعطف يمينًا أو يسارًا. إذا تم توجيه المحور أفقيًا على طول الطريق وعموديًا ، فسيكون خط الطريق مشابهًا جدًا للرسم البياني لبعض الوظائف المستمرة:

المحور هو مستوى معين من ارتفاع الصفر ، في الحياة نستخدم مستوى سطح البحر كما هو.

بالمضي قدمًا على طول هذا الطريق ، نتحرك أيضًا لأعلى أو لأسفل. يمكننا أيضًا أن نقول: عندما تتغير الحجة (تتحرك على طول محور الإحداثي) ، تتغير قيمة الوظيفة (تتحرك على طول المحور الإحداثي). الآن دعونا نفكر في كيفية تحديد "انحدار" طريقنا؟ ماذا يمكن أن تكون هذه القيمة؟ بسيط جدًا: كم سيتغير الارتفاع عند التحرك للأمام مسافة معينة. بعد كل شيء ، على مناطق مختلفةالطريق ، مع التحرك للأمام (على طول المحور السيني) لمسافة كيلومتر واحد ، سنرتفع أو نسقط كمية مختلفةمتر بالنسبة لمستوى سطح البحر (على طول المحور ص).

نشير إلى التقدم إلى الأمام (اقرأ "دلتا س").

يستخدم الحرف اليوناني (دلتا) بشكل شائع في الرياضيات كبادئة تعني "التغيير". هذا هو - هذا تغيير في الحجم ، - تغيير ؛ ما هي اذا؟ هذا صحيح ، تغيير في الحجم.

هام: التعبير هو كيان واحد ، متغير واحد. يجب ألا تمزق "دلتا" من حرف "x" أو أي حرف آخر! هذا هو ، على سبيل المثال ،.

لذلك ، تقدمنا ​​إلى الأمام ، أفقيًا ، إلى الأمام. إذا قارنا خط الطريق بمخطط دالة ، فكيف نشير إلى الارتفاع؟ بالتأكيد، . أي عندما نتحرك للأمام نرتفع أعلى.

من السهل حساب القيمة: إذا كنا في البداية على ارتفاع ، وبعد التحرك كنا على ارتفاع ، إذن. إذا اتضح أن نقطة النهاية أقل من نقطة البداية ، فستكون سالبة - وهذا يعني أننا لسنا في الصعود ، بل بالهبوط.

العودة إلى "الانحدار": هذه هي القيمة التي تشير إلى مقدار زيادة الارتفاع (بشكل حاد) عند التحرك للأمام لكل وحدة مسافة:

افترض أنه في جزء من المسار ، عند التقدم بمقدار كيلومتر ، يرتفع الطريق بمقدار كيلومتر. ثم الانحدار في هذا المكان متساوية. واذا كان الطريق عند تقدمه م غرقا بالكيلومتر؟ ثم الميل يساوي.

فكر الآن في قمة التل. إذا أخذت بداية القسم نصف كيلومتر إلى الأعلى ، والنهاية - بعد نصف كيلومتر بعده ، يمكنك أن ترى أن الارتفاع هو نفسه تقريبًا.

وهذا يعني ، وفقًا لمنطقنا ، أن الميل هنا يساوي صفرًا تقريبًا ، ومن الواضح أن هذا غير صحيح. يمكن أن يتغير الكثير على بعد أميال قليلة. تحتاج المناطق الأصغر إلى النظر فيها من أجل أكثر ملاءمة و تقييم دقيقالانحدار. على سبيل المثال ، إذا قمت بقياس التغير في الارتفاع عند التحرك لمتر واحد ، فستكون النتيجة أكثر دقة. ولكن حتى هذه الدقة قد لا تكون كافية بالنسبة لنا - ففي النهاية ، إذا كان هناك عمود في منتصف الطريق ، فيمكننا ببساطة الانزلاق خلاله. ما المسافة التي يجب أن نختارها إذن؟ سنتيمتر؟ مليمتر؟ اقل هو الافضل!

في الحياه الحقيقيهقياس المسافة إلى أقرب مليمتر أكثر من كافٍ. لكن علماء الرياضيات يسعون دائمًا لتحقيق الكمال. لذلك ، كان المفهوم متناهي الصغر، أي أن قيمة modulo أقل من أي رقم يمكننا تسميته. على سبيل المثال ، تقول: واحد تريليون! كم أقل؟ وتقسم هذا الرقم على - وسيكون أقل من ذلك. وما إلى ذلك وهلم جرا. إذا أردنا أن نكتب أن القيمة صغيرة بشكل لا نهائي ، نكتب هكذا: (نقرأ "x تميل إلى الصفر"). من المهم جدا أن نفهم أن هذا الرقم لا يساوي الصفر!لكن قريب جدا منه. هذا يعني أنه يمكن تقسيمها إلى.

المفهوم المعاكس للصغير اللامتناهي كبير بشكل لانهائي (). ربما تكون قد واجهتها بالفعل عندما كنت تعمل على المتباينات: هذا الرقم أكبر في المقياس من أي رقم يمكنك التفكير فيه. إذا توصلت إلى أكبر عدد ممكن ، فقط اضربه في اثنين وستحصل على المزيد. واللانهاية أكثر مما يحدث. في الواقع ، إن الحجم الكبير والصغير اللامتناهي مقلوب لبعضهما البعض ، أي في ، والعكس صحيح: في.

الآن عد إلى طريقنا. المنحدر المحسوب بشكل مثالي هو المنحدر المحسوب لجزء صغير غير محدود من المسار ، أي:

ألاحظ أنه مع إزاحة صغيرة غير محدودة ، سيكون التغيير في الارتفاع أيضًا صغيرًا بشكل لا نهائي. لكن دعني أذكرك أن الصغر اللامتناهي لا يعني أن يساوي صفرًا. إذا قمت بقسمة الأرقام اللامتناهية على بعضها البعض ، فيمكنك الحصول على رقم عادي تمامًا ، على سبيل المثال ،. أي أن قيمة صغيرة يمكن أن تكون ضعف قيمة الأخرى بالضبط.

