كلية الرياضيات الصغيرة. أنظمة الأرقام غير الموضعية

نظام رقم الوحدة (أحادي) قائمة أنظمة الأرقام

الرموز:

• يعطي تمثيلات لمجموعة من الأرقام (أعداد صحيحة و / أو حقيقية) ؛
• يعطي كل رقم تمثيل فريد (أو على الأقل تمثيل قياسي) ؛
• يعكس البنية الجبرية والحسابية للأرقام.

نظم الأرقام مقسمة إلى الموضعية, غير موضعيو مختلط.

أنظمة الأرقام الموضعية

في أنظمة الأرقام الموضعية ، يكون للعلامة الرقمية نفسها (الرقم) في إدخال الرقم معاني مختلفة اعتمادًا على المكان (الرقم) الذي يوجد فيه. يُنسب اختراع الترقيم الموضعي بناءً على المعنى المحلي للأرقام إلى السومريين والبابليين ؛ تم تطوير مثل هذا الترقيم من قبل الهندوس وكان له عواقب لا تقدر بثمن في تاريخ الحضارة الإنسانية. وتشمل هذه الأنظمة نظام الأرقام العشري الحديث ، والذي يرتبط ظهوره بالعد على الأصابع. ظهرت في أوروبا في العصور الوسطى من خلال التجار الإيطاليين الذين استعاروها بدورهم من المسلمين.

عادة ما يُفهم نظام الأرقام الموضعية على أنه نظام الأرقام -ary ، والذي يتم تحديده بواسطة عدد صحيح يسمى أساسأنظمة الأرقام. يتم تمثيل العدد الصحيح بدون إشارة في نظام الأرقام -ary على أنه مجموعة خطية محدودة من قوى الرقم:

، أين تسمى الأعداد الصحيحة الأرقام، إرضاء عدم المساواة.

كل درجة في مثل هذا السجل تسمى عامل الترجيح للفئة. يتم تحديد أقدمية الأرقام والأرقام المقابلة لها من خلال قيمة المؤشر (رقم الرقم). عادة ، في الأرقام غير الصفرية ، يتم حذف الأصفار اليسرى.

إذا لم يكن هناك تناقضات (على سبيل المثال ، عندما يتم تقديم جميع الأرقام في شكل أحرف مكتوبة فريدة) ، تتم كتابة الرقم كسلسلة من أرقامه الأبجدية ، مدرجة بترتيب تنازلي لأسبقية الأرقام من اليسار إلى اليمين:

على سبيل المثال ، الرقم مئه و ثلاتممثلة بالتدوين العشري على النحو التالي:

أكثر أنظمة تحديد المواقع شيوعًا هي:

في الأنظمة الموضعية ، كلما كبرت قاعدة النظام ، قل عدد البتات (أي الأرقام المراد كتابتها) عند كتابة رقم.

أنظمة الأرقام المختلطة

نظام العدد المختلطهو تعميم لنظام الأرقام -ary ويشير أيضًا غالبًا إلى الأنظمة الموضعيةحساب. أساس نظام الأرقام المختلط عبارة عن تسلسل متزايد للأرقام ، ويتم تمثيل كل رقم فيه كمجموعة خطية:

، حيث يتم استدعاء المعاملات كما كان من قبل الأرقام، تنطبق بعض القيود.

تسجيل رقم في نظام عدد مختلط هو تعداد أرقامه بترتيب مؤشر تنازلي ، بدءًا من الأول غير الصفري.

اعتمادًا على النوع كدالة لأنظمة الأرقام المختلطة يمكن أن تكون الطاقة ، الأسية ، إلخ. عندما يتزامن نظام الأرقام المختلط مع نظام الأرقام الأسي بالنسبة للبعض.

معظم مثال مشهورنظام الأرقام المختلط هو تمثيل الوقت بعدد الأيام والساعات والدقائق والثواني. في هذه الحالة ، فإن قيمة "الأيام ، الساعات ، الدقائق ، الثواني" تقابل قيمة الثواني.

نظام الرقم العامل

في نظام رقم عامليالقواعد عبارة عن سلسلة من العوامل ، ويتم تمثيل كل رقم طبيعي على النحو التالي:

، أين .

يتم استخدام نظام الرقم المضروب عندما فك التباديل عن طريق قوائم الانقلابات: مع وجود رقم تبديل ، يمكنك إعادة إنتاجه بنفسه على النحو التالي: رقم واحد أقل من الرقم (يبدأ الترقيم من الصفر) مكتوبًا في نظام الرقم العامل ، بينما معامل الرقم i! سيشير إلى عدد الانعكاسات للعنصر i + 1 في المجموعة التي يتم فيها إجراء التباديل (عدد العناصر الأصغر من i + 1 ، ولكن على يمينها في التقليب المطلوب)

مثال: ضع في اعتبارك مجموعة من التباديل من 5 عناصر ، هناك 5 في المجموع! = 120 (من رقم التبديل 0 - (1،2،3،4،5) إلى رقم التقليب 119 - (5،4،3،2،1)) ، ابحث عن التبديل 101: 100 = 4! * 4 + 3! * 0 + 2! * 2 + 1! * 0 = 96 + 4 ؛ دعنا نضع ti - المعامل على الرقم i! ، ثم t4 = 4 ، t3 = 0 ، t2 = 2 ، t1 = 0 ، ثم: عدد العناصر الأقل من 5 ، ولكن الوقوف على اليمين هو 4 ؛ عدد العناصر أقل من 4 ولكن على اليمين هو 0 ؛ عدد العناصر أقل من 3 ولكن على اليمين 2 ؛ عدد العناصر أقل من 2 ، ولكن إلى اليمين هو 0 (العنصر الأخير في التقليب هو "وضع" في المكان المتبقي الوحيد) - وبالتالي ، فإن التبديل 101 سيبدو كما يلي: (5،3،1،2،4) هذه الطريقةيمكن أن يتم ذلك عن طريق حساب الانقلاب المباشر لكل عنصر من عناصر التقليب.