لماذا كل هذا؟ الطريق ، الانحدار ... لن نسير في مسيرة ، لكننا نتعلم الرياضيات. وفي الرياضيات ، كل شيء هو نفسه تمامًا ، ولا يُسمى إلا بشكل مختلف.

مفهوم المشتق

مشتق الدالة هو نسبة الزيادة في الدالة إلى زيادة الوسيطة في زيادة متناهية في الصغر من الوسيطة.

زيادة راتبفي الرياضيات يسمى التغيير. إلى أي مدى تغيرت الوسيطة () عند استدعاء التحرك على طول المحور زيادة الحجةويُشار إليها بمدى تغير الوظيفة (الارتفاع) عند استدعاء التحرك للأمام على طول المحور بمسافة زيادة الوظيفةويتم وضع علامة.

إذن ، مشتق الدالة هو العلاقة بمتى. نشير إلى المشتق بنفس الحرف مثل الوظيفة ، فقط بضربة من أعلى اليمين: أو ببساطة. لنكتب صيغة الاشتقاق باستخدام هذه الرموز:

كما في القياس مع الطريق ، هنا ، عندما تزداد الدالة ، يكون المشتق موجبًا ، وعندما ينقص ، يكون سالبًا.

لكن هل المشتق يساوي صفرًا؟ بالتأكيد. على سبيل المثال ، إذا كنا نسير على طريق أفقي منبسط ، فإن الانحدار يساوي صفرًا. في الواقع ، الارتفاع لا يتغير على الإطلاق. إذن مع المشتق: مشتق دالة ثابتة (ثابت) يساوي صفرًا:

لأن الزيادة في مثل هذه الوظيفة تساوي صفرًا لأي.

لنأخذ مثال قمة التل. اتضح أنه كان من الممكن ترتيب نهايات المقطع على جوانب متقابلة من الرأس بحيث يتضح أن الارتفاع في النهايات هو نفسه ، أي أن القطعة موازية للمحور:

لكن الأجزاء الكبيرة هي علامة على القياس غير الدقيق. سنرفع القطعة موازيةً لنفسها ، ثم يقل طولها.

في النهاية ، عندما نكون قريبين بشكل لا نهائي من القمة ، سيصبح طول المقطع صغيراً بشكل لا نهائي. لكن في الوقت نفسه ، بقيت موازية للمحور ، أي أن فرق الارتفاع عند نهاياته يساوي صفرًا (لا يميل ، ولكنه يساوي). لذا فإن المشتق

يمكن فهم هذا على النحو التالي: عندما نقف في القمة ، فإن تحولًا صغيرًا إلى اليسار أو اليمين يغير ارتفاعنا بشكل إهمال.

هناك أيضًا تفسير جبري بحت: إلى يسار الجزء العلوي ، تزداد الوظيفة ، وإلى اليمين تتناقص. كما اكتشفنا سابقًا ، عندما تزداد الدالة ، يكون المشتق موجبًا ، وعندما ينقص ، يكون سالبًا. لكنها تتغير بسلاسة ، بدون قفزات (لأن الطريق لا يغير ميله بشكل حاد في أي مكان). لذلك ، يجب أن يكون هناك بين القيم السالبة والموجبة. سيكون المكان الذي لا تزيد فيه الوظيفة ولا تنقص - عند نقطة الرأس.

وينطبق الشيء نفسه على الوادي (المنطقة التي تتناقص فيها الوظيفة على اليسار وتزداد على اليمين):

المزيد عن الزيادات.

لذلك نغير السعة إلى قيمة. من أي قيمة نغير؟ ماذا أصبح (الحجة) الآن؟ يمكننا اختيار أي نقطة ، والآن سنرقص منها.

ضع في اعتبارك نقطة ذات تنسيق. قيمة الوظيفة فيه متساوية. ثم نقوم بنفس الزيادة: زيادة الإحداثي بمقدار. ما هي الحجة الآن؟ سهل جدا: . ما هي قيمة الوظيفة الآن؟ حيث تذهب الوسيطة ، تذهب الوظيفة هناك:. ماذا عن زيادة الوظيفة؟ لا شيء جديد: لا يزال هذا هو المقدار الذي تغيرت به الوظيفة:

تدرب على إيجاد الزيادات:

1. أوجد زيادة الدالة عند نقطة مع زيادة الوسيطة التي تساوي.
2. نفس الشيء بالنسبة لدالة عند نقطة ما.

حلول:

في نقاط مختلفة ، مع نفس الزيادة في الوسيطة ، ستكون زيادة الدالة مختلفة. هذا يعني أن للمشتق عند كل نقطة خاصته (ناقشنا هذا في البداية - يختلف انحدار الطريق عند نقاط مختلفة). لذلك ، عندما نكتب مشتقًا ، يجب أن نشير إلى أي نقطة:

وظيفة الطاقة.

تسمى وظيفة القوة وظيفة حيث تكون الحجة إلى حد ما (منطقية ، أليس كذلك؟).

و- لاي حد:.

أبسط حالة هي عندما يكون الأس:

لنجد مشتقها عند نقطة. تذكر تعريف المشتق:

لذا فإن الحجة تتغير من إلى. ما هي زيادة الوظيفة؟

الزيادة. لكن الدالة عند أي نقطة تساوي سعتها. لهذا السبب:

المشتق هو:

مشتق من:

ب) فكر الآن وظيفة من الدرجة الثانية (): .

الآن دعونا نتذكر ذلك. هذا يعني أنه يمكن إهمال قيمة الزيادة ، لأنها صغيرة للغاية ، وبالتالي فهي غير مهمة على خلفية مصطلح آخر:

إذن ، لدينا قاعدة أخرى:

ج) نواصل السلسلة المنطقية:.

يمكن تبسيط هذا التعبير بطرق مختلفة: افتح القوس الأول باستخدام صيغة الضرب المختصر لمكعب المجموع ، أو حلل التعبير بأكمله إلى عوامل باستخدام صيغة الفرق بين المكعبات. حاول أن تفعل ذلك بنفسك بأي من الطرق المقترحة.

لذلك ، حصلت على ما يلي:

ودعونا نتذكر ذلك مرة أخرى. هذا يعني أنه يمكننا إهمال جميع المصطلحات التي تحتوي على:

نحن نحصل: .

د) يمكن الحصول على قواعد مماثلة للقوى الكبيرة:

هـ) اتضح أنه يمكن تعميم هذه القاعدة على وظيفة الطاقةمع الأس التعسفي ، ولا حتى عدد صحيح:

(2)

يمكنك صياغة القاعدة بالكلمات: "يتم تقديم الدرجة كمعامل ، ثم تنخفض بمقدار".

سنثبت هذه القاعدة لاحقًا (تقريبًا في النهاية). الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة. أوجد مشتق الوظائف:

1. (بطريقتين: من خلال الصيغة واستخدام تعريف المشتق - عن طريق حساب زيادة الوظيفة) ؛

الدوال المثلثية.

هنا سوف نستخدم حقيقة واحدة من الرياضيات العليا:

عند التعبير.

سوف تتعلم الدليل في السنة الأولى من المعهد (وللوصول إلى هناك ، يجب أن تجتاز الاختبار جيدًا). الآن سأعرضها بشكل بياني:

نرى أنه في حالة عدم وجود الوظيفة - يتم ثقب النقطة على الرسم البياني. ولكن كلما اقتربنا من القيمة ، كلما اقتربت الوظيفة من هذه "الجهود" ذاتها.

بالإضافة إلى ذلك ، يمكنك التحقق من هذه القاعدة باستخدام الآلة الحاسبة. نعم ، نعم ، لا تخجل ، خذ الآلة الحاسبة ، نحن لسنا في الامتحان بعد.

إذا دعنا نحاول: ؛

لا تنس تبديل الآلة الحاسبة إلى وضع الراديان!

إلخ. نرى أنه كلما كان حجم معنى أقربعلاقة.

أ) النظر في وظيفة. كالعادة نجد زيادتها:

دعنا نحول فرق الجيب إلى منتج. للقيام بذلك ، نستخدم الصيغة (تذكر الموضوع "") :.

الآن المشتق:

لنقم باستبدال:. ثم ، بالنسبة إلى الصغر اللامتناهي ، فهو أيضًا صغير بلا حدود:. يأخذ التعبير عن الشكل:

والآن نتذكر ذلك مع التعبير. وأيضًا ، ماذا لو تم إهمال قيمة صغيرة بلا حدود في المجموع (أي ، في).

لذلك نحصل القاعدة التالية:مشتق الجيب يساوي جيب التمام:

هذه مشتقات أساسية ("جدول"). ها هم في قائمة واحدة:

في وقت لاحق سنضيف المزيد إليهم ، لكن هذه هي الأهم ، حيث يتم استخدامها في أغلب الأحيان.

يمارس:

1. أوجد مشتق دالة عند نقطة ؛
2. العثور على مشتق من وظيفة.

حلول:

الأس واللوغاريتم الطبيعي.

توجد مثل هذه الوظيفة في الرياضيات ، مشتقها لأي منها يساوي قيمة الوظيفة نفسها لنفسها. تسمى "الأس" ، وهي دالة أسية

قاعدة هذه الوظيفة ثابتة - إنها لانهائية عدد عشري، أي عدد غير نسبي (مثل). يُطلق عليه "رقم أويلر" ، ولهذا يُشار إليه بحرف.

فالقاعدة هي:

من السهل جدًا تذكرها.

حسنًا ، لن نذهب بعيدًا ، سننظر على الفور في الدالة العكسية. أي وظيفة هي معكوس دالة أسية؟ اللوغاريتم:

في حالتنا ، الأساس هو رقم:

مثل هذا اللوغاريتم (أي اللوغاريتم ذو الأساس) يسمى اللوغاريتم "الطبيعي" ، ونستخدم تدوينًا خاصًا له: نكتب بدلاً من ذلك.

ما يساوي؟ بالطبع، .

مشتق اللوغاريتم الطبيعي بسيط جدًا أيضًا:

أمثلة:

1. العثور على مشتق من وظيفة.
2. ما هو مشتق الوظيفة؟

الإجابات: عارض و اللوغاريتم الطبيعي- الوظائف بسيطة بشكل فريد من حيث المشتق. سيكون للدوال الأسية واللوغاريتمية مع أي قاعدة أخرى مشتق مختلف ، سنقوم بتحليله لاحقًا ، بعد أن ننتقل إلى قواعد التفاضل.

قواعد التمايز

ما هي القواعد؟ مرة أخرى مصطلح جديد، مرة أخرى؟!...

التفاضلهي عملية إيجاد المشتق.

فقط وكل شيء. ما هي الكلمة الأخرى لهذه العملية؟ ليس proizvodnovanie ... يسمى التفاضل في الرياضيات بزيادة الوظيفة في. يأتي هذا المصطلح من الاختلاف اللاتيني - الاختلاف. هنا.

عند اشتقاق كل هذه القواعد ، سنستخدم وظيفتين ، على سبيل المثال ، و. سنحتاج أيضًا إلى صيغ لزياداتها:

هناك 5 قواعد في المجموع.

يتم إخراج الثابت من علامة المشتق.

إذا كان بعض رقم ثابت(ثابت) ، إذن.