نظام أرقام فيبوناتشيعلى أساس أرقام فيبوناتشي. يتم تمثيل كل رقم طبيعي فيه على النحو التالي:

، أين توجد أرقام فيبوناتشي ، بينما المعاملات لها عدد محدود من الوحدات ولا توجد وحدتان على التوالي.

أنظمة الأرقام غير الموضعية

في أنظمة الأرقام غير الموضعية ، لا تعتمد القيمة التي يمثلها الرقم على الموضع في الرقم. في هذه الحالة ، يمكن للنظام أن يفرض قيودًا على موضع الأرقام ، على سبيل المثال ، بحيث يتم ترتيبها بترتيب تنازلي.

نظام العدد ذي الحدين

التمثيل باستخدام المعاملات ذات الحدين

، أين .

نظام الفئة المتبقية (SOC)

يعتمد تمثيل العدد في نظام الطبقة المتبقية على مفهوم البقايا ونظرية الباقي الصينية. يتم تعريف RNS من خلال مجموعة من الجريمة المشتركة الوحداتمع المنتج بحيث يرتبط كل عدد صحيح من المقطع بمجموعة من البقايا ، حيث

…

في الوقت نفسه ، تضمن نظرية الباقي الصينية تفرد تمثيل الأرقام من الفاصل الزمني.

في RNS ، يتم تنفيذ العمليات الحسابية (الجمع والطرح والضرب والقسمة) مكونًا بمكون إذا كانت النتيجة معروفة بأنها عدد صحيح وتكمن أيضًا في.

تتمثل عيوب RNS في القدرة على تمثيل عدد محدود فقط من الأرقام ، فضلاً عن نقص خوارزميات فعالةلمقارنة الأرقام الممثلة في RNS. عادة ما يتم إجراء المقارنة من خلال تحويل الحجج من RNS إلى نظام عدد مختلط في القواعد.

نظام أرقام ستيرن-بروكوت- طريقة للتسجيل الإيجابي أرقام نسبية، على أساس شجرة ستيرن بروكو.

عدد أنظمة الدول المختلفة

نظام رقم الوحدة

على ما يبدو ، ترتيبًا زمنيًا ، أول نظام رقم لكل شخص أتقن الحساب. عدد طبيعييصور بتكرار نفس الحرف (شرطة أو نقطة). على سبيل المثال ، لتصوير الرقم 26 ، تحتاج إلى رسم 26 سطرًا (أو عمل 26 درجة على عظم أو حجر ، إلخ). في وقت لاحق ، من أجل الراحة أعداد كبيرة، يتم تجميع هذه الشخصيات في ثلاث أو خمس. ثم يبدأ استبدال مجموعات العلامات ذات الحجم المتساوي بعلامة جديدة - هكذا تظهر النماذج الأولية للأرقام المستقبلية.

نظام الأرقام المصري القديم

نظام الأرقام البابلي

أنظمة الأرقام الأبجدية

استخدم الأرمن القدماء والجورجيون واليونانيون (نظام الأرقام الأيوني) والعرب (أبجديا) واليهود (انظر gematria) وشعوب أخرى في الشرق الأوسط أنظمة الأرقام الأبجدية. في الكتب الليتورجية السلافية ، تمت ترجمة النظام الأبجدي اليوناني إلى الحروف السيريلية.

نظام الترقيم العبري

نظام الأرقام اليوناني

نظام الأرقام الرومانية

المثال الأساسي لنظام الأرقام غير الموضعي تقريبًا هو الروماني ، حيث تُستخدم الأحرف اللاتينية كأرقام:
أنا أقف على 1 ،
الخامس - 5 ،
X - 10 ،
L-50
سي - 100
D-500
م - 1000

على سبيل المثال II = 1 + 1 = 2
هنا الرمز الذي أقوم به 1 بغض النظر عن مكانه في الرقم.

في الواقع ، النظام الروماني ليس غير موضعي تمامًا ، حيث يتم طرح الرقم الأصغر الذي يأتي قبل الرقم الأكبر منه ، على سبيل المثال:

IV = 4 بينما:
السادس = 6

نظام رقم المايا

أنظر أيضا

ملحوظات

الروابط

• جاشكوف س.أنظمة الأرقام وتطبيقاتها. - م: MTsNMO ، 2004. - (مكتبة "التربية الرياضية").
• فومين S.V.أنظمة الأرقام. - م: نوكا ، 1987. - 48 ص. - (محاضرات شعبية في الرياضيات).
• ياغلوم آي.أنظمة الأرقام // الكم. - 1970. - رقم 6. - س 2-10.
• أنظمة الأعداد والأرقام. موسوعة عبر الإنترنت حول العالم.
• ستاخوف أ.دور أنظمة الأرقام في تاريخ أجهزة الكمبيوتر.
• أنظمة الأرقام Mikushin A.V. دورة محاضرات "الأجهزة الرقمية والمعالجات الدقيقة"
• Butler J. T.، Sasao T. أنظمة الأرقام متعددة القيم الزائدة تتناول المقالة أنظمة الأرقام التي تستخدم أرقامًا أكبر من واحد وتسمح بالتكرار في تمثيل الأرقام

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

نظام رقم الوحدة

بدأت الحاجة إلى كتابة الأرقام بالظهور بين الناس في العصور القديمة بعد أن تعلموا العد. والدليل على ذلك اكتشافات أثرية في أماكن المعسكرات. الناس البدائيون، والتي تنتمي إلى العصر الحجري القديم ($ 10 $ - $ 11 $ ألف سنة قبل الميلاد). في البداية ، تم تصوير عدد الأشياء باستخدام علامات معينة: الشرطات ، والشقوق ، والدوائر المطبقة على الأحجار ، والخشب أو الطين ، وكذلك العقد على الحبال.

الصورة 1.

يسمي العلماء نظام الترميز هذا واحد (أحادي)، لأن الرقم الموجود فيه يتكون من تكرار علامة واحدة ترمز إلى الوحدة.

عيوب النظام:

عند الكتابة عدد كبيرضروري للاستخدام عدد كبير منالعصي؛

من السهل ارتكاب خطأ عند وضع العصي.

في وقت لاحق ، من أجل تسهيل العد ، بدأ الناس في الجمع بين هذه العلامات.

مثال 1

يمكن العثور على أمثلة لاستخدام نظام رقم الوحدة في حياتنا. على سبيل المثال ، يحاول الأطفال الصغار تصوير عمرهم على أصابعهم ، أو يستخدمون عصي العد لتعليم العد في الصف الأول.

نظام واحدليس ملائمًا جدًا ، نظرًا لأن الإدخالات تبدو طويلة جدًا وكان تطبيقها مملاً إلى حد ما ، لذلك مع مرور الوقت بدأت أنظمة أرقام أكثر عملية في الظهور.

وهنا بعض الأمثلة.

نظام الأعداد غير الموضعية العشري المصري القديم

ظهر نظام الأرقام هذا حوالي 3000 قبل الميلاد. نتيجة لكون المقيمين مصر القديمةتوصلوا إلى نظامهم العددي ، حيث عند الإشارة إلى الأرقام الرئيسية $ 1 $ ، $ 10 $ ، 100 $ ، إلخ. تم استخدام الهيروغليفية ، والتي كانت مريحة عند الكتابة على ألواح الطين التي حلت محل الورق. تم تشكيل أرقام أخرى منهم باستخدام الجمع. أولاً ، تم كتابة رقم الترتيب الأعلى ، ثم الأقل. تضاعف المصريون وانقسموا ، وضاعفوا الأعداد باستمرار. يمكن تكرار كل رقم حتى 9 دولارات أمريكية. فيما يلي أمثلة لأرقام هذا النظام.

الشكل 2.

نظام الأرقام الرومانية

لا يختلف هذا النظام في الأساس كثيرًا عن النظام السابق وقد نجا حتى يومنا هذا. يعتمد على علامات:

$ I $ (إصبع واحد) للرقم $ 1 $؛

$ V $ (كف مفتوح) مقابل $ 5؛

X $ (يدان مقعرتان) مقابل 10 دولارات ؛

للدلالة على الأرقام 100 دولار و 500 دولار و 1000 دولار ، الأحرف الأولى من المقابلة كلمات لاتينية (Centum- مائة، ديميميل- نصف الف ميل- بالآلاف).

عند تجميع الأرقام ، استخدم الرومان القواعد التالية:

الرقم يساوي مجموع قيم عدة "أرقام" متطابقة موجودة في صف ، وتشكل مجموعة من النوع الأول.

الرقم يساوي الفرق بين قيم "رقمين" ، إذا كان الرقم الأصغر على يسار الرقم الأكبر. في هذه الحالة ، يتم طرح قيمة القيمة الأصغر من القيمة الأكبر. معا يشكلون مجموعة من النوع الثاني. في هذه الحالة ، يمكن أن يكون "الرقم" الأيسر أقل من الرقم الأيمن بحد أقصى 1 دولار: قبل $ L (50) $ و $ C (100 $) ، فقط $ X (10 $) من "الأدنى" يمكن أن يظهر ، قبل $ D (500 $) و $ M (1000 $) - فقط $ C (100 $) ، قبل $ V (5) - I (1) $.

الرقم يساوي مجموع قيم المجموعات و "الأرقام" التي لم يتم تضمينها في مجموعات النموذج $ 1 $ أو $ 2 $.

الشكل 3

تم استخدام الأرقام الرومانية منذ العصور القديمة: فهي تشير إلى التواريخ وعدد المجلدات والأقسام والفصول. كنت أعتقد أن هذا عادي الترقيم العربييمكن تزويرها بسهولة.

أنظمة الأرقام الأبجدية

أنظمة الأرقام هذه أكثر كمالا. وتشمل هذه اليونانية والسلافية والفينيقية واليهودية وغيرها. في هذه الأنظمة ، تم الإشارة إلى الأرقام من 1 دولار إلى 9 دولارات ، بالإضافة إلى عدد العشرات (من 10 دولارات إلى 90 دولارًا) ، والمئات (من 100 دولار إلى 900 دولار) بأحرف الأبجدية.