من الواضح أن هذه القاعدة تعمل أيضًا مع الاختلاف:.

دعنا نثبت ذلك. اسمحوا ، أو أسهل.

أمثلة.

ابحث عن مشتقات الدوال:

1. عند النقطة
2. عند النقطة
3. عند النقطة
4. في هذه النقطة.

حلول:

مشتق من المنتج

كل شيء متشابه هنا: نقدم وظيفة جديدة ونجد زيادتها:

المشتق:

أمثلة:

1. البحث عن مشتقات الوظائف و ؛
2. أوجد مشتق دالة عند نقطة.

حلول:

مشتق من الدالة الأسية

الآن معرفتك كافية لتتعلم كيفية العثور على مشتق أي دالة أسية ، وليس فقط الأس (هل نسيت ما هو عليه حتى الآن؟).

إذن أين يوجد عدد.

نحن نعلم بالفعل مشتقة الدالة ، لذلك دعونا نحاول نقل الدالة إلى أساس جديد:

لهذا نستخدم قاعدة بسيطة:. ثم:

حسنًا ، لقد نجحت. حاول الآن إيجاد المشتقة ، ولا تنس أن هذه الدالة معقدة.

حدث؟

هنا ، تحقق من نفسك:

تبين أن الصيغة تشبه إلى حد بعيد مشتق الأس: كما كانت ، لا تزال ، ظهر عامل فقط ، وهو مجرد رقم ، ولكن ليس متغيرًا.

أمثلة:
ابحث عن مشتقات الوظائف:

الإجابات:

مشتق دالة لوغاريتمية

هذا مشابه: أنت تعرف بالفعل مشتق اللوغاريتم الطبيعي:

لذلك ، لإيجاد تعسفي من اللوغاريتم بأساس مختلف ، على سبيل المثال:

علينا إحضار هذا اللوغاريتم إلى الأساس. كيف تغير قاعدة اللوغاريتم؟ أتمنى أن تتذكر هذه الصيغة:

الآن فقط بدلاً من أن نكتب:

تبين أن المقام مجرد ثابت (رقم ثابت ، بدون متغير). المشتق بسيط للغاية:

مشتقات الأسي و الدوال اللوغاريتميةتكاد لا تحدث في الامتحان ، ولكن معرفتها لن تكون زائدة عن الحاجة.

مشتق دالة معقدة.

ما هي "وظيفة معقدة"؟ لا ، هذا ليس لوغاريتمًا ، وليس ظلًا قوسيًا. قد يكون من الصعب فهم هذه الوظائف (على الرغم من أنه إذا كان اللوغاريتم يبدو صعبًا بالنسبة لك ، فاقرأ موضوع "اللوغاريتمات" وسيعمل كل شيء) ، ولكن من حيث الرياضيات ، فإن كلمة "معقد" لا تعني "صعبة".

تخيل ناقلًا صغيرًا: شخصان يجلسان ويقومان ببعض الأعمال باستخدام بعض الأشياء. على سبيل المثال ، يلف الأول شريط شوكولاتة في غلاف ، والثاني يربطه بشريط. اتضح مثل هذا الكائن المركب: شريط شوكولاتة ملفوف ومربوط بشريط. لأكل لوح شوكولاتة ، عليك أن تفعل العكس ترتيب عكسي.

دعنا ننشئ خط أنابيب رياضيًا مشابهًا: أولاً سنجد جيب التمام لأحد الأرقام ، ثم سنقوم بتربيع الرقم الناتج. لذا ، يعطوننا رقمًا (شوكولاتة) ، أجد جيب التمام (غلاف) ، ثم تربّع ما حصلت عليه (اربطه بشريط). ماذا حدث؟ وظيفة. هذا مثال على دالة معقدة: عندما ، من أجل إيجاد قيمتها ، نقوم بتنفيذ الإجراء الأول مباشرة مع المتغير ، ثم إجراء آخر آخر مع ما حدث كنتيجة للأول.

قد نقوم بنفس الإجراءات بترتيب عكسي: أولاً أنت تربيع ، ثم أبحث عن جيب التمام للعدد الناتج :. من السهل تخمين أن النتيجة ستكون مختلفة دائمًا تقريبًا. ميزة مهمة للوظائف المعقدة: عندما يتغير ترتيب الإجراءات ، تتغير الوظيفة.

بعبارة أخرى، الوظيفة المعقدة هي وظيفة تمثل حجة دالة أخرى: .

في المثال الأول ،.

المثال الثاني: (same). .

سيتم استدعاء الإجراء الأخير الذي نقوم به وظيفة "خارجية"، والإجراء الذي تم تنفيذه أولاً - على التوالي وظيفة "داخلية"(هذه أسماء غير رسمية ، أستخدمها فقط لشرح المادة بلغة بسيطة).

حاول أن تحدد بنفسك أي وظيفة خارجية وأيها داخلية:

الإجابات:الفصل بين الوظائف الداخلية والخارجية مشابه جدًا للمتغيرات المتغيرة: على سبيل المثال ، في الوظيفة

نغير المتغيرات ونحصل على دالة.

حسنًا ، الآن سنستخرج الشوكولاتة - ابحث عن المشتق. يتم عكس الإجراء دائمًا: أولاً نبحث عن مشتق الدالة الخارجية ، ثم نضرب النتيجة في مشتق الدالة الداخلية. بالنسبة للمثال الأصلي ، يبدو كالتالي:

مثال آخر:

لذا ، دعنا أخيرًا نصيغ القاعدة الرسمية:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

يبدو أن كل شيء بسيط ، أليس كذلك؟

دعنا نتحقق من الأمثلة:

المشتق. باختصار حول الرئيسي

مشتق وظيفي- نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة مع زيادة متناهية في الصغر للوسيطة:

المشتقات الأساسية:

قواعد التمايز:

يتم إخراج الثابت من علامة المشتق:

مشتق من المجموع:

منتج مشتق:

مشتق من حاصل القسمة:

مشتق من دالة معقدة:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

1. نحدد الوظيفة "الداخلية" ، ونجد مشتقها.
2. نحدد الوظيفة "الخارجية" ، ونجد مشتقها.
3. نضرب نتائج النقطتين الأولى والثانية.