في نظام الأرقام الأبجدية اليونانية القديمة ، تم الإشارة إلى الأرقام $ 1 ، 2 ، ... ، 9 $ بالأحرف التسعة الأولى من الأبجدية اليونانية ، وهكذا. تم استخدام الأحرف التالية $ 9 $ لتعيين الأرقام $ 10 ، 20 ، ... ، 90 $ ، وتم استخدام الأحرف 9 $ الأخيرة لتعيين الأرقام $ 100 ، 200 ، ... ، 900 $.

بين الشعوب السلافية ، تم تحديد القيم العددية للحروف وفقًا للترتيب الأبجدية السلافية، والتي استخدمت في البداية الأبجدية Glagolitic ، ثم الأبجدية السيريلية.

الشكل 4

ملاحظة 1

تم استخدام النظام الأبجدي أيضًا في القديمة روس. حتى نهاية القرن السابع عشر ، تم استخدام الأحرف السيريلية بقيمة 27 دولارًا كأرقام.

أنظمة الأرقام غير الموضعية لها عدد من العيوب المهمة:

هناك حاجة مستمرة لإدخال أحرف جديدة لكتابة أعداد كبيرة.

لا يمكن تمثيل الأعداد الكسرية والسالبة.

من الصعب إجراء العمليات الحسابية لعدم وجود خوارزميات لأداء هذه العمليات.

المفاهيم الأساسية لنظم الأرقام

نظام الأرقام هو مجموعة من القواعد والتقنيات لكتابة الأرقام باستخدام مجموعة من الأحرف الرقمية. يُطلق على عدد الأرقام المطلوبة لكتابة رقم في النظام اسم أساس نظام الأرقام. قاعدة النظام مكتوبة على يمين الرقم في الرمز:؛ ؛ إلخ.

هناك نوعان من أنظمة الأرقام:

الموضعية ، عندما يتم تحديد قيمة كل رقم من الرقم من خلال موقعه في تدوين الرقم ؛

غير موضعي ، عندما لا تعتمد قيمة رقم في رقم على مكانه في تدوين الرقم.

مثال على نظام الأرقام غير الموضعي هو النظام الروماني: الأرقام IX ، IV ، XV ، إلخ. مثال على نظام الأرقام الموضعية هو النظام العشري المستخدم كل يوم.

يمكن كتابة أي عدد صحيح في النظام الموضعي على أنه كثير الحدود:

حيث S هي أساس نظام الأرقام ؛

أرقام رقم مكتوبة في نظام ترقيم معين ؛

n هو عدد أرقام الرقم.

مثال. رقم هو مكتوب في شكل متعدد الحدود على النحو التالي:

أنواع أنظمة الأرقام

نظام الأرقام الرومانية هو نظام غير موضعي. يستخدم الحروف الأبجدية اللاتينية لكتابة الأرقام. في هذه الحالة ، الحرف الذي أعنيه دائمًا واحدًا ، والحرف V يعني خمسة ، X يعني عشرة ، L يعني خمسين ، C يعني مائة ، D يعني خمسمائة ، M يعني ألف ، إلخ. على سبيل المثال ، الرقم 264 مكتوب كـ CCLXIV. عند كتابة الأرقام في نظام الأرقام الرومانية ، تكون قيمة الرقم مجموع جبريالأرقام المدرجة فيه. في هذه الحالة ، تتبع الأرقام الموجودة في إدخال الأرقام ، كقاعدة عامة ، ترتيبًا تنازليًا لقيمها ، ولا يُسمح لكتابة أكثر من ثلاثة أرقام متطابقة جنبًا إلى جنب. في حالة اتباع رقم ذي قيمة أكبر برقم ذي قيمة أصغر ، فإن مساهمته في قيمة الرقم ككل تكون سالبة. أمثلة نموذجية توضح قواعد عامةيتم عرض سجلات الأرقام في نظام الأرقام الرومانية في الجدول.

الجدول 2. كتابة الأرقام في نظام الأرقام الرومانية

		ثالثا
	سابعا	ثامنا
	الثالث عشر	الثامن عشر	التاسع عشر	الثاني والعشرون
الرابع والثلاثون	XXXIX			التاسع والعشرون
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCMXCIX

عيب النظام الروماني هو عدم وجود قواعد رسمية لكتابة الأرقام ، وبالتالي ، العمليات الحسابية أعداد متعددة الخانات. نظرًا للإزعاج والتعقيد الكبير ، يتم استخدام نظام الأرقام الرومانية حاليًا حيث يكون مناسبًا حقًا: في الأدب (فصول الترقيم) ، في الأعمال الورقية (سلسلة من جوازات السفر ، الأوراق المالية ، إلخ) ، لأغراض الديكور على قرص الساعة وفي عدد من الحالات الأخرى.

يعد نظام الأرقام العشري حاليًا الأكثر شهرة واستخدامًا. يعد اختراع نظام الأعداد العشرية أحد الإنجازات الرئيسية للفكر البشري. بدونها ، لا يمكن أن توجد التكنولوجيا الحديثة ، ناهيك عن الظهور. السبب وراء قبول نظام الأرقام العشري بشكل عام ليس رياضيًا على الإطلاق. اعتاد الناس على العد بالتدوين العشري لأن أيديهم تحتوي على 10 أصابع.