حسنًا ، لقد انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور ، فأنت رائع جدًا.

لأن 5٪ فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بمفردهم. وإذا كنت قد قرأت حتى النهاية ، فأنت في الـ 5٪!

الآن أهم شيء.

لقد اكتشفت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر ، إنه ... إنه رائع فقط! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من أقرانك.

المشكلة أن هذا قد لا يكون كافيا ...

لماذا؟

للنجاح اجتياز الامتحان، للقبول في المعهد على الميزانية ، والأهم من ذلك ، مدى الحياة.

لن أقنعك بأي شيء ، سأقول شيئًا واحدًا ...

الناس الذين تلقوا على تعليم جيد، يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يحصلوا عليها. هذه إحصائيات.

لكن هذا ليس هو الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن المزيد من الفرص تفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف ...

لكن فكر بنفسك ...

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أن تكون أفضل من الآخرين في الامتحان وأن تكون في النهاية ... أكثر سعادة؟

املأ يدك وحل المشكلات الواردة في هذا الموضوع.

في الامتحان لن يطلب منك النظرية.

سوف تحتاج حل المشاكل في الوقت المحدد.

وإذا لم تحلها (الكثير!) ، فإنك بالتأكيد سترتكب خطأ غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن ترتكبها في الوقت المناسب.

إنه مثل الرياضة - تحتاج إلى التكرار عدة مرات للفوز بالتأكيد.

ابحث عن مجموعة في أي مكان تريده بالضرورة مع الحلول تحليل تفصيلي وتقرر ، تقرر ، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (ليست ضرورية) ونحن بالتأكيد نوصي بها.

من أجل الحصول على يد المساعدة في مهامنا ، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع المقالات البالغ عددها 99 في البرنامج التعليمي - شراء كتاب مدرسي - 499 روبل

نعم ، لدينا 99 مقالًا من هذا القبيل في الكتاب المدرسي ويمكن الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها يمكن فتحها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع بالكامل.

ختاماً...

إذا كنت لا تحب مهامنا ، فابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عن النظرية.

"فهمت" و "أعرف كيف أحل" مهارات مختلفة تمامًا. أنت بحاجة لكليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

مشتق دالة لمتغير واحد.

مقدمة.

حقيقي التطورات المنهجيةمصمم لطلاب كلية الهندسة الصناعية والمدنية. يتم تجميعها فيما يتعلق ببرنامج مقرر الرياضيات في قسم "حساب التفاضل لوظائف متغير واحد".

تمثل التطورات دليلاً منهجيًا واحدًا ، والذي يتضمن: معلومات نظرية موجزة ؛ مهام وتمارين "نموذجية" مع حلول مفصلة وشروحات لهذه الحلول ؛ خيارات التحكم.

تمارين إضافية في نهاية كل فقرة. مثل هذا الهيكل من التطورات يجعلها مناسبة لإتقان القسم بشكل مستقل بأقل قدر من المساعدة من المعلم.

§1. تعريف المشتق.

المعنى الميكانيكي والهندسي

المشتق.

يعتبر مفهوم المشتق من أهم المفاهيم في التحليل الرياضي ، وقد نشأ منذ القرن السابع عشر. يرتبط تكوين مفهوم المشتق تاريخيًا بمشكلتين: مشكلة سرعة الحركة المتغيرة ومشكلة ظل المنحنى.

تؤدي هذه المهام ، على الرغم من اختلاف محتواها ، إلى نفس العملية الحسابية التي يجب إجراؤها على دالة ، وقد حصلت هذه العملية على اسم خاص في الرياضيات. يطلق عليه عملية التفريق بين وظيفة. تسمى نتيجة عملية التفاضل مشتق.

لذا ، فإن مشتق الدالة y = f (x) عند النقطة x0 هو الحد (إن وجد) لنسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة
في
.

عادة ما يتم الإشارة إلى المشتق على النحو التالي:
.

بحكم التعريف

تستخدم الرموز أيضًا للإشارة إلى المشتق
.

المعنى الميكانيكي للمشتق.

إذا كان s = s (t) هو قانون الحركة المستقيمة لنقطة مادية ، إذن
هي سرعة هذه النقطة في الوقت t.

المعنى الهندسي للمشتق.

إذا كانت الدالة y = f (x) لها مشتق عند نقطة ما ، ثم ميل المماس للرسم البياني للدالة عند النقطة
يساوي
.

مثال.

أوجد مشتق دالة
في هذه النقطة =2:

1) دعونا نعطي نقطة = 2 زيادة
. لاحظ أن.

2) أوجد زيادة الدالة عند النقطة =2:

3) قم بتكوين نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة:

دعونا نجد حد العلاقة في
:

.

هكذا،
.

§ 2. مشتقات بعض

أبسط الوظائف.

يحتاج الطالب إلى تعلم كيفية حساب مشتقات وظائف محددة: y = x ، y = وبشكل عام y = .

أوجد مشتق الدالة y = x.

أولئك. (س) ′ = 1.

لنجد مشتق الدالة

المشتق

يترك
ثم

من السهل ملاحظة نمط في التعبيرات الخاصة بمشتقات دالة القدرة
في ن = 1،2،3.

لذلك،

. (1)

هذه الصيغة صالحة لأي ن حقيقي.

على وجه الخصوص ، باستخدام الصيغة (1) ، لدينا:

;

.

مثال.

أوجد مشتق دالة

.

.

هذه الوظيفة هي حالة خاصة لدالة النموذج

في
.

باستخدام الصيغة (1) ، لدينا

.

مشتقات الدوال y = sin x و y = cos x.

دع y = sinx.

نقسم على ∆x ، نحصل على

بالانتقال إلى الحد مثل ∆x → 0 ، لدينا

دع y = cosx.

بالمرور إلى الحد مثل ∆x → 0 ، نحصل عليه

;
. (2)

§3. القواعد الأساسية للتفاضل.

ضع في اعتبارك قواعد التفاضل.

نظرية1 . إذا كانت الدالتان u = u (x) و v = v (x) قابلة للتفاضل عند نقطة معينة x ، فإن مجموعهما أيضًا قابل للاشتقاق في هذه المرحلة ، ومشتق المجموع يساوي مجموع شروط الاشتقاق: (u + v) "= u" + v ". (3)

الدليل: ضع في اعتبارك الوظيفة y = f (x) = u (x) + v (x).

الزيادة ∆x للوسيطة x تقابل الزيادات ∆u = u (x + ∆x) -u (x)، ∆v = v (x + ∆x) -v (x) للدالة u و v. ثم ستتم زيادة الدالة y

∆y = f (x + ∆x) -f (x) =

= - = u + ∆v.

لذلك،

إذن ، (u + v) "= u" + v ".

نظرية2. إذا كانت الدالتان u = u (x) و v = v (x) قابلتان للتفاضل عند نقطة معينة x ، فإن حاصل ضربهما أيضًا قابل للاشتقاق في نفس النقطة. في هذه الحالة ، يمكن إيجاد مشتق المنتج بالصيغة التالية : (uv) "= u" v + uv ". (4)

الدليل: لنفترض أن y = uv ، حيث u و v هما بعض وظائف x القابلة للتفاضل. دع x تزداد بمقدار ∆x ؛ ثم ستزيد u بمقدار ∆u ، وستزداد v بمقدار ∆v ، وستزداد y بمقدار ∆y.

لدينا y + ∆y = (u + ∆u) (v + ∆v) أو

y + ∆y = uv + u∆v + v∆u + ∆u∆v.

لذلك ، ∆y = u∆v + v∆u + u∆v.

من هنا

تجاوز الحد مثل ∆x → 0 ومع مراعاة أن u و v لا يعتمدان على ∆x ، فلدينا

نظرية 3. مشتق حاصل قسمة وظيفتين يساوي كسرًا ، مقامه يساوي مربع المقسوم عليه ، والبسط هو الفرق بين ناتج مشتق المقسوم على المقسوم عليه وحاصل ضرب يقسم من مشتق المقسوم عليه ، أي

لو
الذي - التي
(5)

نظرية 4.مشتق الثابت هو صفر ، أي إذا كانت y = C ، حيث С = const ، ثم y "= 0.

نظرية 5.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المشتق ، أي إذا كانت y = Cu (x) ، حيث С = const ، ثم y "= Cu" (x).

مثال 1

أوجد مشتق دالة

.

هذه الوظيفة لها الشكل
، حيث u = x ، v = cosx. بتطبيق قاعدة الاشتقاق (4) نجد

.

مثال 2

أوجد مشتق دالة

.

نطبق الصيغة (5).

هنا
;
.

مهام.

ابحث عن المشتقات الوظائف التالية:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

التاريخ: 11/20/2014

ما هو المشتق؟

جدول مشتق.

المشتق هو أحد المفاهيم الرئيسية للرياضيات العليا. في هذا الدرس سوف نقدم هذا المفهوم. دعنا نتعرف ، بدون صيغ وبراهين رياضية صارمة.

ستتيح لك هذه المقدمة:

فهم جوهر المهام البسيطة باستخدام مشتق ؛

حل هذه المهام البسيطة بنجاح ؛

استعد لدروس مشتقة أكثر جدية.

أولا ، مفاجأة سارة.

يعتمد التعريف الصارم للمشتق على نظرية الحدود ، والشيء معقد نوعًا ما. إنه أمر مزعج. لكن التطبيق العملي للمشتق ، كقاعدة عامة ، لا يتطلب مثل هذه المعرفة الواسعة والعميقة!

لإنجاز معظم المهام بنجاح في المدرسة والجامعة ، يكفي أن تعرف مجرد شروط قليلة- لفهم المهمة ، و فقط بعض القواعد- لحلها. وهذا كل شيء. هذا يجعلني سعيدا.

هل نتعرف على بعضنا البعض؟)

الشروط والتعيينات.

هناك العديد من العمليات الحسابية في الرياضيات الابتدائية. الجمع ، والطرح ، والضرب ، والأس ، واللوغاريتم ، إلخ. إذا تمت إضافة عملية أخرى إلى هذه العمليات ، تصبح الرياضيات الابتدائية أعلى. هذه العملية الجديدة تسمى التفاضل.سيتم مناقشة تعريف ومعنى هذه العملية في دروس منفصلة.

من المهم هنا أن نفهم أن التفاضل هو ببساطة عملية حسابيةعلى الوظيفة. نحن نأخذ أي وظيفة ونقوم بتحويلها وفقًا لقواعد معينة. والنتيجة هي وظيفة جديدة. هذه الوظيفة الجديدة تسمى: المشتق.

التفاضل- العمل على وظيفة.

المشتقهي نتيجة هذا العمل.

تمامًا مثل ، على سبيل المثال ، مجموعهي نتيجة الإضافة. أو خاصهي نتيجة القسمة.