الصورة القديمة للأرقام العشرية (الشكل 1) ليست عرضية: كل رقم يشير إلى رقم بعدد الزوايا الموجودة فيه. على سبيل المثال ، 0 - بدون زوايا ، 1 - زاوية واحدة ، 2 - زاويتان ، إلخ. خضع تهجئة الأرقام العشرية لتغييرات كبيرة. تم إنشاء النموذج الذي نستخدمه في القرن السادس عشر.

ظهر النظام العشري لأول مرة في الهند حوالي القرن السادس. عهد جديد. استخدم الترقيم الهندي تسعة أحرف رقمية وصفر للإشارة إلى موضع فارغ. في المخطوطات الهندية المبكرة التي وصلت إلينا ، تمت كتابة الأرقام ترتيب عكسي- معظم شخصية هامةتوضع على اليمين. لكن سرعان ما أصبحت القاعدة لوضع مثل هذا الرقم على الجانب الأيسر. تم إيلاء أهمية خاصة للرمز الفارغ ، والذي تم تقديمه للتدوين الموضعي. ترقيم الهند ، بما في ذلك الصفر ، يعود إلى عصرنا. في أوروبا ، انتشرت الأساليب الهندوسية في الحساب العشري في بداية القرن الثالث عشر. بفضل عمل عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو بيزا (فيبوناتشي). اقترض الأوروبيون النظام الهنديحساب العرب بتسميته بالعربية. يتم الاحتفاظ بهذا الاسم غير الصحيح تاريخيًا حتى يومنا هذا.

يستخدم النظام العشري عشرة أرقام - 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 و 9 ، بالإضافة إلى الرموز "+" و "-" للإشارة إلى علامة الرقم وفاصلة أو نقطة للفصل بين الأجزاء الصحيحة والكسرية من الرقم.

في أجهزة الكمبيوتريتم استخدام نظام الأرقام الثنائية ، قاعدته هي الرقم 2. لكتابة الأرقام في هذا النظام ، يتم استخدام رقمين فقط - 0 و 1. على عكس المفهوم الخاطئ الشائع ، لم يتم اختراع نظام الأرقام الثنائية من قبل مهندسي تصميم الكمبيوتر ، ولكن من قبل علماء الرياضيات والفلاسفة قبل فترة طويلة من ظهور أجهزة الكمبيوتر ، في القرنين السابع عشر والتاسع عشر. أول مناقشة منشورة لنظام الأعداد الثنائية كتبها القس الإسباني خوان كارامويل لوبكوفيتز (1670). جذب الانتباه العام لهذا النظام مقالة عالم الرياضيات الألماني جوتفريد فيلهلم ليبنيز ، التي نُشرت عام 1703. وشرح العمليات الثنائية للجمع والطرح والضرب والقسمة. لم يوصِ Leibniz باستخدام هذا النظام لإجراء حسابات عملية ، لكنه أكد أهميته لـ البحث النظري. بمرور الوقت ، يصبح نظام الأعداد الثنائية معروفًا جيدًا ويتطور.

يفسر اختيار النظام الثنائي للاستخدام في الحوسبة بحقيقة ذلك العناصر الإلكترونية- المشغلات التي تتكون منها رقائق الكمبيوتر يمكن أن تكون فقط في حالتين من العمل.

بمساعدة نظام الترميز الثنائي ، يمكن تسجيل أي بيانات ومعرفة. يسهل فهم ذلك إذا كنت تتذكر مبدأ تشفير المعلومات ونقلها باستخدام شفرة مورس. يمكن لمشغل التلغراف ، باستخدام حرفين فقط من هذه الأبجدية - النقاط والشرطات ، نقل أي نص تقريبًا.

يعد النظام الثنائي مناسبًا لجهاز الكمبيوتر ، ولكنه غير مريح بالنسبة لأي شخص: فالأرقام طويلة ويصعب تدوينها وتذكرها. بالطبع يمكنك تحويل الرقم إلى النظام العشري وكتابته بهذا الشكل ، وبعد ذلك ، عندما تحتاج إلى ترجمته مرة أخرى ، لكن كل هذه الترجمات تستغرق وقتًا طويلاً. لذلك ، يتم استخدام أنظمة الأرقام ذات الصلة بالنظام الثنائي - الثماني والسداسي العشري. لكتابة الأرقام في هذه الأنظمة ، يلزم 8 و 16 رقمًا ، على التوالي. في النظام الست عشري ، تكون الأرقام العشرة الأولى شائعة ، ثم يتم استخدام الأحرف اللاتينية الكبيرة. الرقم السداسي العشري A يتوافق مع الرقم العشري 10 ، السداسي العشري B لـ عدد عشري 11 ، إلخ. يفسر استخدام هذه الأنظمة بحقيقة أن الانتقال إلى كتابة رقم في أي من هذه الأنظمة من تدوينه الثنائي أمر بسيط للغاية. يوجد أدناه جدول المراسلات بين الأرقام المكتوبة في أنظمة مختلفة.

الجدول 3. مراسلات الأرقام المكتوبة أنظمة مختلفةحساب

عدد عشري	الثنائية	ثماني	السداسي عشري
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		د http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

قواعد تحويل الأرقام من نظام رقمي إلى آخر

ترجمة الأرقام من نظام رقمي إلى آخر هو جزء مهمآلة الحساب. ضع في اعتبارك القواعد الأساسية للترجمة.

1. لتحويل رقم ثنائي إلى رقم عشري ، من الضروري كتابته ككثير حدود يتكون من منتجات أرقام الرقم والقوة المقابلة للرقم 2 ، والحساب وفقًا لقواعد الحساب العشري:

عند الترجمة ، من الملائم استخدام جدول قوى اثنين:

الجدول 4. صلاحيات 2

ن (درجة)
											1024

مثال. تحويل الرقم إلى نظام رقم عشري.

2. لترجمة رقم ثماني إلى رقم عشري ، من الضروري كتابته ككثير حدود يتكون من حاصل ضرب أرقام الرقم والقوة المقابلة للرقم 8 ، والحساب وفقًا لقواعد الحساب العشري:

عند الترجمة ، من الملائم استخدام جدول قوى ثمانية:

الجدول 5. صلاحيات 8

ن (درجة)

بمجرد أن بدأ الناس في العد ، احتاجوا إلى كتابة الأرقام. وجد علماء الآثار دليلاً في مواقع الأشخاص البدائيين على أن أي رقم تقريبًا تم تدوينه في البداية ببساطة من خلال عدد الأيقونات المتطابقة معه: العصي والنقاط والشرطات. يسمى هذا النظام بنظام واحد (أحادي). تتم كتابة أي رقم في هذا النظام بتكرار حرف واحد يرمز إلى الوحدة.

على الرغم من قدم هذا النظام ، إلا أنه يستخدم حتى يومنا هذا ، ويتعلم طلاب الصف الأول الاعتماد على العصي ، ولتحديد الدورة التي يدرس فيها طالب مدرسة عسكرية حاليًا ، يجب على المرء أن يحسب عدد المشارب المخيطة على كمه.

لا يعد النظام الأحادي الطريقة الأكثر ملاءمة لكتابة الأرقام ، حيث يشغل السجل مساحة كبيرة ويؤدي رتابة السجل إلى حدوث أخطاء ، لذلك بدأت أنظمة الأرقام الأكثر ملاءمة في الظهور بمرور الوقت.

نظام الأرقام المصرية القديمة العشرية

كان لدى قدماء المصريين نظام ترقيم مناسب للغاية ، وكان به علامات تشير إلى أرقام رئيسية: 1 ، 10 ، 100 ، إلخ. تمت كتابة باقي الأرقام باستخدام الجمع. يتم عرض تسميات بعض الأرقام في الشكل 1.

النظام ليس قيد الاستخدام حاليا.

نظام الأرقام الرومانية

ظل هذا النظام دون تغيير حتى يومنا هذا. ظهرت منذ أكثر من ألفي ونصف عام في روما القديمة. كان يعتمد على العلامات I (الإصبع) للرقم 1 ، V (خمسة) للرقم 5 ، X (يدان) للرقم 10. واستخدمت الأحرف الأولى للتعيين 100 و 500 و 1000 الأسماء اللاتينية(سنتوم - مائة ، ديميميل - نصف ألف ، ميل - ألف). من أجل تدوين الرقم ، لم يستخدم الرومان المبالغ فقط ، مثل المصريين ، ولكن استخدموا الفرق أيضًا. لهذا ، تم تطبيق قاعدة بسيطة: يتم إضافة كل علامة أصغر بعد العلامة الأكبر إلى قيمتها ، ويتم طرح العلامة قبل العلامة الأكبر من قيمتها. وهكذا فإن IX - تعني 9 و XI - 11.

يتم استخدام الأرقام الرومانية حتى يومنا هذا ، ويتم استخدامها لتسمية الأقسام والأقسام الفرعية من الكتب والقرون ، وغالبًا ما يتم كتابتها أيضًا على الساعات.

أنظمة الأرقام الأبجدية

وتشمل هذه الأنظمة: اليونانية ، والسلافية ، والفنلندية وغيرها. هنا تم الإشارة إلى الأرقام من 1 إلى 9 ، ومن 10 إلى 90 ومن 100 إلى 900 بأحرف الأبجدية. في اليونان القديمةتم الإشارة إلى الأرقام بالأحرف التسعة الأولى من الأبجدية اليونانية. الأعداد من 10 إلى 90 هي التسعة التالية. ومن 100 إلى 900 - آخر تسعة أحرف من الأبجدية الرومانية. من بين السلاف ، تتوافق القيم العددية مع الأحرف بالترتيب. في البداية ، تم استخدام الأبجدية Glagolitic لهذا الغرض ، ثم الأبجدية السيريلية. في روسيا ، تم الحفاظ على هذا الترقيم حتى نهاية القرن السابع عشر. ثم أحضر بطرس الأول الترقيم العربي من الخارج ، والذي نستخدمه حتى يومنا هذا.

في سياق علوم الكمبيوتر ، بغض النظر عن المدرسة أو الجامعة ، يتم إعطاء مكان خاص لمفهوم مثل أنظمة الأرقام. كقاعدة عامة ، يتم تخصيص العديد من الدروس أو التدريبات العملية لها. الهدف الرئيسي ليس فقط تعلم المفاهيم الأساسية للموضوع ، لدراسة أنواع أنظمة الأرقام ، ولكن أيضًا التعرف على الحساب الثنائي والثماني والسداسي العشري.

ماذا يعني ذلك؟

لنبدأ بتعريف المفهوم الرئيسي. كما يشير كتاب "Computer Science" ، فإن نظام الأرقام هو عبارة عن سجل للأرقام التي تستخدم أبجدية خاصة أو مجموعة محددة من الأرقام.

اعتمادًا على ما إذا كانت قيمة الرقم تتغير من موضعه في الرقم ، يتم تمييز رقمين: أنظمة الأرقام الموضعية وغير الموضعية.