بمعرفة المصطلحات ، يمكنك على الأقل فهم المهام.) الصياغة هي كما يلي: أوجد مشتق دالة ؛ خذ المشتق التفريق بين الوظيفة ؛ حساب المشتقوما إلى ذلك وهلم جرا. هذا كل شيء نفس.بالطبع ، هناك مهام أكثر تعقيدًا ، حيث سيكون العثور على المشتق (التفاضل) مجرد خطوة واحدة من خطوات حل المهمة.

يتم الإشارة إلى المشتق بشرطة في أعلى يمين الوظيفة. مثله: ذ "أو و "(خ)أو شارع)وما إلى ذلك وهلم جرا.

يقرأ y السكتة الدماغية ، السكتة الدماغية من x ، السكتة الدماغية من te ،حسنًا ، لقد حصلت عليه ...)

يمكن أن يشير رئيس الوزراء أيضًا إلى مشتق دالة معينة ، على سبيل المثال: (2x + 3) ", (x 3 )" , (sinx) "إلخ. غالبًا ما يتم الإشارة إلى المشتق باستخدام التفاضلات ، لكننا لن نفكر في مثل هذا الترميز في هذا الدرس.

افترض أننا تعلمنا فهم المهام. لم يتبق شيء - لمعرفة كيفية حلها.) دعني أذكرك مرة أخرى: العثور على المشتق تحويل وظيفة وفقًا لقواعد معينة.هذه القواعد قليلة بشكل مدهش.

لإيجاد مشتقة دالة ، ما عليك سوى معرفة ثلاثة أشياء. ثلاث ركائز تقوم عليها كل تمايز. ها هي الحيتان الثلاثة:

1. جدول المشتقات (صيغ التفاضل).

3. مشتق دالة معقدة.

لنبدأ بالترتيب. في هذا الدرس ، سننظر في جدول المشتقات.

جدول مشتق.

العالم لديه عدد لا حصر له من الوظائف. من بين هذه المجموعة هناك وظائف هي الأكثر أهمية للتطبيق العملي. تقع هذه الوظائف في جميع قوانين الطبيعة. من هذه الوظائف ، كما في الطوب ، يمكنك بناء كل الوظائف الأخرى. هذه الفئة من الوظائف تسمى وظائف الابتدائية.هذه هي الوظائف التي يتم دراستها في المدرسة - الخطية ، التربيعية ، القطع الزائد ، إلخ.

التفريق بين الوظائف "من الصفر" ، أي بناءً على تعريف المشتق ونظرية الحدود - وهو أمر يستغرق وقتًا طويلاً. وعلماء الرياضيات هم أناس أيضًا ، نعم ، نعم!) لذا فقد بسطوا حياتهم (ونحن). قاموا بحساب مشتقات الدوال الأولية الموجودة أمامنا. والنتيجة هي جدول للمشتقات ، حيث يكون كل شيء جاهزًا.)

ها هي هذه اللوحة للوظائف الأكثر شيوعًا. غادر - دالة ابتدائية، على اليمين مشتقها.

	وظيفة ذ	مشتق من الوظيفة y ذ "
1	ج (ثابت)	ج "= 0
2	x	س "= 1
3	x n (n هو أي رقم)	(س ن) "= nx n-1
	× 2 (ن = 2)	(× 2) "= 2x
4	الخطيئة x	(sinx) "= cosx
	كوس x	(cos x) "= - sin x
	tg x
	ctg x
5	أركسين x
	arccos x
	arctg x
	أركتج س
4	أ x
	ه x
5	سجل أ x
	ln x ( أ = هـ)

أوصي بالاهتمام بالمجموعة الثالثة من الوظائف في جدول المشتقات هذا. مشتق دالة الطاقة هي واحدة من أكثر الصيغ شيوعًا ، إن لم تكن الأكثر شيوعًا! هل التلميح واضح؟) نعم يستحب معرفة جدول المشتقات عن ظهر قلب. بالمناسبة ، هذا ليس صعبًا كما قد يبدو. حاول حل المزيد من الأمثلة ، سيتم تذكر الجدول نفسه!)

العثور على القيمة المجدولة للمشتق ، كما تفهم ، ليس بالمهمة الأكثر صعوبة. لذلك ، في كثير من الأحيان في مثل هذه المهام هناك رقائق إضافية. سواء في صياغة المهمة ، أو في الوظيفة الأصلية ، والتي لا يبدو أنها واردة في الجدول ...

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة:

1. أوجد مشتق التابع y = x 3

لا توجد مثل هذه الوظيفة في الجدول. لكن هناك مشتق من دالة القوة في نظرة عامة(المجموعة الثالثة). في حالتنا ، n = 3. لذلك استبدلنا بالثلاثي بدلاً من n وكتب النتيجة بعناية:

(x 3) "= 3 س 3-1 = 3x 2

هذا كل ما في الامر.

إجابة: ص "= 3x 2

2. أوجد قيمة مشتقة الدالة y = sinx عند النقطة x = 0.

تعني هذه المهمة أنه يجب عليك أولاً إيجاد مشتق الجيب ، ثم استبدال القيمة س = 0لنفس المشتق. إنه بهذا الترتيب!خلاف ذلك ، يحدث أنهم على الفور يستبدلون الصفر في الوظيفة الأصلية ... لا يُطلب منا إيجاد قيمة الوظيفة الأصلية ، ولكن القيمة مشتقها.المشتق ، دعني أذكرك ، هو بالفعل وظيفة جديدة.

على اللوحة نجد الجيب والمشتق المقابل:

y "= (sinx)" = cosx

عوّض بصفر في المشتق:

y "(0) = cos 0 = 1

سيكون هذا هو الجواب.

3. التفريق بين الوظيفة:

ما الذي يلهمك؟) لا توجد مثل هذه الوظيفة قريبة في جدول المشتقات.

دعني أذكرك أن اشتقاق دالة هو ببساطة إيجاد مشتق هذه الدالة. إذا نسيت حساب المثلثات الأولي ، فإن إيجاد مشتقة وظيفتنا أمر مزعج للغاية. الجدول لا يساعد ...