في الأنظمة الموضعية ، تتغير قيمة الرقم مع موضعه في الرقم. لذا ، إذا أخذنا الرقم 234 ، فإن الرقم 4 فيه يعني الوحدات ، ولكن إذا أخذنا في الاعتبار الرقم 243 ، فإن هذا يعني بالفعل عشرات وليس وحدات.

في الأنظمة غير الموضعية ، تكون قيمة الرقم ثابتة ، بغض النظر عن موقعه في الرقم. معظم مثال رئيسي- نظام العصا ، حيث يشار إلى كل وحدة بشرطة. بغض النظر عن مكان تعيين العصا ، ستتغير قيمة الرقم بمقدار واحد فقط.

الأنظمة غير الموضعية

تشمل أنظمة الأرقام غير الموضعية ما يلي:

1. نظام واحد يعتبر من أوائل الأنظمة. استخدمت العصي بدلاً من الأرقام. كلما زاد العدد ، زادت قيمة الرقم. يمكنك التعرف على مثال للأرقام المكتوبة بهذه الطريقة في الأفلام حيث نتحدث عن الأشخاص الذين فقدوا في البحر ، والسجناء الذين يميزون كل يوم بمساعدة الشقوق على الحجر أو الشجرة.
2. روماني ، حيث تم استخدام الأحرف اللاتينية بدلاً من الأرقام. باستخدامهم ، يمكنك كتابة أي رقم. في الوقت نفسه ، تم تحديد قيمته باستخدام مجموع وفرق الأرقام المكونة للرقم. إذا كان هناك رقم أصغر على يسار الرقم ، فسيتم طرح الرقم الأيسر من الرقم الأيمن ، وإذا كان الرقم إلى اليمين أقل من الرقم الموجود على اليسار أو مساويًا له ، فسيتم جمع قيمهما. على سبيل المثال ، تم كتابة الرقم 11 على أنه XI و 9 - IX.
3. الحروف ، حيث تم الإشارة إلى الأرقام باستخدام الأبجدية للغة معينة. واحد منهم يعتبر النظام السلافي، حيث لم يكن لعدد الحروف قيمة صوتية فحسب ، بل تحتوي أيضًا على قيمة عددية.
4. حيث تم استخدام تسميتين فقط للتسجيل - أسافين وسهام.
5. في مصر أيضًا ، تم استخدام رموز خاصة للدلالة على الأرقام. عند كتابة رقم ، لا يمكن استخدام كل حرف أكثر من تسع مرات.

أنظمة الموقف

يتم إيلاء الكثير من الاهتمام في علوم الكمبيوتر لأنظمة الأرقام الموضعية. وتشمل هذه ما يلي:

• الثنائية؛
• ثماني.
• عدد عشري؛
• السداسي عشري؛
• ستيني ، يستخدم عند عد الوقت (على سبيل المثال ، في الدقيقة - 60 ثانية ، في الساعة - 60 دقيقة).

كل واحد منهم لديه الأبجدية الخاصة به للكتابة وقواعد الترجمة والعمليات الحسابية.

النظام العشري

هذا النظام هو الأكثر دراية لنا. يستخدم الأرقام من 0 إلى 9 لكتابة الأرقام. يطلق عليهم أيضًا اسم اللغة العربية. اعتمادًا على موضع الرقم في الرقم ، يمكن أن يشير إلى أرقام مختلفة - وحدات أو عشرات أو مئات أو آلاف أو ملايين. نستخدمها في كل مكان ، ونعرف القواعد الأساسية التي يتم من خلالها إجراء العمليات الحسابية على الأرقام.

النظام الثنائي

يعد النظام الثنائي أحد أنظمة الأرقام الرئيسية في علوم الكمبيوتر. تسمح بساطته للكمبيوتر بإجراء حسابات مرهقة عدة مرات أسرع من النظام العشري.

لكتابة الأرقام ، يتم استخدام رقمين فقط - 0 و 1. في نفس الوقت ، اعتمادًا على موضع 0 أو 1 في الرقم ، ستتغير قيمته.

في البداية ، استقبلوا جميعًا بمساعدة أجهزة الكمبيوتر معلومات ضرورية. في نفس الوقت ، يعني المرء وجود إشارة تنتقل باستخدام الجهد ، والصفر يعني غيابها.

نظام أوكتال

نظام أرقام كمبيوتر معروف آخر ، يستخدم الأرقام من 0 إلى 7. وقد تم استخدامه بشكل أساسي في مجالات المعرفة المرتبطة بالأجهزة الرقمية. ولكن في مؤخرايتم استخدامه بشكل أقل تكرارًا ، حيث تم استبداله بنظام الأرقام السداسي العشري.

ثنائي عشري

يمثل تمثيل الأعداد الكبيرة في النظام الثنائي للشخص عملية معقدة نوعًا ما. لتبسيطها ، تم تطويرها ، وعادة ما تستخدم في الساعات الإلكترونية والآلات الحاسبة. في هذا النظام ، لا يتم تحويل الرقم بالكامل من النظام العشري إلى النظام الثنائي ، ولكن يتم ترجمة كل رقم إلى المجموعة المقابلة من الأصفار والآحاد في النظام الثنائي. الشيء نفسه ينطبق على التحويل من النظام الثنائي إلى النظام العشري. يتم ترجمة كل رقم ، يمثل مجموعة مكونة من أربعة أرقام من الأصفار والآحاد ، إلى رقم في نظام الأرقام العشري. من حيث المبدأ ، لا يوجد شيء معقد.

للعمل مع الأرقام ، في هذه الحالة ، يكون جدول أنظمة الأرقام مفيدًا ، والذي سيشير إلى المراسلات بين الأرقام ورمزها الثنائي.

نظام سداسي عشري

في الآونة الأخيرة ، أصبح نظام الأرقام السداسي العشري شائعًا بشكل متزايد في البرمجة وعلوم الكمبيوتر. لا يستخدم فقط الأرقام من 0 إلى 9 ، بل يستخدم أيضًا سلسلة حروف لاتينية- أ ، ب ، ج ، د ، ه ، ف.

في الوقت نفسه ، لكل حرف معنى خاص به ، لذا أ = 10 ، ب = 11 ، ج = 12 وهكذا. يتم تمثيل كل رقم كمجموعة من أربعة أحرف: 001F.

تحويل الأرقام: من عشري إلى ثنائي

تحدث الترجمة في أنظمة الأرقام وفقًا لقواعد معينة. التحويل الأكثر شيوعًا هو من النظام الثنائي إلى النظام العشري والعكس صحيح.

لتحويل رقم من رقم عشري إلى ثنائي ، من الضروري تقسيمه باستمرار على أساس نظام الأرقام ، أي الرقم الثاني. في هذه الحالة ، يجب إصلاح ما تبقى من كل قسم. سيستمر هذا حتى يصبح باقي القسمة أقل من أو يساوي واحدًا. من الأفضل إجراء العمليات الحسابية في عمود. ثم تتم كتابة باقي القسمة الناتجة على السلسلة بترتيب عكسي.

على سبيل المثال ، دعنا نحول الرقم 9 إلى ثنائي:

نقسم 9 ، لأن الرقم غير قابل للقسمة بالتساوي ، ثم نأخذ الرقم 8 ، والباقي سيكون 9-1 = 1.

بعد قسمة 8 على 2 ، نحصل على 4. نقسمها مرة أخرى ، لأن الرقم مقسوم على اثنين - نحصل على 4 - 4 = 0 في الباقي.

نقوم بتنفيذ نفس العملية مع 2. والباقي هو 0.

نتيجة القسمة ، نحصل على 1.

بغض النظر عن نظام الأرقام النهائية ، فسيتم نقل الأرقام من نظام عشري إلى أي رقم آخر وفقًا لمبدأ قسمة الرقم على أساس النظام الموضعي.

تحويل الأرقام: من ثنائي إلى عشري

من السهل جدًا تحويل الأرقام إلى رقم عشري من ثنائي. للقيام بذلك ، يكفي معرفة قواعد رفع الأعداد إلى قوة. في هذه الحالة ، أس اثنين.

تكون خوارزمية الترجمة كما يلي: يجب ضرب كل رقم من رمز الرقم الثنائي في اثنين ، وسيكون الأولان في قوة m-1 ، والثاني - m-2 ، وهكذا ، حيث m هو عدد الأرقام في الكود. ثم اجمع نتائج الجمع لتحصل على عدد صحيح.

بالنسبة لأطفال المدارس ، يمكن شرح هذه الخوارزمية بشكل أكثر بساطة:

في البداية ، نأخذ كل رقم مضروبًا في اثنين ونكتبه ، ثم نضع القوة العددية اثنين من النهاية ، بدءًا من الصفر. ثم اجمع الرقم الناتج.

على سبيل المثال ، دعنا نحلل معك الرقم 1001 الذي تم الحصول عليه سابقًا ، ونحوله إلى النظام العشري ، وفي نفس الوقت نتحقق من صحة حساباتنا.

سيبدو مثل هذا:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

عند دراسة هذا الموضوع ، من الملائم استخدام جدول بقوى اثنين. سيؤدي هذا إلى تقليل مقدار الوقت المطلوب بشكل كبير لإجراء العمليات الحسابية.

خيارات الترجمة الأخرى

في بعض الحالات ، يمكن إجراء الترجمة بين ثنائي وثماني وثنائي وسداسي عشري. في هذه الحالة ، يمكنك استخدام جداول خاصة أو تشغيل تطبيق الآلة الحاسبة على جهاز الكمبيوتر الخاص بك عن طريق تحديد خيار "مبرمج" في علامة تبويب العرض.

عمليات حسابية

بغض النظر عن الشكل الذي يمثل به الرقم ، من الممكن إجراء حسابات مألوفة لنا. يمكن أن يكون هذا قسمة وضربًا وطرحًا وجمعًا في نظام الأرقام الذي اخترته. بالطبع ، لكل منهم قواعده الخاصة.

لذلك بالنسبة للنظام الثنائي ، طور الجداول الخاصة به لكل عملية من العمليات. يتم استخدام نفس الجداول في أنظمة تحديد المواقع الأخرى.

ليس من الضروري حفظها - فقط اطبعها وفي متناول اليد. يمكنك أيضًا استخدام الآلة الحاسبة على جهاز الكمبيوتر الخاص بك.

واحد من الموضوعات الرئيسيةفي علوم الكمبيوتر - نظام الأرقام. معرفة هذا الموضوع ، وفهم خوارزميات ترجمة الأرقام من نظام إلى آخر هو ضمان أنك ستتمكن من فهم المزيد مواضيع صعبة، مثل الخوارزمية والبرمجة ، وستتمكن من كتابة برنامجك الأول بنفسك.