ولكن إذا رأينا أن وظيفتنا هي جيب التمام لزاوية مزدوجة، فكل شيء يتحسن على الفور!

نعم نعم! تذكر أن تحويل الوظيفة الأصلية قبل التفاضلمقبول تمامًا! ويحدث لجعل الحياة أسهل كثيرًا. وفقًا لصيغة جيب التمام للزاوية المزدوجة:

أولئك. وظيفتنا الصعبة ليست سوى ص = كوكس. وهذه دالة جدول. نحصل على الفور على:

إجابة: y "= - sin x.

مثال للخريجين المتقدمين والطلاب:

4. أوجد مشتق دالة:

لا توجد مثل هذه الوظيفة في جدول المشتقات بالطبع. لكن إذا كنت تتذكر الرياضيات الأولية ، الأفعال ذات القوى ... فمن الممكن تمامًا تبسيط هذه الوظيفة. مثله:

و x مرفوعًا للقوة الأسية واحد على عشرة هي دالة جدولية بالفعل! المجموعة الثالثة ن = 1/10. مباشرة حسب الصيغة واكتب:

هذا كل شئ. سيكون هذا هو الجواب.

آمل أنه مع أول حوت في التمايز - جدول المشتقات - كل شيء واضح. يبقى التعامل مع الحيتان المتبقية. في الدرس التالي ، سنتعلم قواعد التفاضل.

من المستحيل تمامًا حل المشكلات الفيزيائية أو الأمثلة في الرياضيات دون معرفة المشتقات وطرق حسابها. المشتق من أهم مفاهيم التحليل الرياضي. قررنا تكريس مقال اليوم لهذا الموضوع الأساسي. ما هو المشتق ، ما هو معناه المادي والهندسي ، وكيف نحسب مشتقة دالة؟ يمكن دمج كل هذه الأسئلة في سؤال واحد: كيف نفهم المشتق؟

المعنى الهندسي والمادي للمشتق

يجب ألا تكون هناك وظيفة و (خ) ، في بعض الفترات (أ ، ب) . النقطتان x و x0 تنتمي إلى هذه الفترة. عندما تتغير x ، تتغير الوظيفة نفسها. تغيير الحجة - اختلاف قيمها x-x0 . هذا الاختلاف مكتوب كـ دلتا س ويسمى زيادة الوسيطة. تغيير أو زيادة دالة هو الفرق بين قيم الدالة عند نقطتين. تعريف مشتق:

مشتق دالة عند نقطة ما هو حد نسبة الزيادة في الدالة عند نقطة معينة إلى زيادة الوسيطة عندما تميل الأخيرة إلى الصفر.

وإلا يمكن كتابتها على النحو التالي:

ما الهدف من إيجاد مثل هذا الحد؟ لكن اي واحدة:

مشتق دالة عند نقطة ما يساوي ظل الزاوية بين محور OX وظل الرسم البياني للدالة عند نقطة معينة.

المعنى المادي للمشتق: المشتق الزمني للمسار يساوي سرعة الحركة المستقيمة.

في الواقع ، منذ أيام الدراسة ، يعلم الجميع أن السرعة مسار خاص. س = و (ر) و الوقت ر . متوسط ​​السرعة خلال فترة زمنية معينة:

لمعرفة سرعة الحركة في وقت واحد t0 تحتاج إلى حساب الحد:

القاعدة الأولى: أخرج الثابت

يمكن إخراج الثابت من علامة المشتق. علاوة على ذلك ، يجب أن يتم ذلك. عند حل الأمثلة في الرياضيات ، كقاعدة عامة - إذا كان بإمكانك تبسيط التعبير ، فتأكد من التبسيط .

مثال. دعنا نحسب المشتق:

القاعدة الثانية: مشتق مجموع الوظائف

مشتق مجموع وظيفتين يساوي مجموع مشتقات هاتين الدالتين. وينطبق الشيء نفسه على مشتق اختلاف الوظائف.

لن نعطي دليلًا على هذه النظرية ، بل سننظر في مثال عملي.

أوجد مشتق دالة:

القاعدة الثالثة: مشتق حاصل ضرب التوابع

يتم حساب مشتق ناتج وظيفتين قابلتين للتفاضل بواسطة الصيغة:

مثال: أوجد مشتق دالة:

حل:

من المهم هنا أن نقول عن حساب مشتقات الوظائف المعقدة. مشتق دالة معقدة يساوي ناتج مشتق هذه الدالة فيما يتعلق بالحجة الوسيطة بمشتق الوسيطة فيما يتعلق بالمتغير المستقل.

في المثال أعلاه ، نواجه التعبير:

في هذه الحالة ، الوسيطة الوسيطة هي 8x أس الخامس. من أجل حساب مشتق مثل هذا التعبير ، نأخذ أولاً في الاعتبار مشتق الوظيفة الخارجية فيما يتعلق بالحجة الوسيطة ، ثم نضرب في مشتق الوسيطة نفسها فيما يتعلق بالمتغير المستقل.

القاعدة الرابعة: مشتق حاصل قسمة وظيفتين

صيغة لتحديد مشتق حاصل قسمة وظيفتين:

حاولنا الحديث عن مشتقات الدمى من الصفر. هذا الموضوع ليس بالبساطة التي يبدو عليها ، لذا كن حذرًا: غالبًا ما تكون هناك عيوب في الأمثلة ، لذا كن حذرًا عند حساب المشتقات.

مع أي سؤال حول هذا الموضوع وموضوعات أخرى ، يمكنك الاتصال بخدمة الطلاب. في وقت قصير ، سنساعدك في حل أصعب الضوابط والتعامل مع المهام ، حتى لو لم تتعامل مع حساب المشتقات من قبل.